DISSERTAÇÃO Uma abordagem significativa de função no 9º ano

ROSAN MARCOS BAHIA

UMA ABORDAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNÇÃO NO 9º ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

LAVRAS – MG

2013

ROSAN MARCOS BAHIA

UMA ABORDAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNÇÃO NO 9º ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação Profissional em Matemática, área de concentração em Matemática, para a obtenção do título de Mestre.

Orientador

Dr. Osnel Broche Cristo

LAVRAS – MG

2013

Ficha Catalográfica Elaborada pela Coordenadoria de Produtos e Serviços da Biblioteca Universitária da UFLA

Bahia, Rosan Marcos. Uma abordagem significativa de função no 9º ano do Ensino Fundamental / Rosan Marcos Bahia. – Lavras : UFLA, 2013.

55 p. : il. Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de Lavras, 2013. Orientador: Osnel Broche Cristo. Curso de Mestrado Profissional em Matemática. Bibliografia. 1. Ensino de função. 2. Grandezas. 3. Fórmula. 4. Gráfico de

função. I. Universidade Federal de Lavras. II. Título.

CDD – 372.7044

ROSAN MARCOS BAHIA

UMA ABORDAGEM SIGNIFICATIVA DE FUNÇÃO NO 9º ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pós-Graduação Profissional em Matemática, área de concentração em Matemática, para a obtenção do título de Mestre.

APROVADA em 14 de agosto de 2013.

Dr. Jorge Andrés Julca Avila UFSJ

Dra. Rita de Cássia Dornelas Sodré Broche UFLA

Dr. Osnel Broche Cristo Orientador

LAVRAS – MG

2013

Aos meus pais, Sinfrônio e Lázara (in memorian) que sempre lutaram e incentivaram para meu sucesso pessoal e profissional;

Aos meus irmãos, José Aloise, João Francisco e Lenise, pelo apoio incondicional neste momento inesquecível...

DEDICO

AGRADECIMENTOS

À Universidade Federal de Lavras (UFLA) e à Sociedade Brasileira de

Matemática (SBM), pela oportunidade concedida para a realização desse

Mestrado;

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

(CAPES), pela concessão da bolsa de estudos;

Aos professores do Departamento de Matemática da UFLA, pelos

ensinamentos transmitidos e convivência harmoniosa;

Ao professor Dr. Osnel Broche Cristo, pela orientação, paciência,

amizade, dedicação e seus ensinamentos que foram de grande relevância para a

realização deste trabalho;

A todos meus colegas de mestrado, pela amizade, companheirismo e

ensinamentos durante o curso;

A Deus, que me iluminou durante toda essa caminhada, pois sem a sua

vontade eu não alcançaria este objetivo.

“Matemática não é apenas números, e sim envolve letras e toda a capacidade que o ser humano conseguir expressar.”

François Viète

RESUMO

O objetivo principal com este projeto é enfatizar a construção do

conceito de função tendo como base uma abordagem significativa utilizando variação entre grandezas interdependentes por meio de tabelas, padrões, regularidades, gráficos e consequentemente expressar algebricamente essa interdependência. Privilegiando o que é essencial no conceito de função sem chegar à formalização de sua definição matemática neste nível de ensino, visto que no 1º ano do Ensino Médio é que acontece esse aprofundamento. O desenvolvimento do projeto teve como eixo a variação entre grandezas seguindo a sequência: a partir de situação-problema, construir tabelas para obtenção de uma fórmula que relaciona uma grandeza com a outra; em seguida, a partir de situação-problema explorar padrões e regularidades para estabelecer uma fórmula que relaciona duas grandezas; e finalmente, a partir de situação-problema, apresentar o recurso do gráfico como sendo o “retrato” da função que relaciona duas grandezas interdependentes. Neste momento, propõe-se a utilização de um software que gera gráficos de funções a partir de suas fórmulas.

Palavras-chave: Ensino de função. Grandezas. Fórmula. Gráfico de função.

ABSTRACT

This project has as main objective of emphasizing the construction of the function concept based on a significant approach using variance among interdependent quantities through tables, patterns, regularities and graphics, and, consequently, expressing this interdependence algebraically. Focusing on what is essential in the concept of function without formalizing its mathematical definition on this level of education, whereas it is in the first year of high school where this deepening occurs. The development of the project presented as its axis the variance between quantities following the sequence: from the situation/problem, explore patterns and regularities in order to establish a formula which relates two quantities; and, finally, from the situation/problem, present the graphic resource as a “photograph” of the function which relates two interdependent quantities. At this point, we propose the use of a software which generates function graphs from their formulas.

Keywords: Function teaching. Quantities. Formula. Function graph.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Sequência de triângulos formados por palitos de fósforos .............. 37

Figura 2 Gráfico do valor cobrado em relação à horas inteiras de trabalho ... 43

Figura 3 Gráfico do valor cobrado em relação à horas inteiras de trabalho

e suas frações ................................................................................ 44

Figura 5 Tela de definição do intervalo de variação de x e de y .................... 46

Figura 6 Tela inicial da digitação da fórmula da função ............................... 47

Figura 7 Tela de digitação da fórmula da função.......................................... 47

Figura 8 Tela de definição do gráfico com sua cor e seu estilo ..................... 48

Figura 9 Tela com o esboço do gráfico da função v = 15 + 35h.................... 48

Figura 10 Gráfico da área do curral em relação à suas larguras com

medidas inteiras............................................................................. 49

Figura 11 Gráfico da área do curral em relação à suas larguras com

medidas inteiras e suas frações ...................................................... 50

Figura 12 Tela do esboço do gráfico da função A = ℓ2.................................... 51

Figura 13 Gráfico da quantidade de litros de água despejado em relação ao

tempo de abertura da torneira......................................................... 52

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Valor cobrado por horas de trabalho .............................................. 30

Tabela 2 Distância percorrida em relação ao tempo gasto............................. 32

Tabela 3 Área do curral em relação a sua largura ......................................... 34

Tabela 4 Valor cobrado por horas de trabalho ............................................. 43

Tabela 5 Área do curral em relação a sua largura ......................................... 49

Tabela 6 Quantidade de água em relação ao tempo ...................................... 52

LISTA DE SIGLAS

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

MEC Ministério da Educação e Cultura

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PNDL Programa Nacional do Livro Didático

