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SECÇÃO DE MECÂNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS
DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS I
APONTAMENTOS DE
TRACÇÃO E COMPRESSÃO
DINAR CAMOTIM
LISBOA, ABRIL DE 2018
Tracção e Compressão de Peças Lineares
1
TRACÇÃO E COMPRESSÃO DE PEÇAS LINEARES
1 O PROBLEMA DE SAINT-VENANT
Considere-se uma barra prismática e homogénea submetida a um esforço normal
constante N. A barra tem comprimento L e secção transversal de área A ver a Figura 1.1.
O material que a constitui é elástico linear, isotrópico e caracterizado pelos valores do
módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson .
Figura 1.1 Problema de Saint-Venant da tracção/compressão.
Conforme se viu anteriormente, a resolução deste problema, através do método semi-
inverso, conduz à solução:
02313122211 A
N33
0231312 EA
N 2211
EA
N33
1211 kk xxEA
Nu
2122 kk xx
EA
Nu
333 k x
EA
Nu
EA
LNuLuL )0()( 33 (alongamento/encurtamento da barra)
E
LN)(VV 21332211 (variação de volume hip. peq. defs.)
Tracção e Compressão de Peças Lineares
2
Observações
(i) A grandeza E A designa-se por rigidez axial e representa “o esforço normal que é
necessário aplicar numa secção para provocar uma extensão longitudinal unitária”.
Mede a resistência da secção (barra) à deformação axial.
(ii) Em barras comprimidas as expressões apresentadas não são válidas para qualquer
valor do esforço normal. O seu limite de validade é controlado pela esbelteza da barra
(grandeza que depende da relação entre o comprimento e as dimensões e forma da
secção transversal) e está associada à ocorrência de fenómenos de instabilidade
fenómenos geometricamente não-lineares que serão estudados posteriormente
(nomeadamente na disciplina de Resistência de Materiais II).
2 PEÇAS LINEARES SUJEITAS A ESFORÇO AXIAL
Na secção anterior recordaram-se expressões válidas para barras prismáticas,
homogéneas, constituídas por um material elástico linear e isótropo, e submetidas
apenas à acção de um esforço normal constante (i.e., sem variações de temperatura ou
tensões iniciais). Estas expressões podem continuar a ser utilizadas se alguma ou algumas
destas condições não forem verificadas, passando então a fornecer soluções aproximadas.
Abordam-se em seguida os casos de barras:
(i) Submetidas a um esforço normal variável N=N (x3).
(ii) Com secção transversal variável A=A (x3).
(iii)Heterogéneas E=E (x1, x2, x3). Tratam-se separadamente as barras em que os
vários materiais estão dispostos em série (E=E (x3)) e em paralelo (E=E (x1, x2)).
(iv) Submetidas a variações de temperatura (uniformes na secção) T=T (x3).
(v) Com tensões iniciais 0 (x3)0.
Saliente-se que em todas as situações anteriores se admite que o material (ou os materiais)
que constitui a barra é elástico linear e isótropo esta hipótese só será abandonada
na disciplina de Resistência de Materiais II, onde se consideram materiais
isótropos mas não elásticos lineares.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
3
2.1 ESFORÇO NORMAL VARIÁVEL N=N (X3)
Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:
A
xNx 3
333
EA
xNx 3
333
EA
xNxx 3
322311
L
dxxNEA
L0 33
1 30 333 k
1 3 x
dxxNEA
u (E e A constantes)
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 2.1, com comprimento L e secção transversal de
área A, a qual está submetida à acção de uma carga P e do seu peso próprio p(x3)= A.
Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.
Figura 2.1 Exemplo ilustrativo esforço normal variável.
33 xpPxN PN 0 LpPLN
33
333 xA
P
A
xpPx
3
3333 x
EEA
P
EA
xpPx
E
L
EA
PLLpPL
EAdxxpP
EAL
L
22
11 22
0 33
32333
23
330 333 k 2
k 2
1k 1 3
x
Ex
EA
PxpxP
EAdxxpP
EAu
x
Tracção e Compressão de Peças Lineares
4
2.2 SECÇÃO TRANSVERSAL VARIÁVEL A=A (X3)
Antes de mais, deve referir-se que se admite aqui uma variação da secção transversal da
barra A=A (x3) fraca (necessariamente contínua), por oposição a uma variação forte
(e.g., uma variação brusca ou a existência de furos ou entalhes). Este último caso será
abordado, de forma sucinta, no final desta secção.
Se a variação da secção transversal da barra for fraca, as tensões, deformações e
deslocamentos que nela ocorrem são razoavelmente aproximados pelas expressões:
3
333xA
Nx
3
333xEA
Nx
3
322311xEA
Nxx
L
dxxAE
NL
0 3
3
1 30 3
33 k13
xdx
xAE
Nu (N e E constantes)
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 2.2, com comprimento L e secção rectangular de
altura constante (h) e largura variável (b(x3) variação linear entre b0 e bL), a qual está
submetida à accção de um esforço axial constante N. Pretende-se determinar os campos
de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.
Figura 2.2 Exemplo ilustrativo secção transversal variável.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
5
hbAA 000 hbALA LL hxL
bbbxA L
3
003
300
333
1
xbbLbh
NLx
L
300
333
1
xbbLbEh
NLx
L
LL
L
L
L
xbbLblnbbEh
NLdx
xbbLbEh
NLL
0300
00 3
300
11
00
lnb
b
bbEh
NL L
L
3300
0
3 k ln
xbbLbbbEh
NLu L
L
Exemplo Ilustrativo
Determinar o perfil de igual resistência de uma barra submetida à acção de uma carga P
e do seu peso próprio p(x3)= A (ver a Figura 2.3).
Figura 2.3 Exemplo ilustrativo perfil de igual resistência.
Perfil de igual resistência:
tetanconsxA
xN
3
3
3xAA 00 AP
A
33
0 330 333
xxdxxAPdxxpPxN
Tracção e Compressão de Peças Lineares
6
Secção x3: 3xN 3xA
3
3
xA
xN
Secção x3 + dx3: dNxN 3 dAxA 3
dAxA
dxxAxN
3
333
dAAdxAN
dAxA
dxxAxN
3
3
333
CxAdxA
dAdAdxA 333 ln
3
033
0
00 lnln0x
eAxAxA
AACAA
3
333
xA
xN
E
33
E
LL
333 k x
Eu
Observações
(i) Quando a variação da secção transversal da barra for forte (e.g., uma variação brusca
ou a existência de furos ou entalhes) as expressões anteriores constituem uma
má aproximação na vizinhança da zona barra onde ocorre essa variação. De facto, a
distribuição das tensões normais deixa de ser uniforme nessa zona ver a Figura 2.4.
(a) (b) (c)
Figura 2.4 Distribuição das tensões normais em barras com (a) uma variação brusca
da secção transversal, (b) um furo circular e (c) dois entalhes semi-circulares.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
7
O valor fornecido pelas expressões apresentadas (med) subestima a tensão máxima
instalada na barra (max ), devendo ser “corrigido” por meio de um factor K cujo valor
depende da forma da secção e do tipo e características geométricas da sua variação
(max=K med) existem na literatura expressões que fornecem valores de K.
(ii) Apesar da observação anterior, numa barra em que a variação da secção (A(x3)) seja
descontínua e caracterizada por troços prismáticos constantes adopta-se a solução
aproximada (N e E constantes e barra constituída por n troços prismáticos):
iA
N
133 i
iEA
N33
1
122111EA
N
n
i i
i
A
L
E
NL
1
3
1
1
3
1
1
3 k
m
i
i
m
m
i i
i LxEA
N
EA
NLu com
m
i
i
m
i
i LxL1
3
1
1
Como o perfil de igual resistência de uma barra submetida ao seu peso próprio e a
uma carga P é difícil de fabricar (ver o último exemplo ilustrativo), considera-se
muitas vezes uma barra contituída por vários troços prismáticos ver a Figura 2.5.
As características de um perfil “de igual resistência” desse tipo são determinadas
através das expressões anteriores (i.e., admitindo distribuições de tensões uniformes).
