Dinámica de Reactores Auto-presurizados, Refrigerados por … · 2017-10-19 · Por otro lado, la actual corriente de reactores nucleares avanzados busca la simplificación de los

TESIS DOCTORAL CARRERA DE DOCTORADO EN CIENCIAS DE LA INGENIERÍA

Dinámica de Reactores Auto-presurizados, Refrigerados por Convección Natural

Pablo Gustavo Zanocco

Ing. Pablo Gustavo Zanocco Doctorando

Dr. Darío Delmastro

Co-director

Dr. Marcelo Giménez

Co-director

Instituto Balseiro Comisión Nacional de Energía Atómica

Universidad Nacional de Cuyo

Agosto 2005

a Pilar y María

RESUMEN En esta tesis, se desarrolla un modelo para la simulación de la dinámica de

reactores auto-presurizados, refrigerados por convección natural. En particular, se toma como referencia el reactor CAREM-25. Para ello, se desarrollan modelos específicos que se aplican a un código numérico (HUARPE). Luego se implementa un método de linealización numérica por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces un código apropiado para el estudio del sistema y sus fenomenologías. El esquema numérico es adecuado para el análisis de estabilidad, combinando las facilidades del análisis lineal en el dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de comportamientos no-lineales en el dominio de tiempo.

Se estudia el efecto de los errores numéricos, fuertemente relacionados con la nodalización y paso de tiempo, evaluando su influencia en el análisis de estabilidad. Se implementa un esquema de nodalización adaptiva, con el fin de minimizar el error en la propagación de pequeñas perturbaciones a través de los volúmenes discretizados, especialmente los que se encuentran en el régimen de dos fases. Se estudian diferentes alternativas de integración temporal para mejorar la convergencia. En el dominio de las frecuencias, se estudia su impacto en la amplificación de oscilaciones. En el dominio de tiempo, se estudia su influencia en la amplitud de oscilaciones.

El modelo es comparado en un amplio rango de títulos con un modelo analítico, el cual es estrictamente no-difusivo, verificándose un buen acuerdo. Luego, el análisis de estabilidad se concentra en el estudio de las oscilaciones que pueden desarrollarse en circuitos de convección natural a bajos títulos, condiciones bajo las cuales funciona el prototipo del reactor CAREM. Estas tienen su origen en la interacción entre la fuerza boyante y el caudal.

El análisis en el dominio de las frecuencias permite una rápida visualización de la estabilidad lineal del sistema, mediante la confección de mapas de estabilidad. De esta forma se analiza la influencia de diferentes factores o hipótesis de modelado en la predicción de inestabilidades, incrementando la complejidad de forma gradual. En particular, se analiza el efecto del perfil de potencia, de la velocidad relativa entre fases, de los cambios de densidad en simple fase, del cambio de presión con la altura, de la dinámica de núcleo y de la auto-presurización.

La evolución del sistema en condiciones inestables se analiza en el dominio de tiempo. Allí se identifican los principales factores no-lineales que son limitadores de la amplitud de oscilación: los límites de la chimenea y la existencia de varios frentes de ebullición. Se evalúa el efecto de diferentes factores en los ciclos límite y amplitud de oscilaciones, en particular aquellos relacionados con la dinámica de núcleo y la autopresurización: las oscilaciones resultan siempre menores al 1%, en condiciones nominales.

La naturaleza de la auto-presurización se estudia durante un transitorio de reducción parcial de potencia removida por los generadores de vapor, utilizando el modelo desarrollado en este trabajo y el código RELAP, con dos alternativas de nodalización para el domo de vapor. Se verifica un buen acuerdo entre modelos. Mediante un estudio paramétrico, se estudia la dependencia de la evolución de presión con diversos procesos de ebullición y condensación, prestando especial atención al domo de vapor.

ABSTRACT In this thesis, a thermohydraulic code for the analysis of self-pressurized, natural

circulation reactors was developed. The CAREM-25 prototype was taken as reference. Specific models were developed and applied to a numerical code (HUARPE). A linearization method was implemented by means of numerical perturbations. This code resulted appropriate for the study of the system and its phenomenologies. The numerical scheme is suitable for stability analysis, combining linear analysis facilities in the frequency domain with the ability to study the non-linear behaviors in the time domain.

The numerical errors, strongly related to nodalization and time step, were studied by evaluating their influence in the stability analysis. An adaptive nodalization scheme was implemented, minimizing the error of the propagation of small perturbations through the discretized volumes, especially those having a two-phase flow regime. Different alternatives of temporal integration were analyzed to improve convergence, studying their influence in the amplification of the oscillations in the frequency domain, and the amplitude of oscillations in the time domain.

The code is compared to a simplified analytical model, by contrasting stability maps obtained from both models for a test configuration, observing good agreement. Then, the stability analysis was focused on the study of natural circulation regimes with low void fraction, which is the condition in the CAREM concept prototype. In this case, the oscillation was due to the counteraction between mass flow and buoyancy force.

The frequency domain analysis allowed a rapid visualization of the stability of the linearized system in a very simple manner, by means of developing stability maps. The influence of different factors, concerning physical process and modeling approaches, was analyzed by gradually increasing the complexity of the model. The analysis included the axial power profile along the core, the relative velocities between phases, the buoyancy force due to sublooled density changes, the flashing effect, the core dynamic and the pressure feedback due to self-pressurization.

The dynamic non-linear effects were studied in unstable conditions, by means of a time-domain approach. The main non-linear sources were identified: the riser limits, and the existence of multiple boiling boundary positions. The effect of core dynamic and pressure feedback in the limit-cycle was analyzed for the growing oscillations: the oscillations always remained around 1% in nominal conditions.

The self-pressurization behavior was studied during a partial reduction in the Steam Generators removal power, using the developed model and RELAP code, with two alternatives for the steam dome nodalization. Good agreement between the models was observed. A parametric study was performed in order to analyze the dependence of pressure evolution with different boiling and condensation processes, special attention was paid to the dome zone.

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INDICE

Capítulo I – Introducción 1 1. Dinámica de reactores 2 2. Reactores integrados, autopresurizados, refrigerados por convección natural 3 3. Auto-presurización 4 4. Convección natural 5 5. Inestabilidades 5 6. Opciones para el modelado de sistemas termohidráulicos 7 6.1 Dominio de las frecuencias 7 6.2 Dominio de tiempo 8 7. Motivación 9 8. Objetivos 10 Capítulo II - Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural

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1. Modelo teórico 12 1.1 Modelo de circuito primario 13 1.2 Modelo para la auto-presurización 17 1.2.1 Modelo hidrodinámico 18 1.2.2 Estructuras de domo 20 1.3 Modelo de núcleo 22 1.3.1 Dinámica de combustible 22 1.3.2 Cinética de Núcleo 24 2. Solución Numérica 25 2.1 Discretización numérica 25 2.2 Cálculo de densidad en un nodo 29 2.3 Integración del esquema numérico 30 2.4 Difusión de frentes de entalpías por el esquema discreto 32 2.5 Nodalización adaptiva 34 3. Modelo para el análisis de estabilidad lineal 37 Capítulo III - Estabilidad Termohidráulica 40 1. Principios básicos 41 2. Modelo simplificado 42 3. Comparación con un modelo analítico 47 4. Análisis de estabilidad según el modelo numérico 50 Capítulo IV - Análisis de Estabilidad Lineal 55 1. Caso base 56 2. Potencia no uniforme 57 3. Drift-flux 58 4. Cambios de densidad en simple fase 59 5. Corrección de presión con altura hidrostática 60 6. Dinámica de núcleo 65 7. Realimentación de presión 72 Capítulo V - Aspectos de Estabilidad no Lineal 75 1. Potencia y presión constantes 76

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2. Dinámica de núcleo 81 3. Realimentación de presión 90 4. Conclusiones 91 Capítulo VI - Análisis de convergencia 92 1. Convergencia del modelo lineal 93 1.1 Verificación del esquema de linealización 93 1.2 Caso testigo 95 1.3 Caso de aplicación 98 2. Convergencia del modelo no lineal 103 Capítulo VII - Comportamiento de la auto-presurización 108 1. Introducción 109 2. Nodalización Relap 109 3. Descripción del transitorio a simular 110 4. Casos de estudio 111 5. Resultados 112 5.1 Caso Base 112 5.2 Estructuras 116 5.3 Sumidero de calor 118 5.4 Ebullición subenfriada 120 6. Conclusiones 125 Capítulo VIII – Conclusiones 126 Contexto y aportes de la tesis 133 Nomenclatura 135 Referencias 137 Apéndice 141

CAPITULO I

Introducción

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1. Dinámica de reactores La dinámica de reactores y su comportamiento ante transitorios es un importante

campo de estudio tanto en áreas de control de la planta como de seguridad.

En ambas áreas resulta primordial el conocimiento de la naturaleza intrínseca de la planta. Esto normalmente se realiza mediante un modelo físico-matemático, sobre el cual se suelen tomar aproximaciones o hipótesis de modelado de diferente tipo (por ejemplo, la aproximación de flujo unidimensional). Así se obtiene un conjunto de ecuaciones de balance que rigen el comportamiento del sistema idealizado, que intenta capturar la naturaleza inherente de la planta. El requerimiento sobre las distintas capacidades de los modelos varía de acuerdo a las aplicaciones.

En el análisis de seguridad de la planta, estos modelos se utilizan para la simulación de situaciones anormales o accidentales. Dado que se desean obtener resultados en el dominio de tiempo, deben resolverse sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales, los cuales salvo situaciones muy ideales no tienen solución analítica, por lo cual deben aplicarse métodos numéricos. Con ellos, se licencian los diversos sistemas de seguridad, que deberán asegurar principalmente la continuidad de la refrigeración del núcleo en todas las situaciones accidentales que son base de diseño, siendo éste un requerimiento ineludible para permitir el funcionamiento de cualquier central. En general, la simulación de accidentes requiere la capacidad de modelar gran cantidad de sistemas en situaciones diversas. Luego, los modelos derivan en códigos de detalle, que incorporan gran cantidad de correlaciones que deben verificarse experimentalmente.

También es objetivo del análisis dinámico el diseño del sistema de control basado en el comportamiento físico de la misma planta. La teoría clásica de control se basa en el comportamiento lineal de los sistemas alrededor de los estados operativos. Sin embargo, esto acota los alcances de los modelos. En general, se utilizan modelos muy sencillos que puedan ser fácilmente linealizados, para el diseño de los sistemas de control, que frecuentemente pueden resolverse en forma analítica. Luego son verificados con códigos de detalle.

Otra área es la del análisis de estabilidad del sistema, lo que es particularmente importante en sistemas donde ocurre ebullición. Es bien sabido que los sistemas en ebullición pueden resultar inestables en condiciones particulares, debido a la dinámica de dos fases. El fenómeno de instabilidades es complejo, depende de fuertes acoples del sistema neutrónico-termohidrálico y de la propagación de perturbaciones muy pequeñas que no deben ser desatendidas. Este problema ha sido ampliamente estudiado en reactores clásicos tipo BWR; March-Leuba y Rey (1993) y D’Auria et al. (1997) realizaron un relevamiento del estado del arte sobre el tema de inestabilidades en reactores tipo BWR. También se han realizado algunos estudios en configuraciones correspondientes a reactores tipo PWR, durante episodios de pérdida de refrigerante (Almenas K., 1991).

Por otro lado, la actual corriente de reactores nucleares avanzados busca la simplificación de los diseños. Con esta estrategia se pretende obtener una mayor confiabilidad del sistema, reemplazando sistemas activos por mecanismos que hacen uso de principios físicos, denominados pasivos. Esta modalidad permite buscar soluciones que minimicen la complejidad de la planta, y es la principal ventaja que

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ofrecen los diseños innovadores. En particular interesa estudiar la dinámica de reactores que hacen uso de la convección natural en condiciones de autopresurización.

2. Reactores integrados, autopresurizados, refrigerados por convección natural

En el presente trabajo, se toma como referencia el reactor CAREM 25 (Delmastro et al., 2001; Giménez et al., 2001, 2003; IAEA, 2004). Las principales características en este diseño, pueden describirse brevemente de la siguiente manera:

Es un reactor integrado. Todos los componentes del sistema primario se incluyen en un mismo recipiente de presión.

Es autopresurizado. No existen componentes activos para el control de presión en forma directa, sino que éste se lleva a cabo mediante desbalances de potencia en el circuito primario.

Refrigerado por convección natural. El caudal del circuito primario se establece debido a la diferencia de altura entre la fuente de calor (núcleo) y el sumidero (generadores de vapor).

La Figura I.1 muestra un esquema del sistema primario. El recipiente de presión contiene el núcleo, los generadores de vapor, la totalidad del refrigerante de primario y los mecanismos de las barras de control.

Figura I.1: Diagrama del sistema primario del CAREM-25

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El refrigerante, luego de extraer el calor del núcleo del reactor ingresa a la chimenea, confinado por un contenedor. Luego se dirige a la región anular que se encuentra entre el recipiente de presión y el contenedor, atravesando ventanas dispuestas a tal fin. Allí ingresa a los generadores de vapor, donde transfiere el calor al sistema secundario, para dirigirse finalmente al núcleo, a través del downcomer y plenum inferior.

Los generadores de vapor son de tipo helicoidales, de un solo paso, equidistantes entre sí en el espacio anular. La diferencia de altura entre el núcleo y los generadores de vapor genera la fuerza boyante necesaria para la circulación del refrigerante por convección natural.

Los mecanismos de las barras de control se accionan hidráulicamente, y se encuentran dentro del recipiente de presión, en el domo superior. Esto elimina la posibilidad de un accidente de inserción de reactividad por la eyección incontrolada de una barra.

La autopresurización se logra por medio de una zona de vapor en el domo superior. En esa zona, líquido y vapor deben encontrarse en equilibrio térmico. Luego, el control de presión se lleva a cabo mediante desbalances entre la potencia generada en el núcleo y la removida en los generadores de vapor.

Estas particularidades hacen que el comportamiento de este reactor difiera de los reactores clásicos. La motivación de la presente tesis es el estudio del impacto en la dinámica y estabilidad de las diversas fenomenologías presentes en este diseño.

3. Auto-presurización En el concepto CAREM, el control de presión se lleva a cabo mediante

desbalances de potencia en el circuito primario. Esto evita la utilización de componentes activos para el control en forma directa, como calentadores y duchas. Para que esto sea posible, las fases líquido y vapor en la zona del domo deben estar termodinámicamente acopladas, lo cual se logra manteniendo ambas fases en equilibrio térmico, es decir que la chimenea y el domo se encuentran muy cerca de la temperatura de saturación. El vapor en el domo condensa en las superficies de las estructuras más frías: el recipiente de presión, debido a las pérdidas de calor hacia la contención, y los mecanismos de las barras de control, debido que éstos se alimentan con agua subenfriada.

En estado estacionario el vapor condensado debe compensarse con generación de vapor, que se produce a lo largo de la rama caliente –núcleo y chimenea–. Esta condición, junto con la convección natural, distingue el comportamiento particular de este reactor con los llamados “reactores clásicos”: en algunos aspectos este trabaja como un PWR y en otros como un BWR, ya que se espera que ocurra ebullición a lo largo de la rama caliente. Por otra parte, esta situación asegura una notable estabilidad en cuanto a las respuestas de la presión del sistema ante transitorios.

La auto-presurización, junto con los coeficientes de reactividad negativos y el gran inventario de refrigerante en el circuito primario aseguran el control con un mínimo movimiento de las barras. La dinámica intrínseca del domo, regida por los regímenes de evaporación y condensación, en conjunto con el transporte de vapor en la chimenea, juegan un papel preponderante en determinar las características de dicho control.

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4. Convección natural La circulación del refrigerante es el resultado de la acción de la fuerza boyante,

que se origina por las diferencias de densidad inducidas por el transporte de calor desde la fuente (núcleo) hacia el sumidero (generadores de vapor). La ubicación de los generadores de vapor por encima del nivel de núcleo asegura la circulación en esta dirección.

La principal ventaja de la circulación natural es que la función de trasporte de calor se logra sin la necesidad de bombas. La ausencia de partes móviles para generar la fuerza motriz del caudal hace al sistema menos vulnerable a fallas, reduciendo tanto los costos de operación y mantenimiento como la probabilidad de incidentes. De esta forma se extiende la seguridad pasiva al eliminar las bombas de primario.

Debido a esto los circuitos de circulación natural se encuentran tanto en la industria nuclear como en aplicaciones convencionales. Entre estas últimas pueden mencionarse los colectores de energía solar, sistemas pasivos de calefacción o refrigeración, extracción de potencia geotérmica, refrigeración de motores, etc.

En la industria nuclear, la circulación natural es un importante mecanismo de remoción de calor. En los reactores clásicos, se utiliza desde hace tiempo en la operación normal de generadores de vapor, en el lado secundario. A partir del accidente de TMI-2, se realizaron una gran cantidad de estudios experimentales y analíticos concentrando la atención en la performance y comportamiento de los reactores durante episodios de pérdida de refrigerante pequeños. La convección natural se ha identificado como un importante modo de extracción de calor de decaimiento en estas condiciones (D’Auria F. y Frogheri M., 2002; Duffey R.B. 1987), motivo por el cual se ha introducido en casi todos los diseños de nueva generación. Actualmente existen, además de CAREM-25, varios diseños innovadores que proponen este mecanismo en condiciones normales de operación (ESBWR, SBWR) (Shiralkar et al., 1993; Arnold et al., 1997). Esto asegura, además de las mejoras en aspectos de seguridad, una mejor distribución de caudales entre canales y una mejor respuesta del caudal ante cambios de potencia, ya que el caudal aumenta cuando ésta es incrementada, a diferencia del caso de circulación forzada donde la tendencia es la inversa.

En el caso de los BWR, el diseño de la circulación natural implica reducir las pérdidas de carga en el núcleo bajando la densidad de potencia, lo que origina núcleos más grandes. La fuerza boyante se maximiza aumentando los títulos a la salida del núcleo y aumentando la longitud de las chimeneas.

En el caso de CAREM-25, si bien se esperan títulos muy bajos en chimenea, está diseñado para funcionar en convección natural en simple fase. La fuerza boyante requerida resulta en su mayor parte de los cambios de densidad en simple fase. Este hecho, sumado al hecho de incorporar los generadores de vapor dentro del RPV, resulta en una chimenea mayor en relación a los BWRs.

5. Inestabilidades En una primera aproximación, la estabilidad de un sistema puede definirse de

acuerdo a su comportamiento frente a una pequeña perturbación, cuando se encuentra en estado estacionario. Si el mismo vuelve al estado original, es estable. Por el contrario, si se estabiliza en un nuevo estado estacionario u oscila con amplitud creciente el sistema se considera inestable.

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La inestabilidad es indeseable, ya que cuando se sostiene en el tiempo puede causar diversas complicaciones, como problemas derivados de la vibración mecánica de componentes, perturbar el sistema de control y causar problemas operacionales, o llevar a la ocurrencia del flujo crítico de calor (CHF) causando a su vez la rotura de combustibles. Las oscilaciones de potencia pueden llegar al 100% (Galer R.R. y Jensen J., 1989).

Se han observado diferentes tipos de inestabilidades. En reactores tipo BWR, existen dos grandes grupos: oscilaciones “en fase”, donde el núcleo se comporta como un todo, y oscilaciones “fuera de fase” (Takigawa Y., et al, 1987), donde una parte de núcleo se comporta en forma diferente a la otra. Es decir, cuando la potencia aumenta en una parte del núcleo, se reduce en la otra de tal manera que la potencia total permanece aproximadamente constante (March-Leuba, 1993; Nayak, 2000). Estas últimas ocurren en núcleos relativamente grandes y son dependientes de la existencia de canales de ebullición.

Los sistemas de convección natural son más susceptibles a inestabilidades. Aunque el fenómeno es común también a sistemas de convección forzada, el caso de convección natural es inherentemente más inestable debido al fuerte acople entre el caudal y la fuerza boyante: cualquier perturbación en la fuerza boyante afecta el caudal, que a su vez afectará la fuerza boyante, dando a lugar a comportamientos oscilatorios e inestabilidades en situaciones que no se dan en sistemas de convección forzada.

Fukuda K y Kobori (1979) clasificaron las inestabilidades como “tipo I” y “tipo II” a aquellas que ocurren a bajos o altos títulos, respectivamente. Las oscilaciones de tipo II son las más comunes en reactores tipo BWR clásicos, y están dominadas por el efecto de las fricciones en doble fase. Las oscilaciones de tipo I, por otra parte, aparecen cuando existe una chimenea luego de la zona calefaccionada, y están dominadas por el efecto de la fuerza boyante, lo cual las vuelve importantes en sistemas de convección natural.

En la última década, la aparición de nuevos conceptos de reactores BWR en convección natural ha hecho tomar especial interés el estudio de inestabilidades de tipo I. Estas han sido observadas en facilidades experimentales (Kyung and Lee, 1994), reportándose también en el reactor de Dodewaard (Van Der Hagen et al., 1997, 2000). También se han realizado análisis teóricos sobre estas inestabilidades (Van Braga y Van Der Hagen, 1998a,b; Nayak A.K. et al, 2002) y se ha anunciado un conjunto de estudios experimentales, concebidos para servir como base de datos para validaciones futuras (Kruijf et al., 2003).

Entre la gama de oscilaciones de tipo I, se ha identificado el proceso de inicio de ebullición como un efecto importante, dado que introduce una perturbación significativa en la densidad y por lo tanto en la fuerza boyante, inestabilizando el sistema. Entre ellas encontramos fenómenos como “geysering” y “flashing”. Los dos fenómenos ocurren en circuitos de convección natural con largas chimeneas.

El “geisering” se observa en sistemas de muy baja presión y caudal. El proceso es descrito por Aritomi (1993), y está relacionado con la formación de grandes burbujas de vapor en configuración de canales, que obstruyen toda el área de pasaje de los mismos. Cuando estas burbujas toman contacto con el líquido subenfriado de la chimenea, condensan rápidamente, disminuyendo la fuerza boyante y el caudal, provocando nuevamente ebullición y el fenómeno se repite. Este tipo de oscilaciones son fuertemente tridimensionales y se dan en condiciones de no equilibrio; ambos

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factores dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. El fenómeno desaparece al aumentar el caudal.

El “flashing” ocurre debido al la disminución de la presión hidrostática con la altura a lo largo de la chimenea, lo que causa que el líquido llegue a saturación en la misma, causando su evaporación. Este fenómeno se da en equilibrio entre fases y no se produce condensación durante el proceso. El “flashing” ha sido identificado como “clave” en condiciones de bajo título (Van Bragt D. et al, 2002; Inada F. et al, 2000) y se observa en un amplio rango de caudales.

En particular, en reactores nucleares la generación de potencia está directamente relacionada con el flujo de neutrones, el cual se ve afectado con los cambios de temperatura o densidad de combustibles y refrigerante. Esto genera un acople entre la dinámica de la temperatura de combustible, de la termohidráulica del reactor y de la neutrónica. El efecto que esto genera sobre las inestabilidades depende de la sensibilidad de estos acoples, los retrasos que se producen en la realimentación y las frecuencias características de las oscilaciones.

En el caso de CAREM, a diferencia de los reactores tipo BWR no existen canales en el núcleo, sino que se propicia el proceso de mezclado en esta zona. Esto hace poco probable la existencia de fenómenos particulares como las oscilaciones fuera de fase, ya que además el núcleo es relativamente pequeño en relación a la chimenea, o el geisering, que requiere también presiones y caudales relativamente más bajos. Sin embargo, de los estudios realizados en configuraciones tipo BWR pueden inferirse posibles causas de inestabilidades: la combinación de convección natural, bajos títulos y la presencia de una chimenea relativamente larga hacen que este reactor sea susceptible a oscilaciones en fase de tipo I, en tanto que los cambios de presión hidrostática a lo largo de la chimenea pueden ocasionar flashing. Resulta entonces de interés el estudio de estas inestabilidades, como así también la influencia que puedan tener los acoples de la auto-presurización y la realimentación neutrónica.

6. Opciones para el modelado de sistemas termohidráulicos Los problemas concernientes al comportamiento de sistemas en simple y doble

fase son a menudo muy complejos, y requieren el uso de códigos termohidráulicos para su análisis. Para este efecto, se han desarrollado diferentes modelos. La gran mayoría son códigos unidimensionales. A la fecha no existen códigos tridimensionales con suficiente madurez para simular la dinámica turbulenta de dos fases en tres dimensiones. Estos últimos se adoptan como complemento de los primeros para el estudio de áreas específicas en simple fase (IAEA 2003).

Para el estudio de la dinámica reactores nucleares se suelen adoptar dos tipos de modelos, según sea su solución en el dominio de tiempo o en el de las frecuencias.

6.1 Dominio de las frecuencias Estos modelos surgieron casi exclusivamente para el análisis de estabilidad de

sistemas, y encaran el problema en forma analítica. Para ello se linealizan las ecuaciones alrededor de un estado estacionario para resolverlas por medio de la trasformada de Laplace (Wallis and Heasley, 1961). Este análisis se conoce como “estabilidad lineal”. Los resultados se obtienen en el campo de las frecuencias. Muchos códigos fueron desarrollados mediante este método (Peng et al., 1984; D’Auria et al., 1997). Debido a la complejidad de las formulaciones matemáticas, se adoptan modelos

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simplificados: por ejemplo, se evitan los modelos de dos fluidos, el efecto de distribución de presión y propiedades de saturación usualmente se desprecia, y en algunos casos, se modela solamente la región del núcleo, con condiciones de contorno a la entrada y a la salida. Estas herramientas se utilizaron históricamente para construir los mapas de estabilidad para las configuraciones más comunes de los reactores tipo BWR.

La principal ventaja de estos métodos es la precisión y eficiencia con que se resuelven las ecuaciones teóricas. Éstos permiten una visualización rápida de la estabilidad del sistema linealizado de una manera muy simple, evitando un análisis exhaustivo de todos los transitorios posibles en el dominio de tiempo. Sin embargo, el rango de aplicación de estos modelos y la precisión de sus predicciones está condicionada por las simplificaciones y está limitada a pequeñas perturbaciones. Por otra parte, los métodos de linealización limitan el rango de aplicación, ya que no pueden utilizarse para predecir el comportamiento temporal del sistema cuando éste se hace inestable; a su vez en la linealización se pierden todos los efectos no lineales, responsables de una variedad importante de fenómenos, como ciclos límite y las bifurcaciones subcríticas.

6.2 Dominio de tiempo Los códigos en el dominio del tiempo tienen menos limitaciones teóricas, dado

que las ecuaciones diferenciales se resuelven en forma numérica sin linealizarlas, por lo que no es necesario evitar las no linealidades, existiendo entonces la posibilidad de extender el rango de aplicación de diferentes fenómenos físicos. Sin embargo, aparecen incertezas numéricas que requieren especial atención.

Tradicionalmente, la mayoría de los códigos convencionales para la simulación de transitorios utilizan esquemas numéricos que introducen una gran difusión artificial (Mahaffy, 1993). Los eventos relacionados con la estabilidad son iniciados por perturbaciones muy pequeñas, que usualmente se amortiguan como resultado de dicha difusión numérica. Sin embargo, este problema no es significativo en la mayoría de los problemas de aplicación para estos códigos, normalmente accidentes o transitorios operacionales, condiciones bajo las cuales han sido validados. En estos casos, se generan transiciones del estado de operación dominadas por términos fuente en las ecuaciones de balance, como la presión introducida por una bomba o la transferencia de calor al refrigerante, por ejemplo. El fenómeno difusión de pequeñas perturbaciones pasa desapercibido, haciéndose poco importante en estos problemas.

Esto ha motivado a realizar esfuerzos en reducir la difusión numérica en códigos en el dominio de tiempo, y permitir el análisis de estabilidad no-lineal (Takigawa y Takeuchi, 1987; Paulsen M. et al, 1992). Los códigos de detalle, sin embargo, se han vuelto tanto más complejos a medida que se aumentan problemas y situaciones que el código es capaz de resolver. Como alternativa, en muchos casos se adoptan modelos simplificados, denominados “fenomenológicos” o de “bajo orden”, que permiten estudiar la naturaleza básica de los efectos no-lineales, no tenidos en cuenta en los códigos lineales (Clausse A. et al, 1990; Karve et al., 1997; Van Brag et al., 1999). Los modelos de bajo orden son muy apropiados para el estudio paramétrico de sistemas.

Algunos códigos de detalle también se mejoraron para considerar problemas de estabilidad (Paulsen et al., 1992), mostrando en algunos casos un buen acuerdo con experimentos (Cheung y Klebanov, 2001).

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7. Motivación En sistemas complejos como reactores, existe una gran superposición de

fenómenos físicos de diferente naturaleza, que en la mayoría de los casos presentan acoples no-lineales. Consecuentemente, los resultados de las simulaciones son sensibles a las hipótesis de modelado y a los esquemas numéricos utilizados para obtener soluciones de los modelos. Esto es particularmente relevante en reactores cuyo funcionamiento depende fuertemente de la naturaleza intrínseca de estos fenómenos. A esto se suman incertezas de diferente tipo, algunas relacionadas por ejemplo con correlaciones medidas en experimentos, como el caso de la transferencia de calor. Además existen incertidumbres con geometrías cuya disposición final no se encuentra disponible en etapas tempranas de diseño. Un aspecto interesante a analizar es el estudio de esta superposición de fenómenos, en particular aquellos que están presentes en el concepto CAREM.

El caso de la auto-presurización es de particular interés por ser un aspecto distintivo de este diseño. A diferencia de los reactores clásicos, en el CAREM los fenómenos de condensación y ebullición intrínsecos cobran importancia. El domo superior del reactor se vuelve entonces un componente crítico desde el punto de vista dinámico, dado que allí es donde ocurren gran parte de estos mecanismos. A esto se suma el hecho que éste es un volumen relativamente grande, donde los movimientos del fluido no están claramente predefinidos, lo cual ocasiona inconvenientes cuando se utilizan códigos 1-D, ya que estos son desarrollados para reproducir situaciones donde los caminos del flujo están predeterminados. Resulta entonces de interés el estudio de todos estos aspectos, y de qué modo afectan la evolución de los transitorios.

En el campo del análisis de inestabilidades, la sensibilidad de los resultados a diferentes factores es un importante objeto de estudio en los modelos tanto lineales como en el dominio de tiempo: en los primeros, la extensión de los modelos a diferentes fenómenos físicos, y en los segundos, la adaptación de los esquemas numéricos que aproximen mejor las ecuaciones teóricas. Estos aspectos resultan entonces de particular interés.

Respecto de los modelos físicos, existen de diverso grado de detalle de acuerdo a los diferentes fenómenos que son tenidos en cuenta. Los más básicos son utilizados en modelos simplificados para obtener soluciones analíticas, en el caso de los modelos lineales, o para entender la naturaleza de las oscilaciones, en el caso de los modelos fenomenológicos. Por otra parte, existen aquellos que involucran fenomenologías específicas, como el flashing o la auto-presurización.

En cuanto a los aspectos numéricos, éstos son importantes fundamentalmente en el análisis de estabilidad. Pueden resumirse en dos grupos: los métodos numéricos que se utilizan para la discretización de las ecuaciones de balance en espacio y tiempo, y la nodalización empleada en las predicciones. Este último ha sido identificado como un factor clave en códigos convencionales (Vijayan P.K. et al, 1995), dado que la nodalización afecta en gran medida las predicciones. Luego, los temas que interesa estudiar son, por una parte, si existen métodos de integración que sean preferibles frente a otros (por ejemplo, métodos explícitios, implícitos o una combinación de ambos), y la posibilidad de una nodalización óptima para la predicción de problemas de estabilidad.

En el análisis de estabilidad, la linealización permite estudiar de manera rápida y directa el efecto de esquemas numéricos, nodalizaciones y modelos físicos cuando el sistema es estable; mientras que el esquema no lineal permite estudiar el

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comportamiento de sistemas inestables, como la amplitud de las oscilaciones. La combinación de ambas aproximaciones resulta entonces una metodología atractiva para un análisis completo.

Todos estos aspectos se potencian aún más si su aplicación es en un análisis integral del sistema primario de un reactor con importantes características innovadoras.

8. Objetivos El objetivo general de la tesis es contribuir en el avance del modelado y

conocimiento de la dinámica reactores auto-presurizados en convección natural, con principal aporte al concepto CAREM. Para ello se desarrollará un modelo que permita el análisis de la superposición de fenómenos en la dinámica del reactor. Para esto, es necesario disponer de una herramienta con la cual sea posible estudiarlos, de manera determinar el efecto que causa cada uno de ellos.

