" > (.; A

UNIVERZITET U NOVOM S/

! 3 -03-I989

PRIRODNO-MATEMATlCKI FAKULTETINSTITUT ZA FIZIKU

DIPL.OMSKI RAD

Tema:

Relaksacija kondukeionib elektrona na magnonimai magnonskim solitonima u kvazi jednodimenzionim

feromagneticima sa lakom osom anizotroplje

KANDIDAT:

Srdan Teslid

NOVI SAD, 1989.

Zahvaljujem svojim profesorima dr Mariu Skrinjaru,dr Darku Kaporu i dr Miljku Sataridu kao 1 Vojlslavu IvoSuna svesrdnoj pomodi koju su mi pruiili prilikom izradeovog rada.

Srdan Teslld

SADR2AJ

KRATAK SADRZAJ RADA 1

1. OPSTE NAPOMENE O SOLITONIMA 2

2. OPSTE OSOBINE MAGNETNO UREDENIH SISTEMA 7

3. HAMILTONIJAN SISTEMA 9

4. JEDNAClNA KRETANJA I SOLITONSKO RESENJE 14

5. OPSTE NAPOMENE O NERAVNOTEZNOJSTATISTICI ZUBAREVA 21

6. PRIMENA NERAVNOTE2NE STATISTIKE NAODREDIVANJE VREMENA RELAKSACIJEPROVODNIH ELEKTRONA NA SOLITONIMA 25

6.1 SLUCAJ RASEJANJA PROVODNIH ELEKTRONA NARAZREDENOM GASU SOLITONA 28

6.2 MAGNONSKI DOPRINOS RASEJEJANJU 33

7. ZAKLJUCAK 35

DODATAK 1 37

DODATAK 2 41

DODATAK 3 43

DODATAK 4 44

DODATAK 5 45

LITERATURA 46

KRATAK SADR2AJ RADA

U ovom radu se r a zma t r a rnogucnost, kao i uslovi egzisten-cije soli tonskih eksitacija u kvazi jednodimenziononl fe rornagne-t iku sa anizotropi jorn tipa "laka osa". Data je f i z i cka in ter -pretacija solitona kao vezanog s tanja dovoi j r iog broja r n a g n o n amedu koj ima postoji slaba p r i v l a c n a i n t e r a k c i j a .

Dalje se posmatra ferornagmiLik u korne postoji slabain terakc i ja elektrona iz provodne (va l en tne ) zone sa sp inov i rnaodgovornim za magnet izam. Ona se opisuje i n t e rakc ion i rnhamiltonijanom Vonsovskog [ 17 ]. Rasejanje energije provodnihelektrona na m a g n o n i m a i magnonsk im sol i tonima a n a i i z i r a n oje metodom neravnoteznog statistiCkog operatora Z u b a r e v a . N a d e n isu ana l i t i ck i izrazi za vremena relaksaci je rase jan ja u ov imsluca jevima i ocenjeni su u t i ca j i oba r n e h a n i z m a .

OPSTE NAPOMENE O SOLITONIMA

Pod pojmom usaml jen i talas [43 podrazumevamo talas,svojstven mnogim f i z iek im sistemima, koji se j av l j a usledmedusobne konkurenci je ne l inearn ih i disperzionih efekata utim sredinama. On se krece u kompaktno j f o r m i , z a d r z a v a j u c i ioblik obvojnice i d imenzi je proizvol jno dugo, za r a z l i k u odprogresivnih talasa koji postepeno slabe i r a s p l i n j u j u se.

Otkrice usamljenog talasa, kao mnoga d r u g a , mogli bi videtikao igru slucaja. John Scott Russell je 1834., posmatra juc ikretanje Slepova Skotskim k a n a l i m a , pr imet io pojavu "... jednogvelikog usamljenog uzd ignuca , zaobljene, ravne kupe vode ...".No, ovo zapazanje ni je plod dokonog uz ivan ja u p r i rod i dzentl-mena rane viktor i janske epohe. J. S. Russell je bio zaposlen nastudiji o obl ikovanju Slepova za plovidbu k a n a l i m a za Drus tvoka na l a un i je iz E d i n b u r g a . Time je sredina odigra la svoju u logu .Podatak da je rec o nepla<ienoj s tudij i , medut i rn , mnogo vi£egovori o pojedincu. Njegovo interesovanje je bilo Siroko. Tvoracje, tada cuvene teorije o oblikova'nju brodova. Bio je i zapazenbrodograditelj .

Pored ove, nazovimo je, tehniCke strane de lovan ja , J. S.Russell je nezavisno otkrio Dopplerov efekat. Vremenom je znaca jusamljenih talasa postao skoro njegova obsesija. U radu "Talastranslacije" objavljenom 1885., posle njegove smrt i , J.S. Russellje pr imenio teoriju u saml j en ih talasa na vazduh i etar r a c u -na juc i debl j inu atmosfere (uspeSno) i vel icinu svemira(neuspeSno) .

Trebalo je da protekne 60 godina dok 1895. godine dansk inaucnic i Kortweg i de Vries nisu izveli j ednac inu pros t i ran jatalasa u jednom pravcu na povrsini pli tkog kana la ( K d V ) :

u + U+ R u U e + u = 0 , (1.1)

gde su indeksi oznake za parci ja lne izvode po p romen l j i v imkoje su, kao i f u n k c i j a u , up ravo proporcionalne vrernenu iprostornoj koordinati tj. pomeraju povrSine od ravnoteinog nivoa.Talas, reSenje KdV jednacine. je istog oblika kao i Russel lov.Krece se konstantnom brzinom bez promene oblika. Njegovabrzina zavisi od ampl i tude .

U Los Alamosu, 1955. godine, Fermi , Pasta i U l a m suproucavali ponaSanje sistema, p r i m a r no l i nea rn ih , u koje suuvodi l i nelinearnost kao per tu rbac i ju . U k o n t i n u a l n o j aproksi -maci j i jednaf i ina kre tanja cestice, pod odredenim u s l o v i m a ,

prelazi u KdV j e d n a i i n u . Svoderije k v a d r a t n o i k u b n o n e l i n e -a r n i h lanaca na KdV i m o d i f i k o v a r i u KdV j e d n a C i n u se n a z i v ar e d u k t i v n a per turbac iona teori ja ( r e d u c t i v e p e r t u r b a t i o n t h e o r y ) .Za beskonaCan lariac usaml jen i talas preds tav l ja talas r n a i i ha r n p l i t u d a koji nosi moment d u 2 lanca u l o k a l i z o v a n i r upaket i rna .

Ret soiiton se p r v i put j a v l j a u r a d o v i r n a Z a b u s k y a iKruska l a (1965. godine) . Oni su v r s i l i n u r r i e r i £ k a i s p i t i v a n j aKdV j e d n a f i i n e . O tk r i l i su da u s a m l j e n i t a l a r i prolaze j edankroz d r u g i bez promene ob i ika i sa rna lor r i p ro rnenom laze( s l i ka 1 ) . Ova j f a z n i pomera j o n e m o g u t u j e p o j a v l j i v a n j e po£elnogstanja, veC njernu vrlo bliskog s tanja . U p r a v o osobina KdV u c a r n -I j e n i h talasa da se ne r a s p a d a j u n i t i d i s p e r g u j u p r i l i k o r ns u d a r a nagna la je Z a b u s k y a i K r u s k a l a da ih n a z o v u " so l i ton i " .Suf iks "on" je oznaka za iestice na grikom.

X

s l ika 1: sudar dva KdV usamljena talasa

Cinjenica da se, posle s u d a r a , u s a m l j e n i t a J a s p o j a v l j u j eu istom ob l iku je i z n e n a d u j u c a usied jake ne l inearnos t i tokornsudarnog procesa. Ovo je vazna osobina, jer pokazuje da seenergi ja rnoze prost irat i u loka l i zovan im, s t a b i l n i m " p a k e t i m a " ,a da se ne d isperguje .

