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discussione grafica
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7/21/2019 Discussione Grafica
http://slidepdf.com/reader/full/discussione-grafica 1/20
Problemi con discussione grafica
Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette
(proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata dal problema (in genere una
parabola o una circonferenza, come nei casi che prenderemo in esame)
La differenza rispetto ad un sistema tradizionale consiste nella presenza di un parametro in una
delle equazioni del sistema che farà variare a seconda dei valori assunti le soluzioni generali del
sistema.
Il parametro di solito si trova nell’equazione della retta, dando origine come osservato in
precedenza ad un fascio di rette, è possibile però che esso si trovi nell’equazione della parabola o
della circonferenza, si avrà in quest’ultimo caso rispettivamente un fascio di parabole o un fascio di
circonferenze delle quali si dovranno determinare le intersezioni con una retta fissa.
Le soluzioni che si cercano sono rappresentate dalle intersezioni tra fascio dirette e
circonferenza/parabola al variare appunto dl parametro.
Di solito vi sono dei vincoli di segno per le variabili x e y che andranno tracciati subito per
eliminare le eventuali parti di piano che non siano interessate dallo studio del problema.
Osservazioni
Ricordiamo alcuni risultati sui fasci di rette, sulla parabola e sulla circonferenza.
Equazione della parabola cbxax y ++= 2
Vertice della parabola
∆
−−aa
bV
4;
2
Orientamento della parabola 0>a concavità verso l’alto;0<a concavità verso il basso.
Equazione della circonferenza 022 =++++ cbyax y x
Centro della circonferenza
−−2
;2
baC
Raggio della circonferenza
cba
r −
−+
−=
22
22
7/21/2019 Discussione Grafica
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L’equazione della retta è del tipo qmx y += .
Sia dato il parametro k e i valori costanti per m e q, allora
Fascio di rette proprio qkx y +=
Fascio di rette improprio k mx y +=
Il fascio di rette proprio è tale che il parametro k agisce sul coefficiente della x determinando quindi
al suo variare il coefficiente angolare della retta, esso è formato da rette che passano tutte per uno
stesso punto, detto il centro del fascio.
Per determinare il centro (e quindi le infinite rette del fascio che passano per il centro) è sufficiente
dare due valori qualsiasi al parametro k . In questo modo si ottengono due rette del fascio che messe
a sistema danno come risultato il punto cercato.Esempio
033 =−− kx y
Scriviamo la retta in forma esplicita
33 += kx y
Poiché k agisce sul coefficiente della x (che quindi è variabile) abbiamo un fascio di rette proprio.
Per disegnarlo diamo due valori generici (a nostra scelta) a k .
Se 0=k otteniamo 3= y .Se 1=k otteniamo 33 += x y
Mettendo a sistema le equazioni delle rette così ottenute si ha:
+=
=
33
3
x y
y
+=
=
333
3
x
y
=
=
033
x y
=
=
3
0
y
x che rappresenta il centro del fascio di rette cercato.
Se disegniamo il fascio esso corrisponde a:
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y
3
2
1
0
x
Il fascio di rette improprio è tale che il parametro k non agisce sul coefficiente della x ma soltanto
nel determinare il termine noto della retta quindi al suo variare il coefficiente angolare resta sempre
lo stesso, esso è formato da rette parallele tra loro.
Per determinare il fascio di rette basta assegnare a k un valore qualsiasi e tracciare nel piano la retta
così ottenuta (si devono determinare due punti qualsiasi per cui essa passa), la altre rette del fascio
si determinano tracciando rette parallele alla retta di riferimento disegnata.
Esempio
02 =−+ k x y
Scriviamo la retta in forma esplicita
k x y +−= 2
Poiché k non agisce sul coefficiente della x (che quindi è costante) abbiamo un fascio di rette
improprio.
Per disegnarlo diamo un valore generico (a nostra scelta) a k .
Se 0=k abbiamo x y 2−=
Per disegnarla diamo due valori generici (a nostra scelta) a x e troviamo i corrispondenti y.