PUC Pontifícia Universidade Católica

SBM Sociedade Brasileira de Matemática

UFLA Universidade Federal de Lavras

UFSJ Universidade Federal de São João Del-Rei

Uni-BH Centro Universitário de Belo Horizonte

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................... 13 2 REFERENCIAL TEÓRICO ............................................................... 15 2.1 Relato histórico do conceito de função................................................ 15 2.2 Movimento da Matemática Moderna.................................................. 19 2.3 Ensino de Matemática no Brasil.......................................................... 23 3 PROPOSTAS DE ATIVIDADES EM SALA DE AULA ................... 27 3.1 Atividade 1: Construindo tabelas por meio da variação entre

grandezas............................................................................................. 29 3.2 Atividade 2: Explorando padrões e regularidades entre grandezas... 36 3.3 Atividade 3: Gráfico: o “retrato” da função que relaciona duas

grandezas............................................................................................. 42 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................... 54 REFERÊNCIAS .................................................................................. 55

13

1 INTRODUÇÃO

A introdução ao estudo de funções é um tópico importante no nível do 9º

ano do Ensino Fundamental, pois a partir do conceito de função e sua aplicação

em várias situações-problema, quer seja na Matemática ou em outra área do

conhecimento, certamente contribuirão para se chegar a uma linguagem

matemática formal no ensino médio para o estudo das diversas funções, bem

como sua contextualização no cotidiano e no amadurecimento do conhecimento

matemático pelos alunos.

A experiência do autor como professor de Matemática, tanto no Ensino

Fundamental como no Ensino Médio, e ainda como monitor da disciplina Estudo

de Funções do Curso de Licenciatura Plena em Matemática do Uni - BH

possibilitou detectar dificuldades em relação ao entendimento do conceito de

função e suas aplicações, visto que vários textos didáticos da (o) 8ª série (9º ano)

do Ensino Fundamental, nível de ensino do primeiro contato formal do aluno

com o conteúdo funções, apresentavam esse conceito de forma abstrata e com

muita formalização matemática desvinculando-o da realidade dos alunos e sem

contextualização na vida prática. Alguns desses textos didáticos, muito

utilizados pelos professores, são: Matemática e Realidade (IEZZI, 1985), A

Conquista da Matemática (CASTRUCCI, 1998), Matemática: Conceitos e

Histórias (PIERO NETTO, 1998) e Matemática Hoje é feita assim (BIGODE,

2002).

Com o presente trabalho objetiva-se abordar a construção do conceito

de função com caráter informal, tendo como base uma abordagem significativa

das variações entre grandezas por meio de sequências de atividades em sala de

aula para os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental.

Os tópicos principais do texto são: Relato Histórico do Conceito de

Função, O Movimento da Matemática Moderna, O Ensino de Matemática no

14

Brasil e Propostas de atividades em sala de aula.O tópico Relato histórico de

função tem como referência a Dissertação de Mestrado em Ensino de

Matemática, Conceito de função: uma abordagem do processo ensino-

aprendizagem, escrita por Nanci de Oliveira em 1997 (OLIVEIRA, 1967).

O tópico Movimento da Matemática Moderna tem como referência o

livro, O fracasso da Matemática Moderna, escrito por Morris Kline e

traduzido por Leônidas Gontijo de Carvalho, em 1976 (KLINE, 1976).

O tópico Ensino de Matemática no Brasil tem como referências os

artigos de revistas: Ensino de Matemática no século XX – da Reforma

Campos a Matemática Moderna escrito por Flávia dos Santos Soares, em

2004 (SOARES, 2004); e Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do

conceito de função escrito por Edna Maura Zuffi, em 2005 (ZUFFI, 2005).

15

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 Relato histórico do conceito de função

Este relato tem como referência a Dissertação de Mestrado em Ensino

de Matemática, Conceito de função: uma abordagem do processo ensino-

aprendizagem, escrita por Nanci de Oliveira, em 1997 (OLIVEIRA, 1997).

Na antiguidade, em 2000 anos a. c., foi época do primeiro estágio da

concepção de função. Entre os babilônios encontram-se tabelas sexagesimais de

quadrados e de raízes quadráticas, de cubos e raízes cúbicas e outras. Ela cita

que na Grécia Antiga encontravam-se notas do aparecimento do conceito de

função na Matemática e nas Ciências Naturais: em métodos práticos e não

formulados, mas comunicados de mestre para aprendiz e que entre os pitagóricos

surge a ideia de função no estudo da interdependência de diferentes quantidades

físicas, como por exemplo, o comprimento e a altura de nota emitida por cordas

da mesma espécie, pinçadas com tensões iguais revelando uma interdependência

inesperada entre número, espaço e harmonia. Mais tarde, durante o período

Alexandrino, os astrônomos desenvolveram uma trigonometria completa de

cordas, correspondendo um círculo de raio fixo e, utilizando teoremas de

geometria e regras de interpolação, calcularam tabelas de cordas, equivalendo

efetivamente às tabelas de seno, colocadas em pelos Hindus séculos mais tarde.

Apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependências funcionais,

o pensamento matemático da Antiguidade não criou nenhuma noção geral nem

de quantidade variável e nem de função, contudo o seu conceito tinha relação

com uma tabela ou uma correspondência entre valores.

Na Idade Média, a primeira vez que a noção de função aparece numa

forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia em Oxford e

Paris, pois até então, cada problema era tratado de maneira isolada e que nestas

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escolas prosperadas no século XIV, alguns matemáticos estudaram fenômenos

como calor, luz, cor, densidade, distância, velocidade, etc. e simultaneamente, a

ideia que as leis quantitativas da natureza eram leis do tipo funcional,

amadurecida pouco a pouco na filosofia.

Na Idade Moderna, Galileu Galilei (1564-1642) deu uma grande

contribuição em relação à evolução da noção de função, introduzindo o

quantitativo nas representações gráficas e seu principal campo de estudo foi o

movimento e, consequentemente, a velocidade, a aceleração e a distância

percorrida. Ela cita que no início do século XVI, os procedimentos algébricos se

restringiam apenas a encontrar os valores desconhecidos numa dada equação

com coeficientes numéricos específicos e que a ideia de se estudar uma equação

geral que representasse uma classe inteira de equações ainda não havia surgido,

e esta ideia básica, de se fazer uma distinção clara entre parâmetros (valores

conhecidos) e variáveis (valores desconhecidos) surgiu com François Viète.