J a k o j e ovakvo ponasan je svojstveno rnnog i rn p a r c i j a i n i r nd i f e r e n c i j a l n i m j e d n a C i n a r n a ( P D J ) , t reba p r i r n e t i t i da ga vedi r i t tPDJ, koje poseduju resenja ob l ika u s a m l j e n i h t a l a sa , ue p o k a z u j e .Neke j e d n a C i n e i m a j u resenja p r i b i i z n o soii ton t ipa u su i i s luda se, posle suda ra , talasi razi laze ma lo prornenjenog o b l i k ao s t a v l j a j u c i iza sebe m a i l deo e n e r g i j e u o b l i k u o u c i l c i c i j . i .Ovakva osobina se naziva "poput soli tona" (soli ton- l ike) . M e d u -t im , u f iz ic i Cvrstog s t a n j a , kao i u f i z i c i £est ica, r n e d u s o b n at r anspa renc i j a talasa i n i j e tako v a 2 n a u p o r e d e n j u sa d i u y i i uosobinarna ( lokalr iost , k o n a C n a ene rg i j a ) . Tada se i pojarn soli tori akorist i u smis lu "poput sol i tona". Takode, rec soli ton p t e seodnosi na £estidnu osobiriu nego na ob l ik . Tako, resenje K d Vj e d n a d i n e je (sech) 2 , dok je kod r n o d i f i k o v a n e KdV j e d r i a < M n e( M K d V ) oblika (sech). Jedan od n a j r a n i j i h rnodeia u teor i j ipolja je bi la l i n e a r n a K l e i n - G o r d o n j e d n a d i n a :

*xx- <])tt ~-m2* • u - 2 )

Kao n jeno ne l inea rno uops tavanje predlozena je j e d n a d i n a o b l i k a :

«P^ - 4> = rn2 sin 4> ( 1 . 3 )J\ I v

k a s n i j e n a z v a n a s ine-Gordonova ( sG) . N j e n o resenje je p r e d s l a v -I jeno na slici 2 i naz iva se " k i n k " ( p e t l j a ) .

( f > ( X , t )

s l ika 2: kink reSenje sine-Gordon

N u m e r i c k i m metodorn je, 1962. godine, p ronadeno a n a l i t i C k ore§enje d i rektnog sudara dva k i r i k a j e d n a k e , a l i sup ro tne b r z i n e

(sl ika 3 ) .

= 0

s l ika 3: kink - antiklnk sudar u sin** - Gordon

Sudar r i i je p rouzrokovao b i l o a n i h i l a c i j u , b i lo o s c i l a c i j e ,Cak ni u c en t ru ( ( 4 > x ) 0 * 0) . Sistern je presao u dva i i u s e d n uv a k u u r n s tan ja .

U k o l i k o Schrodingerovoj j e d n a c i n i dodarno C l a n [Ml'H^ kaopotencijal dobi jarno n e l i n e a r n u S c h r o d i r i g e r o v u j e d n a C i n u ( N S k i ) :

( 1 . 4 )

4f je kompleksr ia f u n k c i j a i za oCek iva t i je reSenje u o b i i k ur n o d u l i r a n e oscilacije. R e £ a v a n j e NSE da je o b v o j n i c u o b i i k useen. Ispada da ova j e d n a C i n a , poput KdV. M K d V i s ino Gordonima soliton refieri je.

Jednodi t r i enz ion i sisteini sa ne l inea r nos t i rna d o v o l j n oj a k i r n da omoguce solitonske eksc i tac i je p o b u d u j u v e l i k o in le t ei>uvanje . Pojedini magnetic!, kod koj ih inoleku iarria geornetr i japretpostav I ja i r i t e r akc i j u sp i r iova d u z jednog p r a v c a o s t a l i m . suposebno pogodni model i na l e r n p e r a t u r a m a i znad t e r n p t - r a t u r otrod irnenzionog u red ivan j a .

Mikeska [11] je pokazao da se ham i l t o n i jan j e d n o d i r n e n -zionog fe rornagnet ika sa an izo t rop i jo rn t ipa " laka r a v a n " mazesvesti na sine-Gordon j e d n a C i n u . Kao jedno od reSenja ovej e d n a C i n e p o j a v l j u j u se k i n k so l i t on i . O v a j model j e p r i m e n j e n

na fe romagne t ik C s N i F 3 C 9 3. Rezu l ta t i neeiastiCnog r a s e j a n j aneut rona su in te rpre t i ran i kao prva eksper i rnenta lna potvrdaegzistencije solitona. No, javile su se i sumnje. Dobijeni cen-tralni pik rno2da sadrzi i d ruge doprinose. Otuda i potreba zad r u g i m ekspe r imen ta ln im t e h n i k a m a .

2. OP§TE OSOBINE MAGNETNO U R E D E N I H SISTEMA

Kod nekih atorna, jona ill rno lekula vec u osnovnorn s t a n j upostoje magnetn i moment! razlici t i od nu l e . U k r i s t a l i r n asastavl jenim od tih atoma, jona, moleku la pr i odredenim uslo-v i m a (niska tempera tura) , m a g n e t n i moment! se nalaze uuredenom stanju i obrazuju materije koje ak t ivno r eagu ju naspoljno rnagnetno polje.

Ukoliko postoji spontani magnetni moment , iako nemaprimenjenog magnetnog polja, radi se o ferornagneticima. Posto-janje spontanog magnetnog momenta ukazu je na pravi lnos t raspo-reda m a g n e t n i h momenata atoma. No, ta p rav i lnos t rnora ima t iuzrocn ik . Magnetna uredenost feromagnet ika (kao i a n t i f e r o -magnet ika i f e r imagne t ika ) , na n i sk im t e rnpe ra tu ra rna , i zazvanaje korelacijom prostornih usmerenosti m a g n e t n i h mornena ta .Za takvu uredenost odgovorna je i r i te rakci ja izmene. Energi jaizrnene nema klasican analogon. iako je elektrostatickog porekla.Energija sistema zavisi od prostorne simetrije talasne iunkc i j esistema, kao i od ukupnog spina. Tu cinjenicu odraiava in terak-cija izmene. Energija izmene je reda vel icine e2/a ~ 10~1 9J.Njenom usrnerava jucem dejs tvu suprots tavl ja se toplotno kre tanje ,i na temperatur i Curiea dolazi do r a z a r a n j a spinske uredenost i .Sledi da je energija izrnene reda vel ic ine srednje toplotne energi jejednog atoma na t empera tu r i Cur iea (na 1000K ~ 10~20J) .

Od ori jentaci je spinova zavisi i neposredno medude j s tvomagnetnih mornenata elektrona. Medudejstvo spinskih magnetn ihmomenata elektrona naziva se spin - spinska interakcija , amedudejstvo spinskog magnetnog momenta sa magnetnim mom en-torn orbitalnog kretanja naziva se spin - o r b i t a l n a i n t e r a k c i j a .Oba su medudejs tva proporcionalna proizvodu m a g n e t n i h morne-na ta , i obrnu to proporcionalna k v a d r a t u r a s to j an j a . Za n a j b l i z eatome p ro racun energi je medude js tva m a g n e t n i h momena taelektrona je reda vel icine 10~ 2 4J , Sto je rnalo i u poredenjusa energi jom izmene.

Ovim je uocen d o r n i n a n t a n ut ica j in te rakci je izmene narnedusobnu orijentaciju spinova. Tu se njena uloga i zavrsava.Spin interaguje sa orbitalnirn kretanjern preko spin - orbi ta lneinterakcije. Tako se u kr is talu j av l j a ju ose lakog narnagnet i -sanja. Magnetizacija se orijentiSe prvens tveno d u 2 n j i h . E n e r g i j amedudejstva magnetnog momenta spina sa poljem an izo t rop i jeje, po redu velicine, jednaka energi j i spin - spinske in te rakc i j e .

Osnovno stanje kr i s ta la odgovara paralelr io or i j en t i san irnsp inovima. Svako n a r u S a v a n j e ovog stanja rasprost i re se u v i d u

tzv. spinskog talasa. Tako, elernentarna pobudenja spinskogsistema popr imaju talasni oblik i naz iva ju se m a g n o n i r n a .

Elektriini otpor u feromagneticirna nastaje usled raseja-van ja provodnih e lektrona na fonon i rna i sp insk im t a l a s i rna .D r u g i s luCa j proizilazi iz i n t e rakc i j e izmene izrnedu p r o v o d n i helektrona i loka l izovanih m a g n e t n i h e l ek t ronu .

Slabo pobudena s tan ja magne tne resetke se, ob iCno, o p i s u j uidea ln im gasom kvaziiestica tj . u ap roks i rnac i j i n e i n t e r a g u j u < i i hmagnona. Jasno je da medudejstva magnona rnogu dovesti doznaCajnih promena spektra e le rnentarn ih pobudenja , pa i doobrazovanja vezanih stanja magnona. Pr i rodna pre tpostavka, daje energija magnetne anizotropi je mnogo m a n j a od energijeizmene, omogu6ava dobi ja r i je a n a i i t i C k o g izraza za e n e r g i j uvezan ih stanja N magnona u j ednod i rnenz ionom s i u C a j u .

