DISEÑO Y SIMULACIÓN DE UN CONTROLADOR ÓPTIMO

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA, ELECTRNICA Y SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA MECNICA ELCTRICA TESIS: DISEO Y SIMULACIN DE UN CONTROLADOR PTIMO APLICADO AL CONTROL DE VELOCIDAD DE UN MOTOR DE IMN PERMANENTE PRESENTADO POR: VILCA BARRANTES FREDY PARA OPTAR EL TTULO PROFESIONAL DE: INGENIERO MECNICO ELECTRICISTA PUNO PER 2011 DEDICO: AmispadresTomsyEleuteriaporsu alientoquesiempreconfiaronenmysu apoyo a lo largo de mi vida. Amishermano(as)Yenny,Herbert, Miriam,Adelaquesonparamla superacin y motivacin.AmiabueloRupertoVilcaTapiadelque envidafueydemsfamiliaresque apoyaron moralmente. AGRADECIMIENTO Quisiera agradecer primeramente al director, por su generosa ayuda en el planteamiento, direccin y revisin de esta Tesis. Igualmente agradecer a mis profesores que me dieron un conocimiento muy valioso y formaron mis valores a lo largo de toda mi carrera. Mientras estuve estudiando en la Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica Elctrica, tuve el placer y privilegio de interactuar con muchas personas, agradezco a todos ellos, por su apoyo moral. INDICE GENERAL CONTENIDO 1.INTRODUCCIN 1.1Introduccin1 1.2Planteamiento del problema2 1.3Formulacin del problema 1.3.1Problema general3 1.3.2Problemas especficos3 1.4Objetivos 1.4.1Objetivo general4 1.4.2Objetivos especficos4 1.5Justificacin 1.5.1Justificacin prctica.4 1.5.2Justificacin terica.5 1.5.3Justificacin econmica.5 1.5.4Justificacin social.5 1.5.5Justificacin cientfica.5 1.6 Aportes6 1.7 Hiptesis7 2.MARCO TERICO 2.1Introduccin.8 2.2Mtodos de Control.14 i) Mtodos de control clsico.14 ii) Mtodos de control moderno.18 2.3Sistemas de control ptimo cuadrtico.21 2.4Control ptimo cuadrtico contino.21 2.5Control ptimo cuadrtico discreto.28 ii.El Controlador ptimo Proporcional no Estacionario30 iii.El Controlador ptimo Proporcional Estacionario.32 i.Procedimientodediseoeimplementacindeunsco28iv.Diseo de un Observador ptimo Cuadrtico.34 2.6Motor de corriente alterna.43 3.METODOLOGA 3.1.Metodologa de la investigacin.48 3.2.Materiales49 3.3.Mtodos y tcnicas de recoleccin de datos.49 3.4.Variables de estudios.49 3.4.1.Variables dependientes.49 3.4.2.Variables independientes.49 3.4.3.Variables intervinientes.49 3.5.Modelos Matemticos50 4.DISEO DEL MODELAMIENTO 4.1.Modelamiento del motor DC de imn permanente.52 4.2.Circuito Elctrico.53 4.3.Voltaje Contraelectromotriz53 4.5.Circuito Mecnico.55 4.6.Movimiento: Cintica Rotacional.56 4.7.Diagrama de Bloque total.57 4.8.Funcin de Transferencia total del motor57 usando el mtodo de espacio de estado (SS).58 controlado por voltaje de armadura usando SS.62 v.Elcontroladorptimoparasistemasdeseguimiento en estado stacionario. 38 4.4.CircuitoElectromecnico: Conversin de Energa Elctrica en Mecnica (Torque Motor). 5454 4.9.ModelodelmotorDCparaelcontroldevelocidad, controlado por evoltaje de armadura usando el mtodo de F.T. 58 4.10. ModeloMatemticodelmotorDCcontroladoporvoltaje 4.11. Otromtodoescogiendolavelocidadangular 5.SIMULACIN DEL SISTEMA DE CONTROL imn permanente.68 permanente.84 6.RESULTADO Y CONCLUSIONES 6.1.Conclusin 7.REFERENCIAS A.CONTROL PTIMO B.MOTORES DE CORRIENTE DIRECT C.MATLAB SIMULINK 5.1.Diseodelsistemadecontrolptimocuadrtico 5.2.Diseo del sistema de control ptimo cuadrtico en tiempo SIMBOLOGA RaResistencia elctrica del circuito inductor [ ] LaAutoinduccin del circuito inductor [A] bEs la constante de friccin (N-m-s). kb Constante de fuerza (V-s/rad) km Constante del motor (N-m/Amp)JRotor de inercia o momento de inercia del sistema [Kgm2] VaTensin de armadura o de inducido (V) VbVoltaje de Fuerza electromotriz (V) iaCorriente de armadura (Amp) tTiempo (seg) ngulo del motor (rad) FFuerza (N) NNmero de alambres B, Densidad de Flujo LLongitud (m) MMomento de inercia (N-m) dtdw Velocidad angular (rad/seg) dtdw Aceleracin angular (rad/seg2) m Torque del motor 1111]1

nxxx&&&..1Vector de estado de orden n1111]1

nyyy..1& Vector de salida estimado de dimensin m AMatriz de estado de orden n n 1111]1

ruuuu.21Vector de control de orden r BMatriz de entrada de orden p n CMatriz de salida de orden n q DMatriz de accin directa de orden p q KMatriz de ganancia J ndice de desempeo 1111]1

nxxx..1Vector de variables de estado 1111]1

0100..nxxx Es el vector de los valores iniciales de las variables de estado de orden n NTiempo discreto final x(k)Vector de estado discreto r(k)Vector de referenciaQ, QeMatriz Hermtica (o matriz real simtrica) definida positiva (d.p.) o semidifinida positiva (s.d.p) den nR,ReMatriz Hermtica (omatriz realsimtrica) definida positiva (d.p) der r SMatrizhermtica(omatrizrealsimtrica)definidapositiva (d.p) o semidefinida positiva (s.d.p) den nminJFuncin de costo mnimo ) (k e Error del observador P,Pe,PrLa ecuacin de Riccati en estado estacionario KeMatrizdegananciaderealimentacindelobservadorcon dimensinm n GLOSARIO DE TERMINOS CACorriente Alterna DCCorriente Directa COTControl ptimo en tiempo PMImn permanente NEMANational Electrical Manufacturers Association RESUMEN Enelpresentetrabajodeinvestigacinsequieredaraconocereldiseode controlptimocuadrticoentiempocontinuoydiscretodeunmotordcdeimane permanente que sebasan en elndice de desempeo cuadrtico cuyo objetivo dela optimizacineseldeelegirelvectorudemodoqueseminimiceelndicede desempeoJorendimientoocostoaserminimizadoparalocualseemplealas matricesdeponderacinQyR,queponderanlasvariablesdeestadoylasealde controlrespectivamentecuyasvariablesdeestadoA-BKtienevalorespropioscon parte real negativa que garantiza la estabilidad del sistema. Para determinar la matriz KptimaseresuelvepreviamentelaecuacinmatricialdeRiccatti.Paralas condiciones de diseo establecidas como son sobrepico, tiempo de establecimiento y errorestacionariofuenecesarioconsiderareldiseodeuncontroladoroptimo cuadrtico realimentado adicionandouna ganancia adicional (Nbar) correspondiente a sistemas con seguimiento. Respectoalosparmetroscaractersticosdelmotordeimnpermanentese hallpreviamentemedianteelensayoenlaboratoriodelaescuelaprofesionalel mismo que fue representado mediante las ecuaciones de estado y salida para luego el control optimo cuadrtico simulndose en el programa de Matlab el comportamiento de la curva para las condiciones de diseo establecidas. Similarmente tubo que disearse el sistema de control optimo cuadrtico en tiempo discreto siendo su solucin analtica algo complicada por lo que tubo que utilizarse en el programa Matlab. Paraelcontroloptimoconrealimentacindeestadotuboqueconsiderarse previamentelacontrolabilidaddelsistemacomorequisitoparalaaplicacindel diseo del control ptimo. Es necesario indicar que el objetivo del control ptimo es la deley de control ptimo u que minimicelafuncin de costo J. En lamayora de los casos, sin embargo la bsqueda de la funcin de costo involucra procedimientos de error y correccin; esto significa que no siempre podremos estar seguros acerca la formaexactaquedeberaposeerlafuncindecosto.Esimportanteindicarqueun sistemadecontrolqueesptimobajounndicededesempeoes,engeneral,no ptimo bajo otra funcin de costo o ndice de funcin de desempeo. El mismo que nospermitirealizarelpresentetrabajodeinvestigacinorientadoalaaplicacin del control optimo y siguiendo en base a las metodologas de diseo que nos lleva a un ptimo control. Ensucontenidocentraldeestetrabajodetesisserealizaeldiseoparael motor de dc de imn permanente, se describe todo el procedimiento concerniente al diseodesistemadecontrolquecomprendeladescripcinmatemticaqueesel modelamiento, a suidentificacin, al diseo delos diferentes algoritmos de control utilizandocontroloptimopresentndosesusrespectivassimulaciones correspondientes. Captulo 1: Introduccin- 1 - CAPITULO 1 INTRODUCCIN 1.1Introduccin: Elcontrolptimoconsideradoenelproyectodeinvestigacintratade determinarelmejorsistemadecontrolempleandounatcnicaptimade diseo.Estatcnicaasumelaformulacindeunafuncinmatemtica denominadalafuncindecosto,conocidotambincomolafuncinde rendimiento. El procedimiento de diseo de sistema de control ptimo trata de encontrarunafuncindecostomnimo,conelpropsitodedeterminarlos parmetrosptimosdeunaleydecontrol.Enlamayoradeloscasosla bsquedadelafuncindecostoinvolucraprocedimientosdeerrory correccin.Elresultadodeldiseoproporcionaunamatrizdegananciaque multiplicadaporelvectordeestadodelprocesoresultaunaleydecontrol ptimo cuadrtico. El vector de estado se determina usando un observador ptimo. Parademostrarlavalidezdelprocedimientodediseosepresentanla simulacinalcontroldeunmotorcuyomodelomatemticohasido previamente determinado. Elestudiodeinvestigacintratadecontrolarlavelocidaddemotorde corrientedirectadeimnpermanente,paralocualaplicaremoselcontrol ptimo,puestoquehaymuchasmanerasdepodercontrolaryaseaelcontrol PIDqueeselmsaplicado,tambinhayelcontrolpredictivo,control adaptivo, el control neuronal, etc. Captulo 1: Introduccin- 2 - 1.2Planteamiento del problema: Durantelaoperacindeunaplantaounequiposedebendesatisfacer varias condiciones ya sea de orden tcnico, econmico o sociales, en presencia deinfluenciasexternas.Estasinfluenciasexternasquesedenominan perturbacionescreaninestabilidad,prdidas,ineficiencias,inseguridad, lentitud,imprecisiones,erroresysusconsecuenciasentreotros.Estas perturbacionesdebensereliminadasparaunptimofuncionamientodeuna plantaoequipoyasgarantizarlaoperacin,estaoperacinserealiza mediante un sistema de control. Hastalosaos40lamayoradelasplantasfuncionabanmanualmente, peroelloeraantieconmico,entoncesseinstalaroncontroladores,siendolos primeros por retroalimentacin, aunque enformaemprica. Recin a partir de 1960seaplicoelanlisisdinmicoylateoradecontrol,posteriormentelos sistemasexpertos,inteligenciaartificialyactualmentelalgicadifusa,redes neuronalesyalgoritmosgenticosquesonlosconceptosmodernosdelos sistemas de control. Pero a pesar de este avance el control ptimo sigue siendo utilizado en las industrias de all la importancia de su utilizacin. Los sistemas por retroalimentacin a pesar de haber sido los primeros en aparecer siguen en vigencia y se les conoce como sistemas convencionales de control,enbaseaestoshanaparecidolossistemasavanzadosdecontrol.Se llegaasalanecesidaddeintroducirundispositivodentrodellazoconel objetodeautomatizarelcontrol.Elcontroladoreselelementoencargadode procesarlasealdelerrorygenerarotracapazdedisminuirsuvalorpara conseguir la mxima precisin. Peroelcontroladorauntienemastareas,cuandoseplanteaunproblemade control,porlogeneralseespecificanunconjuntoderestriccionesquedebe cumplirelsistemaparaconsiderarqueestaoperandoadecuadamente.Estas restricciones estn dadasen trminos de estabilidad, velocidad de respuestay Captulo 1: Introduccin- 3 - precisin,lastrespremisasbsicasdelcontrol.Sedicequeunsistemaest controladocuandotodasellassecumplansatisfactoriamente. Desafortunadamente suelesuceder que cuando semejora una de ellas, una de las dos restantes o ambas se degradan, por lo que se hacenecesario hallarlos parmetrosadecuadosdelcontrolador,quegaranticeunadeterminada estabilidadrelativayunavelocidadderespuestadentrodelosmrgenes especificados,permitiendosuprimirlainfluenciadeperturbacionesexternos quegarantizaneloptimofuncionamientodelsistemadecontrolenestecaso aplicado al control de velocidad y posicin de un motor DC. 1.3Formulacin del problema: 1.3.1Problema General Esposibledisearysimularelcomportamientodeunmotor ptimo en el tiempo que permita controlar la velocidad de un motor DC? DeesteProblemageneralsedesprendelossiguientesproblemas especficos. 1.3.2Problemas Especficos Esposibledesarrollarelmodelamientomatemticodeunmotor de DC? Serposibledisearelcontroladorptimoparaelcontrolde velocidad de un motor DC? Serposiblesimulareneltiempoelcomportamientodela velocidad del motor para diferentes variaciones de carga? Captulo 1: Introduccin- 4 - 1.4Objetivos: 1.4.1Objetivo General Disearysimularelcomportamientodeunmotorptimoeneltiempo que permita controlar la velocidad de un motor DC. 1.4.2Objetivos Especficos Desarrollo del modelamiento matemtico de un motor DC. Disearelcontroladorptimoparaelcontroldevelocidaddeun motor DC. Simular en el tiempo el comportamiento de lavelocidad delmotor para diferentes variaciones de carga. 1.5Justificacin: 1.5.1Justificacin Prctica. Consiente de la importancia que hoy reviste el tema de la automatizacin comoestrategiaparaelcontroldevelocidaddeunmotorDC,elpresente estudiotienerepercusinprctica,cuyosbeneficiosdelcontrolautomtico permitir la estandarizacin y funcionamiento ptimo de los sistemas. 1.5.2Justificacin Terica. Mediante la utilizacin de estrategias de control, el controlador mejorara las prestaciones delsistema,lo que supone reducir: los efectos de variaciones enlosparmetrosdelsistema,losefectosdelasperturbaciones,elerroren estado estacionarioymejorarla respuesta transitoria haciendo: que elsistema responda mas rpido. Captulo 1: Introduccin- 5 - 1.5.3Justificacin Econmica. Considerandolaimportanciadelaautomatizacinhoyendaconla estandarizacin y optimizacin, supresin de influencias externos permitira en un sistema de aplicacin diversa generar mayor valor agregado a la empresa. 1.5.4Justificacin Social. Sentar las bases para el diseo de sistemas de control de movimiento que promuevaeladquirirconocimientoytcnicasaplicadasalcontrolde movimientoparasolucinaproblemasenelcampodelaautomatizacinde produccin y fabricacin con la finalidad de optimizar estos procesos. 1.5.5Justificacin Cientfica. El modelo matemtico de un motor DC es lineal, y ello complica su uso enlasaplicacionesquerequierencontrolautomticodelavelocidad.Un mtodotradicionaldecontroldesistemasnolinealeseselmtodode linealizacin, el cual trata con pequeas perturbaciones alrededor de los puntos de operacin. Entonces,usando tcnicasdediseodesistemalinealesbienconocidos, sepuededisearuncontroladorquesatisfagalasespecificacionesdetrabajo alrededor del punto de operacin. Este mtodo no ser suficiente cuando grandes perturbaciones afecten al sistema. Porlo tanto, para lograr un control de alto rendimiento, esnecesario usar tcnicas de control lineal. Existeunconsiderabledesarrolloenlateoradecontrollinealenlos ltimosaosconenfoquestalcomolalinealizacinporrealimentacin.Sin embargo,laimplementacinrealdelostalesalgoritmosdecontrolhansido pocos. Captulo 1: Introduccin- 6 - Aunque la teora de los motores DC esta bien establecido (Krause, 1983; Leonhard,1985;Fitzgeraldet,al.,1983),losparmetrosdelsubsistema mecnicopodranserdesconocidos,puestoqueestosparmetrosestn relacionados a la carga del motor, la cual comnmente esta sujeta a cambios. Tambin,esrazonableconsiderarlaresistenciaylainductanciadel modelodelaparteelctricadelmotor,puestoqueellossondesconocidoso varan significativamente con la temperatura y las condiciones de operacin. Debidoaestosproblemas,lamotivacindeestatesisesconsiderarel control ptimo para un motor DC. Este trabajo se dirige al problema de disear e implementar un controlador ptimo cuadrticopara un motor DC.

