저 시-비 리- 경 지 2.0 한민

는 아래 조건 르는 경 에 한하여 게

l 저 물 복제, 포, 전송, 전시, 공연 송할 수 습니다.

다 과 같 조건 라야 합니다:

l 하는, 저 물 나 포 경 , 저 물에 적 된 허락조건 명확하게 나타내어야 합니다.

l 저 터 허가를 면 러한 조건들 적 되지 않습니다.

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것 허락규약(Legal Code) 해하 쉽게 약한 것 니다.

Disclaimer

저 시. 하는 원저 를 시하여야 합니다.

비 리. 하는 저 물 리 목적 할 수 없습니다.

경 지. 하는 저 물 개 , 형 또는 가공할 수 없습니다.

공학석사 학위논문

적응 노치 필터 기반 주파수

추정기를 위한 이산 시간 미분법

Discrete-Derivative Method for

Adaptive-Notch-Filter Based Frequency

Estimators

2016년 2월

서울대학교 대학원

전기 ∙ 정보공학부

윤 종 민

적응 노치 필터 기반 주파수

추정기를 위한 이산 시간 미분법

Discrete-Derivative Method for

Adaptive-Notch-Filter Based Frequency

Estimators

지도교수 조 동 일

이 논문을 공학석사 학위논문으로 제출함

2016년 2월

서울대학교 대학원

전기 ∙ 정보공학부

윤 종 민

윤종민의 공학석사 학위논문을 인준함

2016년 2월

위 원 장 : 이 범 희 (인)

부위원장 : 조 동 일 (인)

위 원 : 심 형 보 (인)

i

초 록

본 논문에서는 이산 시간 적응 노치 필터 기반 주파수 추정기를

위한 새로운 이산 시간 미분법을 제안한다. 적응 노치 필터 기반 주파수

추정기는 간단한 구조와 적은 연산량으로 주어진 입력 신호의 실시간

주파수 추정이 가능한 특징 덕분에 다양하고 많은 실제 공학적 사례에

적용되어 왔다. 연속 시간 도메인에서 제안된 본 주파수 추정기를 실제

사례에 적용하려면 해당 주파수 추정기가 이산 시간 도메인에서

구현되도록 이산화 과정을 수행해야 한다. 하지만 이산화 과정에서 기존

이산 시간 미분법으로 필터 상태변수의 1차 미분을 계산하면, 사용하는

미분법에 따라 구현된 주파수 추정기의 주파수 추정 정확도가

떨어지거나 추정 주파수가 수렴하지 않는 문제가 발생한다. 유한 차분

미분법을 적용하면 고주파수 영역에서 정확한 미분이 불가능하여 주파수

추정기의 추정 정확도가 떨어지며, 쌍선형 변환 미분법을 적용하면 해당

미분법이 가진 과도 응답 특성이 주파수 추정기의 추정 주파수 수렴성을

저해하는 것이다. 본 논문에서는 쌍선형 변환 미분법을 변형한 새로운

이산 시간 미분법을 제안한다. 제안된 미분법은 쌍선형 변환 미분법이

가진 과도 응답 문제를 발생시키지 않으며 유한 차분 미분법 대비 넓은

주파수 범위에서 미분 결과의 정확성을 유지한다. 따라서 제안된

미분법이 적용된 주파수 추정기는 기존 미분법이 적용된 주파수 추정기

대비 넓은 범위의 주파수를 정확히 추정한다. 시뮬레이션 및 실험

결과를 통해 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정 성능을

확인한다.

ii

주요어 : 적응 노치 필터, 주파수 추정기, 이산 시간 미분법, 이산화,

쌍선형 변환법(bilinear transform method), 유한 차분법(finite

difference method)

학 번 : 2014-21741

iii

목 차

제 1 장 서 론 ...................................................................... 1

제 1 절 연구의 배경 .................................................................... 1

제 2 절 연구의 내용 .................................................................... 4

제 3 절 논문의 구성 .................................................................... 5

제 2 장 본 론 ...................................................................... 6

제 1 절 이산 시간 적응 노치 필터 기반 주파수 추정기 .............. 6

제 2 절 기존 이산 시간 미분법 적용 시 문제점 .......................... 9

제 1 항 유한 차분법 사용 시 발생하는 문제 ........................ 9

제 2 항 쌍선형 변환법 사용 시 발생하는 문제 .................. 15

제 3 절 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기를 위한 미분법

제안 .............................................................................. 19

제 4 절 제안된 미분법의 안정도 분석 ....................................... 26

제 1 항 쌍선형 변환 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정

주파수 안정도 분석 ............................................... 27

제 2 항 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정

주파수 국소 안정도 분석 ....................................... 30

제 5 절 시뮬레이션 및 실제 사례 적용 실험 결과 .................... 32

제 1 항 시뮬레이션 결과 .................................................... 32

제 1 목 단일 사인 입력 신호에 대한 주파수 추정

시뮬레이션 결과 ............................................ 33

제 2 목 노이즈가 추가된 단일 사인 입력 신호에 대한

주파수 추정 시뮬레이션 결과 ....................... 38

iv

제 2 항 실제 사례 적용 실험 결과 ..................................... 43

제 1 목 발생한 공진에 대한 공진 주파수 추정 결과 ... 49

제 2 목 노치 필터 설정 이후 공진 억제 확인 결과 ... 54

제 3 장 결 론 .................................................................... 56

제 1 절 결론 .............................................................................. 56

제 2 절 향후 과제 ..................................................................... 58

참고문헌 .................................................................................. 59

Abstract ................................................................................. 64

v

표 목차

[표 5-1] 입력 신호 주파수에 대한 4 가지 주파수 추정기의

추정 주파수 수렴값 ........................................................... 37

[표 5-2] 노이즈가 포함된 입력 신호 주파수에 대한 수렴

이후 추정 주파수 신호의 평균 .......................................... 42

[표 5-3] 노이즈가 포함된 입력 신호 주파수에 대한 수렴

이후 추정 주파수 신호의 표준편차 ................................... 42

[표 5-4] 각 실험의 설정 노치 필터 및 설정 응답 대역폭 .............. 54

vi

그림 목차

[그림 2.1] 유한 차분 미분법 적용 시 s평면 내 j축의 z 평면

매핑 결과 ........................................................................ 12

[그림 2.2] 유한 차분 미분법의 주파수 응답 특성 ............................ 12

[그림 2.3] 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 유한 차분

미분 결과 ........................................................................ 13

[그림 2.4] 유한 차분 미분법 적용 시 2,400 Hz 단일 사인

신호 주파수 추정 결과 .................................................... 14

[그림 2.5] 쌍선형 변환 미분법 적용 시 s평면 내 j축의

z평면 매핑 결과 ............................................................. 16

[그림 2.6] 쌍선형 변환 미분법의 주파수 응답 특성 ......................... 16

[그림 2.7] 쌍선형 변환 미분법의 극점 및 영점 위치 ....................... 17

[그림 2.8] 200 Hz 단일 사인 신호에 대한 쌍선형 변환

미분 결과 ........................................................................ 17

[그림 2.9] 쌍선형 변환 미분법 적용 시 2,400 Hz 단일 사인

신호 주파수 추정 결과 .................................................... 18

[그림 3.1] 제안된 미분법의 극점 및 영점 위치 ............................... 19

[그림 3.2] 200 Hz 단일 사인 신호에 대한 제안 미분 결과 ............. 21

[그림 3.3] 제안된 미분법 적용 시 s평면 내 j축의 z평면

매핑 결과 ........................................................................ 22

[그림 3.4] 제안된 미분법의 주파수 응답 특성 ................................. 23

[그림 3.5] 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 제안 미분 결과 .......... 23

[그림 3.6] 제안된 미분법 (α=0.99) 적용 시 2,400 Hz

단일 사인 신호 주파수 추정 결과 ................................... 25

vii

[그림 5.1] 단일 사인 입력 신호에 대한 4가지 주파수 추정기의

추정 결과 ........................................................................ 34

[그림 5.2] 노이즈가 포함된 단일 사인 입력 신호에 대한 4가지

주파수 추정기의 추정 결과 ............................................. 39

[그림 5.3] 볼 스크류 드라이브 및 벨트 드라이브 부하.................... 43

[그림 5.4] 공진 발생 시스템의 모델 다이어그램 .............................. 45

[그림 5.5] 공진 발생 시스템의 블록 다이어그램 .............................. 45

[그림 5.6] 공진 발생 시스템의 주파수 응답..................................... 45

[그림 5.7] 실험 대상 볼 스크류 드라이브 부하 ............................... 48

[그림 5.8] 실험 대상 볼 스크류 드라이브의 주파수 응답 측정

결과 ................................................................................. 48

[그림 5.9] 838 Hz 대역의 첫 번째 공진 발생 시, 전류 명령 및

유한 차분 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의

추정 결과 ........................................................................ 50

[그림 5.10] 838 Hz 대역의 첫 번째 공진 발생 시, 전류 명령

및 제안된 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의

추정 결과 ....................................................................... 51

[그림 5.11] 1,650 Hz 대역의 두 번째 공진 발생 시, 전류 명령

및 유한 차분 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의

추정 결과 ....................................................................... 52

[그림 5.12] 1,650 Hz 대역의 두 번째 공진 발생 시, 전류 명령

및 제안된 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의

추정 결과 ....................................................................... 53

[그림 5.13] 노치 필터 적용 이후, 1,000 RPM 등속 명령 인가

시 모터 전류 명령 및 모터 피드백 신호 ....................... 55

1

제 1 장 서 론

제 1 절 연구의 배경

주어진 신호에 대한 주파수 추정은 다양한 분야에서, 그리고 다양한

목적 하에 요구되는 매우 중요한 공학적 문제이다. 예를 들어, 시스템의

진동 제거와 같이 측정되는 신호의 주기적인 성분을 제거하려는

작업이나, 이와 반대로 주어진 신호로부터 주요 주파수 성분만을

골라내려는 작업과 같은 일들은 모두 입력 신호의 주파수 정보를 알고

있어야 가능하다. 해당 정보가 사전에 주어지지 않을 경우에는 이를

별도의 추정과정을 거쳐 알아내야 한다.