Figura 2.5 Perfil “de igual resistência” constituído por vários troços prismáticos.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
8
2.3 BARRAS HETEROGÉNEAS E=E (x1, x2, x3)
2.3.1 MATERIAIS DISPOSTOS EM SÉRIE E=E (X3)
Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:
A
Nx 333
AxE
Nx
3
333 AxE
Nxx
3
322311
L
dxxEA
NL
0 3
3
1 30 3
33 k13
xdx
xEA
Nu (N e A constantes)
Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x3) não é contínua mas sim por
troços constantes (correspondentes aos n materiais comprimentos Li e módulos de
elasticidade Ei), tem-se:
A
Ni33
AE
N
i
ii 33
AE
N
i
ii
2211
n
i i
i
E
L
A
NL
1
3
1
1
3
1
1
3 k
m
i
i
m
m
i i
i LxAE
N
AE
NLu com
m
i
i
m
i
i LxL1
3
1
1
(N e A constantes)
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 2.6, a qual (i) está submetida ao carregamento
indicado e (ii) é constituída por quatro troços prismáticos e homogéneos cada troço tem as
seguintes características:
Troço : N1= 3 P A1=A E1=E L1=L
Troço : N2= 4 P A2=A E2=2 E L2=1.5 L
Troço : N3= 2 P A3=1.5 A E3=2 E L3=1.5 L
Troço : N4= P A4=A E4=1.5 E L4=2 L
Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.
Figura 2.6 Exemplo ilustrativo barra heterogénea com materiais em série.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
9
A
P31
A
P42
A
P
3
43
A
P4
EA
P31
EA
P22
EA
P
3
23
EA
P
3
24
EA
PL
EA
PL
EA
PL
EA
PL
EA
PLL
3
25
3
433
3313 k 3 x
EAPu (0 x3 L) 33
23 k 23 Lx
EAP
EAPLu (L x3 2.5 L)
3333 k 5226 L.x
EAP
EAPLu (2.5 L x3 4 L)
3343 k 4
327 Lx
EAP
EAPLu (4 L x3 6 L)
2.3.2 MATERIAIS DISPOSTOS EM PARALELO E=E (X1, X2)
Admite-se que a barra funciona como um todo, o que implica que a aderência entre os
vários materiais impede quaisquer deslocamentos (deslizamentos) relativos entre eles.
A existência de uma distribuição uniforme de tensões normais conduziria agora a
extensões longitudinais variáveis nas secções transversais da barra (E=E (x1, x2)), o que
contraria a hipótese anterior (não ocorrerem deslocamentos relativos entre os vários
materiais). Assim, as condições de equilíbrio não são suficientes para determinar o
campo de tensões e o problema diz-se estaticamente indeterminado (ou hiperstático).
É necessário recorrer a condições que envolvem as deformações que ocorrem na barra
equações de compatibilidade, as quais traduzem o facto de as extensões longitudinais
terem de ser uniformes nas secções da barra (única forma de estas sofrerem apenas
translacções de corpo rígido na direcção longitudinal). Elas têm a forma:
tetanconsxxxx 212133 ,,
Tem-se, então:
Tracção e Compressão de Peças Lineares
10
A
A
AA
NdAx,xE
x,xEx,x
dAx,xE
N
NdAx,xE
x,xE
x,x
NdAx,x
21
2121
21
21
21
21
21
AdAx,xE
LNL
21
33
21
3 k
xdAx,xE
Nu
A
Nas situações mais realistas, em que a variação de E(x1, x2) não é contínua mas sim por
áreas constantes, correspondentes às zonas da secção ocupadas pelos n materiais áreas
Ai e módulos de elasticidade Ei. Trata-se de um problema hiperstático de grau n1,
definido pelas equações
NAEAn
iii
n
iii
11
equação de equilíbrio
n,...,j1j 2para equações de compatibilidade (n1)
e cuja solução é dada por (Ni é a parcela do esforço normal absorvida por cada material e
admite-se que todos os materiais têm o mesmo coeficiente de Poisson):
N
AE
En
i
ii
iii
1
33
n
i
ii
i
AE
N
1
33 ii 2211
N
AE
AEN
n
i
ii
iii
1
n
i
ii AE
LNL
1
33
1
3 k
x
AE
Nu
n
i
ii
Observações
(i) A rigidez axial da secção (barra) é agora dada por
n
i
ii AE1
.
(ii) As parcelas do esforço normal absorvidas por cada um dos materiais (Ni) são
proporcionais aos respectivos valores da rigidez axial (Ei Ai).
(iii) Admite-se que o único elemento de redução não nulo da distribuição de tensões
normais determinada, no centróide da secção transversal, é o esforço normal N esta
hipótese é trivialmente satisfeita se a secção exibir dupla simetria (geométrica e material).
No caso geral, os elementos de redução das tensões normais, no centróide da secção
Tracção e Compressão de Peças Lineares
11
transversal, são o esforço normal e dois momentos flectores. Este caso será abordado
na Secção 7 dos Apontamentos de Flexão.
(iv) Se a secção não exibir dupla simetria, tanto geométrica como material, torna-se
indispensável introduzir o conceito de centro de rigidez da secção. A sua definição e
a respetiva determinação são abordadas em seguida, na Secção 2.3.2.1.
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 2.7, a qual (i) está submetida a uma tracção
uniforme N e (ii) é constituída por dois materiais, a e b, dispostos em paralelo (a secção da barra
tem dupla simetria geométrica e material) e com as áreas e módulos de elasticidade indicados.
Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.
Figura 2.7 Exemplo ilustrativo barra heterogénea com materiais em paralelo.
EA
N
AEAE
N
bbaa
ba20
A
NN
EA
Eaa
420
4
NAN aaa
A
NN
EA
Ebb
2020
4
3NAN bbb
EA
NLL
20 333 k
20 x
EA
Nu
2.3.2.1 CENTRO DE RIGIDEZ
Pode definir-se “centro de rigidez” de uma secção (ou barra prismática) como o
ponto onde deve ser aplicado um esforço normal (de tracção ou compressão) para
que a secção exiba deformações axiais uniformes (i.e., a barra sofra apenas um
Tracção e Compressão de Peças Lineares
12
alongamento ou encurtamento, não ocorrendo flexão). Obviamente, se a secção
exibir dupla simetria (geométrica e material), o centro de rigidez coincide com o
centróide (geométrico) da secção G.
No caso de a barra possuir um plano de simetria, o centro de rigidez está obrigatoriamente
sobre o correspondente eixo de simetria da secção transversal. Assim a determinação da
sua localização envolve apenas a obtenção de uma única coordenada CRx2 este é o
único caso que se irá abordar neste momento.
Considere-se a secção heterogénea mono-simétrica arbitrária representada na Figura
2.8, a qual é constituída por n materiais, cada um deles ocupando uma área Ai e
exibindo um módulo de elasticidade Ei (i=1, …, n).
Figura 2.8 Barra de secção heterogénea mono-simétrica arbitrária.
Como se admite que as deformações axiais são uniformes (33i =), a correspondente
distribuição de tensões normais é necessariamente não uniforme, pois tem-se 33i = Ei (a
distribuição de tensão é “constante por blocos”, cada um deles associado a um material).
Figura 2.9 Barra de secção heterogénea mono-simétrica: distribuições de deformações
(uniforme) e de tensões (não uniforme).
E1, A1
E2, A2
E3, A3
x1
x2
O
x1
x2
O
33i = E
i
E1
E2
E3
33i=
N > 0
Tracção e Compressão de Peças Lineares
13
Pretende-se agora determinar em que ponto do eixo de simetria deve ser aplicado o
esforço axial N para ser estaticamente equivalente ao diagrama de tensões normais não
uniforme. Por outras palavras, ambos devem provocar o mesmo momento em torno de
um eixo x1 perpendicular ao exo de simetria x2.
