Kordamine ainekursuse

„Diskreetse matemaatika elemendid” eksamiks

Vt. Lisaks: Normaalkujude minimeerimine, hulga karakteristlik funktsioon, hulga graafik, võimsuste hierarhia,

Kontiinumi hüpotees.

1. Lausearvutuse põhimõisted

1. Välistaud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär.

2. Mittevasturääkivuse seadus. Üksi lause ei saa korraga olla nii tõene kui ka väär.

Vaadeldavate lausete hulka kuuluvad laused, mis väidavad midagi ning mille tõeväärtus on

üheselt määratav. Välistatud kolmanda seaduse tõttu jäetakse vaatluse alt välja kõik

küsilaused ja enamik hüüdlauseid, samuti kõik käsud jt mõttetud sõnaühendid.

Lausearvutuses jagatakse keerulisemad laused komponentlauseteks (lihtlauseteks) ja neid

ühendavateks grammatilisteks seoseteks. Komponentlaused ja nende vahelised seosed

pannakse kirja lausemuutujate ning lausearvutuse tehete abil.

Definitsioon 1. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud

reeglite abil:

¬ Eitus. Väljendab mittekehtimist. (¬A)

& Konjunktsioon. Seos „ja”. (A&B)

˅ Disjunktsioon. Seos „või”. (A˅B)

→ Implikatsioon. Tingimuslik konstruktsioon „kui ..., siis ...”. (A→B)

↔ Ekvivalents. Seos „parajasti siis, kui ...” e „siis ja ainult siis, kui ...”. (A↔B)

3. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega.

4. Tehete tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete

tõeväärtustest. Lause sisu pole oluline.

Lausemuutujate (A,B,C jne) ning lausearvutuse tehete abil kirja pandud lauseid nimetatakse

lausearvutuse valemiteks. Lausearvutuse valemite koostamiseks arvestame järgmiste

reeglitega:

Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem.

Kui A on lausearvutuse valem, siis ka ¬A on lausearvutuse valem.

Kui A ja B on lausearvutuse valemid, siis ka (A&B), (A˅B), (A→B) ja (A↔B) on

lausearvutuse valemid.

Kõiki valemi konstrueerimisel kasutatud valemeid nimetatakse osavalemiteks,

konstrueerimise viimasel sammul kasutatud tehet valemi peatehteks.

Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on ¬, &, ˅, →, ↔.

Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse

tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest loobuda.

Valemi välimised sulud võib ära jätta.

Iga lausemuutuja võib olla kas tõene või väär. Asjaolu, et muutuja A on tõene märgitakse A =

1 ja kui A on väär, siis A = 0. Lausemuutujate hulgale korraga omistatud tõeväärtuste

komplekti nimetatakse väärtustuseks. Nt. Muutujakomplekti A, B, C üks võimalikke

väärtustusi on A = 0, B = 1, C = 1.

Definitsioon 2. Lausearvutuse valemi A tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste

reeglite abil:

1. Kui A = ¬B, siis A = 1 parajasti siis, kui B = 0.

2. Kui A = B & C, siis A = 1 parajasti siis, kui B = 1 ja C = 1.

3. Kui A = B ˅ C, siis A = 1 parajasti siis, kui B = 1 või C = 1.

4. Kui A = B → C, siis A = 1 parajasti siis, kui B = 0 või C = 1.

5. Kui A = B ↔ C, siis A = 1 parajasti siis, kui B = 1 ja C = 1 või B = 0 ja C = 0.

Tehete toimet saab üksikasjalikult uurida tõeväärtustabeli abil, kus kõikvõimalikud

väärtustused märgitakse vasakule (tavaliselt kindlas järjekorras, nt kahendarvu kahanemise

järjekorras) ning tehete tulemused paremale, kusjuures n muutujaga valemil on 2𝑛 väärtustust.

