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Dipartimento di Matematica per le scienze economiche esociali Universita di Bologna
Matematica aa 2007-2008
lezione 19
professor Daniele Ritelli
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Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti
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Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti (ii) massimi e minimi relativi
2/22 P�i?22333ML232
Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti
(ii) massimi e minimi relativi
(iii) flessi
2/22 P�i?22333ML232
Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti
(ii) massimi e minimi relativi
(iii) flessi
(iv) grafico
2/22 P�i?22333ML232
Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti
(ii) massimi e minimi relativi
(iii) flessi
(iv) grafico
(v)d
dyf−1(ln 3), x > 0
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Grafico di una funzione
Esercizio 1 E data la funzione f(x) = x2 − 3x+ ln |x|, x 6= 0.
(i) asintoti
(ii) massimi e minimi relativi
(iii) flessi
(iv) grafico
(v)d
dyf−1(ln 3), x > 0
(vi)d2
dy2f−1(ln 3), x > 0
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(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
3/22 P�i?22333ML232
(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
3/22 P�i?22333ML232
(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
3/22 P�i?22333ML232
(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
la retta x = 0 e asintoto verticale doppio
3/22 P�i?22333ML232
(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
la retta x = 0 e asintoto verticale doppio
limx→±∞
(x2 − 3x+ ln |x|
)=∞
3/22 P�i?22333ML232
(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
la retta x = 0 e asintoto verticale doppio
limx→±∞
(x2 − 3x+ ln |x|
)=∞
non ci sono asintoti orizzontali
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(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
la retta x = 0 e asintoto verticale doppio
limx→±∞
(x2 − 3x+ ln |x|
)=∞
non ci sono asintoti orizzontali
limx→±∞
(x− 3 +
ln |x|x
)=∞
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(i) La funzione non e definita in x0 = 0 e in questo punto, assieme a
±∞ che vanno cercati gli asintoti
limx→0+
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
limx→0−
(x2 − 3x+ ln |x|
)= −∞
la retta x = 0 e asintoto verticale doppio
limx→±∞
(x2 − 3x+ ln |x|
)=∞
non ci sono asintoti orizzontali
limx→±∞
(x− 3 +
ln |x|x
)=∞
non ci sono asintoti obliqui
4/22 P�i?22333ML232
(ii)
f ′(x) = −3 +1
x+ 2x
sommando
f ′(x) =2x2 − 3x+ 1
x
risolvendo 2x2 − 3x+ 1 = 0 troviamo
4/22 P�i?22333ML232
(ii)
f ′(x) = −3 +1
x+ 2x
sommando
f ′(x) =2x2 − 3x+ 1
x
risolvendo 2x2 − 3x+ 1 = 0 troviamo
2x2 − 3x+ 1 = 2(x− 1
2)(x− 1)
9/22 P�i?22333ML232
• massimo relativo (1
2, f(
1
2)) = (
1
2,−5
4− ln 2) ' −1, 94315
• minimo relativo (1, f(1)) = (1,−2)
10/22 P�i?22333ML232
(iii) f ′′(x) =2x2 − 1
x2
+++++++ +++++++-----------------
1
2-
1
2
Flessi di ascisse
± 1√2
10/22 P�i?22333ML232
(iii) f ′′(x) =2x2 − 1
x2
+++++++ +++++++-----------------
1
2-
1
2
Flessi di ascisse
± 1√2
f(1√2
) =1
2− 3√
2− ln 2
2' −1, 96789
10/22 P�i?22333ML232
(iii) f ′′(x) =2x2 − 1
x2
+++++++ +++++++-----------------
1
2-
1
2
Flessi di ascisse
± 1√2
f(1√2
) =1
2− 3√
2− ln 2
2' −1, 96789
f(− 1√2
) =1
2+
3√2− ln 2
2' 2, 27475
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
ln 3 = x20 − 3x0 + lnx0
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
ln 3 = x20 − 3x0 + lnx0