Se 0= x otteniamo 0= y . (si poteva vedere già dalla forma dell’equazione della retta che passa per
l’origine, essendo il termine noto nullo)
Se 1= x otteniamo 2−= y
Pertanto la retta passa per i punti ( )0;0O e ( )2;1 −P . Tutte le altre rette del fascio sono parallele alla
retta trovata. Se disegniamo il fascio esso corrisponde a (la retta evidenziata è quella trovata
utilizzata come generatrice):
7/21/2019 Discussione Grafica
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y
3
2
1
0 1 x
-1
-2
Osservazione
Se un fascio di rette è tale che il parametro agisce sia sul coefficiente angolare della retta e sul
termine noto, esso è un fascio di retto proprio.
Esempio
01243 =−+− k kx y è un fascio di rette proprio.
Vediamo ora di illustrare il metodo risolutivo per un problema con discussione grafica con un
esempio.
≥≤≤−
=−++
=+
0;21
034
422
y x
k ky x
y x
Passo 1: tracciare la circonferenza
La circonferenza 422 =+ y x ha centro nell’origine e ha raggio 2
y
(2,0) x
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3;1−
Passo 2: tracciare le limitazioni
Si devono escludere ora quelle parti di piano che vengono escluse dai vincoli, per la x i valori
accettabili sono 21 ≤≤− x , mentre per la y vanno presi i valori tali che 0≥ y .
y
(2;0) x
Valori esclusi dalla limitazione 21 ≤≤− x
Valori esclusi dalla limitazione 0≥ y
La parte di circonferenza che dovrà essere considerata nell’esercizio pertanto è quella superiore che
non viene cancellata dalle limitazioni.
A tal scopo calcoliamo le intersezioni della circonferenza con i vincoli.
Intersezione circonferenza e asse x.
=
=+
0
422
y
y x
=
=
0
42
y
x
=
±=
0
2
y
x
=
=
0
2
y
x è la soluzione compatibile con i vincoli.
(si vede che questo punto è anche l’intersezione tra la circonferenza e il vincolo determinato dalla
retta 2= x )
Intersezione circonferenza e retta 1 −= x .
−=
=+
1
422
x
y x
−=
=+
1
41 2
x
y
−=
=
1
32
x
y
−=
±=
1
3
x
y
−=
=
1
3
x
y è la soluzione compatibile
con i vincoli
Passo 3: tracciare il fascio di rette
Scriviamo il fascio di rette in forma esplicita:
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3;1−
( )3;4−
034 =−++ k ky x
43 −+−= k xky posto 0≠k possiamo ricavare la y dividendo per k tutti i termini.
k x
k y
43
1−+−=
Poiché il parametro k agisce sul coefficiente angolare della retta (cioè sul coefficiente della x), il
fascio è un fascio di rette proprio, pertanto dobbiamo determinare il centro assegnando due valori a
k e calcolando l’intersezione tra le rette così determinate (si scelgono valori tali che i calcoli
risultino semplici).
Se 1=k si ottiene 1−−= x y
Se 1−=k si ottiene 7+= x y
+=
−−=
71
x y x y
+=
−−=+
717
x y x x
+=
−=
782
x y x
=
−=
34
y x che rappresenta il centro del fascio.
Riportiamo quindi il fascio di rette nel grafico
y
(2;0) x
Come si vede vi sono alcune rette del fascio che intersecano la parte di circonferenza che dobbiamo
considerare una o due volte, più precisamente
dalla retta che passa per il punto ( )0;2 alla retta che passa per il punto 3;1− vi è una sola
intersezione;
dalla retta che passa per il punto 3;1− alla retta tangente la circonferenza vi sono due
intersezioni.
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Passo 4: determinare i valori di k relativi alle intersezioni tra circonferenza e fascio di rette
Il nostro obiettivo è di determinare per quali k vi sia una sola soluzione per il problema e per quali k
invece ve ne siano due.
Per determinare i valori di k che cerchiamo procediamo come segue.
Per quanto riguarda i punti ( )0;2 e 3;1− poiché le rette del fascio vi passano imponiamo la
condizione di appartenenza (o di passaggio), cioè sostituiamo nell’equazione del fascio
034 =−++ k ky x le coordinate x e y dei punti precedentemente trovati.
