dissertação sobre epidemia de dengue.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

INSTITUTO DE MATEMTICA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA APLICADA

Modelo SEIR Discreto

Espacialmente Estruturado

para a Disperso da Dengue

por

Luciana Rossato Piovesan

Dissertao submetida como requisito parcial

para a obteno do grau de

Mestre em Matemtica Aplicada

Profa. Dra. Maria Cristina Varriale

Orientadora

Prof. Dr. Luiz Alberto Daz Rodrigues

Co-orientador

Porto Alegre, Julho de 2009.

ii

CIP - CATALOGAO NA PUBLICAO

Piovesan, Luciana Rossato

Modelo SEIR Discreto Espacialmente Estruturado para

a Disperso da Dengue / Luciana Rossato Piovesan.Porto

Alegre: PPGMAp da UFRGS, 2009.

114 p.: il.

Dissertao (mestrado) Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, Programa de Ps-Graduao em Matemtica

Aplicada, Porto Alegre, 2009.

Orientadora: Varriale, Maria Cristina; Co-orientador: Ro-

drigues, Luiz Alberto Daz

Dissertao: Matemtica Aplicada

Dengue, Modelos Discretos, Rede de Mapas Acoplados, Epi-

demiologia

iii

Modelo SEIR Discreto

Espacialmente Estruturado para a

Disperso da Dengue

por

Luciana Rossato Piovesan

Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em

Matemtica Aplicada do Instituto de Matemtica da Universidade Fe-

deral do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obteno do

grau de

Mestre em Matemtica Aplicada

Linha de Pesquisa: Sistemas No Lineares e Aplicaes

Orientadora: Profa. Dra. Maria Cristina Varriale

Co-orientador: Prof. Dr. Luiz Alberto Daz Rodrigues

Banca examinadora:

Profa. Dra. Claudia Pio Ferreira

PPGBiometria-UNESP

Profa. Dra. Diomar Cristina Mistro

PPGMat - UFSM

Prof. Dr. Jacques Aveline Loureiro da Silva

PPGMAp - UFRGS

Dissertao apresentada e aprovada em

17 de julho de 2009.

Prof. Dr. Waldir Leite Roque

Coordenador

iv

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeo a Deus, que zela pela nossa felicidade e foi

fundamental durante a minha caminhada.

s peas fundamentais da minha vida: meus queridos Pais, Clarindo

e Zlia, e meus Irmos, Fabiano e Silvana, pelo apoio, incentivo, pacincia e pelo

carinho.

Aos meus Tios, Belino e Erisvanda, e tambm minha Prima Liz,

pelo acolhimento, pela essencial ajuda, pelo incentivo e pacincia.

Ao meu Namorado Alexandre, pelo carinho, pela fora e pelo compa-

nheirismo.

Professora Orientadora,Maria Cristina Varriale, pelo dinamismo

e orientao durante todo o perodo de aprendizado, de construo e elaborao do

trabalho e tambm ao Professor Co-orientador Luiz Alberto Daz Rodrigues,

pela sua importante colaborao.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientco e Tecnolgico

(CNPq) e tambm Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior

(CAPES).

Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), juntamente

ao Programa de Ps-Graduao em Matemtica Aplicada (PPGMAp), por me

oferecer esta oportunidade.

Aos meus Amigos, pois sem eles innitas coisas no teriam sentido

algum em minha vida e a todos que de alguma forma me acompanharam durante

esta caminhada

... os meus mais sinceros MUITO OBRIGADA!

vSumrio

AGRADECIMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 A Dengue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 O Nmero Reprodutivo Bsico - R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 OMODELO BSICO SEIR CONTNUO PARA A TRANSMIS-

SO DA DENGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 O Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Equilbrios e Anlise de sua Estabilidade . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Adimensionalizando o Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 O MODELO SEIR DISCRETO PARA A TRANSMISSO DA

DENGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Construo do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Equilbrios do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 OMODELO DISCRETO PARAA TRANSMISSO DADENGUE

COMMOVIMENTAO PORDIFUSOUTILIZANDOREDE

DE MAPAS ACOPLADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Regras de Movimentao e Condies de Fronteira . . . . . . . 53

4.2 Simulaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Comparativo entre os Modelos Sem e Com Estrutura Espacial 77

5 ESTRATGIAS DE CONTROLE DA DENGUE . . . . . . . . . 80

5.1 Variando a Capacidade dos Criadouros - C . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Variando a rea de Ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

vi

6 CONSIDERAES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

APNDICE A LINEARIZAODE SISTEMAS CONTNUOS

AUTNOMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

APNDICE B SOBRE AS RAZES DE UM POLINMIO . . . 105

B.1 As Condies de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B.2 Uma outra forma de analisar razes de um polinmio . . . . . . 106

APNDICE C PASSAGEM DO CONTNUO PARA O DIS-

CRETO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

vii

RESUMO

A infeco pelo vrus da Dengue constitui atualmente um dos maiores

problemas da sade pblica pelo mundo inteiro, porque se tornou doena re-

emergente em vrias regies tropicais do mundo, inclusive no Brasil, e causada

por qualquer um de quatro sorotipos distintos. Por tratar-se da infeco viral ur-

bana mais difundida no mundo, vrias pesquisas em modelagem de epidemias tm se

preocupado em fornecer uma fundamentao racional para tomadas de deciso, tais

como adotar estratgias de vacinao ou outras estratgias, com o objetivo de con-

trolar a propagao da doena. O objetivo deste trabalho o de modelar e ilustrar

algumas estratgias alternativas para erradicar esta doena infecciosa.

Partindo da verso bsica do modelo epidemiolgico determinstico

compartimental contnuo SEIR (suscetveis -> expostos -> infecciosos -> recupera-

dos), como um sistema de oito equaes diferenciais, determinamos os estados de

equilbrio e a sua anlise de estabilidade local, e apresentamos algumas simulaes

numricas, para ilustrar os resultados analticos. A seguir, propomos um modelo

discreto correspondente, do qual reconhecemos estados de equilbrio livre da doena

e estados de equilbrio endmico, e, atravs de um enfoque de rede de mapas acopla-

dos, inclumos uma estrutura espacial na qual as populaes se movimentam por

difuso.

Por m, mostramos, atravs de simulaes numricas, que a doena

pode ser erradicada do ambiente todo, por meio da retirada de acumuladores de

ovos dos mosquitos, em uma rea parcial do habitat todo que est em equilbrio

endmico; ento, esta estratgia tem um efeito desestabilizante, no sentido de que a

estabilidade do estado endmico pode ser destruda, levando o habitat inteiro para

o estado de equilbrio livre da doena.

viii

ABSTRACT

Dengue virus infection is nowadays one of the major worldwide public

health problems, because it has become an important re-emerging disease in many

tropical regions of the world, including Brazil, and it is caused by any one of four

distinct serotypes. As the moste widespread urban virus infection, several researches

of epidemics modeling have focused on providing a rational basis for decision making,

such as vaccination strategies or other strategies, in order to control the spread of this

disease. The aim of this work is to model and illustrate some alternative strategies

to eradicate this infectious disease.

Starting from the basic version of the SEIR (susceptible -> exposed ->

infective -> removed) deterministic compartmental epidemic continuous model, as

a system of eight dierential equations, the equilibrium states and local stability

analysis are carried out, and some numerical simulations are presented to illustrate

the analytical results. Then we propose a discrete corresponding model, where we

identify disease-free and endemic stable equilibrium states, and through a coupled

map lattice approach, we include a spatial structure where the populations are

allowed to follow a diusive movement.

Finally, it is shown through numerical simulations that this disease can

be eradicated from the overall environment by removing reservoirs of mosquito eggs

from only a partial area of the habitat. Therefore, this strategy has a destabilizing

eect, in the sense that the stability of the endemic state can be destructed and the

entire habitat goes to the disease-free equilibrium state.

11 INTRODUO

Modelos matemticos esto sendo bastante aplicados na rea de epi-

demiologia e tem se tornado uma ferramenta importante na anlise da propagao

e controle de doenas infecciosas.

Um tipo de modelo muito utilizado para estudar a dinmica de epi-

demias o modelo compartimental, onde a populao dividida em compartimentos.

Um indivduo pertence a um ou outro compartimento dependendo do seu estado com

relao doena. Neste trabalho, os indivduos podem ser classicados da seguinte

forma:

a) Suscetveis: os indivduos nesta classe podem adquirir a doena se

estiverem expostos a ela. O nmero de indivduos suscetveis representado por S.

b) Expostos ou Infectados: so os indivduos que adquirem a doena

porm ainda no a passam para outro indivduo, ou seja, esto incubando a doena.

Se a doena no tiver este perodo de incubao, este compartimento no ser in-

cludo no modelo. O nmero de indivduos expostos representado por E.

c) Infecciosos, infectivos ou Infectantes: so os indivduos que

podem transmitir a doena para algum suscetvel que entre em contato com ele. O

nmero de indivduos desta classe representado por I.

e) Removidos: depois de infectados, os indivduos ou se recuperam

e adquirem imunidade para a doena ou ento morrem. Dependendo da doena

esse perodo de imunidade pode durar a vida toda (imunidade vitalcia) ou ento

durar apenas um perodo de tempo. Neste caso, os indivduos voltam a ser suscet-

veis, podendo contrair a doena novamente. O nmero de indivduos desta classe

representado por R.

Quanto aos tempos caractersticos de uma doena, podemos ter:

2a) Perodo Latente: o perodo em que o indivduo est infectado

mas no transmite a doena. Este o intervalo de tempo durante o qual o indivduo

permanece no compartimento dos expostos.

b) Perodo Infeccioso: o perodo durante o qual um indivduo in-

feccioso pode passar a doena para um indivduo suscetvel. Este o intervalo de

tempo durante o qual o indivduo permanece no compartimento dos infecciosos.

c) Perodo de Recuperao: o perodo em que o indivduo no

mais infeccioso e nem suscetvel. Se o indivduo se torna imune doena, esse

perodo equivale a todo o resto de sua vida.

Neste trabalho estudaremos modelos de transmisso do vrus da Dengue,

seja com equaes diferenciais (modelos com tempo contnuo) ou equaes a dife-

renas (modelos com tempo discreto), sendo que a este ltimo, acrescentaremos

uma abordagem de rede de mapas acoplados, para representar a movimentao das

populaes tanto de mosquitos quanto de humanos.

1.1 A Dengue

As doenas infecciosas foram as principais causas das mortes durante o

ltimo milnio. A expectativa de vida era frequentemente limitada por recorrentes

epidemias incontroladas. Depois da segunda guerra mundial, com a realizao de

pesquisas em termos de vacinao, antibiticos e melhorias das condies de vida,

pensava-se que as doenas infecciosas fossem desaparecer. Porm, as doenas in-

fecciosas continuam sendo a maior causa de mortalidade ainda hoje em dia (AIDS,

Hepatite, Malria, Febre Amarela, Dengue e outras) (DEROUICH; BOUTAYEB,

2006).

A Dengue uma arbovirose (virose transmitida de um hospedeiro para

outro por meio de um ou mais tipos de artrpodes) causada por um vrus que

transmitido para o homem atravs da picada do mosquito Aedes aegypti, que, por

3ser domiciliado, um dos mais ecientes transmissores da dengue. Conforme Yang,

Ferreira e Ternes (2003), ela possui somente um ciclo epidemiolgico (urbana) e tem

como principais elos o homem (hospedeiro) e o mosquito (vetor) .

