Dispensa ARC

8/14/2019 Dispensa ARC

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Sintesi del corso di Analisi Reale e Complessa

Foletto [email protected]

Universita degli studi di PadovaDip. di Elettronica ed Informatica

Padova, 29 gennaio 2010

Indice

1 Successioni e serie di funzioni 2

2 Analisi funzionale 6

3 Integrale di Lebesgue 10

4 Serie di Fourier 16

5 Funzioni a variabile complessa 21

6 Trasformata di Fourier 32

7 Distribuzioni 36

8 Appendice: formulario base 42

1


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1 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

1 Successioni e serie di funzioni

Def 1.1 (Convergenza). Una successione an si dice convergente se limnan = l, cioe se > 0 N > 0 tale che n > N vale|an l| < .Def 1.2 (Ridotta n-esima). Data una successione an, dove S =

n=0 an e la sua somma, si definisce la ridotta n-esima Sn la somma

Sn =

nk=0 ak = a0 + a1 + ... + an. Se esiste il limite limnSn = S =

nk=0 ak allora esiste la somma della serie.

Def 1.3 (Convergenza puntuale). Sia D un insieme non vuoto, fn : D C con n N e f : D C funzioni; si dice che lasuccessione di funzioni fn converge puntualmente alla funzione f in D se per ogni x D la successione numerica fn(x) ha per limitef(x).

limnfn(x) = f(x)

Si dice anche che la serie di funzioni

n fn converge puntualmente ad f se la successione delle ridotten

k=0 fk converge puntualmentead f. Si scrive anche che la serie di funzioni Sn =

n fn converge puntualmente ad S se la successione numerica Sn converge

puntualmente ad S.

Def 1.4 (Convergenza assoluta). Data una successione di funzioni fn, questa sara assolutamente convergente sen

k=0 |fk| econvergente.

Def 1.5 (Criterio del rapporto). Data una successione a termini positivi an, allora sean+1an

converge definitivamente per n allora nk=0 ak converge.Def 1.6 (Monotona crescente-decrescente). Dato A R non vuoto e la funzione f : A R e monotona crescente (rispettivamentedecrescente) se per ogni a, b R con a < b si ottiene f(a) < f(b) (rispettivamente f(a) > f(b)).Def 1.7 (Monotonia crescente e convergenza puntuale). Sia fn una successione di funzioni crescenti tali che fn f convergepuntualmente allora f e monotona crescente.

Dimostrazione. Partendo dalla definizone di monotonia dove x, y I tale che x < y allora fn(x) fn(y) per n alloraf(x) < f(y), cioe la diseguaglianza si conserva.

Def 1.8 (Monotonia decrescente e convergenza puntuale). Sia fn una successione di funzioni decrescenti tali che fn f convergepuntualmente allora f e monotona decrescente.

Def 1.9 (Convergenza uniforme). Sia D un insieme non vuoto, fn : D C con n N e f : D C funzioni; si dice che lasuccessione di funzioni fn converge uniformemente alla funzione f in D se per ogni x D se

limnsupxD|fn(x) f(x)| = 0Si dice anche che la serie di funzioni

n fn converge uniformemente ad S se la successione delle ridotte Sn =

nk=0 fk converge

uniformemente ad S, cioe

limnsupxD|n

k=0

fk(x) f(x)| = 0

Def 1.10 (Estremo superiore-inferiore). Ssi dice estremo superiore di una funzione f : D R se: D R superiormente limitato, cioe S > a a D

S=sup(A), minimo dei maggioranti, cioe

> 0

a

D tale che a > S

Def 1.11 (Convergenza uniformepuntuale). La convergenza uniforme implica la puntuale.Dimostrazione. Partendo dalle definizoni:

conv. puntuale > 0, x D n,x > 0 tale che n > n,x |fn(x) f(x)| < conv. uniforme > 0, x D n > 0 tale che n > n |fn(x) f(x)| <

si nota che la convergenza uniforme e un caso generalizzato della convergenza puntuale, infatti data la convergenzapuntuale e ponendo una x arbitraria si ottiene la convergenza puntuale.

Def 1.12 (Criterio per la convergenza uniforme). Sia fn una successione di funzioni che converge puntualmente a f in D. Se esisteuna successione an R con an 0, infinitesimo (cioe che tende a zero) tale che |fn(x) f(x)| an an D allora fn convergeuniformemente a f in D.

Se vale per C i teoremi qui di seguito varrano per R e sottoinsiemi.

Foletto Federico 2 ANALISI REALE E COMPLESSA


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Dimostrazione. Tale criterio maggiora fn con an e studia la convergenza di questultima (se an convergera convergera anchefn, in caso contrario nulla si puo dire).

Partendo dalla definizione |fn(x) f(x)| an an D specifico che 0 supxD|fn(x) f(x)| an, e poiche an e perdefinizione infinitesima per il th. dei due carabinieri 0 supxD|fn(x)f(x)| 0 si ha che limnsupxD|fn(x)f(x)| =0.

Def 1.13 (Criterio di Weierstrass). Siano fn : D Cfunzioni e siano cn numeri reali positivi, se per ogni n N vale

|fn(x)| cnx I

e la serie n cn converge, allora la serie n fn converge uniformemente in D.Dimostrazione. Per il criterio del confronto, la serie

n fn(x) converge assolutamente e quindi converge, per ogni x D;

chiamiamo S la sua somma puntuale e poniamo C =

cn. Dobbiamo mostrare che la successione delle ridotte convergeuniformemente a S. Si ha percio:

supxD

n

k=0

fk(x) f(x) = supxD

k=n+1

fk(x)

k=n+1

|fk(x)|

k=n+1

ck = Cn

k=0

ck

dove lultima espressione tende ovviamente a 0 per n perche ck non dipende da x.Def 1.14 (Convergenza totale). Sia D un insieme non vuoto, fn : D R con n N; se esiste una successione cn R e cn 0dove vale supx

D

|fn(x)

| cn con la serie n cn convergente (somma finita) allora n fn converge totalmente.

Def 1.15 (Convergenza totaleuniforme). Data una successione fn : D R che converge totalmente allora converge uniforme-mente.

Dimostrazione. Il criterio dice che se vale supxD|fn(x)| cn (dove

n fn converge totalmente) allora

n supxD|fn(x)|converge. Poiche |fn(x)| supxD|fn(x)| cn con la serie

n cn convergente, allora se cn converge convergera anche

|fn(x)|.

Def 1.16 (Conservazione continuita). Siano D un sottoinsieme non vuoto di R, fn : D C, n N, e f : D C funzioni. Setutte le fn sono continue in x0 D e fn f in D, allora anche f e continua in x0.Se fn e continua e converge uniformemente a f, allora f e continua in D.

Dimostrazione. Sapendo che dobbiamo dimostrare che fn f uniformemente in D cioe > 0 n > 0 tale che n > nallora |fn(x) f(x)| < dove f e continua in x0, partendo dalla definizione di continuita > 0 > 0 tale che |x x0| < x D allora |f(x) f(x0)| < . Applicando una maggiorazione partendo da lipotesi che x0 D:

|f(x) f(x0)| = |f(x) f(x0) fn(x) + fn(x) fn(x0) + fn(x0)| |f(x) fn(x)| + |fn(x) fn(x0)| + |fn(x0) f(x0)|



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dove ogni membro vine posto|f(x) fn(x)| 3|fn(x) fn(x0)| 3|fn(x0) f(x0)| 3

il primo mebro e continuo per convergenza uniforme nellipotesi,il secondo membro e continuo per continuita di fn nel-lipotesi, il terzo per per convergenza uniforme nellipotesi. Ragion per cui per ogni membro esiste un

3che soddisfa le

ipotesi, di conseguenza esiste anche un che soddisfa la tesi iniziale.

Cor 1.1 (Funzioni non continue). Sia fn una successione di funzioni definite nellintervallo [a, b] tale che fn converge puntualmentea f ma f non e continua allora fn non converge uniformemente a f in D.

Def 1.17 (Passaggio al limite sotto il segno di integrale). Sia fn una successione di funzioni definite nellintervallo [a, b] tale chefn converge uniformemente a f. Se ogni fn e integrabile secondo Riemann in [a, b], anche f e Riemann integrabile in [a, b] e si hab

a

f(x)dx = limn

ba

fn(x)dx

Dimostrazione. Si vuole dimostrare che limnba fn(x)dx ba f(x)dx = 0 e per farlo usiamo maggiorazioni

b

afn(x)dx b

af(x)dx =

b

afn(x) f(x)dx

b

a|fn(x) f(x)| dx

ba

supxD |fn(x) f(x)| dx = (b a)supxD |fn(x) f(x)|

e dato dobbiamo portare al limite limn(b a)supxD |fn(x) f(x)| per lipotesi di convergenza uniforme si osserva chesupxD |fn(x) f(x)| = 0 percio la tesi e dimostrata .Def 1.18 (Integrali per serie). Sia fn una successione di funzioni definite nellintervallo [a, b] continue tale che esiste s : [a, b] Rper cui la serie

n=1 fn(x) converge ad s uniformemente in [a, b] allora vale anche la relazione:

n=1b

a

fn(x)dx = b

a

n=1 fn(x)dxDef 1.19 (Passaggio al limite sotto il segno di derivata) . Sia fn una successione di funzioni derivabili definite nellintervallo [a, b].Se esistono una funzione g : [a, b] R, xo [a, b] e R tali che

dfndx

g e limn+fn(x0) =

allora la successione fn converge uniformemente ad una funzione f : [a, b] R derivabile e

limn+dfndx

=d

dx[limn+fn] =

df

dx= g

Percio f e quella primitiva f : [a, b] R di g tale che f(x0) = .Se in particolare le funzioni fn sono di classe C

1

, allora g e continua e quindi

f(x) = +

xx0

g(t)dt

Dimostrazione. Per il teorema fondamentale del calcolo si puo scrivere per ogni x [a, b]:

fn(x) = fn(x0) +

xx0

f(t)dt

e per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si ha che

limn+fn(x) = limn+ fn(x) + x

x0

f(t)dt = + x

x0

f(t)dt = f(x)

Questo e vero a patto che lintervallo sia finito altrimenti sarebbe un integrale indefinito.



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dove si e supposto che limn+fn(x0) = e f(x) = g(x), per la conservazione della continuita la g(x) sara continua edf(x) derivabile. Ora si continua con il dimostrare la convergenza uniforme di fn(x) tramite maggiorazione e luso delladiseguaglianza tringolare:

|fn(x) f(x)| =fn(x0) +

xx0

dfn(t)

dtdt

xx0

g(t)dt

|fn(x0) | +

xx0

dfn(t)

dtdt

xx0

g(t)dt

|fn(x0) | + xx0

dfn(t)dt

g(t)dt |fn(x0) | + b

a

supxDdfn(t)dt g(t)dt

|fn(x0) | + |b a|supxDdfn(t)dt g(t)dt

si osserva che lultimo termine e ancora infinitesimo per n + percio si ha convergenza uniforme:

limn+ |fn(x0) | + |b a|supxDdfn(t)dt g(t)dt

= 0 + 0 = 0Def 1.20 (Diseguaglianza triangolare). Siano x, y

R allora

|x + y

| |x

|+

|y

|.

Def 1.21 (Continuita). Data una funzione f : x R, f si dice continua se per ogni x0 X esiste limxx0f(x) = l dove l Rfinito.

Def 1.22 (Integrabilita secondo Riemann). Data una funzione f : [a, b] R limitata, f si dice integrabile secondo Riemann se ilsup {s(D, f) : D e suddivisione di [a,b] } = inf{s(D, f) : D e suddivisione di [a,b] } ed in tal caso questo volume e detto integrale dif in [a,b].



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2 ANALISI FUNZIONALE

2 Analisi funzionale

Def 2.1 (Spazio metrico e distanza). Sia X un insieme non nullo, allora X si dice spazio metrico se esiste una funzone d : X Xtale che:

d(x, y) 0 per ogni x, y X

d(x, y) = 0 se e solo se x = y

d(x, y) = d(y, x) per ogni x, y X d(x, y) d(x, y) + d(y, z)

dove d(., .) si definisce distanza metrica in X.

