Dispensa Calcolo Combinatorio

7/17/2019 Dispensa Calcolo Combinatorio

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U N I V E R S I T A C A’ F O S C A R I D I V E N E Z I A

D I P A R T I M E N T O D I S T A T I S T I C A

APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI E CENNIDI CALCOLO COMBINATORIO

Francesca Parpinel

n.1, 1998

SERIE DIDATTICA

VENEZIA



APPUNTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI E CENNI DI CALCOLO

COMBINATORIO

FRANCESCA PARPINEL

In questa dispensa sono raccolti alcuni appunti di teoria degli insiemi e calcolo combinatorio

richiamati durante il corso di Calcolo delle probabilit a presso il diploma SIGI di Treviso, negli a.a.

1996/97 e 1997/98. L’autrice si scusa fin d’ora con chi leggera questi appunti per gli errori e le

imperfezioni che incontrera e ringrazia sin d’ora quanti vorranno segnalarli.

1. GENERALIT A SUGLI INSIEMI

Il concetto di insieme non e definito in matematica ma considerato come concetto primitivo .

Nella pratica abbiamo spesso a che fare con insiemi e cio ci permette di interpretare

con immediatezza tale concetto: si tratta di una raccolta di elementi (anche il concetto

di elemento e considerato un concetto primitivo ) spesso, ma non necessariamente, con

una caratteristica comune.

La caratteristica principale di un insieme e che la sua descrizione deve essere univo-

ca, cioe non deve condurre ad interpretazioni ambigue.

Gli insiemi possono essere composti da numeri o da punti.

1.0.1. Esempi. Formano un insieme

1. gli studenti in questa aula,

2. i punti di una retta,

3. le carte in un mazzo di carte da gioco,

4. le famiglie italiane (individuate dallo Stato di Famiglia anagrafico),

5. l’insieme dei numeri reali maggiori di 0 e minori di 1,

6.

Gli esempi visti ci indicano come determinare un insieme attraverso la definizione

di una proprieta comune a tutti gli elementi dell’insieme; e possibile anche definire

un insieme per elencazione degli elementi dell’insieme (si tratta di una operazione

possibile in generale se la cardinalit a dell’insieme, cioe il numero di elementi presenti

nell’insieme, e finita).Dati un elemento x e un insieme A la cosa importante e stabilire se tale elemento

appartiene o meno all’insieme in questione:

appartenenza:

x A

non appartenenza:

x A

Date: novembre 1998.

1



2 FRANCESCA PARPINEL

1.1. Definizioni e simbologia. In genere gli insiemi numerici vengono indicati con la

notazione

A x : x IR 0

che significa che A e composto da tutti i numeri reali escluso lo zero.Oppure

A x : x 0 1

Se vogliamo indicare l’insieme degli studenti in quest’aula che provengono dal comune

di Treviso

A studenti dal comune di TV in aula

1.2. Sottoinsiemi. Siano A e B due insiemi. Si parla di inclusione fra questi due

insiemi nei seguenti casi:

A e incluso in B, cioe A B, che indica una situazione in cui tutti gli elementi di

A appartengono anche a B;

A contiene B, cioe A B che indica una situazione in cui tra gli elementi di A cisono anche tutti quelli di B.

Queste sono inclusioni in senso stretto ma ci sono anche inclusioni in senso lato cioe

quando gli insiemi possono coincidere, in questo caso si indica

A B

A B

Se A B e contemporaneamente A B allora si parla di uguaglianza fra A e B che

viene indicata con

A B

Altro simbolo utilizzato e il simbolo di implicazione, che rappresenta la conseguen-

za di una affermazione

Nel caso in questione

A B e A B A B

1.3. Insieme universale e insieme vuoto. Nel seguito parleremo di alcuni insiemi

particolari che qui specificheremo;

insieme universale: U e l’insieme di partenza sul quale si considerano i vari sot-

toinsiemi (in altri termini, l’insieme che contiene la totalita degli elementi che

sono di interesse e detto spazio degli eventi elementari);

insiemi elementari: quei sottoinsiemi formati da un solo elemento dell’insiemeuniversale;

insieme vuoto: / 0 indica l’assenza completa di elementi di un qualsiasi insieme

universale (in altre parole, e un insieme che non ha elementi);

ed alcuni insiemi numerici notevoli quali

IN x : x numero naturale cioe IN indica l’insieme dei numeri naturali;

ZZ x : x numero intero cioe ZZ indica l’insieme dei numeri interi;

IQ x : x numero razionale cioe IQ indica l’insieme dei numeri razionali;

IR x : x numero reale cioe IR indica l’insieme dei numeri reali.



TEORIA DEGLI INSIEMI E CALCOLO COMBINATORIO 3

1.3.1. Esercizi.

1. Verificare che

10 x IR : 2 3 x 5

2. Verificare che

0 5 x IR : 6 x4 35 x3 62 x2 35 x 6 0

1.4. Diagrammi di Venn. Spesso puo essere utile rappresentare gli insiemi grafi-

camente: la teoria puo essere supportata quindi da strumenti quali i diagrammi di

Eulero-Venn che sono pero solo dei comodi strumenti visivi.

2. OPERAZIONI FRA INSIEMI

Consideriamo come e possibile operare fra insiemi dello stesso spazio U .

Siano A e B due insiemi composti dagli elementi dello spazio universale U .

