Diseño de una estrategia metodológica que permita a los

Diseño de una estrategia metodológica que

permita a los estudiantes del grado octavo de la

Institución Educativa Rural San Isidro (I.E.R.S.I)

una comprensión asertiva del concepto de

variable a través de un material didáctico.

Andrés Felipe Correa Sepúlveda

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia

2018

Diseño de una estrategia metodológica que

permita a los estudiantes del grado octavo de la

Institución Educativa Rural San Isidro (I.E.R.S.I)

una comprensión asertiva del concepto de

variable a través de un material didáctico.

Andrés Felipe Correa Sepúlveda

Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:

Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales

Director: Doctor Hugo Javier Arbeláez Pulgarín

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia

2018

Dedicatoria

A mi madre, quien con sus consejos

siempre me motivo a buscar

incansablemente mis sueños.

Agradecimientos

Son muchas personas a quienes debo agradecimientos. A gradezco al profesor Hugo Javier Arbeláez Pulgarín, quien desde el pregrado me ha ayudado como asesor de mis trabajos de grado, a mis compañeros de estudio quienes siempre estuvieron prestos a brindarme una ayuda cuando la necesité, y a mi familia, quienes con su apoyo incondicional han sido el motor que me ha llevado a lograr muchas de mis metas como profesional.

Resumen y Abstract V

Resumen

El presente es un trabajo de profundización orientado a la creación y ejecución de

una estrategia metodológica a través de material didáctico, con el fin de ayudar a

subsanar las profundas dificultades que tienen los estudiantes del grado octavo

de la I.E.R.S.I a la hora de comprender el concepto de variable algebraica. El

material didáctico a utilizar será un material contextualizado en situaciones

problema que involucren el uso del concepto de variable, de tal manera que el

estudio de dicho concepto sea abordado desde una perspectiva aplicada y no tan

abstracta como se enfoca normalmente en nuestras escuelas.

Abstract

The present is a work of deepening oriented to the creation and execution of a

methodological strategy through didactic material, with the purpose of helping to

correct the deep difficulties that students have from eighth grade of the I.E.R.S.I at

the time of understanding the concept of algebraic variable. The didactic material

is be used to contextualized material in problem situations that involve the use of

the variable concept, in such a way that the study concept is approached from an

applied perspective and not as abstract as it normally focuses on our schools.

VI Diseño de una estrategia metodológica…

Keywords: methodological strategy, didactic material, problem situation, variable,

algebra.

Contenido 7

Contenido

Agradecimientos ................................................................................................................. IV

Resumen ............................................................................................................................... V

Contenido .............................................................................................................................. 7

Índice de Tablas .................................................................................................................... 8

Introducción ........................................................................................................................ 10

1. Capítulo I. Diseño Teórico ........................................................................................ 11

1.1 Planteamiento del Problema ................................................................................. 11

1.1.1 Descripción del Problema ............................................................................. 11

1.1.2 Formulación de la Pregunta .......................................................................... 12

1.2 Justificación .......................................................................................................... 13

1.3 Objetivos .............................................................................................................. 15

1.3.1 Objetivo General ........................................................................................... 15

1.3.2 Objetivos Específicos.................................................................................... 15

1.4 Marco Referencial ................................................................................................ 15

1.4.1 Antecedentes ................................................................................................. 15

1.4.2 Marco Teórico ............................................................................................... 18

1.4.3 Marco Disciplinar ......................................................................................... 22

1.4.4 Marco Legal .................................................................................................. 25

1.5 Marco Espacial ..................................................................................................... 27

2. Capítulo II. Diseño metodológico ............................................................................ 28

2.1 Enfoque ................................................................................................................ 28

2.2 Método ................................................................................................................. 29

2.3 Instrumento de recolección de información y análisis de la información. ........... 31

8 Diseño de una estrategia metodológica…

2.4 Población y Muestra ............................................................................................. 32

2.5 Impacto esperado.................................................................................................. 32

2.6 Tabla de Planificación de Actividades ................................................................. 32

3. Capítulo III. Sistematización de la Intervención ................................................... 36

3.1 La intervención en el Aula ................................................................................... 36

3.1.1 Acerca de la Estrategia Metodológica .......................................................... 36

3.1.2 Características del material didáctico ........................................................... 39

3.1.3 Orientación para el trabajo en el aula de clase .............................................. 39

3.1.4 Trabajo con el material concreto ................................................................... 40

3.2 Resultados y Análisis de la intervención .............................................................. 42

3.3 Conclusiones y Recomendaciones ....................................................................... 50

3.3.1 Conclusiones ................................................................................................. 50

3.3.2 Recomendaciones ......................................................................................... 51

Referencias .......................................................................................................................... 53

Anexos ................................................................................................................................ 56

Índice de Tabla

Tabla 1: Normograma ......................................................................................................... 27

Tabla 2: Planificación de actividades .................................................................................. 34

Tabla 3: Cronograma de actividades .................................................................................. 35

Tabla 4: Material didáctico 1 .............................................................................................. 38



Tabla 7: Evaluación diagnóstica .......................................................................................... 44

Tabla 8: Evaluación inicial ................................................................................................... 45

Contenido 9

Tabla 9: Falso verdadero ..................................................................................................... 47

Tabla 10: Evaluación final (relación magnitud-variable) .................................................... 48

Tabla 11: Evaluación final (variables en abstracto) ............................................................ 49


Introducción

En este trabajo se pretende implementar una estrategia metodológica usando

como herramienta de apoyo un material didáctico. Esta estrategia tiene como

objetivo que el estudiante comprenda de forma asertiva el concepto de variable.

El concepto de variable generalmente ha sido enseñado de forma abstracta

dejando la sensación en los estudiantes que esta es una noción vacía y carente

de sentido, por lo que se hace necesario modificar esa forma de enseñar dicho

concepto en aras a que el estudiante tenga su primer acercamiento al estudio del

álgebra, una de las áreas fundamentales de la matemática, la cual además hace

parte de los lineamientos curriculares del área de matemáticas en su competencia

de “pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos” y por lo tanto es

evaluada en las pruebas saber.

Esta estrategia se llevará a cabo a partir de unas orientaciones dadas en unas

guía-taller que junto al docente fungirán como ayuda en el proceso de

intervención del problema delimitado en este trabajo.

Este trabajo tiene por objetivo que el estudiante comprenda de manera asertiva

el concepto de variable, llevándose consigo una idea más intuitiva y menos

abstracta de esta noción, es por ello que el marco teórico del presente trabajo

está apoyado bajo el paradigma del aprendizaje significativo crítico. El diseño de

la intervención estará basado en la metodología investigación-acción, a partir de

la cual se diseñara el cronograma de actividades a realizar. Luego de lo anterior

se continúa con los resultados y análisis de la intervención a partir de la cual se

generan unas conclusiones y recomendaciones para una futura intervención

sobre el problema delimitado o similares.

Diseño Teórico 11

1. Capítulo I. Diseño Teórico

1.1 Planteamiento del Problema

1.1.1 Descripción del Problema

Los estudiantes del grado octavo de la Institución Educativa Rural San Isidro

(I.E.R.S.I) del municipio de Santa Rosa de Osos (Antioquia) evidencian

problemas en la interpretación del concepto de variable, concepto enmarcado en

el pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos (Ministerio de

Educación Nacional (MEN). Estándares básicos de competencias en matemáticas

2006). Un ejemplo que muestra estos problemas de interpretación es el siguiente:

se le pide a los estudiantes del grado octavo que realice la siguiente operación

“x+y”, donde x = 2 e y = 3, lo primero que los estudiantes preguntan es ¿Qué es

x y qué es y?. Una vez comprenden que lo que deben realizar es la suma “2+3”

se les pide que realicen el mismo ejercicio pero ahora asignándoles a las letras x

y y valores distintos (los que ellos quieran), y de nuevo acá los estudiantes no

saben qué hacer, hay entonces un problema y es que al estudiante se le dificulta

entender que si yo le digo que x = 9 y luego me realice la operación x + 4, lo que

debe hacer es sumar 9 y 4, y de manera más general cuando se pone a que la x

varíe en una conjunto cualquiera por ejemplo el conjunto A = {2,4,5,6,-7}, y luego

se le pide al estudiante que realice una tabla con los resultados de la operación x

+ 4, el estudiante no entiende y por lo tanto no sabe resolver lo que se le está

pidiendo, luego el estudiante no está entendiendo que la letra x no es más que un


número (es variable) y las operaciones que se le piden realice con esa letra son

las mismas operaciones aritméticas que hacía en la primaria, por lo tanto con el

fin de apropiar en los estudiantes del grado octavo de la I.E.R.S.I nociones de

álgebra como por ejemplo término, monomio, binomio, etc., se hace necesario

introducir un concepto nuevo, ese nuevo concepto del que hablamos es el

concepto de variable.

El no comprender lo que significa una variable lleva a los estudiantes por ejemplo

a NO entender lo que significa resolver una ecuación, graficar una función,

convertir un enunciado del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, etc., y por lo

tanto como lo evidencian las pruebas saber 9 y 11 en la I.E.R.S.I, los resultados

en la competencia pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

son bajos comparados con la media nacional. Por otro lado con nosotros los

docentes ocurre en muchos casos que no sabemos transmitir la información que

tenemos en nuestra cabeza, no buscamos estrategias que nos lleven a generar

unas buenas prácticas escolares enfocadas a desarrollar una idea más intuitiva

del concepto de variable. Son en gran medida estas carencias de buenas

prácticas sumadas con grandes vacíos conceptuales con que llegan los

estudiantes al grado octavo las que desencadenan una animadversión al álgebra

y por consiguiente unos muy malos resultados a nivel interno (exámenes y

quices) y externo (pruebas saber) de la institución.

1.1.2 Formulación de la Pregunta

De acuerdo con lo anterior surge la siguiente pregunta ¿Qué tipo de estrategias

metodológicas son necesarias implementar en los estudiantes de la I.E.R.S.I para

lograr una comprensión asertiva del concepto de variable, con el fin de

introducirlos al estudio del álgebra?

Diseño Teórico 13

1.2 Justificación

“Los estudiantes se encuentran inmersos en el mundo de lo ordinario-cotidiano,

los signos que aprecian son significados a partir de la relación que establece

entre ellos y su mundo, del cual hacen parte las letras como elementos del

alfabeto” Rojas, P. et al (1999) .El concepto de variable es el pilar en el que se

fundamenta el estudio del álgebra, según los estándares básicos de

competencias en matemáticas (MEN 2006) dicho concepto hace parte de la

competencia “pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos”, por

tanto se hace necesario que el estudio de dicho concepto se realice de forma

seria y sistemática.