가장 고전적이고 널리 쓰이는 주파수 추정 방법 중 하나는 고속

푸리에 변환(fast Fourier transform, 이하 FFT) 또는 이산 푸리에

변환(discrete Fourier transform, 이하 DFT) 을 이용한 입력 신호의

주파수 성분 분석이다. 그러나 해당 방법은 분석하고자 하는 신호

주파수 성분의 충분한 해상도를 얻기 위해 많은 개수의 입력 신호

데이터를 요구한다. 그리고 데이터의 개수가 많아지면 그만큼 주파수

분석에 필요한 연산량도 늘어난다. 따라서 실시간의, 그리고 메모리를

적게 요구하는 주파수 추정에는 적합하지 않은 한계점이 존재한다.

이러한 한계를 극복하기 위해 FFT 및 DFT 알고리즘의 기본

체계로부터 벗어난 다른 접근 방식을 사용하여 주어진 입력 신호의

주파수를 추정하는 기법들이 많이 제안되었다. 예를 들어, Xiao[1],

Kamwa[2]는 최소 평균 자승법 (least mean square)을 이용한 입력

신호의 주파수 분석법을 제안하였다. Girgis[3], La Scalar[4, 5],

Hajimolahoseini[6]는 칼만 필터 또는 확장 칼만 필터를 이용하여 입력

2

신호의 주파수를 추정하였고, Yazdaniel[7]은 이에 더하여 확장 칼만

필터로 감쇠하는 주기 신호의 감쇠상수까지 추정하였다. Karimi-

Ghartemani[8]는 구배법(gradient descent method)을 이용, 주기

신호의 진폭, 주파수, 위상을 추정하는 방법을 제안하였고, Luviano-

Juarez[9] 는 위 파라미터들과 주기 신호에 포함된 바이어스(bias)

값까지 추정하는 방법을 제안하였다. 본 논문은 위와 같은 FFT 및

DFT 알고리즘 외의 주파수 식별 방법 중, Regalia[10]로부터 처음

제안된 적응 노치 필터(adaptive notch filter, 이하 ANF) 기반 주파수

추정기에 대하여 중점적으로 다룬다.

ANF 기반 주파수 추정기란, 추정 주파수를 고유 주파수로 가지는

2차 적응형 필터에 추정 주파수를 변화시키는 주파수 추정 법칙이

더해져서 구성된 주파수 추정기를 일컫는다. 해당 주파수 추정기의

주파수 추정 원리는 노치 필터의 원리에 근거한다. 노치 필터란 주어진

입력 신호의 특정 주파수 성분을 선택적으로 제거하는 필터로서, 노치

필터의 필터 주파수가 입력 신호의 주파수와 일치하면 해당 필터는 0에

가까운 신호를 출력한다. ANF 기반 주파수 추정기에서는 입력 신호에

대한 계산되는 추정 주파수의 1차 미분값 전달 특성이 앞서 설명된

노치 필터 특성을 가지도록 적응형 필터 및 주파수 추정 법칙이

설계되어 있다. 따라서 해당 주파수 추정기의 추정 주파수가 입력

신호의 주파수와 일치하면 계산되는 추정 주파수의 1차 미분값은 0 이

되어 추정 주파수가 수렴한다. 이러한 원리에 근거하여 ANF 기반

주파수 추정기가 입력 신호의 주파수를 추정하는데, 이는 앞서 참조를

통해 언급한 다른 주파수 추정 방법 대비 간단하고 적은 연산량을

요구하는 효율적인 추정 방법이다. 위에서 언급한 다른 주파수 추정

방법은 주기 신호에 대한 특정 모델을 선정한 뒤, 선정한 모델이 입력

신호를 따라가도록 모델 파라미터를 갱신하는 방법이라 비교적 복잡하고

3

많은 연산량을 요구하기 때문이다. 이 같은 특성으로, ANF 기반 주파수

추정기는 입력 신호 주파수에 대한 실시간 추정에 적합한 주파수

추정기로 알려져 있다. 최근 적용 사례를 예로 들면, 반욱[11]은 본

추정기를 이용하여 서보 시스템에서 발생하는 공진의 실시간 자동 추정

및 억제 알고리즘을 제안하였다. Taher[12]는 본 추정기를 이용한 유도

전동기의 결함 감지 알고리즘을 제안하였고, Ketabi[13]는 발생하는

전력 신호의 왜곡 성분을 추정하여 제거하는 분권 유도 전력

회선(shunt active-power line) 조절 장치를 제안하였다.

Airimitoaie[14]는 능동 진동제어 분야에서 주기적 외란을 제거하는

방법을, Amirian[15]는 영구 동기전동기의 토크 리플을 제거하는

방법을 제안하였다.

ANF 기반 주파수 추정기의 변화 과정은 다음과 같다. 우선

Regalia[10] 의 격자 구조 기반 ANF가 이산 시간 도메인에서

구현되었으며, 이후 Budson[16]이 Regalia의 ANF를 연속 시간

도메인에서 구현하였다. Hsu[17]는 초기 추정 주파수값에 따라 주파수

추정 속도가 느려지는 위 ANF의 한계를 해결하고자 추정 주파수의

제곱을 입력 신호에 곱할 것을 제안하였고, 추가로 상수 값이었던 ANF

의 추정 이득을 적응형 필터 상태변수와 추정 주파수에 관련된 별도의

식으로 조절할 것을 제안한 뒤 이를 적용하여 추정 주파수의 전역

안정도(global stability) 를 증명하였다. Mojiri[18] 는 고조파 성분이

존재하는 입력 신호의 주파수 추정에 적합하도록 Hsu 의 ANF를

수정하였고, 이후 주파수 추정 이후 적응형 필터의 상태변수가 입력

신호의 추정 주파수 성분이 되도록 추정 주파수 법칙을 추가

수정하였다[19]. 최근 반욱[20]은 추정 주파수 1차 미분값이 추정

오차에 비례하도록 Hsu ANF의 주파수 추정 법칙을 수정하여 초기 추정

주파수 값에 따라 추정 속도 변화가 적은 ANF 를 제안하였다.

4

제 2 절 연구의 내용

1절에서 언급된 ANF 기반 주파수 추정기들은 모두 연속 시간

도메인에서 제안되었으며, 해당 도메인 내에서 추정 주파수의 안정도

분석 및 시뮬레이션 검증이 모두 이루어졌다. 그러나 실제 사례 적용을

위해서는 본 주파수 추정기들이 이산 신호 프로세서 (digital signal

processor, 이하 DSP), 또는 마이크로 컨트롤러 유닛 (micro

controller unit, 이하 MCU)과 같은 프로세서 내에서 구현되어야 한다.

이는 연속 시간 도메인에서 제안된 본 추정기가 이산 시간 도메인에서

동작하도록 별도의 이산화 과정을 수행해야 한다는 것을 의미한다.

하지만 기존 이산화 방법으로 구현된 이산 시간 ANF 기반 주파수

추정기는 연속 시간 도메인에서 증명된 안정도 조건을 만족시키기

않거나, 나이퀴스트 주파수 내의 모든 입력 신호 주파수를 정확하게

추정하지 못하는 문제를 유발한다. 원인은 ANF 기반 주파수 추정기의

구성 요소 중 주파수 추정 법칙에 포함된 적응형 필터 상태변수의 1차

미분값에 있다. 주파수 추정 법칙의 구성에는 적응형 필터 상태변수의

1차 미분값이 포함되어 있으며, 주파수 추정 성공 및 수렴은 해당

미분값과 입력 신호가 관련된 항이 0이 되는 조건으로 이루어진다.

그러나 이산 시간 환경에서 기존 이산 시간 미분법이 해당 미분값을

정확하게 미분하지 못하기 때문에 추정 주파수와 입력 신호 주파수가

일치하는 조건에서 해당 항은 0이 되지 않는다. 이는 주파수 추정의

부정확성을 유발한다. 사용하는 기존 이산 시간 미분법에 따라,

고주파수 입력 신호의 주파수 추정 결과가 부정확해지거나, 연속 시간

ANF 기반 주파수 추정기에서 증명된 추정 주파수의 안정도가 저해되는

문제가 발생한다.

본 논문은 기존 이산 시간 미분법 중 쌍선형 변환(bilinear

5

transform) 미분법을 변형한 새로운 적응형 필터 상태변수의 이산 시간

미분법을 제안한다. 제안된 미분법은 정상 상태에서 저주파수 신호는

물론 나이퀴스트 주파수에 가까운 고주파수 신호 또한 정확히 미분한다.

따라서 제안된 미분법이 적용된 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기는

기존 미분법이 적용된 주파수 추정기보다 더 넓은 주파수 범위에서

정확한 주파수 추정이 가능하다. 이에 더하여, 제안된 미분법이 적용된

주파수 추정기는 연속 시간 ANF 기반 주파수 추정기가 가진 추정

주파수의 안정도 조건을 유지한다. 다양한 주파수의 단일 사인 신호에

대한 주파수 추정 시뮬레이션, 노이즈를 포함한 단일 사인 신호에 대한

주파수 추정 시뮬레이션을 진행하고, 본 추정기를 이용한 서보 시스템의

공진 억제 알고리즘에 제안된 미분법을 적용하여 그 효과를 검증한다.

제 3 절 논문의 구성

2장인 본론의 구성은 다음과 같다. 이산 시간 도메인에서 구현된

ANF 기반 주파수 추정기를 이산화하여 이산 시간 ANF 기반 주파수

추정기를 구현하는 방법과, 구현된 주파수 추정기의 추정 주파수 수렴

조건을 1절에서 설명한다. 2절에서는 기존 이산 시간 미분법으로 적응형

필터 상태변수의 1차 미분값 계산 시 추파수 추정 성능 상 발생하는

문제에 대해 설명한다. 3절에서는 쌍선형 변환 미분법을 변형한 새로운

적응형 필터 상태변수 미분법을 제안한다. 4절에서는 안정도 분석을

수행하여 제안된 미분법이 적용된 ANF 기반 주파수 추정기가 연속

시간 ANF 기반 주파수 추정기에서 증명된 추정 주파수의 국소

안정도(local stability) 특성을 유지함을 보인다. 5절에서는 시뮬레이션

및 실제 사례에 제안된 미분법을 적용하여 효과를 검증한다. 3장 결론

부분에서 결론 및 향후 과제를 언급한 뒤 본 논문을 끝맺는다.

