Diseos FactorialesEl objetivo de un diseo factorial es estudiar
el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o
caractersticas de calidad, es decir, lo que se busca es estudiar la
relacin entre los factores y la respuesta, con la finalidad de
conocer mejor cmo es esta relacin y generar conocimiento que
permita tomar acciones y decisiones que mejoren el desempeo del
proceso. Por ejemplo, uno de los objetivos particulares ms
importantes que en general tiene un diseo factorial es determinar
una combinacin de niveles de los factores en la cual el desempeo
del proceso sea mejor que en las condiciones de operacin actuales,
es decir, encontrar nuevas condiciones de operacin del proceso que
eliminen o disminuyen cierto problema de calidad en la variable de
salida. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (mquinas, tipos
de material, operador, la presencia o ausencia de una operacin
previa, etc.) , o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad,
velocidad, presin, etc.). Para poder estudiar la manera en cmo
influye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario
elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con
el diseo factorial completo se corren aleatoriamente en el proceso
todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los
niveles seleccionados.Definicin de experimento factorialUn diseo de
experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos
experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando
todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.
Por ejemplo, con k=2 factores ambos con dos niveles de prueba, se
forma el diseo factorial 2x2=22 que consiste de cuatro
combinaciones o puntos experimentales. Considerando otra vez k=2
factores, pero ahora con tres niveles y el otro con dos niveles se
puede construir 3x2 combinaciones que dan lugar al diseo factorial
3x2. Ms en general, la familia de diseos factoriales 2k consiste en
k factores, todos con dos niveles de prueba; la familia de diseos
3k consiste de k factores cada uno con tres niveles de prueba.Diseo
Factorial 22Supongamos que se tienen dos factores A: tiempo y B:
velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y alto), la respuesta es
la cantidad de aditivo. En el experimento, cada tratamiento se
corri tres veces (tres rplicas) lo que da un total de 12 corridas
del proceso. Por simplicidad slo se muestra los resultados de la
primera rplica:
Efecto principal y efecto de interaccinEl efcto de un factor se
define como el cambio observado en la variable respuesta debido a
un cambio de nivel de tal factor. En particular los efectos
principales, son los cambios en la media de la variable respuesta
debido a la accin individual de cada factor. Matemticamente el
efecto principal de un factor es la diferencia entre la respuesta
media observada cuando tal factor estuvo en su nivel ms alto y la
respuesta media observada cuando el factor estuvo en su nivel ms
bajo. Por ejemplo, para los datos de la tabla anterior estn daos
por:Efecto A: Efecto B: Por otro lado, se dice que dos factores
interactan entre s o que tienen un efecto de interaccin sobre la
variable respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel
en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores tiempo y
velocidad interactan si el efecto del tiempo es muy diferente en
cada nivel de velocidad, o viceversa, si el efecto de la velocidad
depende del tiempo. Veamos esto con los datos:Efecto A con B bajo:
16.26 17.10 = -0.84Y cuando la velocidad es alta el efecto de A
es:Efecto A con B alto: 18.16 18.76 = -0.6Si estos dos efectos de A
en funcin del nivel B fueran diferentes, entonces eso sera
evidencia de que la eleccin ms conveniente del nivel de A depende
del nivel en que est B y viceversa. Es decir, eso sera evidencia de
que los factores A y B interactan entre s. En la prctica el clculo
del efecto de A en cada nivel de B no se hace, y ms bien se calcula
el efecto global de la interaccin entre los dos factores. El efecto
de interaccin entre A y B, denotado por AB se calcula como la
diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se
encuentran en el mismo nivel ((bajo,bajo),(alto,alto)), y la
respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles
opuestos ((bajo, alto),(alto, bajo)). Para el ejemplo el efecto de
la interaccin tiempo x temperatura est dado por:
Los valores absolutos de los efectos principales y del efecto de
la interaccin son una medida de la magnitud de su efecto sobre la
variable respuesta. As, entre ms grande sea el valor absoluto de un
efecto, mayor influencia tendr sobre la variable respuesta. Sin
embargo, para saber si los efectos son estadsticamente
significativos se requiere del anlisis de varianza. Ventajas de los
diseos factoriales1. Son diseos que se pueden aumentar para formar
diseos compuestos en caso de que se requiera una exploracin ms
completa.2. Se pueden correr fracciones de diseos factoriales, las
cuales son de gran utilidad en las primeras etapas de una
investigacin que involucra a muchos factores, cuando interesa
descartar de manera econmica los que son importantes, antes de
hacer un estudio ms detallado con los factores que si son
importantes.3. Pueden utilizarse en combinacin con diseos de
bloques en situaciones en las que no puede correrse el diseo
factorial completo bajo las mismas condiciones o circunstancias.4.