3- H A M I L T O N 1 J A N SISTEMA

Pri r az rna t ran ju p rob lema zadrzaCemo se na j ed r iod imen-z ionim fe romagne t i c ima . D r u g i m rec i rna , rnagne t r i i si stern sernodel i ra lancem u p r a v l j e n i m d u 2 z - ose. Osim 5 to nam pojedno-s t a v l j u j e a n a l i z u , j ednod imenz ion i model dobro o p i s u j e r iekerealne magnet ike . R a d i d o b i j a n j a s o l i t o n s k i h res'erija r a z m a t -rarno vel iki broj f ivorova ( N » l ) na ravnoteinorn t a s to jan ju R(y

Pored f i l i d e lekt rona o d g o v o r n i h za sp in ske ta laseposma t r an i su provodni s e l e k t r o n i , k a o i s - d ili s - i i n t e r a k -cija Vonsovskog. Odgovarajuci ha rn i I ton i jan je ob l i ka :

H = Hs -f H j + Hs l . (3 .1J

HS je h a m i l t o n i j a n p r o v o d n i h e l e k t r o n a , a H j ^ m a g n e t n o g pod-sistema. Konacno , h a m i l t o n i j a n H^ opisu je i z m e n s k u i n t e r a k -ciju provodnih elektrona i loka l izovanih spinova r n a g n e t n i hjona . Oznake f i d su zamen jene sa 1 (od loka 1 i z o v a n ) .

I ) Prvi izraz glasi

k,o

gde su a k a . a k o a n i h i l a c i o n i i k reac ion i Fermi opera tor !s e lekt rona sa k v a z i i m p u l s o r n k* i s p i n s k o m p r o j e k c i j o mo - - l/2 (gore 1 ili dole 1 ) . E n e r g i j a provodriog e l e k t r o n u u pri -s u s t v u spol jasnjeg magne tnog pol ja h d u 2 z - ose :

E k o = E k - ^ o g i i m B h - SWkk S0il (3.3)

h2k2Ek = ̂ » .

g.- Landeov f a k t o r , m B - Bohrov m a g n e t o n , rn* - e f e k t i v r i a r r iasae iek t rona .

II) "Proucavanje ne l inea rn ih ekscitacija u magne tn im siste-rn ima mozemo, u su£ t i n i , izvrsi t i na dva r i a t ina : s p i n o v i ser n o g u , od pofietka, s r n a t r a t i k las icn im pi o i n e n l j i v i m ili se rnozouzeti u obzir k v a n t n i k a r a k t e r sp insk ih operatora i , tek kasn i j e ,uvest i k l as ican f o r m a l i z a r n . Jedan od n a j k o r i sn i j i h p o s t u p a k au d r u g o r n p r i s tupu je p r imena raz l i i i t ih bozonskih reprezen ta -cija sp in sk ih operatora , obavezno a p r o k s i m a t i v n o g k a r a k t e r a .Dobro poznata HolS ta jn - P r i m a k o v r ep rezen t ac i j a je , s v a k a k o ,posebno korisna za vo<ie spinove (S » 1)." [ 1 4 ] .

10

A n a l i z a osobina fe romagne t ika se vrSi najfcesce u o k v i r uHeisenbergovog modela. To znaf i i da za o p i s i v a n j e m a l i h ene rg i j apobudenja operator h a r n i l t o n i j a n a Coulornbovskog rnedude j s tvaelektrona i jezgra z a m e n j u j e m o tenomenoiosk i rn , He isenbergovimh a m i l t o n i j a n o m . U n j e m u eksp l i c i tno f i g u r i s u sarno rnedude j s tvaodgovorna za ori jentaci ju sp inova.

Ako z a n e r n a r i r n o spin - o r b i t a l n u i n t r a k c i j u , rnedua to rnskain terakci ja je izrnenskog t ipa , t j . zavis i j e d i n o od ugla kojirnedusobno zaklapa ju spinovi.

(3.5)

Spinske kornponente S^. S*. S^ odgova ra ju Cvoru n. I n t e g r a J iizrnene za n a j b l i z e susede su J O , J Q .

Od sust inske je vaznosti pre tpostavka o s laboj a n i z o t r o p i j ikoja je data us lovom

« 1 (3.6)

Kvadra t operatora spina svakog atoma ima samo jednuvrednost s(s + l) . To znaCi da su tri operatora S z , S* , S~ veza-na jednaiinoin:

S2- (Sz)2 + - ; + ) = s ( s - t - l ) , (3.7)

odnosno, da su samo dva od n j i h n e z a v i s n i . Kornu tac ionerelacije operatora S^, Sn su:

(3.8)

One nisu ni bozonskog ni termionskog tipa. Da bi se spinskioperator! izrazi l i preko Bose operatora v r £ e se raz l ic i te ap roks i -rnaci je . Upot reb imo HP Bose reprezer i tac i ju :

(3.9)

^ Bl(2S -

11

gde su Bn , B* anihi lac ioni i kreacioni operatori magnonskihekscitacija u cvoru n. Kako je spin atoma f iks i ran , to oniuzimaju 2s + 1 vrednost: 0, 1, 2 ..... 2s. Ovo ogranicenje raz-likuje operators B n , B* od obicnih Bose operatora koji delujuu prostoru sa proizvoljnim brojem popunjenosti. No, ako svoj-stvene vrednosti operatora B*B ne prelaze vrednost 2s (brojpopunjenosti je mali) tada je < B* B n > « S i opravdana jeaproksimacija:

S n =

(3.10)

U skladu sa njom, u izrazu za hamiltonijan magnetnogpod si stem a zanemaren je clan sa 6 Bose operatora:

+ -%->!! I B - . , r + i a - r IB 8n+B*,1B*[(Bn)2+(Bn . l)2]}

nJ0S

2

la!8 -IT

(3.11)Kako smo pretpostavili mali broj otklonjenih spinova, to vero-vatnoca interakcije vi§e pobudenja opada sa njihovim brojem

Ako se izvrSe Furie transformacije:

(3.12)

hamiltonijan dobija oblik:

1 ~ )̂ Z-t q q q - __.q 1»cli«ct2

gde su novi energijski parametri:

- g s m B h S N ,(3.14)

E q= g.mBh +2SJJ - 2J0cosqR0 .

Kako je u radu primenjena dugotalasna aproksimacija, toje prilikom Furie transformacije interakcionog Clana zanema-rena disperzija.

12

I I I ) Elektr icni otpor f e romagne tn ih metala p rouzrokovan jerasejanjem provodnih elektrona na fonon ima i sp insk im ta las ima .Kako ovi metali poseduju, na Fermi energij i , dve preklopljenezone, s i d, to se u oba slufiaja rasejanje vrsi ill u n u t a r jednezone ill sadr2i s - d prelaze. Osim toga, mogu se javi t i i elas-ticni procesi Ciji je relativan znacaj tesko proceniti, a katnoliih izdvojiti od ostalih procesa.

S.V. Vonsovski C 17 3 je u tvrd io da se doprinos elektricnojotpornosti u feromagneticima javlja kao rezultat interakcijeizmene izmedu provodnih i lokalizovanih magnetnih elektrona(s - d ili s - f interakcija). Doprinos spinskih talasa vrednostispecifiCnog otpora Pmag se cesto naziva "otpor spinske neure-denosti" (spin - disorder resistivity). Na najni i im temperatu-rama (ni2im od 10 K za Fe, Co, Ni) Kasuya C43 je pretpostavlja-juci zakon disperzije spinskih talasa Eq=S)q2 dobio zavisnost

•h2kf?

= * ~gde su: EF= 2m* ~ Fermi energija provodnih elektrona,W - parametar jacine s - d interakcije,j - ukupn i angula rn i moment magnetnog atoma,V - zapremina kristala.

Rezultati Kasuya i Mannar ia C 4 3 mogu objasniti ponasanjepm na temperaturama T « Tc. No, to nije slucaj sa nestovisim, ali i dalje dovoljno niskim temperaturama na kojimaje teorija spinskih talasa dobra aproksimacija.