2.1. Unione. Si definisce insieme unione di A e B e viene indicato con A B l’in-

sieme degli elementi di U che appartengono ad almeno uno degli insiemi componenti

l’unione

A B e : e A o e B

Si parla spesso anche di unione come somma logica fra insiemi.

FIGURA 1. Unione di A e B

(Possiamo anche pensare all’insieme unione come a quell’insieme che si forma

togliendo dal tutto nessun elemento di A e di B).

2.1.1. Esempio. Sia A l’insieme formato dai numeri interi che vanno da 1 a 100 divi-

sibili per 10,

A 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

e sia B l’insieme dei numeri interi da 1 a 100 multipli di 25,

B 25 50 75 100

Allora l’unione dei due insiemi e data dall’insieme

A B 10 20 25 30 40 50 60 70 75 80 90 100




Si noti che in base alla definizione di unione (o somma logica) gli elementi 50 e 100,

che compaiono in entrambi gli insiemi A e B, compaiono una volta sola nell’insieme

A B.

2.1.2. Esempio. Sia

Ak x : 1

k 1 x 1 k 1 2 3

allora!

k 1 Ak A1 A2 A3 x : 0 x 1

2.2. Esercizi.

1. Determinare l’insieme A B quando

A x IR : x 1

x 2 0

B x IR : x2 4 x 5 0

2. Verificare che

x IR : x2 5 x 6

x2 5 x 4 0 x IR : x 1

x IR : 2 x 3 x IR : x 4

3. Sia A1 x : x 0 1 10 e A2 x : x 8 9 10 11 o 11 x 12 . Calco-

lare A1 A2.

[ x : x 0 1 9 10 o 11 x 12 ]

4. Sia A1 x : 0 x 1 e A2 x : 1 x 3 . Calcolare A1 A2.[ A2]

2.3. Intersezione. Si definisce insieme intersezione di A e B e viene indicato con A B

l’insieme degli elementi di U che appartengono contemporaneamente a tutti e due gli

insiemi componenti l’intersezione

A B e : e A e e B

Si parla anche di prodotto logico di insiemi e in alcuni casi viene indicato con A B

oppure A B.

FIGURA 2. Intersezione di A e B




2.3.1. Esempio. Sia A l’insieme formato dai numeri interi che vanno da 1 a 100 mul-

tipli di 7,

A 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98

e sia B l’insieme dei numeri interi divisori del numero 126, B 1 2 3 6 7 9 14 18 21 42 63 126

Allora l’intersezione dei due insiemi e data dall’insieme

A B 7 14 21 42 63

2.3.2. Esempio. Sia

Ak x : 0 x 1

k k 1 2 3

allora!

k 1 Ak A1 A2 A3 / 0

in quanto nessun punto appartiene a tutti gli insiemi.

Definizione 2.1. Se l’intersezione di due insiemi A e B da l’insieme vuoto

A B / 0

allora i due insiemi sono detti incompatibili, o disgiunti.

2.4. Esercizi.

1. Determinare l’insieme A B quando

A x IR :

x 1

x 2 0

B x IR : x2 4 x 5 0

2. Verificare che

x IR : 1 x 3 x IR : 0 x 1

x IR : 0 x 3

3. Se A e un sottoinsieme di U mostrare che

(a) A A A A A / 0 A

(b) A / 0 / 0

4. Sia A1 0 0 0 1 1 1 e A2 1 1 1 2 2 1 . Calcolare A1 A2.[ 1 1

5. A1 x y : 0 x y 1 e A2 x y : 1 x y . Calcolare A1 A2.

[ / 0]

2.5. Complementazione. Si definisce insieme complementare di A e B e viene in-

dicato con A (oppure anche Ac) l’insieme degli elementi di U che non appartengono

all’insieme di partenza

A e : e A




FIGURA 3. Complementare dell’insieme A

2.5.1. Esempio. Sia U l’insieme dei numeri interi e A l’insieme dei numeri pari e lo

zero, allora il complementare di A su U e l’insieme dei numeri dispari.

2.6. Esercizi.

1. Sia U 1 2 3 4 e A 0 1 . Indicare l’insieme complementare di A su U .

[ A 2 3 4 ]

2. Verificare che

(a) / 0 U

(b) A A

(c) se A B allora A B

(d) A A / 0

(e) A A U

2.7. Differenza fra insiemi. Si definisce insieme differenza tra A e B e viene indicato

con A B l’insieme degli elementi di U che appartengono contemporaneamente al

primo dei due insiemi e al complementare del secondo

A B e : e A e e B

In pratica si verifica che A B A Bc.

FIGURA 4. Differenza di A con B




2.7.1. Esempio. Consideriamo l’insieme A composto dai numeri primi

A 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

e B l’insieme dei divisori di 630

B 1 2 3 5 6 7 9 10 14 15 18 21 30 35 42 45 63 70 105 90 126 315 630

In questo caso l’intersezione e data da

A B 1 2 3 5 7

e la differenza

A B 11 13 17 19 23 29 31 37

2.8. Esercizi.

1. Verificare che

A B U A B

2. Se A e B sono sottoinsiemi di U si ha che

A B B A A B A B

3. Se A e B sono sottoinsiemi di U provare l’equivalenza delle relazioni

A B

A B A

A B B

2.9. Funzioni di punto e d’insieme. Nel calcolo delle probabilita si usano spesso sia

funzioni di punto che di insieme. Richiamiamo brevemente questi concetti.Consideriamo le funzioni di punto

f x x2 ! x !

g x y e x y 0 x !

