UNIDAD III.- RESORTES

3.1.- INTRODUCCIÓN.

Los resortes son elementos flexibles que se utilizan en las máquinas con el objeto de ejercer fuerzas, proporcionar flexibilidad y almacenar o absorber energía.

Los resortes se clasifican de manera general en:

a).- Helicoidales. b).- Planos. c).- Formas especiales.

Los helicoidales incluyen los resortes de sección circular o cuadrada, los cuales se fabrican para resistir cargas de tensión, compresión o torsión.

Dentro de los resortes planos se tienen los tipos en voladizo y elípticos.

Algunas formas especiales son usadas en maquinarias de reloj, y los cónicos en forma de rondana denominados arandelas o muelles de Belleville.

3.2.- MATERIALES PARA RESORTES.

La resistencia es una de las características más importantes que se debe considerar cuando se selecciona el material de un resorte.

Los resortes comerciales provienen del grupo de materiales de alta resistencia y bajo coeficiente de pérdida el cual se define como la fracción de energía que se disipa en un ciclo esfuerzo-deformación unitario. En estos materiales se incluyen el acero al alto carbono; el acero inoxidable laminado en frío endurecido por precipitación; las aleaciones no ferrosas y algunos no metálicos especiales como la fibra de vidrio laminada.

Los resortes se fabrican mediante procesos de trabajo en frío o en caliente, dependiendo del tamaño del material, de la relación y de las propiedades deseadas. En general, el alambre preendurecido no se deberá usar si o si pul.

La resistencia a la rotura del material de un resorte varía significativamente con el tamaño del alambre, de manera que la resistencia a la rotura no se puede especificar a menos que se conozca el tamaño. El material y su procesamiento también tienen un efecto en la resistencia a la tensión. Resultados de pruebas extensivas señalan que la gráfica semilogarítmica de la resistencia del alambre contra el diámetro del mismo es casi siempre una línea recta para algunos materiales.

La información para siete materiales se puede ajustar cercanamente por la forma exponencial siguiente:

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-------------------------------- (3.1)

en donde = diámetro del alambre. y son valores que se obtienen de la tabla (3.1)

Material ASTMNúm.

Rango del tamaño pul mm

Exponente Constante, kpsi (Mpa)

Alambre de piano A228 0.004-0.256 0.10- 6.5 0.145 201(2211)Alambre T y R en aceite A229 0.020-0.500 0.5-127 0.187 147(1855)Alambre estirado duro A227 0.028-0.500 0.70-12.7 0.190 140(1783)Alambre al cromo-vanadio A232 0.032-0.437 0.80-11.1 0.168 169(2005)Alambre al cromo-silicio A401 0.063-0.375 .60- 9.5 0.108 202(1974)Alambre inoxidable A313 0.013-0.10 0.30- 2.5

0.100-0.20 2.50- 5.0 0.200-0.40 5.00-10.0

0.1460.2630.478

169(1867)128(2065)90(2911)

Alambre de bronce fosforado

B159 0.004-0.022 0.10- 0.6 0.022-0.075 0.60- 2.0 0.075-0.30 2.70- 5.0

00.0280.064

145(1000)121(913)110(932)

Tabla (3.1).- Coeficientes usados en la ecuación (3.1) para cinco materiales de resorte.

En el diseño de resortes el esfuerzo permisible es la resistencia a la fluencia por torsión en vez de la resistencia a la rotura. Una vez que se conoce la resistencia a la rotura por medio de la ecuación (3.1), el esfuerzo a la fluencia por cortante (esfuerzo cortante permisible) se obtiene mediante las siguientes relaciones:

(Alambre de piano y alambre para resorte de acero estirado duro)

(Alambre de resorte de válvula, Cr-Va, Cr-Si y alambres de baja aleación)

(Acero inoxidable austenítico y aleaciones no ferrosas)

(para aceros de alta resistencia a la tensión)

3.3.- RESORTES HELICOIDALES DE COMPRESION.

La figura siguiente muestra un resorte helicoidal de compresión hecho de alambre redondo sometido a una carga axial .

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Figura (3.1).- Resorte helicoidal con carga axial.

Si seccionamos el resorte anterior se observa lo siguiente:

Figura (3.2).- Diagrama de cuerpo libre del resorte helicoidal.