Def 2.2 (Palla). Sia r > 0 e sia X uno spazio di funzioni, definiamo come palla su x X linsieme B(x, y) = {y X : d(x, y) < r}.Def 2.3 (Insiemi aperti). Sia (X, d) uno spazio metrico, e C X, allora C e aperto se per ogni x C esiste r > 0 tale cheB(x, r) X.Def 2.4 (Insiemi chiusi). Sia (X, d) uno spazio metrico, e C X, allora C e chiuso se il suo complementare su X e aperto.Def 2.5 (Chiusura di sottoinsiemi attraverso successioni). Sia (X, d) uno spazio metrico, e C

X, allora C e chiuso se e solo se

contiene tutti i limiti per ogni successione xn C, cioe limn+xn = x C.Def 2.6 (Continuita in spazi metrici). Siano (X, d) e (Y, d) spazi metrici, con f : X Y , f e continua in x0 se per ogni > 0esiste > 0 tale che dx(x, x0) < allora dx(f(x), f(x0)) < .

Def 2.7 (Continuita attraverso successioni). Per ogni successione f : xn x0 e continua in x0 se e solo se f(xn) f(x0).Def 2.8 (Norma). Sia V uno spazio vettoriale su Rn si chiama norma su V una funzione x x , V Rn tale che:

x 0 e x = 0 x = 0 per ogni a R e x V, ax = |a| x

x, y

V allora

x + y

x

+

y

Def 2.9 (Linearita, biunivocita e isomorfismo). Una funzione f : V W si dice lineare se f(ax1 + bx2) = af(x1) + bf(x2), setale funzione poi e biunivoca essa si definisce isomorfismo.

Def 2.10 (Limite mediante successioni). La successione xn converge a x V se una qualsiasi palla centrata in x contiene de-finitivamente i termini della stessa successione, cioe tutti i termini a partire da un certo indice; percio limn+ xn x = 0 elimn+xn = x in (V, .). Formalmente si scrive che xn . x0 se per ogni > 0 esiste N > 0 tale che per ogni k > N alloraxn x0 < dove xn B(x0).Def 2.11 (Norma infinito). Sia f continua su R allora f = maxx[a,b]|f(x)|.Def 2.12 (Norma infinito e conv. uniforme). Date fn, f funzioni continue in uno spazio metrico allora fn converge uniformementea f funzione continua con . se

d(fn, f) = fn f 0Se limn+ fn=0 allora convergera uniformemente.Def 2.13 (Relazioni tra norme). Data la successione continua fn allora

fn

0

fn

1

0.



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Dimostrazione. Si dimostra facilmente con una maggiorazione:

fn1 =ba

|fn(t)|dt ba

sup[a,b]|fn(t)|dt =ba

fn = (b a) fn

e questo tende a 0 per ipotesi.

Def 2.14 (Funzioni continue tra spazi normati). Siano (V,

.

) e (W,

.

) spazi normati e sia f : V

W. Sia x0

V e l

W ,

si dice che limxx0f(t) = l se per ogni > 0 esiste > 0 tale che x x0V < allora f(x) f(x0)W < (definizione di limiteusando le norme).

In piu vale anche limxx0f(x) = l se e solo se per ogni successione xn V tale che xn x0 ma xn = x0 .Dimostrazione. Se partiamo con il dimostrare il limite, cioe che |f(x) l)| , partendo dal fatto che xn x0 ma xn = x0.Scrivendo la definizione di limite con xn x0, cioe limxx0f(x) = l per ogni > 0 esiste > 0 tale che x x0V < allora f(x) f(x0) < .

Viceversa partendo dal limite, si usa una dimostrazione per assurdo, cioe che se e vero limxx0f(x) = l, e scriviamo ladefinizione di limite, cioe per ogni > 0 esiste > 0 tale che x x0 < allora f(x) f(x0) . Se pongo la quantita = 1

n, si avra quindi che per ogni > 0 esiste > 0 tale che x x0 < 1n allora f(x) f(x0) questo pero e assurdo

perche xn x0 vale ma limxx0f(x) = l e in contraddizione con le ipotesi.

Th 2.1 (Th. unicita del limite). Data una successione xn V tale che xn.

l1 ed xn.

l2 allora l1 = l2.Def 2.15 (Assioma di completezza). Se A R superiormente limitato allora esiste a = sup {A} R.Def 2.16 (Successioni di Cauchy). Sia (X, .) uno spazio normato, una successione xn X e di Cauchy se vale che per ogni > 0esiste N tale che n,m > N tale che xn xm < .Def 2.17 (Convergenza e successioni di Cauchy). Ogni successione convergente e di Cauchy.

Dimostrazione. Devo dimostrare che per ogni > 0 esiste N tale che n, m > N tale che xn xm < ; usando la disegua-glianza triangolare e per la definizione di convergenza entrambi i membri convergono : xn xm = xn xm + x x xn x + xm x < .Def 2.18 (Completezza). Uno spazio normato (X, .) si dice completo se e solo se ogni successione xn X di Cauchy e convergentead un elemento di X.

Def 2.19 (Spazi di Banach). Uno spazio normato (X, .) si dice di Banach se tale spazio normato e completo.Def 2.20 (Spazio con e di Banach). Si dimostra che lo spazio C0[a, b] e completo con la norma infinito: lo spazio e completose una successione fn di Cauchy che converge a f continua,cioe se limn+ fn f = 0, in altra forma scelto un > 0 si hamaxx[a,b]|fn f| < per tutti gli n > n. Ipotizando che con > 0 esiste n > 0 tale che m,n > n allora maxx[a,b]|fnfm| < ,e siccome R e completo, allora |fn f| < fn fm < con x [a, b] ed esistera il limite limn+fn(x) = f(x); passando allimite maxx[a,b]|fn fm| = 0 allora limm+|fn fm| = |fn f| = 0. Infine bisogna dimostrare che f e continua, e lo si dimostrasimilmente per il th della conservazione della continuita.

Def 2.21 (Spazio con 1 non e di Banach). Si dimostra che lo spazio C0[a, b] non e completo con la norma uno: Lobbiettivo equello di trovare una successione continua che non converge, per comodita scegliamo fn [1, 1] che tende a sgn(x), tale successionelimn

+

1

1

|fn(x)

sgn(x)

|dx = 1

n

0 convergera puntualmente (soddisfa Cauchy) senza pero conservare la continuita. Se

prendiamo una funzione g continua tale che fn g1 = 0 dimostreremo anche la continuita, ma cio non e possibile, infatti

f g1 fn f1 + fn g1 =1

n+ fn g1

si vede che non esiste alcuna n tale che fn g1 = 0 perche g e continua e f = sgn(x) che e discontinua, in x = 0 avranno sempreun valore non nullo.

Th 2.2 (Funzioni lineari tra spazi normati). Siano (V, .) e (W,.) spazi normati e sia T : V W funzione lineare allora eequivalente scrivere:

1. T e continua

2. T e continua in 0

V

3. esiste una costante c 0 se T xW c xV



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Dimostrazione. La 2 deriva banalmente dalla 1, mentre la 1 dalla 2 si dimostra usando la linearit a e continuita in zero. Seprendiamo un punto x0 = 0 e voglio dimostrare che e continua in x0 significa dimostrare che ogni successione xn x0 siha che T xn T x0; se pongo xn x0 , con x0 = xn si ha che T xn T x0 = T(xn x0) 0 per n che tende ad infinito. SeT(0) 0 = 0 significa che T in 0 e nulla per continuita, infatti ogni funzione lineare in zero e nulla per continuita.

La 2 deriva dalla 3 poiche se xn 0 e T xW c 0V = 0 significa che T xW 0 e questo e vero per ipotesi.La 3 deriva dalla 2 con una dimostrazione per assurdo, cioe supponendo che la 3 e falsa con la 2 vera, cioe n N ed

esiste xn X tale che T xW > c xV . Pongo percio che per ogni n > 0 esista yn V tale che T ynW > n ynVottenendo che TynnynV W > 1 che diventa per linearita della funzione TynnynV W = T ynnynV W > 1 percio se prendoun xn = T

yn

nynV

V soddisfo la relazione ma calcolando xnV = 1n si ha che tende a zero solo per n infinita e si cade

nellassurdo perche x deve tendere ed esistere in zero per ipotesi iniziali.

Def 2.22 (Prodotto scalare). Sia V uno spazio vettoriale su C, una funzione a : V V C si dice prodotto scalare se per ognix,y,z V e , C :

a x + y|z = a x|z + ay|z a x|z = a z|x

x

= 0 allora

x

|x

> 0

Dove si puo osservare che: a x + y|z = a z,x + y = a z|x + az|y.Il prodotto scalare e definito come f|g = b

af(x)g(x)dx

Def 2.23 (Prodotto scalare su spazi normati). Sia (X, .) uno spazio normato con prodotto scalare, allora x =x|x.

Th 2.3 (Corenza del prodotto scalare su spazi normati). Sia (X, .) uno spazio normato con prodotto scalare, allora x =x|x definisce la norma.

Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare le tre proprieta della norma:

x > 0 e x = 0 se e solo se x = 0

x = x|x = x|x = x|x = x|x = ||2x|x = || x si deve dimostrare che x + y x + y percio elevando al quadrato

x + y2 = x + y|x + y = x|x + y + y|x + y = x + y|x + x + y|y = x|x + y|x + x|y + y|y =

= x2 + y2 + 2Re [x|y] x2 + y2 + 2 x|y x2 + y2 + 2 x y = (x2 + y2)2

Def 2.24 (Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Per ogni x, y V vale |x|y| x yDimostrazione. Data a C ci calcoliamo ax + y2 0

ax + y2 = ax + y|ax + y = a x|ax + y + y|ax + y = aax + y|x + ax + y|y = aa x|x + y|x + a x|y + y|y == |a|2 x2 + a x|y + ax|y + y2 = |a|2 x2 + 2Re [a x|y] + y2 0

se poi impongo a = x|yx2 per cui ottengo: y|xx22

x2 + 2Re

y|xx2 x|y

+ y2 = y|x

2

x2 2y|x2x2 + y

2 0

per cui ottengo y2 x|y2x2 0

Def 2.25 (Norma hilbertiana). Sia V uno spazio vettoriale normato, allora la norma su v si dice hilbertiana se e solo se vale la legge

del parallelogramma, cioe date u, v V u + v2 + u v2 = 2(u2 + v2).



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Def 2.26 (Vettori ortogonali). Sia V uno spazio vettoriale normato con prodotto scalare, dati u, v V allora si dice che uv (uortogonale v) se il loro prodotto scalare e nullo: u|v = 0.Def 2.27 (Th. di Pitagora). Per ogni coppia di vettori x, y V ortogonali (o spazio vettoriale con vettori a due a due ortogonali)allora vale x + y2 = x2 + y2 (rispettivamente +n=0 xn2 = +n=0 xn2)Dimostrazione. Presi xy si puo scrivere x+y2 = x + y|x + y = x2+y2+x|y+y|x = x2+y2 ed e dimostratograzie allortogonalita.

Invece per N vettori ortogonali si dimostra per induzione: |x1 + x2...xn2 = |x1 + x2 + ... + xn12 + |xn2 vero perlortogonalita di x, percio ripetendo il procedimento si ottiene |x1 + x2...xn2 = |x12 + |x22 + ... + |xn2

Def 2.28 (Indipendenza lineare). Per ogni coppia di vettori x, y V se vale luguaglianza x + y x + y allora x,y sonodetti linearmente indipendenti; una famiglia di vettori ortogonali e linearmente indipendente.

Dimostrazione. Presa una famiglia di vettori ortogonali xn, se li moltiplico per la stessa costante c osservo cheNi=1

cixi|xk

= 0|xk = cxk2

e questo e vero solo per c = 0.

Def 2.29 (Spazio di Hilbert). Sia V uno spazio vettoriale su C con prodotto scalare, se V e completo (di Banach) allora V si dice diHilbert.

Def 2.30 (Complementare ortogonale). Sia V uno spazio ortonormale con prodotto scalare e sia S V, se pone

S = {v V tale che v|x = 0x S}

Def 2.31 (Proiezione ortogonali). Sia V uno spazio ortonormale con prodotto scalare e sia {x1, x2,...,xn} un insieme di vettorilinearmente indipendenti. Poniamo Vn = span {x1, x2,...,xn}, allora per ogni x V esiste uno e uno solo y Vn tale che x = y + zcon z V+n :

1. y si chiama proiezione ortogonale di x su Vn

2. per ogni y

Vn vale

x

y

x

y

3. dalla ortogonalita ne deriva y =

ni=1

x|xixi2

Dimostrazione. Si deve dimostrare la 2 e la 3, partiamo con la 3 usando la definizione di ortogonalita. Sia x Vn dove Vn =Ni=1 cixi : ci C

, prendo y =

Ni=1 cixi e suppongo (x y) Vn cioe x y|xk = 0 da cui

x Ni=1 cixi|xk = 0 e

se calcoloN

i=1 cixi|xk

= ck xk|xk quindi

ck =x|xkxk|xk =

x|xkxk2

il che significa che y e univocamente determinato da ck.

