DISSERTAÇÃO DE MESTRADO - repositorio.ufop.br‡ÃO... · de desaguamento de sistemas particulados como areia, finos de carvão, concentrados de minério e rejeitos, dentre outros,

Ministério da Educação e do Desporto

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral –

PPGEM

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

MODELAGEM DE DESAGUAMENTO EM PENEIRA

Autor: Felipe de Orquiza Milhomem

Orientador: Prof.º José Aurélio Medeiros da Luz

OURO PRETO/MG

JUNHO/2013

Ministério da Educação e do Desporto

Universidade Federal de Ouro Preto

Departamento de Engenharia de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral –

PPGEM

II

MODELAGEM DE DESAGUAMENTO EM PENEIRA

Autor: Felipe de Orquiza Milhomem

Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz

Área de Concentração: Tratamento de Minérios

Ouro Preto/MG

Junho de 2013.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação do Departamento de Engenharia de

Minas da Escola de Minas da Universidade

Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos

requisitos para obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mineral.

III

Catalogação: [email protected]

M644m Milhomem, Felipe de Orquiza.

Modelagem de desaguamento em peneira [manuscrito] / Felipe Orquiza

Milhomem – 2013.

xvii, 147f.: il. color; graf., tab.

Orientador: Prof. Dr. José Aurélio Medeiros da Luz.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de

Minas. Departamento de Engenharia de Minas. Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Mineral.

Área de concentração: Tratamento de Minérios.

1. Peneiramento (Mineração) - Teses. 2. Modelagem - Teses. 3. Simulação

por computador - Teses. 4. Escoamento - Teses. I. Luz, José Aurélio Medeiros

da. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título.

CDU: 622.72:004.94

CDU: 669.162.16

mailto:[email protected]

IV

V

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer em primeiro lugar a Deus, pelo Seu amor e bondade

incondicionais, que me forneceram as condições (de quaisquer natureza) de vencer as

barreiras que surgiram para mim ao longo desses 2 anos.

Agradeço ao meu orientador, o professor José Aurélio Medeiros da Luz, não apenas

pelo suporte e ensinamentos técnicos, mas também pelo seu companheirismo e lições

que me ajudaram muito.

Aos professores que participaram da minha banca examinadora, Otávia Martins

Rodrigues e Mário Cabello Russo, por se dispor a analisar e sugerir melhorias que

ajudaram a enriquecer este trabalho.

Aos meus familiares, especialmente meus pais, Assis e Irenilde, e meus irmãos,

Fabrício e Nayara, pelo apoio, fornecido integralmente ao longo de minha vida e

também nesta etapa.

À minha namorada, Karla Marques, que me ajudou (e muito!) a superar todas as

angústias e aos amigos, tanto aqueles que ficaram no Pará (mas que ainda sim torceram

por mim), quanto os novos (“adquiridos” aqui em Ouro Preto), que me incentivaram e

tornaram as coisas por aqui mais felizes e divertidas.

Ao professor Carlos Alberto Pereira, pelas conversas e também pelos esclarecimentos,

tanto os de cunho técnico quanto pessoal e aos demais professores do programa, em

especial Rosa Malena e Érica Linhares, pelos ensinamentos e auxílio prestados, que

contribuíram à minha formação.

Aos colegas de pós-graduação, pelo apoio dentro e fora da sala de aula.

Aos funcionários do DEMIN/PPGEM que me auxiliaram quando precisei de algo.

VI

À CAPES, pelo fornecimento da bolsa de estudos.

E agradeço a todos aqueles que não foram lembrados aqui, mas que de forma direta ou

indireta me ajudaram a alcançar mais esta conquista.

Muito obrigado a todos!

VII

RESUMO

Peneiras vibratórias são comumente utilizadas no beneficiamento mineral para a

separação das espécies por tamanho. Elas também podem ser empregadas para a etapa

de desaguamento de sistemas particulados como areia, finos de carvão, concentrados de

minério e rejeitos, dentre outros, tendo como vantagem os baixos custos de montagem e

operação. Dada sua importância no processamento mineral, este trabalho teve por

objetivo estudar o desaguamento por peneiras vibratórias por meio da construção de um

modelo matemático. Esse modelo será baseou-se nas forças hidráulicas descritas pela

equação de Ergun, pela perda de carga nas aberturas da peneira (acidentes hidráulicos),

pela altura da coluna de líquido, pelas forças interfaciais (capilaridade) e pelas forças

mecânicas devidas ao movimento vibratório da peneira. Simulações foram realizadas

com o intuito de verificar quais as melhores condições de drenagem do líquido (maior

velocidade de percolação). Os melhores resultados obtidos foram com esferas de vidro,

com 30% de sólidos, amplitude de 0,002 m e frequência de 167,55 Hz com tensão

superficial de 72 x 10-2

N/m. Assim, os parâmetros que mais influenciam no processo

são a morfologia das partículas, a concentração de sólidos na polpa e a excitação da

peneira (frequência e amplitude). Por outro lado, tensão superficial e fração de área

aberta mostraram pouca importância nos resultados.

Palavras-chave: peneira vibratória, desaguamento, modelagem, simulação.

VIII

ABSTRACT

Vibrating screens are commonly used in mineral processing for size separation of

species. They may also have common use for particulate systems dewatering, with low

operational and installation costs. This work aims to study the dewatering with vibrating

screens through the development of a mathematical model. The model is based on the

hydraulic forces described by Ergun's equation, on the pressure drop in the openings of

the sieve (hydraulic accidents), on the height of the column of liquid interfacial forces

(capillary action) and on the forces due to mechanical vibratory motion of the sieve.

Simulations were performed in order to determine the best conditions for the liquid

flow. The best values were achieved with glass beads at 30 % of mass solids

concentration, 0.002 m amplitude, under frequency of 167.55 Hz and with surface

tension of 72 x 10-2

N/m. The main factors that influence the dewatering in vibrating

screens are the particles morphology, sludge concentration and amplitude and frequency

of screen. Surface tension and screen open area didn‟t show improvement.

Keywords: vibrating screen, dewatering, modelling, simulation.

IX

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1: Índice de Hausner (Hr) e escoabilidade de meio granular ........................... 25

Tabela 3.2: Cálculos para análise granulométrica .......................................................... 31

Tabela 3.3: Cotejo entre alguns tipos de peneiras vibratórias ........................................ 46

Tabela 3.4: Fatores que influenciam no desaguamento com peneiras vibratórias. ......... 47

Tabela 3.5: Aspectos levados em conta no dimensionamento de peneiras .................... 48

Tabela 4.1: Classificação das micro esferas de vidro, de acordo com sua granulometria

........................................................................................................................................ 88

Tabela 4.2: Principais parâmetros analisados de acordo com a distribuição de Rosin-

Rammler .......................................................................................................................... 89

Tabela 4.3: Resultados encontrados para massa específica real, aparente e porosidade da

areia ................................................................................................................................. 92

Tabela 5.1: Variáveis analisadas em 10 diferentes cenários de simulação ..................... 99

Tabela 5.2: Valores analisados de cada variável ............................................................ 99

Tabela 5.3: Resultados de simulação para esferas de vidro: valores máximo e mínimo de

velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação 103


velocidade de filtragem de acordo com a fração de área aberta e frequência de operação

...................................................................................................................................... 106


velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação ........... 108


velocidade de filtragem de acordo com a concentração mássica de sólidos e frequência

de operação ................................................................................................................... 110

Tabela 5.7: Resultados de simulação para areia: valores máximo e mínimo de

velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação 112



...................................................................................................................................... 114


velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação ........... 116



de operação ................................................................................................................... 118

X

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1: Exemplo de um típico sistema particulado. ................................................. 22

Figura 3.2: Tempo para atingir o pico de cegamento versus índice de Hausner. ........... 26

Figura 3.3: esquema mostrando o ângulo de repouso (β) e o ângulo de atrito interno (α).

........................................................................................................................................ 27

Figura 3.4: Diâmetros equivalentes para uma mesma partícula. .................................... 28

Figura 3.5: Demonstração da não-aderência estatística com a distribuição de Gauss de

uma amostra peneirada. .................................................................................................. 30

Figura 3.6: Projeção de um grão de areia através de coordenadas polares. .................... 34

Figura 3.7: a) Modelo esquemático do processo de peneiramento; b) Exemplo de

material retido na tela da peneira. ................................................................................... 35

Figura 3.8: Exemplo de grelha fixa. ............................................................................... 36

Figura 3.9: Exemplo de peneira DSM. ........................................................................... 38

Figura 3.10: Partição do fluido em peneira DSM, segundo distribuição de Weilbul. .... 39

Figura 3.11: Esquema de trômel com duas telas. ........................................................... 40

Figura 3.12: Esquema típico de peneira vibratória inclinada. ........................................ 41

Figura 3.13: Movimento da partícula em peneiras vibratórias: a) horizontais; b)

inclinadas.. ...................................................................................................................... 41

Figura 3.14: Ilustração dos padrões de movimento vibratório da peneira: a) movimento

circular; b e d) movimento oval; c) movimento linear. A estrela indica o centro de

gravidade das mesmas (A – alimentação; R – retido; P - passante). .............................. 42

Figura 3.15: a) Desenho esquemático dos perfis de inclinação de uma peneira modular;

b) perfil de profundidade nas regiões de alimentação e de descarga. ............................. 44

Figura 3.16: a) Representação esquemática de uma peneira desaguadora: 1)

alimentação, 2) filtragem da água através peneira, 3) motores que criam o movimento

linear de vibração, 4) inclinação ascendente na descarga, proporcionando a descarga de

sólidos desaguados. (Fonte: McLanahan, 2012); b) exemplo de uma peneira

desaguadora industrial (Fonte: Eral, 2012). .................................................................... 45

Figura 3.17: Desenho esquemático do processo de filtragem. ....................................... 49

Figura 3.18: Comparação entre perda de carga com e sem vibração para peneira de

250 x 10-6 m (60 #). Os resultados são mostrados em função do coeficiente de perda de

carga (k) versus o tempo. ................................................................................................ 53

Figura 3.19: Esquema das principais regiões de peneiramento. ..................................... 54

XI

Figura 3.20: Eficiência do peneiramento versus frequência (Dpi – diâmetro das

partículas).. ...................................................................................................................... 55

Figura 3.21: comparação entre o desaguamento com e sem um meio de sucção capilar.

Os valores próximos dos pontos representam a altura do leito. ...................................... 57

Figura 3.22: Direção da aceleração em determinados intervalos de tempo. (C – valor

múltiplo da aceleração [-]). ............................................................................................. 58

Figura 3.23: Forças atuantes na cinética de escoamento do líquido em um capilar devido

à vibração. ....................................................................................................................... 59

Figura 3.24: Influência da frequência e do parâmetro cinético na saturação da torta (S –

saturação; f – frequência; λ - parâmetro cinético). ......................................................... 63

Figura 3.25: Umidade versus parâmetro gravitacional. .................................................. 66

Figura 3.26: Esquema de desaguamento com peneiras vibratórias. A polpa é alimentada

pela esquerda, onde ocorre a filtragem do líquido. Com o movimento vibratório, os

sólidos são levados para a parte de descarga, à direita da figura. Nesta parte, também

ocorre a drenagem do líquido residual. ........................................................................... 67

Figura 3.27: Coordenadas retangulares do sistema de Raja et alii: seção do sistema com

presença da peneira (com inclinação ), polpa e torta. ..................................................... 68

Figura 3.28: Resultados obtidos mostrando a relação entre a porosidade e o diâmetro

das partículas (dp) com a vazão de filtrado (Q). ............................................................. 70

Figura 4.1: modelo esquemático mostrando os elementos presentes numa peneira

desaguadora. S – líquido sobre nadante; e – espessura do leito de material particulado

(com presença de líquido intersticial); Z (t) – altura total do sistema. ........................... 71

Figura 4.2: Exemplo esquemático do leito monodisperso e poros de igual quantidade

das partículas. .................................................................................................................. 76

Figura 4.3: Considerações quanto à presença de líquido intersticial. ............................. 79

Figura 4.4: Evolução do perfil de umidade: teórico versus experimental. ..................... 86

Figura 4.5: Distribuição granulométrica das amostras. .................................................. 89

Figura 4.6: Escala de Krumbein para avaliação visual da esfericidade de partículas (no

eixo horizontal se encontram os valores de arredondamento e no vertical, estão os

valores de esfericidade). ................................................................................................. 93

Figura 4.7: Amostras utilizadas: a) esferas de vidro; b) areia quartzosa.. ...................... 93

Figura 4.8: Demonstração da obtenção da fração de área aberta da peneira. ................. 94

Figura 5.1: Ensaios com esferas de vidro: relação entre frequência, tempo de operação e

velocidade de filtragem para tensão superficial de 36 x 10-2

N/m (adição de sulfonato de

petróleo). ....................................................................................................................... 101

XII



N/m. ............................... 102


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 34,2%. ..................................... 104


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 36%. ........................................ 105


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m. .............................. 107


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m. ................................ 107


velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 30%. ................................... 109



Figura 5.9: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e velocidade

de filtragem para tensão superficial de 36 x 10-2

N/m. ................................................. 111

Figura 5.10: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e


N/m. ............................... 112


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 34,2%. ..................................... 113


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 36%. ........................................ 114


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m. .............................. 115


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m. ................................ 116





XIII

LISTA DE ABREVIAÇÕES E NOTAÇÕES

Lyv – velocidade do líquido na direção “y” [m/s];

F f – força de atrito viscoso, dada por:

F i – força inercial, dada por:

F t – força capilar (força de retenção), dada por:

F v – força operacional aplicada, devida à aceleração e vibração da peneira, dada

por:

A – amplitude da vibração da peneira [m];

a e b – constantes;

ab – valores que vão de 1 a 6, dependendo da característica do material (quanto

mais fino, menor seu valor);

Ap – área da partícula [m2].

Apo – área do poro [m²]

as = 4/3 e;

At – área transversal da peneira [m²].

ax e ay – abertura da peneira nos planos “x” e “y” respectivamente [m];

Ay – amplitude de vibração normal à superfície da peneira [m].

bs = 1/2.

Cd – coeficiente de descarga [-];

C – valor múltiplo da aceleração, como função do tempo e da altura do leito [-];

Cml – concentração mássica de líquido [-].

Cms – concentração mássica de sólidos [-];

Cvs – concentração volumétrica de sólidos [-].

dh – diâmetro equivalente do tubo capilar [m];

dk – diâmetro de Kozeny das partículas (medido através da permeabilidade da

torta) [m].

dp – diâmetro da partícula [m].

dpo – diâmetro do poro [m]

e – espessura do leito [m];

f – frequência de operação [Hz].

XIV

fa – fração de área aberta da peneira (porosidade da peneira) [-].

g – aceleração da gravidade [m/s²];

G – parâmetro gravitacional [-];

H – altura do tubo capilar [m];

h – ascensão capilar [m];

hc – espessura da torta [m];

hm – espessura da polpa [m];

Hr – índice de Hausner [-];

hscr – espessura da peneira [m];

k – permeabilidade do leito [-];

kc – permeabilidade da torta [-];

ke – permeabilidade do leito [-];

kscr – permeabilidade da peneira [-].

Kϕ – coeficiente de perda de carga da peneira [-];

L – comprimento da peneira [m];

m – massa da amostra seca em estufa [kg];

m1 – massa do conjunto (proveta + areia) [kg];

m1 – massa do picnômetro vazio [g];

m2 – massa do picnômetro + amostra [g];

m2 – massa total do conjunto (proveta + areia + água) [kg];

m3 – massa do picnômetro + amostra + água [g];

m4 – massa do picnômetro + água [g];

n – número harmônico.

n – umidade instantânea;

n0 – valor mínimo de n;

np/e – número de partículas por estrato [-].

npo – número de poros [-];

pb – pressão capilar máxima (breakthrough pressure) [Pa];

Qvf – vazão volumétrica de filtrado [m3/s];

Rc – raio do capilar [m].

Reϕ – número de Reynolds da peneira [-].

Rf – raio da partícula no ângulo θ [mm];

XV

SF – saturação da película [-];

Slb – saturação entre as partículas [-].

t – tempo de operação [s];

v – velocidade de percolação intersticial do fluido (velocidade superficial de

filtragem) [m.s-1

];

v – velocidade superficial de escoamento (drenagem) [m/s].

Va – volume de água adicionada à proveta [m3].

Vl inst – volume de líquido intersticial [m³];

Vl sobre – volume de líquido sobrenadante [m³];

Vl total – volume total de líquido [m³].

Vp – volume da partícula [m3];

Vpro – volume da proveta [m3];

Vs pen – volume de sólido na peneira [m³];

Vs– volume de sólido [m³];

Vv – volume de vazios [m³];

vx – velocidade de transporte na direção “x” [m/s].

α0, αn e βn – coeficientes de Fourier [-];

β – coeficiente de escoamento cinético (parâmetro inercial) [-];

γ – tensão superficial do líquido [N/m];

δ – ângulo de contato [º].

Δp – diferença de pressão [Pa];

Δpγ – pressão interfacial [Pa];

Δpϕ – perda de carga na tela da peneira [Pa];

εL – porosidade do líquido no leito sólido [-];

εs – porosidade do leito [-];

ηl – viscosidade dinâmica do líquido [Pa.s];

θ – ângulo de contato da fase sólido-líquido [°];

θ – ângulo de inclinação da peneira;

λ – parâmetro cinético (múltiplo da aceleração) [-].

