Diseno de Reactores Con Metodos Numericos by Carboglass - Copia

Régulo R. Escalona G.

PROBLEMAS DE INGENIERIA DE LAS REACCIONESQUÍMICAS

RESUELTOS CONMÉTODOS NUMÉRICOS

Con revisión técnica de Agustín González, Ph.D, Universidad de Texas

Profesor y Ex-Decano de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Carabobo

VALENCIA, NOVIEMBRE DEL 2003

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]N1N4...34221403h

dxxXn

0X

ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

=ƒ∫

PROLOGO

El objetivo del presente trabajo, ha sido el de preparar un material didáctico, que sirva como texto práctico

para la asignatura Cinética y Diseño de Reactores, bajo la consideración que la mejor manera de aprender es

mediante la aplicación práctica de los conocimientos teóricos en el análisis de las diversas situaciones propias del

área de procesos.

Las diversas situaciones tratadas en esta obra, muestran de manera sencilla y práctica, la aplicación de los

fundamentos de la Cinética Química; sin que esto merme la calidad científica de tales bases.

El texto está estructurado en ocho capítulos concernientes a: Análisis de ecuaciones de velocidad, Diseño

de reactores isotérmicos de flujo en pistón, Diseño de reactores isotérmicos de mezcla completa, Diseño de reactores

isotérmicos por carga y discontinuos, Diseño de reactores no isotérmicos en estado estacionario de flujo en pistón y

mezcla completa, Diseño de reactores no isotérmicos en estado no estacionario tipo semi continuos, por carga y

mezcla completa, Desviaciones con respecto al comportamiento ideal de un reactor, Diseño de reactores catalíticos

reactores de lecho fluidizado, lecho fijo y suspensión.

Ofrece además del enfoque hacia aplicaciones industriales el uso del software de cálculo de métodos

numéricos POLYMATH. Los conceptos y aplicaciones se encuentran fundamentados en referencias bibliográficas,

que permiten al lector profundizar en temas de interés.

Este texto está dirigido a estudiantes de la carrera de Ingeniería Química, Tecnología en el área de

Procesos, Química o afines, Profesionales en procesos y a Profesionales interesados en la Cinética Química, a

quienes resultará útil como una guía sustancial.

Régulo EscalonaIngeniero Químico/ Universidad de CaraboboValencia - Venezuela, 2003

INDICE GENERAL

CONTENIDO PÁGINA

Análisis de ecuaciones de velocidad 3

Diseño de reactor de flujo en pistón isotérmico 22

Diseño de reactor de mezcla completa isotérmico36

Diseño de reactor por carga y reactor semi – continuo isotérmico 46

Diseño de reactores no isotérmicos en estado estacionario reactores de flujo en pistón y mezcla completa 67

Diseño de reactores no isotérmicos en estado no estacionario reactores semi continuos, por carga ymezcla completa

86

Desviaciones con respecto al comportamiento ideal de un reactor: distribuciones de tiempos de residencia(DTR), modelos para predecir conversión empleando DTR

100

Diseño de reactores catalíticos reactores de lecho fluidizado, lecho fijo y suspensión 122

Bibliografía 134

Apéndice 136

CAPITULO I

ANALISIS DE ECUACIONES DE VELOCIDADEn este capitulo, se hace énfasis a la manera de obtener y analizar los datos de velocidad de reacción para

deducir la ley de velocidad de una reacción en particular, se presentan técnicas numéricas tales como: Regresión

lineal, Regresión múltiple, Regresión no lineal, Derivación polinómica: Dentro de los métodos de análisis se

encuentran: Método diferencial, Método Integral, Método de velocidades iniciales y Mínimos cuadrados.

Adicionalmente, se emplean técnicas estadísticas para la selección del modelo cinético más acorde a la data

analizada.

CAPITULO I. ANALISIS DE ECUACIONES DE VELOCIDAD 3

PROBLEMAS DE INGENIERIA DE LAS REACCIONES QUÍMICASRESUELTOS CON MÉTODOS NUMÉRICOS

1.- . Durante el desarrollo de una práctica de Ingeniería de la Cinética Química; se encontró que ladisociación de la fase gaseosa del SO2Cl2 (Cloruro de bisulfuro) en Cloruro y Bióxido de Azufre ocurre cuando sealcanza una temperatura de 552,2 K, bajo condiciones de volumen constante; el equipo de estudiantes, reportó en suinforme los siguientes resultados:

Tiempo, t (min) 3,4 28,1 54,5 82,4 96,3Presión Total, PT (mmHg) 325 345 365 385 395

Luego de realizar la validación de estos resultados, se comprobó que la conversión es completa (100 %)cuando t → ∞, en función de estos datos reportados se requiere saber lo siguiente:

a. La ecuación de velocidad (-γ), que rige esta reacción.b. Orden de reacción.

SOLUCIÓN:

Concepto demostrado: Determinación de la ecuación de velocidad de reacción, a partir de datos deanálisis de laboratorio.

Método numérico a ser aplicado: Regresión lineal.

La solución planteada se fundamenta en el análisis de datos de presión total en un sistema a volumenconstante.

SO2Cl2 → Cl2 SO2

A → B Ct = 0 NA0 0 0t = t NA0 – x x x

Para este caso el número total de moles será:

Nt = NA0 – x + x + x ===> Nt = NA0 +x (I)

Aplicando la ecuación de gases ideales al sistema a volumen constante para conocer la concentración:

NRTPV = ===> RTP

VN ii = ===>

RTP

Ci

i = (II)

Luego la concentración de A para cualquier instante de tiempo será:

VxN

C0A

A−= (III)

sustituyendo las ecuaciones I y II en III y aplicando la definición VN

Ci

i = se obtiene la siguiente ecuación en

términos de presión:

TAA PP2P 0 −= (IV)

Suponiendo que la expresión de la velocidad de reacción, es de primer orden se tiene, reordenandotérminos e integrando entre CA0 y CA y t = 0 y t =t y recordando que CA = PA y CA0 = PA0

AA

kCdt

dC =− ===> ∫∫ =−t

0

CA

0CA A

Adtk

CdC

===> ktP

PP2Ln

0

0

A

TA =

−− (V)

Ahora se puede proceder a determinar el valor de la constante k. Este problema puede ser resueltoempleando la solución gráfica o mediante POLYMATH®, como se indica a continuación


Para la solución mediante el uso de POLYMATH®, se debe proceder de la siguiente manera:

1. Seleccione la opción de Regresión REG.2. Introduzca los valores de Tiempo y Presión dados.3. Calcule los valores de PA mediante la ecuación (V), POLYMATH® efectúa esta operación mediante

la selección de la Opción Column, donde Ud. debe escoger en el sub-menú mostrado ColumnDefinition. Esta opción le permite escribir la ecuación.

4. Seleccione la opción Regression indicada en la parte inferior de la pantalla, seleccione la opciónMultiple Linear, allí defina para los efectos de cálculo la variable dependiente (PA) y la variableindependiente (t). Es importante resaltar que esta opción de Regression, le permite al usuarioobtener además del reporte, un grafico y un análisis estadístico, del problema planteado.

Al realizar la corrida con POLYMATH®, se obtiene una gráfica de una línea recta que pasa por el origen,que confirma la suposición de primer orden y el valor de k = 2,6036 x 10 -3

2.- En el banco de reactores del Laboratorio de Operaciones Unitarias de una Universidad, se evaluó lasiguiente reacción reversible:

A ↔ B

El seguimiento realizado a esta reacción permitió obtener la siguiente tabla:

Tiempo, t (min) 0 180 360 540 900 ∞Índice MOLAR, IP (grados) 115,6 102,0 90,5 80,6 65,1 23,5

Terminada la sesión de laboratorio, el Profesor de la cátedra ha asignado a sus alumnos realizar el siguienteobjetivo:

a. Obtener los valores de las constantes de velocidad de la reacción directa (kd) como de la reaccióninversa (ki), si se sabe que la constante de equilibrio Ke = 3.918.

SOLUCIÓN:

Concepto demostrado: Determinación de la ecuación de velocidad de reacción, a partir de datos deanálisis de laboratorio.

Método numérico a ser aplicado: Regresión lineal.

Para la solución de este problema se empleará el concepto de fracción convertida, x determinada de lasiguiente manera:

∞=

αααα

- -

x0

t0 (I)

A ←→ Rt = 0 CA0 0t = t CA0(1 – x) CA0xt = ∞ CA0(1 – Xe) CA0Xe

Donde Xe, es la conversión de equilibrio.

Suponiendo primer orden: RiAdA

CkCkdt

dC −=− (II),

definiendo CA y CR )x1(CC 0AA −= (III) y xCC 0AR = (IV)

luego i

de

kk

K = (V),

sustituyendo las ecuaciones (III), (IV) y (V) en (II);

Se obtiene: ( )

−−=

ed

Kx

x1kdtdx

(VI)

Separando variable e integrando para x en el rango (0 – x) y t (0 – t), se tiene que:

t.K

K1kx

KK1

1Lne

ed

e

e

+=

+−− (VII)


Como en el problema anterior, se determinará el valor de la pendiente, que para este caso es:

+=

e

ed

KK1

km

Nuevamente se empleará la opción REG del programa POLYMATH®,

1. Seleccione la opción de Regresión REG.2. Introduzca los valores de Tiempo e índice MOLAR dados en la opción Data Table.3. Calcule los valores de la fracción convertida (x) mediante la ecuación (I), el termino del lado

derecho de la ecuación (VII).4. Seleccione la opción Regression indicada en la parte inferior de la pantalla, seleccione la opción

Multiple Linear, allí defina para los efectos de cálculo la variable dependiente (termino del ladoderecho de la ecuación (VII)) y la variable independiente (t).

Al realizar la corrida con POLYMATH®, se obtiene una gráfica de una línea recta que pasa por el origen,que confirma la suposición de primer orden y el valor de m = 1,296 x 10 -3 los valores de las constantesdirecta e inversa se obtienen de la ecuación (V).

kd 1,032 x 10 -3

ki 2,635 x 10 -4

3.- Los datos de la bromación de Xileno a 17 ºC, ha sido reportada por Hill. Esta reacción ha sido estudiadamediante el empleo de Yodo como catalizador y la adición en pequeñas cantidades de Bromo en reactor por carga,que contiene Xileno.

La siguiente expresión ha sido propuesta:n

)CBr(kdt

dCBr2

2 =

Donde CBr2, representa la concentración de Bromo en mol/L; k es la pseudo constante de velocidad, la cualesta determinada en función de las concentraciones de Yodo y Xileno.

A continuación se indican los valores de tiempo y Concentración de Bromo:

Tiempo, t (min) Concentración de Bromo,(mol/L)

Tiempo, t (min) Concentración de Bromo,(mol/L)

0 0,3335 19,60 0,14292,25 0,2965 27,00 0,11604,50 0,2660 30,00 0,10536,33 0,2450 38,00 0,08308,00 0,2255 41,00 0,0767

10,25 0,2050 45,00 0,070512,00 0,1910 47,00 0,067813,50 0,1794 57,00 0,055315,60 0,1632 63,00 0,048217,85 0,1500

Se le solicita a Ud. como Ingeniero de Procesos presentar la siguiente información:

a. Genere un polinomio que se ajuste a la data indicada anteriormente de Concentración de Bromo enfunción del tiempo. (Se sugiere al lector generar un polinomio de cuarto orden o mayor).

b. Determine la pseudo-constante k y el orden n, mediante el método diferencial de análisis de datos.c. Aplique el método de regresión no lineal a la expresión propuesta y estime los valores de k y n.d. Compare los resultados obtenidos en los puntos b y c y presente sus comentarios.

SOLUCIÓN:

Concepto demostrado: Determinación del Orden de reacción y la Constante de Velocidad de reacción, apartir de datos de análisis de laboratorio.


Métodos numéricos a ser aplicados: Regresión polinomial y Regresión no lineal.

a.- Correlación de la data usando un Polinomio:

POLYMATH®, permite correlacionar data en forma de polinomio en grados de 1 a 18. La escogencia delgrado del polinomio más adecuado para correlación de la data, puede ser determinada a través de laVarianza (σ2).

( )∑ =−= N

1i

2BrBr2 )calc(2)obs(2 CC

νσ (I)

donde:

ν: Grados de libertad, determinados mediante la sustracción del número de datos y el número decoeficientes del modelo (polinomio), es decir:

)1n(N +−=ν (II)

donde:

N: Número de datos.n: Grado del polinomio.

Sin embargo cabe destacar que no siempre se puede efectuar una regresión y luego escoger el modelo quetenga el valor más bajo de varianza, se debe tener en cuenta el sentido de la realidad física de losparámetros.

Para este caso se generará un polinomio de la forma:

P(x) = a0 +a1x+a2x2+a3x

3+ ... + anxn (III)

1. Seleccionar la Opción de regresión REG.2. Cargar los datos de Tiempo y Concentración en la opción Data Table.3. Seleccione la opción Regression y escoja la opción Linear & Polinomial. Esta opción le permite

generar un polinomio de grado n.

Una vez cumplidos estos pasos se tiene la siguiente tabla:

Grado de Polinomio 1 2 3 4 5Coeficientes

a0 0,2585917 0,3058302 0,326643 0,3323106 0,3336362a1 -0,0041331 -0,0097471 -0,00142766 -0,0165914 -0,0174715a2 9,445x10-5 2,84x10-4 4,74x10-4 5,866x10-4

a3 -2,04x10-6 -7,059x10-6 -1,217x10-5

a4 4,09x10-8 1,365x10-7

a5 -6,234x10-10

Varianza 0,0011128 1,708x10-4 1,625x10-5 2,559x10-6 1,712x10-6

Se observa que los polinomios de orden 4 y 5; poseen los valores de varianza más bajos. Para efectosprácticos se escogerá el de cuarto orden.

Entonces el polinomio será:

483624Br t10x09,4t10x059,7t10x74,4t0165914,03323106,0)t(C 2

−−− +−+−= (IV)

b.- Determinación de los valores de k y n, mediante el método diferencial de análisis de datos

De acuerdo al método diferencial de análisis de datos se debe proceder de la siguiente manera:

1. Suponer el mecanismo y obtener la ecuación cinética.2. Calcular la pendiente con los valores de concentración – tiempo, es decir, (-γi) = dCi/dt; dCi ≅∆Ci,

dt≅∆t3. Evaluar ƒ(Ci) para cada ∆Ci/∆t.


4. Construir la gráfica (-γi) en función de ƒ(Ci), si obtiene una recta que pasa por el origen la ecuacióncinética supuesta es correcta, sino debe ensayarse con otra ecuación.

La opción de regresión REG; POLYMATH®, permite aplicar el método diferencial de la siguiente manera:

1. Introducir los datos de Tiempo y Concentración.2. Generar un Polinomio de Orden n, para correlacionar de forma adecuada la data de análisis.3. Derivar el Polinomio obtenido en el aparte 3; para obtener dCi/dt.4. Linearizar la expresión de velocidad de reacción y aplicar regresión lineal.

Los pasos 1 y 2 han sido cubiertos en la parte a de este problema:483624

Br t10x09,4t10x059,7t10x74,4t0165914,03323106,0)t(C 2−−− +−+−=

derivado este polinomio se tiene:

37254Brt10x636,1t10x118,2t10x49,90165914,0

dtdC 2 −−− −+−= (V)

Luego linearizando la expresión de velocidad dadan

)C(kdt

dC2

2Br

Br = (VI)

se tiene:

( ) LnkCnLndt

dCLn 2

2Br

Br +=

(VII)

evaluando la ecuación V se tiene:

Tiempo, t (min) dCBr2/dt Ln(CBr2) Ln (dCBr2/dt)0 0.0165914 -1.0981124 -4.0989

2,25 0.01456151 -1.2157081 -4.22944,50 0.01273489 -1.324259 -4.36346,33 0.01139139 -1.4064971 -4.47498,00 0.01027116 -1.4894351 -4.5784

10,25 0.00891319 -1.5847453 -4.720212,00 0.00797062 -1.6554819 -4.832013,50 0.00723744 -1.7181373 -4.928515,60 0.00632027 -1.8127788 -5.064017,85 0.00546971 -1.89712 -5.208519,60 0.00489568 -1.9456102 -5.319427,00 0.00318848 -2.1541651 -5.748230,00 0.0027662 -2.2509419 -5.890338,00 0.00213626 -2.4889147 -6.148741,00 0.0020105 -2.5678536 -6.209445,00 0.00186785 -2.6521426 -6.283047,00 0.00178958 -2.6911931 -6.325857,00 0.00101465 -2.8949824 -6.893263,00 -0.00003987 - -

aplicando regresión lineal se tiene que:

n 1,5189923 Orden n 1,5189923Lnk -2,3545638 Constante k 0,095

Con una varianza de 0.0056118

c.- Regresión no lineal.

Otra forma para determinar los parámetros de la ecuación de la velocidad de reacción, es aplicar laregresión no lineal.Empleando la opción de regresión REG; POLYMATH®, se procede de la siguiente manera:

1. Seleccionar la opción Nonlinear.2. Introducir la ecuación mediante la opción Enter Model.


Una vez introducido el modelo, se procederá al cálculo de las dos variables k y n, una vez generado elreporte se tiene que:

Orden n 1,4493272Constante k 0,00849883

Con una varianza de 1.785x10-7

Analizando los puntos b y c, se observa para este problema que el método de regresión no lineal permiteobtener los valores del orden y constante de velocidad de manera rápida y de manera más precisa yconfiable que el empleado en el aparte b. Este caso permite ver la utilidad de POLYMATH®, para la rápidasolución de situaciones de análisis de datos.

4.- La Gerencia técnica y de procesos de una reconocida empresa petroquímica, construirá una planta parala generación de un gas; el cual será empleado como materia prima en sus procesos de manufactura. El proyecto esparte de un plan de negocios de optimización de líneas de procesos aguas abajo. Se desea construir un reactor; paralo cual se le ha solicitado a Ud. como parte del equipo de Procesos evaluar la siguiente reacción:

Sal(acuosa) → M(acuosa) + Gas

El proceso se llevará a cabo a 323 K y a una presión de 1 atm. La solución salina disponible para tal fin,tiene una concentración de 10 g/L. Estudios de Laboratorio reportaron lo siguiente:

Tiempo, t (min) 6 12 18 22 26 30Volumen de gas, V (mL) 19,3 32,6 41,3 45,0 48,4 50,3

Se le indica como dato adicional, que dicho estudio determinó que la descomposición completa de la sallibera 58,3 mL de gas.

Empleando el método diferencial de análisis de datos, se requiere que Ud. indique al equipo de Ingenieríade Diseño lo siguiente:

a. Valor de la constante de velocidad de reacción.b. Genere un polinomio de cuarto orden, que permita de manera practica, correlacionar los moles de

la Sal en función del tiempo.

SOLUCION:

Concepto demostrado: Determinación de la Constante de Velocidad de reacción, a partir de datos deanálisis de laboratorio.

Métodos numéricos a ser aplicados: Regresión polinomial y Regresión lineal.

a.- Constante de velocidad de reacción:

Suponiendo cinética de primer orden: AA kC)( =−γ (I)

Expresando en términos de moles de A : AA

kNdt

dN =− (II)

Luego considerando que la descomposición es total se tiene: ∞= CA NN 0 (III)

Empleando la ecuación de los gases ideales: RT

PVNN 0AC

∞==∞ (IV)

Los moles de A y C respectivamente en cualquier instante de tiempo serán:

CAA NNN 0 −= (V) RTPV

NC = (VI)

Sustituyendo las ecuaciones V y VI en IV se obtiene: ( )VVRTP

NA −∞= (VII)


Entonces sustituyendo la ecuación VII en la ecuación II; separando variables e integrando se obtiene lasiguiente ecuación:

ktV

VVLn =

∞−∞− (VIII)

La solución del aparte a, se obtiene al construir la gráfica del Logaritmo en función del tiempo ydeterminando el valor de la pendiente k; Ud. puede obtener la solución, empleando el procedimientoanterior y POLYMATH®.

k = 0,06733b.- Polinomio:

Se debe proceder de la manera descrita en el problema 3.

1. Determinar mediante la ecuación VII, los moles de A en función del tiempo.2. Generar los coeficientes del polinomio de cuarto orden, mediante la opción Regression y escoja la

opción Linear & Polinomial.

Grado de Polinomio 4Coeficientes

a0 0,0022924a1 -1,733x10-4

a2 7,02x10-6

a3 -1,705x10-7

a4 1,843x10-9

Varianza 1,143x10-10

Entonces se obtiene el siguiente polinomio de cuarto orden:

4937264 t10x843,1t10x705,1t10x02,7t10x733,10022924,0)t(NA−−− +−+−=

Otra manera de resolver este problema, es mediante el siguiente procedimiento:

1. Determinar los moles de A mediante la ecuación (VII).2. Correlacionar la data obtenida en el punto 1, mediante un polinomio.3. Derivar el polinomio obtenido y graficar la ecuación (II)

5.- La descomposición gaseosa del Dimetil Éter, fue estudiada por Hinshelwood y Askey, en un reactor porcarga a volumen constante a una temperatura de 825 K.

CH3OCH3 → CH4 + CO + H2

El seguimiento de la reacción se llevo a cabo mediante la medición de la presión total en función del tiempode reacción. Los cuales se indican en la siguiente tabla:

Variación de la Presión Total como función del tiempo de reacción en la descomposición del Dimetil ÉterTiempo, t (s) Presión Total, (mmHg) Tiempo, t (s) Presión Total, (mmHg)

0 420 182 89157 584 219 95485 662 261 1013

114 743 299 1054145 815 - -

La expresión integrada de velocidad de reacción propuesta para esta descomposición se indica acontinuación:

ktPo2

PPo3Ln −=

−

donde:

Po: Presión inicial.P: Presión Total.k: Constante de velocidad de reacción.


Para un informe de asesoría técnica a VEPEQ; el Ing. Rodríguez , debe reportar lo siguiente:

a. El valor de la constante de velocidad de primer orden. (Usar el método integral de análisis dedatos).

b. El intervalo de confiabilidad de la data indicada en la tabla anterior.c. Estimación del valor de k.(Emplear regresión no lineal).d. Estimación del intervalo de 95 % de confiabilidad.

SOLUCION:

Concepto demostrado: Determinación de la Constante de Velocidad de reacción, mediante el métodointegral de análisis; a partir de data de reacción para un reactor por carga.

Métodos numéricos a ser aplicados: Regresión lineal y no lineal en expresiones algebraicas con datos.

La aplicación del método integral, implica la suposición del orden de la reacción; además de realizar laintegración de la ecuación de diseño, empleada para modelar el sistema por carga estudiado.

Para tal fin, se procederá a realizar la construcción de un gráfico con los datos de concentración en funcióndel tiempo, si el gráfico obtenido es lineal, entonces la suposición hecha es correcta. Una clave para decidircuando emplear este método, es cuando se desea evaluar las constantes de velocidad de reacción comofunción de la Temperatura y cuando se requiere determinar la energía de activación; siempre que seconozca el orden de la reacción.

a.- Constante de velocidad de reacción:

Se conoce que el la reacción es de primer orden:

oductosPrA →

Aplicando la ecuación de balance molar e integrando:

ktP2

PP3Lnkt

CC

LnkCdt

dC)(

dtdC

0

0

A

AA

AA

A 0 −=

−⇒=

⇒=−⇒−= γ

La solución del aparte a, se obtiene al construir la gráfica del Logaritmo en función del tiempo ydeterminando el valor de la pendiente k; la solución se obtiene, empleando la opción de regresión lineal dePOLYMATH®.

k = 4,8082x10-3; σ=5,368x10-4

b.- Intervalo de confiabilidad de la data:

Método # 1: Aplicación de Procedimientos Estadísticos:

Mediante la aplicación de conceptos estadísticos se debe proceder de la siguiente manera:

1.- Obtener la recta de regresión lineal:

Ecuación de la recta:i10i xaay += (I)

Los parámetros de la ecuación de la recta se obtienen mediante las siguientes expresiones:

( )22

2

0

xxn

xyxxya

∑∑∑ ∑ ∑∑

−

−= (II) y

( )221

xxn

yxxyna

∑∑∑ ∑ ∑

−

−= (III)

2.- Determinar la desviación estándar de los parámetros de la recta de regresión.

Se puede obtener un estimado de la desviación estándar para los parámetros de regresión con lassiguientes expresiones:

Término Independiente (a0):


( )( ) ( )∑∑ ∑

−−

−= 2

prom

22est

axx2nn

xyy0σ (IV)

Pendiente (a1)

( )( ) ( )∑

∑−−

−= 2

prom

2est

axx2n

yy1σ (V)

Entonces la solución será:

( )00000 aaa σσ +<<− y ( )11111 aaa σσ +<<−

Método #2: Uso de POLYMATH®:

Se procede a emplear la opción de regresión REG; POLYMATH®, se procede de la siguiente manera:

1. Seleccionar la opción Regresion y seleccionar la opción Linear & Polynomial.2. Generar los parámetros de la recta de regresión. Para tal fin se deben definir las variables t y P,

como variables independiente y variable dependiente, respectivamente y obtener un polinomio degrado 1.

3. Obtener la desviación estándar de los parámetros.

El punto 3 se resuelve de la siguiente manera:

3.1.- Determine la desviación estándar σ, mediante el valor de la varianza del reporte generado, σ2.3.2.- Aplique luego las ecuaciones siguientes:

( )∑ −=

2prom

a

xx0

σσ (VI) y ( )

( )∑∑

−= 2

prom

2

axxn

x1 σσ (VII)

Los valores obtenidos de desviación estándar para los coeficientes de la ecuación de regresión obtenidamediante las dos metodologías indicadas se muestran a continuación

Parámetro Método # 1 Método # 2a0 23.251353 23.251353a1 0,1310986 0,1310986

Varianza - 1323.1461

Entonces:

El intervalo de confiabilidad de la data será:

Parámetro Valor medio Valor mínimo Valor máximoa0 472 449 495a1 2,1 2,0 2,2

c.- Estimación del valor de k.(Emplear regresión no lineal).



Los resultados se muestran a continuación.

k = 4,5895x10-3; σ=1,1019x10-3

d.- Estimación del intervalo de 95 % de confiabilidad de la data.

Método # 1: Aplicación de Procedimientos Estadísticos:

Mediante la aplicación de conceptos estadísticos se debe proceder de la siguiente manera:


1.- Determinar la varianza:

( )( )2n

yy 2est

−−

= ∑σ (I)

2.- Determinar los estimadores de la desviación estándar de los coeficientes de la recta de regresión:

( )∑ −=

2prom

a

xx0

σσ (II) y ( )

( )∑∑

−= 2

prom

2

axxn

x1 σσ (III)

3.- Determine el intervalo de confianza del 100(1-α)%

De acuerdo al análisis estadístico de la teoría normal, la variable aleatoria estudiada en este caso tiene unadistribución t de Student, con n-2 grados de libertad entonces:

( ) 0a)2n();2

1(0 ta σα−−± y ( ) 1a)2n();

21(1 ta σα

−−±

Método #2: Uso de POLYMATH®:


1. Seleccionar la opción Regresion y seleccionar la opción Linear & Polynomial.2. Generar los parámetros de la recta de regresión. Para tal fin se deben definir las variables t y P,

como variables independiente y variable dependiente, respectivamente y obtener un polinomio degrado 1.

