Dispense Elettrotecnica per Corso di Ingegneria Civile (L-7)

Elettrotecnica per

Ingegneria Civile

Docente: Giuliana Sias

riferimenti

Indirizzo e-mail: [email protected] Telefono: 070-6755878 Sito web: http://www.diee.unica.it/elettrotecnica/

Ricevimento: mercoled 12-14 presso diee (pad. A) piano mansarda.

informazioni

Modalit svolgimento esame: prova scritta e orale alla fine del corso.

Testi consigliati: C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Circuiti Elettrici, McGraw-Hill R. Perfetti, Circuiti Elettrici, Zanichelli

Totale ore: 50 Crediti corrispondenti: 5 Prerequisiti richiesti: Conoscenza degli argomenti di base dei corsi di Analisi I e II, Fisica I e II; Geometria.

4

COSE' L'ELETTROTECNICA? L'ELETTROMAGNETISMO E' ALLA BASE DI UNA

GRANDE QUANTITA' DI FENOMENI FISICI conversione elettromeccanica dell'energia comunicazione in fibra ottica dispositivi a micro-onde ricezione televisiva comunicazione via satellite radar oscilloscopi etc

LELETTROMAGNETISMO TECNICO O APPLICATO RIGUARDA LANALISI E LA SINTESI (PROGETTO) DI SISTEMI O SINGOLI DISPOSITIVI ELETTROMAGNETICI

5

Per la maggior parte dei dispositivi elettromagnetici dellelettrotecnica sussiste la possibilit di approssimare le equazione di Maxwell attraverso un modello matematico molto semplice che prende il nome di TEORIA DEI CIRCUITI

LELETTROMAGNETISMO TECNICO O

ELETTROTECNICA

Modellamento matematico dei problemi elettromagnetici

6

Grandezze Descrittive dei circuiti

Intensit di Corrente:

Quantit di carica netta che attraversa la sezione del conduttore nellunit di tempo

Q

dtdQI

v

Differenza di Potenziale:

Lavoro che il campo elettrico compie nel portare una carica unitaria da un punto del circuito ad un altro

i

i i = i( t ) i = -i

v v

A

B

V(A)-V(B)= vAB=v -v=vBA vAB=- vBA

+

-

A B + -

7

COMPONENTI

terminale

morsetto

superficie limite

BIPOLO

COLLEGAMENTO Due o pi componenti si dicono collegati se

hanno uno o pi morsetti in comune

TRIPOLO

MULTIPOLO

8

Legge di Kirchhoff sulle Tensioni

dl

P1

P2

P1

P2 P3

P4 P5 P6

01

1

L

P

PdlEdlE

[V(P2)-V(P1)]+[V(P3)-V(P2)]+[V(P4)-V(P3)]+ [V(P5)-V(P4)]+[V(P6)-V(P5)]+[V(P6)-V(P1)]=0

La somma delle differenze di potenziale calcolati lungo un qualunque percorso chiuso pari a

zero

2112 )()(2

1

VPVPVp

P x dlE

V(P1)= potenziale elettrico V21= tensione elettrica o differenza di potenziale

9

Legge di Kirchhoff sulle Correnti

La somma delle correnti che attraversano una qualunque superficie chiusa pari a

Zero

I I

L IdlH L

Il flusso della corrente attraverso tutte le superfici che hanno lo stesso bordo e la stessa orientazione lo stesso. Questo implica che la corrente che attraversa S1 uguale e contraria alla corrente che attraversa S2 Dunque:

I

L S1

S2

I=corrente concatenata con L

Leggi di Kirchhoff

10

LKV: 0 V

LKC: 0 I La somma algebrica delle correnti che attraversano una qualunque superficie chiusa pari a Zero

La somma algebrica delle differenze di potenziale calcolati lungo un qualunque percorso chiuso pari a zero

VARIABILI DESCRITTIVE

11

0n

1

2 3

n-1 i1

i2 i3

In v1

v2

Vn-1

In-1 {i1 , i2 , , in } {v1 , v2 , , vn }

v1

i1 1

0

I componenti di un circuito hanno tante correnti e tanti potenziali quanti sono i morsetti

Per descrivere il comportamento di un componente con n morsetti si ha bisogno n-1 tensioni ed n-1 correnti

i1 i2

v2 v1 2 1

0

12

CIRCUITO ELETTRICO

E' un insieme di componenti elettrici connessi tra loro mediante conduttori perfetti

Schema a blocchi di un Circuito Elettrico di soli Bipoli

nodo

13

CIRCUITO ELETTRICO

In questo schema circuitale possiamo individuare diversi percorsi chiusi a cui applicare la LKV e possiamo racchiudere i nodi e i componenti allinterno di superfici chiuse a cui applicare la legge LKC

Esercizio In figura si hanno i seguenti potenziali nei punti indicati:

V(a)=3V, V(b)=5V, V(c)=-2V. Calcolare le seguenti tensioni:

vab, vba, vbc,vad,vcd.

a

b

c d Risoluzione

vab=-vba

I punti d e a sono uniti da un corto circuito, per cui si trovano allo stesso potenzialela differenza di potenziale quindi nulla

VdV(c)-VVcdV(a)V(d)dVaVV

VcVbVVVaVbVV

VbVaVV

ad

bc

ba

ab

532)( 0)()(

7)2(5)()(235)()(

253)()(

Esercizio Ricavare la corrente ic e la tensione vba

Risoluzione

La corrente ic si pu ricavare dalla LKC applicata alla superficie chiusa in figura:

vba

+

- 2V 6V

+

-

1A 4A

ic

1 4 0 5c ci i A o

La tensione vba si pu ricavare applicando la LKV al percorso chiuso b-a-c-b.

6 2 0 4ba bav v V o

Il verso della corrente opposto rispetto a quello segnato in figura

a b

c

+

- 2V 6V

+

-

1A 4A

ic

a b

c

vba

16

CONVENZIONI

v i 1

0

i1 i2

v2 v1 2 1

0

9 convenzione degli utilizzatori: Pu>0, Pg

Conservazione dellenergia

17

Il principio di conservazione dellenergia deve essere soddisfatto da tutti i circuiti elettrici

0p

dtdLp

utilizzatagenerata pp

Esercizio Con riferimento alla figura, quale dei due elementi assorbe potenza? Quale la eroga? Dare un segno alle potenze sulla base della convenzione degli utilizzatori

+

-

4A

4V

8V - +

Risoluzione:

1

2

Lelemento 1 assorbe potenza perch tensione e corrente sono discordi

Lelemento 2 cede potenza perch tensione e corrente sono discordi:

W1644 ivp

W32)48( ivp

Esercizio Nel circuito in figura ricavare le potenze assorbite dai bipoli 3 e 4, e verificare la conservazione della potenza.

Risoluzione

Notiamo anzitutto che 3 2 4 8p W u

Ricaviamo v1 e v2 1 1 1

2 2 2

12 12

2 2 1

p v W v V

p v W v V

o

o

Dalla LKT abbiamo 1 2 4

4 1 2

4 04 2.5

v v vv v v V

Quindi 4 42 5p v W

Sommando 1 2 3 4 1 2 8 5 0!p p p p

I bipoli 1, 2 e 4 assorbono potenza; il bipolo 3 eroga potenza

4

3

1

2

+

+

+ + -

-

-

- 2A

2A 4V

v4 v2

v1 i

p1=1W

p2=2W

Propriet generali dei componenti

20

Linearit: Un componente o un circuito lineare se leffetto dovuto ad una qualsiasi causa proporzionale alla stessa

valido il PRINCIPIO di SOVRAPPOSIZIONE degli EFFETTI

Leffetto dovuto a pi cause che agiscono contemporaneamente la somma degli effetti dovuti a ciascuna causa considerata come se agisse da sola

lineare i

v

Non lineare i

v

21

permanenza: Un componente o un circuito permanente se leffetto non dipende dallistante di applicazione della causa

I coefficienti delle equazioni costitutive degli elementi o quelle rappresentative dei circuiti sono indipendenti dalla variabile tempo

passivit: leffetto di una qualsiasi causa di breve durata si mantiene limitato al passare del tempo.

Un componente o un circuito passivo pu erogare energia ma per un intervallo di tempo limitato, tale energia sar in quantit inferiore o al massimo uguale a quella accumulata in precedenza

22

RESISTORE ideale e LEGGE di OHM

v i vGvRiiRv

1

per un conduttore di lunghezza l e sezione A: ][ 1 : Al

AlR JU

MATERIALE U (: u m) argento 1,63 u 108 rame 1,72 u 108 oro 2,44 u 108 alluminio 2,83 u 108 tungsteno 6,52 u 108 silicio 2 300

CO

LOR

E

CIFR

A

MU

LTIPLO

TOLL.ZA

NERO 0 100 MARRON 1 101 ROSSO 2 102 ARANCIO 3 103 GIALLO 4 104 VERDE 5 105 BLU 6 106 VIOLA 7 107 GRIGIO 8 108 BIANCO 9 - ORO 10-1 5% ARGENTO 10-2 10% NERO o null - 20%

prefisso simbolo significato

atto a 10-18

femto f 10-15

pico p 10-12

nano n 10-9

micro m 10-6

milli m 10-3

centi c 10-2

deci d 10-1

deca da 101

etto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

exa E 1015

peta P 1018

23

CAPACITORE ideale

+ + + + +

+ +

+ +

+ + +

+

- - - -

- - - -

- v

i

i

d

dtdvCdt

dq

vCq

idtdq

dtdvCi

rFdAC HHHH 0][

MATERIALE Hr neoprene 6,46

silicone 3,20

mica 5,40 - 9,0

carta 2,99

acqua distillata 78,20

aria 1

Capacitore passivo: C>0 Trasferisce lenergia in modo reversibile

24

INDUTTORE ideale

i

dtdviL II

Induttore passivo L>0 Trasferisce lenergia in modo reversibile

> @ henryL

H

AWeber

dtdiLv

25

GENERATORI ideali

i(t) Generatore ideale di tensione

v(t) e(t) v(t) = e(t) i(t)

Generatore ideale di corrente

v(t) a(t) i(t) = a(t)

i(t) Corto Circuito

v(t) v(t) = 0

Caso degenere del generatore di tensione o del resistore di resistenza nulla

i(t) Circuito Aperto

v(t) i(t) = 0

Caso degenere del generatore di corrente o del resistore di resistenza infinita o conduttanza nulla

26

STRUMENTI DI MISURA

UNITA DI MISURA: Ampre (A)

A i i

Vi piccolissima o ideale ri = 0

Vi inserzione

UNITA DI MISURA: Volt (V)

inserzione

iv piccolissima o ideale rv = f A B

V

VAB

iv

CORRENTE TENSIONE

A I

Ampere-metro V

I

Volt-metro

+

+

Esercizio

Risoluzione

Calcolare la i e la vbd nel circuito in figura

Applicando la LKT al percorso chiuso a-b-c-d-e-a si ottiene: 8 24 0ab bc dev v v

Per la legge di Ohm possiamo scrivere:

abv i 2bcv i 5dev i

Sostituendo 2 8 5 24 0i i i

Da cui si ricava (24 8) 28

i A

Applichiamo LKV al percorso chiuso b-c-d-b

2 8 0 2 8 12bd bdi v v i V o

d e i

a c b i i

+

- vbd

+

-

+

-

1:

5:

2:

8V 24V

Esercizio

Risoluzione

Nel circuito in figura ricavare la corrente i, la potenza dissipata nel resistore e la potenza erogata da ciascun generatore.