A infeco se d da seguinte forma: a fmea do mosquito, suscetvel,

infecta-se com o vrus da dengue quando se alimenta de um indivduo humano in-

fectante (no perodo de viremia - perodo de transmissibilidade que ocorre quando

houver vrus no sangue). Depois o mosquito passa um intervalo de tempo como

infectado mas ainda no infeccioso, perodo este que vai desde a ingesto do sangue

infectado at o momento em que capaz de transmitir o vrus pela sua reaplicao

nas glndulas salivares. Aps esse perodo de incubao, o mosquito torna-se infec-

tante (transmitindo o vrus) at a sua morte, sem nada sofrer e nem sequer apresenta

leses mnimas.

Com relao ao ser humano, quando ummosquito infectante injeta vrus

da dengue no humano suscetvel, durante a sua alimentao, este tambm passar

por um perodo de incubao que em geral varia de 4 a 6 dias (no mnimo 3 dias e

no mximo 10 dias). Passado este perodo, a dengue pode evoluir para sua forma

assintomtica ou para sua forma clssica com febre, mialgias (dores nos msculos

dos ombros, pescoo, testa ou qualquer outro) e artralgias (que a sintomatolo-

gia dolorosa associada a uma ou mais articulaes) e posteriormente o indivduo

desenvolve imunidade especca de longa durao. A dengue pode ainda evoluir

para a forma grave, conhecida como "Dengue Hemorrgica" ou Febre Hemorrgica

da Dengue (FHD) / Sndrome do Choque da Dengue (SCD), que tem sintomas

semelhantes aos da Dengue Clssica, no incio do quadro clnico, porm evolui com

tendncia a hemorragias, dores abdominais intensas, palidez cutnea, pele pegajosa

e fria, agitao, sonolncia, diculdade respiratria, pulso rpido e fraco, podendo

levar o paciente ao choque e morte. O mosquito macho no transmite a doena,

pois alimenta-se da seiva de plantas.

Existem quatro sorotipos da dengue (Den 1, Den 2, Den 3 e Den 4),

sendo que um indivduo infectado por um sorotipo se torna imune para esse sorotipo

4(CIRINO; SILVA, 2004). A dengue apresenta baixa imunidade cruzada (termo em-

pregado quando um anticorpo induzido especicamente para um antgeno A capaz

de reconhecer um antgeno B contra o qual este no foi especicamente gerado),

ocorrem as chamadas infeces secundrias aps a primeira infeco por um deter-

minado sorotipo, entretanto no h evidncias que possa ocorrer uma reinfeco pelo

mesmo sorotipo. Acredita-se que a infeco primria por um dos vrus ocasiona o

quadro clssico da virose, porm ao ocorrer uma reinfeco por outro sorotipo, em

um intervalo inferior a 5 anos, seria ento desencadeado o quadro hemorrgico da

dengue (YANG, 2003).

Neste trabalho, estudaremos um modelo SEIR (Suscetvel, Exposto,

Infeccioso, Recuperado), considerando que um nico sorotipo circula no ambiente.

A dengue a virose urbana mais difundida no mundo. Com exceo

da Europa, ocorre em todos os continentes. uma doena de reas tropicais e

subtropicais, onde as condies do meio ambiente favorecem o desenvolvimento do

mosquito Aedes aegypti.

No Brasil h relatos de provveis epidemias de dengue no incio deste

sculo: em 1916, em So Paulo, e em 1923, em Niteri. Entretanto, a primeira

epidemia documentada clnica e laboratorialmente ocorreu em Boa Vista, Roraima,

em 1982.

A cada ano a doena vem se repetindo no Brasil, onde o maior nmero

de casos se concentra no perodo de chuvas, que a poca em que as condies

ambientais so propcias para o desenvolvimento e proliferao do mosquito vetor.

A partir de 1994, as epidemias tm apresentado maior vulto, espalhando-se para

todas as regies geogrcas.

De acordo com a Secretaria de Estado da Sade de So Paulo, os

primeiros casos de dengue hemorrgica apareceram no Rio de Janeiro em 1990,

com a introduo de um novo sorotipo, o Den 2. Com a disseminao desse sorotipo

para outras regies do pas, infectando pessoas que j haviam contrado a doena an-

5teriormente, foram surgindo casos de dengue hemorrgica em outros estados (Cear,

Esprito Santo, Rio Grande do Norte, Pernambuco e Rio de Janeiro). De acordo

com a Organizao Mundial da Sade (OMS), atualmente, a dengue a arbovirose

mais comum que atinge o homem e estima-se que entre 50 a 100 milhes de pessoas

se infectem anualmente, em mais de 100 pases.

Yang e Ferreira (2008) armam que a erradicao do mosquito (vetor)

atravs de mecanismos de controle tem sido uma estratgia adotada para prevenir

as ocorrncias de surtos de dengue, pois as vacinas contra a dengue ainda no esto

disponveis (encontram-se em fase experimental). Entre essas estratgias, pode-

mos citar a utilizada por Esteva e Yang (2006), que sugere e apresenta um modelo

matemtico para se controlar o mosquito transmissor da dengue, usando uma tcnica

de liberao de mosquitos machos estreis. Outra estratgia ser por ns apresen-

tada e analisada, e consistir em reduzir os acumuladores de ovos dos mosquitos.

1.2 O Nmero Reprodutivo Bsico - R0

O nmero reprodutivo bsico (ou taxa reprodutiva bsica) R0 o

nmero mdio de indivduos diretamente infectados por um indivduo infeccioso du-

rante todo o seu perodo infeccioso, quando ele entra em uma populao totalmente

suscetvel (GIESECKE, 2002).

Um exemplo disso pode ser esquematizado como na Figura 1.1, onde

uma determinada doena levada para dentro do grupo onde indicamos "incio".

Nesta gura, as circunferncias representam indivduos; quando vazias so suscet-

veis; quando preenchidas so infecciosos e o nmero de suscetveis para os quais um

infeccioso passa a doena est indicado no esquema.

Passado um certo tempo, teremos um total de 15 infectados que pe-

garam a doena, atravs de 10 indivduos infecciosos. A mdia de

1510

= 1, 5 indiv-

duos infectados por um indivduo infeccioso implica que R0 = 1, 5.

6Figura 1.1: Esquema de espalhamento de uma infeco na populao durante o

perodo infeccioso.

Se uma doena confere imunidade aps a infeco, ento o nmero de

suscetveis decrescer com o tempo e aumentar o nmero de contatos de pessoas

infecciosas com pessoas imunes. A taxa reprodutiva atual, R, ento decresce com o

espalhamento da infeco mas a taxa reprodutiva bsica R0 no afetada com isto.

A questo : quando poder ocorrer uma epidemia?

Na situao apresentada na Figura 1.1, a mdia foi de que toda pessoa

infecciosa passou a doena para mais do que uma pessoa suscetvel induzindo que

a condio necessria para uma epidemia que R0 seja maior que 1. Assim, existe

trs situaes possveis:

1a) R0 > 1: existir uma epidemia, pois o nmero de indivduos infec-

tados sempre aumentar.

2a) R0 = 1: a doena se tornar endmica, ou seja, permanecer na

meio porm de forma controlada.

73a) R0 < 1: aps um certo tempo a doena desaparecer, j que as

novas ondas de infeco na populao consistiro de menos indivduos do que a

anterior.

No decorrer do trabalho surgiro novos parmetros, cujas denies

sero apresentadas no contexto, conforme a necessidade.

Em nosso trabalho, o captulo 2 ser dedicado descrio da transmis-

so da dengue atravs de um modelo bsico SEIR contnuo, com equaes diferen-

ciais, proposto por Yang et al. (2009). No captulo 3, proporemos e estudaremos

um modelo SEIR discreto, governado por equaes a diferenas baseadas no modelo

contnuo apresentado no captulo 2. No captulo 4, o espao ser includo no modelo

proposto no captulo 3, usando a abordagem de redes de mapas acoplados, onde

incluiremos mobilidade das populaes.

Uma tcnica de controle ser sugerida e analisada no captulo 5, onde

mostraremos que uma retirada de acumuladores de ovos dos mosquitos, em uma rea

parcial do habitat todo que est em situao endmica, pode promover o controle da

doena levando todo o habitat ao equilbrio livre da doena. Concluses e sugestes

para trabalhos futuros sero apresentadas no captulo 6. Complementarmente, al-

guns clculos auxiliares sero apresentados nos apndices.

82 O MODELO BSICO SEIR CONTNUO

PARA A TRANSMISSO DA DENGUE

Modelos contnuos podem ser representados por Sistemas de Equaes

Diferenciais Ordinrias, cuja varivel independente geralmente o tempo, ou por

Sistemas de Equaes Diferenciais Parciais, quando consideramos como variveis

independentes, alm do tempo, as variveis "espao" e/ou possivelmente alguma

outra varivel independente.

2.1 O Modelo

O Modelo Bsico SEIR Contnuo que apresentaremos a seguir aquele

proposto por Yang et al. (2009), constitudo por um sistema de equaes diferenci-

ais ordinrias, cuja varivel independente o tempo. Como o vrus da dengue se

propaga por causa da interao entre a populao humana e a dos mosquitos Aedes

aegypti em reas urbanas, o modelo compartimental modelar a variao de ambas

as populaes. Tambm ser considerada apenas a populao de fmeas pois apenas

elas so hematfagas.

A espcie humana ser dividida em quatro grupos: 1) os Suscetveis,

2) os Expostos (ou Infectados), 3) os Infecciosos e 4) os Recuperados, sendo que

estes ltimos adquirem imunidade aps a recuperao; as populaes desses grupos

sero representadas, respectivamente, pelas letras S, E, I e R.

A espcie de mosquitos tambm ser dividida em 4 grupos: 1) o grupo

que inclui as Fases Ovo, Larva e Pupa que ser denominando como Fase Aqutica,

2) os Suscetveis, 3) os Expostos (ou Infectados) e 4) os Infecciosos, sendo que

estes no se recuperam pois a expectativa de vida do mosquito muito pequena

quando comparada com a do vrus da dengue; as populaes desses grupos sero

representadas, respectivamente, pelas letras A, M1, M2 e M3.

9O modelo bsico SEIR contnuo, que escreveremos abaixo, resulta das

seguintes hipteses e consideraes:

Representando por a taxa de oviposio das fmeas, por k (0 < k < 1)

a frao de ovos viveis (a mortalidade dos ovos est imbutida) que se transformaro

em larvas e sendo f (0 < f < 1) a frao destes que so fmeas, tem-se que kf

a taxa de crescimento intrnseco per capita da populao de mosquitos fmeas

na Fase Aqutica. Considerando que toda a populao de mosquitos fmeas, seja

ela suscetvel, infectada ou infecciosa, contribuem para a oviposio, e sendo C a

capacidade dos criadouros em que os mosquitos colocam seus ovos, conclumos que

kf(M1 +M2 +M3)

(1 A

C

) a taxa de variao da populao A neste compartimento, devida ao seu crescimento

intrnseco.