0 altrove

h x1 x2 xn x1 x2 xn 0 xi 1, i 1 2 n

0 altrove

Tali funzioni consentono di fornire per ciascun punto del dominio il corrispondente

valore funzionale; ad esempio f x al punto x 2, f 2 4; il valore di g x y al

punto 4 1 , g 4 1 0 e il valore di h x1 x2 xn al punto 1 1 1 e 1.

Analogamente si possono definire funzioni valutabili non necessariamente su punti

ma su interi insiemi di punti, sono le cosiddette funzioni d’insieme .

2.9.1. Esempio. Sia A un insieme in uno spazio unidimensionale a sia Q A il numero

di punti in A che corrispondono agli interi positivi. Allora Q A e una funzione dell’in-

sieme A. Se A x : 0 x 5 allora Q A 4; se A 2 1 allora Q A 0; e

A x : ! x 7 allora Q A 6.




2.9.2. Esempio. Sia A un insieme su uno spazio unidimensionale e sia Q A " A f x ,

dove

f x12

x x 1 2 3

0 altrove

Se A x : 0 x 3 , allora

Q A 1

2

1

2

21

2

37

8

2.9.3. Esempio. Sia A un insieme unidimensionale e sia

Q A A

e xdx

Allora

se A x : 0 x ! ,

Q A!

0e xdx

Se A x : 1 x 2

Q A2

1e xdx e 1 e 2

Se A1 x : 0 x 1 e A2 x : 1 x 3

Q A1 A2

3

0e xdx

1

0e xdx

3

1e xdx Q A1 Q A2

Se A x : 1 x 2

Q A2

1e xdx e 1 e 2

Se A1 x : 0 x 2 e A2 x : 1 x 3

Q A1 A2

3

0e xdx

2

0e xdx

3

1e xdx

2

1e xdx

Q A1 Q A2 Q A1 A2




2.10. Esercizi di ricapitolazione.

1. Per ogni insieme unidimensionale A per cui esiste l’integrale, sia

Q A A

f x dx

dove f x 6 x 1 x , 0 x 1 e zero altrove; altrimenti Q A e indefinito.

Calcolare Q per

A1 x : 14

x 34

A212

A3 x : 0 x 10

2. Per ogni insieme unidimensionale A, sia

Q A " A

f x

dove f x 23

13

x, x 0 1 2 3 e zero altrove. Calcolare Q per

A1 x : x 0 1 2 3 A2 x : x 0 1 2 3

Dimostrare che valgono le seguenti proprieta

1. A B A A B

2. A B A A B A B B (da cui A B B A B A ).

3. A B A B A

4. A B C A B A C

5. A B C A B A C

6. A B C A B A C

7. Proprieta commutativa

A B B A

A B B A

8. Proprieta associativa

A B C A B C

A B C A B C

9. Proprieta distributiva

A B C A B A C

A B C A B A C

10. Formule di De Morgan

A B A B

A B A B

(da cui

A B A B A B A B A B

e, estendendo al caso di n insiemi,

n

i 1 Ai

n

i 1 Ai

n

i 1 Ai

n

i 1 Ai




2.11. Prodotto Cartesiano. Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano

o semplicemente prodotto di due insiemi A e B, e viene indicato

A B

l’insieme delle coppie ordinate x y degli elementi x A e y B

A B x y ordinate : x A e y B

B

A y1 y2 y3 yk

x1 x1 y1 x1 y2 x1 y3 x1 yk

x2 x2 y1 x2 y2 x2 y3 x2 yk

x3 x3 y1 x3 y2 x3 y3 x3 yk ...

... ...

... . . .

...

xh xh y1 xh y2 xh y3 xh yk

2.11.1. Importante. Il prodotto cartesiano non gode della proprieta commutativa, cioe

A B B A

Questo deriva dal fatto che le coppie di valori x y che si ricavano da tale operazione

sono ordinate, cioe in ordine stabilito: prima x e poi y.

2.11.2. Esempi.

1. Le coordinate cartesiane dei punti del piano danno un esempio tipico del prodotto

cartesiano IR IR.

2. Supponiamo di suddividere il gruppo di spettatori che ha visto un film nei se-

guenti insiemi

A1 uomini, donne, ragazzi maschi, ragazze U D R F

A2 molto soddisfatti, soddisfatti, delusi, molto delusi s s d d

Il prodotto cartesiano A1 A2 e dato dai 16 elementi.

A2

A1 s s d d

U U s U s U d U d

D D s D s D d D d

R R s R s R d R d

F F s F s F d F d

2.11.3. In generale. La definizione vista riguarda il caso di prodotto cartesiano fra due

soli insiemi. Dobbiamo pero ricordare che il prodotto cartesiano puo essere effettuato

su n insiemi qualsiasi A1 An (detti fattori)

A1 A2 An

il risultato e un insieme di n-uple del tipo x1 x2 xn , dove xi Ai, per i 1 n,

e ciascun xi e detto coordinata.




3. FAMIGLIE DI INSIEMI

Si definisce famiglia di insiemi un insieme i cui elementi sono a loro volta degli

insiemi. In genere si considerano famiglie di insiemi riferite ad un particolare insieme

A.Se M 1 M 2 M i M n sono tutti sottoinsiemi (propri o impropri) di A, questi

insiemi costituiscono una famiglia di insiemi di A.