Los objetivos particulares son:

- Estudiar el comportamiento de la auto-presurización y la respuesta del sistema frente a desbalances de potencia, considerando especialmente los fenómenos intrínsecos de condensación y ebullición.

- Estudiar la influencia de diversos fenómenos físicos en la predicción de la estabilidad, determinar los modos de oscilación, amplificaciones y frecuencias características de oscilaciones.

- Estudiar la dinámica de las oscilaciones cuando el sistema es inestable. Identificar los factores no lineales que limitan la amplitud de oscilaciones y sus respectivos ciclos límite.

- Estudiar aspectos numéricos que influyen en el análisis de estabilidad, tanto aquellos referentes a criterios de nodalización como a esquemas de integración.

- Desarrollar un código que combine las facilidades del análisis lineal en el dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de los comportamientos no lineales en el dominio de tiempo. El mismo deberá ser suficientemente flexible para el análisis del efecto de esquemas numéricos, nodalizaciones y modelos físicos, como así también el comportamiento no lineal cuando el sistema es inestable o se aparta de su condición inicial.

CAPITULO II

Modelo dinámico para reactores integrados autopresurizados de convección natural


12

1. Modelo teórico Como se mencionó, el objetivo general de la tesis es contribuir en el avance del

modelado y conocimiento de la dinámica reactores auto-presurizados en convección natural. En estos sistemas complejos, existe una gran superposición de fenómenos físicos, particularmente cuando su funcionamiento depende fuertemente de la naturaleza intrínseca de estos fenómenos. Esto hace que los resultados de las simulaciones sean sensibles tanto a las hipótesis de modelado como a los esquemas numéricos utilizados para obtener soluciones de los modelos. Por lo tanto es importante disponer de un modelo que permita la evaluación del impacto de estos factores en la dinámica del reactor.

El código desarrollado incluye el modelado del circuito refrigerante y el domo, de acuerdo a las leyes de conservación de masa, energía y momento y el modelado térmico del núcleo, teniendo en cuenta las realimentaciones neutrónicas de potencia.

Se toma como punto de partida los lineamientos del modelo desarrollado en Zanocco P. (1998a), que fue inicialmente desarrollado para modelar la dinámica del reactor durante desbalances térmicos. La utilización de un código propio permite realizar modificaciones para analizar diferentes modelos e hipótesis simplificativas. Aprovechando esta ventaja, el código es re-estructurado incluyendo y mejorando tanto modelos específicos como el esquema de resolución numérica.

Para la resolución de las ecuaciones, se realizan las siguientes hipótesis:

� Flujo unidimensional.

Se modela sólo una coordenada espacial y se toma en sentido de la circulación del fluido. Esta hipótesis es válida en todas las zonas donde existe una dirección preferencial bien definida de circulación. Existen al menos dos zonas particularmente difíciles de modelar bajo esta hipótesis, que son el plenum inferior y la zona de mezcla del domo.

Este último se modela como un volumen donde se promedian las propiedades del fluido; esta aproximación probablemente no esté lejos de la realidad, debido a que se espera un buen mezclado en esta zona, promovido por los procesos de ebullición y condensación. En cuanto al plenum inferior, es de esperar que allí se produzcan procesos de difusión de los frentes de entalpía originados en los Generadores de Vapor (GV), lo cual podría ser importante en el análisis de estabilidad. Sin embargo, dicha difusión es difícil de evaluar porque depende de patrones turbulentos en una geometría fuertemente tridimensional. Dado que la propagación de estos frentes es la principal causa de inestabilidades, para un análisis conservativo de la estabilidad se considera que esta difusión de frentes es muy pequeña o no existe.

� Modelo de “drift-flux” en equilibrio para las dos fases en el circuito primario.

El modelo de drift-flux se elige por su simplicidad, y porque mantiene en gran medida las capacidades de códigos basados en modelos de dos fluidos y datos experimentales. De hecho, muchos códigos basados en el modelo de dos fluidos tienen relaciones constitutivas que se derivan del modelo de drift-flux, debido a que el problema de cierre de las ecuaciones de balance es más simple en este caso, y sus coeficientes son fácilmente deducibles de experimentos. Además, la integración de cuatro ecuaciones requiere menos recursos que el caso de seis ecuaciones. El modelo de drift-flux está especialmente bien adaptado para predecir la propagación de


13

perturbaciones térmicas y cinemáticas, que es precisamente uno de los objetivos de este trabajo. Ha demostrado también capacidad para simular oscilaciones de flujo y potencia de gran amplitud y predecir ciclos límite. (Wulff, 1993).

� Modelo de flujo estratificado en no-equilibrio para las dos fases en el domo

El domo de vapor es un componente donde las fases líquido y vapor se mueven en diferentes direcciones: la fase de vapor naturalmente se acumulará en la zona más alta del sistema primario, permaneciendo estanca; por lo tanto, se espera que el fluido se estratifique en esta zona. Debido a la auto-presurización, el modelado correcto de la interacción entre fases es importante para regímenes de baja condensación, para lo cual se incluye un modelo de no equilibrio.

� Presión dependiente sólo del tiempo y de la altura hidrostática, en lo que refiere al cálculo de propiedades de saturación del fluido.

La influencia del cambio de presión debido a la fricción se desprecia en este caso. Esto es en general válido en circuitos de convección natural a bajos títulos, ya que la relación de los cambios de presión por altura son mucho más grandes que los debidos a fricciones. Esto es cierto en el caso de CAREM, donde la relación entre ambos términos es de un orden de magnitud, y en particular en la chimenea, donde la misma llega a dos órdenes de magnitud.

� No existe arrastre de burbujas (carry-under) a la salida del domo hacia los GV.

Debido a la localización de los GV, en el volumen anular externo del recipiente de presión, se presenta un gran área de pasaje en la entrada a los mismos. Esto resulta en una baja velocidad del fluido en esta zona, por lo que no se espera que exista arrastre de burbujas.

� Modelo de cinética puntual para la potencia generada en el núcleo.

El núcleo es relativamente pequeño respecto de otros reactores de potencia. Por otra parte, el tiempo de residencia del fluido en el nucleo es pequeño respecto al de chimenea, menor que un reactor BWR clásico por ejemplo. Por otra parte, la ausencia de canales separados impiden la posibilidad de oscilaciones tipo “fuera de fase”, que es el caso donde el comportamiento no uniforme del núcleo puede ser importante. Consecuentemente, la hipótesis de cinética puntual se considera como una buena aproximación.

1.1 Modelo del circuito de primario El modelo para el circuito refrigerante que se desarrolla en este trabajo es

unidimensional. Se asume que ambas fases se comportan como una mezcla, con propiedades que responden a promedios pesados de las mismas. Este modelo requiere la hipótesis de equilibrio termodinámico entre fases. Para introducir la velocidad relativa entre fases se utiliza el método de drift-flux. Resulta un modelo de cuatro ecuaciones, consistentes en los balances de masa, energía y momento para la mezcla, más modelos semi-empíricos para la velocidad relativa entre fases en función de dos parámetros dependientes del régimen de flujo: la velocidad de “drift” y un parámetro de distribución del flujo (Wallis G.B., 1969).

Para obtener las entalpías del circuito, se resuelve la ecuación de energía:


14

( ) ( )tP

Aq

zAhG

Ath

∂∂+=

∂∂+

∂∂ 'ˆ1ρ (II.1)

donde ρ es la densidad, A es el área de pasaje, G es el flujo másico, q’ es la potencia lineal transferida al refrigerante, P es la presión, z y t son las variables independientes de espacio y tiempo. Allí se definen dos tipos de entalpías:

� Entalpía “media”:

ffg hxhh += * (II.2)

donde x es el título estático, que se define como la relación de masa de vapor a masa total en un determinado volumen, los subíndices f y g significan líquido y vapor saturados, respectivamente.

� Entalpía “de mezcla”:

fdfg hxhh += *ˆ (II.3)

siendo xd el título dinámico, que se define como la relación de caudal de vapor a caudal total en un determinado volumen.

Desarrollando los términos y aplicando conservación de masa, se obtiene la expresión utilizada en este trabajo:

( ) ( )tP

Aq

zGA

Ah

zAhG

Ath

∂∂+=

∂∂−

∂∂+

∂∂ 'ˆ1ρ (II.4)

La fracción de vacío α se relaciona con el título estático de la siguiente manera:

f

g

x ρρα

−+=

111

1 (II.5)

El título dinámico se calcula en función de α :

S

x

g

fd

ρρ

α

−+=

111

1 (II.6)

donde S es el “slip”, definido como la relación de velocidades de vapor y líquido promediadas de la siguiente manera:

( )( )

αα

αα −−

= 11 f

g

u

uS (II.7)


15

donde ug y uf son velocidades de vapor y líquido respectivamente, el operador “‹ ›” indica que la propiedad está promediada en el área. S se obtiene a partir de las correlaciones de drift-flux, para ello utilizamos la ecuación de Zuber N. y Findlay J.A. (1965):

gj

g

ujC

j~

0 +=α (II.8)

donde j es la velocidad superficial, ũgj y C0 son los parámetros de “drift-flux”. Para el caso de circuitos de agua a alta presión:

41

241.1~

∆=f

gjguρ

ρσ ; C0 = 1.13 (II.9)

donde σ es la tensión superficial interfacial, g es la aceleración de la gravedad, ∆ρ es la diferencia de densidades de líquido y vapor saturados.

A partir de las ecuaciones (II.7) y (II.8), y teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

gg uj α= ; ( ) ff uj α−= 1 ; fg jjj +=

( ) Guu ggff =+− ραρα1 (II.10)

se deduce la siguiente expresión para S:

( ) ( ) αραρ

αggj

fgj

uGCuGC

S ~1

~1

0

0

−−+

−= (II.11)

Puede observarse que si C0 = 1 y ũgj = 0 (caso homogéneo), S = 1.

Ahora tenemos un sistema cerrado para obtener ĥ a partir de h; es decir que en este esquema h es la “variable de estado” (a integrar en el tiempo), mientras que ĥ es la variable auxiliar. Primero se calcula x utilizando la expresión (II.2), luego se obtiene α, (II.5), y con ella S (II.11); con estas últimas dos, se obtiene xd (II.6), y con ella ĥ (II.3). Esto puede resumirse en el esquema de la Figura II.1.

h x α

S

xd ĥ

Figura II.1: Esquema de resolución del modelo de “drift-flux”


16

Para obtener el caudal debido a la fuerza boyante, que establece la circulación natural, deben resolverse las ecuaciones de masa y momento. Para resolver espacialmente los flujos másicos de todo el circuito, se plantea la ecuación de conservación de la masa:

01 =∂

∂+∂∂

zGA

Atρ (II.12)

Por otra parte, la relación del caudal con los gradientes de presión está dada por la ecuación de momento:

( )zP

zPg

zG

tG

fric ∂∂−

∂∂−−=

∂∂+

∂∂ θρρ cos/2

(II.13)

siendo θ el ángulo de la dirección del fluido respecto de la vertical. Esta ecuación se resuelve bajo la hipótesis de velocidad sónica infinita; es decir,

no se modelan las propagaciones de ondas de presión, sino que se asume éstas se propagan instantáneamente en todo el circuito. De esta forma, se eliminan los efectos sónicos del sistema. Este procedimiento reduce en gran medida el costo computacional en la integración numérica de la ecuación (II.13), además de reducirse la disipación numérica al eliminarse la necesidad de discretización espacial de esta ecuación.

Se asume que el circuito está conformado por tramos de área de pasaje constante, con cambios de área abruptos entre tramos. Los términos de fricción distribuida se calculan internamente utilizando el coeficiente de fricción para flujos turbulentos en conductos (White F.M., 1994), mientras que los que corresponden a fricciones localizadas se proveen externamente. La fracción de vacío, si la hubiera, se considera la misma a la entrada y a la salida de cada cambio de área para los cálculos de pérdidas de carga.

Bajo estas hipótesis, la ecuación (II.13) puede integrarse a lo largo del circuito, resultando:

( )( )∑

∑∫∫

−

−−+−

−

−

Φ−−=

s

e

f

d

g

d

l

f

AAxxG

GGKdz

DhGGf

dzgdtGd

11

12

22cos

ˆ

222

20

αραρ

ρρθρ

(II.14)

Donde f es el coeficiente de fricción, Φ2f0 es el multiplicador de dos fases, que

representa la relación de las pérdidas de carga en simple y doble fase, Dh es el diámetro hidráulico, K es el coeficiente de pérdida por fricción localizada, los subíndices l, e y s significan líquido, entrada y salida respectivamente. La variable Ĝ suele llamarse “momento total” del sistema, y se define como:

∫≡ GdzG (II.15)


17

El primer término a la derecha de la igualdad de la ecuación (II.14) corresponde a la fuerza boyante, el segundo a las pérdidas de carga por el efecto de las fricciones distribuídas, el tercero a las fricciones concentradas, y el último es el término de inercia por los cambios de área.

Las ecuaciones (II.12) y (II.14) permiten resolver el perfil de caudal a lo largo del circuito primario, de la siguiente forma. Integrando la ecuación (II.12) a lo largo del circuito, se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( )( )zA

zAzGdztzzA

zAzG

z )0()0('''10

==+∂

∂−= ∫ρ (II.16)

Reemplazando en la definición de momento total, ecuación (II.15), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ==+

∂∂−=

LL z

zAdzzAzGdzdz

tzzA

zAG

00

'

0 ''00'''''''

'1ˆ ρ (II.17)

donde L es la longitud del circuito. De aquí es posible despejar el caudal en z = 0:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫

∫ ∫

=

∂∂+

==L

L z

zAdzzA

dzdztzzA

zAG

zG

0

0

'

0

''0

''''''''

1ˆ

0

ρ

(II.18)

A partir de G(z=0), es posible calcular el perfil de caudales a lo largo del circuito mediante la ecuación (II.16).

Para cerrar el sistema, se agregan las ecuaciones de estado, de manera de obtener las densidades como función de las entalpías y presiones del sistema:

( )Ph,ρρ = (II.19)

1.2 Modelo para la auto-presurización Los desbalances de potencia en el sistema primario generan variaciones en el

nivel de líquido en el domo, lo cual modifica el espacio ocupado por el vapor y genera desequilibrios térmicos de esta fase con la fase líquida y con las estructuras. Debido a la auto-presurización, los intercambios de calor y masa con el vapor a partir de estos desequilibrios gobiernan la evolución de la presión del sistema.

El modelo consta de dos partes: un modelo hidrodinámico, donde se resuelve la derivada de la presión como función de los desbalances de potencia o de masa en el sistema, y un modelo de estructuras de domo, donde se resuelve la transferencia de calor con la zona de vapor.


18

1.2.1 Modelo hidrodinámico A fin de modelar los desequilibrios térmicos entre fases líquido y vapor en el

domo, se implementa un modelo de flujo estratificado fuera del equilibrio termodinámico.

Para esto, se divide este sector en dos zonas:

- una zona de “mezcla”, por debajo del pelo líquido, que comprende el líquido y vapor como fases continua y dispersa, respectivamente.

- una zona de “vapor”, por encima del pelo líquido.

El pelo líquido se modela como una frontera móvil entre ambas, lo que permite seguir sus movimientos en forma continua.

En ambas zonas se plantean las ecuaciones de balance de masa y energía:

� Ecuaciones de energía:

Zona de mezcla:

( ) ( ) ( ) LVpD

M

L

MMM QQdt

dPVdzzAzhdtdhV

dtd ∆+=−

+ ∫0

ρρ (II.20)

Vapor:

( ) LVVD

VVVV QQdt

dPVhVdtd ∆−=−ρ (II.21)

� Ecuaciones de masa:

Mezcla

( ) ( ) ( ) LV

L

MM WdzzAzdtdV

dtd ∆=

+ ∫0

ρρ (II.22)

Vapor

( ) LVVV WVdtd ∆−=ρ (II.23)

Los subíndices D, M y V significan domo, zona mezcla y zona vapor de domo respectivamente. Los términos ∆WLV y ∆QLV contienen los modelos de transferencia de masa y energía entre las fases líquida y vapor en el nivel de líquido en el domo. Estos incluyen ecuaciones para los caudales de vapor, de condensación de vapor por contacto con el pelo líquido, por subenfriamiento (Zanocco P., 1998a) y por contacto con estructuras, la cual será explicada en la sección II.0. Qp es la potencia neta que recibe el refrigerante a lo largo de todo el sistema primario excepto la zona de vapor en el domo, esta última representada por QV; la suma de estos términos debe ser cero en un estado estacionario.


19

Los balances en la zona de mezcla incluyen las ecuaciones de masa y energía integradas en todo el circuito, en lugar de la masa y energía intercambiadas entre el domo y el resto del circuito. De esta forma se mejora el comportamiento numérico al resolver casos en los que ocurre el fenómeno de “flashing”, o ebullición por despresurización. Como contrapartida, se requiere un proceso iterativo más costoso para asegurar la convergencia. Esto será explicado en la sección II.2.3.

Reacomodando estas ecuaciones de manera de expresarlas como función de las derivadas temporales de las variables de estado, VM, VV, PD y hM, se obtiene:

Ecuaciones de balance de energía:

Mezcla:

( ) ( ) 3124 IIhWhQQdt

dPVIhIdt

dhV MLVMLVpD

MMM

MM −+∆−∆+=−−+ρ (II.24)

Vapor:

( ) VLVVLVD

VV

VV QWhQdt

dPVdt

dhV −∆−∆−=−ρ (II.25)

Ecuaciones de balance de masa:

Mezcla

12 IWdt

dVdt

dhh

Vdt

dPIP

V LVM

MMM

MDM

M −∆=+∂

∂+

+∂

∂ ρρρ (II.26)

Vapor

LVM

VDV

VVV

V Wdt

dVdt

dPP

Vdt

dhh

V ∆−=−∂∂+

∂∂ ρρρ (II.27)

Donde se definen las integrales:

( ) ( )∫ ∂∂=

L

P

dzzAtzI

01ρ ( ) ( )∫ ∂

∂=L

dzzAPzI

02ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫

∂∂+

∂∂=

L

P

dzzAtzhz

tzzhI

03 ρρ ( ) ( ) ( )∫ ∂∂=

LdzzAzh

PzI

04ρ

(II.28)

A partir de las ecuaciones (II.24), (II.25), (II.26) y (II.27) es posible despejar las derivadas temporales de las incógnitas.

El perfil de presiones en la rama caliente se obtiene a partir de la presión del domo mediante una corrección por la altura hidrostática, de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )∫+= Dz

zD dztzgtPtzP 'cos,', θρ (II.29)


20

Esta presión se utiliza para el cálculo de las propiedades de saturación. Como se verá, esta corrección es importante cuando existe ebullición en la chimenea debido a la despresurización con la altura.

1.2.2 Estructuras de domo El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido

influye en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a la condensación de vapor. Es de esperar que el vapor en el domo condense en las superficies de las estructuras más frías, principalmente los mecanismos de las barras de control y el recipiente de presión.

El modelo que se propone tiene la característica de ser flexible en cuanto al modelado de las diferentes geometrías del domo, ya que su disposición final no se encuentra disponible en etapas tempranas de diseño. El mismo tiene, además, la capacidad de seguir las variaciones del nivel de líquido, evitando problemas numéricos que frecuentemente aparecen cuando se modela una estructura en contacto con un volumen estratificado. En el modelo original se simulaba una única estructura de conductividad infinita. El efecto que esto produce es que el calor se distribuye en forma instantánea en todo el espesor de la estructura una vez que es transferido. Aquí se incluye un esquema de resistencia térmica, de manera de aproximar el efecto de la conductividad del material. Esto permite mejorar el modelado de las fugas térmicas y la dinámica de la pared.

Se establecen las siguientes hipótesis:

- Se considera una geometría de placas. Esta aproximación vale también para geometrías cilíndricas cuando el espesor es varias veces menor al diámetro.

- Los movimientos del nivel de líquido se siguen en forma continua, por medio de una frontera móvil.

- Se considera una capacidad térmica concentrada: toda la capacidad de almacenamiento de energía se encuentra en el centro de la pared del tubo. De esta forma se puede tener en cuenta la resistencia térmica del material ante fugas térmicas ó extracciones de calor, o bien ante transitorios.

Las estructuras se modelan separadas por medio de una frontera delimitada por el nivel de líquido. Las porciones de estructura en contacto con el líquido o el vapor se comportan entonces como independientes, permitiendo asignar a cada zona distintos coeficientes de transferencia, proporciones de fugas y capacidades caloríficas. Luego, se plantean las ecuaciones de energía de la estructura para las zonas mezcla y vapor:

MMf

Me

Me

eM

ee

VVf

Ve

Ve

eM

ee

qqqdt

dTCpV

qqqdt

dTCpV

_

_

∆

∆

++=

++=

ρ

ρ (II.30)

Cp es el calor específico de la estructura, el subíndice e indica estructura, qe es el calor intercambiado entre el primario y la estructura, qf es el calor transferido al exterior, q∆_V, q∆_M son calores intercambiados dentro de la misma estructura, desde la


21

zona mezcla a la vapor y viceversa, respectivamente. Estos términos pueden identificarse en la Figura II.2, que muestra un esquema del modelo de estructura.

Los volúmenes de estructura asociados a cada zona se calculan como:

Meee

Me HePerV = (II.31)

Per es el perímetro mojado, ee el espesor y HeM la longitud de estructura que se

encuentra en contracto con zona mezcla.

La frontera entre estas dos estructuras es móvil, lo cual permite seguir las oscilaciones del nivel en el domo. Para esto, es necesario considerar los cambios de las masas contenidas en cada estructura que intervienen cuando la frontera se desplaza. Cuando He

M varía, lo hace también la masa meM asociada a la zona de mezcla; es decir

la porción de la estructura que antes formaba parte de la “zona de mezcla” pasa a formar parte de la “zona de vapor”, o viceversa. Pero esta masa diferencial de estructura intercambiada tiene una energía específica diferente de la estructura a la que pasa a formar parte. Por lo tanto, es necesario modelar la energía transferida en este proceso teniendo en cuenta que:

dtdV

APere

dtdHPere

dtdV M

D

eeMee

Me == (II.32)

donde HM es el nivel de mezcla desde la base del domo.

Los flujos de calor entre zonas de estructuras se calculan de la siguiente forma:

( )dt

dVAPereTTCpq M

D

eeVe

MeM −=∆ ρ_ ; 0_ =∆ Vq si 0>

dtdVM

( )dt

dVAPereTTCpq M

D

eeMe

VeV −=∆ ρ_ ; 0_ =∆ Mq si 0<

dtdVM

(II.33)

Figura II.2: Modelo de estructura de domo.


22

Los flujos de calor qe y qf se calculan de la siguiente forma:

( )xeprim

xxe

e

et

xe TTHP

ke

hq −

+=

−1

21

( )ax

exx

ee

eta

xf TTHP

ke

hq −

+=

−1

21

(II.34)

donde ht es el coef. de transferencia con el primario, ke es la conductividad del material, ht

a y Ta son el coeficiente de transferencia y temperatura del exterior respectivamente, incluyéndose estos últimos como condiciones de contorno. El supraíndice x indica la zona que se considera (M o V)

En el código, está previsto simular diferentes estructuras con las características descriptas, con propiedades independientes. Cada una podrá situarse a una altura Le determinada, pudiendo estar en el nivel de líquido ó totalmente sumergida en la zona mezcla o vapor; así por ejemplo, la tapa del recipiente se modelaría como una estructura totalmente sumergida en la zona de vapor

1.3 Modelo de núcleo La generación de potencia está directamente relacionada con el flujo de

neutrones, el cual se ve afectado con los cambios de temperatura o densidad de combustibles y refrigerante. Esto genera un acople entre la dinámicas de la temperatura de combustible, de la termohidráulica del reactor y de la neutrónica.

1.3.1 Dinámica del combustible La estructura de los elementos combustibles se modela en un esquema

unidimensional, tomando la coordenada espacial en la dirección axial. La variación temporal de la temperatura del combustible es proporcional a la diferencia entre las potencias generada y transferida. Se modela un perfil de temperatura axial, despreciando la conducción de calor en esa dirección, debido a que la conductividad de los combustibles es relativamente pequeña, y el flujo axial de calor por conducción es despreciable frente al flujo de calor hacia el refrigerante por convección. De esta forma:

( ) ( ) ( )zqLQzPesodt

zdTCpM NNc

cc '−= (II.35)

M es la masa, Cp es el calor específico, los subíndices c y N significan combustible y núcleo, respectivamente. Tc(z) es una temperatura promediada en el radio del combustible, de la siguiente forma:

( )( ) ( )

( )∫

∫

=

== R

r

R

r c

cdrrrCp

drrrzTrCpzT

0

0,

ρ

ρ (II.36)

donde r es la coordenada radial, y R es el radio exterior de la barra de combustible. El factor Peso(z) está relacionado con el perfil axial de la generación de


23

potencia, el cual se usa para promediar la energía depositada en el combustible. En este trabajo, esto se hace mediante una solución analítica para la distribución radial de la temperatura en estado estacionario, y despreciando las dependencias de las propiedades térmicas de cada material con la temperatura. Para el peso, se utiliza el mismo que para las reactividades, y debe ser tal que:

( )∫ =NucL

Nuc

dzzPesoL 0

11 (II.37)

donde q’(z) es la potencia lineal transferida al refrigerante, la misma utilizada en la ecuación de energía del refrigerante (II.1), que se define como:

( ) ( ) ( )( ) NcN LzTzTHAzq /' −= (II.38)

donde HAN es el producto del coeficiente de transferencia equivalente (referido a la temperatura promedio Tc) y el área de transferencia de núcleo, T es la temperatura del refrigerante. A continuación se muestra el cálculo de este parámetro:

Partiendo de la ley de conducción en estado estacionario, para un dado z:

( ) ( ) ( )rqdr

rdTrTk c ", =− (II.39)

donde q” es el flujo de calor radial y k es la conductividad térmica del material. q” sólo depende de r, ya que todo lo que se genera entre 0 y r debe transferirse en esa dirección. Asumiendo que k es independiente de la temperatura, es decir que es constante en cada material, se tiene que:

( ) ( )( )rk

rqdr

rdTc "−= (II.40)

Resulta que la derivada de la temperatura sólo depende de r. Luego:

( ) ( ) ( )( )∫ =

+=R

rrcc drrkrqRTrT

''

''" (II.41)

Por otra parte:

( ) ( )tc hRqTRT "+= (II.42)

donde ht es el coeficiente de transferencia al refrigerante. Reemplazando (II.42) en (II.41) y aplicando la definición de temperatura promedio, la ecuación (II.36), resulta:

( ) ( )tc

tc hRq

hRqTT "" ++= (II.43)


24

donde, por conveniencia, se define el factor htc de la siguiente manera:

( ) ( )

( ) ( )( )∫ ∫

∫

=

=

R R

rr

R

tc

drrdrrkrqrCp

drrrCpRqh

0 '

0

'''"

"

ρ

ρ (II.44)

Por otra parte:

( ) Th

RqT teq

c += " (II.45)

donde hteq es el coeficiente de transferencia equivalente referido a la temperatura

promedio de combustible Tc. De (II.43) y (II.45), se deduce:

111

−

+= t

ct

teq hh

h (II.46)

Es decir que 1/hteq es la suma de las resistencias debidas a la transferencia de

calor al refrigerante 1/ht y la resistencia propia del combustible debido al proceso de conducción 1/ht

c. hct puede interpretarse entonces como un coeficiente de transferencia

por conductividad en el combustible. Es importante notar, tal cual se deduce de la expresión (II.44), que hc

t depende del perfil de q”, que a su vez depende de k(r), pero es independiente de la potencia generada. Por lo tanto, bajo la hipótesis de k independiente de la temperatura, el valor de ht

c será constante para todo QN

Luego, el valor de HAN será:

tNt

ctN A

hhHA

111

−

+= (II.47)

donde AtN es el área de transferencia de núcleo. HAN se ingresa como parámetro

externo, mediante el cálculo de hct y ht (ver Apéndice A). No obstante, en el caso que

aquí se trata hct < ht, por lo tanto las variaciones en ht debido a incertezas o diferentes

condiciones de trabajo se verán disminuidas, ya que HAN dependerá más fuertemente de hc

t, que es un valor aproximadamente constante.

1.3.2 Cinética de Núcleo La potencia generada en el núcleo se evalúa por una de dos opciones: una

función provista externamente, o como solución de las ecuaciones de cinética puntual, utilizando 6 grupos de neutrones retardados (Ott, K.O. y Neuhold, J., 1985). Estas ecuaciones especifican la relación de la potencia con la reactividad. Allí se evalúa la realimentación basada en cambios de temperatura de combustible y densidad de combustible, promediadas con la función Peso. En el Apéndice B se detallan las ecuaciones a resolver.


25

2. Solución numérica El modelo termohidráulico conforma un grupo de ecuaciones diferenciales

parciales de primer orden, no lineales y fuertemente acopladas entre sí. Para resolver estas ecuaciones, se representa el sistema como un sistema discreto de volúmenes de control. El sistema termohidráulico se resuelve por el método de diferencias finitas, el cual se programa en el código HUARPE.

2.1 Discretización numérica Las ecuaciones se discretizan de acuerdo al esquema de diferenciación tipo “up-

wind” entre los nodos o volúmenes. El esquema up-wind es la manera más simple de modelar el transporte de propiedades. Este método, aunque de primer orden, resulta ser mejor que otros de mayor orden. La explicación de esto suele escapar a ilustraciones estrictamente matemáticas, ya que la “precisión” del método en este caso es menos importante que la buena representación del proceso físico. El esquema up-wind representa adecuadamente el problema de variables transportadas que son sometidas a cambios abruptos (Press W.H. et al, 1989). Por otra parte, como veremos en la sección II.2.4, mediante la combinación del esquema up-wind con integración explícita de primer órden de la ecuación de energía, es posible obtener un esquema de segundo orden.

En la Figura II.3 se muestra un esquema de la nodalización del reactor. El domo se divide en dos volúmenes variables para representar las zonas de vapor y mezcla.

La integración temporal se realiza utilizando un esquema pseudo-implícito para las ecuaciones de momento y temperatura de combustible, y explícito para el resto de las ecuaciones. Como se verá en el Capítulo VI, esta combinación es la que mejor convergencia presenta, dentro de las posibilidades estudiadas.

A continuación, se muestra la solución numérica de las principales ecuaciones del sistema. Como se verá en las secciones II.2.4 y II.2.5, se pondrá especial atención en minimizar la difusión numérica de la ecuación de energía, y en las integraciones temporales de las ecuaciones de momento y temperatura de combustible.

La ecuación discreta para calcular h a lo largo del circuito primario resulta:

j

jjnj

njn

jj

jjnj

nj

nj

nj

j

nj

n

j

nj z

AAGGh

zAAhGhG

tP

Aq

dtdh

∆−

+∆

−−

∆∆+= −

+−

+−−

+−

++ //ˆˆ' 11111ρ (II.48)

n representa el paso de tiempo, j el número de nodo. El superíndice “+” indica que la variable debe ser convergida.

La ecuación para calcular la temperatura de combustible (II.35) es:

NnjNj

n

j

ccc LqQPeso

dtdTCpM +

+

−= ' (II.49)

donde:

( )∫ −∆= j

j

z

zj

j dzzPesoz

Peso1

1 (II.50)


26

Figura II.3: Esquema de nodalización del circuito primario

' +njq se calcula en forma pseudo-implícita, esto es, como función de la

temperatura de combustible en el paso de tiempo n+1:

( )( )nj

ncjN

nj TTHAq −= +++ 1' (II.51)

donde ++ )1(ncjT deberá ser convergida.