Para completar a equao diferencial para a populao A(t), acrescen-

tamos dois termos para a taxa de reduo desta populao: um desses termos,

relacionado com o aumento da populao de mosquitos fmea suscetveis, na me-

dida em que ocorre a ecloso das pupas e o outro, relacionado com a mortalidade

na Fase Aqutica (a mortalidade larva/pupa). Considerando que ambas as redues

ocorrem a uma taxa proporcional populao A, e sendo piq e q as constantes de

proporcionalidade respectivas, obtemos a equao diferencial para

dAdtsob a forma

dA

dt= kf(M1 +M2 +M3)

(1 A

C

) (piq + q)A. (2.1)

Conforme comentado anteriormente, a ecloso das pupas, representada

pelo termo piqA, leva ao aumento da populao M1 de mosquitos fmeas suscetveis.

Considerando que

1f a expectativa de vida dos mosquitos fmeas suscetveis, temos

que fM1 a taxa de morte da populao M1. Por outro lado, mosquitos fmeas

suscetveis tornam-se infectados ao picarem humanos infecciosos; supondo que isto

ocorra a uma taxa total mIM1 proporcional a ambas as populaesM1 e I, obtemos,

para a taxa de variao

dM1dtda populao de mosquitos fmeas suscetveis, a seguinte

10

equao diferencial:

dM1dt

= piqA mIM1 fM1. (2.2)

Os mosquitos fmeas suscetveis que picaram humanos infecciosos, deixam

a classe dos suscetveis e vo para a classe M2 dos infectados. Considerando que1f

a expectativa de vida dos mosquitos fmeas infectados (a mesma dos mosquitos

fmeas suscetveis), temos que fM2 a taxa de morte desta populao.

Alm disso, representando por

1o perodo mdio de incubao dos

mosquitos, tem-se que M2 ser a taxa com a qual os mosquitos fmeas infectados

saem desta classe, passando para a classe dos infecciosos. Assim, para a taxa de

variao

dM2dtda populao de mosquitos fmeas infectados, temos

dM2dt

= mIM1 M2 fM2. (2.3)

Alm dos mosquitos que saem do compartimento dos infectados e pas-

sam para o compartimento dos infecciosos a uma taxa M2, supe-se que os mosquitos

infecciosos morram a uma taxa fM3, dado que1fseja a sua expectativa de vida

(a mesma dos mosquitos fmeas suscetveis e tambm dos infectados). Como a po-

pulao de mosquitos fmeas no se recupera, ou seja, eles sempre transmitiro a

doena durante o seu curto perodo de vida (quando comparado com a do vrus da

dengue), a taxa de variao

dM3dtda populao de mosquitos fmeas infecciosos tem

a forma

dM3dt

= M2 fM3. (2.4)

Resta ainda escrever as equaes diferenciais para as taxas de variao

das populaes S, E, I e R da espcie humana.

Como a durao de uma gerao na populao de mosquitos fmea

de alguns dias, enquanto que na populao de humanos de dezenas de anos, esta

muito maior que aquela, o que justica trabalhar com a populao de humanos

constante (N), isto , com a taxa de natalidade per capita igual de mortalidade

11

per capita (as mortes so repostas por recm nascidos e

1a expectativa de vida em

cada compartimento).

Representando por N o tamanho da populao total de humanos

(N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)) e por as taxas de nascimento e morte per capita

da populao de humanos suscetveis, e considerando que a populao de humanos,

sejam suscetveis, infectados, infecciosos ou recuperados, todos geram lhos susce-

tveis, de modo que N a taxa de nascimento da populao de humanos e S

a taxa de morte da populao de humanos suscetveis. Por outro lado, os humanos

suscetveis so infectados durante a alimentao dos mosquitos infecciosos. Supondo

que isto ocorra a uma taxa hM3S, que depende da frequncia de picadas dadas nos

humanos suscetveis pelos mosquitos infecciosos, obtemos, para a taxa de variao

dSdtda populao humanos suscetveis, a equao diferencial:

dS

dt= N hM3S S. (2.5)

Os humanos suscetveis que foram picados por mosquitos fmeas infec-

ciosos, deixam a classe dos suscetveis e vo para a classe dos infectados. Por outro

lado, sendo

1o perodo mdio de incubao, temos que E a taxa de humanos

infectados que saem desta classe e passam para a classe dos infecciosos. Lembrando,

ainda, que E a taxa de morte da populao de humanos infectados, obtemos, para

a taxa de variao

dEdtda populao de humanos infectados, a equao diferencial:

dE

dt= hM3S E E. (2.6)

Alm dos humanos que saem do compartimento dos infectados e passam

para o compartimento dos infecciosos a uma taxa E, supe-se que 1seja o perodo

mdio de recuperao, isto , que os humanos infecciosos se recuperem e adquiram

imunidade a uma taxa I. Lembrando, ainda, que I a taxa de morte da popu-

lao de humanos infecciosos, obtemos para a taxa de variao

dIdtda populao de

humanos infecciosos, a equao diferencial:

dI

dt= E I I. (2.7)

12

Ao adquirirem imunidade, os humanos infecciosos saem da classe dos

infecciosos e vo para a classe dos recuperados; e estes, por sua vez, morrem a uma

taxa R. Assim, para a taxa de variao dRdtda populao de humanos recuperados,

temos:

dR

dt= I R. (2.8)

Na Figura 2.1, temos o uxograma deste modelo para a propagao do

vrus da dengue e que corresponde ao seguinte sistema de equaes diferenciais:

Figura 2.1: Fluxograma representando como se d a transmisso do vrus da dengue,

onde na coluna do lado direito temos os compartimentos da populao

de humanos e na coluna do lado esquerdo temos os compartimentos da

populao de mosquitos fmeas.

13

Populao de Mosquitos FmeasdA

dt= kf(M1 +M2 +M3)

(1 A

C

) (piq + q)A, (2.9)

dM1dt

= piqA (mI + f )M1, (2.10)dM2dt

= mIM1 ( + f )M2, (2.11)dM3dt

= M2 fM3. (2.12)

Populao de HumanosdS

dt= N (hM3 + )S, (2.13)

dE

dt= hM3S ( + )E, (2.14)

dI

dt= E ( + )I, (2.15)

dR

dt= I R. (2.16)

Das equaes diferenciais (2.13)-(2.16), podemos vericar que

dS

dt+dE

dt+dI

dt+dR

dt= N (S + E + I +R) = 0,

visto que S + E + I + R = N , conrmando a hiptese de que a populao total de

humanos constante, na escala de tempo em considerao.

As equaes para as populaes S, E, I e R podem ser divididas pela

populao contante N, e assim serem escritas em termos de fraes de indivduos s,

e, i e r que so, respectivamente, suscetveis, expostos (ou infectados), infecciosos e

recuperados, onde para a soma, tem-se:

s+ e+ i+ r = 1, (2.17)

e cada uma delas poder assumir valores no intervalo [0, 1].

O novo sistema a ser considerado , portanto:

14

dA

dt= kf(M1 +M2 +M3)

(1 A

C

) (piq + q)A, (2.18)

dM1dt

= piqA (mi+ f )M1, (2.19)dM2dt

= miM1 ( + f )M2, (2.20)dM3dt

= M2 fM3, (2.21)

ds

dt= (hM3 + )s, (2.22)

de

dt= hM3s ( + )e, (2.23)

di

dt= e ( + )i, (2.24)

dr

dt= i r. (2.25)

sendo que as quatro primeiras foram renumeradas, mas so as mesmas (2.9)-(2.12)

obtidas anteriormente.

As variveis e os parmetros envolvidos neste modelo so todos posi-

tivos. Suas dimenses so as seguintes:

[M1] = [M2] = [M3] = [A] = [C] = [populao de mosquitos ],

[kf] = [piq] = [q] = [f ] = [m] = [] = [] = [] = [t]1,

[h] = [t]1[populao de humanos ]1.

2.2 Equilbrios e Anlise de sua Estabilidade

Em Epidemiologia podemos observar as seguintes situaes:

a) A populao no tem a doena em seu meio e est livre de contra-la (equilbrio

livre da doena);

15

b) A populao pode ter a doena em seu meio, ela pode contra-la, porm a doena

se propaga de maneira controlada aps um certo tempo (equilbrio

endmico);

c) A maioria ou at a totalidade da populao pode ter a doena, e ela se espalha de

maneira muito rpida e incontrolvel atingindo picos que podem voltar

a aparecer periodicamente ou ento depois de um certo tempo vir a ser

controlada.

Dado que um dos principais problemas o de como controlar a trans-

misso da dengue de forma que no ocorram epidemias, estamos interessados em

saber quando e sob que condies o equilbrio livre da doena estvel.

No que segue, identicaremos no nosso modelo epidemiolgico os tipos

de equilbrio acima apresentados.

Considerando o modelo representado pelo sistema (2.18)-(2.25), os pon-

tos de equilbrios so os pontos

(A,M1 ,M2 ,M

3 , s

, e, i, r),

que satisfazem o sistema obtido igualando a zero todas as taxas de variao. Ob-

servamos, entretanto, que, para o estudo da estabilidade dos pontos de equilbrio

deste sistema, podemos trabalhar sem o compartimento dos recuperados r, pois esse

compartimento no inuencia no comportamento dos demais, e de (2.17) poderemos

obter seu valor fazendo r = 1 s e i.

Resolvendo

dA

dt= 0,

dM1dt

= 0,dM2dt

= 0,dM3dt

= 0,ds

dt= 0,

de

dt= 0,

di

dt= 0,

e calculando r a partir de (2.17), encontramos trs pontos de equilbrio que so:

1

o

) O equilbrio S0, que caracterizado pela ausncia de mosquitos e a populao

humana toda suscetvel;

16

2

o

) O equilbrio Sm, que caracterizado por termos a populao de humanos e de

mosquitos coexistindo porm livre de doena; a populao de humanos

toda suscetvel e no existe mosquito infectado (nem infeccioso);

3

o

) O equilbrio Sd, que o nvel endmico, ou seja, as populaes tem a doena no

meio delas, de forma controlada (equilibrada).

No que segue, adotaremos a seguinte sequncia de passos para cada um

dos equilbrios acima mencionados:

- Identicao das populaes de equilbrio em cada compartimento;

- Anlise da estabilidade - para tanto, faremos uso de conhecimentos auxiliares

apresentados nos Apndices A e B; esta anlise levar denio de

parmetros de bifurcao adimensionais, que representaremos por Q0 e

R0;

- Resoluo numrica do sistema, que nos possibilitar acompanhar o comporta-

mento do sistema ao longo do tempo, antes de atingir o equilbrio em

questo; para isto atribuiremos valores convenientes aos parmetros e

s condies iniciais, em cada situao. Nessas condies iniciais, alm

de obedecer a equao (2.17) para a populao de humanos, adotamos

para os mosquitos um nmero de 200 para A(0), e um total de 1000

para a soma M1(0) +M2(0) +M3(0) de mosquitos fmeas adultos.

O mtodo numrico adotado para resolver o sistema (2.18)-(2.25) ser

o de Runge-Kutta de quarta ordem, cujo erro total acumulado de ordem h4. O

passo utilizado foi h = 0, 01. Como ferramenta matemtica, utilizou-se o software

Maple.