( )0;2 034 =−++ k ky x 0342 =−+ k 63 −=− k 2=k
3;1− 034 =−++ k ky x 03431 =−++− k k 333 −=− k k
333 =− k k
333 =−k
33
3−
=k 33
33
33
3+
+⋅
−=k
39333
−
+=k
6333 +
=k
Per determinare il valore per la tangente si deve porre a sistema l’equazione della
circonferenza e del fascio ponendo poi la condizione di tangenza 0 =∆ .
=−++
=+
034
422
k ky x
y x
+−−=
=+
k ky x
y x
34
422
( )+−−=
=++−−
k ky x
yk ky
34
434 22
( ) 434 22 =++−− yk ky
042468916 22222 =−+−−+++ yk yk kyk yk
( ) ( ) 024912681 2222 =−++−++ k k k k yk y
Poniamo la condizione di tangenza 0 =∆
( ) ( )( )0249121468 2222 =−++−− k k k k k
0963648963648369664 2342432 =+−−+−−+− k k k k k k k k
0489620 2 =−+− k k
0489620 2 =+− k k
0122452 =+−
k k
521212
58412
56014412
2,1
±=
±=
−±=k
233 +
=k
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Quindi
23,45
212121
≈+
=k
57,05 212122 ≈−
=k
Dobbiamo ora riportare i valori di k trovati nel grafico, pertanto non c’è problema ad attribuire alle
rette che passano per i punti ( )0;2 e 3;1− i corrispondenti valori di k , mentre dobbiamo
individuare quale sia il valore di k che corrisponde alla retta tangente nel nostro disegno. I valori
trovati in quest’ultimo caso sono due, infatti da un punto esterno ad una circonferenza si possono
condurre sempre due rette tangenti.
Osservazione
Per determinare il valore corretto del parametro relativo alla condizione di tangenza possiamo fare
alcune considerazioni che hanno carattere generale:
i valori del parametro crescono (o decrescono) quindi passano da valori più piccoli a valori
più grandi (passano da valori più grandi a valori più piccoli).
Se il fascio di rette ha la forma qkx y += (il parametro non è a denominatore), possiamo
individuare dei valori critici per il coefficiente angolare, infatti:
una retta parallela all’asse delle x ha coefficiente angolare nullo
una retta parallela all’asse delle y ha coefficiente angolare infinito
una retta che forma con l’asse delle x un angolo acuto ha coefficiente angolare positivo
una retta che forma con l’asse delle x un angolo ottuso ha coefficiente angolare negativo
E’ importante osservare che:
se una retta che tende all’asse delle y che formando con l’asse delle x un angolo ottuso ha
coefficiente angolare ∞− .
una retta che tende all’asse delle y che formando con l’asse delle x un angolo acuto ha
coefficiente angolare ∞+ .
Se il fascio di rette ha la forma q xk
y +=1
(il parametro è a denominatore), possiamo individuare
dei valori critici per il coefficiente angolare come in precedenza, scambiano i ruoli dell’asse delle x
e dell’asse delle y.
Altrimenti per individuare quale sia il valore corretto del parametro si sostituisce all’interno
dell’equazione del fascio di rette il valore stesso del parametro e poi si mette a sistema la rettaottenuta con la circonferenza (o qualsiasi altra funzione), in questo modo si determina il punto di
7/21/2019 Discussione Grafica
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3;1−
( )3;4−
intersezione e poi analizzando il grafico si vede se il risultato ottenuto rappresenta la soluzione
cercata.
Torniamo quindi all’esercizio.
Poiché il fascio ha la formak
xk
y 431 −+−= , cioè il parametro è a denominatore e non vi sono
rette parallele all’asse x nelle soluzioni (lo si deduce dal grafico), riportiamo nel grafico i valori dik relativi ai punti ( )0;2 e ( )3;1− .
y
(2;0) x
Poiché il parametro per raggiungere la retta tangente riportata nel disegno varia da valori minori a
valori maggiori il coefficiente del parametro relativo alla tangente è5
21212 +=k .