questa equazione e per valori arbitrari del primo membro, in generale,
algebricamente intrattabile, ma in questo caso e ovvio che la soluzione
e x0 = 3
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
ln 3 = x20 − 3x0 + lnx0
questa equazione e per valori arbitrari del primo membro, in generale,
algebricamente intrattabile, ma in questo caso e ovvio che la soluzione
e x0 = 3 applichiamo il teorema per la derivazione dell’inversa
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
ln 3 = x20 − 3x0 + lnx0
questa equazione e per valori arbitrari del primo membro, in generale,
algebricamente intrattabile, ma in questo caso e ovvio che la soluzione
e x0 = 3 applichiamo il teorema per la derivazione dell’inversa
d
dyf−1(y0) =
1
f ′(x0)
12/22 P�i?22333ML232
(v) Per prima cosa dobbiamo trovare a quale x0 corrisponde y0 = ln 3 e
poi applicare, se possibile, il teorema per la derivazione della funzione
inversa
ln 3 = x20 − 3x0 + lnx0
questa equazione e per valori arbitrari del primo membro, in generale,
algebricamente intrattabile, ma in questo caso e ovvio che la soluzione
e x0 = 3 applichiamo il teorema per la derivazione dell’inversa
d
dyf−1(y0) =
1
f ′(x0)
con x0 = 3, naturalmente
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)= − 1
(f ′(x)2)f ′′(x)
dx
dy
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)= − 1
(f ′(x)2)f ′′(x)
dx
dy
da cui
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)= − 1
(f ′(x)2)f ′′(x)
dx
dy
da cuid2
dy2f−1(y) = − f ′′(x)
(f ′(x))3
14/22 P�i?22333ML232
(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)= − 1
(f ′(x)2)f ′′(x)
dx
dy
da cuid2
dy2f−1(y) = − f ′′(x)
(f ′(x))3
In particolare per x = x0 = 3 abbiamo
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(vi) Si ha usando y = f(x) ⇐⇒ x = f−1(y) derivando rispetto a y
d2x
dy2 =d
dy
(dx
dy
)=
d
dy
(1
f ′(x)
)= − 1
(f ′(x)2)f ′′(x)
dx
dy
da cuid2
dy2f−1(y) = − f ′′(x)
(f ′(x))3
In particolare per x = x0 = 3 abbiamo
d2
dy2f−1(ln 3) = − f ′′(3)
(f ′(3))3 = −
17
9(10
3
)3 = − 51
1000
15/22 P�i?22333ML232
Esercizio 2 E data la funzione f(x) = 4 cosx+ 3 sinx, x ∈ [0, 2π].
(i) massimi e minimi assoluti
15/22 P�i?22333ML232
Esercizio 2 E data la funzione f(x) = 4 cosx+ 3 sinx, x ∈ [0, 2π].
(i) massimi e minimi assoluti (ii) flessi
15/22 P�i?22333ML232
Esercizio 2 E data la funzione f(x) = 4 cosx+ 3 sinx, x ∈ [0, 2π].
(i) massimi e minimi assoluti
(ii) flessi
(iii) grafico
15/22 P�i?22333ML232
Esercizio 2 E data la funzione f(x) = 4 cosx+ 3 sinx, x ∈ [0, 2π].
(i) massimi e minimi assoluti
(ii) flessi
(iii) grafico
(iv)d
dyf−1(3), x < π
15/22 P�i?22333ML232
Esercizio 2 E data la funzione f(x) = 4 cosx+ 3 sinx, x ∈ [0, 2π].
(i) massimi e minimi assoluti
(ii) flessi
(iii) grafico
(iv)d
dyf−1(3), x < π
(v)d2
dy2f−1(3), x < π
16/22 P�i?22333ML232
f ′(x) = −4 sinx+ 3 cosx quindi
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4 sinx = 3 cos x
ponendo Y = sinx, X = cosx si ottiene il sistema
16/22 P�i?22333ML232
f ′(x) = −4 sinx+ 3 cosx quindi
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4 sinx = 3 cos x
ponendo Y = sinx, X = cosx si ottiene il sistemaX2 + Y 2 = 1
4Y = 3X
16/22 P�i?22333ML232
f ′(x) = −4 sinx+ 3 cosx quindi
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4 sinx = 3 cos x
ponendo Y = sinx, X = cosx si ottiene il sistemaX2 + Y 2 = 1
4Y = 3X
la cui soluzione e
16/22 P�i?22333ML232
f ′(x) = −4 sinx+ 3 cosx quindi
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4 sinx = 3 cos x
ponendo Y = sinx, X = cosx si ottiene il sistemaX2 + Y 2 = 1