Podemos observar dos tipos de esfuerzos cortantes:

a).- Por carga:

b).- Por torsión:

El esfuerzo cortante máximo es la suma de los esfuerzos cortantes anteriores:

------------------------ (3.2)

Si introducimos el término “índice del resorte” , y sustituyéndolo en la ecuación (3.2) se obtiene lo siguiente:

----------------------------- (3.3)

---------------------------- (3.4)

= Factor de corrección de esfuerzo cortante (solo se utiliza para condiciones estáticas).

En la mayoría de los casos varía e 6 a 12. La ecuación (3.3) es muy general y se aplica tanto para cargas estáticas como dinámicas.

3.3.1.- Efecto de la curvatura.La curvatura del alambre intensifica el esfuerzo en la parte interna del resorte, pero lo reduce ligeramente en el exterior.

Tomando en cuenta el efecto de la curvatura, la ecuación (3.3) se reemplaza por la expresión

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------------------------- (3.5)

------------------------------ (3.6) (“ Factor de Bergstrasser” )

La ecuación (3.5) se deberá usar para carga cíclica (esfuerzos por fatiga).

3.3.2.- Deflexión.La relación fuerza deformación en un resorte helicoidal se puede obtener a partir del teorema de Castigliano el cual nos dice que: la deflexión en un resorte es igual con la derivada parcial de la energía de deformación con respecto a la fuerza aplicada.

Si la energía de deformación es : , en donde , , ,

y ; por lo que: ------------------(a)

Aplicando el teorema de Castigliano se tiene: ------------- (b)

en donde = número de espiras activas.

Puesto que , la ecuación (b) puede ordenarse de tal forma que:

----------------------- (3.7)

La constante del resorte es , por lo que:

---------------------------------- (3.8)

3.3.3.- Condiciones de los extremos y longitud del resorte.En la siguiente figura se presentan cuatro tipos de extremos usados comúnmente en los resortes de compresión:

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(a) (b) (c) (d)

Figura (3.3).- Tipos de extremos usados en los resortes de compresión: (a) Simple; b) Simple y aplanado; c) A escuadra; d) A escuadra y aplanados.

En la tabla siguiente se indican fórmulas útiles para el paso, longitud y número de espiras de resortes de compresión para las cuatro condiciones de los extremos descritos en la figura anterior.

Tipos de extremos

Término Simple Simple y rectificado

A escuadrao cerrado

A escuadra y rectificado

Número de espiras en los extremos, 0 1 2 2Número total de

espiras, Longitud libre,

Longitud sólida,

Paso,

Tabla (3.2).- Fórmulas para calcular las dimensiones de resortes de compresión.

Dos términos importantes usados en resortes son:

a).- Longitud sólida .b).- Longitud libre .

Longitud sólida ( ) .- Es la longitud del resorte cuando todas las espiras adyacentes están en contacto metal con metal.

Longitud libre ( ).- Es la longitud del resorte cuando no se aplican fuerzas externas sobre él.3.3.4.- Estabilidad.Al igual que en las columnas, los resortes de compresión sufren pandeo cuando la carga axial deformante es demasiado alta. La deformación crítica está dada por la ecuación:

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--------------------------- (3.9)

----------------------------- (3.10)

--------------------------- (3.11)

--------------------------- (3.12)

en donde = módulo de elasticidad = módulo de rigidez = constante de apoyo en los extremos ( Tabla 3.3).

Forma de extremo Constante Resorte soportado entre superficies paralelas planas (extremos fijos)

0.5

Un extremo soportado por una superficie plana perpendicular al eje del resorte (fijo); el otro extremo articulado (con pivote)

0.707

Ambos extremos articulados (con pivote) 1Un extremo con sujeción y el otro libre 2

Tabla (3.3).- Constantes de apoyo de extremo.

3.3.4.1.- Estabilidad absoluta.

Esto ocurre cuando en la ecuación (3.9) .

Lo anterior significa que la condición para la estabilidad absoluta es:

---------------------------- (3.13)

En el caso de los aceros, se tiene: --------------------------------------- (3.14)

Para extremos a escuadra y esmerilados y .3.3.5.- Frecuencia crítica de resortes helicoidales...Cuando los resortes se emplean en aplicaciones que requieren un movimiento recíproco rápido, el diseñador debe tener la certeza de que las dimensiones físicas del resorte no provocarán una frecuencia natual vibratoria cercana a la frecuencia de la fuerza aplicada, pues podría ocurrir el fenómeno de resonancia, que causaría esfuerzos perjudiciales.

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Las frecuencias armónicas naturales de un resorte colocado entre dos placas planas paralelas, en rad/s, son

donde la frecuencia fundamental se determina para , la segunda armónica para , y así sucesivamente.

