DISCURSO DE INGRESO EN EL I.E.G. ALGUNOS PROBLEMAS DE ... · nada con el producto de sus distancias a las otras n rectas. Utilizo las llamadas coordenadas cartesianas y el álgebra

DISCURSO DE INGRESO EN EL I.E.G.

ALGUNOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICA ELEMENTAL

Por Miguel Sánchez López

RESUM EN

El autor jubilado años ha, en su doble vertiente biológico-matemática, presenta una colección de los problemas que más le llamaron su atención, a lo largo de su trayectoria profesional.

A s í los dos primeros, muestran su aplicación en los campos de la Veterinaria y de la Medicina.

Otros geométricos clásicos, conocidos y no por eso menos interesantes, como son, por ejemplo, los bautizados como sexto círculo de Miguel; de Malfatti; Triángulo simétrico; de Morley, etc., en algunos de los cuales para no estar en desacuerdo con la actualidad utiliza el ordenador para su resolución numérica.

También los hay de puro entretenimiento, como lo son los dedicados al juego del ajedrez y al logotipo de la Cruz Roja.

Finalmente los aritméticos: Bronowski y Ferez entre otros.

Intercalados entre ellos, y como relajantes introduce unos gránulos de humor, o colección de hechos y vivencias, algunas de carácter local, que pueden servir para conocer mejor el mundillo matemático de las décadas siguientes a la terminación de nuestra guerra civil.

ABSTRACT

The author, who was retired some years ago, presents from a double biological and mathematical point o f view, a collection o f those problems that brought his attention most during his profesional career.

B .I.E .G . n .° 146, Jaé n , 1992 - pp. 63-101

64 BOLETÍN DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS GIENNENSES

The first two problems show their applications in the fields o f Veteri- nary and Medicine.

Others belong to the fie ld o f Classical Geometry, well known but not for that less interesting, and among then are fo r example those as «sixth circle o f Miguel»; «M alfatti’s; «Simetric Triangle»; « o f Morley», etc., in some o f them in order to be in accordance with the reality he uses the per- sonl Computer fo r numerical resolution.

There are also some problems o f puré entertaiment, like one dedicated to the game o f chess or the one what deais o f the logo o f the Red Cross.

Finally the arithmetic once: Bronowski and Ferez among others.

In between all these problems, he introduces a touch o f humor or collection o f facts and memories, some o f thems o f local characters, that might be useful to get to known better some aspect o f the mathematical world o f the decades that fo llow the end o f our civil war.

* * *

pJ —/XCMO. señor presidente, ilustrísimos consejeros, señoras y señores.

A manera de prólogo, quisiera hacer constar la deuda contraída con el I.E.G. al ir demorando año tras año, la lectura de estos renglones; quizás pereza, quizás insatisfacción por los resultados obtenidos; el caso es que han tenido que concurrir la postjubilación y la supervivencia como consejero fundador, para que no tenga motivación la tal demora.

Entonces la pregunta que me he hecho ha sido la siguiente.

Qué mercancía puede ofrecer un jubiloso pensionista, a quien como es obligado, se le paró el reloj en una fecha determinada y pueda interesar a un auditorio tan completo como el aquí presente.

No le queda más que referirse al pasado, del cual puede que extraiga alguna que otra cosilla, puesto que uno y otro —pasado y jubiloso— van entrañablemente unidos, no así con el presente y menos aún con el futuro.

En esta línea, he elegido algunos problemas elementales; los que más me llamaron la atención a lo largo de mi dilatada docencia y a los cuales he intentado seguirle la pista, hasta donde me ha sido posible, con la convicción de que existirán otros muchos más, fuera de mi alcance.

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Por esta ignorancia sentiría mucho defraudar a cualquier matemático o problemista aficionado, al no dar el tono adecuado a sus preferencias.

Nuestras aspiraciones son modestísimas, y la mayoría de nuestros problemas serían inofensivos y aparentemente inútiles sin ataduras ni resonancias tecnológicas, pero relajantes y pierdetiempistas maravillosos, que te hacen olvidar por completo los verdaderos y agobiantes problemas creados por el mundanal ruido, del que hablara el poeta.

Por supuesto, los problemas elegidos han sido de verdad «trabajados» en su resolución con mucho entusiasmo e indudablemente de haber tenido otros medios bibliográficos, la cosa podría haber sido más interesante.

Sea como fuere, quiero rendir homenaje de gratitud y admiración a todos los facedores de problemas matemáticos, que tan buenos ratos me han proporcionado, y entre ellos destaco tres nombres:

J. Gallego Díaz, comprovinciano nuestro —natural de Ubeda—, desaparecido hace años, y problemista de talla internacional, y a muy alto nivel, con varios libros dedicados a los problemas matemáticos, y en gran parte originales, lo que muestra su gran valía.

R. Descartes (1596-1650), cuya obra fundamental: La Geometría, es considerada como el germen de la matemática moderna y cuyo inicio tuvo lugar en la resolución de un problema legado de la antigüedad, llamado de Pappus, y que puede enunciarse como sigue:

Dadas 2n rectas, encontrar el lugar geométrico de un punto tal, que el producto de sus distancias a n de esas rectas esté en una relación determinada con el producto de sus distancias a las otras n rectas.

Utilizo las llamadas coordenadas cartesianas y el álgebra de Vieta, y más tarde sus métodos fueron bautizados como la Geometría analítica, por Ampere.

Tenemos, pues, una obra importante del saber humano, puesta en marcha por el desde entonces celebérrimo problema de Pappus.

Y cosa curiosa, acaba su Geometría con estas palabras:

«Y yo espero que nuestros descendientes me estarán agradecidos no sólo por las cosas que aquí he explicado, sino por aquellas que he omitido voluntariamente a fin de dejarles el placer de descubrirlas».

Lo que motivaría, sin duda, la réplica de Leibniz, otro sabio filósofo y matemático: Descartes —dijo Leibniz— «se ha engañado por una gran presunción... midiendo las fuerzas de toda la posterioridad por las suyas».


Y como último, Cari Friedrich Gauss (1777-1855), considerado como el mejor de todos los matemáticos de todos los tiempos y en todos sus aspectos.

Se decía que aprendió a contar antes que a hablar, y que a los tres años de edad, corrigió un error de cuentas a su padre, y poco más tarde asombró a su maestro, sumando en un tiempo récord los cien primeros números de la serie natural.

Y es en su obra fundamental Disquisitiones aritméticas donde se encuentra la base de todo lo que después se llamaría teoría de los números, y cantera de los puros problemas aritméticos.

Mas no es oro todo lo que reluce, pues si el ser matemático lleva consigo la problematicomanía, nuestro gran maestro Ortega y Gasset, en su obra la idea del principio en Leibniz, nos descubre otra aficción muy en desacuerdo con la anterior.

Al tratar de Aristóteles, escribe textualmente: Aristóteles, que ha sido uno de los más altísimos genios humanos, no debía de ser bondadoso. Era un «razonador», y con suma frecuencia los «razonadores» son animales de sangre fría, aviesos. Por ambas razones, en todas las revoluciones sangrientas han intervenido un pasmoso número de matemáticos.

Pero si a los matemáticos, nos retrata de esa guisa, tampoco se queda atrás el objeto de nuestro estudio: La Matemática.

En la misma obra, no más comenzar y al hablar de uno de los pilares matemáticos, cual es Euclides, escribe:

«Es preciso que los hombres de ciencia actuales se traguen, velis nolis y de una vez para siempre, el hecho de que el rigor de la ciencia de Euclides no fue sino el rigor cultivado en las escuelas socráticas, especialmente en la academia de Platón».

Es un hecho claro, que el método euclidiano, el ejemplar rigor del more geométrico, tiene su origen no en la Matemática, sino en la Ética.

Y de pasada, en otra parte de su obra culpa a Aristóteles de haber detenido el carro del pensamiento, y termina con esta frase: «Quien no sea capaz de pensar tranquilamente que uno de los más grandes filósofos posea una índole filosófica muy deficiente, que no se ocupe en conocer lo humano, y... estudie la Matemática, como decía la prostituta de Venecia a Rousseau joven».


Hecha esta presentación y humor aparte, como verán en lo que sigue, he seleccionado problemas de tres tipos:

A) Tipo técnico. Son los más desgalichados, ya que persiguen un fin utilitario, de mayor o menor importancia, pero llevan desde el inicio una cierta dirección.

B) Tipo geométrico. En particular los dedicados al triángulo; figura geométrica la más fértil en estos menesteres, y en los cuales no se respira más que geometría pura. Las variables no están contaminadas.

