DISEÑO EN BLOQUES ALEATORIZADOS

Introducción ¿Por qué el diseño por bloques? Problema Hipótesis Análisis de varianza (ANOVA) Comparaciones múltiples Verificación de supuestos Residuales Varianza constante Independencia Normalidad Construcción del Anova

Ejemplo:

Las siguientes lecturas de "blancura" se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12 cargas de lavado distribuidas en tres modelos de lavadoras:

BLANCURA

Detergente R1 R2 R3

A 45 43 51B 47 44 52C 50 49 57D 42 37 49

Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes.

INTRODUCCION

Variable de respuesta: Blancura

Factor controlado: Tipo de detergente

Hipótesis:

Ho: no hay efecto del tipo de detergente en la blancura de la ropa

Ha: si hay efecto del tipo de detergente en la blancura de la ropa

FuenteSuma de cuadrados GL

Cuadrados Medios Razón-F Valor P

Detergentes 133.667 3 44.5556 2 0.1923

Within groups 178 8 22.25    

Total (Corr.) 311.667 11      

No existen diferencias en los tipos de detergente, con una confianza estadística de 95%.

Ahora bien, notemos que en el texto del problema, que se habla del uso de tres modelos diferentes de lavadoras.

Dichas lavadoras al ser diferentes producen una variación que puede afectar en el análisis.

Factor perturbador es un factor del diseño que probablemente tenga efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe interés especifico

En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados.

FACTOR PERTURBADOR

¿Por qué el diseño por bloques?

Cuando existe una fuente de variación adicional (debido a un factor perturbador) que puede y debe ser sistematizada y controlada durante el experimento, se deberá utilizar el diseño por bloques.

 DE ESTA MANERA EL ERROR EXPERIMENTAL SE REDUCIRÁ, Y LA PRECISIÓN DEL DISEÑO AUMENTARÁ.

Ejemplo:

Las siguientes lecturas de "blancura" se obtuvieron con un equipo especial diseñado para 12 cargas de lavado distribuidas en tres modelos de lavadoras:

Lavadora

Detergente 1 2 3

A 45 43 51B 47 44 52C 50 49 57D 42 37 49

Se diseño un experimento para estudiar el rendimiento de cuatro detergentes.

Variable de respuesta: Blancura

Factor controlado: Tipo de detergente

Bloque: Tipo de lavadora

Hipótesis:

Ho: no hay efecto del tipo de detergente en la blancura de la ropa

Ha: si hay efecto del tipo de detergente en la blancura de la ropa

ANOVA

Para un nivel de confianza =0.05 se puede concluir que si existen diferencias significativas entre los tipos de detergentes con respecto a la blancura.

SCTOTAL=SCFACTOR+SCBLOQUE+SCERROR

Fuente Suma de Cuadrados

Gl Cuadrado Medio

Razón-F Valor-P

EFECTOS PRINCIPALES

A:LAVADORA 170.167 2 85.0833 65.17 0.0001 B:DETERGENTE 133.667 3 44.5556 34.13 0.0004RESIDUOS 7.83333 6 1.30556 TOTAL (CORREGIDO) 311.667 11

COMPARACIONES MULTIPLES

¿Cuál detergente es mejor?

LSD  Suponiendo una hipótesis alterna bilateral, dos medias se consideran diferentes si

 

La cantidad

 

 

se denomina mínima diferencia significativa.

 

bCM

gltyy EErrorji

2),( 2/..

bCM

gltLSD EError

2),( 2/

Detergente Promedios

A 46.3

B 47.6

C 52

D 42.6

bCM

gltLSD EError

2),( 2/

28.23

)3055.1(2)446.2( LSD

446.26,6,, 025.2/05.2/ ttglt Error

Pares

A-B

A-C

A-D

B-C

B-D

C-D

El Detergente C es el que da mayor blancura, ya que presenta el mayor promedio significativo que los otros tres

Conclusión

La blancura del detergente A no es diferente al del detergente B

Existe diferencia significativa de blancura entre el tipo de detergente A y el detergente C.

Existe diferencia significativa de blancura entre el tipo de detergente A y el detergente D.

Existe diferencia significativa de blancura entre el tipo de detergente B y el detergente C.

Existe diferencia significativa de blancura entre el tipo de detergente B y el detergente D.

Existe diferencia significativa de blancura entre el tipo de detergente C y el detergente D.