3.1. Partizione di un insieme. Dato un insieme A si definisce partizione di A una

famiglia di insiemi

M 1 M n : M i A i 1 n

che gode delle seguenti proprieta

1. M i M j / 0 i j , (cioe si tratta di insiemi disgiunti);

2.n

i 1 M i A, (cioe si tratta di insiemi esaustivi).

3.2. Insieme delle parti di un insieme. Dato un insieme A si definisce insieme delle

parti di A la famiglia di insiemi costituita da tutti i possibili sottoinsiemi (propri e

impropri) di A, e viene indicata generalmente con A .

3.2.1. Esempio. Sia A a b c , l’insieme delle parti di A e

A / 0 a b c a b a c b c A

3.3. Algebra di parti di un insieme. Poiche a partire da una data collezione di in-

siemi si possono costruire nuovi insiemi attraverso le operazioni fra insiemi viste in

precedenza, allora puo essere interessante considerare alcune famiglie di insiemi che

contengano anche i possibili risultati di operazioni fra insiemi.La famiglia di sottoinsiemi di A che contiene anche tali nuovi insiemi e detta algebra

(o altrimenti detta classe additiva ).

Definizione 3.1. Sia una famiglia di sottoinsiemi dell’insieme A. Allora e detta

algebra di parti di A se e solo se e chiusa rispetto alle operazioni di unione finita e

complementazione e se A , cioe

1. A

2. Se A1 allora A1

3. Se A1 A2 An alloran

i 1 Ai

Da queste relazioni segue immediatamente che l’algebra e chiusa anche rispettoall’intersezione finita, cioe

n

i 1 Ai

n

i 1 Ai

dalla legge di De Morgan poiche se Ai allora dalla 2. Ai , dalla 3. ni 1 Ai

e di nuovo dalla 2. ni 1 Ai .

Il concetto di classe additiva e fondamentale nella teoria della probabilita in quanto

la costruzione delle funzioni di probabilita faranno riferimento a tutti i possibili insiemi

che si possono formare a partire da un particolare insieme.




3.3.1. Algebra banale. La piu piccola algebra riferita ad un insieme A e quella formata

dai due insiemi

/ 0 A

3.3.2. Esempi.

1. Sia A a b c , sono algebre di parti di A

1 / 0 A ,

2 / 0 a b c A ,

3 / 0 s a c A ,

4 / 0 c a b A ,

l’insieme delle parti di A.

2. Sia B A, allora la minima algebra di A contenente B e data da

/ 0 B B A

3. Se e un’algebra di A e B allora la minima algebra di A contenente B e

contenuta in .

4. Sia A l’insieme dei numeri reali IR. E sia la famiglia di tutte le unioni finite

disgiunte degli intervalli semichiusi a destra (cioe della forma a b x : a x

b ! a b !). Allora si puo dimostrare che e un’algebra di A (mentre

non e una #-algebra). In questo caso, per convenzione, poniamo la semiretta

a ! come semichiuso a destra per ! a !

3.4. #-algebra di parti di A. Un’algebra e detta #-algebra di parti di A quando e

chiusa anche rispetto all’unione numerabile, cioe anche

Se A1 A2 An allora!

i 1 Ai

3.4.1. Problemi.

1. Sia U un insieme e A B C U costruire la minima algebra contenente i tre

insiemi.

4. CENNI DI CALCOLO COMBINATORIO

4.1. Esempi. In genere il calcolo combinatorio tratta di tecniche di conteggio di in-

siemi, in pratica viene utilizzato in problemi di enumerazione.

4.1.1. Enumerazione. Nel caso di un insieme A di cardinalita finita ci si chiede quan-

ti sono i possibili sottoinsiemi non vuoti che si possono comporre con gli elementi

dell’insieme A. La soluzione sta nel teorema che segue

Teorema 4.1. Sia A un insieme di cardinalit a finita n, e indichiamo con sn il numero

di sottoinsiemi non vuoti di A. Allora

sn 2n 1




4.1.2. Regioni di piano. Una linea divide un piano in due regioni. Due linee che si

intersecano dividono il piano in quattro regioni.

Portando avanti tale ragionamento ci si puo chiedere di considerare il problema di

determinare il numero di regioni f n in cui un piano e separato da n linee in posizioni

del tutto generali, cioe non considerando il caso in cui ci siano tre linee che passanoper uno stesso punto. In questo caso si ha che

f n 1 n n 1

2

4.1.3. Esempi.

1. Consideriamo un problema con le carte da bridge , in cui si deve contare il numero

dei possibili insiemi formati con una particolare combinazione dei 4 semi e delle

13 carte.

2. Un problema di classificazione multipla. Supponiamo che le persone siano classi-ficate secondo genere, stato civile e professione. In questo caso le varie categorie

giocano il ruolo di elementi.

Prendendo il caso in cui ci siano 17 tipi di professioni diverse allora in tutto le

classi sono

2 2 17 68

In probabilita molti problemi interessanti possono essere risolti contando il numero

di successi di un evento.

Problemi che possiamo incontrare nella realta sono ad esempio

considerare le diverse varieta di pesci

considerare tutti i possibili numeri tratti da un’urna di palline

trattare le varie mani a numerosi di tipi di giochi di carte.

Nella terminologia standard per tali problemi diremo che

un numero n di oggetti o cose sono divise o distribuite in r classi o raggruppamenti

Il numero di modi in cui si possono formare questi raggruppamenti dipende da molti

fattori

1. se gli oggetti sono distinti o no

2. se le classi sono distinte o no

3. se l’ordine degli oggetti in una classe e rilevante o no

4. se l’ordine delle classi e rilevante o no

5. se gli oggetti possono essere usati piu di una volta o no

6. se le classi vuote sono permesse o no.