C) Tipo aritmético. De pureza análoga a la anterior; no en vano ha sido considerada como la reina de las matemáticas, pero con un gálibo más estrecho, que hace sus métodos más afinados que los anteriores.

Y ya con estos prolegómenos, pasemos al objeto de nuestro estudio.

PROBLEM A NÚM ERO I

Se me presentó a finales de los años cuarenta, cuando ejercía la Veterinaria y empezábamos a preocuparnos por el racionamiento animal.

Lo definí como un problema de mezclas de alimentos a los que hay que imponer determinadas condiciones, en cuanto a contenido en U.A. (unidades alimenticias), y P.D. (proteínas digestibles) como fundamentales y otras accesorias como la M.M. (materia mineral) o la S.S. (sustancia seca).

Con esta base, la solución estaría en resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x ■ ul + y • u2 + z ■ u3 = U x ■ pl + y • p2 + z • p3 = P x • si + y ■ s2 + z • s3 = S

donde x, y, z serían las cantidades por hallar de los alimentos M I, M2 y M3; uj las U .A ./K gr.; pj las P .D ./K gr.; sj las S.S./Kgr. y U, P, S las necesidades a cubrir en U.A., P.D. y S.S.

Parece pues, que resolviendo este sistema, y eso es bien fácil, estaría resuelta la cuestión.

Pero estas ecuaciones son sobre todo empíricas. Las necesidades a cubrir son el resultado de experiencias biológicas adobadas con números estadísticos, y como tales llevan consigo un amplio margen de variabilidad, que hay que introducirlo en el sistema anterior.

Puede ocurrir muy bien, como fijados unos ciertos valores de U, P y

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S, el sistema anterior, a pesar de tener solución real, ésta no interese como ocurriría, por ejemplo, si alguna de las soluciones fuese negativa.

El intentar sacar de una mezcla de concentrados unos kilos de moyuelo o de maíz, pongo por caso, deberá ser muy difícil.

Esta contrariedad analítica, intentamos resolverla con Sáinz Pardo —catedrático que fue de Fisiología en la Facultad de Veterinaria de Zaragoza—, introduciendo unos parámetros Y y n, variables entre cero y uno encargados de la positividad de las soluciones.

El sistema anterior se convertiría ahora en otro de inecuaciones

A(0) • T + B(0) ■ n + C(0) > 0 A(l) • r + B(l) • n + C(l) > o A(2) • r + B(2) ■ n + C(2) > 0

Y dada la poca habilidad numérica, supuesta entonces a veterinarios y ganaderos interesados en estas materias, opté por una solución gráfica, con ayuda de la geometría descriptiva operando en el sistema axonométrico de representación.

A la vista del poco éxito obtenido, me conformé con remitir el trabajo al II Congreso Internacional Veterinario de Zootecnia, celebrado en Madrid en el 1951 y para mis amigos y familiares, quedé con el remoquete del hombre que alimentaba a las gallinas con triángulos.

Al pasar los años, comprobé con cierta satisfacción cómo todo el aparato que monté, no era más que un caso particular en tres dimensiones, de la tan conocida hoy como programación lineal.

Granulos de humor

Con unas bolitas de azúcar, goma arábiga y una muy corta dosis de medicamento, que es como define el diccionario o la farmacopea, la palabra gránulo; he querido curarles, como dicen ahora off de record, del aburrimiento y cansancio que supone digerir así de seguido tanto problema. Hay, pues, que dar una de cal y otra de arena.

Gránulo 1

La cosa va de semántica. Siempre que he repasado este problema, me he situado en los años cuarenta, cuando leíamos unidades alimenticias, raciones alimenticias, etc., y jamás oímos lo de raciones alimentarias, código alimentario, etc., términos con los que todos los días nos obsequian los lia-


mados medios de comunicación sin que nos hayan explicado el por qué de tal cambio.

En Matemáticas también tenemos otra palabreja de muy dudoso gusto, como es la que califica a los llamados campos conservativos.

Parece más afortunado llamarlos campos conservadores, aun con la mala prensa que pudiera conllevar dicho término, puesto que si al parecer es una traducción del inglés conservative, por la misma regla de tres, a las derivadas de las que tanto se hablan en Matemáticas, deberíamos traducirlas por derivativas, ya que procede del original inglés derivatives.

PROBLEM A NÚM ERO II

Éste como el I, es un rosario de pequeños problemas, que me fueron planteados por los Dres. Luna Fantoni y Casanova García, para un trabajo presentado en la RERUN 82 (Reunión Escuela Radiológica Universidad Madrid), titulado: «Sistemas automáticos para el cálculo dosimétrico en radioterapia tangencial excéntrica del CA de mama operado».

Ante ese CA, que no es precisamente el símbolo del calcio, no valen bromas, y siguiendo sus palabras, establecemos el problema como una ci- cloterapia tangencial, basada en el desplazamiento del haz central de radiación —se trata de la bomba de cobalto— fuera del eje de rotación, de tal forma que el haz sea siempre tangente a una circunferencia inscrita en el perímetro torácico.

La cadena de estos pequeños problemas se reducen a los siguientes:

a) Cálculo del centro y radio del círculo de protección del pulmón.

b) Cálculo del ángulo alfa de giro de la cabeza respecto al brazo de la bomba de cobalto.

c) Obtención del máximo número de puntos de incidencia, sobre el perímetro torácico y la DFP (distancia fuente piel) en cada uno de ellos.

La cuestión básica del proceso matemático radicaba en obtener la ecuación del contorno torácico, que mejor se ajustase a la realidad, en sustitución del contorno poligonal utilizando hasta entonces para la dosificación.

Se consiguió empleando un método de interpolación muy de actualidad por aquellas fechas —splines cúbicos— y cuyo detalle quedó fijado en el citado trabajo.

Los demás problemas, con un poco de geometría elemental y alguno


que otro truquillo para la determinación del centro y radio del círculo protector, quedaron resueltos como puede verse en el citado trabajo de la RERUM.

Gránulo 2

Seguimos con la semántica. Recuerdo de dos gentilicios, que salieron a la palestra por los años cincuenta, y que seguramente muchos de ustedes recordarán.

Se tratan de los términos jaenero y giennense.

Se dieron explicaciones en la prensa, para todos los gustos y aún recuerdo los adalides de ambos bandos: Don Luis González López y don Manuel Mozas Mesa, cronista oficial de la provincia el uno y director muchos años del INEM «Virgen del Carmen», el otro.

Viene a cuento, por que hasta los estudiantes de Peritos Industriales tomaron cartas en el asunto, y en un desfile organizado para celebrar el paso del ecuador de su carrera, mostraron la plataforma de un camión, sin más adorno que un gran barril con un letrero en el que se leía: NOS MOLESTAN LOS SUFIJOS EN ERO.

La cosa llevaba su picantillo; a ellos la semántica les importaba un rábano; el quid estaba en la existencia de un profesor de matemáticas, apellidado Barrilero, y menudo cabreo pilló el bueno de don Jesús.

No supo encajar la broma.

PROBLEM A NÚM ERO III

Dice así: Dada una circunferencia S y en ella 4 puntos A, B, C y D; se trazan circunferencias arbitrarias que pasen por cada pareja de puntos (A, B), (B, C), (C, D) y (D, A).

Estas cuatro circunferencias, salvo el caso de alguna tangencia entre ellas, se cortarán en otros cuatro puntos: A ’, B’, C’ y D’.

Demostrar que estos últimos puntos son también concíclicos.

La primera vez que tropecé con este enunciado, fue allá por los años treinta, en la famosa geometría de E. Rouche et Ch. de Comberousse y en sus no menos famosas Questions proposees, la número 92 y en la parte relativa a la medida de ángulos, lo que ya presuponía una cierta facilidad en su resolución.

Posteriormente, ese mismo enunciado lo he visto en otros libros, como


en Métodos para la resolución de problemas geométricos, de V. Inglada García Serrano, y en Les nombres complexes et leurs applications en geometrie, de I. M. Yaglom, en los que la artillería empleada para su resolución varía desde el producto de giros definidos por sus trayectorias, hasta el empleo de las cuaternas anarmónicas en el campo complejo.

Últimamente lo he visto en la Geometría de M. Berger, donde aparece como el teorema del sexto círculo de Miguel.

Es curioso, cómo por tan distintos caminos se llega siempre a Roma.

A continuación damos una solución muy elemental realizada en el año 30, muy en consonancia con la de Berger.