μ – viscosidade do líquido [Pa.s];

ρa – massa específica da água [kg/m3]

ρap – massa específica aparente do sólido [kg/m3].

XVI

ρf – massa específica do filtrado [kg.m-3

];

ρl – massa específica do líquido [kg/m³];

ρpo – massa específica da polpa [kg/m³];

ρs – massa específica real do sólido [kg/m3];

φ – ângulo de fase [-];

ϕ – diâmetro do fio da peneira [m];

ϕx e ϕy – diâmetro do fio da tela nos planos “x” e “y” respectivamente [m].

ψ – esfericidade [-];

ω – frequência angular da peneira [rad/s];

XVII

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 19

2. OBJETIVO E RELEVÂNCIA ............................................................................ 21

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................ 22

3.1 Sistemas particulados e sua caracterização .......................................................... 22

3.1.1 Massa específica real e aparente e densidade ........................................................ 24

3.1.2 Índice de Hausner .................................................................................................. 24

3.1.3 Ângulo de repouso, ângulo de atrito interno e velocidade de escoamento ............ 27

3.1.4 Tamanho e distribuição de tamanho de partículas ................................................. 28

3.1.5 Morfologia de partículas ........................................................................................ 31

3.1.6 Análise da morfologia de partículas a partir de séries de Fourier ......................... 33

3.2 Peneiramento ........................................................................................................... 34

3.2.1 Equipamentos ......................................................................................................... 36

3.2.1.1 Grelhas ................................................................................................................ 36

3.2.1.2 Peneiras fixas ...................................................................................................... 37

3.2.1.3 Peneiras móveis .................................................................................................. 39

3.2.2 Dimensionamento de peneiras ............................................................................... 47

3.3 Mecanismos de filtragem aplicáveis ao desaguamento em peneiras .................. 48

3.4 Perda de carga na tela da peneira ......................................................................... 52

3.5 Vibração em peneiras ............................................................................................. 53

3.6 Capilaridade dos sistemas particulados ................................................................ 56

3.7 Modelagem do desaguamento em peneiras vibratórias ...................................... 57

3.7.1 Modelo de desaguamento de peneiras de Keller e Stahl (Keller e Stahl,

1994;1997) ...................................................................................................................... 58

3.7.2 Modelo de desaguamento de peneiras de Ng (Ng, 1990) ...................................... 63

3.7.3 Modelo de desaguamento Raja et alii (2010) ........................................................ 67

4. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................ 71

4.1 Desenvolvimento do modelo matemático .............................................................. 71

4.1.1 Perda de carga em meio poroso (Δ pe) ................................................................... 73

4.1.2 Perda de carga na tela da peneira (Δ pϕ) ................................................................ 74

XVIII

4.1.3 Perda de carga interfacial (capilaridade) (Δ pγ) ..................................................... 75

4.1.4 Pressão hidrostática (Δ ph) ..................................................................................... 78

4.1.5 Pressão mecânica (aceleração do sistema) (Δ pm) ................................................. 81

4.1.6 Equação para o cálculo da velocidade de drenagem .............................................. 84

4.1.7 Equação para determinação da umidade residual da torta ..................................... 85

4.2 Caracterização das amostras para realização da simulação .............................. 87

4.2.1 Amostras ................................................................................................................ 87

4.2.2 Caracterização granulométrica das amostras ......................................................... 88

4.2.3 Determinação da massa específica das amostras (real e aparente) e porosidade ... 90

4.2.4 Determinação da esfericidade ................................................................................ 93

4.2.5 Características da tela da peneira ........................................................................... 94

4.2.6 Determinação da espessura do leito de partículas e da lâmina de sobrenadante ... 95

5. RESULTADOS ..................................................................................................... 99

5.1 Simulação com esferas de vidro ........................................................................... 100

5.1.1 Influência da tensão superficial para drenagem com esferas de vidro................. 100

5.1.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com esferas de vidro

...................................................................................................................................... 104

5.1.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com esferas de vidro .... 106

5.1.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com esferas de

vidro .............................................................................................................................. 108

5.2 Simulação com areia ............................................................................................. 111

5.2.1 Influência da tensão superficial para drenagem com areia .................................. 111

5.2.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com areia ........... 113

5.2.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com areia ...................... 115

5.2.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com areia .......... 117

5.3 Previsão da umidade residual da torta ............................................................... 119

6. CONCLUSÃO ..................................................................................................... 121

7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ............................................ 123

8. REFERÊNCIAS .................................................................................................. 124

9. ADENDOS ........................................................................................................... 131

19

Sistemas particulados apresentam elevada ubiqüidade, entretanto, também

apresentam elevada complexidade no seu entendimento, caracterização e

processamento. No beneficiamento mineral, fazem-se presentes nas variadas etapas do

processo, a partir de etapas de cominuição de uma rocha progenitora, que devido aos

diferentes mecanismos de quebra envolvidos, gerarão como produtos uma infinidade de

partículas com granulações as mais diversas. Na maioria das vezes, o tratamento de

sistemas particulados (também conhecidos como graneis ou sistemas particulados

densificados, em contraste com os sistemas rarefeitos, como poeiras e gases) ocorre

com presença de grande quantidade de água.

A presença de água pode ser utilizada devido a parâmetros operacionais, como

no caso da moagem que evita sobreaquecimento do equipamento, na classificação em

que é realizada a separação das espécies de acordo com suas granulações, por meio de

separação hidráulica, no peneiramento, a presença de água auxlia na separação física

entre os graneis (inclusive, ajuda a mitigar o efeito da elevada área específica de

partículas mais finas, que por ventura acabam aderidas em partículas maiores e

destinadas a produtos equivocados na operação) e também em etapas de concentração.

Neste último caso, a presença de água se faz até mais significativa, sendo

imprescindível o seu uso (salvo em casos de utilização de técnicas que ou utilizem o

processamento a seco, ou que façam a operação com auxílio de outros fluidos que não a

água).

Todavia, a água deve ser separada posteriormente da fase sólida. Basicamente,

os métodos empregados para a separação entre as fases podem consistir na

sedimentação do sólido em líquido estacionário (espessamento), na passagem do líquido

através de sólido estacionário (filtragem) ou mesmo aplicação de forças centrífugas

(ciclones) e vibratórias (peneiras desaguadoras)

1. INTRODUÇÃO

20

Em geral, as operações de desaguamento podem ser executadas em conjunto,

como sedimentação seguida de filtragem, dependendo das características do material e

da análise econômica do empreendimento.

A filtragem, entretanto, é uma operação cara e complexa, que se utiliza de

diferenças de pressão (positiva ou negativa) e mesmo da presença de reagentes,

podendo ser substituída em alguns casos pelo desaguamento com peneiras. Peneiras

desaguadoras atuam de forma semelhante à filtragem, com o líquido filtrado escoando

através de um meio sólido, que é retido por uma barreira física (tela com abertura menor

que o menor tamanho de partícula).

Dentro desse contexto, este trabalho visou à elaboração de um modelo

matemático que permita prever quantitativamente o comportamento de peneiras

desaguadoras. A validação do modelo matemático foi feita a partir da simulação dos

experimentos.

21

Desenvolver um modelo matemático que permita analisar e quantificar a ação

dos mecanismos presentes no desaguamento com peneiras vibratórias, sob a

ótica da filtragem;

Desenvolver um modelo matemático que permita avaliar o perfil da evolução da

umidade residual durante a operação de desaguamento em peneiras vibratórias;

Este estudo permitirá, portanto, um maior conhecimento da operação de

desaguamento em peneiras vibratórias ao aplicar mecanismos de filtragem para o

desaguamento. Além disso, o sistema computacional poderá ser aplicado para

simulação de peneiras desaguadoras.

2. OBJETIVO E RELEVÂNCIA

22

A seguir, serão mencionadas as principais características dos sistemas

particulados que podem influenciar nas operações de processamento mineral e em

especial, nas operações de separação sólido-líquido. Também será feita breve

introdução nos princípios de filtragem e na utilização do peneiramento convencional

para separação das partículas conforme suas faixas granulométricas.

3.1 Sistemas particulados e sua caracterização

Materiais particulados (caracterizados por serem grandes partículas

macroscópicas, figura 3.1) possuem grande importância econômica em diversos setores,

dada sua ubiqüidade, desde a grande quantidade de rochas de granulação maior

utilizadas na construção civil, até pequenas quantidades de pequenas partículas

produzidas na indústria farmacêutica. Outros campos fortemente influenciados pelas

características do material particulado incluem indústria alimentícia, nanotecnológica,

ciência dos materiais e mineração.

Figura 3.1: Exemplo de um típico sistema particulado.

3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

23

Embora exerçam grande importância na vida cotidiana, eles apresentam alta

complexidade e difícil quantificação dos parâmetros envolvidos na sua caracterização e

tratamento. Tal complexidade pode ser atribuída à sua metaestabilidade, que os deixam

no limiar entre características de sólidos e dos fluidos (líquidos e gases), conforme

afirmam López et alii (2008). Ainda segundo esses autores, as interações entre as

partículas são configuradas como repulsivas e dissipativas (inelásticas).

A complexidade apresentada pelos graneis pode ser ainda aumentada no caso do

processamento mineral, como é o caso das polpas minerais (mistura entre água e sólidos

finamente cominuídos) que apresentam características híbridas entre o sólido e o fluido

e exibem comportamento reológico não-newtoniano (LUZ, 2011). Seu conhecimento no

processamento mineral é crucial, portanto, para o bom andamento de diversas operações

como cominuição, peneiramento, manuseio (bombeamento, estocagem, etc.) separação

sólido-líquido e concentração das espécies minerais.

Quanto ao grau de granulação (ou dimensão do sistema disperso em um meio

contínuo) os sistemas particulados classificam-se em: solução verdadeira, dispersão

coloidal, (as maiores partículas apresentam-se com pelo menos uma dimensão superior

a um micrômetro), ou suspensão (as partículas possuem dimensão maior que o limite

coloidal).

A caracterização de partículas é importante em todos os aspectos da produção

das mesmas: fabricação, manipulação, processamento e aplicações. Caracterização das

partículas é a primeira tarefa necessária requerida num processo que envolve as

partículas sólidas. Inclui não só os parâmetros intrínsecos estáticos (tais como tamanho,

forma, densidade, morfologia, etc.), mas também o seu comportamento dinâmico em

relação ao fluxo de fluido (por exemplo, o coeficiente de arrasto e da velocidade

terminal).

Deve-se levar em conta que esses sistemas são o somatório das características de

todas as pequenas partículas. Assim, certas características levam em conta partículas

individuais (com sua generalização para as demais), como forma, dureza, massa

específica real, condutividade, etc. e aquelas características da associação de todo o

sistema, tais como área específica, massa específica aparente, permeabilidade, ângulo de

repouso natural, etc.

24

Ademais, também pode ser realizada a caracterização no que concerne às suas

características de operação, como o escoamento em silos, o transporte em correias e

carregadores, a sua explosividade, etc.

3.1.1 Massa específica real e aparente e densidade

A massa específica de um corpo diz respeito à relação entre a sua massa e o

volume ocupado pela mesma. Podem ser considerados dois aspectos da massa

específica de um corpo: a aparente e a real. A primeira considera o volume total da

amostra (inclusive os vazios), e assim, é depende do grau de compactação do material.

A massa específica real, por sua vez, considera somente o volume do material sólido

que ocupa dado volume, sem considerar, entretanto, o espaço vazio entre os mesmos.

Comumente, se confunde massa específica real e densidade. A densidade

considera a razão entre a massa específica de um corpo com a massa específica da água

a 4º C (277 kelvins), isto é, uma grandeza adimensional. O valor de densidade de um

material representa quantas vezes ele é mais ou menos denso que a água. Um exemplo:

o valor padrão de densidade da água, à temperatura de 4° C é de 1,00. O valor do

mercúrio, nesta temperatura, é de 13,585, ou seja, ele é quase 14 vezes mais denso que a

água.

3.1.2 Índice de Hausner

O seu conhecimento permite descrever o grau de empacotamento e a

escoabilidade do granel. Trata-se de uma propriedade importante, que possibilita

avaliar, por exemplo, a estocagem de sólidos em silos, prever o tempo até que a peneira

atinja o pico de entupimento das telas (Robberts e Beddow, 1969) ou exerce influência

na uniformidade da dosagem das máquinas de fabricação de fármacos. Além disso,

25

deve-se ter em mente que quanto maior o grau de compactação da amostra, menor será

sua porosidade.

Esse índice é a razão entre a massa específica compactada e a massa específica

aparente da amostra. Segundo Prista el al (2002 apud BLOCK, 2007), valores do índice

de Hausner menores que 1,25 indicam materiais facilmente compressíveis. Valores

típicos de índice de Hausner podem ser encontrados na tabela 3.1.

Tabela 3.1: Índice de Hausner (Hr) e escoabilidade de meio granular

Hr Escoamento

< 1,25 Fácil

1,25 - 1,5 Necessidade de lubrificante

> 1,5 Muito difícil

Fonte: Block, 2007

Assim, um índice de Hausner elevado indica alta compressibilidade do material

e por consequência, o seu escoamento será difícil.

Ainda pode ser definida uma relação entre o índice de Hausner e a esfericidade,

que segundo Zou e Yu (1996) pode ser dada pela seguinte fórmula:

Hr = 1,48 × 10−0,136×ψ (3.1)

Onde:

Hr – índice de Hausner [-];

ψ – esfericidade [-].

Segundo esses autores, o índice de Hausner é dependente da forma das

partículas, embora o conhecimento do índice de Hausner permita determinar a forma

das partículas.

26

Outra importância do índice de Hausner está relacionado com a obstrução

(cegamento) das aberturas da peneira. Roberts e Beddow (1968) realizaram estudos para

analisar os fatores que afetam a obstrução das aberturas da peneira. Segundo os autores,

para material esférico, a obstrução da tela é constituída por quatro estágios: aumento

rápido do cegamento, levando ao pico de cegamento (peak blinding), que por sua vez

leva a uma redução gradual do peneiramento, chegando na etapa final denominada

“hard blinding”, que reduz a eficiência do peneiramento, bem como as partículas são

difíceis de remover. E esse tempo é relacionado com a morfologia das partículas, bem

como com o índice de Hausner. Quando se tem um elevado índice de Hausner, a taxa de

peneiramento é pequena, e vice-versa. Os resultados encontrados demonstraram que

quando o índice de Hausner é maior (escoamento difícil que leva a uma redução na taxa

de peneiramento), o tempo levado para atingir o “pico de cegamento” é maior. Isso

pode ser observado na figura 3.2 a seguir.

Figura 3.2: Tempo para atingir o pico de cegamento versus índice de Hausner.

Fonte: Roberts e Beddow, 1968.

27

3.1.3 Ângulo de repouso, ângulo de atrito interno e velocidade de escoamento

Todos são importantes parâmetros da reologia de particulados, e estão

relacionados com a facilidade de escoamento do material granular. O ângulo de repouso

(figura 3.3) natural ou estático de um material granular é o ângulo medido da horizontal

com a superfície da pilha de material particulado. Este é o ângulo segundo o qual o

material, partindo do repouso, escoará. O ângulo de repouso depende das características

intrínsecas do material, de sua forma geométrica e da faixa granulométrica, mas

também sofre influência marcante da umidade, da pressão de compactação, da presença

de partículas argilosas, da temperatura, do tempo de estocagem e do modo de formação

da pilha (SILVA, 2005).

O ângulo de atrito interno também depende das características do material, e

consiste no ângulo da superfície do material particulado formado com a parte inferior de

um dispositivo de armazenamento, conforme a figura. Percebe-se que o ângulo de atrito

interno deve ser maior que o ângulo de repouso para que ocorra o escoamento do

material particulado.

A velocidade de escoamento está intrinsecamente relacionada com o índice de

Hausner, uma vez que materiais altamente compactados apresentam baixa velocidade de

escoamento em silos e outras estruturas.

Figura 3.3: esquema mostrando o ângulo de repouso (β) e o ângulo de atrito interno (α).

28

3.1.4 Tamanho e distribuição de tamanho de partículas

O conceito de “tamanho” de partículas é um conceito impreciso no caso do

processamento mineral, pois as partículas não possuem formas definidas como esferas

ou cubos. Para estas formas, pode-se usar o diâmetro ou a largura, respectivamente, para

medir seus tamanhos. A determinação do tamanho em corpos irregulares, entretanto,

pode ser apenas estimada.

Segundo Svarovsky (2000), existem três grupos de tamanhos que podem

descrever partículas irregulares: diâmetro da esfera equivalente, diâmetro do círculo

equivalente e diâmetro estatístico.

O conceito da esfera equivalente consiste em relacionar alguma propriedade

dependente do tamanho da partícula (maior ou menor dimensão, área projetada, área

superficial, massa, etc.) e relacioná-la com uma dimensão linear (ALLEN, 1997). Neste

caso, alguma dessas propriedades é relacionada como o diâmetro da esfera, conforme

pode ser visto na figura 3.4, retirada de França e Couto, 2007.

Figura 3.4: Diâmetros equivalentes para uma mesma partícula.