+ +

+

3V

6V

12V 3:

d c

b a

i Applicando LKT al percorso chiuso a-b-c-d-a 3 3 6 12 0 5i i A o

La potenza dissipata dal resistore vale 2 3*25 75p Ri W Generatore da 3V: la corrente di 5A scorre dal + al -, quindi esso assorbe una potenza pari a 3x5=15W. La potenza erogata dunque 15W. Generatore da 6V: la corrente da 5A scorre dal- al +, quindi la potenza erogata vale 6x5=30W

Generatore di 12 V: la potenza erogata vale 12x5=60W.

In totale la potenza erogata dai generatori : -15+30+60=75W, che coincide con la potenza dissipata nel resistore.

Il generatore indipendente pu assorbire potenza anzich erogarla.

29

elementi di capacit energetica infinita, come i generatori ideali

PROPRIETA' ENERGETICHE Potenza Assorbita da un Bipolo: p(t)=v(t) i(t) la potenza che entra nella superficie limite del bipolo (conv. degli

utilizzatori). Unit di misura Watt [W]

Energia Elettrica assorbita in un intervallo dt: dW v(t) i(t)dt . Unit di misura Watt * hour [Wh]

! dtdW 0 se a) elemento puramente dissipativo

energia accumulata in bipoli di tipo L e C: 22

22 vCWiLW

! 0 c) dtdW

I COMPONENTI ELEMENTARI SONO TALI PERCHE' INVESTONO IN UN SOLO TIPO DI ENERGIA

! 0 se b) dW

30

GENERATORI PILOTATI

v1 v=b v1 b: parametro di controllo adimensionale

i1 v= i1 : parametro di controllo (dimensionalmente una resistenza)

v1 i= v1 : parametro di controllo (dimensionalmente una conduttanza)

i1 i=a i1 a: parametro di controllo adimensionale

i1 R1

R2

ag 0,5 i1

esempio:

I generatori dipendenti o pilotati sono componenti essenziali nei circuiti amplificatori, in cui l'ampiezza dell'uscita maggiore di quella dell'ingresso. Inoltre servono ad isolare una porzione di circuito o a fornire una resistenza negativa

31

MUTUA INDUTTANZA

L1 L2

i1 i2

v1 v2 M

dtdiLdt

diMvdtdiMdt

diLv2

21

2

2111

2d)1d)

)

N1 N2 1I 2I

CONVENZIONE DEI PUNTINI:

La caduta di tensione su un induttore provocata dalla corrente che scorre nellaltro induttore concorde con quella provocato dalla propria corrente se le due correnti si trovano nella stessa posizione (entrambe entranti o entrambe uscenti) rispetto ai suddetti puntini

Nel caso di elemento passivo:

dtt

21

21

LLM

0L ;0L

MUTUA INDUTTANZA

32

La caduta di tensione provocata dalla corrente che scorre nellaltro induttore discorde con quella provocato dalla propria corrente se le due correnti non si trovano nella stessa posizione (una entrante e laltra uscente) rispetto ai suddetti puntini

L1 L2

i1 i2

v1 v2 M

dtdiLdt

diMvdtdiMdt

diLv2

21

2

2111

v1

a) M > 0 b) M > 0 c) M < 0 d) M < 0

L1 L2

M i1 i2

v1 v2 L1 L2

M i1 i2

v2 L1 L2

M i1 i2

v1 v2 L1 L2

M i1 i2

v2

Esempi:

33

TRASFORMATORE IDEALE

i2 i1 n v2 v1

21

21

1 ini

vnvbase di definizione mista: [ v1 ; i2] o [v2 ; i1]

( ( 011112211 innvivivivtp

Il trasformatore ideale:

E trasparente alle potenze

E' un componente passivo non dissipativo

34

LAmplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) un elemento circuitale attivo progettato per eseguire operazioni matematiche di addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, derivazione e integrazione di segnali.

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE

CONFIGURAZIONE DEI PIN

1 2 3 4

8 7 6 5

BILANCIAMENTO ING. INVERTENTE ING. NON INVERT.

SCOLLEGATO Vcc+

USCITA BILANCIAMENTO

SIMBOLO CIRCUITALE

LE ALIMENTAZIONI VENGONO SPESSO OMESSE NEGLI SCHEMI CIRCUITALI, MA LOP DEVE SEMPRE ESSERE ALIMENTATO

1 5 4

2

3

7

6 ING. INVERTENTE

-Vcc

+Vcc

_

+ ING. NON INVERT.

BILANCIAMENTO

USCITA 1i2i

dvVcc-

35

MODELLO CIRCUITALE

v1

v2 vd

Avd Ri

Ro vo

LOP si comporta come un generatore generatore di tensione controllato in tensione

( 1212

vvAvAvvvvdo

d

A: guadagno di tensione ad anello aperto

valori tipici A 105y108 Ri 106y1013 : Ro 10y100 : Vcc 5 y24 V tensione di alimentazione

Vcc

-Vcc

saturazione positiva

saturazione negativa

vo

vd

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE IDEALE

o

f f

12

21

00 ,0

0vvv

ii

RRA

do

i

Nella maggior parte delle applicazioni si considerano OP IDEALI nella REGIONE LINEARE di funzionamento

v1 v2 = v1

vo vd

_

+

i1 = 0

i2 = 0

Modello equazioni

Il valore di vo dipende da come lamplificatore collegato al resto del circuito

Inseguitore di tensione

vs vo

Un generatore di tensione collegato al morsetto non invertente dell'operazionale, mentre il morsetto invertente collegato direttamente all'uscita. Determinare la tensione in uscita vo nellipotesi di funzionamento nella regione lineare

vd

vo vs

i

vvii 0 ,0

+

-

vv0 vvs

Equazioni dellOP ideale

0 vvs

Amplificatore invertente

Determinare il valore della tensione vo

RL vs vo

i2

in

R1 R2

i1 2 1 per l'idealit dell'operazionale:

0

01ii

vvv

2121 R

vRvii os e infine: so vR

Rv 1

2

Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso in ragione del rapporto R2/R1 e ne inverte il segno.

t vo

vs

0

0

10

1

21

2

1

vvvvvv

iii

R

sR

s

T

LKC al nodo 1

LKV al percorso chiuso s-1-T-s

LKV al percorso chiuso 2-1-T-2 1

0

12

111

2

1

Rv

Rvi

Rv

Rvi

R

sR

i0 i-

Equazioni dei componenti

Amplificatore non invertente

vs vo RL

i2

io in R1

R2 i1


2

0

22

111

2

1

Rvv

Rvi

Rv

Rvi

sR

sR

per l'idealit dell'operazionale:

svvvii 0

2121 R

vvRvii sos e infine: so vR

Rv

1

21

Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso della quantit 1+R2/R1 e non inverte il segno.

t

vo vs

1 2

0

0

2

1

0

21

sR

sR

vvvvv

iii LKC al nodo 1 LKV al percorso chiuso 1-T-s1

LKV al percorso chiuso 2-1-T-2

T

Equazioni dei componenti

i-

Amplificatore sommatore


0 321 iiii

da cui, riordinando

3

3

2

2

1

1

Rv

Rv

RvRv oo

L'uscita proporzionale alla somma pesata delle tensioni. Se R1 = R2 = R3 = R :

( 321 vvvRRv oo

Cio l'uscita proporzionale alla somma delle tensioni

R1 R2

R3

v1 vo RL

i

io in

Ro i1 v2

i2 v3

i3 1

03

3

2

2

1

1 Rv

Rv

Rv

Rv

o

o

LCK al nodo 1

Amplificatore differenziale

RL v2 vo

R1 R2

v1 R1

R2


021

21

21

2

21

2 vRR

RRRv

Rv

Rvv

Rvv oo

LKC al morsetto non invertente

LCK al nodo 1

1

sostituendo:

( 211

2

21

21

21

21

21

2 0 vvRRvRR

RvRRRR

Rv

Rv

oo

Cio l'uscita proporzionale alla differenza tra le tensioni

vRRRvv

21

21

1

1

2 Rvv

Rv

da cui

42

vs vo RL vs vo RL

R1 R2 R2

vs vo RL R1

inseguitore di tensione

R1 R2

R3

v1 vo RL

Ro

v2 v3

amplificatore invertente

amplificatore non invertente

amplificatore sommatore

amplificatore differenziale

so vv so vRRv

1

2so vR

Rv

1

21

3

3

2

2

1

1

Rv

Rv

RvRv oo ( 21

1

2 vvRRvo

AMPLIFICATORI ADINAMICI -TABELLA RIASSUNTIVA

RL v2 vo

R1 R2

v1 R1

R2

43

Reti in Regime Stazionario

44

COMPONENTI ELEMENTARI IN REGIME STAZIONARIO

Per circuiti assolutamente stabili, in presenza di eccitazioni costanti nel tempo: Generatore indipendente di tensione Generatore indipendente di corrente

Resistore Induttore Condensatore

v i

E cost{ Ev v i

A cost{ Ai

IRViRv

v i R

cto)(cto

0

0

VdtdiLv

v i L C v

i

aperto) (circuito 0

0

IdtdvCi

45

RESISTORI IN SERIE

R1 A

I I1

V1

I2 I2 R2

V2

Ri

Vi

In-1 In Rn

Vn B I Req

VAB B A

VAB

(

iieq

eqn

nnniAB

ni

RRIRIRR

IRIRIRVVVVV

IIIII

1

221121

21

46

PARTITORE DI TENSIONE R1 R2 Ri Rn I

V Vi

(

hh

i

eq

ii

hhnii

RRVR

RVV

RVIIRRVIRV 1

Nel caso di due soli resistori: R1

R2

I V1

V V2

21

22

21

11

RRRVV

RRRVV

47

PARALLELO DI RESISTORI

A A A A

B B B B

R1 I1 V1 R2

I2 V2 Ri Ii

Vi Rn In

Vn

A

B

I

(

VGRVI

VGGVRR

RV

RVIII

VVVVV

VGRVIIRV

eqeq

nn

n

nn

ni

iii

iiiii

.......11 11

1

11

21

n

eqi ieq

iieq

RRRRR

GG

1.........1111

1

||||

48

PARTITORE DI CORRENTE

R1 R2 Ri Rn

I1 I2 I3 In I

V

eqeqn

ii

i

RVGVIIII

GVRVI

21

R2 I2 I1 R1

I Nel caso di due soli resistori:

21

12

21

21

RRRII

RRRII

IRRIRRIG

GIeqii

eq

eq

ii

||

|| 11

49

B C

TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO

RB RC

A

B C

0

RAB RCA

A

RA

RBC

CABCAB

BCCAC

ABBCB

CAABA

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

0

0

0

0

CBAACCA

CBBC

BAAB

RRRGGRRRGRRRGRRR

1110

0

0

0

Nel caso di tre resistenze uguali sar: 3

' RRY

50

Principio di Sovrapposizione In una rete lineare, comunque complessa, contenente N generatori lineari, le tensioni e le correnti in ciascun ramo possono essere determinate sommando i contributi dovuti ai singoli generatori presenti, agenti uno alla volta.

