Dirac principios de mecanica cuantica

1. PRINCIPfOS DE MECANICA CUANTICA '.

2. .~. ( 3. PRINCIPIOS DE MECANICA CUANTICA por P. A. M.. DIRAC Profesor Lucasiano de Matemticas de la Universidad de Cambridge EDICIONES ARIEL Eaplugues de Uobregat Barcelona 4. , -.' ~-.,",":" , , , Ttulo original de la obra: rHE PRINCIPLES OF QUANTUM MECHANICS Traducci6n de ANTONIO MONTES e 1958. O"ford Uai1'enity PH e 1967. de l. traducci6a oaltell p.... E.pafi. YAmoSrie Edioioill Ariel. S. A. B.roelOila Impreao ea E.p.ii. Dep6sito legal. B. 18.229 -1968 1968 riel, S. fl. J. lfftmio, 108. BqlwgwlI th Llo/w.g/Jf BlWe"OfI/J : . 5. PROLOGO A LA CUARTA EDICION El cambio ms importante f'especto a la tef'Cef'a edicin ea la nueoa vef'sin del captulo que tf'ata de la electrodinmica ~nUca: La elflclto- dinmica cuntica expuel8ta en la tef'Cef'a edicin describa el ~ de panculas caf'gadas individuale8, en e8tf'echa analoga con la electrodinmica cl.sica. Ef'a una forma de la teoria en que se cn8et'Vaba nece- sariamente el nmef'O de parlculal caf'gadas, y no poda gen81'alhaf'86pata p6f'mitif' la variacin del n6mef'o de ellas. . Actualmente, en fsic de altas en6f'gIB se da con frecuencia la Cf'eaQft Yaniquilacin de panculas caf'gadas. POI' consiguiente, una electf'odinmIctI cuntica que exija la conseroacin del nmef'O de panculas caf'gtulM est6 lejos de la f'ealidaclfsica. A.9t pueB, la hemos substituido p01'una ~ dinmica cuntica que incluye la Cf'eacin Yaniquilacin de pa1'eB e1ecir6n- poritf'6n. EllO nos obliga a a.bandonaf' toda analogJ BBtf'BCha con la ,..,. cl.sica de los electf'ones, pet'o nos 'P"DpOf'cWna una descripcin m4s .... tada de la natuf'aleza. Paf'ece pu68 que el concepto ~o de el.ectrA us. . de Sef' un modelo v6lido en fsica, salvo paf'a algUna8;~ ~1 . que se limiten a considef'af' fenmenos de baja enef'g. f . J St.1ohn's College, Cambridge 11 de moyo de 1957 P.A.M.D. " , , .' 6. - , 7. '.. DEL PROLOGO A LA PRIMERA EDICION . Los fn4todos de trabato de la fsica terica han sufridc un proJuntlD cambio en el prB8tmtB liglo. La tradicin clsiCa consideraba el munclo como la tuOCiacin de obfetos obsef'VQbles,(partculas, fluidos, campos, etc.) q.,. .. mueven segn leyes de fuerza fiias, pudindose, pues, formar una,imc:JItl, mental de todo el esquema en el espacio y el tiempo. Ello coniluc{a a una fsica cuyo mtodo consista en hacer hiptesis sobre el mecanlmO y la ~ que relacionan dichos obfetos observables, que explicartln BU com-' portamiento de la forma m8 senc~ posible. En los ltimos tiempos se ha ido Moiendo tpdo vez ms f!!iide~ue la naturaleza acta. en un ~ dNtioto. Sus le~mentales ooriZeQ el mundo directamemeUil corno ste aparece en nuestra imagen mental, sino que actan sobre un sub_ato ' d8l q" no podemos formamos mnwmcl impgen.!!1ntal. ain cometer de8G- ' finDl. La f~ de dichas leyes enge el empleo de las matem4tlca . " de trtlna/Of'f1IlICOt1U. Los elementos importantes del mundo f$lco ~pat'Hm: . ce., como < los "'variantes de dichas transformaciones (o m8 engentm4 ..IoI, ," oa8l-fnVG1'lant68. o cantidades que se tr:ansforman de modo sencllp). 'Las . COMlB que ConoCBm08 de modo inmediato son las relaciones de. estos cad-. fWtlf'i(Intes con un cierto sistema de referencia, que generalmente elsgjmos de forma que lB introduzcan simplificaciones particulares sin importanoicl t.IdB el pnlo de oWa de la teOf'.l. genertlZ. ~ augs de ltI "Ma de trtlnsformaciones, aplieadtl pritnef'o a la , . , UoIdtuI Y tlupu ti la teora CUfttica, constituye el. fundamento a. loa ,..,." tn6todo6 de la f'sica terica. Otra caracterlatica del desaN'Ollo ., ,. Of'a ., 'la obtencin de ecuacione8 que B.eIJn inoariantes ~ tranrformtJCWnes cada vez mM glmBf'sles. Este modo de procBd8, ti!~ "'iII4'*'d4 dlJldeel punto u 1)iaRJ filo.tfico, pues reconocB el tJBrililiio papel d8I. obwoatlor. permili8ndo englobar las reglas que lB 'deducart. ..'"' ~ parttculoru cm un uquema nico, y mtJ8fra.ndtJ fItMJ k ....,..".. 110 le comporta de modo tlf'bitrario; pero a cambio dIfiouTta, ~ ptmJ el estudioso de 16 fsica. Las Bue0a8 teorlaB, .. 18 coneI-. cIenm ~e de BU estructura matemtica, UIn consUIuId4I .. ' por concsptos fsicos que no pueden expresarse mediante fNTrinOl' o .... mento.f conocid08 previamente por el estudiante, y que ni 'siquiera f*6- den explicitarae adecuadamente con paltsbras. Al igutlZ que los conceptot ~ (como por ejemplo, proximidad, identidad) que cada uno ha . de aprender desde que nace, los nuevos conceptoade la falca slo ~ ~ ftJ.m4llariZndo8e con sus propiedades y UBOS. , ; 8. PRLOGO Desde el punto de vista matemtico, la comprensin de las nuevas teot'a$ no presenta ninguna dificultad, ya que las matemticas necesaria8 (por lo menos las que se necesitan para el desarrollo de la fsica hasta nuestros das) no son esencialmente distintCll$ de las que se empleaban anteriormente. Las matemticas son el instrumento especialmente indicado para tratar conceptos abstractos de cualquier clase, y en este campo su poder n.o tiene lm.ites. Por esta razn tl!,do libro sobre la nuev~.:..C!.4~qu.e. .no s!.,.a lpuramente una descripcin de trava'os ex eri'fn!31!J.a'lijs, ha de se!__esencial-' -. nte mat~_t!E!!.' m em argo, las matemticas no son rJi(j fin instru- ~nto yaeberamos aprender a ap~mos d 1i# id!3t~-Sin .!!fe- flOOcia a $U fOl nw3-Wfemahca. E este libro hemos procurado poner en primer pllino el aspecto fsico, comenzando. por n captulo enteramente fsico y procurando examinar en lo posible el significado fsico que encierra el formalismo en los captulos siguientes. Se necesita gran cantidad de conocimientos tericos para poder resolver problemas de valor prctico, pero este hecho es una consecuencia inevitable del importante papel que tiene la teora de transformaciones y que est destinado a acentuarse en . la,.sica terica del futuro. .Respecto al formalismo matemtico en que puede presentarwe la teona, el autor ha de decidirse desde el principio entre dos mtodos. Uno es el mtodo simblico, que considera directamente y de forma abstracta las antidades de importancia fundamental (invariantes, etc., de las transformaciones) y el otro se basa en el empleo de coordenadas o representaciones y trata con confuntos de nmeros que corresponden a dichas cantidades. Por regla general siempre se.ha utilizado el segundo mtodo para presentar la .mecnica cuntica (de hecho se ha utilizado preticamente siempre a excepcin del libro de Weyl titulado Gruppentheorie und Quantenmechanik). moho mtodo se conoce con los nombres de 'mecnica ondulatorltl y '1Tiecnicade las matrices segn a cual de los elementos fsicos, estados o cariables dinmicas del sistema, se le conceda mayor importancia. Tiene la ventaja de que los matemticas que exige son ms familiares para el ,estudiante medio y adems es el mtodo histrico. Sin embargo, el mtodo simblico parece atacar con ms profundidad la naturaleza de las cosas. Nos permite expresar las leyes fsica8 de una , torma cZara y concisa, y probablemente se ir utilizando cada vez m4a en el futuro a medida que vaya .siendo mejor conocido y se vayan desarrollando las matemticas especiales que emplea. Por esta razn hemos elegido .11l mtodo simblico, introduciendo slo despus las representaciones como ayuda parlJ los clculos prcticos. Ello ha exigido romper completamente con la lnea de desarrollo histrica, pero nos permite el'acceso a las nuevas ideas de la forma ms directa posible. Sto ]ohn's College, Cambridge 29 de mayo de 1930 P.A.M.D. 9. tNDICE Jl. fL PBINCIP;O DE SUP:tRPOsICIN . . !. 1: Necesidad de una teora cuntica . 2. .Polarizacin de fotones . ;. 3. Interferencia de fotones . /- 4. SupeIpOsicin incertidumbre . . . . .' . l. 5. Formulacin matemtica del principio de superposiciOn 1.6. Vectores bra y ket . . . . . . . . . Jn. VAlUABLES DINMIcAS y OBSEllVABLBS /.. 7. Operadores lineales- . . 8. Relaciones conjugadas . l. 9. Autovaloi'es y autovectors. . .10. Observables. . . . len. Funciones de observables . . / 12. Jnterpretacin fisica general. . (~13. Conmutabilidad y compatibilidad . JttI. REPBESENTACIONES J" 14. Vectores bsicos . 15. La funcin 8 . . . . J. le. Propiedades de los vectores bicos . /, 17. Representacin de operadores liDealeI . i. 18. Amplitudes de probabiiiclad .". . . t 19. T.eoremos sobre funciones de observables . 1, 20. Nuevas formas de notacin j IV. CoNDICIONES CUNTICAS j, 21. Corchetes de Poisson . J. 22. Representacin de SchrOdinger J.) 23. La representacin de momentos ;. 24. El principio de incertidumbre de Heisenberg )'25. Operadores de traslacin.. l. 28. Transformaciones unitarias , , 15 15 ,. 18 21 23 27 30 . 35 3!S 38- 41 48 SI " ,)" 58" .80 ~ 84 '5 12 78 "' , 83 81 89 95. 95 99 108 100 nO"' U4 , 10. Jv. LAS ECUACIONES DEL MOVIMIENTO .. 21. Ecuaciones del movimiento en imagen de SchrOdinger 28. Ecuaciones del movimiento en imagen de Heisenberg . '29. Estados estacionarios . 30. La particula libre e 31. Movimiento de paquetes de ondas .. 32. El principio de acci6n 33. El conjunto de Gibbs . ) VI. APLICACIONES ELEMENTALS 34. El oscilador arm6nico f 35. Momento angular 36. Propiedades del momento angular . 37. El spin del electr6n . 38. Movimiento en un campo de fuerzas central 39. Niveles de energia del tomo de hidr6geno .' 40. Reglas de seleccin . 41. El efecto de Zeeman en el tomo de hidr6geno 120 120 123 128 130 133 137 143 148 148 152 156 161 165 169 172 177 VII. TEORiA DE PERTURBACIONES 180 42. Generalidades. 180 43. Variaci6n de los niveles de energa producida por una per- turbaci6n 181 44. La perturbaci6n considerada como causa de transiciones 185 45. Aplicaci6n a la radiaci6n . . 189 46. Transiciones producidas po~ una perturbcin independiente del tiempo 191 47. El efecto Zeeman an6malo 194 JVIII. PROBLEMAS DE COLISI6N 199 199 202 201 213 215 218 .. 48. Observaciones generales '49. Coeficiente de dispersi6n .50. Soluci6n en la representaci6n de momentos , 51. Dispersi6n con absorci6n y reemisi6n ... ~. Dispersin de resonancia .. 53. EInisi6n y absorcin . JIX. sun:i.w. QUE CONTmNEN PARnCULAS IDfmcAS I 54. Espacios simtricos y antisimtricos . .. 55. Las permutaciones como variables dinmicas 56. Las permutaciones como constantes del movimiento .. 57. Determinacin de los niveles de energia . '58. Aplicaci6n a electrones . 221 221 225 227 230 233 11. ,. Ix. 1'EOlA DE LA llADIACl6N ' ." 59. Conjuntos de bosones 60. Relacin entre bosones y osciladores 61. Emisi6n y absorcin de bosones . .' 62. Aplicaci6n a fotones . 63. La energa de interaccin de los fotones con un tomo t 64. Emisi6n, absorci6n y dispersi6n de la radiacin , as. Conjuntos de fermiones. . j XI. TEOlA RELATIVISTA DEL ELECTR6N '66. Teora relativista de una partcula f 67. La ecuaci6n de onda para el electr6n 168. Invariancia bajo una transformacin de Lorentz ~ 69. Movimiento de un, electr6n libre , 70. Existencia del spin, . 71. Transformaci6n a variables polares . '72. EstrUctura fina de los niveles de energa del hidr6geno , 73. Teora del positrn . ' @ XII. ELECTRODINMICA CUNTICA 74. El campo electromagntico en ausencia de materia . 75. Expresin relativista de las condiciones cunticas 76. Variables dinmicas de SehMdinger 77. Condiciones suplementarias 78. Electrones y positrones aislados 79. ,La interacci6n 80. "Variables fisicas . 