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SEBASTIO SILVA DA SILVEIRA
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORADAS COM
CHAPAS COLADAS COM RESINA EPOXI.
Dissertao apresentada ao Curso de Ps-Graduao em Engenharia Civil
da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para
obteno do Grau de Mestre. rea de Concentrao: Engenharia Civil.
Orientador: Profo VICENTE CUSTDIO MOREIRA DE SOUZA
NITERI
1997
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2
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO REFORADAS COM CHAPAS
COLADAS COM RESINA EPOXI.
Dissertao apresentada ao Curso de Ps-Graduao em Engenharia Civil
da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para
obteno do Grau de Mestre. rea de Concentrao: Engenharia Civil.
Aprovada em maio de 1997
BANCA EXAMINADORA
_________________________________________________________________________
Prof. Dr. Vicente Custdio Moreira de Souza - Orientador
Universidade Federal Fluminense - UFF
_________________________________________________________________________
Prof. Dr. Ricardo Valeriano Universidade Federal Fluminense -
UFF
_________________________________________________________________________
Prof. Dr.
_________________________________________________________________________
Prof. Dr. Luiz Eloy Vaz Pontifcia Universidade Catlica do Rio de
Janeiro - PUC-RJ
NITERI 1997
-
3
AO MEU FILHO RAFAEL
-
4
AGRADECIMENTOS
minha esposa urea pela compreenso, incentivo e por ceder boa
parte de nosso tempo
para esta realizao.
Ao Prof. Vicente pela orientao dada e pela sua pacincia.
PROMON Engenharia por permitir-me utilizar parte da carga horria
de trabalho para
fazer esta tese.
Aos meus pais, pois sem eles e a educao que me foi dada no seria
quem sou hoje.
Ao Prof. Ricardo pela inesperada e importante orientao.
-
5
RESUMO
A Engenharia Civil encontra-se hoje em dia frente a um problema
de reduo de custos e gastos em geral. Apesar das antiquadas tcnicas
de construo ainda utilizadas, percebe-se uma conscientizao com
relao a quo caro fica refazer trabalhos ou reconstruir estruturas,
devendo-se a isto o grande desenvolvimento na rea da recuperao
estrutural. Recuperar estruturas tornou-se vivel graas reduo dos
preos dos materiais utilizados e disponibilidade e variedade das
tcnicas existentes.
Uma destas tcnicas disponveis o reforo de estruturas pela a
colagem de chapas com resina epoxi. Estas chapas podem ser de ao
ou, mais recentemente estudadas, de material plstico reforado com
fibras (FRP). A resina epoxi permite a compatibilidade das
deformaes e tenses de aderncia altas, compatveis com as existentes
em armaduras de peas de concreto armado comuns. Esta tcnica
amplamente difundida principalmente na Europa e utilizada, na
maioria dos casos, para o reforo de obras de arte especiais
(pontes, viadutos). No Brasil o reforo mediante a colagem de chapas
ainda tem uso incipiente, parte por desconhecimento da tcnica,
parte por falta de estudos feitos aqui.
Este trabalho pretende contribuir nesta divulgao apresentando
uma proposta de procedimento para o dimensionamento de vigas
reforadas, ou seja, seo da armadura de reforo e verificao das
tenses na viga reforada. Para tanto, considerar-se- o uso de chapas
metlicas coladas face inferior ou superior de vigas para o aumento
da capacidade resistente das peas quanto ao esforo de flexo.
-
6
ABSTRACT
Nowadays the principal objective in Civil Engineering is the
cost reduction. Demolition and rebuilding of structures are
recognized as expensive activities although old building techniques
are still in use. Structural assessment area developed in last
years based on the reduction of materials cost and disponibility
and variety of the existant strengthening and recovering
techniques.
Plate bonding structures strengthening is one of the avaible
techniques. Using steel plates, or, more recently, fiber reinforced
plastic [FRP] plates, and epoxi glue to fix them to beams bottom or
upper face, a strain compatibility and high bonding stresses are
garanteed, similary to those found between steel bars and concrete
in common reinforced concrete structures. Plate bonding is widely
used in Europe for strengthening bridges, but in Brazil an
incipient use of the technique is observed, maybe because of
unknowledge or because of works unpublishing.
This work helps to minimize the lack of local works about plate
bonding strengthening design proposing proceedings and design aids
of strengthened plated beams defining steel plate area and checking
stresses to increase their flexural strength capacity.
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7
SUMRIO
pgina
RESUMO.........................................................................................................
ABSTRACT......................................................................................................
1
INTRODUO..................................................................................................
2 PRTICA DO REFORO COM CHAPAS
COLADAS................................................ 3 ESTADO DA
ARTE DO REFORO COM CHAPAS COLADAS
3.1
Histrico.................................................................................................
3.2 O estudo feito por J.
Bresson.................................................................
3.3 O estudo feito por F.
Cnovas................................................................
3.4 O estudo feito por Van
Gemert..............................................................
3.5 O estudo feito por Y. N. Ziraba e M.
Hussain....................................... 3.6 O estudo feito
por D. J.
Oehlers.............................................................
3.7 O estudo feito por J. L.
Campagnolo.....................................................
4 TEORIA DO CONCRETO ARMADO NO ESTDIO II 4.1 Consideraes
Gerais.............................................................................
4.2 Mtodo da Energia
Potencial.................................................................
4.3 Vigas de Seo
Retangular.....................................................................
4.4 Mtodo das Tenses
Admissveis..........................................................
5 METODOLOGIA PROPOSTA 5.1 Consideraes
Iniciais............................................................................
5.2 Estados
Tensionais.................................................................................
5.3 Desenvolvimento das
Equaes.............................................................
6 APLICAO EM PROGRAMAS DE COMPUTADOR 6.1
Dados......................................................................................................
6.2 Seqncia de
Clculo.............................................................................
6.3
Resultados..............................................................................................
7 EXEMPLOS
7.1 Exemplo
1...........................................................................................
5 6
10
14
18
20 22
24
29 37 43
46 48 51 56
60 62 65
68 70
75
76
-
8
7.2 Exemplo
2...........................................................................................
7.3 Exemplo
3...........................................................................................
7.4 Exemplo
4...........................................................................................
7.5 Anlise dos
Resultados........................................................................
8 CONCLUSES E SUGESTES DE
CONTINUIDADE................................................ 9
BIBLIOGRAFIA.................................................................................................
ANEXO 1 - LISTAGEM DO PROGRAMA
REFOR................................................. ANEXO 2 -
EXEMPLO
1....................................................................................
ANEXO 3 - EXEMPLO
2....................................................................................
ANEXO 4 - EXEMPLO
3....................................................................................
ANEXO 5 - EXEMPLO
4....................................................................................
83 85 86 88
90 91 93
100
104 108 112
-
9
1. INTRODUO
As estruturas em geral esto expostas agressividade do meio.
Esta
agressividade pode ser bem pequena, como no caso de estruturas
revestidas e internas s
edificaes, ou bem intensa, como no caso de estruturas expostas
ao ar marinho ou a
ambientes industriais. Elas devem ser dimensionadas para
resistirem aos esforos
solicitantes previstos, para se comportarem da maneira
idealizada e para no perderem sua
capacidade resistente e qualidade em decorrncia da exposio ao
meio em que se
encontra. No entanto, impossvel dimensionar-se uma estrutura
para que ela mantenha
estas caractersticas eternamente. Deve-se ento considerar um
perodo de tempo em que a
estrutura mantenha-se sem perder sua capacidade resistente, sua
funcionalidade, sua
qualidade esttica, etc, dando-se a este perodo de tempo o nome
de vida til.
Aps decorrido o perodo de tempo correspondente vida til de
uma
estrutura, esta deve ser recuperada e/ou reforada. Mas a
recuperao e/ou reforo de uma
estrutura no ocorre somente porque a estrutura est no limite de
sua vida til, podendo
acontecer tambm por causa de erros no dimensionamento da
estrutura ou na sua execuo,
por no haver uma manuteno adequada no perodo, acelerando o
processo de
deteriorao, por estar sendo mal utilizada e pela ocorrncia de um
acidente com a
-
10
estrutura. Em todos os casos devem ser utilizadas tcnicas
especiais de recuperao e
reforo.
No caso do concreto armado, geralmente a deteriorao do material
comea
pela corroso das armaduras, que reduz sua capacidade resistente,
aumenta as
deformaes, e causa a ruptura dos cobrimentos por aumento de
volume da barra corroda.
Isto implica em reposio da armadura deteriorada e recuperao da
geometria da pea.
Nos casos de reforo [aumento da capacidade resistente ou reduo
de deformaes], uma
rea de armadura deve ser acrescida existente. Este acrscimo
acarreta em deslocamento
da linha neutra e aumento da regio comprimida do concreto,
alterando o comportamento
elstico da pea e seu estado tensional.
Existem vrias formas de se repor ou aumentar a seo de armadura
de
concreto armado. No caso de peas fletidas, esta reposio pode ser
feita por concreto
armado, ou seja, aumentada a seo de concreto incorporando-se
nesta nova camada a
armadura adicional ou substituta. Pode-se tambm aplicar uma
protenso externa pea, e
ainda aumentar a seo de armadura atravs de colagem de armadura
externa. Esta
armadura pode ser composta por barras de ao comuns, chapas
metlicas, perfis metlicos
ou chapas ou barras de material plstico reforado com fibras. As
tcnicas existentes
adaptam-se a vrias situaes, havendo casos em que somente uma
soluo possvel. Por
exemplo, incorporar-se mais armadura atravs de uma nova camada
de concreto uma
soluo simples e eficaz, mas, no entanto, aumenta
consideravelmente a seo da pea e
seu peso prprio. Assim, pode-se, alternativamente, utilizar a
colagem de chapas metlicas,
que so de pequena espessura e de rpida execuo, mas que tambm
sofrem restries
pela armadura exposta e pela exigncia de no haver umidade para a
utilizao da resina
epoxi. A protenso externa uma tcnica bastante eficaz para o
reforo de peas j
protendidas, mas seu alto custo e dificuldade de execuo
restringem seu uso.
-
11
As maiores vantagens do reforo com chapas coladas esto na
rapidez da
execuo e na pouca interferncia que sua execuo tem no uso da
estrutura, podendo-se
at evitar escoramentos no caso de estruturas em que o
carregamento preponderante a
ancoragem
cabo
desviador
(a)
chapametlica
armaduraexistente
camada deresina epxi
(b)
Cantoneirasmetlicas
Colado comepxi
(c)
chavearmaduraexistente
armadura dereforo
camada deconcreto adicional
(d)
Figura 1.1: Tipos de reforos existentes (a) - reforo
utilizando-se protenso externa; (b) - reforo por colagem de chapas;
(c) - reforo com perfis metlicos; (d) - reforo com
concretagem adicional.