Então, considerando o referencial x1x2 (x1 é arbitrário), tem-se que
A
n
iAin
i
ii
CRi
dAxE
AE
NdAxxN
1
2
1
2332
n
iAin
i
ii
CRi
dAxE
AE
x1
2
1
2
1
Observando que os integrais indicados são os momentos estáticos das áreas Ai em
relação ao eixo x1, vem
iiiiA
GxASSdAxi
)(212
onde iGx )( 2
é a coordenada do centro de gravidade de Ai e, portanto, tem-se
n
i
ii
n
i
iii
n
i
ii
n
i
ii
CR
AE
xAE
AE
SE
x
G
1
1
2
1
12
)(
Observações
(i) No caso de uma secção homogénea (Ei = E), tem-se GCR xx )()(22
, isto é, o centro
de rigidez coincide com o centróide da área da secção.
(ii) Tudo se passa como se estivesse a calcular o centróide de uma secção em que
as várias áreas são “ponderadas” pelos respectivos módulos de elasticidade.
(iii)No caso de o eixo x1 passar no centro de rigidez tem-se, obviamente, M1=0.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
14
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a secção representada na Figura 2.10, a qual (i) está submetida a uma
tracção N e (ii) é constituída por três materiais, com as áreas e módulos de elasticidade
indicados. Pretende-se determinar o centro de rigidez e as tensões instaladas na secção.
Figura 2.10 Exemplo ilustrativo secção heterogénea constituída por três materiais.
o Centro de rigidez
axG
2
312 axx GG
2
33222
a.a
Ea
aEaaEaaEax CR 6820
66
45
66
)23(12)23(36)23(182
222
2
o Tensões nos três materiais
2
1
32166Ea
N
AE
Nn
i
ii
2216666 a
N
Ea
NE
2222266
3a
N
Ea
NE
2233366
2a
N
Ea
NE
x2
x1 0.682a CR
2
2
E1 = E
A1 =18a
2
E2 = 3 E
A2 =26a
2 =12a
2
E3 = 2 E
A3 =6a
2
6 a
6 a
1
3
Tracção e Compressão de Peças Lineares
15
2.4 BARRAS SUBMETIDAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA T=T (X3)
Neste caso, as tensões, deformações e deslocamentos da barra são dadas por:
0333 x 3333 xTx 3322311 xTxx
L
dxxTL0 33 30 333 k3
xdxxTu (N=0; e E(x1, x2) constantes)
A grandeza designa-se por coeficiente de dilatação térmica linear e é uma característica
de cada material. Representa “a extensão linear provocada por uma variação de
temperatura unitária” e as unidades em que se exprime são (ºC)1
recorde-se que a
extensão linear é uma grandeza adimensional.
Observações
(i) Em barras heterogéneas, tem-se, no caso geral, =(x3) (materiais em série) ou
=(x1, x2) (materiais em paralelo) neste último caso, continua a admitir-se que a
secção transversal da barra possui dupla simetria geométrica e material.
(ii) Barras estaticamente determinadas sujeitas apenas à acção de uma variação de
temperatura apresentam tensões nulas em todos os seus pontos. No caso de barras
estaticamente indeterminadas, uma variação de temperatura provoca, em geral,
um estado de coacção tensões não nulas mas que equilibram forças aplicadas nulas
(i.e., “equivalentes a zero”). Estas afirmações permanecem válidas no caso de
estruturas, conforme se verá na secção 3.
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 2.11, a qual está submetida a (i) uma tracção
uniforme N e (ii) uma variação de temperatura variável longitudinalmente T=T (x3).
Pretende-se determinar os campos de tensões, deformações e deslocamentos instalados na barra.
Figura 2.11 Exemplo ilustrativo barra sujeita a tracção e variação de temperatura.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
16
A
Nx 333 3333 xT
EA
Nx 3322311 xT
EA
Nxx
L
dxxTEA
LNL
0 33 30 3333 k3 x
dxxTxEANu
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra heterogénea (dois materiais dispostos em paralelo) representada na
Figura 2.12, a qual está submetida a uma variação de temperatura constante T. Pretende-se
determinar os campos de tensões e deformações instalados na barra.
Figura 2.12 Exemplo ilustrativo barra heterogénea sujeita a variação de temperatura.
aa
aaa
AE
NT
bb
bbb
AE
NT
ba
bb
ba
ba
NN
EA
NT
EA
NT
NN1510
2
0
T
T
ET
ET
EATN
EATN
a
b
a
b
a
b
5
7
5
7
6
5
2
6
6
LTL 5
7 333 k
5
7 xTu
0tracçãocompressão0
0compressãotracção0
ab
ab
T
T
O estado de tensão caracterizado por a e b é um estado de coacção:
0mas0e0 bbaaAaa AAdA, .
Tracção e Compressão de Peças Lineares
17
2.5 BARRAS COM TENSÕES INICIAIS (OU RESIDUAIS) MAS =0)
Definem-se tensões iniciais (ou residuais) de um corpo como as tensões que correspondem
ao estado natural do corpo, isto é, ao estado do corpo não solicitado por acções exteriores.
Assim, as tensões inicias são auto-equilibradas, na medida em que equilibram forças
exteriores nulas. É ainda habitual considerar o estado natural do corpo como o seu
estado indeformado (ij=0). Então, o estado natural pode ser caracterizado por (i) N=0,
33=0 e ij=0 (tensões inicias nulas) ou por (ii) N=0, 330 e ij=0 (tensões inicias não
nulas estado de coacção).
Admitindo que o valor das tensões inicias não varia longitudinalmente, as tensões,
deformações e deslocamentos da barra são dadas por:
2102133 ,, xxA
Nxx
E
xxxx
EA
Nx 2102133
333
,,
322311 xx EA
NLL 333 k x
EA
Nu (N, E e A constantes)
Exemplo Ilustrativo Pré-Esforço
Pode definir-se pré-esforço como a operação que consiste em aplicar uma determinada
solicitação a uma estrutura (neste caso uma barra) com o objectivo de melhorar a sua
capacidade resistente a outras solicitações, a aplicar posteriormente. Aborda-se aqui o
caso de barras de betão armado (betão + aço) submetidas a um esforço normal de tracção.
Sabe-se que (i) no aço as resistências à tracção e à compressão são sensivelmente iguais, e
que (ii) a resistência à compressão do betão é significativamente maior que a sua resistência
à tracção (muito pequena). Deste modo, a resistência de uma barra de betão armado à tracção
é condicionada pela muito pequena resistência do betão a tensões de tracção.
Este facto sugeriu a realização de uma operação de pré-esforço, a qual visa aumentar a
resistência da barra (e do betão) a um esforço normal de tracção e compreende os passos que
se descrevem em seguida:
(i) Considera-se um varão de aço submetido a um esforço de tracção Fp, designado
por “força de pré-esforço”.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
18
p
i
a FN a
pi
aA
F
aa
pi
aAE
F
aa
pi
aAE
LFL
(ii) Envolve-se o varão de aço com betão, mas mantêm-se os dois materiais independentes.
p
ii
a FN a
pii
aA
F
aa
pii
aAE
F 0
aa
pii
aAE
LFL (peq. defs.)
0ii
bN 0ii
b 0ii
b 0 ii
bL
(iii) Provoca-se a aderência entre os dois materiais, de modo a impedir totalmente
qualquer deslizamento relativo, e retira-se o esforço Fp, o que equivale a aplicar
um esforço ( Fp) ao conjunto aço + betão note-se que quando se retira Fp os dois
materiais já estão a trabalhar solidariamente.
bbaa
aap
iii
aAEAE
AEFN 1 p
bbaa
a
a
piii
a FAEAE
E
A
F
p
bbaa
bbiii
b FAEAE
AEN
p
bbaa
biii
b FAEAE
E
bbaa
piii
b
iii
aAEAE
F
bbaa
piii
b
iii
aAEAE
LFLLL
Obteve-se assim uma barra de betão pré-esforçado (pré-esforço Fp), onde está
instalado um estado de coacção caracterizado por tensões de compressão no betão e
tensões de tracção no aço. De algum modo, “transferiu-se” alguma resistência à
tracção do aço para o betão. O estado natural da barra de betão pré-esforçado é:
Tracção e Compressão de Peças Lineares
19
p
bbaa
a
a
p
a FAEAE
E
A
F
0 00 a
p
bbaa
bb F
AEAE
E
0 00 b
LAEAE
LFL
bbaa
p
1 (pequenas deformações)
(iv) Aplica-se à barra de betão pré-esforçado um esforço normal N (de tracção caso
contrário, a operação de pré-esforço teria sido prejudicial).