La noción de variable esta de forma implícita y/o explicita en muchos problemas

de la matemática pura y aplicada, ingeniería, biología, ciencias sociales y

económicas entre otras. El objetivo al que se debe apuntar a la hora de

introducirles el concepto de variable a los estudiantes es el de la resolución de

problemas a través de la modelación por medio de funciones, y uno de los pasos

a seguir en busca de este objetivo es que el estudiante comprenda en un

enunciado o en una situación problema la pregunta que se le está haciendo; es

decir que identifique por medio de un símbolo que cantidad o cantidades se le

está pidiendo que halle, es acá donde el concepto de variable se materializa y

necesita ser explicado de una o varias maneras de forma tal que el estudiante se

apropie fuertemente de el y lo use para solucionar problemas de tipo aplicado.

Cuando se comienza con esta noción en el grado octavo, nos damos cuenta de

dos problemas; el primero es la falta de apropiación de muchos de los conceptos

con los que deben venir los estudiantes de los grados anteriores como lo son el

domino de las cuatro operaciones aritméticas elementales tanto en el conjunto de


los racionales como en el de los enteros, con lo cual decirles a los estudiantes

que el álgebra trata de una generalización de la aritmética que ya “han estudiado

antes” se hace casi una labor utópica, luego desde allí ya tenemos un gran

problema; el segundo problema radica en relacionar las letras del abecedario con

los números, este segundo problema es en realidad difícil, pues es un primer

acercamiento con la abstracción matemática, lo cual hace que exista un choque

muy grande entre el estudiantado y la enseñanza de las matemáticas.

Es fundamental diseñar estrategias para que los estudiantes se apropien de

forma más intuitiva del concepto de variable, motivo por el cual me gustaría

añadir un elemento al modelo 3UV (Trigueros y Ursini 2003) que se centre en una

interpretación más geométrica de la noción, esto con el objetivo de estructurar

una idea del concepto de variable un poco más desde lo intuitivo; es decir que por

medio de la geometría se llegue a comprender de manera más natural esa noción

de variable.

Es esencial que los estudiantes del grado octavo de la Institución Educativa Rural

San Isidro comprendan de forma clara la idea de variable, ya que esta será la que

les permita apropiarse de manera certera de muchos otros conceptos que

vendrán más adelante en el estudio de la matemática en la básica y media, y

posteriormente en la universitaria, además que esto ayudará a que la institución

obtenga mejores resultados tanto a nivel interno como externo.

Diseño Teórico 15

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo General

Diseñar una estrategia metodológica que permitan a los estudiantes del grado

octavo de la Institución Educativa Rural San Isidro (I.E.R.S.I) una comprensión

del concepto de variable a través de un material didáctico

1.3.2 Objetivos Específicos

Diseñar ejemplos con situaciones problema en disciplinas como las inge-

nierías o ciencias para analizar la naturaleza numérica cambiante de las

magnitudes que intervienen en dichas situaciones.

Diseñar un material concreto que permita visualizar de manera ordenada la

información que proporciona una situación problema en particular.

1.4 Marco Referencial

1.4.1 Antecedentes

Uno de los principales problemas que tienen los estudiantes de la básica y media

a la hora de resolver ejercicios problema es el de pasar de un lenguaje verbal a

un lenguaje algebraico, y es que este proceso de pasar de una lenguaje a otro

implica que el estudiante relacione letras del alfabeto (incógnita) con números

(enteros, racionales o reales) y es en este proceso donde las dificultades

conceptuales de años anteriores se materializan, para dar como resultado un

poco o nula interpretación de los ejercicios problema planteados. Es acá donde


se hace necesario diseñar estrategias para que los estudiantes aprender a

relacionar los símbolos del alfabeto con los símbolos numéricos; en este orden de

ideas veamos un poco lo que se ha hecho para resolver este problema tanto a

nivel nacional como internacional.

Nivel nacional

- El Ministerio de Educación Nacional (MEN) dentro de sus estándares bási-

cos de competencias en matemáticas del año 2006 habla de una compe-

tencia llamada pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analí-

ticos que entre otras pretende que los estudiantes del grado octavo:

Describan y representen situaciones de variación relacionando diferentes

representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y ta-

blas)

Reconozcan el conjunto de valores de cada una de las cantidades varia-

bles ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación)

Describan e interpreten variaciones representadas en gráficas.

Modelen situaciones de variación con funciones polinómicas.

Construyan expresiones algebraicas equivalentes a una expresión alge-

braica dada.

Diseño Teórico 17

- Unas posibles actividades enfocadas a trabajar de manera asertiva la tran-

sición entre la aritmética y el álgebra son aportadas por Rojas, P. et al

(1999), las cuales según Rojas, P. et al “permiten un tránsito más natural

hacia el trabajo algebraico”.

- Vasco, C. E (2006) nos habla sobre la “ubicación del pensamiento varia-

cional en el currículo escolar” acá nos departe acerca de lo qué es y no es

la noción de pensamiento variacional, además de lo qué es y no es el mo-

delamiento matemático según él.

- Valencia, P. (2015). Propuesta para la enseñanza del concepto de variable

algebraica a través de situaciones problema (tesis de maestría) Universi-

dad nacional de Colombia sede Medellín.

Nivel internacional

- Trigueros y Ursini (1998) proponen el modelo 3UV (tres usos de la varia-

ble), modelo en el cual el concepto de variable se puede ver desde tres

usos: como incógnita, como número general y como variable en una rela-

ción funcional.

- A través del trabajo con hojas electrónicas de cálculo (Alejandro, O., et al)

se pudo visualizar una mejoría en la comprensión del concepto de variable

teniendo como referencia el modelo 3UV (Trigueros Y Ursini 1998).


- Trigueros, M. et al. 1996: “Diseño de un cuestionario de diagnóstico acerca

del manejo del concepto de variable en el álgebra” este trabajo pretende

obtener un perfil inicial de los estudiantes en cuanto a su desempeño con

respecto a problemas que requieren interpretar el concepto de variable,

mediante un cuestionario.

1.4.2 Marco Teórico

En la propuesta que se pretende realizar frente al problema a intervenir se va a

adoptar como referente teórico el aprendizaje significativo crítico de Moreira

(A.S.C), quien de forma análoga a los principios programáticos de Ausubel para

facilitar el aprendizaje significativo, propone unos principios facilitadores del

aprendizaje significativo crítico, con los cuales se pretende reestructurar la

manera en como enseñamos con el objetivo de propiciar un aprendizaje

significativo pero de tal manera que el estudiante sea crítico del contenido que

recibe a través del proceso de enseñanza. Entre otras cosas se está tomando

como referente teórico el A.S.C. de Moreira y varios de sus principios facilitadores

porque en las aulas de clase existe una hegemonía del aprendizaje mecánico de

los contenidos, el cual se toma de forma literal llevando al estudiante a memorizar

cantidades cada vez más grandes de información a las que luego los mismo

estudiantes no encuentran como darles uso en su diario vivir, y por ende dicho

aprendizaje aporta poco o nada en la búsqueda de soluciones en aras de

sobrevivir en el mundo de hoy. Eso nos lleva a cuestionarnos sobre para qué

transmitir información que el estudiante aprenderá de memoria solo para pasar

una evaluación, pero que cuando se esté enfrentado al mundo no sepa cómo

responderle a este porque nunca fue crítico de esa información que recibió.

Diseño Teórico 19

Comenzaremos por desarrollar esta propuesta primero que todo sustentándola

con el principio del conocimiento previo, es decir, “para ser crítico de algún

conocimiento, de algún concepto, de algún enunciado, en primer lugar el sujeto

tiene que aprenderlo significativamente y, para eso, su conocimiento previo es,

aisladamente, la variable más importante” (Moreira, 2005, p.8), el cual en resumi-

das cuentas nos dice que para lograr un aprendizaje significativo crítico el factor

más importante es sin duda alguna el conocimiento previo que el sujeto (al cual

va dirigido el proceso de enseñanza) posee, este principio permitirá dar cuenta

que tan fuertes o tan débiles son los subsumidores (Ausubel, 1983) y a partir de

esto saber cuál será el nuevo conocimiento que se le debe dar al sujeto, o por el

contrario recurrir a unos organizadores previos para lograr alcanzar esos subsu-

midores, de tal manera que se permita un anclaje fuerte y sólido con el nuevo co-

nocimiento a impartir. Partiendo de este principio lo que se hará es indagar a cer-

ca de las nociones que tienen los estudiantes de la aritmética básica, como son el

manejo de las cuatro operaciones elementales (suma, resta, multiplicación y divi-

sión) y su posterior contextualización en problemas de la vida cotidiana. Es impor-

tante que el profesor propicie espacios en los que el estudiante se comience a

hacer preguntas sobre el por qué y para qué es conveniente introducir el concep-

to de variable, cuál es la relación existente entre este nuevo concepto a definir y

las operaciones básicas de la aritmética, que beneficios traerá esta nueva idea a

la hora de resolver problemas de la vida cotidiana, se relaciona o no esta nueva

idea con soluciones a problemas dentro de la ingeniería, las ciencias naturales,

las ciencias sociales, etc. con esto se creará una atmosfera que favorezca un

postura crítica de la información que los estudiantes están recibiendo. Todos los

interrogantes anteriores estarán sustentados bajo el principio de la interacción

social y del cuestionamiento “Compartir significados es consecuencia de la ne-

gociación de significados entre alumno y profesor. Pero esta negociación debe

implicar un intercambio permanente de preguntas en lugar de respuestas” (Morei-


ra, 2005, p.8), a lo que Freire (2003) llamó “postura dialógica, abierta, curiosa,

indagadora y no pasiva, mientras hablan u oyen tanto docente como estudiante”.

Este principio deja constancia de la necesidad que existe en que haya una inter-

acción entre docente –alumno, pero dicha interacción debe girar en torno al inter-

cambio de preguntas y no únicamente de respuestas como se suele acostumbrar

en nuestras escuelas. Acá el docente debe propiciar una atmosfera de reflexión

alrededor de los temas que se estén enseñando; “en este caso en particular se

estará enseñando en concepto de variable algebraica”. De tal manera que dicha

reflexión lleve al estudiante a cuestionarse del por qué y para qué son importan-

tes los contenidos que está recibiendo.