El reporte generado por POLYMATH®, muestra la estimación del intervalo de 95 % de confiabilidad delos coeficientes de la recta de regresión, lo que permite ahorrar tiempo al momento de realizar este tipode cálculo y realizar tediosos análisis estadísticos en corto tiempo y el mínimo de error posible.

Los valores obtenidos para estimación del intervalo de 95 % de confiabilidad de los coeficientes de la rectade regresión, mediante las dos metodologías indicadas se muestran a continuación

Parámetro Método # 1 Método # 2a0 54,98945 54,98945a1 0,3100482 0,3100482

Varianza 1323,1461 1323,1461

Entonces:

El intervalo de confiabilidad de la data será:

Parámetro Valor medio Valor mínimo Valor máximoa0 472 417 527a1 2,1 1,8 2,3

Cabe destacar que en los análisis estadísticos realizados en los puntos b y c, los resultados son similares, loque indica que emplear indistintamente cualquiera de las dos metodologías conduce a los mismosresultados, sin embargo, el segundo método en ambos casos, permite ahorrar tiempo a la vez de disminuirla probabilidad de incurrir en errores durante el manejo de los datos.

6.- Potter y Baron, estudiaron la reacción:

CO + Cl2 → COCl2

A presión atmosférica, usando como catalizador carbón activado. Los estudios preliminares mostraron quela velocidad de reacción no depende de la velocidad de masa de los gases a través del reactor. El análisis de losdatos de velocidad, indicó que la reacción tiene lugar por la adsorción del Cl2 y del CO en la superficie del catalizadory una reacción de superficie entre los complejos adsorbidos. Se supone que la velocidad de superficie, más bien quela adsorción o que la desorsión, es la que controla la velocidad total de la reacción. Además las mediciones


preliminares de adsorción, indican que el cloro y el fósgeno se adsorbian fácilmente en el catalizador, no así elmonóxido de carbono. Por tanto la constante de equilibrio de adsorción del monóxido de carbono, aún cuando no escero, se consideró despreciable con respecto a la del Cl2 y del COCl2.

Se le solicita a Ud. lo siguiente:

a. Desarrollar una expresión para la velocidad de reacción en términos de las presiones parciales, enla corriente global de fase gaseosa. La reacción es irreversible.

b. Determinar los mejores valores para las constantes de equilibrio de adsorción para el Cl2 y delCOCl2 y el producto CtksKCO.

De donde:

Ct: Concentración total de centros activos, (mol/g cat).ks: Constante especifica de la velocidad de la reacción de superficie.KCO: Constante de equilibrio de adsorción del CO.

Presión parcial, (atm)γ, (mol/h. g cat)CO Cl2 COCl2

0,00414 0,406 0,352 0,2260,00440 0,396 0,363 0,2310,00241 0,310 0,320 0,3560,00245 0,287 0,333 0,3760,00157 0,253 0,218 0,5220,00390 0,610 0,113 0,2310,00200 0,179 0,608 0,206

SOLUCION:

Concepto demostrado: Desarrollar de la expresión de Velocidad de reacción, a partir de datos de análisisde laboratorio de un reactor catalítico.

Métodos numéricos a ser aplicados: Regresión no lineal y Regresión lineal múltiple

Para la resolución de este problema se plantearan 2 metodologías empleando POLYMATH®.

Metodología # 1(Regresión no lineal):

a.-) Establezca las ecuaciones del mecanismo:

Reacción:22 COClClCO →+

Mecanismo:Adsorción:

S.COSCO ↔+S.ClSCl 22 ↔+

Reacción de superficie (Etapa controlante):SS.COClS.ClS.CO 22 +→+

Desorción:SCOClS.COCl 22 +↔

En el enunciado se especifica, que la reacción es irreversible por lo tanto, la reacción de la etapa controlantetambién lo es, ya que, la velocidad global del proceso es igual a la correspondiente a la etapa más lenta(etapa controlante) y el resto de las etapas se consideran en equilibrio (etapas de adsorción y desorción).

b.-) Establezca la expresión de velocidad de reacción en términos de la reacción de la etapa controlante:

t

S.2ClS.COSSg

CC

Ck)()( =−=− γγ (I)

c.-) Establezca las expresiones de velocidad de reacción, para el resto de las etapas, descritas en elmecanismo propuesto y obtener las concentraciones de las especies involucradas:


Adsorción:

−=−⇒−=−

S.COADS

S.COCOADSADSS.COADSCOADSADS

CKC

CvPk)(C'kCvPk)(CO

COCOCOCOCO γγ (II)

−=−⇒−=−

S.ClADS

S.ClClADSADSS.ClADSClADSADS

22Cl

222Cl2Cl22Cl22Cl2Cl

CKC

CvPk)(C'kCvPk)( γγ (III)

Desorción:

DESADS

DES

COClS.COClDESDESCOClDESS.COClDESDES

K1

KK

CvPCk)(CvP'kCk)(

2COCl

222COCl2COCl22COCl22COCl2COCl =⇒

−=−⇒=− − γγ

Entonces:( )CvPKCk)( 22COCl22COCl2COCl COClADSS.COClDESDES −=−γ (IV)

Por condición de equilibrio, las ecuaciones II, III y IV, se igualan a cero, se obtienen las concentraciones y sesustituyen en la ecuación I, al despejar

CvPKC COADSS.CO CO= (V)

CvPKC 22Cl2 ClADSS.Cl = (VI)CvPKC 22COCl2 COClADSS.COCl = (VII)

Sustituyendo:

( )Ct

CvPPKKk

2

ClCOADSADSSS 22ClCO=− γ (VIII)

d.-) Determine la concentración de los sitios vacíos Cv:

La concentración total de sitios se obtiene mediante la ecuaciónS.COClSClS.CO 22 C.CCCvCt +++= (IX)

Sustituyendo las ecuaciones: V, VI y VII en IX y despejando Cv se tiene:

222CO ADSPCOClClADSClCOADS KPKPK1Ct

Cv+++

= (X)

Luego sustituyendo en la ecuación VIII, se obtiene:

2ADSPCOClClADSClCOADS

ClCOADSClADSCOSS

)KPKPK1(

PCtPKKk)(

222CO

22

+++=−γ (XI)

por otro lado:2ADSClADSCOS KKkk =

y reacomodando la ecuación XI y recordando lo expuesto en el enunciado que2CO2CO ADSPCOClADSADSClADS KK;KK <<<<

se tiene:

2ADSPCOClClADSCl

ClCOS

)KPK1(

PkP)(

222

2

++=−γ (XII)

Al llegar a esta expresión de la ley de velocidad, se procede a emplear la opción de regresión REG;POLYMATH®, se procede de la siguiente manera:


Metodología # 2 (Regresión lineal múltiple):

Se procede de igual manera que en el método anterior, hasta obtener la ecuación XII y se le agrega elsiguiente paso:


e.-) Evalúe los parámetros de la ley de velocidad:

Se debe reacomodar la expresión de la ley de velocidad obtenida, con la finalidad de obtener una relaciónlineal entre las variables medidas. Entonces, dividiendo ambos miembros de la ecuación entre PCOPCl2 einvirtiendo la ecuación, se obtendrá una expresión de la forma:

j22j110j XaXaaY ++=Así se tiene:

2COCl

21

ADSCOClCl

21

ADSCl

21

21

S

ClCOP

k

KP

k

K

k

1)(

PP 22

22 ++=

−γ

(XIII)

Al llegar a esta expresión de la ley de velocidad, se procede a emplear la opción de regresión REG;POLYMATH®, se procede de la siguiente manera:

1. Seleccionar la opción Multiple Linear.2. Definir la variable dependiente [PCOPCl2/(-γS)] 1/2 y las variables independientes PCl2 y PCOCl2.

Constante Método 1 Método 2k 0,169193 0,150444KASDCl2 2,7313108 2,5795990KADSCOCOl2 1,8234218 1,5114132Varianza 3,584x10-8 0,0405103

7.- La siguiente reacción: C2H4Br2 + 3KI → C2H4 +2KBr + KI3A + 3B → C +2D + E

ha sido estudiada por R. T. Dillon, a 60 ºC. La concentración de Dibromuro fue medida en función del tiempoen un reactor por carga. Las concentraciones iniciales de A y B empleadas fueron las siguientes: CA0= 0,02864kgmol/m3 y CB0= 0,1531 kgmol/m3. De acuerdo a un análisis de la data de reacción obtenida en función de laconversión realizado por Hill, para determinar el orden de la reacción reportó lo siguiente:

1. Orden Cero: CA0XA = kt2. Primer orden con respecto a A y Orden Cero con respecto a B:

ktX1

1Ln

A=

−3. Primer orden con respecto a A y a B:

ktX1

X31

LnCA)3(

1A

B

A

0B=

−

−

−θ

θ

donde:

t: Tiempo (s).k: Constante de velocidad de reacción.θB: CB0/CA0.

A continuación de presentan de manera tabulada los valores de conversión de A en función del tiempo:

Rata de conversión para la reacción C2H4Br2 + 3KI → C2H4 +2KBr + KI3Tiempo, t (s) Conversión, (XA)

0,0 0,000029,7 0,286340,5 0,363047,7 0,409955,8 0,457262,1 0,489072,9 0,539683,7 0,5795


Un grupo de empresarios, interesados en invertir en el sector químico del país, le ha pedido a su empresaconsultora, que entregue un informe que indique lo siguiente:

a. Orden de reacción y valor de la constante de velocidad más adecuada de acuerdo a los datos deconversión en función del tiempo, evaluando las expresiones propuestas por Hill.

b. Generación de las expresiones propuestas por Hill en su trabajo.

SOLUCION:

Concepto demostrado: Determinación del orden de reacción y la constante de velocidad de reacción,mediante la aplicación del método integral para el estudio de datos de conversión en función del tiempo.

Métodos numéricos a ser aplicados: Regresión no lineal.

a.- Determinación del orden de reacción y la constante de velocidad para la expresión más adecuada.

La escogencia de una expresión, para la correlación de datos experimentales o predicción delcomportamiento de un sistema, implica un análisis donde se considere el realismo físico de los parámetrosestudiados, es decir, como profesional del área de la Ingeniería Química u afín, Ud. no debe limitarsesimplemente a aplicar una técnica estadística como la regresión y luego seleccionar el modelo, que presenteel menor valor de varianza, (σ2).

Una forma de realizar esta escogencia es analizar, el error para el modelo estudiado, a través del análisis delos residuos o residuales1. Este estudio estadístico, permite determinar la mejor ecuación de regresión, bajola circunstancias impuestas por el conjunto de datos. En virtud a que se pueden detectar las posiblesviolaciones y deficiencias del modelo estudiado.

El análisis de los residuos, consiste en el estudio de los gráficos de los residuos. La correcta definición de laecuación de regresión y la no existencia de deficiencias en el modelo en estudio, al momento de construirseun gráfico de los residuales en función de los valores estimados a los correspondientes valores de cadavariable o parámetro de predicción, no presentará patrón alguno de comportamiento, en otras palabras,ningún tipo de relación entre los residuales y los valores ajustados o entre los residuales y las variables oparámetros de predicción, una distribución totalmente aleatoria.

La existencia de alguna relación, sugiere el hecho de que hay una deficiencia en el modelo estudiado.

Para la resolución de este punto, empleando POLYMATH®, se recomienda el siguiente procedimiento:

1. Introduzca los datos de tiempo y conversión.2. Especifique el modelo para determinar los parámetros de orden y constante de velocidad y la

varianza.3. Analice los valores de los parámetros obtenidos.4. Repita el paso 2 y 3, según la cantidad de modelos propuestos.5. Seleccione el mejor modelo, mediante el análisis de las gráficas de residuos obtenidas.

Una vez realizada la metodología antes mencionada se presenta la siguiente tabla y gráficos de residuales:

Modelo Orden Constante de Velocidad Intervalo de 95 % de Confiabilidad Varianza1 Cero 2,217x10-4 1,901x10-5 1,556x10-6

2 1 respecto a A 0,0107227 2,633x10-4 2,985x10-4

3 1 respecto a A y B 0,0838589 7,638x10-4 0,0025125

1 Véase Himmelblau David, Process Analysis by statistical methods, 1ª Edición, New York, Wiley 1970


Gráficos de residuales


Al realizar el análisis de las gráficas de los residuos, se observa que las gráficas de los modelos 1 y 2,presentan un comportamiento parabólico, mientras que la gráfica del tercer modelo, presenta un distribuciónaleatoria, que permite concluir que el tercer modelo representa la data de conversión en función del tiempode manera adecuada. Por lo tanto en el informe se debe reportar lo siguiente:

Modelo Orden Constante de Velocidad Intervalo de 95 % de Confiabilidad Varianza3 1 respecto a A y B 0,0838589 7,638x10-4 0,0025125

b.- Generación de expresiones propuestas:

b.1.- Suponiendo orden cero con respecto a A:

0AA kC)( =−γ ⇒ k)( A =−γ ⇒ k

dtdCA =− ⇒ k

dtdx

CA

A0 = , separando variables e integrando

ktXC AA0 = (I)

b.2.- Suponiendo primer orden respecto a A y orden cero respecto a B:

0BAA CkC)( =−γ ⇒ AA kC)( =−γ ⇒ A

AkC

dtdC =− ⇒ )x1(kC

dtdx

C AAA

A 00 −= , separando variables e

integrando

kt)x1(Ln A =−− , reacomodando la expresión, mediante propiedades de logaritmos, se tiene:

kt)x1(Ln)1(Ln A =−− ⇒ ktx1

1Ln

A=

− (II)

b.3.- Suponiendo primer orden con respeto a A y primer orden respecto a B:

BAA CkC)( =−γ ⇒ BAA CkC)( =−γ ⇒ AA

kCdt

dC =− ⇒ )x3CC

)(x1(kCdt

dxC A

A

BA

2A

AA

0

O00 −−= ;

por otro lado 0

0

A

BB

CC=θ ; entonces:


)x3)(x1(kCdt

dxABAA

A0 −−= θ ; separando variables e integrando: kt

x1

x31

Ln)3(C

1A

B

A

BA0

=

−

−

−θ

θ (II)

8.- En el campo petrolero del Tejero en el estado Monagas, la compañía Marsden Servicios de VenezuelaS.A. y GAISA, realizan un proyecto de estimulación de pozos, mediante la inyección de Ácido Clorhídrico a través delbarreno del taladro E-355, para disolver una matriz porosa de Carbonato, que contiene petróleo liviano de 26 º API ylograr así la disolución del carbonato sólido para que el tamaño de los poros aumente permitiendo el flujo de crudo ygas asociado a mayor velocidad y por ende aumentando la productividad de los pozos. Este proceso ocurre bajo lasiguiente reacción:

4HCl+CaMg(CO3)2 → Mg+2 +Ca+2 + 4Cl- +2H2O

El químico de taladro de guardia realizó un la medición de la concentración de Ácido empleado, mediante unanálisis con espectrofotómetro de absorción atómica de unas muestras de la dolomita, carbonato de calcio ymagnesio del yacimiento, reportando los siguientes resultados:

Ensayo Tiempo, (min) Concentración de HCl, (N) Ensayo Tiempo, (min) Concentración de HCl, (N)0 4,0000 0 1,00002 3,9993 2 0,9996

1 4 3,9986 2 4 0,99926 3,9978 6 0,99868 3,9967 8 0,9980

Ensayo Tiempo, (min) Concentración de HCl, (N) Ensayo Tiempo, (min) Concentración de HCl, (N)0 2,0000 0 3,00002 1,9995 2 2,9996

3 4 1,9989 4 4 2,99916 1,9980 6 2,99838 1,9973 8 2,9976

El Ingeniero de Yacimientos requiere entregar un avance de los trabajos y requiere conocer la siguienteinformación:

a.- El orden de reacción, respecto al ácido, partiendo de los datos reportados por el químico de taladro.

Realice la siguientes suposición:

( ) αγ AA kC=−Adicionalmente se conoce, que el ácido puede disolver un área de 30 cm2/L

SOLUCION:

Concepto demostrado: Determinación del orden de reacción y la constante de velocidad de reacción,mediante la aplicación del método de las velocidades iniciales, para el estudio de datos de conversión enfunción del tiempo.

Métodos numéricos a ser aplicados: Derivación polinómica.

El método de las velocidades iniciales, se emplea cuando el método diferencial de análisis resulta ineficazdebido a la existencia de una reacción de importancia en sentido inverso.

Este método permite, realizar los ensayos a diferentes concentraciones iniciales, CA0; para las que seobtiene un valor de velocidad inicial, (-γA0), por cada ensayo realizado. Luego mediante la aplicación demétodo de análisis numérico o métodos gráficos para estudiar la relación entre CA0 y (-γA0). Se debeobtener una ley de velocidad de la forma:

( ) αγ AA kC=− (I)y mediante linearización de la expresión anterior:

( ) ( )00 AA CLnLnkLn αγ +=− (II)


se determinará el orden de la reacción.

a.- Obtención del orden de la reacción.

Empleando los datos de concentración en función del tiempo, mediante POLYMATH®, se procederá adeterminar la derivada para t=0, de la siguiente manera:

1. Introducir los datos de concentración en función del tiempo.2. Seleccionar el menú Analysis, seleccionar la opción differentiation.3. Definir las variables en cuestión (independiente y dependiente) y evaluarlas para t=0.4. Realizar la corrida.

Luego de realizado el procedimiento anterior y expresando la velocidad de reacción por unidad de área y ensegundos se tiene la siguiente tabla

Solución de HCl Velocidad de reacción ( ) 0tA =− γ ,(mol/L.min)

Velocidad de reacción ( ) 0tA =− γ ,(mol/cm2.s)

1 N 2,076x10-4 1,15x10-7

2 N 2,487x10-4 1,38x10-7

3 N 3,114x10-4 1,73x10-7

4 N 3,542x10-4 1,95x10-7

Graficando la Velocidad de reacción inicial como una función de la concentración inicial de HCl, de acuerdoa la ecuación II, mediante POLYMATH®, se tiene el siguiente resultado:

De donde se tiene que el orden de la reacción es 0,388465 ≅ 0,39

CAPITULO II

DISEÑO DE REACTORES ISOTERMICOS:REACTOR TUBULAR

Este capitulo, se concentra en los reactores que operan de manera isotérmica, se estudia el diseño del

reactor tubular para los casos de operación con y sin caída de presión, lecho empacado. Para el diseño de este tipo

de reactor se emplean métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, e integración

numérica entre otros.

CAPITULO II. DISEÑO DE REACTORES ISOTERMICOS. REACTOR TUBULAR 22

DISEÑO DE REACTORES ISOTÉRMICOS; REACTOR TUBULAR

9.- La siguiente reacción irreversible: DCBA +→+ ; será llevada a cabo en fase gaseosa, en un reactor deflujo en pistón, de lecho empacado con cuatro diferentes catalizadores. Para cada catalizador empleado; la expresiónde la velocidad de reacción tiene las siguientes formas:

Catalizador Velocidad de Reacción

1 ( )AA

BA1A

CK1CkC

'+

=− γ

2 ( )CCAA

BA2A

CKCK1CkC

'++

=− γ

3 ( ) ( )2BBAA

BA3A

CKCK1

CkC'

++=− γ

4 ( ) ( )2CCBBAA

BA4A

CKCKCK1

CkC

+++=− γ

La rata de flujo molar de A es; minmol

5,1F 0A = ; la concentración inicial de los reactantes A y B es:

30B0A

dmmol

1CC == ; para cada ensayo con cada catalizador se emplea una masa, W =2 kg. Los valores de las

diferentes constantes se indican en la siguiente tabla:

Constantes Valork 10 dm6/kg.min

KA 1 dm3/molKB 2 dm3/molKC 20 dm3/mol

Se solicita un informe técnico que indique lo siguiente:

a. Cálculo y graficación de la conversión en función de la masa de catalizador, para cada expresiónde velocidad de reacción indicada, suponiendo que la operación del reactor es a presión constante.

b. Cálculo y graficación de la conversión en función de la masa de catalizador, para cada expresión

de velocidad de reacción indicada, si la presión en el reactor varía en función de: y

2,0dWdy −= ,

donde 0P

Py = .

SOLUCION:

Concepto demostrado: Determinación de la conversión en un reactor isotérmico de lecho empacado sin/con caída de presión, para diferentes expresiones de velocidad de reacción.

Métodos numéricos a ser aplicados: Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas.

Cuando se tiene un sistema donde se efectúa una reacción en fase gaseosa, la mayoría de las mismas sellevan a cabo mediante el uso de catalizadores. Debe tenerse en cuenta, que, la concentración de lasespecies involucradas, está directamente relacionada con la presión total del sistema, por ello se deberealizar una consideración apropiada de los efectos de la caída de Presión. Esto se puede realizar mediantela ecuación de Ergun.

+−

−−= G75,1D

)1(1501Dg

GdLdP

p3pc

µφφ

φρ

donde:P: Presión, Psi.φ: Porosidad, Adimensional.gc: Factor de conversión, 32,174 lb.pie/lbf.s2.Dp: Diámetro de partículas del lecho, pie.


µ: Viscosidad del gas, lb/pie.h.L: Longitud del reactor de lecho empacado, pie.ρ: Densidad del gas, lb/pie3.G: velocidad superficial de masa, lb/pie2.h.

a.- Cálculo y graficación de conversión, suponiendo que no existe caída de presión.

Ecuación de balance molar:

( )0A

A

F'

dwdx γ−

= (I)

Aplicando estequeometría:

A B → C Dt = 0 CA0 CB0 → 0 0t = t CA0 – CA0x CB0 - CA0x CA0x CA0x

Entonces: CA = CB = CA0(1-x); CC = CD = CA0x

Luego combinando la ecuación de balance molar con las diferentes expresiones de velocidad de reacción ysustituyendo las concentraciones de las especies en función de la conversión se tiene:

( )( )

−+

−=10AA

21

0A

20A1

x1CK1x1

F)C(k

dwdx

(II)

( )( )

+−+

−=20AC20AA

22

0A

20A2

xCKx1CK1x1

F)C(k

dwdx

(III)

( )( )

2

BA30A

3

0A

20A3

)KK(x1C1x1

F)C(k

dwdx

+−+

−= (IV)

( )( )

2

40AC40AB40AA

4

0A

20A4

xCK)x1(CKx1CK1x1

F)C(k

dwdx

+−+−+

−= (V)

Estas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas, aplicando técnicas numéricas, tales como:

1. Método de Euler.2. Método de Heun.3. Método del punto medio (modificado de Euler).4. Métodos de Runge –Kutta (2do, 3er, 4to orden).5. Método de Butcher.

Para resolver mediante POLYMATH®, se procederá de la siguiente forma:

1. Seleccionar la opción DEQ (Ecuaciones diferenciales).2. Definir la variable independiente, en este caso W (masa del catalizador).3. Indicar los valores inicial y final de la variable independiente.4. Introducir la(s) ecuación(es) diferencial(es), seleccionando el link Add DE.5. Introducir la(s) ecuación(es) complementaria(s) y/o valor(es) de la(s) constante(s), seleccionando el

link Add EE.

Una de las ventajas de POLYMATH®, es que le permite visualizar al usuario que parámetros o variables,están sin definir y que son necesarios para resolver la(s) ecuación(es) diferencial(es).

Cuando se han ingresado todas las ecuaciones diferenciales, ecuaciones complementarias y constantes,mediante un sistema de luces de un semáforo, POLYMATH®, le indicará que se puede proceder a laresolución del problema planteado.

Al resolver la parte A se obtiene el siguiente gráfico:


Cuya tabla se muestra a continuación:

W x1 X2 x3 x4

0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.24 0.48 0.25 0.10 0.070.32 0.57 0.29 0.13 0.090.40 0.63 0.33 0.16 0.100.56 0.71 0.38 0.22 0.120.64 0.74 0.40 0.25 0.130.72 0.77 0.42 0.28 0.140.80 0.79 0.43 0.30 0.150.96 0.82 0.47 0.36 0.171.04 0.84 0.48 0.38 0.181.12 0.85 0.49 0.41 0.181.20 0.86 0.50 0.43 0.191.36 0.87 0.52 0.48 0.201.44 0.88 0.53 0.50 0.211.52 0.89 0.54 0.52 0.221.60 0.89 0.55 0.54 0.221.76 0.90 0.57 0.58 0.231.84 0.91 0.58 0.60 0.241.92 0.91 0.58 0.61 0.242.00 0.92 0.59 0.63 0.25

b.- Cálculo y graficación de conversión, considerando la caída de presión .

Ecuación de balance molar:( )

0A

A

F'

dwdx γ−= (I)

Aplicando tabla estequeométrica:

Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)B FB0 FB0-FA0xC - FA0xD - FA0x


FB0 = FA0, Entonces; se tiene que Ft = 2FA0

Considerado que existe caída de presión y operación isotérmica se tiene que la concentración de cualquierespecie es:

0t

i0ti

PP

FF

CC = (II);

0

0t0t

FC

ν= (III); 0A0t F2F = (IV); sustituyendo IV en III se tiene que: 0A0t C2C = (VI)

Por otro lado:

0PP

y = (VII); Entonces, para la especie A: y)x1(CPP

F2)x1(F

C2C 0A00A

0A0AA −=−=

Entonces:CA = CB = CA0(1-x)y; CC = CD = CA0xy

Luego combinando la ecuación de balance molar con las diferentes expresiones de velocidad de reacción ysustituyendo las concentraciones de las especies en función de la conversión y adicionando la ecuacióndiferencial de la caída de presión, se tienen las siguientes parejas de ecuaciones:

( )( )

−+

−=110AA

21

21

0A

20A1

yx1CK1yx1

F)C(k

dwdx

(VIII) 1

1

y2,0

dwdy −= (IX)

( )( )

+−+

−=220AC220AA

22

22

0A

20A2

yxCKyx1CK1yx1

F)C(k

dwdx

(X) 2

2

y2,0

dwdy −= (XI)

( )( )

2

BA330A

33

0A

20A3

)KK(yx1C1yx1

F)C(k

dwdx

+−+

−= (XII) 3

3

y2,0

dwdy −= (XIII)

( )( )

2

440AC440AB440AA

44

0A

20A4

yxCKy)x1(CKyx1CK1yx1

F)C(k

dwdx

+−+−+

−= (XIV) 4

4

y2,0

dwdy −= (XV)

Estos sistemas de ecuaciones diferenciales simultaneas, pueden ser resueltos, aplicando técnicasnuméricas, tales como:

1. Método de Euler.2. Método de Runge –Kutta (4to orden).

Para resolver mediante POLYMATH®, se procederá de acuerdo al procedimiento indicado en el aparte A. Alresolver la parte B se obtiene el siguiente gráfico:


Cuya tabla de resultados se muestra a continuación

Sistema de Ecuaciones # 1 Sistema de Ecuaciones # 2 Sistema de Ecuaciones # 3 Sistema de Ecuaciones # 4

W x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4

0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.000.24 0.47 0.95 0.25 0.95 0.10 0.95 0.07 0.950.32 0.55 0.93 0.29 0.93 0.13 0.93 0.08 0.930.40 0.61 0.92 0.32 0.92 0.16 0.92 0.10 0.920.56 0.69 0.88 0.37 0.88 0.21 0.88 0.12 0.880.64 0.72 0.86 0.39 0.86 0.24 0.86 0.13 0.860.72 0.74 0.84 0.40 0.84 0.26 0.84 0.14 0.840.80 0.76 0.82 0.42 0.82 0.29 0.82 0.15 0.820.96 0.79 0.78 0.44 0.78 0.33 0.78 0.17 0.781.04 0.80 0.76 0.46 0.76 0.36 0.76 0.17 0.761.12 0.81 0.74 0.47 0.74 0.38 0.74 0.18 0.741.20 0.82 0.72 0.48 0.72 0.40 0.72 0.19 0.721.36 0.83 0.68 0.49 0.68 0.43 0.68 0.20 0.681.44 0.84 0.65 0.50 0.65 0.45 0.65 0.20 0.651.52 0.84 0.63 0.51 0.63 0.46 0.63 0.21 0.631.60 0.85 0.60 0.51 0.60 0.48 0.60 0.21 0.601.76 0.86 0.54 0.53 0.54 0.50 0.54 0.22 0.541.84 0.86 0.51 0.53 0.51 0.52 0.51 0.23 0.511.92 0.86 0.48 0.53 0.48 0.53 0.48 0.23 0.482.00 0.86 0.45 0.54 0.45 0.54 0.45 0.23 0.45

10.- La reacción de 1er orden: BA → ; se efectuará en un reactor de flujo en pistón, se ha pedido a laempresa consultora de CARIBE Ingenieros, que realice lo siguiente:

1. Deducción de una ecuación que relacione el volumen del reactor, con:a. Concentración de la alimentación, (CA0).b. Concentración de la salida, (CA).c. Constante de velocidad, (k).d. Flujo volumétrico, (ν).