-
12
carga mvel, como nas pontes e viadutos. No caso de edificaes, o
escoramento mantm-
se necessrio devido proporo do peso prprio em relao sobrecarga.
O simples
descarregamento [eliminao das sobrecargas] no suficiente para
que, ao recarregar a
estrutura, o reforo entre em carga, exigindo que o peso prprio
seja aliviado parcial ou
totalmente atravs do escoramento da pea. O reforo pouco
influencia no peso prprio da
estrutura e na sua distribuio dos esforos. O reforo com chapas
coladas possui um
grande potencial de desenvolvimento depois da possibilidade do
uso de materiais plsticos
ao invs de ao.
Este trabalho dedica-se ao dimensionamento de reforos de peas
fletidas
atravs de colagem de chapas metlicas com resina epoxdica. Apesar
da tcnica j ser
utilizada no Brasil, poucos so os trabalhos apresentados a
respeito, tornando evidente a
necessidade de padronizar-se os projetos, conhecer o
comportamento das peas reforadas
e prover os projetistas de ferramentas para o dimensionamento
destas peas. Neste trabalho
apresentado um estudo do estado da arte baseado em vrios
trabalhos com caractersticas
diversas, e, a partir da, desenvolvido um procedimento de
dimensionamento que
aplicado a um programa de computador para gerao de tabelas e
grficos.
-
13
2. PRTICA DO REFORO COM CHAPAS COLADAS
O reforo por colagem de chapas metlicas coladas com resinas
epoxi
consiste em fixar chapas nas faces tracionadas das peas de forma
que se possa aumentar o
valor da carga mxima a ser aplicada sobre a pea. Tal necessidade
pode decorrer de uma
mudana no uso da estrutura, fazendo com que as cargas atuantes
aumentem, ou a pea
pode estar com sua armadura insuficiente, seja por corroso, seja
por erro de projeto ou de
execuo. A armadura adicional colada atuar efetivamente para o
aumento da capacidade
resistente da pea, visto que esta trabalhar perfeitamente
solidria graas ao uso de resinas
epoxdicas para a colagem das chapas.
O motivo da escolha da resina epoxdica est na grande resistncia
tanto
compresso quanto trao que ela apresenta, no curto espao de tempo
no qual ela atinge
o nvel de resistncia desejado e na sua capacidade aderente tanto
ao concreto como ao
ao. A resina epoxdica no sofre retrao, evitando-se fissuras, e
tem coeficiente de
dilatao trmica prximo ao do concreto e do ao, mas exige estudo
do trao a ser
utilizado por causa da grande variabilidade de suas
caractersticas ao se alterar as
propores dos componentes. Na figura 2.1 apresentada uma curva do
comportamento
reolgico de uma mistura tpica utilizada para colagem de
chapas.
-
14
As chapas metlicas so coladas na face inferior para vigas
sujeitas a
momento positivo e na face superior para sees sujeitas a
momentos negativos. A fora
atuante na chapa de reforo transmitida atravs da camada de cola.
Esta transmisso
contnua ao longo de toda a chapa. No entanto, nos extremos da
chapa ocorre uma
concentrao de tenses normais a ela, exigindo em alguns casos
formas especiais de
ancoragem, tais como chumbadores, colagem de cantoneiras nas
extremidades da chapa de
reforo ou colagem de chapas nas faces laterais da viga, conforme
recomenda Campagnolo
[6], e que pode-se observar na figura 2.3. A espessura das
chapas mxima permitida ,
segundo o CEB [8], de at 10 mm, sendo que a partir do 3 mm
deve-se fazer uso dos
recursos j mencionados de ancoragens, porque comea a haver
influncia nas tenses na
extremidade da chapa. A partir dos 3mm a viga pode romper brusca
e prematuramente por
descolamento ou por arrancamento do cobrimento fazendo com que a
carga ltima da pea
caia sensivelmente como pode-se observar na figura 2.2. Outro
fator que influencia nas
tenses na extremidade da chapa a distncia entre o apoio e o
incio da chapa, sendo
recomendado que esta distncia seja mnima.
0.1
1
10
100
1 10 100 1000 10000
tempo (dias)
defo
rma
o
(m
m/m
)
Figura 2.1: Curva tempo-deformao de uma formulao tpica conforme
[7].
-
15
Ao efetuar-se a colagem do reforo, deve-se garantir que todas as
duas
superfcies, tanto a do concreto, como a do ao, tenham pleno
contato com a cola. Para
isto, pode-se utilizar parafusos ao longo da chapa para permitir
este contato, no caso de
reforos na face inferior das vigas. Deve-se tambm efetuar a
colagem colocando uma
camada de resina ao longo do eixo longitudinal da chapa e
pression-la at a resina
comear a ser expulsa. Com isso garante-se o total contato da
cola com as duas superfcies
e sem bolhas de ar. exigido tambm que as superfcies sejam as
mais planas possveis
para que consiga-se manter uma espessura constante da camada de
cola ao longo de toda
chapa. A espessura da camada de cola influenciar na resistncia
do reforo, conforme
mostra o grfico da figura 2.4.
0
20
40
60
80
100
1 1,5 2 2,5 3
ESPESSURA DA CHAPA (mm)
CARG
A L
TIM
A (kN
)Carga lt. Exp.Carga lt. Teor.
Figura 2.2: Influncia da espessura da chapa de reforo segundo
Hussain [11]
(a) (b)
(c)
Figura 2.3: Tipos de ancoragens especiais sugeridas por
Campagnolo. (a) - chapas laterais; (b) - cantoneiras; (c) -
chumbadores.
-
16
A aderncia entre os dois meios pode ser majorada aumentando-se
a
aspereza das duas superfcies. Para o concreto nomalmente faz-se
um apicoamento da
superfcie com posterior lavagem para retirada de resduos e
secagem. Este apicoamento
deve ser uniforme e pouco profundo de modo a evitar grandes
variaes na camada de
resina. Por isso, recomenda-se tambm o uso de martelo de agulhas
ou jato de areia ou
limalha de ferro. Na chapa de ao a melhor forma de obter-se uma
superfcie
uniformemente spera jateando-se a mesma com areia. Normalmente
deve-se proceder a
uma proteo da armadura de reforo para evitar a sua corroso
prematura utilizando-se
pinturas anti-oxidantes, galvanizao da chapa, que pode reduzir a
aderncia, ou aos
resistentes corroso.Deve-se proteger tambm para, no caso de
incndio, aumentar a
resistncia trmica da reforo. Da utilizar-se desta tcnica
principalmente para o reforo
de obras de arte especiais (pontes e viadutos), que esto menos
sujeitas a este tipo de
acidente.
0
15
30
45
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25
ESPESSURA DO ADESIVO (mm)
RESI
STN
CIA
TR
AO
(M
Pa)
Figura 2.4 Influncia da espessura da camada de adesivo epxi na
resistncia trao em ligao entre chapas metlicas [7].
-
17
3. ESTADO DA ARTE DO REFORO COM CHAPAS COLADAS
3.1. Histrico
O estudo do reforo de peas de concreto com colagem de chapas
metlicas
surgiu no final da dcada de 60 com os estudo feitos na Frana por
Robert LHermite e
Jacques Bresson. Quase que paralelamente, na frica do Sul tambm
surgiram estudos
nesta rea. No entanto, a grande parte dos estudos desenvolveu-se
no centro de pesquisas
da Union Technique Interprofessionnelle, onde J. Bresson
realizou seus ensaios. Nas
dcadas de 70 e 80, na Inglaterra, vrios pesquisadores, dentre
eles R.N. Swamy, R. Jones
e G. C. Mays, realizaram pesquisas e ensaios, fazendo com que a
tcnica de colagem de
chapas chegasse ao nvel de utilizao que tem hoje na Europa. Alis
l em que seu uso
est mais desenvolvido. A partir da, vrios so os estudos por todo
o mundo: F. Cnovas,
no Instituto Eduardo Torroja na Espanha, D. Van Gemert, na
Universiteit te Leuven na
Blgica, M. Hussain e Y. N. Ziraba, na King Fahd University of
Petroleum and Minerals
na Arbia Saudita, D. J. Oehlers e J. P. Moran, na University of
Adelaide na Austrlia, J.
Theillout, no Laboratorie Central des Ponts et Chausses na
Frana, etc.
-
18
No Brasil, poucos so os trabalhos realizados e divulgados.
Dentre os mais
importantes pode-se citar o de J. L. Campagnolo e sua equipe na
Universidade Federal do
Rio Grande do Sul e os do prof. Ibrahim Shehata na COPPE da
Universidade Federal do
Rio de Janeiro. Aqui, a prtica tem antecipado-se teoria, com
obras j realizadas baseadas
em estudos feitos em outros pases ou mesmo em dados empricos. Em
particular na rea
do dimensionamento dos reforos, no conta-se com nenhum tipo de
orientao
normalizada ou pelo menos padronizada, ao passo que pases como
Austrlia, Blgica,
Inglaterra e frica do Sul j possuem definidas em normas as
orientaes especficas para
este tipo de reforo, permitindo assim uma padronizao das execues
das obras e um
nvel satisfatrio de qualidade.
As pesquisas mais recentes orientam-se para o estudo particular
da
aderncia chapa-cola e cola-concreto, em especial reduo da
resistncia devido ao
descolamento da chapa e devido ruptura da camada de concreto de
cobrimento das
armaduras. Tem-se dado tambm muita importncia aos procedimentos
de
dimensionamento dos reforos, rea focada por este trabalho, ao
comportamento reolgico
das resinas epoxdicas, e substituio de chapas metlicas por
chapas de material plstico
(FRP).
Apresenta-se a seguir os principais estudos realizados na rea
de
dimensionamento de peas reforadas com chapas coladas, estudando
cada procedimento
proposto e avaliando suas caractersticas.
-
19
3.2. O Estudo Feito por J. Bresson:
O francs J. Bresson, em seu trabalho apresentado ao ITBTP
(Institut
Technique du Btiment et des Travaux Publics) em 1971 [3],
analisa o comportamento de
uma viga reforada flexo com chapas coladas tendo como
consideraes iniciais para o
problema os seguintes itens, que tambm foram assumidos por vrios
outros
pesquisadores:
1.os materiais so linearmente elsticos;
2.o concreto no tem resistncia trao;
3.as sees se mantm planas aps a deformao;
4.no h escorregamento entre a chapa e o concreto;
Isto quer dizer que, de acordo com os itens 1,2 e 3, o
dimensionamento
feito no Estdio II. A viga dever ser reforada tendo como esforo
atuante na seo a ser
dimensionada um momento fletor, o qual composto por duas
parcelas:
Mp - momento devido ao peso prprio e cargas permanentes;
Ms - momento devido s sobrecargas;
-
20
A viga inicialmente no reforada est completamente
descarregada,
estando sujeita somente s cargas permanentes, ou seja, na seo
dimensionante est
aplicado um momento fletor de valor Mp. O concreto encontra-se
sob uma tenso de valor
c1, e o ao interno sob uma tenso a1. Sob este estado tensional
efetuada a colagem da
chapa. Aps o reforo, a viga sujeita s sobrecargas e na seo
dimensionante h um
acrscimo no momento fletor de valor Ms, o que causar um acrscimo
de tenso no
concreto de valor c2 , no ao, a2 ,e na armadura de reforo, de
aR.