Por lo general interesa la frecuencia en Hertz (o ciclos por segundo). Para la frecuencia fundamental en hertz y suponiendo que los extremos del resorte están en contacto con las placas, la expresión es

------------------------ (3.15.a)

Si un extremo está libre y el otro está apoyado sobre una placa plana, la ecuación que resulta es

------------------------ (3.15.b)

En las fórmulas anteriores

= constante del resorte= aceleración de la gravedad

(peso de la parte activa del resorte)

= número de espiras activa= peso específico del material= diámetro medio del resorte= diámetro del alambre

3.3.6.- Carga por fatiga de resortes helicoidales en compresión.Los resortes están sometidos casi siempre a cargas por fatiga. En muchos casos el número de ciclos de vida que se requiere debe ser pequeño, por ejemplo en los interruptores que es de algunos miles solamente. Sin embargo resortes como los de las válvulas de los motores están sometidos a millones de ciclos de operación sin falla, por lo que deben diseñarse para una vida infinita.

Para mejorar la resistencia a la fatiga de resortes cargados dinámicamente suele usarse el granallado. Este procedimiento puede incrementar en 20% o más la resistencia a la fatiga torsional.

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El granallado es el trabajo en la superficie del material para causar esfuerzos residuales de compresión que refuerzan la superficie.

Se ha demostrado que la resistencia a la fatiga en los resortes para una vida infinita es:

Resortes sin granallar:

Resortes granallados:

--------- (3.16)

En la elaboración del diagrama de Goodman o el diagrama , es necesaria la resistencia máxima por cortante . Para resortes de acero se tiene que:

------------------------------- (3.17)

Criterio de Goodman:

---------------------------- (3.18)

Las fuerzas alternante y media se expresan como sigue:

------------------------- (3.19)

--------------------------- (3.20)

-------------------------------- (3.21)

------------------------------- (3.22)

en donde = fuerza máxima = fuerza mínima = fuerza alternante = fuerza media

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= esfuerzo alternante = esfuerzo medio

Material Diámetro (pul)

Módulo de elasticidad

,Mpsi(GPa)

Módulo de elasticidad por cortante,

,Mpsi(GPa)Alambre de piano (A228) <0.032

0.033-0.0630.064-0.125

>0.125

29.5(203.4) 29.0(200) 28.5(196.5) 28.0(193)

12.0(82.7) 11.85(81.7) 11.75(81.0) 11.6(80.0)

Estirado duro (A227) <0.0320.033-0.0630.064-0.125

>0.125

28.8(198.6) 28.7197.9)

28.6(197.2)28.5(106.5)

11.7(80.7)11.6(80.0)11.5(79.3)11.4(78.6)

Templado en aceite (A239) - 28.5(196.5) 11.2(77.2)Resorte de válvula (A230) - 29.5(203.4) 11.2(77.2)Cromo-vanadio (A231) (A232)

--

29.5(203.4)29.5(203.4)

11.2/77.2)11.2(77.2)

Cromo-silicio (A401) - 29.5(203.4) 11.2(77.2)Acero inoxidable (A313) (A414) (A420) (A431)

----

28.0(193) 29.0(200) 29.0(200) 30.0(206)

10.0(69.0)11.2(77.2)11.2(77.2)11.5(79.3)

Bronce fosforado (B159) - 15.0(103.4) 6.0(41.4)

Tabla (3.4).- Propiedades generales de materiales de resortes comunes.

3.4.- RESORTES HELICOIDALES DE EXTENSIÓN.

Cuando se aplica una carga en un resorte de extensión, es importante que la forma de los ganchos o espiras de los extremos, se diseñen de tal manera que los efectos de la concentración de esfuerzos causada por la presencia de dobleces agudos disminuyan tanto como sea posible.

A continuación se pueden observar algunas características importantes de este tipo de resorte:

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Figura (3.4).- Tipos de extremos que se emplean en los resortes de extensión.

Figura (3.5).- Extremos para resortes de extensión: (a) Diseño convencional; (b) Vista lateral de la figura (a); (c) diseño mejorado de (a); Vista lateral de (c) (d) vista lateral de (c).