Este es un enfoque de control no lineal que cancela las no linealidades de sistemas pormedio de la realimentacin de la variable de estado. Las tcnicas de diseo lineales pueden aplicarse al sistema linealizado por realimentacin. Conla utilizacin delos sistemas de control, se va controlarlos equipos yevitaraccidentesquegarantizanseguridadeneltrabajador,ascomola liberacindelarutinadelasactividadesmanualesrepetitivosesnecesario indicarquetambintendraconsecuenciasconsiderando,elproblemadela desocupacin que ocasiona la automatizacin mas desarrollada. 1.6Aportes La contribucin de esta tesis radica en el rea de control de movimiento. En esta rea se contribuye con un proyecto de Control ptimoCuadrtico de un motor DC paralelo. Otracontribucineslademostracindelafactibilidaddeimplementartales algoritmos no lineales de control en tiempousando SIMULINK de Matlab. Captulo 1: Introduccin- 7 - 1.7Hiptesis Hiptesis General A travs del diseo y simulacin del comportamiento de un motor ptimo en el tiempo se podr controlar la velocidad de un motor DC. Hiptesis Especficos Conla obtencin delmodelamiento matemtico de unmotor DC para el controldevelocidadsepodrobtenerlosrequerimientosdediseoa travs de la simulacin. Conlos parmetros del controlador ptimo parael control develocidad deunmotorDCsepodrdeterminarlosrequerimientosdediseoa travs de la simulacin. Conla obtencin delos parmetros, enla simulacin se podr controlarlavelocidaddeunmotorDCempleandosoftwareMATLABentiempo continuo y discreto. Capitulo 2: Marco Terico - 8 - CAPITULO 2 MARCO TERICO

2.1Introduccin: Estecaptulocomprendelasdefinicionesbsicasparaelcontroldeun motor DC de imn permanente, por medio del controlador ptimo. Elcontrolautomticojuegaunpapelimportanteenelavancedela ingeniera y de la ciencia, siendo su aplicacin en los procesos de manufactura eindustriales. Con elavance dela teoray prctica delcontrolautomtico se hanlogradoptimofuncionamientodelossistemasdinmicos,mejorandola calidad del producto y abaratando los costos de produccin. Lossistemasdecontrolsirvendenexoentrelosdiferentescamposde estudio, considerando como un solo problema comn de control. Unaprimeradefinicindeunsistemaesconsiderarlocomounacaja negra que tiene una entraday unasalidaindicadas porlneas conflechas que hacen referencias de estas entradas y salidas. Esta caja negra tiene un conjunto deelementossometidosafuerzasdelanaturalezayconformadoporleyes fsicas que supone una relacin de causa y efecto. ENTRADAENTRADASALIDASISTEMA DEPLANTA OPROCESO