Definitsioon 3. Lausearvutuse valemit A nimetatakse

Samaselt e loogiliselt tõeseks, kui ta on igal väärtustusel tõene;

Samaselt e loogiliselt vääraks, kui ta on igal väärtustusel väär.

Näiteks on valem A & ¬A samaselt väär (Valemeid, mille konjunktsioon on alati väär,

nimetatakse vasturääkivateks.) ning valem A ˅ ¬A samaselt tõene. (Selliseid valemeid

saab rakendada normaalkujude leidmisel lisamaks puudu olevaid liikmeid). Et samaselt

tõene valem on igas olukorras tõene, siis ei sisalda ta informatsiooni. Samaselt väärad

valemid esitavad väiteid, mis ei saa mitte ühelgi tingimusel olla tõesed. Asjaolu, et mõni

valem on samaselt tõene / väär, saab kontrollida tõeväärtustabeli abil.

Definitsioon 4. Lausearvutuse valemit A nimetatakse kehtestatavaks, kui ta on vähemalt ühel

väärtustusel tõene.

Definitsioonist järeldub, et iga samaselt tõene valem on kehtestatav.

Teoreem 1. Valem A on samaselt tõene parjasti siis, kui tema eitus ¬A on samaselt

väär.

Tõestus. Valemite A ja ¬A tõeväärtused on vastupidised, seega kui A on igal

väärtustusel tõene, siis ka ¬A on igal väärtustusel väär.

Teoreem 2. Valem A on kehtestatav parajasti siis, kui tema eitus ¬A ei ole samaselt

tõene.

Tõestus. Kui A on kehtestatav, siis valem ¬A on vähemalt ühel väärtustusel, kus A on

tõene, väär. Seega valem ¬A ei saa olla samaselt tõene.

Tõesuspuu

Näide: Näidata, et valem ¬B & ¬(¬C → ¬B ˅ A) on samaselt väär. Eeldame vastuoluliselt, et

valem on mingil väärtustusel tõene.

B & ¬(¬C → ¬B ˅ A) = 1 (1)*

│

¬B = 1

│

¬(¬C → ¬B ˅ A) = 1 (2)*

│

¬C → ¬B ˅ A = 0 (3)*

(Implikatsioon on väär parajasti siis, kui tema esimene liige on tõene ja teine väär.)

│

¬C = 1

│

¬B ˅ A = 0 (4)*

│

¬B = 0

│

A = 0

×

Tõesuspuu ainus haru on vastuoluline, sest ta sisaldab vastuolulisi tingimusi ¬B = 1 ja ¬B = 0,

seega vastupidiselt eeldusele, ei ole võimalik, et valem on mingil väärtustusel tõene.

Definitsioon 5. Öeldakse, et valemitest 𝐴1 , 𝐴2 ... 𝐴𝑛 järeldub valem B , kui igal neis valemeis

esinevate muutujate väärtustusel, millel 𝐴1 , 𝐴2 ... 𝐴𝑛 on tõesed, on ka B tõene. Tähistame

𝐴1, 𝐴2 , … 𝐴𝑛 ⊢ 𝐵.

Näide: Tõestada, et valemitest A → B ja B → C järeldub valem A → C. Oletame, et mingil

väärtustusel on eeldused tõesed ja väide väär, siis A = 1 ja C = 0. Esimesest võrdusest B = 1,

kuid teine võrdus ei saa enam kehtida. Seega oleme jõudnud vastuoluni ning väide kehtib.

Definitsioon 6. Valemeid A ja B nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on

võrdsed igas neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, seda asjaolu märgitakse 𝐴 ≡ 𝐵.

Näide: Kõik samaselt tõesed valemid on üksteisega samaväärsed, sest sellised valemid on igal

väärtustusel tõesed. Analoogiliselt on samaväärsed ka samaselt e loogiliselt väärad valemid.

Teoreem 3. Valemid A ja B on samaväärsed parajasti siis, kui valemist A järeldub B

ning vastupidi.