17

1

o

) Equilbrio sem mosquitos S0

O equilbrio sem mosquitos (e como consequncia livre da dengue)

dado por

(A;M1 ;M2 ;M

3 ; s

; e; i; r) = (0; 0; 0; 0; 1; 0; 0; 0), (2.26)

ou seja, toda a populao de humanos suscetveis permanece suscetvel por no haver

o vetor, que o elo de ligao entre o vrus da dengue e a populao de humanos.

Linearizando o sistema (2.18)-(2.25) (sem o compartimento dos recupe-

rados) prximo ao ponto de equilbrio S0, temos que a matriz Jacobiana do sistema,

aplicada no ponto de equilbrio (ver equao (A.7) do Apndice A) dada por

JS0 =

piq q kf kf kf 0 0 0piq f 0 0 0 0 00 0 f 0 0 0 00 0 f 0 0 00 0 0 h 0 00 0 0 h 0 00 0 0 0 0

. (2.27)

Para que este ponto de equilbrio seja linearmente estvel, todos os

autovalores do sistema devero ter parte real negativa. Os autovalores j

(j = 1, 2, ..., 7) so as razes do seguinte polinmio caracterstico de grau 7:

P () = (++)(++)(+)(f+)(f)((piqq)(f)kfpiq),

de onde, de imediato, obtemos cinco razes:

1 = ( + ), 2 = (+ ), 3 = , 4 = f e 5 = ( + f ), (2.28)

que so certamente reais e negativas, visto que , , , f e so todas constantes

positivas, e as outras duas razes satisfazem G() = 0, onde

G() = (piq q )(f ) kfpiq = (2.29)= 2 + (piq + q + f )+ fpiq + qf kfpiq.

18

Para analisarmos o sinal dos autovalores do polinmio G() represen-

tado por (2.29) usaremos as condies de Routh-Hurwitz (ver seo B.1 do Apndice

B), que neste caso estabelecem como condies necessrias e sucientes para que as

duas razes de G() = 2 + a1+ a2 tenham parte real negativa:

1

a

) O coeciente do termo linear a1 = (piq+q+f ), deve ser positivo (da equao

(B.3));

2

a

) O termo independente a2 = fpiq+qf kfpiq tambm deve ser positivo (daequao (B.2)).

Observamos que a1 sempre positivo pois piq > 0, q > 0 e f > 0.

O termo independente a2 positivo quando

Q0 < 1,

onde denimos o parmetro adimensional:

Q0 kfpiqf (piq + q)

=kf

f

piq(piq + q)

, (2.30)

que pode ser interpretado como o nmero de descendncia bsico, pois o fator

kff

representa a probabilidade de que ovos colocados pelos mosquitos fmeas sejam

viveis, transformando-se em larvas de mosquitos fmeas durante o seu perodo de

vida, e o fator

piq(piq+q)representa a probabilidade de que um indivduo do comparti-

mento A sobreviva ao perodo "aqutico" e passe para seu estado suscetvel.

PortantoQ0, denido em (2.30), o nmero de descendentes de mosquitos

fmeas que sobrevivem e se tornam mosquitos fmeas suscetveis, e, quando Q0 < 1,

o ponto de equilbrio sem mosquitos assintoticamente linearmente estvel.

Das resolues numricas, apresentamos os grcos obtidos para o com-

portamento das populaes de mosquitos e humanos suscetveis (Figura 2.2), bem

como de mosquitos e humanos infecciosos (Figura 2.3), para valores de parmetros

tais que Q0 < 1.

19

Figura 2.2: Grcos das populaes de mosquitos e humanos suscetveis, da soluo

do sistema (2.18)-(2.25), quando os parmetros so tais que Q0 < 1.

Observamos nas Figuras 2.2 e 2.3, que a populao de mosquitos susce-

tveisM1, mosquitos infecciososM3 e humanos infecciosos i tendem a zero, enquanto

que a populao de humanos suscetveis s tende ao valor mximo 1, o que est de

acordo com as coordenadas do ponto de equilbrio, determinado em (2.26).

Para esses grcos foram adotados os seguintes valores para os parme-

tros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 500, piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 4; f = 0, 4;

= 0, 3; = 0, 4; h = 0, 09; = 0, 6 e = 0, 5 resultando em

Q0 =kfpiq

f (piq + q)= 0, 8000000000 < 1,

e condies iniciais: A0 = 200, M01 = 998, M02 = 0, M

03 = 2, s

0 = 1, e0 = 0, i0 = 0 e

r0 = 0.

Nos grcos obtidos atravs da resoluo numrica do sistema, obser-

vamos que inicialmente h um crescimento do nmero de mosquitos infecciosos M3

e de humanos infecciosos i, e uma reduo no nmero de mosquitos suscetveis M1

e de humanos suscetveis s, mas aps um certo tempo, o comportamento de M3, i,

20

Figura 2.3: Grcos das populaes de mosquitos e humanos infecciosos, da soluo

do sistema (2.18)-(2.25), quando os parmetros so tais que Q0 < 1.

s alterado at que, em t = 200, as populaes de cada compartimento so:

A = 7, 4126 x 1011 ' 0,M1 = 9, 9442 x 10

11 ' 0,M2 = 1, 9357 x 10

168 ' 0,M3 = 7, 3731 x 10

158 ' 0,s = 0, 9999 ' 1,e = 1, 1059 x 10158 ' 0,i = 1, 3271 x 10158 ' 0,r = 3, 76 x 108 ' 0,

o que est muito prximo do ponto de equilbrio calculado.

Podemos concluir que, inicialmente, houve um espalhamento da doena

(epidemia:

didt> 0), infectando aproximadamente 24% da populao de humanos.

Com o passar do tempo, a populao de humanos volta a ser toda suscetvel e, a

doena, passa a ser eliminada do meio. Com relao populao de mosquitos infec-

ciosos que inicialmente tambm cresce, aps passar por um valor mximo, diminui,

21

tendendo a zero com o passar do tempo. A populao de mosquitos suscetveis

tambm desaparece do ambiente aps um certo tempo.

Este ponto de equilbrio, paraQ0 < 1, do tipo a), segundo classicao

no incio desta seo, ou seja, aps um certo tempo (em torno de t = 100 nos

grcos apresentados) a doena no est mais no meio e no se poder contra-la. A

populao de mosquitos foi extino e a populao de humanos toda suscetvel.

Se tomarmos valores de parmetros de tal forma que Q0 > 1, este ponto de equilbrio

seria instvel.

2

o

) Equilbrio Sm com mosquitos mas livre de doena

O equilbrio com mosquitos porm livre da dengue dado por

(A;M1 ;M2 ;M

3 ; s

; e; i; r) =(C

(1 1

Q0

);piqf

C

(1 1

Q0

); 0; 0; 1; 0; 0; 0

),

(2.31)

onde, na populao de humanos, todos so suscetveis e tambm na populao de

mosquitos adultos existem apenas mosquitos suscetveis, ou seja, no h vrus da

dengue circulando no meio.

Para que este ponto de equilbrio exista, ou seja, para que seja biologi-

camente vivel, necessrio que Q0 > 1.

Linearizando o sistema (2.18)-(2.25) (sem o compartimento dos recu-

perados) prximo ao ponto de equilbrio Sm, a matriz Jacobiana JSm (ver equao

(A.7) do Apndice A) neste equilbrio dada por

22

kfpiq

1 1

Q0

f

piq q kfQ0kfQ0

kfQ0

0 0 0

piq f 0 0 0 0 mCpiq

1 1

Q0

f

0 0 f 0 0 0mCpiq

1 1

Q0

f

0 0 f 0 0 00 0 0 h 0 00 0 0 h 0 00 0 0 0 0

.

(2.32)

Para que este ponto de equilbrio seja linearmente estvel, todos os

autovalores do sistema devero ter parte real negativa. Os autovalores j

(j = 1, 2, ..., 7) so as razes do seguinte polinmio caracterstico de grau 7:

P () = ( )H1()H2(), (2.33)

onde

H1() = h1() kfpiqQ0

, (2.34)

H2() = h2() hmC piqf

(1 1

Q0

), (2.35)

com

h1() = (f )(kfpiq

f

(1 1

Q0

) piq q

),

h2() = ( )( f )( )(f ).

Da equao (2.33) temos de imediato um autovalor: 1 = , que real e negativo; os outros seis autovalores correspondem s razes dos polinmios

H1() e H2().

Para vericarmos que o polinmio H1 tem seus autovalores com parte

real negativa, utilizaremos as condies de Routh-Hurwitz e, para mostrarmos que

os autovalores de H2 tambm tem parte real negativa, bastar encontrar condies

para que o termo independente de H2 seja positivo (ver seo B.2 do Apndice B).

23

Autovalores de H1: Podemos escrever H1 sob a forma:

2 + b1+ b2,

onde

b1 = kfpiq

(1 1

Q0

)+ piq + q + f , (2.36)

b2 = kfpiq

(1 2

Q0

)+ f (piq + q). (2.37)

As condies necessrias e sucientes para que as duas razes de H1()

tenham ambas parte real negativa so:

1

a

) O coeciente do termo linear b1, deve ser positivo (da equao (B.3));

2

a

) O termo independente b2 tambm deve ser positivo (da equao (B.2));

Observe que o coeciente b1 sempre positivo, pois Q0 > 1 e os par-

metros k, f , , piq, f e q, so todos positivos.

O termo independente b2 certamente positivo pois, partindo de b2 > 0,

obtm-se:

kfpiq

(2

Q0 1)< f (piq + q)

kfpiqf (piq + q)

(2

Q0 1)< 1

Q0

(2

Q0 1)< 1

Q0 > 1 Ok!!

Autovalores de H2: Como mostrado na seo B.2, basta analisarmos

o termo independente de H2(), que de grau 4, dado por:

a4 = ( + f )f ( + )( + ) hmC piqf

(1 1

Q0

),

24

e, juntamente com os resultados da seo B.2, do Apndice B, conclumos que os

autovalores de H2 so reais e ainda que a4 positivo quando:

( + f )f ( + )( + ) hmC piqf

(1 1

Q0

)> 0

( + f )f ( + )( + ) > hmCpiqf

(1 1

Q0

)

R0 < 1

onde denimos o parmetro adimensional

R0 hmC

piqf

(1 1

Q0

)( + f )f ( + )( + )

, (2.38)

que o nmero reprodutivo bsico do modelo, pois ele o limiar para que este

equilbrio seja ou no estvel.

Portanto, para R0 < 1, os autovalores so negativos.

Para interpretarmos o nmero reprodutivo bsico R0 dado por (2.38),

substituiremos nesta equao m por Nm, onde N a populao de humanos e

assumiremos que um mosquito introduzido dentro de um meio onde, em ambas as

populaes de humanos e de mosquitos, todos so suscetveis.