Por ser ABCD inscriptible: Ang. A + Ang. C = n Además, Ang. B = 2 • n — Ang. ABB‘ — Ang. CBB‘ y Ang. D = 2 • n — Ang. ADD‘ — Ang. CDD‘

y comoAng. ABB‘ = 7i — Ang. AA‘B‘ por ser inscriptible en C2 Ang. CBB‘ = n — Ang. CC‘B‘ por ser inscriptible en C3 Ang. ADD‘ = 7i — Ang. AA‘D‘ por ser inscriptible en C1 Ang. CDD‘ = 7 1 — Ang. CC‘D‘ por ser inscriptible en C4

se tiene finalmenteAng. B + ang. D = 2tc + 27t — 4 • 7t + Ang. AA’B* + Ang. AA‘D‘ +

Ang. CC‘B‘ + Ang. CC‘D‘ = Ang. A’ + Ang. C‘ = n.C.Q.D.


Granulo 3

Vamos de traductores. Es sabido que si el traductor no es un profesional de lo que traduce, los resultados son desconcertantes: igual te ríes como te indignas.

Veamos alguna muestra. Cuando era joven y leía alguna que otra revista veterinaria, tropecé con el músculo derecho del abdomen.

Mis conocimientos anatómicos no iban muy allá, pero aquel músculo no me sonaba; eso sí, recordaba a un tal recto abdominal interno. Pensé que el traductor sería de todo menos veterinario o matemático, ya que uno y otro traducirían droite por recto.

En cambio, esta otra al parecer palabra, me dio más que pensar. Se trataba del para mí célebre IFF con dos efes.

La encontré por primera vez en un libro inglés de Topología y, como era lógico, al no saber su traducción consulté con los compañeros especialistas en ese idioma.

No me sacaron de dudas, pero eso sí de diccionarios gordos y espesos bien me marearon.

Al final el tiempo, el sentido común y el habérmelo encontrado explicado en otro texto, me hicieron saber que el dichoso iff, no era más que un modo abreviado de escribir.

IF AND ONLY IFo sea, sí y solamente sí.

PROBLEM A NÚM ERO IV

Conocido por el «problema de Malfatti». Está tomado del Rouchee et Comberouse, lo que indica cómo durante los estudios veterinarios, los veranos estaban dedicados casi en exclusiva a la Geometría.

Su enunciado dice así: Dado un triángulo A, B, C, trazar tres circunferencias (a), (b) y (c), inscritas en los ángulos A, B, C, tales que cada una de ellas sea tangente a las otras dos.

La solución, debida a Steiner en 1826, viene en la citada geometría con la siguiente construcción:

Si I es el incentro del triángulo ABC, se une con los vértices A, B, C y se inscribe una circunferencia en cada uno de los triángulos IAB, IBC e ICA.


Después se trazan las segundas tangentes comunes e interiores a las citadas circunsferencias, obteniéndose nuevos triángulos y las circunferencias inscritas en estos triángulos constituyen la solución.

Hay que ser muy buen dibujante para salir airoso de la tarea.

Pasan los años y un buen día en la Gaceta Matemática, números 3-4 del 1972, aparece un trabajo titulado «Nueva versión del problema de Mal- fatti», debido a Luis Goiri Novales, en el cual el autor, muy adiestramente, ataca el problema basándose en las propiedades de la familia proyectiva del triángulo.

Esto es, utiliza las homologías, homotecias e inversiones y llega a una construcción de corte completamente distinto al de la anterior solución.

Veamos ahora la traducción informática de tan difíciles construcciones.

Por lo general, el aprendiz informático no ha tenido tiempo de estudiarse el Rouchee, ni por supuesto utilizar el abanico de medios descritos anteriormente, sino solamente unos conocimientos mínimos de geometría métrica.

Empezaría su programa, como es de rigor, con la entrada de datos, en nuestro caso el triángulo, bien dando las coordenadas de sus vértices o sencillamente las longitudes de sus lados. El paso de una a otra es inmediato.

A continuación, señalaría un test de precisión e, para asegurarse las coordenadas de centros y radios, con un error absoluto o relativo según los casos menor que e.

Y ahora al intentar resolver arbitrariamente el problema, se le presentarían tres alternativas:

A) Que acierte en la búsqueda de la circunferencia tangente al ángulo A, de manera que el trazado de las otras dos, que dependen de la primera, sea el correcto. Indudablemente no es fácil.

B) Que dada la circunferencia arbitraria tangente al ángulo A, las otras dos circunferencias sean exteriores entre sí, esto es la distancia de sus centros 01-02 sea mayor que la suma de los radios R1 y R2.

C) Que las dos circunferencias anteriores sean secantes y, por tanto, la distancia de sus centros sea menor que la suma de sus radios.

Eligiendo entonces como función de contraste, a la que llamaremos 5, a la diferencia entre distancia de los centros 01-02 y la suma de los radios R1 + R2, tendríamos que en el caso B, la función 5 tendría signo positivo,


mientras que en el C sería negativo, con lo que estaría indicado ensayar cualquier método de aproximaciones sucesivas.

Habría entonces que añadir el programa, unas instrucciones capaces de conseguir estos dos valores iniciales, bien manualmente o de manera automática.

Conseguidos estos valores iniciales de R, donde delta cambia de signo, sean pues RA y RB.

Dividamos el intervalo RA-RB en un número de partes iguales, por ejemplo en 10.

Recorramos estos puntos de partición, hasta encontrar otros dos, en los cuales 8 cambie de signo, y éstos serán los nuevos RA y RB.

Este proceso iterativo se repite hasta conseguir un intervalo RA-RB inferior al test de aproximación s.

Lo demás es inmediato. Cálculo de coordenadas de los centros así como las longitudes de los radios y finalmente la gráfica correspondiente.

He detallado la construcción de este programa para mostrar, como con muy menguados recursos matemáticos, los ordenadores al decir de un tal Simmons, son tontos capaces de dar más de lo que tienen.

A continuación presentamos la solución numérica suministrada por el ordenador y gráfica correspondiente.

PROBLEMA DE MALFATTI LADO AB = 19.8 LADO BC = 16.4 LADO CA = 15 RADIO 1 = 3.108892 RADIO 2 = 3.258886 RADIO 3 = 2.60892

COORDENADAS DE LOS CENTROS X01 = 6.084889 Y01 = 3.108892 X02 = 9.936873 Y02 = 8.17948 X03 = 11.7808 Y03 = 2.60892

DISTANCIA CENTROS 1 - 2 = 6.367781

SUMA RADIOS 1 — 2 = 6.367778

DISTANCIA CENTROS 1 — 3 = 5.717812

SUMA RADIOS 1 — 3 = 5.717813

DISTANCIA CENTROS 2 — 3 = 5.86781

SUMA RADIOS 2 — 3 = 5.867806


Gránulo 4

Va de profesores. En el libro titulado Cómo plantear y resolver problemas, su autor G. Polya, hace una descripción muy conocida del profesor de matemáticas tradicional, y es la que sigue:

La leyenda quiere que sea distraído, y suele presentarlo con un paraguas bajo el brazo.

No se le imagina más que cara al pizarrón, dando la espalda a la clase, escribiendo A, diciendo B, pensando en C, cuando se trata de D.

De generación en generación, se transmiten los más típicos dichos que se les atribuye como, por ejemplo:

«Para resolver esta ecuación diferencial, no tienen más que mirarla hasta que se les ocurra la solución».

«La geometría es el arte de razonar correctamente sobre figuras incorrectas».

«Mi método para superar una dificultad consiste en evitarla», etc., etc.

Después de todo, algo se aprende de este tradicional profesor de matemáticas.

PROBLEM A NÚM ERO V

Este problema se me apareció ya en la postjubilación, y como dicen, le pasa a la primavera, sin saber ni cómo ni cuándo.


No está bautizado que yo sepa, ni surgió como respuesta a uno técnico de mayor o menor envergadura y sin embargo ahí está.

Me hubiera gustado el saber de una solución limpia o por lo menos gráfica, que pueda que tenga, pero los años pesan y pasan y las ecuaciones obtenidas en su intento, pesaban aún más.

Tuve, pues, que recurrir al tonto ese que da más de lo que tiene y entonces, sí salió.

Como su exposición llevaría más tiempo del disponible, paso de ella y señalo resultados numéricos.

Para terminar con el supuesto suspense que pudiera haber creado tal problema, damos su enunciado.

Es como sigue: Dado un triángulo A l, B l, C l, encontrar otro A, B, C, tal que los simétricos de sus vértices, respecto del lado opuesto, coincidan con los vértices A l, B l, C l del primero.

La táctica empleada consistió, dado el papel primordial que juega el ortocentro del triángulo solución, en hallar el lugar geométrico de los orto- centros de aquellos triángulos, cuyos vértices A y B coincidieran con sus simétricos A l y Bl.

Repitiendo la misma construcción respecto de los vértices B y C, evidentemente la intersección de ambos lugares geométricos daría la solución del problema.