Il punto 2 si dimostra partendo dal fatto che se y Vn allora yy Vn quindi ricordando lortogonalita x y|y y =0. Applicando il th. di Pitagora si ottiene che

x y2 = x y + y y2 = x y|2 + |y y2

poiche (x y) Vn e (y y) Vn; si nota che x y|2 e il punto di minima distanza.Def 2.32 (Disuguaglianza di Bessel). La proiezione ortogonale di y su x soddisfa la disuguaglianza y x.Dimostrazione. Calcoliamo x2 = y + x y2 = x y2 + y2 percio e vera y x, x y|2 e la proiezioneortogonale.



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3 INTEGRALE DI LEBESGUE

3 Integrale di Lebesgue

Def 3.1 (Iper-intervallo). Si definisce un iper-intervallo in Rn il prodotto cartesiano di n intervalli contenuti in R del tipo I =[a1, b1] ... [an, bn]. In figura a e in figura b si puo vedere un esempio di intervalli e la loro non sovrapposizione per ottenere lamisura.

Def 3.2 (Misura di un intervallo). La misura di un intervallo I e definito come il prodotto delle lunghezze dei singoli intervali [ai, bi]dove i = 1, 2...n, scritta m(I) =

ni=1(bi ai).

Def 3.3 (Pluri-intervallo). Un pluri-intervallo e linsieme P = k Ik NIK dove IK sottoinsieme finito o al piu numerabile diiper-intervalli.

Def 3.4 (Non sovrapposizione). Ogni pluri-intervallo puo essere scritto come unione di iper-intervalli non sovrapposti al piu neipunti di confine.

Def 3.5 (Misura di un pluri-intervallo). La misura m(P) di un pluri-intervallo P e indipendente dalla suddivisione adottata per esso:

P =k

Ik =n

In k

m(Ik) =n

m(In)

Th 3.1 (Ordine nella misura). Il valore della misura non dipende dallordine della somma degli intervalli.

Def 3.6 (Misura esterna). Sia E

Rn allora si puo definire la sua misura esterna come lestremo inferiore (finito o infinito) delle

misure dei pluri-intervalli che contengono E, si scrive m(E) = infP[m(P)].La misura esterna ha le seguente proprieta:

la misura di un insieme nullo e nulla , m(0) = 0 monotonia: E E m(E) m(E) sub-additivita= m(E E) m(E) + m(E) sub-additivita numerabile: m kN Ek +k=0 m(Ek)

In figura c si puo vedere la misura esterna di un insieme.

Def 3.7 (Insiemi misurabili secondo Lebesque). Un insieme E Rn si dice misurabile secondo Lebesque se per ogni intervallo I siha che m(I) = m(I E) + m(I/E)e in tal caso si pone m(E) = m(E)

Def 3.8 (Misurabilita degli insiemi con misura nulla). Un insieme E Rn per cui m(E) = 0 allora E e misurabile ed m(E)=0.Dimostrazione. Bisogna dimostrare che m(I) m(I E) + m(In Ec); per ogni intevallo I si ha I E E quindi dalladefinizione di misura esterna si ha 0 m(IE) m(E) = 0. Devo dimostrare che m(I) m(IEc); siccome IEc I,per monotonia, 0 m(I Ec) m(I) = 0.Def 3.9 (Sigma algebre). Sia M la famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesque di Rn allora M e algebra di parti di Rncontenente linsieme vuoto, cioe se {Ei; i N} M allora Ei M, Ei M e Rn E M; vale a dire:

se E1, E2... sono elementi di M, in quantita finita o numerabile, tali sono la loro unione e intersersezione;

se M contiene un insieme E, contiene anche il suo complementare rispetto rispetto a Rn;



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per ogni famiglia finita o numerabile E1, E2... di parti di M, a due a due disgiunte, si ha che m(

i Ei) =

i m(Ei);

In piu posso definire le seguenti proprieta:

m(0) =0 E1 E2 allora m(E1) m(E2)

se E1 e E2 sono disgiunti m kN Ek

+k=0 m(Ek)

se E e ottenuto da E M tramite una rototraslazione allora E e misurabile e m(E) = m(E)Def 3.10 (Funzioni continue in spazi metrici). Sia E Rn , una funzione f : E R si dice continua se per ogni a R linsiemeEa = {x E; f(x) < a} e Ea = {x E; f(x) > a} sono aperti.Def 3.11 (Funzioni misurabili). Sia E Rn , una funzione f : E R si dice misurabile secondo Lebesgue se per ogni a Rlinsieme Ea = {x E; f(x) a} e misurabile.Th 3.2 (Continuita in spazio metrico). Ogni funzione continua e misurabile.

Th 3.3 (Estensione della misurabilita). Se f e misurabile allora lo sara anche f+ , f e |f|. In piu date f e g funzioni misurabili ey, k R allora anche yf(x) + kg(x) sara misurabile.Def 3.12 (Funzione semplice). Una funzione f : Rn

R si dice semplice se assume un numero finito o al piu numerabile di valori;

una funzione semplice e del tipo f(x) = mk=1 ykEk(x) dove gli insiemi Ek sono numerabili e yk 0.Def 3.13 (Da integrale a somma). Sia f : Rn R una funzione semplice non negativa allora vale

Rnf(x)dx =

+k=1 ykm(Ek).

Def 3.14 (Limite puntuale). Sia f : Rn R una funzione misurabile allora esiste un successione di funzioni semplici fn : Rn [0, +] tale che fn converge puntualmente a f e per ogni x Rn la successione {fn(x); n N} e crescente. In tal caso si scrivefn(x) f(x)x Rn.Def 3.15 (Integrale di Lebesgue). Sia f : Rn [0, +] funzione misurabile, f si dice integrabile secondo Lebesque o sommabile se

Rn

f(x)dx = sup

Rn

g(t)dt; g : Rn [0, +]

con g(x) funzione semplice,g(x)

f(x) e g(x)

f(x) per ogni x.

In figura si puo notare la differenza strategica tra lintegrazione sul dominio per Riemman (figura a) e sul codominio per Lebesgue(figura b).

Def 3.16 (Funzioni sommabili). Sia f : Rn [0, +] una funzione misurabile, f e sommabile se f+ e f (dette parte positiva enegativa) sono sommabili. In tal caso si pone

Rn

f+(x)dx =Rn

f(x)dx Rn

f(x)dx.In

Th 3.4 (Sommabibilita di f se lo e |f|). Sia f : Rn R sommabile allora lo p se e solo se lo e |f|.Dimostrazione. Se f e sommabile verifichiamo che il suo modulo lo e: se f > 0 e banale perche f = |f|, altrimenti si scomponef = f+ + f che risultano singolarmente sommabili, percio |f| = |f+| + |f| che e somma di funzioni sommabili perciosommabile.Se |f| e sommabile verifichiamo che fe sommabile: poiche il |f| f la sommabilita si ottiene per maggiorazione.



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Def 3.17 (Estensione dellintervallo di integrazione). Sia E R misurabile e f : Rn [0, +] misurabile, poniamo

fE(x) =

f(x) x E0 x / E tale che R

n [0, +]

misurabile si definisceE

f(x)dx =Rn

fE(x)dx.

Def 3.18 (Proprieta delle funzioni L-integrabili). Le funzioni integrabili secondo Lebesgue hanno le seguenti proprieta:

linearita: E

[af(x) + bg(x)]dx = aE

f(x)dx + bE

g(x)dx

additivita: se E1 E2 = 0 alloraE1E2 f(x)dx =

E1

f(x)dx +E2

f(x)dx

monotonia: se f(x) g(x) allora E

f(x)dx E

g(x)dx

se f(x) = g(x) q.o. in E allora E

f(x)dx =E

g(x)dx; in particolare se f(0)=0 q.o. in E alloraE

f(x)dx = 0

f e sommabile se e solo se |f| e sommabile, e vale f |f| e f+ |f|Def 3.19 (Quasi Ovunque). Si dice che una proprieta vale quasi ovunque (q.o.) o quasi certamente in un insieme misurabile E se ilsotto insieme di E dove non vale tale proprieta ha misua nulla.

Th 3.5 (Th. di Vitali- Lebesgue). Sia a, b

R e f : [a, b]

R Riemann integrabile allora f e anche Lebesgue integrabile. Al contrario

se f e Lebesgue integrabile, f sara Riemann integrabile se e solo se linsieme dei punti di discontinuita di f ha misura nulla.

Th 3.6 (Th. di Lebesgue o convergenza dominata). Sia E Rn misurabile e fn : E R successione crescente di funzioni e siag : E R sommabile, supponiamo che:

|fn(x)| g(x) q.o. in E percio ogni fn sara sommabile fino al limite fn(x) f(x) q.o. in E (convergenza puntuale) cioe per q.o. x E vale limn+fn(x) = f(x)

allora f e sommabile e limn+Rn

|fn(x) f(x)|dx = 0 che implica limn+Rn

fn(x)dx =Rn

f(x)dx.

Dimostrazione. Le cose da dimostrare sono 3: la sommabilita, lintegrale limn+Rn

|fn(x) f(x)|dx = 0 e il conseguentelimn+

Rn

fn(x)dx =Rn

f(x)dx. Partiamo con il dimostrare la sommabilita: si usa il lemma per cui se f(x) e g(x) sonomisurabili, con g(x) non negativa e sommabile, in cui vale f(x)

g(x) per ogni x

E q.o. allora f(x) e sommabile.

Quindi si prova che f+(x) e f(x) sono sommabili, e lo sono per ipotesi visto |fn(x)| g(x) e sommabile (se convergeil modulo di f(x) convergeranno anche la sua parte negativa e positiva) anche con la condizione di quasi ovunque. Da unpunto di vista insiemistico si ha

E

h(x)dxdove h e funzione semplice con h f+

E

h(x)dx dove h e funzione semplice con h g

analogamente si dimostra per la sommabilita f(x).Il secondo integrale non si dimostra, ma sopponiamo vero limn+

Rn

fn(x)dx =Rn

f(x)dx.Il primo integrale si dimostra applicando la proprieta per cui

Rn

f+(x)dx Rn

|f(x)|dx, per cui

limn+

Rnfn(x)dx

Rnf(x)dx

= limn+

Rnfn(x) f(x)dx

Rn

|fn(x) f(x)|dx

e vero per le ipotesi di convergenza puntuale.

Th 3.7 (Th. di Beppo Levi o della convergenza monotona). Sia E Rn misurabile e fn : E R successione crescente difunzioni rispetto ad n e L-integrabili; se esiste un elemento A R tale che supn

E

fn(x)dx A allora:1. esiste f : E R L-integrabile (sommabile) che converge quasi ovunque in E2.E

f(x)dx = limn+E

fn(x)dx

Def 3.20 (Integrale in senso generalizzato). Si dice che f : [a, b] R continua e integrabile in senso generalizzato se esiste illimcb

ca

f(x)dx = l con l Rfinito dove b e un punto di infinito, in tal caso si pone ba

f(x)dx = limcbca

f(x)dx; tale integralepuo avere entrambi gli estremi di integrazione infiniti, ma in tal caso si spezza lintegrale e relativi limiti.

Def 3.21 (Assolutamente integrabile). Si dice che f : [a, b] R

continua e assolutamente integrabile in [a,b] se |f(x)| e integrabilein senso generalizzato.



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Def 3.22 (Assolutamente integrabile in senso generale). Se f : [a, b] R continua e assolutamente integrabile in [a,b] alloralo e anche in senso generalizzato.

Def 3.23 (Criterio del confronto). Date due funzioni f(x) e g(x) non negative con f(x) g(x) per ogni x R se g(x) e integrablein senso generalizzato in un intervallo [a,b] allora anche f(x) lo e; al contrario se f(x) non e integrable in senso generalizzato in unintervallo [a,b] neppure g(x) lo e.

