DISCRETAS (1)

ESTADÍSTICA I

ING. VICTOR SALAZAR POLANCO

ESPECIALISTA EN LOGISTICA

Facultad de Ingeniería

Universidad del Magdalena

Santa Marta - 2011

Consiste en seleccionar un modelo para hallar la

probabilidad de un evento o eventos de acuerdo a las

propiedades que se presenten en cada caso.

Antes de seleccionar un modelo, se debe tener en cuenta

si la variable aleatoria que se va a estudiar al momento

de hallar la probabilidad es discreta o continua. Pero

antes, definamos algunos conceptos:

•Variable Aleatoria o Estocástica: Es una variable

cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de

experimentos aleatorio.

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

Variable: Es lo contrario de constante y como tal,

puede tomar cualquier valor dentro de sus

posibilidades.

Aleatorio: Hace referencia al azar, es decir, el

resultado es incierto.

Ilustración: Al momento de lanzar un dado, este puede

tomar cualquier valor entre 1 y 6, por lo tanto su

resultado es una variable aleatoria.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLE ALEATORIA

Variable Aleatoria Discreta: Se consideran así, aquellosvalores que sólo pueden ser registrados como númerosenteros positivos. Tal es el caso del número de hijos (3), debaños de una casa (2), de estudiantes del salón (47), detrabajadores de una empresa (1596), etc. Como vemos, estosson valores que al momento de registrarlos no es posiblecolocarlos como: 2,5 baños, ó 4,1 hijos.

Variable Aleatoria Continua: Son valores que sí permitenser fraccionados al momento de su registro, por ejemplo:estatura (1.80 metros), peso (56 kilos), resistencia (1000libras), etc. Si bien el peso y las libras están registradas comonúmeros enteros, estos valores pueden ser fraccionados oparticionados en cualquier momento, a diferencia del ejemplodel número de hijos por familia donde su registro siempredebe ser dado como número entero.


VARIABLE ALEATORIACLASIFICACIÓN

Dentro de los modelos de probabilidad con mayor

aplicación correspondiente a variables aleatorias

discretas se tienen:

Modelo Binomial

Poisson

Hipergeométrico

En cuanto a variable aleatoria continua se considera el

modelo de Distribución Normal.


VARIABLE ALEATORIA

Corresponde a una distribución de variable aleatoria discreta ypara su aplicación hay que tener en cuenta las siguientespropiedades:

1. Que la prueba se repita n veces.

2. La prueba origina dos resultados, éxito y fracaso (p y q), setiene entonces que:

p + q = 1 ó 100% (La suma de todas las probabilidades deben dar el 100%)

Despejando: q = 1 – p

3. Los resultados de las pruebas son independientes, es decir, elresultado de una prueba no afecta el resultado de la pruebasiguiente.


MODELO BINOMIAL

P (x) = nCx. px.qn-x

Donde:

P: Probabilidad del Experimento

p (minúscula): éxito del experimento. Lo que se busca.

q: fracaso del experimento

n: muestra

x: número de éxitos de la muestra

C: Combinatoria (En la calculadora científica

corresponde a la tecla nCr)


MODELO BINOMIALFÓRMULA

Ejemplo 17: Al lanzar cuatro monedas, se quiere determinar laprobabilidad de obtener exactamente dos caras. R/: Para estecaso vemos que se cumplen las 4 propiedades del ModeloBinomial, siendo en su orden:

1) La prueba se repite n veces: En este caso vemos quetrabajamos con 4 monedas, lo que hace repetitivo sulanzamiento y prueba.

2) La prueba origina dos resultados (éxito y fracaso): Vemosque el éxito es obtener cara (p = 1/2 = 0.50 x 100 = 50%), yel fracaso es obtener sello (q = 1/2 = 0.50 x 100 = 50%). Secumple también que p + q = 0.50 + 0.50 = 1 x 100 = 100%.

3) Los resultados de las pruebas son independientes: Allanzar una moneda, su resultado no afecta la probabilidaddel siguiente lanzamiento.


MODELO BINOMIAL

De lo anterior tenemos que:

p = ½ = 0.5 (Probabilidad de obtener cara)

q = ½ = 0.5 (Probabilidad de obtener sello)

n = 4 monedas

x = 2 (número de veces que queremos caiga cara al lanzar 4 monedas)

Reemplazando en la fórmula: P (x) = nCx. px.qn-x

P (2) = 4C2. (0.5)2. (0.5)4-2

P (2) = 6 (0.25) (0.25)

P (2) = 0.375 x 100 = 37.5% Probabilidad de obtener 2 caras en el lanzamiento de 4 monedas.