81. Dificultades de la teora . Li r~~lli) f,hu!:>Kii y ~eR~ Tt.sr~ ,T.()'.'t ~"~ ~, 1~yJ~ ~J:"'~ T ! , :''IIJ'~.,y- 'J ,;: ',t3. ':, '":, 138 !39 Id "1 ., mso 254' 1&& '!63 ses S88 2'10" 213, S76 ' . i'19 J83 .;,., 285, Sl89. ' '", ~ ; .: '.'299 304 308 315 319 324 " , 12. 1/ 13. ';;. :>rinc!>ru. objeto de la ciencia fsica no es dar imgenes sino formular las leyes q.ue rigen los3n6~ su aplic~n para descubrir nuevos fenmenos. sreilste una imagen tanto me'or; pero el que exist! o PO ei UD becl.!9 de importancia: st!; u!ffi. n e casode los fenmenos atmicos, no puede esperarse que exista ninguna 'imagen' en el sentido habitual de la palabra, que viene a signi:6car un modelo que funcione esencialmente segn la mecnica clsica. Sin embargo, se puede generalizar el signi:6cado de la palabra cima 'de modo que incluya cualquier torma de considerar las ea alea ue ha a evidente su cohere '. Con esta genera- liiacin se puede adquirir gra ua ente una imagen de los fenmenos atmicos al irse familiarizando con las leyes de la mecnica cuntica. 22. o,.I EL PlUNCIPIO DE SUPEBPOSICIN Respecto a la s~gunda crtica debe tenerse en cuenta que para muchos experimentos sencillos con III luz sera suficiente, a fin de explic~ los resultados, una teora elemental" en la que ondas y partculas estuviesen rela- cionadas de una vaga forma estadstica. La mecnica cuntica no aporta ninguna otra informacin sobre dichos experimentos. Sin embargo, en la gran mayora de experimentos, las condioiones son demasiado complejas . para que sea aplicable una teora tan elemental, y es necesario algn esquema ms elaborado como el de la mecnica cuntica. El mtodo de descripcin que da la mecnica cuntica paraJos casos ms complejos tambin se puede _aplicar a los casos sencillos, y si bien para ellos no es estrictamente necesario, su estudio en estos -casos constituye una introducci6n apropiada para el estudio del caso general. Todava puede hacerse la siguiente crtica general del esquema com- I pleto: a artarnos del determinismo de la teora clsica hemos introdu- ~!! ~na complicaci6n cbnsi era le en la d s . . n d 1 s os ~rllk que no es deseable en ab~oluto. Esta complicaci6n es innegable, pero queda compensada por la gran simplificaci6n que nos ofrece el-l?!inciWo ~neral de sUEerposicin de los e~ados que estudiaremos a continuacin. Pero antes es necesario precisar el concepto clave de 'estado' de un sistema atmico general. Sea un sistema atmico cualquiera, compuesto de partculas o de cuerpos con propiedades dadas (masa, momento de inercia, etc.) que interaccio- nan de acuerdo con leyes de fuerza dadas. Existirn diversos movimientos posibles de las partculas o de los cuerpos compatibles con las leyes de fuerza. Cada uno de tales movimientos recibe el nombre ~ del sistema. ~~n las ideas clsicas, se podra cificar un esta o dando el ~or numricode t~~or _~I!!illL~_:Y~~~~ E!__d:_}~~s ~~?~_.!nstant~ de tiem1?_2.~e~anfo aSI com.ieta- !!!~~te determinad_~131.!Il()yJl!l1~n~. Pero os razonamien- -tos de S3"YF'os indican que ~_podemos observar un sistema pequeo con tanto detalle como supone la teorlnrra-srca.-talimfacion del poder de ~lIuci6!L~el rr~~lS-~~en atribui~~ . . Por tanto, el esta~un sistema at6mico tiene que caracterizarse por menos datos o por atas m s Imprecisos ue un con u"'----'--- comPfeToOe v~ or~s._ m~m ICOS e o as as coor ena as y v~locidades en uE ~EI~__:cI~~1!~m-P9_~y1jcular:-Thando el sistem~I conSff1ido --pOr un ' '. ' ~ r ., ;ii(~';~~ ~ ;-5eL!!~~. fh~"t) 26. ~. - 28 EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN Empezaremos a construir el esquema considerando las relaciones matemticas entre los estados de un sistema dinmico en un instante de tiempo que se derivan de la formulacin matemtica del principio de superposicin. La superposicin es un cierto proceso aditivo, e implica que los estados puedan sumarse de algn modo para dar nuevos estados. Por lo tanto, los estados tienen que estar asociados con cantidades matemticas que puedan sumarse entre s para dar cantidades de la misma clase. Las cantidades matemticas ms sencillas que disfrutan de esta propiedad son los vectores. Los vectores ordinarios definidos en un espacio de un nIna'o finito de dimensiones no son suficientemente generales l'ara la mayora de los sistemas dinmicos de la mecnica cuntica. Nos vemos obligados a generalizar los vectores a un espacio deciDfinita dimensiones, con lo que el tratamiento matemtico se hace complicado por razones de convergencia. Sin embargo, de momento nicamente vamos a considerar propiedades que puedan ser deducidas sobre la base de un conjunto sencillo de axiomas, y dejaremos a un lado las cuestiones de convergencia y los temas relacio- nados con ella hasta que nos veamos obligados a tenerlos en cuenta. Es conveniente designar con un nombre especial a los vectores que se asocian a los estados de un sistema en mecnica cuntica, tanto si forman parte de un espacio de un nmero finito de dimensiones como de un espacio de infinitas dimensiones. Las denominaremos vectores ket, o simplemente kets, y los representaremos con el smbolo especial 1>. Si queremos especificar un ket particular mediante una letra, por ejemplo la A, la colocaremos entre los dos signos as lA>. La conveniencia de esta notacin aparecer clara cuando hayamos desarrollado todo el esquema. Los vectores ket se pueden multiplicar por nmeros complejos y pueden tambin sumarse entre ellos para dar nuevos kefs; por ejemplo, de los dos kets lA> y lB> podemos formar cllA> +c21B> =IR>, (1) en donde Cl y C2 son nmeros complejos arbitrarios. Tambin es posible efectuar con ellos operaciones lineales ms generales, como sumar una serie infinita de kets, o si tenemos un ket Ix> que dependa de un parmetro xque puede tomar todos los valores de un cierto intervalo, integrar respecto a x para obtener un nuevo ket f Ix> dx = IQ> Todo vector ket que se pueda expresar linealmente en funcin de los otros se dice que es dependiente de ellos. Se dice que un conjunto de kets es independiente, si ninguno de ellos se puede expresar linealmente en funcin Ahora hacemos la hiptesis de que a [email protected]:.sistema din4miao de los otros. ~ en_un i~an1e-p,a~!J~;_CQrr~siendo la correspondencia tal que S1, un estaao est definido como superposicin de otros d08, su 27. 5. 'FOBMULAC1N MATEMTICA DEL PlUNCIPIO DE SUPERPOSICIN 29 correspondiente ket puede expresarse linealmente en funci6n de los kets !~. correspondientes a dichos estados y recprocamente.' Por tanto, el estado R resulta de una superposicin de los estados Ay B si los correspondientes kets estn ligados por (1). La hiptesis anterior nos lleva a introducir ciertas propiedades del pro- ...,..1 ,,: ceso de superposicin, que de hecho son necesarias para que sea apropiada ~ la palabra superposicin'. Cuando se superponen dos o ms estados, no '" 1'"": ~porta el orden en que entran en el proceso de superposicin, y as dicho~'" ~{); proceso es simtrico respecto a los estados que se superponen. Adems, ~~ de (1) deducimos que (exceptuando el caso en que Cl o C2 sean nulos) si el estado R puede formarse por superposicin de los estados A y B, el estado A puede fonnarse por superposicin de B y R, y el B por superposicin de A y R. Las relaciones de superposicin son, pues, simtricas respecto a los tres~stados A, B YR. Cuando un estado est fonnado por la superposicin de otros dos se dice que es dependiente de ellos; Ms en general, se dice que un estado es dependiente de un conjunto flnito o inflnito de otros estados, si su correspondiente ket es dependiente de los kets que corresponden a dichos estados. Se dice que un conjunto de estados es independiente si ninguno de los estados es dependiente de los otros. Para proseguir con la fonnulacin matemtica del principio de super- p6sici6n tenemos que introducir una nueva bipteMs;-y aflrmar que por superposicin de un estado consigo mismo no podemos construir nin~n e~sino que siempre obtenemos el mismo estadO. Si el estado original corresponda al ket lA>, al superponerle consigo mismo el estado resultante. corresponde a cllA> +c21A> =(Cl +C2) lA>, donde Cl y C2 son nmeros. Puede ocurrir que Cl +C2 =0, en cuyo caso el resultado de la superposicin no representa nada en absoluto, pues las dos componentes se han eliminado mutuamente por un efecto de interferencia. Nuestra nueva hiptesis exige que, salvo en este caso particular, el estado resultante sea el mismo que el original, y por tanto, (C1 +c2)IA> tiene que corresponder al mismo estado al que corresponde lA>. Pero C1 +C2 es un nmero complejo.arbitrario, de donde deducimos que si mul-~~ 1 1 tipUcamos el kef que corresponde a un estado por un nmero complejo , arbitrario distinto de cero, el ket resultante corresponder al mismo estado. As, 'pues, un estado viene caracterizado por la direccin de un ket, ~ pendientemente de la longitud que le atribuyam ~Los estados de un SIS e a mico es en correspon enCla lyectiva con las posibles direcciones de los vectores ket, considerando como una sola las direcciones de lA> y de -lA>. Esta hiptesis nos muestra claramente la diferencia fundamental entre la: superposicin que se da en mecnica cuntica y cualquier otra super- 28. 30 EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN posicin clsica. En un sistema clsico para el que sea vlido un principio de superposicin, com .por ejemplo una membrana vibrante, cuando se superpone un estado consigo mismo el resultado es un estado diferente, cuya amplitud de oscilacin es distinta. No existe ninguna caracterstica fsica en los estados de,Aln sistema cuntico que corresponda a la amplitud de las oscilaciones clsicas, ms que la relacin entre las amplitudes en los distintos puntos de la membrana. Adems, si bien existe un estado clsico de amplitud nula en todos los puntos de la membrana, que es el estado de reposo, no hay ninguno correspondiente a ste en un sistema cuntico, pues el ket nulo no corresponde a ningn estado de existencia. Dados dos estados que correspondan a dos kets lA> y lB>, el estado ms general que se puede formar por superposicin de ambos corresponde a un ket IR> que viene determinado dando dos nmeros complejos: los coeficientes CI y C2 de la ecuacin (1). Si multiplicamos los dos coeficientes por un mismo factor (tambin complejo), el ket IR> quedar multiplicado por dicho factor y el estado correspondiente ser el mismo de antes. Por lo tanto, nicamente interviene en la determinacin del estado R el cociente entre ambos coeficientes. As pues, dicho estado queda determinado por un n- mero complejo, o lo que, es lo mismo, por dos parmetros reales. Por lo tanto, dados dos estados, por superposicin de ambos podemos formar una -doble infinidad de estados. Este resultado viene confirmado por los ejemplos explicados en 2 Y 3. En el ejemplo de 2 existen dos nicos estados de polarizacin de un fotn independientes, pudindose elegir como tales dos estados de polarizacin rectilnea segn direcciones paralela y perpendicular a una dada; por superposicin de ambos se puede formar una doble infinidad de estados de polarizacin, a saber, todos los estados de polarizacin elptica, para cuya espe- cificacin en el caso general son necesarios dos parmetros. Asimismo, en el jemplo del 3, por superposicin de dos estados de traslacin de un fotn dados, podemos obtener una doble infinidad de nuevos estados de traslacin, pues el estado general as formado depende de dos parmetros, que pueden ser, por ejemplo, la relacin de amplih.!