Para analizar el movimiento del disco de Euler, empezamos definiendo coordenadas e ilustrar elmoviminento del disco sobre una superficie plana.

En adicion al eje vertical z, introducimos una nuevta triada de vectores (1, 2, 3) relativos a lageometrıa del disco, como se muestra en la Figura 1.

Figure 1: Un disco de radio a gira sobre una superficie plana sin deslizar. Se definen ejes de simetriaen el disco, el primero 1, que genera un angulo α con el eje z, que es la componente vertical, teniendoque 0 ≤ α ≤ π. La line que se extiende desde el centro del disco, donde tambin se encuentra elcentro de masa, al punto de contacto con el plano es denominada como el eje 3, que hace angulo αcon la horizontal. El eje horizontal 2 es definido por 2 = 3 x 1 y el eje horizontal r es definido porr = 2 x z. La velocidad angular del disco en el eje 1 es denominada ω1, y la velocidad angular enlos ejes 1, 2, 3 (velocidad de precesion) es denominada Ω. El movimiento del punto de contacto setrabajara en un tiempo instantaneo, en un circulo de radio r. La distancia del eje de movimiento alcentro de masa del disco esta represenatda por b.

Teniendo que el eje 3 se dirige del centro del disco al punto de contacto con el plano horizontal,el vector vector que va del centro del disco al suelo se define como

a = a z (1)

El eje 2 = 3 x 1, que yace en el plano del disco, yace tambien en el plano horizontal. La direcciondel eje 1 es elegida tal que la componente ω1de la velocidad angular del vector ω del sico respectoal eje es positiva. En consecuencia, el eje 2 apunta en la direccion de la velocidad del punto de

1

contacto. (Para el caso especial donde el punto de contacto no se mueve, ω1 = 0, el analisis nocambia gracias a la direccion de 1 elegida)

Iniciamos analizando la cinematica del problema. La velocidad angular w se descompone en dospartes,

ω = ω123 + ωrel 1 (2)

donde ω123 es la velocidad angular de la triada (1, 2, 3), y ωrel1 es la velocidad angular del discorelativa a la triada, esta velocidad angular, por definicion, solo puede tener componente en direccion1. La velocidad angular ω123 tiene componente α respecto al eje horizontal 2, y componente Ωrespecto al eje vertical z, Ya que 2 es siempre horixontal, ω123 no tiene componente en esta. Por lotanto, la velocidad angular de la triada (1, 2, 3) puede ser escrita como

ω123 = Ω z + α 2 = −Ω cos(α) 1 + α 2− Ω sin(α) 3 (3)

teniendo que

z = −cos(α) 1− sin(α) 3 (4)

como se muestra en la Figura 1. Las variacion de los ejes con respecto al tiempo es

d1

dt= ω123 × 1 = −Ω sin(α) 2− α 3 (5)

d2

dt= ω123 × 2 = Ω sin(α) 1− Ω cos(α) 3 = −Ω r (6)

d3

dt= ω123 × 3 = Ω cos(α) 2 + α 1 (7)

donde la rotacion del eje horizontal r esta dada por

r = 2 × z = −sin(α) 1 + cos(α) 3 (8)

y el cambio de este en el timepo es

dr

dt= Ω 2 (9)

Combinando las ecuaciones (2) y (3) podemos escribir la velocidad angular total como

ω = ω1 1 + α α− Ω sin(α) 3 (10)

donde

ω1 = ωrel − Ω cosα (11)

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Conociendo la velocidad angular del disco, podemos centrarnos ahora en la velocidad instantaneadel punto de contacto del disco con el plano horizontal, que es igual a cero.

vcontacto = vcm + ω × a = 0 (12)

Por lo tanto, usando las ecuaciones (1) y (10), tenemos

vcm =rcmdt

= a 3 × ω = −aα 1 + aω1 2 (13)

Adicionalmente, las relaciones cinematicas pueden ser deducidad notando que el punto de con-tacto entre el disco y el plano horizontal puede ser considerado siempre como un movimiento circular,donde el radio del vector se define como r = r r, con r ≥ 0, como se muestra en la Figura 1, y dondeel centro esta definido por la posicion xA x+ yA y, donde x y y son un arreglo de vectores unitariosubicados horizontalmente respecto a z. Luego, el centro de masa del disco tiene una posicion

rcm = xA x+ yA y + r r − a 3 (14)

y el cambio con respecto al tiempo es

rcmdt

= xA x+ ˙yA y + r r − a α 1 + (r − a cos(α) Ω 2 (15)

En el caso especial de movimineto constante, xA = ˙yA = r = α = 0, combinando las ecuaciones(13) y (15), tenemos

ω1 =b

aΩ (16)

donde

b = r − acos(α) (17)

es la distancia horizontal del eje del movimiento circular al centro de masa del disco. Por lotanto, el movimiento constante del spin de velocidad angular ω1 esta relacionado con la precesionangular Ω, acorde a la ecuaciıon (16). Al definir a ω1 como no negativo, b solo puede ser negativo siΩ tambien es negativo.

