Dispense Dinamica

Universit degli Studi di Bologna II Facolt di Ingegneria con sede a Cesena

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Meccanica

Dispense del Corso di DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI LS

Anno Accademico 2006-2007

prof. Alessandro RIVOLA (Tel. 0543 374441 e-mail: [email protected])

INDICE

1. Introduzione. 2. Dinamica delle macchine e degli impianti. 3. Fondamenti di meccanica delle vibrazioni. 4. Sistemi ad un grado di libert. 5. Sistemi a due gradi di libert. 6. Sistemi a molti gradi di libert. 7. Sistemi continui. 8. Misure di vibrazione e analisi modale. 9. Modellazione a parametri concentrati. 10. Modelli a parametri concentrati: impiego di Simulink. 11. Introduzione al metodo degli elementi finiti. Esercitazioni.

Parte 1 Introduzione

Dinamica delle Macchine e dei Sistemi Meccanici 1 1

PARTE 1 Introduzione MACCHINA Una macchina un sistema di organi disposti in modo tale da compiere, muovendosi sotto l'azione di forze opportunamente applicate, lavoro di interesse industriale. In sostanza una macchina ha il compito di trasformare una energia, in essa entrante, di un certo tipo, in energia da essa uscente, in generale di tipo diverso: ad esempio di trasformare energia meccanica in altre forme di energia (come avviene nelle macchine operatrici, nelle macchine generatrici elettriche), oppure di trasformare in energia meccanica energia di tipo generalmente diverso (come nelle macchine motrici), oppure anche di trasformare energia meccanica in energia meccanica, variandone i fattori (come avviene ad esempio nei riduttori di velocit). Possiamo dunque dire che una macchina ha la duplice funzione di trasmettere movimento e di trasmettere forze. DINAMICA DELLE MACCHINE In conseguenza del movimento impresso agli organi delle macchine, nascono in questi delle azioni dinerzia, alle quali sono connessi molti importanti problemi. Quelli che possono venire studiati prescindendo, almeno in linea di principio, dalla deformabilit dei corpi, vengono studiati nella Dinamica delle macchine: si tratta dei problemi relativi al calcolo e al bilanciamento delle azioni di inerzia, all'accoppiamento fra motore e macchina utilizzatrice, al funzionamento delle macchine e degli impianti a regime periodico, ai transitori meccanici. I problemi strettamente connessi con la deformabilit elastica dei corpi vengono invece trattati nella Meccanica delle vibrazioni, che affronta problemi di grande rilevanza tecnica come, fra gli altri, l'isolamento delle vibrazioni, l'analisi modale, la diagnostica industriale. Una grande rilevanza tecnica hanno infine, come evidente, i problemi relativi alla Dinamica dei rotori, quali il bilanciamento statico e dinamico, le velocit critiche flessionali, le oscillazioni torsionali, i problemi di instabilit. SISTEMA Un sistema un insieme di oggetti materiali che interagiscono a ben determinati fini. Gli oggetti materiali costituenti il sistema sono connessi fisicamente fra loro. facile vedere come dalla definizione precedente possano essere esclusi molti sistemi, anche di grande interesse per l'ingegneria meccanica. Cos, per esempio, mentre il sistema costituito da un motore a combustione interna rientra nella definizione data, quello di un'officina per il collaudo del motore non vi ricade: in questo caso infatti fanno parte del sistema anche le procedure di collaudo che si intendono adottate e queste non sono individuabili come oggetti materiali, anche se il sistema, nel suo complesso, fisicamente realizzabile. Nel corso ci si occuper in larga parte di sistemi meccanici. In altre parole, in conformit alla definizione di sistema fisico, di quei sistemi in cui le connessioni fisiche fra gli oggetti costituenti diano luogo a considerevoli scambi energetici in forma di energia meccanica quindi esprimibili attraverso le variabili forza e velocit , momento e velocit angolare e nei quali si possano verificare variazioni dell'energia potenziale e cinetica del sistema. Dato che nella definizione sopra riportata un sistema inteso come costituito da oggetti materiali, possibile definire tutto ci che non fa parte di tali oggetti come esterno (o ambiente) del sistema, riconoscendo una superficie fisica (o concettuale) di separazione fra sistema e ambiente esterno. Gli oggetti costituenti un sistema possono essere indicati come sottosistemi, ossia come parti di un sistema a loro volta rispondenti alla definizione gi data, o come componenti, ossia come enti primitivi caratterizzati da opportuni parametri che, per un dato fine, non necessario ritenere ulteriormente suddivisibili. Si noti che la definizione di componente dipende dal fine che ci si propone nell'effettuare la

oggetto, l'interazione dinamica fra stantuffo e fasce elastiche; altrimenti il pattino un sottosistema, mentre stantuffo e fasce ne sono i componenti. Allo stesso modo il meccanismo articolato biella-manovella pu costituire un sistema qualora se ne voglia studiare la dinamica; diventa un sotto sistema se si vuol compiere l'analisi dell'intero motore; questo a sua volta un sottosistema se, per esempio, si sta



analizzando la macchina su cui tale motore operante, e cos via. Il fatto che uno stesso ente possa essere considerato sotto differenti aspetti un punto fondamentale della dinamica e deve fin d'ora essere tenuto presente. LA MODELLAZIONE IL MODELLO FISICO Vedere un sistema come un insieme di elementi interconnessi tra loro, ci porta a dover stabilire come il comportamento dei singoli elementi e quello delle connessioni tra essi influenza il comportamento dell'intero sistema. Dal punto di vista metodologico l'elemento caratterizzante la modellazione dei sistemi meccanici, che fornisce il mezzo fondamentale per affrontare in modo corretto ed efficiente l'ampia gamma dei problemi di dinamica delle macchine.

Modeling of a forging hammer ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 19)

Per affrontare lo studio di un qualsiasi sistema meccanico necessario infatti formularne dapprima un adeguato modello fisico e successivamente dedurre da questo il relativo modello matematico. Per modello fisico si intende qui un sistema fisico immaginario che sia equivalente al sistema reale nell'ambito di una prefissata approssimazione e rispetto alle caratteristiche che riguardano lo studio a cui si interessati. Prerogativa essenziale del modello fisico, ai fini della sua effettiva utilit, deve essere la possibilit di studiarlo con gli strumenti a disposizione, di regola di tipo matematico. Il passaggio dal sistema reale al suo modello fisico comporta un certo numero di approssimazioni consapevolmente accettate, la pi importante delle quali consiste nel trascurare tutto quanto provoca effetti piccoli, o comunque ritenuti trascurabili, sul comportamento del sistema. Il modello fisico deve includere un numero sufficiente di effetti e dettagli in modo da poter descrivere il meglio possibile il sistema in termini di equazioni, senza divenire allo stesso tempo troppo complesso. Il modello fisico pu essere lineare o non lineare, in funzione del comportamento dei componenti del sistema. Modelli lineari permettono una soluzione rapida e sono semplici da trattare. Modelli non lineari a



volte rivelano certe caratteristiche del sistema che non possono essere correttamente predette impiegando modelli lineari. A volte il modello viene gradualmente migliorato in modo da ottenere risultati pi accurati. Inizialmente viene usato un modello elementare per investigare rapidamente il comportamento globale del sistema. Successivamente il modello viene raffinato includendo altri componenti ed effetti in modo che il comportamento del sistema possa essere osservato pi nel dettaglio.

Modellazione di un motociclo con pilota ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 21)

IL MODELLO MATEMATICO Una volta individuato il modello fisico del sistema, si pu procedere a determinarne il modello matematico, cio un insieme di relazioni matematiche che descrivono il comportamento del modello fisico stesso. La scrittura di tali equazioni avviene impiegando i principi della dinamica: si possono seguire approcci differenti tra i quali il principio di d'Alembert, il principio dei lavori virtuali, il principio di conservazione dell'energia, le equazioni di Lagrange. Le equazioni del moto sono solitamente equazioni differenziali ordinarie, per un sistema discreto, ed equazioni differenziali alle derivate parziali, per un sistema continuo. Le equazioni possono essere lineari o non lineari a seconda della tipologia dei componenti il sistema. Si passer infine alla realizzazione di un algoritmo di risoluzione delle equazioni del modello matematico. Solo in casi semplici la soluzione pu venire ottenuta in forma chiusa: di solito si ottiene la soluzione per via numerica, mediante l'uso di un calcolatore. In funzione della natura del problema si pu usare una delle seguenti tecniche per trovare la soluzione: metodi standard per la soluzione di equazioni differenziali, metodi basati sulla trasformata di Laplace, metodi matriciali, metodi numerici. Se le equazioni sono non lineari difficilmente possono essere risolte in forma chiusa.



INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI ED ANALISI La soluzione delle equazioni del moto fornisce il comportamento del modello del sistema. Il modello deve ora essere verificato, in altre parole vanno verificate le ipotesi fatte nel modellare il sistema reale. Tale verifica pu essere condotta tramite prove sperimentali; tale procedura fondamentale per una corretta progettazione, ma pu non essere necessaria se si stanno considerando componenti il cui comportamento noto essere ben descritto da modelli specifici sulla base dell'esperienza acquisita. Per esempio si sicuri di poter usare il modello di resistenza v = i R senza bisogno di alcuna verifica, almeno fino a quando le condizioni operative (tensione, temperatura, ) si mantengono entro certi limiti. Una volta che il modello validato, esso pu essere usato per prevedere il comportamento del sistema in questione. CONTROLLO Spesso un sistema che opera sotto azioni esterne e in condizioni mutevoli nel tempo, richiede un sistema di controllo, in modo da produrre i risultati desiderati. Il ruolo del sistema di controllo duplice: deve portare le condizioni operative del sistema ai valori desiderati e deve mantenerle anche in presenza di disturbi e/o variazioni delle condizioni esterne. Il progetto di un sistema dinamico spesso implica anche lo studio del sistema di controllo pi appropriato. D'altra parte i progettisti del sistema di controllo richiedono modelli che descrivano le propriet dinamiche dominanti del sistema da controllare. Pertanto, modellazione e controllo dei sistemi dinamici costituiscono una unica area di studio.