La interpretacin y clculo de los efectos en los experimentos
factoriales se puede hacer con aritmtica elemental, en particular
cuando cada factor se prueba en dos niveles.Diseos Factoriales con
dos FactoresConsidere los factores A y B con a y b (a, b 2) niveles
de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el diseo
factorial a x b que consiste en a x b tratamientos. Se llama rplica
a cada repeticin completa del arreglo factorial. Los diseos
factoriales que involucran menos de 4 factores se corren replicados
para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadsticas
sobre los efectos de inters, de tal forma que si se hacen n
rplicas, el nmero total de corridas experimentales es n(a x
b).Modelo Estadstico:Con un diseo factorial a x b se pueden
estudiar los efectos individuales y el efecto de interaccin de
ambos factores. En trminos estadsticos lo que se afirma es que el
comportamiento de la variable respuesta Y en el experimento con k
rplicas se podr escribir mediante:
Donde es la media general, es el efecto del i-simo nivel del
factor A, es el efecto del j-simo nivel del factor B, representa el
efecto de interaccin en la combinacin ij y es el error aleatorio
que supone sigue una distribucin con media cero y varianza
constante y son independientes entre s. Para que la estimacin de
los parmetros en este modelo sea nica, se introducen las
restricciones: y Es decir, los efectos dados en el modelo son
desviaciones respecto de la media global. Hiptesis a evaluar y
anlisis de varianza
Para el Factor A
Para el Factor B
Para la interaccin AB:
El ANOVA para un diseo factorial a x b con n rplicas resulta de
descomponer la variacin total como:SST=SSA+SSB+SSAB+SSEY la tabla
de ANOVA est dada por:
Ejemplo:En un experimento llevado a cabo para determinar cul de
tres sistemas de misiles es preferible, se midi el promedio de
consumo de los propulsores para 24 encendidos estticos. Se
utilizaron cuatro tipos diferentes de propulsores. En el
experimento se obtuvieron observaciones duplicadas de promedios de
consumo en cada combinacin de los tratamientos. Los datos aparecen
a continuacin:
Ejercicios:1. Se realiz un estudio con el objetivo de averiguar
la estabilidad de la vitamina C en concentrado de jugo de naranja
congelado reconstituido que se almacena en un refrigerador por un
periodo de hasta una semana. Tres tipos de concentrado de jugo de
naranja congelado se probaron utilizando tres periodos diferentes
de tiempo. Estos ltimos se refieren al nmero de das que transcurren
desde que el jugo de naranja se mezcla hasta que se somete a la
prueba. Los resultados, en miligramos de cido ascrbico por litro,
se registraron de la siguiente manera, segn se indica en la
siguiente tabla.
Utilice un nivel de significancia de 0,05 para probar las
hiptesis:a) No existe diferencia en los contenidos de cido ascrbico
entre las diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja.b) No
existen diferencias en los contenidos de cido ascrbico debido a los
diferentes periodos de tiempo.c) Las marcas de concentrado de jugo
de naranja y el nmero de das que transcurre desde que el jugo se
mezcla hasta que se somete a la prueba no interactan.
2. Se realiz un estudio para determinar qu msculos necesitan
sujetarse a un programa de acondicionamiento de tal forma que se
mejore el comportamiento de un jugador en el servicio tendido
utilizado en tenis. Se probaron cinco msculos diferentes: deltoide
anterior, pectoral mayor, deltoide posterior, deltoide medio y
trceps; en cada uno de tres individuos, y el experimentador se llev
a cabo tres veces para cada combinacin de tratamiento. Los datos
del electromiograma, registrados durante el servicio fueron los
siguientes:
a) Individuos diferentes tienen iguales mediciones de
electromiograma.b) Diferentes msculos no tienen efecto sobre las
mediciones electromiogrficas.c) Los sujetos y los tipos de msculos
no ineractan.
3. Un ingeniero est diseando una batera para usarse en un
aparato que estar sujeto a variaciones extremas de temperatura.
Tiene tres opciones para el material de la placa para la batera, y
como sabe que la temperatura afecta la vida de la batera decide
probar tres temperaturas: 15F, 70F, 125F. Se prueban 4 bateras en
cada combinacin de material y temperatura y las 36 pruebas se
corren en orden aleatorio (completamente al azar). Los datos son
vida (en horas) de las bateras.
a) Qu efectos produce el material y la temperatura en la vida de
la batera?b) Existe un material que produzca uniformemente ms larga
vida a la batera sin importar la temperatura?4. Se estudia el
rendimiento de un proceso qumico. Se piensa que las dos variables
ms importantes son la presin y la temperatura. Se seleccionan tres
niveles de cada factor y se lleva a cabo un experimento factorial
con dos rplicas. Los datos del rendimiento son:
a) Analice los datos, qu concluye?b) Bajo qu condiciones debe
operarse este sistema?
5. Un ingeniero sospecha que el acabado superficial de una pieza
metlica se afecta por la velocidad de alimentacin y la profundidad
de corte. Selecciona tres velocidades de alimentacin y cuatro
profundidades de corte. Se realiza un experimento factorial y se
obtiene los siguientes resultados:
6. Se describe un experimento para investigar el efecto del tipo
de cristal y el tipo de fsforo sobre la brillantez de un
cinescopio. Los datos son la corriente en micro amperes necesaria
para obtener un nivel de brillantez especfico. Los datos son los
siguientes.