François Viète (1540-1603) usou as vogais para representarem variáveis e

consoantes para representarem parâmetros. De acordo com Youschkevitch

(1981), ficou constatado a importância desta notação que, pela primeira vez,

tornou possível a colocação por escrito sob uma forma simbólica das equações

algébricas e de expressões contendo quantidades desconhecidas e coeficientes

arbitrários (um trabalho que nasceu com VIÈTE) poderia ser subestimada.

Entretanto, VIÈTE, o criador da nova Álgebra, não utiliza sua notável

descoberta para “fazer avançar” o conceito de função.

Com o advento da álgebra simbólica, literal, e ao mesmo tempo, a

extensão correspondente do conceito de número, que no fim do século XVI

abrangia o campo dos números reais, dos números imaginários e complexos,

encontram-se preliminares para a introdução da noção de função numérica como

relação entre dois conjuntos de números.

17

A introdução das funções sob a forma de equações produziu o efeito de

uma revolução no desenvolvimento da Matemática e que a primeira vez que a

palavra “função” aparece num manuscrito foi com Leibniz, em 1673, num

trabalho intitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus.

Segundo Youschkevitch (1981), com Jean Bernoulli (1694-1698)

aparece a primeira definição explícita de função como uma expressão analítica:

chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta de

qualquer maneira que seja desta grandeza variável e constantes.

Euler, no século XVIII, foi figura essencial para o desenvolvimento do

conceito de função. Ele começou por definir noções iniciais, discriminando as

quantidades variáveis das constantes e criou o símbolo f e parênteses para

designar função. Conforme Youschkevitch (1981), entre as várias definições

dadas por Euler, ele cita a seguinte: uma função de uma quantidade variável é

uma expressão analítica composta, de qualquer modo que seja desta quantidade

e números ou quantidades constantes. Euler, discípulo de Bernoulli, na sua

definição de função substituiu a palavra “quantidade” por “expressão analítica”

em relação à definição de Bernoulli e esta definição exerceu uma influência

positiva no desenvolvimento posterior da Matemática.

Em meados do século XIX, as funções já não precisavam ter a forma

“bem comportada” com que os matemáticos estavam acostumados. De acordo

com Boyer (1993), Dirichlet em 1837, sugeriu uma definição muito ampla de

função: se uma variável y esta relacionada com uma variável x de tal modo que,

sempre que é dado um valor numérico para x, existe uma regra segundo a qual

um único valor de y fica determinado, então se diz que y é função da variável

independente x. Esta definição chega perto da noção moderna de uma

correspondência entre dois conjuntos de números, mas os conceitos de

“conjunto” e de “número real” ainda não tinham sido estabelecidos).

18

A Matemática Moderna teve dificuldade em estabelecer a definição

universal de função que não é algorítmica. De acordo com Youschkevitch

(1981) sustenta que: ninguém jamais soube explicar o que é uma função. Mas

uma função é definida por um meio qualquer, podemos associar a um número a

um número b. Dizemos então que b é um valor da função f para o valor a do

argumento.

Por último, em meados do século XX, a filosofia formalista predominou

em textos e publicações matemáticas. De acordo com o Grupo Bourbaki, a

definição de função é a seguinte: sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não.

Uma relação entre uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma relação

funcional em y, ou relação funcional de E em F, se qualquer que seja x ϵ E,

existe um e somente um elemento y ϵ F que esteja associado a x na relação

considerada. Dá-se o nome de função à operação que desta forma associa a todo

elemento x ϵ E o elemento y ϵ F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-

se que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está determinada

pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais equivalentes

determinam a mesma função.

19

É desta época a definição de função como certo subconjunto do produto

cartesiano BxA , o que nada mais é do que a definição de função como um

conjunto de pares ordenados, que segundo Schwarz (1995), é a seguinte: uma

função f de um conjunto A em um conjunto B é um subconjunto do produto

cartesiano BxA , em que a cada a em A associa um único elemento b em B tal

que (a, b) ϵ f. Neste caso, constata-se que a importância está de acordo, não mais

com uma regra de correspondência, mas se resume simplesmente à

correspondência ou uma série de correspondências entre os elementos a ϵ A e b

ϵ B. Por exemplo: sejam A = {0, 2, 4, 6}, B = {1, 2, 3} e a relação f = {(0,1),

(2,2), (4,1), (6,3)}; f é uma função, pois cada elemento de A aparece como

primeiro elemento em somente um par ordenado de f.

2.2 Movimento da Matemática Moderna

20

Este tópico tem com referência o livro, O fracasso da Matemática

Moderna, escrito por Morris Kline e traduzido por Leônidas Gontijo de

Carvalho, em 1976 (KLINE, 1976).

O Movimento da Matemática Moderna teve sua origem relacionada ao

fracassar do ensino de Matemática no princípio da década de 1950, em que as

notas dos estudantes em Matemática eram muito mais baixas que em outras

matérias (áreas do conhecimento), a aversão e até mesmo o pavor do estudante

pela Matemática eram generalizados. Os estudantes quase nada retinham da

matéria que lhes fora ensinada, por exemplo, quando os Estados Unidos

entraram na Segunda Guerra Mundial, os militares logo descobriram que os

homens eram deficientes em Matemática e tiveram que instituir cursos especiais

para elevar-lhes o nível de eficiência. Os grupos que empreenderam essa

reforma concentraram-se no currículo e explicou que, se melhorasse este

componente, o ensino de Matemática seria coroado com êxito. Um fato que

mexeu com a cabeça dos norte-americanos foi quando os russos, em 1957,

lançaram seu primeiro satélite artificial da Terra, o Sputnik. Esse fato convenceu

o governo norte-americano e o país, de que deviam estar atrás dos russos em

Matemática e Ciência, e talvez nessa ocasião muitos grupos decidissem entrar no

negócio de criar um novo currículo. Professores de escolas secundárias e

colégios norte-americanos começaram em fins da década de 1950 a escrever

seus próprios textos dentro das bases dos novos currículos e no começo da

década de 60 surgiu uma avalanche de tais livros seguindo a mesma direção dos

novos currículos e foram, portanto descritos pelo termo de “matemáticos

modernos” (ou “novos matemáticos”), daí a pertinência da origem do termo

Matemática Moderna. A principal mensagem desses "matemáticos modernos”

era que o ensino de Matemática tinha fracassado porque o currículo tradicional

oferecia Matemática antiquada, o que levantava a ideia de que os jovens se

recusavam a aprender a matéria. Contudo esse movimento alegava que devia

21

largar a matéria tradicional em favor dos campos novos como o da álgebra

abstrata, o da topologia, o da lógica simbólica, o da teoria estabelecida e a

álgebra de Boole. Resultou que a reforma oferecia tanto uma nova abordagem

do currículo tradicional quanto do novo conteúdo e, por conseguinte o termo

Matemática Moderna não consiste realmente uma descrição apropriada dos

novos currículos. Kline (1976) tencionou que se considerasse cuidadosamente a

natureza do programa da nova matemática e discutir seus méritos e deméritos.