Tõestus. Kui A ≡ B, siis suvalisel valemites A ja B esinevate lausemuutujate

väärtustusel on need valemid kas mõlemad tõesed või väärad. Seepärast kehtivad

seosed 𝐴 ⊢ 𝐵 ja 𝐵 ⊢ 𝐴.

Teoreem 4. Valemid A ja B on samaväärsed parajasti siis, kui valem A ↔ B on

samaselt tõene.

Tõestus. Eeldame, et valemid A ja B on samaväärsed. Sõltumata valemite A ja B

väärtustusest on valem A ↔ B alati tõene, seega on ta ka samaselt tõene. Eeldame

ümberpöördult, et valem A ↔ B on samaselt tõene. Et ekvivalents on tõene siis, kui A

= 0 ja B = 0 või A = 1 ja B = 1, siis on valemite A ja B tõeväärtused igal suvalisel

väärtustusel samad e vastavalt definitsioonile on valemid samaväärsed.

1.1 Lausearvutuse põhisamaväärsused

1. Idempotentsuse seadused:

A & A ≡ A A ˅ A ≡ A

2. Kommutatiivsuse seadused:

A & B ≡ B & A A ˅ B ≡ B ˅ A

3. Assotsiatiivsuse seadused:

(A & B) & C ≡ A & (B & C) (A ˅ B) ˅ C ≡ A ˅ (B ˅ C)

4. Distributiivsuse seadused:

A & (B ˅ C) ≡ A & B ˅ A & C A ˅ (B & C) ≡ (A ˅ B) & (A ˅ C)

5. Neelamisseadused:

A & (A ˅ B) ≡ A A ˅ A & B ≡ A

6. De Morgani seadused:

¬(A & B) = ¬A ˅ ¬B ¬(A ˅ B) ≡ ¬A & ¬B

7. Kahekordse eituse seadus:

¬ ¬ A ≡ A

8. Liikmete elimineerimise reeglid, kus T on suvaline samaselt tõene valem ja V suvaline

samaselt väär valem:

A & T ≡ A A & V ≡ V

A ˅ T ≡ T A ˅ V ≡ A

9. Implikatsiooni avaldis konjunktsiooni ja disjunktsiooni kaudu:

A → B ≡ ¬(A & ¬B) A → B ≡ ¬A ˅ B

10. Konjunktsiooni ja disjunktsiooni avaldis implikatsiooni kaudu:

A & B ≡ ¬(A → ¬B) A ˅ B ≡ ¬A → B

11. Ekvivalentis avaldis teiste tehete kaudu:

A ↔ B ≡ A & B ˅ ¬A & ¬B A ↔ B ≡ (A → B) & (B → A)

1.2 Normaalkujud

Lausemuutujata või selle eitust nimetame literaaliks. Literaali loetakse positiivseks või

negatiivseks vastavalt sellele, kas ta on puhas lausemuutuja või koos eitusega. Ühest

lausemuutujate komplektist kõigi lausemuutujate abil moodustatud literaalide konjunktsiooni

nimetatakse täielikuks elementaarkonjunktsiooniks.

Definitsioon 7. Lausearvutuse valemi A täielikuks disjunktiivseks normaalkujuks (TDNK)

nimetatakse valemiga A samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike

elemntaarkonjunktsioonide disjunktsiooni.

Normaalkujusse kuuluvaid elem.konjunktsiooni nimetatakse ka selle normaalkuju liikmeteks.

Definitsioon 8. Lausearvutuse valemi A täielikuks konjunktiivseks normaalkujuks (TKNK)

nimetatakse valemiga A samaväärset valemit, mis kujutab endast erinevate täielike

elementaardisjunktsioonide konjunktsiooni.

Teoreem 5. Kui valem ei ole samaselt väär, siis leidub tal täielik disjunktiivne

normaalkuju.