Es importante que los estudiantes den cuenta de la importancia de introdu-

cir el concepto de variable algebraica, y esto se logra proponiendo como

ejemplos las aplicaciones que este tiene en campos como la ingeniería, las

ciencias naturales, las ciencias sociales entre otras. Por ejemplo en una si-

tuación alrededor de la modelación del clima atmosférico los estudiantes

podrían formar grupos de trabajo y buscar en internet páginas web donde

se recopilen datos sobre el clima (una página recomendada puede ser:

https://www.tutiempo.net/clima/ws-802590.html) y luego por medio de unas

tablas donde organicen información sobre el clima cada grupo realizará

una exposición y/o un foro donde expliquen al resto de los grupos la utili-

dad de asignarle a un conjunto de datos (por ejemplo el de temperatura)

una letra que represente dichos datos y así cada vez que me quiera referir

a estos poder utilizar esa letra, también podrían explicar el hecho que co-

mo dicha letra está representado un número, entonces con esa letra tam-

bién se podrían hacer operaciones aritméticas de suma, resta, multiplica-

ción y división, con lo cual se pretende que los estudiantes infirieran que se

pueden extender las operaciones aritméticas de números a letras. Las ac-

https://www.tutiempo.net/clima/ws-802590.html

Diseño Teórico 21

tividades anteriores estarán soportadas bajo el principio facilitador de la

no centralización en el libro de texto, de la diversidad de materiales

educativos “La utilización de materiales diversificados, y cuidadosamente

seleccionados, en lugar de la centralización en libros de texto es también

un principio facilitador del aprendizaje significativo crítico” (Moreira, 2005,

p.8), que en resumen nos dice que el docente que pretenda llevar a cabo

un proceso de enseñanza con el objetivo de lograr un aprendizaje significa-

tivo crítico, debe buscar otros materiales educativos (aparte del libro de

texto) como lo pueden ser documentos, artículos científicos, mapas con-

ceptuales, etc. Todo esto con la idea de no sesgar (verdades absolutas,

certezas, no hay azar todo es determinista) los contenidos que reciben los

estudiantes, además de no volver al libro de texto como aquel que todo lo

sabe, todo lo conoce. El libro de texto es útil pero debe ser usado como un

complemente a otros muchos materiales educativos, pues si solo utiliza-

mos el libro lo único que lograremos con esto es impartir siempre los mis-

mos contenidos a partir de las mismas actividades, propiciando con ello un

aprendizaje mecánico y no crítico.

Con todo lo propuesto anteriormente los estudiantes estarían propiciando

un espacio donde empezarían a vislumbrar el concepto de variable, a tra-

vés de una situación real. A todo lo anterior se le dará vida soportándolo

bajo los principios facilitadores del abandono de la narrativa por parte

del docente y el abandono del tablero “la pizarra simboliza y estimula

una enseñanza en la que el alumno espera que el profesor escriba en él

respuestas ciertas y éste cree que debe hacerlo porque así estará ense-

ñando” (Moreira, 2005, p.8). Básicamente estos dos principios tratan de

promover que el alumno hable, se exprese, exponga sus ideas, ya que el

uso excesivo tanto del tablero como de la narrativa por parte del docente


no propician un ambiente en el que el alumno participe de forma activa de

su proceso de formación, desarrollando en él un aprendizaje mecánico y

no significativo, buscando de esta manera que el proceso de enseñanza

cumpla con su objetivo general que es el propiciar un aprendizaje, pero es-

ta vez este aprendizaje será crítico.

1.4.3 Marco Disciplinar

En la educación básica secundaria se da una transición del pensamiento

aritmético al pensamiento algebraico. Pensamiento que en términos del MEN se

“constituye en una potente herramienta para la modelación de situaciones de

cuantificación y de diversos fenómenos de variación y cambio” motivo por el cual

es fundamental el uso comprensivo de la variable y sus diferentes significados

Valencia, P. (2015).

El concepto de variable es sin duda alguna uno de los más importantes dentro del

estudio de las matemáticas, la importancia de enseñar este concepto radica en

las múltiples aplicaciones que sobre este recaen; por ejemplo a la hora de

modelar un problema en las ciencias o ingenierías lo primero que se debe hacer

es identificar qué es lo que se quiere hallar; es decir, identificar la o las variables

que intervienen en el problema, por lo tanto el no comprender de forma clara este

concepto implica el no comprender gran parte de la matemática que se imparte a

los estudiantes en la básica y media en las instituciones educativas, es por tal

motivo que se deben buscar estrategias metodológicas que busquen llenar los

vacíos conceptuales que tienen los estudiantes de nuestras instituciones con el

objetivo de fortalecer competencias que les servirán para posibles estudios

superiores.

Diseño Teórico 23

Históricamente el concepto de variable ha sido usado por muchas civilizaciones

antiguas aunque no de manera tan formal como la que tenemos hoy en día. En

Mesopotamia y babilonia (2000 al 500 a.C) se puede decir que inician a usar el

concepto de variable en el desarrollo de soluciones de ecuaciones de primer y

segundo grado, en este mismo intervalo de tiempo los egipcios desarrollaron un

álgebra elemental que les servía como insumo para resolver problemas de

reparto de comida, reparto de tierras para la agronomía, etc. Diofanto de

Alejandría (325 al 409 d.C) introduce por primera vez un símbolo primitivo para

indicar la incógnita (lo que se quería hallar) en una ecuación, y fue en 1591

cuando el matemático francés François Viéte desarrollo la notación simbólica del

álgebra, representando las incógnitas con letras. Lo anterior presenta una breve

exposición que muestra que la construcción de un lenguaje algebraico ha sido un

proceso arduo y lento en el que han intervenido varias de las civilizaciones

antiguas, lo cual nos debe hacer caer en cuenta que esos concepto algebraicos

que queremos explicar, como lo es la idea de variable, han tardado años en ser

elaborados y comprendidos por la humanidad, y por lo tanto el proceso de

hacérselos entender a los estudiantes de básica y media de nuestras instituciones

toma tiempo, y las estrategias metodológicas que se implementen para tal fin

deben estar muy bien diseñadas para cumplir asertivamente con los objetivos que

se plantean.

“Una variable es un número que se representa por medio de una letra” esa es la

definición errada que muchas veces se imparte en clase a los estudiantes; luego

escribimos en el tablero una expresión como por ejemplo “x+2” y pedimos a los

estudiantes que reemplacen la variable “x” por los números “1, 2 y 3” y que

anoten los resultados obtenidos. El algoritmo anterior resume en gran medida el

cómo se les enseña a los estudiantes el concepto de variable, y a juzgar por los

resultados en pruebas internas de las instituciones y externas como las pruebas


saber con esa didáctica no se está logrando que los estudiantes comprendan y

apliquen el concepto de variable. El concepto de variable va más allá de

simplemente asignarle números a una letra, según Schoenfeld y Arcavi (1988), “el

tratar de definir el término “variable” con una sola palabra conduce a usar

palabras como: símbolo, parámetro, argumento, espacio vacío, entre otras, de ahí

que consideren que este término tiene diversos significados que dependen del

contexto en el que aparece”; por lo tanto creo en la necesidad de buscar o

diseñar un modelo en el cual se puedan mostrar o evidenciar diferentes maneras

de entender el concepto de variable, es así como el modelo 3UV (Trigueros y

Ursini, 2003) que desarrolla el concepto de variable desde tres significados

(número general, incógnita y relación funcional) da luces de un posible diseño de

estrategia metodológica que sirva para una comprensión asertiva del concepto de

variable.

El objetivo es que los estudiantes comprendan la idea de variable, pero… ¿será

que se puede aprender el concepto de variable de una forma más intuitiva; es

decir, de una manera más natural? Al modelo 3UV podría agregársele un nuevo

elemento que pudiese responder de manera afirmativa a la pregunta antes hecha;

ese nuevo elemento sería un “uso geométrico de la variable” muchos de los

conceptos geométricos que se usan en el día a día son muy intuitivos incluso

para quienes no tienen una formación matemática, es por eso que a través de la

geometría se podría buscar la forma de enseñar el concepto de variable. Las TIC

juegan en esta idea un papel fundamental, pues con la ayuda de un software

especializado como por ejemplo “Geogebra o Cabri” se pueden diseñar

aplicaciones que muestren el proceso de cambio en la magnitud de las áreas y/o

perímetros de algunas figuras como las de: rectángulos, triángulos, círculos, etc.

a partir de una serie de variaciones en sus dimensiones, y de esta manera poder

penetrar en el mundo de la variación desde una perspectiva más geométrica y

Diseño Teórico 25

visual, y así tratar de dejar una huella cognitiva en los estudiantes que les pueda

representar un aprendizaje significativo.

1.4.4 Marco Legal

NORMA TEXTO CONTEXTO

Ley 115 de 1994, art 20, literal c).

Ampliar y profundizar en el razonamiento lógico y analítico para la interpretación y solución de los problemas de la ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana

La propuesta de intervención, propicia a que se profundice en el análisis de resolución de pro-blemas.

Ley 115 de 1994, art. 22, literal c)

El desarrollo de las capacidades para el razonamiento lógico, mediante el dominio de los sis-temas numéricos, geométricos, métricos, lógicos, analíticos, de conjuntos de operaciones y rela-ciones, así como para su utiliza-ción en la interpretación y solu-ción de los problemas de la ciencia, de la tecnología y los de la vida cotidiana.

La propuesta de intervención tiene como objetivo resolver un problema de tipo algebraico el cual se refleja en el desarrollo de las capacidades en sistemas numéricos, razonamiento lógico, conjuntos de operaciones así como solución de problemas

Lineamientos Curriculares Ma-temáticas

Proponer el inicio y desarrollo del pensamiento variacional co-mo uno de los logros para al-canzar en la educación básica, presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos fragmentados y compartimenta-lizados, para ubicarse en el do-minio de un campo conceptual, que involucra conceptos y pro-cedimientos interestructurados y vinculados que permitan anali-zar, organizar y modelar mate-máticamente situaciones y pro-blemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente

Esta propuesta va dirigida al estudio del concepto de variable algebraica, que en últimas tiene como objetivo desarrollar el pensamiento variacional en aras de aplicar este concepto en pro-blemas como dice la norma.


matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas

Estándares Básicos por Compe-tencias en Matemáticas DBA matemáticas grado 8

El estudio de la variación como una base fundamental para acceder a los procesos de generalización propios de cada uno de los pensamientos. En este sentido, el estudio de las propiedades de los números y sus operaciones y de la manera como varían sus resultados con el cambio de los argumentos u operandos, o de los objetos de la geometría y sus características y de la manera cómo cambian las medidas de las cantidades asociadas con las transformaciones de esos objetos, se proponen como procesos de abstracción y generalización a partir del análisis de lo que es invariante en medio de los aspectos variables de un conjunto de situaciones.