Sistema di controllo computerizzato per impianto

con turbina a vapore per generazione di energia elettrica ("Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems", W. J. Palm, p. 5).

BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. I e II,

ed. Ptron, Bologna. * W. J. Palm, Modeling, analysis, and Control of Dynamic Systems, John Wiley & Sons, 1999. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * R. Ghigliazza, U. Galletti, Meccanica applicata alle macchine, Utet, 1986.

Parte 2 Dinamica delle Macchine


PARTE 2 Dinamica delle Macchine

ANALISI DINAMICA DIRETTA Date le forze attive sulla macchina e la legge di moto, determinare quale forza ulteriore deve essere applicata per realizzare la legge di moto desiderata. Questo problema detto analisi cinetostatica. Rientrano tra gli argomenti che riguardano il problema diretto la determinazione delle azioni di inerzia, il bilanciamento di tali azioni e lanalisi cinetostatica dei meccanismi. INVERSA Date tutte le forze attive agenti sulla macchina (sia le azioni resistenti, sia quelle motrici), determinare la legge di moto dei membri in funzione del tempo. In questo caso si parla di analisi dinamica in senso stretto. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i transitori di avviamento o di arresto.

Per entrambi i problemi, diretto ed inverso, possono poi essere determinate le forze reattive (le reazioni vincolari).

AZIONI DI INERZIA Vedi Appendice A1

ENERGIA CINETICA (Vedi Appendice A2) Lenergia cinetica di un corpo rigido pu essere posta nella forma:

[ ]zyyzzxxzyxxyzzyyxxo JJJJJJmvT +++= 22221 2222 essendo (O, x, y, z) una terna di assi con origine baricentrica.

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI Il principio dei lavori virtuali (PLV) pu enunciarsi asserendo che: condizione necessaria a sufficiente per lequilibrio di un sistema meccanico, che sia nullo il lavoro delle forze attive su di esso agenti a seguito di spostamenti virtuali, invertibili, dei loro punti di applicazione. Per spostamenti virtuali si intende spostamenti infinitesimi e compatibili con i vincoli cui il sistema soggetto. In termini matematici, indicando con Fj (j=1,2,N) tutte le forze esterne e con rj (j=1,2,, N) i relativi spostamenti virtuali invertibili, si ha:

01

==

j

N

jj rF (2.1)

PRINCIPIO DI D'ALEMBERT Per illustrare il principio di d'Alembert (Parigi 16 Novembre 1717 - Ottobre 1783) iniziamo osservando che la celebre equazione di Newton (seconda legge)

Fa =m (2.2)

pu riscriversi nella forma 0= Fam

(2.3)

Se si definisce il vettore Fi delle forze di inerzia im Fa = (2.4)

la (2.3) si trasforma nella 0FF =+ i (2.5)

Apparentemente nulla si guadagnato da tale semplice operazione algebrica, tuttavia ci che rende geniale il principio di d'Alembert l'interpretazione della relazione (2.2) quale condizione di equilibrio.



In altri termini, da quest'ultima relazione si deduce che la somma delle forze d'inerzia a tutte le altre forze agenti sul sistema produce equilibrio. In definitiva il principio di d'Alembert afferma che in equilibrio un sistema di forze ottenuto aggiungendo alle forze F agenti su un sistema le forze di inerzia Fi. Ci introduce la possibilit di trattare problemi di dinamica avvalendosi delle metodologie proprie della Statica e, in particolare, del PLV.

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI IN DINAMICA In Dinamica, il PLV pu essere matematicamente formulato come segue:

( ) 01

==

j

N

jjjj m raF (2.6)

essendo rj (j=1,2,N) spostamenti virtuali reversibili (invertibili). L'osservazione del perch una massa in movimento possa essere trattata come una in equilibrio viene superata considerando il significato di spostamenti virtuali. Come noto, il criterio di equilibrio di un arbitrario sistema di forze richiede che sia nullo il lavoro virtuale di tutte le forze agenti. Pertanto, essendo gli spostamenti virtuali e non effettivi il principio applicabile tanto alle masse in movimento quanto a quelle a riposo.

In definitiva il PLV in dinamica pu essere enunciato come segue: condizione necessaria a sufficiente per lequilibrio di un sistema, che sia nullo il lavoro delle forze su di esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali (infinitesimi e compatibili con i vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione. Nello studio della dinamica delle macchine il PLV viene, di regola, utilizzato per la determinazione delle forze incognite: si sceglie arbitrariamente un insieme di spostamenti virtuali e si uguaglia a zero la somma dei lavori virtuali delle forze applicate al sistema, imponendo cos che le forze stesse siano in equilibrio. Volendo calcolare il valore della reazione incognita, si pu sostituire il vincolo con la reazione stessa, dando al sistema spostamenti virtuali per i quali la razione incognita compia lavoro non nullo. Nellapplicazione allo studio dinamico delle macchine ad un grado di libert, si prendono comunemente come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il movimento. Allora lequazione dei lavori virtuali si riconduce a quella dellenergia.

EQUAZIONE DELL'ENERGIA Lequazione energetica una formulazione particolare del PLV, a cui ci si riconduce allorquando si scelgono come spostamenti virtuali gli spostamenti che il sistema effettivamente subisce durante il movimento. Se si suppone che lenergia interna (elastica, termica, ecc.) del sistema in studio non subisca modifiche (e quindi in particolare, che i membri che costituiscono il sistema siano rigidi) e che il sistema stesso non scambi energia con lesterno se non sotto forma di energia meccanica, lequazione dellenergia si scrive:

idW dL dV+ = (2.7)

dove dW e dLi sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze attive esterne non conservative (che non ammettono potenziale) e da quelle dinerzia, mentre dV la variazione denergia potenziale del sistema. La (2.7) si pu scrivere anche nella forma:

m r p idL dL dL dL dV+ + + = (2.8) dove dLm, dLr, dLp sono i lavori elementari compiuti rispettivamente dalle forze motrici e da quelle resistenti utili e passive. Daltro canto, il lavoro elementare compiuto dalle forze dinerzia uguale allopposto della variazione denergia cinetica del sistema:

212

ji j j j j j j j j j jj j j j

dPdL m P dP m dP m P dP d m P dT

dt

= = = = =

!

!! ! ! ! (2.9)



per cui leq. (2.8) pu essere scritta nella forma: m r pdL dL dL dV dT = + (2.10)

dove si evidenziato il fatto che il lavoro compiuto dalle forze motrici positivo, mentre quello compiuto dalle forze resistenti utili e passive negativo. Se poi si suppone che sul sistema non agiscano forze conservative (che ammettono potenziale), la (2.10) diventa:

m r pdL dL dL dT = (2.11)

TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELLENERGIA MECCANICA Quando in un sistema vincolato le forze attive siano conservative, ovvero ammettano potenziale U, allora si ha:

dU = dT (2.12)

da cui la quantit (T U) si mantiene costante nel tempo. Considerando lenergia potenziale V = U il teorema di conservazione dellenergia meccanica assume la forma:

T(t)+V(t)=E (2.13)

dove E una costante che rappresenta lenergia totale del sistema e che possiamo calcolare mediante le condizioni iniziali.

GRADI DI LIBERT Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libert del sistema. Nel seguito si parler indifferentemente di gradi di libert (gdl) o, nell'accezione anglosassone, di degrees of freedom (dof). Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema sempre possibile definire un set di cosiddette coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,,n), ossia di coordinate indipendenti in numero uguale a quello dei gdl del sistema.

EQUAZIONI DI LAGRANGE Oltre ai citati mezzi di indagine, nello studio dinamico delle macchine altri mezzi trovano conveniente impiego allorch si debbano studiare sistemi complessi a molti gdl. Per lo studio di questi problemi , ad esempio particolarmente utile luso delle equazioni di Lagrange. Se n il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il moto. La generica di queste equazioni pu essere scritta nella forma:

, 1, ,kk k k

d T T V Q k ndt q q q

+ = =

!

(2.14)

dove: qk la generica coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente lenergia cinetica e lenergia potenziale e la quantit:

jk jj

k

Qq

=

r

F (2.15)

la generica forza generalizzata di tipo non conservativo. Limpiego delle equazioni di Lagrange nello studio dei sistemi complessi vantaggioso rispetto a quello delle equazioni di dAlembert perch presenta minori difficolt concettuali; come contropartita linterpretazione fisica delle equazioni di Lagrange non sempre immediata.



RIDUZIONE DI MASSE (MOMENTI DI INERZIA) E FORZE (COPPIE) Nello studio dinamico di un sistema pu essere conveniente ricondursi allo studio dellequilibrio di un particolare membro, la cui posizione caratterizzi facilmente la configurazione del sistema stesso. La sostituzione del sistema reale con uno pi semplice lecita purch i due sistemi siano equivalenti dinamicamente. Tale equivalenza si ottiene imponendo che i due sistemi diano origine, per spostamenti corrispondenti, ad uguali valori dei lavori elementari delle forze applicate e ad uguali valori dellenergia cinetica. A questo scopo viene effettuata la riduzione delle forze (o dei momenti) e delle masse (o dei momenti di inerzia) ad un punto (o ad un asse) del sistema semplificato. La riduzione di una o pi forze si ottiene sostituendo le forze stesse con ununica forza applicata nel punto di riduzione, in modo che il lavoro della forza ridotta per uno spostamento elementare del sistema uguagli quello delle forze prese in esame. La riduzione di una o pi masse ad un punto di riduzione si ottiene sostituendo le masse stesse con ununica massa, tale che non venga alterata lenergia cinetica del sistema nellintorno della configurazione desiderata. Effettuata la riduzione delle forze e delle masse, lo studio dinamico del sistema pu essere effettuato applicando lequazione dellenergia, ovvero il principio dei lavori virtuali, allo schema meccanico semplificato.