A I V

Passivazione dei generatori: Generatore di corrente circuito aperto (corrente nulla) Generatore di tensione corto circuito (tensione nulla)

Teorema di Thvenin

51

Equivalente di Thvenin

Una rete lineare, comunque complessa, accessibile da 2 terminali, pu essere sostituita con un circuito equivalente formato da un generatore di tensione VTH in serie con una resistenza RTH, dove VTH la tensione a vuoto ai terminali e RTH la resistenza equivalente vista agli stessi morsetti quando i generatori indipendenti sono passivati.

Rete lineare

b

a I

V Bipolo

a I

V

b

VTH RTH Bi

polo

IRVV THTH

Teorema di Norton Una rete lineare, comunque complessa, accessibile da 2 terminali, pu essere sostituita con un circuito equivalente formato da un generatore di corrente IN in parallelo con una conduttanza GN, dove IN la corrente di corto circuito ai terminali e GN la conduttanza equivalente vista agli stessi morsetti quando i generatori indipendenti sono passivati.

Rete lineare equivalente di Norton

b

a I

V Bipolo

a I

V IN GN Bipolo

NNNN R

VIVGII

53

Thevenin & Norton

ETH

VTH = tensione a vuoto

RTH

RTH = resistenza circuito passivato A I V

B

ETH RTH

IREV THTH

IN

IN = corrente in c.to c.to

RN

GN = conduttanza circuito passivato A I

V B

IN GN

VGII NN

A A

A

B B

B B

Trasformazione della sorgente

54

A I V

B

VTH RTH

A I V

B

IN GN

A I V B

Un circuito in forma equivalente di Thvenin pu generalmente essere sostituito da un circuito nella forma equivalente di Norton con un generatore di corrente IN:

NN

TH IGV 1

TH

THN R

VI

Un circuito in forma equivalente di Norton pu generalmente essere sostituito da un circuito nella forma equivalente di Thvenin con un generatore di tensione VTH:

NTH GR

1

55

TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA

RL

a

b

THEVENIN a

b RTH RL ETH

i

22

LTHTH

LL RRERiRp

p pmax

RTH RL SI HA LA MASSIMA POTENZA TRASFERITA AL CARICO QUANDO LA RESISTENZA DEL CARICO E UGUALE ALLA RESISTENZA DI THEVENIN VISTA DAL CARICO: RL = RTH

Dimostrazione: ( (

( THLLLTHLTHLTHLLTH

THL

RRRRRRR

RRRRREdRdp

0202 4

22

TH

THR

Ep4

2

max

TEOREMA DI MILLMAN

i

i

iii

AB G

EGV

G1 E1G1 Gn EnGn

i

iG i

iiGEA

B

B

E1 E2 E3 Ei En

R1 R2 R3 Ri Rn

A

Teoria dei Grafi

57

58

I Principio di Kirchhoff

I1

I2 I3

I4

I5

I6 I7

I1+ I2+ I3+ I4+ I5+ I6+ I7=0

59

II Principio di Kirchhoff

V1+ V2+ V3+ V4+ V5+ V6+ V7 + V8 + V9 + V10 = 0

V1

V2 V3

V4 V5

V6

V7 V8

V9 V10

60

TEORIA DEI GRAFI

Circuito con R lati

R-Tensioni

R-Correnti

Circuito con R lati: 2R variabili che devono soddisfare 2 gruppi di equazioni

1) Equazioni dei componenti: dipendono dalla natura dei componenti

2) Leggi di Kirchhoff: non dipendono dalla natura dei componenti ma solo dalla topologia del circuito.

Propriet Topologiche

61

Grafo orientato

Le propriet topologiche di un circuito sono legate alla geometria e non dipendono dalla natura dei componenti

Nozioni topologiche: Ramo: segmento Nodo: punto di unione di 2 o pi rami Taglio: insieme di rami che vengono intersecati da una linea chiusa 1 sola volta e in corrispondenza di un solo terminale. Leliminazione dei rami di un taglio rende il circuito sconnesso. Maglia: insieme di rami intersecati da una linea chiusa in corrispondenza di entrambi i terminali contemporaneamente.

9Su ogni taglio possiamo applicare la LKC

9Su ogni maglia possiamo applicare la LKV

62

Albero & Co-Albero

Albero: 1) Insieme connesso di rami 2) Comprende tutti i nodi 3) Non comprende percorsi chiusi 4) n-1 rami

Co-Albero: Complemento dell Albero nel Grafo R-(n-1) rami

63

a b c

a b

R1 R2 L C E vg vL vC

v1 v2

ig i1 iL i2 iC

a b c

a b

a b c

a b

Taglio fondamentale: 1 ramo di albero+rami di co-albero

Maglia fondamentale: 1 ramo di co-albero+rami di albero

R-(n-1) maglie fondamentali

n-1 tagli fondamentali

Equazioni Topologiche

taglio fondamentale scrivo la LKC

maglia fondamentale scrivo la LKV

64

Esempio

a b c

a b

R1 R2 L C E vg vL vC

v1 v2

ig i1 iL i2 iC

dtdvCidtdiLv

iRviRv

Ev

CC

LL

g

222

111

4 nodi 5 lati

10 incognite 5 eq Componenti 3 eq LKC 2 eq LKT

00

0

2

21

1

iiiii

ii

C

L

g

00

2

1

LC

gLvvvvvv

9 LKC ai tagli fondamentali 9 LKV ai tagli fondamentali

9 Equazioni dei componenti

65

METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA

33

22

11

JIJIJI

Le LKC ai tagli fondamentali sono delle identit

66443343

5566222

44551141

IRIRIREEIRIRIRE

IRIRIREEI2

E3

R1 R2

R4

R3

R5 R6

E1 E2

I6

I3

I1

E4

I5

I4

J1 J2

J3

0)(0)(

0)(

3322

3311

2121

JJJJJJJJ

JJJJ

00

0

362

341

521

IIIIII

III

326

215

314

JJIJJIJJI

R=6; n=4 N=n-1=3 rami di albero M=R-n+1=3 rami di coalbero

METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA

66

MMMMMM

M

E

E

J

J

RRR

RRR

11

21

11211

Rii : resistenza propria della maglia i-esima, data somma delle resistenze dei rami che fanno parte della maglia. Rij : mutua resistenza tra la maglia i-esima e la maglia j-esima, somma delle resistenze dei rami comuni alle i e j. Ei : componente i-esima del vettore termini noti, somma algebrica delle tensioni ai capi dei generatori

IM

I

VM

V

M E

E

E

E

E

E

111

( (

(

4336432614

236265215

4134251451

EEJRRRJRJREJRJRRRJREEJRJRJRRR( (

( ( ( (

3263143343

215326222

3142151141

JJRJJRJREEJJRJJRJRE

JJRJJRJREE

67

METODO DEI POTENZIALI NODALI

43

32

21

2

3

4

UUVUUVUUV

R

R

R

Le LKV alle maglie fondamentali sono delle identit

R=7; n=5 N=n-1=4 rami di albero M=R-n+1=3 rami di coalbero

A1 R1 A2 R2 R3 R4

R5 V1 V2 VR5 VR1

VR4 VR3 VR2

00

00

1122

22233

553344

441

RR

RR

RRR

R

VGVGVGAVG

VGVGVGVGA

000

122

235

541

RR

RR

RR

VVVVVV

VVV

41

32

25

11

UVUVUV

UV

R

R

0)(0)(0)(

4433

3322

2211

UUUUUUUUUUUU

U2 U4 U3 U1


68

NnNNNN

N

A

A

U

U

GGG

GGG

11

21

11211

Gii : conduttanza propria del nodo i-esimo , data somma delle conduttanze che confluiscono al nodo. Gij : conduttanza mutua tra i nodi i e j, somma delle conduttanze dei rami che uniscono il comuni al i e j Ai : componente i-esima del vettore termini noti, somma algebrica delle correnti dei generatori che confluiscono al nodo i.

VN

V

IN

I

N A

A

A

A

A

A

111

0)(0)()(

0)()(0)(

41432

4322323

25323214

2141

UGUUGUUGAUUG

UGUUGUUGUUGA

0)()(

0)(

42132

24233223

33254314

12414

UGGUGAUGUGGUG

UGUGGGUGAUGUG

69

Teorema di Tellegen

a b c

a b Dato un grafo: Siano k rami del grafo: {ik} un sistema di correnti compatibile {vk} un sistema di tensioni compatibile Risulta: 0

kkkiv

L E R1 R2 C v1

v5 v4

v2 v3

R L2

A L1

C i1 i4 i5

i2

i3

1 2 3

4 5

Circuiti differenti

Stesso grafo

Sk vk ik = 0 Caso particolare: Se si considerano tensioni e correnti dello stesso circuito otteniamo la Conservazione delle Potenze

70

Reti in Regime Sinusoidale


71

Le reti in regime sinusoidale sono delle reti nelle quali le grandezze in gioco variano al variare del tempo con legge sinusoidale. Le reti elettriche in alta potenza sono alimentate con tensione sinusoidale con frequenza di: 50 Hz in Europa 60 Hz in USA.

Se una rete lineare alimentata da un generatore sinusoidale

v(t)=VM sin(Zt+) risulteranno sinusoidali tutte le tensioni e tutte le correnti che si stabiliranno nei diversi rami del circuito.