Para el analisis dinamico, lo primero que hacemos es definir el tensor de inercia, que es igual aI = kma2, donde k tiene diferentes valores

I11 = kma2 k =1

2I22 = kma2 = I33 = kma2 k =

1

4(18)

El momento angular Lcm del disco respecto a su centro de masa esta descrito por

Lcm = I ω = kma2 (2ω1 + α 2− Ω sin(α) 3) (19)

Teniendo en cuenta la dinamica del disco, suponemos que las unicas fuerzas que actuan son,−mg z, debido a la gravedad, y una F debido al punto de contacto con el plano horizontal. Ignoramos

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la fuerza de friccion con el suelo, y la de friccion con el aire. La ecuacion del movimiento para laposicion rcm del centro de masa del disco es

md2rcmdt2

= F −mg z (20)

El cambio del momento angular Lcm respecto al timepo es

dLcmdt

= Mcm = a × F (21)

Eliminamos la fuerza desconocida F en la ecuacion (21), teniendo las ecuaciones (1) y (20), parahallar

1

ma

dLcmdt

+d2rcmdt2

× 3 = g 3 × z (22)

Esto puede ser expandido usando las ecuaciones (4), (5)-(7), (13) y (19), para dar como resultado3 ecuaciones de movimiento.

(2k + 1)ω1 + αΩ sin(α) = 0 (23)

kΩ2 sin(α)cos(α) + (2k + 1) ω1Ω sin(α)− (k + 1)α =g

acos(α) (24)

Ωsin(α) + 2αΩcos(α) + 2ω1α = 0 (25)

Podemos ademas encontrar la energıa total mediante

E =1

2mvcm

2 +1

2ω I ω +mgz =

ma2

2

[(2k + 1)ω1

2 + (k + 1)α2 +KΩ sin2(α) +2g

asin(α)

](26)

La derivada en el timepo de la energıa es consistente con las ecuaciones de movimiento (23)-(25),pero no proveen ninguna informacion independiente.

Movimiento Estable

Para el movimiento estable o continuo, α = α = Ω = ω1 = 0, tambien definimos αestable = α0,Ωestable = Ω0 y Ω1,estable = Ω10. Las ecuaciones de movimiento (23) y (25) ahora son facilmentereducidas, y la ecuacion (24) se convierte en

kΩ02 sin(α0) cos(α0) + (2k + 1)Ω10 Ω0 sin(α0) =

g

acos(α0) (27)

Un caso especial de movimiento es cuando α0 = π/2, correspondiendo a cuando el plano del dsicoes vertical. En este caso la ecuacion (27) requiere que ω10Ω0 = 0. Si Ω0 = 0, el disco gira a lo largo

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de una linea recta y ω10 es la velocidad angular de giro. Si ω10 = 0, el disco gira en su lugar sobreel eje vertical con velocidad angular Ω0. Para α0 6= π/2, la velocidad angular Ω0 z del eje sobre lavertical debe ser distinta de cero. Podemos entonces reemplazar ω10 por el radio b del movimientocircular horizontal del centro de masa usando las ecuaciones (16)-(17):

ω10 =b

aΩ0 = Ω0

( ra− cos(α0)

)(28)

Reemplazando en la ecuacion (27), nos queda

Ω02 =

gcot(α0)

ka cosα0+ (2k + 1)b

=gcot(α0)

(2k + 1)r − (k + 1)a cosα0

(29)

Para π/2 < α0 < π, el denominador de la ecuacion (29) es positivo, ya que r es positivo pordefinicion, pero el numerador es negativo. Por lo tanto Ω0 es imaginario, y el movimiento estableno es posible en este cuadrante de angulo α0.

Para 0 < α0 < π/2, Ω0 es real, y el movimiento estable es posible en tanto

b > −ak cos(α0)

2k + 1(30)

En adicion al caso comun, donde b > 0, el movimiento estable es posible para pequeos valoresnegativos de b. Un famoso caso especial es cuando b = 0, y el centro de masa del disco esta enreposo. Ası, la ecuacion (29) se convierte en

Ω02 =

g

ak sin(α0)(31)

y, teniendo a ω10 = 0 en la ecuacion (28), queda

ωrel = Ω0 cos(α0) (32)

Al final, la velocidad angular queda simplificada a ω = −Ω0 sinα0 3 de acuerdo a la ecuacion(10), asi que el eje instantaneo de rotacion es el eje 3, quien conecta el centro de masa con el puntode contacto al suelo, los cuales estan instantaneamente en reposo.