COORDENADAS VÉRTICES TRIÁNGULO DADO A l = (0, 0)Bl = (12, 0)Cl = (6.875, 8.586873)

LONGITUDES LADOS TRIÁNGULO DADO al = 10, b l = 11, cl = 12

COORDENADAS VÉRTICES TRIÁNGULO SOLUCIÓN A = (5.849137, 4.691306)B = (—1.309062, 7.624162)C = (3.£46756, 1.195864)

LONGITUDES LADOS TRIÁNGULO SOLUCIÓN a = 8.240478 b = 4.028354 c = 7.735726

COMPROBACIÓN SIMETRÍASA—A l = 7.498049 B—Bl = 15.33815 C—Cl = 7.987332

ALTURAS MULTIPLICADAS POR DOS 2 ■ HA = 7.498032 2 • HB = 15.33816 2 • HC = 7.987306

COORDENADAS ORTOCENTRO TRIÁNGULO SOLUCIÓN X0 = 4.999804 YO = 4.010098


Gránulo 5

Transcribimos la número 561 de la sección Varia de la revista Euclides, debida al gran maestro y matemático J. Barinaga.

Un profesor de matemáticas quiso hacer una clasificación de sus alumnos, según las aptitudes de éstos para la teoría o para la práctica.

A este fin les dijo: «Contesten libremente a las cuestiones siguientes: Primera, se tiene una cafetera con café colocada sobre un infiernillo apagado de alcohol. Se quiere calentar el café. ¿Qué haremos?». «¡Encender el infiernillo!», le contestaron a coro.

«Muy bien, vamos con la segunda cuestión: Se tiene una cafetera con café y un infiernillo apagado, pero separados. Se quiere calentar el café, ¡qué haría Vd. don Fulano?».

El muchacho respondió: «Yo pondría la cafetera sobre el hornillo y encendería éste». «Vd. tiene aptitud para la práctica».

«A ver, ¿qué haría Vd. don Mengano?»; «pues eso, colocar la cafetera sobre el infiernillo y encenderlo».

El profesor siguió preguntando a sus alumnos individualmente, obteniendo siempre la misma respuesta.

«¡Qué unanimidad! —exclamó— todos ustedes tienen aptitudes preferentes para la matemática práctica; ninguna para la matemática pura».

«¿Por qué profesor?», le dijo uno de ellos.

«Por la razón siguiente: Si entre ustedes hubiese alguno con espíritu de matemático puro, habría contestado así a la segunda cuestión: Se coloca la cafetera sobre el infiernillo... y se está en el caso anterior».


PROBLEM A NÚM ERO VI

Lo descubrí hace un par de años, cuando me permití el lujo de obsequiarme en mi calidad de jubiloso etcétera, con un buen libro de Geometría, como es el titulado Geometry, de M. Berger.

Se trata de trazar, en cualquier triángulo, las semirectas, con origen en los respectivos vértices que dividan a cada ángulo A, B, C en tres partes iguales y demostrar que los puntos de intersección de cada dos de ellas y adyacentes, determinan un triángulo equilátero.

Sin duda por su originalidad, ha adquirido la categoría de llamarse teorema de Morley y como tal viene en el libro citado.

Pero no hace apenas un mes, y ya estos renglones fueron escritos, cuando hojeando la revista Euclides, año 1950, me encontré en la sección Varia, debida al que fuera un gran maestro de la enseñanza e investigación, don José Barinaga, con la número 520, que textualmente dice así: Una de las proposiones más interesantes de la Geometría del triángulo moderno es la conocida con la denominación del Téorema de Morley, etc., etc...

Para su resolución no vale el tonto de marras, puesto que su labor sería simplemente comprobatoria de la equilateralidad del triángulo obtenido con las descritas intersecciones y eso no constituye una demostración.

No queda otra opción que introducirse en el laberinto trigonométrico, que viene a continuación.

Así pues, en los triángulos ABC, LBA y MBC se tiene por la aplicación del teorema de los senos

(1) b/sen(3*[3) = c/sen(3*r) = a/sen(3*a) = 2*R(2) c/sen(a + (3) = LB/sen(a) = LA/sen((3)(3) a /sen (r + (3) = M B/sen(r) = MC/sen((3)

Despejando MB de (3) y efectuando diversas sustituciones, tenemos

MB = a*sen(r)/sen(L + p) = 2*R*sen(r)*sen(3*a)/sen(r + b)

y como

3*a = A = ti—C—B = k—3*(r + 3)2*R*sen(T)*sen(3*(r + p ))/sen (r + P) = 2*R*sen(r)*(3*sen(r + P)—4*sen(r + p)3)/sen(r + p)

previo desarrollo den sen(3*(F + a))

2*R*sen(r)*(3—4*sen(r + P)2) = 8*R*sen(T)*(3/4—sen(r + p)2)


y transformando la diferencia de cuadrados en el producto correspondiente

8*R*sen(0*(V3/2 + sen(r + p))*(V3/2—sen(r + (3)) = 8*R*sen(r)*(sen(n/3) + sen(T + (J))*(sen(7i/3—sen(r + P))

y transformando las sumas de senos en sus correspondientes productos

8*R*sen(r)*2*sen(7i/6 + ( r + P)/2)*(cos(rc/6—( r + p)/2)*2*sen(rc/6— ( r + p)/2)*cos(7i/6 + ( r + P)/2) = 8*R*sen(T)*sen(a)*sen(2*7i/3—a)

De manera análoga, se tendría

LB = 8*R*sen(F)*sen(a)*sen(2*7t/3—r)

con lo que se podría escribir

(4) MB/sen(2*7i/3—a) = LB/sen(2*7i/3—O = 8*R*sen(r)*sen(a)

como en el triángulo LBM, se tiene por la misma aplicación del teorema de los senos

(5) M B/sen(r) = LB/sen(a) = LM/sen(|3)

Comprando (4) con (5), resulta

LM = 8*R*sen(P)*sen(r)*sen(a)

Al mismo resultado se hubiera llegado calculando NL y MN, con lo que se tendría

LM = MN = NL c.q.d.

B


PROBLEMA DE MORLEY

LADO a = 9 LADO b = 8 LADO c = 7ABSCISA DE P = — 1.015473389670806 ORDENADA DE P = 2.711367617368776 ABSCISA DE Q = .4169163057324426 ORDENADA DE Q = 2.626082484305961 ABSCISA DE R = .373137526521079 ORDENADA DE R = 1.428239000029205 LADO PQ = 1.434926406969693 LADO QR = 1.434926503582241 LADO RP = 1.434926621721147

Granulo 6

Varia, número 253.

Se cuenta de un célebre profesor alemán que (hace ya bastantes años), al explicar cierto teorema, exclamó: «Esto es tan sencillo que sería capaz de entenderlo un oficial prusiano».

Se comentó la frase, la cual trascendiendo fuera de la Universidad, dio lugar a que alguien exigiese al sabio profesor una pública rectificación.

Con el aula completamente llena, explicó el maestro la siguiente lección del programa y al terminar dijo: «Señores: en mi última clase pronuncié algunas palabras sobre las cuales se me ha pedido una rectificación, y voy a darla.


Respecto a la sencillez del teorema en cuestión, nada puedo agregar, pues su claridad es meridiana. Y en cuanto a mi creencia de que un oficial prusiano fuese capaz de entenderla, he de decir que hoy dudo seriamente de que lo entendiera».

Saludó con una reverencia, se cubrió y salió con toda calma.

PROBLEM A NÚM ERO VII

También de la serie triangular; su enunciado dice así: Sea el triángulo ABC, isósceles, con AB = AC; D es el punto medio de BC; E el pie de la perpendicular trazada desde D hacia AC, y F el punto medio de DE.

Demostrar que AF y BE son perpendiculares.

Como el problema anterior procede del último autorregalo jubiloso, que en este caso ha sido, el libro Problem-Solving Through Problems, de Loren C. Larson, y aunque el problema no es muy difícil, puesto que da varias soluciones, lo más desconcertante fue el final de la película. Cualquiera preveía iba a vérselas con el ángulo de dos rectas.

El método idóneo de resolución parece ser el vectorial de manera que el producto escalar BE-AF debe ser nulo.

En efecto se tiene:

BE • ÁF = (BP + DE) ■ (AD + DE/2) = BP • XD + DE • AD + BD • DE/2 + D E D E /2 = D E A D + B D D E /2 + DE2/2 , ya que B D A D = 0


PeroDE AD = —AD2 sen2a, ya que |DE| = |AD| • sena BD-DE/2 = BD2cos2a /2 por ser |DE| = |BD| • cosa

y finalmente DE2/2 = |BD|2cos2a con lo queBE • AF = —AD2sen2a + BD2cos2a /2 + BD2cos2a /2 = —AD2sen2a +

BD2cos2a y como tg a= = _sen aAD eos a

resulta BE • AF = 0

c.q.d.