(troca os s por As)
bbaa
aapp
iv
aAEAE
AEFNFN
bbaa
ap
a
piva
AEAE
EFN
A
F
bbaa
bbp
iv
bAEAE
AEFNN
bbaa
bp
iv
bAEAE
EFN
bbaa
iv
b
iv
aAEAE
N
bbaa
ivb
iva
AEAE
NLLLL
açonotracçãoebetãonoCompressão
açonoebetãonoTracção
p
p
FN
FN
2.6 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Na Teoria da Elasticidade mostrou-se que a energia de deformação (U ) armazenada num
corpo elástico é dada por
0UdVWUV
onde U0 é a energia intrínseca (energia armazenada pelo corpo no seu estado natural) e W
é a densidade da energia de deformação (por unidade de volume) associada às acções
exteriores a que o corpo está submetido.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
20
No caso de o corpo ser constituído por um material elástico linear e isótropo W toma
a forma:
ijijijijijklklijkl TTTHW 0
2
1
onde os coeficientes Hijk l podem ser expressos em termos de duas constantes e se tem:
0
ijijklklijkl TH
Logo, a energia de deformação (U) armazenada no corpo é dada por:
dVTU ijijoijijV
2
1
Consideram-se em seguida as expressões da energia de deformação relativas a uma
série de casos particulares:
(I) Peças Lineares (barras)
030
0
2
1UdxdATU
L
A ijijijij
(II) Peças Lineares onde apenas existem esforço axial e tensões normais 33
030 33
03333
2
1UdxdATU
L
A
(III) Caso (II) + Ausência de variações de temperatura e tensões iniciais
30 33332
1dxdAU
L
A
(IV) Caso (III) + Secções transversais homogéneas (materiais dispostos em série)
30
2
30 2
2
30 2
1
2
1
2
1dx
EA
NdxdA
EA
NdxdA
EA
N
A
NU
LL
A
L
A
Tracção e Compressão de Peças Lineares
21
Exemplo Ilustrativo
Calcular a energia de deformação das barras analisadas nos Exemplos Ilustrativos das secções
2.1 e 2.3.1.
(i) Exemplo Ilustrativo da secção 2.1 (página 3)
LLLpP
LpLP
EAdxxpPxpP
EAdxxN
EAU
0
23
2233
23
22
0 32
332
12
2
1
2
1
EA
LPUp
20
2
(ii) Exemplo Ilustrativo da secção 2.3.1 (página 8)
EA
LP
EA
LP
EA
LP
EA
LP
EA
LPL
AE
NU j
j jj
j22
2224
1
2
6
73
2
3
2
3
2
32
2
2
34
3
2
1
2
1
3 ESTRUTURAS CONST I TUÍDAS POR PEÇAS LINEARES SUJEITAS APENAS A ESFORÇO AXIAL
Considere-se agora um tipo especial de problemas que envolvem corpos constituídos
unicamente por peças lineares (eventualmente associadas a um ou mais corpos rígidos)
estes corpos designam-se habitualmente por estruturas reticuladas.
As ligações das peças lineares (entre si, com o exterior ou com eventuais corpos
rígidos) e o carregamento a que as estruturas estão submetidas são de forma a que
essas peças lineares estejam sujeitas apenas a esforço axial.
Para resolver um problema deste tipo basta determinar, para todas as barras da estrutura:
(i) Os esforços axiais (N). O procedimento utilizado para efectuar esta determinação
depende da estatia global da estrutura, a qual combina as respectivas estatia exterior
Tracção e Compressão de Peças Lineares
22
e estatia interior. Enquanto a estatia exterior está relacionada com o modo como a
estrutura está ligada ao exterior (i.e., com o número e natureza dos seus apoios),
a estatia interior diz respeito a forma como estão ligados entre si os vários elementos
(barras e/ou corpos rígidos) que a constituem.
(ii) Os alongamentos/encurtamentos (L).
(iii)Os deslocamentos das extremidades ().
3.1 ESTATIA GLOBAL
A estatia global de uma estrutura está relacionada com o modo como os seus vários
elementos estão ligados entre sim e ao exterior. Assim, diz-se que uma estrutura,
submetida à acção de um carregamento geral (arbitrário) é:
(i) Hipoestática se não for possível garantir o equilíbrio estático da estrutura e de todas
as suas partes. O grau de hipoestatia da estrutura é fornecido pelo número de
movimentos de corpo rígido que podem ter a estrutura ou as suas partes.
(ii) Isostática se existir apenas uma combinação de reacções de apoio e esforços axiais
nas barras que garanta o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.
(iii)Hiperstática se existirem várias combinações de reacções de apoio e esforços axiais
nas barras que garantam o equilíbrio estático da estrutura e de todas as suas partes.
O grau de hiperstatia da estrutura é fornecido pelo número de ligações (interiores
e/ou exteriores) que podem ser suprimidas continuando a garantir o equilíbrio estático.
A Figura 3.1 mostra alguns exemplos de estruturas (i) hipoestática de grau 1 ((g)), (ii)
isostáticas ((a), (d) e (h)), e (iii) hiperstática de grau 3 ((b)) e (iv) hiperstáticas de
grau 1 (todas as restantes).
Tracção e Compressão de Peças Lineares
23
Figura 3.1 Exemplos de estruturas hipoestáticas, isostáticas e hiperstáticas.
3.2 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Estruturas isostáticas são, por definição, aquelas em que é possível determinar os
valores de todas as reacções de apoio e dos esforços normais (neste contexto, admite-se
que todas as barras da estrutura estão submetidas unicamente a esforço normal) em
todas as barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. Uma vez
conhecidos todos os esforços axiais é possível calcular as tensões normais e o
alongamento/encurtamento em cada barra (utilizando as equações estabelecidas na
secção 2). Finalmente, as equações de compatibilidade permitem determinar os valores
dos deslocamentos que definem completamente a configuração deformada da estrutura.
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.2, a qual está submetida ao
carregamento indicado (carga P e variação de temperatura T ) e é constituída por uma
barra rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea dois
Tracção e Compressão de Peças Lineares
24
materiais dispostos em paralelo). Pretende-se determinar (i) o esforço normal, as tensões
normais e o alongamento/encurtamento de cada barra deformável e (ii) o valor do
deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.
Figura 3.2 Exemplo ilustrativo estrutura isostática.
Equações de equilíbrio:
ABA
CDC
A
CA
NP
R
NP
R
PLLR
PRR
3
3
2
3
Relações esforços-tensões:
ETA
PET
A
P
A
P
b
CD
a
CD
AB
3
2
45
2
3
10
9
4
24
Relações esforços-alongamentos:
HTEA
HPL
HTEA
HPL
CD
AB
3
5
45
2
24
Relações deslocamentos-alongamentos: CDDABB LL
Equação de compatibilidade: ABCDABEBDBE LLL
LL
3
2
3/2
Tracção e Compressão de Peças Lineares
25
3.3 ESTRUTURAS HIPERSTÁTICAS
Estruturas hiperstáticas são, por definição, aquelas em que não é possível determinar os
valores de todas as reacções de apoio e/ou dos esforços normais (neste caso) em todas as
barras recorrendo exclusivamente a equações de equilíbrio. É necessário utilizar também
as equações de compatibilidade e as relações esforços-alongamentos. O sistema constituído
por estes três tipos de equações é determinado, permitindo calcular inicialmente:
(i) Ou os esforços normais nas barras e, eventualmente, as reacções de apoio para isso,
escrevem-se as equações de compatibilidade em termos dos esforços, utilizando as
equações esforços-alongamentos.