2. Calcular el volumen del reactor, para alcanzar una conversión del 10%, sabiendo que el flujovolumétrico es de 10 dm3/min y la constante de velocidad tiene un valor de 0,23 min-1.

Concepto demostrado: Determinación del volumen de un reactor de flujo en pistón isotérmico, paraalcanzar una determinada conversión.

Métodos numéricos a ser aplicados: Integración polinómica.

1.- Deducción de ecuación:

Datos:Orden de reacción: 1 entonces, ( ) AA kC=−γ (I).

Ecuación de diseño: ( )A0AdVdx

F γ−= (II) entonces ( )∫ −=

x

0 A0A

dxFV

γ(III)

Nota: Cuando exista caída de presión o haya transferencia de calor entre el reactor y el medio circundante,se empleará la forma diferencial (Ec. II), caso contrario se debe utilizar la forma integral (Ec. III).


Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)B - FA0x

Total Ft =FA0


Como no existe caída de presión y la operación es isotérmica se tiene que la concentración de cualquierespecie es:

t

i0ti

FF

CC = (IV);

0

0t0t

FC

ν= (V); 0A0t FF = (VI); sustituyendo IV en V se tiene que:

0

00A0t

RTP

CC == (VII)

Por otro lado:

Entonces, para la especie A: )x1(CF

)x1(FCC 0A

0A

0A0AA −=−= (VIII)

Entonces combinando Ec. VIII con Ec. I y sustituyendo en la ecuación integral (Ec. III) y recordando que:00A0A CF ν= Se obtiene:

( )∫ −=

x

0

0

x1dx

kV

ν (IX)

2.- Cálculo del volumen del reactor, para alcanzar una conversión del 10%:

La ecuación (IX) es fácilmente integrable entre los límites para x (0 a 0,1),

)9,0(Lnk

V0ν

−= (X)

sustituyendo los valores de la constante de velocidad y el flujo volumétrico en la ecuación (X), se tiene V = 4,58 dm3

Nota: antes de realizar la sustitución de los valores numéricos es necesario verificar la consistencia de lasunidades, ya que esta es una de las principales causas de error al momento de realizar los cálculos. Esteproblema puede resolverse mediante POLYMATH®, utilizando la opción REG, tal como se indica acontinuación:

1. Introducir los datos de conversión, para el rango de estudio (limites de integración).2. Evaluar la función f(x), definida en la integral, para los diferentes valores de conversión.3. Seleccionar en la opción Linear & Polynomial, Polynomial integration, indicando que la

conversión es a variable independiente y la función es la variable dependiente y definiendo loslimites de integración.

Nota: Se sugiere emplear un polinomio de cuarto grado.

Al aplicar el procedimiento anterior, se obtiene:

Análisis de Residuos:


( )∫ −=

x

0

0

x1dx

kV

ν = 43.478262*x + 21.738841*x2 + 14.507736*x3 + 10.566676*x4 + 11.299534*x5

evaluado para los limites de integración: (0 -0.1) V = 4.580892 dm3.

11.- En la planta de olefinas del complejo petroquímico de Occidente se va a realizar una ampliación, paraproducir 300.000.000 de libras de etileno por año, empleando como materia prima Etano suministrado desde unarefinería. La tecnología seleccionada, se basa en la descomposición térmica de etano, de acuerdo a la reacción:

24262 HHCHC +→El proceso debe llevarse a cabo a 1100 K y a una presión de 6 atm.

1. Calcular el volumen del reactor, para alcanzar una conversión del 80%, sabiendo que la constantede velocidad tiene un valor de 3,07 s-1. (suponer que la velocidad de reacción es de primer orden yemplear para la constante de gases ideales R = 1,3144 ft3.atm/lbmol.K).

SOLUCIÓN

Concepto demostrado: Determinación del volumen de un reactor de flujo en pistón isotérmico, paraalcanzar una determinada conversión.


1.- Cálculo del volumen del reactor, para alcanzar una conversión del 80%:

Deducción de ecuación:

Datos:Orden de reacción: 1 entonces, ( ) AA kC=−γ (I).



x

0 A0A

dxFV

γ(III)



Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)B - FA0xC - FA0x

Total Ft =FA0(1+ x)


t

i0ti

FF

CC = (IV);

0

0t0t

FC

ν= (V); 0A0t FF = (VI); sustituyendo IV en V se tiene que:

0

00A0t

RTP

CC == (VII)

Por otro lado:

Entonces, para la especie A:

)x1()x1(

RTP

)x1()x1(

C)x1(F)x1(F

CC0

00A

0A

0A0AA

+−=

+−=

+−= (VIII)

Entonces combinando Ec. VIII con Ec. I y sustituyendo en la ecuación integral (Ec. III) y recordando que:00A0A CF ν= Se obtiene:


dxx1x1

PRT

kF

Vx

00

00A∫

−+= (IX)

Antes de realizar la integración, es necesario conocer FA0: (se supone 1 año de 365 días)

sHLbmolC

340,0lb28

HLbmolC1slb

513,9añolb

000.000.300xF4242

0A === ,

de acuerdo a la estequeometría y para una conversión del 80 % se tiene que:

sHlbmolC

425,08,0

sHLbmolC1

340,0F

62

62

0A ==

Entonces la integral será:

∫ −+

=8,0

0dx

)x1()x1(

36,33V

∫ −+

=8,0

0dx

)x1()x1(

36,33V = 34.200778x -11.455617x2 + 288.28687x3 -531.42245x4 + 399.45722x5

evaluado para los limites de integración: (0 -0,8)

∫ −+

=8,0

0dx

)x1()x1(

36,33V = 80.855414 pie3.

12.- Se alimenta una mezcla gaseosa a una rata de 25 lbmol/h a un reactor de flujo en pistón con lasiguiente composición: A: 40 %; B: 40 % e Inertes: 20 %. La operación del reactor se efectúa a 6 atm y unatemperatura de 1000 K. Adicionalmente se conoce que el diámetro interno del reactor es de 6 pulg. Se desea sabercual es la longitud de este reactor para alcanzar una conversión del 80%. ( ) BAA CkC=−γ

SOLUCIÓN

Concepto demostrado: Determinación de la longitud de un reactor de flujo en pistón isotérmico, paraalcanzar una determinada conversión.


1.- Cálculo de la longitud del reactor, para alcanzar una conversión del 80%:


Deducción de ecuación:

Datos:Velocidad de reacción: ( ) BAA CkC=−γ (I).



x

0 A0A

dxFV

γ(III)



Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)B FB0 FA0 - FA0xC - FA0xI FI0 FI0

Total Ft = FA0 + FB0 + FI0 - FA0x

Luego Ft0 = FA0 + FB0 + FI0, entonces: Ft = Ft0 - FA0x, simplificando ( )xy1FFF

1FF 0A0t0t

0A0tt −=

−=


t

i0ti

FF

CC = (IV);

Entonces, para la especie A y B:

)xy1()x1(y

RTP

)xy1()x1(y

RTP

)xy1(F)x1(F

RTP

C0A

0A

0

0

0A

0A

0

0

0A0t

0A

0

0A

−−=

−−=

−−= (V)

)xy1()x1(y

RTP

)xy1(

)xyy

(y

RTP

C0A

0A

0

0

0A

0A

0B0A

0

0B

−−=

−

−= (VI)

Entonces sustituyendo V y VI en la ecuación I:

( )2

0A

2

0

00AA

)xy1()x1(

RTP

yk

−−

=− γ (VII)

( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫

−

−

=⇒

−=⇒

−=⇒

−=

x

0

20A

2

00A

0

2

0Ax

0 A2

0Ax

0 A0A

2x

0 A0A dx

)x1()xy1(

PyRT

rkF

Ldx

rF

Ldx

FLrdx

FVπγπγ

πγ

(VIII)

∫

−−

=8,0

0

2

dx)x1()x25(

0176,4L


∫

−−

=8,0

0

2

dx)x1()x25(

0176,4L =107.29817x -295.81299*x2 + 2132.2639*x3 -4141.9899*x4 + 2884.0117*x5

evaluado en el rango (0-0,8)

∫

−−

=8,0

0

2

dx)x1()x25(

0176,4L =236.71121 pie.

13.- La nueva planta de olefinas en fase de construcción, perteneciente a la asociación estratégica de QM,GAISA, KIMICOS y el grupo MOLAR en el complejo criogénico de Oriente, producirá 5000 MMlb de óxido de etilenopor año. Se estima que el precio de venta será 0,60 $/lb (960 Bs/lb), lo que se traduce en un total de 3000 MM$/año(4.800.000 MMBs/año). La producción de óxido de etileno está destinada a los mercados Europeo, Latinoamericano(Argentina, Brasil, Chile y México) y al mercado interno para la elaboración de Etilenglicol (refrigerante), poliéster,entre otros. Este proceso se llevará a cabo en un reactor de flujo en pistón que operará isotérmicamente a 960 ºR.Los reactantes serán alimentados en forma estequeométrica a una rata de flujo de 0,60 lbmol/s y a una presión de 10atm. De acuerdo a la reacción, donde se mezcla etileno con aire:

OHCOHC 4222142 →+

Se ha propuesto emplear 20 bancos de tubos de 1 ½ pulgadas, cada banco con 100 tubos empacados. Elflujo molar por cada tubo será de 3x10-4 lbmol/s. Para una conversión del 60 %, se desea conocer la cantidad y elcosto del catalizador Mobil MHAI catalyst de partículas esféricas de 3/8 pulgadas, con una densidad de 112 lb/pie3 yuna fracción vacía de 0,45; fabricado por Exxon - Mobil, que deberá importarse desde los Estados Unidos a un costo

de 165 $/lb. La expresión de la velocidad de reacción esta dada de acuerdo ( ) 3/2B

3/1AA PkP=− γ Lbmol/lb cat. H,

(suponga que las propiedades del gas son similares a las del aire a 960 ºR)

h.lbcat.atmlbmol

0141,0k Rº960 =

SOLUCIÓN

Concepto demostrado: Determinación de la cantidad de catalizador para un reactor de flujo en pistónisotérmico, con caída de presión, para alcanzar una determinada conversión.

Métodos numéricos a ser aplicados: Integración polinómica y solución de ecuaciones diferencialesordinarias simultaneas con ecuaciones auxiliares.

Método # 1: Resolución mediante integración polinómica:


Ecuación de balance molar:( )

0A

A

F'

dwdx γ−= (I) ( ) 3/2

B3/1

AA PkP=− γ (II)


Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)B FB0 FB0- ½ FA0xC - FA0xD FI0 FI0

Entonces: ( ) ( )x1Fxy5,01FF 0t0A0tt ε+=−= (III) ; 2

20B0I

O_molN_mol

21,079,0

FF = , esta cantidad de inerte, se

refiere al nitrógeno que entra por el aire.

( )( ) P

xy2x1y2

PyP0A

0AAA

−−

== (IV); ( )( )

( ) Pxy2x2y

Pxy2

xyy

y

PyP0A

B0A

0A

0A

0B0A

BB−

−=

−

−

==θ

(V)

Luego considerando la caída de presión y recordando que la operación es isotérmica:

( ) ( )x1PP

P2dw

dP0

0ε

α+−= (VI) Como ( ) ( )xxy5,0 0A ε= << 1 ⇒ 2

1

0)W1(

PP α−= (VII)

rescribiendo las ecuaciones IV y V y sustituyendo en II :

( ) ( )( )

( )( )

−

−

−

−−=−3

2

0A

B0A31

0A

0A21

0Axy2x2y

xy2x1y2

)W1(kPθαγ (VIII)

entonces calculando los parámetros por tubo, de acuerdo a tabla estequeométrica y expresando el flujomolar en lbmol/h:

FA0 1,08FB0 0,54FI0 2,03Ft0 3,65yA0 0,30yB0 0,15θB 0,5

Sustituyendo los valores arriba calculados, k y P0 en VIII:

( ) ( )( )

−−

−=−x320

x1w1533,0)A( 21αγ (IX)

sustituyendo (IX) en (I):

( ) ( )( )x320

x1F

w1533,0dwdx

0A

21

−−−

=α

(X)

por otro lado

0Ct

0

P)1(A2

ρφβ

α−

= (XI) ; ( ) ( )

+

−−= G75,1

D1150

Dg

1Gp3

p0c0

µφφρφ

β (XII)

t

0t

Am

G = (XIII) ; 0I0B0A0t mmmm ++= (XIV); 4Di

A2

tπ= (XV)

Combinando las ecuaciones X, XI, XII, XIII, XIV y XV; integrando y separando variables, se obtiene:

( ) ( )( )∫ −

−=

−+−

6,0

0

23

dxx1

x32003,21w1

32 αα

(XVI)


Para conocer la cantidad de catalizador por tubo, solo se requiere evaluar numéricamente la integral ydespejar el valor de w:

Luego, despejando el valor de w de la ecuación (XVI) y evaluando cada parámetro, se tiene:

w = 40,354 lb de catalizador por tuboentonces

Para 20 bancos de tubos de 100 tubos cada banco se requiere:

wT = 80708 lb de catalizador, a un costo de 13.168.820,00 dólares

Método # 2: Resolución mediante sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con ecuacionesauxiliares:

Se procederá de igual manera como en el ejercicio # 9, entonces al cargar los datos, la ecuación diferencial(X) y la ecuaciones auxiliares XI, XII, XIII, XIV y XV se obtiene:


Luego se tiene la siguiente tabla de resultados:

w x

0 0.0007 0.1579 0.19711 0.23513 0.27017 0.33619 0.36621 0.39423 0.42127 0.47029 0.49331 0.51433 0.53437 0.57139 0.58841 0.60443 0.61947 0.64749 0.65950 0.665

Con esta tabla de resultados a cantidad de catalizador se determina mediante una interpolación, para unaconversión del 60 %:

w = 40,5 lb de catalizador por tuboentonces

Para 20 bancos de tubos de 100 tubos cada banco se requiere:

wT = 81000 lb de catalizador, a un costo de 13.365.500,00 dólares

CAPITULO III

DISEÑO DE REACTORES ISOTERMICOS:REACTORES DE MEZCLA COMPLETA


reactor de mezcla completa, considerando un mezclado perfecto; se analiza la operación de arreglos de reactores en

serie y en paralelo,. Para el diseño de este tipo de reactor se emplean métodos numéricos de resolución de

ecuaciones diferenciales ordinarias, integración numérica entre otros..

CAPITULO III. DISEÑO DE REACTORES ISOTERMICOS. REACTOR DE MEZCLA COMPLETA 36

DISEÑO DE REACTORES ISOTÉRMICOS; REACTOR DE MEZCLA COMPLETA

14.- En la empresa RESINCA, se ha considerado el procesar 3 m3/h de una mezcla reaccionante en uno odos reactores de mezcla completa y flujo continuo, arreglados en serie. La reacción es la siguiente: CB2A →+ ,a323 K, la ecuación de velocidad es:

( )A2

BA1A

Ck1CCk

+=− γ

Donde k1=0,1 y k2=0,6; las concentraciones de las especies involucradas están expresadas en kgmol/m3.h.La gravedad específica es constante e igual a 1,2 kg/dm3 (1200 kg/m3). el peso molecular de la alimentación es de40. La composición de la alimentación es: 10 % de A, 20 % de B y 70 % de un solvente inerte I, en base molar. Laviscosidad del líquido es 2,8837 kg/m.h (4,8062x10-2 kg/m.min) a la temperatura de reacción. Se ha pedido a dospasantes del curso de Ingeniería Química de la Universidad de Carabobo, determinar:

1. El volumen requerido para un reactor para una conversión del 80 % de A.2. El volumen requerido para dos reactores del mismo tamaño y arreglo en serie, para una conversión

del 80 % de A.3. Cual de los sistemas propuestos en los puntos 1 y 2, resulta más económico, teniendo en cuenta

las siguientes consideraciones:a. El costo de capital para un reactor de mezcla completa y flujo continúo está dado por

200.000(V/100)0,6, donde V, es el volumen del reactor en m3.b. La vida útil del equipo es de 20 años, sin valor de recuperación.c. El costo de la energía es de Bs. 320 (20 centavos de dólar) el kilovatio hora.d. Los costos fijos de personal y demás gastos de operación son constantes, a excepción de

los costos por agitación.e. El año de operación de 360 días.

Adicionalmente su tutor industrial, les informa que cada reactor, tendrá:

1. Placas deflectoras (el ancho de cada placa, con respecto al diámetro del tanque es de 1/12).2. Un impulsor de 1/3 del diámetro del tanque, el impulsor constará de una turbina con seis álabes,

cuya relación ancho a diámetro es de 1/5. el impulsor se ubicará a 1/3 de la profundidad del líquido,desde el fondo del reactor.

3. Una razón diámetro del tanque a profundidad del líquido igual a la unidad.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:

� Determinación del volumen de un reactor de mezcla completa isotérmico, para alcanzar unadeterminada conversión.

� Determinación del volumen de dos reactores de mezcla completa isotérmicos arreglados en serie,para alcanzar una determinada conversión.

� Selección económica de un arreglo de reactores.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistemas de ecuaciones no lineales.

1.- Volumen de un reactor para una conversión del 80 % de A.


Aplicando la ecuación de balance molar para un reactor de mezcla completa:

( )dt

dNdVFF

AV

AA0A =−−− ∫ γ (I)

Este tipo reactor opera en estado estacionario, es decir, las condiciones no cambian en el tiempo y noexisten variaciones espaciales entonces, le ecuación se transforma en :

( ) 0VFF AA0A =−−− γ (II)

Ecuación de diseño:

( )A

0A xFV

γ−= (III);

Concentraciones y flujos molares:

)x1(CC 0AA −= (IV) )x2(CC B0AB −= θ (V) 0A

0B

0A

0B

0A

0BB

yy

FF

CC ===θ (VI) 0t0A0A FyF = (VII)

mezcla

mezcla00t

PMF

ρν= (VIII)

Ecuación de velocidad de reacción:

( ) ( )( )( )x1Ck1

x2x1Ck0A2

B2

0A1A

−+−−=− θγ (IX)

Resolviendo mediante la opción NLE; de POLYMATH®: El volumen del reactor será de 136 m3.

2.- El volumen requerido para dos reactores del mismo tamaño y arreglo en serie, para una conversión del80 % de A.

Aplicando la ecuación de balance molar para cada reactor:

( ) ( )1A

1

1A

10A01

ZxCV

γγν

−=

−= (I) ( ) ( )A

2

2A

21A02

ZxCV

γγν

−=

−= (II)

La cantidad total de A, que reacciona para una conversión global del 80 % se determina, mediante lasumatoria de la cantidad de reactante A, convertida en cada reactor, tal como se expresa:

210A ZZF8,0 += (III)

Como ambos reactores son de igual tamaño, al igualar las ecuaciones de diseño (I),(II) y despejando Z2 de(III) y colocando los términos en función de los moles de A que reaccionan por unidad de tiempo en el primerreactor, se tiene que:

( )( )2A

1A

10A

1

ZF8,0Z

γγ

−−

=−

(IV)

Recordando que la velocidad de reacción, para las condiciones de salida del reactor 2, es igual a lavelocidad de reacción alcanzada, cuando A se ha convertido en un 80 %. Al realizar las operacionesnecesarias se obtiene la siguiente ecuación

( ) ( )( )( )10A00

210A1

0A

1A

ZF2kZFk2

F8,0Z

−+−=−

ννγ

(V)


Luego se procederá al cálculo del volumen de los reactores arreglados en serie, Resolviendo mediante laopción NLE; de POLYMATH®:

El volumen de cada reactor será de 33,14 m3..

3.- Análisis económico para la selección de los sistemas propuestos:

Los costos a ser considerados son: la depreciación el capital y el costo de energía para la agitación.

El costo de capital en dólares, será determinado con la ecuación:

6,0

Capital100V

200000C

= (I)

El gasto de depreciación anual, será estimado mediante el método de la línea recta de acuerdo a lasiguiente ecuación:

útil_vida_de_Tiemporesidual_ValorCapital_de_Costo

Dt−= (II)

El costo de la potencia requerida, para un n, en rpm, se determinará mediante la ecuación:

5i

3

Ln D60n

P

= ρψ (III)

Antes de aplicar la ecuación (III) es necesario realizar el siguiente procedimiento:

a.- Determinar el índice de agitación de Pfaudler, (γ).b.- Suponer un valor de 0,6; para el número de potencia, (ψn).c.- Determinar el diámetro de impulsor requerido, (Dimp).d.- Determinar las revoluciones por minuto de cada mezclador.e.- Calcular el número de Reynolds y verificar la condición Re ≥ 1000.

a.- Índice de agitación de Pfaudler, (γ):

gDrN2

=γ (IV)

Donde,N: Velocidad de giro del agitador;Dr: Diámetro del rodeteg: aceleración de gravedad.

De acuerdo a la viscosidad de la mezcla líquida, el número de índice de Pfaudler, puede suponerse como 2pie2/s3.

b.- Número de potencia2, (ψn):

La mayor parte de los impulsores, están diseñados, para un número de Reynolds del impulsor de 1000 omayor. Para el impulsor especificado, compuesto de una turbina con seis álabes, cuya relación ancho adiámetro es de 1/5., se supondrá un número de potencia igual a 0,6.

c.- Diámetro de impulsor requerido, (Dimp):

Tomando en cuenta, la información, sobre la ubicación del impulsor, a 1/3 de la profundidad del líquido,desde el fondo del reactor y ya que la altura de líquido HL , es igual al diámetro del tanque, se tiene que:

2 Veáse Barona, N. Hydrocarbon Processing, 59(7) 1979


4D

V3

quetanπ= (IV) quetanimp D31D = (V)

d.- Revoluciones por minuto de cada mezclador:

En términos del índice de Pfaudler , para líquidos de baja viscosidad:

L

imp2

imp

quetann

2imp

3

HD

DDDn4

3

= ψ

πγ (VI)

para un índice de Pfaudler en pie2/s3, y un diámetro de impulsor en m, las revoluciones por minuto delmezclador están dadas por la ecuación:

3n

2impD

07,74nψ

γπ= (VII)

e.- Cálculo del número de Reynolds y verificación de la condición Re ≥ 1000.

L

L2

impnDRe

µρ= (VIII)

Entonces resolviendo:

Arreglo 1 Reactor 2 Reactores en serieDiámetro del tanque, m 5.60 3.57Diámetro del impulsor, m 1.87 1.19Velocidad del mezclador, r.p.m. 106.82 144.88Número de Reynolds, Adimensional 93100000 51000000Potencia, KW/año 754200 389000Costos de capital, $ 240500 206400

Costos de Potencia, $ 159700 82320Depreciación anual, $ 12030 10320Costo Total, $ 171730 92640

El ahorro anual obtenido por el sistema de dos tanques en serie es de 79090 $ (Bs. 126.544.000,00 para undólar a 1600 Bs)

15.- La reacción líquida A → B, se efectúa mediante tres reactores isotérmicos de mezcla completaarreglados en serie:

El tiempo de residencia es igual para todos los tanques, θ = 2 min. La reacción es de primer orden conk =0,5 min-1, la concentración de A, en la alimentación es 0,8 kgmol/m3.

1. Calcule las concentraciones CA1, CA2 y CA3 cuando se alcanza el estado estacionario.


2. Luego de alcanzado el estado estacionario, la concentración de A cambia a C’A0 = 1,8 kgmol/m3 yse mantiene en dicho valor. Deduzca las ecuaciones que describen las variaciones de lasconcentraciones CA1, CA2 y CA3 a la salida de cada reactor en función del tiempo.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado: Determinación de la concentración a la salida de 3 reactores de mezcla completaisotérmicos de igual tiempo de residencia arreglados en serie de volumen.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistemas de ecuaciones y Sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias simultaneas.

1.- Cálculo de las concentraciones CA1, CA2 y CA3 cuando se alcanza el estado estacionario.

Aplicando la ecuación de balance molar para un reactor de mezcla completa:

( )dt

dNdVFF

AV

AA0A =−−− ∫ γ (I)

Este tipo reactor opera en estado estacionario, es decir, las condiciones no cambian en el tiempo y noexisten variaciones espaciales entonces, le ecuación se transforma en :

( ) 0VFF AA0A =−−− γ (II)Ecuación de diseño:

( )( )

A

A0A0

A

A0A

kCCC

VFF

V−=⇒

−−= νγ

(III);

Despejando la concentración para cualquier especie y colocando en función del tiempo de residencia:

( )i0A

ik1

CC

θ+= (IV);

Para n tanques arreglados en serie y de igual tamaño:

( )ni

0Ai

k1

CC

θ+= (V);

Resolviendo la ecuación (V) para los tres tanques agitados mediante la opción NLE; de POLYMATH®,entonces:

Concentraciones (kgmol/m3)CA1 0,4CA2 0,2CA3 0,1

2.- Luego de alcanzado el estado estacionario, la concentración de A cambia a C’A0 = 1,8 kgmol/m3 y semantiene en dicho valor. Deduzca las ecuaciones que describen las variaciones de las concentraciones CA1,CA2 y CA3 a la salida de cada reactor en función del tiempo y calcule dichas concentraciones para unintervalo de tiempo de 0 a 5 minutos.