Fonte: França e Couto, 2007

29

O segundo grupo é aquele relacionado com o diâmetro de um círculo que tem a

mesma propriedade que a área projetada das partículas.

Por fim, tem-se a medida estatística do tamanho de partículas, que é obtido

quando uma dimensão linear é medida (por microscópio) paralelamente a uma direção

fixa. No adendo I é possível encontrar os grupos que descrevem o diâmetro de

partículas irregulares.

No beneficiamento mineral, cuja predominância é de partículas irregulares, o

tamanho pode então ser somente encontrado de forma indireta. Uma das formas de se

fazer isso é se encontrar a menor abertura em uma peneira de malha quadrada, na qual a

partícula passará. O diâmetro da partícula ficará então compreendido entre o tamanho

da abertura na qual ela passou e aquele em que ela ficou retida. Assim, não se tem uma

definição absoluta do tamanho da partícula, mas sim uma estimação dos tamanhos entre

os quais a partícula se encontra.

Além dessa técnica, algumas partículas também podem ter seu tamanho medido

por meio do uso do conceito de tamanho equivalente, mencionado anteriormente. A

escolha de algum desses diâmetros para a caracterização das partículas dependerá da

aplicação pretendida.

Como a medição das dimensões de partículas individuais seria visualmente

impossível (dada a grande quantidade de partículas presentes), faz-se a análise com

funções de distribuição, que definem quantitativamente como os valores e propriedades

estão distribuídos entre as partículas na população inteira de partículas (KING, 2001). O

alcance de tamanhos que podem ser analisados vai desde o diâmetro de 1 m até valores

menores que 1µm.

Segundo Luz (2011), a determinação do tamanho das partículas dificilmente

apresentará aderência estatística com a distribuição de Gauss. Com isso, a curva de uma

análise de distribuição granulométrica (por exemplo: porcentagem passante versus

diâmetro da partícula) terá um comportamento que se afasta da posição simétrica. Tal

comportamento se dá em virtude da separação preferencial entre as diferentes classes de

tamanho de partículas. Um exemplo de comportamento assimétrico (com assimetria à

direita ou positiva) pode ser visualizado na figura 3.5 a seguir, que mostra uma curva de

análise granulométrica de uma areia quartzosa.

30

Figura 3.5: Demonstração da não-aderência estatística com a distribuição de Gauss de uma

amostra peneirada.

No processamento mineral, uma forma bastante comum para se realizar a análise

da distribuição de tamanhos é por meio da análise granulométrica, que consiste na

determinação de tamanhos e a frequência em que os mesmos ocorrem, em determinada

faixa de tamanho (LIMA e LUZ, 2000; 2007). A sua apresentação pode ser feita por

meio de tabelas ou gráficos de quantidade (passante ou retida na peneira) versus

tamanho da partícula. Uma forma de elaboração de gráfico para análise de tamanho

pode ser visualizado na tabela 3.2.

Nessa tabela, a análise de tamanho de partículas é realizada em uma série de

peneiras, e as porcentagens de material podem ser separadas entre retido simples

(quantidade absoluta retida em uma peneira), retido acumulado (quantidade retida ao

longo das peneiras em série) e passante acumulado (proporção acumulada de material

passante naquela malha). No adendo II, estão algumas das principais funções de

distribuição de tamanho.

31

Tabela 3.2: Cálculos para análise granulométrica

Tamanho

[m]

Massa

[g]

Retido simples

[%]

Retido

acumulado [%]

Passante

acumulado [%]

d1 m1 R1=(m1/mt)x100 RA1=R1 P=100-RA1

d2 m2 R2=(m2/ mt)x100 RA2=R1+R2 P=100-RA2

.... ... ... ... ...

dn mn Rn=(mn/ mt)x100 RAn=RAn-1+Rn P=100-RAn

[-] 1

n

t

i

m

t

1

R

n

i

[-] [-]

3.1.5 Morfologia de partículas

Partículas com formato irregular estão presentes em diversos ramos da indústria,

e seu comportamento peculiar em comparação com partículas esféricas [ditas ideais]

incentiva pesquisadores a realizarem estudos variados sobre suas características.

Segundo Asahina e Taylor (2011), entre esses estudos sobre partículas irregulares,

figuram:

1. Preenchimento de espaço vazio (quantos corpos caberiam em uma estrutura

de armazenagem);

2. Porosidade e permeabilidade de materiais de construção e;

3. Número de contatos entre partículas.

Os autores ainda enumeram os principais atributos analisados das partículas,

como peso (o mais simples de ser medido), volume, área superficial, tamanho e forma.

Com relação à forma das partículas, esta influencia propriedades como fluidez,

empacotamento, interação com fluidos, porosidade, comportamento da torta e poder de

cobertura de pigmentos (ALLEN, 1997). Qualitativamente, foram designados termos

para a forma das partículas: acicular, angular, cristalina, dentrítica, etc.

32

Entretanto, segundo Gotoh e Finney (1975), estes termos são inadequados para

análise quantitativa. Ainda segundo esses autores, a dificuldade em realizar a análise da

forma das partículas consiste no fato de que tamanho e forma são matemática e

logicamente inseparáveis. Um exemplo dado pelos autores é que, realizando a medição

do tamanho da partícula por meio do diâmetro equivalente da esfera, podem ser usados

diâmetros equivalentes baseados em diferentes propriedades, como o diâmetro de esfera

com mesmo volume, área superficial ou mesma área projetada que a partícula irregular

a ser medida (conforme mostrado na figura 3.4). Quanto mais as partículas forem

irregulares, mais divergentes serão os valores de diâmetro adotados. Foram então

criadas várias relações numéricas, com a finalidade de se realizar uma medição

quantitativa das características das partículas. Segundo Allen (1997), a quantificação

das partículas pode ser feita de forma macroscópica, através de coeficientes de forma

(relação entre tamanhos medidos e o volume ou a superfície da partícula) e de forma

microscópica, através de fractais ou por transformada de Fourier.

Uma das principais formas de análise de morfologia de partículas é por meio da

esfericidade das mesmas. A esfericidade (ψ) é dada pelo quociente da área superficial

da esfera de mesmo volume que a partícula e a área superficial da partícula, ou seja:

área superficial da esfera de mesmo volume que a partículaψ=

área superficial da partícula (3.2)

Ou:

2 3

3p

p

π× 6Vψ=

A (3.3)

Onde:


Vp – volume da partícula [m3];

Ap – área da partícula [m2].

33

Para uma partícula esférica, a esfericidade é igual a 1. Para as demais formas de

partículas, a esfericidade é sempre um valor menor que isso.

3.1.6 Análise da morfologia de partículas a partir de séries de Fourier

Utilizando séries de Fourier, é possível transformar as características da

morfologia das partículas em sinais em forma de onda, que permitem encontrar o

contorno da partícula e seu centro de gravidade, onde está estabelecido um sistema de

coordenadas polares. Isso permite identificar a análise da forma das partículas.

Uma série de Fourier consiste de uma função periódica que apresenta a seguinte

forma geral:

rj(θ) = 𝛼0 + 𝛼n × cos(𝑛ℎθ) + 𝛽n × sen(𝑛ℎθ)

N

n=1

(3.4)

Onde:

rj – raio da partícula no ângulo θ [mm];

α0, αn e βn – coeficientes de Fourier [-];

nh – número harmônico.

É obtida uma curva, que considera os raios do objeto e os ângulos formados por

cada um deles. Com isso, tem-se a morfologia da partícula. Na figura 3.6 está um

exemplo da aplicação da série de Fourier para determinação da morfologia da partícula.

34

Figura 3.6: Projeção de um grão de areia através de coordenadas polares.

Fonte: Davis, 2002.

3.2 Peneiramento

A operação de peneiramento consiste de mecanismos mecânicos de separação de

partículas baseados no tamanho das mesmas. É utilizada uma superfície uniformemente

perfurada, que agirá como um dispositivo de passa/não-passa. Partículas maiores que a

abertura ficarão retidas na superfície da peneira, enquanto as mais finas irão passar por

ela. A figura 3.7 mostra um esquema do processo de separação em peneira:

35

Figura 3.7: a) Modelo esquemático do processo de peneiramento; b) Exemplo de material retido

na tela da peneira.

Wills e Munn (2005) enumeram uma grande quantidade de objetivos do

peneiramento na indústria mineral:

1. Separação ou classificação: visa separar as partículas pelo seu tamanho;

2. Escalpe: usado para remover as frações mais grossas do material, podendo as

mesmas serem britadas ou mesmo removidas do processo;

3. Bitolamento: preparar os produtos em tamanhos específicos, onde existem

normas que especificam as granulometrias do produto final;

4. Recuperação do meio: para lavagem do meio magnético em circuitos que

utilizam esta prática;

5. Desaguamento: para reduzir a umidade de polpas.

Assim, com tantas operações possíveis de serem realizadas com peneiramento,

existem variados tipos de equipamentos industriais. No desaguamento, os equipamentos

mais comuns de serem utilizados são as peneiras DSM e as peneiras vibratórias com

inclinação ascendente (no sentido de descarga). Os demais tipos possuem grande

aplicabilidade nos processos de separação de partículas por tamanho.

36

3.2.1 Equipamentos

Encontram-se disponíveis uma variedade de equipamentos para o peneiramento

industrial, de acordo com a necessidade ou objetivos do peneiramento (alívio do

britador, peneiramento com elevada eficiência, desaguamento, etc.)

3.2.1.1 Grelhas

São barras metálicas dispostas paralelas umas às outras tendo como

característica a robustez, possibilitando o escalpe do R.O.M. (material não processado,

proveniente da mina; do inglês – Run of Mine) para aliviar o britador. Podem ser

horizontais ou inclinadas e vibratórias ou estacionárias. Uma grelha fixa está

representada na figura 3.8.

Figura 3.8: Exemplo de grelha fixa.

Fonte: Luz, 2011.

37

Grelhas fixas são barras equidistantes apoiadas numa estrutura de suporte,

inclinadas na direção do fluxo cerca de 15° a 45°. São sempre utilizadas a seco e

possuem baixa eficiência (até 50 %) em virtude da ausência de vibração.

As grelhas vibratórias são semelhantes às fixas, diferindo apenas por estarem

sujeitas à vibração, o que implica em aumento da eficiência, segundo

Chaves e Peres (2006) estando entre 60 e 70 %. Apesar do aumento da eficiência, sua

função ainda é de servir de alívio para o britador.

Exemplos de utilização de grelha podem ser encontrados, por exemplo, na mina

Pitinga, onde se utiliza grelha fixa com abertura de 406 mm, cujo passante alimenta

uma grelha vibratória de abertura de 100 mm (LUZ et al, 2001). O material retido na

grelha alimenta umk britador de mandíbulas de 800 x 500 mm.

3.2.1.2 Peneiras fixas

Nesta categoria se encontram as peneiras curvas do tipo DSM (nome da empresa

holandesa que as desenvolveu – Dutch State Mines), figura 3.9, introduzidas na década

de 50 para o desaguamento de carvão. Possibilitam o desaguamento e uma separação

precisa de finos e possuem aberturas transversais ao fluxo, que impedem o cegamento

(obstrução por oclusão e por obturação) das aberturas (LUZ, 2011).

38

Figura 3.9: Exemplo de peneira DSM.

Fonte: Gupta e Yan, 2006.

Outra característica que impede a obstrução das aberturas é o formato das barras,

que são prismáticas, possuindo seção transversal triangular, cujo vértice se encontra

voltado para baixo e a base se encontra voltada para a superfície de separação. Isso evita

o “encaixe” (ou engaste) de partículas irregulares.

A alimentação é feita no compartimento superior da peneira, de forma que o

arranjo da alimentação propicia energia potencial suficiente para que as forças

gravitacionais atuem e ajam para que a lama passe pela peneira (GUPTA e YAN, 2006).

A curvatura da peneira ainda ajuda o líquido a escoar pela superfície da peneira por

meio de forças inerciais (“centrífugas”).

Segundo Luz (2011), realizando-se análise de regressão não-linear, a partição do

fluido pode ser expressa pela seguinte distribuição de Weilbul (com coeficiente de

correlação estatística de 99,42 %):

Rpass = 97,1 × 1 − exp − Re − 17,5

166,5

1,355

(3.5)

39

Na figura 3.10 está visualizada a partição do fluxo segundo a equação 3.5:

Figura 3.10: Partição do fluido em peneira DSM, segundo distribuição de Weilbul.

Fonte: Luz, 2011.

3.2.1.3 Peneiras móveis

Neste grupo, encontram-se inseridas as peneiras que possuem algum tipo de

movimento (rotativo, excêntrico, etc) que auxiliam nas operações.

3.2.1.3.1 Peneiras revolventes (trômel)

Esta peneira é caracterizada por uma superfície cilíndrica ou troncocônica

revestida com tela, com inclinação leve, de cerca de 2º a 12º. Sua alimentação ocorre na

parte superior, com o material descendo e sendo rodado.

40

As principais vantagens são sua simplicidade de construção, facilidade de

operação, baixo custo de aquisição e durabilidade. Outra vantagem é que o movimento

revolvente diminui a obstrução dos furos por partículas placoidais ou material estranho.

A figura 3.11 mostra o desenho esquemático de um trômel.

Figura 3.11: Esquema de trômel com duas telas.

Fonte: Luz, 2011.

3.2.1.3.2 Peneiras vibratórias

As peneiras vibratórias (figura 3.12) são constituídas por um chassi robusto,

apoiado em molas, um mecanismo acionador do movimento vibratório e um, dois ou

três suportes para as telas (“decks”) (KELLY e SPOTSWOOD, 1982). Existem variados

tipos: peneiras inclinadas, horizontais, de ressonâcia, modulares, de alta frequência, etc.

41

Figura 3.12: Esquema típico de peneira vibratória inclinada.

Fonte: Linatex Vibrating Screens, 2011.

As partículas apresentarão movimento de acordo com a inclinação da peneira.

Partículas transportadas em peneiras com vibração horizontal possuem movimentação

linear, com um ângulo de 45 º com a horizontal enquanto nas peneiras inclinadas, as

partículas descrevem trajetórias circulares num plano vertical, apresentado maior

velocidade de transporte (GALERY et alii, 2007). Na figura 3.13, está ilustrado o

movimento da partícula de acordo com a inclinação da peneira e com os elementos do

sistema oscilatório.

Figura 3.13: Movimento da partícula em peneiras vibratórias: a) horizontais; b) inclinadas.

Fonte: Galery et alii, 2007.

42

Quanto ao movimento de vibração da peneira, os principais são: circular, linear e

oval, conforme ilustrado na figura 3.14.

Figura 3.14: Ilustração dos padrões de movimento vibratório da peneira: a) movimento circular;

b e d) movimento oval; c) movimento linear. A estrela indica o centro de gravidade das mesmas

(A – alimentação; R – retido; P - passante).

Fonte: Wills e Munn, 2005.

O movimento circular acontece quando o eixo de vibração coincide com o

centro de gravidade da peneira (figura 3.14; - a). O eixo de vibração pode ser instalado

acima do centro de gravidade, proporcionando movimento elíptico em direção à

descarga na alimentação, movimento circular no centro da peneira e movimento elíptico

com inclinação para trás (figura 3.14 - b). Essa configuração permite uma rápida

passagem das partículas no início da peneira e uma redução de sua velocidade no final,

permitindo maior chance das partículas encontrarem berturas para passar.

Para que ocorra o movimento linear (figura 3.14 - c), são instalados dois

excitadores atuando em direções opostas. Esse movimento pode ser usado tanto em

peneira inclinadas quanto horizontais, em peneiras modulares ou reciprocativas.

O movimento oval se utiliza de três eixos de vibração. Essa configuração possui

os benefícios da capacidade conseguida com o movimento linear com a eficiência das

peneiras de movimento circular.

43

3.2.1.3.3 Peneiras modulares (banana screen)

Segundo Kelly e Spotswood (1982), o processo de peneiramento possui três

regiões distintas do fluxo das partículas. Na primeira região, a quantidade de partículas

passante é pequena porque ainda está ocorrendo a estratificação do leito, ocorrendo a

maior eficiência na segunda região do fluxo de partículas. Caso a inclinação da peneira

na primeira região for muito elevada, as partículas passariam muito rápido pela mesma,

ocorrendo uma grande taxa de passagem das partículas.

Peneiras modulares são construídas de acordo com essa característica: são

peneiras vibratórias de movimento linear, projetadas com o deck dividido em mais de

um valor de inclinação, possibilitando o aumento da eficiência do peneiramento.

Uma peneira modular é constituída principalmente por três módulos de

inclinação. No primeiro módulo, há elevada inclinação da peneira, ocasionando um

rápido alívio da peneira e baixa altura do leito. Entretanto, uma inclinação excessiva

levaria a uma passagem muito rápida das partículas pela peneira, impedindo o

peneiramento de partículas mais difíceis.

Assim, o segundo módulo apresenta-se com uma inclinação adequada ao

peneiramento, que é facilitado pelo menor volume do leito.

Por fim, o terceiro módulo possui inclinação bastante reduzida, aumentando o

tempo de passagem das partículas na peneira, propiciando assim o máximo possível de

chances das partículas passarem pela tela da peneira, aumentando a eficiência do

processo. Na figura 3.15 há um exemplo do princípio de funcionamento de uma peneira

modular, com três módulos de inclinação, e a profundidade do leito

44

Figura 3.15: a) Desenho esquemático dos perfis de inclinação de uma peneira modular; b) perfil

de profundidade nas regiões de alimentação e de descarga.