(ii) Ou os alongamentos/encurtamentos nas barras e, eventualmente, as reacções de
apoio para isso, escrevem-se as equações de equilíbrio em termos dos alongamentos,
utilizando as equações esforços-alongamentos.
No primeiro caso, (i) segue-se a determinação das tensões normais e dos alongamentos
nas várias barras, após o que (ii) se calculam os deslocamentos que definem a
configuração deformada da estrutura.
No segundo caso, determinam-se (i) por um lado os esforços e as tensões normais
nas várias barras e (ii) por outro lado os deslocamentos necessários à definição da
configuração deformada da estrutura.
Observação
Uma variação de temperatura introduz numa estrutura hiperstática uma distribuição de
esforços normais (não nulos) auto-equilibrada, i.e., que equilibra forças exteriores nulas
(no caso de uma estrutura isostática esses esforços são todos nulos).
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra hiperstática representada na Figura 3.3, a qual tem comprimento L
(L=L1+L2) e está submetida ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar (i) os
diagramas de esforços normais e das tensões normais, e (ii) o deslocamento horizontal do ponto
de aplicação da carga P.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
26
Figura 3.3 Exemplo ilustrativo barra hiperstática.
Equações de equilíbrio: CBCAABCA RNRNPRR
Relações esforços-tensões: A
N
A
N BCBC
ABAB
Relações esforços-alongamentos: EA
LNL
EA
LNL BC
BCAB
AB21
Relações deslocamentos-alongamentos: BCABB LL
Equação de compatibilidade: 0 BCAB LL
(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais
00 21 LNLNLL BCABBCAB
PL
LN
PL
LN
L
LNN
PL
LN
LNLN
PNN
AB
BC
BCAB
BC
BCAB
BCAB
2
1
1
2
1
2
21
1
0
BCABBCAB LEA
P
L
LLL
A
P
L
L
A
P
L
L 2112
EA
P
L
LLB
21
(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos
EA
P
L
L
L
LP
L
EAL
L
EALPNN BCAB
BCABBCAB
2121
Tracção e Compressão de Peças Lineares
27
ABBC
AB
BCAB
BCAB
LL
EA
P
L
LLL
LL
EA
LLPLLLL 2121
12
0
A
P
L
LP
L
LN
A
P
L
LP
L
LN BCBCABAB
1122
EA
P
L
LLB
21
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.4, a qual (i) é constituída por
uma barra rígida e duas barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado
(carga P). Pretende-se determinar (i) os esforços normais e as tensões normais nas barras
BD e CE, e (ii) os deslocamentos verticais dos pontos D, E e F (ponto de aplicação da carga P).
Figura 3.4 Exemplo ilustrativo estrutura hiperstática.
Equações de equilíbrio: CCEBBD
CB
CBA
RNRNLPLRLR
PRRR
2
32
Relações esforços-tensões: A
N
A
N CECE
BCBC
Relações esforços-alongamentos: EA
HNL
EA
HNL CE
CEBD
BD
Relações deslocamentos-alongamentos: CEEBDD LL
Equações de compatibilidade: 22
2 CEBDEDFDE
LL
Tracção e Compressão de Peças Lineares
28
(i) Primeiro método de resolução: determinação inicial dos esforços normais
BDCEBDCE NNLL 22
PN
PN
PNN
NN
CE
BD
CEBD
BDCE
5
3
10
3
2
32
2
EA
HPL
A
P
EA
HPL
A
PCECEBDBD
5
3
5
3
10
3
10
3
EA
HP
EA
HP
EA
HPFED
20
9
5
3
10
3
(ii) Segundo método de resolução: determinação inicial dos alongamentos/encurtamentos
EA
HPLLPNN CEBDCEBD
2
32
2
32
EA
HPL
EA
HPL
EA
HPLL
LL
CE
BD
CEBD
BDCE
10
3
10
3
2
32
2
A
PPN
A
PPN CECEBDBD
5
3
5
3
10
3
10
3
EA
HP
EA
HP
EA
HPFED
20
9
5
3
10
3
As duas formas de abordar o problema que acabam de ser descritas e ilustradas estão
na base de dois métodos especiais que permitem resolver, de forma sistemática,
estruturas hiperstáticas: (i) o Método das Forças (ou dos Esforços) e (ii) o Método dos
Deslocamentos. Ambos os métodos utilizam o Princípio da Sobreposição, o que significa
que podem ser aplicados na resolução de estruturas lineares, isto é, estruturas para as
quais sejam válidas as hipóteses da linearidade geométrica e da linearidade física.
O método das forças consiste em fornecer um processo sistemático para estabelecer
sistemas determinados (i.e., com solução única) de equações de compatibilidade, cujas
incógnitas são esforços ou reacções de apoio. Uma vez calculados os valores dessas
Tracção e Compressão de Peças Lineares
29
incógnitas é possível, recorrendo apenas a equações de equilíbrio, determinar todos os
restantes esforços e reacções de apoio.
O método dos deslocamentos fornece um processo sistemático para estabelecer sistemas
determinados de equações de equilíbrio, cujas incógnitas são deslocamentos. Após
calcular os valores dessas incógnitas é possível, utilizando só equações de compatibilidade
e relações alongamentos-deslocamentos, determinar os alongamentos/encurtamentos e os
esforços em todas as barras da estrutura.
Descreve-se em seguida apenas o método das forças e ilustra-se a sua aplicação através de
um exemplo. Antes, porém, é conveniente recordar o enunciado do Princípio da
Sobreposição, o qual, como se disse atrás, é válido apenas para estruturas lineares:
“Considere-se uma estrutura submetida à actuação independente de várias solicitações
(e.g., forças aplicadas ou variações de temperatura). Pode então dizer-se que qualquer
efeito (e.g., uma reacção de apoio, um esforço ou um deslocamento) provocado por
uma combinação linear dessas solicitações é igual à mesma combinação linear dos
efeitos homólogos causados por cada uma das solicitações primitivas”
Observações
(i) Neste capítulo aplica-se o método das forças apenas a estruturas reticuladas cujas
barras deformáveis estão submetidas unicamente a esforço normal. No capítulo
relativo à Flexão e nas disciplinas de Resistência de Materiais II e Análise de
Estruturas I estudar-se-á a sua aplicação a problemas mais gerais.
(ii) O método dos deslocamentos só voltará a ser abordado mais tarde, no âmbito da
disciplina de Análise de Estruturas I.
3.3.1 MÉTODO DAS FORÇAS (OU DOS ESFORÇOS)
PASSOs DO MÉTODO
(i) Determinar o grau de hiperstatia da estrutura (n).
(ii) Definir um sistema base, o qual se obtém da estrutura original através da supressão
de n ligações (interiores e/ou exteriores) é, portanto, sempre uma estrutura
isostática. Passam assim a ser permitidos n deslocamentos (relativos ou
absolutos, consoante as correspondentes ligações suprimidas forem interiores ou
Tracção e Compressão de Peças Lineares
30
exteriores). Os esforços (ligações interiores) e/ou reacções de apoio (ligações
exteriores) associados às n ligações suprimidas designam-se por redundantes ou
incógnitas hiperstáticas (X1,..., Xn).
Observações
(1) Uma estrutura hiperstática pode dar origem a vários sistemas base. O único factor
a condicionar a escolha de um determinado sistema base é a conveniência
(facilidade) de cálculo.
(2) A escolha das n ligações a suprimir deve ser feita de forma criteriosa, de modo a
garantir que a estrutura resultante não seja hipoestática (i.e., tenha as ligações
“mal distribuídas”).
(iii)Submeter o sistema base (estrutura isostática) aos seguintes (n + 1) carregamentos:
(iii.1) 1 carregamento constituído por todas as solicitações aplicadas à estrutura
original (hiperstática).
(iii.2) n carregamentos constituídos por uma única força (ou esforço) aplicada, a qual
tem valor unitário e corresponde a uma incógnita hiperstática (Xi=1, i=1, , n).
Observação
Os sentidos convencionados para as forças e/ou esforços unitários (e, portanto,
também para as incógnitas hiperstáticas) são arbitrários.