Na figura 3.1 tem-se:
n - relao entre os mdulos de elasticidade do concreto e do
ao;
Z1 - brao de alavanca da armadura interna em relao fibra
mais
comprimida;
Z2 - brao de alavanca da armadura externa em relao fibra
mais
comprimida;
Bresson indica que as tenses finais devem ser comparadas com as
tenses
admissveis dos materiais, ou seja:
c c c1 2+ ,
a1
c1
++++
c2
a2
aR
====
/n
/n
/n
aR/n
/n a2a1 + /n
c1 + c2
Mp M s M + Mp s
ZZ1 2
Figura 3.1: Diagramas de tenso de uma viga reforada segundo J.
Bresson
(eq. 3.1) (eq. 3.2)
-
21
a a a1 2+
aR aR
A obteno da espessura da chapa feita por equilbrio de momentos
em
relao fibra mais comprimida:
( ) ( ) ( ) + + + + + = c c a a aR R p sa an
A n Zn
A n Z M M1 21 2
1 22 30
( ) ( ) ( )A Z M M a A ZR AR p s c c a a= + + + +
162
1 2
2
1 2 1
sendo:
A b eR R R=
tem-se:
( ) ( ) ( )e Z b M M a A ZR AR R p s c c a a= + + + +
162
1 2
2
1 2 1
onde:
eR - a espessura da chapa de reforo;
bR - a largura da chapa de reforo;
Z1 - o brao de alavanca da armadura interna;
Z2 - o brao de alavanca da armadura externa;
a - a distncia da fibra mais comprimida linha neutra;
Da equao (3.7) obtm-se a espessura da chapa de reforo,
sabendo-se que
as tenses nas armaduras, a1,a2 e aR, podem ser obtidas em funo
das tenses no
concreto, c1 e c2, e da posio da linha neutra, a, que por sua
vez podem ser obtidas da
teoria clssica do concreto armado no Estdio II, conforme se ver
no captulo 4.
(eq. 3.3)
(eq. 3.4)
(eq. 3.5)
(eq. 3.6)
(eq. 3.7)
-
22
3.3. O Estudo Feito por F. Cnovas:
Assim como J. Bresson, F. Cnovas considera dois momentos
atuantes Mp e
Ms, e faz a superposio dos diagramas correspondentes a este
momentos. No entanto,
Cnovas faz superposio de diagramas de deformao ao invs de tenso.
Alm disto, a
seo, aps a atuao do momento Ms, est em um estado limite ltimo,
ou seja, Cnovas
faz o dimensionamento no Estdio III.
Cnovas, em seu livro Patologia e Terapia do Concreto Armado
[7],
considera os estados tensionais mostrados na figura 3.2 para a
seo dimensionante da viga
antes e aps o reforo.
Cnovas faz verificaes anlogas s inequaes (3.1),(3.2) e
(3.3):
cp cs
ck
c
f+
a a
yk
s
f1 2+
aRyrk
s
f
sp
cp
++++
cs
ss
srs
====
srs
ss
sp +
cp + cs
Mp M s M + Mp s
ZZ 2
r
N 1
Z1
AA
Ar
sp
N
Z2
Ass
2
A srsr
Zr
Ass+ A
srsr
N
A srsr
cp cs
1 + N2
Asp+ Ass
Zs
cp + cs
Figura 3.2: Estado tensional de uma viga reforada
(eq. 3.8)
(eq. 3.10)
(eq. 3.9)
-
23
A tenso na armadura existente quando da execuo do reforo
[diagrama
para momento Mp] pode ser obtida atravs da equao:
sppM
Z A=
1,
onde Z1 o brao de alavanca da armadura interna em relao ao ponto
de aplicao da
fora no concreto comprimido. Sendo o momento fletor Mp+Ms um
momento que leva a
um estado limite ltimo e considerando-se que a viga continuar
sub-armada aps o
reforo, a tenso mxima na armadura de reforo deve ser :
srs
yk
ssp
yrk
s
f f=
Para o diagrama devido ao momento Ms tem-se como equao de
equilbrio
de momentos
( ) ( )M A A Z A A Zs ss R srs s R srs s= + + A rea da armadura
de reforo dada ento como
A MZ
AR ss srs
=
,
onde:
Zs - o brao de alavanca da resultante das foras atuantes nas
armaduras
interna e externa quando da aplicao do momento fletor devido s
sobrecargas Ms.
Os braos de alavanca das armaduras podem ser calculados a partir
da teoria
clssica do concreto armado para o Estdio III.
3.4. O Estudo Feito por Van Gemert:
(eq. 3.11)
(eq. 3.12)
(eq. 3.13)
(eq. 3.14)
-
24
O belga Van Gemert[22] prope, para o dimensionamento de
vigas
reforadas por chapas coladas, a utilizao do Estdio II, assim
como Bresson. Contudo, h
algumas particularidades a serem destacadas. No estudo feito por
Bresson percebe-se que
desprezada a variao da posio da linha neutra. Tal fato corrigido
por Van Gemert. E
mais, ele sugere que, devido a esta variao da posio da linha
neutra, regies que outrora
estavam tracionadas, ou melhor, fissuradas, se desprezar-se a
resistncia trao do
concreto, passam a ficar comprimidas. Segundo Van Gemert,
havendo um acrscimo de
armadura demonstra-se que a linha neutra sofrer um deslocamento
na direo da
armadura adicional. Assim, as regies abaixo da antiga posio da
L.N. sofreriam uma
perda da energia de deformao armazenada at ento para que as
fissuras abertas
podessem ser fechadas e o concreto passasse a trabalhar
compresso.
Van Gemert assume que antes do reforo a seo dimensionante est
sujeita
a um momento fletor MR [diagrama 2 da fig. 3.3], que faz com que
um dos materiais
componentes, ao ou concreto, esteja na sua tenso admissvel, ou
at os dois juntos, no
caso de uma seo balanceada. Aps a atuao deste momento, durante a
utilizao normal
d1
d'b
d hT
cMr0d
c0 c
1d
c
(1) (2) (3) (4) (5)
s0/n s/n s/n
s/ns/n ''c1
REFd
sREF/nct0ct0
A B CI J
D E
FG H
K LM
N O P
ct1
A'
A
A
s
s
s,REF
Figura 3.3: Estados tensionais de uma viga reforada antes e
depois do reforo
-
25
da viga, o concreto fissura na regio tracionada e a tenso
atuante no concreto cMR .
Para efetuar-se o reforo, alivia-se a viga at que o momento na
seo dimensionante atinja
o valor M0, denominado por Van Gemert como momento de
descarregamento [diagrama 3
da fig. 3.3]. Aps o reforo, a viga poder ter o seu momento
admissvel elevado at o
valor MREF. Este momento tambm faz com que um dos materiais
atinja a sua tenso
admissvel.
Se o momento MREF tivesse sido aplicado a uma viga
completamente
descarregada, ou seja, momento atuante nulo, o diagrama de
tenses seria como o
diagrama 4 da figura 3.3, e sua linha neutra estaria posicionada
a 1d da fibra mais
comprimida. Esta posio da L.N. na viga antes do reforo 0d.
Segundo Van Gemert, a
posio da L.N. para a viga aps o reforo uma posio intermediria
entre estes dois
valores. O diagrama de tenses seria uma combinao dos diagramas 3
e 4. As tenses at
o nvel da L.N. antes do reforo seguem o diagrama 4. A partir da
h uma quebra no
diagrama devido ao fechamento das fissuras, e este segue at o
ponto de tenso nula a uma
distncia REFd da fibra mais comprimida. No concreto estar
atuando uma tenso de valor
c e, nas armaduras de trao, compresso e reforo, estaro atuando
as tenses s,s e
s,REF, respectivamente.
Considerando desprezvel a espessura da camada de cola, os
materiais com
comportamento linear elstico, o concreto no resistindo trao e a
execuo perfeita da
colagem da chapa, obtm-se a equao de equilbrio de momentos em
relao posio da
armadura externa para o diagrama 5:
-
26
( )
( ) ( )
( ) ( )
M d h d d h d b
d h d d b
A nn
h dn
d A n
REF c T c c T
c REF T REF
ss
Ts
s
=
+
+
+ +
+
+
1 00
10 0
1 0 0 0
1
2 2 3
2 3
1' ' '
Pode-se definir relaes a partir da seo tpica da viga reforada
(fig. 3.3-
1):
h d dT = + 1
A bds =
A bds' '= ,
onde:
hT - a distncia da fibra mais comprimida ao centro da armadura
externa;
- taxa da armadura de trao;
- taxa da armadura de compresso;
Atravs de relaes entre tringulos no diagrama 5 e das equaes
(3.16),
(3.17) e (3.18), pode-se obter as expresses das tenses em funo
da tenso mxima no
concreto, c,e do coeficiente que d a posio final da linha
neutra, REF.
s cREF
REFc
REF
REFn
dd d
d,
'
'
=
+
00
0
s
REF
REFc
REF
REFcn=
1 00
0
(eq. 3.15)
(eq. 3.16)
(eq. 3.17)
(eq. 3.18)
(eq. 3.19)
(eq. 3.20)
-
27
( )
s REF
REFc
cREF
REFn
dd
dd d
d,=
+
+
+ +
11
11
10
0
01
10
Os valores referentes ao estado tensional no descarregamento
podem ser
obtidos pela teoria do concreto armado no Estdio II, conforme
ver-se- no captulo
seguinte, e o momento admissvel aps o reforo MREF tambm
conhecido. Assim, aps
substituio das expresses (3.16) a (3.21) na equao (3.15),
chega-se expresso:
[ ] ( ) [ ]M bd X bd YREFREF
cREF
REFc= +
20
20 0
0
onde:
[ ] ( ) ( )
( )
( )
X
dd
n
dd d
ddd
ndd
REF REFREF
REF
REF REF REF
REFREF
=
+
+ +
+
+ +
+
+
+
+
+
00
02
00
0
1 0 02
0
0
1
0
1
3 6 6
12 2 2
1 1 1'
'
'
[ ] ( )
( )
Y dd
dd
ndd
dd
dd
n
REFREF
REF= +
+
+ +
+
+
+ +
+
0 0
00
1 0
0
1
02
1
1
3 62 1 1
2 2
1 1' ' '
Nas expresses acima as duas nicas incgnitas so c e REF. No
entanto,
estas variveis so interrelacionadas, o que levou Van Gemert a
optar por uma soluo
iterativa. Utilizando-se as seguintes restries das tenses
atuantes:
(eq. 3.21)
(eq. 3.22)
(eq. 3.23)
(eq. 3.24)
-
28
s sR
' 's sR
s REF s REFR, ,
c cR ,
atribui-se um valor inicial para c e calcula-se, a partir das
equaes (3.22), (3.23) e (3.24)
o valor de REF. Das equaes (3.19), (3.20) e (3.21) obtm-se as
tenses nas armaduras.