I valori degli estremi sono compresi in quanto nei vincoli c’è l’uguaglianza. La soluzione
corrispondente alla tangente è doppia, pertanto deve essere sempre compresa nelle due soluzioni.
Quindi le soluzioni del problema sono:
1 soluzione per +
233
;2
2 soluzione per ++
521212
;2
33
Osservazione
Pertanto i punti da seguire nella soluzione di un problema a discussione grafica sono:
disegnare la conica
233 +
=k
2=k
521212 +
=k
7/21/2019 Discussione Grafica
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disegnare le limitazioni e individuare le intersezioni con la funzione
tracciare il fascio di rette
determinare la posizione tra funzione e fascio di rette
individuare i valori del parametro in corrispondenza degli estremi e della tangente (se
necessario)
individuare correttamente il comportamento del parametro nel grafico nei rispettivi intervalli
individuare gli intervalli aventi 1 soluzione e quelli in cui vi sono 2 soluzioni
Osservazione: le rette generatrici
Nel caso di un fascio di rette proprio è possibile determinare il centro utilizzando due rette
particolari, le cosiddette generatrici, rette parallele agli assi cartesiani. Tale rette si determinano
come illustrato nell’esempio seguente.
Sia dato un fascio di rette proprio
( ) ( ) 02132 =−+−−+ k k x yk
Si devono isolare i termini che contengono il parametro k dai termini che non lo contengono:
02332 =−++−+ k x xk yky
( ) 023213 =+++−− x y x yk
Ora, rispetto al parametro k possiamo identificare il coefficiente di k : 13 −− x y e il temine noto
sempre rispetto a k : 232 ++ x y .
Le rette generatrici si ottengono risolvendo il sistema delle due equazioni che si ottiene uguagliando
a zero le espressioni del coefficiente di k e del rispettivo termine noto, nel nostro esempio allora:
=++
=−−
0232
013
x y
x y
=++
+=
0232
13
x y
x y
=+++
+=
02326
13
x x
x y
−=
+=
49
13
x
x y
−=
−=
3194
y
x
che rappresentano le rette generatrici del fascio e le coordinate del centro del fascio stesso.
7/21/2019 Discussione Grafica
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Osservazione
E’ possibile inoltre valutare l’andamento dei valori del parametro analizzando il verso in cui cresce
o decresce il parametro stesso e individuare se esso assume valori infinitamente grandi entro alcune
parti di piano.
Nel caso in cui si abbia una situazione come in figura:
k =5
k = 7
k =-1
Il valore del parametro per la retta che corrisponde a k =5 cresce in senso antiorario verso la retta
con k =7, però poi proseguendo si trova la retta k =-1, cioè significa che tra la retta k =7 e k =-1 ci
deve essere un comportamento particolare per i valori di k , cioè essi cresceranno però per poter
giustificare il fatto che da k =7 si arrivi a k =-1 ci dovrà essere un salto, accade infatti che il
parametro assume valori crescenti da 5 a 7 sino a valori infinitamente grandi che chiameremo ∞+ ,
una volta giunto a ∞+ i valori di k ripartono da valori infinitamente grandi ma di segno negativo,
cioè riprendono da ∞− e crescono sino ad arrivare a -1.
Tale comportamento per il parametro si ha ogni volta che dati tre valori no è possibile giungere dal
primo la terzo in maniera dirette (cioè in modo sempre crescente oppure sempre decrescente).
Nel caso si avessero soltanto due rette e non fosse chiaro il comportamento del parametro tra loro è
sufficiente scegliere un punto compreso tra lo spazio delimitato dalle rette stesse, calcolare il valore
di k per tale retta e vedere quale sia la modalità con cui crescono o decrescono i valori del
parametro.
Concludiamo infine ricordando che ogni qual volta si abbiano valori infinitamente grandi, ciò
comporta che da una parte rispetto alla retta limite vi siano valori infinitamente grandi positivi,
mentre dall’altra vi siano valori infinitamente grandi ma di segno negativo.