-des de las dos funciones de onda que deben sumarse y su diferencia de fase relativa. Esta confir- macin muestra la necesidad de tomar coeficientes complejos en la ecuacin (1). Si nicamente admitiramos coeficientes reales, puesto que una vez conocidos lA> y lB> nicamente interviene el cociente de ambos coeficientes para especificar la direccin del ket IR> resultante, solamente podramos construir una simple infinidad de estados por superposicin de lA> y lB). 6. Vectores bra y ket Siempre que tenemos un conjunto de vectores en una teora matemtica cualquiera podemos construir un segundo conjunto de vectores, que los 29. 6. VECTORES BRA. Y :mT 31 J matemticOs denominan vectores duales. Vamos a describir el mtodo de obtenerlo en el caso de que los vectores de partida sean nuestros kets. Sea 1,ln nmero el> funcin de un ket lA>; es decir, que a cada ket lA> le corresponde un nmero eI>, y adems exijamos que la funcin sea lineal, lo que quiere decir que el nmero que corresponde a lA> + lA'> es igual a la suma de los nmeros que corresponden a lA> ya lA'>, y que el nmero que corresponde a clA> es igual a emultiplicado por el nmero que corresponde a lA>, siendo cun factor numrico arbitrario. Entonces, el nmero el> que corresponde a lA> puede ser considerado como el producto escalar de dicho I'A> con un nuevo vector, existiendo tantos vectores nuevos como funciones lineales de los vectores ket. La justificacin de que podamos considerar a el> de este modo, reside, como veremos ms adelante (vanse las ecuaciones (5) y (6, en el hecho de que los nuevos vectores pueden sumarse entre eilos y multiplicarse por nmeros dando nuevos vectores de la misma clase. A pesar de que los nuevos vectores slo estn dados cuando COnocemos los-productos escalares con los vectores de partida, esto nos basta para construir una teora matemtica con ellos. Les denominaremos vectores bra o simplemente bras, y los representaremos con el smbolo se puede escribir simblicamente asi: +lA'>} = + , (2) } =c , (3) donde o es un nmero. Se considera que un bra est completamente definido, cuando se conoce su producto escalar con cualquier ket, de modo que si el producto escalar Los nombres de bra y ket, introducidos por Dirac, cuando se yuxtaponen forman la palabra 'bracket' que en ingls significa parntesis. (N. del T.) , ( 30. 32 EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN de un determinado bra con todo ket es nulo, debe considerarse tambin nulo el bra. En smbolo~. si entonces = O, para todo lA>, sea igual a la suma de los productos escalares de , { = +, (5) Y el producto de un bra sea igual a c multiplicado por el producto escalar de , {c = c. (6) Las ecuaciones(2) Y (5) expresan que el producto escalar de un bra y un ket verifica la propiedad distributiva de la multiplicacin, y las (3) y (6) indican que la multiplicacin por factores numricos verifica las propiedades algebraicas ordinarias. Los vectores bra, tal como los hemos introducido aqu, son de gsj:i~ta ~aturale~a que los vectores ket, y hasta aqu, aparte del producto escalar, no existe ninguna otra relacin entre bras y kets. Ahora hacemos la hiptesis de que existe una correspondencia bl/ectioa entre los bras y los kets, tal qu~ el bra que corresponde a lA> --1= ~> es igual a la suma de los bras correspondientes a lA> y lA'> y el bra correspondiente a clA> es igual a e multiplicado por el bra correspondiente a lA>, siendo e el complejo conjugado de c. Emplearemos la misma letra para indicar un ket y su bra correspondiente. As el bra que corresponde a lA> es y lB>, podemos-formar con ellos un nmero . producto escalar del primero con el imaginario conjugado del segundo. Tal nmero depende linealmente de lA> y antiliDealmente de lB>. Depen- dencia antiliDeal significa que el nmero que se obtiene con lB> +lB'> es igual a la suma de los nmeros que se obtienen con lB> y con IB'>, y que el nmero que se obtiene con clB> es igual a e multiplicado por el nmero que se obtiene con lB>. Hay otro procedimiento de formar un nmero que dependa linealmente de lA> y antilinealmente de lB>, que ,consiste e1l tomar el nmero complejo conjugado del producto escalar de lB>, con el conjugado imaginario de lA>. Supondremos que est(ls dos nmero. son iguales, es decir = (7) Poniendo aqu lB> = lA>, resulta que el nmero es real. Hacemos adems I! nueva hiptesis de que > O, (8) salvo si lA> = O. En el espacio ordinario, dados dos vector~,_~pnede formm:.~I!..~!!':>s__, un inero --=10 producto escIar. --~fa~ y_s!n.!r!~~_r~E.~~~o.._~~. Eiqer~actc;>..!~_- _~n_.eL..ae::IOi..lleC.tQ~~~,_~et, das ~os_ :,~-~alesquiera tambin_e()~~mo. fQn:o.aryn_nmer()_.__eLp!!>d1,l_~Q_ escarifr ae'iio de enos'colimaginario conjugado del otro - que ahora es complejo,y'serrmsfotma etft1r-copfejo conjugado al cambmr-t. Si dado un estado queremos caracterizarlo mediante un bra o un ket, nicamente queda determi- nada la direccin del vector, pero el vector queda indeterminado en un factor numrico arbitrario. A menudo es conveniente elegir dicho factor de forma que el vector tenga longitud unidad. Este procedimiento se llama f1Ot7t!qliza06n y el vector asi elegido se dice que est normalizado. Sin embargo, an no est completamente determinado el vector, pues se le puedE! multiplicar por cualquier factor de mdulo uno, es decir, cualquier a.-CV.lftICA ; b> -::c. funcin de un ket lA>, es decir, que a cada ket lA> le corresponde UD ket IF>, y supongamos adems que dicha funcin sea lineal, o lo que es 10 mismo, que el ket IF> que corresponde a lA> +lA'> es igpa1 a la suma de los kets IF> correspondientes a lA> y a lA'>, y que el ket IF> que coITesponde a clA> es igual a cmultiplicado por el ket IF> correspondiente a lA), donde ces un factor numrico arbitrario. Bajo estas condiciones, podemos considerar el paso de lA> a IF> como la aplicaci6n de UD operador lineal a lA>. Si introducimos el smbolo a.para el operador lineal, se puede escribir t< IF) =alA>, / donde indicamos la aplicacin de a sobre lA> como un producto de IX por lA). Establecemos la regla de que en tales productos el ket debe estar siempre a la derecha del operador lineal. Podemos expresar ahora las condiciones de linealidad antes mencionadas mediante las ecuaciones a{IA) +IA'>} =alA> +alA'), a{cjA>} = calA>. ~ (1) Diremos que un operador lineal est completamente definido, si conocemos el resultado de su aplicacin sobre cada ket. Por tanto, debemos considerar nulo a un operador lineal que aplicado a cualquier ket da cero, y asimismo diremos que dos operadores lineales son iguales, si dan el mismo resultado al aplicarlos a cualquier ket. Tambin podemos sumar operadores, y definimos la suma de dos de ellos como aquel operador lineal que aplicado a cualquier ket da UD resul- r .. 34. ~~f':,::/ :, , .., 36 VARIABLES DINMICAS Y OBSERVABLES tado igual a la suma de los kets que se obtienen al aplicar cada uno de los operadores por separado a dicho ket. As pues definimos a +{3 por {a +(3}IA) =alA) +(3IA) (2) para todo lA). La ecuaci6n (2) y la primera de las ecuaciones (1) nos indican .' que el producto de operadores lineales por kets verifica la propiedad distributiva de la multiplicaci6n. Asimismo podemos multiplicar operadores lineales entre s, y definimos el producto de dos operadores como aquel operador lineal que aplicado a cualquier ket da el mismo resultado que se obtiene al aplicar sucesivamente los dos operadores dados a dicho ket. As pues, hemos definido el producto a{3 como el operador lineal que aplicado a cualquier ket lA), lo trans- forma en el ket que se obtiene aplicando primero (3 a lA), y despus a al resultado. En smbolos {a{3}IA) = a{{3IA>}. Esta definici6n es equivalente a la propiedad asociativa de la multiplicaci6n del triple producto de a, f3 y lA>, y nos permite por lo tanto escribir dicho producto sin parntesis af3IA). Sin em.l)argo, este triple producto no da en general el mismo resultado que se ootendra aplicando primero a a lA> y despus f3 al resultado, es decir, que en general a{3IA> es distinto de {3aIA>, y por tanto, en general, afJ es distinto de {3a. La ~edad co,!!!!,utativ_l!.. no ,68 vlida para la multiplicacin de operador~~s. Puede ocurrir que 1m casos especlales dos lrperadores lieales ~ y 'tl sean tales que l;'tl y '1)1; sean iguales. En tal caso diremos que ~on~ con 'tl, o que l;, y 'tl conm~tan. Combinando las operaciones da as e suma y multiplicaCln de operadores lineales se pueden formar sumas y productos con ms de dos operadores, y as podemos construir con ellos un lgebra. En dicho lgebra no ser vlida la propiedad conmutativa de la multiplicac6n, y podr ocurrir tambin que el producto de dos operadores lineales sea nulo sin que lo sea ninguno de los dos factores. Pero todas las dems propiedades del lgebra ordinaria sern vlidas, incluidas las propiedades asociativa y distributiva de la multiplicaci6n, como puede comprobarse fcilmente. Si tomamos un nmero k y lo multiplicamos por vectores ket, aparece como un operador lineal que se aplica a kets, pues verifica las condiciones (1) substituyendo k por a. Por tanto, un nmero es un caso particular de operador lineal. Tiene la propiedad de que conmuta con todo otro operador lineal, lo que le distingue de un operador lineal general. Hasta aqu nicamente hemos aplicado los operadores lineales a kets. Pero tambin pueden ser aplicados a bras, con el significado siguiente. Tomemos el producto escalar del bra . Tal producto escalar es un nmero que depende linealmente de lA> y por lo tanto, dada la definicin de bra, puede ser considerado como el producto escalar de lA> por un cierto bra. Dicho bra depende linealmente de = } (3) para cualquier lA>, que expresa simplemente la propiedad asociativa de la multiplicaci6n para el triple producto de . Establecemos la regla general de que en todo producto de un bra y un operador lineal, siempre ha de estar el bra a la izquierda. Ahora ya podemos escribir el triple producto de simplemente sin ningn parntesis. Puede comprobarse fcilmente que la propiedad distributiva de la multiplicacin es vlida para los productos de operadores lineales y kets. En nuestro esquema cabe todava un nuevo tipo de producto, que es el producto de un ket y un bra con el ket a la. izquierda IA> arbitrario, que colocaremos a la derecha, y supongamos que es vlida la propie~d asociativa para esta multiplicaci6n. Dicho producto vale entonces lA>, o sea el ket lA> multiplicado por el nUlero , y es funci6n. lineal del ket IP>. Por tanto, IAt multiplicado por el bra de los mismos factores pero en orden inverso, 'siendo el ltimo producto un nUlero, como ya sabemos. Disponemos ahora de un esquema algebraico completo referente a tres clases de cantidades: vectores bra, vectores ket y operadores lineales. Pode- mos multiplicarlos entre s de todas las formas indicadas, siendo vlidas las propiedades asociativa y distributiva de la multiplicaci6n en todos lOs casos, pero no la propiedad conmutativa. En el esquema general sigue siendo vlida la regla de notaci6n dada en la secci6n anterior, de que toda ~re si6n entre parntesis completos, que tenga a la derecha, -np".as.enta unmmerq. mienb:aS que toda ~esi6n entreparntesisinroIn- pletos, que no tenga ms que , representa un vector. Respecto al signiflcado fsico del esquema, hemos supuest siempre que los bras y los kets, o mejor dicho las direcciones de dichos vectores, corresponden a los estados de un sistema dinmico en un instante cular. Ahora hacemos la nueva hiptesi3 de que los ~OOor~~es~U~~~........