Era pertinente que se exigia uma reforma do ensino de Matemática, mas há uma

séria questão sobre se o currículo era o mais fraco componente e se devia ter

sido o primeiro. Ele crê que se admitia geralmente que a política do ensino

universal, seguida nos Estados Unidos, é altamente elogiada, mas o país não

estava preparado para levar avante, tal programa, pois não tinham professores

suficientemente habilitados e, portanto o ensino em muitas partes do país se

apresentava lamentavelmente fraco. Se existissem melhores professores, agindo

em conjunto, teriam podido remediar as falhas do currículo tradicional. Como o

professor é, pelo menos, tão importante quanto o currículo, o dinheiro e a

energia dedicada à reforma do currículo poderiam muito bem ser dedicados à

melhoria do professorado.

Uma das grandes críticas ao currículo tradicional era a maneira de como

os estudantes estudavam a Matemática. O estudo era baseado nos processos de

memorização dos conteúdos e provas matemáticas. Alegam os defensores da

Matemática Moderna que, quando a matéria é ensinada logicamente, quando se

revela o raciocínio por trás do método, os estudantes não têm mais que se apoiar

na memorização e então compreenderão a Matemática. A abordagem lógica é

basicamente a que se usa no currículo tradicional para ensinar a geometria na

escola secundária, isto é, começa-se com definições e axiomas, provam-se

dedutivamente as conclusões, denominadas teoremas.

22

Embora essa abordagem tenha sido usada em geometria, não o tem sido

no ensino de aritmética, álgebra e trigonometria. Por conseguinte, no que tange a

esta característica do novo currículo, a mudança primacial está na abordagem

dedutiva dessas últimas matérias. Do ponto de vista da pedagogia matemática,

tem-se naturalmente que protestar contra a apresentação de tais coisas abstratas e

difíceis muito cedo aos alunos e crê que o ensino de matemática, como em tudo

mais, deve seguir a lei fundamental biogenética, segundo a qual o indivíduo, em

seu desenvolvimento, atravessa, numa série abreviada, todas as fases no

desenvolvimento da espécie; pelo menos em geral. Levando em conta a

capacidade natural da juventude, o ensino deveria guiá-la para ideias mais

elevadas e finalmente para formulações abstratas, e ao fazê-lo, deveria seguir a

mesma estrada, ao longo da qual a raça humana tem palmilhado desde seu

estado original e simples até as formas mais elevadas do conhecimento. Na

escola secundária, insistir numa abordagem lógica também engana o aluno, visto

que ele é levado a acreditar que a Matemática foi criada por gênios que

começam com axiomas e raciocinam partindo diretamente dos axiomas para os

teoremas. O estudante, incapaz de funcionar desta maneira se sente humilhado e

confundido, mas o professor obsequioso está inteiramente preparado para

demonstrar o gênio em ação. Pede-se aos estudantes que aprendam conceitos

abstratos na expectativa de que, se os aprenderem, serão automaticamente

compreendidas as realizações concretas. Assim, se um estudante aprende a

definição geral de uma função, presumivelmente compreenderá as funções

específicas com as quais terá de tratar, então se nota que a Matemática Moderna

favorece o abstrato como abordagem para o concreto.

O conteúdo que recebe maior ênfase na Matemática Moderna é a Teoria

dos Conjuntos. Ora, não há dúvida que a palavra “conjunto” é útil, mas, segundo

Kline (1976), o que os estudantes aprendem da Teoria dos Conjuntos é pura

perda de tempo, pois na Matemática Elementar essa teoria não exerce papel de

23

importância. Ele comenta que, na verdade, a Teoria dos Conjuntos pode ser

desorientadora até mesmo no contexto em que afirma ser muito útil, a saber, na

aprendizagem sobre os números. O melhor que os textos modernos podem dizer

sobre a relação de número com a teoria é ser o número uma propriedade ou

nome de um conjunto. Isto em si próprio é tão vago a ponto de ser inútil como

definição de um número inteiro. Um exame crítico dos usos da Teoria dos

Conjuntos nos textos das escolas elementares e “high school”, instituição que

oferece todo ou parte do ensino médio, rejeita a afirmação dos modernistas de

que a Teoria dos Conjuntos unifica a Matemática. Além de usá-la artificialmente

para definir conceitos, nenhum uso significativo é feito do assunto. O assunto

todo é de fato posto de lado e somente o vocabulário sobrevive no

desenvolvimento posterior. Existem, naturalmente, profundos resultados na área

da Teoria dos Conjuntos, mas mesmo os modernistas reconhecem que

ultrapassam a província da Matemática Elementar.

Este Movimento exerceu grande influência, durante a década de 70, nos

autores brasileiros de textos didáticos e no ensino de Matemática no Brasil

conforme o tópico seguinte.

2.3 Ensino de Matemática no Brasil

Este tópico tem como referências os artigos de revistas: Ensino de

Matemática no século XX – da Reforma Campos a Matemática Moderna escrito

por Flávia dos Santos Soares, em 2004 (SOARES, 2004); e Alguns aspectos do

desenvolvimento histórico do conceito de função escrito por Edna Maura Zuffi,

em 2005 (ZUFFI, 2005).

De acordo com Soares (2004), na década de 70, ocorreram mudanças

significativas no ensino de Matemática no Brasil com a chegada do Movimento

24

da “Matemática Moderna”, que fora implantado no Brasil sem nenhum decreto e

isto não impediu que ela fosse amplamente divulgada e adotada em todo país.