Comprende sin un lenguaje for-mal la noción de función como una regla f, que a cada valor x, le asigna un único valor f(x) y reconoce que su gráfica está conformada por todos los puntos (x, f (x)).

En este sentido la propuesta pretende introducir las propieda-des que como número adquiere el concepto de variable, y con esto desarrollar todo un conteni-do en aras a dar un primer acer-camiento al estudio del álgebra. En este sentido con la propuesta se pretende usar el concepto de variable entre otras (modelo 3UV) como el argumento de una relación funcional, y mostrar una relación de variación conjunta con otras variables.

Tabla 1 Normograma

Diseño Teórico 27

1.5 Marco Espacial

Este trabajo se pretende aplicar en la Institución Educativa Rural San Isidro

(I.E.R.S.I), del corregimiento de San Isidro del municipio de Santa Rosa de Osos.

Esta institución tiene aproximadamente 300 alumnos entre las subsedes y la sede

principal, la institución ofrece los niveles educativos de preescolar, primaria,

básica y media. Como la gran mayoría de las instituciones rurales del país cuenta

con unas infraestructuras deficientes, además de recursos limitados para el

trabajo docente. La mayoría de los estudiantes además de asistir a la institución

también trabajan en labores propias del campo, lo cual hace que el proceso de

aprendizaje se torne algo lento y discontinuo.

Con todas las dificultades que puedan presentar los procesos de enseñanza-

aprendizaje en esta población rural, la institución está comprometida por medio

de su misión a que: “contribuirá a la formación de ciudadanos competentes,

actores y protagonistas del proceso educativo, que son responsables de su

desarrollo físico, integral, intelectual, moral, ético y espiritual.” Y se propone como

parte de su visión a que: “para el año 2020 la I.E.R.S.I. desea contribuir

eficazmente al mejoramiento de la calidad de vida del corregimiento San Isidro

desde el ámbito de la educación y el diálogo con la cultura.”


2. Capítulo II. Diseño metodológico

2.1 Enfoque

La investigación-acción educativa es una metodología de investigación para

apoyar la reflexión del docente acerca del aula partiendo de la identificación de

situaciones problema de enseñanza y aprendizaje que detecten en la misma, a su

vez que apoyándose en teorías pedagógicas, con miras a cambiar la situación

establecida. La investigación-acción reconoce que las dificultades surgen de la

interacción en el entorno social del aula e “interpreta lo que ocurre desde el punto

de vista de quienes actúan e interactúan en la situación problema, por ejemplo

profesores y alumnos” (Elliot, 1993).

La investigación-acción se concibe como proceso cíclico de exploración de

propuestas, acciones establecidas y valoración de resultados de estas acciones,

acerca de las prácticas con miras a la intervención social. En el ámbito educativo,

facilita la valoración de las propuestas educativas, pues es el docente quien

explora su propia práctica y los principios que la orientan por tal razón es el más

indicado para proponer y emprender acciones conducentes a la mejora de

situaciones concretas, teniendo presente el diálogo con los actores del aula. Esta

posibilidad de cambiar las prácticas, ahora procura entenderse como un proceso

social que se emprende colectivamente, más que un mecanismo por el cual el

docente mejore sus prácticas individuales.

La investigación-acción es una metodología que no se limita solamente a someter

Diseño Metodológico 29

a pruebas ciertas hipótesis ni tampoco a analizar datos para llegar a

conclusiones. La investigación-acción es un proceso sistemático que transforma

tanto al que investiga como a las situaciones en la que este se ve comprometido

(Bausela, 2004).

2.2 Método

En relación con el desarrollo de la propuesta, el método de la investigación-acción

es referido a cuatro fases.

Diagnóstico:

Una vez queden establecidos tanto el Problema, la Pregunta, el objetivo general y

los específicos, las actividades estarán enfocadas a la revisión de los

Lineamientos Curriculares, los Estándares por competencias y los DBA para

matemática en torno al contexto para la enseñanza del concepto de variable

algebraica. Seguidamente se inicia la indagación en repositorios institucionales

para conocer las propuestas que existan en cuanto a la enseñanza de dicho

concepto. Así mismo, se da inicio a la revisión de recursos bibliográficos externos

generando los antecedentes en el ámbito externo. La actividad final para esta

fase es la revisión de bibliografía para definir la teoría pedagógica que sustentará

la intervención.

Plan de acción (diseño):

En este punto se propone diseñar una actividad diagnostica (examen escrito) que

dé cuenta de los conocimientos previos (subsumidores) que tienen los

estudiantes, con el fin de introducir el concepto a definir (variable algebraica), de

acá saldrán dos opciones; una que los estudiantes no tengan muy claros los

conocimientos previos necesarios para introducir el concepto de variable, en este

caso se recurrirá a unos organizadores previos para lograr alcanzar dichos


subsumidores, y la otra es que los estudiantes tengan unos mínimos requeridos

como conocimientos previos, y de esta manera dar inicio al diseño y aplicación de

actividades usando material didáctico para la enseñanza del concepto de variable

algebraica en un contexto de una situación problema. Luego y a través de

exposiciones y/o foros estas actividades podrán ser compartidas con sus demás

compañeros, y de esta manera darles a conocer a los estudiantes la importancia

que tiene introducir el concepto de variable algebraica en aras de solucionar

problemas de la vida diaria en campos como la ingeniería o las ciencias.

Intervención en el aula:

Para implementar la propuesta de trabajo en esta fase, se empleara material

didáctico, de tal manera que los estudiantes vean en este un alto interés en

aprender sobre el concepto de variable, pero no de manera abstracta sino a partir

de situaciones problema que se relacionen con alguna de las ramas de la

ingeniería o de las ciencias. El material deberá ser muy conciso de manera que

explique a cada grupo de trabajo conformado, que ejemplos de situaciones

problema van a consultar, como identificar el concepto de variable en dicho

ejemplo y como exponer dicho trabajo a sus demás compañeros, para de esta

manera dejar lo más claro posible el concepto de variable y así empezar con el

estudio del álgebra.

Evaluación y reflexión (conclusiones):

En esta fase se observará que tan buenos o regulares han sido los resultados de

la propuesta, esto se hará a través del diseño de una evaluación global que

muestre que tan claros o no han quedado los conceptos dados en el proceso de

enseñanza-aprendizaje. De esta manera se analizarán los resultados de la

evaluación dando consigo las respectivas conclusiones y recomendaciones.


2.3 Instrumento de recolección de información y análisis

de la información. Esta propuesta de intervención propone como instrumento de recolección de

datos las siguientes fuentes primarias: diario de campo, talleres y pruebas

escritas.

Diario de campo:

Este es un escrito donde se deja registro de las actividades y evaluaciones que

se llevan día a día con los estudiantes, es de gran valor para la recolección de

información pues va indicando la evolución que llevan los estudiantes en cuanto a

los procesos enseñanza-aprendizaje, y en el caso particular del problema a

intervenir ira dando luces de que tan buenos o no están siendo los resultados de

la propuesta.

Talleres:

Los talleres son actividades dadas en el material didáctico con el fin que los

estudiantes practiquen lo que han aprendido en el proceso enseñanza-

aprendizaje. A partir de los resultados de estos, una vez calificados, es posible

recolectar información que me indique que tan eficiente está siendo intervención

de la propuesta en cuanto al diseño de estos talleres en el material didáctico.

Pruebas escritas:

Las pruebas escritas con preguntas concretas sobre el problema a intervenir

ayudará a recolectar información de que tan asertivo o no, se está dando el

proceso de enseñanza-aprendizaje respecto a la intervención que se está

haciendo. En estas pruebas se diseñaran preguntas alrededor del concepto de

variable, contextualizadas a situaciones problema.


2.4 Población y Muestra

La población a intervenir será los estudiantes del único grado octavo de la

Institución Educativa Rural San Isidro, ubicada en el corregimiento de San isidro

del municipio de Santa Rosa de Osos Antioquia.

La muestra a valorar serán los 22 estudiantes que tiene dicho grupo.

2.5 Impacto esperado

Con esta propuesta se pretende que el estudiantado adquiera un conocimiento

significativo y crítico, es decir, que sea una persona capaz de contextualizar lo

aprendido en clase, que adquiera la habilidad de aplicar lo tomado del proceso

enseñanza-aprendizaje en su comunidad y sobre todo que sea una persona con

gran capacidad de entrega para aportar con soluciones a los problemas de su

entorno.

2.6 Tabla de Planificación de Actividades

Fase Objetivos Actividades

Fase 1:

Diagnóstico

-Identificar y caracterizar metodo-

logías para la enseñanza del con-

cepto de variable algebraica a

través del aprendizaje significativo

crítico.

1.1 Revisión bibliográfica sobre el

referente teórico del aprendizaje

significativo crítico.

1.2 Revisión de recursos biblio-

gráficos para establecer los ante-

cedentes respecto a la enseñan-

za del concepto de variable alge-

braica.


1.3 Revisión sobre los estánda-

res básicos por competencias en

matemáticas en su componente

de variación.

Fase 2:

Diseño

Diseñar actividades para la ense-

ñanza del concepto de variable

algebraica, a través de un apren-

dizaje significativo crítico.

2.1 Establecer y diseñar activida-

des para evaluar los conocimien-

tos previos al concepto de varia-

ble algebraica.

2.2 Diseñar material didáctico

contextualizado en situaciones

problema con el que se pueda

introducir el concepto de variable

algebraica.

2.3 Diseñar actividades evaluati-

vas.

Fase 3:

Intervención en el

aula

Aplicar las actividades propuestas

por medio de la investigación ac-

ción en el grado octavo de la

I.E.R.S.I.

3.1 Intervención de la propuesta

para el proceso de enseñanza-

aprendizaje.

Fase 4:

Evaluación

Evaluar la estrategia metodológica

planteada por medio de la investi-

gación-acción en la I.E.R.S.I.

4.1 Diseño y construcción de

evaluaciones durante la interven-

ción.

4.2 Diseño y construcción de una


evaluación global una vez termi-

nada la propuesta.

4.3 Analizar los resultados obte-

nidos en las evaluaciones hechas

durante el proceso de implemen-

tación de la propuesta.

Fase 5:

Conclusiones y

recomendaciones

Determinar el alcance de la pro-

puesta a través de sus objetivos

específicos.

5.1 Generar conclusiones y re-

comendaciones a partir de los

resultados obtenidos en la im-

plementación de la propuesta.