~ ponden a las variables dinmicas en d' _ . ante. ajo el nombre de vana es . micas enten emos cantidades como las coordenadas, las componentes de la velocidad, del momento y del momento angular de las partculas as como funciones de stas - de hecho las variables que se emplean 36. ", '.. , 38 VABIABLES DINMICAS Y OBSERVABID en mecnica clsica-. La nueva hiptesis exige que dichas cantidades aparezcan tambin en mecnica cuntica, pero con la notable diferencia de que ~ ella estn regidas, por un lgebra en la cual no es vlida la propiedad conmutativa de la multiplicacin. El hecho de que el lgebra de las variables dinmicas sea distinta en ambas teoras es una de'las diferencias ms importantes entre la mecnica cuntica y la clsica. Ms adelante veremos, a este respecto, que a pesar de esta diferencia fundamental, las variables dinmicas de la mecnica cuntica siguen gozando de muchas propiedades comunes con sus equivalentes clsicas, y que es posible construir una teora anloga en gran parte a la clsica que constituye una'excelente generalizacin de ella. Es conveniente utilizar la misma letra para especificar una variable dinmica y su correspondiente operador lineal. De hecho, consideraremos a ambos como una sola cosa, sin que ello d lugar'a confusin. 8. Relaciones conjugadas - Nuestros operadores lineales son cantidades complejas, puesto que se pueden multiplicar por nmerOs complejos resultanao nuevas cantidades de la misma naturaleza. As pues han de corresponder en general a variables dinmicas complejas, es decir, a funciones complejas de las coordenadas, velocidades, etc. A fin de poder ver qu clase de operador lineal corresponde a una variable dinmica real, precisamos una elaboracin ms amplia de la teora. Consideremos el ket conjugado imaginario de . Por consiguiente, puede ser considerado como el resultado de aplicar un cierto operador lineal a 11'>. A este operador lineal se le llama. adjunto de a y le designaremos por Cf. Con esta' notacin, el conjugado imaginario de . En la frmula. (7) del captulo 1 pongamos en lugar de lA>. El resultado es . = (4) Esta es una frmula general, vlida para todo pax: de kets lB> y IP> y para todo operador lineal", que nos expresa una de las propiedades ms utiliza- das del adjunto. Substituyendo a por i. en (4), resulta = =, despus de haber utilizado otra vez (4) intercambiando IP> con lB). Esto 37. . , es vlido para todo ket IP>, de donde deducimos, con ayuda de (4) del captulo 1, ~9pLmica real, y por esto se le denomina tambin operador lineal real.l>todo operador lineal pue4e ser separado en parte real y parte imaginaria pura. Por esta razn para los operadores lineales se aplica la expresin 'complejo ronjugad y no la de 'imaginario conjugado'. Evidentemente, el complejo conjugado de la suma de dos operadores lineales es igual a la suma de sus complejos conjugados. Para obtener el complejo conjugado del producto de dos operadores lineales a y f3 aplicamos la frmula' (7) del captulo I tomando de forma que El resultado es =iEIP>, =f3IQ>. = = deducido de (4). Puesto que la frmula es vlida para todo IP> y =IB> =JB>. Por tanto, IA>. Todas ellas pueden resu- mirse en una nica regla fcil de recodar: el complejo confugado o el imaginarlo conjugado de cualquier producto de vectores bra, vectores ket y operadores lineales se obtiene tomando el complejo confugado o el imaginarlo conjugado de cada factor e invirtiendo el orden de todo8 lo8 factore8. Se puede comprobar fcilmente que esta regla es general, y que es vlida tambin en los casos que no hemos considerado explcitamente. TEOREMA. Si 1; es un operador lineal real, y 1;"'IP> = O pora un cierto ket IP>, siendo m un entero poritivo, entDnC68 1;IP> =0. (8) Para demostrar el teorema tomemos en primer llgar el caso de m =2. de la ecuacin (8) resulta (Pl1;2IP) =O, lo que nos dice que el ket' !;IP) multiplicado por su bra imaginario conjugado en lugar de lA>, resulta que l;IP> tiene que ser nulo. Queda as probado el teorema para m =2. J .""1 39. . ' 9. AUTOVALOaEs y AUTOVP.Cl'OMS Ahora consideremos el caso m > 2 Y llamemos l;m-2 IP> =IQ? Con esta notacin, la ecuacin (8) da l;2IQ> = O. Aplicando el teorema para m =2, obtenemos o su equivalente l;IQ> =0 l;",-lIP> =O. (9) Reiterando el procedimiento mediante el que hemos obtenido la ecuacin (9) a partir de la (8), obtendremos sucesivamente l;IP> =O, quedando as demostrado el teorema en el caso general. 9. Autovalores y autovectores Es precis.o hacer un desarrollo ms amplio de la teora de operadores lineales y estudiar la ecuacin ezlP> = aIP>, (10) en la que son las iIicgnitas, que debemos intentar determinar de modo que satisfagan a la ecuacin (10), sin considerar la soluci.6n trivial IP) =O. La ecuacin (10) significa que al aplicar el operador CII al ket IP), ste queda multiplicado por un factor numrico y no cambia de direccin, o bien que queda multiplicado por el factor cero y deja de tener direcciD. Por supuesto, dicho operador ez aplicado a otros kets cambiar tanto sus longitudes como sus direcciones. Tengamos presente que en la ecuacin (10) lo nico que importa de IP) es su direccin. El multiplicar lE> por un nmero distinto de O, no afecta a la cuestin de si satisfce o no a (10). Junto a la ecuacin (10), consideraremos la ecuacin imaginaria con- .. jugada , 1P2), !F3), ... que pertenezcan a un mismo autovalor a, y que sean fudependientes. En tal caso es evidente que cualquier combi- naci6n lineal de dichos autokets tambin ~ un autoket que pertenece al mismo autovalor del operador lineal, es decir que-,.' clIPI) +c2!P2) +cslP3) +... es tambin soluci6n de (10), siendo Cl, C2, Ca, nmeros cualesquiera. En el caso particular de que el operador lineal a de las ecuaciones (10) y (11) sea un nmero k, evidentemente todo ket IP) y todo bra .a. Algunas veces se utiliza la palabra 'propio' (proper) en lugar de 'auto' (~:; pero esto no es del todo satisfactorio ya que las palabras 'propio' e 'impropio' se u .. a menudo con otros significados. Por ejemplo, en 15 Y 46 se utilizan las expresi~ nes 'funci6n impropia' y uenergia propia'.,'-- 41. : :'', ,. I ~J, 9. 'AtrrOVALOBES, y Al.lTOVECTOJ.U!' Ahora, con ayuda de (4), en la que substituimos y multiplicando la (15) por (1;) a cualquier ket o a cualquier bra da como resultado cero. Sea (17) la ecuacin algebraica ms sencUla que satisface 1;. ,vamos a demostrar que . (a) El nmero de autovalores de 1; es A. (/J) Existen tantos autokets de t; que todo ket puede expresarse linealmente en funcin de ellos. . La forma algebraica 4>(1;) puede ser descompuesta en n factores lineales as (18) siendo los c, ciertos nmeros que no tienen por qu ser todos distintos. Esta descomposicin puede llevarse a cabo tanto si ~ es una variable algebraica ordinaria como si es un operador, ya que en (18) no hay ningn elemento que no conmute con 1;. Sea Xr(1;) el cociente de dividir 4>(1;) por (1; - cr), esdecir 4>(1;) - (1; - crh~,.(1;) (r = 1, 2, 3, ..., n). Entonces, para todo ket IP> se tiene (E; - cr)x,.(1;)IP> = 4>(1;)IP) = O. (19) Pero x,.(1;)IP> no puede ser nulo para todo ket IP>, ya que entonces tambin .' 2 43. 9. AUTOVALOBD y AtrroVECl'OaES sera nulo Xr(l;), en cuyo caso l; satisfara una ecuacin algebraica de grado n - 1, 10 que est en contra de la hiptesis de que (17) es la ecuacin ms sencilla que satisface l;. Si elegimos IP> de forma que xr(l;)IP> no sea nulo, la ecuacin (19) nos muestra que xr(l;)IP> es un autoket de l; perteneciente al atovalor Cr El argumento es vlido para todo valor de r desde 1 hasta n y, por tanto, cada uno de los c, es un autovalor de l;. Adems, ningn otro nmero puede se)." autovalor de l;, ya que si l;' es un autovalor cualquiera, que pertenece al autoket Il;'>, se tendr l;1l;'> = l;'Il;'> de donde podemos deducir q,(l;)Il;'> = q,(l;')Il;'>, y puesto que el primer miembro se anula, debe ser q,(l;') =O. Para completar la demostracin de (01) hemos de ver que tod()s los c, que figuran en (18) son distintos. Supongamos que no 10 fueran, y que c, es- tuviera repetido m veces, siendo m> l. En tal caso q,(l;) sera de la forma q,(l;) == (l; - c,)mO(l;), donde O(l;) sera una funcin racional y entera de l;. De (17) deducimos (l; - c,)"'O(l;)IA> = O (20) que se verifica para todo ket lA>. Puesto que Ca es un autovalor de l;, tiene que ser real y, por tanto, l; - c, es un operador lineal real. Pero la ecuacin (20) es de la misma forma que la (8) con l; - c, en lugar de l; y O(l;)IA> en-lugar de IP>. En virtud del teorema relacionado con dicha ecuacin (8), podemos deducir (l; - c,)8(l;)IA> =O. y puesto que el ket lA> es arbitrario, resulta (l; - c,)8(l;) = 0, que est en contradiccin con la hiptesis de que (17) es la ecuacin ms sencilla .que verifica l;. As pues, los c, son todos distintos y queda demostrado (01). Sea Xr(c,.) el nmero que se obtiene al substituir l; por Cr en la expresin algebraica de Xr(l;). Puesto que todos los Ce son distintos, Xr(cr) no puede ser nulo. Consideremos la expresin (21) Si en ella substituimos l; por c" todos los trminos de la suma se anulan con excepcin del trmino para el que r = s, pues para r cI= s, xr(l;), contiene 44. ",:,", (,-,; '" : 46 VAlUABz..Fs DINMICAS Y OBSERVABU!S el factor (!; - c.), y el tnnino r =s vale 1 y se cancela el -1. Por tanto, la ~resin (21) se anula cuando ponemos en lugar de 1; cualquiera de los n nmeros el, e2, ..., e,., y al ser de grado n - 1 en !;, debe ser idntica- mente .nula. As pues, si aplicamos el operador lineal (21) a un ket arbitrario IP> e igualamos el resultado a cero, obtenemos 1 IP> = ~ -(-) xr(!;)IP>.f' X.. C.. (22) Segn (19), cada tnnino de esta suma que no sea nulo es un autoket de 1;. La ecuacin (22) expresa un ket arbitrario IP> en funcin) de autokets de 1;, quedando as demostrado (fi). Como ejemplo sencillo podemos considerar un operador lineal real a que satisfaga a la ecuacin _ . a2 = 1. - (23) En este caso a tiene los dos autovalores 1 y -l. Todo ket IP> puede expresarse as IP> = !(1 + a)IP> +!(1- a)IP>. Es fcil ver que los dos trminos del segundo miembro, si no se anulan, son autokets de a, que pertenecen respectivamente a los autov~lores 1 y -1. 