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Prctica DirigidaE.F.P Ingeniera Qumica Anlisis Matemtico I MA14

1. Demuestre que los ngulos suplementarios formadospor las dos rectas

Ax + By + C= 0 y Ax + By+ C = 0

estn dados por las frmulas

tg = A

B AB

AA + BB .

2. Desde el punto (6;0) se trazan perpendiculares a loslados

5x y 4 = 0, y= 1 y x y 4 = 0de un tringulo. Demuestre que los pies de estas per-pendiculares son colineales.

3. Determine el valor del parmetro k de manera que larecta de la familia kx y+ 8 = 0 que le correspondapase por el punto(5;

7). Halle la ecuacin de la recta.

R. k = 3; 3x+y 8 = 0.

4. Determine el valor de la constanteb para que las tresrectas

8x + 3y 1 = 0, 3x + by 3 = 0, x 5y+ 16 = 0sean concurrentes.

5. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por elpunto A(7;5)y cuyo centro es el punto de intersec-cin de las rectas

7x

9y

10 = 0 y 2x

5y+ 2 = 0.

6. Una cuerda de la circunferenciax2+y2 = 25est sobrela recta cuya ecuacin es x 7y+ 25 = 0. Hllese lalongitud de la cuerda.

7. La ecuacin de una circunferencia es

(x 4)2 + (y 3)2 = 20.Halle la ecuacin de la tangente a este crculo en elpunto (6;7).


(x + 2)2

+ (y 3)2

= 5.

Halle la ecuacin de la tangente a la circunferencia quepasa por el punto (3;3).

9. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por elpunto A(7;9)y es tangente a la recta x y 4 = 0en el punto B (3;1).

10. Halle la ecuacin de la circunferencia cuyo centro estsobre la recta 6x+ 7y 16 = 0 y es tangente a caduna de las rectas

8x + 15y+ 7 = 0 y 3x 4y 18 = 0.

11. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por epunto (1; 4)y es tangente a la circunferencia

x2 + y2 + 6x + 2y+ 5 = 0

en el punto (2;1).

12. Halle la ecuacin de la circunferencia cuyo centro estsobre la recta7x2y1 = 0y que es tangente a caduna de las rectas

5x 12y+ 5 = 0 y 4x + 3y 3 = 0.

13. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por epunto A(8;5) y por las intersecciones de las circunferencias

x2+y28x6y+17 = 0 y x2+y218x4y+67 = 0

En cada uno de los ejercicios 1419 halle las ecua

ciones de la tangente y normal y las longitudes d

la tangente, normal, subtangente y subnormal, par

cada circunferencia y punto de contacto dados.

14. x2 + y2 = 58, (3;7)

15. x2 + y2 + 3x y 10 = 0, (1; 2)

16. x2 + y2 5x + 5 = 0, (3; 1)17. x2 + y2 7y 45 = 0, (1;4)18. x2 + y2 = 29, (5;2)

19. x2 + y2 = 5, (1; 2).

20. Una recta pasa por el punto P(13; 7)y es paralela la recta que pasa por los puntos Q(2; 1)y R(7;1)Halle su ecuacin en forma simtrica.

R. x

9/2+

y

9/5= 1.

21. Los puntos medios de los lados de un tringulo sonP(4, 5),Q(3, 2)y R(9,2). Halle la ecuacin en forma simtrica de la altura relativa al lado que contiena R.

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22. Dos de los vrtices y el baricentro de un tringulo sonlos puntos A(3, 3), B(2,5) y G(1, 4), respectiva-mente. Halle la ecuacin en forma general de la bisec-triz exterior del tercer vrtice.

23. El extremo de un dimetro de una circunferencia decentro P1(2;3) es P2(4; 8). Halle las coordenadasP(x, y)del otro extremo.

24. Halle las coordenadas del extremoC(x, y)del segmen-to que une este punto con A(3;7) sabiendo que elpuntoB(6;1)est situado a una distancia deAiguala las tres quintas partes de la longitud total del seg-mento.

25. En los puntosM1(x1, y1), M2(x2, y2)y M3(x3, y3)es-tn situadas las masasm1,m2 y m3, respectivamente.Halle el centro de gravedad de este sistema de masas.

26. Halle la ecuacin, centro y radio de la circunferenciaque pasa por los puntos (6;2) y (8; 0)y cuyo centroest sobre la recta 3x + 7y+ 2 = 0.

27. Halle la ecuacin, centro y radio de la circunferen-cia que pasa por los tres puntos A(1;1), B(3; 5) yC(5;3).

28. Reducir las tres ecuaciones siguientes a la forma ordi-naria de la ecuacin de la circunferencia. Si la ecuacinrepresenta una circunferencia, hllense su centro y suradio.

(a) 2x2

+ 2y2

10x + 6y 15 = 0(b) 36x2 + 36y2 + 48x 108y+ 97 = 0(c) x2 + y2 8x + 6y+ 29 = 0

29. Las ecuaciones de los lados de un tringulo son

y = ax bc2

, y= bx ac2

y y = cx ab2

.

Demuestre que el rea del tringulo est dada por

1

8|(a b)(b c)(c a)| .

30. Halle la forma normal de la ecuacin de la recta que esperpendicular a la recta 2x 3y+ 6 = 0 y determinasobre el eyeY el segmento5.


4x2 + 4y2 16x + 20y+ 25 = 0.Halle la ecuacin de la circunferencia concntrica quees tangente a la recta 5x 12y = 1.

