. -1seno eo trico

de Carreteras james Crdenas Grisales

Coleccin: Textos Universitarios ;\rea: Ingenieria Primera edicin: Bogot, D C , octubre de 2002 ISBN: 958-648-322-3

Reservados todos los derechos la111es Crdenas Grisales

E-mail: jamescg@andinet com Ecoe ediciones

E-n1ail: corrco((l\~cocediciones con1 \\'\V\\' L'COL'\Xlicioncs con1 C'.:illc 32-his N" 17 -- 22 Tcl: 2889821, Bogot

CONTENIDO LISTA DE TABLAS LISTA DE FIGURAS PRLOGO INTRODUCCIN

Captulo 1 LAS CARRETERAS 1 1 GENERALIDADES

CONTENIDO

1 2 CLASIFICACIN DE LAS CARRETERAS 1 2 1 Segun su competencia 1 2 2 Segn sus caractersticas 1 2 3 Segn el tipo de terreno 1 2 4 Segun su funcin 1 2 5 Segun su velocidad de diseo .

1. 3 CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VA

Captulo 2 RUTAS Y LNEAS DE PENDIENTE 2 1 SELECCIN DE RUTAS 2 2 EVALUACIN DEL TRAZADO DE RUTAS 2 3 LNEA DE PENDIENTE O DE CEROS

2. 3. 1 Concepto 2 3 2 Trazado de una lnea de pendiente

2 4 PROBLEMAS PROPUESTOS

VII XI

XIII XIX XXI

1 3 3 3 4 5 6 7

15 15 17 18 18 18 29

VIII

Captulo 3 DISEO GEOMTRICO HORIZONTAL: PLANTA 31 CONCEPTOS 3 2 CURVAS CIRCULARES SIMPLES

3 2 1 Elementos geomtricos que caracterizan una curva circular simple

33

34

3.5

3.6

37

3. 2 2 Expresiones que relacionan los elementos geomtricos

3 .2 3 Expresin de la curvatura de una curva circular simple

3 .2 4 Deflexin de una curva circular simple 3 2 5 Otros mtodos de clculo y localizacin de

curvas circulares simples CURVAS CIRCULARES COMPUESTAS 3 3 .. 1 Curvas circulares compuestas de dos radios 3 3. 2 Curvas circulares compuestas de tres radios ESTABILIDAD EN LA MARCHA PERAL TE y TRANSICIN , 3 4 1 Desplazamiento de un vehculo sobre una curva

circular 3 4 2 Velocidad, curvatura, peralte y friccin lateral 34 3 Transicin del peralte CURVAS ESPIRALES DE TRANSICIN 3 5 1 Generalidades .. 3. 5 . .2 La espiral de Euler o Clotode como curva de

transicin 3 5 .. 3 Ecuaciones de la Clotoide o espiral de

transicin 3 5 4 Elementos de enlace de una curva circular

simple con espirales de transicin Clotoides iguales

3 5 5 Longitud mnima de la espiral de transicin SOBREANCHO EN LAS CURVAS 3 6 1 Expresin de clculo 3 6 .2 Transicin del sobreancho PROBLEMAS PROPUESTOS

33 33 34

34

35

38 42

118 122 122 136

151

151 155 160 191 191

194

197

203 209 227 227 229 232

Captulo 4 DISEO GEOMTRICO VERTICAL: RASANTE 4. 1 CONCEPTO 4 2 ELEMENTOS GEOMTRICOS QUE INTEGRAN EL

ALINEAMIENTO VERTICAL 4 2 1 Tangentes verticales 4 2 2 Curvas verticales

4 3 GEOMETRA DE LAS CURVAS VERTICALES PARABLICAS 4 3 1 Curvas verticales simtricas 4 3 2 Curvas verticales asimtricas 4 3 3 Coeficiente angular de una curva vertical

4 4 VISIBILIDAD EN CARRETERAS 4 4 1 Principios 4 4 2 Distancia de visibilidad de parada 4 4 3 Distancia de visibilidad de

adelantamiento 4 44 Distancia de visibilidad de encuentro 4 4 5 Evaluacin de la visibilidad de un proyecto en

planos. 4 5 CRITERIOS PARA LA DETERMINACIN DE LAS

LONGITUDES DE CURVAS VERTICALES 4 5 1 Longitud mnima de curvas verticales con

visibilidad de parada 4 5 2 Longitud mnima de curvas verticales con

visibilidad de adelantamiento 4 5. 3 Longitud mnima de curvas verticales con

comodidad en la marcha 4 5 4 Longitud mnima de curvas verticales con

apariencia 4 5 .. 5 Longitud mxima de curvas verticales con

control por drenaje 4 5 6 Longitud minimum de curvas verticales

4 6 PROBLEMAS PROPUESTOS

IX

265 265

265 266 268

268 268 278 282 313 313 313

317 319

319

323

323

330

'332

333

333 334 340

X

Captulo 5 DISE_O GEOMTRICO TRANSVERSAL: SECCIONES REAS y VOLUMENES ' 5.1 CONCEPTO 5.2 ELEMENTOS QUE INTEGRAN LA SECCIN TRANSVERSAL 53 SECCIONES TRANSVERSALES TPICAS POSICIN

DE CHAFLANES Y ESTACAS DE CEROS, 5 3 .. 1 Secciones transversales tpicas 532 Chaflanes o estacas de talud y estacas de

54

ceros

5 3 3 Posicin de los chaflanes ANCHOS DE BANCA Y REAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES 5.4 1 Anchos de banca 5 4 2. reas de las secciones transversales

5.5 VOLUMENES DE TIERRA CUBICACIN 5.6 PROBLEMAS PROPUESTOS BIBLIOGRAFA NDICE TEMTICO

349 349

349

354 354

355 357

359 359 365 381 396 403 405

Tabla 11 Tabla 1 2 Tabla 2 1 Tabla 2 2 Tabla 3 1

Tabla 3 2

Tabla 3 3

Tabla 3 4

Tabla 3 5 Tabla36 Tabla 3 7 Tabla 3 8 Tabla 3 9

Tabla 3 10 Tabla 311 Tabla 312 Tabla 3 13

Tabla 3 14

Tabla315

Tabla 4 1 Tabla 4 2 Tabla 4 3 Tabla44 Tabla 4 5 Tabla 4 6

LISTA DE TABLAS

Tipos de terreno Clasificacin de las carreteras segun la velocidad de diseo Valores del inverso del coeficiente de lraccin Abscisas y colas a lo largo de rutas Cartera de trnsito o localizacin de una curva circular simple derecha Cartera de trnsito o localizacin de una curva circular simple izquierda Cartera de trnsito o localizacin de curvas circulares simples de distinto sentido Cartera de trnsito o localizacin de curvas circulares simples del mismo sentido Cartera de deflexiones para la curva circular Cartera de localizacin de la curva compuesta de dos radios Radios para delexiones pequeas Radios mnimos absolutos Valores mximos y mnimos de la pendiente relativa de los bordes de la calzada con respecto al eje Cloloide de parmetro K=8 Variacin de la aceleracin centrifuga Cartera de localizacin de la curva espiral-circular-espiral Dimensiones de vehculos pesados de tipo rgido, ensamblados en Colombia Cartera de localizacin de una curva circular por el mtodo de las

4 7

18 21

53

57

62

68 91

130 151 160

164 196 212 224

228

normales sobre la tangente 252 Cartera de localizacin de una curva circular desde el PC y desde el PI 254 Pendientes mximas recomendadas 267 Cartera de diseo de rasante, curva vertical convexa 286 Cartera de diseo de rasante, curva vertical cncava 288 Coeficientes de friccin longitudinal para pavimentos liumedos 316 Oportunidades de adelantar por tramos de 5 kilmetros 318 Valores mnimos de k, para curvas verticales convexas y cncavas con visibilidad de parada (criterio de seguridad) 330

XII

Tabla51 Tabla 5 2 Tabla 5 3 Tabla 5 4 Tabla 5 5 Tabla 5 6 Tabla 5 7 Tabla 5 8 Tabla 5 9 Tabla 5 10 Tabla 511 Tabla 5 12 Tabla513

Anchos recomendados de calzada en recta Anchos recomendados de bermas Valores recomendados para el bombeo Anchos mnimos de derecho de va recomendados Cartera de chaflanes en recta Ejemplo 5 2 Cartera de cubicacin Ejemplo 5 2 Cartera de chaflanes y topografa Ejemplo 5 3 Areas y volumenes Ejemplo 5 3 Cartera de chaflanes Ejemplo 5 4 Cartera de chaflanes Problema 5 2 Cartera de chaflanes y topografa Problema 5 3 Cartera de chaflanes en recia Problema 5 6 Areas Problema 5 8

351 352 352 354 384 389 389 391 392 396 398 399 401 Figura 1 1 Figura 1 2

Figura 2 1 Figura 2 2 Figura 2 3 Figura 2 4 Figura 2 5 Figura 2 6 Figura 2 7 Figura 2 8 Figura 2 9 Figura 3 1 Figura 3 2 Figura 3 3 Figura 3 4 Figura 3 5 Figura 3 6 Figura 3 7 Figura 3 8 Figura 3 9 Figura 3 10 Figura 3 11 Figura 3 12 Figura 3 13 Figura 3 14 Figura 3 15 Figura 3 16 Figura 3 17 Figura 3 18 Figura 3 19 Figura 3 20 Figura 3 21 Figura 3 22 Figura 3 23

LISTA DE FIGURAS

Eje de una va en el espacio tridimensional Diseo geomtrico en planta y en perfil del eje de una via Concepto de lnea de pendiente Lnea de ceros en un plano Estudio de rutas Perfil longitudinal de rutas Trazado de lneas de pendiente o de ceros Perfil longitudinal de lneas de pendiente o de ceros Estudio de rutas Problema 2 1 Trazado de lneas de pendiente o de ceros Problema 2 2 Pendiente ponderada mxima uniforme Problema 2 3 Elementos geomtricos de una curva circular simple Curvatura por el sistema arco-grado Curvatura por el sistema cuerda-grado Relacin entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado Concepto de ngulo de delexin Delexin de una curva circular Caso particular Delexn de una curva circular Caso general Curva circular simple derecha Curva circular simple izquierda Curvas circulares simples de sentido contraro Ejemplo 3 5 Delexiones de curvas circulares simples del mismo sentido Ejemplo 3 6 Curvas circulares simples del mismo sentido Distancia entre los centros de las curvas Curvas circulares de igual radio y entretangenca dada Curva circular simple tangente a tres alineamientos Ejemplo 3 9 Curva de radio dado y PI inaccesible Ejemplo 3 1 O Curva de tangente dada y PI inaccesible Ejemplo 3 11 Curvas circulares de tangentes paralelas

10 12 19 20 22 23 27 28 29 30 31 35 38 40 41 43 45 48 50 54 58 63 64 67 69 71 72 75 78 78 81 81 84 85