(iv) Calcular, no sistema base e para cada um dos (n + 1) carregamentos definidos no
ponto anterior, os n deslocamentos correspondentes às ligações suprimidas.
Representam-se esses deslocamentos por 0
iU (deslocamento correspondente à
ligação suprimida i e provocado pelas solicitações actuantes na estrutura original) e
por ijf (deslocamento correspondente à ligação suprimida i e provocado pela força
ou esforço unitário associada à incógnita hiperstática Xj) estes últimos
deslocamentos designam-se por coeficientes de flexibilidade (ou flexibilidades).
Observação
Toma-se para sentido positivo do deslocamento correspondente à ligação suprimida i
o sentido arbitrado para a incógnita hiperstática Xi deste modo, todos os coeficientes
de flexibilidade fii são sempre positivos.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
31
(v) Aplicar o princípio da sobreposição para calcular o valor das incógnitas hiperstáticas.
Observe-se que:
(v.1) A estrutura original com o seu carregamento pode ser obtida através da
sobreposição de (n + 1) carregamentos no sistema base, n dos quais estão
expressos em termos dos valores das incógnitas hiperstáticas Xi, ainda
desconhecidas e cujo cálculo constitui o objectivo do método das forças.
(v.2) São sempre conhecidos, na estrutura original, os valores dos deslocamentos
correspondentes às ligações suprimidas representam-se por Ui e, na grande
maioria dos casos, tem-se Ui=0.
Podem então escrever-se as seguintes equações de compatibilidade, utilizando o
princípio da sobreposição,
nnnnnnn
nn
nn
UfXfXfXU
UfXfXfXU
UfXfXfXU
...
...
...
2211
0
22222211
0
2
11122111
0
1
as quais constituem um sistema de equações lineares que permite determinar os valores
das redundantes Xi. O sistema de equações pode ser escrita de forma matricial como
UXFU 0
onde a matriz ijfF se designa por matriz de flexibilidade. Pode provar-se
que fij=fji, i.e., que a matriz de flexibilidade é simétrica.
Observações
(1) No caso de redundantes que correspondam a reacções de apoios elásticos tem-se
Ui= Xi /K, onde K é a rigidez do apoio elástico.
(2) No caso de estruturas hiperstáticas de grau 1, o sistema de equações lineares
degenera numa única equação.
(3) Um valor de Xi positivo significa que o sentido arbitrado para essa redundante
estava correcto. Um valor de Xi negativo significa que é necessário inverter o
sentido inicialmente arbitrado para essa redundante.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
32
(vi) Uma vez conhecidos os valores das incógnitas hiperstáticas pode calcular-se qualquer
efeito (e.g., um esforço, uma reacção de apoio, uma tensão ou um deslocamento) na
estrutura original de duas formas:
(vi.1) Raciocinando directamente em termos da estrutura original, a qual foi tornada
estaticamente determinada pelo conhecimento das n redundantes.
(vi.2) Utilizando o princípio da sobreposição e somando os valores desse efeito
produzidos no sistema base pelas n redundantes Xi e pelas solicitações
actuantes na estrutura original.
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.5, a qual (i) é constituída por
uma barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado
(carga P). Pretende-se determinar os valores (i) das reacção nos apoios A, B, C e D e (ii)
dos deslocamentos verticais dos pontos E, F, G e H (ponto de aplicação da carga).
Figura 3.5 Exemplo ilustrativo aplicação do método das forças.
Adopta-se o sistema base representado na Figura 3.6, o qual se obtém da estrutura original
suprimindo os apoios em B e C. Nessa mesma figura está esquematizada a aplicação do método
das forças (para esse sistema base) consideram-se os três carregamentos indicados,
identificados respectivamente por (carregamento aplicado à estrutura original), (força
unitária correspondente ao apoio suprimido em C) e (força unitária correspondente ao
apoio suprimido em B). A resolução do problema envolve os seguintes passos:
Tracção e Compressão de Peças Lineares
33
Figura 3.6 Exemplo ilustrativo esquematização da aplicação do método das forças.
(i) Resolução do sistema base submetido ao carregamento
PRD4
3
EA
HPU
EA
HPU
EA
HP
EA
HP
EA
HP
E
F
GE
GF
G
16
3
8
3
16
3
4
8
3
2
4
3
02
01
(ii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento
2
1DR
EA
Hf
EA
H
EA
Hf
EA
H
EA
H
EA
H
E
F
GE
GF
G
CF
8
1
4
51
8
1
4
4
1
2
2
1
21
11 deoalongamentinclui
Tracção e Compressão de Peças Lineares
34
(iii) Resolução do sistema base submetido ao carregamento
4
1DR
BEEA
H
EA
Hf
fEA
Hf
EA
H
EA
H
EA
H
E
F
GE
GF
G
deoalongamentinclui16
171
8
1
16
1
4
8
1
2
4
1
22
2112
(iv) Determinação das incógnitas hiperstáticas
2
1
2
1
2221
1211
0
2
0
1
2222212
0
2
1122111
0
1
U
U
X
X
ff
ff
U
U
UfXfXU
UfXfXU
PRPX
PRPX
PXX
PXX
B
C
7
1
7
1
7
2
7
2
16
3
16
17
8
1
8
3
8
1
4
5
2
1
21
21
(v) Resultados finais
PXXPRD
7
4
4
1
2
1
4
321
EA
HP
EA
HP
EA
HP
EA
HX
EA
HX
EA
HP
GE
GF
G
7
1
4
7
2
2
7
4
4
1
2
1
4
321
EA
HPGFH
7
3
2
Tracção e Compressão de Peças Lineares
35
3.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
Até aqui utilizaram-se as seguintes abordagens para calcular os deslocamentos dos nós
de uma estrutura reticulada:
(i) Calculam-se inicialmente os esforços normais e os alongamentos/encurtamentos das
várias barras da estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade
(deslocamentos-alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-
se esta abordagem em estruturas isostáticas (sempre) e estruturas hiperstáticas com as
equações de compatibilidade escritas em termos dos esforços e reacções de apoio.
Observação
Recorde-se que a aplicação do método das forças envolve unicamente o cálculo
de deslocamentos num sistema base, sempre uma estrutura isostática.
(ii) Calculam-se inicialmente os alongamentos/encurtamentos das várias barras da
estrutura. Em seguida, utilizam-se as equações de compatibilidade (deslocamentos-
alongamentos) para determinar os deslocamentos dos nós. Utilizou-se esta
abordagem em estruturas hiperstáticas com as equações de equilíbrio escritas em
termos dos alongamentos/encurtamentos.
Apresentam-se nesta secção dois métodos especiais para calcular deslocamentos em
estruturas reticuladas, os quais se baseiam nos conceitos de trabalho e energia. A
utilização de qualquer destes dois métodos é particularmente vantajosa no caso de
estruturas com um elevado número de barras, na medida em que nenhum deles requer o
estabelecimento de relações deslocamentos-alongamentos (muito complexas) ou qualquer
outro tipo de considerações de natureza geométrica.
O primeiro método baseia-se no Princípio da Conservação da Energia Mecânica e apenas
pode ser utilizado num número restrito de problemas.
O segundo método é uma aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e pode ser
utilizado em qualquer tipo de problema.
3.4.1 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
O Princípio da Conservação da Energia Mecânica afirma que:
Tracção e Compressão de Peças Lineares
36
“Numa estrutura elástica actuada por um conjunto de forças aplicadas quasi-
estaticamente (i.e., sem alterarem o valor da energia cinética) e em que não ocorram
trocas de calor com o exterior (transformação adiabática) ou geração interna de calor,
tem-se que o trabalho realizado pelas forças exteriores ( e ) é igual à variação da
energia de deformação ( U )”. Tem-se, então, Ue .
Observações
(1) Se se admitir que U=0 quando as forças exteriores que realizam e são nulas,
vem UU e, portanto, Ue esta hipótese será admitida daqui em diante.
(2) Apesar de o princípio ser válido para qualquer estrutura elástica, considera-se
aqui apenas a sua aplicação a estruturas elásticas lineares (linearidade física).