Na tim temperaturama s - d prelazi postaju osnovni meha-nizmi elektriCne otpornosti. Model sfernih energetskih zona C 4 3sa Fermi momentima kFi i kp 2 > kao i uslov postojanja s-dprelaza, zahteva spinske talase sa talasnim vektorima velimod razmaka izmedu dve Fermi sfere. To znafii da ovaj uslovnije zadovoljen na veoma niskim temperaturama (T < 10 K) .

Treba napomenuti da aproksimiranje energetske povrSinesvake zone izrazom

dovodi do mogule pojave anizotropije pmag samo usled anizo-tropije spektra spinskih talasa, a ne i elektronske strukture.

Interakcija s - 1 utice na opticke, magnetne i transportneosobine magnetnih poluprovodnika i metala retkih zemalja. Uaproksimaciji jedne zone (single-band) hamiltonijan Vonsovskog

13

je oblika

^ B

(3.17)

_ o

gde je Wkl k2 energija slabe interakcije (reda veliCine 10 eV)koja, u ve£ini realnih situacija, slabo zavisi od k j . k2.

14

4. JEDNAClNA KRETANJA I SOLITONSKO RE$ENJE

Uvedimo koherentno stanje* |0> kao svojstvenu funkcijuoperatora anihilacije magnona:

. (4.1)

Koristeli se kompletnoSeu skupa svojstvenih vektora |n>operatora broja bozona, mogude je koherentna stanja razviti postanjima |n>:

IP) = Z <n|p>|n> , (4.2)

6ngde su koeficijenti razvoja <n|0> = G z -?==- .

Y n l

Kako se |n> mo2e definisati na sledeci naCin

| n > = |o> , (4.3)Yn!

gde Je |o> - vakuumsko stanje Bose sistema, to imamo konaCniizraz za koherentna stanja:

PB+e |o> (4.4)

lako stanja 0) nisu ortogonalna ona. ipak, zadovoljavajuuslov kompletnosti. To omogucava da se bilo koji drugi vektor|f>, kao i proizvoljni operator izrazi pomocu koherentnih stanja.

Kako je receno, proucavanje nelinearnih pobudenja magnet-nog sistema moze se izvrSiti, u sugtini, na dva nacina. Izabranje onaj, koji uracunava kvantni karakter spinskih operatora,a tek kasnije uvodi klasican formal izam. Njemu je posebnopodobna primena bozonskih reprezentacija spinskih operatorazato Sto omogucavaju sistematsko uvodenje kvantnih korekcija.HolStajn - Primakov reprezentacija (1940. godine) , u klasicnojgranici (S-*», h — 0) , dovodi do "klasif inih" rezultata, rezul-tata dobijenih tretiranjem spina kao klasicne promenljive CIS].Tako je u slucaju kori§cenja celog razvoja spinskih operatora.

* €esto se nazivaju i Glauberova koherentna stanja, mada ihje prvi posmatrao Schrbdinger analizirajuci stanja m i n i m a l n eneodredenosti talasnih paketa. Glauber [ 7 3 ih je, kasnije,upotrebio za kvantnomehanicki opis koherentnih izvora svetlosti.

15

Medut im, kori£6ena je "okrnjena" reprezantacija u kojoj sezadriava samo ogranifien broj clanova reda. Upravo razvoj ured je moguc u slufiaju velikih vrednosti spina (high - spinl imi t ) . Time je i sam metod ograniCen, odnosno, ima aproksi-mativni karakter. Nelinearna Schrbdingerova jedna£ina, uovom sluCaju poseduje solitonska resenja ukoliko se u odrede-nom trenutku t = 0 fiziCki sistem nalazi u Glauberovom kohe-rentnom stanju. No, ukoliko se posmatrani sistem nalazi uBlochovom koherentnom stanju za S » 1 C 10 3, kvantni Heisen-bergov lanac se ponasa isto kao njegov klasiCni analogon. Podtim uslovom Blochova koherentna stanja prelaze u GlauberovaC 103. ZnaCi, u klasiCnoj granici se uspostavlja ekvivalencijasa "klasifinim tretmanom". No, to nije sve. Usrednjavanje poGlauberovim koherentnim stanjima je od znaCaja samo zaveliko S C 15 ] . Time upotreba Holstajn - Primakov reprezenta-cije i Glauberovih koherentnih stanja dovodi do istih rezultatapri S — oo kao i primena spinskih koherentnih stanja. Ipak jepokazano C 15 ] da se rezultat primene "okrnjenog" razvoja poklapasa korektnim izrazom zahvaljujuli potiranju Clanova viSeg reda.To ukazuje na neophodnost opreza, kako pri upotrebi "okrnjene"reprezentacije, tako i pri tumaCenju dobijenih rezultata.

Evolucija sistema sa hamiltonijanom (3.13) se trail uaproksimaciji koherentnih stanja, tj. pomocu vektora stanjapredstavljenog izrazom

lysol ( t )> = H !Pq> - (4.5)

Prema tome, oCekivana vrednost hamil toni jana (3.13) ustanju (4.5) je skalarna funkc i ja svih |Jq(t) i nj ihovih komplek-sno konjugovanih vrednosti:

X = <V.ol(t)|H1|T.ol(t)> =

(4.6)

Parameter p (t) i solitonsku ampl i tudu , uzimamo za generali-sanu koordinatu, a ihp*( t ) za odgovarajuci generalisan mo-menat. U ovom trenutku se uvodi klasidan formalizam. Jedna-Cine kretanja za ove kanoniCke promenljive su klasiCne Hamil -tonove jednaCine u kojima, kao hamiltonijan sistema, f iguriseoCekivana vrednost kvantnog hamiltonijana.

16

Prema tome, koherentne ampli tude su povezane re lac i jama

odnosno,

>(JZ-q.q*.q2 (4.8)

Furie transformacijom Pn(t) kanonicke promenljive P (t)

pn(t) = N~^Ye i q zB (t) (4.9)q

i prelaskom na kont inualnu t ransformaci ju ,

Pn(t) - p(z, t) . (4.10)

dobija se

- J0SR02q2 ,

(2§t) , (4.11)

« ( t) p q_ q ( t ) p^(t) = |p (2it)|2 p (2<t ) .

Sada se jednaCina (4.8) mo2e predstaviti u vidu nelinearneSchrbdingerove jednacine

ihp(z.t) = [g8mBh + 2S(JZ- J0)]6(z,t) - J0SRj-^g p (z , t ) -

-2 ( J z - J 0 ) | p (z , t ) | 2 B(z , t ) . (4.12)

Normirana resenja jednadine (4.12 ) imaju oblik usamljenogtalasa (dodatak 1)

b> @i[ks(z-z0)-wst]jj . (4.13)

r*V\ • • ' •• f «y — *y — V t ^ I1̂1 L O * « ^A • ** * J

**O

Pri normiranju je uzeto u obzir da je soliton vezano stanje Ji

17

magnona. Solitonski parametri su dati relacijama

(4.14)

Jo

Talasni broj solitona je kg, brzina v, z0 koordinata maksimalnevrednosti ampli tude solitonskog talasa.

Energija solitona se odreduje pomocu funkc iona la (4.6) ucvornoj reprezentaciji

= V n n

M .. .._ ... .,_ .. ,._ ] . (4.15)n

gde su

Ao= ~ 8 smBnNS - J(4.16)

A = - g s m B h - 2SJ* .

Prelaskom na kont inualnu aproksimaciju funkc iona l postaje

A 91 C *°° +<D

X = A0 5—2—J|p(z,t) | 2dz- J0SR0 Jp*(z,t" — QQ "• QO

+ 00

P(z,t) |4dz . (4.17)-co

Po uvrStavanju izraza za solitonsku ampl i tudu (4.13) u gornjuformulu

X = A 0 - ( A

(4.18)

Solitonski parametar se izracunava iz uslova m i n i m u m afunkcionala (4.18)

f~ = 0 § (4.19)

tako da je eksplicitni izraz oblika

(4.20)

18

Uvrstavanjem (4.20) i izraza za talasni broj (4.14) u (4.18)dobija se aproksimativni izraz za energiju solitona

(4.21)

ic" ^o

gde se efektivna masa solitona definise na slededi naCin

(4.22)

Prema fiziCkoj slici Ichikawae i saradnika C5 ] solitonskoreSenje (4.13) se moze prikazati kao superpozicija velikog brojamagnona. Naime Furie t ransformacija solitonskog reSenja:

+ 00

Pq(t) = -£- f 0(z,t)e~ lqz dz , (4.23)

daje Furie komponentu za odgovarajudu vrednost talasnog vektoraq u obliku

i, i, 0i[(ksv-kv-ws) t - qz0]

- - . (4.24)

Prema Ichikawai C5D, srednja vrednost broja magnona usolitonskom stanju sa odredenim talasnim brojem je dataizrazom

_ «. D

N* = Oq(t)|2 = y(2n)"1ic2sech2[-^(ks- q ) ] . (4.25)

Zanimlj ivo je uporediti ovu f iz iCku sliku solitona, kaovezanog stanja velikog broja magnona, sa tretmanom Ivanovai Koseviia C 6 3 . Oni su prouCavali uslove formiran ja vezanihstanja velikog broja magnona (magnonske kapi, klastera) uferomagneticima tipa "laka osa".