Tõestus. Samaselt väär valem ei ole ühelgi väärtustusel tõene.

Järeldus 1. Kui valem A ei ole samaselt tõene, siis leidub tal täielik konjunktiivne

normaalkuju.

Tõestus. Kui valem A on samaselt tõene, siis valem ¬A on samaselt väär. Eeldusel, et

valem A ei ole samaselt tõene, siis ka valem ¬A ei ole samaselt väär. Seega leidub

valemil ¬A täielik disjunktiivne normaalkuju (Teoreem 5.), mis esitatuna literaalidena

avaldub kujul

¬𝐴 ≡ 𝐿11 & 𝐿12 & … & 𝐿1𝑛 ˅ 𝐿21 & 𝐿22 & … & 𝐿2𝑛 ˅… ˅ 𝐿𝑚1 & 𝐿𝑚2 & … & 𝐿𝑚𝑛 .

Leides mõlemast poolest eituse, ning viies paremal pool eitused De Morgani seaduste

abil sissepoole teiseneb valem järgmisele kujule: 𝐴 ≡ ¬𝐿11 ˅ ¬𝐿12 ˅… ˅ ¬𝐿1𝑛 &

¬𝐿21 ˅ ¬𝐿22 ˅…˅ ¬𝐿2𝑛 & … & ( ¬𝐿𝑚1 ˅ ¬𝐿𝑚2 ˅…˅ ¬𝐿𝑚𝑛 ).

Jättes eeltoodud valemis ära kahekordsed eitused, ongi tulemuseks valemi TKNK.

1.2.1 Valemi normaalkujule teisendamine

1. Kaotame implikatsioonid ja ekvivalentsid. Vt Lausearvutuse põhisamaväärsused.

2. Kasutades distributiivsuse seadusi viime konjunktsioonid disjunktsioonides

sügavamale või vastupidi.

3. Kasutades liikmete elimineerimise reegleid eemaldame samaselt väärad või samaselt

tõesed liimed.

4. Lisame normaalkujus esinevatele liikmetele puudu olevad muutujad. Vt Def. 3.

5. Kasutades idempotentsuse seadusi eemaldame korduvad liikmed.

2. Hulgad

Definitsioon 1. Hulk on selline objektide kogu, millest saab mõelda kui tervikust (G. Cantor)

ning mis rahuldab järgmisi tingimusi:

Kõik hulka kuuluvad objektid s.o hulga elemendid on üksteisest erinevad;

Iga objekti puhul peab olema üheselt määratav, kas ta kuulub vaadeldavasse hulka või

mitte;

Ükski hulk ei saa olla iseenda elemendiks.

Kahte hulka loetakse võrdseteks, kui nad koosnevad ühtedest ja samadest elementidest.

Tavaliselt tähistatakse hulki suurte ladina tähtedega A, B, C jne ning hulga elemente väikeste

ladina tähtedega a, b, c jne.

Asjaolu, et a on hulga A element tähistatakse 𝑎 ∈ 𝐴; kui a ei ole hulga A element kirjutatakse

𝑎 ∉ 𝐴.

Kui hulgas on naturaalarvuga võrdne arv elemente, siis nimetatakse seda hulka lõplikus.

Hulka, mis ei ole lõplik ega tühi nimetatakse lõpmatuks.

Näiteid.

1. Täisarvude hulk ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … },

2. Ratsionaalarvude hulk ℚ = {𝑞 │ 𝑞 =𝑚

𝑛, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℕ}

3. 𝐴 = {1,2, 3,6 }

4. Arvude intervall e lõik vahemikus 1,8 = {𝑥 │ 1 ≤ 𝑥 < 8}

Definitsioon 2. Hulka A nimetatakse hulga B osa- e alamhulgaks, kui kõik hulga A

elemendid on hulga B elementideks. Tähistatakse 𝐴 ⊆ 𝐵 või 𝐵 ⊇ 𝐴.