4Y = 3X
la cui soluzione e
(X, Y ) = (4
5;3
5) (X, Y ) = (−4
5;−3
5)
16/22 P�i?22333ML232
f ′(x) = −4 sinx+ 3 cosx quindi
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 4 sinx = 3 cos x
ponendo Y = sinx, X = cosx si ottiene il sistemaX2 + Y 2 = 1
4Y = 3X
la cui soluzione e
(X, Y ) = (4
5;3
5) (X, Y ) = (−4
5;−3
5)
o equivalentemente
(cosx1, sinx1) = (4
5;3
5) (cos x2, sinx2) = (−4
5;−3
5)
17/22 P�i?22333ML232
questo significa che
f ′(x) = 0 ⇐⇒
x1 = arctan
3
4
x2 = π + arctan3
4
17/22 P�i?22333ML232
questo significa che
f ′(x) = 0 ⇐⇒
x1 = arctan
3
4
x2 = π + arctan3
4
si ha che f ′′(x) = −4 cosx− 3 sinx = −f(x) e quindi
17/22 P�i?22333ML232
questo significa che
f ′(x) = 0 ⇐⇒
x1 = arctan
3
4
x2 = π + arctan3
4
si ha che f ′′(x) = −4 cosx− 3 sinx = −f(x) e quindi
f ′′(x1) = −4 cosx1 − 3 sinx1 = −4× 4
5− 3× 3
5= −5
17/22 P�i?22333ML232
questo significa che
f ′(x) = 0 ⇐⇒
x1 = arctan
3
4
x2 = π + arctan3
4
si ha che f ′′(x) = −4 cosx− 3 sinx = −f(x) e quindi
f ′′(x1) = −4 cosx1 − 3 sinx1 = −4× 4
5− 3× 3
5= −5
il che implica che x1 e massimante
17/22 P�i?22333ML232
questo significa che
f ′(x) = 0 ⇐⇒
x1 = arctan
3
4
x2 = π + arctan3
4
si ha che f ′′(x) = −4 cosx− 3 sinx = −f(x) e quindi
f ′′(x1) = −4 cosx1 − 3 sinx1 = −4× 4
5− 3× 3
5= −5
il che implica che x1 e massimante
Analogamente da f ′′(x2) = 5 si vede che x2 e minimante
18/22 P�i?22333ML232
Cerchiamo i punti di flesso risolvendo l’equazione
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ −4 cosx− 3 sinx = 0
18/22 P�i?22333ML232
Cerchiamo i punti di flesso risolvendo l’equazione
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ −4 cosx− 3 sinx = 0
in questa particolare situazione i flessi coincidono con le intersezioni
con l’asse x
18/22 P�i?22333ML232
Cerchiamo i punti di flesso risolvendo l’equazione
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ −4 cosx− 3 sinx = 0
in questa particolare situazione i flessi coincidono con le intersezioni
con l’asse x stavolta si ottiene il sistema−4X = 3Y
X2 + Y 2 = 1
18/22 P�i?22333ML232
Cerchiamo i punti di flesso risolvendo l’equazione
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ −4 cosx− 3 sinx = 0
in questa particolare situazione i flessi coincidono con le intersezioni
con l’asse x stavolta si ottiene il sistema−4X = 3Y
X2 + Y 2 = 1
la cui soluzione e
18/22 P�i?22333ML232
Cerchiamo i punti di flesso risolvendo l’equazione
f ′′(x) = 0 ⇐⇒ −4 cosx− 3 sinx = 0
in questa particolare situazione i flessi coincidono con le intersezioni
con l’asse x stavolta si ottiene il sistema−4X = 3Y
X2 + Y 2 = 1
la cui soluzione e
(X, Y ) = (−3
5;4
5) (X, Y ) = (
3
5;−4
5)
19/22 P�i?22333ML232
equivalentemente
(cosx3, sinx3) = (−3
5;4
5) (cos x4, sinx4) = (
3
5;−4
5)
19/22 P�i?22333ML232
equivalentemente
(cosx3, sinx3) = (−3
5;4
5) (cos x4, sinx4) = (
3
5;−4
5)
questo significa che
f(x) = 0 ⇐⇒ f ′′(x) = 0 ⇐⇒
x3 = π − arctan
4
3
x4 = 2π − arctan4
3
19/22 P�i?22333ML232
equivalentemente
(cosx3, sinx3) = (−3
5;4
5) (cos x4, sinx4) = (
3
5;−4
5)
questo significa che
f(x) = 0 ⇐⇒ f ′′(x) = 0 ⇐⇒
x3 = π − arctan
4
3
x4 = 2π − arctan4
3
si tratta effettivamente di flessi in quanto essendo f ′′′(x) = −f ′(x)
sappiamo che f ′′′(x3), f′′′(x4) 6= 0
22/22 P�i?22333ML232
infine ricordando la formula
d2
dy2f−1(y) = − f ′′(x)
(f ′(x))3
troviamod2
dy2f−1(3) = − f ′′(π/2)
(f ′(π/2))3
22/22 P�i?22333ML232
infine ricordando la formula
d2
dy2f−1(y) = − f ′′(x)
(f ′(x))3
troviamod2
dy2f−1(3) = − f ′′(π/2)
(f ′(π/2))3
d2
dy2f−1(3) = − 3
64