Ampli tuda interakcije dugotalasnih magnona U odredenaje energijom magnetne anizotropije. Prema ovom modelu ener-gija vezanog stanja, kao f u n k c i j a broja vezanih Cestica Jfizrazena je formulom:

--~^r) , (4.26)

gde su Ji. ~ ( ,z ° , ) , parametar egzistencije klastera,1 ^ J0 - JQ

EO energija slobodnog magnona.

19

Konzistentnost ovog modela, za veliki broj vezanih magnona( / / " » ! ) obezbedena je uslovom

^ » if . (4.27)

On je ekvivalentan tvrdnj i da je energija magnetne anizotropijemnogo manja od energije izmene. Drug im reCima, energijamedudejstva dva magnona je mala u poredenju sa Sirinom ener-getske zone slobodnih kvazi Cestica.

Istim radom C6] je obuhva£en i klasicni tretman ovogproblema. Primenom varijaclonog principa na Landau - LifSicjedna£inu dobijen je slede6i rezultat

(4.28)

Time je pokazana korespodencija kvantnog i klasiCnog pristupaovom problemu.

Do sada je razmatran soliton, kao vezano stanje vi£emagnona. Od interesa je i razmatranje termodinamike razre-denog gasa vi£e solitona.

Neka je u lancu duzine L termicki pobuden jedan soliton.Statistidka suma jednog solitona je

ESOI (V)

kT . (4.29)

gde su: B - odgovarajuda konstanta normiranja ,

E 0 = [ g 8 m B h + 2S<J«-J0>]*-T£i3^ , (4.30)

jyh2

Elementarno raCunanje daje

gde su* = (kBTr!, (4.31)C0 najveea (graniCna) brzina solitona,L dimenzija lanca.

1, '

20

Pri uslovima EB O i»kBT sa sluCaja jednog solitona lako jepreci na sluCaj sa ma lorn gustinom solitona. Tada oni medu-sobno ne interaguju i statistifika suma solitonskog gasa je

(4-32)

gde je iisol - hemijski potencijal solitona.

Broj solitona je dat izrazom

Najzad, gustina solitona ns = y-

•eksplicitan izraz

,4.34,

21

5. OPSTE NAPOMENE ONERAVNOTE2NOJ STATISTICI ZUBAREVA

Jednacine koje opisuju tok fizickih procesa u vremenuukazuju na postojanje dve vrste procesa. Rod jednih su jednaCineinvari jantne u odnosu na promenu znaka vremena i tada govo-rimo o povratnim (ravnoteznim) procesima. Ako to nije slucajprocesi se nazivaju nepovratni (neravnotezni) .

Prilikom razmatranja neravnoteznog procesa u rnakro-skopskom sistemu definiSu se dva tipa vel iCina karakteris t i -Cnih za dati proces: termodinamicke struje (J1) i termodinani-cke sile ( X 4 ) . U opStem slucaju, bilo koja termodinamicka silamo2e izazvati bilo koju struju:

gde su L ik kineticki koeficijenti.Statisticka termodinamika neravnoteznih procesa zasno-

vana je na zakonima odrzanja samih mehanickih velicina, ane njihovih srednjih vrednosti. Time se zakoni odrzanja razma-traju sa mikroskopskog glediSta.

U si s tern i ma sa unut raSnj im stepenima slobode, moze doeido njihovog pobudenja. To dovodi do laganog uspostavljanjaravnotele medu spoljaSnjim i u n u t r a S n j i m stepenima slobode,do relaksacije. Zakoni odrzanja se, tada, pi£u u obliku

gde su Pmi^'1) ~ nnatrica gustine mehan iCkih velicina(energije, impulsa, broja cestica za poje-dina stanja ili i - tog podsistema),

j*m l(x) - matrica gustine struja ,Jm i(x) - matrica izvora .

Indeks m uzima vrednosti m = 0, 1, 2, dok indeks i uz imaonoliko vrednosti koliko ima stanja. Eksplicitno,

po i(x) = H ^ x ) , p t i(x) = p ^ x ) , p 2 l (x) = n i ( x ) ,

f o i < * > = r m l < x ) . Tutf) = T\(x) , T2 i(x) = T i C * ) , (5.3)

J01(x) = JH 1(x) , 0^(5?) = f ± ( x ) , J2 i(x) = J ^ x ) ,

22

JHi~ operator pune struje energije za i-tu komponentu smesepri Cemu va2i S J H 1 = 0 ,

f j - operator gustine sila interakcije i-tog podsistema sa svimostalim ,

J L - operator brzine "reakcije" stvaranja cestica u i-tom s tan ju .

Osnovni problem je fo rmi ran je statistickog operatora ansam-bla sistema za neravnotezni slucaj. Drugim reCima, pitanjeje kako uopStiti ideju Gibbsovog statistiCkog ansambla za s luCajneravnoteznih procesa. "Gibbsov statisticki ansambl je skupsvih sistema koji se nalaze u jednakim spoljnim stacionarnirnuslovima, tj. koji imaju kontakte istog tipa sa termostatima,pomocu polupropusnih pregrada i koji raspolazu svim mogucimvrednostima mikroskopskih parametara, saglasnih sa zadan imvrednostima makroskopskih parametara, koji ne moraju bititaCno definisani nego u odredenim granicama, reda velicinemogucih fluktuacija."[ 71.

DefiniSimo lokalno - ravnote2ni statisticki operator. Usistemu, koji se nalazi u stacionarnirn spoljnim uslovima,uspostavlja se lokalna ravnotezna raspodela. Takvo neravnoteznostanje je zadato nehomogenom raspodelom energije i gustinecestica ciji su Furie likovi:

Hk = J e" lk 'x H ( x ) dx ,(5.4)

nk = J n ( x ) dx .

Statisticki operator nalazimo iz uslova m a k s i m u m a informaci -one entropije uz dopunske uslove:

<H k> = const , <n k> = const . (5.5)

Statisticki operator lokalno - ravnote2ne raspodele je dat izrazom

—•1 ^̂ j* F" — H H J\ /* \! = QI ^ '

gde je Q dobijeno iz uslova normiranja (Sp (p) = 1):

Q X = spe"^ P " k H k " v ~ k n k . (5.7)

Prelazeci sa Furie likova H k , nk na operatore gustine energije

23

i broja cestica H ( x ) , n ( x )

-1 -J>(x)[H(x) - ti(x) n(x) ] dxP! = Q! e

- / & ( x ) C H < x ) - n ( x ) n ( x ) ]dx (5'8)Qj = Sp Q t

gde je p ( x ) lokalna reciprocna temperatura , a n ( x ) loka ln ihemijski potencijal

(5'9)vke

Kada su temperatura i hemijski potencijal prostorno homogeni,lokalno - ravnotezna raspodela prelazi u raspodelu za velikikanonski ansambl.

Ukoliko su zakoni odrianja dati u obliku (5.2) uopStenjelokalno - ravnoteznog statistifikog operatora je

gde veliCine F l m(x,t) ima ju smisao termodinamickih parame-tara (5.9) dok P i m (x ) predstavljaju matrice gustine mehani -ckih velicina.