A expresso (2.38) para R0 pode ser reescrita sob a forma

R0 =

+ f

Mhf

+

Nm +

,

onde

M =M1 =piqfC

(1 1

Q0

),

pois, ao introduzirmos um mosquito infeccioso em um meio onde todos so susce-

tveis (M = M1 para os mosquitos e s = 1 para os humanos), este mosquito pica

um nmero mdio de

Mhfhumanos suscetveis durante o seu perodo infeccioso, que

igual a

1f. Estes humanos, agora expostos, sobrevivem ao perodo de incubao

com probabilidade

+, e ento, quando infecciosos, so picados por mosquitos sus-

cetveis numa mdia de

Nm+, durante seu perodo infeccioso. A probabilidade desses

mosquitos expostos sobreviverem o perodo de incubao e se tornarem infecciosos

25

dada por

+f. Portanto, conclumos que, para termos um caso efetivo da transmis-

so do vrus da dengue, necesssrio que um mosquito infectado pique um humano

suscetvel, tornando o humano infeccioso (aps passar pelo perodo de incubao),

e este, por sua vez, seja picado por um mosquito suscetvel, tornando o mosquito

infeccioso (tambm aps passar pelo perodo de incubao).

Assim, para Q0 > 1 e R0 < 1, o equilbrio livre da doena assinto-

ticamente linearmente estvel.

Das resolues numricas, apresentamos os grcos obtidos para o com-

portamento das populaes de mosquitos e humanos suscetveis (Figura 2.4), bem

como de mosquitos e humanos infecciosos (Figura 2.5), para valores de parmetros

tais que Q0 > 1 e R0 < 1.

Figura 2.4: Grcos das populaes de mosquitos e humanos suscetveis em diferen-

tes tempos, da soluo do sistema (2.18)-(2.25), quando os parmetros

so tais que Q0 > 1 e R0 < 1.

Observamos nas Figuras 2.4 e 2.5 que a populao de mosquitos e hu-

manos infecciosos, M3 e i, tendem a zero, enquanto que a populao de humanos

suscetveis s tende ao valor unitrio e a populao de mosquitos suscetveis M1

tende a um valor constante no nulo, o que est de acordo com o ponto de equilbrio

determinado em (2.31).

26

Figura 2.5: Grcos das populaes de mosquitos e humanos infecciosos em diferen-

tes tempos, da soluo do sistema (2.18)-(2.25), quando os parmetros

so tais que Q0 > 1 e R0 < 1.

Esses grcos correspondem aos seguintes valores dos parmetros:

k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 500, piq = 0, 8; q = 0, 3; m = 0, 3; f = 0, 4;

= 0, 3; = 0, 4; h = 0, 1; = 0, 6 e = 0, 5 resultando em

Q0 =kfpiq

f (piq + q)= 1, 047272727 > 1

e

R0 = 0, 9672618983 < 1,


03 = 2, s

0 = 1, e0 = 0, i0 = 0 e

r0 = 0.

O ponto de equilbrio Sm dado por (2.31) e, substituindo os valores dos

parmetros utilizados na construo dos grcos, encontramos os seguintes valores:

(A;M1 ;M2 ;M

3 ; s

; e; i; r) = (22, 56944430; 45, 13888860; 0; 0; 1; 0; 0; 0).

Nos grcos obtidos atravs da resoluo numrica, observamos que

inicialmente h um crescimento no nmero de mosquitos e de humanos infecciosos,

e uma reduo no nmero de mosquitos e humanos suscetveis, mas para t ' 20,

27

o comportamento de M3, i, alterado at que em t = 600, as populaes de cada

compartimento so:

A = 22, 5694,

M1 = 45, 1356,

M2 = 0, 0019 ' 0,M3 = 0, 0015 ' 0,s = 0, 9996 ' 1,e = 0, 0001 ' 0,i = 0, 0001 ' 0,r = 0, 0001 ' 0,

o que est muito prximo do ponto de equilbrio calculado a partir de (2.31).

Podemos concluir que, inicialmente, houve um espalhamento da doena

(epidemia:

didt> 0), infectando aproximadamente 24% da populao de humanos.

Com o passar do tempo, a populao de humanos volta a ser toda suscetvel en-

quanto, a doena, passa a ser eliminada do meio. O mesmo acontece com a populao

de mosquitos que, inicialmente, passa a ter um nmero considervel de infecciosos e,

aps passar por um valor mximo, diminui, tendendo a zero com o passar do tempo,

sendo que a de suscetveis diminui, mas permanece no ambiente.

Este ponto de equilbrio para Q0 > 1 e R0 < 1 tambm do tipo a)

segundo a classicao no incio desta seo 2.2, ou seja, aps um certo tempo, a

doena no est mais no meio, pois tem-se apenas mosquitos e humanos suscetveis,

e no h mais a possibilidade de contrair a doena.

28

3

o

) Equilbrio Endmico Sd

O equilbrio endmico, representado por

(A;M1 ;M2 ;M

3 ; s

; e; i; r), (2.39)

constitudo por todos os compartimentos contendo um valor no nulo e pode ser

escrito da seguinte forma

A = C(1 1

Q0

),

M1 =( + f )f ( + )( + )

hm[1 (+)(+)

i] ,

M2 =f ( + )( + )i

h[1 (+)(+)

i] ,

M3 =( + )( + )i

h[1 (+)(+)

i] , (2.40)

s = 1 ( + )( + )

i,

e = +

i,

i =R0 1

mf

+R0(+)(+)

,

r = 1 s e i.

Observe que este equilbrio existe (isto , biologicamente vivel) so-

mente quando Q0 > 1 e R0 > 1.

Quanto estabilidade deste equilbrio, o polinmio caracterstico

mostrou-se bastante complicado e, por isso, vericamos apenas atravs de simulaes

numricas que, para Q0 > 1 e R0 > 1, este equilbrio endmico assintoticamente

linearmente estvel.

Nas Figuras 2.6, 2.7 e 2.8 apresentamos os grcos das populaes de

mosquitos e de humanos suscetveis - M1(t) e s(t) - e infecciosos - M3(t) e i(t) -

obtidos atravs da resoluo numrica do modelo, usando valores para os parme-

tros, tais que Q0 > 1 e R0 > 1. Nas Figuras 2.7 e 2.8, o grco direita apenas

29

uma ampliao daquele esquerda, para melhor visualizao do que ocorre para

t pequeno. Nestes grcos, observamos que as populaes de mosquitos e de hu-

manos, tanto infecciosos quanto suscetveis, tendem a valores constantes no nulos.

A populao em cada compartimento tende ao valor do ponto de equilbrio.

Na Figura 2.6, podemos observar que a populao de mosquitos sus-

cetveis permanece no meio, apesar de diminuir inicialmente e que a populao de

humanos suscetveis, apesar de diminuir inicialmente, volta a crescer, tendendo a

um valor constante no nulo. Nas Figuras 2.7 e 2.8 observamos, inicialmente, que

as populaes de mosquitos M3(t) e humanos i(t) infecciosos crescem muito rapi-

damente ocorrendo epidemia (

didt> 0) e que, aps passarem por valores mximos,

diminuem, tendendo a valores constantes no nulos, ou seja, a doena permanece no

meio, de forma controlada.

Figura 2.6: Grcos das populaes de mosquitos e humanos suscetveis, da soluo

do sistema (2.18)-(2.25), quando os parmetros so tais que Q0 > 1 eR0 > 1.

Para esses grcos foram adotados os seguintes valores para os parme-

tros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 500, piq = 0, 8; q = 0, 3; m = 0, 8; f = 0, 4;

= 0, 3; = 0, 4; h = 0, 6; = 0, 6 e = 0, 5 resultando em

Q0 =kfpiq

f (piq + q)= 1, 047272727 > 1

30

Figura 2.7: Grcos da populao de mosquitos infecciosos, da soluo do sistema

(2.18)-(2.25), quando os parmetros so tais que Q0 > 1 e R0 > 1.

e

R0 = 15, 47619038 > 1,


03 = 2, s

0 = 1, e0 = 0, i0 = 0 e

r0 = 0.

As componentes do ponto de equilbrio Sd so dadas por (2.40) que,

para os valores dos parmetros correspondentes aos grcos traados nas Figuras

2.6, 2.7 e 2.8, fornecem:

A = 22, 5694,

M1 = 30, 4529,

M2 = 8, 3920,

M3 = 6, 2940,

s = 0, 0958,

e = 0, 3617,

i = 0, 2411,

r = 0, 3014,

31

Figura 2.8: Grcos da populao de humanos infecciosos, da soluo do sistema

(2.18)-(2.25), quando os parmetros so tais que Q0 > 1 e R0 > 1.

os quais, considerando 4 casas decimais, esto bem prximos dos valores:

A = 22, 5695,

M1 = 30, 4529,

M2 = 8, 3920,

M3 = 6, 2940,

s = 0, 0957,

e = 0, 3616,

i = 0, 2411,

r = 0, 3014,

obtidos em t = 300.

Este ponto de equilbrio para Q0 > 1 e R0 > 1 do tipo b) na classi-

cao apresentada no incio desta seo 2.2, pois parte da populao de suscetveis

contraiu a doena e, depois de um certo tempo, permanceram controladas, tendendo

a um valor constante no nulo.

32

2.3 Adimensionalizando o Modelo

Adimensionalizar um modelo signica encontrar os parmetros adimen-

sionais relevantes do sistema, os quais em geral so combinaes adequadas dos

parmetros dimensionais do modelo original.

Existem vrias maneiras de adimensionalizar um modelo. Nesta seo

mostraremos uma das possveis adimensionalizaes do modelo (2.18)-(2.25). Para

isso, comeamos por identicar as unidades das variveis e dos parmetros envolvidos

neste modelo, como segue:

[M1] = [M2] = [M3] = [A] = [C] = [populao de mosquitos ],

[kf] = [piq] = [q] = [f ] = [m] = [] = [] = [] = [t]1,

[h] = [t]1[populao de humanos ]1.

As variveis s, e, i, r so propores na populao total de humanos,

tais que s + e + i + r = 1, ou seja, cada uma destas propores adimensional e

pertence ao intervalo [0, 1].

Se denirmos como nova varivel independente, um tempo adimensional

, onde

t kf piqf

, (2.41)

e como novas variveis dependentes, as populaes adimensionais a, m1, m2, m3,

onde

a A h(piq + q

), (2.42)

m1 M1 h(piq + q)

fpiq, (2.43)

m2 M2 h(piq + q)

fpiq, (2.44)

m3 M3 h(piq + q)

fpiq, (2.45)

33

alm de s, e, i, r, que j so adimensionais, obtm-se o seguinte sistema adimensional:

da

dt= (m1 +m2 +m3) (1 P1a) 1

Q0a, (2.46)

dm1dt

= P2a (P3i+ P2)m1, (2.47)dm2dt

= P3m1i (P4 + P2)m2, (2.48)dm3dt

= P4m2 P2m3, (2.49)

ds

dt= P5 (P6m3 + P5)s, (2.50)

de

dt= P6m3s (P7 + P5)e, (2.51)

di

dt= P7e (P8i+ P5)i, (2.52)

dr

dt= P8i P5r. (2.53)

que envolvem os 9 seguintes parmetros adimensionais:

Q0 1(piq + q)

, (2.54)

P1 (piq + q)hC

, (2.55)

P2 f, (2.56)P3 m, (2.57)P4 , (2.58)P5 , (2.59)P6 piq

f(piq + q), (2.60)

P7 , (2.61)P8 , (2.62)

onde

fkfpiq

.