3.2.1.3.4 Peneiras desaguadoras

Segundo Chaves (2004), as peneiras vibratórias apresentam boa aplicabilidade

para materiais de 0,635 mm a 0,0318 mm peneirados a seco, e de 6,35 cm a 0,3 mm se

peneirados a úmido. Fora desta faixa, apresentam baixa eficiência. Na faixa

intermediária de umidade, que vai de 43 a 60 %, as peneiras vibratórias passam a

apresentar-se com a função desaguadora. Ainda segundo Chaves (2004), a água

presente nesses valores faz com que as partículas hidrofílicas fiquem coesas, aderidas

umas às outras, se movendo em bloco sobre a tela, permitindo até mesmo o

desaguamento de partículas com tamanho inferior à abertura da tela.

Assim, peneiras desaguadoras são, basicamente, peneiras vibratórias que são

alimentadas com polpa mineral e produzem um produto filtrado com pouca umidade.

As peneiras desaguadoras possuem leve inclinação ascendente no sentido de descarga e

uma malha com abertura menor que a menor partícula presente na alimentação,

proporcionando a filtragem da água e a descarga do produto. A vibração do sistema

auxilia no desaguamento, podendo atingir valores finais de umidade entre 10 e 15 %

45

(ERAL, 2012) embora alguns fabricantes atestem valores de até 7 % de umidade

(AZFAB, 2012). Um esquema de uma peneira desaguadora se encontra na figura 3.16.

Figura 3.16: a) Representação esquemática de uma peneira desaguadora: 1) alimentação,

2) filtragem da água através peneira, 3) motores que criam o movimento linear de vibração,

4) inclinação ascendente na descarga, proporcionando a descarga de sólidos desaguados. (Fonte:

McLanahan, 2012); b) exemplo de uma peneira desaguadora industrial (Fonte: Eral, 2012).

Peneiras utilizadas no desaguamento encontram uma variedade de aplicações,

tanto na mineração, como na reciclagem e descontaminação de solos, na indústria

química e alimentícia.

Na indústria mineral, encontram aplicações para o desaguamento de alguns

minerais metálicos, areia, rocha britada, sais de potássio e carvão. Dentre as vantagens

na sua utilização, estão os baixos custos operacionais e de construção.

A tabela 3.3 mostra os exemplos de aplicação entre os diferentes tipos de

peneira.

46

Tabela 3.3: Cotejo entre alguns tipos de peneiras vibratórias

Aplicação

Tipo de

peneira

Desaguamento de

concentrados

minerais, rejeito e

areia

Recuperação de

finos de carvão

Separação

por tamanho

Preparação da

alimentação Deslamagem

Remoção de

lixo

Desaguadora X X X

Modular X

Horizontal X X X X


Segundo Keller e Stahl (1994), o desaguamento vibratório com peneiras é

influenciado por uma série de fatores, referentes à construção do equipamento,

condições operacionais e parâmetros do material, conforme pode ser observado na

tabela 3.4.

Ainda segundo esses autores, a operação de peneiras desaguadoras pode ser

formalmente considerada como uma centrífuga descontínua, para intervalos de tempo

extremamente curtos.

Tal abordagem, entretanto, não será considerada neste trabalho para a elaboração

do modelo de desaguamento em peneiras. Este trabalho focará na constatação de que há

a atuação de princípios de filtragem na operação da peneira desaguadora, uma vez que

tem-se um elemento filtrado (a água) que passa através de um meio sólido poroso, bem

como de outros parâmetros, como influências de forças de superfície (capilaridade) da

vibração mecânica do sistema e da coluna de líquido acima do leito de partículas.

47

Tabela 3.4: Fatores que influenciam no desaguamento com peneiras vibratórias.

Influência exercida Parâmetros de

construção

Condições

operacionais Parâmetros do material

Capacidade Largura da peneira

Capacidade e

Desaguamento

Ângulo de

vibração Amplitude

Propriedades elásticas do

sistema granular

Ângulo da peneira Frequência Massa específica

Forma de vibração Altura do leito Concentração de sólidos

Desaguamento

Tamanho da

abertura

Tempo de

residência Tamanho das partículas

Área aberta efetiva Viscosidade

Comprimento da

peneira Tensão superficial

Taxa de compressão

Fonte: Keller e Stahl,1994.

3.2.2 Dimensionamento de peneiras

Segundo Gupta e Yan (2006), para o dimensionamento de peneiras, devem ser

levados em consideração aspectos do equipamento e do material, de acordo como está a

seguir:

48

Tabela 3.5: Aspectos levados em conta no dimensionamento de peneiras

Aspectos relativos ao equipamento Características do material

Área disponível Tamanho e forma do material

Abertura (tamanho e tipo) Umidade residual

Inclinação Profundidade da camada de material

Método de vibração Tipo de peneiramento: seco ou úmido

Número de decks

Fabricantes de equipamentos e estudiosos desenvolveram métodos para o

dimensionamento que podem ser baseados no cálculo da capacidade unitária ou da área

de peneiramento. Alguns dos métodos são apresentados no adendo III.

3.3 Mecanismos de filtragem aplicáveis ao desaguamento em peneiras

As operações de separação sólido-líquido possuem grande importância no

processamento mineral. Dentre suas várias aplicações, pode-se citar sua importância

para a separação de minérios com liberação em distribuição granulométrica fina em

suspensões líquidas ou limitar o despejo de efluentes industriais para o meio ambiente

(OLIVEIRA e LUZ, 2007).

Tendo em vista a presença de água em quase todas as etapas e processos de

beneficiamento, é imprescindível a separação entre as fases, tanto do ponto de vista

técnico (geração de um produto desaguado facilita o transporte, dentre outros) como do

ambiental.

49

Existem várias técnicas para separação sólido-líquido, sendo as principais:

sedimentação, filtragem e secagem. Outras que também são utilizadas são a ciclonagem,

o peneiramento e a flotação.

A filtragem pode ser definida como uma operação na qual os sólidos são retidos

em um meio poroso, sendo permitida a passagem do líquido. O líquido passante é

denominado filtrado e os sólidos retidos são denominados torta. Um desenho

esquemático da filtragem é ilustrado na figura 3.17.

Figura 3.17: Desenho esquemático do processo de filtragem.

Operações em peneiras desaguadoras atuam com princípio semelhante ao da

filtragem, em virtude de ocorrer a passagem do líquido filtrado, permanecendo o sólido

retido na barreira física proporcionada pelas peneiras (estas possuindo abertura

idealmente menor que o menor tamanho de partícula na polpa). Assim, os mecanismos

básicos de filtragem também podem ser aplicáveis às peneiras desaguadoras.

A equação básica da filtragem é baseada na lei de Darcy, que descreve a vazão

de um líquido através de um leito poroso em regime lamelar (SVAROVSKY, 2000;

FUERSTENAU e HAN, 2003):

Qvf = 𝑘 ×A × ∆p

ηf

× e (3.6)

Torta

Suspensão

Suporte do meio filtrante

Filtrado

50

Onde:

Qvf – vazão volumétrica de filtrado [m3.s

-1];

k – permeabilidade do leito [-];

At – área da seção transversal [m2];

Δp – diferença de pressão [Pa];

ηf – viscosidade dinâmica do filtrado [Pa.s];


A Lei de Darcy, entretanto, não é válida para regimes turbulentos. Forchheimer

(1901, apud HLUSHKOU e TALLAREK, 2006) sugeriu então uma equação para

descrever o escoamento em meios porosos, que, em contraste com a equação linear de

Darcy, estabelece uma relação não linear de alta ordem entre a queda de pressão e a taxa

de escoamento:

∆P

e=

ηf

× 𝑣

ke+ ρ

f× ki × 𝑣2 (3.7)

Onde:

v – velocidade de percolação intersticial do fluido (velocidade superficial de

filtragem) [m.s-1

];

ρf – massa específica do filtrado [kg.m-3

];

ke – permeabilidade do leito [-];

ki – coeficiente de escoamento cinético (parâmetro inercial) [-];

ηf – viscosidade dinâmica do filtrado [Pa.s].

Esta equação mostra que se a velocidade de drenagem for muito pequena (ou

seja, em regime laminar), a equação se reduzirá à equação de Darcy. Entretanto, para

velocidades crescentes, a equação deixa de possuir uma relação linear entre a queda de

pressão e a velocidade do drenagem. Caso tenham-se velocidades muito elevadas

51

(regime turbulento), o termo quadrático do lado direito da equação passa a ser

dominante.

Ergun (1952) mostrou que para o regime turbulento é utilizada a equação de

Burke e Plummer (1952 apud ERGUN, 1952), levando em conta a porosidade do leito:

∆P

e= ki

1 − ε

ε3 ×

ρf

× 𝑣

dp

2

(3.8)

Onde:

ε – porosidade do leito [-];

dp – diâmetro da partícula [m].

Carman (1937 apud ERGUN 1952) e Kozeny (1927 apud ERGUN 1952)

também estudaram, individualmente, a queda de pressão através do leito para regimes

laminares, propondo a seguinte equação:

∆P

e= ke

1 − ε 2

ε3 ×

ηf

× 𝑣

dp2 (3.9)

Analisando as duas equações, Ergun (1952) propôs uma equação para a perda de

pressão, sendo esta causada tanto pelo regime laminar como pelo regime turbulento,

podendo ser aplicada para todos os tipos de escoamento:

∆P

e= 150

1 − ε 2

ε3

ηf

× 𝑣

dp2 + 1,75

1 − ε

ε3

ρf

× 𝑣2

dp (3.10)

Considerando a forma das partículas, a esfericidade pode ser colocada na

equação, bem como a velocidade de percolação pode ser substituída pela velocidade

superficial de filtragem (Qvf/At), resultando:

52

∆P

e= 150

1 − ε 2

ε3

ηf

dp × ψ 2

Qvf

At + 1,75

1 − ε

ε3

ρf

dp × ψ

Qvf

At

2

(3.11)

3.4 Perda de carga na tela da peneira

A queda de pressão em barreiras uniformemente distribuídas, ou seja, em

peneiras de malha quadrada é usualmente dada por (TILTON, 2008):

2

2

l vp K

(3.12)

Onde:

Δpϕ – perda de carga na tela da peneira [Pa];


ρl – massa específica do líquido [kg/m³];

v – velocidade superficial de escoamento [m/s].

Muitos trabalhos tem sido desenvolvidos ao longo dos anos para analisar a

influência os aspectos mais importantes na perda de carga na tela da peneira.

Miguel (1998), por exemplo, analisou a passagem de ar através de peneiras utilizadas

em estufas e concluiu que a forma e geometria dos fios da tela não influenciam no fluxo

de fluido. Resultado semelhante pode ser observado por Das e Chhabra (1989), que

verificaram que não há influências dos aspectos estruturais da peneira na perda de carga,

embora haja uma boa correlação entre o número de Reynolds e a perda de carga.

Contudo, cabe ressaltar que tais trabalhos foram realizados em condições

estáticas e há pouca literatura disponível que leva em conta a vibração do sistema.

Nesse aspecto, Zong-ming et alii (2010) realizaram estudos da perda de carga em

peneiras vibratórias e compararam com resultados em condições estáticas. O resultado

pode ser visualizado na figura 3.18.

53

Figura 3.18: Comparação entre perda de carga com e sem vibração para peneira de 250 x 10-6

m (60 #). Os resultados são mostrados em função do coeficiente de perda de carga (k) versus o

tempo.

Fonte: Zong-ming et alii (2010)

Essa diferença no comportamento, segundo os autores, deve-se ao fato de que a

vibração proporciona não apenas a descida (filtragem) do fluido através da peneira,

como também em dados momentos, ocorre a ascensão de parte do mesmo. O coeficiente

de perda de carga é maior quando peneira e fluido se movem no mesmo sentido e menor

quando em sentidos contrários.

3.5 Vibração em peneiras

A vibração é um importante parâmetro para a eficiência de peneiras, tanto no

que concerne à classificação quanto ao desaguamento.

Na classificação de partículas, a vibração proporciona a estratificação do

sistema. Com isso, ocorrerá a passagem das partículas mais finas através dos espaços

entre partículas mais grossas, proporcionando às primeiras a chance de se reportarem à

54

superfície da peneira. Além disso, a vibração do sistema aumenta a quantidade de

apresentações na superfície de peneiramento, aumentando assim a eficiência do

processo. No peneiramento convencional (de classificação), existem basicamente 3

regiões (figura 3.19):

Figura 3.19: Esquema das principais regiões de peneiramento.

Fonte: Kelly e Spotswood, 1982.

Região I de estratificação do leito;

Região II de equilíbrio dinâmico (maior fluxo de passagem de

partículas);

Região de peneiramento por tentativas (últimas tentativas de passagem

das partículas).

Chen e Tong (2009) analisaram o efeito da frequência na eficiência do processo,

utilizando diferentes tamanhos de partículas. Segundo eles, existe um valor de

frequência no qual a eficiência do processo será ótima e, de forma geral, a eficiência do

55

peneiramento é inversamente proporcional à frequência. Entretanto, ainda segundo

esses autores, baixas frequências levam o material a permanecer mais tempo na tela, o

que embora aumente a eficiência, reduz a produtividade. Na figura 3.20 está mostrada a

influência da frequência na eficiência de separação.

Figura 3.20: Eficiência do peneiramento versus frequência (Dpi – diâmetro das partículas).

Fonte: Chen e Tong, 2009.

A amplitude do movimento, por sua vez, atua de forma inversa à frequência, ou

seja, a eficiência aumentará com o aumento da amplitude. Outra característica da

amplitude no peneiramento é que influenciará na energia cinética das partículas:

grandes amplitudes irão fornecer maior energia às partículas, fazendo-as saltar uma

altura maior e mais longe (GUILFENG e XIN, 2011). Isso garante o transporte das

mesmas sobre a tela bem como a estratificação, mas requer que a peneira tenha boa

estrutura de suporte para suportar os impactos.

Nas peneiras desaguadoras a vibração proporcionará o desaguamento da polpa

ao aumentar o valor da aceleração. Ademais, a vibração proporcionará o transporte do

56

leito de partículas ao longo da superfície da peneira (tanto para a função de classificação

quanto de desaguamento). Um valor que mede a atuação da vibração para o transporte

de partículas é o denominado throw number. Valores abaixo de um, as partículas

apresentarão deslizamento na superfície da peneira, enquanto valores superiores

apresentarão movimento de salto.

Segundo He e Liu (2009), o throw number (denominado pelos autores de throw

index) apresenta diferentes valores ao longo da superfície da peneira, sendo maior na

região próxima à alimentação e reduzindo do meio para o final da peneira.

3.6 Capilaridade dos sistemas particulados

Forças capilares exercem influência nos sistemas particulados na drenagem de

fluidos, aglomeração e retenção de umidade (SCHUBERT, 1984). Assim, é um

parâmetro de grande importância para o desaguamento do sistema particulado.

A equação para cálculo da pressão capilar, no caso de sistemas aquosos, é dada

por (CARLETON e SALWAY, 1993):

bb

k

a ×γ×cosθ 1-εp =

ε×d (3.13)

Onde:

pb – pressão capilar máxima (breakthrough pressure) [Pa];

ab – valores que vão de 1 a 6, dependendo da característica do material (quanto

mais fino, menor seu valor);

– tensão superficial da interface gás-líquido [N/m];

θ – ângulo de contato da fase sólido-líquido [°];

ε – porosidade do sistema particulado;

57

dk – diâmetro de Kozeny das partículas (medido através da permeabilidade da

torta) [m].

Ettmayr et alii (2000), analisaram a influência da capilaridade no desaguamento

do particulado em peneira vibratória. Eles utilizaram um meio de sucção capilar abaixo

da tela da peneira implementando assim a sucção de gotículas formadas que

continuariam presas na tela da peneira. Os resultados podem ser visualizados na figura

3.21.

Figura 3.21: comparação entre o desaguamento com e sem um meio de sucção capilar. Os

valores próximos dos pontos representam a altura do leito.

Fonte: Ettmayr et alii, 2000.

3.7 Modelagem do desaguamento em peneiras vibratórias

58

Neste tópico serão abordados alguns dos modelos desenvolvidos para o

dimensionamento de peneiras desaguadoras. Entre eles, cita-se: os modelos de Keller e

Stahl (1994; 1997), de Ng (1990) e o de Raja et alii (2010) para desaguamento de

fluidos de perfuração. No capítulo seguinte serão apresentadas as premissas do modelo

atualmente desenvolvido.

3.7.1 Modelo de desaguamento de peneiras de Keller e Stahl (Keller e Stahl,

1994;1997)

Esses autores propuseram um modelo para compreender os mecanismos que

regem o desaguamento em peneira vibratória, considerando a operação como uma

centrífuga descontínua com intervalos de tempo extremamente curtos. Neste caso, a

aceleração no processo não se apresenta de forma constante, mas sim como uma função

periódica, de acordo como mostrado na figura 3.22.

Figura 3.22: Direção da aceleração em determinados intervalos de tempo. (C – valor múltiplo da

aceleração [-]).

Fonte: Keller e Stahl, 1997.

