Diskrētā laika dinamiskas sistēmas

Diskrētā laika dinamiskas sistēmas

MRn: xk+1=f(xk) ^

Definīcija Punktu x0, kuram x0=f(x0), sauc par sistēmas ^

stacionāru punktu. Trajektoriju x0, x1, ..., xN-1, kurai eksistē tāds

N, ka xN=x0, bet k<N xkx0, sauc par periodisku trajektoriju

jeb orbītu ar periodu N.

Piezīme. Punkts x pieder periodiskai orbītai ar periodu N, ja x ir attēlojuma stacionārs punkts.

N

N ))f...(f(f:f

Definīcija. Stacionāro punktu x0 sauc par stabilu, ja >0 >0: d(x0;x

0)< d(xk;x0)< kN.

Definīcija. Ja x0 ir stabils stacionārais punkts un bez tam

x0 sauc par asimptotiski stabilu stacionāro punktu.

Definīcija Periodisku orbītu ar periodu N sauc par stabilu (asimptotiski stabilu), ja katrs tās punkts ir attēlojuma f N stabils (asimptotiski stabils) stacionārs punkts.

,,0),( 0 kxxd k

f’(x0)>1

x0

0<f’(x0)<1x0

-1<f’(x0)<0 f’(x0)<-1

Stacionārā punkta stabilitāte atkarībā no atvasinājuma vērtības, n=1

x0

x1

x0

x1

a) b)

Periodiskā atrisinājuma stabilitātei

Zīmējumā a) redzams, kā iterāciju virknes punkti attālinās no nestabilā stacionārā punkta un tuvojas stabilajai divu punktu x0,x1 veidotajai orbītai. Zīmējumā b) ir attēlojuma f(f) grafiks,

x0 un x1 ir otrās iterācijas stabili stacionārie punkti, redzama

iterāciju virknes konverģence uz punktu x1

Teorēma Pieņemsim, ka x0 ir ^ stacionārs punkts, bet 1,.., n

ir Jakobi matricas n

j,ij

i )x(x

f

1

0

īpašvērtības. Ja:

1) j <1, punkts x0 ir asimptotiski stabils;

2) k: k >1, x0 ir nestabils.

Teorēma. Sistēmas ^ slēgtā trajektorija x0, x1, x2, ..., xN-1 ir

asimptotiski stabila, ja kādā tās punktā Jakobi matricas visas īpašvērtības j ir pēc moduļa mazākas par 1. Ja turpretī k: k >1

kaut vienā slēgtās trajektorijas punktā, tad šī trajektorija ir nestabila.

)())(...(

,...,1 ,...

)(: 1

)()()()()( 1

)(...)()).((

)())].(([)()()()(

)()(

11211

11

1

1

0

1

11

111

kk

kNN

kk

kNN

ii

NN

iiNm

N

N

iimNm

NmN

mN

mN

mN

mN

mN

uAuAAAAA

nkuuAAA

xfAn

xfxfxfn

xfxfxf

xfxffxffxf

xfA

Piemērs Tirgus modelis.

1) Situācija, kas raksturīga, piemēram, lauksaimniecības preču pārdošanai: ražotājam produkcijas apjoms (sēja) jānosaka veselu laika periodu pirms reālās pārdošanas. Tādā gadījumā produkcijas apjomu nosaka pēc cenas iepriekšējā sezonā. Apzīmēsim ar Qsk piedāvājumu, Qdk pieprasījumu un Pk cenu

k-tajā sezonā. Pieprasījums ir atkarīgs no cenas esošajā brīdī, tāpēc dabūjam:

Qdk=-Pk

Qsk=-+Pk-1

Pieņemot, ka pieprasījums un piedāvājums ir līdzsvarā, iegūstam:

-Pk=-+Pk-1

kk PP 1jeb

Šo lineāro vienādojumu var atrisināt

k

k ))(P(P 0

PCenas līdzsvara stāvoklis

Tā kā vienīgā īpašvērtība ir negatīva , cena visu laiku

svārstās ap līdzsvara stāvokli.

Ja , līdzsvara stāvoklis ir stabils, cena oscilējot tiecas

uz .

, līdzsvars ir nestabīls, cena oscilējot attālinās no .

cena vienmērīgi svārstās ap līdzsvara stāvokli,

veidojas cikli

1

PP1

,1

).P;P(

200

a)           Tirgus modelis ar inventarizāciju.