Def 3.24 (Criterio del confronto asintotico). Date due funzioni f(x) e g(x):

se limx+ f(x)g(x) = l R (0) allora f e integrabile in senso generalizzato se e solo se g(x) lo e.

se f(x) = o[g(x)] per x + se f e assolutamente integrabile in [a,b] allora anche g e assolutamente integrabile.Def 3.25 (Coincidenza integrale Lebesgue e Riemann). Sia f : [a, b] R continua ed assolutamente integrabile in senso gene-ralizzato in [a,b] allora f e sommabile in [a,b] e lintegrale di f su [a,b] secondo Lebegue coincide con lintegrale generalizzato secondoRiemann.

Dimostrazione. Le ipotesi sono la continuita e lassoluta integrabilita in senso generalizzato. Se prendiamo ad esempio lafunzione f(x) in figura e la maggioriamo con

gn(x) = |f(x)| a x b 1n

0 b 1n < x bosserviamo che per ogni n gn(x) e sommabile in [a, b], e per ogni n gn(x) e crescente fissando x.

Notiamo poi che supn[a,b]

gn(x)dx = limn+b 1

n

0|f(x)|dx e questo esiste finito per ipotesi perche |f(x)| e assoluta-

mente integrabile in senso generalizzato. Il th. di Beppo Levi dice che siccome gn(x) |f(x)| allora |f(x)| e sommabile in[a,b] e

[a,b]

|f(x)|dx = limn+b 1

n

0gn(x)dx e se valuto separatamente la sommabilita della parte positiva e negativa:

g+n (x) =

f+(x) a x b 1

n

0 b 1n

< x < bspecularmente gn (x) =

f(x) a x b 1

n

0 b 1n

< x < b

per convergenza (e maggiorazione) si ha che g+n (x) f+(x) e gn (x) f(x) allora f+(x) e f(x) sono sommabili eintegrabili secondo Riemann.

Th 3.8 (Th. del cambio di variabili). Sia E Rn aperto e sia g : E Rn diffemorfismo e g : R Rn misurabile; se f e sommabilesu Rn oppure f(x) 0 q.o. allora

R

f(x)dx =

E

f(g(y))|det[J(g(y))]|dy

Def 3.26 (Calcolo integrale). Sia f : R R sommabile, la funzione integrale di f e F(x) = + f(t)dt a meno di una costanteadditiva.

Th 3.9 (Th. fondamentale del calcolo integrale o di Torricelli). Sia f : R R sommabile, allora F(x) (integrale di f(x)) e continuasu tutto R e per q.o. x R derivabile e vale F(x) = f(x).

Ho usato il teorema della convergenza dominata perche dalle ipotesi mi sono costruito una maggiorante e conseguentemente la convergenza, da taliipotesi giungo alla coincidenza tra lintegrale di Lebesgue e Riemann

Un diffemorfismo e una funzione biettiva (se e iniettiva e suriettiva) e linversa e di classe C1.



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Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare la continuita, per farlo si fissa x R e per ogni successione xn x si prova cheFn(x) F(x) , cioe limn+

(,+) fn(t)dt =

(,+) f(t)dt, per farlo poniamo gn(x) = fn(t)[,+xn](t) e g(x) =

f(t)[,x](t) per cui [,xn]

fn(t)dt =

R

gn(t)dt

[,x] f(t)dt = R g(t)dte applicando il th. della convergenza dominata vedo che gn g q.o. in R e prendo come maggiorante |f|(rispettivamente|fn|) visto g e una troncata di f dove per ipotesi |f| e sommabile percio |gn(t)| |f(t)| e

R

gn(t)dt =R

g(t)dt. Similmentepoteva essere dimostrato anche con la maggiorazione

xnc

f(x)dx xc

f(x)dx

=xxn

f(x)dx

=ba

f(x)[+xn,x](t)dx

ba

|f(x)|[+xn,x](t)dx

applicando le ipotesi di sommabilita e il th. della convergenza dominata come sopra.

Def 3.27 (Spazi di funzioni sommabili Lp). Sia p N e p > 0 con E Rn misurabile si poneLp(E) = f : E C; fp L1(E)

e inoltre si pone

fLp(E) =

E

|fp(t)|dt( 1p)

dove L1(E) = {f : E C; f e sommabile in E }.

Th 3.10 (Spazio di Banach L1 ). Lo spazio generato da

L1(E), .L1(E)

e uno spazio di Banach.

Def 3.28 (Prodotto scalare in L2). Siano f, g L2(E) e f(x)g(x) sommabile allora esiste il prodotto scalare

f|g = E f(x)g(x)dxe il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile e sommabile.

Dimostrazione. Dato che f(x)g(x) e sommabile e dalla relazione ab a2+b22 si ha

|f(x)g(x)| =f2(x) + g2(x)2

|f(x)|2 + |g(x)|22Allo stesso modo si dimostra che il prodotto di due funzioni a quadrato sommabile e sommabile .

Th 3.11 (Spazio di Hilbert L2 ). Lo spazio generato da

L2(E), .2L2(E)

e uno spazio di Hilbert.

Non e possibile usare il passaggio sotto il segno di integrale perche e il dominio a cambiare e non il codominioAttenzione perche il prodotto di due funzioni sommabili in generale non e sommabile.



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Def 3.29 (Relazioni tra spazi Lp). Se E Rn ha misura finita allora L ... L2 L1.Dimostrazione. Si dimostra solo che L2 L1; lo si dimostra partendo dalla tesi (f L2) (f L1), e si nota che se|f|2 L1(E) allora |f| L1(E) cioe

E|f(x)|dx < +. Se osservo

E|f(x)|dx =

E1 |f(x)|dx osservo che ha misura

finita in quanto E ha misura finita per ipotesi e 1 L2(E) perche E

12dx = m(E). Se ricordiamo poi la diseguaglianza diCauchy-Schwarz:

| f|g |

f

L2(E)+

g

L2(E)percio

E

|f(x)|dx = E

1 |f(x)|dx = 1|f f2L2(E) 12

L2(E)< +.

Th 3.12 (BIBO stabilita). Sia f : [0, +] R continua e limitata, sia g : [0, +] C sommabile allora anche g e di classe C1 elimitata; inoltre il funzionale C0[0, +] C0[0, +] del tipo f g e continua.Th 3.13 (Th. di Fubini). Sia f L1(R2) allora:

per quasi ogni y R, la funzione x f(x, y) e sommabile su R, rispettivamente per quasi ogni x la funzione y f(x, y) esommabile

la funzione y R

f(x, y)dx definita q.o. e sommabile in R, rispettivamente x R

f(x, y)dy definita q.o. e sommabile in R

vale la relazione R2 f(x, y)dxdy = R R f(x, y)dx dy

Th 3.14 (Th. di Tonelli). Sia f : R2 R misurabile e non negativa q.o. allora: per quasi ogni y R, la funzione x f(x, y) e sommabile su R, rispettivamente per quasi ogni x la funzione y f(x, y) e

sommabile

la funzione y R

f(x, y)dx definita q.o. e sommabile in R, rispettivamente x R

f(x, y)dy definita q.o. e sommabile in R

f L1(R2), cioe e sommabile



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4 SERIE DI FOURIER

4 Serie di Fourier

Def 4.1 (Polinomi trigonometrici reali e complessi). Ogni segnale periodico e sovrapposizione di infinite sinusoidi. In particolarese costruiamo uno spazio Vn =

L2(, ),C con la famiglia di funzioni ortogonali eikx

L2(,) =

2, si ha che Vn =eikx : n k n con dimensione (2n+1) e gli elementi di tale spazio si chiamano polinomi trigonometrici:

eikx = cos(kx) + i sin(kx)

sin(kx) =eikx eikx

2i

cos(kx) =eikx + eikx

2

Possiamo definire anche span[Vn] =12

, cos(kx), sin(kx) : n k n. Si puo calcolare poi (per parti):sin(kx)2L2(,) =

sin2(kx)dx =

cos(kx)2L2(,) =

cos2(kx)dx =

122

L2(,)= 14 dx = 2

Osserviamo che sin(nx)cos(mx)dx = 0 se e solo se n diverso da m.

Def 4.2 (Coefficienti reali e complessi). Sia f L2(, ) la proiezione di f su Vn, si calcola

Sn =n

k=ncke

ikx

dove la base complessa vale

ck =1

2

f(x)eikxdx =

f|eikx

eikx2L2(,)in alternativa

Sn =a02

+

nk=1

ak[cos(kx)] + bk[sin(kx)]

dove le basi reali valgono

a0 =2

f(x)1

2dx =

1

f(x)dx

ak =1

f(x) cos(kx)dx

bk =1

f(x) sin(kx)dx

Si osserva poi che se f e pari allora bk = 0 , mentre se f e dispari ak = 0.

Th 4.1 (Convergenza di una serie di Fourier in L2). Sia f L2(, ) allora la successione Sn[f](x) con n N dei polinomitrigonometrici di f e di Cauchy in L2(, ) quindi e convergente, questo e vero perche L2(, ) e di Hilbert.Dimostrazione. Dire che la successione Sn[f](x) con n N e di Cauchy in L2(, ) significa che dati m, n R con m nallora > 0 N : n,m > N si ha che Sn(f) Sm(f)2L2(,) < ; Percio se calcolo (usando anche lortogonalita)

Sn(f) Sm(f)2L2(,) =

nk=n

ckeikx

mk=m

ckeikx

2

L2(,)=

m1k=n

ckeikx +

nk=m+1

ckeikx

2

L2(,)=

=

eikv

2

L2(,)

m1

k=nck +

n

k=m+1ck

2

L2

(,)

= 2

m1k=n

|ck|2 +n

k=m+1|ck|2

vediamo che converge perche sono a quadrato sommabili, percio sono di Cauchy.



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4 SERIE DI FOURIER

Th 4.2 (Identita di Parseval). Lortogonalita dello spazio Vn implica la seguente uguaglianza

+k=

|ck|2 =f2L2[,]

2

dove Sn2L2[,] = 2+k= |ck|2 (tale identita deriva dallindentita di Bessel).

Th 4.3 (Th. di Riesz - Fischer). Sia f L2(, ) allora la successione Sn[f] converge a f in L2(, ), cioe

limn+

n

k=ncke

ikx f(x) = 0

inoltre vale la seguente identita (di Parseval):+

k=|ck|2 =

f2L2[,]2

|a0|22

++

k=1|ak|2 + |bk|2 =

f2L2[,]

e infine se

f|eikx = 0 per ogni k Z allora f=0.Th 4.4 (Convergenza puntuale di una serie di Fourier in L1). Sia f L1(, ), i coefficienti di Fourier di f possono esistere senumeri reali e

f(x) cos(kx)dx e

f(x)sin(kx)dx sono sommabili. Si dice che f e a coefficienti finiti.

Th 4.5 (Lemma di Riemann-Lebesgue). Sia f L1(a, b) i coefficienti di Fourier di f sono infinitesimi per k ; piu precisamentesia f L1(a, b) allora lim

ba

f(x)eixdx = 0.

Dimostrazione. Supponiamo f(x) costante a tratti, del tipo f(x) =N

m=1 m[m,m](x) dove m e laltezza, allora se calcolobmam

meixdx =

bmam

m(cos x + i sin x)dx =

bmam

m cos xdx + i

bmam

m sin xdx =m cos x

bm

am

+m sin x

bm

am

vediamo che se + tende a zero.Def 4.3 (Costante a tratti). Una funzione f(x) si dice costante a tratti se ha un numero finito di intervalli. Una funzione non costantea tratti si puo approssimare con una funzione costante a tratti.

Def 4.4 (Serie e nucleo di Dirichlet). Se prendiamo f L1(, ) allora

Sn[f](x) =1

2

nk=n

f(t)eiktdt

eikx =1

2

f(t)

n

k=neik(tx)

dt

Se calcolo a parte

nk=n e

ik(tx) =

nk=n e

ik allora

nk=n

eik = ein

1 + ei + ... + ei2n

= ein1 e(2n+1)i1 ei =

ein e(n+1)i1 ei =

=ei2

ei2

ei(n12 ) e(n+ 12 )i

ei2 e i2 =

sin

n + 12

sin2

ponendo = x + t e sostituendo alla precedente equazione

Sn[f](x) =1

2

f(t)sin

n + 1

2

(x + t)

sinx+t

2

dte ancora -x+t=z

Sn[f](x) =1

2xx+ f(x + z)

sin n + 12 (z)sin z2

dz = 12 x+

x f(x + z)Dn(z)dz



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4 SERIE DI FOURIER

dove D(z) =12

sin((n+ 12 )(z))sin( z2 )

e chiamato nucleo di Dirichlet. In piu si puo scrivere per periodicita

Sn[f](x) =1

2

x+x

f(x + z)Dn(z)dz =1

2

f(x + z)Dn(z)dz =

=1

2 0

f(x + z)Dn(z)dz +

1

2

0

f(x + z)Dn(z)dz =

0

[f(x + z) + f(x

z)] Dn(z)dz

Def 4.5 (Proprieta del nucleo di Dirichlet). Il nucleo di Dirichlet ha le seguenti proprieta:

1. Dn(x) e una funzione pari

2. Dn(x) e 2 periodica

3. Dn(t)dt =

nk=n e

ikdt = 12 dt = 1

Th 4.6 (Criterio di Dini). Sia f L1(, ) e sia s R e supponiamo che la funzione

t f(x + t) f(x t) 2st

sia sommabile in un intervallo [0, ] con R+ allora la serie di Fourier di f in x converge a s, cio e

limn+Sn[f] = limn+n

k=ncke

ikx = s

.