Granulo 7

Hemos tratado en anteriores gránulos de la visión popular del viejo profesor de matemáticas; queda aclarar el concepto que del mismo se tiene entre profesionales afines.

Viene reflejada en la siguiente historieta, muy difundida en reuniones de unos y otros.

Se trata de un profesional, llámese X, globonauta de afición, que viajando en su globo se encontró desorientado, ante una inmensa llanura sin punto de referencia alguno.

Al fin descubrió un punto móvil, que al irse aproximando hasta una distancia audible, descubrió ser una persona.

Enseguida le preguntó a voces, que dónde estaba.

La respuesta, después de mucho pensarla por el terrícola, fue: «Usted está en un globo».

A la cual el globonauta respondió: «Es que es usted matemático».

«Sí, que lo soy», contestó el terrícola, «y en qué lo ha conocido».

Nueva respuesta del globonauta: «En que la respuesta ha sido exacta y en qué no ha servido para nada».

PROBLEM A NÚM ERO VIII

Este número VIII tiene más bien un carácter relajante. Después de la serie triangular nos pasamos a los cuadrados y se enuncia así:

Al conocido logotipo de la cruz roja, hay que darle dos cortes perpendiculares, de manera que al recomponer la figura se obtenga un cuadrado.


Este dictado salió en unas oposiciones a cátedra de matemáticas para INEM, y como dice Agnew en su famoso libro sobre ecuaciones diferenciales, al tratar del no menos célebre problema del quitanieves, lo primero es recuperarse del shock producido por el mismo, y luego pensar.

Pensando, pensando —y como se piensa en unas oposiciones de verdad— recordé haber visto ese enunciado cuando era niño, precisamente en uno de aquellos almanaques de taco, hoy inexistentes, en cada una de cuyas hojillas en el anverso se leía las características del día, mes, año, santoral, sol sale, se pone, fase de la luna, etc., y en el reverso siempre se encontraba una charada, o un problema como el citado, con solución incluida.

Entonces como el área del citado logotipo es 5*a2, si a es el lado de cada cuadrado, resulta que el lado del cuadrado equivalente sería

a*V5

y como este resultado también corresponde a la hipotenusa de un triángulo de catetos 2 y 1, se cae así en la cuenta que los segmentos que unen los puntos medios MI y M3, así como los M2 y M4 miden también a*V5 y son además perpendiculares, como lo muestra el producto escalar de ambos vectores:

(—2*i + 4*j)-(4*i + 2*j) = —8*i2+ 16*i-j—4*i-j + 8*j2 = 0

donde con el punto «•» hemos indicado el producto escalar, e «i» y «j», los vectores unitarios correspondientes.

Lo demás se viene solo; los cuatro fragmentos en que se descompuso la cruz, son iguales: El (2) es el transformado del (1) mediante el giro de centro el origen y ángulo 7t/ 2; el (3) y el (4) iguales a los anteriores como simétricos respecto del origen como centro de simetría.

Y tomando ahora como centro de giro, el vértice V8, resultan los fragmentos anteriores obtenidos como giros del (3) mediante los ángulos 7t/2, 7i, y 3*71/2, y finalmente la obtención del cuadrado.

Todas estas ideas pueden desarrollarse matemáticamente como siguen, y así terminamos el número VIII.

La figura (1) de vértices: 0(0 0)-M 2(2,l), V 4(l,l), V2(l,3), V l(—1,3) y M l(—1.2) se transforma mediante la matriz

0 — 1 representante del giro G de centro 0(0,0) y1 0

a m p litu d 7i/2 , en la f ig u ra de vértices:

0(0,0), M l(-1 ,2 ), V 1 2 (- l,l) , V ll(-3 ,1 ) , V 1 0 ( - 3 ,- l ) y M4 ( - 2 , - 1 )


con lo que queda demostrada la primera parte anterior.

En cuanto a la segunda, la matriz del giro G(V8, u/2), de centro el vértice V8( 1, 3) y amplitud n/2, viene dada como es sabido por

0 — 1 —41 0 —2 y aplicada a los vértices V7(l,—3),0 0 1

M 3(l, 2), V6(l,—1), 0(0,0), M4(—2,—1), V9(—1,— 1) y V8(— 1,—3) producen los correspondientes de la figura (5).

Del mismo modo se obtendría la (6) y la (7), utilizando los ángulos n y 3*n/2.

Como la transformación es isogonal e isométrica, los ángulos rectos se conservan así como las distancias, no quedando por probar más que la alineación de cada una de las ternas de puntos situadas en cada lado del supuesto cuadrado.

La cosa es inmediata, por cuanto para cada una de ellas se cumple la nulidad de los determinantes

—4 —2 1 —2 —6 1Det —3 —4 1 , Det 0 —5 1

—2 —6 1 2 —4 1etc.


Granulo 8

Vamos de exámenes. En gránulos de exámenes, tenemos la famosa A n tología del disparate, obra de un antiguo compañero del Instituto «Virgen del Carmen»: Luis Diez, al cual todos le brindábamos los disparates encontrados en los exámenes y que él cuidadosamente apuntaba en su agenda, sin duda ignorante del éxito que luego tendría.

Cuando tuvo lugar el siguiente disparate, ya no estaba en este Instituto y por eso lo cuento.

Ocurrió en Granada, año 72 y en un examen de Selectividad o como quiera que entonces se llamase.

Salió el tema titulado «Giros en el plano».

Hubo un zumbón que escribió: «La primera vez que oí la palabra giro fue en el patio de mi casa, cuando llegó el cartero y gritó, María, que ha llegado el giro de tu marido desde Alemania».

A raíz, dijéramos de esta definición, clasifico los giros en positivos, como el vivido por Gabino, que fue uno de los primeros quinielistas millonario, y giros negativos, como el sufrido por su abuelo, que espichaco el patrimonio de la casa, y así de esa guisa continuo.

PROBLEM A NÚM ERO IX

Surgió en los últimos años de la década de los sesenta; época en la cual no existían las grandes facilidades actuales para conseguir cualquier modesto compatible, seguramente con mayor capacidad en todos los sentidos, que aquellas enormes I.B.M.; la 1620 pongo por caso, existente entonces como una rara avis, en la Facultad de Veterinaria de Córdoba, cuyo valor se cotizaba en decenas de millones de pesetas y cuyo coste de uso rondaba las cinco o seis mil pesetas/hora.

Necesitaba de un gran local para colocar el acompañamiento de máquinas que llevaba tras de sí, como perforadora de tarjetas, lectora de las mismas, impresora enorme casi como una linotipia de entonces y finalmente la unidad de control que con tantas lucecifas como mostraba parecía una verbena.

El problema VIII consiste en recorrer todas las casillas de un tablero de ajedrez a salto de cabalo sin pasar dos veces por la misma casilla.

La solución de este juego fue encontrada por Euler, y su enunciado y solución parcial lo encontré en un libro excelente titulado A Fortran IV

BOLETÍN DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS GIENNENSES

Primer de E.I. Organick publicado en 1966.

Era solución parcial, porque el autor al hablar de la utilización de los números de azar, empleo la táctica de elegir entre las ocho salidas de un caballo, la suministrada por el azar.

Por lo visto el tiempo pasaba y los dólares también y el autor dejó al caballo en la 61 jugada, a tres del éxito.

Picado por la curiosidad, cambié de táctica y utilicé una estrategia simétrica, es decir supuse dos caballos A y B situados en las casillas extremas (1,1) y (8,8) de la diagonal principal del tablero, de manera que si al cabo de 32 jugadas el caballo A llegaba a la casilla (8,8), el B llegaría a su vez a la (1,1) realizando la jugada simétrica del A respecto del centro del tablero.

De esta manera el tiempo de máquina —la gran pesadilla— se reduciría notablemente.

Después supe, mediante amigos comunes, cómo en un centro de cálculo alemán consiguieron la solución del mismo utilizando el azar y tras diez horas de máquina.

Pero a todo hay quien gane. Un alumno del COU de entonces, Vázquez Largo, conocedor también del juego que nos traíamos entre mano, me entregó una solución a la brava, esto es sin ordenador ni estrategias, con solo una gomilla de borrar y para mayor inri, asistiendo a una clase donde según él, se aburría.

Recientemente he encontrado otras soluciones debidas a De Moivre, en Divertimentos matemáticos de Brian Bolt.