Retta limite, in corrispondenza di
essa il parametro assume i valori
∞+ o ∞− a seconda del senso
rispetto al quale ci si avvicina che
dipende dalla natura del di rette
fascio assegnato.
7/21/2019 Discussione Grafica
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Cioè se da una parte il parametro si avvicina a ∞+ , una volta raggiunto tale valore riparte da ∞−
vale anche il viceversa, cioè se il parametro si avvicina a ∞− , una volta raggiunto tale valore
riparte da ∞+ ).
Esercizio
≤≤
=+−
+−=
50
0
342
x
k x y
x x y
Passo 1: disegnare la parabola
Il vertice della parabola è ( )1;2 −V .
(facoltativo, per disegnare meglio la parabola)Le intersezioni della parabola con l’asse x sono date
da
=
+−=
0
342
y
x x y
=
=+−
0
0342
y
x x 1)
=
=
0
3
y
x 2)
=
=
0
1
y
x
Passo 2: tracciare le limitazioni
Le intersezioni con i vincoli sono date da
=
+−=
0
342
x
x x y
=
=
0
3
x
y
=
+−=
5
342
x
x x y
=
=
5
8
x
y
(0;3)
(5;8)
(2;-1)
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Passo 3: tracciare il fascio di rette
0=+− k x y
k x y −=
è un fascio di rette improprio poiché il parametro non compare come coefficiente della x Diamo un valore al parametro, sia 0=k , otteniamo la retta
x y =
Che è la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Dal disegno si ricava che:
sembra che la retta del fascio che passa per il punto (0;3) passi anche per il punto (5;8), si
deve verificare analiticamente imponendo le condizioni di passaggio; le rette del fascio che vanno dalla retta passante per i punti (0;3) e (5;8) alla retta tangente
intersecano la parabola due volte.
Passo 4: determinare i valori di k relativi alle intersezioni tra parabola e fascio di rette
Retta del fascio 0=+− k x y passante per (0;3)
03 =+ k 3−=k
Retta del fascio 0=+− k x y passante per (5;8)
058 =+− k 3−=k
(0;3)
(5;8)
(2;-1)
7/21/2019 Discussione Grafica
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La retta del fascio che passa per (0;3), passa anche per il punto (5;8), pertanto ogni retta compresa
tra al retta precedente e la retta tangente interseca la parabola due volte.
Retta tangente
=+−
+−=
034
2
k x y x x y
−=
+−=
k x y
x x y 342
k x x x −=+− 342
0352 =−+− k x x
Imponiamo la condizione di tangenza 0 =∆
041225 =+− k 134 −=k
413
−=k
2 soluzioni −−∈ 3;4
13k .
(0;3)
(5;8)
(2;-1)
413
−=k
3−=k
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Esercizio
≤≤
=+−
10
0122 2
x
kx x
Soluzione
≤≤
−=
=
10
122
2
x
kx y
x y
≤≤
−=
=
1021
2
x
kx y
x y
Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti:
21
−= kx y
Calcoliamo il centro del fascio
0=k 21
−= y
1=k 21−= x y
−=
−=
21
21
x y
y
−=−
−=
21
21
21
x
y
=
−=
021
x
y
Pertanto il centro del fascio è il punto
−21
;0 .
Tracciamo le rette passanti per gli estremi che sono i punti ( )0;0 e ( )1;1 .
Punto ( )0;0
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21
−= kx y 10 −= impossibile (probabile retta verticale, lo si deduce dal grafico)
Punto ( )1;1
21
−= kx y 21
1 −= k 23
=k
Calcoliamo ora al condizione di tangenza
−=
=
21
2
kx y
x y
212 −= kx x 0
212 =+− kx x
01222
=+− kx x 0=∆
022 =−k
2±=k
Dal grafico e dal segno positivo del coefficiente angolare del fascio di rette si deduce che il k che
corrisponde alla tangente è quello positivo, cioè 2=k .