Menor a LSD

Mayor a LSD

Mayor a LSD

Mayor a LSD

Mayor a LSD

Mayor a LSD

|Dif.|

1.333

5.667

3.667

4.333

5

9.333

Prueba de rangos múltiples (LSD) para detergentes

Hay 3 grupos homogéneos, un grupo es el detergente D, otro grupo lo son los detergentes A y B, finalmente el tercer grupo lo es el detergente C. Para maximizar la blancura de la ropa se recomienda el detergente C.

DETERGENTE Casos Media LS Sigma LS Grupos HomogéneosD 3 42.6667 0.659686 XA 3 46.3333 0.659686 XB 3 47.6667 0.659686 XC 3 52.0 0.659686 XContraste Sig. Diferencia +/- LímitesA - B -1.33333 2.28282A - C * -5.66667 2.28282A - D * 3.66667 2.28282B - C * -4.33333 2.28282B - D * 5.0 2.28282C - D * 9.33333 2.28282

A B C D

Means and 95.0 Percent LSD Intervals

DETERGENTE

41

44

47

50

53

56

BLA

NCU

RAGRAFICAS DE MEDIAS

Se puede establecer que en promedio el detergente C es mejor, ya que presenta el mejor promedio de los 4 tipos de detergentes. Si el detergente C es el recomendado se esperarían promedios entre 50.38 y 53.61

Error Límite Límite

Nivel Media Est. Inferior Superior

MEDIA GLOBAL

47.1667

DETERGENTE

A 46.3333 0.659686 44.7191 47.9475

B 47.6667 0.659686 46.0525 49.2809

C 52.0 0.659686 50.3858 53.6142

D 42.6667 0.659686 41.0525 44.2809

Verificación de supuestos

Verificar si los residuos cumplen con los supuestos de: VARIANZA CONSTANTE INDEPENDENCIA NORMALIDAD

Para ello, primeramente se calculan los residuales mediante la siguiente formula:

..yDonde yij es el valor obtenido en el experimento, es el promedio del i-

ésimo detergente, es el j-ésimo bloque, es el promedio general.

 Ejemplo:

 e11=45-46.33-46+47.167=-0.16

jy..iy.... yyyye jiijij

j ijiij

yModelo

RESIDUALES

DETERGENTES

A B C D

-0.1667 0.5 -0.833 0.5

0.5833 0.25 0.9166 -1.75

-0.41667 -0.75 -0.0833 1.25

Tabla de residuales:

SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE Para checar el supuesto de varianza constante, es necesario

realizar la siguiente grafica:

 GRAFICA DE RESIDUALES VS LOS NIVELES DEL FACTOR 

A B C D

Residual Plot for blancura

-1.8

-0.8

0.2

1.2

2.2

resi

dual

detergente

En este caso no se presenta patrón inusual por lo que podemos concluir que si se cumple el supuesto de varianza constante.

SUPUESTO DE INDEPENDENCIA

Para verificar el supuesto de independencia se requiere ordenar los residuales según el orden en que se corrió el experimento

DETERGENTES

A B C D-0.167

(2)0.5 (1) -0.833

(4)0.5 (3)

0.583 (4) 0.25 (2) 0.916 (1) -1.75 (3)

-0.416 (2)

-0.75 (1)

-0.083 (4)

1.25 (3)

Residual Plot for blancura

resi

dual

row number

-1.8

-0.8

0.2

1.2

2.2

0 2 4 6 8 10 12

De acuerdo a esta gráfica se puede concluir que si se cumple el supuesto de independencia.

NORMALIDAD

 

Normal Probability Plot for RESIDUALS

-1.8 -0.8 0.2 1.2 2.2

RESIDUALS

0.115

2050809599

99.9

perc

enta

ge

En está gráfica se puede ver que la mayoría de los puntos se ajustan a la línea recta, lo que significa que los residuales si cumplen el

supuesto de normalidad.

Análisis de varianza (ANOVA) de un diseño de bloques completos aleatoriosFuente de variación

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F0 F(Tabla)

Tratamientos SSTratamientos a-1

Bloques SSBloques b-1

Error SSError (a-1)(b-1)

Total SSTotal

1aSS osTratamient

1

SSBloques

b

)1)(1(SSError

ba

Error

osTratamient

CMCM

Si F0 es mayor a se rechaza Ho, de igual manera si el P-value es menor al nivel de significancia ( ) se rechaza H0, Y se concluye que factor si afecta significativamente a la variable de respuesta.

1)1)(1(

abaF

F