Aplicando la ecuación de balance molar para un reactor de mezcla completa y expresando en términos deconcentración, para cualquier especie:

( )

+−=⇒=−−− +

+

∫ θθ

θγ k1

CC

dtdC

dtdN

dVFF 1ii1iA

V

AA0A (I)

entonces:

+−=

θθ

θk1

CC

dtdC

1A0A1A

(II)

+−=

θθ

θk1

CC

dtdC

2A1A2A

(III)

+−=

θθ

θk1

CC

dtdC

3A2A3A

(IV)

Resolviendo las ecuaciones diferenciales II, III y IV para los tres tanques agitados mediante la opción DEQ;de POLYMATH®, para el intervalo de tiempo (0 – 5) minutos representando gráficamente:


Luego se tiene la siguiente tabla de resultados:

t, (min) CA0, (kgmol/m3) CA1, (kgmol/m3) CA2, (kgmol/m3) CA3, (kgmol/m3)

0.00 1.8 0.400 0.200 0.1001.00 1.8 0.716 0.265 0.1111.20 1.8 0.750 0.284 0.1161.40 1.8 0.777 0.302 0.1211.60 1.8 0.799 0.318 0.1271.80 1.8 0.818 0.334 0.1342.00 1.8 0.832 0.348 0.1412.20 1.8 0.845 0.361 0.1472.40 1.8 0.855 0.373 0.1542.60 1.8 0.863 0.383 0.1602.80 1.8 0.870 0.392 0.1663.00 1.8 0.875 0.400 0.1723.40 1.8 0.883 0.413 0.1833.60 1.8 0.886 0.419 0.1873.80 1.8 0.889 0.423 0.1914.00 1.8 0.891 0.427 0.1954.40 1.8 0.894 0.433 0.2024.60 1.8 0.895 0.436 0.2054.80 1.8 0.896 0.438 0.2075.00 1.8 0.897 0.440 0.209

16.- Alcoholes de oriente, evalúa junto a VEPEQ, producir DBP (Ftalato de Butilo), que es un plastificanteque tiene un mercado potencial de 12 millones de lb/año. La tecnología seleccionada consiste en producir el DBP,partiendo de la reacción del n-butanol con Ftalato de monobutilo (MBP). La cinética de reacción es de primer orden,la reacción se cataliza con Ácido Sulfúrico. El proceso de producción del DBP, requiere que la corriente que contieneMBP y n-butanol se mezcle con el H2SO4, inmediatamente antes de entrar al reactor.

La concentración de MBP en la corriente que ingresa al reactor es de 0,2 lbmol/pie3 y la velocidad dealimentación molar del n-butanol, es cinco veces mayor que la de MBP. La velocidad de reacción especifica a 100 ºF,es de 1,2 pie3/lbmol.h. Petroquímica del Caribe posee dentro de sus instalaciones un reactor de mezcla completa de1000 galones, con su equipo periférico correspondiente, que puede operar 24 horas al día, durante 30 días al año.

OHDBPOHHCMBP 24SO2H

94 + →+


Se ha solicitado al equipo de Ingeniería de Diseño lo siguiente:

1. Determinar la conversión en la salida del reactor de 1000 galones, para producir un 33 % delmercado es decir 3,96 millones de lb/año.

2. Determinar la conversión que se alcanzaría si se colocara un segundo reactor de igual tamañoarreglado en serie o en paralelo con el primer equipo. Indique cual arreglo sería el más adecuadopara aumentar la conversión y reducir el tiempo de operación.

3. Determinar el volumen de un reactor de mezcla completa para alcanzar una conversión del 85 %,con una velocidad de alimentación molar de DBP de 1 lbmol/min.

4. Determinar el volumen de un reactor de flujo en pistón para alcanzar una conversión del 85 %, ,con una velocidad de alimentación molar de DBP de 1 lbmol/min para compararlo con el volumendel reactor determinado en el aparte 3.

SOLUCIÓN


1. Determinación de la conversión a la salida para:

� Un rector de mezcla completa isotérmico.� Dos reactores de mezcla completa isotérmicos de igual volumen arreglados en serie y en paralelo.

2. Determinación del volumen un reactor de mezcla completa isotérmico y de un reactor de flujo enpistón isotérmico y comparar ambos casos.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistemas de ecuaciones.

1.- Determinar la conversión en la salida del reactor de 1000 galones, para producir un 33 % del mercado esdecir 3,96 millones de lb/año.

DCBA 4SO2H + →+

Ecuación de diseño y velocidad de reacción:

( )A

0A0 xCV

γν−

= (I) ( ) BAA CkC=−γ (II)

Concentraciones de A y B:

( )x1CC 0AA −= (III) ( )x5CC 0AB −= (IV)

Flujo molar de A y C:

xFF 0AC = (V) 00A0A CF ν= (VI)

Sustituyendo las ecuaciones II, III, IV, V y VI en I:

0VkC

F5x6x 2

0A

C2 =

−+− (VII)

Resolviendo la ecuación (VII) se tiene: x1: 0,339 y x2: 5,66, se toma el menor valor.


b.- Determinar la conversión que se alcanzaría si se colocara un segundo reactor de igual tamaño arregladoen serie o en paralelo con el primer equipo.

b.1.- Arreglo en serie:

Ecuación de diseño para el reactor 1 y reactor 2, en términos de conversión:

( )( )110A

101

x5x1kCx

V−−

= ν (I) ( )( )1A21A1B21A

21A02

CxCCx1kCxC

V−+−

= ν (II)

despejando la conversión en cada reactor se tiene:

0088,0x266,0x0219,0 12

1 =−+ (III) 0064,0x18,0x0102,0 22

2 =−+ (IV)

Resolviendo las ecuación cuadráticas y tomando el menor valor las conversiones a la salida de cada reactorson:

xA1 = 0,323 y xA2 = 0,349

Entonces la producción de DBP será:

( ) 02A1A1A0AC xCxCF ν+= (V) entonces Fc = 32,5 lbmol/h = 6,52 millones de lb/año

b.2.- Arreglo en paralelo:

En el arreglo en paralelo, para reactores de igual tamaño que operan a la misma temperatura y convelocidad de alimentación idénticas, se tiene que:

� La conversión será igual en cada reactor, es decir x1 = x2 = ... xn = x� La velocidad de reacción será igual en cada reactor, (-γA1) = (-γA2) = ... (-γAn) = (-γA)

Para el caso del flujo molar total, también existe una relación similar.


La ecuación de diseño para un arreglo en paralelo de n reactores de mezcla completa será:

( )Ai

ii0A

ix

nF

nV

γ−= que será igual a ( )A

0A xFV

γ−=

es decir que la conversión que se alcanza en cualquiera de los reactores arreglados en paralelo es igual a laconversión alcanzada en un solo reactor de volumen total y si se alimenta al mismo el flujo total el reactante.

Entonces se tiene:

( )( )x5x1Cx

2

V0A0 −−

=

ν

(I) despejando la conversión se obtiene: 0916,0x1,2x1832,0 2 =+− (II)

x = 0,45 en cada reactor

Para el arreglo de los dos reactores ( ) 00AC xCF ν= (V)

entonces Fc = 26,26 lbmol/h = 5,26 millones de lb/año

La decisión será emplear un arreglo en serie, ya que permite alcanzar una mayor conversión y unareducción del tiempo de operación. El lector debe tener en cuenta, que un arreglo en serie de dos reactoresde mezcla completa de igual tamaño, permite una mayor conversión que un arreglo de dos reactores demezcla completa en paralelo, siempre que el orden de reacción sea > 0.

c.- Determinar el volumen de un reactor de mezcla completa para alcanzar una conversión del 85 %, conuna velocidad de alimentación molar de DBP de 1 lbmol/min.

Expresando la ecuación de diseño en términos del flujo molar de de DBP y la conversión:

( )( )x5x1kCF

V2

0A

C

−−= (I)

Para Fc = 60 lbmol/h

V = 2008,03 pie3 ≡ 15023 galones

d.- Determinar el volumen de un reactor de flujo en pistón para alcanzar una conversión del 85 %, , con unavelocidad de alimentación molar de DBP de 1 lbmol/min para compararlo con el volumen del reactordeterminado en el aparte 3.

Ecuación de diseño para un reactor de flujo en pistón:

( )∫ −=

x

0 A0A

dxFV

γ (I) sustituyendo se tiene ( )( )∫ −−

=85,0

02

0A0A

x5x1kCdx

FV

Para FA0 = 70,59 lbmol/h V = 630 pie3 ≡ 4712,4 galones

Al comparar el volumen obtenido para un reactor de flujo en pistón con respecto a el volumen obtenido paraun reactor de mezcla completa, se observa que cuando se trabaja con conversiones mayores al 70 %, larelación del volumen entre un RMC y un RFP es más del doble, para un mayor detalle se recomienda lalector leer la evaluación hecha por JM Smith3.

3 Veáse Smith, J.M. Ingeniería de la cinética química, 1998

CAPITULO IV

DISEÑO DE REACTORES ISOTERMICOS:REACTORES POR CARGA Y SEMI - CONTINUOS


reactor por carga y el reactor semi - continuo, al igual que en el capitulo anterior considerando un mezclado perfecto.

Para el diseño de este tipo de reactor se emplean métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales

ordinarias, integración numérica entre otros.

CAPITULO V. DISEÑO DE REACTORES NO ISOTERMICOS. REACTOR TUBULAR Y REACTOR DE MEZCLA COMPLETA 46

DISEÑO DE REACTORES ISOTÉRMICOS; REACTOR POR CARGA Y REACTOR SEMI - CONTÍNUO

17.- En un proceso de manufactura de la empresa ESCART, se está considerando emplear un reactor porcarga de forma cilíndrica, al cual se le ha instalado un pistón (sin fricción) conectado a un resorte. La reacción aefectuar y la expresión de la velocidad de reacción se especifican a continuación:

C8BA →+ ( ) B2

A1A CCk=− γ

1. Escriba la ley de velocidad, en función de la conversión, evaluando numéricamente todas lasposibles variables involucradas.

2. Determine la conversión y la velocidad de reacción para un volumen de 0.2 pie3.

Adicionalmente se sabe que:

1. Los moles de A y B son iguales en t = 0. Volumen inicial: 0,15 pie3.2. Constante especifica de velocidad, k1 = 1 (pie3/lbmol)2/s.3. La relación entre el volumen del reactor y la presión dentro del mismo es ( )P1,0V = , V está dado

en pie3 y P en atm. Temperatura de reacción 600 ºR. Constante de gases ideales: R = 0,73pie3.atm/lbmol.ºR.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Cálculo de la conversión y velocidad de reacción para un reactor por carga isotérmico, para una reacción enfase gaseosa.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistemas de ecuaciones no lineales.

1.- Ley de velocidad:

Para escribir la ley de velocidad, se deben conocer las concentraciones de las especies A y B, las cualesestán dadas por las ecuaciones:

A0

A yRTP

C = (I) B0

B yRTP

C = (II)

El volumen está dado por la ecuación:

( )P1,0V = (III); de donde la presión es VRTN

P0T= (IV)

Para determinar los moles, en función de la conversión, se realiza la siguiente tabla estequeométrica:Especie Inicialmente Cambio Remanente

A NA0 -NA0x NA0(1-x)B NB0 -NA0x NA0(θB-x)C 8NA0x 8NA0x

Moles totales NT = NT0(1+6yA0x)

Luego yA0, θB y NT0 están dados por las siguientes ecuaciones:

21yyP2P2PPP 0A0A00A0B0A0 =⇒==+= (V) 1

yy

NN

0A

0B

0A

0BB ===θ (VI)

0

20

0TRT

V10N = (VII)

Escribiendo las concentraciones de las especies A y B en términos de la conversión se obtienen lassiguientes ecuaciones:

( )( )xy61

x1RT

yV10CC

0A0

0A0BA

+−

== (VIII)

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación de velocidad de reacción

( ) ( )( )

+

−

=−

23

33

0

01A

x31

x1RT

V5kγ (IX)


2.- Calculo de la conversión y la velocidad de reacción, cuando V = 0,2 pie3.Para determinar la conversión emplean las ecuaciones siguientes:

( )P1,0V = (I); de donde la presión es VRTN

P0T= (II) combinando ambas se obtiene:

0T2 RTN10P = (III), luego sustituyendo la ecuación

0

20

0TRT

V10N = en III,

Se obtiene la ecuación, en función de la conversión:

−

=3

1VV

x

2

0

f

(IV)

Luego de calcular la conversión se sustituye este valor obtenido en la ecuación de velocidad de reacción,resolviendo mediante POLYMATH®, se obtiene entonces, para un volumen de 0,2 pie3 la conversión será:

x = 0.2592593 y la velocidad de reacción: 8.609x10-10 lbmol/pie3.s

18.- Por razones de ubicación estratégica del complejo Criogénico de Occidente, VEPEQ, estudia laposibilidad de construir una batería de reactores por carga, para el proyecto de manufactura del DBP, especificadoen el ejercicio # 16. Se le ha solicitado a Ud. indicar en un informe técnico lo siguiente:

1. ¿Cuántos reactores por carga de 1000 galones, se requerirían para producir 4 millones de libras enun período de 30 días?.

Considere el siguiente cuadro con los tiempos para el llenado, agitación, calentamiento, vaciado y limpiezadel reactor:

Actividad Tiempo (h)Carga, alimentación y agitación, tf 1,5 – 3,0Calentamiento hasta la temperatura de reacción, te 1,0 – 2,0Tiempo de reacción, tr VariableDescarga y limpieza, tc 0,5 – 1,0Tiempo total excluyendo el tiempo de reacción 3,0 – 6,0

Sugerencia, presente los resultados de manera tabulada, para los tiempos máximo, mínimo y promedio deoperación dados en la tabla (incluyendo el tiempo de reacción).

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación del numero de reactores por carga requeridos para alcanzar una producción dada en funcióndel tiempo de operación.Métodos numéricos a ser aplicados: Sistemas de ecuaciones e integración polinómica.

Aplicando la ecuación de balance molar, recordando que no existen líneas de alimentación y salida yexpresando la ecuación en términos de conversión:


( ) ( ) ( )( )dtdx

x5x1kCdt

dNV

dtdN

VFF AA0AA

AA

AA0A =−−⇒=−−⇒=−−− γγ (I)

despejando el tiempo de reacción la ecuación (I) e integrando se tiene:

( )( )∫ −−==

8,0

0AA0A

Rx5x1

dxkC

1tt (II)

Esta integral se resuelve numéricamente empleando POLYMATH®, resolviendo se

Gráfico de análisis de residuos:

( )( )∫ −−==

8,0

0 AA0AR

x5x1dx

kC1

tt = 0,84646xA – 0,1996825xA2 + 4,4980909xA

3 – 8,2972211xA4 + 6,2364275xA

5

evaluado para los limites de integración: (0 -0,8)

t = tR = 1,4974045 h.Presentando de manera tabulada para los tiempos mínimo, promedio y máximo de operación (incluyendo eltiempo de reacción) y recordando que se requiere producir 4 millones de libras de DBP en un lapso de 30días, se tiene la siguiente tabla:

Tiempo deoperación, t (h) Cargas/día.Reactor

Lb deDBP/día.Reactor

Lb de DBPrequeridas/día

Reactoresrequeridos

Lb de DBPproducidas

Mínimo 4,49 5 31778,33 5 4.766.749Promedio 5,99 4 23820,49 6 4.287.688Máximo 7,49 3 19053,03

133333,347 4.001.136

19.- El empresario italiano Giovanni L’matraca, ha vendido al Sr. Elso Berano inversionista venezolano unreactor semi continuo para hidrolizar Anhídrido Acético. El proceso se lleva a cabo cargando inicialmente el reactorcon 100 L de una solución acuosa que contiene 0,05 mol/L, de Anhídrido Acético, el recipiente se calienta a 40 ºC yen ese momento se añade una solución del Anhídrido, de concentración 0,3 mol/L, con un caudal de 120 L/h. Elproducto se retira del reactor a la misma velocidad. La cinética de la reacción es

( ) A1A Ck=−γ , donde k1 = 22,8 h-1

El Sr. L’matraca asegura al empresario venezolano que en un lapso de 25 minutos máximo, obtendrá unproducto a una concentración 0,015 mol/L; caso contrario puede demandarle. Según el acuerdo firmado el Sr. ElsoBerano debe cancelar el 50% restante de la deuda en un lapso no mayor de 3 meses, después de instalado el


reactor. Indique si es cierto lo indicado por el Sr. L’matraca y el empresario venezolano debe pagar su deuda o si elfalso demandar al proveedor. Sugerencia. (Suponga que existe un buen mezclado y la densidad es constante).

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Cálculo de la concentración a la salida de un reactor semi continuo isotérmico en función del tiempo.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de una ecuación diferencial lineal de grado 1 y orden 1.

1.- Calculo de la concentración a la salida del reactor en función del tiempo.

Aplicando la ecuación de balance molar, recordando que en este caso el volumen es constante yexpresándola en términos de concentración y el tiempo de residencia θ:

( ) A10AA

A10

0A0A

AA0AA

Ck1C

dtdC

CkV

CVdt

dCVrFF

dtdN

+−=⇒

+−=⇒−−−=

θθ

θνν

(I)

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial lineal de primer orden y primer grado, es decir, de laforma:

( ) ( )xQyxPdxdy =+

expresando la ecuación I, de esta forma se tiene:

θθ

θ 0AA

1A CC

k1dt

dC =

++ , donde y = CA y x = t

Para resolver este tipo de ecuaciones se debe aplicar la siguiente formula:

( ) ( ) ( )CdxexQye

dxxPdxxP+∫=∫ ∫ (II)

CdxeC

eCdt

k10Adt

k1

A +∫=∫ ++

∫ θθ

θθ

θ (III)

Al resolver las integrales y evaluar la constante C, para las condiciones iniciales t = 0, CA = CAi, se obtiene:

t24A e035,0015,0C −+= , donde t está dado en horas.


No obstante para resolución numérica de la ecuación diferencial (I), se empleará POLYMATH®, resolviendose obtiene

Gráfico de concentración de A en función del tiempo

Tabla de resultados:

t, (h) t, (min) CA, (mol/L)0.00 0.00 0.050000.12 7.20 0.016960.16 9.60 0.015750.20 12.00 0.015290.28 16.80 0.015040.32 19.20 0.015020.36 21.60 0.015010.40 24.00 0.015000.48 28.80 0.015000.52 31.20 0.015000.56 33.60 0.015000.60 36.00 0.015000.68 40.80 0.015000.72 43.20 0.015000.76 45.60 0.015000.80 48.00 0.015000.88 52.80 0.015000.92 55.20 0.015000.96 57.60 0.015001.00 60.00 0.01500

De acuerdo a los resultados observados, El Sr. L’matraca, estaba en lo cierto; entonces el inversorvenezolano debe cancelar su deuda dentro del lapso previsto.


20.- En un reactor semi continuo fabricado en 1950 por los ingenieros de Takara & Cía. para la reacciónreversible BA ↔ , se aseguraba que al cabo de 50 minutos las concentraciones de las especies A y B alcanzabanuna concentración de 3000 kmol/m3 y 6000 kmol/m3 respectivamente. La reacción que se efectuaba en dicho reactores de primer orden respecto a ambas especies. Inicialmente el reactor se cargaba con 30 kmol de A y se le añadíauna solución de A de concentración 10000 kmol/m3 a un caudal de 0,2268 m3/h, sin retirar producto. Los valoresempleados para las constantes especificas de velocidad, se indican a continuación: k1 = 4,092 h-1 y k2 = 0,474 h-1.

La empresa Químicos Despistados (QD) adquirió el equipo, llevó a cabo el proceso para esa reacción ycomercializa el producto B. el Ingeniero Ching Chu Rio de QD, por descuido derramó una taza de café sobre el panelde control del reactor creando un corto circuito en el sistema de control del reactor y no reportó a su Supervisor losucedido. El equipo registra una lectura errónea no detectada, por el personal de QD, 1000 kmol/m3 por encima de lonormal. El departamento de control de calidad de la asociación nacional de ingenieros químicos de su país, le haencomendado a Ud. realizar una auditoria al proceso de manufactura de QD, como parte del plan nacional decalidad. De acuerdo a su criterio profesional con base en los conocimientos adquiridos en el curso de cinética ydiseño de reactores, indique :

1. ¿Cual es la concentración de las especies A y B después de 50 minutos?; ¿Coincide con loafirmado por Takara & Cía.?.

2. ¿Cual es la concentración de las especies A y B, registradas por el equipo de control deconcentración del reactor?.

3. ¿Recomendaría Ud. al Ing. Ching Chu Rio, para un ascenso?

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Cálculo de la concentración a la salida de un reactor semi continuo isotérmico en función del tiempo.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

1.- Cálculo de las concentraciones de A y B después de 50 minutos

Aplicando la ecuación de balance molar para las especies A y B; recordando que el volumen varía enfunción de tiempo y además de suponer densidad constante se tienen las ecuaciones siguientes,expresadas en términos de concentración:

( )B2A1A0A

0A

CkCkV

CCdt

dC −−

−= ν (I) y ( )

−−=

VC

CkCkdt

dC B0B2A1

B ν (II)

Empleando POLYMATH®, se obtiene

Gráfico de concentración:



t, (h) t, (min) CA, kmol/m3 CB, kmol/m3 V, m3

0.00 0.00 300.00 0.00 0.10000.12 7.20 1844.88 530.30 0.12720.16 9.60 2087.37 795.35 0.13630.20 12.00 2253.23 1073.68 0.14540.28 16.80 2432.47 1634.95 0.16350.32 19.20 2471.83 1907.45 0.17260.36 21.60 2489.40 2170.61 0.18160.40 24.00 2491.11 2422.90 0.19070.48 28.80 2463.54 2892.29 0.20890.52 31.20 2440.00 3109.15 0.21790.56 33.60 2412.60 3314.42 0.22700.60 36.00 2382.72 3508.50 0.23610.68 40.80 2319.27 3865.19 0.25420.72 43.20 2287.02 4028.91 0.26330.76 45.60 2254.99 4183.65 0.27240.80 48.00 2223.49 4329.95 0.28140.88 52.80 2162.77 4599.41 0.29960.92 55.20 2133.78 4723.56 0.30870.96 57.60 2105.79 4841.28 0.31771.00 60.00 2078.82 4953.01 0.3268

Se observa que la afirmación de Takara & Cía., no es cierta, ya que la cabo de 50 minutos (0,833 h), lasconcentraciones de A y B son 2197,78 y 4445, 82 kmol/m3, respectivamente.


2.- Lectura de concentración errónea:

t, (h) CA, kmol/m3 CB, kmol/m3

0.00 1300.00 1000.000.12 2844.88 1530.300.16 3087.37 1795.350.20 3253.23 2073.680.28 3432.47 2634.950.32 3471.83 2907.450.36 3489.40 3170.610.40 3491.11 3422.900.48 3463.54 3892.290.52 3440.00 4109.150.56 3412.60 4314.420.60 3382.72 4508.500.68 3319.27 4865.190.72 3287.02 5028.910.76 3254.99 5183.650.80 3223.49 5329.950.88 3162.77 5599.410.92 3133.78 5723.560.96 3105.79 5841.281.00 3078.82 5953.01

Por el accidente ocurrido, se concluye de manera errónea que lo afirmado por Takara & Cía., es ciertoc.- Ascenso para el Ing. Ching Chu Rio

Es obvio que no, ya que incurrió en una falta a la confianza depositada por la empresa en él comoprofesional del área de la Ingeniería Química, aún cuando el incidente fue involuntario, ¡ Recuerde! losaccidentes no reportados son igual a la ruleta rusa.

21.- Después de realizada una práctica en el reactor por carga del laboratorio de operaciones unitarias, losestudiantes deben realizar un informe basado en la siguiente información:

Reacciones efectuadas y su respectiva velocidad de reacción:

CBA →+ ; ( ) B21

A11 CCk=− γ

DCB →+ ; ( ) B21

C22 CCk=− γ

donde, las unidades de la velocidad de reacción están dadas en mol/m3.s

Tabla de datosConcentración inicial de A, (mol/m3) 10Concentración inicial de B, (mol/m3) 2Concentración inicial de C, (mol/m3) 0Concentración inicial de D, (mol/m3) 0Constante especifica de velocidad, k1 (m

3/2 / mol1/2.s) 0,02Constante especifica de velocidad, k2 (m

3/2 / mol1/2.s) 0,02

En el informe deben reportar lo siguiente:

1. Concentraciones de las especies A, B, C y D; hasta que se consuma un 90 del reactivo limitante.2. Selectividad S(C/D).3. Porcentaje de rendimiento X B/C y X B/D.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de las concentraciones, selectividad y rendimiento de las especies involucradas en funcióndel tiempo para reacciones múltiples (serie – paralelo) en un reactor por carga.


Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales.

1.- Concentraciones de las especies A, B, C y D; hasta que se consuma un 90 del reactivo limitante.

Para conocer las concentraciones de las especies involucradas es necesario aplicar la ecuación de balancemolar, para ello se debe recordar que las reacciones ocurren en un reactor por carga, es decir no existesuministro ni retiro de ninguna especie química involucrada en las reacciones.

B21

A1A

CCkdt

dC −= (I) B21

C221

A1B

CCkCkdt

dC

+−= (II)

−= B21

C2B21

A1C

CCkCCkdt

dC (III) B2

1C2

DCCk

dtdC −= (IV)

Las condiciones iniciales son:Tabla de datos

Concentración inicial de A, (mol/m3) 10Concentración inicial de B, (mol/m3) 2Concentración inicial de C, (mol/m3) 0Concentración inicial de D, (mol/m3) 0Constante especifica de velocidad, k1 (m

3/2 / mol1/2.s) 0,02Constante especifica de velocidad, k2 (m

3/2 / mol1/2.s) 0,02

La condición final será cuando la especie B se haya consumido en un 90 %, es decir, cuandoCB = 0,2 mol/m3


Gráficos de concentración:



t, (s) CA, mol/m3 CB, mol/m3 CC, mol/m3 CD, mol/m3

0.00 10.0000 2.0000 0.0000 0.00003.39 9.6218 1.5748 0.3312 0.04704.58 9.5105 1.4415 0.4204 0.06906.97 9.3173 1.2040 0.5694 0.11338.16 9.2337 1.0990 0.6317 0.13469.35 9.1577 1.0027 0.6874 0.155010.55 9.0886 0.9144 0.7371 0.174312.93 8.9689 0.7595 0.8216 0.209414.13 8.9172 0.6919 0.8575 0.225315.32 8.8702 0.6301 0.8898 0.240016.51 8.8275 0.5738 0.9189 0.253718.90 8.7534 0.4755 0.9686 0.277920.09 8.7214 0.4328 0.9899 0.288721.28 8.6923 0.3938 1.0092 0.298522.48 8.6659 0.3584 1.0265 0.307624.86 8.6201 0.2966 1.0564 0.323526.06 8.6003 0.2699 1.0693 0.330427.25 8.5823 0.2455 1.0809 0.336828.44 8.5659 0.2233 1.0915 0.342629.83 8.5488 0.2000 1.1025 0.3488


2.- Selectividad SCD

En este punto se requiere determinar la selectividad global, la cual para el caso de un reactor por carga, estádada en términos del número de moles de los productos C (deseado) y D (no deseado), al final del tiempode reacción, es decir:

D

C

D

C

ND

DECD

CC

NN

NN

S === (I)

Esto último ya que el volumen es constante, entonces evaluando la selectividad se tiene:

1608,33488,01025,1

SCD ==

3.- Rendimiento YD

El rendimiento global se define como el cociente del número de moles de producto formados al final de lareacción, entre el número de moles consumidos del reactivo limite (en este caso B). Para un reactor porcarga:

I0I

DED

NNN

Y−

= (II)

Para C y D se tiene:

6125,02,02

1025,1NN

NY

BBO

CC =

−=

−= 1938,0

2,023488,0

NNN

YBBO

DD =

−=

−=

22.- En un reactor por carga de la empresa Resinas del Centro, se planifica realizar la producción de unnuevo producto que se rige por la ecuación: RA → , se ha solicitado al equipo de Ingeniería de procesos enconjunto con el equipo de investigación y desarrollo, entregar a la superintendencia de planta un informe donde seindique el tiempo necesario de reacción para cada carga, hasta que la concentración de A sea 0,3 mol/L. LAconcentración inicial de A es de 1,3 mol/L y la velocidad de reacción está regida por el siguiente polinomio:

( ) 6A

5A

4A

3A

2AAA C70635,39C5559,172C3198,285C1273,220C66777,76C410755,9467491,0 +−+−+−=− γ

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación del tiempo de reacción en un reactor por carga requeridos para alcanzar una concentracióndeterminada.