Aps a comparao com as tenses admissveis [equaes (3.25), (3.26),
(3.27) e (3.28)],
se alguma das tenses admissveis for ultrapassada, calcula-se um
novo valor para c a
partir da primeira equao da tenso da armadura [equaes (3.19) a
(3.21)] que
ultrapassou a tenso admissvel, adotando-se a tenso na respectiva
armadura como igual
admissvel na seqncia das equaes (3.25) a (3.28) apresentada,
desde que a tenso
obtida seja menor que a tenso admissvel do concreto. Este
procedimento repetido at
que as quatro restries sejam satisfeitas:
A rea da armadura de reforo pode ser obtida da equao de
equilbrio de
foras do diagrama 5 na figura 3.3. Aps as devidas substituies,
chega-se expresso
( )
REFs REF
REF c REF c s sn
n= + +
1
22 1 20 0
,
''
Destas equaes, Van Gemert gerou bacos de dimensionamento
para
diversas taxas de descarregamento e reforo e diferentes tipos de
ao para reforo.
3.5. O Estudo Feito por Y. N. Ziraba e M. Hussain
(eq. 3.25)
(eq. 3.26)
(eq. 3.27) (eq. 3.28)
(eq. 3.29)
-
29
Na King Fahd University, na Arbia Saudita, um grupo de trabalho
tem
dedicado-se exclusivamente ao estudo de estruturas reforadas com
chapas coladas, sendo
responsvel pelos estudos mais atualizados na rea [10]-[11].
Ziraba [23], em seu artigo,
apresenta um procedimento para dimensionamento de vigas
reforadas com chapas coladas
baseado nos estados limites ltimos observados em ensaios
realizados e em modelagens
numricas utilizando elementos finitos no-lineares. Estes estados
limites ltimos foram
inicialmente observados por Swamy e Jones [18] e so:
ruptura por flexo;
ruptura por cisalhamento;
ruptura por descolamento da chapa;
ruptura por arrancamento do concreto de cobrimento.
Os dois primeiros so os modos de ruptura comuns do concreto
armado. A
ruptura por flexo pode ocorrer por escoamento da armadura
interna e externa ou por
esmagamento do concreto comprimido. A ruptura por cisalhamento
pode ocorrer em
regies onde no h a chapa ou prximo sua extremidade e
caracterizada por fissuras
inclinadas. Os dois ltimos so tpicos de vigas reforadas e
geralmente impedem que estas
atinjam a carga prevista pela teoria, reduzindo assim a eficcia
do reforo. Ziraba observou
a forma destes dois modos de ruptura, que so mostrados na figura
3.4.
-
30
A ruptura por descolamento da chapa pode ocorrer por m execuo
da
colagem ou quando a espessura da chapa comea a ficar excessiva
(acima de 2mm). Pode
ocorrer ainda quando o carregamento for muito rpido ou em
situaes de impacto. A
ruptura por arrancamento do cobrimento caracteriza-se por uma
fissura surgida na
extremidade da chapa e que horizontaliza-se mais ou menos no
nvel das armaduras
internas. Esta regio tem sua seo reduzida pela presena das
barras de armadura interna,
justificando a direo da fissura. Estas fissuras, ao ligarem-se s
fissuras de cisalhamento,
levam a viga a um colapso brusco.
Desde os estudos realizados por Bresson j sabia-se que nas
extremidades
das chapas coladas havia uma concentrao de tenses normais chapa,
denominadas por
Swamy de tenses de descolamento (peeling stresses). Alm destas,
identificaram-se
P / 2
cola
chapa
regio dedescolamento
fissura crtica decisalhamento
P / 2
cola
chapa
regio de ruptura docobrimento
fissura crtica decisalhamento
fissura horizontalno nvel da
armadura interna
(a) (b) Figura 3.4: Modos de ruptura de vigas reforadas com
chapas coladas. (a) - ruptura por
descolamento da chapa; (b) - ruptura por arrancamento do
cobrimento
-
31
tenses cisalhantes nas interfaces concreto-resina e ao-resina. A
aderncia entre a resina
epoxdica e o concreto a mais fraca, o que normalmente faz com
que a ruptura por
descolamento se d na sua interface. Hussain[11] realizou vrios
ensaios identificando os
modos de ruptura, variando as espessuras das chapas e utilizando
ancoragens extras com
chumbadores, conforme mostra a tabela 3.1.
Hussain observou ento que, para espessuras pequenas da chapa de
reforo,
as vigas alcanavam os valores de ruptura previstos pela teoria.
No entanto, os valores
caram rapidamente ao se passar da espessura de 1,5 mm para 2,0
mm. A partir dos
resultados apresentados foi proposta ento um procedimento de
dimensionamento, que
consiste em:
dimensionamento da seo reforada ruptura considerando o
escoamento da chapa e
esmagamento do concreto;
verificao das tenses cisalhantes e de descolamento para
assegurar de que no haver
ruptura por descolamento;
verificao da resistncia ao cisalhamento da viga reforada para
evitar a ruptura brusca
por arrancamento do cobrimento de concreto.
Tabela 3.1 - Resumo dos resultados obtidos por M. Hussain em
[11]
Viga Espessura Chapa
Tem Chumb.
Carga Ruptura
Carga Ruptura
Mdulo de Dureza
Tenses Mximas nas Interfaces (kPa)
Modos de Ruptura (mm) Exp.
(kN) Terica
(kN) (kN.mm) Tenso
Cisalh. Tenso de
Descol.
FRB1
54,00 52,23 954
Flexo FRB2 1,00 No 69,54 69,00 872 5,43 1,27 Flexo FRB3 1,50 No
75,00 76,50 325 6,15 1,59 Flexo / CisalhamentoFRB4 1,50 Sim 77,86
76,50 734
Flexo / Cisalhamento
FRB5 2,00 No 60,00 83,80 178 4,79 1,34 Ruptura CobrimentoFRB6
2,00 Sim 66,00 83,80 633
Fissuras Diagonais
FRB7 3,00 No 58,00 98,00 102 4,55 1,40 Ruptura CobrimentoFRB8
3,00 Sim 57,80 98,00 237
Fissuras Diagonais
-
32
O dimensionamento da chapa feito atravs do equilbrio de momentos
em
relao ao ponto de aplicao da resultante do bloco de tenses no
concreto no estado
limite ltimo de ruptura, conforme a figura 3.5, o que resulta
em
T h a T h a Ms s p p u
+
=
2 2
onde:
Ts = Asfys, fora na armadura interna;
Tp = bpdpfyp, fora na armadura de reforo;
Mu - Momento atuante ltimo de clculo.
hs - distncia da borda mais comprimida ao centride da armadura
interna;
hp = hc+dc+dp/2 - distncia da borda mais comprimida ao centride
da
armadura de reforo;
- 0,9, fator de resistncia flexo segundo o ACI (American
Concrete
Institute);
bp,dp - largura e espessura da chapa de reforo;
dc - espessura da camada de cola.
Segundo o ACI[1], a altura do bloco de tenses no concreto
comprimido no
estado limite ltimo
aA f b d f
f bs ys p p yp
c c
=
+
085, ,.
Substituindo a equao (3.31) na equao (3.30), obtm-se
A d A d Ap p1 2 2 3 0+ + =
onde:
(eq. 3.30)
(eq. 3.31)
(eq. 3.32)
-
33
Ab f b f
f bp yp p yp
c c
1 21
085=
,,
A b f h d A ff bp yp c cs ys
c c
2 085= +
,,
A A f h A ff bM
s ys ss ys
c c
u3 170
=
,,
Solucionando-se a equao (3.32), encontra-se a expresso da
espessura da
chapa de reforo,
dA A A A
Atp pb=
+ 2 2
21 3
1
42
A espessura da chapa limitada pelo valor tpb ,que a espessura da
chapa de
reforo da seo balanceada, isto , a espessura mxima para que a
viga tenha uma ruptura
dctil. Acima deste valor o concreto sofre esmagamento antes que
as armaduras tenham
escoado.
Para a verificao das tenses na interface, Ziraba em [24] ensaiou
vigas e,
com os resultados de tenses cisalhantes e normais na interface
entre o concreto e a resina,
traou uma regresso linear destes resultados e, confirmando os
valores experimentais com
bc
hs
a
2a
hc
bp
0 85, f c,
C
Tp
Ts
dp
hp
Figura 3.5: Foras resistentes ltimas em uma seo reforada.
(eq. 3.33)
(eq. 3.34)
(eq. 3.35)
(eq. 3.36)
-
34
valores tericos obtidos de uma modelagem com elementos finitos
no-lineares, mostrou
que esta interface pode ser caracterizada por um critrio de
ruptura Mohr-Coulomb
clssico da forma
0 0+ tg call ,
onde call coeficiente admissvel de coeso da interface
concreto-resina-ao, cujo valor
fica no intervalo de 4,80 MPa a 9,50 MPa. O valor de 0 fica
limitado em
aproximadamente 4 MPa, de acordo com os resultados
experimentais, e o ngulo de atrito
de 28o. A tenso mxima de cisalhamento obtida pela expresso
0 11
54
0=
f Cft
R V
c
,
,,
onde
1 = 35, valor emprico proveniente da regresso da curva de
resultados
obtidos pelo estudo paramtrico com elementos finitos;
ft - resistncia trao do concreto em MPa;
V0 - esforo cortante na seo da extremidade da chapa.
A constante CR1 que relaciona as rigidezes dos trs meios,
concreto, ao e
cola, obtida pela expresso:
( )C KE b d ab dIb
h hR sp p p
p p
cp1
12
1= +
* ,
onde
aMV
*=
0
0 - relao momento fletor - esforo cortante na seo da
extremidade da chapa;
(eq. 3.37)
(eq. 3.38)
(eq. 3.39)
-
35
I - momento de inrcia da seo fissurada equivalente em relao
linha
neutra;
h - posio da linha neutra da seo fissurada;
K G bds c
c
c
= - rigidez ao cortante da camada de cola;
Gc, bc, dc - mdulo cisalhante [da ordem de 6 GPa], largura e
espessura da
camada de cola.