No modelo proposto pelos autores são levados em consideração, entre outros

parâmetros, o escoamento do fluido em capilares, a atuação de forças inerciais e a

59

formação de gotas e o seu gotejamento. As forças operando no escoamento do fluido

são mostradas na figura 3.23:

Figura 3.23: Forças atuantes na cinética de escoamento do líquido em um capilar devido à

vibração.


No desaguamento segundo este modelo, há a presença de capilares paralelos e de

mesmo diâmetro no leito de partículas. Segundo Keller e Stahl (1997), primeiramente

ocorre um escoamento do líquido em fluxo pistão (plug flow) nos capilares. Em seguida,

ocorre a formação de uma película (filme líquido) de escoamento aderida ao sólido,

conforme demonstrado anteriormente na figura 3.23. A drenagem dessa película é mais

lento, em virtude das forças inerciais. Assim, o desaguamento leva em consideração a

ocorrência simultânea desses dois aspectos.

O balanço de forças demonstrado na figura 3.23 leva à seguinte equação:

F v + F f + F t+F i = 0 (3.14)

60

Onde:

F v – força operacional aplicada, devida à aceleração e vibração da peneira;

F f – força de atrito viscoso;

F t – força capilar (força de retenção);

F i – força inercial.

A força operacional aplicada é dada por:

F v = −ρl

× h(t) × π ×dh

2

4× g × C t, H (3.15)

Onde:

ρl – massa específica do líquido [kg.m-3

];

h – magnitude de transição entre uma fase simples [m];

dh – diâmetro equivalente do tubo capilar [m];

g – aceleração da gravidade [m.s-2

];

C – valor múltiplo da aceleração, como função do tempo e da altura do leito [-];

t – tempo [s];

H – altura do tubo capilar [m].

Quanto a força de atrito viscoso, essa possui a seguinte expressão:

F f = −8 × π × ηl

× h × h t (3.16)

ηl – viscosidade dinâmica do líquido [Pa.s].

A força capilar, por sua vez, é encontrada por:

61

F t = γ × cos θ × π × dh (3.17)

γ – tensão superficial [N/m];

θ – ângulo de contato [º].

Por fim, a expressão para encontrar a força inercial é:

F i = −ρl

× π ×dh

2

4× h t × h (3.18)

Substituindo as equações (3.15) a (3.18) na equação (3.14), tem-se:

−ρl

× h t × π ×dh

2

4× g × C t, H − 8 × π × η

l× h × h t + γ

× cos θ × π × dh − ρl

× π ×dh

2

4× h t × h = 0

(3.19)

Segundo os autores, a equação não pode ser encontrada de forma analítica, mas

pode-se resolvê-la numericamente conhecendo-se a função C (t, H), que pode ser

calculada com o uso de um acelerômetro no interior da polpa.

Encontrando-se o valor de “C”, é possível encontrar um parâmetro que descreva

a cinética do desaguamento, dado pelo parâmetro cinético “λ”, determinado pela

seguinte fórmula:

λ =η

l× H

ρl

× C × g × dh

2

2

× t (3.20)

λ – parâmetro cinético (múltiplo da aceleração) [-].

Este parâmetro cinético permite encontrar a saturação do leito. Para a ocorrência

de escoamento da película a saturação é dada por:

62

SF = as × λbs (3.21)

Onde:

SF – saturação da película;

as – 4/3 e;

bs – 1/2.

Considerando a atuação conjunta do escoamento da película na superfície do

sólido e o escoamento do líquido em fluxo, a saturação pode ser dada por:

S =h

H+ 1 −

h

H × Slb + 1 − Slb × as λ × 1 −

h

H

bs

(3.22)

Onde:

H – altura do tubo capilar [m];

Slb – saturação entre as partículas [-].

Na figura 3.24, estão demonstrados resultados comparando a influência do

parâmetro cinético com a saturação da torta e a frequência aplicada. Pode-se perceber

que menores valores de saturação são encontrados a baixas frequência e baixos

parâmetros cinéticos (elevadas acelerações). Com base nesses dados, os autores

concluíram que os fatores mais influentes no desaguamento vibratório são a frequência

e a aceleração, levando a diferentes valores de umidade residual.

63

Figura 3.24: Influência da frequência e do parâmetro cinético na saturação da torta (S –

saturação; f – frequência; λ - parâmetro cinético).


3.7.2 Modelo de desaguamento de peneiras de Ng (Ng, 1990)

A premissa para o desaguamento em peneiras vibratórias por esse modelo é que

ocorrem dois mecanismos principais atuando no desaguamento: um relativo ao

transporte do leito ao longo da peneira e outro relativo ao desaguamento propriamente

dito (KING, 2001).

Para o primeiro mecanismo, transporte de material na peneira, utiliza-se o

parâmetro gravitacional (G). Dependendo do valor de G, o leito de partículas

apresentará um movimento de deslizamento (G ≥ 1,0) ou de salto (G < 1,0).

64

2y

g×cosθG =

ω ×A

pen (3.23)

Onde:

G – parâmetro gravitacional [-];


θpen – ângulo de inclinação da peneira;

ω – frequência angular da peneira [rad/s];

Ay – amplitude de vibração normal à superfície da peneira [m].

Quanto ao mecanismo de desaguamento (filtragem da água), o autor assumiu

que a taxa de desaguamento devido ao movimento de agitação dependerá da umidade

instantânea do material. Esta taxa de desaguamento é expressa pela fórmula:

bdn = - a×n

dt (3.24)

Onde:

a e b – constantes;

n – umidade instantânea;

t – tempo.

Apenas com a utilização de vibração não seria possível desaguar completamente

o material, mas é possível encontrar um valor mínimo de “n”, tendo-se, portanto:

65

-q0n-n =pt (3.25)

Onde:

n0 – valor mínimo de n;

-q

p= a b-1 (3.26)

E:

1q=

b-1 (3.27)

E o comprimento da peneira para se conseguir a umidade desejada é encontrada

por:

1

01 q

x

n nL

pK G

v

(3.28)

Onde:

L – comprimento da peneira [m];

vx – velocidade de transporte na direção “x” [m/s].

66

y

y

A1K= ×

A g×cosθ pen

(3.29)

Os autores chegaram à conclusão que a taxa de desaguamento é mais eficiente

para maiores amplitudes de excitação. Além disso, os parâmetros p, q e o parâmetro

gravitacional são fundamentais para quantificar o desaguamento em peneiras

vibratórias. Na figura 3.25 está o resultado para umidade final obtido pelos autores para

uma peneira de 1,578 m de comprimento e abertura da peneira de 2,4 x 10-³ m.

Figura 3.25: Umidade versus parâmetro gravitacional.

Fonte: Ng, 1990.

67

3.7.3 Modelo de desaguamento Raja et alii (2010)

Este modelo foi desenvolvido por pesquisadores da Universidade de Akron em

conjunto com empregados da empresa de exploração de petróleo M-I SWACO. Este

estudo foi realizado para avaliar o desaguamento de lama xistosa proveniente de

perfuração. Nele, os autores levam em conta a presença de uma estrutura semelhante à

figura 3.26.

Figura 3.26: Esquema de desaguamento com peneiras vibratórias. A polpa é alimentada pela

esquerda, onde ocorre a filtragem do líquido. Com o movimento vibratório, os sólidos são

levados para a parte de descarga, à direita da figura. Nesta parte, também ocorre a drenagem do

líquido residual.

Fonte: Raja et alii, 2010.

Assim, a figura 3.26 apresenta a presença da polpa alimentada na região inicial

da peneira, enquanto na parte final (ascendente) há predominância da torta desaguada: o

movimento vibratório da peneira propicia o transporte do material sólido ao longo da

superfície da peneira, enquanto o líquido é filtrado com auxílio da gravidade.

Os autores dividiram o modelo em duas seções, de acordo com o arranjo da

polpa com a lama, mostradas na figura 3.26:

68

1) do lado esquerdo da figura, há a formação da torta e é utilizado modelo de

filtragem da torta para descrever a operação (seção de filtragem);

2) a segunda seção se encontra do lado direito da figura 3.26, onde a drenagem

da lama de perfuração é controlada por forcas capilares bem como o líquido é escoado

pelo efeito gravitacional (seção de drenagem). Apesar disso, no artigo, os autores

discutem apenas sobre a primeira seção, ou o modelo de filtragem da torta.

No desenvolvimento das equações do modelo, os autores consideraram o

balanço de massa e de momento, para a fase sólida bem como para a líquida. Além

disso, consideraram coordenadas retangulares para estabelecer o plano X como paralelo

à superfície da peneira e o plano Y normal à superfície da peneira, conforme figura 3.27

a seguir. Na figura 3.27, a altura hm representa a altura da lama sobre a peneira e a altura

da torta é representada por hc, ambos em função do eixo x. Em x = 0, tem-se hm = ho. A

altura da peneira, quando hc = hm, é x = L.

Figura 3.27: Coordenadas retangulares do sistema de Raja et alii: seção do sistema com

presença da peneira (com inclinação ), polpa e torta.


69

Após realizar uma série de cálculos envolvendo as pressões presentes no sistema

(pressão atmosférica, pressão da fase líquida, pressão da interface líquido/torta e pressão

do líquido na fronteira torta-peneira), encontraram a seguinte equação para encontrar a

velocidade de escoamento do fluido. Resulta, assim:

pencos L mc scr m cL

y

L c scr

c scr

g h h h hv

h h

k k

(3.30)

Onde:

Lyv – velocidade do líquido na direção “y” [m/s];


θpen – ângulo de inclinação da peneira [º];

ρL – massa específica do líquido [kg/m³];

hc – espessura da torta [m];

hscr – espessura da peneira [m];

ρm

– massa específica do sólido [kg/m³];

hm – espessura da polpa [m];

εL – porosidade do líquido no leito sólido [-];

μ – viscosidade do líquido [Pa.s];

kc – permeabilidade da torta [-];

kscr – permeabilidade da peneira [-].

Integrando a equação 3.30 em função de “X”, é possível encontrar a vazão

volumétrica do fluido.

70

0

L

L LyQ b v dx (3.31)

Os autores, então, simularam cenários para verificar quais os parâmetros que

afetam o desempenho da peneira desaguadora. Como conclusões, perceberam que os

fatores que mais afetam são o diâmetro da partícula e porosidade (figura 3.28), enquanto

o ângulo da peneira não exerceu grande influência enquanto a porosidade for mantida

constante.

Figura 3.28: Resultados obtidos mostrando a relação entre a porosidade e o diâmetro das

partículas (dp) com a vazão de filtrado (Q).


Não obstante, eles dizem que outros parâmetros deveriam ser observados,

modelamento em subscala para a velocidade no plano “X” deve ser desenvolvido, bem

como desenvolver modelo que preveja as características da seção de drenagem. Por fim,

eles dizem que os dados da simulação devem ser validados com dados experimentais.

71

4. MATERIAIS E MÉTODOS

4.1 Desenvolvimento do modelo matemático

A premissa básica do modelo considera a formação da torta por sobre a

superfície da peneira desaguadora. Como há a formação de uma torta imediatamente

acima da peneira, ocorrerá presença do líquido sobrenadante acima da torta formada.

Tem-se, basicamente, duas interfaces básicas: uma zona de interface Sólido-Líquido

(ZSL) formada na fronteira entre o leito particulado e o líquido sobrenadante e outra de

interface Líquido-Gás (ZLG), formada entre o líquido sobrenadante e a atmosfera. Isto é

mostrado na figura a seguir.

Figura 4.1: modelo esquemático mostrando os elementos presentes numa peneira desaguadora.

S – líquido sobre nadante; e – espessura do leito de material particulado (com presença de

líquido intersticial); Z (t) – altura total do sistema.

Basicamente, tem-se duas regiões distintas: a de espessura “S”, acima da

interface sólido-líquido (ZSL), representando a espessura do líquido sobrenadante; e

72

outra de espessura “e”, que representa a espessura do leito de partículas com presença

de água intersticial.

A soma das duas espessuras é dada por “Z (t)” representa a altura total do

sistema.

Uma aproximação satisfatória do escoamento de fluidos em sistemas porosos é

dada pela equação de Ergun (ERGUN, 1952). Entretanto, no caso em estudo, também

são levados em conta outros parâmetros que contribuem de forma positiva ou negativa

para a drenagem do fluido. Os diversos fatores atuantes no desaguamento de peneiras

vibratórias estão listados a seguir:

1. Escoamento do líquido em meio poroso;

2. Movimento oscilatório (aceleração do sistema);

3. Atuação de forças hidrostáticas (altura da coluna de líquido);

4. Tela da peneira [perda de carga];

5. Capilaridade [fenômenos de interface].

O escoamento do líquido pode ser calculado considerando-se as pressões

atuantes no sistema, sejam elas a favor ou contra o escoamento. Assim, tem-se:

Parâmetros favoráveis à filtragem do fluido:

1. Pressão mecânica (Δ pm) – movimento oscilatório (vibração do sistema)

(na verdade, este parâmetro atua tanto de forma negativa como positiva,

pois haverá momentos de velocidade negativa e positiva);

2. Pressão hidrostática (Δ ph) – atuação de forças hidrostáticas (altura da

coluna de líquido);

Parâmetros contrários à filtragem do fluido:

1. Perda de carga e meio poroso (Δ pe) – escoamento em meio poroso

(calculado pela equação de Ergun);

73

2. Perda de carga da tela da peneira (Δ pϕ) – [perda de carga];

3. Perda de carga interfacial (Δ pγ) – capilaridade.

Igualando as pressões resistivas com as pressões favoráveis, tem-se:

e m hp p p p p (4.1)

Cada elemento da equação anterior será analisado a seguir.

4.1.1 Perda de carga em meio poroso (Δ pe)

A perda de carga em meio poroso pode ser descrita de forma aceitável pela

equação de Ergun (Ergun, 1952), que segue:

2

2

2 33

150 1 1,75 1l le

pp

e ep v v

dd

(4.2)

Onde:

v – velocidade superficial de filtragem [m/s].

dp – diâmetro da partícula [m];


ε – porosidade [-];

ηl – viscosidade dinâmica do fluido [Pa.s];

ρl – massa específica do fluido [kg/m³];


74

4.1.2 Perda de carga na tela da peneira (Δ pϕ)

A queda de pressão em peneiras de malha quadrada é dada por (TILTON, 2008):

2

K2

l vp

(4.3)

Onde:


ρl – massa específica do fluido [kg/m³];

v – velocidade superficial de escoamento [m/s].

Quanto ao coeficiente de perda de carga, este é encontrado através de:

2a

2 2a

1-f1K = ×

C fd

(4.4)

Onde:

Cd – coeficiente de descarga [-];

fa – fração de área aberta da peneira (porosidade da peneira) [-].

O coeficiente de descarga, por sua vez, é encontrado conhecendo-se o número de

Reynolds da peneira:

C = 0,1× Red (4.5)

Onde:

75

Reϕ – número de Reynolds da peneira [-].

l

l a

×ρ vRe = ×

η f

(4.6)

Onde:

ϕ – diâmetro do fio da peneira [m];

ηl – viscosidade dinâmica do fluido [Pa.s];

ρl – massa específica do fluido [kg/m³].

Através das relações que as equações 4.6, 4.5 e 4.4 guardam entre si, e

realizando a substituição da equação 4.4 na equação 4.3, encontra-se a seguinte forma:

2a

a

η 1 fΔp = ×

0,02 f

l v

(4.7)

4.1.3 Perda de carga interfacial (capilaridade) (Δ pγ)

A pressão devida a fenômenos interfaciais, considerando um equilíbrio

mecânico e uma superfície curva, com dois raios (côncavo e convexo) iguais, pode ser

encontrada pela equação de Young-Laplace (RABOCKAI, 1979).

2

c

pR

(4.8)

Onde:

Δpγ – pressão interfacial [Pa];


76

Rc – raio do capilar [m].

O cálculo do raio efetivo do capilar seria de difícil determinação, assim, utilizou-

se de uma série de artifícios para encontrar uma relação entre o diâmetro do capilar e o

diâmetro das partículas. Assim, uma consideração inicial é de, idealmente, um sistema

monodisperso.

Figura 4.2: Exemplo esquemático do leito monodisperso e poros de igual quantidade das

partículas.

O número de poros pode ser, neste caso, semelhante ao número de partículas por

estrato. Assim:

po p/en = n (4.9)

Onde:

npo – número de poros [-];

np/e – número de partículas por estrato [-].

77

Com relação ao número de poros:

po

po p/e

An = n

4pod

(4.10)

Onde:

Apo – área do poro [m²]

dpo – diâmetro do poro [m]

E a área do poro pode ser dada por:

vpo

VA =

e e

s ts t

e AA

(4.11)

Onde:

Vv – volume de vazios [m³];

εs – porosidade do leito [-];

e – espessura do leito [m].