10. Observables Hemos hecho un conjunto de hiptesis acerca de cmo se representan los estados y las variables dinmicas en la teora matemtica. Dichas hiptesis por s solas no constituyen leyes de la naturaleza, pero en cuanto hagamos nuevas hiptesis acerca del significado fsico de la teora, aparecern como tales. Las nuevas. hiptesis tienen que establecer relaciones entre los resultados de observacin por un lado, y las ecuaciones del fonnalismo matemtico por el otro. Toda observacin consiste en medir uIDl-variable dinmica. Desde el punto de vist~ evidente que el resultado de dicha medicin debe ser siempre un nmero real, y as supondremos que cualquier variable dinmica que podamos medir debe ser una variable dinmica real. Puede pensarse que sera posible medir una variable dinmica compleja midiendo su parte real y su parte imaginaria por separado, pero esto llevara consigo dos medidas o dos observaciones. Si bien en mecnica clsica es posible, en mecnica cuntica no lo es, pues en general las medidas interfieren ~ntre s - no se puede admitir que dos observaciones se realicen exactamente a la vez, y si se hacen una detrs de otra en rpida sucesin, generalmente la primera altera el estado del sistema e introduce una indeterminacin que afecta a la segunda. Por lo tanto, debemos exigir que las 45. ',' , ,.?V'" "":, J'.' ;:':, ~ It) ~, 11'') sr '/: ,i~:~~ ~ 10. OBSERVAm:.Es 47 '~>~~1riables dinmicas que se pueden medir sean reales, y la condici6n para ello en mecnica cuntica es la de 8. Sin em"bargo, no toda variable dinmica real puede ser medida. Como veremos ms adelante, es necesaria otra restricci6n. _ -ragimos ahora algunas hip6tesis acerca de la interpretacin fsica de la teora. Si el sistema dinmico est en un autoestado de una variable dinmica r~al.s..perteneciente al autooalor ~ entonces estamos totalmen.te semQ!i,.fte-que el resultado de medir 1; es e1 nmero 1;'. Recprocamente, ~L L"~ si el sistema est en un estado tal que al medir una variable dinmica real !; '.--. , ,estamos completamente seguros de obtener un 'resultado particular detr- minado (y no distintos posibles resultados segn una ley probabilstica, como ocurre en general), entonces el estado es un autoestado de 1;, Y el resultado de la medida es el autovalor de 1; a que pertenece dicho auto- 1 estado. Dado que los autovalores de los operadores lineales re i ~~ (1) siempre nmeros reale s hi sis so' ' . 1 - a emos gunas consecuencias inmediatas de estas hiptesis. Si tenemos dos o ms autoestados de una variable dinmica real 1; pertenecientes ~ a un mismo autovalor 1;', todo estado formado por supei!loScin de e1los tambin ser un autoestado de ~J'erteneciente al autov or 1;'. De aqu se deduce que si el sistema est-en un estado formado por superposicin de otros varios para los que estamos completamente seguros de que al'medir 1; en cada uno de ellos obtenemos un mismo resultado 1;', entonces al medir Il; en l obtenemos tambin con toda seguridad el resultado 1;'. Esto nos da cierta luz acerca del significado fsico del principio de superposicin de los estados. Otra consecuencia es que dos autoestados de 1; pertenecientes a distintos autovalores son ortogonales. De aqu se deduce que si tenemos dos estados de uh sistema y estamos completamente seguros de que al medir 1; en cada uno de ellos obtenemos un nico resultado, distinto para uno y otro, entonces los dos estados son ortogonales. Esto nos da, a su vez, alguna luz acerca del significado fsico de la ortogonalidad de los estados. Cuando medimos una variable dinmica real 1;, la alteracin que lleva consigo el acto de la medida produce un cambio del estado del sistema dinmico. Si llevamos a cabo una segunda medici6n de la misma variable dinmica 1; inmediatamente despus de la primera, por con!iQnida.d. ~ el resultado debe ser el mismo de antes. Por tanto, despus de haber reali. zado la primera medicin no hay ninguna indeterminacin en el resultdo f~ rJ ~ de la segunda:, o sea que despus de realizar la primera medici6n, el sistema 1, ( est en un autoestado de la variable dinmica 1;, siendo el autovalor al que U.> ~pertenece dicho estado el, resultado de la primera medida. Esta conclusin .J ~ c. tiene que continuar siendo vlida aunque no llevemos a cabo la segunda S~ '0) :~ I I medida. As vemos que t~da m~a ~ al sistema a saltar a un auto- J~ ~ de la variable dinmTca medida, que adems pe~enece a un au~va- . ~.. lor 19ual al resultado de la medida. fIAAi""" (>... Pode~os concluir gue, cualqul~ra que sea el estado en que se encuentre ~ (ji fI~() ~ ") r 1"(') . t~ ~ .-(1 ) ( . I)J)~ )~> ~ "$ ~"--. 46. ,~ ,.: I ' ", v:;'; , ' } : > VlUABLES DINMIcAs Y OBSERVABlJr3 el sistema. todo resultado de medir una variable dinmica real ea uno de 8U8 autovalores. Y recprocamente. todo autooalor es un posible resultado de medida de la variable dinmica para algn estado del sistema; ya que con toda probabilidad ser el resultado de la medida cuando el estado del sistema sea un autoestado perteneciente a dicho autovalor. Todo esto nos muestra el significado fsico de los autovalores. E~ conjunto de autovalores de una variable dinmica real oopStjblye .precisaiete-~ctrcU1i:IOs ~ reSltados de me~da de di~~iable di~~J,.Y por esta razn ~o(le ~ .~__CQ!l!tituye un p!~blema imp0!!!lnt~~__ _ 'ASImismo acemos la hip6tesis siguiente soore-laifrpretaci6n- fsica- de la teora: cuando ~ una cierta variable di.!!mica real 1; con el BS- ) tema en un estado determinq!lo, los estados a los que puae saltaf' el ( sistema a causarde 10. medi,da son tales fJ!!e el esta4qgri.ginal es ~ient~ de ellos e o--coroPOr otro lado' los estados a 195 que puede s tar el sistema son todos autoestados de 1;, resulta que el estado original es dependiente de autoestados de 1;. Teniendo en cuenta que el estado original puede ser ~uiera, podemos concluir que todo estado es dependiente de autoesta~~m~ un conjumo...cQmplet de estados como aquel para el que todo estado es dependiente de los estados del conjunto, nuestra conclusi6n tambin se puede formular as: lQS autoestados deJ ~tituyen un cO:lljUDto completo. Z -: i ' , No toda variable dinmica real tiene "Suficientes autoestado5 para que constituyan un conjunto completo. Pero aquellas cuyos autoestados no forman un conjunto completo ~ representan cantidades que se pued{ln medir. As obtenemos una nueva condicin que debe verificar toda variable diaiica, adems de la de ser real, para que se pueda medir. Toda variable dinmica real cuyos autoestad~constituyan un conjunto eom~o. la denominaremos con el noml>regnrico de_obse~le. p~~o. toda~- tidad que se pueda medir es un observa~Ie. ~ La cuestin que se plantea1ora. es si todo observable puede ser medido. La respuesta terica es que s. En la prctica puede resultar muy difcil o incluso puede estar fuera del alcance del ingenio del experimentador. el imaginar un aparato capaz de medir un observable particular, pero segn la teora siempre existe. . Examinemos matemticamente la condici6n para que una variable dinmica real 1; sea un observable. Sus autovalores pueden constituir un conjunto discreto (finito o infinito) de nmeros o bien un conjunto formado por todos los nmeros de un cierto dominio de medida no nula. como todos .los nmeros comprendidos entre a y b. En el primer caso, la condici6n de que todo estado sea dependiente de los autoest~dos de 1; es que todo leet pueda expresarse como combinaci6n lineal de autokets de 1;. En el segundo caso la condicin debe modificarse, ya que en lugar de la suma puede aparecer una integral; en este caso, todo ket IP> ha de poderse expresar como una integral de autokets de ~. 47. , " "'," ""',' '; ,f,C";S"'li,~"''f,p''- ~ 'j-),"';,pI"!" ,.-," ';',' -;''',':'r''f';' ','1dl;' +I Il;rd), (25) r Los Il;'c) que figuran en la integral y los Il;rd> de la suma son autokets de 1;, Y les hemos aadido las letras e y d respectivamente para indicar que no tienen por qu ser iguales aunque los autovalores t;' y t;r coincidan. La integral se extiende a todo el dominio de valores, y la suma a un subconjurito discreto cualquiera. Si esta condicin se satisface en el caso de que los autovalores de 1; constituyan un ,dominio de medida no nula, entonces 1; es un observable. Puede darse un caso ms general an, cuando los autovalores de l; son, adems de todos los nmeros de un cierto dominio de medida no nula, un conjunto discreto de nmeros situado fuera de dicho dominio'JEn este caso, la condicin de que r; sea un observable sigue siendo que todo ket pueda expresarse en la forma que indica el segundo miembro de (25); pero advir- tiendo que ahora la suma. respecto de r se extiende adems de a un subcon- junto discreto cualquiera de los valores del dominio como, antes, a los nmeros del conjunto discreto situado fuera de dicho dominio. A menudo resulta muy difcil establecer desde el punto de v.ista matemtico si una variable dinmica real concreta satisface o no la condiQin para ser un observable, ya que, en general, el problema de hallar los autovalores y los autovectores es muy difcU de resolver. Sin embargo, pueden existir poderosas razones e~mmentales que nos permitan admitir que dicha variable dinmica puede ser medida, yen tal caso supondremos lgicamente que es un observable pese a C8!ecer ~e una clemostrac@? patAIPtica, EstQ lo haremOS con .frecuencia durante el desarrollo de la teora, y as supondrem9$ por ejemplo, que la energa de cualquier sistema dinmico '" siempre un observable, si bien con los mtodos actuales del anlisis matemtico 1610 se ha podido demostrar en casos muy sencillos. En el caso particular de que la variable dinmica sea un nmero, todo estado es autoestado de l, y evidentemente dicha variable dinmica es un . observable. Al medirlo obtendremos siempre el misttlo resultado, o sea que se trata de una constante fsica, como por ejemplo la carga del electrD. , O JA~Q" j ~/- ti ~- 4. - CVAxT1CA . f'ft~J' 48. ~:;~~~:";' i =O para todo IP> que sea autoket de 1; y, por 10 tanto, tambin para cual- , .l. quier IP>, pues como 1; es un observable todo ket puede expresarse como suma de autokets de 1;, luego (26) Como ejemplo tomemos el operador lineal IA> un ket normalizado. Segn (7), dicho operador es real y su cuadrado vale {lA> =1. Es decir, que su cuadrado es igual a s mismo y, por lo tanto, satisface una ecuacin algebraica y, en consecuencia, es un observable. Sus autovalores son 1 y O; lA> es el autoket que pertenece al autovalor 1 y todos los kets ortogonales a lA> son autokets que pertenecen al autovalor O. La medicin de dicho observable dar con toda certeza 1 cuando el sistema dinmico est en el estado correspondiente a lA>, y O cuando est en un estado cualquiera ortogonal a ste. As pues, el observable representa la cantidad que determina si el sistema est en el estado lA> o no. Antes de concluir esta seccin vamos a examinar las condiciones que se necesitan para que una integral como la de (24) tenga sentido. Sean IX> e IY> dos kets que puedan expresarse como integrales de autokets del observable 1;, IX> = f11;'x>dl;', IY> =fII;"y>~", donde x e ysirven para distinguir ambos integrandos. En este caso, tomando la ecuacin imaginaria conjugada de la primera y mUltiplicndola por la segunda tenemos =ffdl;'d1;". (28) Consideremos la integral f = IX> en (28), resulta que en general es infinito. Para Il;'x> =F O tomaremos J dl;" > O, (30) como el axioma correspondiente a (8) de 6 para los vectores de longitud infinita. El espacio de los bras o