IN UNA RETE ASSOLUTAMENTE STABILE, IL REGIME SINUSOIDALE VIENE CONSEGUITO DA TUTTE LE VARIABILI DELLA RETE


72

)sin()( MZ tVtv M VM ampiezza o valore massimo di v(t)

srad

Tf 22 SSZ pulsazione

> @rad M

> @

M

M

ZM

ZM

t

ss

radradt

fase iniziale a cui corrisponde t

V

FASORI

73

Il fasore un vettore con il quale si rappresenta lampiezza e la fase di una sinusoide. La rappresentazione di una sinusoide per mezzo di dei fasori si basa sullidentit di Eulero:

}Im{ }{eRe j aa aa jesencos aaa jsencose j r r

MM MM VeVV jVponendo Fasore della funzione sinusoidale v(t)

Esprimiamo una sinusoide usando lidentit di Eulero:

)Im()(}Im{}Im{)sin()(

)Re()(}Re{}Re{)cos()(

222

111

)(

)(

tjeVtveeVeVtVtv

tjeVtveeVeVtVtvjtjtj

jtjtj

MMM

MMM

ZMZ

ZMZMZMZ

MZMZ

FASORI

74

)()( MZZZ tjtj eVeVtjV M Vettore rotante con velocit angolare

Pu essere interpretata come la proiezione del vettore rotante Vejt sullasse reale )cos()(1 MZ tVtv M

Re

Per t=0 il vettore rotante coincide con il fasore V della sinusoide, perci il vettore rotante pu essere considerato come un fasore rotante.

t=0

Im

t = t1

VM

t = t1

FASORI

75

pu essere interpretata come la proiezione del vettore rotante Vejt sullasse immaginario

)sin()(2 MZ tVtv M

Re

t=0

Im

t = t1

t = t1

21

2)

2(

dove

}Re{}Re{} Re{)2

cos()sin(1

S

ZZSSMZSMZMZ

j

jjjjj

eVV

eVeeVeeVttVM

v2(t) pu anche essere interpretata come la proiezione sullasse reale del vettore rotante V1ejt.

VM

76

FASORI

Se le grandezze sono iso-frequenziali, dopo un certo tempo, l'istante iniziale perde significato ed superfluo indicare il riferimento degli assi. L'importante che le diverse grandezze fasoriali stiano in un determinato rapporto di fase tra loro.

t = tn

Una funzione sinusoidale pu essere espressa come un fasore ed il termine ejt si considera implicito dominio delle frequenze

m

e

77

AU , sono due fasori

Convenzionalmente:

U

A

Re

Im

-

ANTICIPO o ANGOLO POSITIVO RITARDO o ANGOLO NEGATIVO

Diagramma fasoriale o vettoriale FASORI

)sin(10)()sin(10)(

MZTZ

ttUttA

FASORI

78

CASI PARTICOLARI: a) y = = S / 2 i fasori sono in quadratura b) y = S i fasori sono in opposizione di fase c) y = 0 i fasori sono in fase

U

A

y e

m -

M

j

j

|eA |A|eU |U

U

A

y

m

e

9se prendiamo come riferimento in

anticipo rispetto a

AUU

U

A

y

m

e 9Se prendiamo come riferimento in

ritardo rispetto ad

A UA

79

0 1 2 3 4 5 6 7 -6

-4 -2 0

2 4 6

)(

)(

Z

Z

jVdttv

Vjdt

tdv

FASORI

} eRe{2cos2)]sin(2[)()(' 0jj etdt

tddt

tdvtv tZZZZZ

v(t) in quadratura in anticipo rispetto a v(t)

DOMINIO DEL TEMPO DOMINIO DELLA FREQUENZA

2'SMMy vv

/2

Vj Z

V

sfasamento di v rispetto a v

0 ;2 '

vv MSM

Se prendiamo il fasore di v(t) come riferimento:

}eIm{2)sin(2)( j tttv ZZ

}e Re{2)2

cos(22)( ma 2jS

ZSZZ jtettsentv

EQUAZIONE DEI COMPONENTI

prende il nome di IMPEDENZA

ZVI

IZV

Per questo caso esiste l'inversa dellimpedenza:

zy 1

AMMETTENZA

Metodo Simbolico

IVZ

Z

Limpedenza non un fasore perch non corrisponde ad una quantit che varia sinuoidalmente

VI

81

RESISTORE v

i R

GRyRzIRViRv 1 V

I

CAPACITORE C

v

i

CjyjXCjCjzIV

VCjIdtdvCi

c ZZZ

Z

11

2S

I

V in anticipo di /2 rispetto a I V

Diagramma fasoriale

INDUTTORE L

v

i

LjyjXLjzIV

ILjVdtdiLv

L ZZ

Z

1

in ritardo di /2 rispetto a I V

I

V

2S

Metodo Simbolico

82

jXRZZ M

ammettenza 11 M ZjBGZY

capacitiva reattanza c

1-X

induttiva reattanza X reattanza )Im(X

resistenza )Re(

C

L

Z

ZLZ

ZR

asuscettanz )Im(B aconduttanz )Re(

YYG

Z

R

M X

MMM ZIV

IVZ iv

I

V

z TRIANGOLO DELLE IMPEDENZE

Impedenza generica

83

MUTUA INDUTTANZA

L1 L2

M i1 i2

v1 v2

dtdiMdt

diLvdtdiMdt

diLv

121

222

212

111

Hp: non dissipativo passivo

21LLMk COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( k d 1)

121222

212111

IMjILjV

IMjILjV

ZZ

ZZ

I regime sinusoidale:

LA MUTUA A 4 TERMINALI HA LE STESSE EQUAZIONI DI QUELLA A 3 TERMINALI

0 ;

0R 02

212112

21

t

MLLMMMR

84

Caso in cui k = 1 (accoppiamento stretto)

222

11

221

112

2

1

221

111

22

1212

221

111

21

vnvLLv

dtdiLLdt

diLvLL

dtdiLLdt

diLv

dtdiLdt

diLLvdtdiLLdt

diLv

LLM

Nel dominio della frequenza:

21221112

2

1

221111

VnVILLjILjVL

LILLjILjV

ZZ

ZZ

1

2

2

1

12

1 1LL

IV

LjII Z

Per L1 , L2 o f si pu trascurare il termine mentre da cui: 2

1

1

1IV

LjZ nLL 1

1

2

21

21

1 InI

VnVTRASFORMATORE IDEALE

n:1 1V 2V

1I 2I

MUTUA INDUTTANZA

Metodo simbolico

85

PRINCIPI DI KIRCHHOFF

0)(0)(

titv

Dominio del Tempo Dominio della Frequenza

00

IV

86

PARTITORI PARTITORE DI TENSIONE:

ii

ii

ii

ii

zzEV

IzE

IzV

E

I

1z 2z iz nz

iV

1z

2zU

2U

1U

21

22

21

11

zzzUU

zzzUU

ii

ii

ii

ii

yyAI

VyA

VyI

PARTITORE DI CORRENTE:

1y 2y 1ny ny AV

1y 2y

I

1I 2I

21

22

21

11

yyyII

yyyII

n = 2 n = 2

87

TEOREMI DI THEVENIN E NORTON

RETE ATTIVA

IV

Rete attiva costituita da componenti lineari tempo-invarianti

I

Veqz

eqETHEVENIN eqeq EIzV

NORTON

EQUIVALENTE CIRCUITALE

Il duale il teorema di Norton I

VeqyeqAEQUIVALENTE CIRCUITALE eqeq

AVyI

88

Si introducono delle correnti fittizie che siano una base vettoriale su cui si proiettano le correnti reali I

METODI ABBREVIATI DI ANALISI METODO DELLE CORRENTI CICLICHE

> @ > @ > @EJZ > @

MMMM

M

M

zzz

zzzzzz

Z

21

22221

11211

Es:

1E

1I2I

2E1z

4z4I 5I

5z3I 3z

6zA

6I

AJBJ

CJ

M = l (n - 1)

jiij zz ji

ii

zz Impedenza propria della maglia i

Impedenza mutua tra le maglie i e j della maglia i,

> @

2

1

1

J

JJ Correnti cicliche

Nelle maglie > @

iM

i

M

v

E

E

E

EE

1

1

1

89


1A

3A

E3U

1Y2Y

2U1U

3Y

4Y 2A

1 2 3

Legge di Kirchhoff delle tensioni

Qualsiasi tensione di lato esprimibile come somma algebrica dei potenziali di nodo. LE COSTITUISCONO UNA BASE PER LE TENSIONI

> @ > @ > @

vN

v

iN

i

NNNNN

N

A

A

A

AA

U

UU

YYY

YYYY

111

21

11211

U

> @> @ > @AUY N=n-1

90

Il valore efficace definibile per tutte le grandezze periodiche:

VALORE EFFICACE = ( T dttfT 021

Nel caso sinusoidale:

2sin1 0

22 MT MeffIdttITI Z

Il valore efficace di una corrente periodica il valore costate di corrente in grado di causare in un resistore la stessa dissipazione di quella periodica

VALORE EFFICACE

MU

MA

y

e

m

U

A

e

m

y

Valori massimi Valori efficaci

91

Valore medio

POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE

IV Z

Potenza Attiva istantanea Potenza Reattiva istantanea

]W[ Attiva PotenzacosMVIP

Valore massimo

]VAR[ Reattiva PotenzasinMVIQ

( ^ `( ( ^ `

( ( ( (

( ( tVItVItptttt

ttVItItVivtp

eVVeeVetVtveIIeeIetIti

iv

jtjj

jtjji

vv

ii

ZMZMZMZMZMZ

ZMZMZZMMM

MZMZ

MZM

MZM

2sinsin2cos1cos2sinsin2cos1coscoscos2 :ma

coscos2)cos(2cos2

; posto

2cos2

2)cos(2

v

2

2

2*

22*

MM*

MM*

*

*MM

*

)Im(

;)Re(P

)j( Z

Z

:anche scrivere possiamo

reattiva potenza sin IV21sin IV)Im(

attiva potenza cos IV21 cos IV)Re(P

sin IjVcos IV IV -IVIV

IV21IVS

:che dimostra si

IXSQIRS

XRIVIIVS

IVQ

IV

e jvi

MM

MM

MMMM M

92

POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE

( iv

VIIVQPSjQPS

MMMMM

con [VA] Apparente Potenza sincos

Complessa Potenza definiamo222222

S

McosVI

M

TRIANGOLO DELLE POTENZE

VIsi

nM

IV Z

93

RESISTORE V

I R

t

p(t)

2IR

VI

( ( ( tRItVItp ZZ 2cos12cos1 2

M = 0 Diagramma fasoriale

La potenza assorbita dal resistore sempre positiva o, al pi, nulla, pulsante di pulsazione doppia rispetto a quella della tensione o della corrente. La potenza reattiva nulla,

POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE: Casi particolari

0

22

QR

VRIVIP

94

CAPACITORE C

2S

I

VLa potenza istantanea una sinusoide di pulsazione doppia rispetto a tensione e corrente. La quantit VI l'AMPIEZZA MASSIMA dell'oscillazione della potenza istantanea p(t) ed detta POTENZA REATTIVA CAPACITIVA e viene indicata con Qc

in anticipo di /2 rispetto a I V

Diagramma fasoriale

VI

i

v

( tVItp Z2sin

M = S/2

CCC X

VIXVIQ

P2

2

0

Qc viene assunta negativa

I

V


95

INDUTTORE L

La potenza istantanea una sinusoide di pulsazione doppia rispetto alla tensione e la corrente. La quantit VI l'AMPIEZZA MASSIMA dell'oscillazione della potenza istantanea p(t) ed detta POTENZA REATTIVA INDUTTIVA e viene indicata con QL

Diagramma fasoriale

I

V

2S

VI

v

i

in ritardo di /2 rispetto a I VM =S/2

( tVItp Z2sin

LLL X

VIXVIQ

P2

2

0

QL viene assunta positiva

I

V


96

Tabella riassuntiva

CAPACITORE M = S/2

t

p(t) VI

IV

I

V2S

RESISTORE M = 0

IV

t

p(t) 2RI

I V

INDUTTORE M = S/2

t

p(t) VI

I

V2S

IV

0

positiva assunta2

2

PXVIXVIQ

LLL

0

22

QR

VRIVIP

0

negativa assunta2

2

PXVIXVIQ

CCC

97

TEOREMA DI BOUCHEROT Dal teorema di Tellegen: 0

''' h

hh iv

In regime sinusoidale:

Scegliamo linsieme delle tensioni di un circuito e come insieme delle correnti scegliamo quelle del circuito che ha le correnti coniugate rispetto a quello

( 0* h

hhh

hh jQPIV

Affinch sia verificata deve essere:

^ ` ^ `*; hh IV

kk

ii

kk

ii

riutilizzatogeneratori

riutilizzatogeneratori

QQ

PP

0

0

hh

hh

Q

P

Rifasamento

98

IVMI

VI

Mjezz

'I

VIz

VCjZ

Dopo il Rifasamento: SPcos M

Per Boucherot:

zg

zg

PPQQ

Inserendo una capacit in parallelo al carico, lo sfasamento tra tensione e corrente diminuisce quindi il cos aumenta.

SM Qz

P

Qg

I

' M

CI'I

CI

V

Prima del Rifasamento:

Rifasamento

99 (GENERALMENTE cos M' # 0,9 )

'tan 'tan

cos

MMM

M

PQPsenSQ

SP

g

z

S

M

Qc

'

Qz S

P

Qg

2

2

22

)'tan(tan

)'tan(tan1

)(S' ;)'tan(tan'

VPC

PCVQ

QQPPQQQ

C

CzgzC

ZMM

MMZ

MM

Per Boucherot:

zg

czg

PPQQQ'

Le potenze attiva P e reattiva Q, la tensione V e la corrente I assorbiti dal carico non vengono influenzati dal rifasamento

( ( ( > @

( ( ( ( > @

*

222

222

222

2

222

2

2

22

0)(2

0

)()(21

;;

ThC

ThCCThCTh

CThCCThCThTh

C

ThCCThCTh

CThCTh

C

ThCThC

CThC

CTh

thM

ThThThCCCCTh

th

ZZ

RRXXRR

RRRXXRRVRP

XXXXRR

XXRVXP

XXRRRVR

ZZV

RIRIP

jXRZjXRZZZVI

ww

ww

100

ADATTAMENTO ENERGETICO

Rete Attiva

A

B CZ Per il T. di Thevenin

A

B

ThV CZVI

ThZ

Quali sono le condizioni nelle quali assorbir la max potenza attiva? Cz

101

Analisi dei Transitori

102

Obiettivo: Descrivere il comportamento di tensioni e correnti

tra due diversi stati stazionari

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tempo (s)

Volt

0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

tempo (s)

volt

Causa del transitorio: I componenti dotati di memoria (induttori e condensatori) impiegano un certo tempo per

uniformarsi al funzionamento a regime

103

Sovrapposizione degli effetti

circuito 1E 21 VV 2E

Qualunque segnale periodico pu essere espresso come somma di un numero finito di sinusoidi di frequenze multiple di una frequenza fondamentale (Serie di Fourier)

In un circuito lineare la risposta ad un segnale periodico si pu calcolare come somma delle risposte alle singole componenti

circuito 1E 1V circuito 2E 2V

104

T1 spetto nello 0 ' ZZ

Z

ampiez

za

Serie di Fourier di funzioni periodiche

fase

0Z

Z)(

100 02

)cos((t) ntnjN

NnnN

nnn e

CtnCaf MZMZ

t

La trasformata di Fourier di un segnale periodico un insieme discreto di valori, che prende il nome di spettro discreto

Serie di Fourier:

105

t

Zfa

se

Trasformata di Fourier di funzione aperiodiche

Z

ampiez

za

( dtetfjF tjZZ f

f )(

Segnale aperiodico (T) 0=0, nello spettro del segnale =d

f

f

ZZSZ dejFF(jtf tj )(

21)][)( 1

trasformata di Fourier:

Serie di Fourier :

106

una funzione non periodica pu essere vista come la somma di infinite sinusoidi, ma lintegrale di Fourier non si pu essere calcolato per qualunque funzione, perci in alternativa, anzich considerare una funzione come somma di infinite sinusoidi, la si pu ottenere come somma di infinite cisoidi.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Le cisoidi seguono un andamento oscillatorio smorzato; le sinusoidi sono cisoidi con smorzamento nullo.

Le cisoidi che permettono di ricostruire una data funzione hanno lo stesso inviluppo e frequenze multiple della fondamentale.

Funzione Cisoidale

107

)}({}{)()cos()(

ZMZ

Z jeeetvtVtv

tj VV Circuiti AC in

regime sinusoidale

Introduciamo la funzione cisoidale

}{)(complessa frequenza definiamo

}{)(

)cos( e )( t

st

tjt

eetvjs

eeetv

tVtv

V

VZa

MZ

Za

a

!

000

aaa

Frequenza complessa

complessa frequenza della dominio nel )( arappresent )(frequenza della dominio nel )( arappresent )(

tvstvj

VV Z

108

La definizione a lo stesso aspetto della trasformata di Fourier ove si sostituisca nellintegrale la variabile immaginaria pura j, con la variabile complessa s=+j.

( dtetfsF stf

0

)(

per > 0 lintegrale diverge per t -f

Trasformata di Laplace

NOTA: lipotesi che f(t)=0 per t0

Si noti che lintegrale si pu calcolare solo per tt0.

Questo il motivo per cui si pu calcolare la trasformata di Laplace solo per funzioni che sono nulle per t

109

te a

)(tftetf a)(

Trasformata di Laplace

dtetfT tT

fo

0 )(lima

La trasformata Laplace di una funzione definita se, per qualunque

valore reale di , esiste finito il limite:

t t

0a }{se

}{sm

0}{ aa ! seRegione di convergenza

Propriet della L-trasformata

> @ )()()()( : LINEARITA' 22112211 sFcsFctfctfcL

> @

a

sFaatfL1)( :SCALING

UNICIT: se f1 e f2 hanno la stessa L-trasformata, allora deve essere f1=f2 per t>0

)()( sFtf

)0()0()()(

:2 ORDINE DIDERIVATA

22

2

dtdfsfsFsdt

tfdL

Propriet delle L-trasformata

)0(...)0()0()()(

:SUPERIOREORDINE DIDERIVATA

1

121

k

kkkk

k

k

dtfd

dtdfsfssFsdt

tfdL

ssFf(t)dtL

t )( :INTEGRALE0

)0()()( :DERIVATA

fssFdt

tdfL

> @ )()( :TEMPO NEL ETRASLAZIONDELLA TEOREMA

sFetfL s WW

:FINALE VALOREDELTEOREMA

)(lim0

ssF)f(so

f

> @)( lim)0( :INIZIALE VALORE DELTEOREMA

ssFfs fo

Proprieta Delle L-trasformate

L-Trasformata: esempi :e'di atrasformat-L la ,0 0)(con f(t) per ttff(t):Sia d

s=+j [s-1] frequenza complessa

N.B. Si utilizza 0- per essere certi di includere qualunque discontinuit in t=0

ESEMPI:

! 00

01)()( 1 t

tttf G 1

t

-1(t)

GRADINO UNITARIO

> @ f

0

)()()( dtetftfLsF st

sssedtetLs

stst 1101)]([)(

0011

ff

GG

> @> @

> @ > @ 122

1

0

)(1

0

)(

0

)(

01

)(!

)(!

)()1(

00

)(

f

ff f

nat

natn

atntsan

tsantsanstatnatn

asneL

asnetL

asnn

etLasndtetsa

n

saetdtetdteettetL G

Per a>0

b

a

b

axgxfagafbgbfxgxf )()(')(')()()()(')(

> @ asesadtedteeteL tsatasstatat f

f f

11 )(

0

)(

0

)(

01G

)(tG

Ingresso impulsivo Le L-trasformate permettono anche lo studio di segnali non rappresentabili da funzioni nel senso classico del termine. Si tratta in tal caso di distribuzioni Esempio: Impulso di Dirac

1

a

1 a 0 )(1 tG

1/a

a

)(1 taG

)(taG dtd

dtd

)(tGa 0

adtta f

1)(0

G

> @

> @ > @ 1lim1lim)(lim)(

11111)(

000

o

oo

sse

asetLtL

aseesasatL

as

a

as

aaa

asas

a

GG

G

> @)()(1)( 11 attata GGG

!

f

f

0T 1 )(

0T 0 )()(

perdtt

perdttt T

T

G

GG

)(tG

IMPULSO UNITARIO

117

Funzione del tempo Trasformata

Trasformate Notevoli Le Trasformate e le Anti-Trasformate si calcolano mediante le funzioni notevoli

( (

(

( ( ( (

( ( ( ( ( ( 221

221

221

221

11

1

1

cos

sin

cos

sin

)(!