Defensores brasileiros do Movimento da Matemática Moderna, tais

como: Osvaldo Sangiorgi e Mário de Oliveira enfatizavam que não se tratava de

ignorar ou descartar a Matemática tradicionalmente ensinada, mas acrescentar

aos currículos certos temas da Matemática Moderna, tais como: o estudo de

conjuntos, conceitos de grupo, anel e corpo, noções de cálculo diferencial e

integral e estatística. Esse movimento exerceu influência de uma forma bem

profunda em toda uma geração de educadores matemáticos brasileiros, dentre

eles vários autores de textos didáticos da década de 60. A adoção da Matemática

Moderna em vários textos didáticos da década de 70 não se mostrou eficaz no

combate aos problemas que o ensino apresentava, pois não atingiu as metas para

unificar o ensino da Matemática, democratizar o ensino e torná-lo mais

acessível.

O movimento da Matemática Moderna acarretou uma maior

formalização da Matemática ensinada nas escolas secundárias e,

consequentemente, um distanciamento das questões práticas.

Com base na experiência mal sucedida com a Matemática Moderna,

alternativas para o ensino de Matemática começaram a surgir no final da década

de 70 tendo sua origem alicerçada em reações contrárias à maneira de ensinar,

que era totalmente dissociada da idade dos alunos a que se direcionavam, bem

como da realidade em que eles estavam inseridos, reforçando assim a

importância de se reavaliar os objetivos da disciplina, mas sem propor soluções

milagrosas e rápidas para o ensino. Essas alternativas foram incorporadas, a

partir da década de 90, oficialmente nas propostas dos Parâmetros curriculares

Nacionais - PCN (BRASIL, 1998) para o ensino de Matemática, tais como:

orientação do pensamento e da organização das situações de ensino-

aprendizagem, privilegiando as chamadas intraconexões das diferentes áreas da

25

Matemática, com uma visão mais integrada e menos compartimentada dessa

disciplina e mostrando que é possível interligar aritmética, geometria e álgebra

numa mesma atividade; valorização das interconexões do ensino da Matemática

com as demais áreas do conhecimento; organização dos conteúdos em espiral e

não de forma linear, desprivilegiando a ideia de pré-requisitos como condição

única para a organização dos mesmos; uso da História da Matemática como

auxiliar na compreensão dos conceitos matemáticos; preocupação não só com o

que ensinar, mas principalmente, com o como ensinar, etc., e conforme

Blumenthal (2000) ganham espaço e passam a ser amplamente divulgados e

implantados no ensino de Matemática como projeto de ensino a nível nacional

pelo MEC.

Essas propostas representam forte motivação para o estudo, com mais

profundidade, das ideias e visões da Matemática e de seu ensino na atualidade.

Nas orientações didáticas dos PCN (BRASIL, 1998) para o 4º ciclo do Ensino

Fundamental, que abrange o 9º ano deste nível de ensino, o assunto “introdução

ao ensino de funções” deve ser feito de modo informal, visto que uma

abordagem excessivamente formal não é adequada para este grau de ensino.

Além disso, é indicado que situações-problema sobre variações de grandezas

fornecem excelentes contextos para desenvolver o conceito de função neste grau

de ensino, determinar a expressão algébrica que representa a relação entre essas

grandezas, bem como esboçar o gráfico cartesiano que representa essa função.

De acordo com o Programa Nacional do Livro Didático - PNDL, Guia

de Livros didáticos de 5ª a 8ª séries (atualmente 6º ao 9º anos do Ensino

Fundamental), sabe-se que o livro didático de Matemática tem tido grande

influência na determinação do saber escolar culturalmente valorizado. Por isso, é

importante que incorpore aquilo que é preconizado pelas novas propostas

curriculares, pelas pesquisas, e estudos concernentes ao ensino dessa área do

conhecimento, que dão indicação sobre formas adequadas de promover uma

26

aprendizagem mais significativa para os alunos. Embora alguns textos tenham

atendido a essas recomendações, muitos livros didáticos, em sucessivas edições,

mesmo introduzindo mudanças, ainda mantém um descompasso em relação a

elas, sobretudo no que se refere à seleção, reelaboração e organização dos

conceitos, tendo em vista a adequação ao Ensino Fundamental e a distribuição

pelas diversas séries/anos ou ciclos. O livro didático de Matemática, segundo o

mesmo Guia, deve estimular o raciocínio próprio do aluno, estabelecer relações

dos conteúdos com seu universo cultural, propor atividades tendo em vista suas

aplicações a situações do mundo real, tanto de natureza matemática bem como

de outras áreas do conhecimento (BRASIL, 1999).

A partir desse contexto, os textos didáticos da década de 90 até o

presente sofreram e ainda sofrem muitas transformações em relação aos textos

didáticos de décadas anteriores, procurando se adequar aos PCN (BRASIL,

1998) para o ensino de Matemática implantado no nível nacional.

Uma pesquisa de Zuffi (1999) mostrou que há uma diversidade de

conceituações para as funções, definidas pelos professores do Ensino

Fundamental. Esses professores, ao fazerem uso da linguagem matemática para

expressar suas próprias concepções sobre o conceito de função, apresentaram

visões diferenciadas, quando solicitados a fornecer definições formais e quando

se reportavam às definições informalmente. Cada uma dessas visões identificou-

se como um momento histórico diferente para o conceito. No caso formal, as

definições foram elaboradas de maneira a atingir as mais recentes propostas

históricas da definição de função, muito próximas a de Dirichlet (1805-1859),

enquanto que no tratamento informal, ou com exemplos e resolução de

problemas, as ideias propostas para as funções estavam muito próximas da

definição de Leonard Euler (1707-1783).

27

3 PROPOSTAS DE ATIVIDADES EM SALA DE AULA

Com base nesse referencial teórico, principalmente nos PCN de

Matemática, são propostas atividades visando uma abordagem significativa do

conceito de função para alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, visto que o

assunto é inserido sem uma formalização matemática para que no 1º ano do

Ensino Médio ocorra tal formalização e aprofundamento matemático.

Estas atividades devem ser introduzidas no início da 3ª etapa ou do 4º

bimestre do ano letivo seguindo a sequência proposta abaixo. Tanto na primeira

atividade quanto na segunda, os dois primeiros exercícios devem ser feitos em

sala de aula e o terceiro proposto como tarefa de casa. Na terceira atividade, os

dois primeiros exercícios devem ser feitos no Laboratório de Informática da

Escola, agrupando os alunos em dupla, caso não tenha um computador

disponível para cada aluno e o terceiro exercício proposto como tarefa de casa.