el de los kets, cuando exigimos que los vectores tengan longitud finita y que los productos escalares sean finitos, constituye lo que los matemticos denominan un espacio de 1hz .Los bras y los kets que empleamos aqu dan lugar a un e m s general de lo que corresponde a un espacio de Hilbert. Veamos. ahora que, si exigimos que no haya ms que un trmino en la suma relativo a un mismo autovalor, la descomposicin de un ket IP> en la torma sealada en (25) es nica. Para demostrarlo supongamos que, por el contrario, existieran dos posibles descomposiciones distintas de IP>. Restan- do una de la otra, obtendramos una ecuacin de la forma 0= JIl;'a> d!;' +~ Il;'b>, (31) , en la que a y b son nuevos smbolos para distinguir los autovectores resul- tantes, y donde el subndice s incluye todos los trminos que hayan quedado despus de restar. Si en la suma de (31) hubiese un trmino relativo a un autovalor l;f que no forme parte del dominio continuo, multiplicando dicha ecuacin por (l;fbl a la izquierda y aplicando el teorema de ortogonalidad, resultara 0= (l;fbll;fb), lo que est en contra de la hiptesis (8) de 6. Asimismo, si el integrando de (31) fuera distinto de cero para algn autovalor !;" q~e no figurase en la 50. ""," VARIABLES DINMICAS Y OBSERVABLES suma para ningn valor de 8, multiplicando (31) por en la forma indicada por el segundo miembro de (25) es nica. 11. Funciones de observables Sea E; un observable. Podemos multiplicarlo por cualquier nmero real k y obtener otro nuevo observable kl;. Para que nuestra teora sea coherente es necesario que cuando el sistema se halle en un estado en el que con toda certeza obtenemos el resultado 1;' al medir el observable E;, el resultado de medir el observable kl; sea con toda certeza kl;'. Es fcil comprobar que se satisface dicha condicin. El ket que corresponde a un estado en el que con toda certeza al medir 1; obtenemos el resultado 1;' es un autoket de 1; al que llamaremos 11;'>, que verifica 1;11;'> =1;'11;'> De esta ecuacin resulta tam~~)~~" ~E;'> = kl;'IE;'>, que nos indica que 11;'> es un autoket de kE; perteneciente al autovalor kE;', y que, por lo tanto, al medir kl; obtendremos con toda seguridad el resultado kl;'. Ms en general, podemos tomar cualquier funcin real de E;, por ejemplo f(I;), y considerarla como un nuevo observable que queda ~edido automticamente cuando se mide 1;, pues una medida experimental de ~ tambin " 51. ,'o " .' nos permite disponer del valor de f(~). No es necesario que f(~) sea real. y cuando no lo es tanto su parte real como su parte imaginaria son observables que qu.dan determinados automticamente {!llando medimos ~. Para que la teora sea coherente, es necesario que'al medir la parte real y la parte imaginaria de f(;) en un estado en el que una medida de 1; d con certeza el resultado ~', obtengamos con toda seguridad las partes real e imaginaria de f(~'). Si f(~) es desarrollable en serie de potencias. f(~) = Co +Cl~ +c21;2 +cal;8 + .... siendo los e, ciertos nmeros, la condicin dada se puede comprobar con los mtodos del lgebra elemental. Para funciones f ms generales no ser posible comprobarla. En este caso puede utilizarse dicha condicin para definir f(~), que an no habamos definido desde el punto de vista matemtico. De este modo podemos dar una detinicin..de funci6n de.Jln observable ms general que la que se obtiene mediante series de potencias. ~iremos f(;,) ~omo el operador lineal que verifi d~'+~f(1;r)ll;rd). (35) r El complejo conjugado f(l;) de f(~) queda definido por la ecuacin imaginaria conjugada de la (34), o sea es cero. En la prctica ~s imposible obtener un sistema estrictamente en un autoestado de 1; perteneciente a un autovalor 1;' que forme parte de un intervalo de autovalores, ya que para ello seria necesaria una precisin absoluta. Lo mximo que se puede conseguir en la prctica es que 1; tenga un valor perteneciente a un pequeo intervalo alrededor del valor 1;'. El sis- .tema estar entonces en un estado parecido a un autoestado de 1;. As pues un autoestado perteneciente a un autovalor que forme parte de un intervalo de autovalores es una idealizacin matemtica, y no se puede realizar en la prctica. A pesaraeeIIOdichos autoestaaos tienen un papel muy importante en la teora, y sin ellos no podramos hacer gran cosa. La ciencia contiene muchos ejemplos de conceptos_t~ricos que son ~itl:~!I_de_~~~ que se d~l:U~!L!a ~r~~a, y que son de gran utilidad paraTa formUlacin precisa de-!,a&leye&_Wt la.nltyt.a.teia, peSe~a- que no-s"epuedn--nevara-cabo expe- riInentalmente; y ste no-es-ms que uno de ellos. Es posible que el que la longitud de los kets correspondientes a estos estados sea infinita est relacionado con su irrealizabilidad prctica, y que todos los estados realizables corresponden a kets que puedan ser normalizados y que, en consecuencia, forman parte de un espacio de Hilbert. , . , . 58. , e ' , " ~, , " " VAllIABLES DiNMICAS Y OBSERVABLES 18. Conmutabilidad y compatibilidad Un estado puede ser autoestado de dos observables a la vez. Suponga- mos que para los observables 1; y '11 exista un estado como ste correspondiente al ket lA>. Entonces podremos escribir las ecuaciones 1;IA> =1;'IA>, yIA> = y'IA>, donde t;' y '11' son los autovalores respectivos de t; y y. De aqu se deduce o sea l;yIA> = t;y'IA> = t;'~'IA> = t;'yIA> = 'Ilt;'A> = yt;IA>, (t;y - yt;)IA> = O. Este resultado sugiere que la posibilidad de que existan autoestados comunes se ver favorecida cuando t;'I'-;t; = O,. es decir, cuando los dos obser- - vables conmuten. Si no conmutan, no es que no exista dicha posibilidad, pero es m4s bien excepcional. En cambio, si conmf:llim vamos a ver que ~ 81I/kknles ~ que son a la vez autok~ de uno ~ Qt~ parUormar !!...n c~com,,-eto. Sean e; y y dos observables que conmutan. Tomemos un autoket Iy') ,de y, que pertenezca al autovalor y' y expresmoslo en funcin de autokets de t; en la forma que indica el segundo miembro de (25) Iy'> = f It;'y'c>dt;' + It;r'l)'d>. (47) r Los autokets de t; que figuran en el segundo miembro tienen el smbolo .) extra t( para indicar que provienen del desarrollo del ket Iy') y no de un ket cualquiera como ocurra en la ecuacin (25). Veamos que cada uno de estos autokets de t; es tambin autoket de y perteneciente al autovalor 'tI'. Se tiene 0= ('I'-y')I'Il'> = f('Il-Yl') Il;'y'c> dt;' + ('I'-'!]')It;r'll'd). (48) r Pero el ket ('I'-y,)Il;rTj'd) vermca l;('I'-Yj')Il;r'll'd) =('I'-Y') t;1t;ry'd> = (y - y')t;r/l;r'l)'d> . = t;r(Y-'Il')/1;ry'd), ,lo que demuestra que es un autoket de l; 'que pertenece al autovalor t;r; anlogamente, el ket (Yj-'I]')/l;'y'c> tambin es autoket de t; y pertenece al autovalor 1;'. La ecuacin (48) est constituida por una integral ms ,1 . una suma de autokets de l; igualada a cero. En virtud del argumento utili- '" 59. ' 13. CONMUTABILIDAD y COMP.tTIBIlJDD 61 zado para la-ecuaci6n (31), ello es imposible a menos que el integrando y cada uno de los trminos de la suma sean nulos. Luego lo que nos dice que todos los kets que aparecen en el segundo miembro de (47) son autokets tanto de ~ como de '1). La ecuacin (47) expresa 1'1'1') en funcin de autokets comunes a 1; y '1); y puesto que todo ket puede expresarse en funcin de autokets 1'1)'> de '1), resulta que todo ket puede expresarse en funcin de autokets comunes a 1; ya '1) y, en Cfnsecuencia, dichos kets constituyen un conjunto completo. Los anteriores autokets 11;''I)'c> y l1;r'l)'d> comunes a l; y a '(l los hemos . caracterizado por los autovalores 1;' y '1(, o bien 1;r y '1)' a los que pertenecen, junto con las letras c o d que tambin son necesarias. Igual como hacamos hasta ahora con los autovectores de un nico observable" de aqu en adelante siempre emplearemos los autovalores para designar a los autovectores comunes a varios observables como regla general. El recproco del teorema precedente dice que si 1; Y '1) son dos observables tales que los autoestados comunes a ambos constituyen un conjunto completo, entonces 1; y '1) conmutan. Para demostrarlo tengamos en cuenta que si 11;''1)'> es un autoket comn a ambos perteneciente a los autovalores !;' y '1)', se tiene (49) Pero como los autoestados comunes a' ambos constituyen un conjunto completo, todo ket JP> puede ser expresado en funcin de autokets 11;''1)'> comunes a ,1; Ya ''1), para cada uno de los cuales se verifica (49), luego (1;'Il-'I)1;)IP> =O de modo que La cualidad de los estados de ser autoestados comunes puede ser vlida para ms de dos observables, en cuyo caso tanto el primer teorema como su recproco siguen siendo vlidos, es decir, JLpualq.uier CD.lunto de observables conmll1ll! dos a dos, l~utoestados comunes a todos~os lcon:tu~ un conjunto comE!~ y recprocamente. LOs argumentos emp ea os para ae;ostrar los teoremas en el caso de dos observables pueden aplicarse a su vez para demostrar el caso general; por ejemplo, si tenemos tres observables que conmutan ,1;, '1) y ~, podemos expresar cualquier autoket comn a 1; y '1) en funcin de autokets de ~ y ver que cada uno de esos autokets de 1; es a su vez autoket de 1; y de "l. Con ello todo autoket comn a !; y a '1) queda expresado en funcin de autokets comunes a l;, '1 Y1;, Ypuesto que todo ket puede expresarse en funcin de autokets comunes al; y '1, resulta que todo ket se puede expresar en funcin de autokets comunes a 1;, '1'1 Y ~. " 60. i~h>~':'" }.el' " , ' ':) . " 62 VABIABLES DINMICAS Y OBSERVABi.ES El teorema de ortogonalidad aplicado a este caso nos dice que cualquier par de autokets comunes a un conjunto de observables que conmutan, y que pertenezcan respectivamente a dos conjuntos de autovalores que difieran en algn elemento, son ortogonales. Considerando el conjunto completo de los autoestados comunes a dos o ms observables que .conmutan, podemos elaborar una teora de las funciones de ellos igual que hicimos en 11 para las funciones de un nico observable. Si l;, or, ~, , son observables que conmutan, definimos una funcin general de ellos f como el operador f(l;, or, ~, ) que verifica (SO) para todo autoket Il;'or'~') comn a l;, or, ~, , y cuyos autovalores son l;', or', ~', En esta definicin f es cualquier funcin con tal de que f(a, h, e, ...) est definida para todos los valores de a, h, e, .., que sean autovalores de l;, or, ~, ..., respectivamente. Del mismo modo que hicimos con las funciones de un nico observable, definidas por (34), podemos demostrar que _ f(l;, or, ~, ,) est unvocamente determinado por (50) y que f(l;, or, ~, = 1(;, or, ~, ), en correspondencia con (37). Asimismo, si f(a, h, e, ...) es una funcin real, f(l;, or, ~,...) es real y observable, Podemos generalizar ahora los resultados (45) y (46). Dado un conjunto de observables l;, or, ~ ..., que conmutan, podemos definir una funcin de ellos que sea igual a 1 para l; =a, or =h, ~ =e, "', con a, h, e, ..., nmeros reales cualesquiera, e igual a cero cuando no se verifique dicha condicin. Esta funcin puede representarse por Sta, al1l1, are, oO', ya que en realidad es igual al producto en cualquier orden de los factores ata, al1 l>' S,o, ..., definidos cada uno de ellos como funciones de un solo observable, como puede comprobarse sustituyendo dicho producto en lugar de f(l;, or, ~, ...) en el primer miembro de (SOj. El valor esperado de dicha funcin en cualquier estado ser igual a la probabilidad Palie... de que l;, or, ~, ..., tengan respectivamente los valores a, h, e, ..., cuando el sistema est en dicho estado. Por tanto, si dicho estado corresponde al ket normalizado Ix), a partir de nuestra hiptes~ general sobre la interpretacin fsica, resulta (51) 1'.bO... ser nula a menos que cada uno de los nmeros a, h, e, ..., sea autovalor del correspondiente observable. Si cada uno de los nmeros a, h, e, ..., es un autovalor del correspondiente observable perteneciente a un dominio de autovalores de medida no nula, por regla general tambin ser nula la probabilidad Pabo, , pero en este caso podemos sustituir la exigencia de que el observable tenga exactamente un valor por la condicin de que tenga un valor comprendido en un pequeo intervalo, 10 que se consigue sustitu- 61. 