A tenso de descolamento [peeling stresses] mxima pode ser
calculada
pela equao
0 2 2 0= CR ,
onde
2 = 1,10, valor emprico proveniente da regresso da curva de
resultados
obtidos pelo estudo paramtrico com elementos finitos;
A constante CR2 obtida pela expresso:
C d KE IR p
n
p p2
14
4=
,
onde:
Ip - momento de inrcia da armadura de reforo em relao ao seu
eixo;
K Ebdn p
p
p= - rigidez da camada de cola;
Ep - mdulo de elasticidade da resina epxi [da ordem de 15
GPa].
Caso os materiais sejam admitidos como linearmente elsticos, as
equaes
(3.38) e (3.40) ficam resumidas a
0 1 0= C VR
0 2 0= CR
(eq. 3.40)
(eq. 3.41)
(eq. 3.42)
(eq. 3.43)
-
36
Por limitao da validade do estudo paramtrico, a distncia mxima
entre o
fim da chapa e o apoio deve satisfazer a condio
a
hmax
c
3 0,
onde:
amax - a mxima distncia do centro do apoio extremidade da
chapa.
O clculo da capacidade resistente ao cisalhamento da viga
reforada feita
multiplicando-se um coeficiente pela parcela referente aos
estribos, sendo este coeficiente
funo das constantes caractersticas CR1 e CR2 da seo reforada,
conforme v-se nas
equaes
( )V V kVup c s= +
( )V f b dc cd l w= +16 100 V A f ds sw ydw=
k em= 2 4,
m C CR R= 0 08 101 2 6, ,
onde
fcd -resistncia de clculo do concreto em MPa;
l - taxa de armadura longitudinal;
bw,d - largura e altura til da seo no reforada;
Asw - seo de armadura dos estribos por metro;
fydw - tenso de escoamento de clculo da armadura
transversal;
Para manter-se sempre a favor da segurana, Ziraba recomenda
uma
limitao ao valor de k a 1,0, o que corresponde viga sem reforo.
A expresso desta
constante uma regresso exponencial dos resultados
experimentais.
(eq. 3.44)
(eq. 3.45)
(eq. 3.46)
(eq. 3.47)
(eq. 3.49)
-
37
3.6. O Estudo Feito por D. J. Oehlers
O estudo feito por D. J. Oehlers [14] e por ele e J. P. Moran
[13] na
University of Adelaide na Austrlia partem das observaes feitas
nos trabalhos do ingls
Swamy sobre as formas de ruptura de vigas reforadas com chapas
coladas j apresentadas
no item anterior. No entanto, Oehlers classifica as formas de
descolamento da placa de
uma outra maneira: o descolamento ocorrido por deslizamento, ou
seja, por esgotamento
da resistncia aderente entre a cola e o concreto, denominado por
ele como descolamento
devido ao momento fletor, enquanto o descolamento ocorrido por
ruptura do cobrimento
da armadura interna seria o descolamento devido fora cortante.
Outra diferena entre as
duas formas de ruptura seria que o descolamento devido ao
momento fletor ocorreria por
um descolamento gradual da chapa de reforo enquanto que no
descolamento por esforo
cortante ocorreria um descolamento mais brusco.
-
38
As concentraes de tenso ocorridas nas extremidades da chapa de
reforo
no dependem somente dos esforos atuantes, mas tambm do
comportamento no linear
dos trs materiais envolvidos, concreto, cola e ao e das
influncias das fissuras ocorridas
na regio da extremidade da chapa. Estas concluses feitas por
Oehlers a partir dos ensaios
at ento realizados levaram-no a direcionar seu estudo para a
anlise das tenses de
descolamento devido ao momento fletor. Em seu artigo com Moran
[13] em 1990, Oehlers
fez uma modelagem em elementos finitos de uma viga reforada e a
partir deste modelo
chegou a grficos da distribuio de tenses de descolamento na
regio extrema da chapa,
conforme a fig. 3.7. E a partir do diagrama de foras internas da
fig. 3.6 chegou a equaes
do momento atuante quando se d o incio do descolamento da chapa.
Com estas equaes
possvel verificar se com a chapa adotada para o reforo a viga no
ter sua carga ltima
reduzida por efeito do descolamento.
Pa
viga de concreto
B
BW
AW
AW
chapat/2t/2
PaMc
FcFc
FaFa
k3t
k1t
Figura 3.6: Diagrama de foras de descolamento devidas ao momento
fletor.
-
39
Oehlers dividiu as tenses de descolamento devido ao momento
fletor em
tenses normais e tenses de curvatura. Devido a espessura da
chapa ser muito menor que
a altura da viga, Oehlers considera a distribuio das foras
internas correspondentes s
tenses de descolamento como sendo funo exclusivamente da
espessura da chapa t. O
equilbrio das foras induz tenso normal de descolamento que dada,
a partir da fig. 3.6,
por:
P t F k ta a= 2 1
P E b ta s a p=
F s k tb fa a p a= 2
onde:
Es - mdulo elasticidade do ao do reforo.
a - deformao axial na chapa que na seo AA dada por a = h ,
sendo
a curvatura da seo e h a distncia da L.N. chapa.
Distncia do fim da chapa
(tenso)
(co
mp
resso)
axialcurvatura
Distribuio de tenses de descolamento:
2t4t
f a
f c
k4t
k2t
Figura 3.7: Distribuio das tenses de descolamento axiais e de
curvatura na extremidade do reforo segundo Oehlers[13].
(eq. 3.51)
(eq. 3.50)
(eq. 3.52)
-
40
bp - largura da chapa.
sa - desvio padro da tenso de descolamento na regio k2t da fig.
3.7.
fa - tenso de descolamento normal.
da:
f Es k ka
s a
a
=
2 1 2
tomando:
ks k ka a
=
12 1 2
chega-se a:
f E ka s a a=
Para o clculo da tenso de descolamento relativa curvatura,
parte-se da
equao de equilbrio das foras a ela associadas. Ento:
Mc F k tc= 3
Substituindo-se:
( )M EIc s= F s k tb fc c p c= 4
onde:
(EI)s - a rigidez flexo da chapa;
sc - o desvio padro da tenso de descolamento na regio k4t na
curva de
tenso descolamento de curvatura;
fc - tenso de descolamento devido curvatura.
A tenso de descolamento total a soma das duas parcelas:
f f ft a c= +
Substituindo-se os valores de fa e fc, e sendo:
(eq. 3.53)
(eq. 3.54)
(eq. 3.55)
(eq. 3.56)
(eq. 3.57)
(eq. 3.58)
(eq. 3.59)
-
41
( ) =MEI
p
b
onde:
Mp - o momento de descolamento;
(EI)b - a rigidez flexo da viga.
da:
( )M
EI fk E t k E hp
b t
c s a s
=
+
Oehlers, a partir de um modelo isotrpico em elementos finitos
chegou a
valores de kc e ka igual a 0,7, sugerindo que a parcela devido
deformao normal seria a
que prevalesceria. No entanto, ao comparar com os resultados
experimentais, Oehlers
observou que no ocorre desta maneira. Reordenando a eq. 3.61
chegou equao de uma
reta relacionando kc e ka, e a partir de regresses lineares dos
resultados chegou aos
seguintes valores:
kc = 0,603 e ka, = 0,0083
Estes valores permitiram desprezar o valor de ka,. Tomando ento
ka,=0
chegou seguinte equao do momento de descolamento:
( )M
EI fE tup
cp t
s
=
0 474,
onde:
(EI)cp - a rigidez flexo da seo fissurada e reforada.
Para efeito de dimensionamento, o valor de clculo de Mup
correspondente a
um percentil de 5% de ruptura :
( )M
EI fE tupd
cp t
s
=
0 901,
(eq. 3.60)
(eq. 3.61)
(eq. 3.62)
(eq. 3.63)
-
42
Anlisando os resultados experimentais, Oehlers estudou tambm
a
influncia do esforo cortante na regio do final da chapa.
Plotando as relaes entre
momentos e cortantes atuantes e resistentes na seo do final da
chapa de reforo, chegou a
um critrio de ruptura que ficou sintetizado pela equao:
MM
VV
p
up
p
uc
+ 117,
onde:
Mp, Vp - so os valores atuantes na seo do final da chapa;
Mup - momento ltimo de descolamento;
Vuc - o cortante ltimo para vigas sem armadura de
cisalhamento.
No podendo os valores atuantes serem maiores que seus
respectivos
valores ltimos e sendo o valor do momento atuante descontado do
valor do momento
atuante na mesma seo durante a execuo do reforo.
A adoo do esforo cortante ltimo para vigas sem armadura de
cortante
reside no fato que o incio do descolamento devido ao cortante se
d numa regio sem
armadura de cortante que o cobrimento da armadura interna, logo
nesta regio somente
pode-se contar com a parcela resistente do concreto ao esforo
cortante.
Da equao do momento ltimo de descolamento e da envoltria de
ruptura
pode-se obter o valor da espessura da chapa de reforo
considerando-se uma seo sobre a
envoltria.
3.7. O Estudo Feito por J. L. Campagnolo
(eq. 3.64)
-
43
Na Universidade Federal do Rio Grande do Sul, J. L. Campagnolo
comeou
sua pesquisa pelo estudo das resinas epoxi classificando-as e
indicando as mais apropriadas
para o uso em reforo com colagem de chapas e obtendo suas
propriedades fsicas. Em seu
artigo apresentado na 35a reunio do IBRACON [6], ele prope
equaes para o clculo do
comprimento de ancoragem da chapa de reforo e consequentemente
de sua seo.
Campagnolo considera uma seo de uma viga reforada a uma distncia
da extremidade
da chapa tal que o esforo resistido pela chapa j possa ter sido
completamente transferido.
Esta seo est submetida a um momento fletor e est funcionando sob
o estdio II,
conforme a figura 3.8. A equao da tenso de trao atuante :
( )ch schc x
chEE
MI
d x=
Donde pode-se tirar uma expresso do momento fletor, considerando
que a
chapa est no limite de sua capacidade resistente e portanto sua
tenso igual tenso de
escoamento do ao de reforo fych:
( )ME f I
d xc
E
ych x
chsch=
onde:
M - o momento fletor;
bch - a largura da chapa;
Esch - o mdulo de elasticidade do ao de reforo;
Ec - o mdulo de elasticidade do concreto;
Ix - a inrcia da seo equivalente [homogeneizada];
dch - a altura til da seo reforada em relao armadura de
reforo;
x - a distncia da linha neutra fibra mais comprimida.
(eq. 3.65)
(eq. 3.66)
-
44
A inrcia da seo dada pela expresso:
( ) ( ) ( )I b x EE A d x EE A x d EE A d xx w sc s sc s schc
sch ch= + + + 3
2 2 2
3, ,
E a posio da linha neutra pela expresso:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]x
A A E A E A A E A E E b E A d A E A d
E bs s s sch sch s s s sch sch c w s s s sch sch ch
c w
=
+ + + + + + +, , ,2
2
Substituindo as equaes (3.67) e (3.68) na equao (3.66) chega-se
a uma
expresso da rea de reforo necessria.