1

)(

11

ZGZ

ZZGZ

ZGZ

ZZGZ

GG

GG

asastte

astte

sstt

stt

asn

astette

stt

at

at

natn

at

118

01

01)()()(

asasacscsc

sDsNsF n

n

ww

Anti-trasformazione di funzioni razionali

N(s) e D(s), polinomi primi fra loro

f o

)(lim0

sFss

Prende il nome di polo della funzione F(s) il valore di s per il quale ha:

9Le radici del polinomio D(s) sono poli della funzione 9Se s0 radice multipla di D(s) per r volte: S0 un polo di molteplicit r

f !fo

)(lim : se sFnws

F(s) ha un polo allinfinito di molteplicit r=w-n

(

( ( tktkkkkskskskLrdt

tdsL

sDsRksksksksD

sRsQsDsNsF

rr

rr

rr

rr

r

rrrr

rr

rr

GGGG

GGG

01

11

1011

11

1

011

1

.......]...[

impulsodell' ordine di derivata ; dove ][

)()(...

)()()(

)()()(

Anti-trasformazione di funzioni razionali

1. Scomporre F(s) in termini semplici mediante lo sviluppo in frazioni parziali

2. Determinare lantitrasformata di ciascun termine Se F(s) impropria (w>n), applicare prima la divisione dei polinomi

Per calcolare lAnti-Trasformata dobbiamo scomporre la funzione di s in una somma di funzioni di cui conosciamo la trasformata

Scomposizione in frazioni parziali Ad R(s)/D(s) si applica La scomposizione in frazioni parziali

nmasasabsbsb

sDsRsG n

n

mm

con

)()()(

01

01

Caso 1. Poli semplici: pipj se ij

)()()()()( :allora

1

1

1 n

n

n psR

psR

pspssR

D(s)R(s)

Ri residuo del polo i-esimo

complessa frequenza della dominio nel )( arappresent )(frequenza della dominio nel )( arappresent )(

tvstvj

VV Z

)()(.....

)()()()()()( a)

1

01

1

1221

n

mm

nnnn

pspsbsbsb

pspspspsRpspsR

)()()(lim b) SD

SRpsR ipsi i o

( teRpsRL tpi

i

i i1

1

)(

GAntitrasformata:

Calcolo dei Residui

Uguagliando i coefficienti di s in termini di Ri a quelli in termini di bi si ottengono n equazioni nei n residui incogniti.

Poli reali

iiiiii jpjp ZVZV * ;

(

( ( ttReteeR

teeRps

eps

eRL

iiittjttjt

i

jtpjtpi

i

j

i

ji

iiiiiii

ii

11)()(

1*1

)cos(22

2

*

GMZG

G

VMZVMZV

MMMM

Poli complessi I poli complessi sono presenti in coppie coniugate

**

*

i

j

i

ji

ii

ii

pse

pseR

psR

psR ii

MM

Antitrasformata:

i

i

iiii

iiii

RjvuRRjvuR

M

M

j-*

j

e

e

I residui corrispondenti saranno complessi in coppie coniugare

)()()(2)(

)()()(lim

1 jiipsi pspspImj

SRsDSRpsR

i

o

k

jj

rk

r nrpspsD(s) k1

1 con )()( 1

Caso 2. Poli multipli: su n poli k sono distinti

!1

1-,.......,0 che dimostra Si

)(

.......)(

)()()(

)(

,

,1,

11

,1,0

j

j

j

jjj

ps

rji

i

ji

j

j

jrir

j

jik

jr

j

jr

j

j

G(s))p(sdsd

iR

ri

psR

psR

psR

psR

sDsR

Indichiamo con rj la molteplicit del generico polo pj

124

)()!1()(

11,,1 tetir

RpsRL tpir

jji

irj

ji jjj

G

Poli reali

( )(cos)!1(

2

)()( 1,1,

*

*,,1 ttetir

Rps

Rps

RL jijtirj

jiir

j

jiir

j

ji jjjj

GMZV

Poli complessi

Antitrasformata:

jijijijijijijiji

jjjjjj

RRRjvuRi-esimo

jpjp

,, j-,

*,

j,,,,

j

*

e ; e

:p polo del residuo

;

MM

ZVZV

Antitrasformata:

La trasformata di Laplace consente di trasformare le equazioni differenziali in equazioni algebriche semplificando lanalisi dei circuiti dinamici lineari. l metodo della trasformata di Laplace generalizza il metodo dei fasori: anzich calcolare la risposta permanente ad ingressi sinusoidali, con la trasformata di Laplace possiamo ricavare la risposta completa ad una classe di ingressi molto pi generale che oltre alle sinusoidi include il gradino, la rampa, lesponenziale e gli impulsi. Come nel caso dei fasori si ottiene un circuito simbolico descritto da equazioni algebriche nella variabile di Laplace s al quale possono essere applicate le tecniche viste per i circuiti resistivi.

ANALISI CIRCUITALE

Lunicit tra f(t) e F(s) permette di risolvere vari problemi in questo modo:

Soluzione nel dominio di s

Risoluzione delle equazioni algebriche

Trasformazione nel dominio del tempo

Descrizione del circuito nel dominio del tempo in termini

di equazioni differenziali

Soluzione nel dominio del tempo

Descrizione del circuito nel dominio di s in termini di

equazioni algebriche

Dominio del tempo Dominio di s Trasformazione nel dominio di s

Risoluzione delle equazioni

differenziali

IPOTESI:

I calcoli sono effettuati nellambito della teoria delle distribuzioni in modo da includere leventuale presenza di distribuzioni singolari nellorigine Tutte le F(s) possono essere anti-trasformate Si possono scrivere le equazioni topologiche (LKV e LKC) e dei componenti nel dominio di s

128

)()()()()()()()(

sVGsItvGtisIRsVtiRtv

Resistore

EQUAZIONI DEI COMPONENTI

A(s)

(b)

a(t)

I(s)

V(s)

(b)


Generatore Indipendente di tensione

Hp: v(t) L-trasformabile

Generatore Indipendente di corrente

Hp: a(t) L-trasformabile

u(t)

i(t)

U(s)

I(s)

(a) (b)

Generatore di tensione pilotato in corrente

)()()()( sIsUtitu JJ

a(t) v(t) A(s) V(s)

Generatore di corrente pilotato in tensione

)()()()( sVsAtvta GG


a(t)

i(t)

A(s)

I(s)

(a) (b)

Generatore di corrente pilotato in corrente

)()()()( sIsAtita aa

u(t) v(t) U(s) V(s)

Generatore di tensione pilotato in tensione

)()()()( sVgsUtvtu b


Trasformatore ideale

)(1)(

)()(

21

21

tintitvntv

)(1)(

)()(

21

21

sInsIsVnsV

n:1

v1(t) v2(t)

i1(t) i2(t)

n:1

V1(s) V2(s)

I1(s) I2(s)

133

STATO INIZIALE NON NULLO (dominio del tempo)

v i

0)0( 0 z VvdtdvCi

0'0)0('

'

Vvvv

dtdvCi

i

v

v

i I0

0'0)0('

'

Iiii

dtdiLv

0)0( 0 z IidtdiLv

v

v0

i

v

i

0tt 0tt

L

L

Condensatore

0)0(

)(

VvdtdvCti

sV

sCsIsV 0)()( 0)()( VCsVsCsI

Z(s)= V(s)/I(s)= 1/sC (stato zero)

Y(s)=I(s)/V(s)=sC (stato zero)

+

Induttore

0)0(

)(

IidtdiLtv s

IsL

sVsI 0)()( 0)()( ILsIsLsV Z(s)= V(s)/I(s)= sL (stato zero) Y(s)=I(s)/V(s)=1/sL

(stato zero)

+

Induttori mutuamente accoppiati

z

z

2022

21

2

10121

11

00)(

00)(

I)( idtdiLdt

diMtv

I)( idtdiMdt

diLtvv2(t)

102022212

201012111

)()()()()()(

MIILsIsLssMIsVMIILssMIsIsLsV

V1(s) V2(s)

I1(s) I2(s)

L1

M

L2

L2 I20 M I10 M I20 L1 I10

v1(t)

i1(t) i2(t)

L1

M

L2

EQUAZIONI TOPOLOGICHE AI TAGLI FONDAMENTALI

ALLE MAGLIE FONDAMENTALI

0)(0)( sIti

0)(0)( sVtv

Z(s)I(s)V(s)

LEGGE DI OHM SIMBOLICA

Nello stato zero

4:

v(s)

i(s) ESEMPIO

Vv 2)0(

A )(3)(2

3)(3)()2(

)(8)(412

2)(8)(414

12 teti

ssIsIsssIsIs

sssIsIs

t

G

t

t

diti

divti

0

0

)(8)(412

)(8)0()(414

WW

WW

4:

1/8F

v(t)

14G1(W

i(t)

s14

s8

sV )0(

Se lo dovessimo risolvere nel dominio de tempo:

+

ESEMPIO

2121

521)(

)(5)(2)(1

*1

12 jp

jpsssI

ssIsIsIss

2:

1H

G 1(W

i(t)

0)0(;0)0( vi

( ( > @ teteeeeetips

eps

esI

RM

ejjjsR

tttjjtjj

jj

jjs

2sin21

22cos

21

41)(

41)(

2

21

4122

41

41

41

211lim

212/212/

*1

2/

1

2/

1

2/

211

o

S

SM

SS

SS

S

1/5F

v(t)

Poli complessi

2

i(s)

v(s)

s5

s

s1

140

Sistemi Trifase

Sistemi polifase

141

r

r

mmtsenAta

mitsenAta

tsenAta

m

i

SaZ

SaZ

aZ

2)1( 2)(

2)1( 2)(

)( 2)(1

Sistema polifase simmetrico: m grandezze sinusoidali sfasate tra di loro di un angolo pari a r 2S/m e con uguale valore efficace e uguale pulsazione.

Se il segno sistema diretto, se + sistema inverso

Rappresentazione fasoriale

in ogni istante nulla la somma dei valori istantanei

mS2

142

per m=3 Sistemi Trifase

)3

4cos(2)(

)3

2cos(2)(

cos2)(

3

2

1

SZ

SZ

Z

#

#

tAta

tAta

tAta

Diagramma delle fasi

Sistema diretto: Verso orario sequenza dei ritardi Sistema inverso: Verso antiorario sequenza degli anticipi

Sistemi trifase

1A

3A

2A

1A

2

A

3

A

Sistema Diretto Sistema inverso

143

Stella

Triangolo

Dal punto di vista elettrico un generatore trifase simmetrico equivalente a 3 generatori monofase, collegati a stella o a triangolo, che producono una tensione di pari modulo ma fase diversa.