4.2. Notazioni. Per indicare la somma di piu termini si puo usare usare il simbolo di

sommatoria

x1 x2 xn

n

"i 1

xi

Analogamente per il prodotto di piu termini si puo usare usare il simbolo di produttoria

x1 x2 xn

n

$i 1

xi

Ricordiamo cosa si intende per fattoriale di un numero intero e poi consideriamo un

risultato che ne permette una approssimazione funzionale.

Definizione 4.2. Si definisce fattoriale di un numero intero n 0, e si indica con n! il

numero

n! n n 1 n 2 2 1n 1

$ j 0

n j

Nel caso di n 0 si pone per convenzione 0! 1.

Per questa funzione vale il seguente risultato

Teorema 4.3. Si puo dimostrare che

n!

2%nn 12 e n

n !1

Tale teorema risulta utile per approssimare il fattoriale con una funzione esponen-

ziale (cioe n! 2%nn 12 e n).

4.3. Regole principali di calcolo combinatorio. Consideriamo il caso in cui un espe-

rimento sia complesso cioe composto da piu fasi. Il calcolo del numero di tutti i

possibili risultati viene dato seguendo le regole della somma e del prodotto:

4.3.1. Regola della Somma. Se l’evento X puo verificarsi in x modi diversi e un evento

Y puo verificarsi in y modi diversi allora X o Y puo verificarsi in x y modi diversi.

4.3.2. Regola del Prodotto. Se l’evento X puo verificarsi in x modi diversi e un evento

distinto Y puo verificarsi in y modi diversi allora X e Y puo verificarsi in x y modidiversi.

Questa seconda regola puo essere espressa come:

4.3.3. Regola fondamentale del calcolo combinatorio. Se lo svolgimento di una prima

operazione porta ad r risultati differenti e, per ognuno di questi, lo svolgimento di una

seconda operazione porta ad s risultati differenti, allora lo svolgimento della prima

prova e, successivamente ad ogni risultato della prima, della seconda operazione porta

ad rs risultati differenti.




4.4. Composizione delle k -uple. Ci preoccupiamo ora di contare quante siano, a par-

tire da un insieme di n elementi, le possibili composizioni di un certo numero k di

elementi. Il numero di tali composizioni dipende da diversi elementi, qui ricordiamo

quelli di interesse per noi.

Innanzitutto distinguiamo i casi in cui sia possibile ripetere un elemento nella k -uplaoppure no. Per esemplificare facciamo riferimento ad un urna di n oggetti, dalla quale

possiamo estrarre ed osservare k oggetti in due modi diversi

1. con ripetizione (cioe dopo aver osservato l’oggetto questo viene reinserito nel-

l’urna affinche questa sia ricomposta, quindi e possibile osservarlo nuovamente

nella k -upla)

2. senza ripetizione (cioe l’osservazione dell’oggetto modifica l’assetto dell’urna e

non si puo osservarlo piu di una volta).

L’altra caratteristica di cui teniamo conto nella formazione, e poi nel conteggio, delle

k -uple e l’ordine, cioe bisogna capire se per il problema in questione sono distinguibili

le k -uple che hanno gli stessi elementi ma in posizioni diverse, ad esempio

x1 x2 x3 x4 xk

x1 x3 x2 x4 xk

Se riduciamo il problema a quello del conteggio delle possibili k -uple diverse for-

mate da elementi tratti da un’urna di n elementi, le due caratteristiche appena ricordate

differenziano quattro tipi di estrazione

Metodo 1: estrazione bernoulliana (si considera sia l’ordine di estrazione che il

reinserimento nell’urna dell’elemento osservato);

Metodo 2: estrazione ordinata senza reinserimento;

Metodo 3: estrazione non ordinata con reinserimento;

Metodo 4: estrazione in blocco (non si considera l’ordine e non c’e reinserimen-

to).

A seconda del tipo di estrazione le k -uple vengono dette

disposizioni (come sottocaso, si parla di permutazioni)

combinazioni

Nella tabella che segue abbiamo riportato le terminologie usate nei diversi tipi di

campionamento e le simbologie che indicano la cardinalita degli insiemi di k elementi

tratti da un’urna di n.

campioni

estrazioni ORDINATI NON ORDINATI

Disposizioni Combinazioni

CON RIPETIZIONE Dn k nk C n k n k 1

k

SEMPLICI Dn k n!

n k ! C n k

nk




4.5. Disposizioni. Quando ciascun elemento dell’urna e distinto allora e importante

anche l’ordine di composizione del campione si parla di disposizioni.

Definizione 4.4. Si definisce disposizione con ripetizione di n oggetti distinti a grup-

pi di k quando da un’ipotetica urna di n oggetti distinti si estraggono con reinserimentok oggetti considerandone l’ordine.

4.5.1. Esempio. Quanti possibili codici numerici (in base 10) di cinque cifre e possi-

bile formare?

10 10 10 10 10 100000

In generale il numero delle possibili disposizioni con ripetizione di n elementi presi

a gruppi di k e indicato con Dn k ed e pari a

Dn k nk

Non sempre pero ha senso considerare problemi in cui e possibile ricomporre l’urna

e quindi si considerano estrazioni senza ripetizione.