FUENTE: Copia del Ing. Roberto Quiroz Sosa Control 1, pg. 1 Porquesnecesarioplantearunnuevoenfoqueparaeldiseode controladores? Capitulo 2: Marco Terico - 9 -Hemosvistoquelosmtodosdecontrolbasadosenrealimentacinde estadossonmsverstilesypotentesqueloscorrespondientesalateoradel control clsico. En particular, permiten la asignacin de los autovalores de lazo cerrado a voluntad. Tambin se ha discutido como estos mtodos pueden ser complementadoscontcnicasdeobservacindeestadosparasobrellevar limitaciones(econmicasy/ofsicas)enlamedidadelosmismos.Luego,es razonable cuestionarse acerca de la necesidad o conveniencia de introducir un nuevo marco terico, de hecho ms complejo, para el diseo de controladores. Con respecto a este posible cuestionamiento puede argumentarse que: Ni en los mtodos de diseo de control clsico, ni en los de realimentacin deestadosparalaasignacindeautovalores,seponeexplcitamentede manifiesto el compromiso que existe entre las especificaciones dinmicasy elcostoparapodercumplirlas(porejemplo,entrelavelocidadde respuesta de la variable controlada y la accin de control necesaria). Restriccionesenelcontrolpuedenimposibilitarundiseodepolos dominantes. Esto puede dificultar seriamente la seleccin de los autovalores delazocerradoparacumplirdeterminadasespecificacionestemporales (tener presente que las conocidas expresiones que vinculan elsobrepaso, el tiempodeestablecimiento,etc.conlaubicacindelospolos,slotienen validezensistemasdesegundoordenpuro).Adicionalmente,siexisteun espacio no controlable, slo algunos autovalores podrn ser asignados, y por consiguiente, difcilmente pueda hacerse un diseo con polos dominantes. Lapresenciadecerosenlafuncindetransferenciapuedendificultarel diseoporasignacindeautovalores,anenaquelloscasosenquelas restricciones no sea fuertes. EnsistemasMIMOnoexisteunacorrespondenciaentrelarespuesta temporal y la localizacin de los polos. Efectivamente, en sistemas MIMO, lamismaasignacindepolospuedehacersecondistintosjuegosde ganancias, y de hecho, dan lugar a distintas respuestas temporales. Por otra parte, uno podra preguntarse,porqu conformarse con ganancias derealimentacinconstantes?.Nopodramejorarselarespuestade seguimientodeunsistemasila(s)ganancia(s)derealimentacinse asocia(n) a la amplitud del error? Capitulo 2: Marco Terico - 10 -Historia de la Ingeniera de Control. Unsistema decontrolsebasa en elcriterio delaretroalimentacin para controlar al sistema, de tal forma que las primeras aplicaciones datan:1 a.Los griegos, desarrollaron los mecanismos reguladores de agua con flotador. VAPORAGUA FUENTE: Copia del Ing. Roberto Quiroz Sosa Control 1, pg. 2 b.Los rabes perfeccionaron este conocimiento con la construccin de relojes de agua. c.EnEuropasediseelreguladordetemperaturaaplicadosalasIncubadoras de pollos. Se invent el primer regulador de presin para calderas de vapor. d.Elprimersistemadecontrolautomticofueelreguladorcentrfugocon realimentacinautomticadeJamesWatt,usadoenunprocesoindustrial, desarrollado en 1770 para controlar la velocidad de una mquina de vapor. El dispositivo, completamente mecnico, segn se muestra la figura. 1 K. Ogata. Modern Control Engineering, Prentice Hall; 4th edition 2001 Capitulo 2: Marco Terico - 11 -Estereguladormidelavelocidaddelejedesalidapormediodeuntren de engranajes. Elmovimiento de unavlvulamariposa controlala entrada de vaporalamquina.Conformeaumentalavelocidaddelamquina,se levantan los pesos que hacen deslizar un collar mvil, provocando el cierre de la vlvula de entrada de vapor. Si la velocidad disminuye, se produce la accin contraria. El cambio en la velocidad deseada de rgimen se logra ajustando los brazosdelapalancadelasbarrasoenlacesmecnicos.Esteregulador presentaba oscilaciones (inestabilidad).2 e.En 1868, J.C. Maxwell, dio una solucin al problema de las oscilaciones de los reguladorescentrfugos,usandoecuacionesdiferencialesparaanalizarlas condiciones de estabilidad en un sistema de tercer orden, extendiendo su teora a sistemas de un orden ms elevado. f.En 1874, John Routh, determinolas condicionesde estabilidad para Sistemas de hasta 5 orden. g.En1995,Hurwitzresolvielproblemaparaorden7.En1911,Bompiani establecilaequivalenciadeloscriteriosempleadosporRouthyHurwitz, llegando a las mismas conclusiones. h.En1882elrusoLiapunov,ideunateorasobrelaestabilidadqueera aplicableinclusoasistemasnolineales(desgraciadamente,estetrabajonose conoci en occidente hasta la dcada de los 50). i.ElinglsOliverHeavisidedesarrollteorassobreclculooperacionalque utiliz en el estudio del comportamiento transitorio de circuitos, que permitan analizar una ecuacin diferencial lineal como si fuera una ecuacin algebraica. Esta tcnica fue justificada en 1917 por los matemticos Carson y Bromwich. LateoradeHeavisideseasentabaenlostrabajosdeLaplace(1749-1827). Queenelmtodo,delaTransformadadeLaplace.Quesirvideinicioal 2 Martinez, M., Marin, R., Izurrategui. C., Estrategias de Identificacin de un Motor DC desde Aplicacin Software sobre PC, XXVI Jornadas de Automtica Universidad Alicante 7-10 de septiembre (2005). Capitulo 2: Marco Terico - 12 -estudiomatemticodelossistemasdecontrollineal(aunquenoseaplica este campo hasta la dcada (1940-1950). j.A principios del siglo XX, el desarrollo del control automtico fue muy lento, debidoaquesebasabaensistemasmecnicos.Minorskyen1920,extendi estaaplicacinensistemasdedireccinautomticadebarcosycontrolde posicin de caones de abordo. Eldesarrollodelateoradecontrolvaunidoaldesarrollodela electrnica.En1927,HaroldBlack,inventelamplificadorcon realimentacinnegativa.Esteamplificadortendaaoscilaraciertas frecuencias. El anlisis directo de la estabilidad del amplificador basndose en elplanteamientolasecuacionesdiferencialeserainviable,dadoelaltoorden delaecuacin.HarryNyquist(1889-1976)analizlaestabilidaddel amplificadorrealimentadoeneldominiodelafrecuencia,utilizandoel concepto de anchura de banda y otras variables dependientes de la frecuencia, paraelanlisisdeestabilidaddelosamplificadoresrealimentados.Otras investigacionesenestecampofueronrealizadasporHendrickW.Bodeen 1940,aquiensedebelaintroduccindelasunidadeslogartmicasde ganancias (bel) y frecuencia, y a quien se debe el procedimiento de diseo que lleva su nombre. k.En el ao 1934, Hazen public el trabajo analtico sobre el diseo de sistemas de lazo cerrado. La palabra servomecanismo y su contraccin servo fueron inventadasporlyseaplicenlossistemasdecontrolrealimentados.La palabraservomecanismoseaplicaalossistemasdecontrolenlosquela variablecontroladaesunaposicinmecnicaoderivadadesta(velocidady aceleracin). l.Hasta 1940, la teora de control se desarroll en EEUU y Europa, en base a la respuestaeneldominiodelafrecuencia.EnRusiasetendiautilizaruna formulacin en el dominio del tiempo, usando ecuaciones diferenciales. m.Durante la II Guerra Mundial se realiz un gran avance en la teora y prctica delcontrolautomtico,aplicadaseneldiseoyconstruccindepilotos Capitulo 2: Marco Terico - 13 -automticosparaaeroplanos,sistemasdedireccindetirodecaonesy antenas de radary otros sistemasmilitaresbasados enlosmtodos de control disponibles. Generando el inters en los sistemas de control y en el desarrollo de nuevos mtodos. n.Antes de 1940, el diseo era un arte que comprenda procedimiento de ensayo yerror.Seincrementaronennmeroyutilidadlosmtodosmatemticosy analticos,dondelaingenieradecontrolllegaserunadisciplinacompleta. M.Harrisdefendienunartculopublicadoen1942,elusodelasfunciones detransferencia;GuilleminintrodujolassntesisderedesEvans,en1948, desarroll el mtodo del lugar de las races. o.En la dcada 1950-1960 se hizo extensivo el uso de la Trasformada de Laplace yelplanodelafrecuenciacompleja.Seutilizlosordenadoresanalgicosy digitalescomocomponentesdelcontrol.Estosnuevoselementos proporcionaronunacapacidadparacalcularconrapidezyexactitud,en sistemadecontrol.Sediobastantedifusinmedianteartculosytextossobre ingeniera de control y temas afines. p.En1947,VonNewmanyMorgensterncreanlateoradejuegosyJames, NicholsyPhilipsescribenTheoryofServomechanismdondeexponeny resumenlasteorasmsimportantessobreelcontrol,eincorporanel tratamientoestadstico.En1948,NorbertWienerpublicasufamosaobra Cybernetics(Lapalabraciberntica,creadaporwieneresdelarazgriega Kybernetike,ysignificapilotootimonel).En1949Shanonyweaver desarrollan la teora de la informacin. En 1956 S.J. Mason publica su artculo sobrediagramasdeflujo.Aparecentrabajossobresistemasdecontrol multivariable, control digital, etc. q.Debidoalacomplejidaddelossistemas,sehizoprecisounnuevoenfoque matemticodelateoradecontrol,apareciendoelconceptodevariablesde estado. El espacio de estados ya haba sido utilizado por el matemtico francs Capitulo 2: Marco Terico - 14 -Poincar en 1982, pero no es sino a partir de 1950 cuando se incorpora para el anlisis de sistemas de control.3 2.2Mtodos de Control Existenmtodosyestrategiaspararealizarlaaccindecontrol,los mtodosdecontrol(clsicoymoderno)permitenalcontroladorreaccionar mandando una seal correctiva del error, mientras que las estrategias de control hagan ms eficiente a la labor de control, ahorrando recursos y tiempo.4 i). Mtodos de control clsico Losmtodosdecontrolclsicosonaquellosqueesperanaquese produzcaunerrorparaluegorealizarunaaccincorrectiva.Elerrorse presenta a causa de la diferencia de lectura entre la variable de salida censada ylasealdereferencia,esteerrorestpresenteentodomomento,yla finalidad es minimizarlo. En algunos casos suele generarse un comportamiento oscilatorio alrededor del valor de referencia. Los mtodos de control clsico pueden ser: Control On-Off EsteMtodosoloaceptadosposicionesparaelactuador:encendido (100%)yapagado(0%).Lalgicadefuncionamientoestenerunpuntode referencia,silavariableesmayorelactuadorasumeunaposicin,ysila variable es menor el actuador asume la otra posicin. Por ejemplo tenemos los sistemas de seguridad contra robos, las refrigeradoras domsticas, sistemas de aire a condicionado, etc. A continuacin se muestra su funcin en el tiempo: 3 Martinez, M., Marin, R., Izurrategui. C., Estrategias de Identificacin de un Motor DC desde Aplicacin Software sobre PC, XXVI Jornadas de Automtica Universidad Alicante 7-10 de septiembre (2005). 4 Charlet B. and J. Lvine94. On dynamic feedback linearization. Systems & Control Letters. Capitulo 2: Marco Terico - 15 - FIG 2.1:Sistema de control ON/OFF. Controlador Proporcional (P) Es un control que se basa en la ganancia aplicada al sistema, se basa en el principiodequelarespuestadelcontroladordeberserproporcionalala magnituddelerror.Nocorrigenieliminaperturbaciones,puedeatenuaro aumentar la seal de error. Se representa a travs del parmetro Kp y define la fuerza o potencia con que el controlador reacciona frente a un error. FIG. 2.2Sistema de control proporcional Controlador Integral (I) Conocido como RESET. Este tipo de controlador anula errores y corrige perturbaciones, mediante la bsqueda de la seal de referencia, necesita de un tiempo Ti para localizar dicha seal. Se representa mediante el trmino Ki que es el coeficiente de accin integral y es igual a 1/Ti. Capitulo 2: Marco Terico - 16 - Fig. 2.3Sistema de control integral. Controlador Derivativo (D) ConocidocomoRATE.Estecontroladorporssolonoesutilizado, necesitaestarjuntoalproporcionalyalintegral.Sirveparadarlerapidezo aceleracinalaaccindecontrol.NecesitadeunadiferencialdetiempoTd para alcanza r la seal de referencia, se representa mediante el trmino Kd que es el coeficiente de accin derivativa y es igual a 1/Td. Fig. 2.4Sistema de control derivativo. Controlador Proporcional-Integral (PI) Actaenformarpida,tieneunagananciaycorrigeelerror,no experimentaunoffsetenestadoestacionario.Laaplicacintpicaesenel control de temperatura. Funcin de Transferencia: Controlador Proporcional-Derivativo (PD) Esestable,yreducelosretardos,esdeciresmsrpido.Esusado tpicamente para el control de flujo de minerales. Capitulo 2: Marco Terico - 17 -Funcin de Transferencia:

Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) Este controlador es el ms completo y complejo, tiene una respuesta ms rpida y estable siempre que este bien sintonizado. Resumiendo se puede decir que: El control proporcional acta sobre el tamao del error. El control integral rige el tiempo para corregir el error. El control derivativo le brinda la rapidez a la actuacin. Funcin de Transferencia: ii). Mtodos de Control Moderno Losmtodosdecontrolavanzadosonaquellosqueactanenforma preventiva,demodo talqueenbasealosdatos tomados,actandemodo tal queprevienenlaocurrenciadeerror,portantoelcontroladorestajustando sus parmetros constantemente. Control Adaptivo Esunavariantedelcontrolanticipatorio,endondelarespuestadel controladorvaraautomticamentebasadoenloscambiosdelascondiciones dentrodelproceso,esdecir,larespuestadelcontroladorservariable dependiendo delcomportamiento actual del proceso. Para que se llevea cabo esta adaptacin se requiere de algoritmos matemticos que simulen el proceso enbase alos datos tomados en elinstantemismo en quese realizala accin, esteresultadovaagenerarunasealcompensadoraquegarantizarla confiabilidad del sistema. Capitulo 2: Marco Terico - 18 -Control ptimo El control ptimo busca la performance en la accin de control, tiene por objetivo buscar una o variassoluciones que cumplancon ciertas restricciones impuestasporelproblemayquealavezcumplaconunafuncinobjetivo (funcin de costo), la cual puede ser maximizar o minimizar dicha funcin. El controlpermitediversassolucionesparaunmismoproblema,peroelcontrol ptimo busca dentro de esas soluciones la ms adecuada para cumplir con los requisitos planteados. Control Robusto Elcontrolrobustoesaquelquevaapermitirmantenerlaaccinde control pese a perturbaciones externas e internas. Puede existir perturbaciones externascomoruidoyvibracionespropiasdelproceso;operturbaciones internas como un mal modelamiento matemtico, sistemas no lineales difciles delinealizar,incertidumbreenelaccionarorespuestadelaplanafrentea estmulos, entre otros. El control robusto se resume a identificar y controlar la incertidumbre en los parmetros y en el comportamiento de una planta. Control en Tiempo Real Se define el control de sistemas en tiempo real, al control realizado en un intervalo de tiempo finito y constante, es decir que la informacin ser censada conmuestrasintermitentesperotodaslasvecesconunmismotiempode muestreo. Caractersticas: Pueden realizar varias actividades en paralelo. Pueden ejecutar tareas en respuesta a seales externas. Debenfuncionarenpresenciadefallosoaverasparciales,haciendo uso de elementos redundantes. Adquierendatosdelexterior.Puedeserpasivacuandoutilizan interrupciones, o activa mediante el uso de tarjetas de entrada / salida de seales. Capitulo 2: Marco Terico - 19 -Necesitandeunsistemaoperativoquelesbrinde:gestineficientede interrupciones,planificacindetareasypriorizacindelasmismas, acceso a puertos e interfaces, mecanismos de medicin del tiempo, entre otros. Control Difuso Sebasaenlalgicadifusa,lacualadiferenciadelalgicabinaria booleana (verdadero / falso 1 / 0), asigna valores intermedios dentro de esta escala.Utilizalaexperienciadeloperadorparagenerarunalgicade razonamiento para el controlador. Norequieredelmodelamientomatemticodelaplanta,puede representarmodelosdesistemaslinealesynolinealesmedianteelusode variableslingsticasyunaseriedecondicionesoreglaspreviamente definidas. Sus algoritmos (reglas) hacen uso de instrucciones IF THEN. Control Neuronal Haceusodeneuronasdeinteligenciaartificial.Laneuronaartificial estndaresunelementodeprocesamientoquecalculaunasalida multiplicando su vector de entradas por un vector de pesos y este resultado es aplicado a una funcin de activacin; un conjunto de neuronas conforman una red neuronal. Las Redes Neuronales son parte de la inteligencia artificial (AI) caracterizadasporsucapacidaddeaprendizaje,suvelocidadmedianteel procesamiento masivo en paralelo de datos y por lafacilidad demodelado de sistemas y controladores no lineales. Algoritmos Genticos Estemtodosimulalaevolucinnaturaldelasespeciespropuestapor CharlesDarwin,fueideadoporJohnHollanden1970.Lainformacinva sufriendo cambiosigualqueloharanlas especies, es decir sevanadaptando alentorno,locualsellevaacabopormediodelosprocesosdeseleccin natural,mezcla,ymutacin.Encadaciclo(iteracin)unapartedelconjunto dehiptesisconocidocomopoblacinactual,esreemplazadoporunanueva poblacinmediantelasfuncionesevolutivas anteriores.As sucesivamente en cadaciclolapoblacinesevaluadaenbaseaunafuncinevolutiva,siendo Capitulo 2: Marco Terico - 20 -conservadoslosdatosmsexactos,ysiendoeliminadoslosdatosque presentanerror(seleccinnatural).Paraconservarelnmerodeindividuos (datos) estos sonmezclados,lo cual generanuevosindividuos similaresa sus procreadores.Finalmentecadaciertotiempoodadaciertacantidadde individuos,algunosdelosnuevosindividuossonmutadosaleatoriamente, pudiendoserconservadosoeliminadosenlaprximaiteracindependiendo de su utilidad dentro del sistema. Sistemas Expertos Estossistemastratandeemularlaexperienciaadquiridaporunooms sereshumanosalolargodeltiempopararealizaruntrabajo.Estesistema tendr en su memoria una base de datos con mltiples soluciones a un mismo problema, luego el sistema tendr que escoger de entre esas soluciones a la que puedaaplicarseafindelograrlosmejoresresultados.Elsistemasecrea basndose en las experiencias humanas, la eleccin de la estructura de control dependerdelascaractersticasdeltrabajoendondeseaplicar,ademsel sistemapodriraprendiendoconeltiempoyalmacenarsuspropias experiencias, existe mucha analoga entre los sistemas expertos y los sistemas neuro-fuzzy. 2.3Sistemas de control ptimo cuadrtico Eldisearunsistemadecontrolptimoounsistemareguladorptimo, senecesitaencontrarunareglaparadeterminarladecisindecontrolpresente, sujeto a ciertas restricciones, paraminimizar algunamedida dela desviacin de un comportamiento ideal.5 Dichamedidaesprovistaporlogeneralporelndicededesempeo seleccionado que es unafuncin cuyovalorse considera unaindicacin de que tanto se parece el desempeo del sistema real al desempeo deseado. La seleccin de un ndice de desempeo apropiado es importante porque, en alto grado, determinalanaturaleza delsistema de control ptimo resultante. Esto es queelsistemaresultantesealineal,nolinealestacionarioyvarianteenel tiempo, depender de la forma del ndice de desempeo. 5 Kuo, C. Bejamin, Sistema de Control Automatico, 7a Ed. Prentice Hall, Mexico, pp. 694-714, (1996). Capitulo 2: Marco Terico - 21 -2.4Control ptimo Cuadrtico Continuo. Este mtodo de control trata de optimizar o minimizar la seal de control. El diseo de sistemas de control ptimo cuadrtico, se basa en ndicede desempeo cuadrtico. Elsistemadecontrolqueseconsideraenestaseccin,correspondea sistemas en tiempo continuo, definido por. Bu Ax x + & ....................... (I) Donde: x&: Vector de estado de orden "n". u: Vector de control de orden "r". A : Matriz constante de orden "n x n" B: Matriz constante de orden "n x r" Lossistemasdecontrolanalizados,puedenser:Sistemasreguladoreso sistemas de seguimiento. Elobjetivodelaoptimizacin,esdeelegirelvectordecontrolu(t),de modo que se minimice el ndice de desempeo "J". Para un sistema regulador, la seal de control u(t) viene dada por: ) ( ) ( t Kx t u ......................... (II) Donde: K es una matriz de "r x n" Eldiagramadebloquesdelsistemadecontrolptimo,semuestraenla figura: Bu Ax x + &-K u x Capitulo 2: Marco Terico - 22 - Elndicededesempeo,rendimientoofuncindecostoaser minimizado viene dado por: ( )+ 0* *dt Ru u Qx x J ............................... (III) ParalosSistemasconvectoresrealesymatricesrealeslaEc.(III)es igual a: ( )+ 0dt Ru u Qx x JT T ....................................... (IV) Donde: Q:EsunaMatrizHermticaoRealSimtricadefinidapositiva(o semidefinida positiva). R: Es una Matriz Hermtica o Real Simtrica definida positiva. u : No est Restringida o no es Acotada. Las Matrices de ponderacin: Q y R ponderan las: Variables de Estado y la seal de control respectivamente. SireemplazamoslaEcuacin(II)enlaecuacin(IV),seobtienela siguiente funcin de costo: x BK A BKx Ax x ) ( & ............... (V) Asumiendo que:) ( BK Aes ESTABLE, es decir los Valores Propios de ) ( BK Atiene parte Real Negativa. Reemplazando (II) en (IV), se obtiene la siguiente funcin de costo: ( )+ 0xdt RK K Q x JT T.............................. (VI) Capitulo 2: Marco Terico - 23 -Establecindose as mismo que: ( ) ( ) Px xdtdx RK K Q xT T T +Donde: P : Es una Matriz Hermtica definida Positiva o Real Simtrica. Entonces se obtiene: ( )( )( ) ( ) [ ]x BK A P P BK A xx BK A P x Px x BK APx x Px x x RK K Q xT TT T TT T T T + +) ( Por consiguiente: ( ) ( ) ( ) Rx K Q BK A P P BK AT T+ + .............. (VII) Luego, el ndice de Rendimiento puede ser avaluada como: ( )Px xTxdt Rk k Q x JT T + 00 ( ) ( ) ( ) 0T Tx Px x + AsumiendoquetodoslosvalorespropiosdeA-BK,tienenpartereal negativa, entonces:( ) 0 x , luego: ( ) ( ) 0 0 Px x JT ............................. (VIII) Asumiendo que:T T RT , siendo T unamatrizno singular, entoncesla ecuacin (VII) puede ser reescrita como: ( ) ( ) 0 + + + TK T Q Q BK A P P B K AT T T T T ( ) [ ] ( ) [ ] 011 1 + + + Q P B PBR P B T TK P B T TK PA P AT T TTT T T Capitulo 2: Marco Terico - 24 -La minimizacin de "J" con respecto a "K", requiere la minimizacin de: ( ) [ ] ( ) [ ]x P B T TK P B T TK xT TTT T T 1 con respecto a "K" obtenindose: ( ) P B R P B T T KT T T 111 ................................. (IX) LuegolaLeydeControlptimoestardadaporlasiguienteecuacin lineal: ( ) ( ) t Kx t u ( ) ( ) t Px B R t uT 1 ........................... (X) Finalmente,lamatriz"P"debesatisfacerlaecuacindelamatriz reducida de Riccati, dada por: 01 + +Q P B PBR PA P AT T ....................... (XI) Ecuacin de Riccati. I.CASO PARTICULAR Sea la ecuacin de estado: Ax x &.................... (1) Observacin:oNo nos dan "u" en el ndice de rendimiento. oNo nos dan "B" en la ecuacin de estado. El ndice de desempeo: 0Qxdt x JT ................... (2) Donde: n nQ : Matriz simtrica, definida positiva. Para que el sistema sea estable, debe cumplir: Capitulo 2: Marco Terico - 25 -( ) Px xdtdQx xT T ....................... (3) Desarrollando (3): ( ) x P x Px x Qx xT T T& & + de (1): ( ) ( ) PAx x Px Ax Qx xT T T+ [ ] PAx x Px x A Qx xT T T T+ ( )x PA P A x Qx xT T T+ PA P A QT

0 + + Q PA P AT ..................... (4) Ecuacin de Riccati Reemplazando (3) en (2): ( ) oT Tdt Px xdtdQxdt x J0 ( ) 00Px x Px x d JT T ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 Px x Px x JT T+ ( ) ( ) 0 0minPx x JT Ley de Control ptimo: ( ) t Kx u No se puede hallar porque, no nos dan de dato "u" en el ndice de rendimiento. II.CASO PARTICULAR: Sea la ecuacin de estado: Bu Ax x + & .................... (1) Kx u ........................ (2) de (2) en (1): Capitulo 2: Marco Terico - 26 -( ) Kx B Ax x + &( )x BK A x & ................. (3) El ndice de desempeo: ( )+ 0dt u u x x JT T..................... (4) Donde: n mQ : Matriz simtrica, definida positiva. Para que el sistema sea estable, debe cumplirse: ( ) ( ) Px xdtdu u x xT T T + ...................... (5) Desarrollando (5): ( ) x P x Px x u u x xT T T T& & + +( ) ( ) ( ) [ ] x BK A P x Px x BK AT T + ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x BK A P x P BK A x Kx kx x xT T T T T + + ( ) ( ) [ ]x BK A P P BK A x Kx K x x xT T T T T + + ( ) [ ]x PBK PA P B K P A x x K K I xT T T T T T + + PBK PA P B K P A K K IT T T T+ + +........................ (6) Si:P B KT..................................... (7) Reemplazando la ecuacin (7) en (6): ( ) ( ) P PBB PA P B P B P A P B P B IT TTT T TTT+ + + ( ) P PBB PA P BB P P A P BB P IT T T T T T+ + +( ) ( ) [ ] x BK A P x Px BK A x u u x xT T T T T + +Capitulo 2: Marco Terico - 27 - 0 + + I P PBB PA P AT T ................ Ecuacin de Riccati Reemplazando la ecuacin (5) en (4): ( )+ 0dt u u x x JT T ( ) 0dt Px xdtdJT ( ) 00Px x Px x d JT T ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 Px x Px x JT T+