La ecuación de momento (II.14) se integra de forma pseudo-implícita también, calculando la fuerza boyante utilizando las densidades en el paso de tiempo n+1:

( ) ( )( )

∑

−

−−

+−+

+∆Φ

+∆−

=−

+++

++

+++

j

j

j

n

jf

d

g

dnj

n

nj

nn

j

nljhj

nnn

jfnjn

AAxxGGG

K

zD

GGfzg

dtGd

1222

20)1(

11

122

2cos

ˆ

αραρρρ

ρθρ

(II.52)

Los caudales del circuito en un dado tiempo se resuelven como función de Ĝ y de las derivadas de las densidades de los nodos, de la siguiente manera:


27

De la ecuación (II.18), se obtiene Gj=1:

∑

∑ ∑

==

= =

+

+= ∆

∆

∆+

= N

k k

kj

k

N

k

k

mm

n

mm

k

n

nj

AzA

zzdtdA

AG

G

11

1 1

1

1ˆ ρ

(II.53)

donde:

( )

tdtd n

jn

jn

j ∆−

=+++ ρρρ 1

(II.54)

De la ecuación (II.16), se obtienen los caudales en todo el circuito:

j

jnj

j

kk

kk

j

nj A

AGz

dtdA

AG 1

11

1 =+=

=

++ +∆−= ∑

ρ (II.55)

De las ecuaciones de presión, (II.24) a (II.27), pueden obtenerse expresiones analíticas de las derivadas temporales de VM, VV, PD y hM, que forman un sistema de ecuaciones lineales. En particular, para PD se puede escribir, en forma compacta:

( )

= ∑∑

+++

j

n

jj

n

j

nn

D dthd

dtdvf

dtdP ρρ ,, (II.56)

donde vn es un vector con parámetros evaluados en el paso de tiempo n.

De la ecuación (II.29) se obtiene la derivada de la presión en los nodos que se encuentran en la rama caliente, teniendo en cuenta la corrección por altura hidrostática:

∑=

+++

∆+=N

jii

n

i

nD

nj z

dtdg

dtdP

dtdP

θρ cos (II.57)

El sistema tal cual se plantea presenta fuertes acoples de diferente naturaleza, que hacen que el sistema en un dado tiempo no pueda ser resuelto de forma directa, requiriendo un proceso iterativo. Estos acoples tienen su origen en diferentes factores:

� El acople de las ecuaciones masa-momento: Los caudales del circuito no son variables independientes, sino que se obtienen a partir de las derivadas temporales de las densidades, ecuación (II.55), que a su vez dependen de las derivadas temporales de las entalpías y presiones. Pero las derivadas de las entalpías dependen también de los caudales, a través de la ecuación de energía del refrigerante (II.48).

� La corrección por altura hidrostática: La derivada de la presión en cualquier nodo depende de las derivadas de las densidades de los nodos que se encuentran por


28

encima del mismo, ecuación (II.57). A su vez, estas últimas dependen de las primeras a través de las ecuaciones de estado.

� La auto-presurización: La derivada de la presión del domo depende de las derivadas de las entalpías y densidades de los nodos de todo el circuito, ecuación (II.56). A su vez, la densidad está relacionada con la presión través las ecuaciones de estado. Por otra parte, las derivadas de las entalpías dependen de los caudales, que a su vez dependen de las derivadas de densidad a través del acople de las ecuaciones de masa-momento, ecuaciones (II.48) y (II.55).

� La integración pseudo-implícita de la ecuación de temperatura de combustible: Tal como se plantea en este esquema, la potencia transferida al refrigerante depende de la temperatura de combustibe en el tiempo n+1, ecuación (II.51). Pero esta última debe calcularse a partir de su derivada temporal, que depende a su vez de la potencia transferida al refrigerante, ecuación (II.49).

El resultado de estos acoples se muestra en la Figura II.4, en donde se explicitan las variables que deben ser convergidas y sus dependencias a través de las ecuaciones que las relacionan. La resolución de este sistema requerirá de un proceso iterativo para su convergencia. El resto de las ecuaciones del sistema termohidráulico se integran de acuerdo al esquema explícito de primer orden.

Una vez obtenidas todas las derivadas temporales de las variables de estado (y), éstas se integran con un esquema de Euler:

Figura II.4: Esquema de los acoples entre las derivadas temporales de diferentes

variables.

+n

jdtdh

Ecs. de estado (II.19)

+n

jdtdP

Energía de refrigerante (II.48)

jq'

+n

j

c

dtdT

( )++1ncT

+n

jdtdρ

Acople ecuaciones masa-momento (II.55)

Acople auto-presurización (II.56)

Esquema pseudo-implícito (II.51)

Dinámica de combustible (II.49)

+nD

dtdP

Corrección por altura hidrostática(II.57)

Gjn+


29

n

j

nj

nj dt

dytyy ∆+=+1 (II.58)

Las ecuaciones de cinética puntual se integran de acuerdo al método desarrollado por Pérez A. y Ferreri J.C. (1993), en base a un esquema de Crank-Nikolson.

2.2 Cálculo de densidad en un nodo La discretización de las ecuaciones diferenciales de conservación presenta

problemas de estabilidad numérica cuando las propiedades del fluido cambian abruptamente. Tal es el caso de la densidad cuando se encuentra en doble fase, sobre todo en las proximidades de la frontera de ebullición (λ). Cuando se nodaliza, estos cambios bruscos en un nodo producen a su vez un cambio abrupto en los caudales, lo cual introduce oscilaciones numéricas. Este es un problema intrínseco de la existencia de cambios abruptos de densidad y de la forma de resolver las ecuaciones por diferencia finitas, debido a que se asumen propiedades uniformes dentro del volumen que se discretiza. Este problema es usualmente enmascarado por esquemas numéricos muy difusivos que suavizan estas variaciones, lo cual es un mecanismo “artificial” sin base física.

Una forma de refinar el cálculo, especialmente en la zona donde se producen las discontinuidades, es calcular la densidad como un promedio dentro del volumen, interpolando linealmente los valores de la entalpía media y de saturación con el nodo vecino. Esto resulta en una linealización en el título estático, xj. Es decir:

( ) ( )∫∫−− ∆

≈∆

= j

j

j

j

x

x

z

zj dxxx

dzzz 11

11 ρρρ (II.59)

donde zj indica la frontera del nodo j aguas abajo; de acuerdo al esquema up-wind, h(zj)= hj.

Así, integrando analíticamente las expresiones de la densidad como función de x en una o dos fases, es posible obtener la densidad promediada en un volumen. En forma genérica:

+

−= ∫∫

2

121

12

1 x

x

x

xj dxdxxx λ

λ

φφ ρρρ (II.60)

Donde 1φ y 2φ indica simple y doble fase, respectivamente. Los subíndices 1 y 2 indican las fronteras del volumen, correspondiendo a entrada ó salida según ingrese simple o doble fase desde j-1. El subíndice λ indica la posición de la frontera de ebullición en el caso que ésta se encuentre dentro del volúmen, o uno de los extremos del mismo en caso contrario. Esto se resuelve de acuerdo a la Tabla II.1.

A continuación se escriben las expresiones analíticas para la integración de (II.60). Para una fase, se aproxima la densidad calculada con un título medio:


30

j j-1

xj > 0

(sale 2φ)

xj < 0

(sale 1φ)

xj-1 > 0

(entra 2φ)

Solo 2φ

1 = λ = j-1

2 = j

2φ − λ − 1φ 1 = j ; 2 = j-1

xλ = 0

xj-1 < 0

(entra 1φ)

1φ − λ − 2φ 1 = j-1 ; 2 = j

xλ = 0

Solo 1φ

λ = 2 = j 1 = j-1

Tabla II.1: Esquema de subíndices para la ecuación (II.60)

( )11

1 ,21

xxPxxdx j

x

x−

+≈∫ λλ

φ ρρλ (II.61)

Para el caso de dos fases:

( )x

x

g

f

f

−+

=Φ

112

ρρρ

ρ (II.62)

Asumiendo ρg y ρf constantes en el volumen, x se aproxima interpolando en forma lineal a lo largo del volumen. Integrando esta expresión, resulta:

++

=∫λρ

ρ

ρφ

ρρ

λ xcxc

cdx fx

x 11

ln 22

2 ;

−= 1

g

fcρρ

ρ (II.63)

2.3 Integración del esquema numérico Las ecuaciones enunciadas para el sistema discretizado espacialmente conforman

un grupo de ecuaciones diferenciales de primer orden fuertemente acopladas, como se vió en la sección 2.1. El acople está dado principalmente por la dependencia del perfil de caudales con la derivada de la densidad (ecuación de masa) y por la realimentación de presión, además de la integración pseudo-implícita de la ecuación de temperatura de combustible. Por ello, se utiliza un proceso iterativo para obtener una solución convenientemente convergida en todas las variables, el cual es mostrado en la Figura II.5. Por simplicidad, se especifican solamente las variables que están siendo convergidas, las cuales se indican con el supraíndice (+).

Las derivadas temporales de las entalpías se calculan de acuerdo a la ecuación de energía. La derivada de la presión del domo se calcula como función de las derivadas de las ecuaciones de masa y energía integradas a lo largo del circuito. A partir de las derivadas de la densidad se calcula el flujo másico a lo largo del circuito, por medio de


31

las ecuaciones de masa y momento. Finalmente, la derivada de la presión en cada nodo se calcula como función de la derivada de la presión del domo y las diferencias de presión debido a la altura hidrostática, que es función de las densidades de los volúmenes superiores. Este procedimiento se repite hasta verificar convergencia, lo cual además de asegurar una solución bien convergida, minimiza inestabilidades debidas a factores numéricos.

Figura II.5: Esquema de la integración del esquema numérico

( )++

= j

n

j

Wfdtdh

( )

∂∂

∂∂= ∑∑

+++

j jj j

n

D th

tf

dtdP ρρ ,

=

+++

jj

n

j dtdP

dtdhf

dtd ,ρ

=

++

n

j

nj dt

dfW ρ

Ecuación de energía

Ecuaciones del domo

Ecuaciones de estado

Ecuaciones de masa + momento

Corrección del cálculo de presión por altura hidrostática

¿Converge?no

si

= ∑

+++ N

j iDj dtd

dtdPf

dtdP ρ,

( )( )+++

= 1nc

n

j

c Tfdt

dT

Temperatura de combustible

Avance temporal


32

2.4 Difusión de frentes de entalpías por el esquema discreto En un esquema numérico, los frentes de entalpía experimentan una difusión

numérica (Marshall G., 1985) que tienen que ver con los errores del método. Para cuantificar este efecto, en esta sección se realiza un análisis del error de truncamiento de la ecuación de energía.

Partiendo de la ecuación discretizada de la energía (II.48), aplicamos pequeñas perturbaciones suponiendo presión constante. Para esto, reemplazamos:

h = h0+δh; ρ = ρ0 + δρ; G = G0 + δG (II.64)

donde el subíndice 0 indica el valor de la variable en estado estacionario, el símbolo δ indica una pequeña perturbación alrededor de ese valor.

Relacionando las variables aplicando las siguientes aproximaciones:

hhhh

∂∂=

ˆˆ δδ ; h

h∂∂= ρδδρ (II.65)

Despreciando términos de segundo órden y después de un poco de álgebra, se llega a:

0'ˆ

0

110

1

=+∆−

∂∂+

∆− −−

+

j

jj

j

nj

nj

nj

nj

eqj Aq

GG

zhh

hhG

thh δδδδδ

ρ (II.66)

Donde

( )000ˆ hh

heq −∂∂−= ρρρ (II.67)

En el caso de trabajar en condiciones de bajo título, en cuyo caso h0 ≈ ĥ0, o en el caso de introducir la hipótesis de modelo homogéneo, que consiste en postular:

h0 = ĥ0 ; 1ˆ

=∂∂hh (II.68)

puede aproximarse ρeq ≈ ρ0. Por otra parte, perturbando la ecuación analítica de la energía (II.1), luego de un

poco de álgebra se llega a:

0'ˆ

00 =+

∂∂

∂∂+

∂∂

Aq

GG

zh

hhG

th

eqδδδρ (II.69)

Ahora, se aproximan los valores de las derivadas según el esquema up-wind en espacio y explícito en el tiempo. Para esto, desarrollamos en series de Taylor:


33

)(2

32

2

21 tOt

th

tth

hhnj

njn

jnj ∆+∆

∂∂

+∆∂

∂+=+ δδ

δδ

)(2

32

21

21

1 zOz

zh

zz

hhh j

nj

j

njn

jnj ∆+

∆∂

∂+∆

∂∂

−= −−−

δδδδ

(II.70)

Despejando las derivadas:

)(2

22

21

tOtth

thh

th n

jnj

nj

nj ∆+∆

∂∂

−∆−

=∂

∂ + δδδδ

)(2

22

12

11 zOzzh

zhh

zh n

jnj

nj

nj ∆+∆

∂∂

−∆−

=∂

∂ −−− δδδδ

(II.71)

Reemplazando en la ecuación (II.69):

0'ˆ

0

10

1

=++∆−

∂∂+

∆− −

+

ErrorAq

GG

zhh

hhG

thh n

jnj

j

nj

nj

eqδδδδδ

ρ (II.72)

De aquí se deduce el error del método:

( ) ( )

∆+∆+

∂∂∆−

∂∂

∂∂∆= 22

2

2

2

2

0 2ˆ

2tOzO

tht

zh

hhzGError eq

j

δρδ (II.73)

Por otra parte, de la ecuación (II.69):

Aq

GG

zh

hhG

th

eqjeq

'ˆ

0

0

ρδδ

ρδ −

∂∂

∂∂−=

∂∂ (II.74)

Si despreciamos el último término, lo cual significaría que no existe fuente de calor ó que δG son muy pequeñas, y derivamos respecto al tiempo, se llega a:

2

22

0002

2 ˆˆˆz

hhhG

zh

hhG

zhhG

th

eqeqeq ∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=

∂∂ δ

ρδ

ρρδ (II.75)

Reemplazando en el término de error, queda:

( )222

22

00 ,

ˆ22

ˆtzO

zh

hhGtz

hhGError

eqeq ∆∆+

∂∂

∂∂∆−∆

∂∂= δ

ρρ (II.76)

Como puede observarse, el término de menor orden es proporcional a la derivada segunda respecto de z. Este término se conoce como “difusión artificial”, ya que


34

introduce, para un dado z, información proveniente de aguas abajo, contribuyendo a la difusión de frentes de entalpía. De aquí se deduce que, para reducir este efecto, debe darse:

tuz pj∆=∆ ; jeqj

jpj h

hGu

∂∂=

ˆρ

(II.77)

donde up es la velocidad de propagación de una perturbación. En este caso, el primer término de la ecuación (II.76) se anula y el error se reduce a O(∆z2, ∆t2). Esto implica que el paso de tiempo debe igualar el tiempo que le toma a una perturbación recorrer el volumen discretizado, moviéndose a una velocidad upj. Esto es, por otra parte, el límite de estabilidad numérica de Courant. Es decir que al cumplir el criterio de Courant, si la fuente de calor ó δG no son importantes, entonces el método será de orden O(∆z2, ∆t2). Esto será estrictamente cierto los sectores donde no existe q’, lo cual es una buena aproximación en toda la chimenea del reactor, y aproximadamente en todos los sectores donde no existan dos fases, donde el término δG es relativamente pequeño; lo cual representa gran parte del circuito.

Este criterio permite, por otra parte, obtener una nodalización balanceada desde el punto de vista del error del método, lo cual se explica en la siguiente sección.

2.5 Nodalización adaptiva A fin de lograr una propagación no-difusiva de pequeñas perturbaciones a lo

largo del sistema, se adopta un esquema de nodalización “adaptiva”, que se explica en esta sección.

Como se describió en la Sección 2.4, si ∆t alcanzara el límite de Courant en un volumen, entonces el error de propagación en el mismo se minimiza. Ahora bien, para que una perturbación pueda propagarse sin errores a lo largo de todo el circuito, esta condición debe cumplirse en todos los volúmenes. La idea básica en el esquema de “nodalización adaptiva”, es que la longitud de cada volumen se fije de manera que una perturbación permanezca el mismo tiempo ∆t en cada uno de ellos en el estado estacionario, de acuerdo a la velocidad de propagación de una perturbación upj.

Esto se ilustra en la Figura II.6: allí se muestra un esquema cualitativo del núcleo y chimenea. Estos componentes pueden estar bajo un régimen de dos fases, y son por lo tanto una causa potencial de inestabilidad. También se muestra, en el eje de absisas, la nodalización propuesta en z, y en el eje de ordenadas la evolución temporal de una perturbación desde la entrada hasta la salida de cada volumen, moviéndose con una velocidad upj; ésta es menor en la chimenea que en el núcleo, debido al cambio en el área de pasaje, y aumenta al producirse la transición a dos fases (λ).

Ahora bien, la condición de igual tiempo de residencia no es estrictamente posible cuando existen secciones con diferentes áreas de pasaje, debido a que en este caso es necesario colocar un volumen cuya frontera se encuentre en el cambio de área, para respetar la condición de geometría. En el caso de núcleo y chimenea, esto se hace dejando libre la longitud del primer nodo a la entrada del núcleo, que será el único cuyo tiempo de residencia será menor al resto. Es decir, que funcionaría como “regulador” de manera de no violar la condición de geometría.


35

Figura II.6: Esquema ilustrativo de la nodalización adaptiva

La estrategia de nodalización adaptiva se realiza junto con la etapa de inicialización del sistema, y permite el modelado del movimiento de perturbaciones pequeñas reduciendo la difusión numérica, especialmente en toda la región de dos fases.

El esquema implementado se muestra en la Figura II.7. Se utiliza una primera nodalización en la subrutina de inicialización de manera de converger todas las variables en la condición estacionaria; en particular, interesa fijar el tiempo de propagación de perturbaciones en la chimenea, el caudal de primario W, la entalpía a la salida de la chimenea y la presión en el domo. Luego se define el paso de tiempo de la siguiente manera:

ch

ch

NTt =∆ (II.78)

donde Tch y Nch son el tiempo de residencia y número de nodos en la chimenea, respectivamente. Nch está dado como condición de entrada por el usuario. La subrutina comienza en la salida de la chimenea, nodo N, y continúa aguas arriba. En primer lugar, se fija para el nodo en cuestión el término ∂ĥ/∂h|j, y se propone un ∆zj inicial. Luego se debe realizar un proceso iterativo entre la longitud del nodo y las propiedades del fluido en el volumen; en el esquema, se especifican las variables que son convergidas mediante el supraíndice (+). Se calcula ĥj-1 mediante la ecuación de energía estacionaria, utilizando un perfil de potencia axial, expresado como una función continua. Luego se corrige Pj-1 por la altura hidrostática, teniendo en cuenta ρj. Entonces es posible calcular hj-1 recorriendo hacia atrás el esquema de drift-flux planteado en la sección 1.1 (Figura II.1). Con las entalpías actualizadas, se calcula la densidad del nodo ρj de acuerdo a la expresión (II.60), pudiendo re-calcular la longitud del nodo de acuerdo al límite de Courant, ecuación (II.77). El proceso se repite hasta converger, pasando entonces al nodo anterior, hasta llegar a la entrada del núcleo.

En el resto del sistema (rama fría) se fija una longitud de nodo uniforme en cada componente. Esto se hace de manera que la longitud de nodo prefijada no supere el límite de Courant en ninguna posición, lo que se reduce al siguiente esquema:


36

Figura II.7: Diagrama del método de nodalización adaptiva

maxxx

Gtzρ∆=∆ (II.79)

donde el subíndice “x” indica el componente en cuestión (ie. GV o downcomer).

∆t= Tch/Nch , j = N

ĥN ; hN ; PD ; W; Tch

∂ĥ /∂h|j = f (Pj, Gj)

∆zj+

zj-1+

= zj - ∆zj+

( )∫ +−

+−=+−

j

j

z

z jj hdzzqW

h1

ˆ'1ˆ1

∆+∆= ∑

+=

+++−

N

jiiijj zzfP

j1

1 ρρ

hj-1+ = f(ĥj-1

+, Pj-1+)

ρj+ = f(hj, hj-1

+)

++

∂∂∆=∆

j

jj

j NIT

hhGtz

ρ

/ˆ

¿Converge?

Inicialización

∆z propuesto

Corrección por altura hidrostática

Cálculo de densidad

Cálculo de ∆zj según límite de Courant

Esquema de drift-flux

j = j-1

no

si


37

El método hasta aquí descrito tiene como desventaja que no es posible la nodalización de algún componente en particular, sin penalizar el resto del circuito. La solución que se implementó a este efecto es la de introducir pasos intermedios en la resolución de la ecuación de energía en el momento de actualizar las entalpías de ese componente, manteniendo constante el resto de las variables del sistema durante el paso de tiempo. Esto es particularmente útil en el núcleo, como se verá en el capítulo VI, cuando se necesite una gran cantidad de nodos para reproducir un perfil de potencia no uniforme. El usuario podrá introducir el número de pasos intermedios en un dado componente (NIT), de acuerdo al incremento de nodos que sea necesario. Esto se ejemplifica en la Figura II.8, donde se ha introducido un paso intermedio en el núcleo, en el cual se actualizan las entalpías en un tiempo ∆t/2. Luego se utiliza el mismo esquema explicado anteriormente

znuc1

t

z

∆∆∆∆t/2

znuc2 ... znuc

q"

Núcleo Chimenea

∆∆∆∆t

Figura II.8: Esquema del refinamiento de la nodalización de un componente en

particular mediante la utilización de pasos intermedios.

3. Modelo para el análisis de estabilidad lineal Como se vio en la ecuación (II.69), tomando como ejemplo la ecuación de

energía, cuando se analizan pequeñas desviaciones alrededor de un estacionario es posible despreciar los términos de no lineales, obteniendo ecuaciones que conservan sólo términos lineales. En esta sección, se analiza un método de linealización numérica del esquema completo, lo que permite evaluar de una manera muy simple el comportamiento del sistema en las cercanías de un punto de trabajo (Ambrosini W., 2001).

Las ecuaciones discretas que gobiernan un dado problema y sus condiciones de contorno pueden ser escritas en forma compacta como:

( ) 0,,,1 =∆+ tpyyJ nn (II.80)

donde yn e yn+1 representan los vectores de variables independientes o variables de estado en dos pasos sucesivos de tiempo, p es un vector de parámetros físicos y numéricos y J es el vector función especificado por un esquema numérico en particular. Efectuando pequeñas perturbaciones en las variables de estado yn

e yn+1, y asumiendo un


38

comportamiento lineal alrededor de un estado estacionario, es posible relacionarlas en la siguiente expresión:

( ) ns

n ytpyy δδ ∆Φ=+ ,,1 (II.81)

donde δ denota una desviación de la variable de estado alrededor de un valor estacionario y la matriz Φ contiene la dinámica lineal del sistema. Por otra parte, las ecuaciones discretizadas predicen las derivadas temporales parciales de la siguiente manera:

( ) ( ) ns

nsnn

ytpyFyt

Itpyt

yydt

yd δδδδδ ∆=∆

−∆Φ=∆−≈

+

,,,,1

(II.82)

F contiene la dinámica del sistema de tiempo continuo que predice el esquema discreto en tiempo, y sus autovalores son relevantes para el análisis de estabilidad. Mediante las ecuaciones (II.81) y (II.82), es posible deducir la relación entre los autovalores βφ y βF, que corresponden a las matrices Φ y F, respectivamente:

( ) ( )t

iFi ∆

= Φββ

lnRe ; ( ) ( )

=

Φ

Φ

i

iFi arcCos

βββ ReIm (II.83)

Luego es posible evaluar el factor de amplificación y la frecuencia del modo de oscilación que prevalece por más tiempo:

a = Re(βFk) ; ω = |Im(βFk)| (II.84)

donde k es el índice del autovalor con parte real mayor. El factor de amplificación a se usa en este trabajo para definir estabilidad: valores positivos significan condiciones inestables, y negativos estables.

Vale la pena aclarar que a y ω se calculan luego de la discretización tanto de las variables temporal como la espacial. Cuando el límite de Courant se cumple en todos los volúmenes, es posible modelar una propagación en forma no difusiva, mejorando la precisión de ambos parámetros.

En el análisis lineal, el código se adapta como se indica en la Figura II.9. El sistema se inicializa evaluando las condiciones en el estado estacionario, mediante un algoritmo que itera el cálculo del caudal con las entalpías, y se introduce el esquema de nodalización adaptiva para minimizar la difusión numérica en esas condiciones. Luego se perturba numéricamente cada variable de estado, y se obtienen las desviaciones que esta perturbación produce en las mismas luego de un paso de tiempo. Cada coeficiente de la matriz Φ se calcula entonces mediante la siguiente expresión:

( ) n

n

j

i

yy

jiδ

δ 1

,+

=Φ (II.85)


39

Figura II.9 Estructura del programa para la linealización

De esta forma, es posible “capturar” el comportamiento del sistema a partir de la relación entre perturbaciones en dos pasos de tiempo sucesivos, siempre que se cumplan las hipótesis lineales. Mediante el cálculo de autovalores, es posible una visualización rápida de la estabilidad del sistema linealizado de una manera muy simple, evitando un análisis exhaustivo de todos los transitorios posibles en el dominio de tiempo.

Input

Estado estacionario ys, p

Perturbación δyjn

Cálculo Φ(i,j)

Estado estacionario

Esquema de nodalización adaptiva

W ; ĥ(z) ; P(z)

j = j+1

δyin+1

CAPITULO III

Estabilidad termo-hidráulica


41

1. Principios básicos Los problemas concernientes a inestabilidades son a menudo muy complejos

dado que implican una gran superposición de fenómenos físicos de diferente naturaleza. Una forma de abordar este tema, es la utilización de modelos simplificados que permitan analizar la naturaleza básica de las oscilaciones. Luego, incrementar la complejidad en forma gradual permite analizar la influencia de cada uno de los fenómenos en forma separada. Como se verá en los capítulos subsiguientes, esta es la metodología empleada en este trabajo.

Como ya se mencionó (ver sección I.5), la combinación de baja fracción de vacío y circulación natural vuelve al sistema propicio a tener oscilaciones. Este tipo de oscilaciones normalmente se catalogan como de Tipo-I. Las mismas son de especial interés porque podrían estar presentes en el prototipo de reactor CAREM, dado que trabaja en las mencionadas condiciones. En este caso, se advierte que el efecto más importante es el asociado con las perturbaciones en la fuerza boyante a lo largo de la chimenea, al contrario de las oscilaciones de Tipo-II, las más comunes en reactores tipo BWR, donde las caídas de presión en simple y doble fase juegan un rol primordial.

La naturaleza básica de las oscilaciones de Tipo-I responde por ejemplo al siguiente mecanismo: cuando el caudal en el núcleo se incrementa, la entalpía a la salida del núcleo decrece. Esto provoca un frente de entalpía que se propaga a lo largo de la chimenea, disminuyendo la fuerza boyante. El caudal decrece para compensar el cambio en las pérdidas de carga, por lo tanto aumenta la entalpía a la salida de núcleo. Este mecanismo genera una onda de entalpía que se mueve a lo largo de la chimenea, pudiendo resultar en una oscilación debido a la interacción entre la fuerza boyante y el caudal.

La desviación de la fuerza boyante del sistema respecto del valor estacionario es aproximadamente proporcional a la integral instantánea de la perturbación de la entalpía a lo largo de la chimenea. Consecuentemente, la frecuencia natural de la oscilación estará directamente relacionada con el tiempo de transporte en la chimenea. Sin embargo, si el período de la oscilación de la entalpía en la salida del núcleo coincide exactamente con el tiempo de transporte de la chimenea, se establece allí una onda completa (Figura III.1). En ese caso, las variaciones positivas y negativas de la entalpía se compensan, y la fuerza boyante del sistema permanece sin perturbar. La perturbación se produce cuando ocurren retardos en el sistema que hacen que el período de la oscilación sea ligeramente distinto al tiempo de transporte de la chimenea. Luego, la magnitud de la desviación en la fuerza boyante depende principalmente de la magnitud de la perturbación (amplitud de onda) y del retraso de tiempo (atraso de fase) causado por el resto del sistema, especialmente por la dinámica del núcleo. La oscilación es auto-sostenible cuando una perturbación en caudal causa una desviación en la fuerza boyante que es capaz de contrarrestar la perturbación inicial, y cuando el atraso de fase asociado con los retrasos de tiempo hace posible una realimentación positiva.

Los fenómenos aquí explicados se analizan a continuación utilizando un modelo muy sencillo en el dominio de las frecuencias, donde es posible estudiar algunas influencias de los parámetros básicos en la oscilación.


42

Desviación de laFuerza Boyante

Pertu

rbac

ión

de e

ntal

pía

Posición en chimenea

Figura III.1: Esquema de la desviación en la fuerza boyante causada por una oscilación.

2. Modelo simplificado Una práctica común en el análisis de estabilidad en el domino de las frecuencias,

el uso de soluciones analíticas que luego se implementan en una función de transferencia. Para ello se linealizan las ecuaciones para luego resolverlas por medio de la transformada de Laplace. En esta sección, se calcula una función de transferencia para un caso muy simple, con el único propósito de analizar la naturaleza básica involucrada en la oscilación.

El análisis se lleva a cabo por medio de la función de transferencia mostrada en la Figura III.2. Allí se representa la dinámica de una perturbación en el sistema. Por ejemplo, si se introduce un escalón positivo en la caída de presión del sistema, el flujo másico en el núcleo se ve incrementado, de acuerdo al balance de momento. Esto causa una disminución en la entalpía de salida de núcleo. Luego, la fuerza boyante aumenta debido a la disminución en la densidad a lo largo de la chimenea. La oscilación tiene lugar en este caso, porque la señal de salida coincide con la de entrada. De acuerdo a la teoría de control, el sistema es inestable si, para una señal periódica dada a la entrada, corresponde una señal periódica a la salida con una mayor amplitud y un atraso de fase mayor a π.

PGN

∆δδ

Momento

N

eN

Gh

δδ

Núcleo

eN

b

hP

δδ∆

Chimenea

δGN δhNe δ∆Pb δ∆P

Figura III.2: Función de transferencia analizada en el modelo simplificado


43

La dinámica arriba descripta puede interpretarse como la base de las oscilaciones de Tipo I. Para la elaboración de un modelo sencillo que capture esta dinámica, se aplican las siguientes hipótesis simplificadoras:

- Modelo homogéneo para las dos fases - Presión del sistema constante y uniforme - No existe ebullición subenfriada - Subenfriamiento constante a la entrada del calefactor - Flujo de calor uniforme en la zona calefaccionada - Temperatura constante a la entrada del calefactor - Se desprecia la contribución de la fuerza boyante por fracción de vacío en el

calefactor. Esto es válido porque se presume que la longitud de calefacción es mucho menor a la de la chimenea, y en un régimen de baja fracción de vacío λ se localizará muy cerca de la salida del calefactor. Considerando esta hipótesis, puede despreciarse los desplazamientos de λ.

- Los cambios de densidad se tienen en cuenta solamente para el cálculo de la fuerza boyante (aproximación de Bousinesq). Esto significa que se desprecian los cambios en las pérdidas de carga debido a la doble fase.

Las dos últimas hipótesis son sólo válidas para el análisis de oscilaciones de Tipo-I, donde el efecto de las caídas de presión en doble fase son poco importantes en relación a los cambios de la fuerza boyante en la chimenea.

A continuación, se calcula cada uno de los componentes de la función de transferencia.

A partir de la ecuación perturbada de la energía (ecuación II.69), según el modelo homogéneo, obtenemos la siguiente expresión:

Aq

GG

DthD

zhu

th

000

'ρ

δδδδ −==∂

∂+∂

∂ (III.1)

Donde Dδh/Dt es la “derivada material” de entalpía, y se entiende como la derivada temporal de una partícula fluida, a medida que se desplaza por el sistema (Lai W.M. et al, 1993). Nos interesa en particular evaluar las perturbaciones de entalpía a la salida del núcleo, ante perturbaciones en el flujo másico:

( )∫ −−=

t

uLt

NN

sN

N

Ndt

WGtuqh

0 0

' δρ

δ (III.2)

Utilizando la aproximación de perfil de potencia uniforme y ρ constante (aproximación de Bousinesq), se obtiene:

−−= ∫∫

−N

NuLt

N

t

NN

NsN dtGdtG

WLQh 0

000

δδρ

δ (III.3)

Aplicando la transformada de Laplace, después de un poco de álgebra, se obtiene la segunda función de transferencia en la Figura III.2:


44

( )sT

eWG

QsGh

N

sT

N

N

N

sN

N−−= 100δ

δ (III.4)

Para calcular la tercera función de transferencia, obtenemos la expresión para ∆Pb:

( )( ) ( )( )∫∫ −∂∂=−=∆ dzhzh

hgdzzgP ffb

ρρρ (III.5)

De acuerdo a las hipótesis enunciadas, la chimenea es la única región que contribuye en la fuerza boyante. Aplicando pequeñas perturbaciones, se la puede expresar como:

bbb PPP ∆+∆=∆ δ0 (III.6)

En condiciones estacionarias y aproximando∂ρ/∂h ≈ constante, resulta:

( ) ( ) chfchchfchb Lhhh

gLgP −∂∂=−=∆ ρρρ0 (III.7)

La entalpía de la chimenea se relaciona con la potencia de condensación en el domo, de acuerdo a la siguiente relación:

0WQhh V

fch =− (III.8)

Es decir que, en este modelo, el exceso de potencia generada en el núcleo respecto a la extraída por los GV se transporta a través de la chimenea, llegando al domo en forma de vapor, donde condensa para compensar las pérdidas.