Uvodenje lokalno - ravnoteznog ansambla omogu6ava posto-janje dva vremena relaksacije, t - vreme relaksacije potrebnoza uspostavljanje statisticke ravnoteze za ceo sistem i TJ « tkoje odreduje uspostavljanje statisticke ravnoteze u makro-skopski dovoljno malom delu sistema, all koji sadrzi veci deoukupnog broja cestica i ne zavisi od zapremine celog sistema.Prvo se uspostavlja, za vreme t x , lokalno - ravnoteino stanje udovoljno malim zapreminama, a zatim te2i ka Gibsovoj raspodelisa karakteristicnim vremenom T, ako nema spoljasnjih uticaja.Od interesa je stanje sistema sastavljenog od I komponenti,sa uCescem transporta energije, cestica i impulsa, za ne suvisemale intervale vremena. Statisticki operator p za t «t jeintegral kvantne Liuvilove jednacine

*^p. + i[p(5f.t), H J - 0 . (5.11)

Resenje jednaCine (5.11) potra2imo kao funkc iona l istog oblikakao za lokalno - ravnoteino stanje (5.8):

24

-1 -5/Bm<*." d** **"* f

-g/Bm(x.t) dx (5.12)o = spe m

gde Bm(x,t) dobijamo kauzalnim usrednjavanjem C 1 6 D :

Bm(x,t) =(5.13)

i parametri Fm(x,t) imaju smisao te rmodinamidk ih parametara .U sluCaju nepovratnih procesa u prostorno homogenom

sistemu koji se sastoji od slabo in teragujuCih podsistema narazlifi i t im temperaturama izmedu kojih dolazi do razmene ener-gije, zakoni odr2anja su oblika (5.2). Operator! J m i (x) zado-voljavaju i dopunske uslove

ml(x) = 0 , (5.14)

koji oznaCavaju odriavanje u k u p n e energije, impulsa i mase.Hami l ton i jan sistema ima oblik:

H = S H t , (5.15)i A

gde su H j hamiltonijani podsistema. Ovakvom sistemu odgo-vara statistiCki operator 171

o, -?PitH1-ii1Ni)-rp1fe-EtHi(t) dt

p= f t e T T _& (5.16)

25

6. PRIMENA NERAVNOTEZNE STATISTIKE NAODREDIVANJE V R E M E N A RELAKSACIJE P R O V O D N I H

ELEKTRONA NA SOLITONIMA

Podelimo naS sistem na dva medusobno in teragujuda pod-si stem a:

H = H t + H2 , (6.1)

gde su Ht = Hs ,H 2 = H! + Hs, . (6.2)

Da bi se primenili rezultati predhodnog poglavlja i, nataj naCin, izraCunao neravnotezni statistiCki operator, trebaodrediti s t ruju energije izmedu dva pod si stern a

(6.3)

Kako je ukupn i hamiltonijan integral kretanja

HjU) = - H2(t) = ^[Hj.H] , (6.4)

ili, eksplicitno

k.k'.pq'q (6.5)

U sluCaju kada su podsistemi na razliCitim tempera turamamatrica gustine neravnotezne kvantne statistike je (5.16)

o4 -PiH!-p2H2* fe-et(p,-p2)H l(t) dt

p=Q-1e -*» , (6.6)

gde su: Q - statistiCka suma,

& i = (TikBrl i = ^ 2"

StatistiCki operator (5.16) se izra±ava preko kvazi ravnoteinog

26

statisti£kog operatorae-M

pl = ~~f — ̂M~N • (6.7)M

f MN •sp(e M)

na sledeci nacin (dodatak 2)

i

o

gde su M = S YI

Mali perturbacioni parametar odgovoran za interakci jupodsistema

OSM = < p 2 - p t ) J 6'" Ht(t) dt , (6.10)

— GO

daje za srednju vrednost struje energije (D.2.16)

< H 4 ( t ) > = ( P 4 - P 2 ) L | 2 . (6.11)

L je kineticki koeficijent procesa, izrazen u obliku12

L1 2= Jdt e e t /dT<H 1 (o)e" M T H 1 ( t ) eMT>e . (6.12)-oo O

Integrirajuci po t (videti dodatak 3), dobija se

dt e"V*kk,q{[i- er~ ~ *

sa oznakama

N kk,q

Fkk'q = aktak'4B q '

Doprinos drugog clana izraza (6.5) je manj i . pa ga u kvalita

27

t ivnoj analizi poput ove ne moramo uzeti u obzir. Kinet iCkikoeficijent L12, pomo6u relacija

(6.15)

" '

mozemo izraziti preko Greenove funkc i j e

Li.= /dt £tk.k'.q

* «Fkk.q(0)|H1(t)») . (6.16)

Zamenju ju6i (6.5) u (6.16), dekup lu jud i odgovarajuCe korelatorei posle integracije po vremenu (videti dodatak 4) sledi

qP + F \ Ekt + Ek'4 )

. (6.17)

gde su statisti£ke srednje vrednosti za Fermi provodne elektronei Bose magnone, respektivno

N q =(6.18)

28

6.1 SLUCAJ RASEJANJA PROVODNIH ELEKTRONANA RAZREDENOM GASU SOLITONA

Razmatraju6i pojavu vezanog stanja veCeg broja magnona(magnonske kapi) Ivanov i KoseviC C 6 3 su poSli od N» 1,ill eksplicitno

bL = TK^ »1 - (6.19)

Zamenom jedna£ine (6.19) u izraz za k inet i f tk i koeficijent (6.17)(zbog slabe zavisnosti aproksimiramo da W nije f u n k c i j a k)dobija se:

sol 2w3SW2^ yr £JU'LI« - u h N 1- r , _ , 5(E^'k.k,k-k'

nkt - nki.zr*1 — . (6.20)

ch

Clan koji je ispufiten je kvadra tan po Bq i dao bi

- eq* Eko- Ek,0) •k.k'.q.q.'o

• S ( q ' - q + k - k » ) N q N q , ( n k o - n k , 0 ) ] . (6.21)

Smenom izraza N i N , i s tavljanjem q = q' = ks sledi da jek = k' i eeo izraz se svodi na n u l u . Moglo bi se zakl juCi t ida dominantan ut icaj na razmenu energije izmedu provodnihelektrona i solitona imaju procesi pri kojima dolazi do"prevrtanja" spinova provodnih elektrona. Maks imalan (rezonan-tni) efekat rasejanja na solitonima se procenjuje uz iman jemmin imalne vrednosti imenioca. Time se posmatranje ogranif iavana elektrone 6iji talasni vektori zadovoljavaju uslov k - k1 = ke .Tada je

£ksZ_i r v kg *"kt k-k i kt~ k-ksl

(6.22)

29

Prelaz sa sumi ran j a na integraci ju

7T?- I

uz uvazavanje okolnosti da, zbog niskotemperaturnog rezimavazi Ekt Pj » 1 i E k - k < ^ » * - daJe

er

2,.2

2m* P » \)

gde je

Ovaj izraz za kinet i f iki koeficijent daje doprinos rase jan juelektrona, taCno odredene brzine, na solitonima

Solitone, usled njihove stabilnosti i nedeformabi lnost i , mozemosmatrat i klasiinim iesticama. Tada gasu solitona mozemopripisati Maxwellovu raspodelu po b rz inama . Standardan postu-pak usrednjavanja

sol _

^IL" = ——7n*r e L*° dv • l6-271«rr(c0/^) 0J

sa oznakama M* - ranije uvedena efekt ivna masa solitona.C0 - najve6a brzina solitona,

daje zavisnost kinetiCkog koeficijenta od jaCine polja itemperatura

30

- 3

gde su uvedene oznake(6.28)

2m* 16SJ0R2

Ml2

^ - J0) -

2S(Jo -

(6.29)

OCigledna je linearna zavisnost r ( p j , p 2 , h ) po h.