Dimostrazione. Bisogna dimostrare che limn+Sn[f] = s, cioe dalla definizione di limite limn+|f(t) s| = 0 si ha che

limn+1

0

(f(x + t) f(x t) 2s)Dn(t) Bn(t)

dt = 0

che possiamo spezzare in 0 Bn(t)dt = 0 Bn(t)dt + Bn(t)dt e calcolare separatamente:

Bn(t)dt =

(f(x + t) f(x t) 2s)2sin

t2

AnL1(,)

sin

n +

1

2

t

dt

n+ 0

An e sommabile e per il th. di Riemann - Lebesgue lintegrale e nullo;0

Bn(t)dt =

0

(f(x + t) f(x t) 2s)t An

t

2sint2

Cn

sin

n +

1

2

t

dt

n+ 0

An e sommabile, Cn e limitata (e un sinc maggiorabile con 2), la combinazione delle due e sommabile percio per il th. diRiemann - Lebesgue lintegrale e nullo;

Cor 4.7 (Condizioni di Holder per la convergenza). Sia f L1(, ) e sia x (, ) fissato, supponiamo: esistano finiti limt0+f(x + t) = f(x+) e limt0+f(x t) = f(x) esistono L, > 0 tali che per ogni t > 0 valgono

|f(x + t) f(x+)| Lt

|f(x t) f(x)| Lt

allora la serie di Fourier di f converge a f(x+t)+f(xt)2 , in particolare f e continua in x e la serie di Fourier di f in x converge a f(x).



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4 SERIE DI FOURIER

Dimostrazione. Per il criterio di Dini ponendo s = f(x+)+f(x)

2allora

f(x+t)+f(xt)t f(x+)+f(x)t e sommabile; questo efacilmente dimostrabile:f(x + t) + f(x t)t f(x

+) + f(x)t

=f(x + t) f(x+) + f(x t) f(x)t

f(x + t) f(x+)

t + +f(x t) f(x)

t = 2L1

dove entrambe sono sommabili ed esistera un L, che sodisfano le condizioni.

Def 4.6 (Condizioni di Lipchiz). Sia f L1(, ) continua e sia (, ) fissato, e supponendo valgano le condizioni diHolder, cioe cioe esistono L, , > 0 tali che per ogni t > 0 valgono

|f(x + t) f(x+)| Lt

|f(x t) f(x)| Lt

con t = |y x| , allora f e di classe C1 se = 1.Dimostrazione. Fissato x con f C0, cioe f di classe C1, allora esiste > 0 ed M > 0 tale che |f(y)| M per ogni y che

|y

x

| ; se usiamo il th. di Lagrange si ha che

|f(y)

f(x)

|=

|f()

||y

x

| |y

x

|e f converge puntualmente.

Def 4.7 (Periodo T qualunque per le serie di Fourier). La serie di Fourier e sviluppabile per qualunque intervallo limitato, non solo[, ] , o periodo T. Se ne ricavano le relazioni w = 2

T:

cos(kwx)L2(T2 ,T2 ) =T

2

T2| cos(kwx)|2dx =

kk

| cos(t)|2dx = 1 + cos(t)sin(t)2

|kk =T

2

dove e stato eseguito il cambiamento di variabile wkx = t, e similmente si ottiene

cos(kwx)2L2(T2 ,T2 ) = sin(kwx)2L2(T2 ,T2 ) =

T

2

ekwx2L2(T2 ,T2 ) = Te i coefficienti di Fourier si calcolano come:

ak =2

T

T2

T2f(xw) cos(kxw)dx

bk =2

T

T2

T2f(xw)sin(kxw)dx

ck =1

T

T2

T2f(xw)eikxwdx

Lidentita di Parseval diventa: +k= |ck|2 =

f2L2(T2 ,

T2)

T.

Def 4.8 (Prolungamento 2 periodico). Le funzioni 2 periodiche e continue in R si indicano come appartenenti a C2 dove

C2 =

f[ , ] R continua tale che f() = f()

=

f[ , ] R e prolunghabile ad f2 periodica in R

Th 4.8 (Coefficienti di Fourier della derivata). Sia f C2(R) derivabile q.o. in [, ] con derivata prima continua a tratti,cioe C[, ], dove ak e bk sono i coefficienti di Fourier reali allora la serie di Fourier di f(x) si ricavano i coefficienti di Fourier dellderivata: k = kbk e k = kak.Se f(x) e una funzione reale derivabile nellintervallo chiuso [a, b] allora f(x0) =

f(b)f(a)ba



20/49

4 SERIE DI FOURIER

Dimostrazione. Partendo da Sn(f) ci ricaviamo Sn(f) e si uguagliano i coefficienti:

Sn(f) =a02

+

nk=1

ak[cos(kx)] + bk[sin(kx)]

Sn(f) =n

k=1kk[sin(kx)] + kk[cos(kx)] =

n

k=1kk[cos(kx)] kk[sin(kx)] = Sn(f)

Bisogna pero verificare i singoli coefficienti, con lipotesi di parita f() = f().

n =1

f(x)dx =1

x0

f(x)dx +x0

f(x)dx

=1

(f(x0) f() + f() f(x0)) = 0

n =

f(x)sin(kx)dx =1

f(x) sin(kx)| k

f(x) cos(kx)dx

=

k

f(x) cos(kx)dx = kak

Cor 4.9 (Ordine dei coefficienti di Fourier della derivata). Sia f C2(R) e derivabile q.o. in [, ] con derivata prima continuaa tratti, allora ak e bk sono i coefficienti di Fourier reali tali che ak, bk = o

1k

per k +.

Dimostrazione. Dato che per ipotesi f L2[, ] e i suoi coefficienti di Fourier sono infinitesimi per la disuguaglianza diBessel, si ha che limk+k = limk+k = 0 ed allora per k + vale ak = kk = o

1k

e bk =

kk

= o1k

.

Cor 4.10 (Ordine n-esimo dei coefficienti di Fourier della derivata). Sia f C2(R) e derivabile n 1 volte q.o. in [, ] conderivata continua a tratti, allora ak e bk sono i coefficienti di Fourier reali tali che ak, bk = o

1kn

per k +.

Def 4.9 (Convergenza totale della serie di Fourier). Se f C0[a, b] allora la serie sn =

n=1+ fn(x) e totalmente convergente

se+

n=1 fn(x) converge.Th 4.11 (Convergenza uniforme e totale della serie di Fourier). Sia f C2(R) derivabile q.o. in [, ] con derivata primacontinua a tratti, allora la serie di Fourier converge totalmente, quindi uniformemente, a f R.Dimostrazione. Per ipotesi f L2[, ] e la serie di Fourier Sk[f] f L2[, ] , che corrisponde a scrivere chenk=1 |k|2 + |k|2 < +; vogliamo dimostrare la convergenza totale che corrisponde a scrivere

nk=1

supx[,](k[cos(kx)] + k[sin(kx)]) < +

Per prima cosa maggioriamo (k[cos(kx)] + k[sin(kx)]) (|k| + |k|) per ogni x [, ], e si osserva che per ipotesitale quantita e finita visto la somma ai quadrati e finita. Pero visto che k e k sono infinitesimi allora |ak|2 < |ak| similmente|bk|2 < |bk| dobbiamo verificare lordine di infinitesimo, per farlo usiamo la diseguaglianza ab a

2+b2

2alle quantita ak e bk

ricordando che e sono finiti:

ak =k

k=

|k|2 + 1k22

= o

1

k

bk =

k

k = |

|2 + 1

k2

2 = o 1kcosi abbiamo dimostrato la convergenza totale, e di conseguenza quella uniforme. Sk[f] convergera proprio ad f percheconverge puntualmente ad f per ipotesi.



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5 FUNZIONI A VARIABILE COMPLESSA

5 Funzioni a variabile complessa

Def 5.1 (Numero complesso). Si definisce il valore i, chiamato anche unita immaginaria, che vale i2 = 1. I numeri complessi sonoformati da due parti, una parte reale ed una parte immaginaria, e sono rappresentati da z = a + ib.

Il modulo e definito come |z| =

x2 + y2.Il complesso coniugato del numero complesso z = a + ib e definito come z = a ib, tale per cui |z|2 = zz .Linverso di z e z1 = z

|z

|2 .

Rappresentando ogni numero complesso come z = rei e facile descrivere la potenza n-esima zn = rneni . Vale poi la formula diDe Moivre: zn = |z|n(cos(n) + isen(n)).

Per convenzione [, ] periodico con escluso.Def 5.2 (Funzioni a variabile complessa). Sia f : C C questa si dice a variabile complessa e si puo scomporre in due funzioni avariabile reale f(z) = u(z) + iv(z), dette parte reale ed immaginaria .

Def 5.3 (Continuita di funzioni a variabile complessa). Sia f : A C, allora f e continua in z0 A se e solo se u(z0) e v(z0) sonocontinue. Sia poi la funzione f : A C con A C, se questa e continua in z0 A allora limzz0f(z) = f(z0) , dalla definizione dilimite si ha che per ogni > 0 esiste > 0 per cui se |z z0| < allora |f(z) f(z0)| < .Def 5.4 (Funzioni derivabili in senso complesso). Sia A C, f : A C e sia z0 A ; si dice che f e derivabile in senso complessoin z0 se il limite

limz0f(z + z)

f(z)

z = +f(z) + o(z) =df(z)

dz (1)

Questo rapporto ha senso esistendo il rapporto incrementale, e la 1 e equivalente a f(z) = f(z0) + f(z0)(z z0) + o(z z0) per

z z0, il che significa che esiste una buona approsimazione lineare di f, chiamata approssimazione C-lineare.Def 5.5 (Funzioni differenziabili). Sia A C, f : A C e f(z) = Re(z) + iIm(z) dove z = x + iy, allora f e differenziabile inz0 = (x0, y0) se esiste una matrice A, la jacobiana in x0 di f:

A = Jf(z0) =

dudx

(x0, y0)dvdy

(x0, y0)dudy

(x0, y0) dvdy (x0, y0)

tale che f(z + z) = f(z0) + Az + o(z) dove z =

xy

.

Th 5.1 (Condizioni di Cauchy-Riemann). Sia A C, f : A C differenziabile in z0 = (x0, y0) dove z = x + iy allora f ederivabile in senso complesso in z0 se e solo se vale la condizione:

df(z0)

dx=

1

i

df(z0)

dy= f(1)(z0) (2)

posto f(z)=u(x,y)+iv(x,y) la condizione 2 e equivalente alle condizioni di Cauchy-Riemann:

dudx

(x0, y0) =dvdy

(x0, y0)dudy

(x0, y0) = dvdx(x0, y0)(3)

Dimostrazione. Supponendo che f sia derivabile, cioe vale la 1 , allora dimostriamo che vale la 2 : ponendo z = (x, 0) =x sullequazione 1 ottenendo

f(z0 + z) f(z0) = +f(z0)z + o(z) f(z0 + x) f(z0) = +f(z0)x + o(x)

limx0f(z0 + x) f(z0)

x= +f(z0) =

df(z0)

dx

Nel medesimo modo si prende z = (0, y) = iy e si ottiene

f(z0 + z) f(z0) = +f(z0)iz + o(z) f(z0 + y) f(z0) = +f(z0)iy + o(y)

limy0f(z0 + y) f(z0)

iy= if(z0) = df(z0)

dy

Viceversa ora dimostraimo che se vale la 2 allora ce derivabilita in senso complesso, cioe vale la 1: per z 0 scriviamo

f(z0 + z) = f(z0) +dfdx

(z0)x +dfdx

(z0)iy + o(z) = f(z0) +dfdx

(z0)(x + iy) + o(z) = f(z0) + f(z0)(z)



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percio siamo riusciti a scrivere la 1.Se vogliamo dimostrare che se vale la 2 allora vale 3 basta sviluppare la derivata ed applicare la 2

dfdx

(z0) =dudx

(x0, y0) + idvdx

(x0, y0)1idfdy

(z0) =1i

dudy

(x0, y0) + idvdy

(x0, y0)

= + dvdy

(x0, y0) idudy (x0, y0)dudx

(x0, y0) =dvdy

(x0, y0)du

dy

(x0, y0) =

dv

dx

(x0, y0)

uguagliando la parte reale ed immaginaria si ottengone la 3.