Os pré-requisitos principais para que haja um bom desenvolvimento das

atividades são: proporcionalidade entre grandezas, valor numérico de expressão

algébrica, resolução de equações de 1º grau e de 2º grau, plano cartesiano e áreas

de figuras planas.

Na primeira atividade será dada ênfase à construção de tabelas de

valores que evidencie a variação entre duas grandezas com o objetivo de abordar

de modo significativo o conceito de função para em seguida identificar a

grandeza dependente e a independente a fim de que com o auxílio de variáveis

obtenha-se a fórmula da função que relaciona as duas grandezas. Esta atividade

deverá ser aplicada em duas aulas. Em relação a esta atividade, a maior

dificuldade dos alunos aparecerá no momento de escrever a fórmula da função,

isto é, expressar algebricamente a grandeza dependente em função da grandeza

independente. É importante que o professor estimule e motive os alunos a partir

dos cálculos efetuados anteriormente relacionando a grandeza dependente e a

28

grandeza independente com variáveis para que possa induzir os alunos a

deduzirem a fórmula da função e para concluir fazer testes a partir de dados já

calculados para confirmar a fórmula da função.

Na segunda atividade será dada ênfase a padrões e regularidades entre

duas grandezas por meio de sequências de dados com o objetivo de abordar de

modo significativo o conceito de função para em seguida identificar a grandeza

dependente e a independente a fim de que com o auxílio de variáveis obtenha-se

a fórmula da função que relaciona as duas grandezas. Esta atividade deverá ser

aplicada em duas aulas. Em relação a esta atividade, a maior dificuldade dos

alunos aparecerá no momento de escrever a fórmula da função, isto é, expressar

algebricamente a grandeza dependente em função da grandeza independente. É

importante que o professor estimule e motive os alunos a partir dos cálculos

efetuados anteriormente relacionando a grandeza dependente e a grandeza

independente com variáveis para que possa induzir os alunos a deduzirem a

fórmula da função e para concluir fazer testes a partir de dados já calculados

para confirmar a fórmula da função.

Na terceira atividade será dada ênfase à construção de gráficos de

função no plano cartesiano a partir de tabelas, elaboradas a partir da fórmula da

mesma, com valores das duas grandezas relacionadas ou a partir de uma tabela

dada e mostrando diferentes tipos de gráfico de função. Também será

apresentado um software, escolhido pelo professor, que gera gráficos de funções

no computador para auxiliar os alunos na confecção dos mesmos e verificar se o

esboço do mesmo está correto. O autor desta atividade utilizou o software

“grapes”. Ainda explorará a interpretação de gráfico de função e dedução de sua

fórmula a partir do mesmo. Esta atividade deverá ser aplicada em três aulas.

Uma dificuldade dos alunos será na geração do gráfico no computador, pois será

necessário que o professor mostre como trabalhar com o programa de

computador escolhido e outra dificuldade será como deduzir a fórmula da

29

função a partir do gráfico da mesma, então o professor deve orientar os alunos a

montarem uma tabela com os dados do gráfico para que possa facilitar a

dedução da relação existente entre as duas grandezas que aparecem no gráfico

para escrever a fórmula da função.

3.1 Atividade 1: Construindo tabelas por meio da variação entre grandezas

1 – OBJETIVOS:

a) Reconhecer a variação entre grandezas;

b) Relacionar o conceito de função por meio da dependência entre

grandezas que variam entre si;

c) Identificar a grandeza dependente e a independente na variação entre

elas;

d) Expressar algebricamente a fórmula da função que relaciona duas

grandezas por meio de tabelas.

e) Efetuar cálculos utilizando a fórmula da função para encontrar

valores correspondentes das grandezas.

2 – DESENVOLVIMENTO:

EXERCÍCIO 1: Seja a seguinte situação: Um técnico conserta TV

cobrando R$ 15,00 pela visita e mais R$ 35,00 por hora de trabalho. A partir

disso, pede-se:

a) Construa uma tabela que relaciona as horas de trabalho com o valor

cobrado pelo técnico para o período de zero hora até quatro horas de

trabalho.

30

Primeiramente induzir os alunos na montagem da expressão numérica

para calcular o valor cobrado que é o preço da visita adicionado do produto do

número de horas trabalhadas pelo valor da hora de trabalho. Em seguida monta-

se a tabela:

Tabela 1 Valor cobrado por horas de trabalho

Horas Valor cobrado (em R$) 0 15 + 35 x 0 = 15,00 1 15 + 35 x 1 = 50,00 2 15 + 35 x 2 = 85,00 3 15 + 35 x 3 = 120,00 4 15 + 35 x 4 = 155,00

b) Quais são as grandezas que variam nessa situação apresentada?

Introduzindo o conceito informal de grandeza como algo que pode ser

medido e a partir de uma análise da tabela elaborada, deduz-se que as grandezas

que variam são: horas de trabalho e valor cobrado.

c) Qual é a grandeza dependente? E a independente?

Fazer uma breve discussão com os alunos para deduzir qual grandeza

depende da outra, isto é, a partir do valor de uma delas é possível obter o valor

da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é o valor cobrado e a

grandeza independente é horas de trabalho.

d) Escreva algebricamente a fórmula da função que relaciona estas duas

grandezas.

31

Nesse momento é importante distinguir os conceitos de variável e de

incógnita. A partir disso, tem-se que as grandezas envolvidas são as variáveis

que comporão a fórmula da função. Denota-se h para as horas de trabalho e v

para o valor cobrado. Finalmente, analisando a tabela com os dados que variam

e as igualdades obtidas, deduz-se que a fórmula da função é: v = 15 + 35h.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule o valor cobrado pelo técnico

para 12 horas de trabalho.

Temos que v = 15 + 35 h, então queremos calcular v para h = 12. Daí:

43542015123515 =⇒+=⇒×+= vvv R: R$ 435,00

Mas este item pode ser resolvido utilizando regra de três simples.

Primeiramente, calcula-se o valor das horas trabalhadas e em seguida adiciona-

se o valor da visita para obter o valor cobrado.

f) Utilizando a fórmula da função, calcule o número de horas de

trabalho sabendo o técnico cobrou R$ 330,00.