Tabla 2 Planificación de actividades

Actividad Semanas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1.1 X x

1.2 x X

1.3 X x

2.1 x X

2.2 x X X

2.3 X

3.1 x X X X X x

4.1 X X X X x

4.2 x X

4.3 X X


5.1 X X X x

Tabla 3 Cronograma de actividades


3. Capítulo III. Sistematización de la Intervención

3.1 La intervención en el Aula

3.1.1 Acerca de la Estrategia Metodológica

La enseñanza del concepto de variable en matemáticas ha tenido una manera

casi que tradicional de ser transmitida a los estudiantes, y esta se reduce a

considerar una variable como una letra (literal) con la particularidad de que esta

puede tomar cualquier valor numérico. Esta manera de enseñar el concepto de

variable es en general abstracta pues el proceso para llegar a esta no se hace de

forma natural y por lo tanto es de difícil comprensión para los estudiantes.

En esta intervención se pretende emplear una ruta que ofrezca una manera más

natural que la anterior de comprender el concepto de variable, esa ruta serán las

situaciones problema. Esas situaciones problema serán la estrategia

metodológica que se pretende introducir en esta intervención, siendo una

situación problema ese lugar pedagógico donde lo que se quiere es que se

propicie un espacio de interrogantes acerca de la naturaleza cambiante de las

magnitudes involucradas en dichas situaciones problema.

Cuando el estudiante reconozca esa naturaleza cambiante en las magnitudes

involucradas en una situación problema estará dando el paso fundamental para

comprender el concepto de variable, porque empezará a darse cuenta de la

relación entre una magnitud (que se puede representar por medio de una letra) y

Conclusiones 37

un conjunto de valores numéricos, y es esa relación entre una letra o literal

(puede ser la letra inicial del nombre de la magnitud) y un conjunto de valores

numéricos lo que esta intervención pretende que el estudiante entienda por

variable.

El concepto de variable es de vital importancia en diferentes áreas de estudio de

las matemáticas como lo es por ejemplo el álgebra, por lo tanto, uno de los

objetivos de esta estrategia a implementar en esta intervención es el de dotar al

estudiante de una fuerte herramienta conceptual para un buen desempeño de

este en el estudio de las matemáticas.

Como ejemplo veamos la siguiente situación problema:

El 18 de marzo de 1996, en Atlanta Georgia, se registraron las siguientes temperaturas en

grados Fahrenheit (°F) cada dos horas desde la media noche hasta el medio día siguiente:

58, 57, 53, 50, 51, 57, 61.

Lo anterior es una situación problema en las que intervienen dos magnitudes que

son: temperatura y tiempo, ambas magnitudes son cambiantes en el ejercicio,

pues se puede notar que hay diferentes valores numéricos tanto para la

temperatura como para el tiempo. Una primera pregunta que se puede hacer y

que ya se respondió es, ¿Cuál o cuáles magnitudes están involucradas en la

situación problema?, en este punto y dependiendo que tan fuertes o tan débiles

son los subsumidores del estudiante, se espera que este responda de forma

asertiva.

Continuando con la situación problema, se le plantearía al estudiante que le

asigne una letra a cada una de las variables involucradas en el ejercicio, en este

punto se le recomienda al estudiante que use la letra inicial del nombre de la

magnitud, y si hay varias magnitudes que comienzan con la misma letra entonces

le asigne a una de ellas las dos primeras letras de su nombre y así

sucesivamente. Ahora una vez identificadas las magnitudes y habiéndoles

asignados unas letras a estas, se le pide al estudiante que organice esos datos


en una tabla de tal manera que sea más fácil leer la información que da la

situación problema, así por ejemplo para el caso de la situación que estamos

analizando tendríamos las siguientes tablas:

Magnitud Letra asignada Unidades de medida de la

magnitud (si las tiene)

Temperatura T °F

Tiempo t Horas

Tabla 4: Material didáctico 1

Valores

de T

58 57 53 50 51 57 67

Valores

de t

0 2 4 6 8 10 12


La tabla 4 muestra tres elementos o columnas que son: magnitud, letra asignada

a la magnitud y unidad de medida de la magnitud (si la tiene). En la columna

magnitud se escribirá el nombre de la o las magnitudes involucradas en la

situación problema, de igual manera en la columna letra asignada se escribirá la

letra inicial del nombre de la magnitud, y en la tercera columna se escribirá (si las

tiene) las unidades de medida de cada magnitud.

A partir de la tabla 5 se puede decir que T puede tomar los valores de 58, 57, 53,

50, 51, 57, 61 y t puede tomar los valores de 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, de tal manera

que por último se puedan hacer operaciones aritméticas como por ejemplo t +T o

4T o t2 – 3T etc. Y esto se debe a la naturaleza numérica de las letras t y T.

Debido a la característica de variación que tienen las magnitudes de temperatura

y tiempo en la situación problema que se está analizando, se dirá que tanto la

temperatura como el tiempo son variables y que se denotaran por las letras T y t.

Conclusiones 39

3.1.2 Características del material didáctico

El material didáctico consiste en unas tablas como las presentadas en el

subcapítulo anterior. El objetivo de estas tablas es organizar toda la información

que ofrece una situación problema particular, de tal manera que al estudiante le

sea fácil reconocer la naturaleza cambiante de las magnitudes que están

involucradas en la situación problema, además de realizar operaciones

aritméticas en ellas. Cada estudiante tiene el formato de estas tablas en una hoja,

y la idea es que cada vez que este se enfrente ante una situación problema tome

su hoja y pase toda la información de la situación problema a la tabla.

Estas tablas tienen la característica de mostrar de manera sencilla como cada

magnitud involucrada en una situación problema puede tomar valores numéricos

distintos, y por lo tanto ayudan a identificar la naturaleza cambiante de las

magnitudes. A la letra asignada a una magnitud que está involucrada en una

situación problema se le llamará variable y dado que una variable lo que

representa es un número, entonces se puede realizar una aritmética de variables,

es decir, se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre

variables. A una operación aritmética en la que haya involucrada una o más

variables se le llamará expresión algebraica.

3.1.3 Orientación para el trabajo en el aula de clase

El trabajo en el aula de clase estará orientado a partir de un material concreto

llamado guía-taller. Estas guía-taller ofrecen a los estudiantes una breve

descripción de la actividad a realizar, el nombre de dicha actividad y los objetivos

que se pretenden alcanzar con esta. El trabajo en el aula de clases se dividirá en

tres momentos pedagógicos. En un primer momento el docente hablará de la

actividad a desarrollarse haciendo mucho énfasis en los objetivos que se

pretenden alcanzar, en el segundo momento los estudiantes comenzaran a


trabajar en la actividad propuesta, este trabajo podrá ser tanto individual como

grupal, en este momento se pretende que los estudiantes desarrollen las

actividades puestas en la guía-taller usando las tablas que ya tienen a su

disposición. En este segundo momento el docente observa el trabajo de cada

estudiante, entrando a intervenir solo cuando alguna orientación en la guía-taller

no este del todo clara, en todo caso será el estudiante quien mediante una buena

lectura de la guía solucione las actividades propuestas en esta. En el tercer y

último momento, una vez que todos los estudiantes hayan solucionado las

actividades de la guía-taller, se desarrollará una plenaria en la que cada

estudiante contará la experiencia que tuvo este en el desarrollo de la actividad, la

idea es que cuente como se sintió al trabajar con estas guías-talleres y si cree

que alcanzó algunos o todos los objetivos propuestos en estas, todo esto con el

fin de mejorar estas guías en el caso que así lo requieran.

3.1.4 Trabajo con el material concreto

El objetivo buscado es que el estudiante identifique las magnitudes involucradas

en una situación problema particular y las reconozca como las variables del

problema, con esto se pretende que el estudiante ubique el concepto de variable

como un símbolo (literal) que puede tomar diferentes valores numéricos de

acuerdo a una situación problema en particular.

Volvamos al ejemplo de la sección 3.1.1 para mostrar como fue el trabajo

realizado por los estudiantes en esta intervención usando el material didáctico y

apoyado siempre en las guías-taller.

Acá se quiere que el estudiante identifique cuáles son las variables que

intervienen en el problema y qué valores numéricos pueden tomar esas variables

de acuerdo al problema, además que sea capaz de realizar operaciones

aritméticas usando dichas variables, toda esta información quedará plasmada en

las tablas que en todo caso siempre fungirán como un organizador de la

Conclusiones 41

información.

En un primer momento el estudiante se dedica a identificar las magnitudes (con

unidad de medida si las tiene) involucradas en la situación problema y asignarles

una letra a cada magnitud. En este punto se pretende que los estudiantes

trabajando de forma individual o grupal comiencen a llenar la tabla para este fin

ayudándose siempre de la guía-taller propuesta para este momento, con suerte

se espera que el estudiante obtenga una tabla como la mostrada en la tabla 4.

Una vez el estudiante haya organizado la información como en la tabla 4 se le

pide por medio de una guía-taller que organice los valores numéricos de las

magnitudes involucradas en la situación problema, esperando obtener como

resultado una tabla como la tabla 5, es este punto el estudiante ya reconoce que

magnitudes intervienen en el problema, ya les asigna una letra y sabe cuáles son

los valores numéricos que dicha letra puede tomar.

Se quiere que el estudiante en este punto entienda el concepto de variable como

aquella letra o literal que representa una magnitud involucrada en una situación

problema en particular, la cual puede tomar diferentes valores numéricos de

acuerdo al contexto de dicha situación problema en particular. Luego de analizar

con detalle el concepto de variable se comienza el trabajo de realizar operaciones

aritméticas entre ellas, este trabajo como siempre esta mediado por la guía-taller

respectiva. Recordemos la tabla 5

Valores

de T

58 57 53 50 51 57 67

Valores

de t

0 2 4 6 8 10 12

Un ejemplo de operación aritmética entre variable podría ser el siguiente: Para los

valores de T y t calcular: T + 3, 2T – 1 y T/t; acá el estudiante con el uso de la


guía-taller para este caso llena la siguiente tabla:

T t T + 3 2T – 1 T/t

58 0

57 2

53 4

50 6

51 8

57 10

67 12


En la tercera columna y segunda fila por ejemplo se espera que el estudiante

ubique la siguiente operación: 58 + 3 = 61, en la cuarta columna y segunda fila

ubique: 2x58 – 1 = 115, y en la quinta columna y segunda fila ubique: 58/0 =

indeterminado.

Esta tabla hace parte del compendio de tres tablas que tienen los estudiantes

como material didáctico, y cuyo uso se muestra en la guía-taller respectiva por

medio de ejemplos.

De esta manera se hizo la intervención con los estudiantes, siempre con la guía-

taller como material mediador en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

3.2 Resultados y Análisis de la intervención

Todo el análisis de la intervención que acá se consigne está basado en las guía-

taller, diario de campo y pruebas escritas, que fueron las fuentes primarias que

sustentaron los instrumentos de recolección de datos. En el diario de campo

Conclusiones 43

quedo registrado el trabajo que desarrollaron los estudiantes en cada una de las

actividades orientadas a partir de las guía-taller.