XIV XV

Figura 3 24 Ejemplo 3 12 86 Figura 3 68 Abscisas y cotas de bordes en secciones especificas 184 Figura 3 25 Coordenadas del centro de una curva circular 87 Figura 3 69 Peralte en una curva compuesta de dos radios 186 Figura 3 26 Ejemplo 3 13 89 Figura 3 70 Perfil del peralte en una curva compuesta de dos radios 189 Figura 3 27 Vias que se interceptan 90 Figura 3 71 Curvatura en el enlace de tramos rectos con una curva circular simple 192 Figura 3 28 Desplazamienlo paralelo de la tangente de salida 93 Figura 3 72 Curvatura en el enlace de tramos rectos con curvas circulares Figura 3 29 Ejemplo 3 15 95 compuestas 192 Figura 3 30 Ecuacin de empalme curva a curva 96 Figura 3 73 Trayectoria de los vehculos en una curva circular 193 Figura 3 31 Ejemplo 3 16 98 Figura 3 74 Curvatura en enlace de tramos rectos con una curva circular con Figura 3 32 Ecuacin de empalme curva a recta 98 curvas de transicin 194 Figura 3 33 Ejemplo 317 101 Figura 3 75 La curva de transicin entre la recta y el arco circular 195 Figura 3 34 Ecuacin de empalme entre una varan te y una va antigua 103 Figura 3 76 Clotoide de parmetro l\=8 197 Figura 3 35 Ejemplo 3 18 106 Figura 3 77 Elementos de la Clolode o espiral 198 Figura 3 36 Ecuacin de empalme por desplazamiento de la tangente comun 107 Figura 3 78 Elementos de la curva simtrica Espiral-Circular-Espiral 204 Figura 3 37 Ejemplo 3 19 111 Figura 3 79 Vehculo en curva 210 Figura 3 38 Ecuacin de empalme por rotacin de la tangente comun 111 Figura 3 BO Longitud minma de la espiral de acuerdo al peralte 213 Figura 3 39 Ejemplo 3 20 115 Figura 3 81 Sobreancho en las curvas 228 Figura 3 40 Ecuacin de empalme entre dos vas inicialmente paralelas 116 Figura 3 82 Transicin del sobreancho en las curvas 230 Figura 3 41 Clculo de una curva circular simple por normales a la langente 119 Figura 3 83 Problema 3 5 234 Figura 3 42 Clculo de una curva circular simple desde el PI 120 Figura 3 84 Problema 3 6 234 Figura 3 43 Curva circular compuesta de dos rados 123 Figura 3 85 Problema 3 7 235 Figura 3 44 Ejemplo de una curva circular compuesta de dos rados 126 Figura 3 86 Problema 3 8 236 Figura 3 45 Ejemplo 3 22 131 Figura 3 87 Problema 3 9 237 Figura 3 46 Ecuacin de empalme con curvas circulares simples y compuestas 133 Figura 3 88 Problema 3 1 O 238 Figura 3 47 Elementos de una curva circular compuesta de tres rados 137 Figura 3 89 Problema 3 11 239 Figura 3 48 Caso general de una curva circular compuesta de tres radios 140 Figura 3 90 Problema 3 12 240 Figura 3 49 Casos de curvas circulares compuestas de tres rados 142 Figura 3 91 Problema 3 13 241 Figura 3 50 Ejemplo de una curva circular compuesta de tres radios 144 Figura 3 92 Problema 3 14 241 Figura 3 51 Ejemplo 3 24 146 Figura 3 93 Problema 3 15 242 Figura 3 52 Curvas circulares compuestas de dos y tres rados 148 Figura 3 94 Problema 3 16 243 Figura 3 53 Efeclo de la nclnacn transversal de la calzada sobre un vehculo Figura 3 95 Problema 3 17 244 circulando en curva 153 Figura 3 96 Problema 3 18 245 Figura 3 54 Caso Wp=Fp 154 Figura 3 97 Problema 3 19 245 Figura 3 55 Caso WpFp 155 Figura 3 99 Problema 3 21 247 Figura 3 57 Relacin Peralte-Rado y Velocidad especifica-Rado 161 Figura 3 100 Problema 3 22 248 Figura 3 58 Transicin del peralte 163 Figura 3 101 Problema 3 23 249 Figura 3 59 Secciones transversales y perfil parcial de la transicin del peralte Figura 3 102 Problema 3 24 250 164 Figura 3 60 Planta de la transicin del peralte 168 Figura 3 103 Problema 3 25 250 Figura 3 61 Perfil longitudinal de la transicin del peralte Figura 3 104 Problema 3 26 251 169

253 Figura 3 62 Perfil parcial de la transicin del peralte 172 Figura 3 105 Problema 3 28 Figura 3 63 Cotas de los bordes en secciones especficas Figura 3 106 Problema 3 33 255 175 256 Figura 3 64 Cotas de bordes y abscisas en secciones especficas Figura 3 107 Problema 3 34 178 259 Figura 3 65 Peraltado en curvas de diferente sentido 179 Figura 3 108 Problema 3 38 Figura 3 66 Cotas de bordes en secciones especificas Figura 3 109 Problema 3 39 260 181 261 Figura 3 67 Peraltado en curvas de diferente sentido, con cambios de pendiente 183 Figura 3 110 Problema 3 40

XVI XVII

Figura 3 111 Problema 3 41 262 Figura 4 43 Problema 4 7 344 Figura3112 Problema 3 42 262 Figura 4 44 Problema 4 11 346 Figura 4 1 La tangente verlical 266 Figura 4 45 Problema 4 12 347 Figura 4 2 Parbola de eje vertical, perfectamente simtrica 270 Figura 5 1 Seccin transversal tpica mixla, pavimentada en recta 350 Figura 4 3 Diferencia algebraica entre las pendientes 274 Figura 5 2 Secciones transversales lipicas 355 Figura 4 4 Significado de i Tipos de curvas verticales 276 Figura 5 3 Posicin de las estacas de chaflanes y de ceros 356 Figura 4 5 Punto mximo de una curva vertical simtrica 277 Figura 5 4 Planta de chaflanes y ceros 357 Figura 4 6 Curva verlical asimlrica 279 Figura 5 5 Posicin de los chaflanes 358 Figura 4 7 Punto minimo de una curva verlical asimtrica 280 Figura 5 6 Ancho de banca en recta y en corte 360 Figura 4 8 Coeficiente angular de una curva verlical 282 Figura 5 7 Ancho de banca en recta y en terrapln 361 Figura 4 9 Curva vertical convexa simtrica 284 Figura 5 8 Ancho de banca en curva y en corte 362 Figura 4 10 Curva vertical cncava simtrica 287 Figura 5 9 Ancho de banca en curva y en terrapln 364 Figura 4 11 Curva vertical simtrica por un punto obligado 289 Figura 5 10 Ancho de banca en recta y seccin mixta 365 Figura 4 12 Ejemplo de punto mximo de una curva vertical simlrica 291 Figura 5 11 Area seccin homognea simple en recta, por figuras geomtricas y Figun 413 Curva vertical simtrica por un punto minimo 293 coordenadas 366 Figura 4 14 Ejemplo 4 6 294 Figura 5 12 Area seccin homognea simple en recia, por las coordenadas de los Figura 4 15 Curva verlical compuesta 295 vrlices 368 Figura 4 16 Ejemplo 4 7 297 Figura 5 13 Ancho de banca y rea, por figuras geomtricas y coordenadas 370 Figura 4 17 Curvas verticales simtricas que se cruzan 298 Figura 5 14 Ejemplo de clculo del rea por las coordenadas de los vrlices 372 Figura 4 18 Ejemplo 4 8 299 Figura 5 15 Area seccin mixta simple en recta por las coordenadas de los Figura 4 19 Pendiente en una curva verlical restringida 299 vrlices 373 Figura 4 20 Ejemplo 4 9 300 Figura 5 16 Area seccin mixta por las coordenadas de los vrtices 374 Figura 4 21 Curva verlical sobre una cota obligada 301 Figura 5 17 Area seccin homognea simple en curva, por figuras geomtricas 376 Figura 4 22 Ejemplo 4 10 302 Figura 5 18 Area seccin homognea simple en curva, por cl1aflanes 377 Figura 4 23 Curvas verticales tangentes 303 Figura 5 19 Area seccin homognea simple en curva, por coordenadas de los Figura 4 24 Ejemplo 4 11 304 vrtices 378 Figura 4 25 Rasantes que se cruzan, a desnivel 305 Figura 5 20 Area seccin homognea simple en curva, por coordenadas 379 Figura 4 26 Ejemplo 4 12 307 Figura 5 21 Area seccin homognea simple en curva, por coordenadas 380 Figura 4 27 Curva vertical en un paso inferior 307 Figura 5 22 Ar ea seccin mixta compuesta en curva, por cl1aflanes 381 Figura 4 28 Ejemplo 4 13 309 Figura 5 23 El prismoide en carreteras 382 Figura 4 29 Mximos entre curvas verlicales simtricas 309 Figura 5 24 Prismoide, tronco de pirmoide y pirmoide 384 Figura 4 30 Ejemplo de curva vertical asimtrica 311 Figura 5 25 Abscisas, cotas de trabajo, chaflanes y ceros 385 Figura 4 31 Distancia de visibilidad de parada 314 Figura 5 26 Areas de las secciones por el mtodo de los chaflanes Ejemplo 5 2 386 Figura 4 32 Distancia de visibilidad de adelantamiento en carreteras de dos Figura 5 27 Areas de las secciones por el mtodo de los chaflanes Ejemplo 5 3 390

carriles dos senlidos 318 Figura 5 28 Clculo de ancho de banca, talud y rea 392 Figura 4 33 Evaluacin y medicin de las distancias de visibilidad en carreteras 321 Figura 5 29 Posicin de chaflanes y clculo de rea 394 Figura 4 34 Curva vertical convexa con visibilidad de parada Caso 1: o, > L, 323 Figura 5 30 Problema 5 1 397 Figura 4 35 Curva vertical convexa con visibilidad de parada Caso 2: D, < L, 325 Figura 5 31 Problema 5 4 398 Figura 4 36 Curva vertical cncava con visibilidad de parada Caso 1: D, > L, 327 Figura 5 32 Problema 5 7 400 Figura 4 37 Curva vertical cncava con visibilidad de parada Caso 2: D, < L, 329 Figura 5 33 Problema 5 8 401 Figura 4 38 Longitud de una curva vertical convexa con base en criterios 335 Figura 4 39 Longitud de una curva vertical cncava con base en criterios 339 Figura 4 40 Problema 4 1 341 Figura 4 41 Problema 4 2 341 Figura 4 42 Problema 4 5 343

PRLOGO

Me es muy grato presentar a los profesionales ele la ingenieria vial y a sus estudiantes universitarios, la pubficoci11 Di1ef10 Geoml! ico de Carreteras, del profeso1 Titular ele la Unive1sidacl ele! Valle de Cali, Colombia, y consultor nacional e internacional ingeniero James Crdenas Grisales

Este libro recoge la amplia experiencia del ingeniern James Crdenas, tanto en la docencia como en el ejercicio p10fosional en la ingenie1 ia vial, y en especial en el cliseiio geomtrico ele caneleras Como consecuencia de la excelente formacin acadmica, la amplitud ele conocimientos y expe1 iencias, la voluntad, la disciplina y el acentuado sentido analtico del autor, el librn es amplio en conceptos bsicos, suficiente en la exposicin ele los elementos tericos fnclamentales, preciso en los criterios tcnicos y cientificos utilizados, y desde luego, didctico con la aplicacin p1ctica ele tocio lo anterio1, mediante casos tipicos ele cada uno ele los temas tratados, que con indicaciones precisas aclaran y afianzan los conceptos y criterios de diseo entregados

La orientacin que el autor da en la cted1a, el enfoque puictico ck:l cual ciamos fo los conocedores ele su actividad en el campo ele la consultora, es la filosofia que el colega James Crdenas ha plasmado en este libro, cuyo conocimiento ele ste p01 parte ele los ingenieros,

XX

les permitir resolver las clificultacles. atender con xito y con plena responsabiliclacl el compromiso ele cliseiiar carreteras con los ms altos estndares. para brindar a los usuarios mejores condiciones de operacin. comodidad. c:conoma y sc:guridacl .

James Crdenas Grisales. Vallccaucano de pura cepa. obtuvo el grado ele Ingeniero Civil en 1974 en la Universidad del Cauca de Popayn Colombra. el titulo de Especialista en Vas Terrestres en 1974 en el Instituto ele Vas ele la misma universidad, el ttulo ele Master ol Science en Ingeniera ele Trnsito en I 981 en la Uni ver si dad de Marylancl ele los Estados Unidos y el ttulo de fvlagister en Ingeniera Industrial y ele Sistemas en I 990 en la Universidad del Valle ele Cali Colombia Desde su graduacin. se ha cleclicaclo a la docencia y a la consultora en las reas ele Diseiio Vial. Trnsito y Transporte, Jo cual le ha generado un amplio bagt~je ele experiencia en el diseo y solucin ele problemas ele ingeniera vial. en numerosas y \arfadas regiones del pas y del exterior, en las cuales sus virtudes y cualidades ele recursividad en la aplicacin ele conceptos, ele a;1lisis para escuclrifiar el origen y las limitaciones ele teoras, mtodos v tcnicas. ele constancia y responsabiliclacl, le han dado un rec;nocido y merecido prestigio como docente y consultor

Felicitaciones al Ingeniero James Crdenas Grisales, por el meritorio v estimulante esfuerzo de escribir este libro, en el cual deja impresas su~ experiencias y conocimientos adquiridos a lo largo ele la docencia universitaria y la practica profesional.

IVN ALBERTO ESTRADA PAZ Ingeniero Civil

Presidente de la Asociacin ele Ingenie7os del Valle Santiago ele Cali, septiembre 13 ele 2002

INTRODUCCIN

En esta edicin final de mi libro. DISEF!O GEOMl RICO DE CARRETERAS, quedan plasmados los resultados logrados en este fascinante campo ele la ingeniera a lo largo ele veintisiete aos ele experiencia profesional, tanto acadmica como prctica. y que hoy ms que nunca llenan mi vida ele una felicidad inconmensurable.