Hulka B nimetatakse hulga A ülemhulgaks.

Definitsioon 3. Hulka A nimetatakse hulga B pärisosahulgaks, kui kõik hulga A elemendid

on hulga B elementideks ning 𝐴 ≠ 𝐵. Tähistatakse 𝐴 ⊂ 𝐵 või 𝐵 ⊃ 𝐴.

Kõigi hulga A alamhulki tähistatakse P(A). Igal hulgal on 2𝑛 alamhulka. Näiteks hulga on A

= {1,2} alamhukadeks P(A) = {{1},{2},{ Ø },{1,2}}.

Hulkade sisalduvusseosel ⊆ on järgmised põhiomadused.

1. Refleksiivsus: iga hulga A korral A ⊆ A

2. Antisümmeetrilisus: kui A ⊆ B ja B ⊆ A, siis A = B

3. Transitiivsus: kui A ⊆ B ja B ⊆ C, siis A ⊆ C

Antisümmeetrilisuse omadust kasutatakse sageli siis, kui on vaja tõestada, et kaks hulka on

võrdsed.

Definitsioon 4. Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka A ∪ B, mis koosneb nii hulga A kui ka

hulga B elementidest:

A ∪ B = { x : x ∈ A või x ∈ B }

Kõikide hulkade A ja B korral, A ⊆ A ∪ B ja B ⊆ A ∪ B.

Definitsioon 5. Kahe hulga A ja B ühisosaks ehk lõikeks nimetatakse hulka A ∩ B, mis

koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest:

A ∩ B = { x : x ∈ A ja x ∈ B }

Kõikide hulkade A ja B korral, A ∩ B ⊆ A ja A ∩ B ⊆ B.

2.1 Hulga ühisosa ja ühendi omadused

1. Idempotentsus:

A ∪ A = A A ∩ A = A

2. Kommutatiivsus:

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

3. Assotsiatiivsus

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

4. Distributiivsus

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

5. Neelduvus

A ∪ (A ∩ B) = A

A ∩ (A ∪ B) = A

Omaduste tõestamisel näitame mingi suvalise elemendi x kuulumist vasakusse poolde ning näitame, et kui x

sisaldub vasakus pooles, sisaldub ta ka paremas pooles. Sama ümberpöördult.

Näide. Tõestame distributiivsuse esimese seaduse.

1. Olgu 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶. Siis 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 & 𝑥 ∈ 𝐶. Kui 𝑥 ∈ 𝐶 ja 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵, siis

𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ˅ 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶), seega 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵). Sellega on näidatud, et

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐶 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶).

2. Teiseltpoolt, olgu 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Siis 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐶 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶 ,

mistõttu 𝑥 ∈ 𝐶 & (𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵), seega 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶. Sellga on näidatud, et

ka 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 ⊃ 𝐴 ∩ 𝐶 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶).

2.2 Hulga täiend

Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga

alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Nt võib universaalse hulga

rollis olla kõigi reaalarvude hulk, tasandi kõigi punktide hulk jne.

Definitsioon 6. Olgu fikseeritud teatav universaalhulk X. Hulga A täiendiks nimetatakse kõigi

nende hulga X elementide hulka A’, mis ei kuulu hulka A:

𝐴′ = { 𝑥: 𝑥 ∉ 𝐴 }

2.2.1 Täiendi omadused

1. De Morgani seadused

(A ∪ B)’ = A’∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

2. Kahekordse täiendi seadus

A’’ = A

3. Universaalse hulga ja tühja hulga reeglid

∅’ = X

X’ = ∅

A ∪ A’ = X

A ∩ A’ = ∅

2.3 Muud hulgateoreetilised tehted

Definitsioon 7. Kahe hulga A ja B vaheks nimetatakse hulka A \ B, mis koosneb kõigist

niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka A, aga ei kuulu hulka B:

A \ B = { x : x ∈ A ja x ∉ B }

Definitsioon 8. Kahe hulga A ja B sümmeetriliseks vaheks nimetatakse hulka A ∆ B, mis

koosneb kõigist niisugustest elementidest, mis kuuluvad hulka A või hulka B, aga mitte

mõlemasse korraga:

A ∆ B = { x : ( x ∊ A ja x ∉ B ) või ( x ∉ A ja x ∊ B ) } = { x : x ∊ A \ B või x ∊ B \ A }

2.3.1 Sümmeetrilise vahe omadusi

1. Kommutatiivsus

A ∆ B = B ∆ A

2. Assotsiatiivsus

(A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

3. Distributiivsus ühisosaga

A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C)

4. Seos teiste tehetega

A ∆ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

2.4 Hulkade otsekorrutis

Definitsioon 9. Kahe hulga A ja B otsekorrutiseks nimetatakse hulka A × B, mis koosneb

kõigist järjestatud paaridest (x;y), kus x ∊ A ja y ∊ B:

A × B = { (x;y) : x ∊ A ja y ∊ B }

Paarides on elementide järjekord oluline. Järjestatud n-elemendilisi komplekte nimetatakse

korteežideks või vektoriteks.

Näide. Kui A = {1, 2, 3} ja B = {a, b}, siis A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

Definitsioon 10. Otsekorrutist A × . . . × A, kus hulk A esineb n korda, nimetatakse hulga A

n-daks otseastmeks ja tähistatakse An, kusjuures otsekorrutis n = 2 korral nimetatakse

otseruuduks.

Näide. ℝ2 = ℝ × ℝ esitab tasandi kõigi punktide hulka.

2.4.1 Otsekorrutise omadusi

1. Otsekorrutis tühja hulgaga:

A × ∅ = ∅ ∅ × A = ∅

2. Distributiivsus:

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)

2.5 Funktsioonid jam,

Definitsioon 11. Seost F , millega igale hulga A elemendile seatakse vastavusse hulga B

element, nimetatakse funktsiooniks hulgast A hulka B. Tähistatakse f : A → B.

Kui funktsioon F seab elemendile x ∈ A vastavusse elemendi y ∈ B, siis kirjutatakse y = f

(x) või y = fx või f : x → y. Elementi y = f (x) nimetatakse elemendi x kujutiseks, elementi x

nimetatakse elemendi y originaaliks.

Definitsioonis esinevat hulka A nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulga A kõigi

elementide kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni väärtuste piirkonnaks. Funktsiooni

väärtuste piirkond kuulub hulka B.

Olgu antud funktsioon 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Hulga 𝑈 ⊆ 𝐴 kujutiseks nimetatakse hulka 𝑓 𝑈 = { 𝑦 ∈𝐵: ∃ 𝑥 ∈ 𝑈 𝑛𝑖𝑖, 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑓(𝑥) }. Hulga 𝑉 ⊆ 𝐵 originaaliks nimetatakse hulka 𝑓−1 𝑉 = { 𝑥 ∈𝐴 ∶ 𝑓 𝑥 ∈ 𝑉}.

Näide. Kujutis: sin ℝ = [−1; 1]; Originaal: 𝑠𝑖𝑛−1 0 = {𝑘𝜋 ∶ 𝑘 ∈ ℤ}

Funktsiooni f : A → B nimetatakse:

Injektiivseks ehk üksüheseks, kui erinevate elementide x1 ∈ A ja x2 ∈ A korral on

alati ka 𝑓(𝑥1) ja 𝑓 𝑥2 erinevad; ühelgi elemendil hulgast B ei ole üle ühe originaali.

Sürjektiivseks ehk pealekujutuseks, kui iga elemendi y ∈ B korral leidub element x ∈

A, et f (x) = y; igal elemendil hulgast B leidub vähemalt üks originaal.

Bijektiivseks ehk üksüheseks vastavuseks, kui funktsioon on korraga injektiivne ja

sürjektiivne; igal elemendil hulgast B leidub täpselt üks originaal.