6

제 2 장 본 론

제 1 절 이산 시간 적응 노치 필터 기반 주파수 추정기

다음은 잘 알려진 ANF 기반 주파수 추정기이다. 본 논문에서는

Mojiri [18] 에서 제안된 ANF 기반 주파수 추정기를 대표적 예로 들어

본론의 내용을 진행한다. 그러나 본 논문에서 제기하는 문제는 서론에서

언급된 모든 ANF 기반 주파수 추정기에서 공통적으로 발생하는

문제이며, 해당 문제는 본 논문에서 제안하는 방법을 통해 모두 해결

가능하다.

2 22 2 ( )x x x u t (1.1)

2(2 ( ) 2 )x u t x (1.2)

x 는 식 (1.1)의 적응형 필터의 상태변수, 는 감쇠 상수, 는 추정

주파수, ( )u t 는 입력 신호, 는 추정 이득이다. 위와 같이 ANF 기반

주파수 추정기는 추정 주파수 를 고유 진동수로 갖는 식 (1.1)의

적응형 필터와, 적응형 필터 상태변수 x , x 와 현재 추정 주파수 ,

입력 신호 ( )u t 를 이용하여 추정 주파수의 1차 미분값 을 계산하는

식 (1.2)의 주파수 추정 법칙으로 구성된다. 추정 주파수 는 추정

주파수의 1차 미분값 이 0이 되는 조건에서 수렴한다. 해당 조건은

아래의 식 (1.3)으로 표현된다.

( ) 0x

u t

(1.3)

제안된 A 기반 주파수 추정기는 식 (1.1), (1.2)에서 보듯 연속

7

시간 도메인에서 구현되었다. 실제 사례에 적용 시, 본 ANF 기반

추정기는 이산 신호 프로세서 (digital signal processor, 이하 DSP),

또는 마이크로 컨트롤러 유닛 (micro controller unit, 이하 MCU)과

같은 전용 프로세서에서 구현되어야 하며, 이는 본 추정기가 이산 시간

도메인에서 구현되도록 이산화 과정을 수행해야 함을 의미한다. 다음의

과정을 통해 연속 시간 ANF 기반 주파수 추정기가 이산 시간

도메인으로 이산화된다. 식 (1.1)의 적응형 필터는 필터 상태변수 x 에

대한 선형 시스템임을 가정하고, 쌍선형 변환법 (bilinear transform)을

적용하여 식 (1.4)와 같이 이산화된다.

0 1 2

0 1 2

[ ] [ 1] [ 2]

[ ] [ 1] [ 2]

a x k a x k a x k

b u k b u k b u k

(1.4)

2 20 4 4 [ ] [ ]T k T ka , 2 2

1 8 2 [ ]T ka , 2 22 4 4 [ ] [ ]T k T ka ,

2 20 2 [ ]T kb , 2 2

1 4 [ ]T kb , 2 22 2 [ ]T kb 이며, T 는 이산 시간

도메인의 샘플 주기이다. 식 (1.2)의 주파수 추정 법칙은 비선형

시스템이므로 식 (1.5)와 같이 이산화되며, 계산된 추정 주파수의 1차

미분값을 1차 유한 차분법을 이용, 적분하여 식 (1.6)과 같은 추정

주파수를 얻는다.

2[ ] [ ](2 [ ] [ ] 2 [ ] [ ])k x k k u k k x k (1.5)

[ 1] [ ] [ ]k k T k (1.6)

이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기에서도, 추정 주파수 [ ]k 는 식

(1.5)의 주파수 추정 법칙으로 계산되는 추정 주파수의 1차 미분값

[ ]k 이 0 이 되는 조건에서 수렴한다. 해당 조건은 아래의 식

(1.7)으로 표현된다.

8

[ ][ ] 0

[ ]

x ku k

k (1.7)

본 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기로 획득된 추정 주파수는 식

(1.4)의 적응형 필터가 쌍선형 변형으로 이산화되었기 때문에 왜곡되어

있다. 따라서 정확한 추정 주파수는 식 (1.8)과 같은 왜곡된 추정

주파수의 보정 작업을 통해 획득된다. 보정 작업은 아크 탄젠트 연산

수행을 통해 이루어진다.

2[ ] arctan [ ]

2actualT

k kT

(1.8)

9

제 2 절 기존 이산 시간 미분법 적용 시 문제점

이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기의 추정 주파수 수렴 조건은

입력 신호 [ ]u k , 추정 주파수 [ ]k , 적응형 필터 상태변수의 1차

미분값 [ ]x k 이 포함된 식 (1.7) 이 0 이 되는 조건으로 이루어진다.

따라서 입력 신호의 정확한 주파수 추정을 위해서는 식 (1.7) 내 각

구성 요소의 정확한 정보가 필요하다. 문제는 구성 요소 중 [ ]x k 를

획득하는 과정에서 발생한다. 기존 이산 미분 방법으로는 나이퀴스트

주파수 범위 내 모든 주파수 대역에서 필터 상태변수의 정확한 1차

미분이 불가능하기 때문이다. 기존 이산 시간 미분법으로 [ ]x k 계산 시,

사용하는 미분법에 따라 고주파수 입력 신호의 주파수 추정 결과가

부정확해지거나, 연속 시간 ANF 기반 주파수 추정기에서 증명된 추정

주파수의 국소 안정도가 저해되는 문제가 발생한다. 2절에서는 기존

이산 시간 미분법을 적용하여 [ ]x k 를 계산할 때 때 발생하는 문제에

대해 상세 분석한다.

제 1 항 유한 차분법 사용 시 발생하는 문제

이산 시간 도메인에서 적응형 필터 상태변수 [ ]x k 의 가장 간단한

1차 미분은 식 (2.1) 의 1차 유한 차분 미분법을 사용하는 것이다.

[ ] [ 1][ ]

x k x kx k

T

(2.1)

본 미분법으로 [ ]x k 계산 시, 식 (1.5)의 주파수 추정 법칙은 식

(2.2)과 같이 표현된다.

10

2

2

[ ] [ ](2 [ ] [ ] 2 [ ] [ ])

[ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ][ ] [ 1]

k x k k u k k x k

x k k u k kx k x k

T

(2.2)

하지만 필터 상태변수가 나이퀴스트 주파수에 가까운 고주파수 신호일

경우, 식 (2.1) 의 미분 방법은 필터 상태변수를 정확하게 미분하지

못한다. 이는 이산 시간 ANF 주파수 추정기가 주어진 고주파수 입력

신호의 주파수를 추정할 때, 부정확한 주파수 추정 결과를 유발한다. 식

(2.1) 의 미분 방법은 연속 시간 도메인에서의 라플라스 미분 연산자

s를 이산 시간 도메인에서 식 (2.3)의 z 변환으로 근사한다.

1(1 )1

zsT

(2.3)

식 (2.3) 은 연속 시간 도메인에서의 s 와 이산 시간 도메인에서의 z

사이 일대일 대응 관계를 보여준다. 그림 2.1은 세 가지 유한 차분

미분법을 사용했을 때, s 평면의 j 축이 z 평면으로 매핑되는 결과를

보여준다. 식 (2.3) 의 1차 유한 차분 미분법 뿐만 아니라, 2차 및 3차

유한 차분 미분법 [21]의 z 평면 매핑 결과를 함께 도시하였다. 2차 및

3차 유한 차분 미분법 적용 시, [ ]x k 는 각각 식 (2.4)와 (2.5)로

계산된다.

1[ ] 3 [ ] 4 [ 1] [ 2]

2x k x k x k x k

T (2.4)

111 [ ] 18 [ 1] 9 [ 2] 2 [ 3]

6[ ]x x k x k x k x k

Tk (2.5)

그림 2.1을 참조하면, 각각의 미분 방법은 s 평면의 j 축을 z 평면상

단위 원이 아닌, 그보다 압축된 영역으로 매핑시킨다. 다시 말해서,

s평면의 j축이 세 가지 유한 차분 미분법 적용 결과 해당 축의 노멀

11

방향으로 왜곡되는데, 왜곡의 정도는 주파수가 높을수록 심해진다.

그리고 이 왜곡은 소위 인위적인 댐핑 현상 (artificial damping) [22]

을 유발하여, 미분 결과의 위상 변화를 발생시킨다. 그림 2.2는 세 가지

유한 차분 미분법의 주파수 특성을 보드 선도 (bode plot)로 나타낸

것이다. 이산 시간 도메인에서의 샘플 주기는 125 μs 이다. 각 미분

방법 모두 나이퀴스트 주파수에 가까운 고주파수 영역에서 위상 변화를

90도 이하로 떨어뜨리는 모습을 보인다. 이는 세 미분 방법이 해당

주파수 영역에 존재하는 필터 상태변수를 정상 상태에서 정확하게

미분하지 못함을 의미한다. 그림 2.3 는 세 미분 방법을 적용, 125 μs

이산 시간 샘플 주기 환경에서 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 정상

상태에서의 미분 결과를 보여준다. 세 미분법 모두 정상 상태에서

부정확한 미분 결과를 유발한다.

12

그림 2.1. 유한 차분 미분법 적용 시 s평면 내

j축의 z평면 매핑 결과

그림 2.2. 유한 차분 미분법의 주파수 응답 특성

13

(a) 1차 유한 차분 미분법 적용 시 미분 결과

(b) 2차 유한 차분 미분법 적용 시 미분 결과

(c) 3차 유한 차분 미분법 적용 시 미분 결과

그림 2.3. 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 유한 차분 미분 결과

(빨간색: 정확한 미분 결과, 파란색: 유한 차분 미분 결과)

14

부정확한 필터 상태변수 미분 결과, 이산 시간 ANF 주파수

추정기의 추정 결과 또한 부정확해지는 문제가 발생한다. 그림 2.4는 세

유한 차분 미분법으로 식 (1.5) 의 [ ]x k 를 계산했을 경우, 125 μs 이산

시간 샘플 주기 환경에서 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 ANF 기반

주파수 추정기의 추정 결과를 보여준다. 2차, 3차 유한 차분 미분법으로

[ ]x k 계산 시, (1.5)의 주파수 추정 법칙은 각각 식 (2.6), (2.7)과

같이 표현된다.