La intervención está dividida en tres momentos, el primero es una prueba

diagnóstica que pretende identificar los conocimientos previos que el estudiante

posee, la segunda se compone de dos actividades direccionadas a partir de dos

guía-taller que convergen a una primera prueba escrita denominada evaluación

inicial, y un tercer momento que al igual que el segundo se compone de otras dos

actividades acompañadas con sus respectivas guía-taller que apuntan a dar por

finalizado la intervención a través de una segunda prueba escrita denominada

prueba final. Todas estas guía-taller y evaluaciones se anexan al final del

presente documento como evidencia de la intervención.

Primer momento

El objetivo de este momento es identificar las fortalezas y/o debilidades del

estudiante, al momento de realizar operaciones aritméticas dentro el conjunto de

los números racionales, además de que tanto identifican estas dentro de la

solución de una situación problema particular. Se elige el conjunto de los números

racionales ya que al momento de la intervención este ya había sido estudiado, por

lo que con esto se daría continuidad al estudio de estos.

En la siguiente tabla se muestran los resultados de la evaluación diagnóstica.

CRITERIOS PARA LA EVALUACION DIAG-

NOSTICA % ESTUDIANTES

Identifica las magnitudes involucradas

en una situación problema en particular

57


Reconoce cual o cuales operaciones

aritméticas se necesitan para resolver

una situación problema

70

Opera de forma correcta la suma y res-

ta de números racionales (fracciones)

59

Opera de forma correcta la multiplica-

ción y división de números racionales

(fracciones)

81

Identifica cuales son los datos que

proporciona una situación problema en

particular

79

Identifica cual es la incógnita a resolver

en una situación problema en particular

100

Tabla 7.Evaluación diagnóstica

Esta tabla muestra aspectos muy positivos que se vieron reflejados en la

evaluación diagnóstica. Según el cuadro más de la mitad del grupo cumplió

satisfactoriamente los criterios propuestos para este diagnóstico, con lo cual se

esperaría poder aspirar a unos resultados alentadores en el proceso de

intervención que sigue. Motiva el hecho de que aproximadamente un 70% de los

estudiantes cumplió con el objetivo de reconocer que operaciones aritméticas

están involucradas en la solución de una situación problema en particular y

aproximadamente el 80% de los estudiantes saben resolver operaciones de

multiplicación y división de fraccionarios. Se pretende que para el segundo

momento y con la ayuda de las guía-taller y el asesoramiento del docente se

Conclusiones 45

subsanen aspectos como los son la identificación de magnitudes en una situación

problema y el operar sumas y restas con números fraccionarios.

Aunque al principio parece algo trivial, el que todos los estudiantes hayan

identificado que es lo que se les pide hallar en una situación problema, nos indica

una actitud reflexiva frente a la lectura de la prueba, lo cual es esencial para el

buen desarrollo del proceso de intervención que se está haciendo.

Segundo momento

En este segundo momento se tienen por objetivos primero identificar el carácter

cambiante de una magnitud, es decir, reconocer que una magnitud involucrada en

una situación problema particular puede tomar diferentes valores numéricos y

segundo comenzar a utilizar el material didáctico que son las tablas, para

organizar la información que da la situación problema.

A continuación se muestran los resultados obtenidos en la evaluación inicial.

CRITERIOS PARA LA EVALUACION INI-

CIAL

% ESTUDIANTES

Reconoce todas las magnitudes invo-

lucradas en una situación problema

65

Reconoce solo algunas de las magni-

tudes involucradas en una situación

problema

35

Identifica si una magnitud tiene o no

unidad de medida

77


Entiende lo que significa asignarle una

letra a una magnitud

100

Organiza en una tabla la información

dada en una situación problema

68

Soluciona las situaciones problema

propuestas

60

Tabla 8 Evaluación inicial

Lo primero es observar que hubo un leve aumento en el porcentaje de

estudiantes que identifican las magnitudes en una situación problema con

respecto a la prueba diagnóstica, aunque el resto de estudiantes que no lograron

identificar todas las magnitudes, si lograron identificar algunas, lo cual no es del

todo negativo. Respecto a lo anterior la guía-taller 1 tenía como uno de sus

objetivos el que el estudiante reconociera las magnitudes involucradas en una

situación problema, con lo que podríamos decir que esta guía-taller ayudo a

alcanzar esta pequeña alza de porcentaje, pero que debería mejorarse para que

en futuras intervenciones este porcentaje sea una poco más alto.

Algo nuevo es el de asignarle una letra a una magnitud, esto con el objetivo de no

cargar la notación al realizar operaciones aritméticas con dichas magnitudes, en

este punto todos los estudiantes comprendieron esta idea y le asignaron una letra

a las magnitudes que estos reconocieron en las situaciones problema propuestas,

acá se incluyeron aquellos estudiantes que solo reconocieron algunas de ellas.

Como se mencionó anteriormente esta asignación de una letra a una magnitud

será de gran utilidad a la hora de realizar operaciones aritméticas con ellas.

Aproximadamente el 70% de los estudiantes usaron de forma correcta la tabla

para plasmar de una forma más cómoda visualmente hablando, la información

suministrada en las situaciones problema, esto muestra que aproximadamente

Conclusiones 47

este porcentaje de los estudiantes leyeron cuidadosamente los enunciados

propuestos en la evaluación y fueron capaces de organizar la información que allí

se les presentaba.

Una vez más a las guía-taller 1 y 2 previas a la evaluación inicial les haría falta un

mejora en aras a aumentar un poco más el porcentaje de estudiantes que sean

capaces de reconocer todas las magnitudes involucras en las situaciones

problema, esto a su vez implicaría como lo muestran las estadísticas que muy

probablemente aumentaría el porcentaje de estudiantes que organice de forma

correcta la información de dichas situaciones en las tablas.

Tercer momento

Para finalizar la intervención se muestran las estadísticas obtenidas de la

evaluación final en las siguientes tablas.

CRITERIOS PARA LA EVALUACION FINAL

% ESTUDIANTES

Selecciona el correcto valor de verdad

sobre afirmaciones acerca del concep-

to de variable y lo justifican

23

Selecciona el correcto valor de verdad

sobre algunas afirmaciones acerca del

concepto de variable y lo justifican

77

Tabla 9 Falso verdadero

Una de las componentes de la evaluación final es el de preguntas de verdadero-

falso con justificación, los resultados acá obtenidos no son del todo positivos.


Solo el 23% de los estudiantes contestaron correctamente y con justificación las

afirmaciones hechas sobre el concepto de variable, lo que muestra que las guía-

taller 4 y 5 que fueron diseñadas con el objetivo de introducir y aplicar el concepto

de variable tienen falencias y necesitarían una reestructuración para lograr unos

mejores resultados.


% ESTUDIANTES

Reconoce el carácter variacional de

una magnitud

70

Se le facilita representar una magnitud

por medio de una letra o literal

100

Comprende que una variable es una

magnitud involucrada en una situación

problema

72

Organiza en una tabla la información

que da una situación problema acerca

de las variables que intervienen en ella

72

Es capaz de realizar operaciones de

suma, resta, multiplicación y/o división

con los diferentes valores numéricos

que toma una o más variables en un

situación problema y organiza esa in-

formación en una tabla

27

Tabla 10 Evaluación final (relación magnitud-variable)

La tabla anterior muestra que aproximadamente el 70% de los estudiantes

Conclusiones 49

comprenden el concepto de variable mediante la noción de magnitud, igualmente

reconocen que una variable puede tomar diferentes valores numéricos

dependiendo del contexto de la situación problema que se esté analizando y

además organizan de forma correcta toda esa información en las tablas

diseñadas para este fin. Una vez más vemos un leve aumento en el porcentaje de

estudiantes que identifican magnitudes en situaciones problema, lo que permite

pensar que las guía-taller si han servido como mediador en el proceso

enseñanza-aprendizaje del concepto de variable, aun sabiendo que estas tienen

varios aspectos por mejorar, sobre todo en el diseño de ejemplos que ilustren la

noción de magnitud.

Que solo el 27% de los estudiantes hayan sido capaces de realizar operaciones

aritméticas muestra la dificultan que siguen teniendo en este aspecto, sobre todo

en el caso de operar con fracciones. Esto muestra que la estructura de las guía-

taller deber ser mejorada en este aspecto.


% ESTUDIANTES

Identifica las variables involucradas en

una expresión algebraica

80

Dados los valores numéricos de una o

más variables, el estudiante es capaz

de realizar operaciones aritméticas a

partir de una expresión algebraica da-

da

18

Tabla 11 Evaluación final (variables en abstracto)


Cuando se menciona “variables en abstracto” se hace referencia a las variables

que aparecen en una expresión algebraica cualquiera, en este punto podemos

decir que el 80% de los estudiantes identifican que variables están involucradas

en una expresión algebraica dada, lo cual indica que ese 20% restante

definitivamente se le dificulta relacionar una letra con un número. De nuevo se

observa la gran dificultad que tienen los estudiantes a la hora de realizar

operaciones aritméticas, sobre todo en realizar sumas y/o restas con

fraccionarios.

Con esta evaluación final se dio por terminado el proceso de intervención,

dejando una sensación de que se pudo haber hecho mucho más en cuanto a la

planeación de las actividades orientadas por las guía-taller y la evaluaciones

respectivas, de igual manera queda un compromiso grande por seguir mejorando

a través de estas intervenciones los procesos de enseñanza-aprendizaje.

3.3 Conclusiones y Recomendaciones

3.3.1 Conclusiones

El que se haya elegido dar a entender el concepto de variable a través de una

metodología de situaciones problema fue asertivo, pues con esta se trató de

abandonar esa manera tradicional de enseñar esta noción de forma abstracta y

sin mucha vida. Las situaciones problema además de enseñar conceptos como el

de variable contextualizan al estudiante sobre sucesos o fenómenos de la

naturaleza, lo que favorece un contacto más intuitivo con la idea a desarrollar, lo

cual beneficia los procesos de enseñanza-aprendizaje.

Los resultados mostraron que la idea de variable entendida como aquella

magnitud que aparece en una situación problema genero un aprendizaje

significativo, puesto que un gran porcentaje los estudiantes al leer una situación

Conclusiones 51

problema en particular ya hablaban de “variables involucradas” y no de

“magnitudes involucradas”, lo cual permite concluir que las situaciones problema

fueron una muy acertada estrategia para introducir el concepto de variable.