( ) ( ) 0 0minPx x JT+ La ley de control (o seal de control) ptimo: ( ) ( ) t Kx t u de la ecuacin (7) tenemos: ( ) t Px B t uT ) (

( ) ( ) t Px B t uT 2.5Control ptimo Cuadrtico Discreto. i). Procedimientodediseoeimplementacindeunsistemadecontrol ptimo. El objetivo delControl ptimoes elde determinar unaley decontrol ptima u que minimice la funcin de costo J. En la mayora de los casos, sin embargo,labsquedadelafuncindecostoinvolucraprocedimientosde errorycorreccin;estosignificaquenosiemprepodremosestarseguros acercadelaformaexactaquedeberaposeerlafuncindecosto.Es Capitulo 2: Marco Terico - 28 -importante indicar que un sistema de control que es ptimo bajo un ndice de desempeo es, en general,no ptimo bajo otra funcin de costo o ndice de desempeo. Elproblemadeoptimizacindeunsistemadecontrolsepuede formular si se cuenta con la siguiente informacin: a)Ecuaciones del sistemab)Vectores de control permitidos c)Restricciones en el problemad)Funcin de costo o ndice de desempeo. e)Parmetros del sistema La solucin de un problema de control ptimo consiste en determinar el vector de control ptimo u(k) que depende de: a)La naturaleza de la funcin de costob)La naturaleza de las restricciones c)El estado inicial o la salida inicial d)El estado deseado o salida deseada Engeneral,unasolucinanalticaesmuycomplicada,porloquedebe usarselacomputadora.Entalsentidopodemosdecirqueeldiseodesistemas de control ptimo es fundamentalmente un problema computacional. Para sistemas de control discretos, la funcin de costo generalmente posee la forma siguiente: ( ) ( ) ( ) ( )Nkk u k r k x L J0, ,.... (2.1) Donde: k =tiempo discreto N = tiempo discreto final x(k) = vector de estado r(k) = vector de referenciaCapitulo 2: Marco Terico - 29 -u(k)=vectordecontrolptimo(denominadatambinfuerzaosealde control) Paraaplicacionesdeprcticas,elvectordecontroludebedeestar siempre acotado. ii). Control ptimo Cuadrtico no Estacionario Elproblemadelcontrolptimocuadrticodiscretonoestacionario consisteenencontrarunaadecuadaleydecontrolptimodeunsistemade control lineal de tiempo discreto.6 c x k Hu k Gx k x + + ) 0 ( ); ( ) ( ) 1 ( . (2.2) Queseacapazdetrasladarladinmicadelprocesodesdeunestado inicial x(0) hacia un estado final deseado x(N). La fuerza de control ptima u(k)sedeterminaapartirdelaminimizacindelasiguientefuncinde costo cuadrtica discreta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + 102121NkT T Tk Ru k u k Qx k x N Sx N x J..(2.3) Donde: Q: Matriz Hermtica (o matriz real simtrica) definida positiva (d.p.) o semidifinida positiva (s.d.p) den nR:MatrizHermtica(omatrizrealsimtrica)definidapositiva(d.p) der r S: Matriz hermtica (o matriz real simtrica) definida positiva (d.p) o semidefinida positiva (s.d.p) den n 6 Bryson, A. y Y. Ho Applied Optimal Control. Optimization, Estimation and Control, J. Wiley & Sons, New Cork (1975). Capitulo 2: Marco Terico - 30 -LasmatricesQ,RySseseleccionanconvenientementeparaponderarla importanciarelativadelvectordeestadox(k),delvectordecontrolu(k)y del estado final x(N), respectivamente. La ley de control ptima viene dada por: ) ( ) ( ) ( k x k K k u .. (2.4) Unacondicinnecesariaparaaplicarelcontrolporrealimentacinde estadosesqueelprocesoseacompletamentecontrolable;ademssea completamenteobservable(todoslosestadosdebenestardisponibleso medibles). Si existieran estados queno pudieranmedirse directamente, ser necesario estimarlos por medio de un estimador u observador de estados. Lasolucinalproblemadecontrolptimocuadrticonoestacionario est dada por la matriz de ganancia del controlador K(k), para cuyo efecto se hace necesario resolver la ecuacin de Riccati: ( ) ( ) [ ] G k P H H k P H R H k P G G k P G Q k PT T T T) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) (1+ + + + + + (2.5) La matriz P(k) es una matriz hermtica definida positiva de n x n, que puede determinarserecursivamentehaciaatrsdesdek=Nhastak=0,esdecir P(N),P(N-1), , P(0), donde S N P ) (.... (2.6) Luego, la matriz de ganancia del controlador est dada por: [ ] G k P H H k P H R k KT T) 1 ( ) 1 ( ) (1+ + + (2.7) Finalmente, la seal de control ptima est dada por: Capitulo 2: Marco Terico - 31 -G k P H H k P H Rk x k K k uT T) 1 ( ] ) 1 ( [) ( ) ( ) (1+ + + (2.8) Se puede encontrar que el valor que el mnimo de la funcin de costo es: ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (21minx P x JT.. (2.9) iii). Control ptimo Cuadrtico Estacionario En elsistema de control ptimo cuadrtico discreto no estacionario, se viqueladinmicadelsistemaevolucionahastauntiempofinito, haciendoquelamatrizdegananciaomatrizdegananciaderealimentacin K(k)seconvierteenunamatrizvarianteeneltiempo;mientrasqueenel control ptimo cuadrtico estacionario, la dinmica de control evoluciona hasta un tiempo N infinito, por consiguiente, laganancia K(k) se convierte en una matriz constante K. Para N infinito, el trmino) ( ) (21N x S N xT de la ecuacin (2.3) desaparece debido a que x() = 0. Funcin de costo: [ ]+ ) ( ) ( ) ( ) (21k u R k u k x Q k x JT T... (1) Ecuacin de Riccati en estado estacionario:

PG H PH H R PH G G P G PT T T T 1] [+ ... (2.10) Capitulo 2: Marco Terico - 32 -La forma de resolver la ecuacin de Riccati en estado estacionario es usar la ecuacin de Riccati en estado no estacionario, dada la ecuacin (2.5) pero con la inversin en la direccin del tiempo, como se presenta a continuacin: G k P H H k P H R H k P G G k P G k PT T T T) ( ] ) ( [ ) ( ) ( ) 1 (1 + + (2.11) YempezarconP(0),luegoP(1),yassucesivamentehastaobteneruna solucin en estado estacionario. Matriz de ganancia del controlador: P H PH H R KT T 1] [+ . (2.12) Ley de control ptima: ) ( ) ( k x K k u . (2.13) Funcin de costo mnima: ( ) ) 0 ( 0 ) 0 (21minx P x JT.. (2.14) Eldiagramadebloquesdelsistemadelcontrolptimodeestado estacionario se representa en la figura siguiente en donde se asume que todos losestadosseencuentrandisponibles.Paraoperacinsatisfactoriadel sistemadelazocerradomostradaendichafigura,todaslasracesdesu ecuacin caracterstica: [ ] 0 det + HK G zI(2.15) Deben posicionarse dentro del circulo unitario. Capitulo 2: Marco Terico - 33 - Sepuedeapreciarqueenestaseccinyenelanterior,laleydecontrol u(k) slo depende de la matriz de ganancia del controlador y del estado x(k) por consiguiente estamos en el caso del sistema regulador ptimo. iv).Diseo de un Observador ptimo Cuadrtico Cuandotanslosepuedenmedirenformadirectaalgunasdelas variables del vector de estado, entonces es necesario estimar dicho vector de estado x(k), es decir obtener un vector de estado estimado) (k x. En el diseo delestimadoruobservadordeestadosdiscretosecalculasumatrizde gananciaKe,quepermitelaobtencindelasealdecontrolu(k).Enun sistema prctico es necesario observar las variables de estado no medibles a partirdelasvariablesdesalidaylasdecontrol.Enlafigurasiguientese muestra el diagrama de bloques del observador de estados discreto, donde: Ke:Matrizdesalidaderealimentacindelobservadorcon dimensin n x m. C: Matriz de salida de dimensin m x n. ) ( k x: Vector de estado estimado de dimensin n. ) ( k y: Vector de salida estimado de dimensin m. De donde se pueden escribir las siguientes ecuaciones del proceso: ) ( ) ( ) 1 ( k u H k x G k x + + (2.16)u(k) Iz x(k) G -k H Capitulo 2: Marco Terico - 34 -) ( ) ( k x C k y (2.17) y del observador ( ) [ ]( ) [ ] ) (~) ( ) (~) (~) ( ) (~) 1 (~k x C k y K k u H k x Gk y k y K k u H k x G k xee + + + + +. (2.18) Al observador o estimador de estados se le denomina tambin observador de prediccin porque el estimado) 1 (~+ k xest un periodo de muestreo delante de la medicin y(k) Figura: Diagrama de Bloques del observador de estado Ecuacin de error del observador: Restandolaecuacin(22)delaecuacin(20)seobtienelasiguiente ecuacin de error del observador: u(k) H Hz-1I G Ke C C z-1I G + + + + + + + + Observador de estados ) (~k x ) (~k x x(k) Capitulo 2: Marco Terico - 35 -) ( ] [ ) 1 ( k e C K G k ee +. (2.19) Donde: ) ( ) ( ) ( k x k x k e .. (2.20) Ecuacin Caracterstica: Laestabilidaddelobservadorsedeterminaresolviendolasiguiente ecuacin caracterstica: 0 ] det[ + C K G zIe.... (2.21) Las races de la ecuacin caracterstica deben posicionarse dentro del crculo unitario para operacin satisfactoria del observador. Ke debe ser escogida apropiadamente para que el error tienda a cero. Elprocesodebesercompletamenteobservable,condicinquese consigue aplicando el criterio de observabilidad. Ecuacin de Riccati: TeTe eTeTe e eG P C C P C R C P G G P G Q P1] [+ + (2.22) ParadeterminarPeaplicamoselmismoprocedimientoempleandopara calcular P, dada en la ecuacin (2.5) pero con la inversin en la direccin del tiempo y efectuando las siguientes modificaciones: TeT TK K C H G G ; ; (2.23) Obtenindose TeTe eTeTe e eG k P C C k P C R C k P G G k P G Q k P ) ( ] ) ( [ ) ( ) ( ) 1 (1 + + + (2.24) Capitulo 2: Marco Terico - 36 - Matriz de ganancia Ke: TeTe e eG P C C P C R K1] [+ .. (2.25) Nota:Para el caso del observador de estados, las matrices de ponderacin Re y Qe deben ser elegidas de tal forma que la respuesta del observador sea dos o tres vecesmsrpidaencomparacinconlarespuestadelproceso. Generalmente para que esto ocurra, los elementos de Re deben ser bastantes menores que los elementos de Qe. v).ElControladorptimoparaSistemasdeSeguimientoenestado estacionario. En el diseo de sistemas de seguimiento, es decir sistemas en la salida sigue aunareferenciadeseada,esnecesarioindicarquesedebeconocerlos valores propios de la planta o proceso, permitindonos averiguar si la planta tiene integrador. Dependiendo de ello se pueden aplicar cualquiera de los dos siguientes casos. a)El Controlador ptimo Proporcional Estacionario El controlador ptimo es un sistema de control realimentado, en donde la salida controlada sigue a una seal de referencia r(k)=r (funcin escaln) esdecirestamosconsiderandounsistemadeseguimiento. Restringiremosnuestrotratamientoasistemasunivariables.Esta estructurasloesaplicableaprocesosqueposeenuncomportamiento integral. Lafigura siguientemuestra el esquema de un controlador para la variable de estado x2, empleando una ley de control de realimentacin de estadosqueinvolucraalamatrizdegananciadelcontrolador,la referencia y la seal de salida. De dicha figura, considerando como salida al estado x2(k) se obtiene la siguiente ley de control: Capitulo 2: Marco Terico - 37 - )] ( ) ( [ ) ( ... .......... ) ( ) ( ) (2 2 3 3 1 1k x k r k k x k k x k k x k k un n + ) () (..) () () () ......... (23213 2 1k r kk xk xk xk xk k k knn+