Todas las cuales vienen representadas en la página siguiente, donde la fig. 1 corresponde al centro de cálculo alemán; la fig. 2 a Vázquez Largo; la 3, a la estrategia simétrica; la 4, a la estrategia de De Moivre; la 5, a Euler, con vuelta a casa y la 6, cuadrado mágico de Euler.

1 38 63 50 47 40 61 5664 49 2 39 62 57 46 4137 34 31 48 51 44 55 6030 3 36 33 58 53 42 4535 32 29 52 43 26 59 544 13 16 19 28 9 22 25

15 18 11 6 23 20 27 812 5 14 17 10 7 24 21

Fig. 1

531255162914

1

642536191061

817

3421

489

321946

7

58494447223183


11 38 57 20 9 36 5956 19 10 37 58 21 817 54 39 46 43 60 3552 45 42 49 40 7 2213 28 51 44 47 34 612 15 48 41 50 23 6

27 64 31 4 25 62 3330 3 26

Fig.

63

2

32 5 24

37 26 47 44 39 28 4946 63 38 27 48 43 40

1 24 45 54 41 50 2962 35 2 21 52 55 4223 20 53 34 3 30 5118 9 22 13 56 33 411 16 59 6 31 14 5760 7 12

Fig.

15

3

58 5 32

49 22 11 36 39 24 110 35 50 23 12 37 4033 62 57 38 25 2 1320 51 54 63 60 41 2647 58 61 56 53 14 3

8 55 52 59 64 27 4231 6 17 44 29 4 1518 45 30 5

Fig. 4

16 43 28

43 60 37 52 41 62 3546 57 42 61 36 53 4059 48 51 38 55 34 6350 45 56 33 64 39 547 32 1 24 13 18 152 23 6 19 16 27 12

21 4 29 10 25 14 1730 9 20 5 28 11 26

Fig. 5

BOLETÍN DEL INSTITUTO DE ESTUDIOS GIENNENSES

1 48 31 50 33 16 63 1830 51 46 3 62 19 14 3547 2 49 32 15 34 17 6452 29 4 45 20 61 36 13

5 44 25 56 9 40 21 6028 53 8 41 24 57 12 3743 6 55 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11

Fig. 6

Gránulo 9

Y ya que estamos de exámenes; los he presenciado cortos, cortísimos, como el de aquel que le preguntaron el número e; salió a la pizarra y escribió una E mayúscula.

No le dio tiempo a más; el examinador le espetó un «márchese», y aquí se acabó la historia.

También el que esto escribe, tuvo su examen corto, cortísimo.

Fue en el año 43, materia: Mecánica Racional, y examinador: Navarro Borrás, arquitecto y profesor de dicha asignatura.

La pregunta fue: Postulados de la Mecánica. La respuesta no fue muy afortunada, por cuanto tuve que volver en septiembre.

Y, seguramente éramos muy escasos los que íbamos por libre y ya nos conocían, o el repertorio de preguntas era siempre el mismo; la cosa fue, que otra vez salieron los famosos postulados de la Mecánica y la respuesta fue breve, cuatro palabras: «Vdes. lo pasen bien».

La historia no acaba aquí; quince años más tarde, mi hijo Paco, estudiante por entonces de Físicas, pasó por la misma asignatura y el mismo examinador. La respuesta fue recibir un telegrama suyo que decía: «Rota tradición familiar».

PROBLEM A NÚM ERO X

Ya metidos con los ordenadores, quiero con este nuevo ejemplo desmitificar un poco la leyenda de los mismos, pues basta con pronunciar la consabida frase de «ha sido ejecutado por ordenador», para que la cosa sea inamovible.


Dijimos anteriormente que el tal instrumento era un tonto, etc., etc., pero ahora tenemos que es un listo que a veces se pasa de ello.

Y si no, hagamos un poco de historia reciente. Si alguno de Vdes. hubiera visitado esta excelentísima Diputación Provincial, allá por la década de los cuarenta, hubiera visto en los despachos de los técnicos, cómo utilizaban aquellas maquinitas de calcular, provistas de una manivela, capaces de sumar o restar según el sentido de giro de la misma, que al repetirse la operación se elevaba de rango y multiplicaba o dividía, con tan delicada atención, que sonaba una campana si el operador se pasaba de dígitos en la división.

Además, cuando el resultado sobrepasaba su capacidad de almacenamiento, la máquina tenía el buen sentido de bloquearse y no seguir funcionando.

En cambio, un ordenador por su tontura innata, no se cansa de realizar operaciones y más operaciones, y en cuanto un resultado sobrepasa los dígitos adecuados en simple o doble precisión, no avisa de ello, sino que tira por la calle de enmedio; adopta la coma flotante, o sea, un cero coma, los dígitos admitidos y multiplica por la potencia adecuada por 10.

Claro está que un error de 10-7 ó 10~15 —simple o doble precisión— no tiene importancia, cuando se busca una aproximación de dos o tres dígitos significativos, pero al realizarse millares y aun millones de operaciones, los muchos poquitos suman un algo; al fin de cuentas es el principio del cálculo integral, y habría que tenerlo en cuenta.

Por estos motivos, para un matemático puro, la mayoría de los programas realizados serían chapuceros, si no se han tenido en cuenta las características de unicidad, convergencia, etc., de los algoritmos utilizados y, sobre todo, el cálculo de cotas para los errores cometidos por el recorte de números y su propagación en cálculos sucesivos.

El obtener muchos dígitos en la resolución de cualquier tipo de ecuación, no tiene ningún valor, si no se conoce su fiabilidad, esto es, hasta qué dígito el resultado es correcto.

Veamos ahora un primer ejemplo, donde se muestra cómo también la falta de una técnica adecuada puede conducir a errores monstruosos.

Está tomado de John M. Blatt en su Introduction to Fortran IV, año 1968, y supone a un ingeniero que necesita calcular cierto determinante de una matriz N x N.


Para la confección de su programa, empieza aplicando la clásica definición del determinante de una matriz cuadrada, esto es, suma de factorial de N—(N!)— términos, cada uno de los cuales es un producto de N factores, pertenecientes a cada fila y columna de la matriz y con el signo + o— según que las permutaciones de filas y columnas sean de la misma o distinta clase.

Realiza este programa y lo comprueba para los valores N = 2, N = 3, fáciles de verificarlos manualmente.

Convencido de la bondad del programa, introduce los datos de su problema, una matriz de 30 X 30 y espera que la máquina cumpla su encargo.

Se supone que tuvo tiempo de tomarse el café intermedio y de charlar con los compañeros mientras la máquina seguía funcionando.

Al cabo de dos días de espera, todo el equipo comenzó a mosquearse y a pensar un poco. Enseguida llegaron a la conclusión de que el factorial de 30, es del orden de 265 X 1032.

Suponiendo ahora que la máquina calcule cada término o sean 29 multiplicaciones, en un tiempo de 10-s segundos, harían falta 265 x 1027 segundos, que aproximadamente serían 1020 años.

Conclusión, el método empleado no es el más apropiado. Si hubiera utilizado el método de Gauss, con unos pocos minutos zanjaría la cuestión.

Pero si bien los métodos de Gauss fueron suficientes para ciertas técnicas, surgieron otras como, por ejemplo, la Tomografía computarizada, que exigía resolver centenares y aun millares de ecuaciones lineales, donde los métodos anteriores se mostraron ineficaces.

Es notable el ejemplo propuesto por el japonés Nagasaka y citado por otro japonés, Kunio Tanabe, como prueba de la bondad de su método: Pro- jection M ethod fo r Solving a Singular System o f Linear Equations and its Applications, publicado en 1971.

Consiste el ejemplo en resolver un sistema lineal de 84 ecuaciones, tan sencillas que todas sus soluciones son iguales a la unidad, con lo que no se plantean problemas a la hora de la comprobación de la fiabilidad del método.

El sistema, con las x(j) como incógnitas sería el siguiente

6 x(l) + x(2) = 7 8-x(j) + 6-x(j + l ) + x ( j + 2 ) = 15 j - 3 . , . 8 2

8-x(83) + 6-x(84) = 14


y es inmediata la comprobación de que

x(l) = x (2 )= ...........x(83) = x(84) = 1

La eliminación gaussiana, proporciona para el primero y quinto valor de x(), los siguientes valores

x (l)= 1.000 000 000 x(5) = 9.999 999 999*10-'

y para el primero y quinto valores por la cola, los siguientes

x(84)= 1.993 723 8191*1013 x(80) = 2.414 274 372*1012

los cuales no tienen ningún parecido con la realidad.