Pequeas Oscilaciones

Consideramos ahora oscilaciones a una frecuencia angular ω′, en relacion al movimiento estable,asumiendo que el disco gira sin deslizar. Suponemos que α, Ω y ω1 tienen la forma

α = α0 + ε cos(ω′t) (33)

Ω = Ω0 + δ cos(ω′t) (34)

ω1 = ω10 + γ cos(ω′t) (35)

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donde ε, δ, γ son constantes. Introduciendo esta en la ecuacion de movimiento (25) e igualandoterminos, encontramos que

δ = − 2ε

sin(α0)+ (Ω0 cos(α0) + ω10) (36)

A partir de esta, ası como de la ecuacion (33), veremos al termino εsin(α0)

1 como pequeas

oscilaciones. Igualmente, la ecuacion (23) nos lleva a

γ = −εΩ0 sin(α0)

2k + 1(37)

y la ecuacin (24) nos lleva a

εω′ (k+1) = −(2k+1) (εω10Ω0 cos(α0) + γ sin(α0) + δω10 sin(α0))+εkΩ02(

1− 2 cos(α0)2)−2δkΩ0 sin(α0) cos(α0)−εg

asin(α0)

(38)Combinando las ecuaciones (36) y (37), obtenemos

ω′(K+1) = Ω02(k(

1 + 2cos(α0)2)

+ cos(α0))

+(6k+1) ω10 Ω0cos(α0)+2(2k+1)ω102− g

asin(α0)

(39)Para el caso especial de una rueda girando sobre una linea fina, α0 = π/2, Ω0 = 0 y

ω′(K + 1) = 2(2k + 1)ω102 − g

a(40)

La rotacion es estable solo en el caso de

ω102 >

g

2(2k + 1)a(41)

Otro caso especial es el de un disco girando con caracterısticas α0 = π/2 y ω10 = b = 0. entonces,la ecuaion(50) indica que la rotacion es estable solo si

Ω0 >

√g

(k + 1)a(42)

De otra manera, el angulo α decrece cuando es perturbado, y el movimiento del disco se convieteen el caso mas general.

Analisando de nuevo el caso general de la ecuacion (39), eliminamos ω10 usando la ecuacion (28)y reemplazando el termino g/a sin(α0) mediante la ecuacion (29) para hallar

ω′2

Ω02 (k+1) = 3kcos(α0)

2+sin(α0)

2+b

a

((6k + 1)cos(α0)− (2k + 1)

sin(α0)2

cos(α0)

)+2

b2

a2(2k+1) (43)

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El tercer termino en parentesis de la ecuacion (43) es negativo para α0 > tan−1√

(6k + 1)/(2k + 1),que es cercano a los 60 grados para un disco uniforme. Por lo tanto, para b positivo, el movimientoes inestable para un α0 grande y el disco aparentara caer rapidamente en un movimiento circular conα0 ≤ 60, despues de esto, α0 decrecera lentamente hasta que b se vuelve muy pequeo. El movimientocon b negativo es siempre estable frente a pequeas oscilaciones. Para el movimiento b a, tal comoel giro de una moneda, cuyo centro es casi fijo, la frecuencia de pequeas oscilaciones esta dada por

ω′

Ω0=

√3kcos(α0)

2+ sin(α0)

2

k + 1(44)

Para angulos pequeos esto se convierte en

ω′

Ω0≈√

3kk + 1 (45)

Para un disco unforme con k = 1/4, la frecuencia ω′ para pequeas oscilaciones es√

3/5Ω0 =0.77Ω0, mientras que para un aro con k = 1/2, ω′ → Ω0 mientras α0.

El efecto de estas pequeas oscilaciones produce un ruido como de golpeteo, durante el cual lafrecuencia suena un poco ”mal”. Esto puede ser particularmente notable si un imperfeccion en lasuperficie excita la oscilacion a una amplitud mayor. Cuando el angulo α0 se aproxima a cero, eldeslizamiento mantiene el radio b en un orden de sin(α0). Para α0 pequeo, b ≈ aα0, y la ecuacion(43) nos da la frecuencia de pequeas oscilaciones como

ω′ ≈ Ω0

√3k + (6k + 1)α0

k + 1(46)

Para un disco uniforme, la ecuacion (46) nos da

ω′ ≈ Ω0

√3 + 10α0

5(47)

Cuando α0 ≈ 0.2rad, las oscilaciones y las frecuencias de rotacion son casi identicas, momentoen el que las bajas frecuencias se pueden diferenciar de las variaciones periodicas en la inclinaciondel eje giratorio (nutacion). Una vez que α0 cae por debajo de 0.1rad, la nutacion de baja frecuenciadesaparece, y el disco cae en un movimiento, el en cual el centro de masa apenas se mueve, y lafrecuencia de rotacion

Ω0 ≈g

akα0(48)

crece, tendiendo a infinito. Para un aro, K = 1/2, el ritmo de baja frecuencia destacara para losangulos α cercanos a cero.

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