Pieņemsim, ka preces cenu nosaka pārdevējs katrā laika periodā, nevis, pieprasot vienkārši tirgus attīrīšanu, kā iepriekšējā modelī, bet, skatoties pēc izveidojušās situācijas, – ja ir preču pārpalikums, cena jānosaka zemāka, un otrādi, iztrūkuma gadījumā cenu var paaugstināt. Vienkāršotā situācijā uzskatīsim, ka cenu izmaiņas ir apgriezti proporcionālas izmaiņām uzkrājumā

Pk+1=Pk-(Qsk-Qdk)

1 (1 ( )) ( )k kP P

Tas pats līdzsvara stāvoklis, stabilitāti un cenas izturēšanās tipu raksturo īpšvērtība )( 1

0<<1

1

0 monotoni tiecas uz līdzsvara stāvokli

=0

1

līdzsvarā

-1<<0

21 tiecas uz līdzsvara stāvokli

oscilējot

=-1

2vienmērīgi oscilē, cikli

<-1

2 oscilējot attālinās no līdzsvara, nestabilitāte

a)           Tirgus modelis ar cenu “griestiem”.

Pieņemsim, ka cenai ir noteikti “griesti” – augstākā P* un zemākā P* vērtības, kuras cena nedrīkst pārsniegt.

1 griesti cenas izturēšanos reāli neietekmē, ja tikai P*<P0<P*.

1

cena attālinās no P0, taču pēc nedaudz soļiem tā sasniedz

maksimālo un minimālo vērtības, un tālākās cenas izmaiņas norit cikliski

Z īm ē ju m s 4 .40.5 1 1.5 2 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

P *

P *

Fibonači skaitļi (trušu populācijas vairošanās, x- jaunie, y – vecie īpatņu pāri)

1

1

k k

k k k

x y

y x y

Vai2 1k k kx x x

Sistēmas matrica0 1

1 1B

Piemērs

īpašvērtības1,2 1

1 5, 1

2

Stacionārais punkts (0;0) nestabils, populācija neierobežoti aug.

Bernulli pārbīde

1[0,1] : ( )k kM x f x

12 , 0

2( ) 2 (mod1), 1 ( )1

2 1, 12

x xf x x x f x

x x

Īpašības:

1. Ir divi stacionārie punkti 0 01 20 un 1;x x

2. ( ) 2 (mod1), 1, (1)=1 ir 2 stacionāri punktiN N N N Nf x x x f f

Šie stacionārie punkti veido attēlojuma periodiskas orbītas ar periodu N vai mazāku.

3. Tā kā neviens stacionārais punkts un neviena periodiskā orbīta nav stabili.

( ) 2,f x

Ja binārā pierakstā 0 1 2 31

0, ... 2 , {0,1},n

ii ix a a a a a

attēlojums f iedarbojas, svītrojot pirmo ciparu un pārējos pārbīdot par vienu pozīciju pa kreisi

0 2 3 4( ) 0, ...f x a a a

Secinājumi.

Ja skaitļa x binārais attēlojums ir stingri periodisks ar mazāko

periodu N, šis skaitlis pieder orbītai ar periodu N.

Starta punktus, kuru binārie attēlojumi ir periodiski, sākot no kādas vietas, pievelk nestabilās periodiskās orbītas. Šādi ir visi racionālie skaitļi.

Piemērs

1 2

1 2 3

4 5

1 2) 0,0101... , 0,1010... ;

3 311 27 5

) 0,01110101... , 0,1110101... , 0,110101 ,24 32 6

2 10,1010... , 0,0101... ,...

3 3

a x x

b x x x

x x

Iracionāli starta punkti?

Var pierādīt : gandrīz katra iracionālā skaitļa binārais attēlojums bezgalīgi daudzas reizes satur katru galīgu skaitļu 0 un 1 virkni.

Tātad: katru duālo intervālu

[( 1)2 , 2 ], 1,2,...,2 , 1,2,...m m mj j j m

iracionālā skaitļa iterācijas 0x 0( )kf x

sasniedz bezgalīgi daudzas reizes.

Līdz ar to katra tipiska trajektorija haotiski klejo pa visu intervālu [0,1].

Attēlojuma f topoloģiskā iedarbība: intervāls tiek izstiepts, pārgriezts, saliktas daļas kopā, stiepts atkal utt.

Ja diviem starta punktiem sākotnēji sakrīt m pirmie cipari, pēc m iterācijām tiem nav vairs nekā kopīga.

Diskrētā laika vienādojumu bifurkācijas.

1 ),x(fx kk R

Diskrētā laika vienādojumu stacionārie punkti var zaudēt stabilitāti, ja linearizētā vienādojuma matricai ir īpašvērtības, kurām .1

Gadījumi, kad īpašvērtības ir reālas =1 vai =-1.