La experiencia acadmica, fundamentalmente lograda a travs ele la enseiianza ele los cursos de vas en la Facultad ele Ingeniera ele la Universidad del Valle en el mbito ele pregraclo. lo mismo que en los programas ele posgrado en diversas universidades nacionales v extranjeras Y la experiencia prctica, obtenida como asesor. consulto.r y diseador de una gran cantidad ele proyectos viales en el campo nrral y urbano, nacionales y extranjeros, en una variedad ele entidades privadas y oficiales

Por lo anterior. este libro lo he escrito con el propsito ele que sea consultado por estudiantes universitarios ele pregraclo y posgrado. profesores y profesionales practicantes ele la ingeniera ele vas. convencido ele que con el desarrollo ele una gran cantidad de ejemplos ele casos tpicos, se pueden aclarar y afianzar mejor los principios bsicos adquiridos, los cuales aqu se presentan en forma completa con su sustentacin terica y con los criterios que los soportan. actualmente aceptados mundialmente y normalizados por el Instituto

XXII

Nacional ele Vas. del Ministerio ele Transporte ele Colombia. Adicionalmente. he confoccionaclo una serie ele problemas propuestos, para que sean resueltos por el lector como una prctica final Tambin. he cliseaclo ele manera especial tocias las figuras del libro. para as transmitirle al lector mis ideas grficas ele forma real y propo1cionacla. ele acuerdo con mi imaginacin tridimensional.

De esta manera. el libro puede ser utilizado como texto guia en cualquier centro ele educacin superior nacional o extranjero. y como documento ele consulta o ele referencia en empresas consultoras y oficinas estatales que realicen proyectos viales

Los temas del libro estn clivicliclos en cinco graneles captulos. El captulo l. Las carrele1D.1, define las canete1as. las clasifica y presenta su concepcin tridimensional, ubicando al lecto1 en el diseo geomtrico El captulo 2, Rulas y lineas de pe11die111e, presenta los estudios ele rutas y lineas ele pendiente para casos ele ten enos ondulados y montaosos, donde se pueden presentar varias soluciones ele t1azaclos .. El capitulo 3, Diseio geomtrico horizonlal plan/a, analiza los cliforentes elementos del diseo geomtrico planimtrico y su relacin con la estabilidad del vehculo en la marcha .. El capitulo 4, Diseio geomlrico verlical rnsanle, aborda tocios los elementos del diseo altimtrico longitudinal, su relacin con la visibilidad, y presenta los diversos criterios para la eleccin ele las longitudes ptimas ele las curvas verticales. Por ltimo. el capitulo 5, Diseio geomlrico 1ra11.1versa/ seccione.\, reas y volzmene.1, complementa la concepcin tridimensional ele la va, a travs del estudio ele las secciones transve1sales, sus reas y los volmenes entre ellas.

Quiero expresar mis ms afectivos agradecimientos: a las directivas ele la Universidad del Valle ele Cali, Colombia, por haberme permitido a travs ele la enseanza, la educacin superior y la consultora. estar en contacto a escala local, nacional e internacional con muchas personas estudiosas y practicantes ele la ingeniera ele vas .. A mis estudiantes ele pregraclo y posgrado, por brindarme la oportunidad con la enseanza ele este tema, ele producir una buena parte del contenido del texto. A mis compaeros profesores ele la Escuela ele Ingeniera Civil y Geomtica ele la Facultad ele lngenieria ele la Universidad del Valle,

XXIII

por sus elogios. crticas y suge1encias .. Al doctor Hctor Caclavicl y a la ingeniera Sanclra Liliana Cano. Decano y Viceclecana Acadmica ele la Facultad ele Ingeniera ele la Universidad del Valle. por sus estmulos Al ingeniero Peter T homson. Dit ector ele la Escuela ele Ingeniera Civil y Geomtica. por su constante colaboracin. Al ingeniero Ricardo Ramitez. director del Programa Acadmico ele Ingeniera Civil. por su apoyo A 1ni gran amigo y colega. ingenie1 o Mamicio Carvajal. poi la revisin del texto y sus valiosos comentarios Al ingenie10 lvn Estrada, P1esiclente de la Asociacin ele Ingenieros del Valle. por el intercambio ele experiencias En especial, a mi alumno, Walther Delgado, por su trabajo fino y ntido en la edicin final en computador ele tocias las figuras del libro. Al doctor Carlos Alzate, Gerente ele Ecoe ediciones, por su siemp1e marcado inters en la publicacin ele mi texto. Y a tocias aquellas personas, que ele una u otra manera me apoyaron, y que hoy convierten esta inmensa alegt a en realidad

JAMES CRDENAS GRISALES

Captulo 1

1.1 GENERALIDADES

Una corre/era es una infraestrnctura de transporte especialmente acondicionada dentro ele toda una foja ele terreno denominada derecho de via, con el propsito de permitir la circulacin de vehculos ele manera continua en el espacio y en el tiempo, con ni\eles aclecuaclos de seguridad y comodidad

En el provee/o inlegra! ele una caffetera. el di.1ei10 geomtrico es la par te ms impo1 lante ya que a tiavs de l se establece su configuracin geomtiica t1iclimensional, con el propsito ele que la va sea fi.Incional, segura, cmoda, esttica, econmica y compatible con el medio ambiente.

Una va ser fi111cio11a! de acue1do a su tipo. cmactersticas geomtricas y volmenes de trnsito, de tal manera que ofrezca una adecuada movilidad a travs ele una suficiente velocidad de ope1acin

J.,\\11'.S ( .. \RJ)L~ .. \S (iR!S:\LLS

La geon1etria de la va tendr con10 pren1isa bsica la de ser \egz11 a. a travs de un diseo simple y uniforme

La va ser c111oda en la medida en que se disminuyan las aceleraciones ele los vehculos y sus variaciones. lo cual se lograr ajustando las curvaturas ele la geometra y sus transiciones a las velocidades ele operacin por las que optan los conductores a lo largo ele los tramos rectos

La va se1 e.111iw al adaptarla al paisaje. pe1mitienclo generm visuales ag1aclables a las pe1spectivas cambiantes. produciendo en el conductor un 1ecorriclo fcil

La va ser eco11111ica, cuando cumpliendo con los dems objetivos, ofrece el menor costo posible tanto en su construccin como en su man teni mi en to

Finalmente. la va deber se1 co111Hllib!e wn el medio a111bie111e. adaptndola en lo posible a la topogrnfia natural, a los usos del sucio y al valor ele la tierra. y procurando mitigar o minimizar los impactos ambientales.

Los factores o requisitos del diseo a tene1 en cuenta se agrupan en externos o previamente existentes. e internos o propios ele la va y su cliseo.

Los fclores exle1110.1 estn relacionados, entre otros aspectos, con la topografia del terreno natural. la conformacin geolgica y geotcnica del mismo, el volumen v caractersticas del trnsito actual v futuro. los

. . .

valores ambientales, la climatologa e hidrologa de la zona, los desarrollos urbansticos existentes y previstos, los parmetros socioeconmicos del rea y la estructura ele las propiedades.

Losfac/ores inlemos del diseo contemplan las velocidades a tener en cuenta para el mismo y los efectos operacionales de la geometria especialmente Jos vinculados con la seguridad exigida y los relacionados con la esttica y annonia ele la solucin ..

C ,\P!T UL

J1\i\IES C) .. RJJEl~:\S G!{!S:\L.!:S

1.2.3 Segn el tipo de terreno

La pendiente longitudinal y transversal del terreno son las inclinaciones naturales del terreno. medidas en el sentido longitudinal y transversal del eje de la via La linea ele mxirna pendiente sobre el terreno natural. es la inclinacin mxima del terreno natural en cualquier direccin

En Colombia. los terrenos se clasifican en plano. ondulado. montaoso y escarpado. de acuerdo con los parmetros que se indican en la Tabla 1 .1 .

Tabla 11 Tipos de terreno

!I TIPO DE ! fERRENO

INCLINACION MAXIMA 1 1 MEDIA DE LAS LNEAS DE i MOVIMIENTO DE TIERRAS 1

Plano (P) ~A PENDIENTE 1%) L._____________ ------

0-5 Mlnimo movirnien!o de !!erras por !o que no presen!a dificultad ni en el !lazado ni en la explanacion de una carretera Las pendientes longi!udinales de una va son cercanas al Q,~.

1 Ondulado (O) 5-25 1

Moderado rnovimien!o de tierras, que permi!e alineamientos mas o menos rectos. sin mayores

,i dificultades en el trazado y explanacin de una !I carretera.

1 1 I Montaoso (M) ji 25-75 11 las pendien!es longi!udinales y transversales son

1

fuertes aunque no las maximas que se puedan 1 presentar en una direccin dada Hay dificul!ades en

! el trazado ex lanacin de una carre!era. ,1 ,1

:1 Escarpado (E) ,,

I! M8ximo movimien!o de tierras con muchas >75

lj dificultades para el !razado. y explanacin. _pues los ! alineamientos esian pr.3chcamente defirndos por ~~~~.dh~~~~~~~~---~--JCoJLci= .. iv"",,]~'"""~!?"'S"d"e "ag~uas en e! recg~!-~CiQ_9_f::_.l!~9~~-=- ____ _,, Fuenle- lnsli!uto Nacional de l/ias Manual de Dise1io Geaml11co pnra C111ereras Bogota 1998

De esta manera. se consideran las siguientes e arre ter as:

o CARRETERAS EN TERRENO PLANO Es la combinacin ele alineamientos horizontal y vertical. que permite a los vehculos pesados mantener aproximadamente la misma velocidad que la ele los vehculos livianos.

) __ _

ULO ! . L:\S (,\RR[ J'ER1\S

CARRETERAS EN TERRENO ONDULADO Es la combinacin de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehiculos pesados a reducir sus velociclacles significativamente por debajo de la ele los vehculos livianos. sin ocasionar que aquellos operen a velociclacles sostenidas en pendiente por un intervalo ele tiempo largo

CARRETERAS EN TERRENO MONTAOSO Es la combinacin de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehculos pesados a circular a velociclacl sostenida en pendiente a lo largo ele distancias considerables o durante intervalos frecuentes

0 CARRETERAS EN TERRENO ESCARPADO Es la combinacin de alineamientos horizontal y vertical que obliga a los vehiculos pesados a operar a menores velocidades sostenidas en pendiente que aquellas a la que operan en terreno montaoso, para distancias significativas o a intervalos muy frecuentes

1.2.4 Segn su funcin

O CARRETERAS PRINCIPALES O DE PRIMER ORDEN Son aquellas vas troncales. transversales y de accesos a capitales ele departamento, que cumplen la funcin bsica de integracin ele las principales zonas ele produccin y ele consumo del pas y ele ste con los dems paises

CARRETERAS SECUNDARIAS O DE SEGUNDO ORDEN Son aquellas vas que unen cabeceras municipales entre s y/o que provienen ele una cabecera municipal y conectan con una principal

CARRETERAS TERCIARIAS O DE TERCER ORDEN Son aquellas vas de acceso que unen cabeceras municipales con sus veredas. o que unen veredas entre si.

6

1.2.5 Segn su velocidad de diseo

La velocidad es el elemento bsico para el diseo geomtrico ele caITeteras y el parmetro ele clculo ele la mayora ele los diversos componentes del proyecto

La velociclacl debe se1 estudiada. regulada y controlada con el fin ele que ella origine un perfecto equilibrio entre el usuario. el vehculo y Ja carretera, ele tal manera que siempre se garantice la seguridad.

La velocidad de diseio o velocidad de proyecto ele un tramo ele carretera es la velocidad guia o ele referencia que permite clefini1 las caractersticas geomtricas mnimas ele todos los elementos del trazado, en condiciones ele comodidad y seguridad Por lo tanto. ella representa una referencia mnima ..

La velocidad de diselo se define como la mxima velocidad segura y cmoda que puede ser mantenida en un tramo determinado ele una va. cuando las condiciones son tan favorables, que las caractersticas geomtricas ele la va predominan

lodos aquellos elementos geomtricos de los alineamientos horizontal, ele perfil y transversal, tales como radios mnimos, pendientes mximas, distancias ele visibilidad, peraltes, anchos de carriles y bermas, anchuras y alturas libres, etc. dependen ele la velocidad ele diseo y varan con un cambio ele ella

Al proyectar un tramo ele carretera, hay que mantene1 un valor constante para la velocidad ele diseo_ Sin embargo, los cambios drsticos y sus limitaciones mismas, pueden obligar a usar diferentes velocidades ele diseo para distintos tramos.

Se debe considerar como longitud mnima ele un tramo la distancia correspondiente a dos (2) kilmetros, y entre tramos sucesivos no se deben presentar diferencias en las velocidades de diseo superiores a los 20 Km/h_

CAPi 1 ULO l LAS CARRE 1 ERAS 7

La seleccin ele la velocidad ele diseo depende ele Ja importancia o categora ele la ftura caneteia, ele los volmenes ele trnsito que va a mover. ele la confgmacin topogrfica del terreno, ele los usos ele la tierra. del servicio que se quiere ofrecer, ele las consideraciones ambientales. ele la homogeneidad a lo largo ele la canelera. ele las facilidades ele acceso (control ele accesos). ele la clisponibiliclacl ele recursos econmicos y ele las faciliclacles ele financiamiento ..