Temos que v = 15 + 35 h, então queremos calcular h para v = 330. Daí:

935315

15330353515330 =⇒=⇒−=⇒+= hhhh R: 9 horas

Mas este item pode ser resolvido utilizando regra de três simples.

Primeiramente, obtém-se o valor das horas trabalhadas subtraindo o valor da

visita do valor cobrado e em seguida calcula-se o número de horas de trabalho.

32

EXERCÍCIO 2: Numa cidade, sabe-se que um ônibus urbano (coletivo)

trafega a uma velocidade média de 40 km/h, isto é, em 1 hora o ônibus percorre

40 km. A partir disso, pede-se:

a) Construa uma tabela que relaciona o tempo com a distância

percorrida pelo coletivo para o período de zero hora até quatro horas.


para calcular a distância percorrida que é o produto da velocidade média pelo

tempo gasto. Em seguida monta-se a tabela:

Tabela 2 Distância percorrida em relação ao tempo gasto

Tempo (h) Distância percorrida (Km) 0 40 x 0 = 0 1 40 x 1 = 40 2 40 x 2 = 80 3 40 x 3 = 120 4 40 x 4 = 160


A partir de uma análise da tabela elaborada, deduz-se que as grandezas

que variam são: tempo e distância percorrida.




33

da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é a distância percorrida e a

grandeza independente é o tempo.


grandezas.

Temos que as grandezas envolvidas são as variáveis que comporão a

fórmula da função. Denota-se t para o tempo em horas e d para a distância

percorrida em quilômetros. Finalmente, analisando a tabela com os dados que

variam e as igualdades obtidas, deduz-se que a fórmula da função é: d = 40 t.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule a distância percorrida pelo

coletivo em seis horas.

Temos que d = 40 t, então queremos calcular d para t = 6. Daí:

240640 =⇒×= dd R: 240 km

Mas este item pode ser resolvido utilizando regra de três simples. Basta

multiplicar o número de horas pela velocidade média.

f) Utilizando a fórmula da função, calcule o tempo gasto pelo coletivo

para percorrer 720 km.

Temos que d = 40 t, então queremos calcular t para d = 720. Daí:

1840

72040720 =⇒=⇒= ttt R: 18 horas

34

Mas este item pode ser resolvido utilizando regra de três simples. Basta

dividir a distância percorrida pela velocidade média.

EXERCÍCIO 3: Um fazendeiro deseja construir um curral quadrangular,

isto é, em forma de quadrado, numa determinada área de sua fazenda. A partir

disso, pede-se:

a) Construa uma tabela que relaciona a medida da largura desse curral

com a área a ser ocupada pelo mesmo na fazenda, com essa largura

de medida inteira variando de 0 m a 4 m.


para calcular a área do curral que é o quadrado da largura do mesmo. Em

seguida monta-se a tabela:

Tabela 3 Área do curral em relação a sua largura

Largura (m) Área do curral (m2) 0 02 = 0 1 12 = 1

2 22 = 4

3 32 = 9

4 42 = 16


A partir de uma análise da tabela elaborada, deduz-se que as grandezas

que variam são: largura do curral e área do curral.


35



da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é a área do curral e a

grandeza independente é a largura do curral.


grandezas.


fórmula da função. Denota-se ℓ para a largura do curral em metros e A para a

área do curral em metros quadrados. Finalmente analisando a tabela com os

dados que variam e as igualdades obtidas, deduz-se que a fórmula da função é:

A = ℓ2.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule a área ocupada por um curral

cuja largura é 12 m.

Temos que A = ℓ2, então queremos calcular A para ℓ = 12. Daí:

144122 =⇒= AA R: 144 m2

OBS: Este item não pode ser resolvido utilizando regra de três simples,

pois não há uma proporcionalidade entre as grandezas envolvidas.

f) Utilizando a fórmula da função, calcule a largura do curral, sabendo

que a área ocupada é 625 m2.

36

Temos que A = ℓ2, então queremos calcular ℓ para A = 625. Daí:

25625625 2 =⇒=⇒= lll R: 25 m

OBS: Este item não pode ser resolvido utilizando regra de três simples,

pois não há uma proporcionalidade entre as grandezas envolvidas.

3.2 Atividade 2: Explorando padrões e regularidades entre grandezas

1 – OBJETIVOS:

a) Reconhecer padrões e regularidades entre grandezas;

b) Relacionar o conceito de função por meio de padrões e regularidades

entre grandezas;

c) Identificar a grandeza independente e a dependente em padrões e

regularidades entre duas grandezas;

d) Expressar algebricamente a fórmula da função que relaciona duas

grandezas por meio de padrões e regularidades entre elas;

e) Efetuar cálculos utilizando a fórmula da função para encontrar

valores correspondentes das grandezas.


EXERCÍCIO 1: Observe a sequência de triângulos formados a partir de

palitos de fósforo:

37

Figura 1 Sequência de triângulos formados por palitos de fósforos

Fonte: Hauss (2013)

A partir disso, pede-se:

a) Complete os espaços vazios abaixo:

1 triângulo � ____ palitos

2 triângulos � ____ palitos

3 triângulos � ____ palitos

Então para formar um triângulo foram usados 3 palitos, dois triângulos 5

palitos e três triângulos 7 palitos.

b) Quais são as grandezas que aparecem nessa sequência obtida?

A partir de uma análise da sequência obtida, deduz-se que as grandezas

que variam são: número de palitos e número de triângulos.




da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é número de palitos e a

grandeza independente é o número de triângulos, pois caso contrário para certa

38

quantidade de palitos não é possível obter triângulo(s), por exemplo, com dois

palitos não se obtém triângulo.


grandezas.


fórmula da função. Denota-se n para o número de triângulos e p para o número

de palitos. Finalmente analisando a sequência obtida e notando que o número de

palitos usados é igual ao dobro do número de triângulos formados adicionado de

uma unidade, então a fórmula da função é: p = 2 n + 1.

OBS: O professor pode comentar com os alunos que esta fórmula é a

forma geral de um número ímpar.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule o número de palitos usados

para formar 16 triângulos.

Temos que p = 2 n + 1, então queremos calcular p para n = 16. Daí:

331321162 =⇒+=⇒+×= ppp R: 33 palitos

f) Utilizando a fórmula da função, calcule a quantidade de triângulos

formados utilizando 37 palitos.