Los esfuerzos en el cuerpo del resorte de extensión se manejan igual que en el caso de los resortes de compresión. Al diseñar un resorte con un extremo de gancho, la flexión y la torsión en el gancho deben incluirse en el análisis. En la figura (3.5) parte (a) y (b) se muestra un método muy utilizado para diseñar el extremo. El esfuerzo de tensión máximo en , debido a la flexión y a la carga axial, está dado por

------------- (3.23)

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es un factor de corrección del esfuerzo flexionante de la curvatura, y se determina por

--------- (3.24)

El esfuerzo de torsión máximo en se obtiene mediante la expresión

------------- (3.25)

----------- (3.26)

En las figuras (3.5) (c) y (d) se muestra un diseño mejorado por la reducción del diámetro de la espira.

Los resortes de extensión se fabrican con espiras que hacen contacto entre si, sin embargo se prefiere cierta tensión inicial con el propósito de mantener la longitud libre con mayor precisión. En la figura (3.6a) se muestra la curva de carga-deflexión correspondiente, donde es la extensión más allá de la longitud libre y es la tensión inicial en el resorte que debe superarse antes de que el resorte se doble.

Figura (3.6)

De acuerdo con la figura (3.6a), la relación carga deflexión es

--------------- (3.27)

La longitud libre del resorte medido dentro de las espiras o ganchos de los extremos como se muestra en la figura (3.6b) puede expresarse por

------------------------- (3.28)

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en donde = longitud libre = índice del resorte = Número de espiras del cuerpo

La razón del resorte se determina mediante la expresión

en donde

-------------- (3.29)

La cantidad de tensión inicial que un fabricante de resortes puede incorporar e manera rutinaria es el que se muestra en la figura que se muestra a continuación:

Figura (3.7)

3.5.- RESORTES HELICOIDALES DE TORSIÓN.

Los resortes de torsión son utilizados en aplicaciones que requieren un momento de torsión, como por ejemplo en las bisagras o goznes de algunas puertas y en arrancadores de automóviles. Se forman por arrollado de la misma manera que los resortes de tensión y compresión, pero sus extremos se diseñan para transmitir momento torsionante.

La siguiente figura nos muestra un ejemplo común de un resorte helicoidal de torsión:

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Figura (3.6).- Resorte helicoidal de torsión.

Los resortes de torsión pueden diseñarse para que funcionen a niveles de esfuerzo que sean iguales o excedan la resistencia de fluencia del material del alambre.

El esfuerzo de flexión puede obtenerse aplicando la teoría de la viga curva:

------(a)

= factor de concentración de esfuerzos que depende de la forma del alambre.

Para alambre redondo se tiene:

---------------------------- (3.30)

El esfuerzo por flexión para un resorte de tensión hecho de alambre redondo se determina como sigue:

------------------------------ (3.31)

La deflexión angular total en radianes es:

----------------------------- (3.32)

----------- (3.33)

= espiras de cuerpo

La deflexión angular en revoluciones es:

------------------- (3.34)

El módulo del resorte es:

------------------------ (3.35)

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Esta constante puede representarse también como el momento de torsión requerido para enrollar el resorte una vuelta completa; esto es:

------------------- (3.36)

Se ha demostrado experimentalmente que el efecto de la fricción entre las espiras y el mandril es tal que la constante 10.2 se debe incrementar a 10.8 por lo que las ecuaciones 3.34 y 3.36 se transforman en

------------------------ (3.37)

------------------ (3.38)

Frecuentemente los resortes de torsión se utilizan sobre una barra redonda. Cuando se aplica una carga, el resorte se arrolla hacia arriba, causando una disminución en el diámetro interior. El diámetro interior de un resorte de torsión cargado es:

---------------------------- (3.39)

en donde = diámetro medio de la espira = diámetro del alambre = número de espiras en el resorte sin carga = diámetro interior del resorte sin carga = número de espiras en el resorte con carga = diámetro interior del resorte con carga

Resistencia estática.Algunos valores importantes de la resistencia a la fluencia para resortes sometidos a torsión son:

---------------- (3.40)

Resistencia a la fatiga.El factor de seguridad que protege contra la fatiga está dado por

54

-------------------- (3.41)

3.6.- RESORTES BELLEVILLE.

Estos resortes se forman como un disco cónico, y son especialmente útiles donde se requieren grandes fuerzas y pequeñas deflexiones. Entre las aplicaciones comunes se incluyen los soportes de platos de embragues, los mecanismos de retroceso de pistolas y una gran variedad de conexiones con pernos.

En la siguiente figura se observa la sección transversal de un resorte Belleville. De los parámetros principales que afectan a estos resortes son:

a).- Razón del diámetro: b).- Razón altura espesor: h/t

Figura (3.7).- Resorte Belleville común.