+

+

+

1

2

3

O

n

1

2 3

2

O 3E1E

2E

31E 12E

1

2 3

1

1 2

2 3

3 +

+

+

23E

144

Sistemi trifase Un sistema trifase si definisce 9 simmetrico se

0321 EEE9 equilibrato se

0321 III3I

2I

1I

1E

3E2E

2E1E

3E

2I

3I 1I

145

Sistemi trifase

------ Connessione dei centri stella O del generatore e O dellutilizzatore con filo neutro

1

2

3

O O

1E

2E

3E

+

+

+

1I

3I

2I12U

23U

31UZ

Z

Z

1J

3J

2J

Sequenza diretta

fase di correnti J

linea di correnti I

econcatenat tensionio linea di tensioneU

fase di tensioniE

1E

2E

3E

146

Carico equilibrato collegato a stella

ZEJIZ

EJIZEJI

333

222

111 ;;

1E

2E

3E12U

23U

31U

30

30

30

1E

2E

3E

1I

3I

2I

EU 3

Le correnti coincidono con quelle di fase e costituiscono una terna simmetrica.

iI

q q

q qq

21030240

903240120

3031200

1331

3223

2112

EEEEEUEEEEEU

EEEEEU

0321 III

Ricavo le tensioni di linea:

O

O

2I

M ZZ3 impedenze uguali

La terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase

1

3

1I

3I2

O

Z

3E

1E2E

Z Z

2I

147

1

2 3

q qq q q

q

)270(3)120()240(

)150(3)120(

)30(3)240(

23313

12232

31121

MMMMMM

MMM

JJJJJIJJJJJI

JJJJJI

JI 3

La terna delle correnti di fase anchessa una terna simmetrica:

Z

Z

Z

1I

2I

3I 12U

23U

31U

12J

31J

23J

3I

2I

1I

12J

31J

23J

30

30

30

0312312 JJJ

31J

12J

23J

ZU

ZEJZ

UZEJZ

UZEJ

31331

23223

12112 ; ;

ijJ

Le correnti di linea:

M ZZ

carico equilibrato collegato a triangolo

La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase

12U

23U

La terna delle tensioni di fase coincide con quella di linea

31U

148

Poich sia il generatore trifase che carico trifase possono essere collegati a stella oppure a triangolo, si hanno 4 possibili configurazioni:

1. Collegamento Y-Y (generatore a stella-carico a stella) 2. Collegamento Y- (generatore a stella- carico a triangolo) 3. Collegamento - (generatore a triangolo-carico a triangolo) 4. Collegamento -Y (generatore a triangolo-carico a stella)

Le configurazione pi comune per il generatore quella a stella, mentre per il carico a triangolo.

Configurazioni bilanciate

149

1. Collegamento Y-Y bilanciato

2

O

Z

1I

2I

3I

3E

1E2E

Z Z2

O 3E1E

2E

1 1

3 3

La tensioni di fase del generatore tensione di fase del carico Le correnti di linea la correnti di fase del carico

2J3J

ZEJIZ

EJIZEJI

333

222

111 ;; 1E

2E

3E

12U

23U

31U

1I

3I

2I

2. L a terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase

1.

EU 3

Il filo di neutro pu essere omesso

150

Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Il circuito trifase Y-Y bilanciato pu essere considerato come 3 circuiti monofasi uguali ma sfasati di 120 luno rispetto allaltro, dunque si prende in considerazione una sola fase, e si analizza il circuito equivalente monofase

1E 1I

YZ

Si ricava la I1 Nota la sequenza delle fasi possibile ricavare la

I2 la I3

YZEI

11

1

o

151

2. Collegamento Y- bilanciato

Le tensione di fase del carico la tensioni di linea

3I

2

O 3E1E

2E31J

12J

23J

12U

23U

31U

2

1I

2I2

1 1

3 3

ZUJZ

UJZUJ

3131

2323

1212 ; ; 12U

23U

31U

12J

31J

32J

1I

2I

3I

JI 33. La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase

EU 31. La terna delle tensioni di linea in anticipo di 30 rispetto a quelle di fase

2.

Il neutro non pu essere distribuito

152

Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. si trasforma il carico nellequivalente a stella , e si analizza il circuito equivalente monofase

1E 1I

3'Z

Si ricava la corrente di linea I1, nota la sequenza delle fasi si ricava la I2 la I3, da queste possono essere ricavate le correnti di fase.

3

11

' Z

EI

153

3. Collegamento - bilanciato

Le tensioni di fase del generatore Le tensioni di linea Le tensioni di linea le tensioni di fase del carico

31J

12J

23J

12U

23U

31U31U 12U

23U

2

1I

2I2

1 1

3 3

3I

ZUJZ

UJZUJ

3131

2323

1212 ; ; 12U

23U

31U

12J

31J

32J

1I

2I

3I

JI 32. La terna delle correnti di linea in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase

1.


154

Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Si trasformano sia i generatori che il carico nellequivalente a stella, e si analizza il circuito equivalente monofase

1E2E3E

12U

23U

31U30

312

1 UE 1

I3

'Z

Si ricava la corrente di linea I1, nota la sequenza delle fasi si ricava la I2 la I3, e da queste possono essere ricavate le correnti di fase.

3

3121

' Z

UI

Collegamento -Y bilanciato

Le tensioni di fase del generatore Le tensioni di linea Le correnti di linea le correnti di fase del carico

O

Z

2I

3E1E

2EZ Z

31U 13U

23U

2

1I

2

1 1

3 3

3I

1E2E

3E

12U

23U

31U

1I

3I

2I

30

30

30

ZEJIZ

EJIZEJI

333

222

111 ;; 2.

3UE 1. La terna delle tensioni di fase in ritardo di 30 rispetto a quelle di fase


156 156

Soluzione alternativa: analisi per singole fasi. Si trasformano i generatori nellequivalente a stella, e si analizza il circuito equivalente monofase

30312 U 1I

YZ

YZUI

3121

Si ricava la I1, nota la sequenza delle fasi possibile ricavare la I2 la I3

157

Potenza in un sistema trifase bilanciato

*

22*

S

sin

cos

ZE

JZJEjQP

JESJEQJEP

MM

Per il sistema trifase

*

22*

321

321

321

33 3)( 3

33

sin 33

cos 33

ZE

JZJEjQPjQPS

JESSSSSJEQQQQQ

JEPPPPP

TT

T

T

T

MM

Per una singola fase

Data una qualunque configurazione bilanciata possiamo sempre ricondurci al suo equivalente Y-Y e perci considerare il sistema trifase come costituito da tre circuiti monofase disposti a 120 luno rispetto allaltro.

Potenza in un sistema trifase bilanciato

158

MM

MM

sin 3 ;cos 3 J 3

sin 3 ;cos 3 J

3

IUQIUPI

EU

IUQIUPI

EU

TT

TT

Se usiamo le grandezze di linea al posto di quelle di fase

Collegamento Y

Collegamento

MM

IUJEjQPSIUS

TT 3 3

3

Triangolo dellimpedenza di carico della singola fase M ZZ

R

X

159

Sistemi trifase

160

CARICHI SQUILIBRATI La presenza di carichi non trifase puo introdurre uno squilibrio nelle correnti. Es. Utilizzatori monofase come quelli domestici I guasti possono introdurre squilibrio nelle correnti Fra fase e fase Guasti: Fra fase e neutro (Terra) Fra fase-fase e neutro (Terra) Il caso dei guasti il pi importante perch coinvolge grandi potenze Lo squilibrio dovuto ai carichi monofase, almeno nelle grandi reti, pu essere compensato

SQUILIBRIO DOVUTO A CARICHI MONOFASE Tra centro stella del carico e centro stella del generatore viene persa la equipotenzialit. Si verifica uno spostamento del centro stella

161

METODO DELLO SPOSTAMENTO DEL CENTRO STELLA 1

I

2I

3I

o o

1E

2E

3E

1

2

3 321

3

3

2

2

1

1

' 111ZZZ

ZE

ZE

ZE

V oo

Teorema di Millmann

da cui: 3

'33

2

'22

1

'11 ;; Z

VEIZ

VEIZ

VEI oooooo

Se le tensioni di alimentazione sono simmetriche, il diagramma fasoriale e:

Il centro stella del carico O spostato rispetto al centro stella O del generatore

E3

E2

E1 o Voo

o E1

E3

E2 U12

U31 U23

'1E

'2E

'3E

162

nei casi di sistemi Y, Y, o il metodo dello spostamento del centro stella non utilizzabile o troppo oneroso. Si pu allora fare ricorso ai metodi di analisi e teoremi dei circuiti monofase (metodo delle correnti cicliche o dei potenziali nodali, etc)

Esempio: sistema dissimetrico e squilibrato

Calcolate le correnti di maglia per risalire alle correnti di fase e di linea

163

POTENZE NEI SISTEMI TRIFASE squilibrati

NEUTRO ACCESSIBILE 1

2

3

N

1I

2I

3I Potenza istantanea

Nel dominio della frequenza

)( 332211 ieieietp

321 Niiii

22

333222111

333222111

sinsinsincoscoscos

TTTTT

T

T

QPSjQPSIEIEIEQIEIEIEP

MMMMMM

NI

Prendo il filo di neutro come riferimento

164

POTENZE NEI SISTEMI TRIFASE squilibrati

NEUTRO NON ACCESSIBILE 1

2

3

2I

3I

Potenza istantanea

Nel dominio della frequenza

332211223113)( ieieieivivtp

)cos()cos( 223223113113 IVIVIVIVP )sin()sin( 223223113113 IVIVIVIVQ

0321 iii

13V

23V

1I

3223

3113eeveev

Si prende una delle fasi come riferimento

165

RIFASAMENTO DEI CARICHI TRIFASE

Carico

Batteria di condensatori

P: potenza attiva prima del rifasamento. P: potenza attiva dopo il rifasamento.

MM cos'cos !

' tanP- tan'

'

MMPQQQQ

PP

C

C

166

Collegamento dei condensatori a stella

Carico

CY

V

Collegamento dei condensatori a triangolo

Carico

C'

V

2

2 2 2

) ' tan (tan 3

3 3

V P C

V C V C X E Q

Y

Y Y Y

CY

M M

Y

C

C C

V P C

V C X V Q

3 1

3 ) ' tan (tan

3 3

2

2 2

'

'

' '

M M

167

Circuiti Magnetici

168

Teorema della Circuitazione

INd "

lH (Amper-spire)

Per un osservatore disposto di fronte al piano di una spira, il verso positivo dellasse (coincidente con quello del campo H) quello diretto dal piano della spira verso di lui se il verso positivo sul filo (coincidente con quello della corrente I) quello antiorario, quello opposto in caso contrario

REGOLA DI MAXWELL

169

FLUSSO DI INDUZIONE

sdB

) S dsBapplicando l'integrale ad una superficie chiusa:

0 s dsB Legge di Gauss

Diverse superfici che hanno lo stesso contorno, hanno lo stesso flusso concatenato

Si usa la regola di Maxwell per orientare il flusso concatenato in relazione al bordo della superficie: Se la superficie s quella delimitata dal perimetro di una spira, per un osservatore disposto di fronte al piano che contiene il bordo della superfice, il verso positivo dellasse (coincidente con quello di ) quello diretto dal piano verso di lui se il verso positivo sul bordo (coincidente con quello della corrente I che attraversa la spira) quello antiorario, quello opposto in caso contrario.