Bifurkāciju pamattipi

=1

10. pieskares tipa bifurkācija, ja f(x,)=+x-x2;

20. kamertoņa bifurkācija f(x,)=x+x-x3;

30. transkritiskā bifurkācija f(x,)=x+x-x2.

-1-0.5 0.51

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-1-0.5 0.51

-2

-1

1

-1-0.5 0.51

-3

-2

-1

1

-1-0.5 0.51-0.6-0.4-0.20.20.40.6

-1-0.5 0.51

-1

-0.5

0.5

1

-1-0.5 0.51

-1

-0.5

0.5

1

-1-0.5 0.51

-3

-2

-1

1

-1-0.5 0.51

-2

-1

1

-1-0.5 0.51

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

<0 =0 >0

f(x,)=+x-x2

f(x,)=x+x-x3

f(x,)=x+x-x2

Ja =-1, funkcijas f normālforma bifurkācijas vērtības =0 apkārtnē ir

f(x,)=-(+1)x+x2,

jauni stacionāri punkti bifurkācijas rezultātā vienādojumā neveidojas, esošais stacionārais punkts, parametram ejot caur =0, zaudē stabilitāti, taču bifurkācija notiek otrajā iterācijā – otrai iterācijai veidojas divi stabili stacionāri punkti, tātad vienādojumam veidojas stabila divu punktu orbīta.

Zīmējumā redzama funkciju f un f(f) grafiku krustošanās ar

bisektrisi attiecīgi <0, =0, >0, tātad jaunu stacionāro punktu veidošanās otrajai iterācijai.

-0.3-0.2-0.1 0.10.2

-0.06-0.04-0.020.020.04

-0.4-0.2 0.20.4-0.4-0.2

0.20.4

-0.5-0.250.250.50.751-0.5-0.250.250.50.75

1

-0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

-0.4-0.2 0.20.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

-0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

<0 =0 >0

f f(f)

ƒ: x → x2 + c.

±1 ±0.75 ±0.5 ±0.25 ±0.1 0

+1.25 +0.812 +0.5 +0.3125 +0.26 +0.25

+1.812 +0.910 +0.5 +0.3476562 +0.3176 +0.3125

+3.535 +1.078 +0.5 +0.3708648 +0.3508697 +0.3476562

+12.747 +1.412 +0.5 +0.3875407 +0.3731096 +0.9708648

+162.744 +2.246 +0.5 +0.4001878 +0.3892107 +0.3875407

+26485.994 +5.296 +0.5 +0.4101503 +0.4014850 +0.4001878

+701507907 +28.297 +0.5 +0.4182232 +0.4111902 +0.4101503

+4.921e+17 +800.985 +0.5 +0.4249107 +0.4190774 +0.4182232

+2.421e+35 +64158.262 +0.5 +0.4305491 +0.4256258 +0.4291070

+5.864e+70 +4.116e+11 +0.5 +0.4353725 +0.4311573 +0.4305491

c > ¼ c = ¼ −¾ < c < ¼

Bifurkācija

c=-0.75, 1000 iterācijas

c=-13/16, 2 punktu orbita

C=-1.3, 4 punktu periods

c=-1.4015 periods 32

c=-1.8

Bifurkāciju diagramma

Bifurkāciju diagramma f(x)=csinx

Telts attēlojums

Paraboliskais attēlojums

xk+1=xk(1-xk)

f(x):=x(1-x)

[0;4], f:[0;1][0;1]

ir stacionārs punkts x01=0

x01 ir stabils [0;1[, jo f’(0)=, bet nestabils ]1;4].

=1 notiek bifurkācija

>1, vienādojumam ir arī stacionārs punkts x02=1--1.

f’(x02)=2-, ]1;3] x0

2 ir stabils

]3;4] arī x02 ir nestabils

=3 nākošā bifurkācija

>3, kad abi stacionārie punkti ir nestabili, vienādojumam ir stabila orbīta ar periodu 2, ko atrodam no attēlojuma f2 stacionārajiem punktiem.

f 2(x)= f(f(x))= 2(1-x)(1-x(1-x)) un vienādojumam f 2(x)=x

bez x=0 un x02 ir saknes

2

321 20

43

,x

Lai pārbaudītu punktu x03, x

04 veidotās orbītas stabilitāti:

(f 2(x03) =(f(f(x0

3)) =f’(f(x03)) f(x

03)=

=f ’(x03) f’(x

04)= (f 2(x0

4) =2(1-2x03)(1-2x0

4)=4-2+2

3.3

(f 2(x03) <1 , ja );( 613

61 divu punktu orbīta zaudē stabilitāti, bet tās vietā veidojas stabila orbīta ar periodu 4

Periodu dubultošanās process ir bezgalīgs līdz parametra vērtībai =3.5699..., pie kuras stabīlā orbīta ir ar bezgalīgu periodu. ir

haotiskās kustības apgabals.