2[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]1

3 [ ] 4 [ 1] [ 2]2

k x k k u k k x k x k x kT

(2.6)

2 1[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ] 11 [ ] 18 [ 1] 9 [ 2] 2 [ 3]

6k x k k u k k x k x k x k x k

T

(2.7)

각 주파수 추정기의 설정 파라미터인 감쇠 상수 및 추정 이득 은

각각 0.707, 0.02 로 통일한다. 1차, 2차 및 3차 유한 차분 미분법으로

[ ]x k 계산 시 주파수 추정 결과는 각각 2,751 Hz, 2,865 Hz, 2,775 Hz

으로, 입력 신호 주파수인 2,400 Hz 를 정확하게 추정하지 못한다.

그림 2.4. 유한 차분 미분법 적용 시 2,400 Hz 단일 사인 신호 주파수

추정 결과 (입력 신호 주파수: 점선)

15

제 2 항 쌍선형 변환법 사용 시 발생하는 문제

유한 차분 미분법 적용 시 발생하는 위상 문제가 없도록, 식 (2.8)

과 같이 [ ]x k 를 쌍선형 변환법을 적용하여 계산하는 방법이 존재한다.

2[ ] [ 1] [ ] [ 1]x k x k x k x k

T (2.8)

식 (2.8) 의 미분 방법은 연속 시간 도메인에서의 라플라스 미분

연산자 s를 이산 시간 도메인에서 식 (2.9) 의 z 변환으로 근사한다.

1

1

1

1

2 z

zs

T

(2.9)

그림 2.5는 쌍선형 변환 미분법을 사용했을 때, s 평면의 j 축이

z 평면으로 매핑되는 결과를 보여준다. 해당 미분 방법은 s 평면의

j 축을 z 평면 상의 단위 원으로 정확히 매핑시킨다. 즉 쌍선형 변환

미분법은 j축을 해당 축의 노멀 방향으로 왜곡시키지 않으므로, 유한

차분 미분법 적용 시 발생하던 인위적인 댐핑 현상을 유발하지 않는다.

그림 2.6은 125 μs 이산 시간 샘플 주기 환경에서 쌍선형 변환

미분법의 주파수 특성을 보드 선도로 나타낸 것이다. 해당 미분법의

위상 변화 특성은 나이퀴스트 주파수 내의 모든 주파수 구간에서 90

도를 유지한다. 정상 상태 응답 분석 상으로는 주어진 모든 주파수

영역의 신호를 정확히 미분하는 것이다. 그러나 쌍선형 변환 미분법의

문제점은 과도 응답 특성에서 발생한다. 그림 2.7에서 보듯 식 (2.9) 의

z 변환식은 z 평면 내 단위 원 위 나이퀴스트 주파수에 해당하는

1z 에 극점을 보유한다. 이는 입력 신호의 초기 조건으로 인한

진동하는 과도 응답을 발생시킨다. 그림 2.8 은 쌍선형 변환 미분법을

적용, 125 μs 이산 시간 샘플 주기 환경에서 200 Hz 단일 사인 신호에

대한 미분 결과를 보여준다. 해당 미분 방법 적용 시, 입력 신호의

16

초기조건에 의한 진동하는 과도 응답이 정확한 미분 결과에 더해진다.

그림 2.5. 쌍선형 변환 미분법 적용 시 s평면 내 j축의

z평면 매핑 결과

그림 2.6. 쌍선형 변환 미분법의 주파수 응답 특성

17

그림 2.7. 쌍선형 변환 미분법의 극점 및 영점 위치

그림 2.8. 200 Hz 단일 사인 신호에 대한 쌍선형 변환 미분 결과

(빨간색: 정확한 미분 결과, 파란색: 쌍선형 미분 결과)

18

쌍선형 변환 미분법이 유발하는 과도 응답 특성은 이산 시간 ANF

기반 주파수 추정기에서 추정 주파수의 수렴성을 저해한다. 쌍선형 변환

미분법으로 식 (1.5)의 [ ]x k 계산 시, 추정 주파수 1차 미분값은 식

(2.10)과 같이 계산된다.

2[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]2

[ 1] [ ] [ 1]k x k k u k k x k x k x kT

(2.10)

그림 2.9는 식 (2.10)의 주파수 추정 법칙 적용 시, 125 μs 이산 시간

샘플 주기 환경에서 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 ANF 기반

주파수 추정기의 추정 결과를 보여준다. 설정 파라미터인 감쇠 상수

및 추정 이득 은 각각 0.707, 0.02 이다. 추정 주파수는 0.13 초에

입력 신호 주파수인 2,400 Hz 에 도달하나, 이후 시간에 따라 2,400

Hz 이하로 감소하는 모습을 보인다. 감소된 추정 주파수는 시간에 따라

수렴하지 않고 단조 감소한다. 4 절의 "안정도 분석" 에서 쌍선형 변환

미분법의 과도 응답 특성이 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기의 추정

주파수 수렴성에 미치는 영향을 상세 분석한다.

그림 2.9. 쌍선형 변환 미분법 적용 시 2,400 Hz 단일 사인 신호

주파수 추정 결과 (입력 신호 주파수: 점선)

19

제 3 절 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기를 위한 미

분법 제안

2 절에서 살펴본 기존 이산 시간 미분법으로 식 (1.5) 의 [ ]x k 를

계산한 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기에서는 고주파수 입력

신호에 대한 주파수 추정 정확도가 부정확하거나 추정 주파수가

수렴하지 않는 문제가 발생한다. 각각의 문제는 유한 차분 미분법이

유발하는 인위적인 댐핑 현상으로 인한 고주파수 신호의 미분 부정확성,

그리고 쌍선형 변환 미분법이 유발하는 과도 응답 특성으로부터

기인한다. 따라서 인위적인 댐핑 현상이 없고 과도 응답을 유발하지

않는, 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기를 위한 적응형 필터

상태변수의 새로운 미분법 개발 필요성이 대두된다. 본 논문에서는 식

(2.8)의 쌍선형 변환 미분법이 보유한 z 평면 내 단위 원 위 1z

위치의 극점을 단위 원 안쪽으로 옮기는 변형된 쌍선형 변환 미분법을

제안한다. 제안된 미분법의 극점 및 영점 위치는 그림 3.1과 같다.

그림 3.1. 제안된 미분법의 극점 및 영점 위치

20

(0< 1)z 위치의 극점을 갖는 제안된 미분법 적용 시, 식

(1.5)의 [ ]x k 는 식 (3.1)로 계산된다.

2[ ] [ 1] [ ] [ 1]x k x k x k x k

T (3.1)

식 (3.1) 은 가 1 인 경우 식 (2.8)의 쌍선형 변환 미분법과

같아지며, 가 0인 경우 식 (2.1) 의 1차 유한 차분 미분법과

같아진다. 그림 3.2은 식 (3.1)의 제안된 미분법 적용 시, 125 μs 이산

시간 샘플 주기 환경에서 에 따른 200 Hz 단일 사인 신호의 미분

결과를 보여준다. 를 1에서 단위 원 안쪽으로 옮기는 경우, 쌍선형

변환 미분법으로 유발되는 과도 응답 특성이 시간에 따라 감쇠된다.

감쇠되는 속도는 변경된 극점의 위치가 z 평면 내 원점에 가까워 질수록

증가한다. 식 (3.1)의 제안된 미분법은 연속 시간 도메인에서의

라플라스 미분 연산자 s 를 이산 시간 도메인에서 식 (3.2) 의

z변환으로 근사한다.

1

1

1

1

2 z

zs

T

(3.2)

그림 3.3는 제안된 미분법을 사용했을 때, 에 따라 s평면의 j 축이

z 평면으로 매핑되는 결과를 보여준다. 값으로 변경되는 극점의

위치가 z 평면 내 원점에 가까울수록 j 축이 z 평면에 매핑되는

영역이 단위 원 대비 더욱 압축된다. 물론 값의 조절로 위 압축에

대한 정도가 조절되는데, 를 1 에 가까운 값으로 설정할수록 압축

정도는 미미해진다. 유한 차분 미분법이 유발하는 인위적인 댐핑 현상이

완화되는 것이다. 그림 3.4은 125 μs 이산 시간 샘플 주기 환경에서,

제안된 미분법의 값에 따른 주파수 특성을 보드 선도로 나타낸

것이다. 값 조절을 통해 위상 변화가 90도를 유지하는 주파수 범위를

21

조절할 수 있다. 값을 1에 가까운 값으로 설정할수록 해당 주파수

범위는 늘어난다. 그림 3.5는 125 μs 이산 시간 샘플 주기 환경에서

0.99 를 적용한 제안된 미분법으로 2,400 Hz 단일 사인 신호를

미분한 결과의 정상 상태를 나타낸다. 그림 2.3의 유한 차분 미분법

적용 결과와 달리 정상 상태에서 더욱 정확한 미분 결과를 얻는다.

(a) 1.0 적용 시 제안된 미분 결과

(b) 0.99 적용 시 제안된 미분 결과

22

(c) 0.90 적용 시 제안된 미분 결과

그림 3.2. 200 Hz 단일 사인 신호에 대한 제안 미분 결과

(빨간색: 정확한 미분 결과, 파란색: 제안 미분 결과)

그림 3.3. 제안된 미분법 적용 시 s평면 내 j축의

z평면 매핑 결과

23

그림 3.4. 제안된 미분법의 주파수 응답 특성

그림 3.5. 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 제안 미분 결과

(빨간색: 정확한 미분 결과, 파란색: 제안 미분 결과)

24

그림 3.2과 3.4를 통한 제안된 미분법의 과도 응답 특성과 정상

상태 특성 분석을 통해 식 (3.1) 의 설정에 대한 다음의 결론을

얻는다. 를 1에 가까운 값으로 설정할 수록 정상 상태에서 90도 위상

변화를 유지하는 주파수 범위가 확보되나, 제안된 미분 방법으로

유발되는 과도 응답의 감쇠 속도가 감소한다. 반대로 를 0에 가까운

값으로 설정할 수록 위 과도 응답의 감쇠 속도가 증가하나 정상

상태에서 90도 위상 변화를 유지하는 주파수 범위가 축소된다. 따라서

제안된 미분법으로 식 (1.5) 의 [ ]x k 를 계산할 경우 위 언급된

트레이드 오프 관계에 의거하여 적정 를 설정해야 한다. 0.99 로

설정할 경우 식 (1.5)의 추정 주파수 1차 미분값은 식 (3.3)과 같이

계산된다.