No clculo do comprimento de ancoragem Campagnolo prope a
seguinte
equao:
lA f
bbsch ych
b ch=
onde:
Asch - a rea de armadura de reforo;
bch - a largura da chapa;
Asch
As
AsxNL
dchhd
d
bchbw
Figura 3.8: Seo da viga reforada considerada por Campagnolo.
(eq. 3.67)
(eq. 3.68)
(eq. 3.69)
-
45
fych - a tenso de scoamento do ao de reforo;
b - a tenso de aderncia, que Campagnolo prope seja igual ao
valor
proposto na norma brasileira NBR-6118:
b cjf= 0 28,
(eq. 3.70)
-
46
4. TEORIA DO CONCRETO ARMADO NO ESTDIO II
4.1. Consideraes Gerais
O concreto armado tem fases de comportamento diferenciado
conforme o
nvel de tenses atuantes vai aumentando. A estas fases chama-se
de estdios e so
identificadas por diversas caractersticas. Seja considerada uma
viga de concreto armado
biapoiada e com carga uniformemente distribuda, onde
inicialmente as tenses de trao
esto em valor inferior resistncia trao do concreto. Com isto, a
armadura quase no
solicitada e seu diagrama de tenses linear como o dos materiais
homogneos. Esta fase
chama-se Estdio I e sua principal caracterstica a existncia de
tenses de trao no
concreto. Conforme aumenta-se o valor da tenses, a tenso ltima
trao do concreto
atingida e surge uma fissura. Neste ponto, a armadura sofre um
grande acrscimo de
tenses porque passa a ser somente ela a responsvel pela
resistncia trao. No entanto,
a regio comprimida acima da linha neutra continua com um
diagrama linear de tenses, o
que caracteriza o Estdio II. Ao se aumentar ainda mais as
tenses, a quantidade de
fissuras continuar aumentando e as j existentes iro caminhar em
direo regio
-
47
comprimida, fazendo com a linha neutra desloque-se em direo
fibra mais comprimida.
As tenses no concreto comprimido no tm mais comportamento
linear, visto que as
deformaes j se situam no trecho no-linear da curva
tenso-deformao do concreto e
as tenses nas armaduras j tero ultrapassado a tenso de
escoamento. Estas so as
principais caractersticas do Estdio III, que define um estado
limite ltimo de ruptura.
Em todos os trs estdios as deformaes se mantm com um
comportamento linear, satisfazendo a hiptese de manuteno da
planicidade das sees.
O interesse deste trabalho est nas equaes que definem o Estdio
II. A
escolha do Estdio II est relacionada com a prpria tcnica de
reforo com chapas
coladas. Na execuo do reforo, a viga provavelmente estar sujeita
a um carregamento
inicial. Tal carregamento inicial e conseqente estado tensional
influenciam no
dimensionamento da chapa de reforo para o estado de utilizao
utilizado neste trabalho, a
que no pode ser computado com a utilizao do Estdio III, j que
independente das
tenses atuantes no ato do reforo. Sabe-se que as tenses no
concreto e na armadura sero
0,85 fcd e fyd respectivamente.
A
A
sI/n
seo A tI
-
48
Resumindo-se ento as caractersticas do Estdio II e as hiptese
bsicas do
concreto armado que so consideradas neste trabalho, tem-se:
1.concreto fissurado na regio abaixo da linha neutra (hiptese de
Mrsh);
2.as sees mantm-se planas aps as deformaes (hiptese de
Bernoulli);
3.os materiais tm comportamento linear;
4.a estrutura est sujeita a esforos de utilizao (no
majoradas);
5.no h escorregamento da armadura.
4.2. Mtodo da Energia Potencial Total Estacionria
Para o desenvolvimento das equaes optou-se por utilizar um mtodo
de
energia ao invs de equaes de equilbrio, por que a facilidade de
manipulao maior e
no h preocupao com convenes de sinais. Apesar de neste captulo a
diferena ser
pouco percebida, no desenvolvimento das equaes para seo reforada
que a utilidade
do mtodo da energia potencial estacionria se faz presente.
As foras atuantes em uma estrutura consistem em foras externas e
foras
internas. As primeiras so as cargas propriamente ditas, enquanto
que as seguintes so
traduzidas em termos de tenses atuantes. A energia potencial das
foras internas
conhecida como energia de deformao, que armazenada na estrutura
na forma
deformada que esta apresentar aps o carregamento. Esta energia
definida como sendo a
rea sob a curva tenso de formao. Analogamente, definida tambm a
energia de
deformao complementar, que a rea entre a curva e o eixo das
tenses. Quando trata-se
-
49
de materiais linearmente elsticos, a energia de deformao e a
energia de deformao
complementar se igualam.
A energia de deformao por unidade de volume obtida ento por
u di
=
0,
que, ao integrar-se em todo o volume da estrutura, corresponder
sua energia de
deformao. Logo,
U udV d dVi
= =
0
Analogamente, para a energia de deformao complementar,
u di
*=
0
U d dVi
*=
0
As foras externas estando atuantes na estrutura j deformada
realizam um
trabalho negativo ao se levar a estrutura de volta ao estado de
inicial,
= =
Qi ii
n
1
,
i i
ii
(b)
u*
u
(a)
u*
u
Figura 4.2: Curvas tenso-deformao e as energias de deformao, (a)
material no-linear; (b) material linear.
(eq. 4.1)
(eq. 4.2)
(eq. 4.3)
(eq. 4.4)
(eq. 4.5)
-
50
onde:
Qi - Cada uma das cargas atuantes na estrutura;
i - Cada um dos deslocamentos correspondentes a cada carga.
A energia potencial total dada pela soma da energia de deformao
e do
trabalho realizado pelas cargas externas:
P U= +
Uma estrutura em equilbrio com n incgnitas, 1, 2, 3, ..., n,
sejam estas
deslocamentos, foras, tenses, etc, tem sua energia potencial
total dada como
P U Qi ii
n
=
=
1
Derivando em relao a uma das incgnitas
P U Qi i
i=
Pelo primeiro teorema de Castigliano, tem-se que a derivada da
energia de
deformao em relao a uma das incgnitas igual carga relacionada a
ela.
U Qi
i=
Substituindo a equao (4.9) na equao (4.8),
P Q Qi
i i= = 0
A equao (4.10) o princpio da energia potencial total estacionria
e
indica que a derivada da expresso da energia potencial total em
relao a qualquer uma
das incgnitas do problema nula. Em termos fsicos isto quer dizer
que em uma situao
de equilbrio a energia potencial total da estrutura passa por um
mnimo ou mximo.
(eq. 4.6)
(eq. 4.7)
(eq. 4.8)
(eq. 4.9)
(eq. 4.10)
-
51
4.3. Vigas de Seo Retangular
Para a deduo das equaes para uma viga de seo retangular, ao invs
de
utilizar-se a estrutura inteira, como normalmente faz-se ao
aplicar mtodos energticos de
anlise, adotar-se- uma fatia de espessura unitria da viga. Isto
possvel porque, estando
a viga como um todo em equilbrio, ter sua energia potencial
total minimizada e
consequentemente isto ser vlido para qualquer trecho dela.
Tomando uma seo na regio de momento fletor constante, para o
carregamento dado, tem-se o concreto comprimido com uma tenso c
e a armadura com
uma tenso s. A posio da linha neutra (LN) definida por um
coeficiente que,
multiplicado pela a altura til da seo, d a distncia at a fibra
mais comprimida. A seo
da viga com suas dimenses e seu estado tensional aps o
carregamento so mostrados na
figura 4.4.
P P
M M
1
Figura 4.3: (a) estrutura completa; (b) fatia adotada.
-
52
Sendo os materiais linearmente elsticos, as equaes constitutivas
dos
materiais so, para o concreto:
c c cE=
e, para o ao:
s s sE=
A tenso no concreto tem uma distribuio linear ao longo da
regio
comprimida e, definindo-se um eixo Y com origem na fibra
superior, tem-se
( )
yd
yc=
e as expresses das energias de deformao complementares por
unidade de volume so:
- parcela relativa ao concreto:
uE
dEc c c
= =
1
2
2
- parcela relativa armadura de trao:
d
c
s/nAs
A's
dh
d'
b
y
BA
C
E D
s/n,F G
Figura 4.4: Seo da viga e seu estado tensional aps o
carregamento
(eq. 4.11)
(eq. 4.12)
(eq. 4.13)
(eq. 4.14)
-
53
uE
dEs s s
= =
1
2
2
- parcela relativa armadura de compresso:
uE
dEs s s
,
= =
1
2
2
As integrais ao longo do volume de cada parcela fornecero as
expresses
finais
UE
dVE d
y b dy bE d
d b dEc c c
cd
c
c cc= =
= =
12
12
12 3 6
2 2
0
2
2 2
3 32
UE
dVE
Ass
s
ss= =
12 2
12 2
UE
dVE
Ass
s
ss
,
,
,
= = 12 2
12 2
O trabalho das cargas externas definido como o produto entre o
momento
fletor e a rotao correspondente,
= 2 M
A rotao dada por (ver figura 4.5):
=
arctg d E d
c c
c21 1 1
21
(eq. 4.15)
(eq. 4.16)
(eq. 4.17)
(eq. 4.18)
(eq. 4.19)
(eq. 4.20)
(eq. 4.21)
-
54
As expresses finais para a energia de deformao, para o trabalho
das
cargas externas e para a energia potencial total so:
U b dE
AE
AE
c
c
s s
s
s s
s
= + + 2 2 2
6 2 2
, ,
= ME d
c
c
P b dE
AE
AE
ME d
c
c
s s
s
s s
s
c
c
= + +
2 2 2
6 2 2
, ,
As tenses nas armaduras podem ser expressas em funo da tenso
no
concreto e do coeficiente de determinao da posio da L.N.. Estas
expresses so obtidas
por propores entre tringulos no diagrama de tenses da figura
4.4,que so:
- tringulos ABC e FGC:
c
s
s cdn
d d
dd n=
=
,
,
,,
- tringulos ABC e CDE: ( )
sc c
scn
d dn
+= = 1 ,
onde
nEE
s
c
= - a relao entre os mdulos de elasticidade do ao e do
concreto.