Feigenbaums 1978. gadā pierādīja, ka parametra vērtību m

virkne, pie kurām notiek perioda dubultošanās, apmierina vienkāršu likumu

....limmm

mm

m66924

1

1

sauc par Feigenbauma konstanti. Šī pati periodu dubultošanās aina ir raksturīga arī daudziem citiem attēlojumiem. Konkrēti Feigenbaums pamatoja, ka visiem 3 reizes nepārtraukti diferencējamiem intervāla [0;1] attēlojumiem f sevī, kuriem šai intervālā ir viens maksimums un kuru Švarca atvasinājums

2

f

f

f

f:Sf

intervālā [0;1] saglabā negatīvas vērtības, notiek vienādojuma atrisinājuma periodu dubultošanās pēc šī likuma.

“Logs”

Eilera metode!

)bxa(xdt

dx

xn+1=xn+hxn(a-bxn)=xn(1+ha-hbxn)

,xhb

hay nn

1

Definējam:

)y(y)ha(y nnn 111

ah

20 Eilera metodes definētā virkne konverģē uz

stabilo stacionāro atrisinājumu

b

ax

ah

2

skaitliskā metode ir nestabila, h palielinoties, ar Eilera metodi iegūtajām vērtībām vairs nav nekā kopīga ar meklējamo atrisinājumu.

Aplūko sistēmu ik pēc diviem periodiem, pieņemot, ka īpatņu kopskaits ir fiksēts, neierobežots pieaugums nav iespējams. Matrica

2 1 1

1 2A B

Sistēma

1

1

(mod1)

2 (mod1)k k k

k k k

x x y

y x y

Īpašvērtības1,2 1,2

3 5 1 5, īpašvektori 1;

2 2u

Vektora u1 virzienā vienības kvadrāts tiek stiepts, u2 virzienā saspiests.

Arnolda attēlojums

Sistēmai ir bezgalīgi daudz nestabilu slēgtu trajektoriju. Tā kā

2 2 2 12 3

2 1 2

2 1

2 3 5 8, ,..., , 2,3,...

3 5 8 13

Fibonači skaitļu virkne,

k kk

k k

j j j

a aA A A k

a a

a a a

punkts (x,y) pieder slēgtai orbītai ar periodu N, ja

2 2 2 1

2 1 2

(mod1)

(mod1)N N

N N

a x a y x

a x a y y

Pieņemam, ka sākuma punkts

Jāmeklē tādi veseli skaitļi n,m (ja eksistē), kuriem

0( , ) ( ,0)x y x

2 2 0 2 1 0 0( 1) , , ja [0;1[N Na x n a x m x

Mēģinājumu un indukcijas rezultātā var iegūt:

4 2 1 2 2 2 2

4 1 2 2 2 2 2

4 2 2 1 2 2 2 2

4 3 2 1 2 4 2 2 2 2 2

2 0

1 ( )

( ), 1,2,...,

1 ( )

( )

kur : 0, : 0

l l l l

l l l l

l l l l

l l l l l l

a a a a

a a a a l

a a a a

a a a a a a

a a

Līdz ar to meklējamais periodiskais atrisinājums l=1,2,...

0 2 1 22 2 2 2

0 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 22 1

12 1: , ,

12 2 : , ,

l ll l

l l l l l ll

N l x n a m aa a

N l x n a a m a a a aa

Līdz ar to katram N=3,4,5,... (un arī N=2) eksistē periodiska

orbīta ar periodu N. Orbītu ar sākuma punktu 0( ;0)x

veido punkti

1 0 1 0 2 2 0 2 1 0, ,..., (mod1), (mod1)k k k kx x y x x a x y a x

Var pierādīt, ka punkts (x,y) pieder periodiskai orbītai, ja x un y ir racionāli skaitļi ar vienādiem saucējiem

(4 / 7;3/ 7) (4 / 7;3/ 5)

Piemērs. Ekonomiskā haosa veidošanās.

kt - produktivitātes koeficients laikā t (kapitāla attiecība pret

ieguldīto darbu)

Pieņēmums - produkcijas funkcija ir homogēnā Cobb-Douglas formā B,>0.

h - patēriņa funkcija

- iedzīvotāju skaita augšanas ātrums

Kapitāla uzkrāšanas dinamiku var raksturot sakarība

Bk)k(f

11

)k(h)k(fk tt

t

Ja uzskata, ka patēriņš ir proporcionāls kopīgajai produkcijai, bet sabiedrībai tomēr ir konstanta taupības tieksme s, var pieņemt

)k(f)s()k(h 1

11

t

t

sBkk

Tātad:

Ja ekonomika attīstās pēc šāda modeļa, produktivitātes koeficients kt konverģē uz konstantu vērtību

1

1* *

1

sBk

Ja produkcijas pieauguma funkcijai f ir uzlikts ierobežojums

)km(Bk)k(f , >0

mk produkcijas apjoms strauji krītas, tātad pārmērīga kapitāla koncentrācija nelabvēlīgi ietekmē ražošanu.