13. OONMUTABILIDAD Y COMPATIBILIDAD 63 yendo los factores ~ de (51) por un factor correspondiente a X(~) de la ecuacin (46). Llevando a cabo esta sustitucin para cada uno de los observables ~, '1), ~ , cuyos valores numricos correspondientes a, b, e, ... formaban parte de un dominio de autovalores de medida no nula, obtendremos una probabilidad que en general ya no es nula. Si varios observables conmutan, existen estados para los que todos los observables tienen valores particulares en el ~ntido indicado (al principio de la pg. 58), que son los autoeatados comunes. Por tanto, tiene sentido hablar de que varios observables que conmutan tienen un valor simultneamente. An ms, vemos por (51) que para cualquier estado tiene sentido hablar de la probabilidad de obtener resultados particulares al medir simultneamente distintos observables que conmutan. Esta nueva consecuencia es importante. En general no es posible llevar a cabo una observacin de un sistema que est en un estado definido sin alterar dicho estado y trastornarlo a fines de llevar a cabo una segunda observacin. En el caso general, no tiene sentido hablar de que realizamos las dos mediciones simultneamente. Sin embargo, la consecuencia anterior nos dice que, en el caso particular de que los dos observables conmuten, puede considerarse que las dos observaciones no interfieren entre s, o que son compatibles en el sentido de que podemos considerar que las dos medidas se realizan simultneamente, y hablar de la probabilidad de obtener resultados particulares cualesquira en ellas. De hecho las dos observaciones pueden considerarse como una sola observacin ms complicada cuyo resultado viene dado por dos nmeros en lugar de por uno. Desde el punto de vista de la teora general, cualquier par o ms de observables que conmutan puede ser considerado como un nico observable cuyo resultado de medida ~iene dado por dos o ms nmeros. Los estados para los cuales dicha medicin da con certeza un resultado particular son los autoestados comunes. 62. ~~~'~:' :.... ;'! fl,,",,, ,'. III REPRESENTACIONES 14. Vectores bsicos , : ~ _:; '-.f i - , En los captulos anteriores hemos establecido un esquema algebraico con tres tipos de cantidades -los vectores bra, los vectores ket y los operadores lineales - y mediante dicho esquema hemos expresado algunas leyes fundamentales de la naturaleza. Se podra seguir desarrollando la teora, y aplicarla a problemas particulares considerando nicamente dichas cantidades abstractas. Sin embargo, para ciertos fines es preferible sustituir dichas cantidades pOJ conjuntos de nmeros con propiedades matemticas anlo- gas y hacer los desarrollos con ayuda de ellos. El procedimiento es similar al de elegir coordenadas en geometra, y tiene la ventaja de ser un mtodo matemtico ms potente para resolver problemas particulares. El procedimiento de sustituir las cantidades abstractas por nmeros no es nico. Igual que existen muchos sistemas de coordenadas en geometra, tambin hay muchas maneras de sustituir nuestras cantidades abstractas por nmeros. A cada uno de estos procedimientos se le denomina repre8ema- cin y al conjunto de nmeros que sustituyen a una cantidad abstracta le aenominaremos el rep!!!!LntQt}:Je de dicha cantidad en la representacin. As pues el representante de una cantidad abstracta corresponde a las coordenadas de un objeto geomtrico. Cuando estudiamos un problema particular en mecnica cuntica, podemos ahorramos trabajo empleando una representacin en la que los representantes de las cantidades abstractas ms importantes que intervienen en el problema sean lo ms sencillas posible. Para fijar una representacin en el caso general, consideremos un conjunto completo de bras, o sea, un conjunto de bras tal que todo bra se pueda expresar linealmente en fu~ de los br~del conjunt.o (bien como una suma de bras, bien como una integral, o como una integral ms una suma). A estos bras les denominaremos bras bsicE.s~e la repres6!1~~ y como veremos, sern suficientes para determinar completamente la representacin. Sea un ket la> cualquiera y formemos los productos escalares con ~ 63. ~ dejos bras_~Los nmeros as obtenidos constituyen el represen- tate deliiJ,Y veamos que son suficientes para determinar completamente el ket la). En efecto, si existiera otro ket lal) para el que dichos nmeros fueran iguales, el producto escalar de la diferencia la)-Ial) con cualquier bra bsico sera nulo y, por tanto, tambin sera nulo el producto escalar con cualquier bra. Luego, la)-Ial) sera nulo tambin. Supongamos que los bras bsicos estn s~ por uno o ms parmetros ).1, ).2, ., A.., caoa uno de los cuales puede tomar ciertos valores numricos. Dicho bra bsico lo escribiremos entonces (A1A2..:A..I y el representante de la) lo escribiremos ().1).2...A..la). As pues, el representante est constituido por un conjunto de nmeros en correspondencia con cada conjunto de valores de Al, A2, ..., A.., que forme parte de los respectivos campos de variabilidad. Un conjunto de nmeros tal, constituye una . funcin de las variables Al, ).2, ..., A... Por tanto, eLrep~~te de nD. ~pu~ considerarse bien ~omo un conjunto de nmeros o bien como ; ~D de las varj~s quese empleanpaia especificar los bras bsicoS: Si el nmero de estados independientes de nuestro sistema dinmico es finito e igual a n, ser suficiente considerar n bras bsicos que podremos designar con ayuda de un solo parmetro). que tome los valores 1, 2, 3, ..., n. En este caso, el representante de un ket la) cualquiera est constituido por los n nmeros (lla), ,(2Ia), (3Ia), ..., (nla), que son precisamente las coor- de~as dd vect;or. la) referidas a un sistema de coordenadas orJinarias. Por tanto, el ~!P _~_!~p.r~El!!tante de un ket es una generalizacin del ~cepto ~das de un vector ordinario, y cuando el nmero ere 4imensiones del espacio de los kets es muto, ambos coinciden. En una representacin general no es necesario que todos los bras bsicos sean independientes. Pero en la mayora de las representaciones que se utilizan en la prctica son independientes y adems verifican la condicin JQ severa de ser ortogonales dos a dos. En este caso se dice que la representacin es una representacin ortogonal. Sea una representacin ortogonal cuyos bras bsicos (A1A2...A..Iestn sim- bolizados por los parmetros Al, A2, ..., A.., que slo pued'en tomar valores reales. Dado un ket la), podemos tomar su representante (A1A2 ..)...la), y considerar los nmeros Al().lA2...A..la), formados a partir de los anteriores, como el representante de un nuevo ket lb). La posibilidad de esta eleccin se deriva de que los nmeros que forman el representante de un ket son independientes, dado que los bras bsicos tambin lo son. Con ello el ket lb) queda definido por la ecuacin (A1A2 ...A..lb) = Al(Al).2...)...la). Dicho ket lb) evidentemente es funcin lineal del ket la) y, por lo tanto, puede ser considerado como el resultado de aplicar un operador lineal a fa). Si llamamos L1 11: dicho operador, resulta lb) =L1 Ia) 5. - C:V'lITlCA 64. BEPlESENTAClONES y en consecuencia = Al. Esta ecuacin es vlida para todo ket la>. luego ' resulta =A~ . Permutando los A', y los A'; obtendremos en el caso discreto, multiplicando (22) a la derecha por IP>, obtendremos (25) ,r que nos da IP) expresado en funci6n de los la') y nos muestra que los coeficientes de ese desarrollo = O, dl;' = :r ll;r> + f Il;'> dl;' (31) tr que es la generalizacin de (25) o (26), y = :r + f dl;' . Segn el teorema de ortogonalidad debe ser nulo a no ser que 1;; =1;: para cada 8 =V + 1, ..., u. Si generalizamos las consideraciones que hicimos sobre la expresin (29) de 10 para aplicarlas a .autovectores comunes a un conjunto de varios observables que conmutan y generalizando tambin el axioma (30), la integral (u - v)-sima de dicho producto escalar respecto a cadal;" a lo largo de un intervalo que contenga el valor 1;' es un nmero 8 finito positivo. Llamando c' a dicho nmero - el acento indica que c' es funcin de 1;' oo., 1;' 1;' oo., l;' -, nuestros resultados pueden expresarseP ~ tI+P .. mediante la ecuacin = c' a(1;:+l-;;+l)..a(l;:-1;:'). (33) en la que figura un factor aen el segundo miembro para cada valor de , desde v +1 a u. Podemos cambiar ahora las longitudes de nuestros vectores bsicos, mediante un procedimiento anlogo al que nos condujo a (20). de forma que resulte el igual a uno. Usando de nuevo el teorema de ortogonalidad, obtenemos por fin = a"~ t...at' ,.a(1;' -l;" )oo.a(1;' -1;")," 1 " 1 1 11 ti tI+l 11+1 . . " (34) en cuyo segundo miembro figura un smbolo a con dos subndices para 75. 16. PROPIEDADES DE LOS VECTORES BSIOO6 77 cada 1; deautovalores discretos, y una funci6n apara cada 1; de autovalores continuos. Esta ecuacin generaliza la (16) o (21) para el caso de un conjunto completo de varios observables que conmutan. De, (34) se puede deducir la generalizacin de (22) o (24) ~ J... JII;'...I;'> dt;' ...dl;' +1.. .. "l" "'1> en la que figura una integral (u - v)-sima extendida a todas las 1;' de autovalores continuos y un sumatorio' para todas las a' de autovalores discretos. Las ecuaciones (34) y (35) nos dan las propiedades fundamentales de los vectores bsicos para el caso que estamos estudiando. A partir de (35) podemos escribir inmediatamente la generalizacin de (25) o (26) y la de (27) o (28). El caso que acabamos de considerar se puede generalizar todava, per- mitiendo que algunos de los observables 1; tengan a la vez autovalores discretos y continuos. Las ,modificaciones que hay que introducir en las ecuaciones son inmediatas, pero no las introduciremos porque son bastante engorrosas de escribir en forma general. Hay problemas para los que en lugar de hacer que la c' de la ecuacin (33) valga la unidad, resulta ms conveniente hacerla igual a una cierta funcin de las 1;'. Si llamamos p'-1 a dicha funcin, en lugar de (34) tendremos = p'-la" ,,o.. at' "a(l;' -1;" )...a(l;' -1;"),1 .. 