Neste modelo o nmero de parmetros diminuiu, mas no de forma

signicativa, pois passamos de 13 para 9 parmetros.

34

Cabe observar que o parmetro adimensional Q0 em (2.54) o mesmo

previamente denido em (2.30) na seo 2.2, quando estudamos os equilbrios do

modelo dimensional.

Provavelmente exista outra adimensionalizao que evidencie, alm de

Q0, tambm R0 denido em (2.38), como um parmetro relevante do modelo.

35

3 O MODELO SEIR DISCRETO PARA A

TRANSMISSO DA DENGUE

A primeira parte deste captulo ser dedicada construo do seguinte

modelo discreto para a transmisso da dengue:

At+1 = ekf[M t1e

kfC

At +M t2ekf

CAt +M t3e

kfC

At]+ (1 q)Atepiq , (3.1)

M t+11 = (1 q)(1 epiq)At + (1 f )M t1emIt

, (3.2)

M t+12 = (1 f )(1 emIt

)M t1 + (1 f )M t2e, (3.3)

M t+13 = (1 f )(1 e)M t2 + (1 f )M t3, (3.4)

St+1 = N + (1 )StehMt3 , (3.5)

Et+1 = (1 )(1 ehMt3)St + (1 )Ete, (3.6)

I t+1 = (1 )(1 e)Et + (1 )I te, (3.7)

Rt+1 = (1 )(1 e)I t + (1 )Rt. (3.8)

Aps justicar cada uma das equaes a diferenas (3.1)-(3.8) em cor-

respondncia com cada uma das equaes diferenciais do sistema (2.18)-(2.25), in-

vestigaremos os comportamentos descritos pelas equaes do sistema discreto.

36

A seguir justicaremos a construo deste modelo discreto, onde a

taxa per capita de natalidade e de mortalidade da populao humana, f a taxa

per capita de mortalidade da populao de mosquitos e q a taxa per capita de

mortalidade da populao do compartimento A.

Uma vez discretizado no tempo, iremos no prximo captulo introduzir

no modelo o espao tambm discretizado, para ento implementar computacional-

mente a rede de mapas acoplados assim obtida. Nosso objetivo agora o de com-

parar o comportamento do sistema resultante do modelo em tempo discreto sem

distribuio espacial com aquele que resulta do modelo com tempo e espao discre-

tos.

3.1 Construo do Modelo

O compartimento A - Fase Aqutica

Na equao para

dAdtdo sistema contnuo, temos a expresso:

kfM1

(1 A

C

)+ kfM2

(1 A

C

)+ kfM3

(1 A

C

)

(piq + q)A (3.9)

cujos trs primeiros termos so contribuies do tipo "modelo logstico",

cujo termo competitivo proporcional a MiA (i = 1, 2, 3). Usando a

equao (C.8) do Apndice C, podemos escrever, para cada termo do

tipo

kfMi

(1 A

C

)no modelo contnuo, um correspondente termo sob a forma

ekfM ti e kf

CAt(3.10)

no modelo discreto.

O termo (3.10) representa a populao do compartimento A (fases

ovo, larva e pupa) que "nasce" na gerao t + 1 tendo por progeni-

tor mosquitos fmeas do compartimento Mi.

37

Ao ltimo termo da equao (3.9), a saber, (piq + q)A, corresponder

a um termo (1 q)Atepiq no modelo discreto, pois (1 q)At apopulao da fase A da gerao t que sobreviveu para a gerao t + 1

e que, multiplicada por um fator epiq (usando a equao (C.4), do

Apndice C), representa a populao que continuar no compartimento

A na prxima gerao, sendo piq um parmetro positivo.

Assim, a equao discreta, que corresponde equao (3.10) contnua,

para o compartimento A na gerao t+ 1 dada por

At+1 = ekf[M t1e

kfC

At +M t2e kf

CAt +M t3e

kfC

At]+ (1 q)Atepiq(3.11)

que a equao a diferenas (3.1).

O compartimento M1 - Mosquitos Suscetveis

Como epiq a frao que ca no compartimento A na gerao seguinte,

temos que (1epiq) ser a frao que deixa o compartimento A. Ento,a quantidade (1 q)(1 epiq)At representa, da populao que deixao compartimento A, a parte que se torna mosquitos fmeas jovens, ou

seja, passam a pertencer ao compartimento M1.

Enquanto esses mosquitos "entram" no compartimento M1, uma quan-

tidade de mosquitos fmeas adultos sobreviventes da gerao t tornam-

se infectados ao picarem humanos infecciosos. O termo que representa

essa passagem de mosquitos suscetveis para mosquitos infectados

dado por (1 f )M t1emIt (ver equao (C.12), do Apndice C), ondeemI

trepresenta a frao da populao que ca no compartimentoM1,

sendo m um parmetro positivo.

Assim, a equao discreta para o compartimento M1 na gerao t+1

dada por

M t+11 = (1 q)(1 epiq)At + (1 f )M t1emIt

(3.12)

38


O compartimento M2 - Mosquitos Expostos ou Infectados

A quantidade (1 f )(1 emIt)M t1 representa, da populao quedeixa o compartimento M1, a parte que se torna mosquitos fmeas in-

fectados, ou seja, passam a pertencer ao compartimento M2. Enquanto

esses mosquitos "entram" no compartimento M2, uma quantidade de

mosquitos fmeas adultos sobreviventes da gerao t tornam-se infec-

ciosos, passado o perodo de incubao. O termo que representa essa

passagem de mosquitos infectados para mosquitos infecciosos dado

por (1f )M t2e (usando a equao (C.4), do Apndice C), onde e

representa a frao da populao que ca no compartimento M2, sendo

um parmetro positivo.


dada por

M t+12 = (1 f )(1 emIt

)M t1 + (1 f )M t2e (3.13)


O compartimento M3 - Mosquitos Infecciosos

A quantidade (1f )(1e)M t2 representa, da populao que deixa ocompartimento M2, a parte que se torna mosquitos infecciosos, ou seja,

passam a pertencer ao compartimento M3. Enquanto esses mosquitos

"entram" no compartimento M3, uma quantidade de mosquitos fmeas

adultos sobreviventes da gerao t continuam na gerao t+ 1, pois os

mosquitos infecciosos no se recuperam, ou seja, transmitem a doena

durante todo o seu perodo de vida.


dada por

M t+13 = (1 f )(1 e)M t2 + (1 f )M t3 (3.14)


39

O compartimento S - Humanos Suscetveis

Considerando a equao diferencial para a populao de humanos sus-

cetveis do modelo contnuo, dada por

dS

dt= N (hM3 + )S (3.15)

a equao a diferenas para St+1 ter um termo N (N igual soma

St + Et + I t + Rt que se mantm constante) representando o nasci-

mento de novos indivduos na gerao t + 1 (esses recm nascidos no

se infectam).

De forma anloga ao que foi feito com a populao de mosquitos, o

ltimo termo da equao (3.15), dado por (hM3 + )S, substitudo

pelo termo (1 )StehMt3 , onde (1 )St a populao do com-partimento S da gerao t que sobrevive para a gerao t + 1, que

multiplicado pelo fator ehMt3representa a populao que continuar

suscetvel para a prxima gerao. Sendo h um parmetro positivo, o

fator ehMt3modela o contato com mosquitos infecciosos e representa

a frao da populao que ca no compartimento S.

Assim, a equao discreta para o compartimento S na gerao t+ 1

dada por

St+1 = N + (1 )StehMt3 (3.16)


O compartimento E - Humanos Expostos ou Infectados

A quantidade (1)(1ehMt3)St representa, da populao que deixao compartimento S, a parte que se torna humanos infectados, ou seja,

passam a pertencer ao compartimento E. Enquanto esses humanos "en-

tram" no compartimento E, uma quantidade de outros sobreviventes

da gerao t tornam-se infecciosos, passado o perodo de incubao. O

termo que representa essa passagem de infectado para infeccioso dado

40

por (1 )Ete, onde e representa a frao da populao que cano compartimento E, sendo um parmetro positivo.

Assim, a equao discreta para o compartimento E na gerao t + 1

dada por

Et+1 = (1 )(1 ehMt3)St + (1 )Ete (3.17)


O compartimento I - Humanos Infecciosos

A quantidade (1 )(1 e)Et representa, da populao que deixao compartimento E, a parte que se torna humanos infecciosos, ou seja,

passam a pertencer ao compartimento I. Enquanto esses humanos "en-

tram" no compartimento I, uma quantidade (1 )I te de humanossobreviventes da gerao t se recuperam, aps passarem pelo perodo

infeccioso, onde e representa a frao da populao que ca no com-

partimento I, sendo um parmetro positivo.

Assim, a equao discreta para o compartimento I na gerao t+ 1

dada por

I t+1 = (1 )(1 e)Et + (1 )I te


O compartimento R - Humanos Recuperados

A quantidade (1 )(1 e)I t representa, da populao que deixa ocompartimento I, a parte que se torna humanos recuperados, ou seja,

passam a pertencer ao compartimento R. Enquanto esses humanos

"entram" no compartimento R, uma quantidade (1)Rt de humanossobreviventes da gerao t continuam na gerao t + 1, pois eles se

tornam imunes ao tipo de vrus adquirido.

Assim, a equao discreta para o compartimento R na gerao t+ 1

dada por

Rt+1 = (1 )(1 e)I t + (1 )Rt

41


Assim que, da interao entre mosquitos e humanos, construmos o

modelo discreto para a transmisso da dengue constitudo pelas equaes (3.1)-

(3.8). Observamos que, assim como das equaes (2.22)-(2.25) do modelo contnuo

tnhamos S+E+ I +R constante, agora temos (3.5)-(3.8) que St+1+Et+1+ I t+1+

Rt+1 = St+Et+I t+Rt, conrmando que a populao total de humanos constante.

Vericamos que esse modelo satisfaz propriedades bsicas de qualquer

modelo epidemiolgico, a saber:

- Na ausncia de mosquitos, uma populao de humanos, onde todos so suscetveis,

deve permanecer suscetvel (sem doena);

- Uma populao de mosquitos, onde nenhum infectado, em uma populao de

humanos suscetveis, deve permanecer suscetvel (sem doena);

- Dada inicialmente uma populao de mosquitos suscetveis, aos quais se acres-

centam alguns infecciosos e, uma populao de humanos onde todos

so suscetveis, se no houver contato entre humanos e mosquitos, a

populao de humanos deve permanecer suscetvel (sem doena);

- Dada inicialmente uma populao de mosquitos todos suscetveis e uma populao

de humanos onde alguns so infecciosos, se no houver contato entre

humanos e mosquitos, a doena desaparecer do ambiente.

3.2 Equilbrios do Sistema

Nesta seo apresentaremos grcos que nos mostram a presena de

transientes nas primeiras geraes, e depois, o sistema se aproxima de diferentes

pontos de equilbrio estveis do sistema (3.1)-(3.8), dependendo dos valores dos

parmetros e das condies iniciais.

42

Neste trabalho no faremos uma abordagem analtica para o modelo

discreto por ele ser um modelo constitudo de muitas equaes e parmetros, o que

dicultaria a anlise dos pontos de equilbrios, e tambm por nosso objetivo ser o

de construir um modelo discreto que modele a transmisso da dengue para, no

prximo captulo, anexar a este modelo discreto o espao, atravs de uma rede de

mapas acoplados.