Reemplazando (III.8) en (III.7) se obtiene:

00 W

Qh

gLP Vchb ∂

∂=∆ ρ (III.9)

Por otra parte, obtenemos la expresión para la parte perturbada de la fuerza boyante:

( ) ∫∫

−

∂∂=

∂∂=∆ chch L

ch

sN

L

b dzuzth

hgdzzh

hgP

00δρδρδ (III.10)

donde tomamos el origen de la coordenada z a la entrada de la chimenea para el cálculo de la integral. Realizando el cambio de variables t’ = t – z/uch, resulta:


45

−

∂∂=∆ ∫∫

− chTt

sN

t

sNchb dthdth

hguP

00'' δδρδ (III.11)

Aplicando la transformada de Laplace a esta ecuación, y reemplazando la ecuación (III.9), encontramos la función de transferencia:

( )sT

eQ

WPshP

ch

sT

V

bsb

ch

N

−∆=∆ 100

δδ (III.12)

Para calcular la primera función de transferencia en la Figura III.2, aproximamos la ecuación de momento como:

20

ˆNGKPP

dtGd

eqb −∆+∆= (III.13)

donde Keq es el factor de fricción equivalente de todo el circuito, ∆P es una perturbación externa a la caída de presión. Aplicando pequeñas perturbaciones, teniendo en cuenta que:

( )∫∫ ≈=zA

dzAGGdzG NNˆ ; 2

0

0

N

beq G

PK ∆= ; (III.14)

se llega a:

( ) NN

bN

N GG

PPzA

dzAdtGd δδδ

0

02 ∆−∆=∫ (III.15)

Transformando en Laplace, después de un poco de álgebra se obtiene:

( ) ( )11

2 0

0

+∆=

∆ sTPGs

PG

mb

NN

δδ (III.16)

donde Tm es un tiempo característico de la ecuación de momento, asociado con la inercia del caudal ante cambios en la fuerza boyante:

( )∫∆=

zAdz

PWT

bm

2 (III.17)

Por medio de las ecuaciones (III.4), (III.12) y (III.16), es posible obtener la función de transferencia del sistema, que tiene la siguiente forma:

( ) ( ) ( ) ( )sfsfsfPPs

PP

chNmss

bb

∆∆=

∆∆

δδ

δδ (III.18)

Ésta se compone por los siguientes términos:


46

- La ganancia del sistema:

V

N

ss

b

QQ

PP

2=

∆∆

δδ (III.19)

es la relación salida/entrada del sistema en condición estacionaria en el lazo abierto que muestra la Figura III.2. Ocurre si la señal de entrada es cambiada y mantenida en el tiempo como un valor constante.

- Los términos fm, fN y fc son funciones asociadas a los tiempos característicos de la ecuación de momento, transporte en núcleo y chimenea respectivamente:

( )1

1+

=m

m sTsf ; ( )

N

sT

N sTesf

N−−= 1 ; ( )ch

sT

ch sTesf

ch−−= 1 (III.20)

La Figura III.3 muestra un diagrama de Bode típico para las funciones mencionadas, que consiste en graficar la magnitud y fase cuando s = ωi; para el ejemplo, se asumen valores típicos para los tiempos característicos: Tm = 1 s, TNuc = 2 s and Tch = 14 s.

Según la teoría de control, el sistema se hace inestable si, para alguna frecuencia, se cumplen las siguientes condiciones:

-270

-180

-90

0

0.01

0.1

1

4π/Tch2π/Tch

Frecuencia (rad/s)

fm*fN*fch fm fN fch

Fase

(gra

dos)

Gan

anci

a

Figura III.3: Diagrama de Bode ilustrativo de las diversas componentes de la función de

transferencia.


47

- La fase es menor a -180o - La ganancia sea mayor que 1. El análisis de la función de transferencia en este diagrama nos permite deducir

algunas tendencias básicas: Para que se cumpla la segunda condición, la ganancia total del sistema debe

maximizarse. Bajo las hipótesis asumidas, ésta es proporcional a QN/QV; por lo tanto, el sistema se vuelve más inestable al crecer QN o decrecer QV.

La ganancia total tiende a cero cuando la frecuencia equivale a 2π n/Tch. Esto es porque el tiempo de transporte en la chimenea es algún múltiplo de el período de la oscilación en la señal de entrada. En ese caso, se establece en la chimenea un número entero de ondas completas, resultando en que la fuerza boyante permanece sin perturbar, de acuerdo a lo explicado en la sección III.1. La amplitud también disminuye al aumentar la frecuencia, en consecuencia las frecuencias en oscilaciones auto-sostenidas son típicamente bajas.

Dado que no es posible para fch satisfacer la primera condición, esto sólo puede lograrse con un atraso de fase en fN o fm. Cuando éstas se introducen, la condición se alcanza para frecuencias ligeramente menores a 2π n/Tch, que resultan las frecuencias típicas de las oscilaciones. Dado que Tm < TN para la mayor parte de los casos, esta condición depende principalmente de la dinámica del núcleo.

Cuando TN se reduce respecto de Tch, el sistema se estabiliza, debido a que se reduce el atraso de fase, necesitándose una mayor ganancia para alcanzar la condición inestable. Cuando TN es muy bajo y la ganancia es muy alta, es posible obtener inestabilidades para frecuencias más altas, dado que el atraso de fase aumenta en este caso.

3. Comparación con un modelo analítico. Con el objetivo de verificar que el esquema numérico aquí desarrollado es

adecuado para el análisis de estabilidad lineal, en esta sección se compara la predicción del límite de estabilidad con un modelo desarrollado por Delmastro D. et al (1991) en el campo de las frecuencias, el cual llamaremos “modelo analítico” de aquí en adelante. Una ventaja de este método es que es estrictamente no difusivo, y permite modelar en forma exacta los movimientos de pequeñas perturbaciones. La finalidad de la comparación con el esquema numérico es verificar que la difusión numérica es suficientemente baja como para evitar enmascarar el fenómeno de inestabilidad.

El modelo analítico fue desarrollado para el análisis de un sistema como el que muestra la Figura III.4, el cual es una simplificación de un generador de vapor de recirculación de tipo tubos en U, sin sobrecalentamiento. De la misma manera que en la sección III.1, en este modelo las ecuaciones se resuelven analíticamente, transformando en Laplace la variable temporal. Esto se hace tomando las mismas hipótesis simplificadoras de aquel caso, a excepción de las dos últimas. Es decir, se tienen en cuenta los desplazamientos de λ, los cambios de densidad y velocidad en doble fase para los cálculos de las pérdidas de carga, la inercia y la fuerza boyante. Las densidades en simple fase se mantienen constantes e iguales a saturación. Esto permite ampliar el análisis de oscilaciones al de tipo-II, donde el efecto de las fricciones en dos fases es importante, y donde gran parte de la fuerza boyante se da en la zona calefaccionada. Se desprecian las pérdidas de carga distribuídas frente a las localizadas, ubicándose estas últimas a la entrada y salida del calefactor, y a la salida de la chimenea.


48

Figura III.4: Esquema utilizado para el análisis de estabilidad

Luego, se obtiene una expresión de la función de transferencia cuya variable de

entrada es el caudal del sistema y la de salida la caída de presión a lo largo del circuito. De esta forma, es posible determinar la estabilidad del sistema, de acuerdo al criterio de Nyquist (Franklin G.F. et al, 1994): el sistema será estable si el contorno de la función transferencia compleja no encierra al origen. Este modelo ha sido chequeado con datos experimentales, con resultados satisfactorios.

Dado que el modelo analítico está adimensionalizado, el sistema queda determinado si se fijan los grupos adimensionales que se detallan en la Tabla III.1. En la misma, vfg es la diferencia de volúmenes de saturación, vf y vg son los volúmenes específicos de saturación de líquido y vapor respectivamente, W es el caudal másico inicial, Q la potencia transferida en el calefactor, LN es la longitud del calefactor, uref es la velocidad de referencia que se define como:

( ) AhhQu

fifref ρ−

= (III.21)

El número Fr queda determinado al resolver el estado estacionario del sistema. Cuando NZu es mayor a Nsub, existe vapor a la salida del calefactor.

Para el análisis, se introdujeron valores ilustrativos que permitan obtener límites de estabilidad típicos en un reactor tipo BWR en convección natural o en un generador de vapor tipo tubos en U, para lo cual se introdujo un calefactor más largo, una chimenea más corta y mayores fricciones en la zona de dos fases respecto de la configuración de CAREM prototipo, obteniéndose los valores que se especifican en la tercera columna. Los valores no especificados son los que se varían durante el barrido.

A fines comparativos, se asumen los mismos valores e hipótesis simplificadoras para el modelo numérico. En la Figura III.5 se comparan los límites de estabilidad obtenidos con ambos modelos; en el modelo numérico se fija Nch en 10 en todo el rango, acomodando


49

Parámetro Descripción Valor Utilizado

g

gf

fg

ifsub h

hhN

ρρρ −−

= Número de subenfriamiento -

g

gf

fgZu Wh

QNρ

ρρ −= Número de Zuber -

N

ref

gLu

Fr2

= Número de Froude -

f

fgfg v

vV = Cambio de volumen específico 8.04

LE = Le/LN Longitud de entrada (adim.) 1.5

LCH = Lch/ LN Longitud de chimenea (adim.) 0.5

AE = Ae/AN Área de entrada 2.5

ACH = Ach/AN Área de chimenea 2.5

Ke* = Ke Fricción a la entrada del calefactor 6.53

Ks/Ach2 Fricción a la salida del calefactor 1.13

Kch*=Kch/Ach

2 Fricción a la salida de la chimenea 2.4

Tabla III.1: Grupos adimensionales utilizados en el modelo analítico

acomodando los nodos en la zona calefaccionada de acuerdo a la nodalización adaptiva, sin pasos intermedios. Como se verá en el capítulo VI, se encontró que esta nodalización resulta en una solución convergida. Se observa un buen acuerdo entre modelos, lo cual muestra que el modelo numérico es apto para analizar casos cerca del límite de estabilidad. También se pueden visualizar las dos zonas de inestabilidad, llamadas de tipo-I y tipo-II, tal como se ha observado en soluciones analíticas y observaciones experimentales previas (Fukuda K. y Kobori, 1979; Kyung and Lee, 1994; Van Brag y Van Der Hagen, 1998a,b). Como se explicó en la sección I.5, las primeras son importantes en condiciones de baja fracción de vacío, y son causadas por variaciones en la fuerza boyante a lo largo de la chimenea. Estas son importantes en el caso de reactores auto-presurizados, y se verán con más detalle en las secciones subsiguientes. Las oscilaciones de tipo-II son dominantes en condiciones de alta fracción de vacío, y son causadas por la interacción entre el caudal y las caídas de presión en las zonas de doble fase. Sin embargo, la transición entre ambas inestabilidades es gradual, y no existen límites definidos que las separen.


50

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

Tipo-IITipo-I

2φ1φ

Inestable

Estable

Modelo Numérico Modelo analítico

N sub

NZU Figura III.5: Comparación de los modelos analítico y numérico

4. Análisis de estabilidad según el modelo numérico Resulta de interés estudiar algunos aspectos del esquema numérico en el caso

analizado. La Figura III.6 muestra un diagrama de niveles del factor de amplificación definido en II.3. Puede observarse que existe una mayor pendiente cerca de las inestabilidades de tipo-I que las de tipo-II. Esto hace que el límite de estabilidad de tipo-II se mueva más ante variaciones en los modelos. La Figura III.7 muestra las variaciones de las frecuencias de oscilación ω, definida en la sección II.3. En este caso las variaciones de las frecuencias son continuas, es decir que sólo hay un autovalor dominante en todo el rango. Las oscilaciones de tipo-I presentan menores frecuencias.

La Figura III.8 muestra la posición de la frontera de ebullición λ adimensionalizada con la longitud de calefacción LN. En este caso, dado que no se modela la variación de presión con altura, λ se encuentra siempre dentro del calefactor; en las oscilaciones de tipo-I, ésta se encuentra cerca de la salida del mismo, lo cual significa una condición de bajo título en la chimenea.

La Figura III.9 muestra los autovalores del sistema para los puntos que se indican en la Figura III.6: A en la zona estable (a = - 0.05 s-1), B en el límite de estabilidad (a = 0 s-1), C en la zona inestable (a = 0.05 s-1). Allí pueden verse todas las frecuencias características del sistema (eje imaginario), con sus respectivas constantes de decaimiento (eje real). Los autovalores dominantes serán los que presentan mayor parte real y producirán las oscilaciones con mayor permanencia en el tiempo. Puede observarse que existe una apreciable diferencia entre los autovalores dominantes y el resto.


51

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00NZu

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

Nsu

b1φ 2φ

Tipo-I Tipo-II

A

B

C

Figura III.6: Diagrama de niveles del factor de amplificación obtenido con el modelo

numérico

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00NZu

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

Nsu

b

Figura III.7: Diagrama de niveles de la frecuencia de oscilación obtenido con el modelo numérico


52

1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00NZu

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

Nsu

b

Figura III.8: Frontera de ebullición (λ), adimensionalizada con la longitud de calefactor,

obtenida con el modelo numérico

-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-0.05 0.00 0.050

1

A B C

Im(β

Fi)

Re(βFi)

Figura III.9: Autovalores del sistema discreto linealizado, en los tres puntos de análisis


53

La Figura III.10 muestra las evoluciones temporales de la perturbación en Ĝ adimensionalizada, calculadas para los tres puntos según el sistema no lineal (original) comparado con el sistema linealizado. El sistema se inicializa en estado estacionario, introduciendo a los 10 s una pequeña perturbación en Ĝ. Puede observarse, en primer lugar, una total concordancia del sistema linealizado con el original para todos los casos, ya que las evoluciones están prácticamente superpuestas. Se observan oscilaciones decrecientes para el punto A, oscilaciones auto-sostenidas para el punto B y oscilaciones crecientes para el punto C, coincidiendo las constantes de decaimiento (crecimiento) con el factor de amplificación calculado, en un todo de acuerdo con lo analizado anteriormente. Puede observarse también una concordancia la frecuencia de las oscilaciones.

La Figura III.11 muestra la propagación de la perturbación de entalpía a lo largo de la chimenea para el punto B, pudiendo observarse que la amplitud y período de la onda a la entrada de la chimenea permanecen inalteradas al transportarse hasta la salida. Esto muestra la baja difusión alcanzada en el esquema gracias a la nodalización adaptiva.

0 50 100 150 200-1.5

0.0

1.5

Caso A No lineal Lineal c*e-0.05t

δG/G

0*105

Tiempo [s] a)

0 50 100 150 200-2

0

2

4

6

8

10

Caso B No lineal Lineal

δG/G

0*105

Tiempo [s] b)

0 50 100 150 200-0.2

0.0

0.2

Caso C No lineal Lineal c*e0.05t

δG/G

0

Tiempo [s] c)

Figura III.10: Evoluciones temporales del flujo másico promedio adimensionalizado, según el sistema no lineal (original) y el sistema linealizado, para los puntos a) estable,

b) indiferente y c) inestable (puntos A, B y C).


54

0 50 100

-4

0

4

Caso B Salida calefactor Salida chimenea

δh/h

0*106

Tiempo[s] Figura III.11: Evoluciones temporales de la perturbación de entalpía a la salida del

calefactor y su propagación a la salida de chimenea.

CAPITULO IV

Análisis de Estabilidad Lineal

Análisis de estabilidad lineal

56

Un aspecto que interesa analizar, es la influencia de diferentes factores o hipótesis de modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema. En este capítulo, se analiza la estabilidad del prototipo del reactor CAREM, utilizando el método de linealización que se presenta en la sección II.3.

Debido a la complejidad del mismo, se realiza el análisis comenzando con un modelo simple, en el que se aplican hipótesis que frecuentemente se asumen en los llamados “modelos de bajo orden”, a fin de simplificar el sistema para entender la naturaleza básica de las oscilaciones, o bien para hacer uso de soluciones analíticas (tal como se mostró en el capítulo III). Luego se incrementa la complejidad en forma gradual, agrupando en “casos” que involucran modelos con diferentes grados de simplificación.

En cada caso se asumen las mismas hipótesis que el caso anterior, a excepción de la que se analiza en particular. De esta forma se obtienen mapas de estabilidad para cada caso, y se analiza la influencia de diversos factores. Se utiliza la misma geometría del reactor a lo largo de todo el análisis.

La confección de los mapas de estabilidad se realiza utilizando la potencia generada en el núcleo como variable de abcisas, y la potencia extraída por condensación en la zona de vapor del domo (QV) como variable de ordenadas (en lugar del subenfriamiento a la entrada de núcleo como comúnmente se toma en la bibliografía). Esto permite una mejor visualización de la zona de interés: un amplio rango en QN con bajos valores de QV. Los niveles en las curvas paramétricas representan el factor de amplificación a, presentado en la sección II.3.

1. Caso Base En este caso se aplican las mismas hipótesis que en el modelo analítico

presentado en la sección III.3, excepto que los términos de fricción ahora se distribuyen a lo largo del sistema, reproduciendo aproximadamente la geometría del reactor. La condición de temperatura de entrada de núcleo constante implica que las perturbaciones en los GV no son tenidas en cuenta. Este modelo se corresponde con algunos de los más simples utilizados para predecir inestabilidades, y se toma como caso base en el análisis paramétrico.

Bajo estas hipótesis, el mapa de estabilidad calculado con el modelo numérico se muestra en la Figura IV.1. Nch se fija en 70 para todo el rango, adaptando el número de nodos en el núcleo de acuerdo a la nodalización adaptiva, sin introducir pasos intermedios.

Al aumentar QN, se incrementa la sensibilidad de la entalpía a la salida de núcleo ante cambios en G; luego, las perturbaciones en la fuerza boyante se magnifican y el sistema se vuelve inestable. Por otro lado, dado que en este caso no se consideran los cambios de la densidad en simple fase, la fuerza boyante depende sólo de la fracción de vacío producida en la zona calefaccionada, la cual es influenciada mayormente por QV. Por lo tanto, cuando se incrementa QV, la fuerza boyante se magnifica y su sensibilidad relativa a cambios en G disminuye, lo cual estabiliza el sistema.

Estas tendencias están de acuerdo con lo explicado en la sección III.2, utilizando el modelo simplificado de bajo orden.


57

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00

Potencia de Nucleo [MW]

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.1Mapa de estabilidad para el caso base, el modelo más simple tomado para

predecir oscilaciones

2. Potencia no uniforme Se implementa un perfil de potencia generada más realista respecto del caso

base. Se espera que el perfil de potencia disminuya cerca de los bordes debido a la fuga de neutrones y particularmente en la parte superior del núcleo, por el efecto de la reactividad negativa que introduce la fracción de vacío a la salida del mismo y la presencia de las barras reguladoras. El factor de peso utilizado para la potencia lineal se muestra en la Figura IV.2. Ésta es una distribución de tipo cosenoidal, con el máximo desplazado

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Fact

or d

e pe

so

z/LN Figura IV.2: Factor de peso utilizado para el perfil de potencia axial.


58

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.3: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la dinámica de núcleo

desplazado hacia la entrada de núcleo, a fin de representar los efectos arriba mencionados.

El mapa de estabilidad resultante se muestra en la Figura IV.3. Debido a la disminución de la potencia generada a la salida del núcleo respecto del caso anterior, λ se desplaza aguas arriba, produciendo una ebullición más “temprana” dentro del núcleo. Consecuentemente, el retraso debido al tiempo de transporte en el núcleo disminuye, reduciendo el atraso de fase. Tal como se vió en la sección III.2, este efecto debilita la interacción con la fuerza boyante, y el sistema se hace más estable.

3. Drift-flux En este caso, se habilita en el modelo el cálculo de la velocidad relativa entre

fases, por medio del modelo de drift-flux. El mapa de estabilidad que se obtiene se muestra en la Figura IV.4.

En el modelo de drift-flux las burbujas se mueven a mayor velocidad, respecto del modelo homogéneo. Esto produce dos efectos:

- Por un lado, disminuye la fracción de vacío para un mismo QV, reduciendo la fuerza boyante y aumentando consecuentemente su sensibilidad ante cambios en G, produciendo un efecto desestabilizante. Este efecto es relativamente más significativo cuando se incrementa QV, dado que la fracción de vacío se incrementa y la velocidad relativa entre fases es mayor.

- Por otra parte, se incrementa la velocidad del movimiento de perturbaciones a lo largo de la zona de dos fases. Esto se refleja en el término ∂ĥ/∂h (ecuación II.77), que en el caso de flujos ascendentes de burbujas, es siempre mayor que la unidad. Por lo tanto, el tiempo característico de chimenea disminuye. Según lo visto en la sección III.2, esto


59

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

16.00

18.00

20.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.4: Influencia del modelo de drift-flux

esto contribuye a desestabilizar el sistema, a la vez que aumenta la frecuencia de las oscilaciones.

4. Cambios de densidad en simple fase Al contrario de lo que sucede en reactores de tipo BWR en convección natural,

en el concepto CAREM la fuerza boyante dominante es la debida a los cambios de la densidad en simple fase, especialmente a bajos QV, lo que es comúnmente despreciado en los modelos más simples aplicados a BWR. Este efecto es ahora introducido por medio del cálculo de densidad en simple fase utilizando funciones de estado, incluyendo también los movimientos de frentes de temperatura a lo largo del GV y el downcomer.

La influencia de la fracción de vacío en la fuerza boyante disminuye cuando se tiene en cuenta la contribución por los cambios de densidad en simple fase, y dado que ésta es mucho menos sensible a perturbaciones en el caudal, provee un fuerte efecto estabilizador en el sistema. Esto se observa en el mapa de estabilidad que se muestra en la Figura IV.5. En esta Figura, el límite superior en el eje vertical se cambió respecto de los casos anteriores, para una mejor visualización de la zona de interés a bajos QV.

Debido a que el tiempo de residencia del fluido en el GV es muy grande comparado con el de núcleo, las fluctuaciones a la salida de los mismos son pequeñas en comparación con las de salida de núcleo, por lo que no producen grandes cambios en la estabilidad del sistema. Estas fluctuaciones provocan pequeñas perturbaciones en el subenfriamiento a la entrada del núcleo, dando lugar a nuevos modos de oscilaciones amortiguadas, dominantes en la región más estable (altos QV, bajos QN), con frecuencias características que se corresponden con el tiempo de transporte a lo largo del downcomer.


60

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.5: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la fuerza boyante debida a

los cambios de la densidad en simple fase

En este caso, Nch se fija en 40 en todo el rango, adaptando el número de nodos en el núcleo de acuerdo a la nodalización adaptiva, introduciendo cinco pasos intermedios para la resolución de la ecuación de energía, necesarios para refinar la nodalización y obtener un mejor detalle de los movimientos de λ en esta zona. Como se verá en el Capítulo VI, esta nodalización presenta una solución convergida.

5. Corrección de presión con altura hidrostática En los casos anteriores, λ se encuentra siempre dentro de la zona del núcleo. Sin

embargo, cuando QV es pequeño o el cambio de presión con altura es significativo, puede ocurrir ebullición en la chimenea debido a la disminución de la entalpía de saturación con la altura, fenómeno que se introduce en esta sección. Este fenómeno se conoce como “flashing”. En el modelo numérico, la presión local tiene en cuenta los cambios por altura hidrostática para el cálculo de las propiedades de saturación, de acuerdo a la ecuación II.57.

El mapa de estabilidad obtenido para este caso se muestra en la Figura IV.6. Cuando QV es mayor que aproximadamente 0.75 MW, λ se localiza en el núcleo, y el mapa de estabilidad no muestra mayores diferencias con el caso anterior. Cuando QV es menor, λ es desplazado hacia la chimenea, mostrando un significativo aumento en el factor de amplificación. Esto ocurre cuando, sin producirse ebullición en el núcleo, la entalpía a la salida del mismo es mayor que la entalpía de saturación a la salida de la chimenea. Esto equivale a la siguiente condición:

)( D_fN_fV hhWQ −≤


61

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00

Potencia de núcleo [MW]

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

a)

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

b)

c)

Figura IV.6: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la corrección por altura hidrostática.

Cuando esto sucede, la fuerza boyante del sistema se hace sensible tanto a los

cambios en la entalpía a la salida del núcleo como a los movimientos de λ, incrementando su sensibilidad frente a cambios en el caudal. Esto produce un efecto desestabilizador que aumenta el factor de amplificación.


62

Para valores de QV muy bajos, λ se encuentra cerca de la salida de la chimenea. Por lo tanto, la zona de dos fases tiende a desaparecer, reduciendo la contribución de la fracción de vacío en la fuerza boyante; como resultado, disminuye su sensibilidad relativa. Luego, las oscilaciones son amortiguadas más eficientemente, apareciendo una nueva zona de estabilidad.

Este caso se toma como referencia para el análisis del comportamiento termohidráulico del reactor considerando presión y potencia constantes, ya que incluye todos los modelos postulados para el refrigerante a lo largo del circuito primario. Resulta entonces un caso interesante para analizar más detenidamente.

La Figura IV.7-a muestra las trayectorias de los autovalores más significativos, a medida que se aumenta QV manteniendo QN en 100 MW. Como se explica en la Sección II.3, la parte imaginaria es la frecuencia de un modo de oscilación y la parte real la amplificación del mismo. Éstos se mueven aumentando siempre sus frecuencias, lo que se explica por la disminución de los tiempos de residencia del fluido en los diversos componentes, tanto por el aumento del caudal como de la fracción de vacío, en el caso del núcleo y chimenea. En cuanto a la parte real, puede observarse que todos presentan un máximo en la zona de flashing, donde la sensibilidad de la fuerza boyante es mayor frente a cambios de caudal; luego migran hacia zonas más estables a medida que aumenta QV, de acuerdo a lo explicado anteriormente.

En la Figura IV.7-b se repiten las trayectorias mostradas en la Figura IV.7-a, ahora considerando la temperatura de entrada al núcleo constante. De la comparación de ambas figuras se deduce un aspecto interesante: éstas son equivalentes a excepción de la región en que QV es muy pequeña. En este caso, la fracción de vacío generada es muy baja y la dinámica de dos fases tiene aún relativamente poco peso frente a las perturbaciones en simple fase. Aparece entonces un autovalor de baja frecuencia como dominante, relacionado con los modos de oscilación de la rama fría. Su frecuencia aumenta debido al incremento del caudal de primario, aunque lo hace levemente puesto que esta región siempre permanece en simple fase. Sin embargo, superado un valor de QV relativamente pequeño, el sistema pasa a estar gobernado por la dinámica de dos fases en la rama caliente, y las perturbaciones en la temperatura a la entrada de núcleo pasan prácticamente desapercibidas. Los siguientes dos autovalores de mayor frecuencia corresponden entonces con el primer y segundo modo de oscilación de la chimenea, y son dominantes cuando aumenta la zona bifásica en esta zona. Cuando esto ocurre, λ se desplaza hacia el núcleo reduciendo el tiempo característico, lo que hace aumentar la frecuencia de sus autovalores asociados.

Las trayectorias de las partes real e imaginaria de estos autovalores en función de QV se muestran en la Figura IV.8 y la Figura IV.9 respectivamente. Allí se observa la composición del factor de amplificación (parte real) y frecuencia (parte imaginaria) del sistema. La mayor parte de la zona inestable está gobernada por el primer modo de oscilación de la chimenea. La frecuencia del sistema presenta cambios discontinuos cuando se producen cruces de autovalores dominantes; en estos puntos coexisten dos frecuencias de oscilación como dominantes.


63

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Posición de λ:chim. núcleo

Autovalores Autovalor dominante

|Im(β

Fi)|

(ω)

Re(βFi) (a) a)

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

TINNuc= cte



|Im(β

Fi)|

(ω)

Re(βFi) (a) b)

Figura IV.7: Recorrido de los autovalores dominantes al incrementar QV de 0 a 3 MW, para QN = 100 MW, con corrección por altura hidrostática: a) considerando las

perturbaciones de rama fría, b) asumiendo temperatura de entrada de núcleo constante


64

0.0 0.8 1.6

-0.2

-0.1

0.0

0.1

NúcleoChimeneaPosición λ


Re(β

Fi) (

a)

QV [MW] Figura IV.8: Factor de amplificación de los principales modos de oscilación, como

función de QV, en el caso de corregir por altura hidrostática.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



|Im(β

Fi)|

(ω)

QV [MW] Figura IV.9: Frecuencias características de los principales modos de oscilación, como

función de QV, en el caso de corregir por altura hidrostática.


65

Figura IV.10: Mapa de frecuencias dominantes, en el caso de corregir por altura

hidrostática. La Figura IV.10 muestra las frecuencias caracerísticas del sistema para todo el

rango de QV y QN; nuevamente, el primer modo de oscilación de la chimenea es dominante en la mayor parte, a excepción de una pequeña región en la zona de flashing donde aparece el segundo modo, y la zona más estable (altos QV, bajos QN), donde domina el autovalor asociado al modo de oscilación de rama fría, el cual permanece estable en casi la totalidad del rango estudiado.

6. Dinámica de núcleo Para analizar la influencia de la dinámica del núcleo en la estabilidad del sistema,

se incluye el modelo térmico de los combustibles (ecuación II.49) y la realimentación neutrónica. El mapa de estabilidad que se obtiene se muestra en la Figura IV.11.

El efecto más importante en este caso es el debido a la realimentación por densidad de refrigerante: en el caso de condición de flujo de calor constante, un aumento en el caudal de núcleo es seguido por una disminución de la entalpía a la salida del mismo y, por lo tanto, un incremento en la densidad promedio del refrigerante en esta zona. Cuando se incluye la realimentación neutrónica, tiene lugar una inserción de reactividad debido a que el coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante (Rρ) es positivo. Luego, la potencia por fisiones aumenta y la tendencia de este fenómeno es la de incrementar la entalpía a la salida del núcleo, lo cual tiende a balancear el efecto termohidráulico. Por otra parte, la realimentación neutrónica también presenta una respuesta más rápida, dado que un cambio en la densidad promedio del refrigerante afecta a la potencia, lo cual se manifiesta a la salida del mismo antes de la llegada del frente de entalpía. Esto disminuye el retardo asociado o atraso de fase. Los dos fenómenos explicados proveen un efecto estabilizador para oscilaciones de baja frecuencia, que ocurren cuando QV es pequeña. El resultado es que, en el rango esperable para el funcionamiento del reactor (QV menores a 1 MW) sólo permanece una región de inestabilidad atribuible al fenómeno de flashing.


66

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.11: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la dinámica de núcleo.

La Figura IV.12 muestra la trayectoria de los autovalores dominantes, a medida

que aumenta QV manteniendo QN = 100 MW. En la zona de flashing se observa un comportamiento análogo al caso anterior, aunque los autovalores correspondientes a los modos de oscilación de menor frecuencia pierden peso respecto a los de mayor, producto de la respuesta más rápida del núcleo. Como consecuencia, existe una competencia


67

-0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.040.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Real (a)



|Im(β

Fi)|

(ω)

Figura IV.12: Recorrido de los autovalores dominantes al incrementar QV de 0 a 3 MW,

fijando QN = 100 MW, en el caso de modelar la dinámica del núcleo.

0 1 2

-0.08

0.00



Re(

β Fi) (

a)

QV [MW] Figura IV.13: Factor de amplificación de los principales modos de oscilación, como

función de QV, en el caso de modelar la dinámica del núcleo.


68

0 1 2 30.0

0.7

1.4



|Im(β

Fi)|

(ω)

QV [MW] Figura IV.14: Frecuencias características de los principales modos de oscilación, como

función de QV, en el caso de modelar la dinámica del núcleo. competencia de autovalores de diferentes frecuencias. Esto hace que no exista un único autovalor dominante en todo el rango, Figura IV.13, produciendo cambios discontinuos en la frecuencia característica, Figura IV.14.