Métodos numéricos a ser aplicados: integración polinómica.

Aplicando la ecuación de balance molar, recordando que no existen líneas de alimentación y salida ysupondremos además que existe un mezclado perfecto y que la densidad es constante, expresando laecuación en términos de concentración se tiene:

( ) ( ) ( )dt

dC00

dtdN

Vdt

dNVFF

AA

AA

AAA0A =−−−⇒=−−⇒=−−− γγγ (I)

despejando el tiempo de reacción la ecuación (I) e integrando se tiene:

( )∫ −−==

CA

0CA AR

dttt

γ (II)


Esta integral se resuelve numéricamente empleando POLYMATH®, resolviendo se obtiene: Gráfico deanálisis de residuos

( )∫ −−==

CA

0CA A

Rdt

ttγ

=

=39.549616CA -461.76733CA2 + 1935.3321CA

3 -3866.6995CA4 + 3960.8054CA

5 -2025.9482CA6 + 410.73562CA

7

evaluado para los limites de integración: (1,3 -0,3)

t = tR = 15,572305 min.

23.- La reacción en fase líquida DCBA2 +→+ , se lleva a cabo en un reactor semi continuo, cuyo volumenes 1,2 m3. Inicialmente el reactor contiene 5 mol de B, a una concentración de 0,015 kmol/m3, el reactante A seencuentra en solución acuosa a una concentración de 0,03 kmol/m3 y se alimenta al reactor a una rata de 4 dm3/min.La reacción es de primer orden con respecto a A y orden medio con respecto a B.

A 25 ºC el valor de la constante especifica de velocidad es 6 (m3/kmol)1/2/min. La energía de activación es de35 kJ/mol. La alimentación al reactor se suspende cuando el volumen es igual a 0,53 m3.

Se solicita de sus servicios profesionales para entregar en un informe:

1. Gráficos de la concentración de las especies A y B, Volumen y conversión de A y B en función detiempo.

2. Tiempo de reacción para que se convierta un 97 % de A.3. Tiempo de reacción para que se convierta un 59 % de B.4. Considere el caso de incrementar la temperatura de reacción desde 25 º C hasta 537 ºR, el reactor

se operará de forma isotérmica a esta temperatura y la reacción es reversible y la constante deequilibrio es Ke = 10 (m3/kmol)1/2, grafique las conversiones de A y B y la conversión de equilibrioen función del tiempo.

SOLUCIÓN


Determinación de las concentraciones de las especies reaccionantes, conversión, conversión de equilibrio,variación del volumen en función del tiempo en un reactor semi continuo con corriente de alimentación sinretiro de producto.



1.- Gráficos de la concentración de las especies A y B, Volumen y conversión de A y B en función de tiempo.

Aplicando la ecuación de balance molar para la especie A, recordando que no existe línea de salida y sesupondrá que existe un mezclado perfecto, expresando la ecuación en términos de concentración se tiene:

( ) ( )dtdVC

dtVdC

V0Fdt

dNVFF

AAA0A

AAA0A +=−−−⇒=−−− γγ (I)

En este caso el reactor se está llenando y en consecuencia el volumen está variando en función del tiempo,entonces, el volumen del reactor en cualquier instante de tiempo se determinará mediante un balance demasa global de todas las especies, se supondrá que la densidad es constante:

( )000t0t

dtdV

dtdV

00dt

Vd0mm νρνρρ =⇒=−−⇒=−− (II)

Aplicando la ecuación de balance molar para la especie B (reactivo limitante)

( ) ( )dt

VdCV00

dtdN

VFFB

AB

AB0B =−−−⇒=−−− γγ (III)

La expresión de velocidad de reacción está dada por la ecuación:

( ) 21

BA1A CCk=− γ (IV)

Las conversiones de A y B están dadas por las ecuaciones:

00A

AA

VCVC

1x −= (V) y Bi

BBiB

NVCN

x−= (VI)

Entonces el sistema de ecuaciones a resolver será:( ) 2

1BA

A0A0ACkC

VCC

dtdC −−= ν

00A

AA

VCVC

1x −=

21

BAB0B

CkCVC

dtdC −−= ν

Bi

BBiB

NVCN

x−=

0dtdV ν=

Estas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltas, aplicando técnicas numéricas, tales como:

6. Método de Euler.7. Método de Heun.8. Método del punto medio (modificado de Euler).9. Métodos de Runge –Kutta (2do, 3er, 4to orden).10. Método de Butcher.

Las condiciones iniciales serán:

Concentración inicial de A, CA0, kmol/m3 0,03Moles iniciales de B en el reactor, NBi, kmol 5x10-3

Volumen inicial, V0, m3 0,33333

Caudal volumétrico, ν0, m3/min 4x10-3

La condición final será cuando el volumen sea 0,53 m3; es decir t = 49 minutos (este tiempo se obtienemediante la integración de la ecuación II), se deja al lector el realizar esta comprobación.



Gráficos de Conversión:


Gráficos de Concentración:


Gráfico de volumen:

Tabla de datos

t, (min) CA, (kmol/m3) CB, (kmol/m3) V, (m3) xA xB

0.00 0.00000 0.01500 0.33333 1.00000 0.000004.92 0.00047 0.01296 0.35301 0.98415 0.062858.84 0.00050 0.01118 0.36869 0.98202 0.15267

10.80 0.00051 0.01034 0.37653 0.98130 0.1982812.76 0.00052 0.00954 0.38437 0.98057 0.2438614.72 0.00053 0.00877 0.39221 0.97980 0.2893618.64 0.00055 0.00732 0.40789 0.97807 0.3799820.60 0.00056 0.00664 0.41573 0.97710 0.4250722.56 0.00058 0.00599 0.42357 0.97603 0.4699724.52 0.00060 0.00537 0.43141 0.97485 0.5146528.44 0.00064 0.00419 0.44709 0.97207 0.6031830.40 0.00067 0.00364 0.45493 0.97042 0.6469132.36 0.00070 0.00312 0.46277 0.96853 0.6901734.32 0.00074 0.00261 0.47061 0.96634 0.7328438.24 0.00084 0.00169 0.48629 0.96073 0.8156940.20 0.00091 0.00127 0.49413 0.95701 0.8553042.16 0.00100 0.00089 0.50197 0.95238 0.8930844.12 0.00112 0.00054 0.50981 0.94643 0.9282348.04 0.00152 0.00006 0.52549 0.92753 0.9845149.00 0.00167 0.00001 0.52933 0.91150 0.99901


2.- Tiempo de reacción para una conversión de A del 97 %.

Interpolando en la tabla anterior se tiene que para xA = 97 % tR = 30,84 minutos.

3.- Tiempo de reacción para una conversión de B del 59 %.

Interpolando en la tabla anterior se tiene que para xB = 59 % tR = 27,85 minutos.

4.- Considere el caso de incrementar la temperatura de reacción desde 25 º C hasta 537 ºR, el reactor seoperará de forma isotérmica a esta temperatura y la reacción es reversible y la constante de equilibrio esKe = 10 (m3/kmol)1/2, grafique las conversiones de A y B y la conversión de equilibrio en función del tiempo.

4.1.- Conversión de equilibrio.

La constante de equilibrio está definida para la reacción en estudio por la ecuación:

21

BeAe

DeCee

CC

CCK = (I)

Las concentraciones de cada una de las especies cuando se alcanza el equilibrio están dadas por:

tVxN2tC

tVxN2tF

VN

C00

eBi00A

00

eBi0AAeAe

νν

ν +−=

+−== (II)

( )tV

x1NV

NC

00

e0BBeBe

ν+−== (III) De

00

e0BCeCe C

tVxN

VN

C =+

==ν

(IV)

Sustituyendo las ecuaciones II, III y IV en I, se obtiene:

( )( ) ( )( )[ ] 2

100eBieBi00A

2eBi

e

tVx1NxN2tC

xNK

νν +−−= (V)

Resolviendo la ecuación V, se obtiene, (se deja al lector realizar el despeje para conocer la conversión delequilibrio, se sugiere emplear una herramienta como SOLVER de EXCEL):

Tiempo, t (min) Conversión de equilibrio, xe (Adimensional)0 1.000000005 0.99998887

10 0.9999632415 0.9999314220 0.9999006025 0.9998719230 0.9998480535 0.9998289540 0.9998144745 0.9998040649 0.99979841


Gráfico de conversión de equilibrio:

4.2.- Conversiones de A y B.

Para determinar las conversiones de A y B, se requiere conocer las concentraciones de A, B , C y D, esto envirtud a la condición de reacción reversible. Para esta condición la expresión de velocidad de reaccióntendrá la siguiente forma:

( )

−=−

e

DC21

BAAKCC

CCkγ (I)

Es necesario expresar la constante de velocidad específica, en función de la temperatura, puesto que lamisma cambia de 25 ºC a 70 ºC. Para ello se emplea la ecuación de Arrhenius.

( ) RTEA

AeTk−

= (II)

Empleando el valor de k = 6 a 25 ºC (298 K), R = 8314, 34 J/kmolK , EA = 35.000.000 J/kmol, se despeja elvalor de A y se obtiene la ecuación de k en función de la Temperatura.

( ) T6,4209

6 e10x19,8Tk−

= (III)

Luego aplicando balance molar a cada una de las especies, para determinar la concentración en función deltiempo se obtienen las siguientes ecuaciones:

( ) ( )AA0A0A

kV

CCdt

dC γν −−−= (IV) ( )AC0C

kVC

dtdC γν −+−= (VI)

00A

AA

VCVC

1x −= (VIII) 0dtdV ν= (X)

( )AB0B

kVC

dtdC γν −−−= (V) ( )A

D0Dk

VC

dtdC γν −+−= (VII)

Bi

BBiB

NVCN

x−= (IX)

Las condiciones iniciales serán

Concentración inicial de A, CA0, kmol/m3 0,03Moles iniciales de B en el reactor, NBi, kmol 5x10-3

Volumen inicial, V0, m3 0,33333

Caudal volumétrico, ν0, m3/min 4x10-3

Temperatura de reacción, T (K) 343Constante de equilibrio a 70 ºC (343 K) 10


La condición final será cuando el volumen sea 0,53 m3; es decir t = 49 minutos.

Empleando POLYMATH®, se obtiene:


Tabla de resultados

t, (min) CA, (kmol/m3) CB, (kmol/m3) CC, (kmol/m3) CD, (kmol/m3) V, (m3) xB xA

0.00 0.00000 0.01500 0.00000 0.00000 0.33333 0.00000 1.000006.71 0.00001 0.01165 0.00223 0.00223 0.36017 0.16057 0.999778.67 0.00001 0.01077 0.00282 0.00282 0.36801 0.20738 0.9996510.63 0.00001 0.00992 0.00338 0.00338 0.37585 0.25411 0.9995012.59 0.00002 0.00911 0.00392 0.00392 0.38369 0.30077 0.9993116.51 0.00003 0.00759 0.00493 0.00493 0.39937 0.39385 0.9988018.47 0.00004 0.00687 0.00541 0.00541 0.40721 0.44024 0.9984820.43 0.00005 0.00619 0.00586 0.00586 0.41505 0.48652 0.9981022.39 0.00006 0.00553 0.00630 0.00630 0.42289 0.53266 0.9976526.31 0.00008 0.00428 0.00712 0.00712 0.43857 0.62445 0.9965128.27 0.00009 0.00370 0.00750 0.00750 0.44641 0.67001 0.9957730.23 0.00011 0.00313 0.00787 0.00787 0.45425 0.71526 0.9948732.19 0.00013 0.00260 0.00822 0.00822 0.46209 0.76010 0.9937736.11 0.00020 0.00159 0.00887 0.00887 0.47777 0.84770 0.9905338.07 0.00025 0.00114 0.00916 0.00916 0.48561 0.88958 0.9879540.03 0.00032 0.00072 0.00941 0.00941 0.49345 0.92875 0.9840241.99 0.00045 0.00038 0.00960 0.00960 0.50129 0.96236 0.9773045.91 0.00104 0.00005 0.00962 0.00962 0.51697 0.99479 0.9464747.87 0.00144 0.00002 0.00951 0.00951 0.52481 0.99768 0.9244049.00 0.00169 0.00003 0.00942 0.00942 0.52933 0.99569 0.91527

CAPITULO V

DISEÑO DE REACTORES NO ISOTERMICOS:REACTOR TUBULAR Y MEZCLA COMPLETA

Este capitulo, se concentra en los reactores que operan de manera no isotérmica, se estudia el diseño del

reactor tubular y de mezcla completa, considerando la operación en estado estacionario. Para el diseño de este tipo

de reactor se hace la deducción y manejo de la ecuación de balance de energía, para ser aplicado a los tipos de

reactores antes mencionados.


DISEÑO DE REACTORES NO ISOTÉRMICOS EN ESTADO ESTACIONARIO:REACTOR TUBULAR Y DE MEZCLA COMPLETA

24.- La reacción irreversible exotérmica BA k→ ,se lleva a cabo en un reactor de mezcla completa de laempresa QUIMOCA (Químicos Morichal C.A.). La reacción es de primer orden, con respecto al reactante A, y tieneun calor de reacción dado por -∆HR = - 30.000 Btu/Lbmol, basado en el reactante A. Las pérdidas de calor seconsideran despreciables y la densidad es constante. El reactor consta de una chaqueta de enfriamiento, la cualemplea como refrigerante agua que entra a una temperatura de 530 R y a un caudal de 49,9 pie3/h. El nivel de líquidoen el reactor permanece constante, al igual que el nivel de agua en la chaqueta. La constante de velocidadespecífica, está dada como una función de la temperatura de acuerdo a la ecuación:

RTE

ek−

= αLa rata de flujo de alimentación al reactor y el flujo de agua de enfriamiento son constantes. La tasa de

transferencia de calor desde el reactor hacia la chaqueta se determina mediante la ecuación:( )jTTUAQ −=

De donde:

Q: Rata de transferencia de calor, Btu/h.U: Coeficiente global de transferencia de calor, Btu/h.pie2.RA: Área de transferencia de calor, pie2.

Como información adicional se tiene:

Parámetro Valor Parámetro Valorν0 40 pie3/h E 30.000 Btu/lbmolCA0 0,55 Lbmol/pie3 U 150 Btu/h.pie2.RV 48 pie3 TW0 530 RCpA = CpB 0,75 Btu/lbmol.R TW 530 Rα 7,08x1010 h-1 CpW 1 Btu/lbmol.Rρ 50 lb/pie3 ρW 62,3 lb/pie3

R 1,9872 Btu/lbmol.R VW 12 pie3

A 250 pie2

Se solicita a dos estudiantes del curso de Ingeniería Química, que realizan sus pasantías allí, presentar enun informe lo siguiente:

1. Balance molar y balance de energía para el reactor.2. Balance de energía para la chaqueta de enfriamiento.3. Resolver el sistema de ecuaciones obtenido para el rango (500 – 800) R , e indicar los estados

estacionarios que se pueden alcanzar.


SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Balance molar y de energía en un reactor de mezcla completa enchaquetado para una reacción exotérmica.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistema de ecuaciones no lineales y conversión de un sistema deecuaciones a una ecuación para determinar múltiples estados estacionarios.

1.- Balance molar y balance de energía para el reactor.

Balance molar:( ) 0VrFF AA0A =−−− (I)

entonces en términos de concentración:( ) 0kCCC AA0A0 =−−ν (II)

Balance de energía:

De acuerdo a al primera ley de la termodinámica:

( ) ( )[ ]( ) ( )∑=

−=−−+−−n

1i

0iPii0AARPRRX

.

S

.

TTCFVrTTCTºHWQ Θ∆∆ (III)

Luego, el calor generado en el reactor se determina por:

( )TaTUAQ.

−= (IV)

Nota: El término .

SW , implica el trabajo realizado por un agitador para el caso de un reactor de mezclacompleta o de una turbina considerando un reactor de flujo en pistón. En la mayoría de los casos, estetérmino puede ser despreciado, pero solo si este trabajo se considera insignificante.

Y recordando que los calores específicos son iguales se tiene la siguiente expresión para el balance deenergía en el reactor:

( ) ( )[ ] ( )∑=

−=−−n

1i

0iPA0AARRX TTCFVkCTºHTaTUA ∆ (V)

2.- Balance de energía para la chaqueta de enfriamiento.

El calor que se genera en reactor de acuerdo a la ecuación IV, es igual al retirado mediante enfriamiento yse determina por la siguiente ecuación:

TCpmQ..

∆= (VI)

3.- Resolver el sistema de ecuaciones obtenido, para el rango (500 – 800) R , e indicar los estadosestacionarios que se pueden alcanzar.

Tomando las ecuaciones: II, III, IV, V y VI, realizando las sustituciones adecuadas, se obtiene el siguientesistema de ecuaciones.

( ) ( ) ( )[ ] ( )00AARRXw TTCpVkCTºHTTUATf −−−−= νρ∆ (VII) Esta ecuación se trabajará así para aplicar

la técnica de resolución de ecuaciones no lineales con POLYMATH®.

UACpUATTCp

Twww

0wwwww

−−=

νρνρ

(VIII)

+=

−RT

EA0

0A0A

eV

CC

αν

ν (IX)

Al resolver se obtiene:SoluciónParámetros

1 2 3Temperatura de salida del reactor, T (R) 538,84 583,51 685,21Concentración de A, a la salida del reactor, CA (lbmol/pie3) 0,6239 0,4419 0,02756Temperatura del Agua a la salida de la chaqueta, Tw (R) 539,65 588,35 699,23


Se puede observar que se alcanzan tres estados estacionarios, denotados por las tres intersecciones de lacurva generada por la ecuación VIII, para el rango de temperaturas estudiado.

25.- La reacción gaseosa elemental CA2 ↔ , se efectúa en un reactor de lecho empacado, el reactorintercambia calor con el medio circundante y existe caída de presión a lo largo del mismo. Se solicita de sus servicioscomo Ingeniero de procesos, para conocer lo siguiente:

1. Comportamiento de la conversión, presión, temperatura, perfil de concentración de A y de C a lolargo del reactor, sabiendo que el mismo está empacado con 20 kg de catalizador.

Como información adicional se tiene:

Parámetro Valor Parámetro ValorCPA 40 J/mol.K R 8,314 J/mol.KCPC 80 J/mol.K FA0 5 mol/min∆HR - 40.000 J/mol Ua 0,8 J/kg.min.KEA 41.000 J/mol.K Ta 500 Kk T = 450 K 0,5 dm6/kg de cat.min.mol α 0,015 kg-1

K T = 450 K 25.000 dm3/mol P0 10 atmCA0 0,271 mol/dm3 yA0 1T0 450 K ρb 1


SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Diseño de de un reactor de lecho empacado, para una reacción exotérmica reversible en fase gaseosaconsiderando caída de presión.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistema de ecuaciones diferenciales.

1.- Comportamiento de la conversión, presión, temperatura, perfil de concentración de A y de C a lo largo delreactor.

1.1.- Balance molar:Como existe caída de presión y transferencia de calor entre el reactor y el medio circundante, se empleará laforma diferencial

( )0A

A

Fdwdx γ−= (I) ( )

−=−

KeC

CkC2

AAγ (II)

Las concentraciones de A y C, respectivamente se determinan de la siguiente manera:


Especie Entrada SalidaA FA0 FA0(1-x)C - ½ FA0x

Entonces: ( ) ( )x1Fxy5,01FF 0t0A0tt ε+=−= , Ft0 = FA0 y como se alimenta A puro yA0 = 1; entonces

( ) ( )x1Fx5,01FF 0t0At ε+=−= (III)Como existe caída de presión y la operación es no isotérmica se tiene que la concentración de cualquierespecie es:

TT

PP

FF

CC0

0t

i0ti = (IV); luego 0A

0

0A

0

0t0t C

FFC ===

νν (V)

0PP

y = (VI)

Tomando las ecuaciones III, V, VI y las condiciones a la salida de la tabla estequeométrica y sustituyendo enla ecuación IV se obtiene las concentraciones de las especies A y C en función de la conversión, caída depresión y temperatura.

( )( ) T

Tx2x1

yC2C0

0AA−−= (VII) ( ) T

Tx2

xyCC

00AC

−= (VIII)

para obtener la ecuación de balance molar completa, se requieren las ecuaciones de las constantes develocidad especifica k y constante de equilibrio respectivamente en función de la temperatura, entonces setiene que:

Constante de velocidad de reacción especifica (reacción directa):

Aplicando la ecuación de Arrhenius:

( ) ( ) T314,841800

4501

T1

REA

K450 e35577TkekTk−

−−

=⇒= (IX)Constante de equilibrio:

Aplicando la ecuación de Van’t Hoff:

( ) ( ) T314,840000

4501

T1

RHR

K450 e569,0TKeeKeTKe =⇒=

−−

∆

(X)

1.2.- Balance de energía:

( ) ( )[ ]( ) ( )∑=

∼−=−−+−−

n

1i

0i

`

Pii0AARPRRX

.

S

.

TTCFVrTTCTºHWQ Θ∆∆ (XI)

derivando en función del volumen para conocer el comportamiento de la temperatura a lo largo del reactor:


( ) ( )[ ]( )dVdT

CxCFrTTCTºHdV

QdP

n

1i

Pii0AARPRRX

.

+=−−+− ∑

=∆Θ∆∆ (XII)

Para un reactor tubular

( )TTaUadV

Qd.

−= (XIII)

de donde a, es el área de intercambio por unidad de volumen. Para un reactor tubular de diámetro D. apuede determinarse por : D/4a = , es necesario expresar la ecuación X en función de la masa decatalizador, entonces al dividir entre la densidad volumétrica del catalizador ρb,:

( )TTaUa

dVQd

bb

.

−=ρρ

(XIV) y recordando que dVdw bρ= (XV), se obtiene: ( )TTaUa

dwQd

b

.

−=ρ

(XVI)

entonces la ecuación de balance de energía será:

( )( ) ( )( )( )

−−+−=

∑=

n

1i

Pii0A

ARRXb

CF

rTºHTTa/UadwdT

Θ

∆ρ (XVII)

1.3.- Caída de presión:

La caída de presión de acuerdo a la ecuación de Ergun, para una operación no isotérmica es:

0t

t

00

0

FF

TT

PPP

2dwdP α−= (XIX)

sustituyendo en la ecuación anterior la ecuación III, VI y recordando que Ft0 = FA0, se obtiene:

( )0T

Ty4

x2dwdy −−= α

(XX)

El sistema de ecuaciones diferenciales a resolver será:

( )0A

A

Fdwdx γ−= ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

−

−

−−

=−

−−

−−

4501

T1

RHR

K450

00A2

00A

4501

T1

REA

K450A

eKe

TT

x2x

yC

TT

x2x1

yC2ek'∆

γ

( )0T

Ty4

x2dwdy −−= α

( )( ) ( )( )( )

A0A

ARRXb

CpFrTºHTTa/Ua

dwdT −−+−= ∆ρ

Sustituyendo los siguientes parámetros en el sistema de ecuaciones diferenciales anteriorParámetro Valor Parámetro Valor

CPA 40 J/mol.K R 8,314 J/mol.KCPC 80 J/mol.K FA0 5 mol/min∆HR - 40.000 J/mol Ua 0,8 J/kg.min.dm3.KEA 41.000 J/mol.K Ta 500 Kk T = 450 K 0,5 dm6/kg de cat.min.mol α 0,015 kg-1

K T = 450 K 25.000 dm3/mol P0 10 atmCA0 0,271 mol/dm3 yA0 1T0 450 K ρb 1 kg/dm3


Se obtiene:

( ) ( )( ) ( )

−−

−−=

−

Tex2

yx32,214Tx2

x1y244e4,7115

dwdx

T2,4811

2

T5028

(1)

( )y

Tx210x334,8dwdy 6 −−=

−

(2)

( ) ( ) ( )( ) ( )

−−

−−+−=

−−

Tex2

yx32,214Tx2

x1y244e10x12,7T50010x4

dwdT

T2,4811

2

T502863

Resolviendo mediante POLYMATH®.

Wcat, (kg) x y T, (K) CA, (mol/dm3) CC, (mol/dm3) P, (atm)0.0 0.0000 1.0000 450.00 0.2711 0.0000 10.0002.6 0.0232 0.9799 473.57 0.2531 0.0043 9.8313.4 0.0325 0.9735 482.97 0.2457 0.0061 9.7674.2 0.0433 0.9669 493.88 0.2378 0.0082 9.7025.8 0.0718 0.9532 522.29 0.2196 0.0131 9.5676.6 0.0911 0.9461 541.56 0.2089 0.0161 9.4977.4 0.1161 0.9386 566.34 0.1966 0.0198 9.4248.2 0.1496 0.9309 599.61 0.1823 0.0242 9.3489.8 0.2690 0.9140 718.17 0.1439 0.0375 9.184

10.6 0.3803 0.9045 828.61 0.1175 0.0480 9.09411.4 0.5298 0.8942 976.93 0.0864 0.0625 8.99512.2 0.6540 0.8832 1099.48 0.0592 0.0780 8.88713.0 0.7082 0.8719 1151.74 0.0451 0.0870 8.77614.6 0.7266 0.8489 1165.92 0.0386 0.0894 8.54715.4 0.7272 0.8371 1164.35 0.0379 0.0886 8.43016.2 0.7270 0.8253 1162.09 0.0374 0.0875 8.31217.0 0.7267 0.8132 1159.63 0.0369 0.0864 8.19318.6 0.7258 0.7887 1154.56 0.0361 0.0840 7.94919.4 0.7254 0.7762 1151.98 0.0356 0.0828 7.82520.0 0.7250 0.7667 1150.03 0.0351 0.0812 7.667


De manera gráfica:

Perfil de concentraciones

Perfil de Temperatura:


Perfil de conversión de A:

Perfil de presión reducida, y (P/P0):


Caída de presión:

26.- La reacción entre el tiosulfato de sodio (A) y el peróxido de hidrógeno (B), en solución acuosa diluida esirreversible y de segundo orden respecto al tiosulfato.