Para uma abordagem analtica de um sistema constitudo por equaes

a diferenas (sistema discreto), encontramos em Keshet-Edelstein (1988) as Condies

de Jury, que so condies necessrias para que os autovalores i (i = 1, ..., 8) da

matriz jacobiana do sistema linearizado sejam tais que |i| < 1. Essas condiesenvolvem os parmetros do sistema, e determinam regies no espao de parmetros,

nas quais os autovalores satisfazem |i| < 1 e, como consequncia, nos levaro estabilidade do equilbrio considerado.

No que segue, apresentaremos resultados escolhidos entre inmeras si-

mulaes do modelo (3.1)-(3.8), das quais selecionamos uma situao especca para

cada tipo de equilbrio obtido. Utilizamos o software Maple para simulaes.

Como condies iniciais, mantivemos as mesmas populaes totais, con-

sideradas na seo 3.2, e os parmetros foram ajustados convenientemente de modo

a exibir o equilbrio desejado. Desses parmetros, xamos k, f , , C, piq, q, f , ,

, e e analisamos a inuncia no sistema variando as taxas de contato m e h.

Cabe esclarecer que os equilbrios encontrados so sempre estveis para

os valores atribudos aos parmetros em cada caso, visto que equilbrios atratores

so equilbrios estveis do sistema.

43

a) Equilbrio Livre da Doena, com populao inicial de mosquitos infec-

ciosos

Considerando as seguintes condies iniciais: A0 = 240.100, M01 =

480.200, M02 = 0, M03 = 6, E

0 = I0 = R0 = 0 e S0 = 1.200.500 e o

conjunto de parmetros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 1.200.500,

piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 000001; f = 0, 4; = 0, 3; = 0, 4;

h = 0, 000001; = 0, 6; = 0, 5.

Figura 3.1: Grcos da populao de mosquitos do modelo discreto ilustrando o

equilbrio livre da doena, as condies iniciais e os valores dos parme-

tros utilizados esto indicados na seo 3.2 a).

Podemos observar, nas Figuras 3.1 e 3.2, o seguinte comportamento:

Inicialmente tanto a populao de mosquitos suscetveis quanto a de

humanos suscetveis se tornam infectadas. Com o passar das geraes,

44

as populaes tanto de mosquitos quanto de humanos infectados e in-

fecciosos tendem a zero; isto acontece pois as taxas de contato h e

m so pequenas, apesar de, inicialmente, termos mosquitos infecciosos

no ambiente; em termos do nmero reprodutivo bsico R0, a situao

seria a de R0 < 1. A populao de humanos suscetveis tende ao valor

total da sua populao, a de mosquitos suscetveis e a populao da

fase aqutica crescem e tendem a um valor constante no nulo. Temos,

portanto, o equilbrio livre da doena com populao inicial de

mosquitos infecciosos.

Este equilbrio tambm foi encontrado no modelo contnuo.

Figura 3.2: Grcos da populao de humanos do modelo discreto ilustrando o equi-

lbrio livre da doena, as condies iniciais e os valores dos parmetros

utilizados esto indicados na seo 3.2 a).

45

b) Equilbrio Livre da Doena, com populao inicial de humanos infec-

ciosos


480.200, M02 = M03 = 0, E

0 = R0 = 0, S0 = 1.200.495 e I0 = 5 e o

conjunto de parmetros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 1.200.500,

piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 000001; f = 0, 4; = 0, 3; = 0, 4;

h = 0, 000001; = 0, 6; = 0, 5.


equilbrio livre da doena, as condies iniciais e os valores dos parme-

tros utilizados esto indicados na seo 3.2 b).

Podemos observar, nas Figuras 3.3 e 3.4, o seguinte comportamento:

Inicialmente tanto a populao de mosquitos suscetveis quanto a de

humanos suscetveis se tornam infectadas. Com o passar das geraes,

46

as populaes tanto de mosquitos quanto de humanos infectados e in-

fecciosos tendem a zero; isto acontece pois as taxas de contato h e

m so pequenas, apesar de, inicialmente, termos casos de humanos

infecciosos no ambiente; em termos do nmero reprodutivo bsico R0,

tambm a situao seria a de R0 < 1. A populao de humanos susce-

tveis tende ao valor total da sua populao, a de mosquitos suscetveis

e a populao da fase aqutica crescem e tendem a um valor constante

no nulo. Temos, portanto, o equilbrio livre da doena com po-

pulao inicial de humanos infecciosos.


lbrio livre da doena, as condies iniciais e os valores dos parmetros

utilizados esto indicados na seo 3.2 b).

47

Cabe ressaltar que o comportamento do sistema, para essas condies

iniciais, com populao inicial de humanos infecciosos, foi semelhante

ao do item anterior (item a)), quando tomamos populao inicial de

mosquitos infecciosos.

c) Equilbrio Endmico, com populao inicial de mosquitos infecciosos


480.200, M02 = 0, M03 = 6, S

0 = 1.200.500 e E0 = I0 = R0 = 0 e o

conjunto de parmetros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 1.200.500;

piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 4; f = 0, 4; = 0, 3; = 0, 4; h = 0, 6;

= 0, 6; = 0, 5.


equilbrio endmico, as condies iniciais e os valores dos parmetros

utilizados esto indicados na seo 3.2 c).

48


lbrio endmico, as condies iniciais e os valores dos parmetros utiliza-

dos esto indicados na seo 3.2 c).

Nas Figuras 3.5 e 3.6, as populaes se comportam da seguinte maneira:

A populao da fase aqutica, assim como a populao de mosquitos in-

fectados e infecciosos, crescem e tendem a um valor constante no nulo;

a populao de mosquitos suscetveis inicialmente diminui e, depois de

algumas geraes, volta a crescer, tendendo a um valor de equilbrio.

A populao de humanos suscetveis diminui at atingir um equilbrio e

a populao de humanos infectados e infecciosos, crescem inicialmente,

ocorrendo epidemia (I t+1 > I t) e, aps atingirem um valor mximo,

diminuem, tendendo a um valor constante no nulo. Como consequn-

49

cia, a populao de humanos recuperados tambm cresce e tende a um

valor constante e no nulo.

Como todas as populaes tendem a valores constantes no nulos, re-

conhecemos, portanto, um equilbrio endmico.

Assim, com uma populao inicial de infecciosos, ao aumentarmos a

taxa de contato entre humanos e mosquitos, ou seja, quanto mais hu-

manos os mosquitos picarem, maior a chance de ocorrer epidemia. Em

termos do nmero reprodutivo bsico R0, a situao seria a de R0 > 1.

Este equilbrio tambm foi encontrado no modelo contnuo.

d) Equilbrio Endmico, com populao inicial de humanos infecciosos


480.200, M02 = 0, M03 = 0, S

0 = 1.200.495, E0 = R0 = 0 e I0 = 5 e

o conjunto de parmetros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 1.200.500;

piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 4; f = 0, 4; = 0, 3; = 0, 4; h = 0, 6;

= 0, 6; = 0, 5.

Nas Figuras 3.7 e 3.8, as populaes se comportam da seguinte maneira:

A populao da fase aqutica, assim como a populao de mosquitos in-

fectados e infecciosos, crescem e tendem a um valor constante no nulo;

a populao de mosquitos suscetveis inicialmente diminui e, depois de

algumas geraes, volta a crescer, tendendo a um valor de equilbrio.

A populao de humanos suscetveis diminui at atingir um equilbrio e

a populao de humanos infectados e infecciosos, crescem inicialmente,

ocorrendo epidemia (I t+1 > I t) e, aps atingirem um valor mximo,

diminuem, tendendo a um valor constante no nulo. Como consequn-

cia, a populao de humanos recuperados tambm cresce e tende a um

valor constante e no nulo.

Reconhecemos, portanto, um equilbrio endmico.

50


equilbrio endmico, as condies iniciais e os valores dos parmetros

utilizados esto indicados na seo 3.2 d).

Cabe ressaltar que o comportamento do sistema, para essas condies

iniciais, com populao inicial de humanos infecciosos, foi semelhante

ao do item anterior (item e)), quando tomamos populao inicial de

mosquitos infecciosos. Tambm neste caso, em termos do nmero re-

produtivo bsico R0, a situao seria a de R0 > 1.

51


lbrio endmico, as condies iniciais e os valores dos parmetros utiliza-

dos esto indicados na seo 3.2 d).

Ao variarmos os parmetros h e m no observamos a soluo do sis-

tema tender ao Equilbrio sem Mosquito.

52

4 O MODELO DISCRETO PARA A

TRANSMISSO DA DENGUE COM

MOVIMENTAO POR DIFUSO

UTILIZANDO REDE DE MAPAS

ACOPLADOS

Nos captulos anteriores estudamos modelos de transmisso da Dengue

formados por equaes diferenciais ordinrias, cuja nica varivel independente era

o tempo (captulo 2), e tambm construmos um modelo formado por equaes a

diferenas onde o tempo era contado atravs das geraes (captulo 3). Portanto,

at agora, no consideramos a varivel independente espao; como se o sistema

fosse espacialmente homogneo.

Neste captulo, acrescentaremos a varivel espacial no modelo de trans-

misso da dengue discreto estudado no captulo 3, utilizando as Redes de Mapas

Acoplados em um reticulado (malha, rede) bidimensional 49 49, no qual admi-tiremos que as populaes se movimentam. O meio ser dividido em um reticulado

retangular no qual as populaes so distribudas em stios (patches). Cada stio

identicado por dois ndices (i, j), onde i representa a linha e j representa a coluna

do reticulado.

Conforme Bunimovich (2005) as Redes de Mapas Acoplados foram in-

troduzidas simultaneamente e independentemente por K. Kaneko, R. Kapral e S.

Kuznetsov em 1983 84. A evoluo do sistema descrita em uma escala globala partir de um conjunto de processos locais juntamente com as interaes entre os

diversos stios que compem o domnio.

No nosso estudo, o comportamento ser obtido em uma sequncia de

eventos constitudos, em cada gerao, por duas etapas: a movimentao (disper-

so) e a dinmica vital.

53

4.1 Regras de Movimentao e Condies de Fronteira

Neste trabalho, consideraremos um movimento do tipo difuso, tanto

para a populao de mosquitos quanto para a populao de humanos em um reti-

culado 49 49 (bidimensional).

Quanto ao alcance da movimentao sobre este reticulado, vamos supor

que seja apenas local, isto , entre os vizinhos mais prximos. Se considerarmos a

populao em algum stio (i, j), parte dela ir se movimentar para os stios (i, j+1),

(i, j 1), (i+ 1, j) e (i 1, j), ou seja, em uma vizinhana denida por:

Vi,j {(i, j + 1), (i, j 1), (i+ 1, j), (i 1, j)}, (4.1)

com i = 1, ..., 49 e j = 1, ..., 49.

A populao no stio (i, j) na gerao t aps a movimentao ser dada

pela populao (i, j) na gerao t antes da movimentao, menos a parte da po-

pulao (i, j) que saiu e foi para os stios pertencentes a Vi,j, mais uma parte da

populao dos stios de Vi,j que vem para o stio (i, j).