Cuando λ se desplaza hacia el núcleo, el efecto de la realimentación neutrónica se hace dominante y tienen lugar oscilaciones de mayores frecuencias. Debido al bajo flujo de potencia en la salida del núcleo (Figura IV.2), la posición de λ se hace relativamente más sensible a perturbaciones, resultando en un incremento en la, sensibilidad, observándose un nuevo máximo. Esto es análogo a lo explicado para el flashing en el caso anterior, aunque hay que observar que, a diferencia de aquel, donde las frecuencias características son comparables al tiempo característico de chimenea, en este caso dominan frecuencias mayores, relacionadas con el tiempo característico de núcleo.

La Figura IV.15 muestran las frecuencias características del sistema para todo el rango de QV y QN; para QV bajos, se observan saltos en la frecuencia característica en la zona del flashing, producto de la competencia de autovalores. Cuando QV es mayor, λ se encuentra en el núcleo, la realimentación neutrónica se incrementa e introduce modos de oscilación de mayor frecuencia asociadas con la dinámica del núcleo. Se observa entonces un solo modo de oscilación dominante, a excepción de la zona más estable que, análogamente al caso anterior, domina el modo de oscilación del downcomer.

La Figura IV.16 muestra el factor de amplificación y su frecuencia correspondiente para variaciones relativas en Rρ para QN = 100 MW, QV = 0.5 MW; estos valores aproximan un punto de trabajo posible del reactor, que llamaremos “punto de interés”. Allí se compara con el caso de considerar la temperatura de entrada al núcleo constante. Puede observarse que se verifica la tendencia al caso de potencia constante


69

Flashing

Figura IV.15: Mapa de frecuencias dominantes, en el caso de modelar la dinámica del

núcleo. constante cuando Rρ es muy pequeño. Luego, el efecto de la realimentación neutrónica se incrementa al aumentar Rρ, proveyendo un efecto estabilizador. Esta tendencia se mantiene hasta variaciones relativas del 100% en Rρ aproximadamente, notándose una concordancia con el caso de temperatura de entrada de núcleo constante; es decir que las perturbaciones de la rama fría permanecen prácticamente desapercibidas. Sin embargo, a partir de este punto ambos casos muestran tendencias contrapuestas:

En el caso despreciar las perturbaciones de la rama fría el factor de amplificación continúa disminuyendo. Debido a que la realimentación neutrónica tiende a estabilizar en mayor medida las oscilaciones de baja frecuencia, aquellas de mayores frecuencias se hacen dominantes.

En el caso de considerar las perturbaciones de la rama fría se observa un cambio de tendencia: el sistema es relativamente desestabilizado, pudiendo incluso inestabilizarse cuando la realimentación neutrónica es demasiado fuerte. Esto se debe que, al incrementar Rρ, los cambios de temperatura a la entrada de núcleo logran afectar la potencia generada, que a su vez afecta los frentes de entalpía en la chimenea. Las oscilaciones que resultan entonces son de muy baja frecuencia, comparables con el tiempo característico de todo el circuito. Es decir que, a diferencia de los casos hasta aquí analizados, estas oscilaciones son sensibles tanto a los tiempos de transporte en la rama


70

-1 0 1 2 3 4 5-0.12

-0.08

-0.04

0.00

0.04

0.08

NDC=Adaptiva TI

N = cte

Nominal

Sin realimentación neutrónica

QN=100 MW, Q

V=0.5 MWFa

ctor

de

ampl

ifica

ción

∆Rρ/Rρ a)

-1 0 1 2 3 4 50.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Sin realimentación neutrónica

Nominal

QN=100 MW, QV=0.5 MW

NDC=Adaptiva TIN = cte

Frec

uenc

ia [r

ad/s]

∆Rρ/Rρ b)

Figura IV.16: Dependencia de a) el factor de amplificación y b) la frecuencia de oscilación en la realimentación neutrónica en el punto de interés, al cambiar el

coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante Rρ.


71

-1 0 1 2 3-0.04

0.00

0.04

0.08Nominal

Flujo de calor cte. en núcleo


Fact

or d

e am

plifi

caci

ón

∆HAN/HAN a)

-1 0 1 2 30.45

0.50

0.55

Nominal

Flujo de calor cte. en núcleo


Frec

uenc

ia [r

ad/s]

∆HAN/HAN b)

Figura IV.17: Dependencia de a) el factor de amplificación y b) la frecuencia de oscilación en el área de transferencia de núcleo, al cambiar HAN .


72

rama fría como a los de rama caliente. Sin embargo, vale aclarar que las mismas sólo aparecen para Rρ relativamente altos. En el capítulo V se analizarán algunos aspectos relativos a estas oscilaciones.

Otro aspecto interesante es el efecto que surge al cambiar el factor HAN definido en la sección II.1.3.1, lo que equivaldría, por ejemplo, a cambiar el diámetro de las barras de combustibles. Esto se muestra en la Figura IV.17. También se compara el caso de temperatura de entrada al núcleo constante.

Cuando HAN se reduce, la temperatura promedio de núcleo debe incrementarse de manera de mantener la potencia transferida. Luego, ésta se hace menos sensible a cambios en la temperatura de combustible, dado el incremento en su valor absoluto. El límite de HAN → 0 coincide con una condición de flujo de calor constante. Un incremento en HAN puede interpretarse entonces como aumento de la sensibilidad del núcleo, análogamente al caso de incrementar Rρ. Puede notarse un efecto estabilizador en todo el rango analizado.

7. Realimentación de presión Otra de las principales diferencias del diseño analizado en este trabajo con

reactores tipo BWR, es el de la auto-presurización. En efecto, en los BWR la presión se controla mediante la extracción de vapor. Por otra parte, el volumen ocupado por vapor es relativamente grande en relación al líquido, ya que nominalmente funcionan a altas fracciones de vacío, y las líneas de vapor proveen un volumen adicional. Estos hechos hacen que las variaciones de presión sean relativamente amortiguadas, por lo que normalmente se asume presión constante como una buena aproximación en los modelos. Estos factores no existen en el diseño CAREM.

La dinámica de presión, gobernada por el domo de vapor, se incluye ahora en el modelo. Para esto, se utiliza el modelo de no-equilibrio entre fases para esta zona. Este es el caso más “realista”, ya que incluye todos los modelos estudiados para el sistema primario.

La realimentación de presión ocurre en forma instantánea: un incremento de la fracción de vacío en la chimenea expande todo el refrigerante, presurizando el sistema en forma inmediata. Esto aumenta la entalpía de saturación, tendiendo a disminuir la fracción de vacío. Por lo tanto, el efecto natural de la realimentación de presión es el de balancear los cambios de densidad en la zona de dos fases. El mapa de estabilidad resultante se muestra en la Figura IV.18: puede observarse un efecto estabilizador, consistentemente con lo arriba explicado. El sistema permanece estable en casi todo el rango, persistiendo la zona de inestabilidad a bajo QV, producidas por el efecto del flashing, aunque más reducida.

La realimentación de presión es más fuerte cuando la relación de los volúmenes de líquido/vapor en el primario es mayor. Esto se muestra en la Figura IV.19, donde se observa el factor de amplificación para el punto de interés; la realimentación de presión es incrementada cuando el volumen de vapor es menor (mayor relación líquido/vapor), estabilizando el sistema. El límite de volumen de vapor infinito coincide con el caso de no modelar la realimentación de presión.


73

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura IV.18: Mapa de estabilidad mostrando la influencia de la realimentación de

presión.


74

0 5 10 15 20-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Punto nominal

Sin realim. de presión

QN=100 MW, QV=0.5 MWFa

ctor

de

ampl

ifica

ción

Vliq/Vvap a)

0 5 10 15 20

0.470

0.475

0.480

0.485

0.490

0.495

0.500

0.505

Punto nominal

Sin realim. de presión


Frec

uenc

ia [r

ad/s]

Vliq/Vvap b)

Figura IV.19: Dependencia del factor de amplificación con la realimentación de presión, al cambiar la relación de volúmenes de líquido/vapor en el sistema primario.

CAPITULO V

Aspectos de Estabilidad no Lineal

Aspectos de estabilidad no lineal

76

En el Capítulo IV se estudió el reactor desde el punto de vista de la estabilidad lineal; allí se utilizaron métodos para determinar los principales modos de oscilación, amplificaciones y frecuencias características de las oscilaciones. En este Capítulo, se analiza el comportamiento no lineal del sistema cuando se hace inestable.

El análisis se concentra en los últimos tres casos presentados en el Capítulo IV de manera de estudiar los efectos de realimentación neutrónica y la auto-presurización. Esto se lleva a cabo mediante estudios paramétricos, evaluando en cada caso la influencia de diversos factores.

1. Potencia y presión constantes Para el análisis no-lineal, se toma como base el caso presentado en la Sección

IV.5, es decir el caso en que se estudia el efecto del “flashing”, considerando potencia generada constante y presión constante pero no uniforme. Para analizar la dinámica no lineal del sistema, se estudia el sistema en el dominio de tiempo para el punto de interés: QN = 100MW, QV = 0.5MW.

El sistema se encuentra inicialmente en estado estacionario. A los 10s, se introduce una pequeña perturbación en el sistema, que consiste en aumentar el caudal medio del circuito (proporcional al impulso total Ĝ) un 0.01%. En la Figura V.1 se observa la evolución de este caudal a partir de esta pequeña perturbación: el sistema comienza a oscilar, y la amplitud de oscilaciones crece con el tiempo, tal cual se esperaba a partir del análisis de estabilidad lineal. El caudal medio es representativo del caudal del circuito y sus variaciones resultan del orden de las de los caudales locales, aunque levemente menores.

0 200 400 600-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

Cau

dal r

elat

ivo

Tiempo [s] Figura V.1: Evolución temporal para variaciones relativas en el caudal.


77

La oscilación de caudal genera a su vez una oscilación en la entalpía a la salida del núcleo. Esto provoca un frente de entalpía que se propaga a lo largo de la chimenea, generando una oscilación en λ, cuya evolución se muestra en la Figura V.2 (0 = entrada de núcleo, 1 = salida de chimenea). Las oscilaciones crecen en amplitud porque la realimentación de la fuerza boyante con el caudal es mayor que la perturbación inicial, y porque los retrasos de tiempo hacen posible una realimentación positiva.

Las variaciones en la entalpía de salida de núcleo causan que las partículas fluidas lleguen a ebullición en distintas posiciones. Cuando las oscilaciones son pequeñas, esto sólo causa desplazamientos de λ alrededor del punto estacionario. Sin embargo, cuando éstas crecen en amplitud, pueden ocurrir dos efectos:

- λ llega a los límites de la chimenea (en este caso el núcleo).

- Aparecen múltiples λ en un mismo tiempo.

El segundo fenómeno responde a la formación de “paquetes” de agua subenfriada que se desplazan en la chimenea, con agua en saturación antes y después del mismo. Esto puede visualizarse en la Figura V.3, donde se grafican los títulos estáticos x (calculados a partir de h) como función del tiempo y la posición en chimenea. Los títulos de las partículas fluidas aumentan levemente a medida que se desplazan debido a la despresurización con la altura, lo que ocasiona además que el fenómeno de ebullición pueda ocurrir en varios puntos simultáneamente. Resulta interesante constatar que no se produce condensación en el proceso: todas las partículas de fluido pasan a ebullición, en algún punto del núcleo o la chimenea.

Estos fenómenos, no tenidos en cuenta en el análisis lineal, son los principales limitadores de la amplitud de oscilación. La Figura V.4 muestra el ciclo límite en el diagrama

0 100 200 300

0.5

1.0

Lím. de núcleo

λ

Tiempo [s] Figura V.2: Evolución de la frontera de ebullición (λ)


78

950.00 960.00 970.00 980.00 990.00 1000.00

Tiempo [s]

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00Po

sici

ón re

lativ

a

Figura V.3: Diagrama de contorno mostrando la distribución de los títulos en la

chimenea, durante la oscilación una vez alcanzado el ciclo límite.

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.040.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.4: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite. Títulos en la salida de

chimenea vs. salida de núcleo


79

diagrama de fases de x a la entrada versus a la salida de la chimenea (xch_e y xch_s, respectivamente). En este diagrama puede determinarse si λ llega a los límites superior o inferior de la chimenea, según se observen cruces por cero en xch_s o xch_e respectivamente, verificándose en este caso la segunda condición. No es apreciable en este diagrama la existencia de múltiples λ.

En la Figura V.1 pueden observarse las oscilaciones una vez alcanzado el ciclo límite, a partir de los 200s aproximadamente. Resulta interesante observar que el caudal medio durante las oscilaciones no coincide con el caudal inicial (estacionario teórico), resultando levemente mayor: esto es producto de la naturaleza no-lineal del proceso, efecto que ya ha sido observado en otras aplicaciones (Delmastro D. et al, 2001b). Por otra parte, puede verse que la amplitud de oscilación de caudal es del orden del 1 %. Es decir que el reactor puede considerarse estable en el sentido “práctico”, en oposición con el análisis que resulta desde el punto de vista lineal, ya que oscilaciones de esta amplitud probablemente permanecerían desapercibidas en el caso de estar presentes en el reactor.

Resulta de interés el comportamiento no lineal del sistema en el rango esperable para el funcionamiento del reactor, esto es la región de bajos QV (menores a 1 MW). Esto se realiza recorriendo una curva de iso-amplificación próxima al límite de estabilidad obtenido con el análisis lineal, en la región inestable. Para esto, se analiza en el dominio de tiempo los puntos que se muestran en la Figura V.5, situados en la curva a = 0.02 s-1.

Las órbitas límite resultantes para los puntos elegidos se muestran en la Figura V.6 a y b. Pueden verse también los valores iniciales, identificando la posición de λ en su

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00Potencia de núcleo [MW]

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Pot

enci

a de

con

dens

ació

n [M

W]

1

2

3

4 56

Figura V.5: Mapa de estabilidad mostrando los puntos tomados en el análisis de órbitas

límite.


80

-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.250.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1

2

3

Estado inicial

3

2

1

x ch_s (%

)

xch_e (%) a)

-0.15 -0.10 -0.05 0.00-0.05

0.00

0.05

0.10

456

Estado inicial

645

x ch_s (%

)

xch_e (%)

b) Figura V.6: Órbitas límite obtenidas para los puntos indicados en la Figura V.5.


81

su estado estacionario: núcleo (xch_e > 0) ó chimenea (xch_e < 0, xch_s > 0). Después de la perturbación, en todos los casos se alcanza el régimen de flashing, es decir que ocurre ebullición en chimenea, y λ alcanza los límites de la misma en casi todos ellos. De esta manera se limitan las variaciones de los títulos, que nunca superan el 0.4%, siendo las órbitas más grandes las que corresponden a λ en la zona de núcleo en su estado inicial. En los puntos 5 y 6, que muestran menores títulos iniciales, se alcanza también el límite superior, es decir que en esos casos hay partículas que nunca llegan a ebullición, saliendo de la chimenea en simple fase.

2. Dinámica de núcleo A fin de analizar la influencia de la dinámica del núcleo en la evolución temporal

de las oscilaciones y los ciclos límites, se habilita en las simulaciones el modelo térmico de los combustibles (ecuación II.49) y la realimentación neutrónica.

Como ya se explicó en la Sección IV.6, el efecto de la realimentación neutrónica puede interpretarse, para oscilaciones de baja frecuencia, como contrapuesto al efecto puramente termohidráulico: un aumento en el título de núcleo produce una disminución en la potencia generada, resultando a su vez en una disminución del título a la salida. La respuesta más rápida del núcleo ante cambios de título en el mismo también contribuye a estabilizar el sistema, dado que un cambio en el título promedio produce un cambio en la potencia que se manifiesta a la salida del mismo, disminuyendo el atraso de fase.

A continuación se muestran los resultados del estudio de la dinámica del sistema para el punto de interés. Igual que antes, se inicializa el sistema en estado estacionario y se introduce una pequeña perturbación de 0.01% en el caudal medio. La amplitud de oscilaciones también crece con el tiempo, tal cual puede observarse en la evolución de λ que se muestra en la Figura V.7. Pueden observarse los mismos factores no lineales que acotan la amplitud de oscilación: los límites de la chimenea, y la coexistencia de más de una frontera de ebullición, Figura V.7 y Figura V.8. Sin embargo, se observa también que el movimiento de λ se encuentra más acotado que en el caso sin cinética. Esto responde al efecto contrapuesto de la realimentación neutrónica con la tendencia del sistema termohidráulico. La Figura V.9 y la Figura V.10 muestran las evoluciones temporales del caudal medio y la potencia generada, observándose que los mismos se encuentran acotados en un 0.3 y 0.4 %, respectivamente.

La Figura V.11 muestra el diagrama de fases de x a la entrada versus al de salida de la chimenea. Se observa nuevamente la existencia de un ciclo límite estable, que coincide con el cruce de λ con la frontera con el núcleo. No obstante, la amplitud del ciclo límite es menor que el caso sin cinética.

La Figura V.12 muestra las variaciones en el título dinámico xd (calculado a partir de ĥ) a lo largo del circuito (es decir, xd(z,t)-xd(z,t=0)), como función de la posición y el tiempo, durante las oscilaciones para Rρ = Rρ0, una vez establecido el ciclo límite. A diferencia del título estático, xd no varía con la velocidad relativa entre fases, lo que lo hace un buen parámetro para el seguimiento de frentes. Se observa que estas oscilaciones tienen lugar principalmente en la rama caliente, ya que las perturbaciones en la rama fría son pequeñas en comparación con las de esta zona.


82

0 100 200 300 400 500

0.5

Lím. de núcleo

λ

Tiempo [s] Figura V.7: Evolución temporal de la frontera de ebullición, para el caso con

realimentación neutrónica.

950.00 960.00 970.00 980.00 990.00 1000.00

Tiempo [s]

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Posi

ción

rela

tiva

Figura V.8: Diagrama de contorno mostrando la distribución de los títulos en la

chimenea, cuando se incluye la realimentación neutrónica.


83

0 200 400 600-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

Cau

dal r

elat

ivo

Tiempo [s] Figura V.9: Evolución temporal de las variaciones relativas del caudal, cuando se

incluye la realimentación neutrónica

0 200 400 600-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

Pote

ncia

rela

tiva

Tiempo [s] Figura V.10: Evolución temporal de las variaciones relativas de la potencia generada


84

-0.04 -0.02 0.000.04

0.05

0.06

0.07

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.11: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite, en el caso de incluir realimentación neutrónica. Títulos en la salida de chimenea vs. salida de núcleo

950.00 960.00 970.00 980.00 990.00 1000.00

Tiempo [s]

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Posi

ción

[m]

-0.0003

-0.0003

-0.0002

-0.0002

-0.0001

-0.0000

0.0000

0.0000

0.0001

0.0002

0.0002

GV

Down-comer

Núcleo

Chim.

Figura V.12: Diagrama de contorno mostrando las variaciones del título a lo largo del

circuito, durante las oscilaciones en el ciclo límite.


85

Como se observó en la sección IV.6, en el rango esperable para el funcionamiento del reactor (QV menores a 1 MW) sólo permanece una región de inestabilidad atribuible al flashing. Resulta entonces de interés el análisis del comportamiento no lineal del sistema en este rango. Esto se lleva a cabo recorriendo la curva de iso-amplificación que corresponde a a = 0.02 s-1. Los puntos analizados se muestran en la Figura V.13.

Las órbitas límite resultantes para los puntos elegidos se muestran en la Figura V.14, con sus respectivos valores iniciales. Éstos se encuentran siempre en la región de flashing (xch_e < 0, xch_s > 0), es decir que ocurre la ebullición en la chimenea en estado estacionario. Después de la perturbación, λ sólo alcanza la entrada de chimenea en la región cercana al límite superior de estabilidad, dado que xch_e se encuentra más próximo a cero en su estado inicial. Luego, las órbitas crecen ligeramente, aunque las variaciones en título nunca superan el 0.06%.

La Figura V.15 muestra los ciclos límites en el punto de interés, al incrementar Rρ. Se observa que el caso Rρ → 0 coincide con el caso sin cinética; luego, a medida que se incrementa Rρ, el ciclo límite se hace más pequeño, quedando en su mayor parte contenido dentro del anterior, hasta llegar al caso estable.

Otro aspecto interesante surge de cambiar HAN definido en la sección II.1.3.1, lo que equivaldría por ejemplo a modificar el diámetro de las barras de combustibles. La Figura V.16 muestra los ciclos límite que se obtienen para distintos HAN. Como se explicó en la sección IV.6, cuando HAN se reduce la potencia transferida se hace menos sensible a cambios de temperatura, y el límite de HAN → 0 coincide con el caso sin cinética, es decir una condición de flujo de calor constante., Luego, el caso de incrementar HAN es análogo al de Rρ, ya que equivale a incrementar la sensibilidad del núcleo

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

Pot

enci

a de

con

dens

ació

n [M

W]

1

2

3

45

Figura V.13: Mapa de estabilidad mostrando los puntos tomados para el análisis de

órbitas límite


86

-0.10 -0.05 0.000.00

0.02

0.04

0.06

0.08

1

2

34

5

Estado inicial

5 4

3

2

1

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.14: Órbitas límite obtenidas para los puntos indicados en la Figura V.13

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.040.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

2

3

45

1

Rρ/Rρ0

1 02 0.053 0.54 15 1.25

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.15: Evolución de los ciclos límite al incrementar Rρ


87

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

2

3

45

1 HAN/HAN

0

1 02 0.13 0.54 15 2

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.16: Evolución de los ciclos límite al incrementar HAN

núcleo, y los ciclos límite se reducen.

Como se vio también en la sección IV.6, si Rρ se incrementa por encima de un cierto valor, tienen lugar oscilaciones de muy baja frecuencia que, a diferencia de las anteriores, se generarían en la rama fría. A fin de estudiar estas oscilaciones, se toma un Rρ con un valor relativamente alto, tal que ∆Rρ/ Rρ0 ≈ 15. La Figura V.17 muestra la evolución de λ luego de la perturbación inicial. Igual que antes, el sistema comienza a oscilar con amplitud creciente, aunque con una frecuencia sensiblemente menor, y el crecimiento de la amplitud se detiene cuando λ llega a los límites de la chimenea. A partir de ese momento el sistema llega a un ciclo límite, tal cual se muestra en la Figura V.18.

La Figura V.19-a muestra las variaciones en xd a lo largo del circuito durante estas oscilaciones, una vez establecido el ciclo límite. A diferencia del caso anterior, se observa que las perturbaciones en la rama fría son comparables a las de la rama caliente, resultando oscilaciones cuyo período es del orden del tiempo de transporte de todo el circuito. Resulta interesante observar como se comporta el núcleo durante estas oscilaciones, lo cual se puede observar en Figura V.19: allí ocurre una inversión en las variaciones del título de salida con respecto al de entrada. Esto puede explicarse de la siguiente forma: debido al fuerte acople a través del coeficiente de reactividad, la potencia generada en el núcleo se hace sensible a las variaciones de título a la entrada de núcleo. De esta forma, cuando el título a la entrada baja, se produce una inserción de reactividad que hace que la potencia aumente, produciendo a su vez un aumento en el título de salida. Esto se produce de forma casi instantánea, ya que el tiempo característico


88

0 300 600

0.5

1.0

Lím. de núcleo

λ

Tiempo [s] Figura V.17: Evolución temporal de la frontera de ebullición, para el caso de las

oscilaciones de alto Rρ

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.18: Diagrama de fases mostrando el ciclo límite, en el caso de oscilaciones de

alto Rρ Títulos en la salida de chimenea vs. salida de núcleo


89

1100.00 1150.00 1200.00 1250.00 1300.00

Tiempo [s]

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00Po

sici

ón [m

]

GV

Down-comer

Núcleo

Chim.

-0.003

-0.002

-0.001

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

a)

b)

Figura V.19: Diagrama de contorno mostrando las variaciones del título a) a lo largo del circuito y b) en el núcleo, durante las oscilaciones de alto Rρ, en el ciclo límite.


90

característico del núcleo es mucho menor que el período característico de esta oscilación. Luego ocurre el efecto inverso cuando sube el título a la entrada, generando el efecto de inversión en las variaciones de títulos.

Vale aclarar que la factibilidad de que ocurra este tipo de oscilaciones depende de dos factores:

- La difusión de los frentes de entalpía a lo largo de la rama fría, especialmente lo que refiere al proceso de mezclado en el plenum inferior, lo cual depende de patrones turbulentos en una geometría fuertemente tridimensional. Para un análisis conservativo, aquí se ha considerado que esta difusión de frentes es muy pequeña o no existe.

- La validez del modelo de cinética puntual en el núcleo. Durante las oscilaciones que aquí se observan, el núcleo responde como un todo ante variaciones en el título a la entrada, lo cual afecta el título a la salida. Sin embargo, es posible que las perturbaciones a la entrada produzcan variaciones locales de potencia, lo cual debilitaría la oscilación.

El análisis que aquí se realiza puede considerarse conservativo respecto de ambos aspectos, aún así es necesario un coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante muy alto respecto de los valores nominales para que este fenómeno ocurra; por ello en este trabajo no se profundiza en el análisis de estas oscilaciones.

3. Realimentación de presión La influencia del domo de vapor se incluye mediante el modelo de no-equilibrio

entre fases en dicha región. En la sección IV.7 se había visto que la realimentación de presión contribuye a estabilizar el sistema, dado que un aumento de la fracción de vacío en

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.010.04

0.05

0.06

0.07

65

4

23

1

VV0/VV

1 02 0.013 0.14 0.25 0.36 1 (Estable)

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura V.20: Evolución de los ciclos límite al reducir el volumen de vapor


91

en la rama caliente presuriza el sistema, hecho que tiende a disminuir la fracción de vacío. Reducir el volumen de vapor incrementa la estabilidad del sistema.

La amplitud de los ciclos límite también se reduce al achicar el volumen de vapor. Esto puede verse en la Figura V.20, donde se muestran los ciclos límites obtenidos en el punto de interés para diversos volúmenes de vapor. El caso de volumen de vapor tendiendo a infinito (V0

V/VV = 0) coincide con el caso sin realimentación de presión, como era de esperar, y es el que ofrece la máxima amplitud de la oscilación. Al reducir el volumen de vapor, el ciclo límite también se reduce, hasta hacerse estable en su valor nominal (VV = V0

V).

4. Conclusiones En esta sección, se analiza el comportamiento no-lineal del sistema durante las

oscilaciones en condiciones inestables, y se estudiaron los diferentes fenómenos que ocurren en estas circunstancias.

Cuando la amplitud de oscilaciones no es muy pequeña, ocurren dos efectos: La existencia de múltiples fronteras de ebullición, y la interferencia de las mismas con los límites de chimenea. El primer efecto está asociado con “paquetes” de líquido subenfriado que se desplazan en la chimenea. Es importante notar que el modelo no predice que haya condensación durante el proceso. Se observa un desplazamiento de los valores medios de las variables respecto de los valores iniciales, producto de la naturaleza no-lineal del proceso. Estos efectos acotan la amplitud máxima a valores comparables al 1%.

Tanto la realimentación de la presión como de la neutrónica reducen el ciclo límite, a medida que son incrementados. En el caso de la realimentación de presión, ésta se incrementa al reducir el volumen de vapor en el domo, mientras que la realimentación neutrónica aumenta con el coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante. Incrementar el área de transferencia de núcleo también aumenta la realimentación neutrónica, ya que en este caso se incrementa la sensibilidad de la temperatura de combustible.

La mayor parte de las oscilaciones se da por fenómenos que ocurren en la rama caliente. Sin embargo, cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, las perturbaciones en la rama fría influyen en la potencia generada en el núcleo. En estas condiciones, es posible obtener un nuevo tipo de oscilación, dado que estas variaciones de potencia lograrían afectar la entalpía de salida de núcleo, pudiendo desestabilizar el sistema. Estas oscilaciones son de muy baja frecuencia, con un tiempo característico comparable al transporte en todo el circuito. Sin embargo, vale aclarar que las mismas sólo aparecen cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, y su análisis posiblemente requeriría de un cálculo de cinética que contemple cambios de potencia locales.

CAPITULO VI

Análisis de Convergencia

Análisis de convergencia

93

En este capítulo se analiza el efecto de los errores numéricos en el análisis de estabilidad. Estos errores, llamados errores de truncamiento, tienen su origen en las aproximaciones de los términos de derivadas parciales, y están fuertemente relacionados con la nodalización y el paso de tiempo empleados.

Una forma de visualizar el error de truncamiento del método es a través del efecto del cambio de nodalización en la predicción de inestabilidades, directamente relacionada con el factor de amplificación. Esto permite un análisis sistemático del error, a través del método de linealización por pequeñas perturbaciones. Por otra parte, se asegura la validez de las hipótesis lineales, lo cual es frecuentemente difícil de lograr mediante simulaciones temporales. Esto se lleva a cabo en sección VI.1

Sin embargo, como en el esquema lineal se desprecian los efectos no lineales, es conveniente incluir un estudio de los errores de truncamiento en estos últimos. En efecto, cuando el sistema es inestable, estos términos se hacen importantes, y aparecen nuevos fenómenos físicos más allá del primer paso de tiempo, que no son tenidos en cuenta en la linealización. Ambos fenómenos son importantes para determinar la amplitud de oscilaciones. Esto se estudia en la sección VI.2, analizando el efecto de la nodalización en los ciclos límite.

1. Convergencia del modelo lineal En esta sección, se analiza la convergencia lineal del esquema numérico, para lo

cual se toman dos casos: - El sistema analizado en la sección III.3, llamado “caso testigo”; este caso es de

interés porque se analiza un amplio rango de títulos a la salida del calefactor, incluyéndose las oscilaciones de tipo I y II. Por otra parte, en este caso se cuenta con una solución analítica del problema.

- El sistema analizado en la sección IV.6, llamado “caso de aplicación”, de particular interés porque incluye todos los modelos postulados para el refrigerante y núcleo del circuito primario del reactor analizado en este trabajo.

En ambos casos, la convergencia del modelo lineal se realiza a través del método de linealización por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces de interés comparar el sistema no lineal con el linealizado, lo cual se lleva a cabo a continuación.

1.1 Verificación del esquema de linealización Los esquemas lineal y no lineal son comparables solamente en los casos donde

los términos no lineales pueden despreciarse, lo cual es válido en las regiones estables. Para la comparación, se incluyen todos los modelos estudiados para el sistema primario, tal como se presenta en las secciones IV.6 y V.3. Se elige entonces el punto QN = 100MW, QV = 0.7MW, estable en condiciones nominales (ver Figura IV.18). La Figura VI.1 muestra las evoluciones temporales de las variaciones relativas del caudal medio y la presión de domo, luego de una perturbación en el caudal medio del circuito a los 10s. Puede observarse una total concordancia del sistema linealizado con el original, estando las evoluciones prácticamente superpuestas. De estas Figuras puede constatarse la correcta implementación del esquema de linealización. Por otra parte, puede verificarse que el esquema no-lineal se comporta de manera lineal cuando es estable, ante perturbaciones pequeñas.


94

-1.30x10-5

0.00

1.30x10-5

0 50 100 150 200-6.0x10-8

0.0

6.0x10-8

Lineal No lineal

Cau

dal r

elat

ivo

Dife

renc

ia

Tiempo [s] a)

-5.0x10-7

0.0

0 50 100 150 200-5.0x10-9

0.0

5.0x10-9

Lineal No lineal

Pres

ión

rela

tiva

Dife

renc

ia

Tiempo [s] b)

Figura VI.1: Evoluciones temporales del caudal medio y la presión, según el sistema no lineal (original) y el sistema linealizado, con sus respectivas diferencias.


95

1.2 Caso testigo A fin de analizar la convergencia del modelo, se calcula la frontera de estabilidad

utilizando diferentes nodalizaciones. El objetivo es constatar que existe convergencia espacial en el modelo termohidráulico en lo que a las ecuaciones de momento y energía se refiere.

En primer lugar, se analiza la convergencia del método analizado, aplicando integración explícita en todo el esquema. Esto es, se utiliza ρj

n en lugar de ρj(n+1)+ en el

término de fuerza boyante de la ecuación de momento, ecuación (II.52). Se analizan casos con distintas nodalizaciones en chimenea, tomando Nch = 5, 10 y 50, acomodando los nodos en la zona calefaccionada de acuerdo a la nodalización adaptiva, sin utilizar pasos intermedios. Los resultados pueden verse en la Figura VI.2-a.