DINAMICA DELLE MACCHINE E DEGLI IMPIANTI MECCANICI IL PROBLEMA DINAMICO DIRETTO Assegnato il moto ed alcune azioni attive sulla macchina, si devono determinare le azioni ulteriori da applicare per realizzare il moto desiderato. Spesso si ipotizza che il membro movente si muova con velocit angolare costante. In questi problemi, il momento resistente utile di solito un dato, mentre il momento motore figura fra le quantit da determinare. In altri casi, pu succedere che la legge di moto nota sia quella di un transitorio di avviamento o di arresto: in tal caso, fra le azioni note sono da mettere in conto anche quelle di inerzia, mentre fra quelle incognite vi pu essere il momento frenante. IL PROBLEMA DINAMICO INVERSO Assegnate sia le azioni resistenti, sia quelle motrici, si deve determinare la legge di moto della macchina in funzione del tempo. Questo tipo di problema si presenta ad esempio quando si vogliano studiare i transitori di avviamento o di arresto. Un particolare problema di tipo inverso quello dello studio del moto delle macchine funzionanti a regime periodico.

TRANSITORI DI AVVIAMENTO Il problema dei transitori di avviamento quello dello studio del moto di una macchina che venga avviata applicando ad essa il momento erogato da un motore. Questo momento motore , di solito, funzione della velocit angolare, e talvolta anche di altre quantit; esso deve vincere le varie resistenze utili e passive e deve inoltre accelerare le masse mobili della macchina, portandole da velocit nulla alla velocit di regime. TRANSITORI DI ARRESTO I transitori di arresto si presentano quando la macchina, partendo da condizioni di moto, viene portata a fermarsi: di solito ci avviene annullando il momento motore, ed eventualmente applicando un momento frenante noto, che si aggiunge alle altre azioni presenti nella macchina. REGIME PERIODICO Tale regime di moto tipico delle macchine in cui sono presenti masse (traslanti od oscillanti) dotate di moto alterno.

BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.

Ptron, Bologna. * M. Fabrizio, La Meccanica Razionale e i suoi metodi matematici, ed. Zanichelli, Bologna. * E. Pennestr, Dinamica Tecnica e computazionale (in corso di pubblicazione).



APPENDICE A1 Azioni di inerzia

Dato un sistema di punti materiali Pj di massa mj, il baricentro G del sistema definito dalla:

( ) 0= j jj GPm ovvero: m

PmG j

jj=

Propriet del baricentro sono: - G non dipende dalla posizione del punto assunto come origine dello spazio euclideo; - se il corpo omogeneo, G non dipende dalla densit; - se le masse sono distribuite lungo una retta o su una superficie piana, G appartiene a quella retta o a

quella superficie; - se il sistema dotato di un piano di simmetria, G giace su di esso; - comunque si scomponga il sistema in sottosistemi, G coincide con il baricentro dei punti materiali che

costituiscono i baricentri dei singoli sottosistemi.

La quantit di moto del sistema definita come:

= j jj dtdP

mQ#

Dalla definizione di baricentro si ricava: Gj jj

mGmPm vQ #!!# ===

Il momento della quantit di moto rispetto ad un generico punto O risulta: ( ) = j jjjO PmOP !

#K

La risultante delle forze dinerzia : = j jji Pm !!

#F

(A1.1)

Dalle definizioni di baricentro e quantit di moto si ricava:

dtd

mGm GiQ

aF#

#!!#===

(A1.2)

Il momento risultante delle forze dinerzia rispetto a O : ( ) = j jjjOi PmOP !!

#,

M (A1.3)

Derivando rispetto al tempo lespressione del momento della quantit di moto si ottiene:

( ) ( )( )

+=

=+=

j jjjj jjj jjj

j jjjj jjjO

PmOPPmOPPm

PmOPPmOPdtKd

!!!!!!

!!!!!#

(A1.4)

Osservando che il primo addendo a secondo membro della (A1.4) nullo e tenendo presente la definizione di baricentro e la (A1.3), si ricava:

OiO GmO

dtd

,MK#!!

#=

ossia: QvKM ####

= OO

Oi dtd

, (A1.5)



Se O un punto fisso ( 0=O! ) oppure la velocit di O parallela a quella di G (ovvero quando O coincide con G), leq. (A1.5) diventa:

dtd O

OiKM##

=,

(A1.6)

Risulta dunque sempre conveniente assumere O coincidente con un punto fisso o con il baricentro.

CASO DEL CORPO RIGIDO CONTINUO Sia # la velocit angolare del corpo rispetto ad un riferimento inerziale e sia O un punto appartenente al corpo. La velocit di un qualunque altro punto data da:

( )OPOP += #!! Assumendo come polo dei momenti lo stesso punto O, si ha:

( ) [ ][ ]dmOPOPOdmOP

dmOPOPdmOOPdmPOP

mm

mm mO

=

=+==

#!

#!!#

)()()(

)()()( K (A1.7)

Assumiamo che O coincida con un punto fisso (qualora esista) ovvero con il baricentro. Nel primo caso si ha: 0=O! ; nel secondo: ( ) ( ) == mm dmGPdmOP 0 . Comunque, il primo addendo che compare a secondo membro delleq. (A1.7) diventa nullo, per cui risulta:

( ) ( )[ ] = mO dmOPOP ##K (A1.8)

Si ha: ##

OO JK =

dove la matrice simmetrica

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

O

JJJJJJJJJ

J detta tensore di inerzia

Si dimostra che : ( ) ( )[ ] O

m

O dmOPOPdt

d KK##!#

#+= (A1.9)

La (A1.9) si pu anche scrivere nella seguente forma: OO

O

dtd JJK ~+= ! (A1.10)

dove ~ la matrice antisimmetrica:

=

00

0~

xy

xz

yz

Per la (A1.6) risulta infine: OOOi JJM ~, = ! (A1.11)



APPENDICE A2 Energia cinetica

Lenergia cinetica di un sistema di punti materiali per definizione:

= j jj PmT 221 !

(A2.1)

Nel caso particolare del corpo rigido continuo, leq. (A2.1) diventa: ( )[ ] += m dmOPOT 221 #! (A2.2)

Se si assume che O sia fisso ( 0=O! ) o coincidente con G ( ( ) 0=m dmGP ) e si espande leq. (A2.2): ( ) ( )[ ] ( )[ ] ++= mm dmOPOPdmOPOOmT

###!!21

21 2

Nelle ipotesi assunte, il secondo addendo a secondo membro nullo, per cui:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

=

=+=

m

m

dmOPOPOm

dmOPOPOmT

21

21

21

21

2

2

##!

##! (A2.3)

Proiettando leq. (A2.3) nel sistema di riferimento assunto, si ottiene:

[ ]zyyzzxxzyxxyzzyyxxO

JJJJJJOm

OmT

+++=

=+=

22221

21

21

2222

T2

!

! J (A2.4)

ovvero OT JT21

= se O un punto fisso;

e GGmT Jv T2 21

21

+=#

se OG.

Parte 3 Fondamenti di MdV


PARTE 3 Fondamenti di MdV

GRADI DI LIBERT Il minimo numero di coordinate indipendenti richiesto per determinare univocamente la posizione di tutti gli elementi di un sistema ad ogni istante di tempo, definisce il numero di gradi di libert del sistema. Indicato con n il numero di gdl di un generico sistema sempre possibile definire un set di cosiddette coordinate generalizzate, usualmente indicate con qk (k=1,2,,n), ossia di coordinate indipendenti in numero uguale a quello dei gdl del sistema.

SISTEMI CONTINUI E DISCRETI Un gran numero di sistemi meccanici pu essere descritto impiegando un numero finito di gdl; ci accade quando sono presenti elementi dotati di elevata elasticit e scarsa massa e, al contempo, elementi di notevole massa ed elevata rigidezza. Quando, al contrario, il sistema ha un numero infinito di "punti di massa" e presenta membri deformabili, necessario un numero infinito di coordinate per specificare la sua configurazione deformata. Sistemi aventi un numero di gdl finito sono detti discreti o a parametri concentrati, mentre quelli con un numero infinito di gradi di libert sono detti continui. Spesso, i sistemi continui sono approssimati come discreti; in tal modo pi semplice ottenere la soluzione del problema dinamico. Sebbene trattare un sistema come continuo dia risultati esatti, i metodi di analisi per i sistemi continui sono limitati ad una tipologia di sistemi molto ridotta, come ad esempio travi a sezione uniforme, piastre sottili, membrane, etc. Di conseguenza, la maggior parte dei sistemi viene studiata impiegando modelli discreti. In generale, risultati pi accurati sono ottenibili aumentando il numero di gdl.

Fig. 3.1 Single-degree of freedom (SDOF) systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)

Fig. 3.2 Two degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 14)



Fig. 3.3 Three degree of freedom systems ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 15)

Fig. 3.4 An infinite number of dof system: a cantilever beam ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 16)

ELEMENTI ELASTICI Diversi sono i modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticit rispetto agli altri elementi del sistema meccanico. Tali membri non si considerano dissipare energia e solitamente sono considerati privi di massa.

Molle lineari Se la molla funziona nel campo elastico entro il limite di proporzionalit, la forza che si sviluppa quando la molla si deforma proporzionale alla deformazione stessa. La costante di proporzionalit detta rigidezza ed il suo inverso chiamato cedevolezza.

Deformazione (x)

Forza (F)

xx1 2

F = k x x = x2 x1

Il lavoro compiuto per deformare una molla di rigidezza k, viene immagazzinato come energia potenziale V:

2

21

xkV =



Anche altri elementi elastici, quali ad esempio travi, si comportano come molle. Per esempio si consideri la trave incastrata di figura, avente allestremo libero una massa concentrata m e si assuma per semplicit che la massa della trave sia trascurabile nei confronti della massa m.

La freccia statica allestremo libero vale: EIlW

st 3

3=

dove W=mg il peso della massa m, E il modulo di Young del materiale, I il momento di inerzia di sezione e l la lunghezza della trave.

Di conseguenza la costante elastica (la rigidezza) della trave vale: 33lEIWk

st

==

Fig. 3.5 Cantilever with end mass ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 23)

Molle non lineari Gli elementi elastici seguono un comportamento lineare solo entro certi limiti della deformazione. Oltre certi valori di deformazione, la tensione eccede il limite di proporzionalit del materiale e la relazione tra fora e deformazione diviene non lineare. In molte applicazioni pratiche si assume che le deformazioni siano piccole e pertanto si considerano le molle come aventi comportamento lineare. In altri casi, anche se la molla non lineare, si approssima ad una molla lineare mediante un processo di linearizzazione: Sia F un carico statico agente su una molla non lineare causandone una deformazione x*. Se la forza F viene incrementata di una quantit F, la molla si deforma ulteriormente di una quantit x. La nuova forza F+F pu essere espressa in serie di Taylor (vedi Appendice 1) attorno alla posizione di equilibrio statico:

n

x

n

n

xx

xdx

Fdn

xdx

Fdx

dxdF

xFxxFFF )(!