OH2SONa21OSNa21OH2OSNa 24263222322 ++→+La constante especifica de velocidad está dada por :

T920911e10x85,6k

−= L/mol.s

La misma se planea efectuarla, de forma adiabática, en un reactor de mezcla completa experimental de unaprestigiosa empresa petroquímica de Venezuela, bajo las siguientes condiciones:

Condiciones ValorVolumen, V, (L) 2,79Temperatura inicial, T0 (K) 298Caudal volumétrico, ν0, (L/s) 0,0142Concentración inicial de A, CA0, (mol/L) 0,204Concentración inicial de B, CB0, (mol/L) 0,408

De acuerdo a trabajos anteriores, la cinética de la reacción tiene dos propuestas que se citan a continuación:

Investigadores Año CinéticaCohen y Spencer 1962 ( ) BAA CkC=−γKearns y Manning 1969 ( ) 0

B2

AA CkC=− γ

Basado en estas dos propuestas, se ha pedido a los técnicos reportar lo siguiente:

1. Deducir las ecuaciones necesarias para determinar la conversión y la Temperatura a la salida delreactor.

2. Conversión y la Temperatura, que se esperan a la salida del reactor.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de la conversión y temperatura a la salida de un reactor de mezcla completa operado deforma adiabática.


Métodos numéricos a ser aplicados: Sistema de ecuaciones diferenciales, para resolución de unaecuación no lineal.

1.- Deducción las ecuaciones necesarias para determinar la conversión y la Temperatura a la salida delreactor.

Balance molar:

Cohen y Spencer Kearns y Manning( ) BAA CkC=−γ ( ) 0

B2

AA CkC=− γ( )BM0AA x1CC −= ( )BM0AB x1C2C −= ( )[ ]2BM0AA x1CC −=

T920911e10x85,6k

−= T

920911e10x85,6k−

=( ) 0VxkC2xVkC4VkC2 2

BM0ABM0A00A =−++− ν ( ) 0VxkCxVkC2VkC 2BM0ABM0A00A =−++− ν

( ) ( )0A

0A0ABM

Ck4

Ck81Ck41x

θθθ +−+

= (I.a)( ) ( )

0A

0A0ABM

Ck2

Ck41Ck21x

θθθ +−+

= (I.b)

Recordando que θ, es el tiempo de residencia.


La operación es adiabática y considerando el trabajo de agitación despreciable, por tanto la ecuación debalance de energía es:

( ) ( )[ ]( ) ( )∑=

∼−=−−+−

n

1i

0i

`

Pii0AARPRRX TTCFVrTTCTºH Θ∆∆ (II)

Luego, como no se suministran datos de las capacidades caloríficas de las especies involucradas y como setrabaja con una solución acuosa, la cual constituye un caso especial e importante, se empleara solo el Cpdel Agua. Entonces la ecuación del balance de energía es:

( )[ ] ( )0iPwBERRX TTCxTºH −=− ∆ (III)Despejando la conversión:

( )( )RRX

0iPwBE

TºHTTC

x∆−

−= (IV)

Así se obtienen las siguientes expresiones del balance molar y energía, en función de la temperatura:

Cohen y Spencer Kearns y Manning

( ) ( )0A

0A0ABM

Ck4

Ck81Ck41x

θθθ +−+

= (I.a)( ) ( )

0A

0A0ABM

Ck2

Ck41Ck21x

θθθ +−+

= (I.b)

( )( )RRX

0iPwBE

TºHTTC

x∆−

−= (IV)( )

( )RRX

0iPwBE

TºHTTC

x∆−

−= (IV)

2.- Conversión y la Temperatura, que se esperan a la salida del reactor:

Para determinar la conversión y la temperatura en el efluente del reactor, se pueden emplear el métodográfico o solución analítica de los sistemas de ecuaciones antes señaladas.

En el método gráfico, se procederá de la siguiente manera:

1. Graficar la conversión del balance molar xBM y la conversión del balance de energía xBE, en funciónde la temperatura absoluta, en este caso K.

2. Determinar el punto de cruce de las dos curvas y leer la conversión y la temperatura.


Entonces resolviendo gráficamente mediante POLYMATH®.:

Propuesta de Cohen y Spencer, 1962:

T, (K) xBM xBE

298 0.507 0.000883 1.000 0.0801175 1.000 0.1211467 1.000 0.1612051 1.000 0.2412344 1.000 0.2812636 1.000 0.3222928 1.000 0.3623512 1.000 0.4423804 1.000 0.4824096 1.000 0.5224388 1.000 0.5634972 1.000 0.6435264 1.000 0.6835556 1.000 0.7235849 1.000 0.7646433 1.000 0.8446725 1.000 0.8847017 1.000 0.9247309 1.000 0.9647600 1.000 1.004


Propuesta de Kearns y Manning, 1969:

T, (K) xBM xBE

298 0.389 0.000883 1.000 0.0801175 1.000 0.1211467 1.000 0.1612051 1.000 0.2412344 1.000 0.2812636 1.000 0.3222928 1.000 0.3623512 1.000 0.4423804 1.000 0.4824096 1.000 0.5224388 1.000 0.5634972 1.000 0.6435264 1.000 0.6835556 1.000 0.7235849 1.000 0.7646433 1.000 0.8446725 1.000 0.8847017 1.000 0.9247309 1.000 0.9647600 1.000 1.004

Los valores obtenidos son T = 7600 K y x = 1. El valor de temperatura es bastante elevado, esto se debe aque el calor de reacción es alto. Se sugiere realizar un estudio más detallado de esta reacción en particular,mediante el análisis de las capacidades caloríficas, con la finalidad de verificar la factibilidad de que estareacción sea reversible a medida que se incrementa la temperatura.4

4 Consulta en línea hecha por el autor a Scott Fogler; Vennema Professor of Chemical Engineering; University of Michigan; AnnArbor MI 48109-2136; Phone: 734/763-1361; FAX: 734/763-0459; E-mail: [email protected]


27.- Se ha planteado producir un refrigerante, partiendo de reaccionar una especie química A clorada conBicarbonato de Sodio a 350 K, de acuerdo a la siguiente reacción:

23 CONaClAOHNaHCOACl ++→+

En el proceso se planteó emplear un reactor de mezcla completa, al cual se alimentará una solución de ACla una rata de alimentación de 0,1 mol/min, con una concentración de 1,5 mol/L y una temperatura de 298 K. Elvolumen debe mantenerse en 2500. Se ha solicitado al equipo de Ingeniería de procesos de dicha planta, dirigido porUd. determinar lo siguiente.

1. Conversión y concentración del la especie ACl a la salida del reactor.2. Temperatura requerida del medio de transferencia de calor, para mantener la temperatura de

reacción en 350 K, sabiendo que el término asociado a la rata de transferencia de calor100CFUA PA = .

Como información adicional, se tiene:

� Cinética de Pseudo primer orden: ( ) AA kCr =− ,donde CA, es la concentración de la especie ACl.

� T3010

e85k−

= , L/mol.s, con T en K.� Suponga que los calores específicos son iguales.� -∆HR = - 13.100 Cal/mol.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de la conversión y temperatura a la salida de un reactor de mezcla completa con sistema deenfriamiento.

Métodos numéricos a ser aplicados: Sistema de ecuaciones no lineales.

1.- Balance molar y balance de energía para el reactor.

Balance molar:( ) 0VrFF AA0A =−−− (I)

entonces en términos de concentración:( ) 0kVCC A0A0 =+− νν (II)

En términos de conversión:( )( ) 0kVX1CC A0A0A0 =+−− νν (III)


De acuerdo a al primera ley de la termodinámica:

( ) ( )[ ]( ) ( )∑=

−=−−+−−n

1i

0iPii0AARPRRX.S

.TTCFVrTTCTºHWQ Θ∆∆ (IV)

Luego recordando que los calores específicos son iguales se tiene la siguiente expresión para el balance deenergía en el reactor:

( ) ( )[ ] ( )∑=

−=−−n

1i

0iPA0AARRX TTCFVkCTºHTaTUA ∆ (V)

Entonces reacomodando se obtiene:

( ) ( )[ ] ( )0iARRXA0A

TTVkCTºHTaTCpF

UA −=−− ∆ (VI)

Al resolver las ecuaciones II, III y VI, se obtiene:

Concentración, CA (mol/L) 0,0038243Conversión, XA 0,837Temperatura de medio refrigerante, (K) 369,08


28.- En una refinería de la empresa REFIVEN (Refinados Venezolanos), se está considerando realizar laconstrucción de un reactor de flujo en pistón, para deshidrogenar un hidrocarburo, siguiendo la reacción en fasegaseosa.

26X8X HHCHC +→La alimentación estará formada por vapor y el hidrocarburo puro cuyas fracciones molares son 0.9 y 0,1

respectivamente, para una carga total de 100 lbmol/h, a una presión de 2 atm y una temperatura de 1660 R. Lacinética es de primer orden y la constante de velocidad de reacción está dada por la ecuación:

T3966014 e10x3628,1k

−= , T en R

Para las condiciones de operación, el calor de reacción puede ser considerado constante e igual a23086,09 Btu/lbmol. El Cp (Cp0) de la mezcla en la corriente de alimentación también puede ser consideradoconstante e igual a 10,73 Btu/lbmol.R, la constante de los gases ideales 0,7302 pie3.atm/lbmol.R. Se ha encargado aUd, determinar lo siguiente:

1. Conversión y Temperatura en función del volumen del reactor, si el reactor opera adiabáticamente,y el volumen del mismo es 400 pie3.

2. Volumen del reactor para una conversión del 15 y 20 % del hidrocarburo.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de la conversión y temperatura a la salida de un reactor de mezcla completa operado deforma adiabática, para un volumen dado.


1.- Conversión y Temperatura en función del volumen del reactor, para operación adiabática.

Balance molar:

Aplicando tabla estequeométrica:Especie Entrada Salida

A FA0 FA0(1-x)B - FA0xC - FA0xI FI0 FI0

Entonces: ( ) ( )x1Fxy1FF 0t0A0tt ε+=+= , Ft0 = FA0 + FI0 entonces yA0 = 0,1

Luego

( ) ( )x1Fx1,01FF 0t0At ε+=+= (III)

Como no existe caída de presión y la operación es no isotérmica se tiene que la concentración de cualquierespecie es:

TT

FF

CC0

t

i0ti = (IV); luego

0

00t

RTP

C = (V) ( )

( )x1,01Ftx1F

FF

y0

0A

t

IA

+−== (VI)

Tomando las ecuaciones III, V, VI y las condiciones a la salida de la tabla estequeométrica y sustituyendo enla ecuación IV se obtiene la concentración de la especie A en función de la conversión y temperatura.

( )( )

+−=

T1

x1,01x1

RyP

C0A0

A (VII)

Entonces la expresión del balance molar será:

( )( )

0A

0A0T

3966014

F

T1

x1,01x1

RyP

e10x3628,1

dVdx

+−

=

−

(VIII)

Balance de energía:Para la operación adiabática, la ecuación de balance de energía es:


( ) ( )( )( )

+

−−+−=

∑=

P

n

1i

Pii0A

ARPRRX

CxCF

rTTCTºHdVdT

∆Θ

∆∆ (IX)

Tomando en cuenta las consideraciones para el calor de reacción y el Cp, se obtiene:

( )( )( )0P0A

ARRX

CFTºH

dVdT γ∆ −−= (X)

Así al realizar las sustituciones de los parámetros:

( )( )

+−

−=−

T1

x1,01x1

RyP

e10x932,2dVdT 0A0T

3966016 (XI)

Al resolver simultáneamente las ecuaciones mediante POLYMATH®.:

( )( )

0A

0A0T

3966014

F

T1

x1,01x1

RyP

e10x3628,1

dVdx

+−

=

−

(VIII)

( )( )

+−

−=−

T1

x1,01x1

RyP

e10x932,2dVdT 0A0T

3966016 (XI)

para un volumen de 400 pie3, se obtiene:

Perfil de Temperatura:


Perfil de conversión:


V, (pie3) x T, (K)0 0.000 1660.0054 0.142 1353.6870 0.148 1340.5786 0.153 1330.40

102 0.157 1322.11134 0.163 1309.10150 0.166 1303.81166 0.168 1299.09182 0.170 1294.85214 0.173 1287.45230 0.175 1284.18246 0.176 1281.16262 0.177 1278.34294 0.180 1273.21310 0.181 1270.87326 0.182 1268.65342 0.183 1266.55374 0.185 1262.65390 0.186 1260.83400 0.186 1259.68

2.- Volumen del reactor para una conversión del 15 y 20 % del hidrocarburo

Al integrar la expresión de la Temperatura, ecuación X, se tiene:( )( )

0P

RRX

CTºHx

0TT∆−+= (XII)


Y reacomodando la ecuación VIII

( )( )

+−

=

−

T1

x1,01x1

RyP

e10x3628,1

FdxdV

0A0T3966014

0A (XIII)

Entonces el volumen para las conversiones de 15 % y 20 % respectivamente del hidrocarburo será:



Conversión del 15% Conversión del 20%x V, (pie3) T, (K) x V, (pie3) T, (K)

0.000 0.00 1660.00 0.000 0.00 1660.000.029 0.50 1597.91 0.025 0.40 1606.210.035 0.67 1585.00 0.033 0.62 1589.000.041 0.89 1572.09 0.041 0.90 1571.790.047 1.16 1559.19 0.057 1.75 1537.360.053 1.48 1546.28 0.065 2.41 1520.150.059 1.89 1533.37 0.073 3.28 1502.940.065 2.39 1520.46 0.081 4.46 1485.720.071 3.02 1507.55 0.097 8.26 1451.300.077 3.80 1494.64 0.105 11.29 1434.090.083 4.79 1481.73 0.113 15.51 1416.880.095 7.60 1455.91 0.121 21.42 1399.660.101 9.60 1443.00 0.137 41.71 1365.240.107 12.15 1430.09 0.144 56.28 1350.250.113 15.42 1417.18 0.150 73.61 1337.080.125 25.09 1391.37 0.160 117.35 1314.790.131 32.18 1378.46 0.173 210.83 1287.810.137 41.45 1365.55 0.181 310.43 1270.600.143 53.63 1352.64 0.192 532.14 1247.390.150 73.32 1338.25 0.200 813.91 1231.92

Entonces para 15 % y 20% de conversión el volumen será 73,32 y 813,91 pie3 respectivamente.

CAPITULO VI

DISEÑO DE REACTORES NO ISOTERMICOS:REACTORES OR CARGA, SEMI - CONTINUOS Y MEZCLA

COMPLETA

Este capitulo, se concentra en los reactores que operan de manera no isotérmica, se estudia el diseño del

reactor por carga, semi – continuo y de mezcla completa, considerando la operación en estado no estacionario. Para

el diseño de este tipo de reactor se hace la deducción y manejo de la ecuación de balance de energía, para ser

aplicado a los tipos de reactores antes mencionados.

CAPITULO VI. DISEÑO DE REACTORES NO ISOTERMICOS. POR CARGA, SEMI – CONTINUO Y MEZCLA COMPLETA 86

DISEÑO DE REACTORES NO ISOTÉRMICOS EN ESTADO NO ESTACIONARIO:REACTORES SEMI CONTINUOS, REACTOR POR CARGA Y REACTORES DE MEZCLA COMPLETA

29.- La siguiente reacción: 21034SO2H

263 OHCOHOHC →+ , se llevará a cabo en un reactor de mezclacompleta de la empresa Consorcio Químico Portuguesa. Inicialmente el reactor contiene agua a 580 R con ácidosulfúrico al 0,1 % en peso, el volumen del reactor es de 1000 galones (133,67 pie3). La alimentación está compuestapor 47% de óxido de propileno (A), 23% de metanol (M) y 30 % de agua y se bombea al reactor a una rata de 7pie3/min, a una temperatura de 560 R, para un flujo molar de 300 lbmol/h.

El estudio realizado por un estudiante de Ingeniería química durante el período de pasantías, sugiere el usode un serpentín por el cual circulará agua a una velocidad tal que, la temperatura dentro del reactor, se mantenga en540 R. La empresa ha contratado recientemente a los Ingenieros Carlos Pardo y Simón Rodríguez para eldepartamento de Ingeniería de Procesos dirigido por el Ing. Pedro Luis Castillo, quién les ha encomendado realizar laevaluación de la factibilidad de realizar esta operación. Considerando la operación en estado no estacionario alarranque de la operación, se requiere conocer:

1. Perfiles de concentración, conversión y temperatura en función del tiempo.

Para esta evaluación, se debe considerar que el calor de mezclado es despreciable y los siguientesparámetros:

Parámetro ValorUA, (Btu/h.R) 3028∆HR, (Btu/lbmol) -36624Constante de velocidad, h-1 ( )T

1630612 e10x96,16k−=

Cinética de reacción ( ) AA kC=−γ

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Balance molar y de energía en un reactor de mezcla completa en estado transitorio.


1.- Perfiles de concentración, conversión y temperatura en función del tiempo.

1.1.-Concentración:

Haciendo uso de la ecuación de balance molar para cada especie, se tiene:


Especie Condición inicial Ecuación

ACAi = 0 ( )

AA0A0A

kCV

CCdt

dC −−= ν (I)

BCBi = 2,15 lbmol/pie3 ( )

AB0B0B

kCV

CCdt

dC −−= ν (II)

CCCi = 0

AC0C

kCVC

dtdC +−= ν

(III)

MCMi = 0 ( )

VCC

dtdC M0M0M −= ν

(IV)

1.2.- Temperatura:

La ecuación de balance de energía para una operación transitoria es:

( ) ( )( )( )

∑

∑

=

=−−+−+−−−

=n

1i

Pii

ARPRX

n

1i

0iPii0A

..

CN

VTTCºHTTCFWsQ

dtdT

γ∆∆θ (V)

Ya que la reacción es en fase líquida, el ∆Cp es pequeño por lo que puede aproximarse a cero y puedesuponerse que el calor de reacción es constante, por otro lado el calor generado por el trabajo de agitaciónes pequeño por lo que el término Ws, puede ser considerado no significativo.

( ) ( )( )

∑

∑

=

=−−+−−−

=n

1i

Pii

ARX

n

1i

0iPii0A

CN

VºHTTCF)TTa(UA

dtdT

γ∆θ (VI)

Luego:

PM0A

0MPC

0A

0CPB

0A

0BPAPM

0A

0MPC

0A

0CPB

0A

0BPA

n

1i

Pii Cyy

Cyy

Cyy

CCFF

CFF

CFF

CC +++=+++=∑=

θ (VII)

donde yi0 es la fracción molar, de la especie i a la entrada.

( )VCCCCCCCCCNCNCNCNCN PMMPCCPBBPAAPMMPCCPBBPAA

n

1i

Pii +++=++= +=∑ (VIII)

1.3.- Conversión de A:

( )Vx

x1kdt

dx A0A

A ν−−= (IX)

Tomando las ecuaciones I, II, III, IV, VI, VII y VII; con los parámetros en las unidades adecuadas ytrabajando el tiempo en minutos, se obtiene resolviendo con POLYMATH®.




t, (min) CA, (lbmol/pie3) CB, (lbmol/pie3) CC, (lbmol/pie3) CM, (lbmol/pie3) T, (R) xA

0 0.0000 3.4300 0.0000 0.0000 580.00 0.000029 0.2055 0.8820 0.0548 0.1274 540.14 0.297138 0.2219 0.5830 0.0682 0.1420 539.74 0.294649 0.2311 0.3841 0.0786 0.1516 539.53 0.291468 0.2374 0.2164 0.0888 0.1596 539.39 0.287978 0.2386 0.1778 0.0914 0.1615 539.36 0.287087 0.2392 0.1544 0.0931 0.1626 539.35 0.286497 0.2395 0.1402 0.0941 0.1633 539.34 0.2861

116 0.2397 0.1264 0.0952 0.1639 539.34 0.2858126 0.2398 0.1232 0.0955 0.1641 539.34 0.2857135 0.2398 0.1213 0.0956 0.1641 539.33 0.2857145 0.2398 0.1202 0.0957 0.1642 539.33 0.2857164 0.2398 0.1190 0.0958 0.1643 539.33 0.2857174 0.2398 0.1188 0.0959 0.1643 539.33 0.2856183 0.2398 0.1186 0.0959 0.1643 539.33 0.2856193 0.2398 0.1185 0.0959 0.1643 539.33 0.2856212 0.2398 0.1184 0.0959 0.1643 539.33 0.2856222 0.2398 0.1184 0.0959 0.1643 539.33 0.2856231 0.2398 0.1184 0.0959 0.1643 539.33 0.2856240 0.2398 0.1184 0.0959 0.1643 539.33 0.2856

30.- En un examen de admisión de una empresa de lubricantes se planteó el siguiente ejercicio: En unreactor por carga que opera adiabáticamente y a volumen constante se efectúa la siguiente reacción: CBA →+ , laexpresión de la ley de velocidad es:

( ) C221

B21

A1A CkCCk −=− γLa temperatura de entrada es de 373 K. Grafique la conversión y las concentraciones de las especies en

función del tiempo, sabiendo que:k1 373K, min-1 0,12 E1, kJ/mol 10k2 373K, min-1 1,8x10-3 E2, kJ/mol 15CA0, (mol/L) 0,1 Cp A, J/mol.K 25CB0, (mol/L) 0,125 Cp B, J/mol.K 25∆HºRX 298K, J/mol -40000 Cp C, J/mol.K 40

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Balance molar y de energía en un reactor por carga en estado transitorio.


1.- Conversión:

Balance molar: Como el volumen es constante entonces:( ) ( )

0A

A

0A

A

CNV

dtdx γγ −=−= (I) ( )x1CC 0AA −= (II) ( ) ( )x1C4

5C 0AB −= (III) xCC 0AC = (IV)

entonces:

( )2

xkx1k5dtdx 21 −−= (V)

2.- Concentraciones:

C221

B21

A1CBA

CkCCkdt

dCdt

dCdt

dC −==−=− (VI), (VII) y (VIII)

El lector podrá darse cuenta, que para este caso particular, no es necesario escribir estas ecuacionesdiferenciales ya que las ecuaciones II, III y IV, permiten conocer las concentraciones en función del tiempomediante la determinación de la conversión. No obstante para fines de empleo del revolvedor de ecuacionesdiferenciales se trabajará con dichas ecuaciones.


3.- Temperatura:Como se opera adiabáticamente y en estado no estacionario:

( )( )( )

∑=

−−+−=n

1i

Pii

ARPRX

CN

VTTCºHdtdT γ∆∆

(IX)

Entonces:Nótese que los coeficientes estequeométricos son iguales a 1por lo tanto

( ) ( )PCPBPA0APCCPBBPA0A

n

1i

Pii0A

n

1i

Pii CCCNCCCNCNCN ++=++== ∑∑==

ΘΘΘ (X)

( )PBPAPCP CCCC −−=∆ (XI)Al reacomodar la ecuación IX

( )( )( )( )( )PCPBPA0A

ARPBPAPCRX

CCCCTTCCCºH

dtdT

++−−−−+−= γ∆

(XII)

trabajando el tiempo en minutos, se obtiene resolviendo con POLYMATH®.


t,(min) x T, (K) CA, (mol/L) CB,(mol/L) CC, (mol/L)0.00 0.000 742.44 0.100 0.125 0.000

19.52 0.841 733.19 0.050 0.075 0.05027.44 0.987 805.26 0.050 0.075 0.05036.03 1.001 812.47 0.050 0.075 0.05045.47 0.948 786.74 0.050 0.075 0.05054.03 0.936 781.46 0.050 0.075 0.05063.48 0.988 805.90 0.050 0.075 0.05072.02 0.998 810.52 0.050 0.075 0.05081.49 0.946 786.16 0.050 0.075 0.05090.01 0.939 782.81 0.050 0.075 0.05099.49 0.989 806.45 0.050 0.075 0.050109.04 0.942 784.34 0.050 0.075 0.050117.48 0.945 785.72 0.050 0.075 0.050127.03 0.993 808.13 0.050 0.075 0.050135.48 0.990 806.86 0.050 0.075 0.050145.02 0.942 784.42 0.050 0.075 0.050153.47 0.945 785.40 0.050 0.075 0.050163.01 0.993 808.03 0.050 0.075 0.050171.46 0.991 807.15 0.050 0.075 0.050180.00 0.989 797.28 0.050 0.075 0.050


31.- La empresa Z&Q, posee un reactor por carga enchaquetado, en donde se plantea realizar las siguientesreacciones en serie en fase líquida:

CBA 2kka →→Dichas reacciones requieren calentamiento y se ha propuesto emplear vapor de agua a 720 R. El volumen

es constante e igual a 50 pie3. Las reacciones siguen una cinética de 1er orden cuyas constantes especificas develocidad son:

T7550

1 e730k−

= y T10065

2 e6570k−

= min-1

Además se conoce que los calores de reacción son: ∆H1 = -40000 Btu/lbmol y ∆H2 = -50000 Btu/lbmolrespectivamente. El coeficiente de transferencia de calor U = 100 Btu/h.pie2.R y el área de transferencia de calor es57 pie2. El tanque se carga con A puro a una concentración de 0,8 lbmol/pie3 y una temperatura de 540 R. El Cp dela mezcla es de 1 Btu/lb.R y la densidad de la mezcla es de 50 lb/pie3. Se ha solicitado a la Ingeniero de planta lossiguiente:

1. Deducir las ecuaciones para determinar las variaciones de la concentración de las especies A y B yla temperatura en función del tiempo.

2. Graficar los perfiles de concentración de A, B y C y la temperatura para un tiempo de reacción de12 min.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Balance molar y de energía en un reactor de mezcla completa en estado transitorio para reaccionesmúltiples consecutivas.


1.- Deducción de las ecuaciones para determinar las variaciones de la concentración de las especies A y B yla temperatura en función del tiempo.

Balance molar:

( )AA

dtdC γ−−= (I) ( )B

B

dtdC γ−−= (II)

Ecuaciones de velocidad:

( ) AT7550

A1A Ce730Ck−

==− γ (III) ( ) BT10065

AT7550

B2A1B Ce6750Ce730CkCk−−

−=−=− γ (IV)

Combinando las ecuaciones I y III, II y IV, se obtiene:

AT7550A

Ce730dt

dC −−= (V) y

−−=

−−BT

10065AT

7550BCe6750Ce730

dtdC

(VI)


Para reacciones múltiples:

( )

∑∑=

−+−=

Pii

q

1i

ijRXij

..