En Ja Tabla 1.2 se establecen los rangos ele las velocidades ele diseo que se deben utilizar en fncin del tipo ele carretera segn su definicin legal y el tipo ele terreno

Tabla 1.2 Clasificacin de las carreteras segun la velocidad de diseo

TIPO DE CARRETERA

Carretera principal de dos calzadas

Carretera principal de una calzada

Carretera secundaria

Carretera terciaria

TIPO DE TERRENO

Plano !ondulado

~-Montaoso -:-----+---l---i--------i--Escar ado

Plano Ondulado Montaoso Escar ado

Plano

Montaoso Escar ado

Fuente: lnslilulo Nacional de Vi as Manual de Diseo Geomtrico para Carreteras Bogot 1996

1.3 CONCEPTO TRIDIMENSIONAL DE UNA VA El diseo ele una via se inicia con el establecimiento ele las rula_1 o corredores favorables que conecten los extremos del proyecto y unan puntos de paso obligado intermedios

8 JAJ\IES C\RDENAS GRISAL.ES

Teniendo en cuenta los factores externos que afectan el diseo, en esta primera etapa predominan los criterios econmicos vinculados a las longitudes de las soluciones y el costo de las obras de explanacin, de arte (puentes, viaductos, muros) y tneles

Una vez seleccionada la ruta ms favorable, se inicia propiamente la fase de diseio geo11111 ico, que le da la forma fisica ms apropiada a la carretera, adaptada a todos Jos requisitos, intentando satisfacer al mximo los distintos objetivos del diseo

Como la carretera es una superficie continua y regular transitable, ubicada en un espacio tridi111emio11al, la reduccin de su forma geomtrica a un modelo matemtico igualmente tridimensional resulta compleja y, por lo tanto, es poco empleada

Por lo tanto, en casi tocios los diseos se realizan dos anlisis bidimensionales complementarios del eje de la va, prescindiendo en cada caso ele una de las tres dimensiones. As, s no se toma en cuenta la dimensin vertical (cota), resultar el ali11ea111ie11to en planta 0 diseio geomtrico horizontal, que es la proyeccin ele! eje ele la va sobre un plano horizontal.

La f~rma del alineamiento en planta es una suces10n continua y cambiante ele rumbos o acimutes a lo largo ele! eje Las formas geomtricas horizontales que se utilizan para Ja definicin ele! trazado son rectas y curvas circulares o espirales de transicin

Ahora, si se toma en cuenta la dimensin horizontal o alineamiento en planta, definido anteriormente y, junto con ella, se considera Ja cota, resultar .el pe1ji/ fongitudinal o diseio geomtrico vertical, que es I~ proyecc10n ele! e1e real o espacial de la va sobre una superficie vertical paralela al mismo

La forma ele! perfil longituclinal es una sucesin continua y cambiante de pe~1cl1entes a lo largo del eje. Las formas geomtricas verticales que se utilizan paia la definicin ele! trazado son rectas contiouas ele pendiente uniforme enlazadas con curvas verticales parablica;

CAP ULO l. LAS Ci\RRE rER .. \S 9

Finalmente, si se considera el ancho de la va asociado a su eje, resultarn las sucesivas secciones tramver.\(//es, compuestas por la calzada, las be1mas, las cunetas y los taludes laterales: completndose as Ja concepcin tridimensional de la va

En la Figura l l se muestra el eje de una va ubicado en el espacio tridimensional.

Inicialmente, obs1 vese que se tienen tres (3) planos vellicales rectangulares plegados a 90, cada uno ele largo Bx y alto 4y De acuerdo con Ja posicin de Ja Norte (N), el primer plano tiene una direccin hacia el Este, el segundo plano hacia el Sur y el te1cer plano hacia el Este ele nuevo

A Jo Jmgo de estos tres planos se desarrolla Ja poligonal espacial ABCDEF, la cual presenta quiebres en Jos puntos B, C, D y E Dicha poligonal cambia ele rumbo en los puntos C y E, lo mismo que cambia ele pendiente en los puntos B, D y E As, el punto ele quiebre E presenta tanto un cambio ele rumbo como ele pendiente Consicleranclo cada uno de Jos tramos rectos de esta poligonal, se tiene:

Tramo AB: Rumbo: hacia el Este

Pendiente: 3y +-4x

Tramo BC: Rumbo: hacia el Este

Pendiente: o - =0 4x

Tramo CD: Rumbo: hacia el Sur

Pendiente: o =0 3x

Tramo DE: Rumbo: hacia el Sur

10 JAMES CARDEN AS RISALES

Figura 11 Eje de una via en el espacio tridimensional

CAPiTULO l. LAS CARREl ERAS

Pendiente:

Tramo EF: Rumbo:

Pendiente:

2y 5x

hacia el Este 3y

+- Bx

11

Si la poligonal espacial forma parte del eje de la va. ser necesario enlazar los tramos rectos en los puntos de quiebre con curvas Tal como se mencion anteriormente si se prescinde de las alturas se tendr el diseo geomtrico horizontal. representado en la parte inferior de la Figura 1. l como la proyecc1on horizontal. convirtindose la poligonal espacial en la proyeccin A1B1C1D1E1F1. que al insertar las curvas horizoi1tales circulares en e, de radio R1=x y en E1 de radio R1=3x, generan el diseiio en planta del eje de la va segn A1c1d1g,j1F1, tal como se aprecia tambin en la parte superior de la Figura 1.2. De esta manera, partiendo de A1 cmo punto origen de abscisa KO+OOO, se tendr para el punto final F1 la abscisa siguiente:

Abscisa de F1 =Abscisa de A1 + A,c, + c1d1 + d1g1 + g1J1 + j1F, A1c1 = 7x

c,d, = 2rrR1 = 2rrx = rrx 4 4 2

d1g1 = 4x . 2rrR2 2rr(3x) 3rrx g,},=--=--=-

4 4 2 1,F, =5x

. rrx 3rrx ( ) Abscisa de F, = KO + 000 + 7 X + - + 4 X + + 5 X = K o + 16 + 2rr X 2 2

Suponiendo que el valor numrico de x es de 50 metros, la abscisa de F1 ser:

AbscisadeF, = KO+ (16 + 2rr)x = KO + (16 + 2rr)50 = KO +1114159 =K1+114159

12 JAMES CARDENAS GR/SALES

x(~~+91)+0>1

.,,, ~ ~J ~, t!i . ~ ....

15 !(?. () ';:>

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Figura 1.2 Diseo geomtrico en planta y en perfil del eje de una va

13 CAP JULO l. L\S CARRETERAS

De igual manera. en la parte interior de la Figura l 2, se muestra el diseno en perfil del eje ele la via segn A1a2b2e#12i2F2, obtenido al insertar cmvas verticales parablicas en los puntos Bi, 02 y E2 respectivamente As mismo. s el valor numrico de y es de 4 metros. las pendientes correspondientes a los tramos A1Bi. 8202, 02E2 y E2F2 son +6 0%, O 0%, -3 2% y +3 0%. tal corno se indican

Captulo 2

2.1 SELECCIN DE RUTAS Se entiende por ruta aquella franja de terreno, de ancho variable, comprendida entre dos puntos obligados extremos y que pasa a lo largo de puntos obligados intermedios, dentro de la cual es factible realizar la localizacin del trazado de una va. Los puntos obligados son aquellos sitios extremos o intermedios por los que necesariamente deber pasar la va, ya sea por razones tcnicas, econmicas, sociales o polticas; como por ejemplo: poblaciones, reas productivas, puertos, puntos geogrficos como valles y depresiones, etc

;eWl-

La identificacin de una ruta a travs de estos puntos obligados o de control primario y su paso por otros puntos intermedios de menor importancia o de control secundario, hace que aparezcan varias rntas alternas. Son ejemplos de puntos de control secundario: caseros, cruces de ros y caadas, cruces con otras vas, zonas estables, bosques, etc.

16 JAiv!ES C:\RDLNAS GRIS:\ LES

Para todas las rutas alternas, es necesario llevar a cabo la actividad denominada _\eleccin de ruta, la cual comprende una serie ele trabajos preliminares que tienen que ver con acopio ele elatos, estudio ele planos, reconocimientos areos y terrestres, poligonales ele estudio, etc

El acopio de datos se refiere a la obtencin de la informacin bsica en Ja zona ele estudio, relacionada con Ja topografia. la geologa, la hidrologa, el drenaje y los usos ele la tierra Estos factores constituyen los mayores controles en el diseo, localizacin y construccin ele la ftma va. Igualmente, deber obtenerse informacin sobre la actividad econmica y social de la regin Las principales fentes ele informacin para la obtencin ele estos elatos, son entre otras: el Ministerio ele Transporte, el Instituto Nacional de Vas, el DANE, el IGAC, el CIAF, la CVC, las Oficinas ele Planeacin, las Oficinas de Valorizacin, las Secretaras de Obras Pblicas, etc

El estudio de planos forma parte del llamado anlisis ele la informacin existente. Bsicamente consiste en la elaboracin ele los croquis ele las rutas sobre planos, cartas geogrficas o fotografas areas, a escalas muy comunes como 1: 1 OQOOO, 1 :50000, 1 :25000, identificando sobre ellos la informacin obtenida anteriormente, especialmente los puntos obligados ele control primario, ya que estos guan la direccin general a seguir ele una rnta especfica. De esta manera y con la identificacin tambin ele los puntos ele control secundario, es posible sealar sobre los planos varias rutas alternas o franjas ele estudio.

Mediante los reco11oci111ie11tos a1 eos y terrestres se realiza un examen general ele las rutas o franjas ele terreno que han quedado previamente cletenninaclas y marcadas en los croquis. Su finalidad es Ja ele identificar aquellas caractersticas que hacen una ruta mejor a las otras, cuantificar los costos posibles ele construccin ele la futura va por cada ruta, determinar los efectos que tendr la va en el desarrollo econmico ele la regin y estimar los efectos destructivos que puedan producirse en el paisaje natural. Igualmente, se aprovecha el reconocimiento, para obtener elatos complementarios ele la zona en estudio.

CAPTULO 2. RUTAS Y LNEAS DE PENDIEN l'E 17

Las poligonales de estudio permiten recoger todos aquellos detalles necesarios que clan a conocer cul ruta es la que ofrece un mejor trazado. Estas poligonales deben levantarse en forma rpida y con una precisin no muy alta. Es as como, sus lados se pueden medir a cinta o a taquimetria, los rumbos se determinan con brjula, las altmas con barmetro y las pendientes con niveles ele mano.

2.2 EVALUACIN DEL TRAZADO DE RUTAS La mejor ruta entre varias alternas, que permita enlazar dos puntos extremos o terminales, ser aquella que ele acuerdo a las condiciones topogrficas, geolgicas, hidrolgicas y ele drenaje, ofrezca el menor costo con el mayor ndice ele utilidad econmica, social y esttica. Por lo tanto, para cada ruta ser necesario determinar, en forma aproximada, los costos ele constrnccin, operacin y conservacin ele la futma via a proyectar, para as compararlos con los beneficios probables esperados

Existen diversos mtodos ele evaluacin ele rutas y trazados alternos, con los cuales se podr hacer la mejor seleccin .. Dentro ele estos mtodos, se encuentra el ele Bruce141, en el cual se aplica el concepto ele longitud virtuaL Compara, para cada rnta o trazado alterno, sus longrtudes, sus desniveles y sus pendientes, tomando en cuenta nicamente el aumento ele longitud correspondiente al esfuerzo ele traccin en las pendientes Se expresa asi:

Xo =X+ kLY (2-1)

Donde: x

0 = Longitud resistente (m)

x = Longitud total del trazado (m). y = Desnivel o suma ele desniveles (m) k = Inverso del coeficiente ele traccin

En la Tabla 2 .1 aparecen los valores ele k para los distintos tipos ele superficie ele rodamiento.

18 JAMES CARDEN AS GRISALES

Tabla 21 Valores del inverso del coeficiente de traccin

TIPO DE SUPERFICIE : VALOR MEDIO DE k Carretera en tierra 21 --~--

Macadam :J2

r Pavimento asf31tico -~--

" Pavimento rlqido 44

2.3 LNEA DE PENDIENTE O DE CEROS 2.3.1 Concepto

La linea de pendiente es aquella linea que, pasando por los puntos obligados del proyecto, conserva la pendiente uniforme especificada y que de coincidir con el eje de la va, ste no aceptara cortes ni rellenos, razn por la cual tambin se le conoce con el nombre de lnea de ceros

Es una lnea que al ir a ras del terreno natural, sigue la forma de ste, convirtindose en una lnea de mnimo movimiento de tierra. Por lo tanto, cualquier eje vial de diseo que trate de seguirla lo ms cerca posible, ser un eje econmico, desde este punto de vista.