1...)(

!21)(*)()*(

*

2

*

2

2

*

++++=+=+

Forza (F)

Deformazione (x)

Forza (F)

Deformazione (x)

F+ F

F(x*)

x* x*+ x

k



Per piccoli valori di x, i termini contenenti derivate di ordine elevato possono essere trascurati ottenendo:

)(*)()*(*

xdxdF

xFxxFFFx

+=+=+

e poich F = F(x*), si pu esprimere F come: F = k x dove k la rigidezza linearizzata della molla in corrispondenza della deformazione x*:

*xdxdFk =

Molle in serie

neq kkkk1

...

11121

+++=

Molle in parallelo

keq = k1 + k2 + + kn

ELEMENTI SMORZANTI In molti sistemi meccanici, lenergia di vibrazione gradualmente convertita in energia termica o energia acustica. A causa della riduzione di energia, la risposta vibratoria del sistema subisce un graduale decremento. Tale meccanismo prende il nome di smorzamento delle vibrazioni. Sebbene la quantit di energia convertita in calore o suono sia relativamente piccola, considerare lo smorzamento di fondamentale importanza per una adeguata previsione del comportamento vibratorio del sistema. Solitamente si assume che un elemento smorzante sia privo di massa ed elasticit. La forza che esercita uno smorzatore esiste solo in presenza di velocit relativa tra i due estremi dello smorzatore stesso. E piuttosto difficile determinare le cause di smorzamento nei sistemi meccanici; solitamente lo smorzamento viene modellato come una combinazione dei seguenti:

Smorzamento viscoso E quello usato pi frequentemente nello studio delle vibrazioni.



Quando un sistema meccanico si muove in un fluido, la resistenza che il fluido offre al movimento dei corpi causa dissipazione di energia. Lammontare di questa energia dipende da molti fattori quali ad esempio le dimensioni e la forma dei corpi, la viscosit del fluido, la velocit dei corpi. Nello smorzamento di tipo viscoso, la forza proporzionale alla velocit relativa dei corpi e la costante di proporzionalit dipende dalla viscosit del fluido e dalla geometria dei corpi.

vcAhvA

dyduAF ====

+=

Dd

dlD

c21

43

3

3

Attrito Coulombiano (attrito secco) La forza costante in ampiezza ma ha verso opposto a quello della velocit relativa tra i corpi.

V

N

T

|T| = f N F = sign (V) |T|

Smorzamento isteretico (smorzamento strutturale) Quando un corpo si deforma, lenergia di deformazione assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto dovuto allattrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale allatto della deformazione. Quando un corpo soggetto a questo tipo di fenomeno sottoposto alternativamente a trazione e compressione o, nello specifico, vibra, la relazione tra tensione e deformazione del tipo rappresentato in figura. Lenergia dissipata ad ogni ciclo vale:



=UL

ddD

MOTO ARMONICO

Fig. 3.6 Meccanismo per moto armonico ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 46)

In fig. 3.6 rappresentato un meccanismo mediante il quale alla massa m impartito un moto armonico semplice (laccelerazione proporzionale allo spostamento) quando alla manovella OP si impone un moto rotatorio continuo uniforme. Se la velocit angolare della manovella e A la sua lunghezza, la massa si muove con legge di moto x(t):



x = A sin t con pulsazione del moto armonico.

Si ha inoltre :

tAxdtdx

cos== ! xtAxdt

xd 222

2sin === !!

Rappresentazione vettoriale Un moto armonico pu anche essere rappresentato mediante un vettore OP, di ampiezza A, rotante con velocit angolare . Con riferimento alla fig. 3.7, le proiezioni di questo vettore lungo le due direzioni x e y forniscono:

y = A sin t ; x = A cos t

Fig. 3.7 Proiezioni di un vettore rotante ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 47)

Rappresentazione con numeri complessi Si pu ricorrere anche alla rappresentazione mediante numeri complessi. Infatti, ogni vettore X nel piano xy pu essere rappresentato con il numero complesso:

X = a + i b dove a e b sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria.



Se si indica con A lampiezza del vettore X e con il suo argomento (langolo compreso tra il vettore e lasse x), X pu essere espresso come: X = A cos + i A sin con: 22 baA += ;

a

b1tan=

Introducendo le relazioni di Eulero, si ha anche: X = A cos + i A sin = A ei

Usando la rappresentazione con numeri complessi, il vettore rotante di fig. 3.7 pu essere scritto come:

X = A e i t

dove anche detta frequenza circolare di rotazione ed espressa in rad/s.

Derivando rispetto al tempo si ha:

( ) XX iAeiAedtd

dtd titi

===

( ) ( ) XX 222222 ==== tititi AeAeidtdAedtddtd

Fig. 3.8 Spostamento, velocit e accelerazione come vettori rotanti ("Mechanical vibrations", S.S. Rao, p. 50)

da cui si vede che loperazione di derivazione si traduce nel moltiplicare il vettore per i, od anche nel moltiplicare lampiezza del vettore per e ruotarlo in avanti di 90 gradi (vedi fig. 3.8).

Lavoro compiuto in moti armonici Un importante concetto in molte applicazioni quello del lavoro compiuto da una forza, che varia armonicamente con una certa pulsazione, per uno moto armonico avente la stessa pulsazione. Sia data la forza P = P0 sin (t + ) agente su un corpo dotato di legge di moto x = x0 sin t. Il lavoro compiuto dalla forza in un periodo 2/ vale:

=+====

2

000

2

0

/2

0

/2

0

)(cos)sin()(1 tdttxPtddtdxPdt

dtdxPdxPW



=+=

2

000 )(]sincoscos[sincos tdtttxP

+=

2

0

200

2

000 )(cossin)(cossincos tdtxPtdttxP

Il primo integrale nullo mentre il secondo vale per cui in definitiva si ha: sin00 xPW =

OTTAVA Quando il massimo valore di una banda di frequenza il doppio del minimo, tale banda detta banda dottava. Ad esempio, ciascuna banda 75 150 Hz, 150 300 Hz, e 300 600 Hz, una banda dottava. In ciascun caso, il massimo ed il minimo valore della frequenza, che hanno un rapporto pari a 2:1, si dice che differiscono di unottava.

DECIBEL Le varie quantit che si incontrano nel campo delle vibrazioni e del rumore, come ad esempio, spostamento, velocit, accelerazione, pressione, potenza, sono spesso rappresentate usando la notazione dB (decibel). In origine il decibel stato definito con riferimento a potenze elettriche come:

=

0log10

PPdB dove P0 un valore di riferimento.

Poich la potenza elettrica proporzionale al quadrato della tensione (X), il decibel pu anche essere espresso come:

=

=

0

2

0log20log10

XX

XXdB dove X0 un valore di riferimento.

Naturalmente il dB usato anche per esprimere il rapporto tra altre quantit (spostamenti, velocit, accelerazioni, pressioni, ).

BIBLIOGRAFIA * E. Funaioli, A. Maggiore, U. Meneghetti, Lezioni di Meccanica applicata alle macchine, Vol. II, ed.

Ptron, Bologna. * S.S. Rao, Mechanical vibrations, Third edition, Addison Wesley Pub. Company, 1995. * W.J. Palm. Modeling, Analysis, and Control of Dynamic Systems, 2nd ed., John Wiley & Sons.



APPENDICE A1 Serie di Taylor

Il teorema di Taylor afferma che una funzione pu essere rappresentata in prossimit di un punto x = x0, dallespansione:

nk

xx

k

k

xxxx

Rxxdx

fdk

xxdx

fdxx

dxdf

xfxf ++

++

+

+===

=

...)(!

1...)(

!21)()()( 0202

2

00

000

dove il termine Rn dato da: nbx

n

n

n xxdxfd

nR )(

!1

0

=

=

con b compreso tra x0 e x.

Il risultato valido se la funzione ammette derivate continue fino allordine n. Se Rn tende a zero, lespansione detta serie di Taylor della funzione f(x) attorno a x = x0. Se x0 = 0, la serie anche detta serie di McLaurin.

Esempio

...

!7!5!3sin

753++=

xxxxx

...

!6!4!21cos

642++=

xxxx

...

!4!3!21

432+++++=

xxxxe

x dove x0 = 0.

Si noti che se x piccolo le prime due danno luogo a due approssimazioni largamente usate delle funzioni seno e coseno:

sin x x e cos x 1.

Inoltre se nella terza si considera x = i , si ottiene: ...!5!4!3!2

15432++++=

iiiei ;

separando la parte reale da quella immaginaria:

+++

+++= ...

!5!3...

!4!21

5342 iei

si ottengono le identit di Eulero:

sincos iei += sincos ie i = (avendo sostituito con ).



APPENDICE A2 Espressioni trigonometriche utili

sinsincoscos)cos( tmtmtm =+

sincoscossin)sin( tmtmtm +=+

tmntmntmtn )cos(21)cos(21sinsin += tmntmntmtn )sin(21)sin(21cossin ++=

)2cos1(21cos2 tt +=

)2cos1(21sin2 tt =

sincos iei +=

sincos ie i =



APPENDICE A3 Rigidezze e equivalenti



APPENDICE A4 Momenti di inerzia di massa

Parte 4 Sistemi ad 1 gdl


PARTE 4 Sistemi ad 1 gdl

VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MOLLA SMORZATORE

Equazione del moto: 0=+ kxxc! Si tratta di un sistema del primo ordine, la cui equazione caratteristica :

0=+ kcz La radice dellequazione caratteristica:

ckz =1 reale.