Substituindo-se as sees de armadura por sees equivalentes de
concreto e
tendo
M M
c/2
d
Figura 4.5: Obteno da curvatura devido ao momento M
(eq. 4.22)
(eq. 4.23)
(eq. 4.24)
-
55
A bds = e
= A bds ,
sendo e as taxas de armadura de trao e compresso
respectivamente, a equao da
energia potencial total ficar da forma
( ) ( )P bdE
dd n bd
Enbd
EME d
c
c
c
c
c
c
c
c
= +
+
22
2
2
2 2
26
1
21
2
,,
A expresso fica somente em funo das duas incgnitas do problema:
c e
. Obtendo as derivadas da expresso da energia potencial total em
relao a cada
incgnita, tem-se:
( ) ( )
P bdE
dd n bd
Enbd
EM
E dcc
c
c
c
c
c c
= +
+
=
3
1 1 0
2
2
2
2
,,
( ) ( )
P bdE
dd n bd
Enbd
EM
E dcc
c
c
c
c
c
c
c
= +
+ =2
2
3
2
3 26
1 1 0
,, ,
Da equao (4.30) obtm-se uma expresso da tenso no concreto c
em
funo de :
( ) ( )
c
M
bdd
d n n
=
+
+
22
22
3
1 1,
,
Substituindo-se a equao (4.32) na equao (4.31), obtm-se uma
equao
do segundo grau. Ao solucionar-se esta equao, chega-se a dois
valores de :
( ) ( )( ) ( ) = + + +, , , ,n n n n dd n n1 1 2 1 22 ,
(eq. 4.27)
(eq. 4.28)
(eq. 4.29)
(eq. 4.30)
(eq. 4.31)
(eq. 4.32)
(eq. 4.33)
-
56
sendo que o valor com sinal negativo no radical no tem sentido
fsico, visto
que dar sempre um resultado negativo. Sendo assim, a expresso de
:
( ) ( )( ) ( ) = + + + +, , , ,n n n n dd n n1 1 2 1 22 que a
mesma expresso que a obtida por meio das equaes de equilbrio
conforme [21].
4.4. Mtodo das Tenses Admissveis
Este trabalho visa o dimensionamento de vigas reforadas no
estado de
utilizao, ou seja, as cargas no esto majoradas e as tenses so
menores que as tenses
ltimas de clculo. Por isto, far-se- uso de mtodo das tenses
admissveis.
No mtodo das tenses admissveis, o esforo de dimensionamento leva
um
dos materiais sua tenso admissvel. Normalmente, o material que
atinge primeiro este
valor o ao, pois o dimensionamento do concreto armado objetiva
fazer com que a
ruptura se d de forma dctil atravs do escoamento da armadura. As
vigas com estas
caractersticas chamam-se vigas sub-armadas. A situao tima de um
dimensionamento
de concreto armado aproveitar ao mximo os dois materiais. Esta
situao ideal ocorre
quando o ao e o concreto atingem juntos as suas tenses
admissveis. A estas vigas
denomina-se normalmente armadas, ou, utilizando-se a
nomenclatura do ACI [1], vigas
balanceadas. Podem ocorrer ainda situaes em que o concreto
atingir primeiro a tenso
admissvel, o que indesejvel, mas, ao se fazer reforo com adio de
armadura, esta
situao pode ser atingida. Quando isto ocorre diz-se que a viga
super-armada.
(eq. 4.34)
-
57
Para o dimensionamento das vigas reforadas necessitar-se- saber
qual
material atingir a tenso admissvel primeiro, para isso existem
condies com relao
geometria da seo da viga que a leva a esta informao. Sejam as
duas hipteses:
1 - o concreto atinge a tenso admissvel;
2 - a armadura de trao atinge a tenso admissvel.
Nas sees com armadura dupla a hiptese da armadura de
compresso
atingir a tenso admissvel no considerada, pois o concreto a
atinge antes.
Para a primeira hiptese, tem-se que:
c cR=
Onde cR a tenso admissvel do concreto.
Substituindo-se a equao (4.35) na equao (4.36).
( )
scR
sRn=
1
Denominando-se:
(eq. 4.35)
(eq. 4.36)
(eq. 4.37)
(eq. 4.38)
(eq. 4.39)
(eq. 4.40)
-
58
K =
1 e
K nR cRsR
=
.
Tem-se as duas hipteses, dependentes das seguintes relaes:
- para concreto atingindo a tenso admissvel: KR < K;
- para o ao atingindo a tenso admissvel: KR > K .
Conclui-se ento que para a primeira hiptese a equao (4.37) tem
que ser
satisfeita e a equao (4.35) vlida, obtendo-se a tenso na
armadura de trao pela
equao (4.36). a segunda hiptese, a equao (4.40), que deve ser
satisfeita, obtendo-se
a tenso no concreto a partir da equao (4.36).
O momento fletor que leva a viga a satisfazer uma das duas
hipteses pode
ser obtido pela equao (4.32), substituindo-se c por cR para a
primeira hiptese e c ,
pela equao (4.39), para a segunda hiptese. As equaes para o
momento MR sero:
- para o concreto atingindo a tenso admissvel:
( ) ( )M bdd
d n nR cR= +
+
22
22
3
1 1,
,
- para o ao atingindo a tenso admissvel:
( )( ) ( )M
nbd
dd n n
RsR
=
+
+
1 3
1 12 22
2,
,
(eq. 4.41)
(eq. 4.42)
(eq. 4.43)
(eq. 4.44)
-
59
5. METODOLOGIA PROPOSTA:
Baseado no conhecimento do estado da arte do reforo com chapas
coladas
adquirido ao longo da pesquisa bibliogrfica, propem-se um
procedimento para o
dimensionamento da armadura de reforo considerando um clculo
prtico e compatvel
com os estudos realizados. A opo pelo mtodo das tenses
admissveis reside na
importncia do nvel de tenses na execuo do reforo, que, quando
muito elevado pode
at impedir que a chapa trabalhe, conforme ser mostrado no
captulo de exemplos.
5.1. Consideraes Iniciais
A metodologia proposta para o dimensionamento de vigas
reforadas
baseia-se nas mesmas premissas indicadas no item 4.1 com relao
ao concreto armado no
estdio II. Alm disto, duas outras consideraes so apresentadas
relativas exclusivamente
ao reforo com chapas coladas:
1. No h escorregamento da chapa;
-
60
2. A espessura da chapa desprezvel.
Estas condies decorrem da boa execuo da colagem da chapa.
Quanto
aos valores das tenses admissveis, o CEB[8] indica a utilizao de
um valor de tenso de
compresso no concreto na utilizao da ordem de 0,4 a 0,6 de fck
dependendo dos efeitos
produzidos pela fluncia do concreto. Souza [16] sugere a adoo de
um valor
proporcional a resistncia de clculo dividida por um fator igual
ao coeficiente de
majorao das cargas. Este valor ficaria entre o valor proposto
pela CEB e o prescrito pela
antiga NB-1. Farmer e Gee [9] sugerem um valor igual metade da
resistncia
caracterstica cbica do concreto, o que resulta num valor numrico
prximo a 0,4 fck. Para
as armaduras internas o CEB indica um valor de 0,8 fyk. Souza
indica um valor anlogo ao
do concreto, ou seja, reduzindo o valor da tenso de escoamento
de clculo de um fator
igual ao coeficiente de segurana. Na chapa metlica o ASD
[Allowable Stress Design] do
AISC indica um fator de 0,6 da tenso de escoamento fy para peas
tracionadas.
5.2. Estados Tensionais
Tabela 5.1: Tenses admissveis dos materiais adotadas neste
trabalho.
MATERIAIS TENSO ADMISSVEL Concreto
cRck
ckfx
f= =1 4 1 4
0 51, ,
,
Ao Interno sR sR
ykyk
fx
f= = =,, ,
,
115 1 40 62
Ao Reforo sREF R yf, ,= 0 6
-
61
Em uma situao tpica de reforo a seo est sujeita a um momento
MR
antes do reforo que leva um dos materiais, ou os dois, a sua
tenso admissvel. O valor
deste momento obtido pelas equaes (4.43) e (4.44) de acordo com
os valores de K e
KR.. Necessita-se ento elevar o valor do momento admissvel a um
valor MREF tal que:
MREF = k2MR
Para isto, descarrega-se a viga at uma determinada frao da carga
atuante
[s vezes seu peso prprio]. O esforo na seo a ser dimensionada
passa ento para um
valor M0 tal que:
M0 = k1MR
A este estado tensional correspondente ao momento M0
denomina-se
descarregamento. Neste estado tensional a tenso no concreto c0 e
nas armaduras s0 e
s0, conforme mostra a figura 5.1(b) e a posio da LN 0d. As
equaes vlidas neste
estado so anlogas quelas apresentadas no captulo 4, que, das
propores entre
tringulos da Figura 5.1(b), so apresentadas da seguinte
forma:
( )
sc n0
0
001=
s
c dd
n00
00
,
,
=
( ) ( )
c
M
bdd
d n n
00
2 02 0
2
0
02
03
1 1
=
+
+
,,
Aps o carregamento aplicado seo um momento fletor que igual
diferena entre o atuante no estado de descarregamento e o
atuante no estado final.
(eq. 5.1)
(eq. 5.2)
(eq. 5.3)
(eq. 5.4)
(eq. 5.5)
-
62
M = MREF - M0
Aplicado este momento, a tenso do concreto sofrer um acrscimo
de
tenso c1 e as armaduras de compresso e trao, sero acrescidas dos
valores s1 e s1,
respectivamente conforme mostra a figura 5.1(c). A armadura de
reforo passa a estar
sujeita uma tenso sREF. As equaes das tenses para esta fase so
anlogas s do
captulo 4, partindo de propores entre tringulos para obter-se as
tenses das armaduras
em relao tenso do concreto.
( )
sc n11
111=
s
c dd
n11
11
,
,
=
sREF
c dd
n= +
1
1
111
Com a armadura adicional colada, a L.N. sofrer um deslocamento.
Na
verdade este um comportamento no linear pois a linha de tenses j
se encontra girada
em torno da L.N. inicial definida pela posio 0d. Aps o reforo
esta passar a girar em
torno de outro ponto que intermedirio entre a posio inicial e a
posio que a linha
neutra teria se a chapa fosse colada com a seo com momento nulo.
Neste trabalho este
comportamento ser, por simplificao, considerado linear
permitindo a superposio dos
diagramas de tenses. Mesmo assim a considerao de mudana na posio
da linha neutra
ser vlida pois ao se fazer a soma dos diagramas devido aos
momentos M0 e M, cada um
com uma posio de L.N., o diagrama final ter a L.N. posicionada a
REFd da fibra
superior que intermedirio aos dois valores [figura 5.1(d)].
(eq. 5.6)
(eq. 5.7)
(eq. 5.8)
(eq. 5.9)
-
63
No estado tensional final as tenses no concreto e nas armaduras
so
verificadas com relao s tenses admissveis, visto que, o momento
MREF, assim como
MR, deve levar um dos materiais sua tenso admissvel.
c c c cR= + 1 0
s s s sR= + 1 0
s s s sR, , , ,
= + 1 0
sREF sREF R ,
0d
cMR
MR M0 = k *M1 R
sM /nR
c0d'
d
d1
hT
A'
A
AREF
s
s
sM /nR,
1d
c1
M = M - MREF 0
s0 /n,
s0 /n
s1/n
s1/n,
sREF/n
REF
d
c
s/n,
s /n
MREF = k *M2 R
sREF/n
(a) (b) (c) (d)
Figura 5.2: Estados tensionais de uma seo reforada.(a)Estado
antes do reforo; (b)Estado de descarregamento; (c)Estado de
recarregamento; (d)Estado final.