El material didáctico que se eligió para realizar esta intervención siempre tuvo

como objetivo organizar la información dada en una situación problema en un

formato visualmente más cómodo, y de esta manera fuera más fácil para el

estudiante acceder a toda esta información y así facilitar la identificación de las

variables y su posterior uso para realizar operaciones aritméticas con los

diferentes valores numéricos que estas tomaran en una situación problema

particular. Aunque muchos de los estudiantes no reconocieron todas las variables

involucradas en una situación en particular, casi todos ubicaron en estas tablas y

de forma correcta aquellas que sí lograron identificar, pudiendo concluir así que el

formato de estas tablas quedo bien diseñado, de tal manera que debería seguir

siendo un material de apoyo para futuras intervenciones a problemas similares al

que se pretendía abordar en este trabajo.

3.3.2 Recomendaciones

Lo primero que deberá mejorarse es el plan de acción a desarrollar una vez

hecho el diagnóstico sobre saberes previos para subsanar las dificultades que

muchos de los estudiantes tienen a la hora de realizar operaciones aritméticas

con los números fraccionarios, sobre todo en la suma y/o resta. Las guía-taller

son otro elemento a mejorar, a estas les hace falta incorporar ejemplos que

ilustren de manera más asertiva el camino que se traza para dar cumplimientos a

los objetivos fijados.

Sería muy interesante que la estrategia metodológica se pudiera contextualizar en

situaciones problema que sucedan alrededor de la comunidad en la que se


encuentra ubicada la institución educativa, esto podría motivar de gran manera a

los estudiantes involucrados en este proceso de intervención.

Un elemento que no se consideró en la intervención y que de seguro tendría un

impacto positivo en los resultados de la intervención es el uso de las TIC, con el

uso de un software gratuito como por ejemplo Geogebra, se podría complementar

la estrategia metodológica de las situaciones problema añadiendo un componente

geométrico que ayude a visualizar el concepto de variable a través de una

geometría dinámica, como lo podría ser el cambio de las dimensiones de una

figura geométrica en particular.

Otro aspecto que creo debería mejorarse es el de las evaluaciones, dado que se

está trabajando bajo una metodología de situaciones problema este tipo de

evaluaciones le haría falta una componente de tipo “salida de campo” en la que

los mismo estudiantes salgan del aula de clase, observen, tomen datos y ellos

mismos de forma individual o grupal diseñen una situación problema, donde

previamente ellos identifiquen la o las variables que debe llevar esta, de esta

manera es muy probable que los resultados apunten en dirección del objetivo

buscado

Anexos 53

Referencias

[1] Ausubel, David P. (2000). Adquisición y retención del conocimiento. Una perspectiva

cognitiva. Ediciones Paidos Iberica S.A.

[2] Bausela, E. (2004). La docencia a través de la investigación-acción. Revista

Iberoamericana de Educación.

[3] Díaz, A. (2007). La comprensión del concepto de variable a través del trabajo con la

hoja electrónica de cálculo. Acta latinoamericana de matemática educativa. Volumen 20,

pág. 1-6.

[4] Elliot. J. (1990). La investigación-acción en educación. Ediciones Morata. Madrid.

[5] Ministerio de Educación Nacional. (1998). Serie Lineamientos Curriculares. Bogotá.

[6] Ministerio de Educación Nacional. (2006). Estándares Básicos por Competencias de

Matemáticas.

[7] Moreira, M. (2005). Aprendizaje Significativo Crítico. Indivisa. Boletín de estudios e

Investigación. Núm. 6, pág. 83-102.

[8] Rojas, P. et al. (1999). La transición aritmética-álgebra. Bogotá. Grupo Editorial Gaia.

[9] Trigueros, M., Ursini, S., Reyes, A., Quintero, R. (1996). Diseño de un cuestionario de

diagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en algebra. Enseñanza de las

ciencias. Volumen 14(3), pág. 351-363.

[10] Ursini, S., Trigueros, M. (1998). Dificultades de los estudiantes universitarios frente

al concepto de variable. Investigaciones en Matemática Educativa II. CINVESTAV-IPN.

México.


[11] Valencia, P. (2015). Tesis de maestría. Propuesta para la enseñanza del concepto de

variable algebraica a través de situaciones problema. Universidad Nacional de Colombia,

sede Medellín.

[12] Vasco, C. (1984). Un nuevo enfoque para la didáctica de las matemáticas. Volumen

I. Bogotá: División de Materiales Impresos y Audiovisuales, Ministerio de Educación

Nacional.

[13] Vasco, C. (2006). El pensamiento variacional y la modelación matemática.

Universidad del Valle. Cali.

Anexos 55

A. Anexo: Evaluación Diagnóstica

Evaluación diagnóstica

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro

Docente: Andrés Felipe Correa

Solución de situaciones problema usando las cuatro operaciones elementales de

la aritmética en el conjunto de los números racionales.

Objetivos:

a. Comprender el enunciado de una situación problema en el conjunto de los

números racionales.

b. Identificar cuál o cuáles magnitudes con sus respectivas unidades de me-

dida (si las tiene) están involucradas en una situación problema.

c. Reconocer el tipo de operación aritmética (suma, resta, multiplicación y di-

visión) involucrado en la situación problema.

d. Resolver la situación problema planteada.

Evaluación diagnostica

Para cada una de las siguientes situaciones problema identificar las magnitudes

involucradas con sus respectivas unidades de media (si las tiene), qué tipo(s) de

operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división) están involucradas

y resolver.

1. De los animales en vías de extinción se tiene que 15

58 son tortugas y

11

116 son

mamíferos marinos. ¿Qué fracción representa el número de tortugas y los

mamíferos marinos del conjunto de animales en vías de extinción?

2. La velocidad de dos automóviles es de 185

3 km/h y

201

4 km/h. ¿Cuál es la di-

ferencia entre las dos velocidades?


3. La fracción de partidos de tenis que ha ganado July es de 11

5 y la fracción

de partido de tenis ganados por Pilar es de 7

12 . Si cada una juega 100 par-

tidos con el mismo rendimiento, ¿Cuál será la diferencia entre los partidos

ganados de las jugadoras?

4. En un colegio los 2

5 de estudiantes son hombres y de ellos la mitad están

en bachillerato. ¿Qué fracción representa a los hombres que hay en bachi-

llerato?

5. Se tiene un vaso con una capacidad de 1

4 de litro. ¿Cuántas veces se debe

utilizar este vaso para llenar con agua una jarra de 7

2 litros?

Anexos 57

B. Anexo: Guía-Taller magnitudes

Primera actividad

Magnitudes y unidades de medición

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Con esta actividad se pretende que el estudiante reconozca las magnitudes que

están involucradas en una situación problema particular así como sus unidades

de medida (si las tiene).

Objetivos:

a. Reconocer las magnitudes involucradas en una situación problema y sus

unidades de medida (si las tiene).

b. Asignar una letra a cada magnitud involucrada en la situación problema y

organizar por medio de una tabla la siguiente información: magnitud-letra

asignada-unidad de medida (si la tiene).

Ejemplo: 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas en 18 días. ¿Cuántas

máquinas iguales ararán un terreno de 36 hectáreas en 12 días?

Las magnitudes son aquellas que podemos medir o cuantificar, en el ejemplo

las magnitudes involucradas serían: número de máquinas, el área del terreno y

el tiempo, tanto el terreno como el tiempo tienen unidades de medida que son

respectivamente: hectáreas y días, mientras que la magnitud “número de

máquinas” no tendría unidad de medida.

Actividad

Para cada una de las siguientes situaciones problema organizar la siguiente tabla:


Magnitud Letra asignada a la

magnitud

Unidad de medida

Se recomienda que la letra asignada a la magnitud sea la letra inicial de dicha

magnitud.

1. Con 120 gramos de harina se preparan 6 galletas. ¿Cuántos gramos de ha-

rina se necesitan para preparar 34 galletas?

2. En un laboratorio se tienen 560 mililitros de una sustancia y en ella se en-

contraron 56 gramos de mercurio. ¿Cuántos gramos de mercurio habrá en

1.080 mililitros de esa sustancia?

3. En un colegio hay 2 hombres por cada 3 mujeres y en otro colegio hay 8

hombres por cada 12 mujeres, determinar la proporción formada

4. En la tienda de frutas Ana encuentra un aviso que indica que el precio de 2

peras es $ 900. Si ella quiere comprar 9 peras, ¿Cuánto dinero tendrá que

pagar?

5. En la estantería del salón de mi escuela hay 4.122 libros en total colocados

en 6 estantes. Sabiendo que cada estantería tiene el mismo número de li-

bros, ¿cuántos libros hay en cada estantería?

6. En una piscina caben 45.000 litros de agua. ¿Cuánto tiempo tarda en lle-

narse mediante un grifo que echa 15 litros de agua por minuto?

7. Un ciclista viaja con una rapidez constante. Si recorre 69 kilómetros en 3

horas. ¿Cuánto tiempo tardara en recorrer 92 kilómetros?

Anexos 59

8. La familia Pérez debe pagar $2.520.000 por un alojamiento en un hotel du-

rante una semana y media. ¿Cuánto deberá pagar por el alojamiento de

tres semanas y media?

9. En un CD de 800 megabytes se pueden almacenar 800 minutos de música.

¿Cuántas horas de música se pueden almacenar en un DVD de 4.000 me-

gabytes?

10. En un edificio 6 obreros pintan un área de 300 metros cuadrados (m2) du-

rante dos horas. ¿Cuántos obreros se necesitan para pintar un área de 400

m2 en una hora?

11. Un barco de pasajeros necesita 180.000 litros de agua potable para atender

a 1.500 personas durante un crucero de 15 días. ¿Cuántos litros de agua

potable deben ser almacenados para atender a 1.800 personas durante un

viaje de 9 días?


C. Anexo: Guía-Taller uso de tablas para comunicar datos

Segunda actividad

Uso de tablas para comunicar datos

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Con esta actividad se pretende que el estudiante realice modificaciones a los

valores de la(s) magnitud(es) involucradas en una situación problema y anote

esto en una tabla.

Objetivos: a. Reconocer que se pueden hacer variar los valores de una magnitud en una

situación problema en particular sin que esto afecte la forma de proceder a

resolver dicha situación problema.

b. Ubicar en una tabla las variaciones que se le hacen a los valores de una

magnitud.