2[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]2

0.99 [ 1] [ ] [ 1]k x k k u k k x k x k x kT

(3.3)

그림 3.6는 식 (3.3)의 주파수 추정 법칙 적용 시, 125 μs 이산 시간

샘플 주기 환경에서 2,400 Hz 단일 사인 신호에 대한 ANF 기반

주파수 추정기의 추정 결과를 보여준다. 설정 파라미터인 감쇠 상수

및 추정 이득 은 각각 0.707, 0.02 이다. 그림 2.4, 9의 기존 미분법

적용 결과와 달리 그림 3.6의 제안된 미분법 적용 결과 추정 주파수가

입력 신호 주파수에 근접한 2,403 Hz 에 수렴하며, 시간에 따라 그

수렴성 또한 잃지 않는다.

본 미분법을 적용한 ANF 기반 주파수 추정기가 DFT 방법 수준의

주파수 추정 속도를 갖기 위한 설정 조건은 다음과 같다. DFT

방법을 사용하여 나이퀴스트 주파수 범위 내 입력 신호의 주파수 성분을

d Hz 간격의 해상도로 식별하기 위해서는 총 /d T 개의 샘플 개수를

필요로 한다. 데이터 취득 이후의 DFT 연산이 단일 제어 주기 이내에

수행 가능하다고 가정하면, 위 해상도 조건을 만족하기 위한 필요 제어

25

주기는 데이터 획득을 위한 제어 주기인 /d T 이다. 본 미분법을

적용하였을 경우, 발생하는 과도 응답의 /d T 제어 주기 이후 감쇄율은 /d T

이다. /d T 가 충분히 0에 가깝도록 를 설정하면, 해당 제어 주기 이후

충분한 과도 응답 감쇄가 발생한다. 따라서 해당 를 ANF 기반 주파수

추정기에 적용 시, 충분히 빠른 추정 속도를 가지도록 를 조절한 경우에

대하여, /d T 제어 주기 이후의 추정 주파수는 입력 신호 주파수를 정확하게

나타낼 수 있다. 예를 들어 /d T 제어 주기가 시정수의 5 배 ( 5 0.007e ) 가

되도록 하는 는 아래와 같다.

5

d

T e (3.4)

5T

de

(3.5)

그림 3.6. 제안된 미분법 (α=0.99) 적용 시 2,400 Hz 단일 사인 신호

주파수 추정 결과 (입력 신호 주파수: 점선)

26

제 4 절 제안된 미분법의 안정도 분석

4 절에서는 제안된 미분법으로 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기

구현 시, 추정 주파수의 안정도를 분석한다. 본 논문에서 사용하는

Mojiri[18]의 ANF 기반 주파수 추정기에서는, 연속 시간 도메인에서

평균 이론 (averaging theory) 에 의한 평균 시스템 (averaged

system) 분석을 통해 추정 주파수가 실제 입력 신호 주파수에 근접한

국소 영역 조건에서 추정 주파수의 국소 안정도가 증명되었다. 서론에서

언급한 그 밖의 Budson[16], Hsu[17], 및 Mojiri[19] 에서 제안된

ANF 기반 주파수 추정기 또한 같은 이론에 근거하여 연속 시간

도메인에서 추정 주파수의 국소 안정도가 증명되었다. 특히 Hsu[17]

에서는 상수인 추정 이득 를 적응형 필터 상태변수 x , x 와 추정

주파수 가 포함된 별도의 식을 통해 조절할 것을 추가 제안하였고,

이를 통해 추정 주파수의 전역 안정도 (global stability)까지

증명하였다. 본 논문에서는 쌍선형 변환 미분법을 적용하여 식 (2.10)의

주파수 추정기 구현 시, 기존 연속 시간 도메인에서 증명된 추정

주파수의 국소 안정도가 저해됨을 밝힌다. 이후 제안된 미분법이 위의

안정도 문제를 어떻게 완화시키는지를 보인다.

27

제 1 항 쌍선형 변환 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정

주파수 국소 안정도 분석

그림 2.8에서 보는 것과 같이, 쌍선형 변환 미분법으로 주어진 입력

신호를 미분하면, z 평면 상 단위 원 위 1z 위치의 극점으로 인해

정확한 미분 결과에 초기조건에 의한 과도 응답이 더해진 최종 미분

결과를 얻는다. 이를 아래의 식 (4.1)로 표현한다.

[ ] [ ] [ ]exactbilin oscilx k x k p k (4.1)

[ ]bilinx k 는 쌍선형 변환 미분법의 미분 결과, [ ]exactx k 는 정확한 미분

결과, [ ]oscilp k 는 과도 응답이다. 과도 응답 [ ]oscilp k 는 식 (4.2)로

표현된다.

2[ ] [0]( 1)k

oscil Tp k x (4.2)

식 (4.1) 을 이용하면, 식 (1.5)의 주파수 추정 법칙 내 [ ]x k 를 쌍선형

변환 미분법으로 계산하는 경우 해당 주파수 추정 법칙은 식 (4.3)으로

표현된다.

2

2

[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]

[ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]

[ ]

[ ] [ ]

bilin

exact oscil

k x k k u k k

x k k u k k

x k

x k p k

(4.3)

식 (4.3)를 (4.4)와 같이 [ ]exactx k 에 의한 부분과 [ ]oscilp k 에 의한

부분으로 분리한다.

28

2

2

2

[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]

[ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ] 2 [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]

[

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

exact oscil

exact oscil

exact oscil

exact exact

oscil

k x k k u k k

x k k u k k x k k

k k

k x k k u k k

k

x k p k

x k p k

x k

] 2 [ ] [ ]

4[ ] [ ]

[ ]

[0] ( 1)

oscil

k

x k k

x k kT

p k

x

(4.4)

[ ]exact k 는 [ ]k 의 [ ]exactx k 에 의한 부분을, [ ]oscil k 는 [ ]k 의 [ ]oscilp k 에

의한 부분을 나타낸다. [ ]exact k 는 연속 시간 도메인에서의 식 (1.2) 의 우측

항에 대응하는 부분이므로 해당 부분은 추정 주파수의 국소 안정도를

보장하는 부분이다. 따라서 추정 주파수의 국소 안정도 달성 여부는 쌍선형

변환 미분법의 과도 응답 특성으로 추가된 [ ]oscil k 에 의해 결정된다. 입력

신호의 주파수를 * 로 표현할 때, * 인 국소 조건에서 [ ]exact k 가 전체

[ ]k 에 미치는 영향은 [ ]oscil k 가 전체 [ ]k 에 미치는 영향 대비 미미하다. 식

(1.1), (1.2) 의 ANF 기반 주파수 추정기에서 입력 신호 ( )u t 에 대한 추정

주파수 1차 미분값 의 전달 특성은 * 인 조건에서 아래와 같은 2차

노치 필터 특성을 갖기 때문이다.

2

22

2

( ) (2 ( ) 2 )

( ) ( )

22

t x u t x

u t u t

x xx

x x x

(4.5)

따라서, * 인 조건에서 추정 주파수 [ ]k 의 주요 다이나믹스는

[ ]oscil k 에 의해 결정된다.

29

*

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )

exact oscil

oscil

k k k

k

(4.6)

이 때의 추정 주파수 [ ]k 의 주요 다이나믹스는 아래와 같다.

[ 1] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] 2 [ ] [ ] [ ]

(1 4 [0] [ ]( 1) [ ])

oscil

k

oscil

k k T k

k T k

k T x k k p k

x x k k

(4.7)

충분히 작은 값을 설정하여, 식 (4.7)의 1 4 [0] [ ]( 1)kx x k 가 항상

0보다 큰 값임을 가정하며, 해당 부분은 * 인 조건에서

주기함수이므로 N 샘플 개수의 주기를 갖는다고 가정한다. 이 경우 식

(4.7) 의 추정 주파수 [ ]k 의 평균값 [ ]k 은 산술-기하 절대부등식에

의해 아래와 같은 다이나믹스를 갖는다.

1

1

0

1

0

[ 1] (1 4 [0] [ ]( 1) [ ]

1(1 4 [0] [ ]( 1) [ ]

[ ]

)

)

Nk

k

N

k

N

k

k x x k k

x x k kN

k

(4.8)

즉, * 인 조건에서 [ ]oscil k 은 [ 1] [ ]k k 의 추정 주파수 평균값을

감소시키는 다이나믹스를 유발한다. 연속 시간 도메인에서 분석된 ANF

기반 주파수 추정기의 추정 주파수 국소 안정도가 쌍선형 변환 미분법을

적용하여 발생한 과도 응답에 의해 저해되는 것이다. 그림 2.9에서 보인

쌍선형 변환 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정 주파수 감소 현상은

30

식 (4.8) 의 추정 주파수 평균값 감소 다이나믹스에 근거하여 발생한다.

제 2 항 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정 주파수

국소 안정도 분석

제안된 미분법 또한 쌍선형 변환 미분법과 같이 초기 조건에 의한

과도 응답 특성을 유발한다. 그러나 식 (3.1) 의 제안된 미분법은 0과

1사이의 값을 선택하여 본래 쌍선형 변환 미분법이 가지고 있던 단위

원 위 1z 위치의 극점을 단위 원 안쪽으로 옮긴다. 이때 옮겨진

극점이 유발하는 과도 응답은 시간에 따라 감쇠되어 충분한 시간 경과

0에 수렴한다. 제안된 미분법 적용 시 미분 결과는 식 (4.9)로 표현된다.

. .[ ] [ ] [ ]exactmbilin moscilx k x k p k (4.9)

. [ ]m bilinx k 는 제안된 미분법의 미분 결과, [ ]exactx k 는 정확한 미분 결과,

. [ ]m oscilp k 는 과도 응답이다. 과도 응답 . [ ]m oscilp k 는 식 (4.10)로

표현된다.

.2

[ ] [0]( )km oscil T

p k x (4.10)

식 (4.10)의 과도 응답 . [ ]m oscilp k 이 주파수 추정 법칙인 식 (1.5) 에

미치는 영향을 식 (4.4)에서와 같이 표현하면 식 (4.11)를 얻는다.