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
A energia de deformação de uma estrutura reticulada é dada pela soma das energias de
deformação das barras que a constituem, i.e.,
N
i
iUU1
(Ui é a energia de deformação da barra i e n o número de barras deformáveis)
Recorde-se (ver secção 2.6) que a energia de deformação de uma barra constituída por
um material elástico linear, submetida apenas a esforço normal e sem variações de
temperatura ou tensões iniciais é dada, no caso geral, por
30
233
30 33332
1
2
1dxdA
EdxdAU
L
A
L
A
podendo ainda utilizar-se outras expressões (escritas directamente em termos do
esforço normal N) numa série de casos particulares ver secção 2.6.
TRABALHO DAS FORÇAS EXTERIORES
Admite-se que a estrutura é actuada por um conjunto de forças exteriores conservativas (o
trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final do ponto de aplicação, e não
da trajectória por ele percorrida) representadas por Qj (j=1,..., m). Podem ser forças
(i) concentradas (aplicadas num ponto de um corpo rígido, num nó ou no interior de
uma barra neste último caso, actuando obrigatoriamente segundo o respectivo eixo) ou
Tracção e Compressão de Peças Lineares
37
(ii) distribuídas (aplicadas ao longo de uma barra e actuando segundo o respectivo eixo)
no seu conjunto, designam-se por Forças Generalizadas.
A cada força generalizada Qj corresponde um deslocamento generalizado qj, o qual
representa o deslocamento (ou soma dos deslocamentos) da estrutura no(s) ponto(s) de
aplicação, na direcção e no sentido de Qj. Pode então definir-se o Trabalho Exterior
realizado pelas forças exteriores para levar a estrutura da sua configuração inicial (qj=0)
até à sua configuração final ( f
jj qq ) como
m
jj
q
jm
q
m
q
e dqQdqQ...dqQfj
fm
f
10010 1
1
Em virtude de se considerarem apenas estruturas com comportamento linear (linearidade
geométrica + linearidade física) pode ainda escrever-se
fj
m
j
fj
m
jj
q
je qQdqQfj
11
0 2
1
Por exemplo, no caso de uma estrutura ser solicitada por uma única força exterior, o valor
de e corresponde à área tracejada representada na figura
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS
O princípio da conservação da energia mecânica apenas permite calcular deslocamentos
em estruturas reticuladas nas seguintes condições:
(i) A estrutura é solicitada por uma única força generalizada Q.
(ii) Calcula-se unicamente o valor do deslocamento generalizado q, correspondente
à força generalizada Q.
Nestas condições, tem-se
n
i
n
ii
iQ
U
qUqQ1
1
2
2
1
Tracção e Compressão de Peças Lineares
38
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a barra representada na Figura 3.7, constituída por dois troços distintos e submetida
ao carregamento indicado (carga P). Pretende-se determinar o valor do deslocamento
horizontal do ponto C (deslocamento do ponto de aplicação da carga no sentido desta).
Figura 3.7 Exemplo ilustrativo aplicação do princípio da conservação da energia mecânica.
Ce P2
1 BCAB UUU
PNAB
A
PPN
A
PPN
b
BC
b
BC
a
BC
a
BC
153
3
2
3
2
AE
LP
AE
LP
AE
LNU
ABAB
ABABAB
1682
1
2
1 222
30
2
30
2
30
2
2
1
2
1
2
1dxdA
EdxdA
EdxdA
EU
L
A bBC
bBCL
A aBC
aBCL
ABC
BCBC
BCBCBC
AE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LN
AE
LNUU
b
BC
b
BC
BC
b
BC
a
BC
a
BC
BC
a
BCb
BC
a
BC3090180
4
2
1
2
1 22222
AE
LP
P
U
AE
LP
AE
LP
AE
LPU C
240
232
240
23
3016
222
3.4.2 TRABALHOS VIRTUAIS
Viu-se anteriormente que o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) afirma que:
Tracção e Compressão de Peças Lineares
39
“Se um corpo deformável actuado por um sistema de forças exteriores (distribuídas no
volume e/ou na superfície do corpo) em equilíbrio for submetido a um campo de
deslocamentos virtuais compatível com as ligações (interiores e exteriores),
então o trabalho virtual realizado pelas forças exteriores e interiores é nulo”.
Tem-se, então, 0 ie .
Pretende-se agora particularizar o PTV ao caso de estruturas reticuladas (i) solicitadas
de modo a que as barras que as constituem estejam submetidas unicamente a esforço
axial e (ii) com padrões de deformação provocáveis por esforços normais e/ou variações
de temperatura. Tem-se, nesse caso,
j
m
jj
e qQ 1
n
k
n
kA k
L
kkii dxdA
k
k
1 13330 33
onde m é o número de forças generalizadas do sistema equilibrado, n é o número de
barras e ki é o trabalho virtual das forças instaladas no interior da barra k. As forças
generalizadas a considerar são forças concentradas ou distribuídas (com as características
mencionadas na secção anterior) e ainda esforços normais em barras da estrutura
o deslocamento generalizado que corresponde a este último tipo de força generalizada é
o deslocamento axial relativo (r). Fazendo 33 33 e 33
33, o PTV pode então
ser expresso na forma
n
k
L
A kkj
m
jj
k
kdxdAqQ
10 3
1
Consideram-se em seguida expressões do trabalho virtual realizado pelas forças instaladas
no interior duma barra numa série de casos particulares:
(I) Material (ou materiais) elástico linear (Lei de Hooke)
A
L
A
i
A
dxdATdAE
NT
dAE
N30
(II) Caso (I) + Tensões uniformes nas secções transversais no sistema equilibrado
30dxT
dAE
NN
A
N L
A
i
Tracção e Compressão de Peças Lineares
40
(III) Caso (II) + Secções transversais homogéneas (materiais não dispostos em paralelo)
30dxTN
AE
NNAEdAE
Li
A
(IV) Caso (III) + ’’ não provocadas por variações de temperatura
300 dx
AE
NNT
Li
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS
O método das cargas unitárias é um método para calcular deslocamentos, provocados em
estruturas por solicitações exteriores, que se baseia no Princípio dos Trabalhos Virtuais.
Como se viu anteriormente, a aplicação do PTV a uma determinada estrutura requer a
existência de (i) um sistema de forças exteriores equilibrado (sistema “linha”) (ii) um
campo de deslocamentos (e correspondentes deformações) compatível (sistema “duas
linhas”). No método das cargas unitárias, tem-se:
(i) O sistema equilibrado é “fictício” (i.e., é “imaginado” exclusivamente com o intuito
de aplicar o método) e é caracterizado pela existência de uma única força generalizada
exterior, de valor unitário e aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que
se pretende calcular. O sentido da carga unitária é arbitrário, mas passa a constituir o
sentido positivo do deslocamento em causa (i.e., um valor positivo do deslocamento
indica que este tem o sentido da força unitária um valor negativo indica que tem o
sentido oposto ao da força).
(ii) O campo de deslocamentos e deformações compatível é constituído pelos
deslocamentos e deformações efectivamente introduzidos na estrutura pelas
solicitações exteriores que provocam o deslocamento que se pretende calcular.
(iii)Em consequência do que foi dito nos dois pontos anteriores, os trabalhos virtuais
das forças exteriores e interiores do sistema equilibrado, quando este é submetido
ao campo de deslocamentos e deformações compatível, são dados por
qe 1
n
kA k
L
ki dxdA
k
k
130
Tracção e Compressão de Peças Lineares
41
onde q é o deslocamento que se pretende calcular e k é um campo de tensões que
equilibre a força unitária. Tem-se, então, que
n
kA k
L
k dxdAqqk
k
130
expressão que sintetiza o método das cargas unitárias
Observações
(1) Tudo se passa como se a estrutura, em equilíbrio sob a acção de uma carga
unitária, fosse submetida a um campo de deslocamentos (e deformações) virtuais
que coincide como o campo de deslocamentos reais provocados nessa estrutura
pelo conjunto de solicitações exteriores responsáveis pelo deslocamento que se
pretende calcular a compatibilidade com as ligações está obviamente garantida.