2.3.2 Trazado de una lnea de pendiente

En la isometra del terreno natural con curvas de nivel cada cinco (5) metros, ilustrada en la Figura 2 .1, considrese los puntos A y B sobre las curvas de nivel sucesivas 205 y 21 O. La pendiente de la lnea recta AB, que los une, es:

Pendiente de AB = tan a = ~~ (2-2) Luego, si se quiere mantener una lnea de pendiente uniforme igual a tan a, la distancia horizontal necesaria para pasar de una curva de nivel a otra ser:

CAPiTUL02 RUTAS Y LNEAS DE PENDIENfE

A

AC= BC tan a

Donde:

i' J ~-~rrl6ngufo rocf6-ng_u_fo-,-.ri-fc-af-C

Figura 2. 1 Concepto de linea de pendiente

19

(2-3)

AC = Distancia horizontal entre curvas de nivel sucesivas, o abertura del comps.

= Diferencia de nivel entre curvas o equidistancia. BC tan a = Pendiente de la lnea recta AB Pendiente de la lnea de

ceros.

Por lo tanto, tambin puede decirse que:

Equidistancia a=~--- (2-4)

p

Donde, a es la abertura del comps y p es la pendiente uniforme de la lnea de ceros.

De esta manera, la distancia AC o a, en metros, reducida a la escala del plano, se podr trazar con un comps de puntas secas a partir del punto inicial, materializndose as una serie de puntos sobre curvas

1 1.

, 11

1

Jr\1\lES C1\RDENAS GR!SALES

sucesivas, cuya unin constituye la lnea de ceros. tal como se muestra en la Figura 2 2

A

~ o \

' ' ' e\

' ' ' ' '

Figura 2.2 Linea de ceros en un plano

En trminos generales, en el trazado ele una linea de ceros, se pueden presentar dos casos: el primero, consiste en llevar desde un punto inicial una linea de ceros ele pendiente uniforme sin especificar el punto final o de llegada El segundo, consiste en trazar una lnea ele ceros a travs ele dos puntos obligados. En este ltimo caso ser necesario estimar Ja pendiente rnxirna que une los dos puntos, la cual deber ser comparada con la pendiente mxima perrniticla por las normas. Mediante el Ejemplo 2.2 y el Problema 2.2 se podr ejercitar el trazado de lneas ele ceros segn estos dos casos.

La lnea ele ceros en el terreno se lleva marcndola en Ja direccin general requerida, pasando por los puntos de control y por los Jugares ms adecuados. Para tal efecto, se emplean miras, jalones y elisimetros (niveles de mano Locke o Abney)

CAP ULO 1. R~.J AS y LNEAS DE PENDIEN ll: 21

EJEMPLO 2.1: Estudio de Rutas

~~t~rplano de la Figura 2 .3, dibujado a .1~ escala dada con ~urvas ele nivel de equidistancia 50 metros. se iclentif1can los puntos A 1 B ..

Realizar: Un estudio ele las posibles mtas que unan los puntos A y B

Solucin:

Sobre el plano dado se han trazado t1es posibles rutas, mediante Ia identificacin ele los puntos ele paso a, b, e, d, f, g, h, I ele cont1 ol primario y secundario .. Tales rntas son:

Ruta = AabcB, siguiendo la parte alta. Ruta 2= AdefB, siguiendo la parte rneclia Ruta 3= AghiB, siguiendo la parte baja.

En la Tabla 2.2, para cada una de las rutas trazadas aparecen sus puntos, abscisas y cotas

Tabla 2.2 Abscisas y cotas a lo largo de rutas

RUTAS PUNTOS I ABSCISAS 1 COTAS m A KO+OOO 1 100 . i. a K3+400 2i5 1l

Rula 1 b K5+000 i 290 i e KB+100 240 11 B A d

Ruta 2

l---!cB--f--;K~1~0+8"0;,';;0-,--,250 __ Ji 100

Rula 3 h 1

ji 1

22 JAi\IES C1\RDENAS GR!S:\LES

Figura 2.3 Estudio de rutas

Con el propsito de realizar una evaluacin preliminar ms precisa, es necesario elaborar un perfil longitudinal de las rutas, como se muestra en la Figura 2.4, calculado as:

Ruta 1: Tramo Aa: Desnivel= 275-100=175m, Distancia horizontal= 3400m

Pendiente= 175 =+O 051 = +5.1% 3400 ~-~ Tramo ab: Desnivel= 290 -275=15m, Distancia horizontal= 1600m

Pendiente = _!J_ = +O 009 = +O 9% 1600

CAP! l'ULO 2. RU l':\S Y LiNF:\S DE l'LNDIE~ 1 L

Figura 2.4 Perfil longitudinal de rutas

Tramo be: Desnivel= 240- 290 = -50m, Distancia horizontal= 3100m

Pendiente= -50 =-O 016 = -1 6% 3100

Tramo cB: Desnivel= 250- 240=10m, Distancia horizontal= 2100m

Pendiente = __!!!__ = +O 005 = +O 5% 2100

Ruta 2: Tramo Ad: Desnivel = 180 -100 = 80m, Distancia horizontal = 2400m

Pendiente = _!!Q__ = +O. 033 = +3. 3% 2400

Tramo de: Desnivel= 170-180 = -10m, Distancia horizontal= 5100m

Pendiente = _:!!l__ = -O 002 = -O 2% 5100

24 Ji\i'vlES C.i..RDENAS GRIS:\ LES

Tramo ef: Desnivel = 21 O -170 = 40m, Distancia horizontal = 1500m Pendiente=_!!!_= +O 027 = +2 7% 1500 -Tramo 18: Desnivel= 250- 210 = 40m, Distancia horizontal= 1800m

Pendiente=_!!!_= +O 022 = +2 2% 1800

Ruta 3: Tramo Ag: Desnivel= 120-100 = 20m, Distancia horizontal= 2600m

Pendiente = __?,9_ = +O 008 = +O 8% 2600

I ramo gh: Desnivel = 11 O -120 = -1 Om, Distancia horizontal = 3400m P d. -10 en 1ente = -- = -O 003 = -O 3%

3400 Tramo hi: Desnivel = 165 -11 O = 55m, Distancia horizontal = 1300m Pendiente = ~ = +O 042 = +4 2%

1300 --Tramo iB: Desnivel= 250-165 = 85m, Distancia horizontal= 1000m

Pendiente=~= +O 085 = +8. 5% 1000

La evalua:in preliminar de las tres rutas se hai con base en la comparac1on de sus longitudes, desniveles y pendientes Para tal efecto, se supone que las vas a constrnir sobre estas rutas sern pavnnentaclas en concreto y que la pendiente recomendada es del 4%. Por lo t.anto, de acuerdo a Ja ecuacin (2-1 ), parn cada rnta se tienen las s1gmentes longitudes 1 esistentes, xo:

Ruta 1: Desniveles perjudiciales por contrapendientes = 175 + 15+1 o = 200m

CAP 1 ULO 2. f!U l :\S Y LNE,\S DE PEND!EN ! r: 25

x = 10200m, k = 44, } y= 200m x0 =X+ky =10200+44(200)=19000m

Ruta 2: Desniveles perjudiciales por contrapendientes = 80 + 40 + 40 = 160m x = 10800m, k = 44, y= 160m x0 =x+ky=10800+ 44(160) = 17840m

Ruta 3: Desniveles perjudiciales por contrapendientes = 20 + 55 + 85 = 160m x = 8300m, k = 44, y= 160m x0 = x + ky = 8300+44(160)=15340m

Ahora. si el anlisis de longitudes resistentes se realiza en sentido contra;io, esto es de B A, como seria el caso ele una carrete1 a de dos cli1ecciones, se tiene:

Ruta 1: Desniveles por contrapendientes = 50m Desniveles por exceso de pendientes= (o 051-0 04)3400 = 37 4m x0 = x + ky = 10200 + 44(50+374)=14046m;

Ruta 2: Desniveles por contrapendientes = 1 Om Desniveles por exceso de pendientes = O x0 =x+ky=10800+ 44(10) = 11240m

Ruta 3: Desniveles por contrapendientes = 1 Om

')~ _), cj;.t-e Co

26 JAi\IES CARDEN:\S GR!St\LES

Como puede observarse, para ambos sentidos, la ruta de menor resistencia es la Ruta J, la cual se hace atractiva Sin embmgo, ella incorpora la construccin de un puente en el punto h, situacin que elevara los costos Por lo tanto, si se trata de un proyecto econmico, desde este punto de vista la mejor rnta ser la Ruta 2

EJEMPLO 2,2: Trazado de lneas de pendiente o de ceros

Datos: La Figura 2j muestra unplano a la escala dada, eon curvas de nivel ele equidistancia 8 metros, sobre el cual se identifican dos puntos A y B.

Trazar: Una lnea de ceros entre los puntos A y B de pendiente uniforme mxima posible

Solucin: Este es el caso de enlazar dos puntos obligados A y B con una sola pendiente, que necesariamente es Ja mxima posible. Una forma de determinarla y enlazarla se apoya en el uso de pendientes parciales entre Jos puntos dados, las cuales se trazan sucesivamente desde Jos puntos opuestos, Ja una ascendiendo y Ja otra descendiendo

Para este ejemplo, se supone una primera pendiente del +6% saliendo ele A, esto es:

p, =o 06

Por Jo tanto, segn Ja ecuacin (2-4 ), Ja abertura del comps es:

_ Equidistancia _ Bm _ 133.333 a1 - , --- m p, 006

Suponiendo que existe una curva ele nivl intermedia entre cada par ele las dadas, Ja abertura del comps ser ele:

CAPi ruLO 2. [{lJ l:\S y LINE:\S 0[ PENDIENTE

6

Figura 2.5 Trazado de lneas de pendiente o de ceros

4m a, =-=66667m

o 06

27

Con esta distancia a la escala del plano se traza la linea AB', la cual como puede observarse pasa por debajo del punto B. Esto. 111d1ca que la pendiente supuesta p1 es menor que Ja mxima posible, En este momento es preciso suponer una segunda pendiente, ma)oi que la primera, por ejemplo, del 11 % saliendo ele B, esto es:

p2 =-O 11

a2 = 4m = 36 364m

o 11

1 1

11

/

1 '

28 JAi\IES C;\RDEN:\S GRISALES

Con esta distancia y partiendo ele B se traza esta segunda lnea la cual encuentra en el punto C la primera linea

Con el fin ele visualizar mejor el clculo ele Ja pendiente maxrma posible para la linea que une los puntos A y B es conveniente dibujar un perfil longitudinal ele las lineas de pendiente parciales p1 y p2 como se ilustra en la Figura 2 6, para las cuales:

B

..-::> y --,, //./ . ,., Pondlenfo m6Yfma-\ ,,- / /

\ . //

\ , .,.......,..,.....~.::fP2 -'ff /

. ,/ . ~;_ .... _-_:-_,.,_ ,.,_,., ________ -111 ,,.,,. ---

. -:;.--,,.,.., --".11>, 1

" -- 1 .'' .......::::..-A ...;.-

X X

Figura 2.6 Perfil longitudinal de lineas de pendiente o de ceros

Distancia horizontal entre A y C: x1 = 611m

Diferencia ele nivel entre A y C y1 = p1x1 =O 06(611) = 36 660m

Distancia horizontal entre C y B:

Diferencia de nivel entre C y 8'

De esta manera, la pendiente mxima posible p es:

P =y,+ Y2 = ~666Q+753~~ =00864= 8 64% X1 +X2 611+685

CAPi JULO 2. f(U 1 AS Y LiNEAS DE PEND!EN 1 E

Con una abertura del comps ele: 4m

a = -- = 46 296m 00864

29

Abertura que a Ja escala del plano permite el trazado de la pendiente mxima posible. como se muestra en la Figura 2 5

2.4 PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 2.1: Estudio de Rutas

Datos: El plano de la Figura 2 7 est dibujado a la escala clacla, con CU! vas ele nivel de equidistancia 50 met10s Sobre l se identifican dos puntos extremos A y B

Figwa 2.7 Estudio de rutas. Problema 2.1

__ l,

30 .1:\i\IES CARDLN:\S GRIS:\LES

Realizar: Un estudio de las posibles 1 utas que unan los puntos A y B. suponiendo que las vi as a constrnir a t1 avs ele estas rutas sern pavimentadas en asfalto y que la pendiente 1 ecomendacla es del 6%

PROBLEMA 2.2: Trazado de lneas de pendiente o de ceros

Datos: En el plano de la Figma 2.8, dibujado a la escala g1fica dacia, con curvas ele nivel ele equidistancia l O metros, se han identificado dos puntos A y B

Figura 2.8 Trazado de lneas de pendiente o de ceros. Problema 2.2

CAPiTULO 2. i(LJ l':\S Y LNE:\S DE PE.ND!LN J F 31

Trazar: a) Una linea ele ceros entre los puntos A y B ele pendiente uniforme

mxima posible. b) Una lnea ele ceros entre los puntos A y B ele pendiente uniforme

del 5%.