A área transversal do estrato de partículas equivale a:

2 2t po p po po

π πA =n ×d n ×d

4 4 (4.12)

Daí resultando que o número de poros é igual a:

78

po 2 2

p po

4 1 4n =

π×d π×d

s t s tA A

(4.13)

A equivalência entre o diâmetro do poro com o diâmetro médio das partículas é

então encontrada:

po pd d1

s

s

(4.14)

Considerando o poro como capilar, e substituindo a equação 4.14 na equação

4.8, tem-se a perda de carga interfacial:

4 cos

1

sp

s

p

d

(4.15)

Onde:


θ – ângulo de contato da fase líquida [º];

dp – diâmetro médio da partícula (diâmetro do poro) [m];

4.1.4 Pressão hidrostática (Δ ph)

Outra consideração é quanto à pressão exercida pela coluna de líquido acima do

leito (quando esta existir), de forma a auxiliar no processo de desaguamento. Da

hidrostática, sabe-se que a pressão total num líquido, de massa específica ρl, depende da

profundidade que o corpo se encontra submerso. Assim, tem-se:

79

( )h lp g Z t (4.16)

Todavia, cabe ressaltar que o cálculo do líquido intersticial tornaria difícil o

cálculo da altura de líquido.

A visualização do modelo de desaguamento com presença de líquido intersticial

é vista na figura 4.3 a seguir.

Figura 4.3: Considerações quanto à presença de líquido intersticial.

Na figura em questão, tem-se as regiões anteriormente mencionadas de saturação

(s) e espessura do leito (e). Os valores de Zi (Z1, Z2, Z3, etc.) representam as infinitas

cotas de líquido e o valor de ΔZ (t) representa a variação do líquido no tempo. A cota de

líquido intersticial, por sua vez, é dada por Zi (t).

A variação da altura do líquido intersticial pode ser estimada ao se considerar a

velocidade do fluido através do poro e o intervalo de tempo passado.

80

Considerando que a espessura de líquido sobrenadante é variável, no instante

t < tsat (intervalo de tempo maior que o tempo de saturação) ela será dada por:

max0

( )satt t

os t z e z t s v t dt

(4.17)

Onde:

S0 – espessura inicial da lâmina de sobrenadante [m];

E a espessura do líquido intersticial, zi (t > tsat), que passa a ser variável a partir

do fim do tempo de saturação, é dada por:

( )sat

sat

t t

it

zi t e z t e v t dt

(4.18)

A velocidade de drenagem do fluido através do poro é dada por:

i

vv

(4.19)

Cabe ressaltar que a porosidade superficial e volumétrica serão consideradas

iguais neste caso, conforme classicamente adotado na literatura. Assim:

( )sat

sat

t t

ts

v tz t dt

(4.20)

Por fim, tem-se que a pressão hidrostática devido a presença do líquido

sobrenadante e intersticial é dada por:

81

max0

( ) ( )sat sat

sat

t t t t

h lt

l s

v t v tp g z e dt e dt

(4.21)

4.1.5 Pressão mecânica (aceleração do sistema) (Δ pm)

Para encontrar a pressão decorrente da vibração do sistema (aqui chamada de

pressão mecânica), primeiro levou-se em conta a segunda lei de Newton, que diz que a

força aplicada em um corpo é igual ao produto da sua massa pela aceleração adquirida:

t

mt t

F m ap

A A

(4.22)

Com relação à massa total do sistema, ela é dada pelo somatório da massa do

sólido com a massa de líquido:

t s lm m m (4.23)

Assim:

s l

mt

m m g ap

A

(4.24)

A massa de sólido é tida como constante (considera-se que, idealmente, o menor

tamanho de partícula é maior que o tamanho de abertura da peneira). Por outro lado, a

massa de líquido é variável. Quanto à massa de líquido, se consideram duas situações:

1. Z (t) e – presença somente de líquido intersticial;

82

2. Z (t) > e – presença de líquido intersticial + líquido sobrenadante.

Levando-se em conta um sistema de coordenadas tridimensionais, a área da

peneira poderia ser substituída por:

tA x y (4.25)

E a massa de um corpo pode ser encontrada considerando-se o produto entre a

massa específica e o volume do corpo:

„

m V x y z (4.26)

E considerando a presença da porosidade (no caso do leito de partículas), tem-se:

1s s sm x y z (4.27)

A massa de líquida é dada pelo somatório de líquido sobrenadante e intersticial:

lm = massa de líquido sobrenadante + massa de líquido intersticial (4.28)

E a equação para o cálculo da massa total de líquido é dada por:

l l t l l t i sm A s t A z t

(4.29)

Onde o parâmetro β é uma variável booleana que indicará a existência da

camada de liquido sobrenadante (saturação do leito de partículas), conforme segue: se t

≤ tsat, então β = 1 (e zi(t) = e); se t > tsat, β = 0 (e zi(t) < e).

Do que foi exposto anteriormente, chega-se à seguinte expressão:

83

1 ms t s l t l l t i s

mt

A e A s t A z t g ap

A

(4.30)

Tendo por fim:

1 1 mm s s l op e S v t e g a

(4.31)

O modelo aqui proposto adotou um sistema oscilatório segundo o movimento

harmônico simples (MHS). Assim, a expressão de aceleração mecânica é expressa por:

cosma A t (4.32)

Onde:

A – amplitude da vibração da peneira [m];

t – tempo de operação [s];

φ – ângulo de fase [-];

ω – frequência angular da peneira [rad/s], dada por:

2 f (4.33)

Onde:

f – frequência de operação [Hz].

Assim, os perfis de velocidade decorrentes do movimento vibratório serão uma

função senoidal, conforme pode ser observado em Zong-ming et alii (2010), Dyr e

84

Wodzinski (2002) e Laws e Livesey (1978) que analisaram de forma análoga o

escoamento em peneiras vibratórias.

4.1.6 Equação para o cálculo da velocidade de drenagem

Substituindo as equações 4.2, 4.7, 4.15, 4.21 e 4.31 na equação 4.1, tem-se,

finalmente, a seguinte equação, que permite determinar a velocidade de drenagem do

líquido que passa através da peneira vibratória em funcionamento; a expressão é:

2 4 cos0

1

ml

sp

s

N v P v g Q T g a

d

(4.34)

Onde:

3

1,75 1l

p

eN

d

(4.35)

2 2a

2 3 a

150 1 η 1 f×

0,02 f

l l

p

eP

d

(4.36)

max0

( ) ( )sat sat

sat

t t t t

tl s

v t v tQ z e dt e dt

(4.37)

E finalmente:

85

1 1s s l oT e S v t e (4.38)

A equação 4.34 é uma equação de 2º grau e, portanto, pode ser resolvida pelos

métodos convencionais para se encontrar o valor da velocidade (método de Newton-

Raphson, método gráfico, fórmula de Bhaskara, etc.).

Ela é válida tanto para descrever o sistema com ocorrência de lâmina líquida

sobrenadante (quando for o caso), quanto em seus estágios de insaturação (em caso de

tempo de residência suficientemente longo para que se tenha ao menos drenagem

parcial do líquido intersticial).

4.1.7 Equação para determinação da umidade residual da torta

Milhomem e Luz (2012) desenvolveram equação para prever a umidade residual

da torta. A equação leva em conta as características do fluido e do leito, como massa

específica, espessura do leito de partículas e da lâmina sobrenadante e indiretamente

necessita da velocidade de drenagem do líquido.

A umidade residual da torta pode ser calcula através da equação a seguir:

l l

t l s

m mu = =

m m +m (4.39)

Levando em consideração a figura 4.1 e considerando a massa de sólidos como

constante, tem-se:

s s t sm = constante = ρ ×A × e × 1 - ε (4.40)

Para a massa de líquido, por sua vez, tem-se:

86

l l t l s t i sm = ρ ×A × s t ×ε + ρ ×A × Z t ×ε (4.41)

Assim, substituindo as equações 4.40 e 4.41 na equação 4.39, tem-se:

l t l s t i s

l t l s t i s s t s

ρ ×A × s t ×ε + ρ ×A × Z t ×εu t =

ρ ×A × s t ×ε + ρ ×A × Z t ×ε +ρ ×A × e× 1 - ε

(4.42)

E após alguns algebrismos, tem-se a equação para prever a umidade residual da

torta:

l i s

l i s s s

ρ s t + Z t ×εu t =

ρ s t + Z t ×ε +ρ × e× 1 - ε

(4.43)

Os valores da espessura da cota líquida vão depender da velocidade de

escoamento, que pode ser encontrado pela equação 4.34.

Os resultados encontrados pelos autores estão na figura 4.4:

Figura 4.4: Evolução do perfil de umidade: teórico versus experimental.

Fonte: Milhomem e Luz, 2012.

87

4.2 Caracterização das amostras para realização da simulação

Neste tópico será abordada a metodologia para caracterização de amostras, para

obtenção de valores a serem utilizados na equação 4.34 para simular a operação da

peneira vibratória desaguadora.

4.2.1 Amostras

Foram analisadas características de areia e esferas de vidro (representando

morfologias irregular e esférica, respectivamente), para que os dados coletados das

mesmas pudessem ser utilizados nas simulações . A areia é proveniente do município de

Pinheiros Altos, Minas Gerais, sendo utilizadas com diâmetro inferior a 425 x 10-6

m.

Quanto às esferas, foram adquiridas da empresa Zirtec (ZIRTEC, 2012).

A areia, tal qual obtida, necessitava de preparação prévia à sua caracterização. A

metodologia de homogeneização pode ser encontrada em Oliveira e Aquino (2007): as

amostras foram homogeneizadas utilizando-se uma pilha cônica, sendo realizadas

sucessivas etapas de pazadas manuais, na qual o material da pilha é retomado com

auxílio de uma pá, em vários pontos da pilha, e depositado em outro ponto, formando-se

uma nova pilha cônica. Este procedimento foi repetido 10 vezes.

O quarteamento das amostras foi realizado em seguida. Para tal procedimento, as

amostras foram alimentadas numa esteira que as despejava num divisor rotativo de 12

tambores. A abertura de alimentação da esteira era de 0,03 m, e sua velocidade era de

0,83 m/s. O tambor rotativo, por sua vez, possuia velocidade angular de 2,32 rad/s.

Foram geradas 12 alíquotas provenientes da amostra original, com uma média de

12,53 kg, totalizando 150,35 kg de material.

88

4.2.2 Caracterização granulométrica das amostras

Foram realizados ensaios de peneiramento para análise granulométrica da areia.

A maior peneira possuía abertura de 12,5 mm. As esferas de vidro, por sua vez, já são

adquiridas em tamanhos bitolados através da empresa Zirtec, conforme mostra a tabela

a seguir:

Tabela 4.1: Classificação das micro esferas de vidro, de acordo com sua granulometria

Esferas de vidro industriais

Fração Especificação Faixa de granulometria

[μm]

Esfericidade aproximada

[%]

Grossa

AA 210-595 70

D 210-297 -

AB 177-297 -

E 177-250 -

Média

AC 149-250 70

AD 105-210 -

AF 74-149 80

Fina

AG 53-105 -

AH 44-88 -

AI 53-finos -

Fonte: Zirtec.

Uma vez de posse da distribuição granulométrica da areia, as esferas de

diferentes especificações foram misturadas, de forma que obtivessem distribuição

granulométrica mais próxima possível à da areia.

89

Para a realização da caracterização granulométrica das amostras, 0,255 kg de

cada amostra foi peneirada em um conjunto de peneiras.

Os resultados obtidos são encontrados na figura 4.5.

Figura 4.5: Distribuição granulométrica das amostras.

Fonte: Milhomem e Luz, 2012.

Ambas as curvas foram feitas através da distribuição de Rosin-Rammler, cujos

parâmetros principais encontram-se a seguir.

Tabela 4.2: Principais parâmetros analisados de acordo com a distribuição de Rosin-

Rammler

Amostra Tamanho

máximo (m)

Tamanho

médio (m)

Agudez da

curva

Coeficiente de

correlação

Areia 425 x 10-6

242 x 10-6

0,94 0,999

Esferas de

vidro 425 x 10

-6 264 x 10

-6 1,49 0,996

90

4.2.3 Determinação da massa específica das amostras (real e aparente) e porosidade

A determinação da massa específica foi realizada através de picnometria. As

etapas consistiram em:

1. Secagem da amostra por 20 minutos;

2. Pesagem do picnômetro vazio;

3. Pesagem do picnômetro + amostra, com esta preenchendo aproximadamente

20 % do volume do picnômetro;

4. Pesagem do picnômetro + amostra + água;

5. Pesagem do picnômetro + água.

Após todas as pesagens, realizou-se o cálculo da densidade do sólido segundo a

fórmula seguinte:

2 1s

4 2 1 3

m - m

(m + m )-(m + m ) (4.44)

Onde:

ρs – densidade do sólido [-];

m1 – massa do picnômetro vazio [g];

m2 – massa do picnômetro + amostra [g];

m3 – massa do picnômetro + amostra + água [g];

m4 – massa do picnômetro + água [g].

Uma pequena quantidade da areia foi colocada em estufa a 100 °C, durante

20 minutos, para ser retirada toda umidade da amostra. Um picnômetro de volume

50 ml foi pesado vazio, tendo-se então o valor de m1. Quantidade de areia foi colocada

no picnômetro, que equivaleria a aproximadamente 20 % do volume do mesmo. O

conjunto foi então pesado, obtendo-se o valor de m2. Água destilada foi aquecida a

91

50 °C para evitar a formação de bolhas, que interfeririam na análise) e então adicionada

ao conjunto picnômetro + amostra, tomando-se cuidado para evitar presença de água na

parte externa do picnômetro. O picnômetro foi pesado novamente, obtendo-se o valor

de m3. Por fim, o picnômetro foi esvaziado e preenchido apenas com água, para se

obter m4. Este procedimento foi realizado em duplicata, para verificar a

reprodutibilidade do experimento.

A determinação da massa específica aparente é relativamente mais simples que o

cálculo da massa específica real da amostra. A fórmula utilizada para o cálculo foi:

ap

pro a

m=

V -V (4.45)

Onde:

ρap – massa específica aparente [kg/m³];

m – massa da amostra seca em estufa [kg];

Vpro – volume da proveta [m3];

Va – volume de água adicionada à proveta [m3].

Por sua vez, Va é dada por:

2 1a

a

m -mV =

ρ (4.46)

Onde:

m1 – massa do conjunto (proveta + areia) [kg];

m2 – massa total do conjunto (proveta + areia + água) [kg];

ρa – massa específica da água [kg/m3].

Em uma proveta de 0,1 l, seca e vazia, foi adicionada certa quantidade de areia,

sendo este conjunto então pesado. Foi então adicionada água, a 19 °C, até o limite da

92

proveta, e esse novo conjunto foi pesado. Esses valores puderam ser usados na fórmula

4.45.

A massa específica da água foi calculada com picnometria, que neste caso foi

realizada sem adição de sólidos. Assim, a massa específica foi encontrada de forma

direta, ao se pesar a massa de água adicionada ao picnômetro, e sabendo-se o volume do

mesmo.

Ademais, tendo-se os valores de massa específica real e aparente, foi possível

encontrar o valor de porosidade da amostra de areia, segundo a fórmula a seguir.

s ap

ap

ρ -ρε =

ρ (4.47)

Onde:

ε – porosidade [-];

ρs – massa específica real do sólido [kg/m3];

ρap – massa específica aparente do sólido [kg/m3].

Os valores da massa específica real e aparente podem ser visualizados na tabela.

Tabela 4.3: Resultados encontrados para massa específica real, aparente e porosidade da

areia

Material Massa específica

real [kg/m³]

Massa específica

aparente [kg/m³] Porosidade [-]

Areia 2690 1520 0,430

Esferas 2480 1480 0,387

93

4.2.4 Determinação da esfericidade

Um ábaco denominado escala de Krumbein (1941 apud DREVIN e VINCENT,

2002) pode ser utilizado para estimar, visualmente, a esfericidade das partículas. Para a

utilização do mesmo, basta comparar a forma de uma amostra populacional de

partículas analisadas com a forma com a qual ela mais se assemelha no ábaco.

Figura 4.6: Escala de Krumbein para avaliação visual da esfericidade de partículas (no eixo

horizontal se encontram os valores de arredondamento e no vertical, estão os valores de

esfericidade).

Fonte: Drevin e Vincent, 2002.

Na figura 4.7 está microfotografia das amostras usadas.

Figura 4.7: Amostras utilizadas: a) esferas de vidro; b) areia quartzosa. Fonte: Milhomem e Luz,

2012.

94

Assim, comparando a figura 4.7 com a escala de Krumbein apresentada na

figura 4.6, estimou-se a esfericidade das partículas em 0,75 para a areia e 0,98 para as

esferas de vidro.

4.2.5 Características da tela da peneira

No tópico 3.4, foi mostrada a importância da fração de área aberta e do diâmetro

do fio da tela, para se determinar a perda de carga obtida na tela da peneira. A fração de

área aberta (ou porosidade da peneira) consiste na razão entre a área disponível para

passagem das partículas (área livre ou aberta) com a área total. Leva, portanto, em conta

a espessura do fio e a distância entre eles. A obtenção da fração de área aberta pode ser

feita de acordo com figura 4.8

Figura 4.8: Demonstração da obtenção da fração de área aberta da peneira.

95

x y

a

x y

a af =

a a

(4.48)

Onde:

ax e ay – abertura da peneira nos planos “x” e “y” respectivamente [m];

ϕx e ϕy – diâmetro do fio da tela nos planos “x” e “y” respectivamente [m].

Para uma peneira de malha quadrada, ax é igual a ay (bem como o diâmetro do

fio), portanto a equação (4.48) assume a forma:

2

a 2

af =

a+ (4.49)

Foram escolhidas telas de 45 x 10-6

e 37 x 10-6

m para simulação (fração de área

aberta de 34,2% e 36%, respectivamente).