En el caso de una nodalización muy gruesa, como es el caso de Nch = 5, se observa en primer lugar discontinuidades que coinciden con el cambio de número de nodos del calefactor; esto se debe a que aparecen saltos en la relación de Courant del primer nodo que, como se explica en la sección II.2.5, actúa como nodo regulador o de ajuste. Estas discontinuidades se hacen casi imperceptibles a partir Nch = 10, donde el peso del primer nodo es bastante menor. Para NZU muy bajos aparece un nuevo autovalor dominante que desaparece en las nodalizaciones más refinadas; por ello, no se realiza el barrido en esta zona.

También puede observarse una sobrepredicción del límite de estabilidad que se atenúa cuando la nodalización se refina, lo que hace que el límite converja desde la zona estable. Este comportamiento es inverso a lo que se esperaría desde el punto de vista de la difusión de frentes de entalpía: éstos tenderían a difundirse para nodos más grandes, estabilizando el sistema para nodalizaciones gruesas. En este caso, dado que con el esquema de nodalización adaptiva se minimiza el problema de difusión de frentes de entalpía, esta fuente de error es menor en relación a otras y el efecto que resulta es el inverso. Más específicamente, la integración temporal de la ecuación de momento introduce un error que es de mayor orden en relación a la ecuación de energía. El error en la integración explícita puede interpretarse como una “difusión negativa” en el sentido de que su efecto es contrario al efecto de la discretización espacial, lo que provoca la cancelación de errores en la ecuación de energía cuando se cumple el límite de Courant. Debido a que la ecuación de momento sólo tiene dimensión temporal, no se cancelan los errores introduciendo un factor desestabilizante que se incrementa con el paso de tiempo. La ecuación de momento y su interacción con la ecuación de energía provocarían la sobreestimación de la inestabilidad, lo cual ya ha sido observado en otras aplicaciones (Ambrosini W. y Ferreri J.C., 1998).

Ahora introducimos el esquema pseudo-implícito en la ecuación de momento, como se muestra en la ecuación II.52. Esto es, se utiliza una densidad estimada para el paso de tiempo siguiente (ρj

(n+1)+) en el término de fuerza boyante. El resultado que se obtiene puede verse en la Figura VI.2-b, observándose una

significativa mejora en la convergencia en relación al caso totalmente explícito e invirtiendo la tendencia a la sobreestimación en el caso de oscilaciones de tipo-I. Ambos casos (integración de ecuación de momento explícita o pseudo-implícita) convergen al mismo valor al incrementar la nodalización.

Otro punto que interesa comparar es el resultado obtenido con la nodalización adaptiva frente a una nodalización fija. Para esto, se fija Nch = 10 y el paso de tiempo de acuerdo


96

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

Integración totalmente Explícita Nch = 5 Nch = 10 Nch = 50 Modelo analítico

N sub

NZu a)

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

Ecuación de momento implícita Nch = 5 Nch = 10 Nch = 50 Modelo analítico

N sub

NZu b)

Figura VI.2: Análisis de convergencia del modelo numérico utilizando el esquema de nodalización adaptiva: a) Integración totalmente explícita, b) integración de la ecuación

de momento implícita


97

acuerdo al criterio de Courant; en el caso de la nodalización adaptiva, NN varía entre 9 y 24 a lo largo del límite de estabilidad. Para la comparación, se utilizan nodalizaciones fijas con estos dos valores extremos, cuyos resultados se muestran en la Figura VI.3.

Lo primero que se observa en las nodalizaciones fijas, en relación a la adaptiva, es una ampliación de la zona estable, lo cual responde a la mayor difusión numérica que existe en este caso; esto es más visible en la zona de inestabilidades de tipo-II. Este efecto se reduce al incrementar el número de nodos en el calefactor; sin embargo no es posible aproximar el límite predicho por la nodalización adaptiva sin incrementar también la nodalización en chimenea.

También se observan discontinuidades en el límite de estabilidad en el caso de nodalizaciones fijas; éstas coinciden con el paso de λ de un nodo a otro. Cuando esto sucede, se produce un cambio discreto en el tiempo de residencia del fluido en el volumen donde se encuentra λ, lo que provoca un salto en la difusión numérica del modelo en este volumen, resultando en la discontinuidad. Este efecto no aparece en la nodalización adaptiva, y se reduce al incrementar el número de nodos en nodalizaciones fijas.

A continuación se analiza el efecto de ∆t. En el caso de la nodalización adaptiva, ∆t se ajusta de acuerdo al criterio de Courant, variando entre 0.05 y 0.8 s a lo largo de la frontera de estabilidad. La Figura VI.4 muestra una comparación de este límite con el obtenido en el caso de imponer ∆t = 0.01 s en todo el rango, utilizando la misma nodalización espacial que se obtiene de acuerdo al esquema de nodalización adaptiva.

Como se explica en la sección II.2.4, el error de la discretización espacial tiende a cancelarse con el de la integración temporal cuando ∆t cumple con el criterio de Courant en todos los nodos. Al reducir ∆t se reduce el error de integración temporal, quedando solamente el atribuible a la discretización espacial; ésta tiende a difundir los frentes

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

Nch=10 NN: adaptivo NN: 9 NN: 24 Modelo analítico

N sub

NZu Figura VI.3: Comparación de las predicciones del los límites de estabilidad utilizando

nodalizaciones fijas frente a una adaptiva.


98

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

Nch=10, NN: adaptivo ∆t según Courant ∆t = 0.01 s Modelo analítico

N sub

NZu Figura VI.4: Análisis de convergencia del modelo numérico al variar el paso de tiempo,

utilizando el esquema de nodalización adaptiva frentes de entalpía, estabilizando el sistema. También se observa, como el caso de las nodalizaciones fijas, discontinuidades que coinciden con el paso de λ de un nodo a otro, lo que provoca saltos discretos en la difusión numérica del modelo, asociado con el esquema up-wind.

1.3 Caso de aplicación En esta sección, se toma como base para el análisis de convergencia el caso

mostrado en la sección IV.6; esto es, se modela el primario del reactor sin tener en cuenta las realimentaciones de presión.

El efecto de la nodalización puede observarse en la difusión de pequeñas perturbaciones a lo largo del circuito. En el caso que aquí se trata, las variaciones de caudal producen dos tipos de perturbaciones:

- A la salida del núcleo, que se propagarán a lo largo de la chimenea. Estas perturbaciones se producen en la zona de doble fase, y son causante de las inestabilidades del sistema.

- Por otra parte, las perturbaciones a la salida de los generadores de vapor (en el lado primario) que se propagarán a lo largo del downcomer. Estas perturbaciones se producen en la zona de simple fase, y como se explica en la sección IV.6, son dominantes solamente en las regiones más estables.

La Figura VI.5 muestra el mapa de estabilidad cuando no se modelan las propagaciones de las perturbaciones en las zonas de los GV y downcomer, utilizando la misma nodalización para la rama caliente. Esto resulta en una condición de temperatura constante a la entrada de núcleo. Como puede observarse, el mapa es similar al mostrado en la Figura IV.11, mostrando algunas diferencias en la región más estable (bajo


99

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura VI.5: Mapa de estabilidad obtenido sin modelar las perturbaciones en la rama fría.

(bajo QN, alto QV) debido a que en esa región los modos de oscilación dominantes son los atribuibles a las propagaciones de perturbaciones en la rama fría. Sin embargo, en las regiones más inestables el factor de amplificación es similar, dado que la dinámica de la región de doble fase es dominante en esas condiciones. Es por esto que la predicción del límite de estabilidad es aproximadamente independiente de la nodalización de la rama fría, dada una fuerte dependencia de la nodalización de la rama caliente.

Por lo explicado arriba, se adopta la condición de temperatura constante a la entrada de núcleo para el análisis de convergencia de la nodalización adaptiva, analizando especialmente el paso de tiempo empleado y las nodalizaciones de núcleo y chimenea.

La Figura VI.6 muestra el factor de amplificación a medida que se aumenta QV manteniendo QN constante, fijándolo en 100 MW. Se muestran las curvas obtenidas manteniendo el paso de tiempo y nodalización de chimenea, variando el número de pasos intermedios implementados en el núcleo, lo que equivale a distintas nodalizaciones en esta zona. Puede observarse que no existen diferencias mientras la frontera de ebullición se encuentra en la chimenea. Cuando ésta pasa al núcleo, se observan discontinuidades cuando la frontera pasa de un nodo a otro. Estas se hacen más visibles en parte porque en este rango los períodos de las oscilaciones son comparables a los tiempos característicos de núcleo; los cambios en la potencia afectan de distinta forma según el tamaño, ubicación y potencia que recibe el volumen que contiene la frontera de ebullición. La Figura VI.7 muestra el mapa de estabilidad obtenido según la nodalización adaptiva sin introducir pasos intermedios, donde este problema


100

0 2 4

-0.06

-0.03

0.00

0.03

Nch=40 NIT=5 NIT=3 NIT=2 NIT=1

a

QV[MW] Figura VI.6: Factor de amplificación como función de QV, para distintos pasos

intermedios en el núcleo.

20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 160.00 180.00 200.00


0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

Figura VI.7: Mapa de estabilidad obtenido sin introducir pasos intermedios en el núcleo.


101

problema se hace evidente, observándose un “escalón” causado por este fenómeno. Estas discontinuidades disminuyen al incrementar la nodalización de núcleo, por medio de la incorporación de pasos intermedios, haciéndose casi imperceptibles para NIT = 5, que es el valor finalmente adoptado.

A continuación, se analiza el efecto de la nodalización en chimenea, de acuerdo al criterio de la nodalización adaptiva. El número de nodos en el núcleo se mantiene aproximadamente constante introduciéndose pasos intermedios en esta zona. En el análisis se comparan tres casos:

CASO A: Se utiliza un esquema totalmente explícito. Esto es, se utiliza ρj

n en lugar de ρj

(n+1)+ en el término de fuerza boyante de la ecuación de momento (ecuación II.52), y Tcj

n en lugar de Tcj(n+1)+ en la ecuación de temperatura de combustible (ecuación II.49 y

II.51). En la Figura VI.8 se observan los mapas de estabilidad para distintos pasos de

tiempo empleados, utilizando un esquema totalmente explícito. Puede observarse que la zona de flashing permanece invariante en todas las nodalizaciones, no así la zona que corresponde a la frontera de ebullición dentro del núcleo, que es relativamente más sensible a errores numéricos. De la misma manera que lo observado en la sección VI.1.2, se puede notar que la convergencia se produce desde la zona estable (haciéndose el sistema más estable al reducir el paso de tiempo); es decir un comportamiento inverso al esperable desde el punto de vista de la difusión espacial. Como ya se observó oportunamente, una de las posibles causas es la integración explícita de las ecuaciones dependientes sólo del tiempo.

CASO B: Se integra la ecuación de momento implícita (o “pseudo-implícita”), de acuerdo

a la ecuación II.52, manteniendo la temperatura de combustible en forma explícita. Es decir, se utiliza el mismo esquema explicado para la Figura VI.2-b. Los mapas mostrados en la Figura VI.8 muestran la convergencia en este caso, observándose una mejora en relación al caso totalmente explícito, pero conservando la tendencia a la convergencia desde la zona estable

CASO C: Se ensaya la alternativa del esquema “pseudo-implícito” también a la integración

de las temperaturas de combustibles, resultando en el esquema que se muestra en la sección II.2.1. Es decir, se incorporan las ecuaciones de temperatura de combustible al esquema de convergencia.

La convergencia en este caso se muestra en la Figura VI.8; se observa una notable mejora en relación a los casos totalmente explícitos y ecuación de momento implícita.

La comparación de los tres casos puede observarse mejor en la Figura VI.9; allí se observa el factor de amplificación para QN = 110 MW, QV = 2.85 MW, tomado como “testigo” en la zona donde la ebullición ocurre en el núcleo, como función del paso temporal empleado en cada caso.

Se observa, en primer lugar, que los tres casos convergen al mismo punto cuando el paso de tiempo se reduce. El caso B converge más rápidamente que el totalmente


102

explícito, como ya se había observado en la sección VI.1.2. Sin embargo, el tercer caso es el que mejor convergencia presenta de los tres, resultando prácticamente convergido aún para los pasos de tiempo más grandes. El caso C es el esquema finalmente adoptado en todos los cálculos de aplicación mostrados en este trabajo, a excepción de los que se enuncian explícitamente.

NCH=20, IT=10 NCH=40, IT=5 NCH=80, IT=2

50.00 100.00 150.00 200.00Potencia de núcleo [MW]

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

Pote

ncia

de

cond

ensa

ción

[MW

]

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

50.00 100.00 150.00 200.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

-0.20 -0.16 -0.12 -0.08 -0.04 -0.00 0.04 0.08 0.12

CASO A

CASO B

CASO C

Figura VI.8: Análisis de convergencia de los casos A, B y C para 20, 40 y 80 nodos en

chimenea utilizando 10, 5 y 2 pasos intermedios en el núcleo respectivamente, de manera de conservar aproximadamente el número de nodos en el núcleo.


103

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

QN = 110 MW, QV = 2.85 MW

Caso A Caso B Caso C

Fact

or d

e am

plifi

caci

ón

∆T(s) Figura VI.9: Análisis de convergencia de los casos A, B y C.

2. Convergencia del modelo no lineal En esta sección, se analiza la convergencia del sistema para la predicción de

situaciones inestables. En este caso, interesa particularmente la correcta predicción de orbitas límite y la amplitud final de la oscilación. Para esto, se analizan las evoluciones temporales en el punto de interés, analizando también la influencia de la realimentación neutrónica, tomando como base para el análisis los casos mostrados en las Secciones IV.5 y IV.6; esto es, se modela el primario del reactor sin tener en cuenta las realimentaciones de presión.

Como se observó oportunamente en la sección VI.1.3, las variaciones de caudal producen dos tipos de perturbaciones: a la salida de núcleo, que son dominantes en la mayoría de las situaciones inestables, y a la salida de los GV.

El efecto de las perturbaciones en los GV puede analizarse a partir de la Figura VI.10, que muestra, para los casos Rρ = 0 y Rρ = Rρ0, las órbitas límite en el punto de interés (QN = 100 MW, QV = 0.5 MW), conservando la misma nodalización en la rama caliente (40 nodos en chimenea). Se utilizan tres opciones en la rama fría: el criterio de nodalización adaptiva (de 57 nodos en el downcomer), una nodalización gruesa de 2 nodos en downcomer, y la condición de temperatura constante a la entrada de núcleo. En todos los casos, el paso de tiempo se calcula en cada paso de manera de alcanzar siempre el límite de Courant en el nodo que presenta menor tiempo de residencia de perturbaciones. Puede observarse que no existe prácticamente diferencia para las diferentes nodalizaciones de la rama fría; por otra parte, la órbita correspondiente a la condición de temperatura constante aparece desfasada respecto de las otras, aunque la amplitud de la oscilación no se ve mayormente afectada.


104

-0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.060.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10Rρ=0

Rρ=Rρ0

NDC=57 NDC=2 TINUC=CTE

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura VI.10: Análisis paramétrico de las órbitas límite según la nodalización de la rama fría: nodalización adaptiva, nodalización gruesa y condición de temperatura

constante a la entrada de núcleo. De la comparación de las dos nodalizaciones de rama fría se deduce que, como

ya se había visto oportunamente en el capítulo IV, las perturbaciones en la rama fría afectan muy poco el mecanismo de las oscilaciones. Sin embargo, si bien la propagación de perturbaciones no es importante durante la oscilación, el valor medio de la temperatura en el downcomer cambia ligeramente. Esta tendencia se conserva aún en las nodalizaciones más gruesas, causando la “deriva” respecto del caso de considerar una temperatura de entrada de núcleo constante.

El efecto de las diferentes nodalizaciones en rama caliente puede observarse en la Figura VI.11. Allí se muestran las órbitas límite para tres casos, según se considere o no realimentación neutrónica: Rρ = 0, Rρ0 y Rρ = Rρ0/2. En los tres casos se utilizan 20, 40 y 80 nodos en chimenea, conservando aproximadamente el número de nodos en el núcleo por medio de pasos intermedios. Puede observarse que, independiente de la nodalización utilizada, se mantiene la tendencia de órbitas límite menores cuando se incrementa la realimentación neutrónica. Por otra parte, estas últimas presentan una mayor dispersión con las diferentes nodalizaciones. Esto se debe a que, cuando la realimentación neutrónica es débil, la amplitud de la oscilación está más fuertemente determinada por efectos no lineales que aparecen solamente a partir de una determinada amplitud de oscilación, como es el cruce de λ con los límites de chimenea o la aparición de más de un λ, efectos relacionados con el fenómeno de flashing. Estos fenómenos son dominantes y relegan a un segundo plano las diferencias entre las soluciones numéricas de las diferentes nodalizaciones.


105

-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

Rρ=Rρ0/2

Rρ=Rρ0

Rρ=0

80

80

40

40

20

20

80

20

40

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura VI.11: Efecto de la nodalización de la chimenea en las órbitas límite, según el

coeficiente Rρ La realimentación neutrónica, como se observó en las secciones IV.6 y V.2,

introduce además un efecto contrapuesto a las tendencias puramente termohidráulicas, que acota las variaciones de títulos respecto del caso sin cinética. Este efecto, a diferencia de los efectos introducidos por el flashing, se da aún para desviaciones muy pequeñas. Luego, pierde importancia relativa la existencia de un límite de oscilaciones bien definido por la aparición de nuevos fenómenos físicos, y las diferencias relacionadas a factores numéricos se hace más evidente.

Otro efecto que interesa analizar es el de la variación de los pasos intermedios (NIT) en el núcleo. Esto se muestra en la Figura VI.12, donde se comparan las órbitas límite para NIT = 1 y 5, analizando los casos de incluir o no realimentación neutrónica. Puede observarse, en ambos casos, una muy baja sensibilidad de la nodalización de núcleo, ya que las órbitas están prácticamente superpuestas. Esto responde a que la órbita límite está determinada esencialmente por el movimiento de λ en la chimena.

La Figura VI.13 muestra la amplitud de las oscilaciones de caudal como función del paso de tiempo obtenido en diferentes nodalizaciones, para los casos con y sin realimentación neutrónica (Rρ = Rρ0 y 0, respectivamente). El caso Rρ = 0 presenta menores variaciones relativas. En ambos casos se observa una dependencia aproximadamente lineal respecto del paso de tiempo. Para evaluar la desviación de la amplitud de oscilación, es necesario contar con un valor de referencia que pueda ser evaluado como la mejor aproximación. En este caso, esto se verificaría para ∆t → 0, lo que equivaldría a una nodalización con un número infinito de nodos. Como una estimación de este valor, se toma una extrapolación a partir de una interpolación lineal de los primero cuatro puntos.


106

-0.12 -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.060.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10Rρ=0

Rρ=Rρ0

NIT=1 NIT=5

x ch_s (%

)

xch_e (%) Figura VI.12: Análisis paramétrico de la utilización de pasos intermedios en el núcleo:

NIT=1 y 5, con y sin realimenteación neutrónica.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0.0040

0.0045

0.0050

0.0055

0.0060

Rρ=Rρ0

Rρ=0

Valor extrapolado

Am

plitu

d

∆t (s) Figura VI.13: Amplitud de las oscilaciones de caudal según el paso de tiempo de las

nodalizaciones utilizadas.


107

Resulta interesante observar la desviación de cada nodalización respecto de este valor extrapolado, lo cual se muestra en la Figura VI.14. Como era de esperar, el caso con realimentación neutrónica es el que presenta la mayor desviación, y es el que se toma para el análisis de convergencia. El criterio adoptado para la nodalización a utilizar es que ésta presente, para este caso, una desviación de menos del 10 % respecto del valor extrapolado para ∆t → 0. De aquí surge la nodalización finalmente adoptada para el análisis no lineal, de 80 nodos en chimenea.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45 20

30

40

50

80

200

Rρ=0

Rρ=Rρ0

Des

viac

ión

∆t (s) Figura VI.14: Desviación de la amplitud de la oscilación de caudal respecto del valor

extrapolado para ∆t → 0.

CAPITULO VII

Comportamiento de la Auto-Presurización

Comportamiento de la auto-presurización

109

1. Introducción En reactores auto-presurizados, el control de la presión se realiza mediante

desbalances de potencias generada y removida. El concepto de auto-presurización implica que no hay componentes activos para el control de la presión. Por lo tanto, la evolución de presión estará regida por la dinámica intrínseca del domo de vapor, tomando especial importancia los intercambios de calor y masa entre fases y estructuras.

Se espera que el vapor condense en las superficies de las estructuras más frías: éstas son el recipiente de presión, debido a las pérdidas de calor hacia la contención, y los Mecanismos de las Barras de Control (MBC) dado que éstos se alimentan con agua subenfriada. Esta condensación se compensa con generación de vapor, estado estacionario.

El modelado de estos fenómenos es entonces importante para determinar el estado operativo del reactor, lo que influirá en su respuesta ante transitorios. Sin embargo, el domo del reactor es un volumen relativamente grande, donde los movimientos del fluido no están claramente predefinidos. Esto ocasiona inconvenientes cuando se utilizan códigos 1-D, ya que fueron desarrollados para reproducir situaciones donde los caminos del flujo están predeterminados.

En este capítulo, se pone especial atención en este componente, y se consideran distintas aproximaciones para su modelado. Se utiliza el código RELAP (Innovative Systems Software, 1995), que es un código de detalle especialmente desarollado para la simulación transitorios accidentales en reactores tipo PWR, y fue utilizado para la simulación de accidentes y diseño de sistemas de seguridad en CAREM. Éste se compara con HUARPE, desarrollado en este trabajo.

2. Nodalización RELAP Para el modelado del domo, se proponen dos alternativas, que se muestran en la

Figura VII.1: - Nod-1: Un único volumen hidráulico. - Nod-2: Domo discretizado. El caso denominado Nod-1 equivale a modelar propiedades promediadas en las

zonas de líquido y vapor, lo cual es una buena aproximación cuando el mezclado es muy eficiente. Esto se realizó originalmente en el código RELAP y fue la hipótesis bajo la cual se desarrolló el modelo de domo de HUARPE. Este volumen se conecta con el resto del circuito como se muestra en la Figura VII.1. Además, esta nodalización tiene la ventaja de presentar una gran flexibilidad, lo que es muy importante durante la etapa de diseño conceptual del reactor para ser fácilmente adaptada de acuerdo a la evolución del diseño, ya que en las etapas tempranas no está definida la geometría en detalle tanto del domo como de los sistemas allí alojados.

Sin embargo, en el caso particular de RELAP, la nodalización con un gran volumen en el domo presenta algunos problemas en los modelos, los cuales se harán evidentes en las secciones siguientes. Para evitar estos problemas, es necesario discretizar el domo con mayor cantidad de nodos. En caso de nodalizar verticalmente, se produce una estratificación –ficticia– entre los volúmenes superiores e inferiores, ya que no se permite una circulación natural entre los mismos. En su lugar, se buscó


110

entonces aproximar con criterios de ingeniería estos circuitos macroscópicos 3-D del fluido. El vapor tiende a moverse hacia arriba en los espacios lejos de las estructuras más frías, y hacia abajo cerca de ellas mientras condensa. En base a esto, la nodalización resultante es la denominada Nod-2, que se muestra en la Figura VII.1, donde los volúmenes se discretizan en el sentido de la circulación que se mencionó. Por ejemplo, los volúmenes 312 a 318 representan los espacios internos dentro del barrel, que no están en contacto con las estructuras de los MBC; los volúmenes 324 representan el espacio cerca de las paredes de los MBC. El mismo criterio se aplica en el espacio exterior al barrel y la zona superior, que están en contacto con el recipiente de presión. Los volúmenes 314 y 360 están conectados a través de una unión que representa los agujeros en el barrel.

La nodalización del domo se une al resto del circuito primario obteniendo una una nodalización completa, de acuerdo al esquema que se muestra en la Figura II.3.

Figura VII.1: Esquema de las nodalizaciones propuestas para el domo (nod-1 y 2, respectivamente).

3. Descripción del transitorio a simular Para analizar la influencia del domo en la dinámica de sistema, se simula una

reducción parcial en la potencia removida por los GV. Con el fin de realizar el análisis del comportamiento intrínseco del reactor, los sistemas de control y seguridad no están incluidos. Con el objeto de obtener resultados comparativos, se procura introducir el mismo desbalance de energía en todas las simulaciones. Por esta razón, no se modela el acople neutrónico. Se modela la potencia transferida al refrigerante en el núcleo y en los GV como condición de contorno. En RELAP5, esto se implementa por medio de una estructura “ficticia” con una capacidad térmica muy reducida. La condición inicial es un


111

estado estacionario al 100% de plena potencia, luego la potencia removida por los GV es reducida al 10% en una rampa 40 s (ver Figura VII.2). La misma rampa se aplica al núcleo, con un retardo de 20 s.

Como consecuencia de este desbalance, el primer efecto que ocurrirá es el aumento de la temperatura del refrigerante a la salida del GV. El caudal comenzará a decrecer debido a la pérdida de fuerza boyante. Al mismo tiempo, el refrigerante se expandirá en el downcomer y la presión del sistema aumentará. La evolución de la presión estará gobernada por el domo de vapor, y será el principal parámetro a analizar en este capítulo. Interesará especialmente evaluar si es posible llegar a un punto donde las condensaciones en domo y la ebullición estén compensadas, en un tiempo razonable. Esto permitirá la posibilidad de control de la presión mediante desbalances de potencias entre el núcleo y los generadores de vapor.

Pueden tomarse como referencia dos casos extremos posibles: equilibrio termodinámico perfecto, y completo desacople entre el agua y el vapor en el domo. Cuando existe un sumidero de calor significativo en la zona de vapor, el proceso de condensación acerca ambas fases al equilibrio térmico, lo cual se aproxima al primer caso. En el CAREM, esto se logra parcialmente por las pérdidas de calor a través de los MBC y las paredes del recipiente de presión. El segundo caso resulta cuando no existe transferencia de calor entre fases, y la consecuencia es una compresión adiabática del vapor.

0 20 40 600

20

40

60

80

100 GV Núcleo

Pote

ncia

[MW

]

Tiempo Figura VII.2: Evolución de las potencies de núcleo y GV

4. Casos de estudio A fin de analizar el efecto de diferentes factores en el comportamiento dinámico

del reactor durante el transitorio de presurización, se realiza un estudio paramétrico. Los factores más importantes a ser estudiados son las estructuras en el domo, el sumidero de calor en la zona de vapor y la generación de vacío subenfriado en el núcleo.

Debido a la complejidad del sistema y para lograr un mejor discernimiento de los diversos factores, el análisis se realiza por “casos”, incrementando la complejidad en forma gradual. Los resultados obtenidos con ambas nodalizaciones propuestas para


112

RELAP5 se estudian en cada caso, comparándolos a su vez con los de HUARPE, y se analizan las aproximaciones de cada modelo.

Caso 1: Caso Base En este caso, se modela el domo sin estructura alguna ni sumidero de calor en su

interior. En RELAP, la ebullición subenfriada se inhibe incrementando ficticiamente el área de transferencia en el núcleo a valores tales que el flujo de calor resultante sea suficientemente bajo como para evitar el ONB (Onset of Nucleate Boiling).

Caso 2: Estructuras Las estructuras del domo se agregan al caso base (Caso 1) para estudiar su

impacto en la evolución de la presión. Durante el transitorio de presurización, el vapor es sobrecalentado al ser comprimido, a la vez que aumenta la temperatura de saturación. Es de esperar que esto incremente la transferencia con estructuras.

Caso 3: Sumidero de calor En este caso, se modela en ambos códigos un sumidero de calor en el domo para

representar la remoción de calor por los MBC y por fugas térmicas a través de las paredes del recipiente. Éste se incluye en el lado externo de las respectivas estructuras, con un coeficiente de transferencia de calor y temperatura externa fijados como condición de contorno.

Caso 4: Vacío subenfriado La cantidad de vapor en la chimenea se incrementa por la producción de vacío

subenfriado en el núcleo. La presencia de burbujas en el primario afecta la evolución de la presión del sistema.

La generación de vacío subenfriado se produce, en RELAP, reduciendo el área de transferencia en el núcleo a valores que aproximan los de diseño del CAREM-25. El modelo HUARPE no incluye un modelo de vacío subenfriado, por lo que no se incluye en este caso.

5. Resultados

5.1 Caso Base En este caso, el único modo de transferencia de masa entre fases es a través de la

interfase líquido/vapor. En el caso de que el líquido se encuentre subenfriado y el vapor saturado, la condensación se produce por contacto directo del líquido y vapor en la interfase. El caudal de condensación puede escribirse de la siguiente manera:

fg

sftif

c hTH

W∆

= (VII.1)

donde:

lsatsf TTT −=∆ ; iftif

tif AhH = (VII.2)


113

En la ecuación (VII.2) el subíndice if indica la interfase, la cual debido a la estratificación se reduce al área transversal del domo. En superficies horizontales, como es el caso, la fuerza boyante es exclusivamente normal a la superficie, y la transferencia sólo puede establecerse por ciclos de flujos ascendentes y descendentes que maximicen la transferencia. En este caso, se espera que luego de un transitorio de presurización, la superficie líquida permanezca más fría que el vapor. La tendencia del fluido a ascender y descender es impedida por la misma superficie, estratificando el fluido. Esto causa un estancamiento que resulta en un coeficiente de transferencia bajo.

En el caso de RELAP se utiliza para Hif la correlación de McAdams para flujos laminares en superficies frías enfrentadas hacia arriba:

( ) PerkGrH ftif

25.0Pr27.0= (VII.3)

Donde

( )2

32

f

sf TTDgGr f

µβρ −

= ; f

ff

kCpµ

=Pr (VII.4)

β es el coeficiente de expansión térmica, µ la viscosidad. Esta correlación está recomendada para Gr laminares en el rango 3*105 a 3*1010; tomando valores típicos para el caso del domo de vapor en condición nominal, puede verse que:

Gr ~ 7*1013(Ts-Tf) (VII.5)

Es decir que esta correlación se encuentra fuera de rango para subenfriamientos típicos en esta configuración (∆T ~ 1oC); sin embargo, esta correlación es igualmente utilizada debido a la escasez de datos en el rango de turbulencia, en parte porque este tipo de condensación suele ser muy pequeño en comparación con otros fenómenos presentes, como la condensación en estructuras por ejemplo. En presurizadores convencionales, la condensación en la interfase es despreciable frente a fenómenos activos, como la condensación por duchas. En el caso de HUARPE, a fines comparativos se utiliza la misma correlación.

Los resultados obtenidos con RELAP, utilizando ambas nodalizaciones (Nod-1 y Nod-2), y HUARPE se comparan en la Figura VII.3 a la Figura VII.6. Como puede observarse, la diferencia entre los tres es pequeña.

La presión aumenta (Figura VII.3), como consecuencia de la expansión del refrigerante que causa un aumento en el nivel de mezcla en el domo (Figura VII.4). El caudal disminuye debido a la pérdida en la fuerza boyante, Figura VII.5.

En este caso el sistema está casi totalmente desacoplado: el vapor en el domo se sobre-calienta al ser comprimido como consecuencia de la expansión del fluido en el dowcomer, a la vez que aumenta la temperatura de saturación dejando a la zona líquida subenfriada. Luego esta condición permanece porque tanto el coeficiente de transferencia de calor como el área de transferencia entre fases son muy pequeños, lo que produce muy bajos caudales de condensación (Figura VII.6). Esto quiere decir que no es posible disminuir la presión rápidamente enfriando la fase líquida, a partir de desbalances entre el núcleo y los GV, por lo que la presión resultaría muy difícil de controlar.


114

0 300 600 900 1200 150011.0

11.5

12.0

12.5

13.0

13.5

14.0

14.5

15.0

Relap nod-1 Relap nod-2 Huarpe

Pres

ión

[MPa

]

Tiempo [s] Figura VII.3: Presión de domo, caso base

0 300 600 900 1200 15006.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5


V M [k

g]

Tiempo [s] Figura VII.4: Volumen de líquido en el domo, caso base


115

0 300 600 900 1200 1500100

150

200

250

300

350

400

450


Caud

al [k

g/s]

Tiempo [s] Figura VII.5: Caudal, caso base

0 300 600 900 1200 1500-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03


Cau

dal d

e co

nden

saci

ón [k

g/s]

Tiempo [s] Figura VII.6: Caudal de condensación, caso base


116

5.2 Estructuras Al añadir estructuras, se suma un nuevo sumidero del vapor sobrecalentado.

Luego, este se enfría transfiriendo calor hacia las estructuras, por convección o condensación.