En esta guía-taller se le pide al estudiante que solucione la situación problema

planteada y que asigne otros valores a las magnitudes involucradas en la situa-

ción problema y responda la misma pregunta que plantea la situación pero con

estos nuevos valores. A asignarle nuevos valores a las magnitudes involucradas

en la situación problema se le denominará “primer valor asignado” o “segundo

valor asignado” o “tercer valor asignado” según sea el caso. Todo lo anterior más

la información sobre qué magnitudes están involucradas en la situación problema

deberá quedar consignada en una tabla. Materialicemos lo anterior en el siguiente

ejemplo:

Una colonia de 55 bacterias consume 2 gramos de carne en 20 minutos.

¿Cuánto tardarán 87 bacterias en consumir 3 gramos de carne?

Acá las magnitudes (con sus respectivas unidades de medida) son: cantidad de

bacterias (no la hay), masa de la carne (gramos) y tiempo (minutos).

Un “primer valor asignado” podría ser: bacterias (60 y 102), masa de carne (5

Anexos 61

gramos y 11 gramos) y tiempo (25 minutos y 𝑥), acá 𝑥 representa la incógnita.

Con estos datos la situación problema queda así:

Una colonia de 60 bacterias consume 5 gramos de carne en 25 minutos.

¿Cuánto tardarán 102 bacterias en consumir 11 gramos de carne?

Magnitud Letra asignada a la magnitud

Unidad de la magnitud (si las tiene)

Primer va-lor asigna-do

Cantidad de bacterias

b No tiene 60 y 102

Masa de la carne

m Gramos 5 y 11

Tiempo t Minutos 25 y 𝑥

Recordar que esta situación problema es una regla de tres compuesta. La solu-

ción de la situación con los datos iniciales es:

𝑥 =20∗3∗55

87∗2= 18,96 minutos.

La solución de esta misma situación problema con los datos del “primer valor

asignado” es:

𝑥 =25∗11∗60

102∗5= 32.35 minutos.

Actividad Asignar tres valores nuevos a la(s) magnitud(es) involucradas en cada una de las

siguientes situaciones problema. Ubicar esos nuevos valores en la siguiente

tabla:

Magnitud Letra asigna-da a la mag-nitud


Primer valor asignado

Segundo valor asignado

Tercer valor asignado

Resolver la situación problema para los valores iniciales de las magnitudes, y


hacerlo también para uno de los valores asignados

.

1. La velocidad de dos automóviles es de 237

5 km/h y

381

7 km/h. ¿Cuál es la di-

ferencia entre las dos velocidades?

2. Se tiene un vaso con una capacidad de 1

4 de litro. ¿Cuántas veces se debe

utilizar este vaso para llenar con agua una jarra de 7

2 litros?

3. José trabaja los sábados cortando césped a sus vecinos. Sabiendo que

trabaja todos los sábados las mismas horas y que por cada 6 días cobra

$ 250.000, ¿Cuánto cobra José por 15 días de trabajo?

4. En 8 días 6 máquinas cavan una zanja de 2.100 metros de largo, ¿cuántas

máquinas serán necesarias para cavar 525 metros trabajando durante 3

días?

5. Cuatro agricultores recolectan 10.000 Kilogramos de cerezas en 9 días,

¿Cuántos Kilogramos de cereza recolectarán seis agricultores en 15 días?

Anexos 63

D. Anexo: Guía-Taller concepto de variable

Tercera actividad

Aspecto simbólico de la variación de magnitudes (concepto de variable)

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Se pretende con esta actividad que el estudiante identifique como puede variar

una magnitud en una situación problema en particular, y por consiguiente que se

dé cuenta que la letra que está representando dicha magnitud es un símbolo que

puede tomar diferentes valores numéricos, además que el estudiante reconozca

que dada la naturaleza numérica de estos símbolos entonces se puedan realizar

operaciones aritméticas con ellos como lo son suma, resta, multiplicación y

división.

Objetivos: a. Introducir el concepto de variable como aquel símbolo que representa una

magnitud que puede cambiar de valores numéricos.

b. Realizar operaciones aritméticas con variables.

Actividad 1. Llenar las tablas (en cada situación se ubica un dato como ejemplo) que se

muestran en cada ejercicio con los datos que se dan de las magnitudes in-

volucradas en cada una de las situaciones problema. Dentro del paréntesis

que aparece en cada magnitud ubicar la letra que se le asigna a dicha

magnitud:

a. El 18 de marzo de 1996, en Atlanta Georgia, se registraron las si-

guientes temperaturas en grados Fahrenheit (°F) cada dos horas

desde la media noche hasta el medio día siguiente: 58, 57, 53, 50,

51, 57, 61.

b.


Tiempo() 12 a.m.

Temperatura() 58

c. La población (habitantes) de San José de California, desde 1984

hasta 1994, medida cada dos años fue: 695.000, 716.000, 733.000,

782.000, 800.000, 817.000.

Tiempo() 1984

Población() 695.000

d. A un automóvil que parte del reposo (estaba detenido) se le toma su

velocidad (metros por segundo m/s) cada 200 metros hasta comple-

tar un kilómetro (1000 metros): 0, 15, 25, 40, 55, 70.

Distancia () 1000

Velocidad () 70

2. Realizar las siguientes operaciones con las variable trabajadas en el punto

1.

Recordar: el promedio se calcula sumado los datos y dividiendo entre el

número de datos sumados.

El rango es el dato de mayor valor menos el dato de menos valor.

El tiempo de duración se calcula dividiendo la distancia recorrida entre la

velocidad que lleva en esa distancia recorrida.

Ejemplo: si T (°F) toma los valores de: 53, 46, 43 y 52, entonces el promedio de

temperatura es 53:46:43:52

4 =

194

4 = 48.5 °F

a. Respecto al punto 1 a, calcular la temperatura promedio entre las 12 de la

media noche y las 12 del medio día siguiente.

Anexos 65

b. Respecto al punto 1 a, calcular la temperatura promedio entre las dos de la

mañana y las 10 de la mañana.

c. Respecto al punto 1 a, calcular el rango de temperatura.

d. Respecto al punto 1 b, calcular la población promedio entre 1984 y 1994.

e. Respecto al punto 1 b, calcular el producto entre la población en 1986 y la

población en 1992.

f. Respecto al punto 1 b, calcular el rango de la población.

g. Respecto al punto 1 c, calcular la distancia entre la tercera y la quinta toma

de la velocidad.

h. Respecto al punto 1 c, calcular el tiempo que se demoró el automóvil en

recorrer 600 y 800 metros.

i. Respecto al punto 1 c, aproximar a que distancia va el automóvil después

de 14 segundos.


E. Anexo: Guía-Taller variables algebraicas

Cuarta actividad

Variables algebraicas

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Con esta actividad se pretende que el estudiante identifique la(s) variable(s) en

una expresión algebraica, y con esto sea capaz de obtener valores numéricos de

dicha expresión al asignarle valores numéricos a la(s) variable(s).

Objetivos: a. Relacionar la parte literal de una expresión algebraica con una variable.

b. Obtener valores numéricos de una expresión algebraica al asignarle valo-

res numéricos a la(s) variable(s).

Actividad 1. En cada una de las siguientes expresiones algebraicas indicar cuál o cuá-

les son las variables.

a. x2 + 5

b. 3y - 8

c. 6x3y - 4x

d. 3

5xw5 - 7xz4

e. 6ab - 56v4-5

f. - 11

12b3x5 -

6

8 a3b8 +12

g. 50xyz + 34wrt

h. 65mn10 – 78ch23 + 35tp78 + m

Anexos 67

2. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas co-

rrespondiente al valor numérico de las variables dadas.

a.

𝑥 𝑥 - 8

3

2

3 – 6 𝑥2 – 7

-2

-1

0

2/3

1

b.

𝑥 𝑥 + 2

7 – 3 𝑥2 +

4

-2 -3

-1 -2/5

0 3

1/7 0

2/3 4/3


F. Anexo: Evaluación inicial

Evaluación inicial

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Objetivo:

Evaluar la noción de magnitud y su carácter cambiante, en una situación problema.

Evaluación

1. Indicar cuales son las magnitudes involucradas en la siguiente situación

problema: Un barco de pasajeros necesita 180.000 litros de agua potable

para atender a 1.500 personas durante un crucero de 15 días. ¿Cuántos li-

tros de agua potable deben ser almacenados para atender a 1.800 perso-

nas durante un viaje de 9 días?

2. A partir de la situación problema anterior llenar la siguiente tabla:


Unidad de medida de la

magnitud (si la tiene)

3. En la situación problema del punto 1 asignar cuatro valores diferentes a los

dados en las magnitudes y llenar la siguiente tabla, además resolver el

problema con los datos iniciales y con uno de los valores asignados.



Primer valor asignado

Segundo valor asignado

Tercer valor asignado

Cuarto valor asignado

Anexos 69

G. Anexo: Evaluación Final

Evaluación final

Matemáticas 8°

I.E.R. San Isidro


Objetivo: Identificar la eficacia de la intervención en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

1. Indicar cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales son

falsas y porque.

a. La única variable en la expresión 5xy4 – 8x, es x.

b. Una variable solo puede tomar valores positivos.

c. Una magnitud se puede considerar como variable.

d. Las variables se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir.

e. En una situación problema solo pueden intervenir dos variables.

f. En una expresión algebraica solo puede estar involucrada una va-

riable.

g. El número 34 es una variable.

h. Toda variable tiene unidad de medida.

i. Tengo la expresión algebraica 3b2 - 4, y luego tengo 3(-2)2 – 4. Lo

anterior indica que estoy calculando el valor numérico de la expre-

sión al reemplazar la variable b por el valor -4.

2. Responder las preguntas a-d de acuerdo a la siguiente situación problema.

La ventana de una casa tiene forma rectangular (como lo indica la figura), donde

tanto el largo como el alto están medidos en centímetros, queremos saber entre


otras cuál es el área y el perímetro de la ventana para ciertos valores del largo y

del alto.

a. Cuáles son las variables involucradas en la situación problema y sus

unidades de medida.

b. Asignarle letras a las variables.

c. Asignarle cinco valores diferentes a cada una de las variables, dos

de los cuales deben ser fraccionarios (ubicar dentro del paréntesis

la letra asignada a la variable) y llenar el siguiente cuadro.

Variable

1 ()

Variable

2 ()

d. Si el área de un rectángulo se calcula por medio de la fórmula:

área=largo x alto, y el perímetro por medio de la fórmula: períme-

tro=2largo + 2alto, calcular el área y el perímetro del rectángulo

usando las medidas del punto c, y organizar la información en la si-

guiente tabla.

Largo Alto Área Perímetro

Anexos 71

3. Llenar la siguiente tabla

2 +

3

2

– 3

-2 0

0 4

2 -1

Cuáles son las variables que intervienen en la tabla anterior

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Diseño de una estrategia metodológica que permita a los