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Considerato che 41,12 ≈ e che 5,123
≈ , dal grafico si deduce che si hanno:
1 soluzione +∞∈ ;23
k
2 soluzioni ∈
23
;2k
Esercizio
≤≤
=−+
=+
30
04
922
x
k x y
y x
Soluzione
Il fascio di rette è un fascio improprio, infatti:
04 =−+ k x y
441 k
x y +−=
Diamo un valore a k e tracciamo una retta del fascio:
0=k x y4
1−=
x y41
−= è una retta che passa per l’origine, pertanto ci serve un altro valore per tracciare il grafico,
se 4= x 1−= y , quindi la retta passa per l’origine ( )0;0 e per il punto ( )1;4 − .
Gli estremi in cui la circonferenza interseca gli estremi sono i punti ( )3;0 e ( )0;3 .
Tracciamo le rette passanti per gli estremi.
Punto ( )3;0
441 k x y +−=
43 k = 12=k
Punto ( )3;0 −
441 k
x y +−= 4
3 k
=− 12−=k
Calcoliamo ora al condizione di tangenza
=−+
=+
04
922
k x y
y x
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+−=
=+
k y x
y x
4
922
( ) 94 22 =++− yk y
09816 222 =−++− yk ky y
09817 22 =−+− k ky y
0=∆
( ) 091716 22 =−− k k
01531716 22 =+− k k
1532 =k 153±=k
37,12153 ≈=k 37,12153 −≈−=k Tracciando sul grafico le rette passanti per gli estremi, si deduce quale sia il valore di k che
corrisponde alla retta tangente e che sia compatibile con le limitazioni imposte.
Il valore cercato è 153=k in quanto i valori di k dalla retta passante per l’estremo ( )3;0 − e che
risalgono sino alla retta tangente sono valori crescenti.
Pertanto dal grafico si deduce che si ha:
1 soluzione [ [12;12−∈k
12=k
12−=k
153=k
153−=k
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2 soluzioni 153;12∈k
Esercizio
<≤−≥
=−−+=+
22;0
031
22
y x
k kx y y x
Soluzione
Il fascio di rette è un fascio proprio, infatti:
3++−= k kx y
Calcoliamo il centro del fascio
0=k 3= y 1=k 31 ++−= x y 4+−= x y
+−=
=
4
3
x y
y
+−=
=
43
3
x
y
=
=
1
3
x
y
Pertanto il centro del fascio è il punto ( )3;1 .
Calcoliamo i valori di k per le rette passanti per i punti ( )2;0 − e ( )2;0 .
Punto ( )1;0 −
3++−= k kx y 31 +=− k 4−=k
Punto ( )1;0
3++−= k kx y 31 += k 2−=k
Retta tangente
++−=
=+
3
122
k kx y
y x
( )++−=
=++−+
3
13 22
k kx y
k kx x
( ) 13 22 =++−+ k kx x
016629 22222 =−+−−+++ k kx xk k xk x
( ) ( ) 086321 2222 =++++−+ k k k k xk x
7/21/2019 Discussione Grafica
http://slidepdf.com/reader/full/discussione-grafica 20/20
Poniamo la condizione di tangenza 0 =∆
( ) ( )( )08613 2222 =+++−+ k k k k k
0868696 2342234 =−−−−−−++ k k k k k k k k
086 =−− k
86 −=k 34
−=k una sola tangente, mentre e tangenti condotte da un punto esterno ad una
circonferenza devono essere 2, riportando tutti i dati sul grafico abbiamo
Le rette che si ottengono per valori di k che vanno da -2 a -4 hanno pendenza positiva, poiché il
coefficiente del fascio di rette è k − si devono invertire le considerazioni sui segni, pertanto
all’avvicinarsi alla retta verticale che passa per il centro del fascio, il coefficiente angolare deve
crescere sino a ∞+ , per il – davanti a k nell’equazione del fascio allora k tende a ∞− .
Allora per i valori di k compresi tra -4 e -2 si ha una intersezione tra fascio e circonferenza.
Per i valori di k da -4 a meno infinito si hanno due intersezioni. Pertanto:
1 soluzione [ [2;4 −−∈k
2 soluzioni ] [4;−∞−∈k
4−=k 2−=k
34
. −=k