As medições demonstraram valor de 32x10-6

m para o diâmetro do fio,

resultando numa fração de área aberta de 0,342.

4.2.6 Determinação da espessura do leito de partículas e da lâmina de sobrenadante

São características que também precisam ser levadas em conta para utilização da

fórmula 4.34. A espessura do leito foi definida arbitrariamente como sendo de 0,02 m.

Para o cálculo da espessura de líquido, utilizaram-se as seguintes características:

1po

ms ml

s l

C C

(4.50)

96

Onde:

ρpo – massa específica da polpa [kg/m³];

Cms – concentração mássica de sólidos [-];

Cml – concentração mássica de líquido [-].

A concentração volumétrica, por sua vez, equivale a:

po

vs ms

C C

(4.51)

Onde:

Cvs – concentração volumétrica de sólidos [-].

Considerando a relação de volume de líquido intersticial com o volume de

sólido, tem-se:

inst 1

1

ls

s s

V

V

(4.52)

Onde:

Vl inst – volume de líquido intersticial [m³];

Vs– volume de sólido [m³];

E a relação de volume de líquido sobrenadante com o volume de sólidos:

l sobre l total instl

s s

V V V

V V

(4.53)

97

Onde:

Vl sobre – volume de líquido sobrenadante [m³];

Vl total – volume total de líquido [m³].

O volume total de líquido (Vl total) pode ser considerado como ao desconsiderar o

volume de sólidos (concentração volumétrica).

O volume de sólido que a peneira comporta, bem como o volume de líquido

sobrenadante podem ser encontrados pelas equações:

pen 1s t sV A e (4.54)

l sobre tV A s (4.55)

Onde:

Vs pen – volume de sólido na peneira [m³];

At – área transversal da peneira [m²];

e – espessura do leito de partículas [m];

s – espessura da lâmina de sobrenadante [m].

Assim, considerando as equações 4.52, 4.54 e 4.55, pode-se obter:

l sobre

pen 1

t

s t s

V A s

V A e

(4.56)

E por fim, tem-se:

l sobre

pen 1s s

V s

V e

(4.57)

98

Com as devidas substituições, a equação 4.57 poderá informar a razão entre a

espessura da lâmina de sobrenadante e do leito de partículas. Uma vez definida a

espessura do leito (arbitrária), obtem-se a espessura da lâmina de sobrenadante.

99

A simulação da operação de desaguamento com peneira vibratória foi realizada

após obtenção dos dados necessários para serem utilizados na equação 4.34. Após

obtenção de todos os valores, a simulação do desaguamento foi realizada.

Nos adendos IV e V, encontram-se as características dos sólidos particulados

(esferas de vidro e areia) e líquido (água) utilizados na simulação.

Os cenários de simulação consistiram em mudanças na concentração mássica de

sólidos, tensão superficial do líquido, tela da peneira (fração de área aberta) e frequência

e amplitude de vibração. Foram utilizados valores altos e baixos (conforme mostra

tabela 5.1). Os resultados da simulação foram plotados correlacionando frequência,

tempo de operação e velocidade superficial de filtragem. Os valores utilizados

encontram-se na tabela 5.2.

Tabela 5.1: Variáveis analisadas em 10 diferentes cenários de simulação

Variáveis Número da simulação

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tensão superficial + + - - + + + + + +

Fração de área aberta + + + + - - + + + +

Amplitude [m] + + + + + + - - - -

Concentração mássica

de sólidos [%] + + + + + + + + - -

Frequência [Hz] - + - + - + - + - +

Tabela 5.2: Valores analisados de cada variável

Variáveis analisadas Valores

Tensão Superficial [N/m] 36 x 10-2

72 x 10-2

Fração de área aberta [-] 0,342 -0,36

Amplitude [m] 0,0015 -0,002

Concentração de sólidos [%] 30 -40

Frequência [Hz] 83,78 167,55

5. RESULTADOS

100

Para a simulação, considerou-se como ensaio padrão os valores nas condições

ditas elevadas. Houve então modificações para o valor baixo de cada variável. Em

ambos os casos, valores altos e baixos, a frequência foi variada, medindo-se, portanto, a

influência de cada parâmetro em conjunto com a frequência de operação.

5.1 Simulação com esferas de vidro

A seguir serão apresentados os resultados da simulação com esferas de vidro

com diferentes cenários.

5.1.1 Influência da tensão superficial para drenagem com esferas de vidro

Verificou-se se a mudança da tensão superficial causaria uma mudança muito

significativa no perfil de velocidade de drenagem. Uma solução de sulfonato de petróleo

foi preparada, obtendo-se uma tensão superficial final de 36 x 10-2

N/m. Para o valor

“alto”, considerou-se o valor de tensão superficial da água, que é 72 x 10-2

N/m. Os

resultados encontram-se nas figuras 5.1 e 5.2.

101



N/m (adição de sulfonato de

petróleo).

Os resultados com 72 x 10-2

N/m são vistos na figura 5.2.

83,78167,55

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

102



N/m.

Como esperado, em virtude do movimento vibratório, a velocidade apresenta um

perfil senoidal, com elevação e queda de seus valores.

Apesar de apresentarem o mesmo perfil de velocidade, os valores encontrados

diferem em cada situação. Essa diferença pode ser apresentada, de forma a facilitar a

análise, nos valores máximo e mínimo atingidos pela velocidade superficial de

filtragem, que podem ser visualizados na tabela 5.3.

83,78167,55

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

103


velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação

Velocidade [m/s] Tensão 36 x 10

-2

N/m

Tensão 72 x 10-2

N/m Frequência [Hz]

Mínima

-0,006090344 -0,008047954 83,78

-0,012737274 -0,014838149 167,55

Máxima

-0,001984135 -0,003861656 83,78

0,003755202 0,001980378 167,55

Considera-se como negativa a gravidade no sentido para baixo. Assim, a

velocidade que representa efetivamente a drenagem do líquido é aquela com valores

negativos. Velocidades positivas podem representar a ascensão do líquido que

acompanha o movimento da peneira vibratória. Assim, quanto menor a velocidade,

melhor o escoamento da água.

No caso em análise, os melhores valores obtidos foram nas condições de maior

frequência e maior tensão superficial. Nesta situação, a velocidade mínima obtida foi de

– 0,015 m/s, conforme se observa na tabela 5.3. Mesmo a velocidade de ascensão foi

inferior à velocidade de ascensão quando se usando sulfonato de petróleo. Isso

demonstrou que reduzir a tensão superficial, no caso em questão, não produziu melhora

significativa na velocidade de escoamento.

104

5.1.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com esferas de

vidro

Neste caso, consideraram-se duas telas distintas: uma de 45 x 10-6

m e outra de

37 x 10-6

m. As frações de área aberta foram bem próximas, resultando em 34,2% e

36% respectivamente. Os resultados são exibidos nas figuras 5.3 e 5.4.


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 34,2%.

83,78167,55

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

105


velocidade de filtragem para fração de área aberta de 36%.

Neste caso, não houve praticamente qualquer diferença entre um e outro

resultado. Pode-se explicar a pouca diferença entre elas pelo fato de que ambas possuem

aberturas muito próximas. Seria interessante considerar o efeito de peneira com abertura

maior, entretanto, nova análise de distribuição granulométrica deveria ser feita, de

forma a considerar o menor tamanho de abertura da partícula para a seleção da malha da

peneira.

Os resultados de velocidades máxima e mínima obtida encontram-se na tabela a

seguir:

83,78167,55

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

106



Velocidade [m/s] Fração 34,2% Fração 36% Frequência [Hz]

Mínima

-0,008047954 -0,008051632 83,78

-0,014838149 -0,014845436 167,55

Máxima

-0,003861656 -0,003863348 83,78

0,001980378 0,001981198 167,55

5.1.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com esferas de vidro

A amplitude foi modificada de forma arbitrária, para se verificar os efeitos da

mesma na velocidade de filtragem. Os valores simulados foram de 0,0015 e 0,002 m/s

(valores usuais encontrados em peneiras desaguadoras). Os resultados são mostrados

nas figuras 5.5 e 5.6.

107


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m.


velocidade de filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m.

83,78167,55

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,2

5

0,4

9

0,7

3

0,9

7

1,2

1

1,4

5

1,6

9

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

83,78167,55

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,2

5

0,4

9

0,7

3

0,9

7

1,2

1

1,4

5

1,6

9

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

108

Na tabela 5.5 estão os valores máximo e mínimo atingidos de velocidade de

filtragem.


velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação

Velocidade [m/s] Amplitude 0,0015 m Amplitude 0,002 m Frequência [Hz]

Mínima

-0,007507262 -0,008047954 83,78

-0,01250918 -0,014838149 167,55

Máxima

-0,004368119 -0,003861656 83,78

7,69021E-05 0,001980378 167,55

Os melhores valores foram para a condição de maior amplitude e maior

frequência de vibração, resultando numa velocidade mínima de -0,0015 m/s.

5.1.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com esferas de

vidro

Os resultados da simulação são mostrados nas figuras 5.7 e 5.8, considerando

concentração de sólidos de 30 e 40%.

109


velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 30%.


velocidade de filtragem para concentração de sólidos de 40%.

83,78167,55

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,0

10,2

50,4

90,7

30,9

7

1,2

1

1,4

5

1,6

9

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

83,78167,55

-0,016

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

110

A tabela 5.6 mostra os valores alcançados de velocidade máxima e mínima.



de operação

Velocidade [m/s] Concentração mássica

de 30%

Concentração mássica

de 40% Frequência [Hz]

Mínima

-0,009781304 -0,008047954 83,78

-0,019080321 -0,014838149 167,55

Máxima

-0,004149621 -0,003861656 83,78

0,003605759 0,001980378 167,55

Percebe-se ligeira diferença, que neste caso obteve-se valor de -0,019 m/s na

condição de maior frequência e menor concentração de sólidos contra -0,0015 m/s para

as mesmas condições mas com maior porcentagem de sólidos. Menor quantidade de

sólidos significa menos partículas no meio para serem atravessadas pelo fluido, o que

permite que se atinjam velocidades maiores. Todavia, deve-se considerar até onde tal

redução é válida para encontrar uma configuração ótima entre desaguamento e

capacidade da peneira.

Do que foi exposto nos tópicos anteriores, percebe-se que as melhores condições

atingidas foram com maior amplitude, frequência e tensão superficial e pouca

concentração de sólidos. Nas condições estudadas, a fração de área aberta mostrou-se de

pouca importância.

111

5.2 Simulação com areia

Neste tópico serão apresentados os resultados da simulação com areia nas

mesmas características apresentadas anteriormente.

Os resultados poderão informar o desaguamento considerando diferentes

morfologias de partículas.

5.2.1 Influência da tensão superficial para drenagem com areia

Nas figuras 5.9 e 5.10 estão os resultados para simulação de areia, tanto para

tensão superficial de 36 x 10-2

quanto de 72 x 10-2

N/m.

Figura 5.9: Ensaios com areia: relação entre frequência, tempo de operação e velocidade de

filtragem para tensão superficial de 36 x 10-2

N/m.

83,78167,55

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

112


filtragem para tensão superficial de 72 x 10-2

N/m.

Na tabela 5.7 estão os valores máximo e mínimo obtido para os cenários em

questão.


velocidade de filtragem de acordo com a tensão superficial e frequência de operação

Velocidade [m/s] Tensão 36 Tensão 72 Frequência [Hz]

Mínima

-0,003885531 -0,005201417 83,78

-0,00783217 -0,009187487 167,55

Máxima

-0,001359236 -0,002650865 83,78

0,002279373 0,001021413 167,55

83,78167,55

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

113

O melhor resultado encontra-se, de forma semelhante ao ensaio com esferas,

com maior valor de tensão superficial e maior frequência de operação. Ainda nesta

configuração, a velocidade de ascensão foi menor quando se utilizando o reagente

tensoativo.

As esferas apresentaram melhor resultado quando se analisa a velocidade de

drenagem do líquido. Entretanto, a velocidade de ascensão também foi maior, o que

pode não ser algo positivo, pois assim a água levaria mais tempo para percolar o leito

novamente.

5.2.2 Influência da fração de área aberta da peneira para drenagem com areia

Nas figuras 5.11 e 5.12 estão os resultados das simulações.


filtragem para fração de área aberta de 34,2%.

83,78167,55

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

114


filtragem para fração de área aberta de 36%.

Os resultados de velocidades máxima e mínima obtida encontram-se na tabela

5.8 a seguir:



Velocidade [m/s] Fração 34,2% Fração 36% Frequência [Hz]

Mínima

-0,005201417 -0,005202837 83,78

-0,009187487 -0,009190072 167,55

Máxima

-0,002650865 -0,002651576 83,78

0,001021413 0,00102168 167,55

83,78167,55

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

115

Também nesta situação, os valores foram praticamente idênticos. Mais uma vez,

as esferas apresentaram maior velocidade de drenagem, mas também apresentaram

maior velocidade de ascensão do líquido.

5.2.3 Influência da amplitude do movimento para drenagem com areia

Os resultados se encontram nas figuras 5.13 e 5.14.


filtragem para amplitude de vibração de 0,0015 m.

83,78167,55

-0,008

-0,007

-0,006

-0,005

-0,004

-0,003

-0,002

-0,001

0

0,0

1

0,2

5

0,4

9

0,7

3

0,9

7

1,2

1

1,4

5

1,6

9

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

116


filtragem para amplitude de vibração de 0,002 m.

Pelo que se observa, os resultados melhores foram com maior frequência e

amplitude. As esferas também apresentaram resultado melhor, assim como nos tópicos

anteriores. Na tabela 5.9 estão os resultados de velocidade máxima e mínima

considerando a influência da amplitude do movimento.


velocidade de filtragem de acordo com a amplitude e frequência de operação

Velocidade [m/s] Amplitude 0,0015 m Amplitude 0,002 m Frequência [Hz]

Mínima

-0,00487723 -0,005202837 83,78

-0,007844057 -0,009190072 167,55

Máxima

-0,00296389 -0,002651576 83,78

-0,000189262 0,00102168 167,55

83,78167,55

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

117

5.2.4 Influência da concentração mássica de sólidos para drenagem com areia

A simulação para o desaguamento em peneira, considerando concentração de

sólidos de 30 e 40% encontra-se nas figuras 5.15 e 5.16.


filtragem para concentração de sólidos de 30%.

83,78167,55

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,0

10,2

5

0,4

9

0,7

3

0,9

7

1,2

1

1,4

5

1,6

9

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

118


filtragem para concentração de sólidos de 40%.

Os valores máximo e mínimo de velocidade, para cada configuração da

simulação encontram-se na tabela 5.10.



de operação

Velocidade [m/s] Concentração de 30% Concentração de 40% Frequência [Hz]

Mínima

-0,006238032 -0,005202837 83,78

-0,011600046 -0,009190072 167,55

Máxima

-0,002828331 -0,002651576 83,78

0,00205439 0,00102168 167,55

83,78167,55

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,0

1

0,3

3

0,6

5

0,9

7

1,2

9

1,6

1

1,9

3

f [Hz]

v [

m/s

]

t [s]

119

A areia também encontrou melhores condições de drenagem para menor

concentração de sólidos. Mais uma vez, ressalta-se que a velocidade de ascensão da

água foi maior com relação a uma menor concentração de sólidos. Valores de simulação

com esferas de vidro, como esperado, também foram maiores, também levando em

conta concentrações menores.

Do que foi analisado, percebe-se que os principais fatores que exercem

influência no desaguamento com peneiras vibratórias foram a frequência e amplitude de

operação bem como a concentração mássica. A fração de área aberta (nas condições

analisadas) não mostrou diferenças (poder-se-ia inclusive levar em conta as

considerações de Das e Chabbra (1989), que informam haver pouca importância das

características estruturais da peneira). A tensão superficial, por sua vez, influencia no

processo, mas de forma inversa, ou seja, abaixar a mesma leva a maiores valores de

velocidade de filtragem.

Por fim, as esferas de vidro apresentaram resultados melhores em comparação

com areia (considerando apenas a velocidade superficial de escoamento). Isso poderia

ser um indicativo que a morfologia das partículas também exerce apreciável influência

no processo. Todavia, deve-se também levar em conta que além da diferença de massas

específicas (embora pequena), há também as diferenças sutis na distribuição

granulométrica das amostras. A diferença de valores de porosidade, por sua vez, não

merece muitos comentários, uma vez que a mesma é relacionada com a forma das

partículas.

5.3 Previsão da umidade residual da torta

Milhomem e Luz (2012) realizaram ensaios de desaguamento em peneira de

0,2 m de diâmetro para testar a validade da equação 4.43. Para o cálculo da velocidade

de drenagem, os autores utilizaram a equação de Ergun (sem modificações)

considerando assim um valor de velocidade constante para realização dos cálculos de

determinação da cota do líquido intersticial. Os autores acharam boa aproximação entre

os dados experimentais e simulados.

120

De forma análoga, procurou-se prever a umidade residual da torta através do

perfil de velocidade aqui apresentado. Todavia, em virtude da relativa complexidade ora

apresentada, dado o perfil senoidal de velocidade, a equação 4.43 apresentou limitações

quanto à determinação do valor de umidade.