CN

VHsWQ

dtdT

γ∆ (VII)

Considerando el trabajo de agitación ≅ 0 y haciendo las sustituciones adecuadas se obtiene:

( ) ( )( ) ( )( )[ ]MezclaPMezcla0A

B2RXA1RX

VCCVHHTTaUA

dtdT

ργ∆γ∆ −+−+−= (VIII)





t,(min) T, (R) CA, (lbmol/pie3) CB,( lbmol/pie3) CC, (lbmol/pie3)0.00 540.00 0.8000 0.0000 0.000031.56 713.92 0.4572 0.3159 0.026951.65 716.19 0.3123 0.4216 0.066164.76 717.32 0.2420 0.4606 0.097476.76 718.15 0.1910 0.4806 0.1284

100.76 719.31 0.1181 0.4880 0.1939112.76 719.71 0.0926 0.4804 0.2269124.76 720.00 0.0726 0.4680 0.2594136.76 720.22 0.0568 0.4520 0.2912160.76 720.48 0.0347 0.4140 0.3512172.76 720.56 0.0272 0.3936 0.3793184.76 720.60 0.0212 0.3729 0.4059196.76 720.63 0.0166 0.3523 0.4312220.76 720.63 0.0101 0.3125 0.4774232.76 720.62 0.0079 0.2936 0.4985244.76 720.60 0.0062 0.2755 0.5183256.76 720.58 0.0048 0.2583 0.5369280.76 720.53 0.0029 0.2265 0.5705292.76 720.50 0.0023 0.2119 0.5858300.00 720.49 0.0020 0.2036 0.5945

32.- La reacción en fase líquida DCBA2 +→+ , se lleva a cabo en un reactor semi continuo, cuyo volumenes 1,2 m3. Inicialmente el reactor contiene 5 mol de B, a una concentración de 0,015 kmol/m3, el reactante A seencuentra en solución acuosa a una concentración de 0,03 kmol/m3 y se alimenta al reactor a una rata de 4 dm3/min.La reacción es de primer orden con respecto a A y orden medio con respecto a B. La constante de velocidad enfunción de la temperatura está dada por:

( ) T6,4209

5 e10x19,8Tk−

=

La alimentación al reactor se suspende cuando el volumen es igual a 0,53 m3. Se solicita de sus serviciosprofesionales para entregar en un informe:

1. Gráficos de la concentración de las especies A y B, Temperatura y conversión de A y B en funciónde tiempo.

Considere el caso donde la temperatura varía en función del tiempo y se dispone de un intercambiador decalor cuyo UA = 1500 J/min.K y donde la temperatura del refrigerante (agua) varía a lo largo del mismo, la rata deflujo del refrigerante es de 1,2 kmol/h a una temperatura de 298 K. La temperatura inicial de operación es de 315 K.

Cpw = 75000 J/kmol.K.CpA = 170700 J/kmol.K,CpB = 46000 J/kmol.KCpC = 35000 J/kmol.KCpD = 32000 J/kmol.KCalor de reacción = -8,37x107 J/kmol

SOLUCIÓN


Determinación de las concentraciones de las especies reaccionantes, conversión, conversión de equilibrio,variación del volumen y temperatura en función del tiempo en un reactor semi continuo con corriente dealimentación sin retiro de producto.



1.- Gráficos de la concentración de las especies A y B, Volumen y conversión de A y B en función de tiempo.

Aplicando la ecuación de balance molar para la especie A, recordando que no existe línea de salida y sesupondrá que existe un mezclado perfecto, expresando la ecuación en términos de concentración se tiene:

( ) ( )dtdVC

dtVdC

V0Fdt

dNVFF

AAA0A

AAA0A +=−−−⇒=−−− γγ (I)

En este caso el reactor se está llenando y en consecuencia el volumen está variando en función del tiempo,entonces, el volumen del reactor en cualquier instante de tiempo se determinará mediante un balance demasa global de todas las especies, se supondrá que la densidad es constante:

( )000t0t

dtdV

dtdV

00dt

Vd0mm νρνρρ =⇒=−−⇒=−− (II)

Aplicando la ecuación de balance molar para la especie B (reactivo limitante)

( ) ( )dt

VdCV00

dtdN

VFFB

AB

AB0B =−−−⇒=−−− γγ (III)

La expresión de velocidad de reacción está dada por la ecuación:

( ) 21

BA1A CCk=− γ (IV)

Las conversiones de A y B están dadas por las ecuaciones:

00A

AA

VCVC

1x −= (V) y Bi

BBiB

NVCN

x−= (VI)

Balance de energía:La ecuación de balance de energía para una operación transitoria es:

( ) ( )( )( )

∑

∑

=

=−−+−+−−−

=n

1i

Pii

ARPRX

n

1i

0iPii0A

..

CN

VTTCºHTTCFWsQ

dtdT

γ∆∆θ (VII)

Luego como la temperatura del refrigerante varía a lo largo del intercambiador de calor:

( )

−−=

−

wCPwm

UA

0Pww

.. .

e1TTaCmQ (VIII)

Entonces el sistema de ecuaciones a resolver será:

( ) 21

BAA0A0A

CkCV

CCdt

dC −−= ν

00A

AA

VCVC

1x −=

21

BAB0B

CkCVC

dtdC −−= ν

Bi

BBiB

NVCN

x−=

0dtdV ν= ( ) T

6,42095 e10x19,8Tk

−=

( ) ( )( )

∑=

−−+−−=n

1i

Pii

ARX0iPA0A

.

CN

VºHTTCFQdtdT γ∆


( )

−−=

−

wCPwm

UA

0Pww

.. .

e1TTaCmQ



Tabla de resultados

t, (min) T, (K) CA, (kmol/m3) CB,(kmol/m3) CC, (kmol/m3) CD, (kmol/m3) xA xB

0.00 315.00 0.00000 0.01500 0.00000 0.00000 1.000 0.0006.27 294.89 0.00173 0.01358 0.00037 0.00037 0.938 0.0278.21 294.27 0.00211 0.01308 0.00058 0.00058 0.923 0.04210.42 293.70 0.00249 0.01249 0.00085 0.00085 0.907 0.06412.38 293.28 0.00278 0.01196 0.00110 0.00110 0.894 0.08416.30 292.63 0.00326 0.01090 0.00164 0.00164 0.870 0.13118.26 292.38 0.00347 0.01038 0.00192 0.00192 0.859 0.15620.22 292.17 0.00365 0.00987 0.00220 0.00220 0.849 0.18322.18 291.99 0.00382 0.00936 0.00248 0.00248 0.839 0.21026.10 291.72 0.00412 0.00839 0.00304 0.00304 0.820 0.26628.06 291.61 0.00425 0.00792 0.00331 0.00331 0.811 0.29530.02 291.53 0.00437 0.00746 0.00357 0.00357 0.802 0.32431.98 291.47 0.00449 0.00701 0.00383 0.00383 0.793 0.35435.90 291.39 0.00470 0.00615 0.00433 0.00433 0.776 0.41337.86 291.37 0.00480 0.00574 0.00457 0.00457 0.767 0.44339.82 291.37 0.00489 0.00534 0.00481 0.00481 0.759 0.47341.78 291.38 0.00499 0.00496 0.00503 0.00503 0.750 0.50345.70 291.44 0.00517 0.00423 0.00546 0.00546 0.733 0.56347.66 291.48 0.00526 0.00389 0.00566 0.00566 0.725 0.59349.00 291.52 0.00532 0.00366 0.00579 0.00579 0.721 0.605

CAPITULO VII

DESVIACIONES CON RESPECTO AL COMPORTAMIENTO IDEAL

Este capitulo, presenta un análisis del comportamiento real de un reactor , se parte de la premisa de no

todos los reactores de tanque están bien mezclados y que no todos los reactores tubulares, presentan flujo en pistón.

Se hace uso de los modelos de segregación total y de mezclado máximo, para determinar la conversión cuando no

se emplean parámetros ajustables y de los modelos de tanques en series y de dispersión cuando se conoce un

parámetro. Se emplea la distribución del tiempo de residencia conocida como DTR, cuya información permite evaluar

los parámetros del modelo seleccionado. El criterio para escoger un modelo, dependerá de la destreza ingenieríl de

la persona que esté realizando este tipo de análisis.

CAPITULO VIII. DESVIACIONES CON RESPECTO A COMPORTAMIENTO IDEAL DE UN REACTOR 100

DESVIACIONES CON RESPECTO AL COMPORTAMIENTO IDEAL DE UN REACTOR:DISTRIBUCIONES DE TIEMPOS DE RESIDENCIA (DTR), MODELOS PARA

PREDECIR CONVERSION EMPLEANDO DTR

OBTENCION DE LA DTR:

33.- En una práctica del laboratorio de operaciones unitarias, se efectuó una experiencia donde en lacorriente de alimentación de un reactor experimental, se inyectó un trazador a una temperatura de 577 R en forma depulso, seguido se procedió a medir su concentración en la corriente de salida como una función del tiempo y seobtuvo la siguiente tabla:

t, (min) C,(lb/pie3)0 0.001 6.24x10-5

2 3.12 x10-4

3 4.99 x10-4

4 6.24 x10-4

5 4.99 x10-4

6 3.74 x10-4

7 2.49 x10-4

8 1.87 x10-4

9 1.37 x10-4

10 9.36 x10-5

11 6.55 x10-5

12 3.74 x10-5

13 1.87 x10-5

14 0.00

Se requiere para el informe lo siguiente:

1. Graficar C(t) y E(t) en función del tiempo.2. Determinar la fracción de trazador que sale del reactor, cuyo tiempo dentro del reactor se este

dentro de los rangos de tiempo siguientes:a. (3-6) minutos.b. (7-8) minutos.c. (0-3) minutos.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Medición de la DTR de un reactor, a partir de la inyección de un trazador en forma de pulso.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de integrales impropias.

1.a.- Grafico de C(t) en función del tiempo.

Aquí bastará con construir el gráfico con los datos de C(t) y el tiempo, entonces se tiene que:


Gráfico de C(t) en función del tiempo:

0.00E+00

1.00E-04

2.00E-04

3.00E-04

4.00E-04

5.00E-04

6.00E-04

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo, t (min)

C(t

), (l

b/p

ie3 )

1.b.- Gráfico de E(t) en función del tiempo:

Se requiere determinar E(t), la misma se define como:

( ) ( )( )∫

∞=

0

dttC

tCtE (I)

El valor de la integral impropia es el área bajo la curva, por lo cual en este caso, puede determinarsenuméricamente así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n4...34221403h

dttCdxxdxx14

0

Xn

0X0


==ƒ=ƒ ∫∫∫

∞

(II)

donde el paso es:

NXXn

h0−= (III)

Al resolver mediante POLYMATH,


t, (min) E(t) (min -1)0 0.0001 0.0202 0.1003 0.1604 0.1995 0.1606 0.1207 0.0808 0.0609 0.044

10 0.03011 0.02112 0.01213 0.00614 0.000

Graficando

0.000

0.050

0.100

0.150

0.200

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo, t (min)

E(t

), (

min

-1)

2. Determinar la fracción de trazador que sale del reactor, cuyo tiempo dentro del reactor se este dentro delos rangos de tiempo siguientes:

a. (3-6) minutos.b. (7-8) minutos.c. (0-3) minutos.

Se procede a determinar el área bajo la curva para los intervalos de tiempo dados

(3-6) minutos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 509,03231308h3

dttEdxx6

3

Xn

0X

=ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

==ƒ ∫∫

(7-8) minutos:


Para este intervalo se emplea el valor medio, en virtud a lo pequeño del intervalo de tiempo con respecto ala escala de tiempo

( ) ( ) ( ) ( )035,0t

210

dttEdxx8

7

Xn

0X

=

ƒ+ƒ==ƒ ∫∫ ∆

(0-3) minutos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 194,03231308h3

dttEdxx3

0

Xn

0X

=ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

==ƒ ∫∫

La información que suministra la DTR, indica que el 50,9 % del trazador pasa de 3 a 6 minutos dentro delreactor; un 19,4 % 0 a 3 minutos y un 3,5 % de 7 a 8 minutos.

34.- Ahora el experimento anterior, se repite inyectando el trazador a una temperatura de 577 R en forma deescalón, seguido se procedió a medir su concentración en la corriente de salida como una función del tiempo y seobtuvo la siguiente tabla:

t, (min) C,(lb/pie3)0 0.005 0.1910 0.3115 0.3120 0.2525 0.1230 0.0635 0.00

Se requiere para el informe lo siguiente:

1. Graficar C(t) y E(t) en función del tiempo.2. Determinar la fracción de trazador que sale del reactor, cuyo tiempo dentro del reactor se este

dentro de los rangos de tiempo siguientes:a. (5-25) minutos.b. (30-35) minutos.c. (0-5) minutos.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Medición de la DTR de un reactor, a partir de la inyección de un trazador con función delta.


1.a.- Grafico de C(t) en función del tiempo.

Al igual que el ejercicio anterior se construye el gráfico con los datos de C(t) y el tiempo, entonces se tiene:


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

C(t

), (l

b/p

ie3 )

1.b.- Gráfico de E(t) en función del tiempo:

Se requiere determinar E(t), la misma se define como:

( ) ( )( )∫

∞=

0

dttC

tCtE (I)

El valor de la integral impropia es el área bajo la curva, por lo cual en este caso, puede determinarsenuméricamente así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n4...34221403h

dttCdxxdxx35

0

Xn

0X0


==ƒ=ƒ ∫∫∫

∞

(II)

donde el paso es:

NXXn

h0−= (III)

Al resolver mediante POLYMATH,

t, (min) E(t) (min-1)0 0.005 0.03

10 0.0515 0.0520 0.0425 0.0230 0.0135 0.00


Graficando E(t) en función del tiempo

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

E(t

), m

in-1

Se procede a determinar el área bajo la curva para los intervalos de tiempo dados

(10-25) minutos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 63,03221202h

dttEdxx25

10

Xn

0X

=ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

==ƒ ∫∫

(30-35) minutos:

Para este intervalo se emplea el valor medio, en virtud a lo pequeño del intervalo de tiempo con respecto ala escala de tiempo

( ) ( ) ( ) ( )075,0t

210

dttEdxx35

30

Xn

0X

=

ƒ+ƒ==ƒ ∫∫ ∆

(0-5) minutos:

( ) ( ) ( ) ( )075,0t

210

dttEdxx5

0

Xn

0X

=

ƒ+ƒ==ƒ ∫∫ ∆

La información que suministra la DTR, indica que el 63 % del trazador pasa de 10 a 25 minutos dentro delreactor; un 7,5 % 0 a 5 minutos y un 7,5 % de 30 a 35 minutos.

35.- Para las dos experiencias anteriores se ha agregado un punto adicional, donde se requiere determinar:

1. El tiempo de residencia medio.2. La varianza.3. La asimetría.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de los momentos de la DTR de un reactor, a partir de la inyección de un trazador con funciónpulso y función delta.



Experimento # 1:

1.- Tiempo medio:

El tiempo de residencia medio, es el tiempo que las moléculas del efluente estuvieron dentro del reactor y sedetermina mediante:

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n4...34221403h

ttEttE

tEtdtttE

dttE

dtttE

t iii

ii

0

0

0m ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

==≅== ∑∑

∑∫∫

∫ ∞

∞

∞

∆

Entonces Al resolver mediante POLYMATH:

t, (min) E(t) (min-1) tE(t)0 0.000 0.00001 0.020 0.01992 0.100 0.19953 0.160 0.47874 0.199 0.79795 0.160 0.79796 0.120 0.71817 0.080 0.55858 0.060 0.47879 0.044 0.394910 0.030 0.299211 0.021 0.230412 0.012 0.143613 0.006 0.077814 0.000 0.0000

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo, t (min)

tE(t

)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] min1689,5n1n4...34221403h

dtttEt0

m =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

== ∫

∞

2.- Varianza:

Este momento de la función de distribución, se conoce también como desviación estándar al cuadrado, setoma alrededor de la media e indica que tan amplia es la distribución.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n4...3422140

3h

tttEttE

tEtdttEtmt

2_

i2

ii

i2

i

0

22 ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

=−=≅−= ∑∑

∑∫∞

∆σ

t, (min) E(t) (min-1) (t-tm)2 (t-tm)2E(t)0 0.000 26.72 0.00001 0.020 17.38 0.34672 0.100 10.04 1.00153 0.160 4.70 0.75064 0.199 1.37 0.27255 0.160 0.03 0.00466 0.120 0.69 0.08277 0.080 3.35 0.26758 0.060 8.02 0.47969 0.044 14.68 0.644110 0.030 23.34 0.698311 0.021 34.00 0.712112 0.012 46.66 0.558513 0.006 61.33 0.367014 0.000 77.99 0.0000

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo, t (min)

(t-t

m)2 E

(t)


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2

0

22 min1856,6n1n4...34221403h

dttEtmt =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ

3.- Asimetría:

Indica el grado de asimetría de la función de distribución con respecto a la media y se determina por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n4...34221403h

dttEtmt1

s0

3

23

3 ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ

t, (min) E(t) (min-1) (1/σ3/2)(t-tm)3E(t)0 0.000 0.00001 0.020 -0.09392 0.100 -0.20633 0.160 -0.10584 0.199 -0.02075 0.160 0.00006 0.120 0.00457 0.080 0.03188 0.060 0.08839 0.044 0.1604

10 0.030 0.219311 0.021 0.269912 0.012 0.248013 0.006 0.186814 0.000 0.0000

-0.9000

-0.7000

-0.5000

-0.3000

-0.1000

0.1000

0.3000

0.5000

0.7000

0.9000

1.1000

0 2 4 6 8 10 12 14

Tiempo, t (min)

(1/ ∪

(3/2

) )(t-

tm)3 E

(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3

0

3

23

3 min2197,3n1n4...34221403h

dttEtmt1

s =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ


Experimento # 2:

1.- Tiempo medio:

Entonces Al resolver mediante POLYMATH:

t, (min) E(t) (min-1) tE(t)0 0.000 0.00005 0.030 0.150010 0.050 0.500015 0.050 0.750020 0.040 0.800025 0.020 0.500030 0.010 0.300035 0.000 0.0000

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] min15n1n2...221202h

dtttEt0

m =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

== ∫

∞

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

tE(t

)

2.- Varianza:

t, (min) E(t) (min-1) (t-tm)2 (t-tm)2E(t)0 0.000 225.00 0.00005 0.030 100.00 3.0000

10 0.050 25.00 1.250015 0.050 0.00 0.000020 0.040 25.00 1.000025 0.020 100.00 2.000030 0.010 225.00 2.250035 0.000 400.00 0.0000


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2

0

22 min5,47n1n2...221202h

dttEtmt =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.0000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

(t-t

m)2 E

(t)

3.- Asimetría:

t, (min) E(t) (min-1) (1/σ3/2)(t-tm)3E(t)0 0.000 0.00005 0.030 -1.6581

10 0.050 -0.345415 0.050 0.000020 0.040 0.276325 0.020 1.105430 0.010 1.865335 0.000 0.0000

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3

0

3

23

3 min2177,6n1n2...221202h

dttEtmt1

s =ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ


-1.8000

-1.3000

-0.8000

-0.3000

0.2000

0.7000

1.2000

1.7000

2.2000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

(1/ ∪

3/2 )(

t-tm

)3 E(t

)

PREDICCION DE CONVERSION EMPLEANDO DTR EN REACTORES IDEALES

CERO PARÁMETROS AJUSTABLES: CASO I MODELO DE SEGREGACIÓN

36.- Se requiere para la experiencia # 2 del ejercicio 34, que Ud. determine la conversión media, para unareacción irreversible de primer grado, en fase líquida de un fluido totalmente segregado, se conoce que la constantede velocidad especifica a 117 ºF es de 0,1 min-1.

SOLUCIÓN

Concepto demostrado:Determinación de la conversión media de un reactor real mediante el uso del modelo de segregación.


La conversión media se define como:

( ) ( )∫∞

=0

_

dttEtXX (I)

Para determinar la conversión, se supone que el fluido está conformado por glóbulos, los cuales pueden sermodelados como pequeños reactores por carga, que operan a distintos tiempos.


Bajo esta consideración la ecuación de balance molar para un reactor por carga, la cual se emplea paramodelar en comportamiento de cada glóbulo se tiene:

( )AA

dtdN γ−−= (II)

para una cinética de primer orden, suponiendo que el volumen es constante y expresando la ecuación II entérminos de conversión, se obtiene:

( ) ( )x1kdtdx

x1kNdtdx

N 0A0A −=⇒−= (III)

Al integrar la ecuación III

( ) kte1tx −−= (IV)

entonces mediante el uso de POLYMATH,

t, (min) E(t) (min-1) X(t) X(t)E(t)0 0.000 0.00 0.0005 0.030 0.39 0.01210 0.050 0.63 0.03215 0.050 0.78 0.03920 0.040 0.86 0.03525 0.020 0.92 0.01830 0.010 0.95 0.01035 0.000 0.97 0.000

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo, t (min)

X(t

)E(t

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 7235,0n1n2...221202h

dttEtXX0

_

=ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

== ∫

∞


CERO PARÁMETROS AJUSTABLES: CASO II MODELO DE MEZCLADO MÁXIMO

37.- La reacción de segundo orden en fase líquida:

B21A → , ( ) 2

AA kC=− γ

Cuya constante de velocidad especifica es de 0,07 L/mol.min, se efectúa de manera isotérmica a unatemperatura de 50 ºC, al reactor se alimenta A puro a una concentración de 5 mol/L y un caudal de 30 L/min, elvolumen del reactor es de 1,6 m3. El técnico de planta hizo una prueba con un trazador y obtuvo la siguientecorrelación:

( ) 6-125-94-63-42 t9,983x10+t8,241x10-t2,788x10 +1t5,05x10-0.0539186t +3.4477761t-96301,11tC =La gerencia de planta desea conocer los límites de conversión en el reactor no ideal, aplicando el modelo de

mezclado máximo.

Concepto demostrado:Determinación de la conversión de un reactor real mediante el uso del modelo de mezclado máximo.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de ecuaciones diferenciales.

El modelo del mezclado máximo, se fundamenta en que el efecto de mezclado es el mayor posible encualquier punto del reactor. El reactor que se estudia bajo este modelo puede ser modelado mediante unreactor de flujo en pistón con alimentación de fluido por los laterales, para mayores detalles sobre estemodelo se recomienda leer Fogler5 o Smith6. Cabe señalar que este modelo permite conocer el límite inferiorde la conversión, siempre que para una DTR dada el orden de reacción sea > 1.

De acuerdo a este modelo la concentración se determina de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )( )λλγ

λ F1E

CCd

dC0AAA

A

−−+−−= (I)

y la conversión será:( ) ( ) ( )

( )λλγ

λ F1E

XCd

dX0A

A

−+−−= (II)

Las condiciones para evaluar estas ecuaciones serán: ∞→λ , entonces 0AA CC = y 0X = , la técnica deresolución de estas ecuaciones se hace mediante la integración numérica hacia atrás, par lo cual se hace lasuposición de un valor muy grande de λ y terminando en cero.

Se puede emplear para este caso de integración el método de Euler o el método de Runge – Kutta de cuartoorden.

Procediendo a escribir las ecuaciones necesarias para este ejercicio se tiene:

( )[ ] ( )dttEtF1t∫∞

=− (III)

( ) ( )( )∫

∞=

0

dttC

tCtE (IV)

Para emplear POLYMATH, se requiere realizar un cambio de variable, esto debido a que los paquetes deresolución de ecuaciones diferenciales no realizan la integración hacia atrás, ya que se debe recordar queλ va desde un valor grande hasta cero, entonces se tiene:

u200200uTu_

−=⇒−=⇒−= λλλ (V)Ahora la expresión de conversión escrita en términos de u será:

( ) ( ) ( )( )u200F1

u200EX

CdudX

0A

A

−−−−−−= γ

(VI)

Y puede ser integrada entre los límites de u (0 – 200)

5 Fogler, H Scott, The elements of the chemical reactions, 2da edición, Prentice hall 19926 Smith, J.M., Ingeniería de la cinética química, 1ª edición, CECSA, 1998


La solución mediante POLYMATH,:

La tabla de resultados

λ u X CA, (mol/L) E(t)/[1-F(t)]200.00 0.00 0.000 5.0000 0.19424179.87 20.13 0.633 2.1588 0.06387169.89 30.11 0.693 1.5348 0.04026153.35 46.65 0.749 1.2408 0.02699145.77 54.23 0.759 1.1970 0.02575136.14 63.86 0.763 1.1836 0.02549128.78 71.22 0.764 1.1790 0.02547119.86 80.14 0.765 1.1769 0.02519106.08 93.92 0.768 1.1613 0.0241698.08 101.92 0.770 1.1480 0.0235089.75 110.25 0.773 1.1351 0.0230178.67 121.33 0.775 1.1268 0.0229563.48 136.52 0.772 1.1393 0.0240257.98 142.02 0.770 1.1505 0.0246045.10 154.90 0.765 1.1770 0.0258437.37 162.63 0.762 1.1892 0.0262228.52 171.48 0.761 1.1933 0.0261713.48 186.52 0.763 1.1864 0.025749.93 190.07 0.763 1.1861 0.025950.00 200.00 0.757 1.2140 0.02886


Para ilustrar la técnica de integración hacia atrás se tiene:

Método de Euler:

Integración mediante método de Euler

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

020406080100120140160180200

Lambda

X

Incremento λ X E(t)/[1-F(t)] ƒ(λ,X) Xi+1

0 200 0.00 0.19424 -0.3500 1.75-5.00 195 1.75 0.14708 0.0605 1.14

-10.00 185 1.14 0.08408 0.0889 0.26-10.00 175 0.26 0.05019 -0.1811 1.16-5.00 170 1.16 0.04043 0.0379 0.97-5.00 165 0.97 0.03396 0.0327 0.81-5.00 160 0.81 0.02989 0.0113 0.70

-10.00 150 0.70 0.02625 -0.0142 0.84-10.00 140 0.84 0.02552 0.0121 0.72-10.00 130 0.72 0.02548 -0.0099 0.82-10.00 120 0.82 0.02519 0.0086 0.73-10.00 110 0.73 0.02450 -0.0078 0.81-10.00 100 0.81 0.02365 0.0061 0.75-10.00 90 0.75 0.02302 -0.0053 0.80-10.00 80 0.80 0.02292 0.0043 0.76-10.00 70 0.76 0.02342 -0.0030 0.79-10.00 60 0.79 0.02438 0.0032 0.75-10.00 50 0.75 0.02543 -0.0020 0.77-10.00 40 0.77 0.02613 0.0023 0.75-10.00 30 0.75 0.02621 -0.0021 0.77-10.00 20 0.77 0.02582 0.0016 0.76-10.00 10 0.76 0.02595 -0.0014 0.77-10.00 0 0.77 0.02886 0.0035 0.77


Método de Runge – Kutta de cuarto orden:

Integración mediante método de Runge - Kutta de 4to orden

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

020406080100120140160180200

Lambda

X

Incremento λ X0 200 0.00

-10 190 1.55-20 170 0.89-10 160 0.80-10 150 0.77-10 140 0.75-10 130 0.74-10 120 0.74-10 110 0.74-10 100 0.74-10 90 0.74-10 80 0.74-10 70 0.74-10 60 0.74-10 50 0.74-10 40 0.74-10 30 0.74-10 20 0.74-5 15 0.75-5 10 0.75-5 5 0.75-5 0 0.75

Al realizar la resolución mediante los dos últimos métodos, es importante destacar que se presentaránresultados interesantes, que pueden hacer que la solución se acerque a valores negativos o positivosgrandes, por lo cual es necesario realizar iteraciones (tanteos) para determinar el incremento más adecuado


a emplear para evaluar la función estudiada y hacer que la solución tienda hacia el punto de convergencia ovalor final. Se recomienda emplear hojas de cálculo como EXCEL o POLYMATH, para desarrollar estatécnica de integración hacia atrás.