La soluzione dellequazione del moto : t

c

k

eAtx

= 1)( 0 0.05 0.1

0

0.5

1

la costante A1 si determina in funzione della condizione iniziale: x(0)=x0 da cui si ha: A1=x0

Lintegrale generale pertanto: t

c

k

extx

= 0)(

VIBRAZIONI LIBERE SISTEMA MASSA SMORZATORE

Equazione del moto: 0=+ xcxm !!! Si tratta di un sistema del primo ordine, infatti si pu scrivere:

=

=+

xycyym!

! 0

Lequazione caratteristica della 0=+ cyym! : 0=+ cmz la cui radice :

mcz =1 (reale)

mc

x(t)

La soluzione dellequazione del moto in y(t) : t

m

c

eBty

= 1)(

La costante B1 si determina in funzione della condizione iniziale: y(0)=v0 da cui si ha: B1=v0

E pertanto: t

m

c

evty

= 0)(

da cui: t

m

c

evc

mBtx

= 02)( La costante B2 si determina in funzione della condizione iniziale: x(0)=x0 da cui si ha: 002 v

c

mxB +=

Lintegrale generale pertanto:

+=

tm

c

evc

mxtx 1)( 00

0 0.5 10

0.5

1

1.5

x0>0 v00 v0>0



VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA MOLLA

Equazione del moto: 0=+ kxxm !! Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica :

02 =+ kmz Le radici dellequazione caratteristica: nim

kz ==2,1

sono immaginarie. Il rapporto

mk

n = viene detto pulsazione naturale del sistema.

m

kx(t)

La soluzione dellequazione del moto : titi nn eCeCtx += 21)(

Introducendo le relazioni di Eulero: tite nnti n sincos =

si ottiene: tCCitCCtx nn sin)(cos)()( 2121 ++= da cui: tEtDtx nn sincos)( +=

Imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0()0(

vx

xx

=

=

! si ottiene: tvtxtx n

n

n sincos)( 00 +=

0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Si noti che, posto: sinGD = e cosGE = , si ha: )sin()( += tGtx n oppure ponendo: cosFD = e sinFE = , si ha: )cos()( = tFtx n

Osservazione La risposta di un sistema ad un gdl pu essere rappresentata nel piano spostamentovelocit, noto anche come spazio degli stati o piano delle fasi. Consideriamo la risposta nella forma: )cos()( = tAtx n e la corrispondente velocit: )sin()( = tAtx nn! da queste possiamo ricavare:

)cos()( = tAtx

n e )sin()(

= t

Atx

n

n

!

che quadrando e sommando membro a membro danno luogo alla:

1222

2

2

=+A

x

Ax

n

!

ossia allequazione di una ellisse i cui semiassi sono funzioni della costante A da determinarsi in funzione delle condizioni iniziali.



VIBRAZIONI LIBERE DEL SISTEMA MASSA MOLLA SMORZATORE

Equazione del moto: 0=++ kxxcxm !!! . Si tratta di un sistema del secondo ordine, la cui equazione caratteristica :

02 =++ kczmz

Le radici dellequazione caratteristica sono: m

km

c

m

cz

=

2

2,1 22

La soluzione dellequazione del moto : tztz eCeCtx 21 21)( +=

m

c

kx(t)

Si definisce smorzamento critico ccr il valore della costante di smorzamento per il quale si ha:

02

2

=

m

km

c da cui: ncr mkm

m

kmc 222 ===

Per un sistema smorzato si definisce fattore di smorzamento il rapporto tra la costante i smorzamento c e lo smorzamento critico ccr:

= c / ccr da cui: nm

c

2=

Utilizzando il fattore di smorzamento, le due radici dellequazione caratteristica diventano: ( )122,1 = nz e la soluzione dellequazione del moto diventa: ( ) ( )tt nn eCeCtx 1211 22)( + +=

La natura delle due radici, e di conseguenza il comportamento del sistema, dipende dallammontare dello smorzamento. Occorre distinguere tre casi:

Caso 1 (sistemi poco smorzati: < 1, o c < ccr) La quantit ( 2 1) negativa e le due radici sono complesse e coniugate e si possono esprimere come: ( )22,1 1 = iz n Introducendo la nuova costante s, detta pulsazione naturale del sistema smorzato: 21 = ns si ha: sn iz =2,1 e lintegrale dellequazione del moto diventa: { }titit ssn eCeCetx += 21)(

Introducendo le relazioni di Eulero: tite ssti s sincos =

si ottiene: { }tCCitCCetx sstn sin)(cos)()( 2121 ++= da cui: { }tEtDetx sstn sincos)( += Lultima espressione pu anche assumere la forma: )sin()( += teXtx stn oppure la: )cos()( 00 = teXtx stn Le costanti (D, E), (X, ) oppure (X0, 0) si trovano imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0()0(

vx

xx

=

=

! si ottiene:

s

n xvE

xD

000

+=

=



Il moto risulta oscillatorio, pseudoperiodico, smorzato:

+

+= txv

txetx ss

ns

tn

sincos)( 000

0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Caso 2 (sistemi con smorzamento critico: = 1, o c = ccr) Le due radici dellequazione caratteristica sono reali, coincidenti, negative e pari a: nzz == 21 Lintegrale dellequazione del moto diventa: tztz teCeCtx 11 21)( += ovvero: ttz netCCetCCtx +=+= )()()( 2121 1 Si ha inoltre: tztztz teCzeCeCztx 111 21211)( ++=!

Le costanti C1 e C2 si trovano imponendo le condizioni iniziali:

0

0

)0()0(

vx

xx

=

=

! si ottiene:

002

01

xvCxC

n+=

=

Il moto risulta aperiodico smorzato:

tn

netxvxtx ++= ])([)( 000

0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.05

0.1

0.15

Caso 3 (sistemi molto smorzati: > 1, o c > ccr) Le due radici dellequazione caratteristica sono reali, distinte ed entrambe negative: ( ) 0121



Il moto risulta aperiodico smorzato: ( ) ( ) ( ) ( ) t

n

nt

n

n nn evx

evx

tx 12

02

012

02

0 22

12

1

12

1)( ++

+

++=

La seguente figura confronta il moto del sistema massa molla smorzatore nei tre differenti casi (caso 1: sistema poco smorzato; caso 2: sistema con smorzamento critico; caso 3: sistema molto smorzato).

Osservazione La natura delle due radici dellequazione caratteristica, z1 e z2, e i corrispondenti valori del fattore di smorzamento , possono essere rappresentati in un piano complesso. La semicirconferenza di raggio n rappresenta il luogo delle radici per valori di compresi tra 0 ed 1. Questo tipo di rappresentazione permette di vedere leffetto del fattore di smorzamento sul comportamento del sistema. Infatti per = 0, si hanno le due radici immaginarie z1 = in e z2 = in ; per 0 < < 1, le radici sono complesse e coniugate e collocate simmetricamente rispetto allasse reale; quando = 1, le due radici sono coincidenti e pari a n; infine per > 1, entrambe giacciono sullasse reale (per , una tende a 0 mentre laltra tende a ).

Luogo delle radici dellequazione caratteristica del sistema massa molla smorzatore.



Osservazione La risposta libera del sistema massa molla smorzato pu essere rappresentata nel piano delle fasi, come indicato in figura.

DETERMINAZIONE DEL FATTORE DI SMORZAMENTO: METODO DEL DECREMENTO LOGARITMICO A differenza dei componenti massa e rigidezza, lo smorzamento non pu essere determinato mediante prove statiche. Il valore del fattore di smorzamento pu essere ricavato sperimentalmente misurando lampiezza decrescente di oscillazioni successive. Si consideri infatti loscillazione libera di un sistema con smorzamento inferiore a quello critico ( < 1). Presi due istanti di tempo corrispondenti a due massimi consecutivi, il rapporto tra le ampiezze delloscillazione risulta:

)cos()cos(

)()(

020

010

2

1

2

12

1

==

teXteX

x

x

tx

tx

st

st

n

n

Ma t2 = t1 + T, dove T il periodo delloscillazione (T = 2/s) di conseguenza si ha: T

Tt

tn

n

n

ee

e

x

x

==+

)(2

11

1

Si definisce decremento logaritmico il logaritmo naturale del rapporto x1/x2: Tx

xn =

=

2

1ln

Dalla definizione di pulsazione naturale del sistema smorzato si ha poi:

2122

==

s

n

Per valori del fattore di smorzamento sufficientemente piccoli ( < 0.4), si pu porre con buona approssimazione:

2

Se si considerano, anzich due oscillazioni successive, n oscillazioni successive, si ottiene:

Tn

n

n

n

nex

x

x

x

x

x

x

x

x

x ==

++ 14

3

3

2

2

1

1

1... il cui logaritmo naturale vale: nTn

x

xn

n

==

+1

1ln



In definitiva risulta:

=

+1

1ln1nx

x

n

In conclusione, se si riesce a misurare in via sperimentale il rapporto x1/xn+1 poi possibile risalire al valore del fattore di smorzamento .

VIBRAZIONI LIBERE CON ATTRITO COULOMBIANO (SMORZAMENTO COULOMBIANO) Una comune causa di smorzamento nei sistemi meccanici lattrito secco, denominato anche attrito coulombiano. Lattrito Coulombiano caratterizzato dalla relazione:

=

0000

xNx

xNF

!!!

dove F la forza dattrito, N la forza normale e il coefficiente di attrito cinetico. La forza di attrito F si oppone sempre alla velocit relativa tra i corpi a contatto. Facendo riferimento alla fig. 4.1, lequazione del moto si modifica a seconda del verso della velocit della massa m:

0>=+ xmgkxxm !!! 0



Fig. 4.2 Risposta libera del sistema massamolla con attrito coulombiano.



Infine, si notino le seguenti caratteristiche di un sistema con attrito coulombiano:

* Lequazione del moto non lineare ( lineare se il sistema ha smorzamento viscoso). * Il sistema conserva la frequenza naturale del sistema non smorzato (la frequenza naturale del sistema con smorzamento viscoso inferiore a quella del sistema non smorzato). * Il moto periodico (in un sistema con smorzamento viscoso pu essere aperiodico). * Il sistema giunge allarresto in maniera lineare (se lo smorzamento viscoso il sistema si avvicina asintoticamente alla quiete, senza raggiungerla mai).