31

Razmotrimo dva granicna s lucaja, u otsustvu polja i kadaje polje dovoljno jako

h=O

(6.30)

h»O

Vreme relaksacije provodnih elektrona na razredenom gasumagnonskih solitona je dato izrazom C l ]

< H f >t = L . (6.31)

i solU12

Prema tome, potrebno je naci statisticku srednju vrednostkvadrata energije elektronskog podsistema. Zadrzava juc i se naizrazu l inearnom po populacij i provodnih elektrona,

(6.32)Koristeci izraze za elektronsku populaci ju i prelazeci sa su-macije na integraciju dobija se

i| 2 \< H > =

gde su

3-/-JT

(6(6'

32

' (6>34b)

Za s luCaj h = 0

Pl2SW. (6.35)

a za dovoljno velike jacine polja

Konacno, vreme relaksacije elektrona na soli tonima za ovadva, g ran icna slucaja je

( t 1 « — r - - n . (6.38)v > » o

pri Cemu je t (h ) = 2SW + - - g smBh

Zavisnost vremena relaksacije od jacine polja je oblika

t ( h ) ~ ( « h + * ) ( < : h 2 + ah + e) , (6.39)

gde su A, 6, e, d, e odgovarajuce konstante.Uobicajeno je da se slaganje teorijskih rezultata sa eksperi-

mentalnim podacima vrsi poredenjem pikova teorijske i ekspe-r imentalne zavisnosti kol icnika vremena relaksacije i kvad ra t ajacine polja od jadine polja

= F ( h ) . (6.40)

33

6.2 MAGNONSKI DOPRINOS RASEJANJU

Kinet iCki koeficijent rasejanja elektrona na slobodnimmagnonima dobijamo iz (6.17), opet uz ima ju t i i u obzir nisko-temperaturni relim. Tada se poslednji £lan jednaCine (6.17) nadesnoj strani nku ^q( 1 ~ nk t) l inear izu je po razl ic i p j - P2

(dodatak 5). Dobija se

• < 1 + N k _ k l ) n k t ( l - n k U ) . (6.41)

Iskoristimo ogrenicenje P^ « nt . Ako se Ek l j znatno r a z l i k u j eod Hj tada je Fermi f u n k c i j a nk,, v r lo mala . Komplementa rnaf u n k c i j a ( l - n k , 4 ) je vrlo ma la , osim u neposrednoj okol in ivrednosti Ek,4 = nt . U skladu sa tim mo2emo napisat i

hku (1 - nk ,4) - PJ"k(Ek U- iij) . (6.42)

Sada se izraz (6.41) svodi na

,m a g , 2SW2/. IgLi2 ' h N \ ~ Pl

( E k . 1 - n l ) ( l * N k . k , ) . (6.43)

U s luf ia ju odsustva polja ( h = 0) integraci ja daje

a • <6 '44)

gde je

U slededem koraku (n iskotempera turn i re2irn)

e ( i + e ).

(6.45)

34

Ukoliko je polje pr isu tno? •# *3

•}A m £

(6.46)

ill, jednostavnije zapisano,

(L™*8) = OOj.p 2 ,h) e£Pl . (6.47)n»O

KoriS6enjem izraza za <Hj2> (6.36) i za kinet i f ik i koef ic i jent(6.47) sledi da je vreme relaksacije na slobodnim magrionirnadato izrazom

P ( h )

T = - e (6.48)

35

7. ZAKLJUCAK

Eksperimenti , koji se zasn iva ju na neutronskom r a s e j a n j u ,se cesto koriste za dokazivanje postojanja solitona u magne tn imsistemima. U ovom radu je predlo2en a l t e rna t ivan , teorijskipristup. On se zasniva na pracenju zavisnosti v remena re laksa-cije provodnih elektrona na magnonsk im solitonima od jacinespoljaSnjeg magnetnog polja i temperature . Pretpostavlja se da semehan izam interakcije mo±e opisati h a m i l t o n i j a n o m Vonsovskog.Ideja je da se eksper imentalno prat i e lekt r icna provodl j ivos tuzorka, na niskim t e m p e r a t u r a m a , u f u n k c i j i jacine magnetnogpolja.

Razmotreni su uslovi postojanja magnonskog solitona kodkvazi jednodimenzionog magnetnog provodnika sa anizotropijomtipa "laka osa". Reciprocna vrednost S i r ine solitona, u sk i adusa dugotalasnom aproksimaci jom pr imenjenorn u r a d u , zadovo-I java nejednacinu n « 1 . U torn s luca ju , iz jednacine (4 .14) izahteva za ve l ik im brojem vezanih magnona sledi

4J f tS1 « X « 9 . (7.1)

Jo " Jo

sto je neophodan uslov f o r m i r a n j a magnonskog sol i tona,"magnonske kapi".

Dat je statistical t re tman odredivanja kinetickog koefi-cijenta i vremena relaksacije provodnih elektrona na solito-nima. Razmotren je s lucaj razredenog gasa solitona. Solitonskimehan izam relaksacije je veorna selektivan. Pri r azmen ienergije izmedu provodnih elektrona i solitona, procesi prikojima se spinovi elektrona "prevrcu" ima ju o d l u c u j u c u u logu .Maks ima lna vrednost razmenjene energije se postiZe za elektro-ne eiji talasni vektori zadovol javaju uslov k - k ' = k & . U s lu -caju t ipicnih feromagnet ika

_ E kt~ Ek't _ h k Ak «i 1013 s"1 (7 2)h m* F ~ '

A k = | k - k ' | , kp odgovara Fermi n ivou .Rezonantno ograniCenje na b r z inu solitona je, u torn s l u C a j u ,oblika

h Ak (7 2)v - m*

Ako uslov (7.3) nije ispunjen s t ruja energije sa p rovodn ihelektrona na soliton je vr lo mala .

Dobijena zavisnost vremena relaksacije od jacine spoljaS-

36

njeg magnetnog polja je u obl iku polinorna po ja i in i polja.Uporedo je ocenjeno i vreme re laksac i je u s l u C a j u r a se j an ja

elektrona na gasu slobodnih magnona .S obzirom da rasejanje elektrona u realnom k r i s t a l u

obuhvata rasejanje na f o n o n i m a , magnon ima i m a g n o n s k i r nsoli tonima, potrebno je ana l iz i ra t i istovrerneni u t ica j svihnavedenih mehan i zama za opis zavisnosti provodl j ivost i odtempera ture i jaCine magnetnog polja.

37

DODATAK 1

ReSenje jednadine (4.12)

- 2 ( J 0 - J0) | 0 (z , t ) | 2 p(z . t ) , ( D . I . I )

se pretpostavlja u obl iku modul i sanog talasa

p(z . t ) = A ( z , t ) e i e ( Z < t > . (D . I . 2)

A m p l i t u d a zavisi od koordinata i v remena u r avno ta la sno j opstojf o r m u l i

A(z. t) = A(z- vt) = A(i|) . (D . I . 3)

Na osnovu (D.I . 2)

- A1Aat ~ at at

( D . I . 4)

_ ae.e 2l e +tA e " A ea ' az2 az az az2 v az

Smenom (D . I . 4) u (D. I . I ) i r azdva jan jem r e a l n i h i i m a g i n a m i hClanova dobi ja se sistem:

! 0 R 2 A i!§ m . M- J S H A . (D.I. 5)0 0 dz dz 0 0

-hA =

o

+ J0SRo

Iz (D.I. 3) sledi

= - vat T az

na osnovu koje se j ednaCina (D.I .5) resava kao obiCna d i f e r e n -ci ja lna jednaCina

A'(2J0SR§ 61 - h v ) = - J0SR£ A9" . (D.1.7a)

36

(D.1.7W

Funkci je A(z,t) , 6(z,t) su nezavisne, a j ednaCina (D . I . 7) va2iza svaki par (z,t) . Sledi da je C t = 0. Sa fizickog glediSta,A(z,t) , 6(z,t) , e'(z.t) za z - oo te2e n u l l , pa je Ct = 0 .

2J0SR*e' - hv = 0 ,

( z ~ vt) * e • (D'1'8)

gde je 60 pocetna faza.Kako je 6(2, t) = e ( z - v t ) , smenom 6 = - v 9* jednacina ( D . I . 6)svodi se na nel inearnu d i fe renc i j a lnu j ednac inu drugog reda

A" = a A - 3 A3 . ( D . I . 9)

Uvedene su oznake

a =

z , , (D.I.10)2(Jg-J0)

Ako j ednac inu (D.I.9) pomnoiimo sa dA dobija se

A' = UA2 - -|-A4 + C2) . (D.I .11)

Neka se u t r enu tku t = 0 soliton na laz i u tacki z = ZQ , Stoznaci da ampl i tuda u toj tacki ima m a k s i m a l n u vrednostA = A0. Tada je

(A1) = 0 ,z=zo

na osnovu cega iz (D.I.11) sledi

r " - - « A 2 + - E - A 4 ( D 1 1 ? )Wo ~ ^ 0 0 0 ' \u.i.if>i

Solitonski talas je lokalizovan u konacnom domenu , pa suvrednosti amplitude, njenog prvog i drugog izvoda za T) - - <»jednake nu l i . Sledi da je C2 = 0. Iz (D.I .12) je

A0 =

39

Zamenom u (D.I .11) dobija sei.

dA

- A*)'

Smenom

AO sin

Odakle je. uvodeci C = tg

1 f dC ,&_&A0 J T " ^ 2 ) *

Resenje ove jednacine je

C = e

odnosno,

4

c -- e = e

( D . I . 1 4 )