,_

) ( ) ( ) (2k r k k x K k u + . (2.26) Figura: Esquema del regulador ptimo proporcional. Reemplazando la ecuacin (2.30) en (2.2) se obtiene: ) ( ) ( ) () ( ) ( ) 1 (2k r k H k x HK Gk u H k x G k x+ + +. (2.27) Aplicandolatransformadazalaecuacin(2.31) seobtienelasiguiente solucin de la ecuacin de estado en trminos de z: k2 kn k3 k1 r(k) u(k) x(k) x(k+1)= Gx(k)+Hu(k) y(k)=x2(k) + + - - - - c Capitulo 2: Marco Terico - 38 -( ) ) ( ) (21z r k H HK G zI z x+ ... (2.28) Reemplazando esta ltima ecuacin en la expresin de la salida, tenemos: ( ) z r k H HK G zI C z Cx z y21) ( ) ( ) (+ (2.29) Paraobtenerlasalidaenestadoestacionario,comorespuestaauna referencia escaln unitario, aplicamos la propiedad del valor final 211) () (1) (k H HK G zI Cz yzzLim k y Limz k + .. (2.30) Para un perfecto seguimiento, la salida y=1 (escaln unitario), condicin que debe cumplirse si1 ) (21 + k H HK G zI C . Porconveniencia,lasmatricesRyQdebentomarlaforma diagonal, as: 11111]1

11111]1

p pqqqQrrrR. . . 0 0. . ... .0 .. . . 00 .. . . 0;. . . 0 0. . ... .0 .. . . 00 .. . . 02121 Donde: Loselementosr1, r2,rpdebensertodospositivosparaqueR sea una matriz simtrica definida positiva (d.p.). Los elementos qi deben ser positivosy algunos de ellosnulos para que Q sea una matriz simtrica semidefinida positiva (s.d.p.). Cada elemento qi ri dar un peso correspondiente a cada variable deestadoxioacadasealdecontrolui,respectivamente.Elcriterio para escoger los pesos est en relacin con la importancia que le demos a cada variable o seal en cuestin. Capitulo 2: Marco Terico - 39 -b)El Controlador ptimo Proporcional Integral Paraprocesosquenoposeenpropiedadesintegradores,laconclusinde accinintegralenelsistemadecontrolpermiteobtenerunerror estacionarionulo.Lafigurasiguienteilustraunreguladorparasistemas de una entrada y una salida (SISO).7 Figura: Controlador ptimo proporcional integral Ecuaciones de estado y de salida del proceso: ); ( ) ( ) 1 ( k u H k x G k x + + .. (2.31) ) ( ) ( k x C k y .. (2.32) Ley de control: ) ( ) ( ) (1k v K k x K k u + ... (2.33) Matriz de ganancia del controlador: [ ]nK K K K ...2 1 ...(2.34) 7 Takahashi, Y., M. Rabins y D. Auslander Control and Dynamic Systems, Addison-Wesley Pub. Co., Reading, Massachussets, (1977). u(k) H Cz-1I G x(k) y(k) K z-1I v(k) r(k) KI v(k-1) Control Integral Planta con realimentacin del estado Capitulo 2: Marco Terico - 40 -Ecuacin para el integrador ) ( ) ( ) 1 ( ) ( k y k r k v k v + .. (2.35) ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ()] ( ) ( [ ) 1 ( ) () 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 (+ + + + + + + + + + + k r k x CHK CG k v CHKk U H k x G C k r k vk y k r k v k vI . (2.36) Empleando las ecuaciones (2.35) y(2.37) obtenemos: ) ( ) ( ) ()] ( ) ( [ ) ( ) 1 (k v HK k x HK Gk u H k x K H k x G k xI+ + + +.. (2.37) y de las ecuaciones (2.40), (2.41) y (2.36) deducimos: ) 1 (10) () (1 ) 1 () 1 (+1]1

+1]1

1]1

+ 1]1

++k rk vk xCHK CHK CGHK HK Gk vk xII . (2.38) 1]1

) () (] 0 [ ) (k vk xC k y . (2.39) Enestadoestacionario( ) k ,losvaloresdex(k),u(k)yv(k)toman valores) ( x . Entonces la ecuacin (2.42) se convierte en: 1]1

+1]1

1]1

+ 1]1

r vxCHK CHK CGHK HK GvxII0) () (1 ) () ( . (2.40) Si se efecta la siguiente asignacin: ) ( ) ( ) ( k x x k xe .... (2.41) ) ( ) ( ) ( k v v k ve .... (2.42) yserestalaecuacin(2.44)de(2.42)yseusalasrelaciones(2.45)y (2.46) se obtiene: Capitulo 2: Marco Terico - 41 -[ ]1]1

1]1

+1]1

1]1

1]1

1]1

+ 1]1

++) () () () ( 0) () (1 ) 1 () 1 (k vk xK KCHKk vk xI CGGk vk xCHK CHK CGHK HK Gk vk xeeIeeeeIIee (2.43) que finalmente se reescribe como: ) (~) (~) 1 ( k w H k G k + + (2.44) Donde: ) (~) ( k K k w 1]1