VIBRAZIONI LIBERE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO) Si prendano in esame la molla e lo smorzatore viscoso disposti in parallelo come in figura 4.3(a). Se si considera un moto armonico tXtx sin)( = , la forza esercitata vale:

2222 )sin(cossin)( xXckxtXXckxtcXtxXxckxtF ==+=+= !

Fig. 4.3 Molla smorzatore viscoso.

Landamento della forza F(t) in funzione della deformazione x una curva chiusa come illustrato in figura 4.3(b). Larea interna a tale curva corrisponde allenergia dissipata dallo smorzatore in un ciclo del moto armonico ed data da:

2/2

0

cXFdxFdxW

===

Fig. 4.4 Molla smorzatore isteretico.

Come accennato in precedenza, quando un corpo sottoposto alternativamente a trazione e compressione, lo smorzamento causato dallattrito nello scorrimento tra le fibre interne del materiale allatto della deformazione chiamato smorzamento isteretico o strutturale. Il fenomeno da luogo ad un loop nella curva tensione deformazione (o forza e spostamento), come rappresentato in figura 4.4(b). Lenergia dissipata ad ogni ciclo di carico e scarico del materiale uguale allarea racchiusa dal loop di isteresi. Lanalogia tra le figure 4.3(b) e 4.4(b) pu essere impiegata per definire una costante di smorzamento strutturale. Infatti si trovato sperimentalmente che lenergia perduta per ciclo a causa dello smorzamento



strutturale indipendente dalla frequenza del carico, ma approssimativamente proporzionale al quadrato della sua ampiezza. Pertanto si pu porre:

22 XcaXW eq== da cui: ha

ceq ==

Introducendo ora la rappresentazione del moto armonico mediante numeri complessi, tieXtx =)( , la forza nel sistema di figura 4.3(a) vale:

xickeXiceXxckxtF titi )()( +=+=+= ! .

Analogamente, la forza nel sistema molla smorzatore isteretico di figura 4.4(a), pu essere espressa come:

xkxikxkhikxihktF ~)1()1()()( =+=+=+=

dove k~ nota come rigidezza complessa del sistema e una costante adimensionale detta fattore di smorzamento strutturale.

METODI ENERGETICI (INTRODUZIONE AL METODO DI RAYLEIGH) Si osservi che in sistemi non smorzati, come il sistema massa molla, lequazione del moto pu essere scritta sfruttando il principio di conservazione dellenergia. Infatti, in assenza di forze non conservative, lenergia totale del sistema si mantiene costante, ovvero:

0)( =+VTdtd

Nel caso specifico si ha: 221

xmT != 221

xkV =

da cui si ottiene:

0)(21

21 22

=+=+=

+ xkxmxxxkxxmxkxmdtd !!!!!!!!

ed infine: 0=+ kxxm !!

Il principio di conservazione dellenergia pu essere impiegato anche per determinare direttamente la pulsazione naturale del sistema. Indicate con 1 e 2 le configurazioni del sistema corrispondenti a due istanti generici, si ha:

T1 + V1 = T2 + V2

Se si considera come istante 1 quello in cui il sistema passa per la posizione di equilibrio statico (scelta come riferimento per lenergia potenziale) e, di conseguenza, lenergia cinetica massima, si avr:

U1 = 0 T1= TMAX

Se come istante 2 si prende quello in cui massimo lo spostamento del sistema dalla sua posizione di equilibrio statico (e quindi nulla la velocit), lenergia potenziale massima e si annulla lenergia cinetica:

T2 = 0 U2= UMAX

Per il principio di conservazione dellenergia segue che: MAXMAX VT =



Lapplicazione di questa equazione, permette di determinare direttamente la frequenza naturale del sistema. Ci si proponga infatti di trovare la pulsazione naturale del sistema conservativo massa molla. Se si assume il moto armonico nella forma:

)cos()( = tAtx n ,

allora risulta: 222

21

21 AmxmT nMAXMAX == ! 22 2

121 AkxkV MAXMAX ==

che eguagliate forniscono: km n =2

da cui: m

kn =

Il metodo energetico per il calcolo della frequenza naturale di fondamentale importanza. Infatti, per sistemi pi complessi, la determinazione delle frequenze naturali spesso cos complicata da divenire praticamente impossibile. In tali casi si vedr come una generalizzazione del metodo energetico, nota come metodo di Rayleigh conduce, anche se con una certa approssimazione, al risultato. Vengono ora presentati alcuni esempi di applicazione del metodo.

Effetto di una molla con massa non trascurabile Si consideri il sistema massamolla di figura 4.5 in cui la molla ha massa non trascurabile. Indicata con l la lunghezza della molla, se x lo spostamento del suo estremo inferiore, lo spostamento alla generica distanza y dallestremo fisso pari a y(x/l). Indicata con M la massa della molla e con dm la massa di un tratto di molla di lunghezza infinitesima dy (dm = dy M/l), lenergia cinetica e lenergia potenziale del sistema si esprimono come segue:

2

0

22

222

321

21

21

21

21

xM

mdyxly

lM

xmydmxmTl

!!!!!

+=

+=+= ; 221

xkV =

Fig. 4.5 Sistema massa molla.

Fig. 4.6 Manometro a tubo.

Se si assume il moto armonico della massa m nella forma )cos()( = tAtx n , si ha: 222

21

321 AkVAMmT MAXnMAX ==

+=

da cui si ricava la pulsazione naturale del sistema:

3M

m

kn

+=

In conclusione leffetto della massa della molla pu essere messo in conto aggiungendo un terzo della sua massa alla massa principale del sistema.



Manometro I sistemi fluidi, come quelli solidi, sono soggetti a moti vibratori. Con riferimento al manometro a tubo illustrato in figura 4.6, impiegando il metodo energetico, si pu calcolare la frequenza naturale di oscillazione del fluido nel tubo. Detta S la sezione del tubo, la densit del fluido e g laccelerazione di gravit, se x lo spostamento del liquido dalla posizione di equilibrio, lenergia potenziale e cinetica del fluido sono date da:

2

22gSxxgSxxgSxV =+= ; 2

21

xSlT !=

Assunto un moto armonico del liquido nella forma tAtx ncos)( = , si ha: 222

21 gSAVASlT MAXnMAX ===

da cui si ricava la pulsazione naturale del fluido: lg

n

2=

Si osserva che la pulsazione naturale indipendente dalla natura del fluido, ma dipende solo dalla lunghezza del tubo. Ad esempio per un tubo avente lunghezza pari a l = 0.5 m, la pulsazione naturale circa uguale a 1 Hz.

Pulsazione naturale di una trave appoggiata (metodo di Rayleigh) Si consideri la trave appoggiata di figura 4.7, avente massa m, con una massa concentrata M in mezzeria.

Si tratta ora di assumere una ragionevole deformata per la trave vibrante. A questo scopo si consideri la deformata statica corrispondente ad un carico in mezzeria (vedi Appendice A3):

2043)( max

3 lxy

lx

lx

xy

=

Fig. 4.7 Trave appoggiata con massa in mezzeria.

Assunta questultima come ragionevole deformata per la trave vibrante [v(x,t) = y(x) cosnt ], lenergia cinetica massima si pu scrivere come:

+=

+=2

0

232max

22max

22

0

2max

2322

max2 432

21

21432

21

21

l

nn

l

nnMAX dxlx

lxy

lmyMdmy

lx

lxyMT

che diviene:

+= mMyT nMAX 35

1721 2

max2

Mentre per lenergia potenziale si ha: 2max21 ykVMAX = dove k la rigidezza flessionale della

trave pari a: 348

lEIk = . In conclusione risulta:

+

=

mMl

EIn

3517

483

Il metodo di Rayleigh una generalizzazione del metodo dellenergia: viene assunta una ragionevole deformata per il sistema vibrante e in base a questa vengono determinati ed eguagliati i valori massimi di energia cinetica e potenziale. Ovviamente, il risultato sar tanto pi accurato quanto pi la deformata assunta si avvicina a quella reale.



VIBRAZIONI FORZATE

Scrittura delle equazioni del moto Si consideri il semplice sistema di fig. 4.8 costituito da un disco omogeneo di raggio R, massa m e momento di inerzia baricentrico JG. Si analizzi per semplicit il solo moto piano e si supponga che il disco rotoli senza strisciare su una guida rettilinea richiamato da una molla di costante elastica k e da uno smorzatore viscoso di caratteristica c. Nel baricentro del disco applicata una forza esterna f(t). Il moto del sistema descritto da due variabili fisiche, ad esempio, la traslazione x del baricentro del disco e la rotazione subita dallo stesso, ma poich il disco rotola senza strisciare, il sistema dotato di un solo gdl, essendo la coordinate x e correlate dalla relazione:

x(t) = R (t)

Assunta ora, come variabile indipendente per descrivere il moto del sistema vibrante, la traslazione x del baricentro, si procede alla scrittura dell'equazione del moto impiegando diversi metodi.

m, J

c

k

F(t)G

G

R

x

Fig. 4.8 Sistema ad 1 gdl.

Principio di d'Alembert La risultante delle forze applicate ad un sistema meccanico, comprese quelle di inerzia, nulla; pertanto, scrivendo le equazioni di equilibrio dinamico nelle direzioni orizzontale e verticale e il momento alla rotazione rispetto al baricentro G del disco, si ottengono le seguenti tre equazioni:

00

0)(

=

=

=++

NmgTRJ

TtfkxxcxmG!!

!!!

0

0

0)(

=

=

=++

Nmg

TRRxJ

Ttfkxxcxm

G!!!!!

dove g laccelerazione di gravit, mentre N e T sono rispettivamente la componente normale e tangenziale della reazione esercitata dal vincolo sul disco. Tenendo conto del legame tra x e , si ha:

ossia tre equazioni, di cui due differenziale a coefficienti costanti, nelle tre incognite x, T e N; la terza equazione disaccoppiata dalle prime due. Lapplicazione del principio di dAlembert presenta perci uno svantaggio e un vantaggio: si ha un numero di equazioni superiore al numero di gdl, ma insieme alla legge di moto si riescono a determinare anche le reazioni vincolari T e N.