Somente aps a movimentao, ocorrer a interao entre as populaes

(ao incluirmos a dinmica vital que so: os nascimentos, mortes, contato entre

humanos e mosquitos, entre outros), resultando nas populaes da gerao t+ 1.

Os quadros abaixo representam de forma resumida a movimentao que

ocorre entre os stios.

Nmero de

indivduos no

stio (i, j),

na gerao t,

aps a movi-

mentao

=

Nmero de

indivduos no

stio (i, j),

na gerao

t, antes da

movimen-

tao

-

Nmero de

indivduos que

saem do stio

(i, j) e vo

para os stios

de Vi,j, na

gerao t

+

Nmero de

indivduos

dos stios

de Vi,j que

entram no

stio (i, j) na

gerao t

54

Podemos ainda representar esta movimentao diagramaticamente (ver

Figura 4.1), onde X ti,j uma populao no stio (i, j) na gerao t, antes da movi-

Figura 4.1: Representao da movimentao entre os stios (patches) (i, j) e suavizinhana de acordo com a equao (4.2).

mentao, mostrando que, para a populao Xti,j, aps a movimentao, tem-se:

Xti,j = X

ti,j

4k=1

Sk +4

k=1

Ek, (4.2)

sendo Sk as sadas do stio (i, j) e Ek as entradas no stio (i, j), com k = 1, ..., 4.

Aps a movimentao entre os stios, ocorre a dinmica vital em cada

compartimento, resultando na populao da gerao t + 1. No nosso modelo, a

partir da dinmica vital estabelecida no sistema (3.1)-(3.8), teremos as populaes

da gerao t+ 1 em cada compartimento, como sendo:

55

At+1 = ekf[M

t1 e

kfC

At+M

t2 e

kfC

At+M

t3 e

kfC

At]+ (1 q)Atepiq ,

M t+11 = (1 q)(1 epiq)At + (1 f )M t1 emI

t,

M t+12 = (1 f )(1 emIt)M

t1 + (1 f )M

t2 e

,

M t+13 = (1 f )(1 e)Mt2 + (1 f )M

t3 ,

St+1 = N + (1 )S tehM t3 ,Et+1 = (1 )(1 ehM t3 )S t + (1 )E te,I t+1 = (1 )(1 e)E t + (1 )I te,Rt+1 = (1 )(1 e)I t + (1 )Rt,

onde At, M

t1 , M

t2 , M

t3 , S

t, E

t, I

te R

tso as populaes dos compartimentos

da fase aqutica, dos mosquitos suscetveis, mosquitos infectados, mosquitos infec-

ciosos, humanos suscetveis, humanos infectados, humanos infecciosos e humanos

recuperados, respectivamente, da gerao t, aps a movimentao, calculadas por

uma equao do tipo (4.2).

Para descrevermos a difuso de uma populaoX no reticulado 5151,consideraremos um parmetro de movimentao X , com 0 < X < 1, como sendo

a proporo da populao X de cada compartimento que sai do stio (i, j) e vai para

os stios vizinhos, isto , se o movimento for isotrpico, cada sada Sk ser igual a

X4X ti,j e cada entrada Ek ser igual a

X4da populao do stio de origem.

Assim, para uma populao qualquer X ti,j em algum compartimento,

seja dos mosquitos ou dos humanos, podemos escrever explicitamente os diversos

termos da equao (4.2) como segue:

Xti,j = X

ti,j

X4X ti,j

X4X ti,j

X4X ti,j

X4X ti,j +

+X4X ti+1,j +

X4X ti1,j +

X4X ti,j+1 +

X4X ti,j1,

ou ainda,

Xti,j = (1 X)X ti,j +

X4

(m,l)Vi,j

X tm,l, (4.3)

56

que pode ser ilustrada pelo diagrama da Figura 4.2.

Figura 4.2: Forma mais compacta para a movimentao do tipo difuso entre os

stios, de acordo com a equao (4.3).

Para evitar confuso, chamamos a ateno de que o parmetro X o

parmetro de movimentao, onde X indica a populao cuja movimentao est

sendo considerada. Os demais , que esto envolvidos na dinmica vital do sistema

(q, f e ), so as taxas de mortalidade das populaes da fase aqutica, mosquitos

e humanos.

Para simulaes deste captulo, foram utilizadas Condies de Fron-

teira Reexiva, ou seja, ao chegarem na fronteira, os indivduos so reetidos

para dentro do reticulado, permanecendo, portanto, no interior do domnio. Esta

condio usada, por exemplo, quando as condies de sobrevivncia dos indivduos

forem favorveis dentro do domnio, mas desfavorveis fora dele.

57

4.2 Simulaes

Organizaremos nossas simulaes de modo a investigar como variam os

estados assintticos, medida que variamos as taxas de contato h e m envolvidas.

Para a difuso, utilizaremos parmetros de movimentao para a fase

aqutica A, para os mosquitos fmeas adultos M1 = M2 = M3 , para os humanos

infecciosos I , e para humanos no infecciosos S = E = R. Para a fase aqutica,

manteremos os indivduos estticos, ou seja, A = 0; para os humanos infecciosos,

tambm consideraremos que no se movimentam, isto , I = 0, uma vez que os

doentes devero permanecer em repouso; e para os compartimentos dos mosquitos

fmeas adultos, atribuiremos uma taxa de movimentao M1 = M2 = M3 que

representaremos por m, com valor m = 0, 4, menor do que a dos humanos suscet-

veis, expostos e recuperados S = E = R que representaremos por h, com valor

h = 0, 6.

Para as populaes iniciais em cada stio, consideraremos as mesmas po-

pulaes totais utilizadas no captulo 3, mas distribudas igualmente (exceto no stio

central, que conter os indivduos inicialmente infecciosos - humanos ou mosquitos,

quando existirem) entre os diversos stios do habitat da malha de tamanho 49 49.

Para construirmos a fronteira reexiva, consideramos uma malha de

tamanho 51 51, sendo que em suas bordas (i = 1, i = 51, j = 1 e j = 51) apopulao nula. Portanto, o habitat a ser considerado na dinmica ser o habitat

49 49 proveniente de i = 2, ..., 50 e j = 2, ..., 50. O stio central, considerando asbordas reexivas, o stio (i, j) = (26, 26) na malha 51 51 (ver Figura 4.3).

Na malha 51 51, o nmero de stios nos quais a populao no nula (descontando-se as bordas que mantemos com populao nula) de 49 49=2401stios. Assim sendo, teremos, em cada stio (i, j) 6= (26, 26), as seguintes populaesiniciais:

58

Figura 4.3: Representao da dinmica do sistema, considerando fronteiras reexi-

vas em uma malha de tamanho 51 51.

A0 = 240.100 2401 = 100 indivduos,M01 = 480.200 2401 = 200 indivduos,M02 = 0,

M03 = 0,

S0 = 1.200.500 2401 = 500 indivduos,E0 = 0,

I0 = 0,

R0 = 0.

No stio central (i, j) = (26, 26), teremos para A0, M01 , M02 , E

0e R0, as

mesmas populaes iniciais que aquelas em qualquer stio no central.

59

O stio central aquele que abriga indivduos inicialmente infecciosos.

Se estes forem mosquitos adultos infecciosos, ento neste stio, teremos 6 mosquitos

adicionais:

M03 = 6,

enquanto que S0 e I0 tero os mesmos valores (500 e 0 respectivamente) que nos

demais stios. Se estes forem humanos infecciosos, ento no stio (26, 26), suporemos

que, do total de 500 humanos, 5 sejam infecciosos, isto :

I0 = 5 e S0 = 495,

porque nas nossas simulaes, humanos infecciosos so pessoas que viajaram e,

quando retornaram, estavam infecciosos. As populaes iniciais A0, M01 , M02 , M

03 ,

E0, R0, sero as mesmas que em qualquer stio no central. Vale lembrar que a

populao total dos humanos se mantm constante a cada gerao.

Variando as taxas de contato, a partir das condies iniciais como es-

pecicado acima, e mantendo xos todos os demais parmetros, iremos investigar

qual a evoluo temporal do sistema, em cada um dos stios na estrutura espacial

estabelecida, bem como para qual tipo de equilbrio tende o sistema.

Dois tipos de grcos sero apresentados: 1) grcos das populaes-

soluo ao longo da linha i = 26 (da fase aqutica, dos mosquitos e dos humanos) em

cada compartimento nos stios (26, j), com j = 2, ..50; estes grcos sero traados

em escalas diferentes, sendo que, como ponto mximo do intervalo mostrado no

eixo vertical para cada compartimento, colocamos o maior valor dentre todos os dos

stios considerados. 2) grcos da distribuio das densidades populacionais em todo

o reticulado, em alguns tempos xos, considerando apenas o habitat de tamanho

49 49 que onde ocontece a dinmica do sistema.

60

1. Populao inicial de humanos infecciosos

Neste caso, consideraremos as seguintes condies iniciais:

No stio i = j = 26, as condies iniciais sero: A0 = 100,M01 = 200, M

02 = 0, M

03 = 0, S

0 = 495, E0 = 0, I0 = 5 e R0 = 0,

ou seja, a populao de mosquitos toda suscetvel;

Nos stios restantes, as condies iniciais sero: A0 = 100,M01 = 200, M

02 = 0, M

03 = 0, S

0 = 500, E0 = 0, I0 = 0 e

R0 = 0.

1

o

) Equilbrio Livre da Doena

Considerando as taxas de contato, entre humanos suscetveis e

mosquitos infecciosos e entre mosquitos suscetveis e humanos in-

fecciosos, m e h respectivamente, pequenas, e com os seguintes

valores para os parmetros: k = 0, 8; f = 0, 8; = 0, 9; C = 500;

piq = 0, 5; q = 0, 3; m = 0, 001; f = 0, 4; = 0, 3; = 0, 4;

h = 0, 001; = 0, 6; = 0, 5; espera-se que, apesar de em cada s-

tio termos populaes iniciais de humanos e mosquitos suscetveis

e no stio central humanos infecciosos, como as taxas de contato

m e h so pequenas, a doena no consiga se desenvolver e nem

permanecer no ambiente.

Da Figura 4.4, podemos concluir que a populao do comparti-

mento A, em cada stio, cresce com o passar das geraes e aps

um certo nmero de iteraes (geraes), ela no se altera, ou seja,

ca em estado de equilbrio. O mesmo acontece com a populao

de mosquitos suscetveis (M1), que cresce e permanece inalterada

depois de passar por um nmero de geraes. J a populao

de mosquitos infectados (M2), que cresce inicialmente, depois de-

cresce tendendo a zero. Para a populao de mosquitos infecciosos

(M3), observamos o mesmo comportamento que para os infectados,

61

Figura 4.4: Grcos das populaes dos compartimentos A, M1, M2 e M3 respecti-vamente nos stios (26, j), j = 1, 2, ..., 51, para diferentes geraes compopulao inicial de humanos infecciosos e taxas de contato m = 0, 001e h = 0, 001.

ou seja, cresceu inicialmente e depois decresceu, tambm tendendo

a zero.

Na Figura 4.5, a populao de humanos suscetveis nas primeiras

geraes um pouco menor em torno do stio central (26, 26),

Documents

dissertação sobre epidemia de dengue.pdf