Los resultados obtenidos se muestran en la Figura VII.7 a la Figura VII.9. La máxima presión alcanzada es menor que en el caso base, debido a la capacidad térmica de las estructuras que absorben calor del vapor sobrecalentado. Comparando los resultados de RELAP con ambas nodalizaciones, el máximo de presión en Nod-1 es ligeramente mayor que en Nod-2, dado que el coeficiente de transferencia de calor con estructuras es menor. Esto es porque en la nodalización detallada se permite movimiento de vapor, al contrario de la nodalización simplificada, donde el vapor permanece estanco.

Luego de los primeros 80 s aproximadamente, esta situación se invierte: en RELAP Nod-1, la presión decrece más rápidamente que RELAP Nod-2. También se observa un mayor crecimiento en el nivel del domo (Figura VII.8), como consecuencia de un mayor ritmo de condensación de vapor. Esto es porque el modelo de Relap presenta algunas dificultades en seguir los movimientos de nivel si existe más de un volumen en contacto con las caras superior ó inferior del volumen que contiene el nivel de líquido. En el caso del domo, en Nod-1 el volumen de domo tiene dos uniones en la cara inferior, correspondientes a la chimenea y entrada a los GV. Como consecuencia, el modelo asume que toda la estructura del domo está en contacto con ambas fases, sin existir una división entre estructuras en contacto con el vapor o con el líquido. La estructura adquiere entonces una temperatura intermedia entre las de ambas fases. Debido a que el líquido está a menor temperatura, se establece un flujo de calor desde la estructura hacia la fase líquida, lo que causa que la estructura se enfríe más rápidamente, bajando su temperatura por debajo de la temperatura de saturación. De la misma manera,

0 300 600 900 1200 150011.0

11.5

12.0

12.5

13.0

13.5

14.0

14.5

15.0


Pres

ión

[MPa

]

Tiempo [s] Figura VII.7: Presión, caso “estructuras”


117

0 300 600 900 1200 15006.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5


V M

[m3 ]

Tiempo [s] Figura VII.8: Volumen de mezcla en domo, caso “estructuras”

0 300 600 900 1200 1500100

150

200

250

300

350

400

450


Cau

dal [

kg/s]

Tiempo [s] Figura VII.9: Caudal, caso “estructuras”


118

manera, se establece un flujo de calor desde el vapor hacia la estructura. Esto produce un aumento en la condensación de vapor, lo cual puede observarse en el incremento de VM en el largo plazo, Figura VII.8. En otras palabras, en esta nodalización simplificada la estructura actúa como un by-pass térmico entre ambas fases, lo que causa que el sistema alcance el equilibrio más rápidamente. Esto no sucede en la nodalización detallada (Nod-2), donde ambas fases están en contacto con diferentes nodos de estructura. Dado que RELAP no modela la conducción axial en estructuras, el sistema permanece desacoplado.

En el modelo de HUARPE, tal como se explica en la sección II.1.2.2, se modela el domo como dos nodos de frontera móvil, simulando el nivel de líquido, y la estructura puede seguir los movimientos de esta frontera, por lo que el efecto de “by-pass térmico” no se produce, y la pendiente de depresurización que se obtiene se aproxima al caso de “RELAP Nod 2”.

No se observan diferencias en la evolución del caudal, Figura VII.9. La diferencia entre los estados estacionarios inicial y final dependen de la energía total transferida y acumulada en el sistema. Esto significa que el estado final no depende de los ritmos de condensación y ebullición, por lo que las presiones deberían igualarse en el largo plazo

5.3 Sumidero de calor En este caso, se incluyen las fugas de calor al exterior, a través de las paredes del

recipiente y de los MBC. Esto produce condensación en las paredes más frías, lo que causa, en estado estacionario, un flujo de vapor equivalente desde la zona líquida. Luego, se genera fracción de vacío desde la zona superior de la chimenea hacia abajo, hasta donde se alcanza el punto de saturación, debido al gradiente de presión por la altura hidrostática.

En este caso, las evoluciones de la presión son más parecidas entre sí que en el caso anterior, como se observa en la Figura VII.10.

Durante la presurización, el nivel de líquido se desplaza hacia arriba, Figura VII.11. Se produce un primer quiebre a los 60s aproximadamente, que coincide con el pico de presión. El nivel continúa aumentando debido a la condensación, hasta que se produce ebullición debido a la depresurización, a los 300s aproximadamente. A partir de este punto, la condensación se compensa con la ebullición, y la presión se estabiliza. Debido a que la superficie de estructura expuesta al vapor disminuye, la fracción del flujo de calor extraído del vapor disminuye en relación al líquido. En el caso “RELAP Nod-1”, el modelo de coeficientes de condensación en estructuras produce oscilaciones numéricas importantes, sobre todo en la potencia extraída en el domo (Figura VII.12).

De los resultados obtenidos se puede concluir que, como consecuencia del sumidero de calor, se produce un buen acople de las zonas de vapor y líquido en el domo de vapor. Esto hace que la presión sea controlable mediante desbalances térmicos en el circuito. La similitud de los resultados obtenidos con los diferentes modelos se explica porque ahora la evolución depende más de las fugas de calor impuestas por la condición de contorno, haciéndose menos sensible a los modelos de transferencia. Esto significa que al existir condensación de vapor, la evolución de la presión también se hace más predecible con modelos simples.


119

0 300 600 900 1200 150011

12

13

14

15


Pres

ión

[MPa

]

Tiempo [s] Figura VII.10: Presión, caso “sumidero de calor”

0 300 600 900 1200 15006.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5


V M [k

g]

Tiempo [s] Figura VII.11: Volumen de mezcla en domo, caso “sumidero de calor”


120

0 300 600 900 1200 1500-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5


Pote

ncia

[MW

]

Tiempo [s] Figura VII.12: Potencia de condensación, caso “sumidero de calor”

5.4 Ebullición subenfriada En este caso se estudia el efecto de la ebullición subenfriada. La existencia de

vacío en condiciones subenfriadas en la chimenea depende de dos factores: la generación de burbujas en el núcleo, y la condensación de las mismas en el seno del líquido subenfriado, mientras se desplazan en la chimenea.

En RELAP, las condiciones necesarias para la generación se predicen mediante el método de Saha-Zuber (Lahey R.T., Moody F.J., 1977). Éste establece dos condiciones básicas: − La temperatura de pared debe ser mayor que la temperatura de saturación del fluido. − La entalpía del líquido deberá ser mayor que una “entalpía crítica” hc, que responde

al siguiente modelo, según sean caudales altos o bajos respectivamente:

0065.0' fc

fc CpSt

hhh =−=∆ (Pe > 70000)

455' fCpNu

= (Pe ≤ 70000) (VII.6)

donde Pe es el número de Pecklet, Cpf es el calor específico del líquido, Nu’ y St’ se definen como:

f

f

kDhq

Nu"

'= ; PeNuSt ''= (VII.7)


121

donde Dh es el diámetro hidráulico, kf es la conductividad del líquido. Considerando geometrías y propiedades de saturación constantes:

WQT Nc ~∆ (Pe > 70000)

NQ~ (Pe ≤ 70000) (VII.8)

Al incrementar la potencia, ∆hc se incrementa en ambos casos, ya que en convección natural el caudal es aproximadamente proporcional a la raíz cúbica de la potencia de núcleo. La transición entre ambas correlaciones se da para un caudal de 320 kg/s aproximadamente. La temperatura de pared, que hace a la primera condición, también se incrementa. En ambos casos la tendencia es a incrementar la ebullición subenfriada con la potencia.

Ahora bien, la presencia de vacío subenfriado en el núcleo cambia el estado estacionario, ya que este puede exceder la capacidad de condensación en la zona de vapor del domo. Por lo tanto, la cantidad de vacío subenfriado en la chimenea también depende de la capacidad de condensación de burbujas en el seno del líquido subenfriado a medida que éstas se desplazan en esta región.

Esta condensación depende a su vez de dos factores: del coeficiente interfacial de calor entre fases, y del mezclado de las burbujas dentro del líquido cuando éstas se mueven a lo largo de la chimenea. Este último fenómeno depende fuertemente de efectos tridimensionales, ya que la distribución radial de potencia en el núcleo no es uniforme, existiendo zonas calientes con mayor fracción de vacío. Es posible que allí se genere vapor en condiciones de saturación. Luego, el mezclado en la chimenea depende fuertemente de cómo se distribuyen radialmente las burbujas generadas con el líquido subenfriado proveniente de las zonas más frías. Al momento de realizar este trabajo, es claro que no existen códigos con suficiente madurez para predecir este fenómeno (IAEA-TECDOC-1379, 2003). A esto se suma el hecho de que la posición de las zonas calientes cambia con el quemado. En esta sección, se realiza un análisis utilizando el código RELAP, lo cual equivale a una aproximación unidimensional del problema y podría interpretarse como un mezclado perfecto en el sentido perpendicular al que se nodaliza. El modelo HUARPE no incluye un modelo de vacío subenfriado, por lo que no se presenta en esta sección.

La transferencia de masa por condensación en la interfase líquido/vapor responde a la ecuación (VII.1), donde ahora la transferencia se produce en la interfase de las burbujas. En el caso de RELAP, se utiliza para este caso el coeficiente de condensación dada por Ünal H.C., 1975:

( )lv

fgtif

dhCh

ρρφ

112 −= (VII.9)

donde φ es función de la velocidad del fluido, C es función de la presión, d es el diámetro de burbujas.

Ahora bien, estos coeficientes fueron derivados indirectamente a partir del ajuste de un modelo de principios básicos, sobre experimentos donde se pretendía determinar tasas de crecimiento y tamaños máximos en las burbujas que se encuentran adheridas a calefactores. En estos casos el factor más importante es la tasa de generación de calor, el efecto de la condensación muchas veces suele ser despreciable. Esto es bien distinto al


122

caso de burbujas totalmente inmersas en el líquido y sin flujos de calor externos, como es el caso que se trata. Por lo tanto, la correlación se encuentra fuera de rango más allá de la región del núcleo, dejando de ser válida para la zona de la chimenea, donde las predicciones sobre la fracción de vacío podrían estar lejos de la realidad en valores absolutos, aún sin referir la aproximación de flujo unidimensional. Por esto y por lo mencionado más arriba, los resultados que se obtengan sólo pueden servir como indicadores de tendencias.

En estado estacionario, la cantidad de vapor que llega a la zona de vapor del domo está fijada por la capacidad de condensación en estructuras. El perfil de fracción de vacío en chimenea depende del ritmo de condensación de las burbujas en el líquido subenfriado.

La ebullición subenfriada en el núcleo puede interpretarse, en cierta forma, como una reducción en la entalpía de saturación, relacionada con hc. Dado que hc está fijada por la potencia y el caudal, de acuerdo a la ecuación (VII.1), la entalpía de líquido en el núcleo quedará fijada por la demanda de generación de vacío, impuestas por los ritmos de condensación en chimenea y domo. Esto afecta la entalpía de líquido en chimenea y también la de entrada a los GV, siempre que no se llegue antes a saturación, afectando por consiguiente la entalpía de entrada de núcleo. De esta forma, la entalpía de líquido en el núcleo será tanto más baja cuanto menor sea la condensación, de manera de reducir la generación de vacío. Como contrapartida, esto también aumenta la condensación en chimenea, dado que se incrementa ∆Tsf, ecuación (VII.1). Luego, la temperatura de líquido resulta de un compromiso entre generación de vacío y capacidad de condensación.

Ambas nodalizaciones predicen diferentes fracciones de vacío, por lo que también son diferentes los caudales de primario en el estado estacionario. Con fines comparativos, en esta sección se ajusta el factor de fricción a la entrada de núcleo de manera de obtener iguales caudales de primario en los estados iniciales.

En Nod-1, la tasa de condensación de burbujas en el domo es mayor que en Nod-2, por dos razones. Por un lado, en Nod-2, el líquido que se encuentra encima de los volúmenes 306 y 356 (Figura VII.1) no puede recircular, por lo que se encuentra estratificado y muy cerca de la saturación. En estos volúmenes no hay una condensación importante porque ∆Tsf es despreciable, ecuación (VII.1). En Nod-1, ocurre un mezclado instantáneo en toda la zona de mezcla del domo, y al no existir zonas estratificadas todo el líquido participa en el proceso de condensación.

Por otra parte, el código utiliza un único Htif en todo el volumen, incluida la zona

de vapor. Cuando ingresan burbujas desde la chimenea, el código promedia los regímenes de estratificación vertical y de burbujas, resultando en un coeficiente excesivamente grande, que incrementa también la condensación de la zona de vapor.

En el caso de Nod-1, donde existe una mayor capacidad de condensación, se establece un subenfriamiento de cerca de 7 ºC a la salida del núcleo, mientras que en Nod-2 se reduce a 4 ºC (Figura VII.13).

Durante el transitorio, cuando la presión aumenta (Figura VII.14) el primer efecto que tiene lugar es el incremento de Tsat y ∆Tsf, por lo que Wc tiende a aumentar de acuerdo a la ecuación (VII.1). El efecto que produce el aumento de ∆Tsf en Wc es mayor para mayores Ht

if. En Nod-2, el Htif promedio en el domo es pequeño en relación a Nod-

1, observándose un pico de presión similar al caso sin generación de vacío (Figura VII.10). En


123

0 300 600 900 1200 1500

584

592

600

608Relap nod-1 Saturación

Líquido

Tem

pera

tura

[K]

Tiempo [s] a)

0 300 600 900 1200 1500

584

592

600

608

Relap nod-2 Saturación Líquido

Tem

pera

tura

[K]

Tiempo [s] b)

Figura VII.13: Temperaturas de salida de núcleo y saturación, caso “ebullición subenfriada”


124

0 300 600 900 1200 1500

11.5

12.0

12.5

13.0

13.5

14.0

14.5

15.0

RELAP nod-1 RELAP nod-2

Pres

ión

[Mpa

]

Tiempo [s] Figura VII.14: Presión, caso “ebullición subenfriada”

En Nod-1, el incremento de Wc con la presión es mayor, y el aumento de presión es más limitado. Esto explica la diferencia en los picos de presión entre ambas nodalizaciones. Poco después, Ht

if decrece debido a la reducción del vacío en la chimenea y el domo. En el largo plazo, la temperatura de saturación debe bajar hasta que la generación

de fracción de vacío en el núcleo es re-establecida, Figura VII.13, de acuerdo a la ecuación (VII.8). En tanto que QN es reducido, el subenfriamiento a la salida de núcleo se reduce en la condición final. Esto es más notable en Nod-2, donde el subenfriamiento inicial es mayor.

6. Conclusiones En esta sección, se analiza el comportamiento de la auto-presurización en un

transitorio de presurización, comparando el código HUARPE, desarrollado en este trabajo, con RELAP, un código comercial.

Para permitir el control de presión del sistema, el refrigerante del circuito primario debe estar termodinámicamente acoplado al vapor del domo. El caso de total desacople hace que el sistema no sea controlable ante transitorios de presurización. Las formas de acoplar termodinámicamente el agua y el vapor en el domo son por conducción a través de las estructuras, o por procesos de ebullición y condensación que aseguren el intercambio de calor entre fases. Un sumidero de calor dentro de la zona de vapor asegura el equilibrio termodinámico entre el líquido y el vapor, lo cual proporciona una condición de excelente auto-control del sistema.

El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido es muy importante en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a la condensación de vapor. El modelo de RELAP tiene problemas numéricos cuando se


125

modela el domo de vapor como un único volumen hidráulico, y el modelo de estructuras no tiene la capacidad de distinguir las fases líquido y vapor. Por esta razón, se desarrolló una nodalización detallada en el domo de vapor, de manera de modelar el fluido en un componente donde no es posible hacer aproximaciones unidimensionales, como es el domo de vapor. Esto se realizó aproximando macroscópicamente los caminos tridimensionales del fluido.

En la nodalización detallada se observó que el movimiento del vapor incrementa la transferencia térmica con estructuras. Por el contratio, en la nodalización más simple se observó que la misma actúa como by-pass térmico entre ambas fases, dado que se impone la misma condición de temperatura de estructura. El modelo de HUARPE, que tiene capacidad de seguir las variaciones del nivel de líquido, evita problemas numéricos que frecuentemente aparecen en los códigos cuando se modela una estructura en contacto con un volumen estratificado. El esquema de resistencia térmica, permite modelar el efecto espacial dentro del material, sin necesidad de nodalizar radialmente.

El fenómeno de ebullición subenfriada y la posterior condensación de burbujas en el líquido subenfriado son probablemente de significancia en la evolución estudiada, ya que ambos determinan la cantidad de vapor existente en forma de burbujas a lo largo de la chimenea y zona mezcla del domo. La ebullición subenfriada depende directamente del flujo de calor en el núcleo, y se encuentra bastante bien documentada dado que éste es un fenómeno de importancia en reactores clásicos. Por el contrario, el ritmo de condensación del vapor a lo largo de la chimenea y el la zona mezcla del domo dependen fuertemente de la interacción de las burbujas generadas con el líquido subenfriado, en una geometría fuertemente tridimensional. Estos factores dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. En los transitorios analizados, se observó que una mayor capacidad de condensación en la zona mezcla del domo incrementa la cantidad de fracción de vacío en la chimenea, hecho que aumenta el caudal en estado estacionario, y acota los aumentos de presión.

CAPITULO VIII

Conclusiones y Sugerencias

Conclusiones

127

En esta tesis, se desarrolla un modelo para la simulación de la dinámica de reactores auto-presurizados, refrigerados por convección natural. En particular, se toma como referencia el reactor CAREM-25. Para ello, se desarrollan modelos específicos que se aplican a un código numérico (HUARPE). Luego se implementa un método de linealización numérica por pequeñas perturbaciones. Resulta entonces un código apropiado para el estudio del sistema, resulta flexible para permitir el análisis de diferentes fenomenologías y la influencia de diversas hipótesis. El esquema numérico es adecuado para el análisis de estabilidad, combinando las facilidades del análisis lineal en el dominio de las frecuencias y la capacidad de estudio de comportamientos no-lineales en el dominio de tiempo.

El método de linealización utilizado asegura una muy alta concordancia de los resultados obtenidos con este esquema y los obtenidos con el código original, observándose un comportamiento idéntico entre ambos casos cuando las desviaciones respecto del estado estacionario son pequeñas, tanto en la amplificación de las oscilaciones como en la frecuencia.

El reactor analizado presenta características particulares que hacen que su comportamiento difiera del de los reactores clásicos. Debido a la auto-presurización, no existen componentes activos para el control de presión en forma directa, sino que éste se lleva a cabo mediante desbalances de potencia en el circuito primario. Esta condición fuerza la existencia de vapor a lo largo de la rama caliente. La diferencia de alturas entre la fuente de calor (núcleo) y el sumidero (generadores de vapor) generan la fuerza boyante necesaria para su funcionamiento en convección natural en condiciones nominales. Estas características son especialmente estudiadas en este trabajo.

Sobre el análisis de inestabilidades La combinación de circulación natural y baja fracción de vacío vuelve al sistema

susceptible a tener oscilaciones. Bajo ciertas condiciones o hipótesis particulares, es posible que el sistema experimente oscilaciones crecientes.

En este caso, la oscilación que tendría lugar sería debida a la interacción entre el caudal y la fuerza boyante, esta última gobernada principalmente por las variaciones de entalpía en la chimenea. Con un modelo muy sencillo, desarrollado ad-hoc se determinaron algunas tendencias elementales: el sistema se hace más inestable para mayores potencias de núcleo, menores potencias de condensación en el domo, mayores tiempos de residencia en el núcleo y mayor inercia del refrigerante.

Un aspecto analizado, es la influencia de diferentes factores o hipótesis de modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema, incrementando la complejidad de forma gradual. Esto permitió confeccionar mapas de estabilidad según modelos de diferente grado de complejidad, y analizar la influencia de diferentes factores e hipótesis de modelado en la predicción de la estabilidad lineal del sistema. También se determinaron los principales modos de oscilación, amplificaciones y frecuencias características de oscilaciones. Luego, se estudió el comportamiento del sistema cuando se hace inestable, según el modelo no-lineal en el dominio de tiempo. Se analizaron los efectos de la realimentación neutrónica y la auto-presurización mediante estudios paramétricos, estableciendo la influencia de diferentes factores en los ciclos límite.

El análisis en el dominio de las frecuencias permite una rápida visualización de la estabilidad lineal del sistema. La metodología utilizada en el estudio paramétrico,

Conclusiones

128

incrementando la complejidad de los modelos de forma gradual, permitió relacionar los modelos de bajo orden, utilizados para entender la naturaleza básica de las oscilaciones, con aquellos que incluyen mayor detalle y fenomenologías específicas.

Un perfil de potencia no-uniforme, con un menor flujo cerca de la salida, disminuye el tiempo de residencia del fluido en el núcleo, disminuyendo el retraso de tiempo. Esto estabiliza el sistema respecto de la hipótesis de potencia uniforme.

La velocidad relativa entre fases aumenta la velocidad de las burbujas. Esto disminuye la fracción de vacío, reduciendo la fuerza boyante y aumentando su sensibilidad ante cambios de caudal, desestabilizando el sistema respecto del modelo homogéneo. Por otra parte, se incrementa la velocidad del movimiento de perturbaciones a lo largo de la chimenea, incrementando la frecuencia de las oscilaciones.

En las condiciones bajo las cuales funciona el reactor, los cambios de densidad en simple fase proporcionan una importante contribución a la fuerza boyante, lo cual frecuentemente no es tenido en cuenta en los modelos de bajo orden. Dado que ésta es mucho menos sensible a perturbaciones en el caudal, provee un fuerte efecto estabilizador en el sistema.

Cuando se incluyen los cambios de presión con la altura, es posible que ocurra ebullición en chimenea, ocasionada por la disminución de la temperatura de saturación (“flashing”). Esto magnifica la amplificación de las oscilaciones, inestabilizando el sistema.

La dinámica de núcleo, que incluye la dinámica de temperatura de combustible y realimentación neutrónica, tiende a contrarrestar el efecto termohidráulico a la vez que reduce el atraso de fase. Esto estabiliza el sistema cuando las oscilaciones son de baja frecuencia, como es el caso de baja condensación en el domo. Cuando ésta se incrementa, aumenta la fracción de vacío en el núcleo y la realimentación neutrónica es mayor. En este caso, tienen lugar oscilaciones de mayor frecuencia, y el sistema es relativamente desestabilizado.

En el caso de reducir el área de transferencia del núcleo con el refrigerante, la temperatura promedio de los combustibles aumenta, de manera de mantener la potencia transferida. Luego, ésta se hace menos sensible a cambios en la temperatura de combustible, dado el incremento en su valor absoluto, tendiendo a una condición de flujo de calor constante. Un incremento en el área puede interpretarse entonces como aumento de la sensibilidad de la temperatura de núcleo, incrementando el efecto de la realimentación neutrónica. Esto proporciona un efecto estabilizador en el rango analizado.

El efecto de la realimentación neutrónica está directamente relacionado con el coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante. Cuando este es muy pequeño, se tiende al caso de potencia de núcleo constante. Luego, el efecto de la realimentación neutrónica se incrementa al aumentar este coeficiente, proveyendo un efecto estabilizador, tendencia que se mantiene hasta un incremento del 100% respecto del valor de referencia, en el punto de operación.

Considerar constante la temperatura de refrigerante a la entrada de núcleo significa despreciar las perturbaciones que ocasionan los generadores de vapor. Debido a que el tiempo de residencia del fluido en el GV es muy grande comparado con el de núcleo, las fluctuaciones a la salida de los mismos son pequeñas en comparación con las de salida de núcleo, por lo que no producen grandes cambios en la estabilidad del sistema dadas las condiciones de trabajo del reactor. Sin embargo, se encontraron

Conclusiones

129

algunas situaciones en las que vale la pena tenerlas en cuenta: en las regiones más estables, estas se hacen dominantes, en particular condiciones de muy baja o nula fracción de vacío. Durante la evolución de las oscilaciones puede producirse una “deriva” de la temperatura promedio a la entrada de núcleo, pudiendo desplazar los valores medios de los títulos en chimenea. Por otra parte, cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, estas perturbaciones influyen en la potencia generada en el núcleo. En estas condiciones, es posible obtener un nuevo tipo de oscilación, dado que estas variaciones de potencia lograrían afectar la entalpía de salida de núcleo, pudiendo desestabilizar el sistema. A diferencia de los demás casos, estas oscilaciones son sensibles tanto a los tiempos de la rama fría como a los de rama caliente. Sin embargo, vale aclarar que las mismas solo aparecen cuando la realimentación neutrónica es muy fuerte, y su análisis posiblemente requeriría de un cálculo de cinética que contemple cambios de potencia locales.

El efecto de la realimentación de presión ofrece un efecto estabilizador respecto del caso de considerar presión constante, lo cual equivaldría a suponer un volumen de vapor infinito, que responde al siguiente mecanismo: un aumento de la fracción de vacío en la chimenea expande todo el refrigerante, presurizando el sistema. Esto aumenta la entalpía de saturación, tendiendo a disminuir la fracción de vacío. Por lo tanto, el efecto natural de la realimentación de presión es el de balancear los cambios de densidad en la zona de dos fases. La realimentación de presión es más fuerte cuando el volumen de vapor es menor, estabilizando el sistema.

En el caso de existir oscilaciones crecientes (bajo condiciones o hipótesis particulares), la amplitud de oscilaciones es restringida por fuertes efectos no-lineales, no tenidos en cuenta en el análisis lineal. Estos se deben fundamentalmente que, cuando la amplitud de oscilación crece, la frontera de ebullición cruza los límites de la chimenea, ocasionando además la aparición de más de una frontera de ebullición en un dado tiempo. Este es el principal mecanismo que acota la amplitud de oscilaciones, a valores que resultan del orden del 1% en los casos analizados en este trabajo. Oscilaciones de estas amplitudes permanecerían desapercibidas en caso de estar presentes en el reactor, por lo que el sistema puede ser considerado estable en el sentido práctico, aún en presencia de oscilaciones crecientes. Esta conclusión escapa a los análisis lineales.

La realimentación neutrónica acota la amplitud de oscilaciones, dado que su efecto es contrapuesto al puramente termohidráulico. Este efecto, a diferencia del que establecen los límites de chimenea, se da aún para desviaciones muy pequeñas. La realimentación neutrónica se incrementa tanto al aumentar el coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante como el área de transferencia de núcleo, observándose menores amplitudes de oscilación para ambos casos.

La amplitud de las oscilaciones también se reduce al incrementar la realimentación de presión. Esto se observa en los ciclos límite al reducir el volumen de vapor.

Aunque el modelo desarrollado no incluye un modelo vacío subenfriado, a partir de la experiencia adquirida es posible realizar algunas estimaciones acerca de su influencia en el análisis de estabilidad. Desde el punto de vista lineal, es de esperar que el aumento de fracción disminuya la sensibilidad de la fuerza boyante frente a cambios de caudal, tendiendo a estabilizar el sistema. Debido a que ebullición subenfriada se genera siempre en el núcleo, es posible que se reduzcan las zonas de “flashing” o ebullición en chimenea, efecto también tendiente a estabilizar el sistema. Esto sería más notable en condiciones de alta presión, donde los cambios relativos de presión con

Conclusiones

130

altura son menores, y a alta potencia, donde la ebullición en condiciones subenfriadas es mayor. Desde el punto de vista no lineal, probablemente la frontera de ebullición necesite perturbaciones algo mayores para escapar del núcleo, aunque es de esperar que los principales factores que limitan la amplitud de oscilación, fundamentalmente la aparición de múltiples fronteras de ebullición y la existencia de límites en la chimenea, seguirán existiendo y acotando la amplitud de oscilaciones en valores similares.

Sobre el análisis de errores numéricos El efecto de los errores numéricos, fuertemente relacionados con la nodalización

y paso de tiempo, se estudió evaluando su influencia en el análisis de estabilidad. Se implementó un esquema de nodalización adaptiva, con el fin de minimizar el error en la propagación de pequeñas perturbaciones a través de los volúmenes discretizados, especialmente los que se encuentran en el régimen de dos fases. Se estudiaron diferentes alternativas de integración temporal para mejorar la convergencia. En el dominio de las frecuencias, se estudiaron estos factores en la amplificación de oscilaciones. El modelo se comparó en un amplio rango de títulos con un modelo analítico, el cual es estrictamente no-difusivo, verificándose un buen acuerdo. En el dominio de tiempo, se estudió su influencia en la amplitud de oscilaciones.

El esquema de nodalización adaptiva muestra una muy baja difusión en el transporte de pequeñas perturbaciones. Ésta mejora notablemente la convergencia frente a nodalizaciones fijas. Por otra parte, el límite de estabilidad obtenido con estas últimas presenta discontinuidades que coinciden con el desplazamiento de la frontera de ebullición de un nodo a otro. Estas discontinuidades son minimizadas en el caso de la nodalización adaptiva.

El caso de integración totalmente explícita produce una sobreestimación de la inestabilidad respecto de nodalizaciones más refinadas, haciendo converger el límite de estabilidad desde la zona estable. La integración implícita de la ecuación de momento y la temperatura de combustible invierte esta tendencia en algunos casos, y mejora notablemente la convergencia tanto en oscilaciones de tipo-I como en las de tipo-II. Los resultados obtenidos con los equemas numéricos convergidos predicen un comportamiento más estable respecto de los obtenidos con el modelo analítico.

Los gradientes del factor de amplificación cerca del límite de estabilidad de las oscilaciones de tipo-I son más abruptos que en las de tipo-II. Esto hace que los límites de estabilidad del tipo-II calculado por diferentes modelos tengan más diferencias.

En el caso del reactor estudiado, las perturbaciones de los generadores de vapor en la zona de primario en simple fase son dominantes solamente en las regiones más estables, siempre que la realimentación neutrónica no sea demasiado fuerte; por lo tanto, la predicción del límite de estabilidad es aproximadamente independiente de la nodalización de la rama fría, dada su fuerte dependencia con la nodalización de la rama caliente.

Cuando se incluye la realimentación neutrónica y la frontera de ebullición se encuentra en el núcleo, se observan saltos discontinuos en el factor de amplificación cuando la frontera de ebullición pasa de un nodo a otro. Estas discontinuidades disminuyen al incrementar la nodalización de núcleo, por medio de la incorporación de pasos intermedios.

En cuanto a la amplitud de oscilaciones, éstas dependen fundamentalmente de la nodalización de la chimenea y el paso de tiempo utilizado. La nodalización en el núcleo

Conclusiones

131

no ocasiona cambios importantes en los ciclos límites, dado que éstos están determinados esencialmente por el movimiento de las fronteras de ebullición en la chimenea.

La nodalización de la rama fría no introduce cambios en la amplitud de la oscilación, dado que el efecto de las perturbaciones en los GV es despreciable. Sin embargo, en caso de considerar temperatura de entrada de núcleo constante se genera un desfasaje en los ciclos límites. Esto es debido a que el valor medio de la temperatura en el downcomer cambia ligeramente. Esta tendencia se conserva aún en las nodalizaciones más gruesas, causando la “deriva” respecto del caso de una temperatura fija.

Cuando la realimentación neutrónica es débil, la amplitud de la oscilación está más fuertemente determinada por efectos no lineales que aparecen solamente a partir de una determinada amplitud de oscilación, como es el cruce de la frontera de ebullición con los límites de chimenea o la aparición de más de una frontera de ebullición. Estos fenómenos son dominantes y relegan a un segundo plano las diferencias entre las soluciones numéricas de las diferentes nodalizaciones.

La realimentación neutrónica introduce efectos no lineales aún para desviaciones muy pequeñas. Luego, pierde importancia relativa la existencia de un límite de oscilaciones bien definido por la aparición de nuevos fenómenos físicos, y las diferencias relativas a factores numéricos se hacen más evidentes.

Sobre el comportamiento de la auto-presurización: Se estudió la naturaleza de la auto-presurización y su aproximación al modelado

durante un transitorio de reducción parcial de potencia removida por los generadores de vapor, utilizando el modelo desarrollado en este trabajo y RELAP, un código comercial. En este último, se utilizaron dos alternativas de nodalización para el domo de vapor. Mediante un estudio paramétrico, se estudió la dependencia de la evolución de presión con diversos procesos de ebullición y condensación, prestando especial atención al domo de vapor. Se observó un razonable acuerdo entre modelos.