Näited.

Funktsioon sin: ℝ → ℝ ei ole injektiivne ega ka sürjektiivne

Funktsioon sin: ℝ → [−1; 1] on sürjektiivne, kui mitte injektiivne.

Funktsioon sin: −𝜋

2;

𝜋

2 → [−1; 1] on bijektiivne.

Definitsioon 12. Funktsioonide f : A → B ja g : B → C kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks

nimetatakse funktsiooni gf : A → C, mis defineeritakse tingimusega

iga x ∈ A korral (gf )(x) = g(f (x)).

Kompositsioon on assotsiatiivne: h(gf ) = (hg)f . Kui f ja g on injektiivsed (sürjektiivsed,

bijektiivsed), siis gf on injektiivne (sürjektiivne, bijektiivne).

Definitsioon 13. Bijektiivse funktsiooni f : A → B pöördfunktsioon on funktsioon 𝑓−1: B →

A seab igale elemendile y ∈ B vastavusse selle elemendi x ∈ A, mille korral f (x) = y. St 𝑓−1

(y) = x ⇔ y = f (x).

Pöördfunktsiooni omadusi:

Kui funktsioonide f : A → B ja g : B → A puhul gf = I ja fg = I , siis leidub 𝑓−1 ja f

𝑓−1 = g.

Kui funktsioonil f : A → B leidub pöördfunktsioon 𝑓−1 , siis ka funktsioonil 𝑓−1

leidub pöördfunktsioon ja (𝑓−1)−1 = f .

Kui funktsioonidel f : A → B ja g : B → C leiduvad pöördfunktsioonid, siis ka

funktsioonil gf : A → C leidub pöördfunktsioon ja (𝑔𝑓)−1 = 𝑓−1𝑔−1.

2.6 Hulga võimsus

Definitsioon 14. Ütleme, et hulgad A ja B on sama võimsusega, kui leidub bijektsioon f : A

→ B. Tähis: A ~ B; öeldakse ka, et hulgad A ja B on ekvivalentsed.

Omadused:

refleksiivsus: A ~ A

sümmeetrilisus: kui A ~ B, siis B ~ A

transitiivsus: kui A ~ B ja B ~ C, siis A ~ C

Definitsioon 15. Hulka, mis on sama võimsusega nagu naturaalarvude hulk, nimetatakse

loenduvaks hulgaks.

Järelikult on loenduvad parajasti need hulgad, mis on esitatavad erinevate liikmetega lõpmatu

jadana 𝑎1, 𝑎2 … . Iga lõpmatu hulk sisaldab loenduvat osahulka. Loenduva hulga iga

lõpmatu osahulk on samuti loenduv.

Loenduvate hulkade omadused:

Loenduva hulga ja lõpliku hulga ühend on loenduv.

Kahe loenduva hulga ühend on loenduv.

Lõpliku hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.

Loenduva hulga paarikaupa erinevate lõplike hulkade ühend on loenduv.

Loenduva hulga loenduvate hulkade ühend on loenduv.

Definitsioon 16. Ütleme, et hulga A võimsus ei ületa hulga B võimsust, kui leidub injektsioon

f : A → B.

Definitsioon 17. Ütleme, et hulga A võimsus on väiksem hulga B võimsusest, kui A võimsus

ei ületa B võimsust, aga A ja B ei ole ekvivalentsed.

Teoreem 1. Hulga P(A) võimsus on suurem kui hulga A võimsus. Tõestus: Kui leiduks

bijektsioon f : A → P(A), siis defineerime hulga B = { x : x ∉ f (x) }. Olgu b selline element,

et f (b) = B. Kui eeldada, et b ∈ B, siis b ∉ f (b) ehk b ∉ B. Kui eeldada, et b ∉ B, siis b ∈ f

(b) ehk b ∈ B.