Definizione 4.5. Si definisce disposizione senza ripetizione di n oggetti a gruppi di k

quando da un’ipotetica urna di n oggetti distinti si selezionano ordinatamente k oggetti

da un’urna di n oggetti distinti.

4.5.2. Esempio. In quanti modi diversi si possono scegliere un Presidente, un segreta-

rio e un tesoriere da un comitato di 6 persone?

Si conta esattamente il numero delle possibili terne (ordinate e senza reinserimento)

6 5 4 120

In generale il numero delle possibili disposizioni senza ripetizione di n elementi

presi a gruppi di k e indicato con Dn k ed e pari a

Dn k n!

n k ! n n 1 n 2 n k 2 n k 1

E chiaro che a parita di elementi n e k il numero di disposizioni senza ripetizione

sara inferiore al caso in cui c’e ripetizione.




4.5.3. Esercizi.

1. Quanti possibili codici numerici (in base 10) di cinque cifre e possibile formare

se

(a) la prima cifra non puo essere zero e non sono permesse ripetizioni?

[9 D9 4 ]

(b) la prima cifra non puo essere zero ma sono ammesse ripetizioni?

[9 D10 4 ]

2. Quanti numeri interi fra 1000 e 9999 (inclusi)

(a) hanno cifre distinte

[9 D9 3 4536]

(b) quanti fra questi sono numeri pari (sono tutti i numeri pari meno quelli che

cominciano per zero)

[5 D9 3 4 D8 2 2296]

(c) quanti, fra quelli del punto (a), sono composti solo da cifre dispari

[ D5 4 120]3. Quanti interi fra 10000 e 100000

(a) non hanno altre cifre oltre che 5, 7 e 9?

[ D3 5 35]

(b) non hanno altre cifre oltre che 5, 7, 9 e 0?

[3 D4 4 3 44]

4. Quanti zeri consecutivi si verificano nella parte finale destra del numero in forma

decimale che sta per 30!?

5. In quanti modi e possibile sedere 6 persone ad un tavolo rotondo se

(a) non ci sono restrizioni sui posti a sedere

[ 6!6 5!]

(b) due delle 6 persone non devono sedersi su sedie adiacenti[ 6 3 4 3 2

6 72]

6. In quanti modi e possibile sedere 5 uomini e 5 donne attorno ad un tavolo rotondo

se due donne non possono stare su sedie adiacenti?

[5 4 4 3 3 2 2 2880]

4.6. Permutazioni. Quando si considerano disposizioni di gruppi di numerosita k n

allora si parla di permutazioni.

Definizione 4.6. Una permutazione di un insieme ordinato di n oggetti e applicazione

su se stesso.

Consideriamo ad esempio l’insieme formato da tre elementi distinti.

A B C

Una possibile permutazione dell’insieme e ad esempio

A C B

(cioe un qualsiasi riordinamento della terna). Il numero di tutti i possibili riordinamenti

della terna e 3!.




Teorema 4.7. Il numero delle permutazioni distinte di un insieme di cardinalit a finita

e n!.

Pn n!

Quando tra gli n elementi ve ne sono di indistinguibili fra di loro allora si parla di

permutazioni con ripetizione di alcuni oggetti

Definizione 4.8. Una permutazione con ripetizione di un insieme ordinato di n og-

getti in cui &1 sono di tipo 1, &2 sono di tipo 2, e cosı via fino a &s di tipo s, e una

applicazione su se stesso.

Teorema 4.9. In questo caso il numero delle permutazioni distinte e

Pn

n!

&1!&2! &s!

4.6.1. Esercizio. Consideriamo l’insieme

E A B C D E F

A partire da E contare

1. tutte le terne ordinate con ripetizione

[ 6 6 6]

2. tutte le quaterne ordinate con ripetizione

[64]

3. tutte le terne ordinate senza ripetizione

[ 6 5 4]

4. tutte le quaterne non ordinate con ripetizione

[C 46 4 1]

4.7. Combinazioni. Contrapposto al concetto di disposizione, vi e quello di combi-

nazione nel quale l’ordine non ha piu importanza. Partiremo dal caso senza ripetizione

in quanto piu intuitivo.

4.7.1. Combinazioni semplici.

Definizione 4.10. Assegnati n elementi distinti a due a due

a1 a2 an

si chiamano combinazioni semplici di k elementi degli n di partenza, i gruppi non or-

dinati di numerosita k formati con elementi dell’insieme di partenza senza ripetizione.

Dalla definizione abbiamo che due combinazioni (gruppi) differiscono solo se dif-

feriscono almeno per un elemento.




Teorema 4.11. Il numero delle possibili combinazioni di n elementi distinti presi a

gruppi di k e

C n k n

k nk (si legge “n su k”) e detto anche coefficiente binomiale e si dimostra essere uguale

an

k

Dn k

k !

n n 1 n k 1

k !

n!

n k !k !

Si noti che il numero delle combinazioni semplici k su n coincide con il numero

delle permutazioni con ripetizione

Pn

n!

k ! n k !

anche se concettualmente sono due cose ben diverse.

4.7.2. Esempio. Sto tornando da un viaggio all’estero e ho la possibilita di portarmi a

casa 10 oggetti di ugual peso (5 kg). So pero che all’aeroporto mi verra richiesto un

peso massimo di 18 kg.

Il numero di tutti i bagagli che posso formare con questi oggetti (tutti distinti fra

loro) e pari al numero di combinazioni semplici

C 10 310

3

120

dato che 18 kg mi permette un massimo di 3 oggetti.