170

IPOTESI SUI MEZZI MATERIALI

Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari: J conduttivit [ S / m ] H permettivit [ F / m ] m permeabilit [ H / m ]

EQUAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO:

D = H E B = m H COSTANTI UNIVERSALI:

Velocit della luce nel vuoto c # 3108 m / s Permeabilit del vuoto m0 = 4S 10-7 H / m Permettivit del vuoto H0 = 1/(36S 10-9 F / m

sm

4587922991

00

Hmc

CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI

Propriet dei materiali

171

In base al comportamento magnetico i mezzi si distinguono in : Diamagnetici r1 Ferromagnetici r>>1

O anche

Amagnetici r 1 (Paramagnetici, Diamagnetici )

Magnetici r>>1 (Ferromagnetici)

0mmm r

172

m r funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro B = f (H) NON LINEARE

SATURAZIONE

HC

-Br

Br

-HC

B

H Hmax -Hmax

tan-1m0

HC: forza coercitiva Br: induzione residua

Materiali ferromagnetici

173

Legge Hopkinson

)

)

"

"

"

"

INSdl

INdlS

IN

IN

m

m

m dlB

dlH(L. Ampre)

Gm = 1/R m = Permeanza magnetica

N

I

Legge Hopkinson

Riluttanza magnetica

INm ) R

"

" Sdl

mmR

S

B = m H

S costante

LKC magnetica

174

1

3

2 0

0

)

S

S

k Kk kk SBsdB

sdB

0 )k K

LKC magnetica: La somma dei flussi entranti in un nodo nulla

Dalla legge di Gauss:

I punti di connessione dei lati del circuito magnetico sono i nodi

N1 N2 1I 2I

1)

Circuiti magnetici

175

)

)) )

eequivalent elettrico circuito del soluzione

maghetico circuito del riluttanza

2211

21

ININ

no HopkinsoapplichiamS

l

TOTm

mm

TOT

R

R m

HP:

1. Non ci sono flussi dispersi 2. B e H sono costanti in tratti uniformi

(stessa sezione e stesso materiale) 3. Il materiale del nucleo lineare 4. La lunghezza dellintero nucleo

coincide con la sua lunghezza media lm

N1I1

TOT

N2I2

R m

+

+

Circuito elettrico equivalente

ml2)

Circuiti magnetici

176

Si dice circuito magnetico una connessione di lati formati da: 1. Elementi magneticamente passivi, formati da tratti di lunghezza Li e

sezione Si, di permeabilit i. Questi hanno un circuito elettrico equivalente formato da una riluttanza R i

2. Elementi magneticamente attivi formati da tratti di lunghezza Lk, sezione Sk e permeabilit k, su cui presente un avvolgimento di Nk spire percorso da una corrente Ik. Il circuito elettrico equivalente composto da una riluttanza R k e da un generatore di f.m.m=NI

)N I

N I

)

R m

NI

R m

NI

R m

SL

rm

0mm

R

+

+

L

S

LKT magnetica

177

ABAB

M

iii

N

kkk

ABv

l

IN

)

)

R

R

: trattosul B eA tramagnetica c.d.t. definita Viene

attivi entemagneticam ElementiMpassivi entemagneticam trattiN

Hopkinson di leggeper

11

LKT magnetica: la somma algebrica delle c.d.t.

magnetiche lungo un percorso chiuso pari alla somma algebrica delle f.m.m.

i iik k INvIn generale:

1

4 3

2

NI

v12

v41

v34

v23

)I

L2

L1

N

R AB AB A B

vAB

)

INvvvv 41342312 figurain magnetico circuito al oriferimentIn

178

ANALOGIA Magnetto-Elettrica CIRCUITI MAGNETICI CIRCUITI ELETTRICI

F.M.M. (f )

PERMEANZA Gm

RILUTTANZA R m

FLUSSO )

vm = R m )

S) 0

SNI = SR m )

F.E.M. (E)

CONDUTTANZA G

RESISTENZA R

CORRENTE I

U = RI

SI = 0

SV = S RI

179

IL TRASFORMATORE

180

) Flusso Principale )d1 Flusso Disperso in una spira primaria )d2 Flusso Disperso in una spira secondaria

CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI

L1 L2

i1 i2

v1 v2 M

dtdiLdt

diMvdtdiMdt

diLv2

21

2

2111

2d)1d)

)

N1 N2 1I 2I

( ( (

) )

)

2222

1111

2211

ININ

ININ

dddd

m

GG

G Gm permeanza del circuito magnetico Gd1 permeanza costante (percorso in aria) Gd2 permeanza costante (percorso in aria)

)( oppure ININ ) ) mm GRlegge di Hopkinson

181

) )

112222

221111

)()(

ININININ

mdm

mdm

GGGGGG

) )

121222

12

221112

11

)()(

INNININNIN

mdmc

mdmc

GGGG

GG

)) ))) )

22

11

d

d

)) ))) )

2222

1111

dc

dc

NNNN

)1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria )2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria

)c1 Flusso Concatenato con lAvvolgimento Primario )c2 Flusso Concatenato con lAvvolgimento Secondario

CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI

182

) )

1222

2111

IMILIMIL

c

c

Se siamo in condizioni dinamiche:

) )

dtdiMdt

diLdtd

dtdiMdt

diLdtd

c

c

122

2

211

1

dtdiMdt

diLvdtdiMdt

diLv12

22

2111

( (

mmd

md

NNMNLNL

GGG

GG

21

2222

1211 Induttanza propria del circuito 1

Induttanza propria del circuito 2 Mutua induttanza

poniamo:

183

Circuito Equivalente

zionemagnetizza di indutanza

secondaria edispersion di indutanza

primaria edispersion di indutanza Ponendo

21

2222

112

1

mm

dmd

dmd

LNLNLN

G

G

G

2d)1d)

)

N1 N2 1I 2I (

(

22221212

221112

11

ININNINNIN

mmdmC

mmmdC

GGGGGG

1 d L 2 d L

m L n:1

1V

1I 2I Hp: Ferro Ideale

Rame Ideale

rapporto spire 2

1

2 1

2 2

2 2

2 1 1 1 1

1 2

1 2

1

2

2

1 2 2

2

1 2 2

1

2

2

1

2

1 2

2

1

2 1

2 1 1 1 1

N N n

n I I L n

I L n n

I I L I L

I N N I N

N N N N N

N I L N N

N N

N N

N N

I N N I L I L

m d C

m d C

m d C

m d C

G

n

184

N dove

2

1

2

11

2

12

22222

21

21

21111

u

nNNNIN

NINIL

INNINIL

mdC

mdC

G

G

185

grandezze secondarie riferite al primario

DOPPIO BIPOLO EQUIVALENTE

1 c ) 2 c n ) 2 c n )

n I 2

2 2

d L n n I 2 1 I

1 d L 2 2

d L n m L

n I I 2 1

nII

VnV2'

2

2'

2

CIRCUITO EQUIVALENTE

1V

'2I

n:1

1 d L

m L 2V'2V

2I22

dLn1I

186

TRASFORMAZIONE DELLE IMPEDENZE

n:1

Unimpedenza applicata ai morsetti secondari di un trasformatore ideale puo essere sostituita da unimpedenza ai morsetti primari senza che il funzionamento complessivo venga alterato, e viceversa. Riassumendo per portare una grandezza secondaria al primario:

2n

per portare una grandezza primaria al secondario:

2 I 2 V

1 I

1 V ' 2 2 2

1

1 2

1

1

2

2 2

1

1 1

Z n

Z

I V

n I n n V

I V Z

2 Z 2

2 ' 2 Z n Z

2 2 '

2 2 '

2 2 '

2 : ; ; Z n Z n I I V n V Impedenza : Corrente : Tensione

1 2 " 1 1

" 1 1

" 1

1 : ; ; 1 Z n

Z I n I V n V Impedenza : Corrente : Tensione

187

1 V 1 E

m I )

2 E

Trasformatore

) o)

)

) o)

)

2222

1111

f.e.m una secondario toavvolgimennell' induce

primaria f.e.m

f.e.m una primario toavvolgimennell' induce

NEdtdNe

NEdtdNe

M

M

Z

Z

Trasformatore ideale a vuoto

mIN 1 R

) v1 e2

i1

e1

2

1

2

1

2

1NN

EE

VV

2V

188

Trasformatore Trasformatore ideale sotto carico

'11

2

1

2'1

III

INNI

m

) v1 e2

i1

e1

i2

v2 m I

)

'1I1E

1I

2V

'1122 ININ

2I

22IN

'11IN

2E

1V

189

Hp: Ferro Ideale

Rame Ideale

Pfe=0 accoppiamento perfetto

Pcu=0

Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le ipotesi di ferro ideale e di rame ideale

f o m

Circuito equivalente trasformatore ideale 1 d L 2 2 d L n

m L

n:1

1V 1E 2E 2V

190

9R1: resistenza equivalente dellavvolgimento primario 9R2=n2R2 con R2 resistenza dellavvolgimento secondario 9Xd1=YLd1 con Ld1 induttanza di dispersione primaria 9Xd2=n2 Xd2 ; Xd2=YLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria 9G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro) 9B=1/Xm; Xm=j YLm con Lm induttanza di magnetizzazione 9I0: corrente a vuoto 9Im: corrente magnetizzante 9E2=nE2

1 I 1 d X 1 R 2 ' d X 2 ' R 2 ' I

1 E G f I m I 0 I

' 2 E B ' 2 -V

2 I

2 -V 1 V

Trasformatore Reale

191

FUNZIONAMENTO A CARICO DEL TRASFORMATORE REALE

Note:

1 1 I jX d

1 V 1 1 I R

1 E 1 I ' 2 I

f I 0 I m I

) ' 2 I ' 2 V

2 E ' 2

' 2 I R

' 2

' 2 I jX d

2 2 ; I V

' 2 0 1

1 1 1 1 1

1 0

2 ' 2 1

' 2

' 2

' 2

' 2

' 2

) ( ) (

) (

I I I I jX R E V

E jB G I I I E n E E

I jX R V E

d

f m

d

1 I 1 d X 1 R 2 ' I

1 E G f I m I

' 2 E B

2 I

1 V

'2dX '2R0I

'2V '2V

Documents

Dispense Elettrotecnica per Corso di Ingegneria Civile (L-7)