Dalle prime due equazioni si riesce ad eliminare lincognita T giungendo alla:

)(2 tfkxxcxRJ

m G =++

+ !!!



Essendo il sistema particolarmente semplice, era possibile giungere direttamente allequazione del moto scrivendo lequilibrio dinamico alla rotazione rispetto al centro di istantanea rotazione tra disco e guida.

Principio dei lavori virtuali Condizione necessaria a sufficiente per lequilibrio di un sistema, che sia nullo il lavoro delle forze attive esterne e interne su di esso agenti, comprese quelle di inerzia, a seguito di spostamenti virtuali (infinitesimi e compatibili con i vincoli), invertibili, dei loro punti di applicazione. Considerato uno spostamento infinitesimo e compatibile con i vincoli x, si ha: lavoro virtuale compiuto dalle forze inerziali: !!!! Gi JxxmW = lavoro virtuale compiuto dalle forze elastiche e viscose: xxcxxkWkc != lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne: xtfWe )(=

Applicando il PLV, si ha: 0)( =+=++ xtfxxcxxkJxxmWWW Gekci !!!!! Che, tenuto conto del legame tra x e e della seguente: x

Rx

x 1=

=

diventa: 0)(2 =

+ xtfxcxkRxJxm G !!!!!

In altre parole lequazione del moto : )(2 tfkxxcxRJ

m G =++

+ !!!

Equazioni di Lagrange Per un sistema ad un gdl lequazione di Lagrange pu essere scritta come segue (vedi anche App. A2):

QqV

qT

qT

dtd

=

+

!

in cui q la generica coordinata indipendente scelta per descrivere il moto del sistema. Risulta conveniente scrivere le varie forme di energia esprimendole dapprima in funzione di coordinate fisiche: tali coordinate possono essere per esempio spostamenti dei baricentri (o rotazioni) dei diversi corpi che compongono il sistema, allungamenti relativi delle estremit di elementi elastici, spostamenti dei punti di applicazione delle forze, ecc In seguito si introducono i legami tra le variabili fisiche e la coordinata generalizzata prescelta. Se si considera, come unica variabile indipendente, lo spostamento x del baricentro del disco: q = x, e come variabili fisiche la rotazione e lallungamento l della molla, le espressioni delle varie forme di energia risultano le seguenti:

energia cinetica: 2221

21 !! GJxmT += energia potenziale: 22

1 lkV =

lavoro virtuale compiuto dalla forza dissipativa viscosa: xlcWd = ! lavoro virtuale compiuto dalla forza esterna: xtfWe )(= Introducendo i legami tra le variabili fisiche e la coordinata generalizzata q=x, i vari termini dellequazione di Lagrange risultano:

xRJ

xmxRJ

xmdtd

RxJxm

xdtd

x

Tdtd GG

G !!!!!!!!

!! 2222

2

21

21

+=

+=

+

=

021

21

2

22

=

+

=

RxJxm

xx

Tdtd

G!!

xkxkxx

V=

=

2

21



)(tfxcx

WQ +== !

In definitiva: )(2 tfkxxcxRJ

m G =++

+ !!!

ECCITAZIONE ARMONICA Si consideri il sistema ad un gdl di figura 4.9, dove la massa m soggetta ad una forza armonica F(t) = F0 cost. Lequazione del moto :

tFkxxcxm cos0=++ !!!

Lintegrale somma dellintegrale dellomogenea associata e di un integrale particolare che, visto che leccitazione armonica, sar anchesso di tipo armonico e avr la stessa frequenza:

)cos()()()()( 0 +=+= tXtxtxtxtx gopgo

In particolare, lintegrale della omogenea (che caratterizza la fase di transitorio), per valori di smorzamento inferiori a quello critico, si pu esprimere nella forma:

{ }tAtAetx sstgo n sincos)( 21 +=

m

c k

F(t)

x(t)

Fig. 4.9 Sistema ad un gdl smorzato.

dove A1 e A2 sono costanti che dipendono dalle condizioni iniziali e s la pulsazione naturale del sistema smorzato ( 21 = ns ). Si tratta di un moto periodico smorzato che, dopo un certo tempo, si annulla. Trascorso il transitorio, resta lintegrale particolare le cui costanti X0 e dipendono dalle caratteristiche del sistema e delleccitazione. Si trova facilmente, ad esempio impiegando la rappresentazione di figura 4.10, che:

22

2

2

20

22220

0

21)(

+

=

+=

nn

nm

F

cmkFX

; 22

1

2

=

=

n

n

mkc

tg

Fig. 4.10 Rappresentazione dellequazione del moto nel piano complesso.



Gli andamenti, corrispondenti a diversi valori del fattore di smorzamento , di ampiezza X0 e fase della risposta forzata a regime, sono riportati in figura 4.11, in funzione del rapporto (/n)2. In figura 4.11(a), lampiezza stata divisa per la freccia statica, ossia per la deformazione della molla sotto lazione della forza statica F0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Xo k/

Fo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

psi

(a) (b) Fig. 4.11 Ampiezza (a) e fase (b) della risposta forzata a regime, in funzione del rapporto (/n)2.

Si parla di risonanza di ampiezza quando lampiezza delloscillazione a regime X0 raggiunge il valore massimo. Tale condizione si ha per 221 =n e il valore dellampiezza vale:

Si parla, invece, di risonanza di fase quando 1=n , ovvero quando la fase pari a /2. In tale condizione il valore dellampiezza a regime vale:

2

0

12 =k

FX RA

20

kF

X RF =

In figura 4.12 riportato landamento del rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento . Si nota come le due risonanze tendono a coincidere al diminuire di .

0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 10

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

Fig. 4.12 Rapporto tra XRF e XRA in funzione del fattore di smorzamento .

FUNZIONE RISPOSTA IN FREQUENZA (FRF) Si consideri leccitazione armonica rappresentata in forma complessa tieFtF 0)( = . Lequazione del moto per un sistema ad un grado di libert con smorzamento viscoso risulta nella forma:

tieFzkzczm 0=++ !!!

Poich leffettiva eccitazione costituita dalla sola parte reale di F(t), la risposta del sistema sar anchessa costituita dalla sola parte reale di z(t), x(t)=Re[z(t)], dove z(t) una quantit complessa che soddisfa lequazione differenziale del moto.



Ipotizzata una soluzione particolare del tipo: titiiti ZeeeZeZz === 0)(

0 ,

se si sostituisce nella equazione differenziale, si ha: 02 FkZZicZm =++

e si ottiene: icmk

FZ+

= 20

.

Questultima pu essere scritta come: )(21

11

2

220

iH

i

kicmkF

Z

nn

=

+

=

+=

che nota come funzione risposta in frequenza del sistema.

Si tratta naturalmente di una quantit complessa: ieiHiH = )()( , in cui:

22

2

221

1)(

+

=

nn

kiH

e

2

21

2

n

ntg

=

Infine, ricordando che ieZZ = 0 , risulta:

( ) ( ) 222

2

0

222

00

21

+

=

+=

nn

kF

cmk

FZ

;

2

221

2

n

n

mkc

tg

=

=

La risposta del sistema , come detto, costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero: [ ] )cos(Re)](Re[)( 0)(0 === tZeZtztx ti .

In definitiva, come ovvio, si ritrova il risultato del paragrafo precedente.

DETERMINAZIONE DELLO SMORZAMENTO: METODO DELLA BANDA DI MEZZA POTENZA Si considerino i valori del rapporto nr = per i quali lampiezza della risposta a regime vale 21 lampiezza in condizioni di risonanza di fase. In altre parole:

( ) ( ) 222210

222

0

k

FX

rr

kF

RF==

+

Si ottiene lequazione: ( ) ( ) 2222 821 =+ rr cio: ( ) 081122 2224 =++ rr le cui radici sono:

22224222,1 12218144121 +=++=r

Per valori piccoli dello smorzamento si ha 2



da cui si ricava il valore del fattore di smorzamento: 4

21

22 rr

= . In definitiva, se si approssima 2)( 12 +n , si ha:

nn

12212

12122

21

22

21

)())((

4

+

+

=

Lintervallo di pulsazioni comprese tra 1 e 2 viene chiamato banda di mezza potenza. Tale denominazione deriva dal fatto che la potenza media dissipata ad ogni ciclo per effetto dellattrito viscoso, in corrispondenza di 1 e 2, approssimativamente la met di quella dissipata in condizioni di risonanza di fase. Infatti, in generale, lespressione della potenza media dissipata in un ciclo dallo smorzatore viscoso, per un moto armonico )cos()( = tXtx :

22

0 211

XcdtxxcT

PT

m == !!

Si ha quindi: 21

221

2

22,1

22

22,1

22,12,1

==

r

XcXc

P

P

nRFm

m

RF

Quanto detto fornisce la base per un metodo di rilevazione sperimentale dello smorzamento. Infatti, trovato sperimentalmente landamento dellampiezza della risposta a regime in funzione del rapporto r, si possono determinare 1, 2 e n, e quindi si pu calcolare .

Fig. 4.13 Banda di mezza potenza.

ECCITAZIONE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA FREQUENZA Un caso particolare si ha quando la forza eccitatrice ha ampiezza proporzionale al quadrato della pulsazione . Tale situazione si verifica, ad esempio, nelle macchine con rotori squilibrati. Lequazione del moto :

tAkxxcxm cos2=++ !!!



La risposta a regime risulta del tipo: )cos()( 0 = tXtx

con: 22

2

2

2

0

21

+

=

nn

nm

A

X

; 21

2

=

n

ntg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

Xo m

/A

Fig. 4.14 Ampiezza del rapporto X0 m/A in funzione del rapporto (/n)2 nel caso di oscillazioni forzate con eccitazione sinusoidale di ampiezza proporzionale a .

ECCITAZIONE ARMONICA IN RISONANZA (DI FASE) Si consideri il caso particolare in cui la forza eccitatrice ha pulsazione coincidente con la pulsazione naturale n del sistema. In altre parole siamo in condizione di risonanza di fase.

Per il sistema non smorzato, lequazione del moto :

tFkxxm ncos0=+!! ovvero: tmF

xx nn cos02=+!!