.

2

. .

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] 2 [ ] [ ] 2 [ ]

[ ] 2 [ ] [ ]

4[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[0] ( )

exact m oscil

exact exact

m oscil m oscil

k

k k k

k x k k u k k

k x k k

x k kT

x k

p k

x

(4.11)

31

[ ]exact k 는 [ ]k 의 [ ]exactx k 에 의한 부분을, . [ ]m oscil k 는 [ ]k 의

. [ ]m oscilp k 에 의한 부분을 나타낸다. . [ ]m oscil k 은 충분한 시간 경과 0에

수렴하므로 이 때의 [ ]k 는 식 (4.12)과 같다.

.lim [ ] lim [ ] lim [ ]

[ ]

exact m oscilk k k

exact

k k k

k

(4.12)

쌍선형 변환 미분법이 적용된 주파수 추정기에서 추정 주파수의 국소

안정도를 저해했던 과도 응답이 제안된 미분 방법 적용 시 시간에 따라

감쇠하여 0으로 수렴한다. 따라서 제안된 미분 방법이 적용된 주파수

추정기는 충분한 시간이 경과한 정상 상태에서 추정 주파수의 국소

안정도를 유지한다.

32

제 5 절 시뮬레이션 및 실제 사례 적용 실험 결과

제 1 항 시뮬레이션 결과

시뮬레이션을 진행하여 제안된 미분법이 적용된 이산 시간 ANF

기반 주파수 추정기의 추정 성능을 검증한다. 본 항에서는 두 가지

종류의 시뮬레이션을 진행한다. 첫 번째로, 다양한 주파수 대역의 단일

사인 입력 신호에 대하여, 제안된 미분 방법이 적용된 이산 시간 ANF

기반 주파수 추정기의 추정 성능과, 기존 미분 방법이 적용된 주파수

추정기의 추정 성능을 비교한다. 두 번째로, 노이즈가 추가된 다양한

단일 사인 입력 신호에 대하여 첫 번째와 동일한 시뮬레이션을 반복,

정상 상태에서 추정 주파수 신호의 평균값과 리플 특성을 비교하는

시뮬레이션을 진행한다. 시뮬레이션 및 시뮬레이션 대상의 모든 ANF

기반 주파수 추정기 구현은 MathWorks 社 (Natick, Massachusetts,

USA)의 MATLAB SIMULINK 를 이용하여 수행되었다. 주파수 추정

성능 평가를 위해 구현한 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기는 식

(1.4)와 (3.3)의 제안된 미분법 ( 0.99 )이 적용된 주파수 추정기,

그리고 식 (1.4)와 (2.2), 식 (1.4)와 (2.6), 및 식 (1.4)와 (2.7)의

각각 1차, 2차, 및 3차 유한 차분 미분법이 적용된 3 가지의 주파수

추정기로, 총 4 가지이다. 이산 시간 도메인의 샘플 주기는 125 μs 이며,

모든 주파수 추정기의 설정 파라미터 중 감쇠 상수 는 0.707, 추정

이득 은 0.02, 그리고 추정 주파수 초기값 [0] 는 800 Hz 로

통일한다.

33

제 1 목 단일 사인 입력 신호에 대한 주파수 추정 시뮬레이션 결과

그림 5.1는 진폭 1을 갖는 100 Hz, 500 Hz, 1,000 Hz, 1,500 Hz,

2,500 Hz, 및 3,000 Hz 의 각 단일 사인 입력 신호에 대하여, 4가지

주파수 추정기의 추정 결과를 그래프로 도시한 것이다. 입력 신호

주파수에 대한 각 주파수 추정기의 추정 주파수 수렴값을 표 5-1에

정리한다. 낮은 주파수의 입력 신호에 대해서는 4가지 주파수 추정기

모두 정확히 입력 신호의 주파수를 추정한다. 그러나 입력 신호의

주파수가 높아질수록, 기존 유한 차분 미분법이 적용된 3가지 주파수

추정기의 추정 주파수는 입력 신호의 주파수로부터 벗어난 곳에

수렴한다. 이는 유한 차분법이 유발하는 인위적인 댐핑 현상으로, 각

미분법의 주파수 응답 특성이 고주파수 영역에서 90도 이하의 위상

변화를 유발하기 때문에 발생한다. 해당 주파수 영역의 적응형 필터

상태변수를 정상 상태에서 정확히 미분하지 못하는 것이다. 제안된

미분법 또한 1보다 작은 값을 선택한 결과, 고주파수 영역에서

인위적인 댐핑 현상이 발생한다. 그러나 발생하는 정도는 기존 유한

차분 미분법 대비 미미하기 때문에, 제안된 미분법은 같은 고주파수

대역에서 주파수 응답 특성의 90도 위상 변화를 더욱 유지한다. 이는

고주파수 영역의 입력 신호에 대한 더욱 정확한 주파수 추정 결과로

이어진다.

34

(a) 100 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(b) 500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

35

(c) 1,000 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(d) 1,500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

36

(a) 2,500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(b) 3,000 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(입력 신호 주파수: 점선)

그림 5.1. 단일 사인 입력 신호에 대한 4가지 주파수

추정기의 추정 결과

37

표 5-1. 입력 신호 주파수에 대한 4 가지 주파수 추정기의

추정 주파수 수렴값

입력 신호

주파수

(Hz)

추정 주파수 수렴값 (Hz)

1 차 유한

차분 미분법

2 차 유한

차분 미분법

3 차 유한

차분 미분법

제안

미분법

100 103 100 100 100

500 570 505 496 500

1,000 1,241 1,067 961 1,001

1,500 1,889 1,745 1,458 1,503

2,500 2,817 2,964 2,905 2,506

3,000 3,175 3,300 3,381 3,008

38

제 2 목 노이즈가 추가된 단일 사인 입력 신호에 대한 주파수 추정

시뮬레이션 결과

제안된 미분 방법을 적용한 ANF 기반 주파수 추정기를 실제

사례에 적용함에 있어, 주파수 추정 대상이 되는 입력 신호는

통상적으로 노이즈를 동반한다. 두 번째 시뮬레이션에서는 첫 번째

시뮬레이션에서의 입력 신호에 노이즈를 추가한 뒤, 해당 신호에 대한 4

가지 주파수 추정기의 추정 결과를 관찰하여, 실제 사례에 대한 제안된

미분 방법의 적용 가능성을 검토한다. 입력되는 단일 사인 신호에

가우시안 노이즈가 포함될 경우, 수렴 이후의 추정 주파수 신호에서

입력 신호 노이즈에 의한 리플이 발생한다. 동일한 노이즈가 포함된

동일한 주파수의 입력 신호에 대하여, 각 주파수 추정기를 적용한 추정

작업 수행 시 수렴 이후 추정 주파수 신호의 평균값과 표준 편차를

측정하여 비교한다. 입력 신호의 진폭 및 주파수는 첫 번째

시뮬레이션에서의 진폭 및 주파수와 동일하며, 각 입력 신호에 평균 0,

표준편차 0.3의 가우시안 노이즈를 추가한다. 이 경우의 신호 대 잡음비

(Signal-to-noise ratio, SNR) 는 7.45 dB 이다. 노이즈가 추가된 각

입력 신호에 대한 4가지 주파수 추정기의 추정 결과를 그림 5.2에

도시한다. 그리고 입력 신호 주파수에 대한 수렴 이후 추정 주파수

신호의 평균 및 표준편차를 표 5-2 및 5-3에 정리한다. 추정 주파수

신호의 평균 및 표준 편차 비교 결과 제안된 미분 방법이 적용된 주파수

추정기는 기존 유한 차분 미분 방법이 적용된 주파수 추정기 대비 높은

추정 정확도를 가지면서 입력 신호의 노이즈에 대한 영향이 적거나

동일한 수준을 유지한다.

39

(a) 노이즈가 포함된 100 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(b) 노이즈가 포함된 500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

40

(c) 노이즈가 포함된 1,000 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(d) 노이즈가 포함된 1,500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

41

(a) 노이즈가 포함된 2,500 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(b) 노이즈가 포함된 3,000 Hz 단일 사인 신호 추정 결과

(입력 신호 주파수: 점선)

그림 5.2. 노이즈가 포함된 단일 사인 입력 신호에 대한 4가지

주파수 추정기의 추정 결과

(평균 0, 표준편차 0.3 가우시안 노이즈 추가)

42

표 5-2. 노이즈가 포함된 입력 신호 주파수에 대한

수렴 이후 추정 주파수 신호의 평균

입력 신호

주파수

(Hz)

수렴 이후 추정 주파수 평균 (Hz)

1 차 유한

차분 미분법

2 차 유한

차분 미분법

3 차 유한

차분 미분법

제안

미분법

100 103 100 100 100

500 569 502 492 497

1,000 1,233 1,055 944 985

1,500 1,866 1,712 1,418 1,461

2,500 2,770 2,896 2,836 2,406

3,000 3,096 3,232 3,315 2,891

표 5-3. 노이즈가 포함된 입력 신호 주파수에 대한

수렴 이후 추정 주파수 신호의 표준편차

입력 신호

주파수

(Hz)

수렴 이후 추정 주파수 표준편차 (Hz)

1 차 유한

차분 미분법

2 차 유한

차분 미분법

3 차 유한

차분 미분법

제안

미분법

100 0.14 0.13 0.13 0.13

500 2.68 2.04 1.91 1.96

1,000 11.1 8.57 6.73 7.15

1,500 21.6 20.7 18.2 15.3

2,500 38.6 41.1 47.2 36.7

3,000 49.8 50.6 54.1 48.2

43

제 2 항 실제 사례 적용 실험 결과

ANF 기반 주파수 추정기의 실제 적용 사례 중 반욱[11]에서

제안된 서보 시스템의 자동 공진 추정 및 억제 알고리즘에 제안된 미분

방법을 적용하여 그 효과를 검증한다. 모터 제어를 이용한 일반적인

산업용 서보 시스템의 일 예로, 그림 5.3과 같이 볼 스크류 드라이브

또는 벨트 드라이브를 이용하여 모터의 회전 운동을 움직이고자 하는

페이로드(payload)의 직선 운동으로 변경시키는 사례가 존재한다. 해당

사례에서 모터의 회전 운동은 스크류 바 또는 벨트라는 매개물을 통해

연결된 페이로드의 직선 운동으로 변환되는데, 이 때 각 매개물이

보유하는 탄성 특성이 특정 주파수 대역의 공진 현상을 유발한다. 공진

주파수는 모터, 그리고 연결된 페이로드의 질량이나 관성 모멘트,

그리고 매개물의 용수철 상수에 의해 결정된다.