4.7.3. Combinazioni con ripetizione.

Definizione 4.12. Assegnati n elementi distinti a due a due

a1 a2 an

si chiamano combinazioni con ripetizione di k elementi sugli n, i gruppi non ordinati

formati con k degli elementi assegnati, considerando di poter trovare in un gruppo un

elemento che possa figurare al piu k volte.

Teorema 4.13. Il numero delle combinazioni con ripetizione di k elementi da n e

C n k

n k 1

k

La dimostrazione del numero di combinazioni con ripetizione viene fatta conside-

rando una corrispondenza biunivoca tra l’insieme delle combinazioni di k elementi con

ripetizione dall’insieme di interi 1 2 n e l’insieme di combinazioni senza ripe-

tizione di k elementi da un insieme di interi 1 2 n k 1 . (L’estensione al caso

generale e immediata).




Consideriamo le combinazioni di k elementi con ripetizione e le ordiniamo in senso non decrescente

a1 a2 ak

e ad ogni ai aggiungiamo i 1, i 1 k , otteniamo cosı

a1 0 a2 1 ak k 1in questo modo ho aumentato l’insieme degli elementi da n a n k 1 e le combinazioni della nuova k -

upla sono senza ripetizione. Si puo dimostrare che la relazione fra i due tipi di combinazione e biunivoca

e quindi il numero delle combinazioni con ripetizione e pari a

C n k

n k 1

k

4.7.4. Esempio. Il numero di modi in cui n palloni uguali possono essere posti in

m scatole etichettate (e tra queste qualcuna puo essere vuota) e dato dal numero di

combinazioni con ripetizione

C m n n m 1n

Per determinare tale risultato e necessario vedere il problema coma problema di

assegnazione, cioe considerare di formare un campione di n elementi (le scatole) da un

urna di m scatole distinte fra loro.

4.8. Esercizi.

1. In quanti modi si possono estrarre da un mazzo di 52 carte 13 carte

(a) se tutte le carte sono riposte nel mazzo

[C 1352 13 1]

(b) se non sono rimesse in gioco

[C 1352 ]

2. Trovare il numero dei possibili modi in cui 15 reclute possono essere assegnate a

tre diversi reggimenti.

[315]

3. Trovare il numero dei possibili modi in cui si possono ripartire (”partizionare”)

15 oggetti in 3 gruppi di uguale numerosita

[155

105

55

3! ]

4. Trovare il numero dei possibili modi in cui m n oggetti possono essere divisi in

due gruppi contenenti m ed n oggetti

[ m n

m ]

5. In quanti modi si puo selezionare un comitato di 4 persone da un gruppo di 6

uomini e 8 donne se deve contenere due donne e la signora Rossi non vuole stare

nello stesso comitato di suo marito?

[770]

6. In quanti modi possono essere riordinate le lettere della parola COMBINA

(a) se la prima lettera deve essere una vocale

[2160]

(b) se la terza e la sesta lettera devono essere consonanti




[1440]

(c) se non ci sono restrizioni

[5040]

7. Abbiamo 12 esperti tecnici e vogliamo fermare una commissione di 4 persone.

(a) Quante sono le possibili quaterne?[495]

(b) Se fra questi esperti vi sono 3 donne, contare quante commissioni conterranno

esattamente 1 donna?

[252]

(c) Quante contengono almeno una donna?

[369]

8. Quante targhe si possono comporre se ogni targa e formata da due distinte lettere

(su 26) e da tre distinte cifre?

[468000]

4.9. Propriet a del coefficiente binomiale. Consideriamo nota l’uguaglianza

1 t nn

"i 0

n

i t i(4.1)

valida per ogni n intero e per ogni reale t .

La relazione (4.1) e detta funzione generatrice delle relazioni combinatoriali , cioe i

coefficienti binomiali ni , (i 1 n) della classe n.

4.9.1. Esempio. La cardinalita dell’insieme delle parti di A, A e

n

0

n

1

n

n

n

"i 0

n

i

1n i1i 1 1 n 2n

Il valore dei coefficienti binomiali puo essere ricavato sviluppando in serie di Mac

Laurin il binomio 1 t n ed uguagliando i coefficienti dei termini di ugual grado:

n

i

n n 1 n i 1

i! i 1 n(4.2)

Nei calcoli e piu utile la definizione

n

i

n!

i! n i ! i 1 n(4.3)

4.9.2. Propriet a. Dalle relazioni (4.2) deriva che (per il principio di conservazione

delle proprieta formali)

1. 0! 1;

2. n0

nn

1;

3. nk

nn k

;

4. ni

0 per i 0 e per i n 0;

5. 00

1;

6. ni

e priva di significato se i o n non sono interi;




7. dalla (4.1) ponendo t 1 si ricava immediatamente che

n

"i 0

n

i2n;(4.4)

8. dalla (4.1) ponendo t 1 si ricava immediatamente chen

"i 0

n

i 1 i 1

n

1

n

2 0;(4.5)

9. derivando in t la (4.1) e ponendovi t 1 si ricava che

n

"i 0

i n

i n

n

"i 1

n 1

i 1 n2n 1;(4.6)

10. derivando due volte in t la (4.1) e ponendovi t 1 si ricava che

n

"i 1

i i 1 n

i n n 1

n

"i 2

n 2

i 2 n n 1 2n 2;(4.7)

11. e cosı via.

Le ultime relazioni sono possibili per la continuita in t e l’indefinita derivabilita in t .