PARÁMETROS AJUSTABLES:

MODELOS DE UN PARÁMETRO:MODELOS DE DISPERSION Y TANQUES EN SERIE

38.- Se ha encargado a la Srta. Isabel Scolaro, Ingeniero de procesos de una importante empresamanufacturera de resinas del centro del país, determinar la conversión de un reactor tubular de flujo laminar para lareacción de primer orden:

CA → 16,0k = , min-1

Cuya min10=τ y 22 min25=σ , el reactante A se alimenta a una concentración de 1x10-3 mol/cm3, si ladifusión molecular se considera intermedia, cual es la conversión obtenida por la Srta. Scolaro, si empleó:

1. Modelo de dispersión.2. Modelo de tanques en serie.

Concepto demostrado:Determinación de la conversión de un reactor real mediante el uso del modelo de dispersión y tanques enserie.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de ecuaciones no lineales.

1.- Conversión empleando el modelo de dispersión: Aquí se considera que la dispersión se efectúa en unrecipiente cerrado

La conversión para una cinética de primer orden de acuerdo a este modelo se determina mediante laecuación:

2

PerDa4

1Per2

r

2

PerDa4

1Per2

r

2Per

r

ePeDa4

11ePeDa4

11

ePeDa4

14

1X

+−

+

+−−

++

+

−= (I)

El número de Damköhler, para una reacción de orden n, (Da) se determina mediante:

τ1n0AkCDa −= (II)

Nota: en algunos textos como Smith, τ (tiempo de residencia) se denota como θ,

El número de Peclet del reactor Per, se obtiene de:

( )Per2

rr2

2

e1Pe

2Pe2 −−−=

τσ

(III)

Antes de calcular la conversión el numero de Peclet para el reactor debe ser determinado mediante ensayoo error, para este fin el lector puede emplear EXCEL o POLYMATH, para esto se debe emplear unatécnica iterativa (tanteos), donde se supone valores de Pe hasta encontrar el que genere el valor delcociente:

2

2

τσ

La solución gráfica para el número de Peclet del reactor mediante POLYMATH, es:


La tabla de datos es:

Per supuesto σ2/τ2 calculado Per supuesto σ2/τ2 calculado Per supuesto σ2/τ2 calculado0.00 1.00 3.24 0.45 6.12 0.281.00 0.85 3.88 0.40 6.44 0.271.32 0.70 4.20 0.37 7.08 0.251.64 0.65 4.52 0.35 7.40 0.242.28 0.55 4.84 0.34 7.72 0.232.60 0.51 5.48 0.31 8.00 0.222.92 0.48 5.80 0.29

El valor de Per = 6,86 cuando σ2/τ2 calculado = σ2/τ2 =0,25Ahora se procede a calcular la conversión:

745,0X =

2.- Conversión empleando el modelo de tanques en serie:

La conversión para una reacción de primer orden para n tanques en serie es:

( )nk1

11X

τ+−= (I)

Luego el número de tanques en serie necesarios se determina mediante:

2

2

nστ= (II)

De acuerdo al modelo de tanques en serie se obtiene que:

El número de tanques requeridos es: 4y la conversión es X = 0,74

39.- En vista de su alta eficiencia a la Ingeniero Scolaro le han encargado estudiar el siguiente caso: Seinstalará un nuevo reactor para efectuar la reacción de primer orden del ejercicio anterior, cuyas características deflujo están dadas por la siguiente tabla para la curva C(t):

t, min 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 41 52 67C(t), mg/cm3 9 57 81 90 90 86 77 67 47 32 15 7 3 1


El fabricante asegura que el modelo de dispersión o el modelo de tanques en serie representarásatisfactoriamente el flujo en el reactor. El cliente final requiere la evaluación técnica de su Ingeniero para lo cual sele pide a la señorita Scolaro que indique en un informe lo siguiente:

1. Conversión esperada en este reactor suponiendo que se ajusta al modelo de dispersión.2. Conversión y número de tanques en serie necesarios, si se supone que sigue el modelo de tanques

en serie.

Concepto demostrado:Determinación de la conversión de un reactor real mediante el uso del modelo de dispersión y tanques enserie.

Métodos numéricos a ser aplicados: Resolución de ecuaciones no lineales e integrales impropias.

1.- Conversión empleando el modelo de dispersión:

Se empleará el mismo procedimiento del problema 38, para el cálculo de la conversión, con la variación queahora es necesario determinar τ y σ a partir de los datos de la curva C(t).

Entonces:

τ (tiempo medio, tm) se determina mediante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n2...32221202h

dtttEt0

m ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ+ƒ

== ∫

∞

(I)

σ2:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]n1n2...221202h

dttEtmt0

22 ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

=−= ∫

∞

σ (II)

E(t):

( ) ( )( )∫

∞=

0

dttC

tCtE (III)

t, (min) E(t) tE(t) (t-tm)2E(t)1 0.0043 0.0043 0.86242 0.0275 0.0551 4.71373 0.0391 0.1174 5.71364 0.0435 0.1739 5.34125 0.0435 0.2174 4.42096 0.0415 0.2493 3.42828 0.0372 0.2976 1.866610 0.0324 0.3236 0.836615 0.0227 0.3406 0.000220 0.0155 0.3092 0.373530 0.0072 0.2174 1.612141 0.0034 0.1386 2.271052 0.0014 0.0754 1.974967 0.0005 0.0324 1.3020

Entonces:

( ) min08,15dtttEt0

m == ∫∞

( ) ( ) 2

0

22 min58.113dttEtmt =−= ∫∞

σ

Entonces el número de Peclet para el reactor será:


El valor de Per = 2,55 cuando σ2/τ2 calculado = σ2/τ2 =0,50La conversión será:

82,0X =

2.- Conversión empleando el modelo de tanques en serie:

De acuerdo al modelo de tanques en serie se obtiene que:

El número de tanques requeridos es: 2y la conversión es X = 0,79

CAPITULO VIII

DISEÑO DE REACTORES CATALITICOS

Este capitulo, se concentra en los reactores catalíticos, es el caso del reactor de lecho fluidizado, reactor de

suspensión y reactor de lecho fijo. Se hace un análisis para la determinación de la actividad de un catalizador, la

conversión considerando el efecto de envenenamiento en catalizadores.

CAPITULO VIII. DISEÑO DE REACTORES CATALITICOS 122

REACTORES CATALITICOSREACTORES DE LECHO FLUIDIZADO, LECHO FIJO Y SUSPENSIÓN

40.- En una importante refinería del país se lleva a cabo la siguiente reacción del crudo la Victoria en fasegaseosa:

productosCrudo inerte → CBA inerte + →El tipo de reactor empleado es un reactor de mezcla completa fluidizado, la carga al reactor está compuesta

por 83 % de crudo la Victoria y un 17 % de inerte, la cual se suministra a un caudal volumétrico de 200000 pie3/h yuna concentración total a la entrada de 2 lbmol/pie3, debido al contenido de azufre presente en el crudo el catalizadorpresenta envenenamiento, por información del fabricante se conoce que la velocidad de desactivación del catalizadores de primer orden con respecto a la actividad actual y de igual manera para la concentración de crudo. La cantidadde catalizador empleada en este proceso es de 110000 lb con una densidad volumétrica de 33 lb/pie3.

Se le pide a Ud. responsable de la operación de este reactor, presentar a la superintendencia de procesos losiguiente:

1. Concentración del crudo.2. Actividad.3. Conversión.

Como función del tiempo, adicionalmente se le indica que k = 40 h-1 y kd = 145 pie3/lbmol.h.

Concepto demostrado:Determinación de la conversión, concentración para un reactivo y la actividad de un catalizador comofunción del tiempo en un reactor de lecho fluidizado.


SOLUCIÓN:

1.- Concentración de crudo:

( )W'FFdt

dNAA0A

Aγ−−−= = ( ) ( )AA0A0

ACC

V1

dtdC γνν −−−= (I)

El volumen del reactor se define como:

b

WV

ρ= (II)

luego la velocidad de reacción:( ) AA akC=−γ (III)

La ley de desactivación del catalizador:

AdCakdtda =− (IV)


Especie Entrada SalidaA FA0 FA

B - FA0 - FA

C - FA0 - FA

I FI0 FI0

Entonces; se tiene que Ft = 2FA0 + FI0 - FA

00

0

0

0t0t

RTZPF

C ==ν

(V) ZRT

PFC

tt ==

ν (VI)

Suponiendo que no hay cambios significativos en el factor de compresibilidad Z y recordando que lareacción se lleva a cabo de forma isotérmica y a presión constante, dividiendo V entre VI


F - F 2F F F

FF

AI0A0

I0A0

t

0t0

++==

νν

despejando ν F F

F - F 2F I0A0

AI0A00

++= νν (VII)

reacomodando la ecuación VII:

++=⇒

+

+

+=

0t0

A0A0

t0

A

t0

A0

t0

I0A00

CC

y1 F

F F

F

FF F

νννννν

se obtiene:

0t

A

0A0

CC

1

y1

+

+= νν (VIII)

Entonces sustituyendo III y VIII en I:

AA

0t

A

0A0A

0AakCC

CC

1

y1C

VdtdC −

+

+−= ν (IX)

La conversión puede estimarse mediante:

0A0

A0A0

0A

A0A

CCC

FFF

Xν

νν −=−= (X)

Entonces resolviendo las ecuaciones IV, IX y X se obtiene:




t, (h) CA, (lbmol/pie3) a X0.00 0.0523 1.0000 -0.020.09 0.0311 0.6477 0.260.11 0.0302 0.5929 0.270.13 0.0307 0.5428 0.260.15 0.0315 0.4961 0.250.17 0.0324 0.4522 0.240.19 0.0333 0.4112 0.220.21 0.0342 0.3728 0.210.23 0.0351 0.3372 0.190.25 0.0360 0.3041 0.180.29 0.0378 0.2455 0.160.31 0.0387 0.2197 0.140.33 0.0396 0.1961 0.130.35 0.0404 0.1747 0.120.39 0.0420 0.1376 0.100.41 0.0427 0.1217 0.090.43 0.0434 0.1074 0.080.45 0.0440 0.0946 0.070.49 0.0452 0.0730 0.060.50 0.0455 0.0689 0.06

Se puede observar que el catalizador se desactiva rápidamente antes de la media hora, aproximadamente at = 0.10, donde se alcanza la mayor conversión. La consecuencia de este resultado es que un reactor deeste tipo no es el más adecuado para realizar esta reacción.

41.- El craqueo térmico en fase gaseosa del gasóleo, obtenido del crudo La Salina, se efectúa en un reactorde transporte de 6 m de alto y 1,5 m de diámetro, que opera en un rango de temperaturas de 100 a 500 ºC, elgasóleo se alimenta a la unidad a una concentración de 0,2 kmol/m3, una velocidad (Vg) de 8 m/s , 12 atm y 400 ºC.La reacción se representa mediante:

coqueproductosGasóleo +→ BA →

La ley de velocidad para la reacción de craqueo del gasóleo sobre catalizador fresco, se puede modelar deacuerdo a la expresión:

( )A

AA

C51C30a

'+

=− γ

El catalizador sufre envenenamiento por la deposición de coque y la desactivación del mismo se rige por lasexpresiones:

Coquificación: 2

1t121

1a

+= , Sinterización 2

22

a5,17dtda −= y Envenenamiento B3

3Ca140

dtda

−=

Su densidad volumétrica es de 75 kg cat/m3. Se ha encargado al estudiante de ingeniería, quién cumple suspasantías en la refinería, que realice un informe que indique lo siguiente:

1. Perfil de conversión en función de la altura del reactor, sin desactivación.2. Perfil de actividad del catalizador y conversión del gasóleo en función de la altura del reactor,

considerando desactivación.

Concepto demostrado:Efecto de los diferentes tipos de desactivación catalítica para una reacción en fase gaseosa en un reactor detransporte.


SOLUCIÓN:1.- Perfil de conversión en función de la altura del reactor, sin desactivación:


Balance molar: Este balance se hace para un volumen del reactor diferencial:

ZAV C∆∆ = (I) ⇒ ( ) 0ZA|F|F CAZZAZA =−−− + ∆γ∆ luego ( ) CAA

AdZdF γ−−=

en términos de conversión:

( ) CAA

0A AdZdX

F γ−−= (II), cuyas condiciones iniciales son XA = 0 para z = 0

0AC0A CVgAF = (III)

sustituyendo la expresión de velocidad, la ecuación III y recordando que ( )A0AA X1CC −=

( )( )[ ]VgX1C51

X130adz

dXA0A

AA

−+−= (IV)

Entonces la conversión sin considerar desactivación es:


z, (m) XA

0.00 0.0000.75 0.8570.99 0.9371.23 0.9731.71 0.9961.95 0.9982.19 0.9992.43 1.0002.91 1.0003.15 1.0003.39 1.0003.63 1.0004.11 1.0004.35 1.0004.59 1.0004.83 1.0005.31 1.0005.55 1.0005.79 1.0006.00 1.000

2.- Perfil de actividad del catalizador y conversión del gasóleo en función de la altura del reactor,considerando desactivación.

( )( )[ ]VgX1C51

X130adz

dXA0A

AA

−+−=

Coquificación: 2

1t121

1a

+= , Sinterización 2

22

a5,17dtda −= y Envenenamiento B3

3Ca140

dtda

−=

XCC 0AB =Entonces:


Tabla de resultados:z XA1 XA2 XA3 a1 a2 a3

0.00 0.000 0.000 0.000 1.0000 1.0000 1.00000.75 0.391 0.276 0.699 0.2295 0.0783 0.30320.99 0.458 0.302 0.744 0.2021 0.0589 0.16501.23 0.514 0.321 0.765 0.1831 0.0472 0.08741.71 0.604 0.350 0.782 0.1576 0.0338 0.02381.95 0.640 0.361 0.785 0.1485 0.0296 0.01232.19 0.673 0.370 0.786 0.1409 0.0263 6.36E-032.43 0.702 0.379 0.787 0.1344 0.0237 3.28E-032.91 0.750 0.394 0.787 0.1237 0.0198 8.75E-043.15 0.771 0.400 0.787 0.1193 0.0183 4.52E-043.39 0.790 0.406 0.787 0.1154 0.0170 2.33E-043.63 0.807 0.412 0.787 0.1118 0.0158 1.20E-044.11 0.836 0.422 0.787 0.1056 0.0140 3.20E-054.35 0.848 0.426 0.788 0.1029 0.0132 1.65E-054.59 0.860 0.430 0.788 0.1003 0.0125 8.53E-064.83 0.870 0.434 0.788 0.0980 0.0119 4.40E-065.31 0.889 0.442 0.788 0.0938 0.0108 1.17E-065.55 0.897 0.445 0.788 0.0919 0.0103 6.05E-075.79 0.904 0.448 0.788 0.0901 0.0099 3.12E-076.00 0.910 0.451 0.788 0.0878 0.0095 1.73E-07

42.- Se plantea el caso de hidrogenar Buteno, haciendo fluir mezclas a través de una suspensión de uncatalizador de níquel en tolueno, la reacción es:

104Ni

284 HCHHC →+El Ing. Avis Pao a través de su empresa de consultoría propone al inversionista Juan Elso Berano, venderle

un reactor de suspensión y que opera a 120 ºF y 147 Psi y que requiere un suministro de hidrógeno de 2,5 pie3/s, a60 ºF y 14,7 Psi, dentro de la información suministrada por Pao se tiene que el volumen de suspensión requerido esde 23 pie3. La alimentación de Buteno e hidrógeno se realiza de manera equimolar. ¿Cuál es la conversión obtenida

en este reactor?. Considere la siguiente información adicional: 1C0 s723ak1 −= , PM del Buteno = 56 lb/lbmol,

densidad del hidrógeno (60 ºF y 14,7 Psi) = 0,00526 lb/pie3. considere la expresión de velocidad de orden 1.

Concepto demostrado:Cálculo de la conversión en un reactor de suspensión.



SOLUCIÓN:

Para determinar la conversión, se hace primeramente un balance molar, bajo la consideración que el gastiene un flujo en tapón, entonces el volumen de suspensión es:

( )∫ −−=

X

0Gas

dxF

Vνγ

(I) ( ) GasC0 Cak=−− νγ (II)

La concentración del hidrógeno en las burbujas de gas, está dada por:

2H0

02H0t2H y

RTP

yCC == (III)

Aplicando tabla estequeométrica y recordando que la alimentación es equimolar:Especie Entrada Salida

A FA0 FA0(1-X)B FB0 FA0(1-X)C - FA0 X

Luego; se tiene que Ft = FA0(2-X)Entonces la concentración del hidrógeno será:

−−=

X2X1

RTP

C0

02H (IV)

Por otro lado C0ak , se calcula de la siguiente manera:

Hka

akLg

C0 = (V)

Al realizar la integración de la ecuación I, una vez hechas las sustituciones pertinentes se obtiene:

( )[ ]X1LnXP

RTak1

FV

0

0

C0Gas−−

= (VI)

Para conocer la conversión a partir de la ecuación VI, emplearemos POLYMATH, permite de una manerarápida y precisa determinar el valor de la conversión, mediante la resolución de ecuaciones no lineales.

La conversión para este reactor es de 0,899Otra manera es mediante ensayo y error; allí se deben suponer valores de X, entre 0 y 1, hasta encontraruno que sea igual al cociente señalado en la siguiente expresión:

( )[ ]Gas

0

0

C0F

PRT

ak1

VX1LnX

=−− (VII)


Es importante señalar que se debe tener en cuenta la consistencia de las unidades al momento de realizarla estimación de la conversión.

43.- Se está planificando realizar la oxidación catalítica del amoniaco a escala industrial, en un reactor delecho fluidizado, la reacción tiene una cinética de primer orden y depende únicamente de la concentración delamoníaco.

( ) 3NHA kC=−γ mol NH3/s.cm3 cat; 1cat s0858,0k −=

En pruebas de laboratorio se a 1,11 atm y 523 K, realizadas en un reactor con un plato distribuidor porosode acero inoxidable de 15,24 cm de diámetro, se emplearon 8 kg de catalizador cuyo diámetro de partículas es0,0105 cm (105 µm), densidad 2,06 g/cm3 y una altura de relleno de 39 cm; para tratar un flujo de gas de 800 cm3/s,cuyas condiciones de alimentación fueron: composición: 10% NH3 y 90% de O2, densidad: 7,85x10-4 g/cm3 yviscosidad 2,98x10-4 g/cm.s y un coeficiente de difusividad en fase gaseosa DAB = 0,618 cm2/s. Determine laconversión alcanzada en dichas pruebas.

Concepto demostrado: Cálculo de la conversión en un reactor de lecho fluidizado, mediante el modelo deKunii – Levenspiel (modelo de lecho burbujeante).


SOLUCIÓN:

El modelo Kunii – Levenspiel, considera que el gas reactivo fluye desde la base del lecho hacia la partesuperior del reactor, en forma de burbujas, durante el ascenso de las burbujas se produce el fenómeno detransferencia de masa del gas reactivo hacia afuera y hacia adentro de la burbuja, para así establecer contacto conlas partículas sólidas de catalizador, sobre las cuales se forma el producto de reacción. Posteriormente el productogaseoso formado forman burbujas que escapan a la parte superior del reactor.

1.- Características mecánicas del lecho:

1.1.- Término de gravitación, η:( )gCatcg ρρη −= (I)

1.2.- Porosidad cuando la fluidización es mínima:021,0

Cat

g029,0

3pg

272,0

fmd

586,0

= −

ρρ

ηρµψε (II)

1.3.- Velocidad del gas cuando la fluidización es mínima:

µρ fmgdpVg

Re = (III)

Si Re < 10 (situación común)

( ) ηµ

ψε

ε

−

=150

d1

Vg2

p

fm

3fm

fm (IV)

Si Re > 10:

( )( ) ( ) ( )

−

+−=−−

3fm

fmfm2fmggcatfm

dp1

47

Re1150

Vg1εψε

ψερρρε (V)

1.4.- Velocidad de entrada del gas:

2plato

0

plato

00

D4

AcVg

πνν == (VI)


1.5.- Velocidad del gas cuando la fluidización es máxima:

µρ fmgdpVg

Re = (VII)

Si Re < 0,4 µ

η18d

Vg2

pf = (VIII) si 0,4<Re<500 p

31

g

22

f d10x78,1

Vg

=

−

µρη

(IX)

1.6.- Verificar si la velocidad de entrada del gas se encuentra dentro de un rango razonable de operaciónf0fm VgVgVg <<

1.7.- Tamaño de burbuja:

Tamaño mínimo de burbuja:

Platos porosos: ( )2fm00 VgVg00376,0db −= (X) Platos perforados( ) 4,0

fm0Cplato0

nesperforacioºNVgVgA

347,0db

−= (XI)

Tamaño máximo:

( )[ ] 4,0fm0Cplatom VgVgA652,0db −= (XII)

Tamaño promedio:

( ) Dplatoh3,0

0mm edbdbdbdb−

−−= (XIII)Para determinar la altura del lecho expandido, se considera que esta altura es un 40 a un 60 % mayor que laaltura del lecho sin expandir por encima del plato distribuidor. Entonces la altura a ser empleada en laecuación XIII será la mitad de la altura del lecho expandido, para efectos de cálculos se tomará 60%.

1.8.- Velocidad de ascenso de las burbujas:

( ) 21

cfm0bur bdg71,0VgVgV +−= (XIV)1.9.- Fracción del lecho ocupada por burbujas:

( )αδ+−

−=

1VgVVgVgfmbur

fm0 (XV)

α, representa el volumen de estela por volumen de burbuja y se determina de la siguiente figura:

a menos que se indique lo contrario, se puede trabajar con perlas de cristal.

1.10.- Altura del lecho: Este valor debe compararse con el supuesto en el punto 1.7

( )( )( )catfmCplato

cat

11AW

hρεδ −−

= (XVI)

2.- Transferencia de masa y parámetros de reacción:


2.1.- Coeficiente de transferencia de masa desde la burbuja hacia la nube:

+

=

45

41

c21

ABfmbc

db

gD85,5

dbVg

5,4K (XVII)

2.2.- Coeficiente de transferencia de masa desde la nube hacia la emulsión:

21

3

burABfmce

dbVD

78,6K

= ε

(XVIII)

2.3.- Volumen de catalizador en las burbujas por volumen de las burbujas:Este valor se encuentra entre 0,01 y 0,001, se supone para efectos de este ejercicio que 01,0b =γ2.4.- Volumen de catalizador en las nubes por volumen de las burbujas:

( )

+

−

−= α

ε

εεγ

fm

fmbur

fm

fm

fmcVg

V

Vg3

1 (XIX)

2.5.- Volumen de catalizador en las estelas por volumen de las burbujas:

( ) ( )cbfmw

11 γγ

δδεγ −−

−−= (XX)

2.6.- Coeficiente global de transferencia de masa:Para una reacción de primer orden:

bc

cat

e

cbc

catR

Kk1

11

Kk

1bK

++

++=

γ

γ

γ (XXI)

2.7.- Conversión:

burRcat

Vh

KkX1

1Ln =

− (XXII)

Resolviendo, se obtiene que la conversión es del 40,5 %.

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFIA 134

BIBLIOGRAFÍA

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15. Perry Robert y otros. Manual del ingeniero químico. 6ª Edición, Mc Graw Hill, México 1992

16. Smith J. M. Ingeniería de la cinética química. Editorial CECSA , México 1998.

APENDICE

APENDICE 136

APENDICE

I. Constantes:

Gases Ideales:Constante de gases ideales Valor Unidades

8314,34 m3.Pa/kmol.K8314,34 J/kmol.K8314,34 kg.m2/s2.kmol.K0,082057 m3.atm/kmol.K82,057 cm3.atm/mol.K1,9872 btu/lbmol.R1,9872 cal/mol.K1545,3 pie.lbf/lbmol.R0,7302 pie3.atm/lbmol.R

R

10,731 pie3.psi/lbmol.R

Factores de conversión:

Temperatura

K = ºC + 273,15R = ºF + 459,57ºF = (9/5)ºC + 32ºC = (5/9)(ºF – 32)∆ºF = (9/5)∆ºC∆ºC= (5/9) ∆ºF

Masa

1kg = 1000 g =2,2046 lb1 Ton métrica = 1000 kg1 lb = 453,59 g1 Ton corta = 2000 lb1 Ton larga = 2240 lb

Longitud

1 m = 3,2808 pie = 39,37 pulg1 milla = 5280 pie1 pulg = 2,54 cm

Área

1 m2 = 10,739 pie2

1pulg2 = 6,4516 cm2

Volumen

1 m3 = 1000 L =35,313 pie3 =264,17 gal americanos1 L = 1 dm3

1 pie3 = 7,481 gal americanos1 gal imperial = 1,2009 gal americanos1 gal americano = 3,785 L

Presión

1 atm = 1,01325 kPa = 14,7 lbf/pulg2 = 33,9 pie de Agua a 4 ºC = 760 mmHg1 Pa = 1 kg/m.s2

APENDICE 137

Termodinámica

1 J = 1 N.m = 1kg.m2/s2 = 0,73756 pie.lbf1 kJ = 0,239 kcal = 0,947813 Btu1Btu = 1055,06 J = 252,16 cal = 778,17 pie.lbf1 cal = 4,1840 J1 J/s = 1 W = 1,341x10-3 hp = 14,34 cal/min1 hp = 0,7068 Btu/s = 550 pie.lbf/s

II. Evaluación numérica de integrales:

Regla del trapecio:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]N1N2...221202h

dxxXn

0X

ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

=ƒ∫

NXXn

h0−=

Regla de Simpson

Tres octavos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]N1N3...231308h3

dxxXn

0X

ƒ+−ƒ++ƒ+ƒ+ƒ

=ƒ∫

NXXn

h0−=

Formula de cuadratura (para N + 1 puntos, donde N es par)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]N1N4...34221403h

dxxXn

0X


=ƒ∫

NXXn

h0−=

III. Evaluación numérica de ecuaciones diferenciales:

Método de Euler:

( )y,xdxdy

ƒ= h = tamaño del intervalo

( )nnn1n y,xhyy ƒ+=+

Método de Runge – Kutta de cuarto orden:

( )y,xdxdy

ƒ= h = tamaño del intervalo

( )nn0 y,xhk ƒ=

( )0nn1 k21y,h2

1xhk ++ƒ=

( )1nn2 k21y,h2

1xhk ++ƒ=

( )2nn3 ky,hxhk ++ƒ=

( )3210n1n kk2k2k61yy ++++=+

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Diseno de Reactores Con Metodos Numericos by Carboglass - Copia