Def 5.6 (Funzioni olomorfe). Sia A C, f : A C si dice olomorfa se e derivabile in senso complesso in ogni z A.Def 5.7 (Funzioni intere). Sia f : C C una funzione a variabile complessa olomorfa allora si dice intera. Combinazioni lineari difunzioni intere sono intere.

Def 5.8 (Funzione esponenziale complesso). Sia ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y) allora tale funzione e continua, differenziabilein C , |zz| = ex perche |eiy| = 1 , e 2i periodica , e intera (cioe derivabile e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann).Def 5.9 (Serie di potenze). Si dice serie di potenze di punto iniziale z0 unespressione del tipo

+n=0 an(z z0)n dove an , z, z0 C.

Se impongo n = 0 allora z = z0 e (z

z0)n = 1. Lo sviluppo di +n=0 an(z z0)n e a0 + a1(z z0) + a2(z z0)2 + ...

Th 5.2 (Lemma di Abel). Se una serie di potenze converge in z1 = z0 allora converge assolutamente per ogni z C tale che|z z0| < |z1 z0|, cioe la successione sn =

nk=0 |ak||z z0|k e convergente.

Dimostrazione. Partendo dallipotesi in cui sn =n

k=0 ak(z z0)k converge in z1 = z0 , bisogna dimostrare che se |z z0| 0

la serie converge assolutamente in z tale che |z z0| < R.Def 5.12 (Criterio del rapporto). Se vale luguaglianza limn+

|an+1||an| = l R {} allora il raggio di convergenza della serie+

n=0 an(z z0)n e definita da R = 1l .Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare la convergenza assoluta nel raggio di convergenza partendo dal criterio del rapporto,cioe lequazione:

|an+1||z z0|n+1|an||z z0|n =

|an+1||an| |z z0|

n+ l|z z0|

ipotizando z0 = 0 e l|z| < 1 allora R = 1l .Def 5.13 (Convergenza di una serie delle derivate). La serie delle derivate ha lo stesso raggio di convergenza della sua originale.

Dimostrazione. Ammettendo che il limite esiste allora limn+|an+1||an| = l + . Uso il criterio del rapporto sulla derivata

limn+|n+1||an+1||n||an| =

|n+1||n|

|an+1||an| = l. Il raggio di convergenza e R =

1l

, lo stesso della serie originale.

Th 5.3 (Convergenza totale di una serie di potenze). Data la serie di potenze Sn =+

n=0 an(z z0)n con raggio di convergenzaR > 0 allora allinterno del disco di convergenza Sn e derivabile e S

n =

+n=0 nan(z z0)n1.

Cor 5.4 (Convergenza totale di una serie di potenze). Data la serie di potenze+

n=0 an(z z0)n con raggio di convergenzaR > 0 e di classe C cioe derivabile infinite volte in senso complesso allinterno del cerchio di convergenza, allora la derivata k-esima

si calcola comed(k)

dz +n=0 an(z z0)n = +n=0 n(n 1)(n 2)...(n k + 1)ak(z z0)nk. Se la calcolo in z = z0 e n = k ottengod(k)dz

+n=0 an(z z0)n = k!ak nota come serie di Taylor.



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Dimostrazione. Si dimostra per induzione, per k=1 e vero per il th. precedente, supponiamo sia vero per un k0 e si dimostra

per (k0 + 1) che e derivabile k0 volte e valed(k0)

dz

+n=0 an(z z0)n =

+n=0 n(n 1)(n 2)...(n k0 + 1)ak(z z0)nk0 per

il teorema precedente con raggio di convergenza r.

Def 5.14 (Serie di potenze olomorfe). Sia+

n=0 an(z z0)n una serie di potenze che converge nella palla B(z0, r) allora la seriesomma Sn[f](z0) =

+n=0 an(z z0)n e olomorfa.

Def 5.15 (Curva inC

). Si definisce una curva con sostegno inC

una funzione :R

C

scomponibile in due funzioni, parte realeed immaginaria. Se i due estremi della curva coincidono la curva si dice chiusa. Se e iniettiva allora si dice semplice. Se una curvae semplice e chiusa allora si dice circuito. In una curva si puo definire un orientamento (positivo seguendo regola della mano destra) evelocita di percorrenza.

Def 5.16 (Integrale curvilineo). Sia una curva parametrizzata in r : [a, b] C di classe C1 a tratti. Sia f : C C continua, sipone:

f(z)dz =ba

f(r(t))r(t)dt.Tale integrale gode delle seguenti proprieta:

data , si considera che e la curva opposta tale che r[a, b] = Cpercio r(t) = r(a + b t). Da cui risulta f(z)dz =b

af(r(a + b t))(r((a + b t)))dt =

+f(z)dz usando una sostituzione di variabile = a + b t.

linearita addittivita se |f(z)| Mz allora |

f(z)dz| M lung()

Def 5.17 (Esistenza della funzione primitiva). Sia f : A C continua e sia F : A C una primitiva di f, allora per ogni curvaregolare a tratti [a, b] A si ha che

f(z)dz = F((b)) F((a)).

Def 5.18 (Connessione). Dato D C e connesso se e solo se due punti in D sono connessi da almeno una curva in D. Si dice Convessose ogni punto e connesso ad un altro da una retta in D

Def 5.19 (Connessione semplice). Data r C e semplicemente connessa se e solo se e connessa e per ogni curva semplice e chiusa in r, la parte interna di non ha buchi.

Th 5.5 (Th. di Jordan). Una curva inC semplice e chiusa, divide il piano complesso in due regioni in cui una sola delle due e limitata

(chiamata parte interna).

Th 5.6 (Formula di Gauss-Green). Sia D R2 un aperto, limitato e connesso con frontiere regolare a tratti; sia f : D R di classeC1 allora:

D

df(x, y)

dydxdy =

dD+

f(x)dx

D

df(x, y)

dxdxdy =

dD+

f(y)dy

D

df(x, y)

dy+

df(x, y)

dxdxdy =

dD+

f(y)dy dD+

f(x)dx

Dimostrazione. Se consideriamo il caso in cui D = {x|y : a < x < b,1(x) < < 2(x)}, come da figura la cirva puo esseredivisa in 4 curve:

r1 : [a, b] R2 , t (t, 1(t)) r2 : [1(b), 2(b)] R2 , t (b, t) r3 : [a, b] R2 , t (t, 2(t)) r4 : [1(a), 2(a)] R2 , t (a, t)e calcolando lintegrale

D

df(x, y)

dydxdy =

ba

2(t)1(t)

df

dy(x, y)dxdy =

ba

[f(x, 2(x)) f(x, 1(x))] dx



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se mi calcolo la derivata sulla frontiera dD+

f(x, y)dx =

ba

f(x, 1(x))dx ba

f(x, 2(x))dx

uguagliando le due equazioniba

[f(x, 2(x)) f(x, 1(x))] dx =ba

f(x, 1(x))dx ba

f(t, 2(x))dx

verifico lesattezza della formula D

df(x, y)

ddxdy =

dD+

f(x)dx

Th 5.7 (Th. della nullita di un integrale lungo una curva chiusa). Sia D C aperto e sia f : A C olomorfa, sia poi unacurva chiusa contenuta in A insieme al suo interno in D allora

f(z)dz = 0.

Cor 5.8 (Nullita di un integrale lungo una curva chiusa). Sia D C semplicemente connesso e f : A C olomorfa, allora perogni curva chiusa in A vale

f(z)dz = 0.

Dimostrazione. Ponendo f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y) , usando la parametrizzazione r(t) = x(t) + iy(t) e dz =(x(t) + iy(t))dt, con una curva [a, b] sipuo scrivere:

f(z)dz =

ba

[u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))](x(t) + iy(t))dt =

= ba

u(x(t), y(t))x(t)dt ba

v(x(t), y(t))y(t)dt + iba

v(x(t), y(t))x(t)dt + u(x(t), y(t))y(t)dt ==

u(x)dx

v(y)dy + i

v(x)dx + i

u(y)dy

ora se usiamo la formula di Gauss-Green

D

du

dydxdy

D

dv

dxdxdy + i

D

dv

dy+

du

dx

dxdy

ricordando le condizioni di Cauchy Riemann ottengo

D

du

dy+

dv

dx

dxdy + i

D

dv

dy+

du

dx

dxdy = 0

Th 5.9 (Th. dellintercapedine). Siano 1 , 2 A semplici, chiuse e orientate concordemente, dove 1 [parte interna di 2] doveD C. Supponiamo f olomorfa nellintercapedine di D tra 1 e 2 allora

1

f(z)dz =2

f(z)dz.

Dimostrazione. Se chiamiamo D quella regione tra 1 e 2 e ponendo la frontiera dD+ = 1 2 si ottiene per le condizioni

di Caurcy Riemann: dD+

f(z)dz =

D

dudy

dvdx

dxdy +

D

+du

dx dv

dydxdy = 0

pero nello stesso modo si ottiene

dD+f(z)dz =

1f(z)dz +

2f(z)dz =

1f(z)dz +

2f(z)dz

si ha che1

f(z)dz =2

f(z)dz.



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Th 5.10 (Formula dellintegrale di Cauchy). Preso C aperto e connesso , f : C olomorfa, se prendiamo poi il circito in con parte interna D, allora per ogni z0 D vale f(z) = 12i

f(z)zz0 dz.

Dimostrazione. Ponendo 0 < r0 < r, la curva r(t) = z0 + reit con t [0, 2] sia costante in D; allora

f(z)zz0 =

r

f(z)zz0 dz e

olomorfa nellintercapedine, percio vale20

f(z0+reit)ireit

zz0 dt =r

f(z)zz0 dz per ogni r [0, r0].

f(z)

z z0 dz = limr0+

r

f(z)

z z0 dz = limr0+

20

f(z0 + reit)ireit

z z0 dt = i20

f(z0)dt = 2if(z0)

Questo e vero se limr0+20

f(z0 + reit) f(z0)dt = 0, e lo e visto e derivabile in senso complesso, cioe e continua in z0,

cioe per ogni > 0 esiste > 0 tale che |z z0| < allora |f(z) f(z0)| < , se 0 < r < allora |z0 + reit z0| = r < percio |f(z0 + ieit) f(z0)| < quindi 20 f(z0 + reit) f(z0)dt 2 con 0 < r < .Def 5.20 (Funzione analitica). Sia C aperto e f : C, si dice che f e analitica in se per ogni z0 esiste r > 0 e unaserie di potenze

n=0 cn(z z0)n tale che per ogni z B(z0, r) si ha ck = f(zk). In piu se f e analitica in allora f C in e

cn e la derivata n-esima, cioe cn =f(n)(z0)

n! .

Th 5.11 (Analiticita delle funzioni olomorfe). Sia f olomorfa in allora f e analitica in .

Dimostrazione. Se C aperto e connesso, f : C olomorfa in z0 e la palla B(z0, r) allora per ogni z B(z0, r)si ha f(z) =

n=0 cn(z z0)n percio f

(n)(z0)n!

= cn =12i

f(z)zz0 dz.

Cor 5.12 (Convergenza della serie di potenze di funzioni olomorfe). Sia f derivabile in senso complesso in una volta, allora e

derivabile in senso complesso in infinite volte, in particolare vale cn =12i

f(h)(z

z0)n+1

dh

Dimostrazione. Fissando z0 B(z0, z) con z = z0 e prendo tale che |z z0| < < r; applicando la formula di Cauchyf(z) = 1

2i

f(h)hz dh e sostituendo h z = (h z0)(1 zz0hz0 ) si ottiene

f(z) =1

2i

f(h)

h z dh =1

2i

f(h)

h z1

(1 zz0hz0 )

dh

sapendo che |h z0| > |z z0| e dalla definizione della serie geometrica si osserva una funzione derivabile n volte, con nche tende ad infinito.