(eq. 5.10)
(eq. 5.11)
(eq. 5.12)
(eq. 5.13)
-
64
5.3. DESENVOLVIMENTO DAS EQUAES
Ser utilizado o mtodo da energia potencial apresentado no item
4.2. Como
o escopo deste trabalho o dimensionamento da armadura de reforo,
basta aplicar-se o
mtodo ao estado tensional de recarregamento [diagrama (c) da
figura 5.1], obter os
valores das tenses no estado de descarregamento utilizando as
equaes j desenvolvidas
para sees de concreto armado, e verificar as equaes (5.10) a
(5.13). O conhecimento
do estado de descarregamento necessrio j que preciso som-lo ao
estado de
recarregamento para obter-se as tenses finais.
Para facilitar a manipulao das equaes ser adotada uma rea de
armadura equivalente s armaduras de trao e de reforo portanto a
taxa de armadura
equivalente eq dada por:
eq REF= +
onde:
REF a taxa de armadura de reforo.
Esta armadura estaria sujeita uma tenso s1eq e localizada uma
distncia
deq da borda comprimida, sendo estes valores dados pelas
expresses:
ss sREF REF
REFeq1
1=
+
+
( )d d deq REF REFREF
=
+ +
+
1
As parcelas da energia de deformao so dadas ento por:
a) concreto:
(eq. 5.14)
(eq. 5.15)
(eq. 5.16)
-
65
U bdEc
c
c
=
16
12
1
b) armadura de compresso:
( )U n bdnEs
s
s1
12
12
1,
, ,
=
c) armadura de trao e armadura de reforo:
Ubd
Ess eq
seq
eq=
12
12
O trabalho realizado pelas cargas externas :
1 11
=
ME d
c
c
Pode-se a partir da figura 5.1(c) obter relaes entre as tenses
das
armaduras e a tenso no concreto, analogamente ao desenvolvimento
feito no item 4.3 do
captulo anterior, chegando-se s seguintes expresses:
s
c ndd1
1
11
,
,
=
s
c eqeq
ndd1
1
11=
Substituindo-se as equaes (5.21) e (5.22) nas equaes (5.18) e
(5.19) e
somando-se as parcelas chega-se expresso da energia potencial
total:
( )P bd
E
dd
n bd
E
ndd
bd
EM
E dc
c
c
c
ceq
eq
c
c
c
= +
+
16
12
112
12
112
1
2
12
12
1
12
1
1
,
,
Derivando-se a equao (5.23) em relao a 1 e a c1 obtm-se:
(eq. 5.17)
(eq. 5.18)
(eq. 5.19)
(eq. 5.20)
(eq. 5.21)
(eq. 5.22)
(eq. 5.23)
-
66
( ) ( )16
1 1
0
12
12 1
2
11
2
12
1
12
11
2
12
11
2
cc
c
c eqeq c
eqeq
c
dd
ndd
n
ndd
ndd
Md b
+
+
=
,
,
,
,
( )13
1 01 13
1 1
2
1 1
21
2
c c ceq
eqdd
n ndd
Mbd
+
+
=
,
,
As duas equaes formam um sistema de equaes no-linear com
duas
incgnitas: 1 e eq. A tenso no concreto pode ser definida a
partir das condies impostas
pelas equaes (5.10) a (5.13), chegando-se expresso:
( )
c
eq
eq
M
bd
dd
n
dd
n
1
2 12 1
2
1
1
2
131
=
+
+
,
,
O estado tensional de descarregamento pode ser obtido a partir
das equaes
(5.3) a (5.5), assim como as equaes para o momento MR. pode ser
obtido a partir das
equaes (4.43) e (4.44). Apesar de conseguir-se chegar a uma
expresso fechada de REF,
optou-se em utilizar um mtodo nmerico para a elaborao de um
programa de
computador.
(eq. 5.24)
(eq. 5.25)
(eq. 5.26)
-
67
6. APLICAO EM PROGRAMAS DE COMPUTADOR
Para facilitar a aplicao da metodologia proposta foi
desenvolvido um
programa de computador que calcula automaticamente as tabelas de
dimensionamento para
uma determinada seo dada. Os grficos correspondentes podem ser
obtidos por
transferncia dos resultados para alguma das planilhas eletrnicas
disponveis. Neste
captulo sero relacionados os dados necessrios para o programa,
ser apresentado o
fluxograma completo do programa e comentados os resultados por
ele apresentados. A
listagem completa do programa consta do Anexo 1.
6.1. Dados
Os dados relativos aos materiais so:
a) concreto:
resistncia caracterstica (fck);
mdulo de Young (Ec);
-
68
b) ao:
tenso de escoamento (fyk);
mdulo de Young (Es);
relao entre mdulos de elasticidade (n);
c) ao do reforo:
tenso de escoamento (fy);
d) dimenses da seo:
base da seo (b);
altura til da seo (d);
relaes entre cobrimento e altura til e distncia do reforo e
altura til;
taxas de armadura de trao e compresso;
Para o valor do mdulo de elasticidade do concreto pode-se tomar
o valor
proposto na norma NBR-6118:
E fc ck= +0 9 6600 35, ,
Os valores do mdulo de elasticidade do ao e da constante n
so
consagradamente adotados como Es = 210000 Mpa e n = 15.
6.2. Seqncia de Clculo
(eq. 6.1)
-
69
De posse das caractersticas dos materiais, o programa calcula as
suas
tenses admissveis e com as propriedades geomtricas da seo obtm
os valores do
momento admissvel antes do reforo (MR) a partir das equaes
(4.41) a (4.44) e da
posio da LN antes do reforo utilizando a equao (4.34). O
programa entra ento nos
loopings dos valor de k2 e k1, respectivamente, variando o valor
de MREF de 1,05 a 1,5 de
MR e de M0 de 0,05 a 0,9 de MR. A rotina principal do programa a
rotina conv. Nesta
rotina so obtidos pelo mtodo de Newton-Raphson a duas variveis
os valores de REF e
1 que sero utilizados para o clculo das tenses no concreto
utilizando a equao (4.32) e
nas armaduras utilizando as equaes (5.15) e (5.16). Para iniciar
o processo iterativo,
adota-se inicialmente o valor da tenso no concreto igual tenso
admissvel, ou seja:
c c cR0 1+ =
As tenses no estado de descarregamento podem ser obtidas a
partir da
equao (4.32) e das propores entre tringulos apresentados no item
4.3. So verificadas
as inequaes (5.4) a (5.7), e se todas so satisfeitas porque o
par de valores soluciona o
problema sendo armazenado numa matriz o valor da taxa de
armadura de reforo. Se por
acaso uma das inequaes no for satisfeita, ento so calculados
novos valores a partir das
equaes a seguir:
( )( )
c
sR sn
10 1
11=
( )
c
sREF R REF s
eqeqn
dd
11 1
1
=
+
,
(eq. 6.2)
(eq. 6.3)
(eq. 6.4)
-
70
( )
c
sR s
ndd
10 1
1
=
,
,
Adotando-se como novo valor aquele que for menor que a tenso
admissvel
do concreto na ordem apresentada: armadura de trao, armadura de
reforo e armadura de
compresso. Estas equaes so obtidas a partir das equaes (5.9),
(5.10), (5.15) e (5.16)
fazendo as tenses das armaduras iguais s suas tenses admissveis
menos as tenses
existentes no estado de descarregamento.
Os clculos so ento refeitos at que as inequaes sejam
satisfeitas. O
valor da taxa de armadura de reforo armazenado e passa-se ao par
de valores (k1,k2)
seguinte.
O mtodo de Newton-Raphson a duas variveis a generalizao do
consagrado mtodo de Newton-Raphson utilizado para a soluo de
equaes. No mtodo
para uma varivel a convergncia para o valor soluo obtida atravs
da estimativa do
valor da funo pela sua derivada no ponto em que se encontra na
iterao, mostrado na
figura 6.1 para o caso de uma varivel.
O valor da varivel para iterao seguinte obtido de:
( )( )x x
f xf xi i
i
i+ = 1 ,
Ao aplicar-se o mesmo conceito para duas funes f(x,y) e g(x,y)
tem-se,
em notao matricial:
(eq. 6.5)
(eq. 6.6)
-
71
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
x
yx
y
fx
x y fy
x y
gx
x y gy
x y
f x y f x yg x y g x y
i
i
i
i
i i i i
i i i i
i i
i i
+
+
=
+
1
1
1
, ,
, ,
, ,
, ,
A matriz 2x2 chamada de Jacobiano do sistema.
No caso do programa, o fato das funes terem pontos de
singularidade
prximos aos intervalos considerados para as variveis, fez-se
necessrio o controle dos
incrementos obtidos pela equao (6.7). No entanto por uma limitao
fsica do modelo
numrico adotado [impossibilidade do aumento de seo comprimida],
em alguns casos a
divergncia do mtodo foi inevitvel. Por isso limitou-se o nmero
de iteraes em um
valor bem elevado [10000] de forma que nesses casos o resultado
obtido foi desprezado.
Foram desconsiderados tambm os casos em que a taxa de armadura
de reforo foi
superior a 8%, visto que este o limite vigente na NBR-6118 para
peas fletidas.
yi+1
xi+1
pi+1
_
x
_
y_
p
yi
xi x
y
pi
Figura 6.1: Mtodo de Newton-Raphson a uma varivel.
(eq. 6.7)
-
72
A seguir apresentada uma lista das rotinas existentes no
programa e suas
respectivas funes:
pow - calcula o valor de um nmero real elevado a um ndice
inteiro;
LeDados - l os dados do arquivo de entrada e imprime no arquivo
de
sada;
Cabealho - imprime na tela o cabealho do programa;
deq1da1 - calcula o valor da derivada da equao (5.18) em relao a
1;
deq1drREF - calcula o valor da derivada da equao (5.18) em relao
a
ref;
deq2da1 - calcula o valor da derivada da equao (5.19) em relao a
1;
INCIO
Calcula os valoresde 0 e MR
LeDados
L o nome dosarqu
![Apresentação do PowerPoint - maxxcryl.commaxxcryl.com/downloads/apresentacao.pdf · PINTURA EPÓXI PINTURA EPÓXI PINTURA EPÓXI PINTURA ... [Consumo aproximado de 1,5 a 2,0Kg/m2]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5bfec5e509d3f2be278b9053/apresentacao-do-powerpoint-pintura-epoxi-pintura-epoxi-pintura-epoxi.jpg)