(a) 벨트 드라이브 부하

(b) 볼 스크류 드라이브 부하

그림 5.3. 볼 스크류 드라이브 및 벨트 드라이브 부하

44

서보 시스템에서 발생하는 공진 현상은 Ellis[23] 에서 언급된 2차

선형 시스템 모델을 이용하여 그 특성이 수학적으로 설명된다. 그림

5.4는 공진이 발생하는 시스템의 모델 다이어그램이다. 전체 모델은

강체로 표현된 모터 MJ 및 페이로드 LJ 사이가 댐퍼 sb 와 스프링

sK 로 표현되는 매개물로 연결되어 있는 모습을 반영한다. 시스템 블록

다이어그램은 그림 5.5와 같으며, 인가하는 토크 명령 MT 에 대한

모터의 회전 속도 MV 의 전달함수는 식 (5.1) 로 표현된다.

2

2

1 1 s sM L

L ME L Ms s

L M

V J s b s K

J JT J J ss b s K

J J

(5.1)

위 시스템의 공진 주파수 resf 는 식 (5.2) 와 같다.

1

2s

resL M

L M

Kf

J J

J J

(5.2)

식 (5.1) 의 전달함수는 s 평면에서 j 축에 가까이 위치하는 한 쌍의

두 극점을 보유한다. 해당 극점은 시스템의 공진 특성을 표현한다. 그림

5.6은 식 (5.1) 의 주파수 특성을 보드 선도로 나타낸 것인데, 공진

주파수 resf 에 해당하는 영역에서 크기 특성의 극대값이 존재하는 것을

확인할 수 있다. 토크 명령을 생성하는 제어기의 이득이 증가하면, 서보

시스템의 폐루프 시스템에서 식 (5.1) 의 두 극점이 s 평면의 j 축을

기준으로 우측 평면으로 이동한다. 이 때 해당 극점이 위치한 공진

주파수의 큰 진동이 유발된다. 공진에 대한 별도의 대처방안이 없는

경우 전체 시스템의 응답성 향상을 목적으로 증가시킬 수 있는 제어기의

이득은 제한된다.

45

그림 5.4. 공진 발생 시스템의 모델 다이어그램

그림 5.5. 공진 발생 시스템의 블록 다이어그램 [23]

그림 5.6. 공진 발생 시스템의 주파수 응답

46

서보 시스템의 공진 현상을 제거하기 위해, 식 (5.3)의 노치 필터를

제어기의 전류 명령에 적용하는 필터링 방법 [24]이 존재한다.

2 2

2 2( )

2

notch

notch notch

sH s

s s

(5.3)

notch 는 필터 주파수, 는 필터의 감쇠 상수이다. 식 (5.3)은

s 평면에서 j 축 상에 위치하는 한 쌍의 두 영점을 보유한다. 따라서

식 (5.1)에서 공진을 유발하는 극점에 가까운 위치에 식 (5.3)의

영점을 추가하면, 극점-영점 상쇄에 의해 해당 극점에 의한 영향이

제거되어 전체 시스템의 공진 억제가 달성된다. 그러나 노치 필터를

이용하여 서보 시스템의 공진 억제를 달성하려면 식 (5.3)의 적정 영점

위치 선정을 위해 시스템의 공진 주파수를 사전에 알고 있어야 한다는

한계점이 존재한다. 본 한계의 극복을 위해 ANF 기반 주파수 추정기를

위한 서보 시스템의 자동 공진 추정 및 억제 알고리즘이 반욱[11]에

의해 제안되었다. 이 알고리즘은 제어기 이득 증가 시 공진 현상이

발생하면, 제어기의 전류 명령에 반영되는 공진 신호의 주파수를 주파수

추정기를 이용하여 추정한다. 그리고 추정 주파수를 필터 주파수로 갖는

적정 노치 필터를 설정하여 발생한 공진을 제거한다. 시스템에 대한

사전 정보 없이도 발생한 공진의 추정 및 제거가 가능하므로 본

알고리즘을 적용하면 시스템 운용 중 발생하는 공진의 실시간 억제를

달성할 수 있다. 서보 시스템에서 대부분의 제어기는 DSP 또는 MCU로

구현되어 있기 때문에 해당 프로세서에 ANF 기반 주파수 추정기를

구현하려면 기존 연속 도메인에서 제안된 주파수 추정기를 이산 시간

도메인으로 이산화해야 한다. 본 논문의 내용에 따르면 식 (1.1) 과

(1.2) 의 연속 시간 ANF 기반 주파수 추정기를 식 (1.4) 와 (1.5) 의

형태로 이산화하는 경우, 식 (1.5) 의 [ ]x k 를 기존 유한 차분

47

미분법으로 계산하면 고주파수 입력 신호의 추정 정확도가 떨어지는

문제가 있다. 이는 해당 주파수 대역의 공진 발생 시 공진 억제를 위한

적정 노치 필터 설정에 문제를 유발한다. 제안된 미분법으로 식 (1.5)

의 [ ]x k 를 계산하면 고주파수 영역에서도 추정 주파수 정확도가

유지되기 때문에, 공진 억제를 위한 적정 노치 필터 설정이 가능해진다.

본 실험에서는 식 (1.4)와 (2.2)의 1차 유한 차분 미분법이 적용된

ANF 기반 주파수 추정기, 식 (1.4)와 (3.3)의 제안된 미분법

( 0.99 )이 적용된 ANF 기반 주파수 추정기를 구현한다. 그리고

그림 5.7의 볼 스크류 드라이브의 속도 제어 수행 시, 발생하는 공진에

대한 두 추정기의 공진 주파수 추정 결과를 비교한다. 이후 각 추정

결과로 노치 필터를 설정 시 공진 제거 효과를 비교한다. 해당 볼

스크류 드라이브 부하가 보유하는 공진 주파수를 알아내기 위해 화이트

노이즈 속도 명령을 인가한 부하의 주파수 특성, 즉 모터 토크 명령에

대한 모터 각속도의 주파수 특성 측정 [25]을 진행하였다. 그림 5.8은

측정 결과로 획득한 볼 스크류 드라이브 부하의 주파수 응답 특성을

보드 선도로 도시한 것이다. 측정 결과, 실험 대상 볼 스크류

드라이브는 838 Hz 및 1,650 Hz 주파수 부근에 공진점을 보유하고

있다. 시스템의 속도 제어를 위한 제어기는 RS Automation 社 (평택,

경기도, 대한민국)의 CSD 7 서보 드라이브를 사용한다. 본 서보

드라이브는 주어진 모터 시스템의 속도 제어를 위한 PI 제어기

알고리즘이 내장되어 있으며, 전체 속도 제어 시스템의 원하는 응답

대역폭을 지정하면, 해당 대역폭에 맞는 적정 비례(P) 게인과 적분(I)

게인을 설정하는 기능이 존재한다. 동일 서보 드라이브의 DSP 내에 위

2가지 ANF 기반 주파수 추정기를 구현한다. 이산 시간 샘플 주기는

125 μs 이다. 주파수 추정기의 설정 파라미터 중 감쇠 상수 는 0.707,

추정 이득 은 0.02, 그리고 추정 주파수 초기값 [0] 는 800 Hz 로

48

통일한다. 주파수 추정 결과로 설정되는 식 (5.3) 노치 필터의 감쇠

상수 는 0.707 로 설정한다.

그림 5.7. 실험 대상 볼 스크류 드라이브 부하

그림 5.8. 실험 대상 볼 스크류 드라이브의 주파수 응답 측정 결과

49

제 1 목 발생한 공진에 대한 공진 주파수 추정 결과

제어기의 응답 대역폭을 높여 시스템의 공진을 유발시켰을 때, 각

ANF 기반 주파수 추정기를 작동시켜 제어기 전류 명령 신호에 대한

주파수 추정을 진행한다. 첫째로, 보유하고 있는 두 가지의 공진점 중

838 Hz 대역의 공진만을 유발시키기 위해 제어기의 응답 대역폭을 50

Hz 로 설정하였다. 그림 5.9, 5.10은 그림 5.8에서 언급된 838 Hz

대역의 첫 번째 공진 현상 발생 시 전류 명령 신호와 해당 신호에 대한

각 주파수 추정기의 추정 결과를 도시한 것이다. 추정 결과 그림 5.9의

유한 차분 미분법이 적용된 주파수 추정기는 전류 명령 신호의 주파수를

1,036 Hz 로 추정하고, 그림 5.10의 제안된 미분법이 적용된 주파수

추정기는 전류 명령의 주파수를 853 Hz 로 추정한다. 이후 각각의 추정

결과로 노치 필터를 설정하여 발생한 첫 번째 공진의 억제를 시도한다.

그림 5.11, 5.12은 그림 5.9, 5.10의 첫 번째 공진에 대한 추정

주파수로 첫 번째 노치 필터를 각각 설정한 뒤, 제어기의 응답 대역폭을

100 Hz 로 올려 1,650 Hz 주파수 대역의 두 번째 공진을 발생시켰을

때, 발생한 공진에 대한 각 주파수 추정기의 주파수 추정 결과를 도시한

것이다. 그림 5.11의 유한 차분 미분법이 적용된 주파수 추정기는

2,034 Hz 의 주파수 추정 결과를, 그림 5.12의 제안된 미분법이 적용된

주파수 추정기는 1,621 Hz 의 주파수 추정 결과를 내놓는다. 역시

각각의 추정 결과로 노치 필터를 설정하여 발생한 두 번째 공진의

억제를 시도한다.

