PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Môn học: Xử lý ảnh số và video

Giáo viên lý thuyết: Lý Quốc Ngọc

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP HCMKhoa Công Nghệ Thông Tin

Nhóm XLA_DIP

• Thành Viên Nhóm:

• d

• C

• S

• S

• s

• Nguyễn Trung Tín MSSV: 1312601

Content

1. Phép biến đổi Fourier.

2. Lọc ảnh trong miền tần số.

3. So sánh miền tần số và miền không gian.

4. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier.

5. Tài liệu tham khảo.

1. Phép biến đổi Fourier

• Discrete Fourier Transform (DFT)

• Fast Fourier Transform(FFT)

Discrete Fourier Transform (DFT)

• Euler’s Formula:

Discrete Fourier Transform (DFT)

• DFT với công thức Euler’s

• Forward

• Inverse Fourier transform:

𝑋𝑘=∑𝑛=0

𝑁− 1

𝑥𝑛(cos (−2𝜋𝑘𝑛𝑁 )+𝑖 sin (−2𝜋𝑘

𝑛𝑁 )) ,𝑛∈𝑍

𝑥𝑘=∑𝑛=0

𝑁−1

𝑋𝑛(cos (2𝜋𝑘 𝑛𝑁 )+𝑖 sin(2𝜋 𝑘

𝑛𝑁 )) ,𝑛∈𝑍

𝑋𝑘=∑𝑛=0

𝑁− 1

𝑥𝑛𝑒−2𝜋 𝑘 𝑛

𝑁⇔

⇔ 𝑥𝑘=∑𝑛=0

𝑁−1

𝑋𝑛𝑒2𝜋𝑘 𝑛

𝑁

Discrete Fourier Transform (DFT)

• Đặc trưng của DFT

•Frequency Spectrum

•Phase Spectrum

𝐹 (𝑢 ,𝑣)=𝑅(𝑢 ,𝑣)+𝑖𝐼 (𝑢 ,𝑣)

¿𝐹 (𝑢 ,𝑣)∨¿√¿¿

𝛷 (𝑢 ,𝑣) =𝑎𝑟𝑐 tan ¿

Discrete Fourier Transform (DFT)

• Các tính chất Quan trọng của DFT

•Tính đối xứng:

𝑋𝑘+𝑁=∑𝑛=0

𝑁−1

𝑥𝑛𝑒¿ ¿¿

𝑣 ớ 𝑖 :𝑒−2𝜋𝑛𝑖=1

Discrete Fourier Transform (DFT)

• Các tính chất Quan trọng của DFT

• Shiffted: A function f(x) shifted along the x-axis by a to become f(x−a) has the Fourier transform e^(−2ias)F(s).  The magnitude of the transform is the same, only the phases change.

¿

Discrete Fourier Transform (DFT)

• Các tính chất Quan trọng của DFT

• Convolution: F ( f ∗ g)=kF {f \}F \{g \}

( f ∗g¿¿F−1 \{F {f \}F \{g \}\}

Fast Fourier Transform (FFT)

• FFT : dựa trên thuật toán của Cooley–Tukey

• Chia làm 2 tập gồm phần tử chẵn và lẻ:

Even

Odd

Fast Fourier Transform (FFT)

FFT forward: (n = 2m+1 với chỉ số lẻ, n= 2m với chỉ số chẵn)

𝑋𝑘= ∑𝑚=0

𝑁 /2− 1

𝑥2𝑚𝑒− 2𝜋 𝑖𝑁

(2𝑚)𝑘+¿ ∑

𝑚=0

𝑁 /2−1

𝑥2𝑚+1𝑒−2 𝜋 𝑖𝑁

(2𝑚+1)𝑘¿

𝑋𝑘= ∑𝑚=0

𝑁 /2− 1

𝑥2𝑚𝑒−2𝜋 𝑖𝑁

(2𝑚)𝑘+¿ 𝑒

− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁 ∑

𝑚=0

𝑁 /2− 1

𝑥2𝑚𝑒−2𝜋 𝑖𝑁

(2𝑚)𝑘¿=𝐸𝑘+𝑒

− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁

𝑂𝑘

Fast Fourier Transform (FFT)

• Tính tuần hoàn của DFT :

𝐸𝑘+ 𝑁

2

=𝐸𝑘 ,𝑂𝑘+ 𝑁2

=𝑂𝑘 {⇒X𝑘

𝐸𝑘+𝑒− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁 𝑂𝑘

𝐸𝑘− 𝑁

2

+𝑒− 2𝜋 𝑖𝑘

𝑁 𝑂𝑘− 𝑁

2

,0≤𝑘≤𝑁2

,

Fast Fourier Transform (FFT)

𝑣 ớ 𝑖 :𝑒¿¿

¿𝑒−𝜋 𝑖𝑒− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁

¿−𝑒− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁

Với : 𝑋𝑘=𝐸𝑘+𝑒−2𝜋 𝑖𝑘𝑁 𝑂𝑘

𝑋𝑘+ 𝑁

2

=𝐸𝑘+𝑒− 2𝜋 𝑖𝑘𝑁 𝑂𝑘

Fast Fourier Transform (FFT)

X0,...,N−1 ← ditfft2(x, N, s): DFT of (x0, xs, x2s, ..., x(N-1)s): if N = 1 then X0 ← x0 trivial size-1 DFT base case else X0,...,N/2−1 ← ditfft2(x, N/2, 2s) DFT of (x0, x2s, x4s, ...) XN/2,...,N−1 ← ditfft2(x+s, N/2, 2s) DFT of (xs, xs+2s, xs+4s, ...) for k = 0 to N/2−1 combine DFTs of two halves into full DFT: t ← Xk Xk ← t + exp(−2πi k/N) Xk+N/2 Xk+N/2 ← t − exp(−2πi k/N) Xk+N/2 endfor endif

Pseudocode:

Fast Fourier Transform (FFT)

• Phép biến FFT 2 chiều:

Lọc ảnh trong miền tần số

• Nguyên lý lọc nhiễu:

𝑓 (𝑥 , 𝑦)⊗h (x , y )= 1𝑀𝑁 ∑

𝑚=0

𝑀− 1

∑𝑛=0

𝑁− 1

¿¿

¿

Lọc ảnh trong miền tần số

• Nguyên lý lọc nhiễu:

𝑓 (𝑥 , 𝑦)⊗h (x , y )= 1𝑀𝑁 ∑

𝑚=0

𝑀− 1

∑𝑛=0

𝑁− 1

¿¿

¿