(2) Observe-se que esta equação não está dimensionalmente correcta, na medida em
que está “subentendida” a presença da carga unitária e das respectivas unidades.
PASSOS DO MÉTODO DAS CARGAS UNITÁRIAS
(i) Calcular as deformações provocadas na estrutura pelo conjunto de solicitações
exteriores responsáveis pelo deslocamento que se pretende calcular.
Observação
A determinação de obriga a resolver a estrutura, i.e., a calcular os esforços,
tensões e deformações que efectivamente ocorrem na estrutura. No caso da
estrutura ser hiperstática e a sua resolução se efectuar através do método das forças,
é necessário calcular deslocamentos no sistema base adoptado. O cálculo desses
deslocamentos pode ser feito também através do método das cargas unitária nesse
caso, o cálculo dos coeficientes de flexibilidade fkk (índices iguais) tem a
particularidade da coincidência entre os sistemas equilibrado e compatível (ambos
associados ao sistema base actuado pela mesma força unitária). Este facto origina
por vezes a confusão entre o método das forças e o método das cargas unitárias.
Relembre-se que enquanto o primeiro é um método destinado a resolver estruturas
hiperstáticas, o segundo permite calcular deslocamentos em estruturas (isostáticas
ou hiperstáticas).
Tracção e Compressão de Peças Lineares
42
(ii) Determinar um conjunto de esforços normais N que esteja em equilíbrio com
uma carga unitária aplicada no ponto e com a direcção do deslocamento que se
pretende calcular. Em seguida, determinar, para cada barra, um campo de
tensões em equilíbrio com o respectivo esforço normal N sem perda de
generalidade, pode considerar-se sempre AN / .
Observações
(1) Se a estrutura for isostática existe apenas um conjunto de esforços normais
N que equilibra a carga unitária. Se a estrutura for hiperstática existem
vários conjuntos de esforços normais N nessas condições. Neste último caso, a
escolha do conjunto a utilizar é feita exclusivamente por conveniência de cálculo
normalmente, escolhe-se o conjunto com maior número de esforços nulos.
(2) É frequente designarem-se os esforços normais do sistema equilibrado por N ,
em vez de N nestes apontamentos, adopta-se sempre a designação N .
(iii)Calcular o valor do deslocamento q através da expressão
31
0dxNq
n
k
L
kk
Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.2)
Considere-se a estrutura isostática representada na Figura 3.8, a qual está submetida ao
carregamento indicado (carga P e variação de temperatura T) e é constituída por uma barra
rígida e duas barras deformáveis (uma homogénea e a outra heterogénea dois materiais
dispostos em paralelo). Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de
aplicação da carga P.
Figura 3.8 Exemplo ilustrativo aplicação do método das cargas unitárias.
Tracção e Compressão de Peças Lineares
43
(i) TEA
PT
EA
PCDAB
3
5
45
2
24
(ii) Estrutura isostática só existe um conjunto de esforços normais ( ABN , CDN )
que equilibra uma força unitária vertical aplicada em E.
(iii) HTEA
PHT
EA
PLNLN CDCDCDABABABE
3
5
45
2
3
2
243
1
HTEA
HPE
9
13
1080
47
Exemplo Ilustrativo (idêntico ao exemplo ilustrativo da secção 3.3.1)
Considere-se a estrutura hiperstática representada na Figura 3.9, a qual (i) é constituída por uma
barra rígida e três barras deformáveis e (ii) está submetida ao carregamento indicado (carga P).
Pretende-se determinar o valor do deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga P.
Figura 3.9 Exemplo ilustrativo aplicação do método das cargas unitárias.
(i) PNPNPN DGCFBE7
4
7
2
7
1
(ii) Estrutura hiperstática existem vários conjuntos de esforços normais ( BEN , CFN , DGN )
que equilibram uma força unitária vertical aplicada em H.
Exemplos de possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados:
7
4
7
2
7
1
DGCFBE NNN (esforços reais também compatíveis)
2
1
2
10
DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios C e D)
003 DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e B)
Tracção e Compressão de Peças Lineares
44
02
30
DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e C)
4
300
DGCFBE NNN (equilíbrio apenas com os apoios A e D)
(iii)
EA
HPGFH
7
3
2
EA
HP
EA
HNNNNNN DGDGCFCFBEBEE
7
3
Observação
De entre os cinco possíveis conjuntos de esforços normais equilibrados indicados,
aqueles que conduzem a um menor esforço de cálculo são, obviamente, os três
últimos (apenas uma das barra tem esforço axial não nulo).
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a estrutura articulada isostática representada na Figura 3.10, a qual está submetida
ao carregamento indicado (carga horizontal P aplicada no nó C). Pretende-se determinar o valor
do deslocamento vertical do nó C.
Figura 3.10 Exemplo ilustrativo aplicação do método das cargas unitárias.
(i) A resolução da estrutura conduz aos seguintes valores dos esforços normais:
PNPNPNPNN CDBDBCADAC 2
52
2
50
(ii) Estrutura isostática existem um conjunto de esforços normais que equilibra
uma força unitária vertical aplicada em C.
A resolução da estrutura (actuada por uma carga vertical unitária aplicada em C)
conduz aos seguintes esforços normais (equilibrados e compatíveis):
12
52
2
52
CDBDBCADAC NNNNN
Tracção e Compressão de Peças Lineares
45
(iii)
PPPPEA
LL
AE
NNk
k Kk
kkC
V2
1
32
552
32
550
5
1
EA
LP
EA
LPC
V 613.216
216855
Exemplo Ilustrativo
Considere-se a estrutura articulada hiperstática (de grau 2) representada na Figura 3.11, a qual
está submetida ao carregamento indicado (duas cargas verticais de valores P e 2P, com P=36 kN).
Sabendo que esse mesmo carregamento provoca na estrutura os esforços normais (deixa-se
como exercício a sua determinação)
kNNkNNkNNkNNkNN BFAECDBCAB 59.702.3223.354.1961.25
kNNkNNkNNkNNkNN CECFBEDFEF 39.2013.7455.403.430.9
pretende-se calcular o deslocamento horizontal do nó D e o deslocamento vertical do nó E.
Figura 3.11 Exemplo ilustrativo aplicação do método das cargas unitárias.
AAAAAAAAAAAAAA DFAECEBFCFBEEFCDBCAB2
3
4
3
5
6
LLLLLLLLLLLLLLL DFCEBFAECFBEEFCDBCAB4
5
4
3
4
3 2
2
22 /2000020024036 cmkNEcmAcmLkNP
(A) Cálculo de D
H
(i) NN
Tracção e Compressão de Peças Lineares
46
(ii) Estrutura hiperstática escolhe-se um conjunto de esforços normais que
equilibre uma força unitária horizontal aplicada em D e seja tão “simples” quanto
possível (esforços não nulos apenas nas barras horizontais AB, BC e CD):
00.1 CEBFCFBEDFEFAECDBCAB NNNNNNNkNNNN
(iii) CD
CD
CDCDBC
BC
BCBCAB
AB
ABABD
H LEA
NNL
EA
NNL
EA
NNkN
1
cmEA
LkN
EA
LD
H 02908.088.480.123.30.154.190.161.25
(B) Cálculo de E
V
(i) NN
(ii) Estrutura hiperstática escolhe-se um conjunto de esforços normais que
equilibre uma força unitária vertical aplicada em E e seja tão “simples” quanto
possível (esforços não nulos apenas no “triângulo” formado pelas barras AE,
CE, AB e BC):
kNNNkNNN CEAEBCAB6
5
3
2
0CDBFCFBEDFEF NNNNNN
Tracção e Compressão de Peças Lineares
47
(iii) CE
CE
CECEAE
AE
AEAEBC
BC
BCBCAB
AB
ABABE
V LEA
NNL
EA
NNL
EA
NNL
EA
NNkN
1
kNEA
L
EA
L
EA
LE
V
39.20
6
5
3
502.32
6
5
6
554.19
3
261.25
3
2
cmEA
LkNE
V 04839.056.80