El control de presión del sistema es posible si el refrigerante del circuito primario está termodinámicamente acoplado al vapor del domo. Esto significa que el intercambio de calor entre fases, sumado a un buen mezclado de cada una de ellas, hacen posible condensar vapor del domo a través de desbalances de potencia en la fase líquida a lo largo del circuito. En el caso de total desacople esto no es posible, lo que causa la imposibilidad de reducir la presión. Esto hace que el sistema sea no controlable ante transitorios de presurización.

Las formas de acoplar termodinámicamente el agua y el vapor en el domo son por conducción a través de las estructuras, o por procesos de ebullición y condensación que aseguren el intercambio de calor entre fases. Un sumidero de calor dentro de la zona de vapor asegura el equilibrio termodinámico entre el líquido y el vapor, lo cual proporciona una condición de excelente auto-control del sistema. En el reactor analizado ésta es promovida principalmente por los mecanismos de control, y en menor grado por las pérdidas de calor a través de las paredes del recipiente de presión.

El modelado del intercambio térmico de las estructuras del domo con el fluido es muy importante en la evolución de la presión, ya que ésta es particularmente sensible a la condensación de vapor.

El fenómeno de ebullición subenfriada y la posterior condensación de burbujas en el líquido subenfriado son probablemente de significancia, ya que ambos determinan

Conclusiones

132

la cantidad de vapor existente en forma de burbujas a lo largo de la chimenea y domo. La ebullición subenfriada depende directamente del flujo de calor en el núcleo, y se encuentra bastante bien documentada dado que éste es un fenómeno de importancia en reactores clásicos. Por el contrario, el ritmo de condensación del vapor a lo largo de la chimenea y el domo dependen fuertemente de la interacción de las burbujas generadas con el líquido subenfriado, en una geometría fuertemente tridimensional. Estos factores dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales. En los transitorios analizados, se observó que una mayor capacidad de condensación en la zona mezcla del domo incrementa la cantidad de fracción de vacío en la chimenea, hecho que aumenta el caudal en estado estacionario, y acota los aumentos de presión.

Tareas Futuras Se propone la continuación de esta línea de trabajo, tanto en la implementación

de nuevos modelos como en estudio de diversos estados operativos. En cuanto a los modelos, un posible tema de estudio es la influencia del vacío

subenfriado en el análisis de estabilidad del sistema. Como se mencionó, esto está íntimamente relacionado con fuertes efectos tridimensionales que dejan este fenómeno fuera del alcance de las herramientas actuales, quedando este tema pendiente este tema para futuras investigaciones.

Una futura aplicación es la utilización de esta herramienta de cálculo para definir estrategias de puesta en marcha del reactor. En este caso es de esperar que el fenómeno de flashing sea más importante, dadas las condiciones de baja presión y baja potencia. Debido al mayor cambio en las propiedades de saturación con altura, el movimiento de la frontera de ebullición entre los límites de chimenea probablemente implique mayores amplitudes de oscilación. El esquema permitiría definir posibles caminos para evitar zonas inestables mediante un análisis lineal, y si esto no fuera posible, minimizar y evaluar la amplitud de oscilaciones mediante un análisis no-lineal.

133

Contexto y aportes de la tesis Como resultado directo de los estudios realizados en esta tesis, se han efectuado

3 publicaciones internacionales, 3 presentaciones en congresos internacionales y 2 en nacionales. Estos abarcan estudios en los siguientes temas:

- La descripción de modelos específicos (Zanocco P. et al, 2002a). - El impacto de los modelos físicos utilizados para la predicción de la estabilidad

lineal y no lineal (Zanocco P. et al, 2004a, b) - La influencia de los errores numéricos en el análisis de la estabilidad lineal

(Zanocco P. et al, 2002b; 2004c; 2005). En el primero, se presenta también un método pseudo-lagrangiano para la propagación de frentes de entalpías, método que fue discontinuado y no se incluye en esta tesis. El último se encuentra en etapa de revisión.

- El comportamiento de la auto-presurización (Zanocco P. et al, 2001b; 2003a). Sin embargo, durante el período en que se realizó esta tesis, se realizaron

diversos estudios que no se incluyen explícitamente en la misma, pero que contribuyeron considerablemente a profundizar en el modelado y conocimiento del sistema. El desarrollo de esta tesis se debe en gran medida al conocimiento adquirido en esos trabajos. Los mismos involucran 2 publicaciones internacionales, 3 presentaciones en congresos internacionales y 9 en nacionales, como así también 13 reportes e informes de proyecto.

Gran parte de esos trabajos forman parte de la etapa de consolidación de Ingeniería Conceptual del Reactor CAREM, en particular el modelado y análisis de accidentes y la consolidación y diseño de los sistemas de seguridad pasivos / avanzados de seguridad. La fuerte interacción con un proyecto activo, proponiendo y analizando diferentes soluciones, potenció el aprendizaje durante esa etapa.

Este período, incluye la gestión de nodalización de un código de planta (Giménez M. et al, 1999a, 2000a; Zanocco P. et al, 1999c, e), que fuera utilizado en el análisis de seguridad del reactor CAREM. Esto permitió profundizar en el estudio, interpretación y modelado de la fenomenología inherente de los sistemas de seguridad y en su acople al reactor (Giménez et al, 1999b, 2000b, c, d, 2001; Schlamp M. et al, 1999; Vertullo A., 1999a, b; Zanocco P. et al, 1999d, f, 2000a, b, c). El funcionamiento de estos sistemas, a diferencia de los reactores clásicos, depende fuertemente de su naturaleza inherente en la evolución de accidentes, además de presentar un gran acople con lo que ocurre en el sistema primario. Los estudios realizados sobre sus fenomenologías se tradujeron en cambios en el diseño tanto del Segundo Sistema de Extinción, como del Sistema de Extracción de Calor Residual. Los estudios sobre este último sistema incluyen la colaboración con expertos del Centro de Investigación de Rossendorf, Alemania, por medio de un convenio realizado a través de OIEA. El mismo incluyó el chequeo de cálculos de este sistema, realizados con el código RELAP (utilizado en el diseño), con resultados obtenidos con el código ATHLET. Es importante resaltar que este código fue a su vez validado con dispositivos experimentales que reproducen condiciones y geometrías similares a las de este sistema. Se demostró que los criterios de diseño fueron satisfechos y más aún, superados con un buen margen, confirmando las hipótesis previas tomadas para el diseño (Shaffrath A. et al, 2003).

134

Como parte de la capacitación en modelado de sistemas termohidráulicos, se obtuvo una beca de capacitación de OIEA por un período de tres meses, que se realizó en la Universidad de Pisa. En esta institución existe una gran experiencia acumulada en validación de códigos con facilidades experimentales. Allí se estudió la dinámica de una facilidad experimental que reproduce la contención de un reactor tipo BWR, durante un transitorio de presurización de la contención (LOCA), como parte de un ejercicio internacional (Zanocco P. et al, 2000d, 2001a). Los resultados se obtuvieron utilizando el código RELAP, el mismo que se utilizó para la evaluación de accidentes del diseño CAREM. Se estudiaron diferentes alternativas de nodalización de los grandes volúmenes de vapor y aire, y se compararon con experimentos. Luego, estos conceptos sirvieron para profundizar sobre la dinámica de la auto-presurización.

En el ámbito académico, parte de los modelos que se muestran en esta tesis sirvieron como base para el desarrollo de un modelo de generador de vapor. Esto fue el resultado de el Trabajo Especial de Villar G., 1999a, para ser luego incorporado al simulador de la Central Nuclear de Embalse (Villar et al, 1999b, c). Por otra parte, también se desarrollaron modelos del sistema secundario, lo cual fuera el Trabajo Especial de Rabiti A., 2001a, y que incorporado al modelo HUARPE permitió obtener un modelo completo de la planta (Rabiti A. et al, 2001b).

Otra importante línea de trabajo es el desarrollo de metodologías para la incorporación de conceptos de seguridad en la etapa de ingeniería conceptual. Esto consiste en correlacionar variables que son indicativas de la seguridad del reactor ante un accidente con parámetros de diseño, mediante “mapas de diseño”. De esta forma, se logra correlacionar el comportamiento del reactor ante transitorios con el diseño del mismo, lo cual permite obtener un diseño balanceado desde el punto de vista de la seguridad, y reducir sensiblemente la gran complejidad que se obtiene cuando estos conceptos se aplican sobre una base ya preestablecida. Estos estudios se realizaron utilizando versiones preliminares del modelo que finalmente se muestra en esta tesis, resultando en 2 presentaciones en congresos nacionales (Zanocco P. et al, 1998c, 1999b), un congreso internacional (Zanocco P. et al, 1999a) y una publicación internacional (Zanocco P. et al, 2003b)

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Nomenclatura A Área a Factor de amplificación C0 Parámetro de distribución de flujo Cp Calor específico D Diámetro Dh Diámetro hidráulico e Espesor f Coeficiente de fricción / Función g Aceleración de la gravedad G Flujo másico GV Generador de vapor Ĝ Momento total H Altura HAN producto del coeficiente de transferencia equivalente y el área de

transferencia de núcleo h Entalpía media ĥ Entalpía de mezcla ht Coeficiente de transferencia de calor j Flujo volumétrico k Conductividad K Coeficiente de fricción localizada L Longitud M Masa MBC Mecanismos de barras de control NIT Numero de iteraciones intermedias Nsub Número de subenfriamiento NZu Número de Zuber P Presión Per Perímetro Peso Perfil axial de generación de potencia Q, q Potencia q” Flujo de calor q’ Potencia lineal R, r Radio Rρ Coeficiente de reactividad por densidad de refrigerante S Relación de velocidades de vapor y líquido promediadas en área (Slip) T Tiempo de residencia / Temperatura t Tiempo u Velocidad ũgj Velocidad de “drift” up Velocidad de propagación de perturbaciones W Caudal másico x Título estático xd Título dinámico y Variable de estado z Coordenada espacial

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Letras griegas α

Fracción de vacío β

Autovalor / Coeficiente de expansión térmica δ

Perturbación ∆

Diferencia Φ2

f0 Multiplicador de dos fases 1φ

Simple fase 2φ

Doble fase λ

Frontera de ebullición θ

Ángulo de la dirección del fluido respecto a la vertical ρ

Densidad σ

Tensión superficial ω

Frecuencia Subíndices y supraíndices a Ambiente c Combustibles ch Chimenea D Domo e Estructuras / Entrada f Líquido saturado g Vapor saturado i Interfase / elemento i l Líquido j Número de nodo / elemento j LV Transferencia entre fases en el nivel de líquido en el domo M Zona mezcla de domo N Núcleo n Paso de tiempo V Zona vapor de domo v Vapor t Transferencia 0 Estado estacionario / Valor nominal + Variable a ser convergida

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Referencias Almenas K., Wu C.C., Ragulskis L. and diMarzo M., 1991. An instable,

condensation controlled two-phase natural circulation mode. Nuclear Engineering and Design 131, 241-251

Ambrosini W., 2001. On some physical and numerical aspects in computational modeling of one-dimensional flow dynamics. In proceedings of VII International Seminar on Recent Advances in Fluid Mechanics, Physics of Fluids an Associated Complex Systems, Buenos Aires, October

Ambrosini W., Ferreri J.C., 1998. The effect of truncation error on the numerical prediction of linear stability boundaries in a natural circulation single-phase loop. Nuclear Engineering and Design 183, 53-76.

Aritomi M., Chiang J. H., Mori M., 1993. Geysering in parallel boiling channels. Nuclear Engineering and Design 141, 111-121.

Arnold H., Yadigaroglu G. et al., 1997. ESWR – The latest passive BWR. Nuclear Engineering International 42 (511) 20-22

Cheung Y.K., Klebanov L.A., 2001. TRACG analyses of two-phase flow instability data from SIRIUS loop at relatively high system pressure. Proceedings of International Conference on Nuclear Engineering, Nice, France, 2001

Clausse A., Delmastro D., Lahey R.T., 1990. The analysis of chaotic instabilities in natural circulation boiling systems. Eurotherm Seminar 16, 161-167.

D’Auria F., Ambrosini W. et al., 1997. State of the Art Report on Boiling Water Reactor Stability. OCDE/GD(97)13

D’Auria F., Frogheri M., 2002. Use of a natural circulation map for assessing PWR performance. Nuclear Engineering and Design 215, 111-126

Delmastro D., Santecchia A., Mazzi R., Ishida Fukami M.V., Gómez S.E., Gómez de Soler S., Ramilo L., 2001. CAREM: An Advanced Integrated PWR. In proceedings of International Seminar on Status and Prospects for Small and Medium Sized Reactors, Cairo, Egypt 27-31 May

Delmastro D., Juanicó L., Clausse A., 2001b. A delay theory for boiling flow stability analysis. International Journal of Multiphase Flow 27, 657-671

Delmastro D., Clausse A. and Converti J., 1991. The influence of gravity on the stability of boiling flows. Nuclear Engineering and Design 127, 129-139

Duffey R.B. and Sursock J.P., 1987. Natural circulation phenomena relevant to small breaks and transients. Nuclear Engineering and Design 102, 115

El-Wakil M.M., 1978. Nuclear heat transport. American Nuclear Society, Lagrange Park, Illinois.

Franklin G.F., Powell J.D, Emami-Naeini A., 1994. Feedback control of dynamic systems. Reading , Addison Wesley

Fukuda K, Kobori T., 1979. Classification of two-phase instability by density wave oscillation model. Journal of Nuclear Science and Technology 16, v2, 95-108.

Galer R.R., Jensen J., 1989. Investigation of BWR instability phenomena using RETRAN-03. American Nuclear Society, 60, 482-483.

138

Giménez M., Schlamp M., Zanocco M., Ottaviani M., García M., 1999a. Nodalización del Reactor CAREM para Simulaciones de Accidentes. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-001-1O.

Giménez M., Zanocco P., Schlamp M., Daverio H., Bedrosián G., 1999b.Análisis de la respuesta del reactor CAREM ante la actuación del segundo sistema de extinción. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-009-0O.

Giménez M., Zanocco P., Schlamp M., Ottaviani A. y García A. 2000a. Aspectos del Análisis de Seguridad y Nodalización para Simulaciones de Accidentes del Reactor CAREM-25. XXVII Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Giménez M., Zanocco P. y Schlamp M., 2000b. Estudio de Consolidación del Segundo Sistema de Extinción del Reactor CAREM-25. XXVII Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Giménez M., Zanocco P. y Schlamp M., 2000c. Análisis Integral de la Respuesta del CAREM y del Sistema de Extracción de Calor Residual Frente a un Corte de la Alimentación a los Generadores de Vapor. XXVII Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Giménez M., Zanocco P. y Schlamp M., 2000d. Simulación y análisis del segundo sistema de extinción, presurizado en stand-by, en forma aislada e integrada al primario ante un disparo espurio. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-011-1O.

Giménez M., Schlamp M., Zanocco P., Vertullo A., 2001. CAREM-25 Accident Analysis. In proceedings of International Seminar on Status and Prospects for Small and Medium Sized Reactors, Cairo, Egypt 27-31 May

Giménez M., Grinblat P. and Schlamp M, 2003. A cost-effective methodology to internalize nuclear safety in nuclear reactor conceptual design. Nuclear Engineering and Design 226, 293-309

IAEA-TECDOC-1391, 2004. Status of Advanced Light Water Reactor Designs, IAEA, Vienna

IAEA-TECDOC-1379, 2003. Use of computational fluid dynamics codes for safety analysis of nuclear reactor systems. IAEA, Vienna.

Inada F., Furuya M., Yasuo A., 2000. Termo-hydraulic instability of boiling natural circulation loop induced by flashing (analytical consideration). Nuclear Engineering and Design 200, 187-199.

Innovative Systems Software, 1995. RELAP5/SCDAPSIM/MOD3.2 Code Manual, U. S. Nuclear Regulatory Commission.

Karve A. et al, 1997. Stability analysis of BWR nuclear-coupled thermal-hydraulics using a simple model. Nuclear Engineering and Design 177, 155-177

Kruijf W.J.M et al, 2003. Planned experimental studies on natural-circulation and stability performance of boiling water reactors in four experimental facilities and first results (NACUSP). Nuclear Engineering and Design 221, 141-250

Kyung I. and Lee S., 1994. Experimental observations on flow characteristics in an open two-phase natural circulation loop. Nuclear Engineering and Design 159, 163-176

Lahey R.T., Moody F.J., 1977. The thermal-hydraulics of a boiling water nuclear reactor. American Nuclear Society ,

Lai W.M, Rubin D., Krempl E., 1993. Introduction to continuum mechanics. Oxford , Butterworth-Heinemann

139

Mahaffy J.H., 1993. Numerics of codes: stability, diffusion and convergence. Nuclear Engineering and Design 145, 131-145

March-Leuba J. and Rey J.M., 1993. Coupled thermohydraulic-neutronic instabilities in boiling water nuclear reactors: a review of the state of the art. Nuclear Engineering and Design 145, 97-111

Marshall G., 1985. Solución numérica de ecuaciones diferenciales. Reverté s.f., Buenos Aires.

March-Leuba J., Cacuci D.G., Perez R.B., 1986. Nonlinear dynamics and stability of Boiling Water Reactors: Part 1 – Qualitative analysis. Nuclear Science and Engineering 93, 111-123

Nayak A.K., Vijayan P.K., Saha D., Venkat Raj V., Masanori A., 2000. Analytical study of nuclear-coupled density-wave instability in natural circulation pressure tube type boiling water reactor. Nuclear Engineering and Design 195, 27-44

Nayak A.K., Kumar N., Vijayan P.K., Saha D., Sinha R.K., 2002. Analytical study of flow instability behavior in a boiling two-phase natural circulation loop under low quality conditions. Kerntechnik 67, 95-101

Ottaviani A., Zanocco P., Schlamp M., Giménez M., 1999. Modelado y análisis de la nodalización de los generadores de vapor helicoidales del CAREM. Proyecto CAREM, MEM-SEG-99-17.

Ott, K.O., Neuhold, J., 1985. Introductory nuclear reactor dynamics. La Grange Park , American Nuclear Society.

Paulsen M.P., Shatford J.G and Westacott J.L., 1992. A nondifussive solution method for RETRAN-03 boiling water reactor stability analysis. Nuclear Technology 100, 162-173

Peng S.J., Podowski M.Z. et al, 1984. NUFREQ-NP: A computer code for the stability analysis of boiling water nuclear reactors. Nuclear Science and Engineering 88, 404-411

Pérez A. y Ferreri J.C., 1993. KINEQ: Un código eficiente para la solución numérica de las ecuaciones de la cinética puntual. Manual del código, CNEA, gerencia de seguridad radiológica y nuclear.

Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterin W.T., 1989. Numerical Recipes, the art of scientific computing. Cambridge University Press

Rabiti A., 2001a. Desarrollo y aplicación de un código de planta al análisis de transitorios en reactores integrados. Trabajo especial, grado Ingeniería Nuclear. Instituto Balseiro.

Rabiti A., Giménez M., Delmastro D., Zanocco P., 2001b. Desarrollo y Aplicación de un Código de Planta al Análisis de Transitorios en Reactores Integrados. XXVIII Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Shaffrath A., Walter D., Delmastro D., Giménez M. and Zanocco P., 2003. Computing the emergency condenser of the argentinian integral reactor CAREM. International Journal for Nuclear Power 48, 111-115

Shiralkar B.S., Alamgir Md. And Andersen J.G.M., 1993. Thermal hydraulic aspects of the SBWR design. Nuclear Engineering and Design 144, 213-222

Schlamp M., Giménez M., Zanocco P., 1999. Análisis de las secuencias accidentales derivadas del evento iniciante pérdida de fuente fría en el reactor CAREM, en función de la actuación de distintos sistemas de seguridad. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-005-1O.

140

Takigawa Y., Takeuchi Y. et al, 1987. Caorso limit cycle oscillation analysis with three-dimensional transient code TOSDYN-2. Nuclear Technology 79(2), 210-227

Ünal H.C., 1975. Maximum bubble diameter, maximum bubble-growth time and bubble growth rate during the subcooled nucleate flow boiling of water up to 17.7 MN/m2. International Journal of Heat and Mass Transfer 19, 643-649.

Van Bragt D., Kruijf W.J.M et al, 2002. Analytical modeling of flashing-induced instabilities in a natural circulation cooled boiling water reactor. Nuclear Engineering and Design 215, 87-98

Van Bragt D., Vand Der Hagen T., 1998a. Stability of natural circulation Boiling Water Reactors: Part I – Description stability model and theoretical analysis in terms of dimensionless groups. Nuclear Technology 121, 40-51.

Van Bragt D., Vand Der Hagen T., 1998b. Stability of natural circulation Boiling Water Reactors: Part II – Parametric study of coupled neutronic – thermohydraulic stability. Nuclear Technology 121, 52-62.

Van Bragt D., Riswan-uddin, Vand Der Hagen T., 1999. Nonlinear analysis of a natural circulation boiling water reactor. Nuclear Science and Engineering 131, 23-44.

Van Der Hagen T., Van Bragt D. et al, 1997. Exploring the Dodewaard type-I and type-II stability; from start-up to shut-down, from stable to unstable. Annals of Nuclear Energy, Vol. 24, No. 8, 659-669

Van Der Hagen T., Stekelenburg A.J.C., Van Bragt D., 2000. Reactor experiments on type-I and type-II BWR stability. Nuclear Engineering and Design 200, 177-185.

Vertullo A., Giménez M., Schlamp M., Zanocco P., 1999a. Desarrollo de un código para el cálculo de transitorios rápidos de reactividad en reactores experimentales. XXVI Reunión Científica de la AATN, S.C. de Bariloche, Noviembre.

Vertullo A., Giménez M., Zanocco P., 1999b. Accidentes de inserción de reactividad por extracción de una barra de control en el reactor CAREM. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-006-1O.

Vijayan P.K., Austregesilo H., Teschendorff V., 1995. Simulation of the instable oscillatory behavior of single-phase natural circulation with repetitive flow reversals in a rectangular loop using the computer code ATHLET. Nuclear Engineering and Design 155, 623-641

Villar G., 1999a. Modelo dinámico de Generadores de Vapor: Aplicación a la Central Nuclear Embalse. Trabajo especial, grado Ingeniería Nuclear. Instituto Balseiro.

Villar G., Giménez M., Flury C.A., Zanocco P., 1999b.Modelado dinámico de generador de vapor para el simulador de la CNE: análisis de un transitorio. XXVI Reunión Científica de la AATN, S.C. de Bariloche, Noviembre.

Villar G., Giménez M., Flury C.A., Zanocco P., 1999c. Modelo dinamico de generador de vapor. XXVI Reunión Científica de la AATN, S.C. de Bariloche, Noviembre.

Wallis G.B., Heasley J.H., 1961. Oscillations in two-phase flow systems. Journal of Heat Transfer 83, 363-369

Wang F.S., Hu L.W., Pan Ch., 1994. Thermal and stability analysis of a two-phase natural circulation loop. Nuclear Science and engineering 117, 33-46

Wulff W., 1993. Computer simulation of two-phase flow in nuclear reactors. Nuclear Engineering and Design 141, 303-313

141

Zanocco, P., 1998a. Criterios de diseño de reactores integrados basados en transitorios. Trabajo especial, grado Ingeniería Nuclear. Instituto Balseiro.

Zanocco P., Gimenez M., Delmastro D., 1998b. HUARPE: un código termohidráulico para la simulación de transitorios en reactores integrados. XXV Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires.

Zanocco P., Gimenez M. y Delmastro D., 1998c. Mapas de diseño: Una técnica útil en la evaluación de la seguridad en el diseño de reactores integrados. XXV Reunión Cientíca de la AATN, Buenos Aires.

Zanocco P., Giménez M., Delmastro D., 1999a. Criterios de diseño de reactores integrados basados en transitorios. VII Congreso General de Energía Nuclear, Belo Horizonte, Brasil.

Zanocco P., Gimenez M. y Delmastro D., 1999b. Estudio de transitorios previstos sin SCRAM como soporte al diseño de reactores integrados, XXVI Reunión Científica de la AATN, S.C. de Bariloche, Noviembre.

Zanocco P., Giménez M., Schlamp M., 1999c. Estado estacionario del reactor CAREM. Modelo para simulaciones de accidentes. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-002-1O.

Zanocco P., Giménez M., Vertullo A., García A., Schlamp M., 1999d. Rotura de línea de vapor en el circuito secundario del reactor CAREM. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-007-1O.

Zanocco P., Schlamp M., Giménez M., García A., 1999e. Informe preliminar sobre la nodalización y modelado del Sistema de Extracción de Calor Residual, Proyecto CAREM, MEM-SEG-99-0015.

Zanocco P., Giménez M., Schlamp M., Daverio H., Bedrossián G., 1999f. Acople entre el reactor CAREM y el segundo sistema de extinción ante un disparo espureo. Alternativa despresurizado en condición de stand by. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-010-1O.

Zanocco P., Giménez M., Schlamp M. y Barrera M., 2000a. Diseño del Sistema de Extracción de Calor Residual del CAREM-25. Aspectos de Seguridad Nuclear. XXVII Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Zanocco P., Giménez M, 2000b. Segundo sistema de extinción: simulación y análisis del acople con el sistema primario durante un accidente de pérdida de refrigerante. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-012-1O.

Zanocco P., Giménez M. y Schlamp M., 2000c. Análisis integral y diseño del sistema de extracción de calor residual: aspectos de seguridad nuclear. Informe Proyecto CAREM-CNEA 0758-1040-2IAKS-014-1O.

Zanocco P., D´Auria F., Galassi G.M., 2000d. Post-Test Sensitivity Analysis of OECD/CSNI ISP42 PANDA Experiment by RELAP5 Code. University of Pisa Report, DIMNP NT 422 (00), Pisa (I), November

Zanocco P., D´Auria F., Galassi G.M., 2001a. Post-Test Sensitivity Analysis of OECD/CSNI ISP42 PANDA Experiment by RELAP5 Code. ICONE-9 (International Congresss On Nuclear Engineering), Niza, Francia.

Zanocco P., Giménez M., Delmastro D., D’Auria F., 2001b. Self-Pressurization Behavior in Integrated Reactors. VII International Seminar on Recent Advances in Fluid Mechanics, Physics of Fluids and Associated Complex Systems, Buenos Aires, Octubre.

142

Zanocco P., Gimenez M., Delmastro D., 2002a. Modelado de circuitos auto-presurizados de convección natural. XXIX Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires.

Zanocco P., Gimenez M. y Delmastro D., 2002b. Efecto de la difusividad numérica en la simulación dinámica de sistemas termohidráulicos. XXIX Reunión Científica de la AATN, Buenos Aires, Noviembre.

Zanocco P., Giménez M., Delmastro D., 2003a. Self-pressurization behavior in integral reactors. International Journal of Heat and Technology 21, 149-155

Zanocco P., Giménez M., Delmastro D., 2003b. Safety design maps: an early evaluation of safety to support reactor design. Nuclear Engineering and Design 225, 271-283.

Zanocco P., Delmastro D., Giménez M., 2004a. Modeling aspects in linear stability analysis of self-pressurized, natural circulation integral reactor. Nuclear Engineering and Design, Vol. 231, pp. 283-301

Zanocco P., Delmastro D., Giménez M., 2004b. Linear and nonlinear stability analysis of a self-pressurized, natural circulation, integral reactor. ICONE12 (International Conference on Nuclear Engineering), Washington, USA.

Zanocco P., Delmastro D., Giménez M., 2004c. Consideraciones numéricas en la predicción de limites de estabilidad en circuitos de convección natural. ENIEF XIV (Congress On Numerical Methods and their Applications), Bariloche, Argentina.

Zanocco P., Delmastro D., Giménez M., 2005. Numerical Considerations on the Prediction of Stability Boundaries of Two-Phase Natural Circulation Circuits. Journal of Applied Mechanics. A aparecer.

Zuber, N., Findlay J.A., 1965. Average volumetric concentration in two-phase flow systems. Journal of Heat Transfer 87, 453-468

143 - Nota: Los datos aproximan los valores de CAREM-25, sin ser valores de diseño

Apéndice A: Datos utilizados en el modelo numérico Datos de entrada Núcleo HAN Producto del coeficiente de transferencia equivalente y el área

de transferencia de núcleo 0.485 MW/K

Rρ Coeficiente de realimentación por densidad de refrigerante 2*10-4 m3/kg

RTc Coeficiente de realimentación por temperatura de combustible -2.35*10-5 K-1

McCpc Capacidad calorífica de combustibles 1.73 MJ/K

AN Área de pasaje 0.8 m2

LN Longitud 1.4 m

DhN Diámetro hidráulico 0.013 m

Chimenea Ach Área de pasaje 2 m2

Lch Longitud 4.6 m

Dhch Diámetro hidráulico 1.6 m

Generadores de vapor AGV Área de pasaje 2 m2

LGV Longitud 4 m

Downcomer ADC Área de pasaje 4 m2

LDC Longitud 2 m

Domo de vapor VD Volumen de domo 15. m3

VM Volumen de mezcla en el domo 5 m3

Condiciones nominales W Caudal 410 kg/s

P Presión 12.25 MPA

QN Potencia de núcleo 100 MW

QV Potencia de condensación en domo de vapor 0.5 MW


Cálculo de HAN El modelo utiliza un parámetro HAN que es ingresado externamente. El mismo

incluye, como se explica en la sección II.1.3.1, información que corresponde a conductividades, capacidades caloríficas, geometrías y el coeficiente de transferencia al refrigerante. A continuación se detallan los datos utilizados para el cálculo de este coeficiente.

El cálculo de htc se realizó de acuerdo a la expresión II.44, en base a una barra

como se muestra en la Figura A.1, aproximando generación uniforme en todo el radio de la pastilla de uranio y despreciando la capacidad calorífica del gap. El cálculo de ht se realizó a partir de la correlación de Dittus-Boelter:

ht = 0.023 kH2O Re0.8 Pr0.3 /DhN

rp

rvaiR

UO2

Gap

Vaina

Figura A.1: Esquema de una barra combustible Sumados a los datos dados anteriormente, se utilizaron los que se detallan a

continuación:

ρCpuo2 Capacidad calorífica del uranio 3.32 MJ/m3K

ρCpvai Capacidad calorífica de la vaina 2 MJ/m3K

kuo2 Conductividad del dióxido de uranio 3.3 W/(m K)

kvai Conductividad de la vaina 14 W/(m K)

kgap Conductividad del gap 0.56 W/(m K)

kH2O Conductividad del agua 0.51 W/(m K)

rp Radio de la pastilla 3.8 mm

rvai Radio interno de la vaina 3.85 mm

R Radio externo de la vaina 4.5 mm


Re Nro. de Reynolds en el núcleo 89000

Pr Nro. de Prandlt ~ 1

Número de combustibles 61

Número de barras calefaccionadas en un EC 108

Con estos datos, resulta:

ht Coeficiente de transferencia 8500 W/(m2K)

htc Coef. de transf. equivalente de combustible. 2390 W/(m2K)

hteq Coeficiente de transferencia equivalente 1865 W/(m2K)

AtN Área de transferencia de núcleo 260 m2

HAN 0.485 MW/K


Apéndice B: Ecuaciones de cinética puntual

A continuación se detallan las ecuaciones de cinética puntual, las cuales definen la potencia generada:

fisjjHj

j

fisi

iii

I

iiifis

fis

QEHdt

dH

QCdt

dC

CQRdt

dQ

+−=

Λ+−=

+Λ−= ∑

=

λ

βλ

λβ1

(B.1)

donde:

E Fracción de energía de decaimiento

λH Constante de decaimiento

Λ Vida media de neutrones prompt

λ Constante de decaimiento del grupo de neutrones retardados

β Fracción de neutrones retardados

H Potencia de decaimiento

Qfis Potencia generada por fisiones

Las potencias de decaimiento por neutrones retardados (Ci) y las energías de decaimiento (Hi) se modelan a I=6 y J=11 grupos, respectivamente.

La solución de estas ecuaciones diferenciales acopladas de primer orden se utiliza para evaluar una potencia efectiva del núcleo; es decir, la potencia total generada en el núcleo a un tiempo dado, es:

∑∑==

+

−=

J

jj

Hjfis

J

jjN HQEQ

111 λ (B.2)

La reactividad introducida puede describirse de la siguiente forma:

cTc TRRRR δδρδ ρ +== (B.3)

donde:

RTc Coeficiente de Reactividad por temperatura de combustible

Rρ Coeficiente de Reactividad por densidad de refrigerante

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