En cambio, el método Tanabe, variante del método de Kacmar, sí tuvo mejor éxito, como puede comprobarse, aunque nada dicen del tiempo empleado en su resolución.

x(l) = x(2)x.......x(45) = 1.000 000 000x(80) = .999 999 965 62 x(81) = 1.000 001 112 1 x(82) = .999 964 397 58 x(83) = 1.001 138 210 1 x(84) = .964 680 989 62

Así y todo, estos métodos puramente algebraicos fueron abandonados en los problemas de reconstrucción de imágenes, que es a lo que se reduce la Tomografía Computarizada.

El problema de la reconstrucción de imágenes, consiste como es sabido, en estimar el valor de una función g(x,y) en un punto dado, a partir de un conocimiento parcial de sus proyecciones o transformadas de Radon.

En nuestro caso —T .C .— se trata de medir experimentalmente la atenuación de los rayos X (R-X), a través de una sección del cuerpo humano, atravesada por N rayos y repetido el proceso girando el dispositivo emisor M posiciones hasta conseguir el número de proyecciones suficiente. Este número puede ser del orden de 105.

La medida de la absorción de R-X, a través del campo de actuación, supuesto un cuadrado de lado V2*E y origen de coordenadas el centro del mismo, con una función f(x,y) densidad para cada punto z del rayo L, puede expresarse por la siguiente integral curvilínea, a lo largo de L

RF(1,0)= !f(VT2 + z2),9 + A r. tg.((z/l))*dz


Estos valores numéricos constituyen las llamadas proyecciones o función Radon de f.

El problema que se trata de resolver es encontrar para cada punto (x,y) el valor de la densidad del R-X en ese punto, esto es la función g(r,0) expresada en polares, y que fue el gran descubrimiento de Radon, mediante la siguiente fórmula llamada transformada inversa de Radon

(R g)~’ (r.O) = (1 /2 * ti2) j" | ' l e (l/(r*cos(0—O)—l))*q (l,0)dl*d0

y cuya resolución numérica no tiene nada de fácil.

Granulo 10

Examen de emergencia.

En julio de 1936, el 14 del mismo y día en que asesinaron a Calvo Sote- lo, terminamos la carrera de Veterinaria, unas cuantas docenas —muy pocas— de estudiantes.

Teníamos señalada la correspondiente Reválida para el 25 del mismo mes; como es natural aquélla no llegó a celebrarse en dicha fecha. Ya fue bastante que llegáramos a casa por entonces.

En lo que a mí se refiere, obtuve en septiembre del 37 permiso de la unidad en que servía, para ir en solitario a realizar dicha prueba.

Efectivamente, en aquel Madrid de los obuses, en lugar de un tribunal, me encontré con un monobunal, ya que sólo estaba el secretario de la escuela.

Le planteé la cuestión de mi necesidad del título y de la ausencia de preparación, cosa que comprendió de inmediato.

No me puso más que una condición, que tomáramos Zaragoza, puesto que para presionarle más, le dije procedía del frente de Belchite, y cómo no, le prometí contara conmigo.

Se acaba la guerra e igual que con los billetes, el título no sirvió para nada. Vuelta otra vez de reválida, y ahora todos los supervivientes y sin ninguna capital que tomar.

Menos mal que hubo suerte, y a pagar otro recibo del título. Seguramente seremos de los pocos españoles que tenemos títulos universitarios de repuesto.


PROBLEM A NÚM ERO XI

Lo encontré en el Álgebra Moderna, de G. Birkhoff and S. Mac Lañe, del año 53.

Enseguida fue bautizado como el problema del mono, dado el papel tan acusado que juega este animal.

Literalmente dice: En una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos durante todo el día y después se duermen.

El primer hombre se despierta y decide tomar su parte. Divide los cocos en cinco montones de igual número y le sobra un coco, que se lo da al mono. Toma su parte y vuelve a dormirse.

Entonces despierta el segundo hombre, y con los cocos sobrantes repite la escena del primero y también le sobra un coco que se lo da al mono.

Los otros tres hombres sucesivamente repiten la misma distribución.

La cuestión consiste en hallar el número nínimo de cocos que formaban el montón original. Sugerencia, añadir 4 cocos.

Si con q l, q2, q3, q4 y q5 designamos los cocos recogidos durante el sueño, el sistema es inmediato.

N = 5-ql + 1(1) 4 -q l = 5 -q 2 + 1

4 • q2 = 5 • q3 + 1 4 • q3 = 5 • q4 + 1 4-q4 = 5-q5 + 1

sistema que, dada la naturaleza de las soluciones —números naturales—, conduciría a una ecuación diofántica de primer grado, una vez eliminadas las variables q2, q3 y q4.

Efectuada esta eliminación se llega finalmente a la siguiente diofántica

(2) 256 q l—625-q5 = 369

La solución, muy conocida teóricamente, es un fastidio mírela por donde se la mire. Hay que encontrar en el sistema completo de números incongruentes (módulo 256) siguiente,

625.0 + 369,625 • 1 + 369,............ 625.255 + 369

un múltiplo de 256 y eso es tedioso, sobre todo si no sale en los primeros ensayos.


Puede resolverse sin tanteos, utilizando el desarrollo en fracción continua de

625/256

cuyos cocientes incompletos son

(2,2,3,1,3,3,2)

y la reducidas sucesivas

0/1,1/0,2*1 +0/1*0+ 1,2*2 + 1/2*1 +0,3*5+ 2/3*2+ 1,1*17 + 5/1*7 + 2 ,3*22 + 17/3*9 + 7,3*83 + 22/3*34 + 9,2*271 + 83/2* 111 + 34

Los términos de las dos últimas reducidas

271/111 y 625/256

satisfacen como es sabido, a la relación

(3) 256*271—625*111 = 1

solución de la ecuación

256*x—625*y=l

equivalente a su vez a la congruencia

256*x=l mod. 625

Entonces la solución procedente del sistema incongruente citado sería

256*X—625*Y = 369

con X = 369*x = 99999

e Y = 369*y + 40959

y las infinitas soluciones del mismo

x = 99999+ 625*t y = 40959 + 256*t

y como se trata de un mínimo, tendrá lugar para

t = INT (99999/625) = 159

con lo que

x = 99999—625*159 = 624 y = 40959—256*159 = 255

Conocidos q5 y q l, el sistema (1) en cadena da los restantes valores

q5 = 255 q4 = 319


q3 = 399 q2 = 499 ql = 624

El valor inicial del montón sería entonces

N = 5-l + l = 3121 cocos

Utilizando ahora la sugerencia del autor, el problema se agiliza y se viene a la mano enseguida.

Si a cada ecuación del sistema (1), le sumamos a sus dos miembros 4, el citado sistema se convertiría en este otro

4 • (ql + 1) = 5 • (q2 + 1)4 • (q2 + 1) = 5 • (q3 + 1)4-(q3 + l) = 5-(q4 + 1)4-(q4+ 1) = 5 • (q5 + 1)

Multiplicando miembro a miembro estas ecuaciones y simplificando, quedaría finalmente

256 ■ (ql + 1) = 625 • (q5 + 1)

ecuación que se satisface, como está a la vista, con

q l= 6 2 4 y q5 = 255

coincidentes con los obtenidos anteriormente.

Hoy, con un ordenador la solución sería inmediata, ya que este no tiene pereza en realizar las comprobaciones pertinentes.

Quiere decir, que partiendo de la ecuación.

256-x—625-y = 369

se despejaríay = (369—256 • x)/625

dándole valores a x hasta conseguir el primero entero de y.

Gránulo XI

Varia número 447.

Desde el año 1946 en que la obra se publicó, venimos oyendo reiteradamente una injusta censura del Análisis matemático, del padre E. Chacón (S. J.).

Esta censura es la siguiente: «El autor no cita en su libro al señor Rey Pastor, a pesar de que en la página 152 da la deducción de la fórmula de


una progresión hipergeométrica, fórmula «obtenida» en 1911 por dicho señor y que figura con la cita bibliográfica correspondiente en todas las ediciones de su Análisis algebraico.

La omisión resulta más extraña aún —añaden los censores— si se tiene en cuenta que un libro tan divulgado como el curso preliminar de Análisis matemüco, de los profesores Navarro Borras y Sixto Ríos, se dice textualmente, al pie de la página 63: «Fórmula debida a Rey Pastor».

Pues bien, ya es hora de proclamar que tal crítica es errónea, porque la fórmula en cuestión no es del señor Rey Pastor, y por consiguiente, nada tiene de particular que el P. Chacón la haya tomado de cualquiera otra fuente bibliográfica; por ejemplo, de la famosa Theory of infinite series de Browm- vich (1908) (la cual por cierto tampoco aparece citada en las obras mencionadas, en cuya página 32, Example 2, puede verse la conocida deducción).

Como se ve, no hay misericordia, ni se admite un redescubrimiento tan frecuentes en los matemáticos.