Ievērojot *, var pieņemt

1 ( ) **t t tk Ak m k

1

sBA

Mazām A un k0 vērtībām pieaugums ir monotons, kt tiecas uz

stabilu līdzsvara stāvokli.

A vērtībām, kuras apmierina nosacījumus

mAm

vienādojumā notiek perioda dubultošanās bifurkācijas. A>A*, kur A* ir tā A vērtība, kurai nevienādības labajā pusē izpildās vienādības zīme, ir intervāli, kuros vienādojums ** apraksta haotisku attīstību.

Piemērs Ar x apzīmēsim kādas sugas īpatņu (saimnieku) skaitu, ar y šīs sugas kaitēkļu vai parazītu skaitu. Ja y parazīti var izdēt F oliņas, vidēji uz katra no x saimniekiem atradīsies oliņas. x

Fy

Ja pieņemam, ka parazīti dēj oliņas pilnīgi patvaļīgi - gadījuma veidā, tad varbūtība P(0) tam, ka saimnieks nav inficēts ar oliņām, ir )

x

Fyexp()(P

0

Abu sugu skaitliskos lielumus laika momentā k+1 apraksta sakarības

)x

Fyexp(bxx

k

kkk

1

))x

Fyexp((xy

k

kkk

11

b ir katra izdzīvojušā saimnieka vidējais pēcnācēju skaits un tiek uzskatīts, ka uz katra saimnieka attīstās tikai viena parazīta oliņa.

a:x

F

k

“parazīta spēja meklēt saimnieku”

xk+1=bxkexp(-ayk)

yk+1=xk (1- exp(-ayk))

Stacionārais punkts (0,0) ir asimptotiski stabils, ja b<1 (ja saimnieka sugas vairošanās ātrums ir tik mazs, abas sugas iznīkst), bet b>1 šis punkts kļūst nestabils.

Otrs stacionārais punkts eksistē b>1:

blna

y

blnb

b

ax

11

1

0

0

nestabils, abu populāciju vērtības attālinās no šī punkta, pie kam xk, yk0, ja

k.

> (x,y)->(1.2*x*exp(-0.015*y),x*(1-exp(-0.015*y)))

Piemērs. Divu paaudžu populāciju vairošanās uzdevums. Vispārinājums.

Vispārinot sistēmu (sl.1), ar s apzīmējot jauno īpatņu dzimstības ātruma koeficientu, ar b1 un b2 attiecīgi paaudžu vairošanās

ātruma koeficientus, dabū:

xk+1=b1xk+b2yk

yk+1=sxk.

Koeficienti b1 un b2 var nebūt konstanti, tie ir atkarīgi no sugas

īpatņu kopskaita attiecīgajā sezonā N=xk+yk.

Pieņemsim

b1(N)=b2(N)=bexp(-N),

kur un b ir pozitīvas konstantes.

Ja s=1

xk+1=b(xk+yk)exp(-(xk+yk))

yk+1=xk.

Sistēmai vienmēr ir stacionārs punkts (0;0).

b<0,5, stacionārais punkts ir asimptotiski stabils - vairošanās ātrums pārāk mazs, suga izmirst.

b>0,5 punkts (0;0) kļūst nestabils, bet parādās cits līdzsvara

stāvoklis – stacionārais punkts A ar koordinātēm

blna

yx 22

100

2

3eb punkts A kļūst nestabils.

b8,95 sistēmai parādās arī stabils 3 punktu cikls

3 punktu orbīta saglabā stabilitāti līdz b14,5.

b>14,5 parādās 6 punktu stabila orbīta.

b pieaugot līdz 17, periodi bezgalīgi daudzas reizes dubultojas, tad virkne kļūst haotiska,

b24 parādās stabils 4 punktu cikls, kuram, b pieaugot apmēram līdz 26,45, seko cikli ar periodiem 4.2k, tad virkne atkal ir haotiska utt.

10 15

19

Populāciju dinamikas uzdevums: jaunie x, vecie y

(x,y)->(23.8*(x+y)*exp(-(x+y)),x)