) () () (k vk xkee1]1

I CGGk G0) (~ 1]1

CHKk H ) (~ [ ]IK K k K ) (~ La ecuacin de Riccati y la ecuacin de ganancia del controladorK~ son: [ ] G P H H P H R H P G G P G Q PT T T T~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 + + (2.45) [ ] G P H H P H R KT T~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 + . (2.46) 2.6Motor de corriente directa: Unmotorelctricoesundispositivoelectromecnicocuyafuncines realizarunprocesodeconversindelaenerga,tieneunaentradaqueesuna diferencia de potencial y una salida que es la rotacin de un eje. Un generador tienecomoentradalarotacindelejeycomosalidaunadiferenciade potencial. 8 8 Antsaklis, Panos J. INTELLIGEN CONTROL, Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering. John Wiley and Sons, Inc., (1997). Capitulo 2: Marco Terico - 42 - ElmotorDCdeimnpermanenteseusaparaconvertirunasealde entradaelctricaenunasealdesalidamecnicacomoindicaelgrfico.El motorconstabsicamenteenformafsicadedospartesunembobinadode campo ubicado en el estator y un embobinado de armadura ubicado en el rotor, el cual puede girar de manera libremente. Este embobinado est ubicado en un campomagntico generado enformanormal, por una corriente quefluye por el embobinado de campo. Cuando una corriente quefluye por el embobinado de armadura, debido a que est en uin campo magntico, sobre el embobinado acta fuerzas que lo hacen girar. La fuerza F que acta sobre el alambre por el cual pasa una corriente ia y esdelongitudLenuncampomagnticoconunadensidaddeflujoB ortogonales al alambre que est dado por: L i B FaCon N alambres L i B N Fa Capitulo 2: Marco Terico - 43 -Lasfuerzassobrelosalambresdelembobinadodearmaduradanpor resultadounparT,dondeT=Fb,ybeselanchodelembobinado.Deeste modo, b L i B N Ta El par resultante es proporcional a B ia, los otros factores son constantes. Por lo tanto, se puede escribir ai B k T1 Puestoquelaarmaduraesunembobinadogiratorioenuncampo magnticoenesteseinducirunvoltajecomoresultadodelainduccin electromecnica. La direccin de este voltaje ser demodo tal quese oponga alcambio quelo produceysedenominafuerzacontraelectromotriz.Estafuerzacontra electromotrizVbesproporcionalalaraznderotacindelaarmadurayal flujo eslabonado por el embobinado, por lo tanto, la densidad de flujo B. De este modo. w B k Vb 2 Donde w es la velocidad angular del eje y k2 es una constante. Conelmotorcontroladoporarmadura,lacorrientedecampoifse mantieneconstanteyelmotorsecontrolamedianteelajustedelvoltajede armaduraVa.Unacorrientedecampoconstantesignificaqueenel embobinadodearmaduraladensidaddeflujomagnticoBesconstante.La ecuacin ser w k Vb 3 Capitulo 2: Marco Terico - 44 -Dondek3esunaconstante.Elcircuitodearmadurasepuedeconsiderar comounaresistenciaRaenserieconunainductanciaLayunafuentede fuerza contra electromotriz. Deestamanera,siVaeselvoltajeaplicadoalcircuitodearmadura, entonces a a a b ai RdtdiL V V + La entrada a la parte delmotor del sistema es Va, la cual se suma con la seal de realimentacin delafuerza contra electromotriz Vb para generar una seal de error que se usa como entrada al circuito de armadura. De este modo laecuacinanteriordescribelarelacinentrelasealdeerror,queesla entrada al embobinado de armadura, y la salida de ste, que es la corriente de armadura ia, al sustituir Vb en la ecuacin, donde se obtiene. a a a ai RdtdiL w k V + 3 La corriente ia en la armadura resulta en un par T, dado por la ecuacin. Puesto que B es una constante, esta ecuacin se convierte en: a ai k i B k T4 1 Donde k4 es una constante. Capitulo 2: Marco Terico - 45 -Control Adaptivo de Sistemas SISO linealizables. "Enellenguajecotidiano,adaptarsignificacambiaruncomportamientopara conformarunanuevacircunstancia.Intuitivamente,uncontroladoradaptivoesun controladorquepuedemodificarsucomportamientoenrespuestaaloscambiosenla dinmicadelprocesoylascaractersticasdelaperturbacin"(Astrmy Wittenmark,1995). Aunque que la teora de los motores DC esta bien establecida (Krause, 1985; Leonhard, 1985;Fitzgeraldetal.,1983)losparmetrosdeladescripcinmatemticaenmuchos casos son slo aproximadamente conocidos y varan durante la operacin. La tcnica de controldelinealizacinporrealimentacinparaelmotorDCdeimnpermanente requierelacancelacindelostrminosno-lineales.Cuandoesostrminoscontienen parmetros desconocidos, el desarrollo de la versin ptimo es muy necesario. Linealizacin por Realimentacin Adaptiva: Caso Grado Relativo Uno. Enestaseccin,sepresentaelprocedimientode diseodecontrolptimopara un sistema linealizable dado en (Sastry e Isidory, 1989). Consideremos el sistema Captulo 3: Metodologa - 48 - CAPITULO 3 METODOLOGA 3.1Metodologa De La Investigacin Pasos Metodolgicos Elprocedimientodeldiseoeimplementacindeunsistemadecontrol ptimo cuadrtico comprende los siguientes pasos. 1.Formularlafaselgicaoepistmicoquecomprendelaformulacindel problema,objetivos,hiptesisysujustificacinlasmismasquevana permitir determinados especificaciones de diseo. 2.Determinarelmodelomatemticodelcontroldemotoracontrolary determinar su controlabilidad y observabilidad. 3.Determinar la matriz de ganancia ptima k de control. 4.Calcular la matriz de ganancia ptima ke del observador. 5.Simular el sistema de control ptimo cuadrtico. 6.Implementar el software del sistema. 7.Realizarpruebasdefuncionamientoquepermitanobtenerresultados experimentales satisfactorios. 3.2Materiales Paradesarrollarelpresentetrabajodetesisseutilizyserevislos siguientesmaterialesbibliogrficosbsicosparaelcumplimientodelos objetivos: Bibliografay pginas webs referente al tema central de control ptimo y tambin lo referente a maquinas elctricas de corriente continua. Documentos oficiales, catlogos, manuales de instituciones, tesis acerca del tema. Informacin de bibliografa referente a experiencias de laboratorio. Captulo 3: Metodologa - 49 - 3.3Mtodo y tcnicas de recoleccin de datos La metodologa que se plantea para el desarrollo del presente trabajo de Tesis, eselmtododescriptivoydeinvestigacin,elcualyafueexplicado.Estonos permitir culminar demanerasatisfactoria el diseo,modelamiento, simulacin paraelcontroldelmotordecorrientecorrientecontinua,ademspermitir experimentarydeterminarlacomprobacindelashiptesisplanteadaspara finalmenteconcluiryrecomendaralcancesgraciasaldesarrollodelpresente trabajo de tesis. 3.4Variables de estudios 3.4.1Variables dependientes Velocidad de motor (w)rad/seg:y1 3.4.2Variables Independientes Voltaje o tensin de entrada (V)Voltios: x1 Los parmetros tcnicos del motor:x2 3.4.3Variables Intervinientes Computadora Personal (PC) Software MATLAB TABLADE DEFINICIN DE VARIABLES DE ESTUDIOS Nombre de variableSmbolo Tipo de Variable Unidad de Medida Velocidad de motor ()y1DependienteRad/seg Variabledesealdecontrol ptimo y2DependienteSeg Tensin de entrada(V)x1IndependienteVoltios Corriente de Armadura (I)x2 IndependienteAmperios PcInterviniente SoftwareInterviniente Captulo 3: Metodologa - 50 - 3.5Modelos Matemticos Se plantearn los siguientes modelos matemticos, teniendo como referencia la relacin que existe entre diferentes variables. Modelo matemtico del proceso: Usando la ley de voltajes de Kirchoff, la ecuacin lineal que modela el circuito es: 0 Va a a b ai RdtdiL V V + UsandolaleydeNewtondelmovimiento,lasumademomentossobreeleje de revolucin es: dtdwJ M()dtdWJ bW Tm t+ Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 52 - CAPITULO 4 DISEO DEMODELAMIENTO 4.1Modelamiento del motor DC de imn permanente: EstecaptulodiscuteelmodelomatemticodemotorDC.Unmodelo matemticodeestemotorsedefineunconjuntodeecuacionesdiferenciasno-lineales (cuadrticos) que representa la dinmica del motor DC. Usando la notacin matricial. Motor Elctrico: wCARGAVaLa RaVbIaVfLfRfIfROTORbJwmTESTATOR 4.2Circuito Elctrico (Ley de Kirchoff): Dominio Tiempo: Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 53 - VbdtdIaLa RaIa Va + + .(4. ) Donde: Vb = Tensin contra electromotriz Dominio Laplace ( )( ) ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (s Ia S La Ra s Vb s Vas Vb s Ia S La Ra s Vas Vb s Ia S La s Ia Ra s Va+ + + + + Funcin de Transferencia: S La Ra s Vb s Vas Ia+1) ( ) () ( (4.I) Diagrama de Bloque 4.3Voltaje Contra electromotriz (Vb): Dominio Tiempo: ) ( ) ( t w Kb t Vb Dominio Laplace: ) ( ) ( s W Kb s Vb .. (4. ) Va(s)-Vb(s) S La Ra +1 Ia(s) Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 54 - Funcin de Transferencia: Kbs Ws Vb) () ( (4.II) Diagrama de Bloque: 4.4Circuito Electromecnico: Conversin de Energa Elctrica en Mecnica (Torque Motor) Dominio Tiempo: Flujo en el entrehierro: If Kf Donde:cte If Corriente de Armadura:Variable Ia Torque desarrollado por el motor: Ia If Kf K If Kf Ia K Tm1 1 Ia Km Tm .. (4. ) Km = constante motrica Dominio Laplace: ) ( ) ( s Ia Km s Tm W(s) Kb Vb(s) Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 55 - Funcin de Transferencia Kms Ias Tm) () ( . (4.III) Diagrama de Bloque 4.5Circuito Mecnico (Dinmica Rotacional) Por la Segunda Ley de Newton: Dominio Tiempo: Flujo en el entrehierro: J T dtdwJ bw Tm bwdtdwJ Tm + . (4. ) Dominio Laplace: ( ) ) ( ) () ( ) ( ) (s w Js b s Tms w s J s bw s Tm+ + Funcin de Transferencia: b s J s Tms w+1) () (.. (4.IV) Ia(s) Km Tm(s) Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 56 - Diagrama de Bloque: 4.6Movimiento: Cintica Rotacional: Dominio Tiempo dsdw Dominio Laplace: ) ( ) ( s S s W Funcin de Transferencia: s s Ws 1) () ( (4.V) Diagrama de Bloque: 4.7Diagrama de Bloque Total: El diagrama de Bloque Total de las ecuaciones: (4.I), (4.II), (4.III), (4.IV) y (4.V) se obtiene lo siguiente: W(s) s1 ) (s Tm(s) b s J +1 w(s) Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 57 - 1/(Ra+LaS)+-e(s)=Va(s) Vb(s)KmIa(s) Tm(s)W(s)(s)Va(s)KbVb(s)1/(Js+b)1/sDiagrama de bloque de lazo cerrado Simplificando: Km(Ra+LaS)(Js+b)W(s)+-Va(s)(s)(s)1sKbVb(s) 4.8Funcin de Transferencia total del motor: ( )( )( )( )( )( ) Kb Km b Js LaS RaKmb s J S La RaKb Kmb s J S La RaKms Vas W+ + ++ +++ +1) () ( De lo anterior se reduce: ( )( )( ) Kb Km b Js LaS RaKms Vas W+ + +) ( Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 58 - 4.9Modelo del motor DC para el control de velocidad, controlado por el voltaje de armadura usando el mtodo de funcin de transferencia. Considerando el sistema internacional, las unidades (tf) de la constante de armadura es igual a la constante del motor. As: Funcin de Transferencia ( )( )( )b mmK K b Js LaS RaKs Vas W+ + +) ( Frmula para el control de velocidad 4.10 Modelo Matemtico del motor DC controlado por voltaje de armadura usando el mtodo de espacio de estado (SS). a)Eleccin de las Variables de Estado: Ecuaciones en el dominio de tiempo: de ( ), ( ), ( ) y ( ) se tiene: Circuito Elctrico: VbdtdIaLa RaIa Va + + .. (4.i) Ecuacin de Primer Orden: Existe una variable de estado, por ser de 1er orden que es: aI X 1 Conversin de energa elctrica en mecnica: ( ) ( ) L La I Km Tm ... (4.ii)Donde: (L) Ecuacin Lineal Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 59 - Como depende linealmente de Ia, por lo tanto: No necesita definir variable de estado Circuito Mecnico ( )dtdJ bW Tm t+ . (4.iii) Como: 22dtddtdWdtdW ... (4.iv) Reemplazando (iv) en (iii), se tiene: ( )t ddJ bW Tm t22+ ... (4.v) Es una ecuacin diferencial de segundo orden Entonces necesitamos definir dos variables de estado que seran: &32XX .. (4.vi) Tensin contra electromotriz ) ( ) ( t W K t Vbb ... (4.vii) Como: dtdW (4.viii) Reemplazando (viii) en (vii), se tiene: ( )dtdKb t Vb. (4.ix)Ecuacin diferencial de primer orden Entonces necesitamos definir una variable de estado por ser de 1er orden, que serian: Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 60 - &3XPero esta variable de estado ya fue definida por X2 Entonces esta variable ya no se considera Existen 3 variables definidas para la ecuacin de estado y salida: W XXIa X &321 b)Ecuaciones de Estado Reemplazando la ecuacin (4.vii) en (4.i) y usando las variables de estado elegidas se obtienen: De (4.i): 3 1 1X K X L X R Vb a a a+ + & Despejando: aaabaaLVXLKXLRX + 3 1 1&... (4.a)Ecuacin de estado De (4.ii):( ) ( ) L La I Km Tm 1) ( X K t Tm De (4.v):( )t ddJ bW Tm t22+ Reemplazando las variables: 1) ( X K t Tm 223 3dtdXdtdX & Entonces: 3 3 1X J X b X K&+ Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 61 - 3 1 3XJbXJKX & .. (4.b)Ecuacin de estado Observacin: En las ecuaciones de estado No aparece X2 entonces como falta se tiene: Sabiendo que: 3 2 2X X X & &ya que & dtdX3 Entonces:3 2X X &..(4.c) (Ecuacin de estado) Representando las ecuaciones del estado matricialmente de (4.a), (4.b) y (4.c) se tiene: aamabaaVLXXXJbJKLKLRXXXX111111]1

+111]1

111111]1

111]1

00101 0 00321321&&&&

AB Donde: Ra: Resistencia elctrica del circuito inductor La: Autoinduccin del circuito inductor b: Es la constante de friccin. Kb : Constante de fuerza Km : Constante del motorJ: Rotor de inercia o momento de inercia del sistema Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 62 - Va: Tensin de armadura o de inducido Vb: Voltaje de Fuerza electromotriz 1X: Corriente de armadura (Ia) 2X : ngulo del motor ( ) 3X: Velocidad angular (w) Con ello llegamos a la ley de control ptimo que es: 111]1

111]1

+ 0000 ::1Va uu Dondeu B X A X estado de Ecuacin& Si escogemos la velocidad angularw x 3