(D . I .15 )

(D . I . 16 )

Q * arc tg I

sl ika D.I

Iz srnene sledi sin * = sin( 2 arctg C) • Sa slike D.I

sin * = 2

sin 26 = 2sin 6 cos 6

z 1 2z

(It z2)' 1 + z' A0 '

40

Iskor is t imo ( D . I . 16) i poslednju j e d n a C i n u :

A AAA _ _ __

" e"u+ eu " ch u

AoA ( z , t ) = - r2 - . ( D . I . 17)

c h [ A 0 ( - f ) 2 ( z - z 0 - v t ) ]

Vrednost AQ se odreduje iz us lova n o r m i r a r i j a u k u p r i e a m p l i -tude A(z . t )

+ 00JA2 (z,t) dz =

Resenje jednadine ( D . I . I ) p o p r i m a k o n a C a n ob l ik

2J2 J ° °,P ( z , t ) = JV (-y - - F - T - - I D . 1.18)

V 2 ' c h [ n ( z - z 0 - v t ) J

41

DODATAK 2

Neravnotezni statistiCki operator (6.6) se uzima u obl ikuo

_i -PiHi-PaHa* Je "(^-p^HiU) dtP = Q e -- . (D.2.1)

pogodnom za opis sistema koji se sastoji od dva podsistemana razl iCi t im t empera tu rama . I z r az imo ga preko kvazi r avno-teznog statistickog operatora. Uvedimo oznake

M = pjH, +U2 H2 •

0 (D.2.2)

SM = Je £ t(pj - P2) Hj(t) dt-co

Tada, neravnotezni statisticki operator postaje

_i -M+&Mp = 0 0 . (D.2.3)

Uved imo operatorsku f u n k c i j u H ( t ) pomocu jednaCine

- ( M - S M ) T= H(t) e . (D.2.4)

Dife renc i ran jem po T dobi jamo

MT= H(t)e S M G . (D.2.5)dt

Integraci jom (D.2.5) u g ran icama od 0 do T ,

TT -MT1 MT'

H(t) = 1 + I dt1 H(t') e S M e (0.2.6)

0

i s tavl ja juei t = 1 iz (D.2 .4) sledi (u l inearnoj aproksimaci j i )

1-(M-SM) r f -MT MT -, -M

e =[i + J d T e 5Me Je . (0.2.7)0

Tako, neravnotezni statisticki operator popr ima oblik

1i r -M / f -MT M T V - M -i

P = Q [e + ( J d t e 8Me )e J . (0.2.8)o

42

Iz uslova n o r m i r a n j a Sp(p) = 1 statistiCka s u r n a Q je obl ika

i|~ / I — M T M T \ M -i

\ . A / *- ^ t/ ' -1 \i x i

Q = Sp(B ) ( l + Q -^ . (D.2.9)Sp(e ) '

KoristeCi ravnotezni statistiCki operator d e f i n i s a n sa-M

Pe = -j^- (D.2.10)sp(e )

i operator oblika

W = dt 0 M T 5Me M T , (D.2.11)f

= I

za neravnotezni statistidki operator dob i j amo

( 1 + W) p (1 + W) pp ~- l + S p ( W p a ) = 1 ' (D.2.12)

Kako operator SM sadrzi operatore s t ru j e energije (D.2 .2) kojisu izrazeni pomo6u mal ih pa rameta ra Wkk, (6.5) , mozemooperator p (D.2.12) razvi t i u red po stepenima -(W>e zadrzavSise na l inearnom Clanu

p = (1 + W ) p e ( l - <W>e) . (D.2.13)

Iz istog razloga izostavi6emo Clan nizeg reda u i z razu za p

P = P« + WPe ~ <w>ePe • ( D . 2 . 1 4 )

Potrazimo s t ru ju energi je izrnedu dva podsistema

1 . -M-C MT!> = Sp(Hjp ) = Sp(H tp e) + | dt S p ( H t e 5 M B pe) -

(D.2.15)- [ Jdt S P ( e T SM e T p e ) ] Sp(H lPe) .

Kako su ravnotezne struje jedna^ke n u l i S p ( H t p e ) = 0 ,

1 • -MT Mr> = f d t S p t H i e 5 M e pe) . (D.2.16)

43

DODATAK 3

Polazimo od izraza (6.12) r a z m a t r a j u C i deo korela tora podintegralom po t:

-MT . MTe HJ e . (D.3.D

Ovaj izraz se raspada na dva operatora obl ika

-MT .

(D.3.2). . MT

6 Bq" ak'4 akf e •

U z i m a j u d i u obzir eksplici tan izraz za M

kao i rezultate pr imene Weylove teoreme na sve gornje operatore

-MT MT "Yi/1 -MT . MT Y , T +e Bq e = e k Bq , e Bq e = e k Bq ,

-MT MT ~""'ktT -MT + ^^T ^ I'kt1' +® akt ® = © akt . @ akt fcf - ti akt •

-MT MT -Ti,'iT ~M T +e ak ue - e k ) aku , e ak\ = e(D.3.3)

neposredno slede izrazi

-MT

B q a k t a k ' » e ~ ^ B q a k t a k ' i '

-MT t . MT Tl - ~ " " ' ' L (D.3.4)

In tegrac i ja po T daje, respekt ivno,

o(D.3.5)

if .,. ^ ( T k t - Y k ' 4 - ^ q ) T _ 1 ^rkk'qd t e k q = V—(e ^ - 0 -

rkk'q

Fkk'q

44

DODATAK 4

Da bi smo, nakon dekup lovan ja Greenovih f u n k c i j a , proce-durom po Wicku do§li do izraza (6.17) uoCimo slede£e

* <aI l a 1 % t ( t )><a k , l a^ 1 | ( t )><B q Bj i ( t» - (D.4.1)

Vremenska zavisnost operatora sa desne strane je naznadena .Korelatori tipa <ak , , a^ f ( t )> su iz jednafieni sa nu lom.

Razmotr imo gornje korelatore

4-Ht --^Ht<4, V t ) > = < a ^ t e aklte > • ( D - 4 - 2 )

gde je H = 2 E q t a ^ t akt ,

(D.4 .3)

SliCno se desava i sa drugim korelatorom.Tre<ii korelator se svodi na oblik

q qn

< B B ( t ) > = <B2( l t )^ [H. [H . . . . . [ H ,

gde je

. (D.4.2)

U k u p n a procedura prevodi vremensku zavisnost u eksponen-cijalni oblik koji daje odgovaraju£u S f u n k c i j u .

45

DODATAK 5

Razv i jmo izraz sa populaci jarna e lektrona i m a g n o n a (6.17)Izvuc imo prvi sabirak ispred zagrade

N k _ k , ) n k t ( l - n~ "

k'l kt

Pojednostavimo svaki od tri razlornka na desnoj s t ran i . Polazeciod izraza (6.18) prv i faktor postaje

"kU - Ek'i Pi= e . (D.5.2)

• nk'*Sliino je i sa ostala dva r az lomka .

Sada se izraz (D.5.2) svodi na obl ik

» i t i - 2< i + N k _ k , ) n k t < i - n k l l ) [ i - e e e

I D . 5.3)

S obzirom da je ^^-k1 =*^k'j + ^kt • na osnovu zakona o d r z a n j aenergije sadrianog u S f u n k c i j i izraza za L12 (6.20), sledi

i - e e e = i - e . (0.5.4)

Kako je razlika reciproCnih temperatura ( j i j - p2) rna la , tornoiemo izvrgit i razvoj eksponenci ja lne f u n k c i j e

1 - 0 ^ Ek_k, ( p j - P2) (D.5.5)

i konacan izraz za (D.5.1) je

( l + N ) n U - n ) e l ( - ) . (D.5.6J

46

C41 GooOings

A

LITERATURA

D (1988) in pr lnt

B- .N Takano K . . Prog.

„.A.M.* Cot. *"»• MF univerzi-

(1985) BeoetBeograd'

„, Kiems J.K.. Steiner[105 Lindner U.. s-U MiKes,a ^H.C123 Nagaev E.I..

Moskva, Mir

""[143 Skrinjar M.J. ,

MOCKM, Hayxa

. . C1978),19M, «4 . K39

. L.29 ..-„,semiconductors U983,

Hisertacija (1983) Beograd

«*.' %t\s %»%**»** £*«

Vi* *w !*