PROBLEMA 2.3: Pendiente ponderada mxima uniforme

Datos: En el plano de la hgura 2.9, dibujado a la escala grfica ciada, con curvas de nivel ele equidistancia l O metros. se han identificado los puntos A, B, C y O

Figura 2.9 Pendiente ponderada maxima uniforme. Problema 2 3

1

11 I' 1

32 J:\i\.'!ES C:\RDEN,\S CiRIS:\LES

Trazar: a) Lneas de pendiente uniforme mxima posible para cada tramo

AB, BC y CD, independientemente b) La pendiente uniforme mxima posible que una el punto A y el

punto O Para este !tazado, ponderar las tres pendientes anteriores Dibuje un perfil ele pendientes

Captulo 3

pla

3.1 CONCEPTOS

De una manera general una can e/era se puede concebir como un sistema que logra integrar beneficios, conveniencia, satisfaccin y seguridad a sus usuarios; que conserva, aumenta y mejora los recursos naturales de la tierra, el agua y el aire; y que colabora en el logro de los objetivos del desarrollo regional, agrcola, industrial, comercial, residencial, recreacional y de salud pblica.

En forma particu/w, el diseio geomlrico de carre1e1 as es el proceso de correlacin entre sus elementos fisicos y las caractersticas de operacin de los vehculos, mediante el uso ele las matemticas, la fsica y la geometra En este sentido, la carretera queda geomtricamente definida por el trazado ele su eje en planta y en perfil y por el trazado ele su seccin transversal

34 .l:\l\!ES c:\r~DENAS GRIS;\ LES

El di.1elio geomtrico en planta de una canetern, o alineamiento horizontal, es la proyeccin sob1e un plano horizontal de su eje real o espacial. Dicho eje horizontal est constituido pm una serie de tramos rectos denominados tangente.1, enlazados entre si por cmva.s.

3.2 CURVAS CIRCULARES SIMPLES

Las c11rva.1 horizo111a!e.1 circu/me.s .simples son arcos ele ci1cunfo1encia ele un solo radio que unen dos tangentes consecutivas, conformando la proyeccin horizontal ele las curvas reales o espaciales Por lo tanto. las curvas del espacio no necesariamente son circulmes

3.2.1 Elementos geomtricos que caracterizan una curva circular simple

En la Figura 3.1 aparecen los cliforentes elementos geomtricos ele una curva circular simple. Tomando el sentido de avance de izquierda a derecha, dichos elementos son:

PI = Punto de interseccin de las tangentes o vrtice de la curva. PC = Principio de curva: punto donde termina la tangente ele

entrada y empieza la curva. PT = Principio de tangente: punto donde termina Ja curva y

empieza la tangente de salida. O = Centro ele la curva circular. .J = ngulo de deflexin de las tangentes: ngulo ele cletlexin

R T

L

CL E

principal. Es igual al ngulo central subtendido por el arco PCPT

= Radio ele la curva circular simple. = Tangente o subtangente: distancia desde el PI al PC o desde

el PI al PT = Longitud ele curva circular: distancia desde el PC al PT a lo

largo del arco circular, o ele un polgono ele cuerdas. = Cuerda larga: distancia en lnea recta desde el PC al PT = Externa: distancia desde el PI al punto medio ele la curva A

CAP rULO 3. DISEO GEOl\11~ r RICO HOR!ZON 1 :\L. PL:\N A 35

M = Ordenada media: distancia desde el punto medio ele la curva A al punto medio ele la cue1cla larga B

~I ~I 1 1

6-\/ o o

Figura 3.1 Elementos geomtricos de una curva circular simple

2 E nes que relacionan los elementos 3.2. xpres10 geomtricos

Los anteriores elementos geomtricos se relacionan entre sL dando origen a expresiones que permiten el clculo ele 1.a cm~a De acuerdo con la Figura 3 anterior, algunas ele estas expresiones son.

11 ! i

il I!

11 I' !!

36

Ten funcin de R v ,J: En el tringulo rectngulo O PC PI, se tiene:

Ll PCPI T tan -- = -- = -- , de donde. 2 OPC R

Ll T = R tan -2

R en funcin de T v .J: T

R=--Ll tan-

2

CL en funcin de R v .J: En el tringulo rectngulo O B PC, se tiene:

CL sen~= BPC =_l._ , de donde,

2 OPC R

CL = 2R sen~ 2

E en fncin de R v .J: En el tringulo rectngulo OPC PI, se tiene:

Ll OPC CDS - = ---- , O PI = OA + A PI = R + E 2 O PI

Ll R cos - = ---- , de donde,

2 R+E

E= R[~ -1] ' f.2_ -e-X (p G ti/z. CDS-

2

E en funcin ele T v .J: Reemplazando la ecuacin (3-2) en la ecuacin (3-4), se tiene: [ ][ l Ll T 1 Ll sen -E= --Ll --Ll -1 , pero, tan - =--% tan CDS- 2 CDS-2 2 2

(3-1)

(3-~)

(3-3)

(3-4)

CAP 1 ULO J_ DISEO GEOi\I(:'. l RICO HORJZON 1 :\L PLAN 1 ,\

Tambin se sabe que.

T 2

Ll T sen

[ ~ Ll sen - CDS - ( 4 ) CDS E = Ll Ll sen - = Ll 4 4 4 Ll E= T tan -4

M en funcin de R v .J:

, esto es.

En el tringulo rectngulo O B PC. se tiene: Ll 08 OA-AB R-M

cos -- = --- = - ---- = -- , de donde, 2 OPC OPC R

~N/:er_E. L

37

(3-5)

(3-6)

!

11

1

38 J:\.\lES C:\RIJLN:\S liRIS:\LLS

3.2.3 Expresin de la curvatura de una curva circular simple

La curvatura de un arco circular se fija poi su 1 aclio R o por su grado G Se llama grndo de cw vatwa G al valo1 del ngulo cenl! al subtendido por un arco o c11eu/a de determinada longitud. escogidos como arco unidad s o c11e1 da 1111idad e En nuestrn medio, el meo unidad o la cue1da unidad usualmente es de 5. l O y 20 metros

O SISTEMA ARCO-GRADO

En este caso. segn la Figura 3. 2, el ngulo central G, es subtendido por un arco unidad s

PI

.-\-s--~ ' ' ' ' ' ' ' ,,, '

' ' ' ' )k

" " o

Figura 3.2 Curvatura por el sistema arco-grado

Relacionando ngulos centrales con arcos, se tiene que:

CAPi ULO 3 r.:;tSEO GEOii.11:: 1 RICU ! (()!UZON.1 :\L PL.\N r.-\

G 360 . i. = --- , de donde. s 2TTR

180's G, =--;p

39

(3-7)

Para este sistema. la longitud de la curva Ls, es la del meo ci1cular entre sus puntos extremos PC y PT

Ioualmente, relacionando arcos con ngulos centrales, se puede " plantear que:

S = s , ele donde, 11 G,

L, = ~ (3-8) s

Reemplazando la ecuacin (3-7) en la (3-8 ), se tiene, L =~ t es

s 180s ,eso,

TTR L = rrRIJ :::.. . ;, (_ /2aJ1'"tteJ)

s 180 (3-9)

~ SISTEMA CUERDAGRADO

En este caso, segn la Figura 3.3, el ngulo central G, es subtendido por una cuerda unidad c ..

En uno de los dos tringulos formados, se tiene:

e

sen G, = 2 2 R

, de donde,

e G = 2 arcsen --e 2R

(3-10)

1

11

r ' '

1

:

11 11

il '

40 J:\,\lES l:\[{!Jf:NAS CiRJSALES

/ ,,, /

;'I:) li_J_;Gc

'''/ ' ' ' ''' " , '" '" "'

o

Figura 3,3 Curvatura por el sistema cuerda,grado

Para este sistema, Ja longitud de Ja curva L,, es Ja ele una poligonal inscrita en ella desde el PC al PT, cuyos lados son cuerdas. De esta manera, si se relacionan cuerdas a ngulos centrales, se puede plantear que:

~. = ~- , de donde, LI G,

L,=~LI (3-11) e

EJEMPLO 3. 1: Relacin entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado

Mediante este ejemplo, se explica la relacin que existe entre los sistemas arco-grado y cuerda-grado Para tal efecto, supngase que se tiene un ngulo ele cleflexin principal i.1=120 y un radio R=42m

CAP IULO 3. DISEO GEOidl~ l'IUCO ! H-lR!ZO~ :\!. PL:\N r:\ ~I

.1 la relacin que existe entre los sistemas En ia F iguia 3 4, se 1 ustra arco-grado y cuerda grado ..

/

Figura 3 4 Relacin entre los sistemas arco,grado y cuerda,grado

Al tomar como arco unidad s=10m. segn la ecuacin (3-7), el grado de curvatura G5 es: ' - 180' s = 180'(10) = 13' 38' 30 67" G, - rrR rr(42)

La cuerda equivalente e, al arco s=10m es: G, ( ) 13' 38'3076" _ 9976m

El arco equiralente s, a la cuerda c=10m es: s. = rrRG, = rr(42)(13 40' 2742") = 10 024m >e= lOm " 180" 180"

Puede observmse que el meo equivalentes, es ~4 mm ms largo La longitud de la cu1va poi el sistema arco L,. segn la ecuacin (3-8). es:

L = sLl = 10(120") = 87 965m s G 13" 38' 30 67" s

De igual mane1 a. la longitud de la Clll va por el sistema cuerda L" segn la ecuacin (3-11 ), es: L = cLl = 10(120") = 87 756m < L ' G 13" 40'27 42" s

'

La longitud de la curva por el sistema cuerda equivalente Lee, es: L = c,Ll 9.976(120) = 87 753m " G 13" 38' 30 67" s

Obsrvese que L, es prcticamente lo mismo que L,, Esto quiere cleciL que una curva calculada por el arco puede ser localizada con cualquier cuerda, a excepcin de que cua!quie1 ajuste que se haga se debe realizar sobre la longitud calculada por la cuerda y no por el arco. Obviamente, el abscisaclo que prevalece a partir del PT, es el del sistema meo. Por lo tanto, para que las abscisas, por ejemplo a cada 1 O metros, sobre la curva coincidan con las del sistema arco, y si la localizacin se realiza por cuerdas. se debe utilizar la cuerda equivalente.

3.2.4 Deffexin de una curva circular simple

Tradicionalmente, el clculo y la localizacin ele las curvas circulares simples en el teneno, se realizan por el mtodo ele los ngulos ele ele flexin

ULO 3. DISEO GE01\ll~ rR!CCl HORIZON r :\L_ PL:\>.: !':\

Se clenornina ngulo de de//exin ele una curva. al ngulo lmiacl,o entre cualquier lnea tangente a la curva y la cuerda cl1n.g1cl.a desde el

unto ele tangencia a cualquier otro punto p sob'.e l~ cu1\ d. Lll co~no,lo ~rnestra la Figura 3 .5, para el ngulo ele clellex.1on 1 conesp01~clie.ntc ~ l Pe \. e l Junto p1 v el angulo ele clellex1on u Ja tangente en e ; ~

correspondiente a la tangente en el punto O y el punto P1

o

Figura 3.5 Concepto de ngulo de deflexin

Por un teorema ele la geometria se sabe que el ngulo semi inscrito ,y es iaual a la mitad del ngulo central lf!. Esto es, en general: " =-1.

2 (3-12)

La anterior expresin ele igualclacl ele ngulos se 1:uecle co'.11probrn en la figura anterior, pues los lacios que forman los angulas ' y r,o,!2 son perpendiculares entre s. As por eemplo:

44 J:\i\!ES CARDl~N .. \S UR!S:\LLS

Puesto que el lado PC PI es perpendicular al lado O PC y el lado PC P1 perpendicular al lado OA

lgualmente. , = __ (/!_,

2

El mtodo ms usual en nuestro medio es el de calcular y cleflectar las cut vas desde el PC En este mtodo se pueden ptesentar dos casos:

O DEFLEXIN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PC ES REDONDA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, L,. ES IGUAL A UN NMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e

Realmente este es un caso poco comn, especialmente en lo que respecta a la longitud ele la curva_ Sin embargo, se ha planteado ele esta forma con el propsito de entender ms fcilmente el mtodo ele las cleflexiones.

Se entiende pot abscisa redonda, aquella que es mltiplo ele la respectiva cuerda unidad que se utilice. As por ejemplo, para una cuerda unidad ele 5 metros una abscisa 1edoncla es el K2+225, para l O metros el K3+430 y para 20 metros el K5+680 ..