Entonces: [ ]111]1

3211 0 0XXXY Tambinhay otra manera de poder expresarla ecuacin deestado, escogiendo la velocidadangularylacorrienteelctricaconlasvariablesdeestadoyelvoltaje como entrada, se escoge la salida a la velocidad angular. 4.11 Otromtodoescogiendolavelocidadangularylacorrienteelctricacontrolado por voltaje de armadura usando el espacio de estado (SS) 1)Eleccin de las Variables de Estado: Ecuaciones en el dominio de tiempo: de (4. ), (4. ), (4. ) y (4. ) se tiene: Circuito Elctrico: baa avdtdiLa i R Va + + Sabemos que: Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 63 - ) (tdtdk w k vb b b ) ( ) ( ) ( tdtdk t idtdL t i R Vab a a a a + + ... (4.1) Ecuacin de Primer Orden: Existe una variable de estado, por ser de 1er orden que es: aI X 1 Conversin de energa elctrica en mecnica: ( ) ( ) L La I Km Tm . (4.2)Donde: (L) Ecuacin Lineal Como depende linealmente de Ia, por lo tanto: No necesita definir variable de estado Circuito Mecnico ()dtdWJ bW Tm t+ .. (4.3) Como: 22dtddtdWdtdW .. (4.4) Reemplazando (4.4) en (4.3), se tiene: ( )t ddJ bW Tm t22+ ) ( ) ( ) (22t i k tdtdb tdtdJa m + .. (4.5) Es una ecuacin diferencial de segundo orden Entonces necesitamos definir dos variables de estado que seran: Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 64 - ai X 2 .... (4.6) Tensin contra electromotriz ) ( ) ( t W K t Vbb .... (4.7) Como: dtdW.. (4.8) Reemplazando (viii) en (vii), se tiene: ( ) W KbdtdKb t Vb (4.9)Ecuacin diferencial de primer orden Existen 2 variables definidas para la ecuacin de estado y salida: ai XX21&. (4.10) 2)Ecuaciones de Estado Rescribiendo las ecuaciones diferenciales (4.1) y (4.5) del motor D.C. ) ( ) ( ) (22t i k tdtdb tdtdJa m + . (4.11) ) ( ) ( ) ( tdtdk t idtdL t i R Vab a a a a + + .... (4.12) y aplicando transformada de Laplace a la ecuacin (4.11) de (4.11):[ ] ) ( ) (2s I k s bs Jsa m + [ ]) ( ) (2skbs Jss Ima+ .(4.13) Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 65 - Idnticamente,tomandotransformadadeLaplacealaecuacin(4.12),setiene que: [ ] ) ( ) ( ) ( s s k s I sL R s Vb a a a a + + . (4.14) Reemplazando la ecuacin (2.3) en (2.4) se obtiene: ( )( ) [ ]) ( ) ( skk k b Js sL R ss Vmb m a aa+ + +.... (4.15) La funcin de transferencia del proceso, se obtiene de la ecuacin (4.15), y as: ( )( ) [ ]b m a amak k b Js sL R sks Vs+ + +) () ( .. (4.16) Finalmente, la funcin de transferencia, considerando como salida a la velocidad angular &y como entrada a la tensin Va es: ( )( ) [ ]b m a amak k b Js sL Rks Vs+ + +) () ( & .. (4.17) Puesto que:1 ) (1) ( sss & De esta ltima ecuacin se observa que el proceso no tiene integrador. Si se elige &1xy ai x 2 y se reemplaza en las ecuaciones (4.11) y (4.12) se obtiene: De la ecuacin (4.11): 2 1 1x k bx x Jm + & ... (4.18) De la ecuacin (4.12): 1 2 2x k x L Rx Vb a a+ + &. (4.19) Despejando 1x&y 2x&delasecuaciones(4.18)y(4.19)respectivamente,setiene que: Captulo 4: Diseo de Modelamiento - 66 - 2 1 1xJkxJbxm+ & .. (4.20) aa aaabVLxLRxLkx12 1 2+ &.... (4.21) Escribiendo matricialmente las dos ltimas ecuaciones, tendremos: aaaaabmVLxxLRLkJkJbxx

,_

+

,_

,_

,_

102121&& . (4.22) Como la salida es la velocidad angular, entonces su representacin matricial es: ( )

,_

210 1xxy .. (4.23) Donde: Ra: Resistencia elctrica del circuito inductor La: Autoinduccin del circuito inductor b: Es la constante de friccin. kb : Constante de fuerza km : Constante del motorJ: Rotor de inercia o momento de inercia del sistema Va: Tensin de armadura o de inducido Vb: Voltaje de Fuerza electromotriz 1x : Velocidad angular (w) 2x : Corriente de armadura (Ia) Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 68 - CAPITULO 5 SIMULACIN DEL SISTEMA DE CONTROL 5.1.DISEO DEL SISTEMA DE CONTROL PTIMO CUADRTICO EN TIEMPO CONTINUO DE IMN PERMANENTE Laecuacindeestadoysalidadelmotordeimnpermanenteserdela siguiente manera: Bu Ax x + &Cx y La ley de control: Kx u El ndice de rendimiento( )+ 0dt Ru u Qx x JT T La ecuacin para hallar el motor es: a mi k bw w J + & Segundo ley de Newton (circuito mecnico) w k i L i R Vb a a a a a+ + &Ley de voltajes de kirchoff (circuito elctrico) Ordenando se tiene: amiJkwJbw + & aaaaaabaVLiLRwLki1+ & Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 69 - Por lo tanto: aaaaaabmaVLiwLRLkJkJbiw111]1

+1]1

1111]1

1]1

10&& [ ]1]1

1]1

aiwxxx&&&&&21 [ ]1]1

1]1

aV uuu021 Matriz constante de "2 x 2": 1111]1

aaabmLRLkJkJbA Matriz constante de "1 x 2": 111]1

aLB 10 La matriz de salida [ ]1]1

21xxC yQueremos hallar la velocidad entonces ai x y w x 2 1

[ ]1]1

aiwy 0 1 Hallandolos valores b, J, km, kby seha tomado datos de unmotor de corriente continuadeimnpermanentedelLaboratoriodelaEscuelaProfesionalde Ingeniera Mecnica Elctrica de la Universidad Nacional del Altiplano: Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 70 - Las pruebas realizadas al motor de corriente continua son: wCARGAVaLa RaVb IaVfLfRfIfROTORbJ wmTESTATORw(rad/s) seg VolsegradK6 . 747 . 786 . 0 Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 71 - a)A PLENA CARGA: Ia=7 A T=5.55 N-m N=18.5 b)EN VACO: Ia=0.7 A Va=24 VDC w=255 RPM Hallaremos los parmetros Km(N-m/A), Ra(), bm(N-m/rad/seg), Jm(Ns2/rad) 1)Clculo de la constante motrica Km: b a a aV R I V + .. (1) Nw k w k Vb m b b . (2) La inductanciaLa en el motor es0 Donde: mmTTwwN Nw wm Porelprincipiodeconversindeenergaelctricaenenergamecnicaeltorque del motor es: a m mI K T y tambin: m mmm mw bdtdwJ T + por la segunda ley de newton ) (m m m m a m mw b w J N I NK NT T + &mmmmmmawkbwkJI + &Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 72 - mmmmmmawkbwkJI + &Nwkbw NkJImmmma+ & (3) Reemplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1): Nw k R Nwkbw NkJVb ammmma+

,_

+ &Luego Aplicando la transformada de Laplace: ( ) ( ) s W Nk NRkbSkNR Js Vb ammma ma

,_

+ + Su Funcin de transferencia es: ( )( )mmbma mma m akkNkkR NbSkR NJs Vs W

,_

+ +1 ( )( )mmmm b a mma m akkkk Nk R NbSkR NJs Vs W

,_

++1 ( )( )( )( ) [ ]( )m b a mm b a m a mm b a mmak Nk R Nbk Nk R Nb S R NJk Nk R Nbks Vs W++ ++

( )( )( )1 +

,_

++sk Nk R NbR NJk Nk R Nbks Vs Wb m a ma mb m a mma ( )( ) 1 +Sks Vs Wa Donde: b m a mmk Nk R Nbkk+Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 73 - b m a ma mk Nk R NbR NJ+ a mmR NJk k a mmR JNkk A plena carga: (clculo de km) amm a m mITk I k T Reemplazando datos: 79 . 0755 . 5Am Nkm Si: a m mI NK NT T amNITK Am NKm7 5 . 1855 . 5 Entonces: Am NKm 210 285 . 4 210 285 . 4 m bK K m bK y K tienen unidades distintas 2)Clculo de Ra: b a a aV I R V + m b a a aw k I R V + Reemplazando datos: ( )602255 10 285 . 4 7 . 0 242 + aRResolviendo: 6 . 32aR Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 74 - 3)Clculo de Jm: Como: a mmR NJK K

,_

K NRKJamm Reemplazando datos:

,_

VsegradANmJm6 . 747 . 786 . 06 . 32 5 . 1810 285 . 42 2510 1629 . 6sradm NJm 4)Clculo de bm: Como: b m a ma mK NK R NbR NJ+ Siendo b mK K laconstantedeunmotordecorrientecontinuadeimn permanente Reemplazando datos: ( )222510 285 . 4 5 . 18 6 . 32 5 . 186 . 32 10 1629 . 6 5 . 1886 . 0 + mbsradm N Despejando y hallando bm: Efectuando las operaciones: segradVolbm510 59 . 1 RESULTADO 210 285 . 4 m bK KCaptulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 75 - 6 . 32aRsegradVolbm510 59 . 1 2510 1629 . 6sradm NJm CONDICIONES DE DISEO Paralascondicionesoriginalesdelproblemaylasecuacionesdeestadoysalida planteada considerando una velocidad de referencia de 1rad/seg. (step), adicionada al sistema los criterios de diseo son: 1. Tiempo de establecimiento < 2seg. 2. Sobrepico < 5%. 3. Error en estado estacionario < 1% 1. Simulacin de un motor de corriente continua sin controlador % ***SIMULACION DE UN MOTOR DE CD DE IMAN PERMANENTE EN CONDICIONES NORMALES*****

clear all; clc;

% ***Ingreso de datos ************

J=6.15E-5; b=1.59E-5; Km=4.285E-2; Kb=4.285E-2; Ra=32.6; La=0.00001;

% Sea la el Matriz de estado: x'=Ax+Bu y y'=Cx+Du % Donde D no existe la matriz por lo tanto la ecuacion sera de la siguiente H L 00001 . 0 Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 76 - % manera y'=Cx %***** x': VEctor de estado de orden "n" %***** u: Vector de control de orden "r" %***** A: Matriz constante de "n x n" %***** B: Matriz constante de "n x r"

A=[-b/J Km/J -Kb/La -Ra/La]; B=[0;1/La]; Cc=[1 0]; Dc=[0];

% Verificar comprobabilidad y observabilidad M=[B A*B]; rank(M)% para saber el rango de la comprobabilidad

N=[Cc' A'*Cc']; rank(N)

%Control Optimo continuo hallando las ganancias, ecuacion de Riccati%Matrices de Ponderacin para hallarQ=[100 0 ;0 100];R=[1]; [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) step(A,B,Cc,Dc) title('VELOCIDAD ANGULAR VS TIEMPO') ylabel('Velocidad Angular') xlabel('Tiempo') grid() Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 77 - Figura N1 K = 9.94471.5013 P = 0.48740.0001 0.00010.0000 E = 1.0e+006 * -0.0002 -3.4099 1. Tiempo de establecimiento =4.8Seg 2. Sobrepico = 0%. 3. Error en estado estacionario > 1% (que esta a 19rad/seg)

Solo cumple con el sobrepico que se encuentra menor que 1%. 2.Simulacindeunmotordecorrientecontinuaaplicandoelcontrolador optimo % ***SIMULACION DE UN MOTOR DE CD DE IMAN PERMANENTE CON CONTROLADOR PTIMO*****

clear all; clc;

% ***Ingreso de datos ************

J=6.15E-5; b=1.59E-5; Km=4.285E-2; Kb=4.285E-2; Ra=32.6; La=0.00001;

% Sea la el Matriz de estado: x'=Ax+Bu y y'=Cx+Du % Donde D no existe la matriz por lo tanto la ecuacin ser de la siguiente % manera y'=Cx %***** x': VEctor de estado de orden "n" Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 78 - %***** u: Vector de control de orden "r" %***** A: Matriz constante de "n x n" %***** B: Matriz constante de "n x r"

A=[-b/J Km/J -Kb/La -Ra/La]; B=[0;1/La]; Cc=[1 0]; Dc=[0];

% Verificar comprobabilidad y observabilidad M=[B A*B]; rank(M);% para saber el rango de la comprobabilidad

N=[Cc' A'*Cc']; rank(N);

%Control Optimo continuo hallando las ganancias, ecuacin de Riccati%Matrices de Ponderacin para hallarQ=[100 0 ;0 100];R=[1]; [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) step(A-B*K,B,Cc,Dc) Figura N2 1. Tiempo de establecimiento =0.026Seg 2. Sobrepico = 0%. Captulo 5: Simulacin del Sistema de Control - 79 - 3. Error en estado estacionario