32. Halle la ecuacin de la tangente a la circunferencia

x2 + y2 + 2x 2y 39 = 0en el punto (4;5).

33. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punt(11; 4)y es tangente a la circunferencia

x2 + y2 8x 6y= 0.

34. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por lopuntos (1;4) y (2; 1) y cuyo centro est sobre lrecta4x + 7y+ 5 = 0.

35. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la rect3x 4y 1 = 0 en el punto (3; 2). Halle su ecuacin(Dos soluciones.)

36. Una circunferencia C de radio 3es tangente a la circunferencia

x2 + y2 4x + 2y 47 = 0.en el punto (6; 5). Halle la ecuacin deC . (Dos soluciones.)

37. Determine el valor de la constantek para que la rect2x + 3y+ k= 0 sea tangente a la circunferencia

x2 + y2 + 6x + 4y= 0.

38. Halle las ecuaciones de las rectas que tienen pendient5 y son tangentes a la circunferencia

x2 + y2 + 8x + 2y 9 = 0.

39. Desde el puntoA(2;1) se traza una tangente a lcircunferencia

x2 + y2 6x 4y 3 = 0.Si B es el punto de contacto, halle la longitud desegmento AB .

40. Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por e

punto (6;1) y es tangente a cada una de las rectas4x 3y+ 6 = 0 y

12x + 5y 2 = 0.(Dos soluciones.)

41. Halle las nuevas coordenadas del punto(1;3)cuandlos ejes coordenados son trasladados primero al nuevorigen(4;5)y despus se les gira un ngulo de 60.

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42. Redzcase las ecuaciones dadas a la segunda formaordinaria de la ecuacin de la parbola, y halle lascoordenadas del vrtice y del foco, las ecuaciones dela directriz y eje y la longitud del lado recto.

(a) 4x2 + 48y+ 12y= 159.

(b) 2x y2 + 5y 3 = 0.(c) x= ay2 + by+ c.

43. Demuestre que la longitud del radio vector decualquier puntoP(x1, y1)de la parbola

(y k)2 = 4p(x h)es igual a|x1 h +p1|.

44. Halle la longitud del radio vector del punto de laparbola

y2 + 4x + 2y

19 = 0

cuya ordenada es igual a 3.

R. 5.

45. Demuestre que las tangentes a una parbola en lospuntos extremos de su lado recto son perpendicularesentre si.

46. En cada uno de los ejercicios siguientes halle las ecua-ciones de la tangente y la normal y las longitudes dela tangente, normal, subtangente y subnormal, para laparbola y el punto de contacto dados.

(a) y2 + 4x + 2y+ 9 = 0; (

6;3).

(b) x2 6x + 5y 11 = 0; (2;1).(c) 2y2 3x= 0; (6; 3).

47. En cualquier punto P de una parbola, no siendo elvrtice, la tangente y la normal cortan al eje de laparbola en los puntos A y B, respectivamente. De-muestre que los puntosA,B y Pson equidistantes delfoco.

48. Demuestre que toda circunferencia que tiene dedimetro una cuerda focal de una parbola, es tan-gente a la directriz.

49. Una viga simplemente apoyada de longitud l pies es-t uniformemente cargada con w libras por pie. EnMecnica se demuestra que a una distancia de x piesde un soporte, el momento flexionante M en pieslibras est dado por la frmula

M=1

2wlx 1

2wx2.

Demuestre que el momento flexionante es mximo enel centro de la viga.

50. Halle la ecuacin y la excentricidad de la elipse qutiene su centro en el origen, uno de sus vrtices en e

punto (0; 7)y pasa por el punto

5; 143

.

51. Si P1(x1, y1) es un punto cualquiera de la elipsb2x2a+a2y2 = a2b2, demustrese que las longitudede sus radios vectores son a + ex1 ya ex1.

52. Halla las longitudes de los radios vectores del punt(3;7/4)que estn sobre la elipse 7x2 + 16y2 = 112.

53. La ecuacion de una familia de elipses es

kx2 + 4y2 + 6x 8y 5 = 0.Halle las ecuaciones de aquellos elementos de la familique tienen una excentricidad igual a 1

2.

54. En cada uno de los ejercicios siguientes halle las ecua

ciones de la tangente y la normal y las longitudes dla tangente, normal, subtangente y subnormal, para lelipse y el punto de contacto dados.

(a) y2 + 2x2 = 3; (1;1).(b) 4x2 + 2y2 7x + y 5 = 0; (2; 1).

55. Halle el ngulo agudo de interseccin de las elipses

3x2 + 4y2 = 43 y 4x2 + y2 32x + 56 = 0en uno de sus puntos de interseccin.

56. Si desde un punto exterior P1(x1, y1) se trazan tangentes a la elipse

b2x2 + a2y2 =a2b2,

el segmento de recta que une los puntos de contacto sllama cuerda de contacto. La ecuacin de esta cuerdde contacto es

b2x1x + a2y1y= a

2b2.

Halle la ecuacin de la cuerda de contacto del punto(3; 1)para la elipse x2 + 2y2 = 2.

57. Halle la ecuacin de la cuerda de contacto del punt(

2;7)para la elipsex2 + y2

2x

4y+ 4 = 0.

58. Halle la ecuacin de la cuerda de contacto del punt(5;1)para la elipse que tiene su centro en (5; 3), unvrtice en (9; 6)y su excentricidad es e = 2/5.

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