MODELO BINOMIAL

Ejemplo 18: El 7% de los envases producidos por una máquina sondefectuosos. Se seleccionan 10 de ellos. ¿Cuál es la probabilidad deque: a) ninguno, b) dos, c) por lo menos 2, y d) máximo 2; seandefectuosos? R/: En primera instancia se puede cometer el error deponer cómo éxito aquellos envases que no son defectuosos. Pero hayque tener en cuenta que el éxito probabilístico es lo que se busca conla aplicación del modelo, y en este caso, el enunciado nos pide laprobabilidad de seleccionar los defectuosos. Siendo este el casotenemos que:

p = 7% = 0.07 (Envases defectuosos)

q = 1 – p = 1 – 0.07 = 0.93 (Envases sin defectos)

n = 10 envases como muestra.

a) P (x = 0) = 10C0 (0.07)0 (0.93)10-0 = 0.4839 x 100

P (x = 0) = 48.39% Probabilidad de que al seleccionar 10 envasesninguno salga defectuoso.


MODELO BINOMIAL


MODELO BINOMIAL

b) P (x = 2) = 10C2 (0.07)2 (0.93)10-2

P (x = 2) = 0.1233 x 100 = 12.33% Probabilidad de que alseleccionar 10 envases 2 salgan defectuosos.

c) Este punto pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de quepor lo menos 2 envases salgan defectuosos?

Al momento de plantear la fórmula quedaría: P (x ≥ 2),indicando que la variable aleatoria puede tomar cualquiervalor mayor o igual que 2 hasta 10, ya que éste es eltamaño de la muestra. Si bien esto quiere decir que hayque hallar todas las probabilidades reemplazando a “x”desde el 2 hasta el 10, existe otro método que simplifica sucálculo, arrojando el mismo resultado.


MODELO BINOMIAL

Del modo convencional quedaría:

P (x ≥ 2) = P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) ….. + P(x=9) + P(x=10)

Todas estas probabilidades tendríamos que hallarlas,luego sumarlas y el resultado sería la probabilidad quenos pide el tercer punto.

Sin embargo y aplicando la teoría, sabemos que la sumade todas las probabilidades es y debe ser igual al 100%.Esto se puede ilustrar del siguiente modo:

ƩP(Xi) = 1 x 100 = 100%

P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) + P(x=7) + P(x=8) + P(x=9) + P(x=10)

P(x<2) P(x ≥ 2)

P(x<2) + P(x ≥ 2) = 1

Despejando:

P(x ≥ 2) = 1 - P(x<2)

P(x ≥ 2) = 1 – [P(x=1) + P(x=0)]


MODELO BINOMIAL


MODELO BINOMIAL

c) P(x ≥ 2) = 1 – [P(x=1) + P(x=0)]

Primero debemos hallar las probabilidades que se encuentrandentro de los corchetes, sumarlas y luego restarle el 1 queequivale al 100%.

P (x = 1) = 10C1 (0.07)1 (0.93)10-1 = 0.3642

P (x = 0) = 10C0 (0.07)0 (0.93)10-0 = 0.4839

P(x ≥ 2) = 1 – [0.3642 + 0.4839]

P(x ≥ 2) = 1 – 0.8481 = 0.1519

P(x ≥ 2) = 0.1519 x 100 = 15.19% Probabilidad de que alseleccionar 10 envases por lo menos 2 salgan defectuosos.


MODELO BINOMIAL

d) Este punto pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 2envases salgan defectuosos? R/: Para este punto el planteamientosería: P(x ≤ 2), indicando que debemos hallar las probabilidades queencierran ese paréntesis, siendo: P(x=2) + P(x=1) + P(x=0). Una vezhalladas se suman y el resultado se expresa en porcentajemultiplicándolo por 100%.

P(x ≤ 2) = P(x=2) + P(x=1) + P(x=0)

P (x=2) = 0.1233

P(x=1) = 0.3642

P(x=0) = 0.4839

P(x ≤ 2) = 0.1233 + 0.3642 + 0.4839

P(x ≤ 2) = 0.9714 x 100 = 97.14% Probabilidad de que al seleccionar 10 envases máximo 2 salgan defectuosos


MODELO DE POISSON

Cuando en el modelo Binomial “n” crece mayor de 50(n>50), la probabilidad de éxito “p” es muy pequeña y lade fracaso “q” se acerca a uno, estamos ante el modelode Poisson y se puede calcular su probabilidad a partirde la esperanza matemática llamada también Lamda“λ”, que es igual a “np” con la siguiente expresión:

P(x) = [λx e-λ] / x!

Donde:

λ = n.p = Promedio o Media.

e = euler

x! = x factorial = 5! = 5x4x3x2x1=120


MODELO DE POISSON

Ejemplo 19: Dos de cada 10.000 personas son alérgicas a una

sustancia empleada en la fabricación de carnes frías. ¿Cuál es

la probabilidad al tomar una muestra de 30.000 consumidores

de que: a)ninguno, b) entre 3 y 5, c) más de 3 desarrollen

alergias. R/: El ejercicio nos muestra claramente que se

encarga de un modelo de Poisson, debido a que “n” es mayor de

50 (30.000 consumidores) y la probabilidad de éxito se acerca a

cero, ya que (2/10000 = 0.0002). Partiendo de esto se tiene que:

λ = n.p = 30.000 x 0.0002 = 6

a) P (x=0) = [60 e-6] / 0!

P (x=0) = 0.0024787 / 1 = 0.00247 x 100

P (x=0) = 0.24% Es la probabilidad de que en una muestra de

30 mil consumidores ninguno de ellos desarrollen alergias.