1 ti 1 1 V v 1>+1 11+1 ti ti (36) Y en lugar de (35) tendremos ' J... J11;'1" .1;:> p' dl;:+1 ...dl;:+1 ti Todas las representaciones que hemos considerado anteriormente tienen la funcin de peso unidad. La introduccin de unafunci6n de peso no miMad es--eDferaiIleteCUestin d~venienci.a, pues la representacin no resulta coneo ms potente aesde el punto de vista matemtico. Los bras bsicos ~ 1 " ~an su representante), al determinar el ket transformado para cada uno delos kets blsIcos 11;"...1;"> queda determinado a. Los nmeros (39) 1 u constituyen el representante de un operador lineal a o varible djnm;oa Gr. Este representante es m s comp ca o que el de un vector ket o bra, ya que encierra los parmetros que designan a dos vectores bsicos en lugar de uno. Examinemos la forma de estos nmeros en casos sencillos. Consideremos el caso en que un solo observable 1; constituye por s solo un conjunto completo, y supongamos que sus autovalores 1;' sean discretos. Entonces el representante de a est constituido por el conjunto discreto de nmeros = 1;' = 1'" = ~ , (44) t'" ~ que nos da el resultado que buscbamos. La ecuacin (44) expresa que la matriz formada por los elementos (l;'IIX.8II;"> es igual al producto de las matrices forml1-das respectivamente por los elementos (I;'IIXII;") y ..., 1;., tienen autovalores discretos y 1;t>+b ..., 1;. los tienen continuos, y siendo c' una funcin cualquiera de los 1;'. Esta definicin es una generalizacin de la dada para el caso de un solo 1;, y de ella se deduce que las matrices diagonales siempre conmutan entre s. Las dems definiciones son inmediatas y no vale la pena explicitarlas. De este modo, todo operador lineal est representado por una matriz. La suma de dos operadores lineales est representada por la matriz suma de las que representan ambos operadores, lo que junto con la regla (v) nos dice que las matrices e su'etas a las m' acionea B!!.e los opera ores. ualquier ecuaci n gebraica vlida entre operadores lineales tambin ser vlida entre las matrices que representan a dichos operadores. Podemos ampliar nuestro esquema de matrices para que abarque tambin a los representantes de los vectores bra y ket. Todas las matrices que . r esenta eradores lineales son matrices cuadradas con el mismo n- mero de filas que de co umnas, o mejor , una correspondencia biyectiva entre sus filas y sus columnas. Podemos considerar el representante de un ket IP> como una matriz de una sola columna, obtenida colocando uno.debajo de otro todos los nmeros . Anlogamente podemos considerar el representante de un ):, ~:--tJ---;.tc-~u' .'.~ .]1 81. 18. AMPLrronESDE PRO~AD 83 bia . Tal matriz de una fiJa puede multi1 ti nUcarse a la derecha por una matriz cuadrada cada uno de los 1; tenga el valor 1;' esr r P" l' = .1.. 1 1 2 2 ti (50) '. /81 todos los t; tienen autovalores discretos, podemos emplear (35) con v =fI I .Y sin integrales, con lo.que resulta I I P" t' = 1:1... 11 22 1 ti 1 .. = 12. l' i ') - t i '/~~ L ~>~-"- , 't" . "f .,c.J..." Si 1, ~.-_"., '-'" . ' _. - - -. -~ . ... ~ 1'1 't: ;fl ~.C~ 1'r, ' / Ip d!:I d!:I -1 12 d!:' 'd!:' i', i. s w,., As pues, en todos los casos la distribucin de pr~babilidad de los valores !4 ir..< ..l....de los Epara un ciertoestado viene dada por el cuadrado del mdulo del ~ J-I representante del ket normalizado c~espondiente a dicho estado. ~' Con ello queda justificado que a los nmeros que constituyen el repra. ~..t1 ' S*entante de un ket (o bra) normalizado se les denomine ampUt_ de So I ," .' no pueda' normalizarse. Por ejemplo, cuando el estado es un autoestadotff- de un observable que pertenece a un autovalor comprendido en un intervalo cOntinuo de autovalores. Las frmulas (51) y (52) siguen siendo vlidas en este caso, y darn la probabilidad relativa de que los 1; tengan valores determinados o tengan valores comprendidos en pequeos intervalos pre- fijados, es decir, nos darn correctamente la relaci6n entre las probabilidades para los distintos ~'. Los nmeros se denominan en este 1 " caso amplitudes de probabilidad relativa. La represetlfciO'-e-Ia qns;-vlidos los resultados anteriores se caracteriza por tener unos vectores bsicos que son au~valores col!!~es a. dos los 1;. Puede caracterizarse tambin por la enstencia de que cada t una matriz diagonal, yll4 que puede verse fcilmente que esta condicin equiva e a a an erlOr. Este segundo modo de caracterizarla es de ordinario el ms prctico, y lo formularemos breve-- mente diciendo que cada uno de los .a. de un ket IP> queda multiplicado por e"', el re- Presentante de un operador lineal ~ queda multi-1 ti 1 ti plicado por e(''''- Y"). Evidentemente, las probabilidades o probabilidades relativas (51) y (52) quedan inalteradas. Las probabilidades que se calculan en los problemas prcticos de mecnica cuntica se obtienen casi siempre apartir de los cuadrados de los mdulos de amplitudes de probabilidad o amplitudes de probabilidad relativa. Incluso en el caso de que slo interese la probabilidad de que un conjunto incompleto de observables que conmutan tengan valores determinados, de ordinario es necesario construir primero un conjunto completo introduciendo para ello nuevos observables que conmutan. A continuacin obtener la probabilidad de que el conjunto completo tenga determinados valores (elevando al cuadrado el mdulo de la amplitud de probabilidad), y despus sumar o integrar estas probabilidades para todos los valores posibles de los observables suplementarios. De ordinario no es viable una aplicacin ms directa de la frmula (51) de 13. . ....._-----------_._.., En la. prctica, para introducir una .representacin (i) buscamos observables que convendra que fUEnan diagonales, bien t~> ( ,'.' , porque nos interesa conocer sus probabilidades o bien por razones ----- est normalizado, y su representante en.la representaci6n ~, servables con la condicin de compatibilidad de las observaciones correspondientes. Cualquier observacin compatible con la medida de un observable 1; ha de ser tambin compatible con la medida de f(1;), ya que toda medida de 1; incluye en s misma la medida de f(1;). TEOREMA 2. Todo operador lineal que conmuta con cada uno de los observables de un conjunto completo es funci6n. de dichos observables. Sea IU el operador lineal en cuestin, y 1;1, 1;2,,," 1;" el conjunto completo de observables que conmutan. Introduzcamos una representacin en la que estos observables sean diagonales. Puesto que IU conmuta con cada uno de los 1;, su matriz representante es diagonal con respecto a cada uno de los t; segn el razonamiento anterior. Por tanto, dicha matriz es diagonal, y es de la forma (49) con un nmero c' funcin de las 1;'. Esta matriz es el representante de la funcin de los 1; que tenga la misma forma que la funcin c' de las 1;', de donde IU es igual a dicha funcin de los 1;. TEOREMA 3. Si un observable 1; y un operador lineal g son tales que todo operador lineal que conmuta con 1; conmuta tambin con g, entonces g es funci6n de 1;. . Este es el recproco del teorema l. Para demostrarlo emplearemos la misma representacin del teorema 1, en la que 1; es diagonal. Observemos previamente que g conmuta cn 1; y, por tanto, el representante de IU ha de ser diagonal respecto a 1;, es decir, ha de ser de la forma = a(1;',8',8")8",,, o bien a(l',8'.$")~(1;' -1;"), segn tenga 1; autovalores discretos o continuos. Sea c.> un operador lineal 87. , .!.. 20. NUEVAS FOlWAS H MOTAClN 89 cualquiera que conmuta con !; cuyo representante ser, en consecuencia, de la forma tendr como representante (t;'lf(t;)IP) =f(t;')fr(1;') Y, por tanto, segn (60), escribiremos f(t;)IP> =If(t;)I/t(t; Utilizando la segunda de las ecuaciones (60), esto equivale a f(t;)Ifr(t; =If(t;)fr(t; (61) Este resultado es general, y es vlido para cualesquiera f y l/r funciones de t;. De ah que en la nueva notacin, la lnea vertical Ino sea ya necesaria, y ambos miembros de (61) los podemos escribir simplemente f(t;)l/r(1; As la regla de la nueva notaci6n, ser la siguiente: si 111' , escribiremos (l;'IP) =I/t(t;') IP> = fiel; 1t ~ (62) '> - ~ J ~ es igual a uno para todo el dominio de las variables 1;', segn puede verse haciendo l/r =1 en (62). An podemos abreviar ms nuestra notaci6n suprimiendo el smbolo > y sobreentendiendo el ket standard. En este caso, el ket se designa simplemente t,/i'(t;), como una funci6n de los observables t;. Una funci6n de las l; usada de este modo para caracterizar un ket se ~mina ~unci6n de ont:l!!, El sistema de notaci6n que emplea funciones de onda es eque acostumbran Este nombre se debe a que en los primeros tiempos de la mecnica cuntica todos los ejemplos que aparecan de esas funciones eran de forma ondulatoria. Pero desde el punto de vista de la moderna teora general, dicho nombre no resulta ya descriptivo. 89. 20. Nt1EVAS FOBMAS.E NOTACIN 91 a utilizar la mayoria de los autores en los clculos de mecnica cuntica. Cuando lo usemos habremos de recordar que junto a cada funcin de onda se sobreentiende siempre un ket standard que la multiplica a su derecha, que nos prohbe multiplicarla por un operador a su derecha..1dza fun:.. cione8 de ORda s610 S6 pueden multiplicar por operadoi'68 a la i uierda. / Esto las distiIi as C1 ,que son opera ores y pueden multiplicarse por otros operadores tanto a la izquierda como a la derecha. Una mcin de ~ es precisamente el representante de un k~resado como funcin de los observablert en vez de lO!LautOYa1ores ~ de dichos obserya~. El cuadrado de su mdulo da la probabilidad (o la probabr- lidad relativa si no est normalizado) de que, para el estado correspon- ; " ~, diente, los E tengan valores dados o estn, comprendidos en pequeos ~tervalos dados. . 'Y' 1., : : - y)"J, t .,, J 'J_AI h" i.'' .. ) Para los bras se puede desarrollar la nueva notacin del mismo modo y4que para los kets. Un bra (1;1, lo es- 't.')' / cribiremos (I;)l Con esta notacin, el imaginario conjugado de liP(I; es (I;)If(I;) y (cf>(I;)f(l;) representan el mismo bra y que, en consecuencia, la lnea vertical puede omitirse. Podemos considerar (1;) como el producto del operador lineal cf>(I;) por el bra standard (1;), que es el complejo conjugado de una funcin de t,) un ket cualquiera del sistema B. Establezcamos un productQ la> lb> que disfrute de las propiedades ,-,~ .!J conmutativa y distributiva de la multiplicacin: ,,,~', 0; ," la>lb> =Ib>la>,{cllal>+C2Ia2>}Ib> =cllal>lb>+c2Ia2>lb>, la>{Cllb1>+C2Ib2>} =clla>lb1>+c2Ia>lb2>, siendo las C nmeros cualesquiera. Para cada variable A podemos definir su accin sobre el producto la>lb> estableciendo que acta s610 sobre el factor la> y conmuta con el factor lb>. Anlogamente podemos definir la accin de cada variable B sobre el producto estableciendo que opera slo ~obre el factor lb> y conmuta con ella>. (Lo que.hace que toda variable A 'conmute con toda variable B.) De este modo cada variable ,del sistema original puede operar sobre el producto la>lb>, de forma que este producto puede escribirse lab>, pues los dos ndices ay b son suficientes para espe- cificarlo. De este modo obtenemos las ecuaciones fundamentales la>lb> = Ib>la> = lab>. (65) Esta multiplicacin es de un tipo dif~rente a todas las que hemos utilizado hasta aqu en la teora. Los vectores ket la> y lb> estn en dos espacios vectoriales diferentes, y su producto est en un tercer espacio vectori

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Dirac principios de mecanica cuantica