50

(a) 공진 발생 시 전류 명령 신호

(b) 공진 발생 시 전류 명령 신호에 대한 주파수 추정 결과

그림 5.9. 838 Hz 대역의 첫 번째 공진 발생 시, 전류 명령 및

유한 차분 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의 추정 결과

(제어기 설정 응답 대역폭: 50 Hz)

51

(a) 공진 발생 시 전류 명령 신호

(b) 공진 발생 시 전류 명령 신호에 대한 주파수 추정 결과

그림 5.10. 838 Hz 대역의 첫 번째 공진 발생 시, 전류 명령 및

제안된 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의 추정 결과

(제어기 설정 응답 대역폭: 50 Hz)

52

(a) 공진 발생 시 전류 명령 신호

(b) 공진 발생 시 전류 명령 신호에 대한 주파수 추정 결과

그림 5.11. 1,650 Hz 대역의 두 번째 공진 발생 시, 전류 명령 및

유한 차분 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의 추정 결과

(제어기 설정 응답 대역폭: 100 Hz,

설정된 첫 번째 노치 필터의 필터 주파수: 1,036 Hz)

53

(a) 공진 발생 시 전류 명령 신호

(b) 공진 발생 시 전류 명령 신호에 대한 주파수 추정 결과

그림 5.12. 1,650 Hz 대역의 두 번째 공진 발생 시, 전류 명령 및

제안된 미분법 적용 ANF 기반 주파수 추정기의 추정 결과

(제어기 설정 응답 대역폭: 100 Hz,

설정된 첫 번째 노치 필터의 필터 주파수: 853 Hz)

54

제 2 목 노치 필터 설정 이후 공진 억제 확인 결과

제 1 목의 결과에 따르면, 공진 유발 테스트 이후 설정되는 노치

필터 주파수는 유한 차분 미분법이 적용된 주파수 추정기 적용 시

1,036 Hz 및 2,034 Hz 이고, 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기

적용 시 853 Hz 및 1,621 Hz 이다. 제어기의 응답 대역폭이 100 Hz

이고 각 노치 필터가 모두 적용된 상태에서, 1,000 RPM의 등속 명령을

인가하였을 때 전류 명령과 속도 피드백을 측정하여 각 노치 필터 설정

결과 발생한 공진이 억제되었는지를 확인한다. 모터 등속 주행 시

제어기 설정 값 및 설정 노치 필터 주파수를 표 5-4에 정리하였다.

그림 5.13은 모터 등속 주행 구간에서 측정된 전류 명령과 속도 피드백

신호를 도시한 것이다. 실험 결과 유한 차분 미분법을 적용한 주파수

추정기로 공진 주파수를 추정하여 2개의 노치 필터를 설정한 결과,

소음을 유발한다. 이는 설정된 노치 필터 주파수가 실제 공진 주파수와

일치하지 않아 완전한 공진 억제가 달성되지 않은 것이다. 제안된

미분법을 적용한 주파수 추정기로 공진 주파수 추정 및 노치 필터를

설정한 결과, 발생한 공진이 모두 억제되어 모터 동작 시 소음을

유발하지 않는다. 측정된 전류 명령의 표준편차는 전자의 유한 차분

미분법을 적용한 실험 결과의 경우 3.101 A, 후자의 제안된 미분법을

적용한 실험 결과의 경우 0.041 A이다. 측정된 속도 피드백의

표준편차는 전자의 경우 293.7 RPM, 후자의 경우 2.997 RPM 이다.

표 5-4. 각 실험의 설정 노치 필터 및 설정 응답 대역폭

실험 번호 실험 1 실험 2

설정 노치

필터 주파수

(Hz)

1,036 835

2,034 1,621

제어기 설정

응답 대역폭

(Hz)

100 100

55

(a) 전류 명령

(b) 속도 피드백

그림 5.13. 노치 필터 적용 이후, 1,000 RPM 등속 명령 인가 시

모터 전류 명령 및 모터 피드백 신호

(파란색: 표. 4, 실험 1의 노치 필터 및 응답 대역폭 적용,

빨간색: 표. 4, 실험 2의 노치 필터 및 응답 대역폭 적용)

56

제 3 장 결 론

제 1 절 결론

본 논문에서는 이산 시간 ANF 기반 주파수 추정기를 위해, 기존

쌍선형 변환 미분법을 변형한 새로운 이산 시간 미분법을 개발하였다.

개발된 미분법이 보유하는 극점은 쌍선형 변환 미분법이 보유하고 있는

극점을 z 평면 내 단위 원 안쪽으로 이동시킨 것이다. 이러한 극점

위치변화는 쌍선형 변환 미분법이 유발하는 과도 응답을 시간에 따라

감쇠시키는 효과를 유발한다. 따라서 쌍선형 변환 미분법이 적용된

ANF 기반 주파수 추정기에서 과도 응답 특성으로 발생했던 추정

주파수 수렴성 문제가 개발된 미분법 적용 이후 해결된다. 또한 제안된

미분법은 주파수 응답 특성 상 기존 유한 차분 미분법 대비 90도 위상

변화를 유지하는 주파수 범위가 더 넓다. 이는 개발된 미분법이 주어진

다양한 주파수 대역의 입력 신호를 정상 상태에서 더 높은 정확도로

미분할 수 있음을 의미한다. 따라서 제안된 미분법이 적용된 ANF 기반

주파수 추정기는 기존 유한 차분 미분법이 적용된 ANF 주파수 추정기

대비 더 넓은 주파수 대역의 입력 신호 주파수를 높은 정확도로

추정한다. 이로서 기존 이산 시간 미분법 적용 시 ANF 기반 주파수

추정기에서 발생했던 추정 주파수의 수렴 문제와 추정 정확도 문제가 본

개발된 미분법 적용으로 동시에 해결 가능하다.

본 논문에서는 두 가지 종류의 시뮬레이션과 한 가지 종류의 실제

적용 사례 실험을 통해 개발된 미분법의 ANF 기반 주파수 추정기 적용

효과를 검증하였다. 다양한 주파수의 단일 사인 입력 신호에 대한

주파수 추정 시뮬레이션 결과, 개발된 미분법이 적용된 주파수 추정기는

57

125 μs 이산 시간 샘플 주기환경에서 진폭 1, 주파수 3,000 Hz 이하의

모든 단일 사인 입력 신호 주파수를 8 Hz 이내의 오차로 추정한다.

해당 사인 신호에 평균 0, 표준편차 0.3 의 가우시안 노이즈를 추가한

경우 개발된 미분법이 적용된 주파수 추정기는 같은 진폭, 같은 주파수

범위의 입력 신호 주파수를 109 Hz 이내의 오차로 추정한다. 노이즈

추가로 인한 수렴 이후 추정 주파수의 리플의 표준편차는 기존 유한

차분 미분법이 적용된 주파수 추정기의 추정 주파수 리플의 표준편차와

유사하다. 시뮬레이션 이후, 볼 스크류 드라이브 속도 제어 시스템에서

발생하는 공진의 주파수를 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기로

추정한 뒤 추정 주파수의 노치 필터를 설정하여 이를 억제하는 실험을

진행하였다. 실험 결과 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기는

시스템에서 발생하는 두 가지 공진을 각각 835 Hz, 1,621 Hz 로

추정했는데, 각 추정 결과는 본래의 볼 스크류 드라이브 보유

공진주파수인 838 Hz, 1,650 Hz 에 근접한다. 따라서 추정 결과로 두

개의 노치 필터를 설정한 결과 시스템 보유 공진이 억제되었고, 100 Hz

의 속도 응답 대역폭을 갖는 제어기 게인 설정 조건에서 시스템의

안정적인 주행이 가능해졌다.

58

제 2 절 향후 과제

향후 과제로, 제안된 미분법이 적용된 ANF 기반 주파수 추정기의

입력 신호 노이즈에 대한 이론적 특성 분석이 요구된다. 제안된

미분법을 적용한 ANF 기반 주파수 추정기를 실제 사례에 적용함에

있어, 주파수 추정 대상이 되는 입력 신호는 통상적으로 노이즈를

동반한다. 따라서 제안된 미분법이 실제 사례 적용 측면에서 신뢰도를

얻으려면 노이즈가 포함된 입력 신호에 대한 제안된 미분법의 특성을

이론적으로 분석해야 한다. 그러나 본 논문에서는 해당 내용을 수록하지

못했다. 다만 두 번째 시뮬레이션인, 노이즈가 추가된 다양한 단일 사인

입력 신호에 대한 주파수 추정결과를 본 논문에 수록하였다. 이는

제한된 시뮬레이션 조건에서 제안된 미분법이 적용된 주파수 추정기의

노이즈 특성이 기존 미분법이 적용된 주파수 추정기의 노이즈 특성과

유사하다는 결과를 보인 수준에 그쳤다.

59

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64

Abstract

Discrete-Derivative Method for

Adaptive-Notch-Filter Based

Frequency Estimators

Jong-Min Yoon

Dept. of Electrical Engineering and Computer Science

The Graduate School

Seoul National University

This paper presents a new discrete-derivative method for

adaptive-notch-filter based frequency estimators. These

frequency estimators are widely used for online frequency

estimation because of their small computation burden and simple

structures. Implementing the estimators in real applications

requires a discretization process, because the estimators should be

operated in the discrete-time domain. However, conventional

discretization processes can arise some problems related to the

estimation performance of the estimators. Depending on the

discretization processes, the estimators cannot accurately estimate

frequencies of input signals in high-frequency ranges, or local

stabilities of the estimated frequency proved in the continuous-

time domain can be deteriorated. If a finite difference method is

used, it produces phase responses less than 90 degrees in high-

65

frequency ranges. This phenomenon causes inaccurate frequency

estimation results in high frequency ranges. If a bilinear transform

method is used, the oscillating transient response based on the

initial condition deteriorates convergence properties of the

estimated frequency. A new discrete-derivative method which

modifies the bilinear transform is proposed. The proposed method

does not produce the oscillating transient response in the steady-

state. Furthermore, phase responses of this method remain 90

degrees even in high-frequency ranges. Therefore, the frequency

estimators which use the proposed derivative method can

accurately estimate frequencies of input signals in various

frequency ranges. Simulations and experiments for an industrial

servo system are performed to show the effectiveness of the

proposed method.

Keywords : Adaptive-notch-filter, Frequency estimator, Discrete-

derivative method, Discretization, Bilinear transform method, Finite

difference method

Student Number : 2014-21741