MODELO DE POISSON

b) Entre 3 y 5: El planteamiento queda:

P (3 ≤ x ≤ 5) = P(x=3) + P(x=4) + P(x=5)

P(x=3) = [63 e-6] / 3! = 0.089

P(x=4) = [64 e-6] / 4! = 0.133

P(x=5) = [65 e-6] / 5! = 0.160

P (3 ≤ x ≤ 5) = 0.089 + 0.133 + 0.160 = 0.382

P (3 ≤ x ≤ 5) = 0.382 x 100 = 38.2% Es la probabilidad de

que en una muestra de 30 mil consumidores entre 3 y 5

desarrollen alergias.


MODELO DE POISSON

c) Más de 3: En este el planteamiento quedaría de la siguiente forma:P(x>3). Si quisiéramos desarrollar exactamente lo que dice el paréntesis,tendríamos que hallar las probabilidades de todos los casos con losnúmeros mayores de 3 hasta 30.000, ya que este es el tamaño de lamuestra. Sin embargo, estos casos los desarrollamos aplicando lacontraria como en el tema anterior. De acuerdo a esto se tiene que:

P(x>3)=1 – [P(x=3) + P(x=2) + P(x=1) + P(x=0)]

P(x=3) = [63 e-6] / 3! = 0.089

P(x=2) = [62 e-6] / 2! = 0.044

P(x=1) = [61 e-6] / 1! = 0.014

P(x=0) = [60 e-6] / 0! = 0.002

P(x>3)=1 – [0.089 + 0.044 + 0.014 + 0.002]

P(x>3)=1 – 0.149 = 0.851 x 100 = 85.1% Es la probabilidad de que en una muestra de 30 mil consumidores más de 3 desarrollen alergias.


MODELO DE POISSON

Ejemplo 20: Si la probabilidad de que una persona adquierala enfermedad como consecuencia de una vacuna contra lamisma es 0.0002, ¿cuál es la probabilidad de que la adquieranexactamente 5 personas en una población de 10.000vacunados? R/: En este caso podemos ver que el enunciado nosofrece una probabilidad ya calculada, la cual se acerca a Cero.Esta es una propiedad para aplicar Poisson. La segundapropiedad es que la muestra sea mayor de 50 y en este caso esde 10.000.

P(x) = [λx e-λ] / x!

λ = n.p = 10.000 x 0.0002 = 2

P(x=5) = [25 e-2] / 5! = 0.036 x 100

P(x=5) = 3.6% Es la probabilidad de que la adquieranexactamente 5 personas en una población de 10.000vacunados.


MODELO HIPERGEOMÉTRICO

Al igual que la Distribución Binomial y de Poisson

corresponde a variables aleatorias discretas. Sus

propiedades son:

• Se asocia con muestreo aleatorio sin reposición o

reemplazamiento.

• Las probabilidades de éxito “p” y fracaso “q” no son

constantes.

• No existe independencia estadística, es decir, el

resultado de una prueba afecta el resultado de la

prueba siguiente.



Fórmula:

P (x) = (ACX) [(N – A) C (n – X)] /NCn

Donde:

N: Tamaño de la Población

A: Número de éxitos en la población.

n: Tamaño de la muestra

X: Número de éxitos en la muestra.



Ejemplo 21: Un profesor dispone en su archivo de 15 preguntas sobre untema específico de la materia; seis de ellas son de teoría. Si desea prepararun cuestionario de 5 preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de laspreguntas no sean de teoría? Este es un caso en el que para poderdeterminar la probabilidad se debe aplicar el modelo Hipergeométrico, yaque sus propiedades se ajustan al caso.

La primera propiedad dice: “Se asocia con muestreo aleatorio sin reposición oreemplazamiento”, es decir y para este caso, al momento en que el profesorselecciona una pregunta, ésta no puede seleccionarse nuevamente, ya queno va a poner en un examen dos veces la misma pregunta.

La segunda propiedad dice: “Las probabilidades de éxito “p” y fracaso “q” noson constantes”. Por la razón anterior, la probabilidad que tiene unapregunta en ser seleccionada es distinta a las demás. Para la primerapregunta tendrá una probabilidad de 1/15, para la segunda de 1/14, para latercera de 1/13 y así sucesivamente.

La tercera propiedad dice que: “No existe independencia estadística, es decir, elresultado de una prueba afecta el resultado de la prueba siguiente”. Como senota en este caso, el resultado de la primera prueba, afecta el resultado dela segunda y así continuamente.



Las variables aleatorias discretas serían:

N = 15 preguntas de un tema específico.

A = 9 preguntas no son de teoría.

n = 5 preguntas formarán el cuestionario.

X = 2

P (x) = (ACX) [(N – A) C (n – X)] / NCn

P (x=2) = (9C2) [(15 – 9) C (5 – 2)] / 15C5

P (x=2) = 36 (20) / 3003 = 720 / 3003 = 0.2397

P (x=2) = 0.2397 x 100 = 23.97% Es la probabilidad de que 2 de las preguntas nosean de teoría.

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