Con base a la figura (3.8), el comportamiento de un resorte Belleville el altamente no lineal y varía demasiado con un cambio . Para valores pequeños de el resorte actúa casi linealmente, mientras que para valores mayores conducen a un comportamiento altamente no lineal.

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Figura (3.8).- Respuesta fuerza deflexión de un resorte Belleville.

Las curvas fuerza-deflexión para resortes Belleville están dadas por

--------------------------- (3.42)

donde = módulo de elasticidad = deflexión desde un estado sin carga = diámetro exterior de la espira = módulo de Poisson para el material = altura del resorte = espesor del resorte

El factor está dado por -------------------------- (3.43)

La fuerza que se requiere para aplanar completamente un resorte Belleville está dada por:

----------------------------- (3.44)

Las fuerzas asociadas con un resorte Belleville se pueden multiplicar apilándolos en paralelo como se muestra en la figura (4.9a). La deflexión asociada con una fuerza dada se puede incrementar apilando los resortes en serie, según se observa en la figura (4.9b).

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Figura (3.9).- Apilado de un resorte Belleville. (a) En paralelo; (b) en serie.

Problema 3.1.- Un resorte de compresión helicoidal con los extremos a escuadra y rectificados, tiene un diámetro exterior pul, 19 espiras, diámetro del alambre de 0.085 pul, alambre musical, longitud libre pul. Determinar el índice del resorte, el paso, la longitud sólida , el esfuerzo cortante cuando se comprime a la longitud sólida.

Solución: Diámetro medio:

Índice del resorte:

Tabla (3.2): Número de espiras activas

Paso:

Longitud sólida:

Tabla (3.4) para resortes de alambre musical Distancia comprimida:

Ecuación (3.7):

Ecuación (3.6):

Ecuación (3.5):

Problema 3.2.- Una válvula de escape, como se muestra en la figura, tiene un diámetro de pistón de 15 mm y una longitud de abertura de 5 mm. El resorte tiene un diámetro medio de espira D = 10 mm y diámetro de alambre d = 2 mm. La válvula debe abrir a una presión de 1 bar y estar totalmente abierta a una presión de 3 bar, cuando el resorte está totalmente comprimido. Calcule el número de espiras activas, la longitud libre y el paso del resorte. El módulo de cortante para el material del resorte es G = 80 GPa. Los extremos del resorte están a escuadra y rectificados. Determinar el esfuerzo cortante máximo para esta geometría.

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Solución:

1 bar = 105 Pa

m2

N

N

Constante del resorte: N/m

Índice del resorte:

Número de espiras activas:

Número total de espiras: Longitud sólida: mm

Deflexión para llegar a la posición sólida: mm

Longitud libre: mm

Paso del resorte: mm

Factor de Bergstrasser

Esfuerzo cortante máximo:

Problema 3.3.- El resorte de extensión que se muestra en la figura se usa en un movimiento cíclico para encender y apagar un interruptor de potencia. El resorte tiene un diámetro exterior de 15 mm y es de alambre de 1.5 mm de diámetro de acero estirado duro. El resorte no tiene precarga. En una carrera completa del resorte la fuerza varía entre 25 y 33 N. Determine lo siguiente:

a).- El número de espiras, la longitud libre, las longitudes máxima y mínima durante la carga cíclica y la razón del resorte.b).- El factor de seguridad para una vida infinita.

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Solución:

a). = 15 – 1.5 = 13.5 mm = 13.5/1.5 = 9 = 80 Gpa

Deformación del resorte: = 30(sen30o) = 15 mm = 0.015 m

= 33 – 25 = 8 N

Número total de espiras: Longitud cerrada:

Longitud final:

N

N

Mpa10………

De la tabla (3.1) para alambre de acero estirado duro, ,

Para resortes no granallados: ,

De acuerdo con Goodman:

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Problema 3.4.- El resorte helicoidal de torsión que se observa en la figura tiene un diámetro exterior de la espira de 22 mm, 8.25 vueltas y diámetro del alambre de 2 mm. El material del resorte es acero estirado duro. ¿Cuál es el momento aplicado si el esfuerzo máximo deberá igualar el límite de fluencia? Calcule el diámetro interior del resorte cargado y el desplazamiento angular correspondiente.

Solución:

= 79.3 Gpa, = 207 Gpa, = 1783 Mpa, = 0.190

Mpa

mm

mm

60