Por Jo tanto, ele acuerdo a la Figurn 3 .6, en la que se ha supuesto que la longitud de la curva sea igual a tres (3) cuerdas unidad, se tiene:

Segn la ecuacin (3-12), la cleflexin para la cuerda unidad e es: =G' (3-13)

2

Entonces, para el punto p, sobre la curva, la cleflexin es:

- G, ,- 2

CAPi JULO 3. DISEO GEOi\IETRICO HOR!ZO~ 1 :\L. J'L,\N ! A 45

Figura 3-6 Deflexin de una curva circular. Caso particular

Para localizar el punto P1 en el campo, se estaciona el trnsito en el PC con ceros en la direccin del PL Se cleflecta el ngulo s, y en esta direccin se miele la primera cuerda unidad e, quedando materializado dicho punto

Para el punto P2 la deflexin es: = G, + G, = G, + Q,_ = , + G,

2 2 2 2 2

De igual manera, para localizar el punto P2, se marca en el trnsito el ngulo Si y se miele la segunda cuerda e desde el punto P1 La

Cr\RDENAS GRIS:\LES

interseccin de esta medida con la visual dirigida desde el PC materializa este punto

Para el ltimo punto, el PT, la deflexin es: _ G, + G, + G, G, + G, + G, = ( , + G,) + G, = 62 + G, - 2 2 2 l 2 2 2

Al marcar en el trnsito el ngulo ele clcflexin 53, la direccin de la visual debe coincicli1 con el PT y la distancia P2PT debe ser igual a la cuerda unidad c. La no-coincidencia e igualdad, identifican la precisin en el cierre ele la curva, puesto que el PT ha siclo previamente localizado desde el PI

Resumiendo:

, =s_ 2

2 =, +5-2

i = 62 + G, = 3G, = ~ 2 2 2

De acuerdo con las expresiones anteriores, se puede ver que, la cleflexin para cualquier punto sobre la curva es igual a la cleflexin para el punto anterior ms la cleflexin por cuerda unidad GJ2, y que la cleflexin al PT es igual a LJ/2 ..

DEFLEXIN DE UNA CURVA CIRCULAR CUANDO LA ABSCISA DEL PC ES FRACCIONARIA Y LA LONGITUD DE LA CURVA, L,, NO ES IGUAL A UN NMERO EXACTO DE CUERDAS UNIDAD, e

Este es el caso ms general que se presenta, en el cual al traerse un abscisaclo desde un cierto origen, se llega al PC con una abscisa fraccionaria, por ejemplo el K2+423 876. El primer punto de la curva debe situarse en la abscisa redonda inmediatamente superior a la del PC, la cual depende ele la cuerda unidad que se est utilizando. As poi ejemplo, para c=5m es el K2+425, para c=10m es el K2+430 y para c=20m es el K2+440. La distancia del primer punto al PC es la diferencia entre

CAP ! ULO 3. DISEO GEOtvl !'RICO HOR!ZON'l AL. PLANTA 47

su abscisa redonda y la del PC, que para el ejemplo es l l24m, 6 124m y 16 124m respectivamente Esto mismo se presenta antes del PT

Como puede observarse, se han originado cuerdas ele rnenor l~ngit~rcl ue la cuerda unidad, las cuales se clenormnan subcue1das, ) cu;as

def!exiones correspondientes se deben calcular proporcionalmente al valor de la cuerda unidad c. De all que es necesano dete1m111m la dejlexin por mello d, as: 5- ==> "e" metros 2

d ==> "1" metro

De donde, d = G,

2c (3-14)

Para las diferentes cuerdas unidad de 5111, 1 Om y 20111, las cleflexiones expresadas en grados por metro son:

d' = G; = 'I m 5 10m G'

d' =-'-= '/m 10 20m G'

d' =-'-= '/m 20 40m

cleflex.1011es pt1eclen ser expresadas en minutos por Tambin estas metro:

- G; (60') = 6G' = / m ds - 10m 1' e

d = _ - = 3G, = I m G; (60') , ' 20m 1'

d = _ - = 1 5G, = I m G; (60') , 20 40m 1'

Conocida la deflexin por metro, la cleflexin por subcuerda es:

48 .!Ai\!ES Ct\ROCN,\S GR!SALES

Deflexin por subcuerda =(Longitud subcuerda)(De'l , ) 11ex1on por metro Con el propsito de explicar este mtodo ,,, , , tiene la curva de la F" . beneiaL supongase que se

' ' igm a " 7 trazada con 1 b adyacente al PC y e, advacente , 1 PT , d , ' .. e

0.s su cuerdas c1

, ,l os cue1das urndacl c. tal que:

Figura 3.7 Deflexin de una curva circular. Caso general

Deflexin para: p1

1 = c1 (d) =e{~~ J = ~e ( ~ J Pero, G, = 21_

e c1 , entonces,

C:\Pi l'ULO 3. DISEO GEOi'vll'.:-1 R!CCl !!ORl/UN r:\L !'l.:\N l r\ 49

= g, (Cj_) . esto es. 1 e, 2 , = 21 =_.Pi

2 2

Deflexin para: P2

2 = g, +G, -2L+~=1 +~='P.1_ 2 2 2 2 2

Deflexin para: PJ

63 = g1 + G; + G, ( g; + G;) + G; = 62 + ~, = ({!23 Deflexn parn el: PT

64 =g,+G, ;G, rg, (g; +~e+ G; )-ig; =i+g; = ({!2, =% Esta de flexin se puede exp1 esar tambin corno,

, = (~e +~e)+ ( g; + g;) = % Esta ltima deflexin dice que,

Oef/exin al PT=Deflexin (por cuerdas completas+ por subcuerdas)

Y debe ser igual a .112. De nuevo, la no-coincidencia ele esta ultima visual con el PT materializado desde el PI. indica el error ele cierre en ngulo de la curva

EJEMPLO 3.2: Elementos geomtricos v deflexiones de una curva circular simple derecha

Datos: Para una curva circular simple a la derecha como la mostrada en la Figura 3 8, se conocen los siguientes elementos:

50

13-umbo de la tangente de entrada Angulo de def!exin principal Abscisa del PC Radio de la curva Cuerda unidad

Calcular:

= N31 'E =.d=60'D

JA/\'JES CARDEN.-\S GRISALLS

= K2+423 740 = R= 70m =e= 10m

a) Los dems elementos geomtricos b) Las deflexiones

1 ~' ~=60' ;;

P/t- :::'-::=-f-Pr ___ _ r a

~

}

o

Figura 3.8 Curva circular simple derecha

Solucin:

a) Elementos geomtricos

Grado de curvatura: G, e 10 G, = 2 arcsen- = 2 arcsen-- = 811'3152"

2R 2(70)

CAPi ! UL 3. DlSEO GEOi\.H:. J"R!CO HOR!ZON l"Al. PL.-\N l :\ 51

LonE!itud de la curva: L, = cil = 10(60) = 73 241m

L, G 811'3152" e

Cuerda larga: CL il 60

CL = 2R sen-= 2(70)sen-= 70 OOOm 2 2

Externa: E

E=Rl~-11=70l 160 , 1]=10829m cos- cos-

2 2

Ordenada media: M

M = R(1-cos} J = 10(1-cos 6~ 0 J = 9 378m Abscisa del: PT Abscisa PT =Abscisa PC + L, = K2 + 423 740 + 73 241=K2+496 981

Rumbo de la tangente de salida: a= 180 -31 -!J = 180 -31' -60 = S89E

b) Deflexiones

Deflexin por metro:

La deflexin expresada en grados, minutos y segundos, por metro es: 8011

'3152

" 024'34 58" I m d G; ' = 20m 20m

52

Deflexin por cuerda unidad:

G, 811'3152" 4'5'45 76" /cuerda 2 2

Deflexin por subcuerda adyacente al: PC Longitud subcuerda = 430-423 740 = 6 260m

J:\:\!ES l1\RDEN:\S GRIS:\l.!:S

Deflexin por subcuerda = 6 260m(O 24'34 58" / m) = 2 33'50 87"

Deflexin por subcuercla advacente al: PT Longitud subcuerda = 496 981 -490 = 6 981 m Def/exin por subcuerda = 6 981m(O24' 34 58" / m) = 2 51'34 04"

Chequeo deflexin al: PT Def!exin al PT = Def/exin (por cuerdas completas+por subcuerdas) Deflexinal PT = 6 cuerdas(45'45 76" /cuerda)+ 2'33'50 87"+2'51'34 04" Def/exin al PT = 2959'59 47""' ~ = 30

2

Las 53 centsimas de segundos (O 53") faltantes pata completar el valor exacto de d2=30se deben a los redondeos en las cifras decimales

De esta manera, con toda la informacin anterior, se puede elaborar la cartera de trnsito para la localizacin ele la curva. tal como se indica en la Tabla 3J

La primera columna de esta cartera indica los puntos ele estacin del trnsito, que para el caso corresponden al PC y PT respectivamente. La segunda columna corresponde a las abscisas, las cuales, como puede observarse, se han llevado de abajo hacia arriba por simple comodiclael de lectura en la localizacin del eje ele la va en el campo. La tercera columna muestra los diversos ngulos ele deflexin que permiten materializar la curva. La cuarta columna presenta la informacin correspondiente a todos los elementos geomtricos que definen la curva. En Ja quinta columna se indican los rumbos o acimutes de las tangentes de entrada y salida respectivamente. Y en la sexta columna se disponen las anotaciones u observaciones que sean necesarias.

CAPiTULO 3. DISEO GEOt\l:: ! H.ICO HORIZON !':\L_ PLAN 1 :\ 53

1

1,\

1

1

,

1

Tabla 3 1 Cartera de trnsito o localizacin de una curva circular simple derecha 1 ELEMENTOS l~RUMBO il\"TACIONES]i - r ABSCISA 1 DEFLEXION ESTACION 1 1 1 1 1

1

K2+560 000 540

1 ' ' 520 500

.1 29'5959 4T .) o 600 S89E 0 PT PT K2+496 981

l, 490 2i'08'25 43' R, 10 ooom

480 23'02'39 67" e 10m 185653 91' G,,08'1131 52' li 470 ,

460 1451'0815" To40415m li 450 10'4522 39 Lco::73241m !'i 440 06'3936 63 CL 0 70 OOOm 1 430 023350 87" Eo10829m ri PC I,

K2+423 740 000000 oo M 9 378m N3FE ' PC

1 1 420 \ 1 I\ 400

380 il K2+360 000 --~ ----~~~"""'"~""'"--------==

EJEMPLO 3.3: Elementos geomtricos y deflexiones de una curva circular simple izquierda

~:;.~st~na curva circular simple a la izquierda como la mostrada en la Figura 3.9, se conocen los siguientes elementos:

Rumbo ele Ja tangente de entrada ngulo de deflexin principal Abscisa del Pi Coordenadas del PI Cuerda unidad Grado de curvatura

= N72'30'E = L1 = 60 '30'/ = K2+226 = 1 OOOON, 5000E =e= 20m = G, = 6

Calcular: a) Sus elementos geomtricos: radio, tangente,

cuerda larga, externa y ordenada mecha b) Las abscisas del PC Y PT. c) Las coordenadas del PC Y PT el) Las cleflexiones.

longitud ele curva,

54 Jt\i'v1ES C:\RDEN:\S GRJS:\LES

.; ! 1

Figura H Curva circular simple izquierda

Solucin:

a) Elementos geomtricos

Radio: R R= e

2 sen G, 2

Tangente: T

20 6, = 191 073m 2sen-2

Ll ( 6030'] T = Rtan 2 =191 073 tan -2

- =111430m

C:\P l ULO 3. DISEO GEOi\ll:: rR!CO HORIZON 1 :\L Pl.,\N [ ,\

Lornrilud de la curva: L,

L = cLl = 20(60"30') = 201 667m ' G 6' e

Cuerda larga: CL Ll 6030' CL = 2R sen = 2(191073)sen ---- = 192 515m 2 2

Externa: E

E= R[-1- -1] = 191 073(--~- -1 = 30118m Ll 60"30' CDS - CDS ------

2 2 -

Ordenada media: M

( Ll) ( 60'30') M=R 1-cos 2 =191073 1-cos-2- =26017m b) Abscisas del PC y PT

Abscisa PC =Abscisa P/-T = K2 + 226-111430=K2+114 570 Abscisa PT =Abscisa PC + L, = K2+114 570 + 201 667 = K2 + 316 237 e) Coordenadas del PC y PT

Coordenadas del: PC Norte = 10000 -T cos 72 30' = 10000-111 430(cos 72 30') = 9966 492 Este = 5000- T sen 72 30' = 5000-111 430(sen 72 30') = 4893 727

Coordenadas del: PT

55

Se debe conocer el rumbo de la tangente de salida, para lo cual en el PI, se tiene:

a+ Ll = 7230' , de donde, a = 72 30' -Ll = 72 30' -6030' = 12

56 JAi\!ES C:\RDEN1\S CiRISALl.::S

Esto es. N12 'E, por lo tanto las coordenadas del PT son:

Norte= 10000+Tcosa=10000+111430(cos12" )= 10108 995 Este= 5000 + T sen a= 5000+111430(sen12" )= 5023 168

d) Deflexiones

Detlexin POI metro:

La deflexin expresada en grados, minutos y segundos. poi metro es: G 6

d =-' =-=009'0"/m 20 40m 40m

Deflexin por cuerda unidad: G 6 -J- = 2 = 30'0" I cuerda

Deflexin nor subcuercla aclvacente al: PC Longitud subcue1da = 120-114 570 = 5 430m Deflexin poi subcuerda= 5 430m(09'0" / m )= 048'52 20"