1

2i

f(h)

h zn=0

z z0h z0

ndh =

n=0

1

2i

f(h)

(h z0)n+1 dh

(z z0)n



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Def 5.21 (Molteplicita di un polinomio). La molteplicita di un polinomio p(z) = anzn + ... + a1z + a0 dove a0, 01,...,an C.

percio p(z) = an

j=1(z zj) con p(zj) = 0 se raccolgo i monomi simili del tipo anm

j=1(z zj)mj allora mj e detta molteplicitadello zero zj .

Th 5.13 (Th. sugli zeri delle funzioni analitiche). Sia C aperto e connesso per archi e sia f : C olomorfa, allora le seguentiproprieta sono equivalenti:

esiste a

tale che f(n)(a) = 0 per ogni n

0

esiste a tale che f e identicamente nulla in un intorno di A f e nulla in tutto

Dimostrazione. FACOLTATIVA

Cor 5.14 (Principio di identita delle funzioni analitiche). Sia C aperto e connesso e siano f1 ed f2 : C olomorfe;supponiamo che esista una successione zn tale che:

zn = zm se n = m f1(zn) = f2(zn) per ogni n

esiste z0

tale che limn

zn = z0

allora f1(z) = f2(z) per ogni z .Dimostrazione. Se pongo f(z) = f1(z) f2(z) voglio provare che f(z) sia identicamente nulla, in particolare per continuitaesiste un intorno non nullo di f(z0) = 0 per z0 . Posso scrivere che f(z) =

n=0 cn(z z0)n dove |z z0| < r , in pratica

cerco lintorno di convergenza.Per ipotesi sappiamo che limnf(zn) = f(z0) = 0 e pongo f(z) = f2(z) f1(z). Nel caso in cui cn siano nulli

avrei dimostrato che f(z) = 0, ma lo dimostro per assurdo cioe che se esiste n0 tale che cn = 0 allora scrivo f(z) =(z z0)n0

n=n0+1

cn(z z0)n dove suppongo che i primi n 1 elementi siano cn1 = 0 e n0 sia il primo elemento nonnullo. Se chiamiamo g(z) =

n=n0+1

cn(z z0)n , g(z) sara olomorfa e non nulla, e per continuita non nulla in almeno inun intorno: tale supposizione cade nellassurdo perche esistera un intorno U di z0 in cui g(z) e non nulla, ma per le ipotesise ce uno zero allora f e nulla in tutto linsieme, percio f(z) = f1(z) f2(z) = 0, cioe f1(z) = f2(z) con z .

Th 5.15 (Th. di Liouville). Sia f intera e limitata, cioe esiste M tale che |f(z)| M per ogni z C , allora f e costante.Dimostrazione. Se definiamo f come successione di potenze centrato in z0 = 0 allora f(z) =

n=0 cn(z)

n dove f e intera

e converge in tutto C per definizione; analogamente posso scrivere cn =1

2i

r

f(z)zn+1

dz dove r e una qualunque curvaattorno lorigine.

|cn| = 12

20

f(reit)ireit

rn+1ei(n+1)t

dt 1220

|f(reit)|rn

dt 12

20

M

rndt =

M

rn

Percio con M > 0 e n 1 si ha che cn = 0 , mentre solo con c0 sara non nullo, percio f sara costante con altezza definita dac0.

Cor 5.16 (Th. fondamentale dellalgebra ). Ogni polinomio con coefficienti complessi di grado n 1 ha almeno uno zero complesso,in particolare ne ha esattamente n(che corrisponde al grado del polinomio).

Def 5.22 (Intorno forato). Si definisce intorno forato di un punto z0 C, linsiemeB (z0, r) = B(z0, r) (z0) = {z0 C : 0 < |z z0| < r}

Def 5.23 (Singolarita isolate). Sia f : C olomorfa in C aperto, e sia d la sua frontiera allora z0 d si definiscesingolarita isolata per f se esiste r > 0 tale che B(z0, r) .Def 5.24 (Singolarita eliminabile). Sia f : C olomorfa in C aperto, e sia z0 / singolarita isolata per f , si definiscesingolarita eliminabile se esiste limzz0f(z) = l e la funzione f2(z) =

f(x) z = z0l z = z0

e olomorfa in {z0}.

Def 5.25 (Polo di ordine n). Sia f : C olomorfa in C aperto, e sia z0 / singolarita isolata per f , z0 si dice polo di ordinem 1 se z0 e una singolarita eliminabile per g(z) = (z z0)mf(z) ed inoltre limzz0g(z) = l = 0, .

Def 5.26 (Singolarita essenziale). Sia f : C olomorfa in C aperto, e sia z0 / singolarita isolata per f , z0 si dicesingolarita essenziale se non e eliminabile e non e un polo.



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Def 5.27 (Serie bilatere). Una serie bilatera (o di Laurent) e una serie del tipo

n= cn(z z0)n, e questa converge se convergonon=0 cn(zz0)n e

n=1 cn(zz0)n. Tale serie convergera nella corona con raggio esterno dipendente dalla prima serie |zz0| < r1,

ed interno 1|zz0| < r2, percio1r2

< |z z0| < r1.

Th 5.17 (Th. di Laurent ). Sia f olomorfa in una corona circolare A =

{z

C : 0

r1 0 tale che per ogni z vale |z z0| < m allora |f(z) l| M

o |f(z)| M (M e una costante che posso scegliere a piacere) , se scriviamo i coeficienti cn = 12i

f(z)(zz0)n dz,

ricavando i moduli dei coefficienti

|cn| =

1

2i

f(z)

(z z0)n+1 dz

=1

2

20

f(h2

eit + z0)ih2

eit

h2

n+1ei(n+1)t

dt 12

20

f(h2 eit + z0)h2 h2

n+1dt 1

2

20

Mh2

n dt =Mh2

n

dove = z0 +heit

2 e t [0, ] percio con n < 0 si ha cn = 0, cioe la serie di Laurent corrisponde alla serie di McLaurin (parte da zero);



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1c 1a vero perche somma di serie di potenze, cioe f(z) = +n=0 cn(z z0)n e limzz0f(z) = l C che e la definizionedi singolarita, in caso contrario non si avrebbe converegenza contraddicendo le ipotesi;

2. Vanno verificate le condizioni due a due:

2a 2b vero per definizione di polo;2b 2c siccome limzz0 1f(z) = 0 per ipotesi di polo, allora costruendo 1f(z) = (z z0)mg(z) = a0 + a1(z z0) + a2(z

z0)2

+ ..., da cui si scrive f(z) =1

(zz0)mg(z) dove g(z) e non nulla e olomorfa nel disco non bucato B(z0, ) ed haforma g(z)1 =

+n=0 cn(z z0)n, si sostituisce e si ha che f(z) = 1(zz0)mg(z) =

+n=0 cn

(zz0)n(zz0)m dove m e un

numero finito (numero finito di termini negativi), e lo sviluppo di cm = limzz0(z z0)mf(z) sara il coeficientedel polo di ordine m in z0;

2c 2a vero perche se f(z) = cmzz0 + ...+

c1zz0 +

+n=0 cn(z z0)n con 0 < |zz0| < allora limzz0(z z0)mf(z) = cm,

cioe esiste il limite finito che definisce il polo;

3. Vanno verificate le condizioni due a due:

1a 3b vero per definizione di singolarita essenziale;3b 3c per esclusione degli altri due casi, la singolarita non puo che essere essenziale;3c

3a vero per esclusione degli altri casi;

Def 5.28 (Funzione razionale propria e parte caratteristica). Sia f(z) = p(z)q(z)

una funzione razionale propria, cioe con grado del

numeratore maggiore del denominatore e con p(z) e q(z) primi tra loro, allora f coincide con la somma delle parti caratteristiche deglisviluppi di Laurent di f relativi a poli di f, cioe gli zeri di q(z).

Dimostrazione. Prendiamo z1...zn che sono gli zeri del denominatore e 1(z)...n(z) sono la parte caratteristica dello svi-luppo di Laurent di f convergente in un disco bucato di centro zk con k = 1...n. Pongo g(z) = f(z)

nk=1 k(z) dove

g(z) e intera ha solo singolarita eliminabili, g(z) e limitata (perche e continua, a sinistra nulla e a destra infinitesima) alloralimz+g(z) = 0, percio per il teorema di Liouville g(z) e costante, o meglio identicamente nulla.

Th 5.19 (Th. di De LHospital). Siano f e g funzioni olomorfe in un disco bucato di centro z0 C, supponiamo che vagano una delledue proposizioni:

limzz0f(z) = limzz0g(z) = 0 limzz0f(z) = limzz0g(z) = +

allora limzz0f(z)g(z)

= limzz0f(z)g(z)

Dimostrazione. Considerando vera limzz0f(z) = limzz0g(z) = 0, allora potremmo scrivere f(z) = (z z0)kh1(z) conh1(z0) = 0 e k 1, g(z) = (z z0)mh2(z) con m 1. Ora scrivendo il limite limzz0 f(z)g(z) = limzz0(z z0)kmh1(z)h2(z) percio

limzz0f(z)g(z)

= limzz0k(z z0)k1h1(z) + (z z0)kh1(z)

m(z z0)m1h2(z) + (z z0)mh2(z)= limzz0(z z0)km

kh1(z) + (z z0)h1(z)mh2(z) + (z z0)h2(z)

=kh1(z)

mh2(z)

Def 5.29 (Residuo di una funzione). Sia f : C olomorfa e sia z0 una singolarita isolata per f, sia B(z0, r) , sia : [0, 2] B(z0, r) un circuito tale che (t) = z0 + eit con 0 < < r. Si definisce residuo di f in z0 la quantita Res(f, z0) =1

2i

f(z)dz.

Sia f(z0) =+

n= cn(z z0)n lo sviluppo di f in serie bilatera convergente nel disco bucato B(z0, r), allora il residuoRes(f, z0) = c1 e il coefficiente di 1zz0 dello sviluppo della serie bilatera. La quanita cn =

12i

f(z)(zz0)n+1 dz si chiama residuo

perche somma di infiniti elementi che danno contributo nullo tranne in z0 = z.

Th 5.20 (Th. dei residui). Sia f : C olomorfa e sia un circuito orientato positivamente. Se z1...zn sono punti singolari di fappartenenti alla parte intera in e f e olomorfa in {z1...zn} allora

f(z)dz = 2in

k=1 Res(f, zk).

Dimostrazione. Se prendiamo per ogni singolarita un cerchio allora per ogni zk 0 prendo k = zk + reit con t [0, 2] con r sufficientemente piccolo. La parte interna di k contiene zk e nessunaltra singolarita di f allora f e olomorfanellintercapedine tra e k. Per il teorema dellintercapedine

f(z)dz =n

k=1

k

f(z)dz = 2in

k=1 Res(f, zk).



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Def 5.30 (Calcolo del residuo di una funzione in un polo). Sia z0 un polo di ordine n per f, allora

Res(f, z0) =1

(n 1)! limzz0dn1

dz((z z0)nf(z))

In particolare nel caso un polo di ordine 2 si ha Res(f, z0) = limzz0ddz

(z z0)2f(z)

.

Dimostrazione. Posto limz

z0(z

z0)

nf(z) = l con f olomorfa in z

B(z0, r) allora possiamo scrivere

f(z) =cn

(z z0)n + ... +c1

(z z0) +n

k=0

ck(z z0)k

f(z)(z z0)n = cn + ... + c1(z z0)n1 + (z z0)nn

k=0

ck(z z0)k

e se deriviamo otteniamodn1

dz[f(z)(z z0)n] = (n 1)!c1

Res(f, z0) =1

(n

1)!

limzz0dn1

dz((z z0)nf(z))

dove la serie non caratteristica non da contributo nella singolarita.

Def 5.31 (Calcolo del residuo di un polo di ordine 1). Siano f e g funzioni olomorfe con g(z0) = 0 e h(z0) = 0 ma h(z0) = 0,siaf(z) = g(z)

h(z)cioe ho un polo di ordine uno in z0, allora Res(f, z0) =

g(z0)h(z0)

.

Dimostrazione. Siccome f ha in z0 un polo di ordine uno, allora c1 = limzz0(z z0)f(z0) = g(z) zz0h(z)h(z0) =g(z0)h(z0)

.