Novas considerações devem ser realizadas para poder utilizar com boa

segurança a equação de previsão da umidade residual da torta.

De forma geral, para verificar qual a melhor configuração que possibilite menor

valores de umidade, ensaios laboratoriais devem ser realizados.

121

Foram apresentados aqui dois modelos envolvendo peneiras desaguadoras: um

relacionado à previsão do comportamento da velocidade de drenagem superficial do

líquido (velocidade de filtragem através da peneira) e outro da previsão da umidade

residual da torta.

O primeiro modelo leva em conta a drenagem através de meio porosos, a perda

de carga na tela da peneira e capilaridade, a influência da altura da coluna de líquido e

da vibração da peneira. Trata-se de uma equação cujos parâmetros para simulação

podem ser facilmente obtidos através de ensaios de caracterização da amostra.

O modelo de previsão de umidade residual, por sua vez, possibilitou prever a

umidade da torta através do conhecimento de parâmetros simples, como massa

específica do líquido e do sólido, a porosidade do leito particulado e as espessuras do

leito de partículas e da lâmina sobrenadante, sendo esta última dependente da

velocidade superficial de filtragem (que pode ser encontrada pela primeira equação).

Todavia, a equação 4.43, para previsão da umidade residual da torta, necessita

de alguns ajustes, uma vez que a mesma apresenta um perfil linear de perda de umidade,

e assim não conseguiu prever satisfatoriamente a umidade com base nos resultados

obtidos pela equação 4.34, para cálculo da velocidade superficial de filtragem.

Quanto a esta última equação, a mesma apresentou de forma aceitável o perfil de

velocidade que acontece nas peneiras desaguadoras durante o desaguamento. Todavia,

ensaios laboratoriais devem ser realizados para validar o modelo.

Quanto aos resultados obtidos, a equação 4.34 mostrou a diferença ocasionada

para diferentes valores de tensão superficial, fração de área aberta (porosidade da

peneira), concentração de sólidos e amplitude e frequência do movimento da peneira.

Os melhores valores obtidos foram obtidos com esferas de vidro com 30% de

sólidos, amplitude de 0,002 m e frequência de 167,55 Hz com tensão superficial de

72 x 10-2 N/m.. Isso demonstra que os principais fatores que exercem influência no

desaguamento com peneiras vibratórias são a morfologia das partículas, concentração

da polpa e condições operacionais do equipamento (amplitude e frequência). Reduzir a

6. CONCLUSÃO

122

tensão superficial não apresentou melhoras e a fração de área aberta não apresentou

modificações quanto aos valores adotados (nos valores em análise).

Cabe ressaltar que a massa específica das amostras não foi analisada

separadamente e que as amostras possuíam diferenças na distribuição granulométrica e

na porosidade (esta decorrente da forma das partículas), o que não garante plenamente

que partículas esféricas possuam melhor dinâmica de desaguamento, embora esse seja o

resultado mais lógico adotado em virtude dos cenários de simulação.

Por fim, os ensaios considerados melhores referem-se somente à velocidade de

filtragem do líquido, desconsiderando, por exemplo, que aumentando-se a frequência,

também aumentará velocidade de ascensão do líquido. Assim, para confirmar quais as

melhores condições de desaguamento, é imprescindível a realização de ensaios

experimentais.

123

Dentre algumas sugestões para trabalhos, cita-se:

1. Realização de ensaios para validação da equação aqui apresentada para a

velocidade de drenagem do líquido em peneiras vibratórias.

2. Analisar outras aberturas de peneira, verificando assim se esta realmente exerce

algum tipo de influência no processo.

3. Realizar correlação entre a equação para previsão da umidade residual com a

equação de previsão da velocidade de drenagem do líquido, procurando prever a

umidade final da torta com a utilização conjunta das duas equações.

7. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

124

ALLEN, T. Particle Size Measurement. 5th

ed. London: Chapman and Hall, 1997.

525 p.

ASAHINA, D. & TAYLOR, M.A. (2011), Geometry of irregular particles: Direct

surface measurements by 3-D laser scanner. Powder Technology, 2011, 213, p. 70-78.

AZFAB Dewatering Screen Brochure. Disponível em <

http://www.azfab.com/images/PDF/AZFAB-Dewatering-Screen.pdf>. Acesso em: 19

março 2013.

BLOCK, Luciana Cátia. Desenvolvimento e caracterização de comprimidos de

metmorfina 500 mg de liberação imediata: efeito de aglutinantes. 2007. 92 f.

Dissertação (Programa de Mestrado Acadêmico em Ciências Farmacêuticas).

Universidade Vale do Itajaí, Itajaí, SC. ,

BURKE, S.P.; PLUMMER, W.B. Ind. Eng. Chem. 20 (1928) 1196 apud ERGUN, S.

Fluid flow through packed columns. Chemical Engineering and Processing. v.48, n.2,

1952. p.89-94.

CARLETON, A.J. e SALWAY, A.G. Dewatering of Cakes. Filtration Society meeting

on ‘Cake Filtration’, 1993.

CARMAN, P.C. Trans. Inst. Chem. Engrs. (London), 15, 150 (1937) apud ERGUN, S.

Fluid flow through packed columns. Chemical Engineering and Processing. v.48, n.2,

1952. p.89-94.

8. REFERÊNCIAS

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131

ADENDO I: LISTA DE DEFINIÇÕES PARA DIÂMETRO IRREGULAR DE

PARTÍCULAS

Definições de “diâmetro da esfera equivalente”

Símbolo Nome Propriedade equivalente da esfera

XV Diâmetro volumétrico Volume

XS Diâmetro superficial Superfície

Xsv Diâmetro de superfície volumétrica Razão área/volume

Xd Diâmetro de arraste

Resistência ao movimento em

mesmo fluido a uma mesma

velocidade

Xf Diâmetro de queda livre

Velocidade de queda livre no

mesmo líquido, a uma mesma

velocidade

XSt Diâmetro de Stokes

Velocidade de queda livre, se for

usada a lei de Stokes (número de

Reynolds < 0,2)

XA Diâmetro da peneira Passagem através de uma mesma

abertura quadrada

9. ADENDOS

132

Definições de “diâmetro do círculo equivalente”

Símbolo Nome Propriedade equivalente do

círculo

Xa Diâmetro de área projetada

Área projetada se a partícula está

em repouso em uma posição

estável

Xb Diâmetro de área projetada Área projetada se a partícula está

com orientação aleatória

Xc Diâmetro do perímetro Perímetro externo

Definições de “diâmetro estatístico”

Símbolo Nome Propriedade equivalente da esfera

XF Diâmetro de Feret Distância entre duas tangentes

em lados opostos da partícula

XM Diâmetro de Martin Comprimento da linha que divide

a imagem da partícula

XSH Diâmetro de cisalhamento Largura da partícula obtida com

um corte ocular da imagem

XCH Diâmetro máximo da corda

Máximo comprimento de uma

linha limitada pelo contorno da

partícula

133

ADENDO II: DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS E GRANULOMETRIA

Exemplos de distribuições contínuas não truncadas (à direita):

Distribuição de Gauss (normal):

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =1

𝜎 × 2 × 𝜋× exp −

𝑥 − 𝜇 2

2 × 𝜎2 × 𝑑𝑥

𝑥

0

Distribuição log-normal:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =1

𝜎 × 2 × 𝜋× exp −

ln 𝑥 − 𝜇𝑔

2 × 𝜎𝑔2 × 𝑑𝑥

𝑥

0

Com:

𝜎𝑔 =1

2× ln 𝑥84 − ln 𝑥16

Distribuição de Weibull:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 − exp − 𝑥 − 𝛿

𝑥∗ 𝑛

Distribuição de Rosin-Rammler, ou de Rosin-Rammler-Sperling-Benett (caso

especial da distribuição de Weibull para δ = 0):

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 = 1 − exp − 𝑥

𝑥∗ 𝑛

= 1 − exp ln 1

2 ×

𝑥

𝑥50

n

Distribuição logística:

134

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =1

1 + 𝑥

𝑥50 −𝜆

Distribuição de Hill:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =𝑥𝑎

𝑥𝑎 + 𝑥50𝑎

135

Exemplos de distribuições contínuas truncadas (à direita):

Distribuição de Rosin-Rammler truncada (bitolada com tamanho máximo xmax):

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − exp −

𝑥

𝑥max −𝑥

𝑥∗

𝑛

= 1 − exp ln 1

2 ×

𝑥

𝑥max −𝑥𝑥50

𝑥max −𝑥50

𝑛

Distribuição de Harris:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − 1 − 𝑥

𝑥max 𝑎

𝑏

Distribuição de Gates-Gaudin-Schumann (caso especial da distribuição de

Harris para a=1):

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 𝑥

𝑥max 𝑎

Distribuição de Gaudin-Meloy (caso especial da distribuição de Harris para

a=1):

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max = 1 − 1 − 𝑥

𝑥max

𝑏

Distribuição de Hill:

136

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =

𝑥

𝑥max

1− 𝑥

𝑥max

𝑎

𝑥

𝑥max

1− 𝑥

𝑥max

𝑎

+

𝑥50𝑥max

1− 𝑥50

𝑥max

𝑎 =

𝑥

𝑥max −𝑥 𝑎

𝑥

𝑥max −𝑥 𝑎

+ 𝑥50

𝑥max −𝑥50 𝑎

Distribuição logística truncada:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 =1

1 +

𝑥

𝑥max −𝑥

𝑥50

𝑥max −𝑥50

−𝜆

Distribuição de Broadbent-Callcott:

𝑌 = 𝑝 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 < 𝑥max =1 − exp −

x

x𝑚𝑎𝑥

1 − exp −1

137

ADENDO III: FÓRMULAS PARA DIMENSIONAMENTO DE PENEIRAS

CLASSIFICADORAS

Fórmula da Metso/Faço

Onde:

A – área da peneira [m2];

T – alimentação do deck da peneira [m³/h];

C – capacidade básica para separação desejada [(m³/h)/m²];

M – fator dependente da porcentagem de material retido;

K – fator relativo à porcentagem de material de alimentação inferior à metade de

tamanho da separação desejada;

P – este fator pode tomar valores entre 1 e 1,4, sendo função do conhecimento e

da certeza que se tem dos dados do material a ser peneirado. Em instalações de

mineração, onde os dados do material e da superfície de peneiramento são bastante

conhecidos, poderá ser adotado o fator “1”;

Qn – fator de correção: Qn = Q1xQ2x... xQ5xQ6.

Q1 – fator relativo à posição do deck (primeiro, segundo ou inferior);

Q2 – forma das partículas;

Q3 – peneiramento via úmida;

Q4 – porcentagem de umidade para peneiramento a seco;

Q5 – porcentagem de área aberta utilizada pela tela;

Q6 – tipo de peneira.

n

T×PA=

C×M×K×Q

138

139

140

141

Fórmula de Bauman

A =Al

C1 × kb1 × kb2 × kb3 × kb4

Onde:


Al – alimentação [m3.h

-1];

C1 – capacidade básica (unitária) de produção [(m3.h

-1)/m

2];

kb1 – coeficiente relativo à proporção de passante na alimentação [-], cujos

valores são:

Tabela 3.5: Valores de kb1

Passante [%] 30 40 50 60 70- 80 90

kb1 0,75 0,8 0,9 1,0 1,15 1,3 1,5

kb2 – coeficiente proporcional à umidade da alimentação (1 para material seco e

0,45 a 0,5 para material úmido) [-];

kb3 – coeficiente pra peneiramento via úmida (1,5 a 1,6) ou via seca (1,0) [-];

kb4 – coeficiente de forma dos grãos (1 para grãos redondos e 0,8 para cúbicos

ou lamelares) [-].

142

Fórmula da Smith Engineering Works

A =Al

C1 × bs × cs × ds × es × fs

Onde:

C1 – capacidade básica de produção [(m3.h

-1)/m

2];

bs – fator relativo à porcentagem de material retido na tela;

Valores para o fator “bs”

% 10 20 30 40 50 60 70 80 85 90 92 94 96 98 100

bs 1,05 1,01 0,98 0,95 0,9 0,86 0,8 0,7 0,64 0,55 0,5 0,44 0,34 0,3 -

cs – fator relativo à eficiência desejada para o peneiramento;

Valores para o fator “cs”

Eficiência (%) 60 70 75 80 85 90 92 94 96 98

cs 2,1 1,7 1,55 1,4 1,25 1,1 1,05 1,0 0,95 0,9

ds – fator relativo à porcentagem de material menor que a metade da malha;

Valores para o fator “ds”

% < tamanho

metade 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ds 0,55 0,7 0,8 1,0 1,2 1,4 1,8 2,2 3,0 -

es – fator relativo à umidade do material;

143

Valores para o fator “es”

Malha (mm) < 0,8 0,8 0,8-1,6 1,6-3,2 3,2-4,8 4,8-7,9 7,9-9,5 9,5-12,7

es 1,0 1,25 1,5 1,75 1,9 2,1 2,25 2,5

fs – fator relativo ao deck em consideração.

Valores para o fator “fs”

Nível superior 2 º 3 º 4 º

fs 1,0 0,9 0,75 0,6

144

Modelo de Menne

A = 1 − s − m1/2

7,8 × a × fa × ln

1 − s − m1/2

Ef × 1 − s − m1/2 + Km × Qa

Onde:

Qa – vazão mássica na alimentação [t.h-1

];

m1/2 – fração de material menor que a metade da abertura da peneira, no fluxo de

alimentação do deck [-];

s – fração de material maior que a abertura da peneira, na alimentação do deck [-

];

fa – fração de área aberta da peneira [-];

Ef – eficiência de remoção de finos [-];

E “Km” é um parâmetro dado por:

Km =0; se a > 400 mm; caso contrário:

Km =2,5 × 424 − a

10000

145

Modelo de Luz e Carvalho

Luz e Carvalho (2005) realizaram análise de regressão com valores tabelados

para dimensionamento pelo método Allis-Chalmers, propondo assim um modelo que

visa evitar o uso de rotinas de interpolação e integrando-o com o modelo probabilístico

A equação clássica de peneiramento pelo método Allis-Chalmers é dada por:

A =

Qa

ρap

× Fp

Qbas × Πki

Onde:


Qa – vazão mássica de alimentação [t.h-1

];

ρap – massa específica aparente do material [t.m-3

];

Fp – coeficiente de incerteza [-];

Qbas – capacidade básica do peneiramento [(m3.h

-1)/m

2 = m.h

-1];

Πki – “produtório” dos vários fatores de correção, ki [-].

A capacidade básica de peneiramento é dada por:

Qbas = 0,36423 × a2 + 251,28 × a

O fator de correção k1 é referente ao “tamanho metade”, sendo encontrado pela

seguinte equação:

k1 = 4,815 ×m2

1000+ 0,193

Onde:

146

m – fração de material menor que a metade da abertura equivalente da peneira

no fluxo de alimentação do deck [-].

O fator k2 é o fator de correção para a fração retida (fator de grossos), cuja

fórmula é:

k2 = −2,72 × 1 − exp −0,08 × 90,1 − s + 3,7

Onde:

s – fração de material acima da abertura efetiva da peneira na alimentação do

deck [-].

O fator k3 é referente ao tipo de abertura, sendo dado por:

Para malha quadrada, k3 = 1;

Para malha redonda, k3 = 0,8;

Para malha retangular, será encontrado pela equação:

k3 = 0,274 × 1 − exp −0,738 × kd − 1 + 1

Onde:

kd – relação entre os lados (eixos) da abertura (d1/d2) [-].

O fator k4 (fator de formato de partículas) pode ser dado por:

Para partículas cúbicas, será igual a 1;

Para partículas lamelares, será iguala 0,9;

147

O fator k5 é o fator de eficiência da abertura:

Para peneiramento a seco, será igual a 1;

Para peneiramento a úmido, será encontrado pela seguinte fórmula:

k5 = −0,04 × a − 3,37 + 1,407

O fator k6 é o fator de umidade, sendo encontrado da seguinte forma:

6 % > Umidade < 9 %, k6 = 0,75;

3% > Umidade < 9 %, k6 = 0,85;

Peneiramento completamente úmido ou a umidade for menor que 3 %, k6

= 1.

O fator de área efetiva, k7, é calculado da seguinte maneira:

Se o peneiramento ocorrer no primeiro deck, k7

será igual a 0,9;

Se o peneiramento ocorrer no segundo deck, k7

será igual a 0,8;

Se o peneiramento ocorrer no terceiro deck, k7

será igual a 0,7.

O último fator, k8, é o fator de área aberta, sendo calculado pela seguinte

expressão:

k8 =fa

50=

34 × 1 − exp −0,05 × a − 1,9 + 40

50

148

ADENDO IV: CARACTERÍSTICAS DO MATERIAL UTILIZADO NAS

SIMULAÇÕES

Características das esferas de vidro para simulação

Características do material

ρs [kg/m³] e [m] dp [m] ψ [-] εs [-]

2480 0,02 0,000184 0,98 0,387

Características da areia para simulação

Características do material

ρs [kg/m³] e [m] dp [m] ψ [-] εs [-]

2690 0,02 0,000150 0,75 0,43

Características da água para simulação

Características do líquido

ρf [kg/m³] s0 [m] ηf [Pa.s] γ [N/m] θ [-] εl [-]

1000 0,03784 0,000890 0,072 0 1