Lintegrale particolare : ttXtx nnp sin)( = con: kFX 0

21

=

Lintegrale generale dellomogenea associata del tipo: tAtAtx nngo sincos)( 21 +=

Fig. 4.15 Risposta del sistema non smorzato alleccitazione armonica in risonanza.



Pertanto, lintegrale generale dellequazione completa :

ttkF

tAtAtx nnnn sin21

sincos)( 021 ++=

Introducendo le condizioni iniziali si ha: ttkF

tx

txtx nnnn

ono

sin21

sincos)( 0++= !

Si pu osservare che lintegrale particolare dellequazione completa una oscillazione di ampiezza che cresce linearmente nel tempo. Il suo andamento rappresentato in figura 4.15.

Per il sistema smorzato, lequazione del moto :

tFkxxcxm ncos0=++ !!! ovvero: tmF

xxx nnn cos2 02 =++ !!!

Lintegrale particolare : tXtx np sin)( = con: 20

kF

X =

Lintegrale generale dellomogenea associata del tipo:

{ }tAtAetx sstgo n sincos)( 21 +=

in cui, se le condizioni iniziali sono nulle, risulta:

2

0

2

1

12

0

=

=

kF

A

A

Pertanto, lintegrale generale dellequazione completa, il cui andamento riportato in figura 4.16, :

+

=

ttek

Ftx ns

tn

sinsin

12)(

2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.5

0

0.5

1

Fig. 4.16 Risposta del sistema smorzato alleccitazione armonica in risonanza.



FENOMENO DEL BATTIMENTO Si consideri il caso delleccitazione armonica in cui il sistema sia privo di smorzamento. Lequazione del moto si riduce alla seguente:

tFkxxm cos0=+!! ovvero: tmF

xx n cos02=+!!

E lintegrale generale dellequazione completa : tXtxtxtxtx gopgo cos)()()()( 0+=+=

dove: tAtAtx nngo sincos)( 21 += e tXtxp cos)( 0=

con

2

2

0

22

0

20

0

1n

n

kF

mF

mkFX

=

=

=

Introdotte le condizioni iniziali, risulta: ( ) tXtxtXxtx nn

ono

cossincos)( 00 ++=!

Fig. 4.17 Risposta del sistema non smorzato alleccitazione armonica ( < n).

Fig. 4.18 Risposta del sistema non smorzato alleccitazione armonica ( > n).

Il moto risulta la sovrapposizione di due moti: uno ha pulsazione pari a quella della forzante, laltro ha pulsazione pari a quella naturale del sistema. La figura 4.17 rappresenta il caso in cui la pulsazione della forzante inferiore a n ( < n), mentre la situazione opposta rappresentata in figura 4.18 ( > n).

Ora, se la pulsazione della forzante molto vicina alla pulsazione naturale del sistema, pur mantenendosi distinta da questultima, nasce un fenomeno noto come battimento. In questo tipo di vibrazione lampiezza aumenta e diminuisce con andamento regolare. Il fenomeno pu essere spiegato considerando il caso in cui entrambe le condizioni iniziali siano nulle; allora si ha:

( ) ( )ttmF

ttXtx nn

n

coscoscoscos)(22

0

0

==



che si pu scrivere anche come:

+

= ttmF

tx nn

n2

sin2

sin2)(22

0

Ipotizzando che sia poco pi piccola di n e ponendo: 2=n , dove una piccola quantit positiva, risulta n e: 2+n .

Pertanto: 422 =n

In conclusione la legge di moto assume la forma: ttmF

tx

sinsin2

)(0

=

Il moto pu essere inteso come un moto avente pulsazione la cui ampiezza varia lentamente ( piccolo) con periodo 2/ (vedi figura 4.19). La frequenza di battimento b definita come: == nb 2

Fig. 4.19 Fenomeno del battimento.

VIBRAZIONI FORZATE CON SMORZAMENTO STRUTTURALE (ISTERETICO) Lequazione del moto per un sistema ad un grado di libert con smorzamento strutturale :

tFkxxhxm

cos0=++ !!!

Se si introduce la variabile complessa z, con x = Re(z), si ha: tieFzkzhzm 0

=++ !!!

Ipotizzata una soluzione particolare del tipo: titiiti ZeeeZeZz === 0)(

0 ,

se si sostituisce nella equazione differenziale, si ottiene: 02 FkZihZZm =++

che, introducendo il fattore di smorzamento strutturale , si pu scrivere: 02 )1( FZikZm =++ e si ottiene:

kimkFZ

+= 2

0

Ricordando che ieZZ = 0 , risulta:

( ) ( ) 222

2

0

222

00

1

+

=

+=

n

kF

kmk

FZ ; 221

=

=

n

mkk

tg



La risposta del sistema, x(t), costituita dalla sola parte reale di z(t), ovvero: [ ] )cos(Re)](Re[)( 0)(0 === tZeZtztx ti .

Si pu notare che, nel caso di smorzamento strutturale, la risposta x(t) raggiunge il suo valore massimo, F0/(k), in corrispondenza della risonanza = n, al contrario di quanto avviene nel caso di smorzamento viscoso in cui il massimo raggiunto per < n. Inoltre, per valori non nulli di , langolo non si annulla mai (nemmeno per = 0); ci significa che nel caso di smorzamento struturale leccitazione e la risposta non possono mai essere in fase.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Xo

k/F

o

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

psi

(a) (b) Fig. 4.20 Smorzamento strutturale: ampiezza (a) e fase (b) della risposta

forzata a regime, in funzione del rapporto (/n)2.

RISPOSTA ALLIMPULSO Si consideri una forza F nulla ovunque tranne che per lintervallo di tempo t in cui ha unampiezza costante F0.

La quantit: +

== tFdttFI 0)( si dice impulso della forza F.

Si faccia ora tendere a zero lintervallo t, imponendo che sia: +

= IdttF

t)(lim

0.

La forza F(t) che soddisfa questa condizione si dice impulsiva.

Ricordando che limpulso di una forza uguale alla variazione della quantit di moto, se una forza trasmette un impulso I ad un corpo di massa m

inizialmente in quiete, il corpo stesso acquista una quantit di moto Q = I, e quindi una velocit data da v0 = I / m. Ne segue che la risposta forzata ad uneccitazione impulsiva di impulso I

di un corpo di massa m, inizialmente fermo, coincide con il moto libero relativo alle condizioni iniziali:

0)0( =x e m

Ix =)0(!

Infatti, a causa della durata molto breve (teoricamente nulla) della forza impulsiva, durante la sua applicazione il corpo rimane nella posizione iniziale. Pertanto si avr:

tm

Itx n

n

sin)( = per il sistema non smorzato



tem

Itx s

t

s

n

sin)( = per il sistema smorzato (con



APPENDICE A1 Equazioni differenziali ordinarie (EDO)

)()()(...)()( 0111

1 tFtxadttdx

adt

txda

dttxd

an

n

nn

n

n =++++

(A1.1)

Lintegrale generale : x(t) = xO(t) + xp(t) (A1.2)

dove xo(t) lintegrale dellequazione omogenea associata (A) e xp(t) unintegrale particolare della EDO (B).

A) Integrale generale dellomogenea associata : tz

n

tztzo

neCeCeCtx +++= ...)( 21 21 (A1.3)

dove z1, z2, , zn sono radici distinte dellequazione caratteristica:

0... 011

1 =++++

azazaza nnn

n

e C1, C2, , Cn sono in generale numeri complessi.

Se lequazione caratteristica ha m radici coincidenti, allora: tz

n

tzm

tzmm

tztzo

nm eCeCetCteCeCtx ++++++= ++

......)( 1111 1121 (A1.4)

Le eventuali radici complesse vanno a coppie: z1 = a + ib; z2 = a ib

Le costanti di integrazione si determinano in funzione delle condizioni iniziali che possono riguardare la posizione e/o la velocit:

0

0

)0()0(

vx

xx

=

=

!

B) Integrale particolare dellequazione completa (A1.1), xp(t), dipende dal termine F(t).



APPENDICE A2 Equazioni di Lagrange

EQUAZIONI DI LAGRANGE Se n il numero di gdl del sistema considerato, n sono le equazioni di Lagrange che ne individuano il moto. Per un sistema ad un gdl lequazione pu essere scritta nella forma:

QqV

qT

qT

dtd

=

+

!

dove: q la coordinata generalizzata, T e V sono rispettivamente lenergia cinetica e lenergia potenziale e la quantit:

qW

qQ jj j

=

=

rF

la forza generalizzata di tipo non conservativo. In altri termini Q la componente lagrangiana di tutte le forze agenti sul sistema, non comprese quelle inerziali (il cui effetto considerato in T) e quelle che ammettono potenziale, tipicamente le forze peso e le forze elastiche (queste ultime sono considerate in V). Q viene calcolata come rapporto tra il lavoro virtuale W delle forze non conservative (per uno spostamento virtuale q della coordinata generalizzata q) e lo spostamento virtuale stesso.



APPENDICE A3 Deformata trave appoggiata

Tratto AC

=

lx

lx

ll

ll

EIPl

xy22

223

16

)( (A3.1)

Tratto CB

=

lxl

lxl

ll

ll

EIPl

xy22

223

16

)( (A3.2)

Punto C lEIlPllxy

22

21

1 31)( ==

(A3.3)

Se l1 = l2 = l/2, la (A3.1) diventa:

=

33

43

12)(

lx

lx

EIPl

xy (A3.4)

e in mezzeria, si ha: EIPlylxy

482

3

max ==

=

(A3.5)

Pertanto la freccia in una sezione a distanza x :

=

=

3

max

334343

48)(

lx

lxy

lx

lx

EIPl

xy (A3.6)

Infine, essendo la rigidezza pari allinverso della freccia corrispondente ad un carico unitario, la rigidezza flessionale della trave con carico in mezzeria (vedi (A3.5)):

348

lEIk =



PARTE 5 Sistemi a 2 gdl

EQUAZIONI DEL MOTO Si consideri il sistema a due gdl rappresentato in figura, costituito da masse molle e smorzatori viscosi. Il moto del sistema completamente descritto dalle coordinate x1(t) e x2(t), che definiscono la posizione delle masse m1 e m2 a partire dalle r

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