Th 5.21 (Lemma del cerchio grande). Sia R > 0, siano 0 1 < 2 < 2 , sia = {z C : z [1, 2], |z| > R}, siaf : C olomorfa e supponiamo che limR+zf(z) = 0 con z allora limR+

f(z)dz = 0 dove = Reit con1 t 2.Dimostrazione. Se prendiamo una funzione razione fratta f(z) = p(z)

q(z)

dove p(z) e q(z) sono polinomi di grado q

p + 2 con

f olomorfa anche fuori dalla palla, vale la seguente diseguaglianza

f(z)dz

=21

f(Reit)Reitdz

21

f(Reit)Reitdz 21

Rf(Reit) dz

ora limR+21

Rf(Reit) dz = 0 e vero se e solo se per ogni > 0 esiste un R tale che |z| > R per cui |zf(z)| < ; cioe

se R [1, 2] deve valere |Rf(Reit)| < , e per > 0 esiste R() per cui R > R() , ma poiche limR+zf(z) = 0 allora f(z)dz < dz = (2 1) R+ 0.



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Th 5.22 (Lemma di Jordan). Sia f continua in S = {z C : 0 1 z 2 dove |z| > r R+}, e sia limR+f(z) = 0allora limR+

R

f(z)eikzdz = 0 con k > 0 ponendo R(t) = Reit dove 1 t 2.

In modo speculare in S = {z C : 1 z 2 2 dove |z| > r R+}, e sia k < 0 con limR+f(z) = 0 alloralimR+

R

f(z)eikzdz = 0 ponendo R(t) = Reit dove 1 t 2.

Dimostrazione. Ipotizando k > 0 ci calcoliamo lintegraleR

f(z)eikzdz dove R(t) = Reit dove 1 t 2:

R

f(z)eikzdz = 21 f(Reit)iReikRe

it

eitdt R21

f(Reit) eikReit dt = R 21

f(Reit) eikR(cos t+i sin t) dt =R

21

f(Reit)RekR(sin t)dt R 0

maxf(Reit) ekR(sin t)dt

siccome maxf(Reit) = M(R) e una quantita finita

R

0

M(R)ekR(sin t)dt = RM(R)0

ekR(sin t)dt = 2RM(R)

2

0

ekR(sin t)dt = 2RM(R)ekR

2t

k2R2

2

0

= M(r) ekR 1

k

che per R che tende ad infinito

M(r) ekR1

k

tende a zero, percio R f(z)eikzdz = 0.

Th 5.23 (Lemma del cerchio piccolo). Sia f olomorfa in un intorno forato di z0, siano R = z0 + Reit con 0 t e R > 0,

supponendo che f abbia un polo di ordine uno in z0 allora limR0+ R f(z)dz = iRes(f, z0).Dimostrazione. Dalle ipotesi f(z) ha solo un polo semplice percio ha una forma del tipo f(z) = c1

zz0 +g(z) con g(z) olomorfain un intorno di z0,se calcoliamo lintegrale

limR0+R

f(z)dz = limR0+R

c1z z0 + g(z)dz = limR0

+

R

c11

z z0 dz + limR0+

R

g(z)dz =

= limR0+0

c1iReit

z0 + Reit z0 dt + limR0+

R

g(z)dz = limR0+0

c1iReit

z0 + Reit z0 dt + 0 =

= c1

0

idt = iRes(f, z0)

Def 5.32 (Valor principale di un integrale di variabile reale). Si definisce valore principale di una funzione f che presenta una sin-golarita e simmetria dispari attorno a questa, lintegrale della funzione in un intervallo simmetrico attorno alla singolarita e comprendequestultima, tale per cui lintegrale esiste finito e nullo.

Def 5.33 (Indice di avvolgimento). Sia una curva chiusa in C, sia z C e z / , si dice indice di avvolgimento attorno a zavv =

12i

1hzdh .

Th 5.24 (Indice di avvolgimento). Sia una curva chiusa in C, allora avv =

0num. giri attorno a z

Th 5.25 (Principio dellargomento). Sia C aperto e sia f : C olomorfa con al piu un numero finito di singolarita, tuttipoli; sia una curva semplice e chiusa in orientata positivamente, allora avvf()(0) =(num. zeri) - (num. poli).



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Dimostrazione. Calcolando lavvolgimento

avvf()(0) =1

2i

f()

1

zdz =

1

2i

ba

f((t))(t)f((t))

dt =1

2i

f(z)f(z)

dz =

Res(f

f, zk)

dove zk sono i poli e zeri di f dentro , e gli zeri saranno di ordine mk = Res(f

f, zk)

f(z) = (z zk)mkgk(z)f(z)f(z)

=mk(z zk)mk1gk(z) + (z zk)mkgk(z)

(z zk)mkgk(z) =mk

(z zk) +gk(z)gk(z)

i poli avranno ordine nk = Res(f

f , zk) = limzzk (z zk) f

fperche

f(z) =cnk

(z zk)nk +cnk+1

(z zk)nk + ... +c1

(z zk)nk+1 + gk(z)

f(z)f(z)

=nk

(z zk)cnk + (z zk)(...)cnk + (z zk)(...)



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6 TRASFORMATA DI FOURIER

6 Trasformata di Fourier

Def 6.1 (Trasformata di Fourier). Sia f L1(R), anche detto segnale a energia finita o potenza nulla, si definisce trasformata diFourier la funzione F[f(x)](w) =

+ f(x)e

wixdx dove F[f(x)](w) : R C . Nel caso di periodicita la trasformata si riduce almedesimo integrale nel periodo, percio si ottiene esattamente la serie di Fourier di una funzione periodica.

Def 6.2 (Proprieta della trasformata di Fourier). La trasformata di f L1(R) ha le seguenti proprieta:

poiche f(x) L1(R) allora [ewif(w)] L1(R) limitatezza supwR|f(w)|

+ |f(x)|dx = fL1(R)

Def 6.3 (Continuita della trasformata di Fourier). Se f L1(R) allora f C0(R) e continua.Dimostrazione. Fissando w0 R, la continuita in w0 si dimostra se si ha che per ogni wn w0 si ha che f(wn) f(w0) cioelimn+

+ f(x)ewnixdx + f(x)ew0ixdx = 0, percio se maggioriamolimn+

+

f(x)ewnixdx +

f(x)ew0ixdx limn+

+

ewnix ew0ix |f(x)|dx == limn+ + gn(x)dx 0

per q.o. x con n +. Usando la convergenza dominata e in modo che la maggiorazione non dipenda da n si ha che|gn(x)| 2|f(x)| L1(R) dove

gn(x)dx 0 e la trasformata puo essere vista come un funzionale F : L1(R,C) C0(C,C)

se f L1(R) allora limw+f(w) = 0 e continua; per ogni f sommabile e associata una F[f] continua.

Def 6.4 (Limitatezza della trasformata). Sia f : R C una funzione sommabile, si pone f : L1(R,C).1 C0(C,C). alloraf e lineare e continua.

Dimostrazione. La linearita e garantita dalla linearita dellintegrale, cioe F[f+g ] = [f]+F[g]. La continuita si dimostra

se esiste una costante che soddisfa

f

f

1percio

f

= supwR|f(w)| = supwR+ f(x)ewixdx

supwR + |ewix||f(x)|dx =+

|f(x)|dx =f

1

Def 6.5 (Segnali hermitiani). Sia f L1(R) allora: f reale allora |f|pari ef dispari f pari allora f reale f dispari allora f immaginaria pura

Def 6.6 (Lemma di Riemann-Lebesgue). Sia f

L1(R) allora lim|w|+

f(w) = 0.

Th 6.1 ( Formula di inversione della trasformata di Fourier). Sia f L1(R) una funzione regolare a tratti, con numero finito didiscontinuita di salto con limite destro e sinistro finito, allora per ogni x R si ha

f(x) + f(x+)2

=1

2v.p.

+

f(w)ewixdw =1

2lim+

+

f(w)ewixdw

Cor 6.2 (Formula di dualita). Sia f L1(R) una funzione continua allora per ogni x R si ha che f(x) = 2f(x).Dimostrazione. Si dimostra con un semplice conto:

2f(x) = v.p.+

f(w)ewi(x)dw = v.p.+

f(w)ewixdw = f(x)



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Th 6.3 (Trasformata della derivata). Sia f L1(R) una funzione continua e derivabile di classe C1 a tratti, allora F[f] = iwf.Dimostrazione. Dalle ipotesi f L1(R,C) e continua e derivabile a tratti, cioe f(x) = f(0) + x

0f(t)dt e rispettivamente

limx+f(x) = f(0) ++0

f(t)dtlimxf(x) = f(0) +

0 f

(t)dt

siccome f L1

(R) e infinitesima percio i limiti tendono a zero, quindi (risolvendo per parti)

F[f(w)] =+

ewixf(x)dx = ewixf(x)|++

(iw)ewixf(x)dx = 0+iw+

ewixf(x)dx = iw+

ewixf(x)dx

Cor 6.4 (Trasformata della derivata n-esima). Sia f L1(R) una funzione continua e derivabile di classe C(n1), cioe derivabilen 1 volte con derivata continua a tratti e appartenente a L1(R), allora fn(w) = (iw)nf(w). Inoltre f(w) = o 1

wn

per w

per il lemma di Riemann-Lebesque.

Th 6.5 (Derivata della trasformata). Sia f L1(R) sommabile e che lo sia anche xf(x), allora f e derivabile e (f(w)) =F[ixf(x)](w).Dimostrazione. Scriviamo il rapporto incrementale

(f(w)) = limh0f(w + h) f(w)

h= limh0

1

h

+

ei(w+h)x eiwx

f(x)dx = limh0

+

eiwxf(x)eihx 1

hdx

+

eiwxf(x)(ix)dx =+

eiwx(ixf(x))dx

bisogna giustificare il passaggio al limite sotto il segno di integrale

gh(x) = eiwxf(x)

eihx 1h

ixeiwxf(x)

Dove presa l(x) L1(R) e |gn(x)| l(x), in piu per ogni R e |ei 1| quindi |gh(x)| |f(t)|hth = |xf(x)| .Cor 6.6 (Derivata n-esima della trasformata). Se xnf(x) L1(R) allora f Cn(R,C).Dimostrazione. La dimostrazione avviene per induzione, infatti se xnf(x) L1(R) allora anche f Cn(R,C) percio f(n) =F[(ix)nf(x)](w).Def 6.7 (Convoluzione di due funzioni). Siano f, g Cmisurabili con f1[, a] misurabile per ogni a R allora (f g)(x) =R

f(x y)g(y)dy si dice f convoluto g con x R se esiste.Th 6.7 (Convoluzione di due funzioni ). Siano f, g L1(R) allora per quasi ogni x R la funzione h(x, y) = f(x y)g(y) esommabile in R e il prodotto di convoluzione (f g)(x) = (g f)(x) L1(R) ha senso o meglio esiste sommabile.Dimostrazione. Usando il th. di Tonelli vediamo se h(., .)

L1(R).

Definendo h(x, y) e prendendo i moduli |h(x, y)| = |f(x y)g(y)| ed integrando+

|h(x, y)|dx =+

|f(x y)g(y)|dx = |g(y)|+

|f(x y)|dx

dove tale funzione risulta sommabile in R per q.o. y, e integrando su y se ne verifica la sommabilita:+

|g(y)|+

|f(x y)|dxdy =+

|g(y)|+

|f(u)|dudy =+

|g(y)|dy+

|f(u)|du

e siccome per ipotesi f, g L1(R) allora anche h L1(R) .Ora se applico il th. di Fubini

R2|h(x, y)|dy =

R2|f(x y)g(y)|dy L1(R) e tale integrabile e calcolabile.

Def 6.8 (Trasformata di una convoluzione). Siano f, g L1(R) allora (f g)(x) = f(x)g(x).



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Dimostrazione. Si dimostra con pochi passaggi

(f g)(x) =+

eiwx+

f(x y)g(y)dy

dx =

+

+

eiwxf(x y)g(y)dydx =

=

+

g(y)

+

eiw(t+y)f(t)dtdy =+

eiwyg(y)+

eiwtf(t)dtdy = f(x)g(x)

Th 6.8 (Disuguaglianza di Young ). Siano f L1(R) e g Lp(R) con p 1 N finito allora (f g)(x) e definta per q.o. x Rdove (f g)(x) Lp(R) e vale f gLp fL1 gLp

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