PROBLEM A NÚM ERO XII

Titulado también problema de Bronowski. Está tomado de A. H. Fe- rez, quien a su vez lo tomó del Cajón de sastre matemático, de M. Mataix Lorda.

Dice: Hallar el número natural, más pequeño, que cumpla la condición de que cuando su primera cifra de la izquierda se coloque en el último lugar de la derecha, el número resultante sea vez y media el original.

La solución que da el citado Dr. es

N = 1176470588235294

que como puede comprobarse se ajusta al enunciado.

1176470588235294 + 488235294117647 = 1764705882352941

En cambio, para el señor Ferez, la solución es

0.0588235294117647

al que califica como término «onceavo» de la progresión rotatoria, término no conocido por la ciencia actual, del inverso 1/17, y termina «eliminando de los anales de la matemática a dicho problema por inútil».

Nos da la impresión de que el señor Ferez se ha desmadrado un poco, ya que el enunciado está claro, habla de números naturales, pero no de fracciones decimales.


Su resolución pudiera enfocarse de la siguiente manera:

Si N es el número; poniendo de manifiesto sus dígitos desconocidos tendríamos

N = a(0)a(l)...a(n)

y el enunciado establece

a(l)a(2)...a(n)a(0) = 1 -5*N

si para simplificar hacemos M = a(2)a(3)...a(n)

se tiene para la anterior ecuación

10*M + a(n) + 1 • 5*(M + 10n*a(n)

multiplicando por 6, para quitar decimales y simplificando, queda finalmente

17*M = a(n)*(3*10n—2)

de donde

M = a(n) *(3*10n—2)/17

y como 17 es primo con cualquier dígito distinto de cero, resultará

3*10n—2 = múltiplo de 17 o mejor

3*10" + 3 = 2 (mod. 17)

Se trata entonces de resolver esta congruencia. Para ello dando valores a n, se encor trará —teorema de Dirichler— el valor solución. Así

3*1CT0=3 ,3«10T 1=;13, 3*1CT2 = —6, 3*10*3=—9, 3*1(T4=12, 3*10"5=1 3*1(T6=10, 3*10*7=15, 3*10"8 = — = , 3*10" 9= 4 , 3*10" 10=6, 3*10" 11=9 3*1(T 12=5, 3*1*" 1 3 = — 1, 3*10" 14=7, 3*10" 15=2 (mod. 17)

de donde salí; n = 15. efectuando entonces la división

3 000 000 000 000 000/17 = 176470588235294

y al pedir el número mínimo, ha de ser a(n) = 1, y el número en cuestión

N = 1176470588235294

coincidente con la solución Bronowski.

Gránulo 12

En la Varia número 544, se lee: «En España hay solamente obras sobre Teología y Geometría de sastres». «No hay un solo nombre propio en


los libros de matemáticas, que labios españoles puedan pronunciar sin dificultad».

Estas frases derrotistas son del eminente don José Echegaray.

«En España nunca ha habido Matemática moderna». Esta es de otro ilustre compatriota: Don Julio Rey Pastor, «vir stupendas sagacitatis».

Han transcurrido muchos años desde que fueron pronunciadas y ya va siendo hora de que los españoles hagamos un balance de la contribución matemática legada por sus autores para remediar el daño denunciado.

PROBLEM A NÚM ERO XIII Y ÚLTIM O

Este problema también está tomado de Ferez, con lo cual queda de manifestó, es una buena cantera de ellos, y para mi gusto es el más elegante y sencillo de los que le llevo estudiados.

Se trata simplemente de un criterio de divisibilidad por 7.

Lo da de pasada, casi sin darle importancia, puesto que no lo nombramás.

Lo enuncia así: Un número es divisible por 7, cuando al restar a sus decenas el duplo de sus unidades, el resto es cero o múltiplo de 7.

A este respecto conviene recordar que los criterios de divisibilidad, siempre se han obtenido a base de los restos potenciales.

Esto es, multiplicando las unidades de los respectivos órdenes por los restos correspondientes y sumando para obtener un múltiplo correspondiente en el caso afirmativo.

En el caso del 7 este modus operandi, es molesto —por que sus restos potenciales son 1, 3, 2, —1, —3, —2, etc.— como se ve en el siguiente ejemplo: Sea el número 238, utilizando los restos potenciales tendríamos

8 + 3*3 + 2*2 = 21

y con el criterio de Ferez

23— 16 = 7

No obstante su sencillez, lo interesante para el que esto escribe, no muy versado en cosas numéricas, es que ha empleado —consciente o no— un método poco conocido y que en síntesis, consiste en sumarle o restarle al número en cuestión cuya divisibilidad se busca, un múltiplo de ese divisor.


De esta manera, si el resultado es múltiplo de 7 —nuestro caso— el original también lo será.

En términos matemáticos, si N es el número, escrito en forma polinó- mica se tendrá

N = 10*d + u

donde d = decenas y u = unidades del número.

Por otra parte, si N fuese múltiplo de 7, aplicando los restos potenciales tendríamos

u + 3*d = múltiplo de 7

y lo mismo ocurriría con

N-3*(u + 3*d) = 10*d + u—3*u—9*d = d—2*u

que es la regla de Ferez.

Granulo 13

Así terminábamos a finales del verano del 1991, esta colección de problemas, cuando en la espera de su publicación, tropecé con esta Varia de Barinaga; la número 542, y que ofrezco como el gránulo correspondiente.

Textualmente dice así: «Es fácil señalar los redescubrimientos en materia elemental. Lo que es difícil en general es encontrar la paternidad verdadera del asunto.

Citemos, por ejemplo, la proposición «un número n = lOk + a es divisible por 7, cuando lo sea la diferencia entre sus decenas y el duplo de sus unidades, es decir k—2a». (La demostración se reduce a observar que es n = lOk + a = 3*(k—2a) + 7*(k + a).

Esta regla fue publicada por el matemático ruso A. Zbikowsky, el año 1881, aun cuando se encuentra en algunas obras francesas del siglo xvm y aun del x v i i . ¿Quién fue el verdadero autor? Se comprende que la contestación no sea sencilla.

A nuestros ojos a pesar de ser un redescubrimiento, no deja de tener importancia este hallazgo de Ferez.

EPÍLOGO

Las enseñanzas que pueden y deben advertirse en estos problemas, aparte la intrínseca de ellos, creo se podrían incluir en las siguientes categorías:


a) Se aprende mucho de los alumnos. Podría citar muchos más casos análogos a los del señor Vázquez Largo.

La cosa está clara, por cuanto en treinta y algunos años de docencia, habré tratado millares de alumnos, y por muy escaso que sea el porcentaje de los superdotados, siempre se identifican y algo se aprende de ellos.

b) La mayoría de los problemas de la Técnica, se resuelven teóricamente con ayuda de sistemas de ecuaciones lineales.

Las dificultades surgen cuando las técnicas empleadas y los medios de cálculo se hacen inoperantes.

c) Las ideas matemáticas dan la impresión de comportarsen como las ondas electromagnéticas de la radio y tele; rebotando de acá para allá, hasta encontrar el cerebro receptor, capaz de sintonizarlas y ponerlas en conocimiento de los demás.

Recuérdense los casos de Newton-Leibnitz, Gauss-Lobachesky, Boyle- Mariotte y como no, Browmvich-Rey Pastor, etc. y encontrarán justificada, antes de echar las campanas al vuelo, una cuarentena bibliográfica, que pondrá en evidencia —casi siempre— la prioridad de otro afortunado receptor. Una cura de humildad es un ejercicio muy saludable.

d) Las matemáticas constituyen la intersección —en su sentido matemático—de las restantes ciencias: Física, Química, Biología, etc. y, por tanto, no cabe el aislamiento profesional de una y otras.

Va como ejemplo el siguiente botón de muestra. Hace años, aproximadamente unos veinte, me dio por leer algo sobre resistencia de materiales; no en balde tenía una estudiante en arquitectura y mi despacho en la EUITI, estaba contiguo al de esa materia.

En el capítulo de las vigas continuas, existe una fórmula llamada de los tres momentos, prácticamente desaprovechada por entonces, seguramente por la dificultad de invertir la correspondiente matriz.

Mirándola con atención, resultaba aquella matriz idéntica a la que salía en los splines, entonces de moda, y que se invertía mediante un método iterativo muy sencillo, expuesto en el problema relativo a la bomba de cobalto.

Y gracias por su atención y esfuerzo subsiguiente.


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DISCURSO DE INGRESO EN EL I.E.G. ALGUNOS PROBLEMAS DE ... · nada con el producto de sus distancias a las otras n rectas. Utilizo las llamadas coordenadas cartesianas y el álgebra