4.9.3. Relazione di ricorrenza. Tale relazione permette di esprimere un coefficiente

binomiale mediante la somma di altri due

n

i

n 1

i

n 1

i 1(4.8)

Dalla (4.8) si puo facilmente provare che

ni

n i 1

"h 1

n hi 1

n i 1

"h 1

i h 2i 1

(4.9)

da quest’ultima relazione si puo ricavare, dopo k iterazioni della medesima regola, che

n

i

n i k

"h k

h 1

k 1

n 1

i k (4.10)

Inoltre a partire dalla relazione (4.8) si puo costruire il triangolo aritmetico di Pascal00

10

11

2

0

2

1

2

230

31

32

33

40

41

42

43

44

... ...

... ...

...

TRIANGOLO DI PASCAL

Per questo triangolo valgono le seguenti relazioni

il primo e l’ultimo elemento di ogni riga rappresenta l’unita

i simboli simmetrici rispetto all’altezza verticale del triangolo hanno uguale va-

lore




ogni simbolo e la somma dei due simboliche gli stanno sopra

quindi si tratta del seguente triangolo di numeri

1

1 11 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1...

... ...

... ...

4.9.4. Propriet a. Uguagliando i termini di egual grado degli sviluppi in serie di

1 t n 1 t k 1 t n k (4.11)

otteniamo

"h

n

h

k

i h

n k

i(4.12)

in cui h e chiaro che varia sugli interi che non annullano gli addendi, cioe max 0;i

k h min n; i .

Ponendo nella (4.12) i k n e notando che nh

nn h

, otteniamo che

n

"h 0

n

h

22n

n(4.13)

Sviluppando ni 1 t i e ponendo t rispettivamente uguale a -1 e 0, otteniamo lerelazioni

i

"h 0

n

h

n h

n i 1 h 0(4.14)

e

n

"h 0

n

h

n h

n i 2i n

i(4.15)

4.9.5. Coefficienti polinomiali. Si definiscono, analogamente ai coefficienti binomia-li, anche i coefficienti polinomiali,

n

n1 n2 nr

n!

n1!n2! nr!

e vale la seguente relazione

a1 a2 arn "

n1 n2 nr n

n

n1 n2 nra

n1

1 an2

2 anrr(4.16)




4.10. Conteggio degli alberi etichettati. I diagrammi ad albero sono uno strumento

grafico usato per enumerare tutti i possibili esiti di una serie di esperimenti, in cui

ciascun esperimento puo avere un numero di esiti finiti.

La costruzione di un albero avviene nel modo che segue

1. Si inizia con un punto arbitrario P1.

2. Si aggiunge un nuovo punto P2 collegato da una linea a P1.

3. Si aggiunge un nuovo punto P3 collegato da una linea a uno fra P1 e P2.

4. Si aggiunge un nuovo punto Pi collegato da una linea a uno fra P1 P2, ,Pi.

In pratica l’albero e costruito procedendo da sinistra a destra e in corrispondenza ad

ogni nodo il numero dei rami rappresenta il numero dei possibili esiti dell’esperimento

successivo.

Il conteggio dei nodi terminali mi fornisce il numero dei possibili esiti dell’esperi-

mento globale.

4.10.1. Esempio. Trovare l’insieme prodotto A B B dove A 1 2 , B a b ce C 3 4

I nodi terminali, e quindi anche la cardinalita dell’insieme, sono 12.

Consideriamo due insiemi N e K a cardinalita finita, con Card( N )=n e Card(K )=k .

Proposizione 4.14. Consideriamo l’insieme A composto da tutte le applicazioni che

associano un elemento di K ad un elemento di N. Allora la cardinalit a dell’insieme A

e pari ad nk .

4.10.2. Esempio. Giorgio e Valerio giocano ad un torneo di tennis. Vince il torneo chi

vince due partite di seguito oppure chi vince un totale di tre partite. Rappresentiamo in

un diagramma ad albero i possibili scenari. E contiamo il numero dei nodi terminali: i

possibili risultati del torneo sono 10.




INDICE

1. Generalita sugli insiemi 1

1.1. Definizioni e simbologia 2

1.2. Sottoinsiemi 2

1.3. Insieme universale e insieme vuoto 2

1.4. Diagrammi di Venn 3

2. Operazioni fra insiemi 3

2.1. Unione 3

2.2. Esercizi 4

2.3. Intersezione 4

2.4. Esercizi 5

2.5. Complementazione 52.6. Esercizi 6

2.7. Differenza fra insiemi 6

2.8. Esercizi 7

2.9. Funzioni di punto e d’insieme 7

2.10. Esercizi di ricapitolazione 9

2.11. Prodotto Cartesiano 10

3. Famiglie di insiemi 11

3.1. Partizione di un insieme 11

3.2. Insieme delle parti di un insieme 11

3.3. Algebra di parti di un insieme 11

3.4. #-algebra di parti di A 12

4. Cenni di calcolo combinatorio 12

4.1. Esempi 12

4.2. Notazioni 14

4.3. Regole principali di calcolo combinatorio 14

4.4. Composizione delle k -uple 15

4.5. Disposizioni 16

4.6. Permutazioni 17

4.7. Combinazioni 18




4.8. Esercizi 20

4.9. Proprieta del coefficiente binomiale 21

4.10. Conteggio degli alberi etichettati 24

DIPARTIMENTO DI S TATISTICA U NIVERSIT A C A’ FOSCARI, VENEZIA

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