Deflexin por subcuerda aclvacente al: PT Longitud subcuerda = 316 237-300=16 237m Deflexin poi subcuerda = 16 237m(09'0" / m )= 226'7 98"

Chequeo deflexin al: PT Deflexin al PT = Def/exin (por cuerdas completas+pO! subcuerdas) Def/exin al PT = 9 cuerdas(30'0" /cuerda)+ O 48'52 20"+226'7 98" Def/exin al PT = 3015'0 18""' Ll = 3015'

2

De nuevo. las 18 centsimas ele segundos (O 18') sobrantes para completar el valor exacto ele &2=30'15' se deben a los redondeos en las cifras cl.eci~1~les. De esta manera, se elabora la cartera de trnsito parn la localrzacron ele la curva, tal como se indica en la Tabla 3 2

CAPTULO J. DISEO GCOiv!l: ! RJCO 1 !CJRl/ON L\L. Pl.:\N ! ,\ 57

Tabla 3 2 cartera de trnsito o localizacin de una curva circular simple izquierda

1 ESTACION 1 ABSCISA 1 DEFLEXION 1 ELEMENTOS 1 .. RUMBO ~TAClONES], 1

:I

1 l I'

11

PT 1 K2+316 237 300 280 260 240 220 200 180 160 140 120

30'15'00 18" 274852 20' 244852 20"

~ = 60'301 e= 20m

2148'52 20" G, = 6' 184852 20" R = 191 073m ! 1548'52 20" T = 111 430m 1 1248'52 20' Lo 201 66/m ' 0948'52 20' CL = 192515m1 0648'52 20' E= 30 118m ' 0348'5220' M=26017rn 1

0 PT

:1

li -

0048 52 20 1 1

OOOOOOOJ~.-~~~I ~W~12~'3.+0~E~-~--'~~-----~0~---P-~C-PC K2+114570

EJEMPLO 3.4: Elementos geomtricos y deflexiones de curvas circulares simples de sentido contrario

Datos: 1 1

.. ..

1 o

Para el par ele curvas simples ele diferente sentido ele a 1gw a ~ . se conocen los siguientes elementos:

Distancia del P/1 al P/2 = 200 830m Abscisa del PC1 = K4+274

= 86 "38'0 = 10m

G,,

Calcular:

= 6 "30' = 62 42'1 = 5m = 4 '28'

a) Los dems elementos geomtricos ele la cu1 va 1 b) Los dems elementos geomtricos ele la curva 2 c) Las def!exiones ele la curva 1 d) Las clelexiones ele la curva 2

58 J,\i'vlES C,.\RDEN:\S GRJS:\!.ES

Figura 3.10 Curvas circulares simples de sentido contrario

Solucin:

a) Elementos geomtricos de la curva 1

Radio: R1 R - C1

1 - 2 sen 8e1

2

Tangente: T1

10 6,

30, = 88.195m

2sen-2-

Ll ( 8638'J T,=R1tanf=88195 tan-2- =83159m

Lom!itud de la curva: L,1

L =e~= 1o(_~_~~) = 133 282m ei G 630'

el

CAPi'1ULO3. DiSEO GEOi\H:: fRICO HORIZUNT:\l.. PL1\NT:\

Cuerda lama: CL 1 Ll 8638' CL, = 2R1 sen~= 2(88 195)sen -- = 121 009m 2 2

Externa: E1

E =R[--1 -1]=88195[---1 - -1

1

=33023m 1 1 Ll1 86 38'

cos- cos -- 2 2

Ordenada media: M1

( Ll .) ( 8638' J M1 =R1 1-cosf =88195 1-_cos --T-- =24027m

Abscisa: PT1 AbscisaPT1 =AbscisaPC1 +Le1 =K4+274+133282=K4+407282

b) Elementos geomtricos de la curva 2

Tangente: T2

5 ---- =64153m

428' 2sen -2-

T = R tan---'-= 64 153 tan --- = 39 082m Ll ( 62'42'] 2 2 2 2

Longitud de la curva: Le2

L = C2Ll2 = 5(6242') = 70 187m e2 G 428'

e2

Cuerda lama: Cb Ll 62" 42' CL2 = 2R2 sen-.1=2(64153)sen -- = 66 753m 2 2

59

60 J_.\,\11.::S C:\R!JEN:\S Cil\IS:\!.l'.S

Externa: E2

E2 =R2[ 1

!J -1j. =64153l( 1 ~-;-1j'=10967m cos 2 62 42

2 cos 2

Ordenada llledia: M2

( [J ) ( 62'42') M 2 = R2 1- cos 22

= 64 15\ 1- cos - 2- = 9 366m

Abscisa: Pe2 Abscisa Pe, =Abscisa PT1 + PT1 Pe, =Abscisa PT, + [P/1 P/2 -(T, + r, )] Abscisa Pe, = K4 + 407 282 + (200 830 - (83 159 + 39 082 )) = K 4 + 485 871 Abscisa: PT1 Abscisa PT2 =Abscisa Pe,+ L" = K4 + 485 871+70 187 = K4 + 556 058

c) Deflexiones de la curva 1

Con el propsito de mostrar un mtodo en la aproximacin ele los ngulos_ ele cleflexin a cifras enteras o redondas, en este ejemplo dichos angulos se aprnximarn al minuto

Con esta condicin, se tiene:

Deflexin por metro:

Para una cuerda ele l O metros, la ele flexin expresada en minutos por metro es:

d10 =3G;1 =3(630')=195 !m

Deflexin por cuerda unidad: G 630' -"

1 = ---- = 3"15' I cuerda 2 2

CAP l'ULO 3. DISEO GE01\1E rRI(() [()[{!/'.ON r:\l, 11[.,\h' !":\

Deflexin por subcuerda advacente al: Pe, Longitud subcuerda = 280-274 = 6m Oef/exin por subcuerda = 6m(19 5' / m) = 117' = 1"57'

Deflexin por subcuerda advacente al: PT, Longitud subcuerda = 407 282 - 400 = 7 282m Deflexin por subcuerda = 7 282m(19 5' I m) = 141 999'"' 142' = 2' 22'

Chequeo deflexin al: PT, Def/exin al PT1 = Def/exin (por cuerdas completas+por subcuerdas) Def/exin al PT1 = 12 cuerdas(3'15' /cuerda)+ 1"57'+2'22' Def/exin al PT1 = 43 "19' = ~'

61

Es importante anotar que la apro:dmacin al minuto debe hacerse al calcular las cleflexiones por subcuerdas (117' y 142') y no al calcular la deflexin por metro (19 5') Esto garantiza que la dellexin al PT1 sea lo ms cerca posible a 6 112, as como en el caso, que es exactamente igual a 86 "38Y2=43 "19'.

En la parte inferior ele la Tabla 3 .3 se 1nuestrn la cai tera ele trnsito o localizacin ele esta primera curva

En esta cartera tambin se observa que, si se supone que la tangente ele entrada de la primera cm va apunta en la direccin N25 'OO'E, los rumbos calculados para las tangentes ele salida sern respectivamente S68 '22'E y N48 "56'E

d) Deflexiones de la curva 2

Deflexin por metrn:

Para una cuerda de 5 metros, la cleflexin exp1esacla en minutos pm metro es:

d5 = 6G;2 = 6(428')= 26 8 I m

62 J1\I\JES C:\RDEN:\S URISAIJ:S

Tabla 3 3 Cartera de trnsito o localizacin de curvas circulares simples de distint sentido

0

XI N ELEMENTOS j Rl!MBO . ~ )ANOTACIONEsJ

560 ,1

PT1 K4+556 058 3121' N4856'E 11 555 3053

Ci' PT

550 2839' 1

1

545 2625' ) = 6242'1 1

'

540 2411 c2 = 5m 1 1 535 2157 G,= 428' 530 1943' R2 = 64 153m

'I 525 1729' Ti= 39 082m ! 1

520 1515' Ld = 70 187m 515 1301' CL1 = 66 753m i 510 1047 E2 = 10 967m

1 EsTAclO 1 Assc1s;,, 1 oEFLE 1

505 0833 M2 = 9 366m 500 0619' 1 495 0405' 490 0151'

PC1 K4;485 871 0000' S6822'E Ci' PC1 480 470 460 450 440 430 420 410

PT1 K4;407 282 4319' S6822'E \._, '"' \

64

Abscisa del PC de la curva 1 Cuerda unidad, ambas curvas Entretangencia

Calcular: a) Las deflexiones de la curva 1. b) Las deflexiones de la curva 2

Solucin:

= KO+OOO = 10m = 90 020m

De acuerdo con la Figura 3.12, se tiene:

' ' ' ' . \I

o, V o,

JA/\!ES C.-\RDENAS GRJSALES

Figura 3.12 Deflexiones de curvas circulares simples del mismo sentido

a) Deflexiones de la curva 1

Siguiendo la bisectriz P/101, se tiene:

Radio: R1

R1 + f 1 99 790 , f 1 = T, tan LlL 4

CAPiTULO 3. OISEt\.'0 GEO;>.t(1 Rl((l l !ORlZUN'l AL PLAN!'.\

Ll1 R, +E, = R, + T1 tan-; , T, =R, tan~ 2 Ll1 Ll, ( Ll, Lll ) R, + f 1 = R1 + R1 tan - tan - = R, 1 +tan - tan -2 4 . 2 4

R _ R, +E, 1- Ll, Ll1 1 + tan -- tan -- 2 4

Grado: G,,

__

9_

9 _

79_o __ = 86 421m

60" 60' 1 + tan -- tan --2 4

65

Tambin con el propsito de mostrar un mtodo en la aproximacin ele los ngulos de deflexin a cias enteras o redondas, en este ejemplo dichos ngulos se.aproximarn al segundo G,1 = 2 arcsen c, = 2 arcsen ( ..

10 -) = 6"38'0 78"" 6"38'1"

2R, 2 86 421

Lorn!itud de la curva: L,, L = c,Ll1 = 10(60:) = 90 448m

'

1 G 638'1" el

Abscisa: PT1 Abscisa PT1 = Abscisa PC1 + L,1 = K O+ 000 + 90 448 = K O + 90 448

Deflexin por metro:

d;0 = G~, = 6"38'1" = 0"19'54 05" I m 20 20 Dellexin por cuerda unidad: G 6"38'1"

c1 = ... - = 3"19'0 5" /cuerda" 3"19'1" /cuerda 2 2

Deflexin por subcuerda adyacente al: PT1 Longitud subcuerda = 90 448 90 =O 448m Oeflexin por subcuerda =O 448m(0"19'54 05" ! m) =O" 8'54 93"" O" 8'55"

66 J,\i\IES C .. \R[)LN:\S GR!S:\l.LS

Chequeo deflexin al: PT1 Deflexin al PT1 = Deflexin (por cuerdas completas+por subcuerdas) Deflexin al PT, = 9 cuerdas(319'1" I cuerda)+ 08'55" = 300'4""' 30' = Ll,

b) Deflexiones de la curva 2

Radio: R1

R2 = T2Ll , T2 =PI, Pl2 - PT, PC2 - T, tan .. -1 2

Ll ( 60] T, = R1 tan -j- = 86 421 tan T = 49 895m T2 =180-90020-49895=40085m, L\2 =228 -180 =480

_ T2 _ 40.085 R2 - - J- - - ~ .. = 90 032m tan --1. tan 48

2 2

Grado: G,2 c 10 G = 2 arcsen - 2 = 2 arcsen = 622'1 96""' 622'2"

'

2 2R2 2(90 032)

Longitud de la curva: L,2 L = c,Ll, = 10(480 1= 75 386m

'

2 G,2 622'2"

Abscisa: PC2

2

Abscisa PC2 = Abscisa PT, + PT, PC2 = K O+ 90 448 + 90 020 = K O + 180 468

Abscisa: PT2 Abscisa PT2 =Abscisa PC2 + L,2 = KO + 180 468 + 75 386 = KO + 255 854

Deflexin por metro:

d,"0 =~z =-602-2~?" = 019'61" I m 20 20

CAP l'ULO 3. DISEO GEOt\U~- RlCO 1-lORlZOi'\ ! :\L_ 1>! .:\N r:\

Deflexin por cuerda unidad:

G,2 = 622'2" = 311'1" /cuerda 2 2

Deflexin por subcuerda aclvacente al: PC2 Longitud subcuerda = 190-180 468 = 9 532m Def/exn por subcuerda = 9 532m(019'6 1" I m) = 3"2' 4 63""' 3"2'5"

Deflexin por subcuercla aclvacente al: PT2 Longitud subcuerda = 255 854 - 250 = 5 854m Def/exin por subcuerda = 5 854m(019'6 1" I m) = 151'49 27""' 151' 49"

Chegueo deflexin al: PT2 Def/exin al PT2 = Def/exin (por cuerdas completas+por