Temos que p = 2 n + 1, então queremos calcular n para p = 37. Daí:

39

182

3613721237 =⇒=⇒−=⇒+= nnnn R: 18 triângulos

EXERCÍCIO 2: Observe a sequência formada pelo número de pés a

partir da quantidade de pessoas presentes numa festa: 2, 4, 6, 8, ...



1 pessoa � ____ pés

2 pessoas � ____ pés

3 pessoas � ____ pés

Então para uma pessoa tem-se 2 pés, duas pessoas 4 pés e três pessoas

6 pés.



que variam são: número de pés e número de pessoas.




da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é o número de pés e a

grandeza independente é o número de pessoas.

40


grandezas.


fórmula da função. Denota-se n para o número de pessoas e p para o número de

pés. Finalmente analisando a sequência obtida e notando que o número de pés é

igual ao dobro do número de pessoas, então a fórmula da função é: p = 2 n.

OBS: O professor pode comentar com os alunos que esta fórmula é a

forma geral de um número par.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule o número de pés para 32

pessoas presentes na festa.

Temos que p = 2 n, então queremos calcular p para n = 32. Daí:

64322 =⇒×= pp R: 64 pés

f) Utilizando a fórmula da função, calcule quantidade de pessoas

presentes na festa sabendo que o número de pés é 38.

Temos que p = 2 n, então queremos calcular n para p = 38. Daí:

192

38238 =⇒=⇒= nnn R: 19 pessoas

EXERCÍCIO 3: Pegue uma folha de papel A4, faça uma dobra na folha,

de modo que ela fique dividida em duas partes iguais; faça duas dobras, de modo

que ela fique dividida em quatro partes iguais. Repita esse processo mais vezes.

41



3 dobras � ____ partes iguais



Então para três dobras tem-se 8 partes, quatro dobras 16 partes e cinco

dobras 32 partes.



que variam são: número de partes em que a folha fica dividida e o número de

dobras feitas na folha de papel.




da outra. Daí conclui-se que a grandeza dependente é o número de partes obtidas

e a grandeza independente é o número de dobras feitas na folha de papel.


grandezas.


fórmula da função. Denota-se n para o número de partes e d para o número de

42

dobras. Finalmente analisando a sequência obtida e notando que o número de

partes obtidas é igual à potência de 2 cujo expoente é o número de dobras feitas

na folha de papel, então a fórmula da função é: n = 2d.

e) Utilizando a fórmula da função, calcule o número de partes obtidas

fazendo 6 dobras na folha papel.

Temos que n = 2d, então queremos calcular n para d = 6. Daí:

6426 =⇒= nn R: 64 partes

3.3 Atividade 3: Gráfico: o “retrato” da função que relaciona duas grandezas

1 – OBJETIVOS:

a) Esboçar o gráfico de uma função;

b) Gerar gráficos de funções no computador utilizando um software

escolhido pelo professor;

c) Expressar algebricamente a fórmula da função que relaciona duas

grandezas por meio do esboço de seu gráfico.


EXERCÍCIO 1: Em relação ao exercício 1 da atividade 1, pede-se:

a) Copie a tabela construída e a lei da função encontrada;

43

Tabela 4 Valor cobrado por horas de trabalho

Horas Valor cobrado (em R$) 0 15 + 35 x 0 = 15,00 1 15 + 35 x 1 = 50,00 2 15 + 35 x 2 = 85,00 3 15 + 35 x 3 = 120,00 4 15 + 35 x 4 = 155,00

Lei da função: v = 15 + 35 h

b) Esboce o gráfico dessa função usando essa tabela;

No sistema de coordenadas cartesianas, a grandeza independente (h) é

associada ao eixo x e a grandeza dependente (v) é associada ao eixo y, então o

esboço do gráfico é o seguinte:

Figura 2 Gráfico do valor cobrado em relação à horas inteiras de trabalho

OBS: Note que o gráfico é formado somente por estes pontos, pois na

tabela temos apenas horas inteiras.

155

h

v

1 3 2 4

120

85

50

15.

0

44

c) Esboce o gráfico da mesma função, considerando que possa ter

frações da hora;

Figura 3 Gráfico do valor cobrado em relação à horas inteiras de trabalho e suas frações

OBS: Note que o gráfico é formado pelos pontos do gráfico anterior e os

infinitos pontos justapostos originados pelas frações da hora entre horas

consecutivas, logo ao ligar estes pontos teremos um segmento de reta. A partir

desse exercício, introduzir informalmente o conceito de função do 1º grau e

comentar que seu gráfico é uma reta inclinada.

d) Gere esse gráfico no computador para verificação do gráfico

esboçado;

OBS:

- O software utilizado pelo autor nesta atividade é o “Grapes”

(GRAPES, 2013).

155

h

v

1 3 2 4

120

85

50

15.

0

45

- Lembrando que a grandeza independente (h) é associada a x e a

grandeza dependente (v) é associada a y.

Lista de comandos do software utilizado pelo professor:

1) Carregar o software utilizado pelo professor, clicando no ícone do

mesmo na área de trabalho e aparecerá a tela inicial de comandos do programa.

Figura 4 Tela inicial de comandos do software “grapes”

2) Clicar em “option”; na próxima tela clicar em “área”; na nova tela

digitar o intervalo de variação de x ( 0 e 4) e de y (15 e 155), de acordo com a

tabela de dados, e clicar em “ok”, conforme figura abaixo:

46

Figura 5 Tela de definição do intervalo de variação de x e de y

2) Para ajustar a graduação em relação ao eixo x, clique em

(intervalo menor de um nº para outro) ou ( intervalo maior de um nº para

outro) de acordo com os dados da Tabela 1 e observe a tela do gráfico obtida

com o ajuste feito. Caso precise ajustar novamente, repita o procedimento.

3) Para ajustar a graduação em relação ao eixo y, clique em

(intervalo menor de um nº para outro) ou ( intervalo maior de um nº para

outro) de acordo com os dados da Tabela 1 e observe a tela do gráfico obtida

com o ajuste feito. Caso precise ajustar novamente, repita o procedimento.

4) Observar o painel de dados da tela inicial, na linha de Função, clicar

em “desenhar”, na próxima janela onde está o cursor digitar somente a expressão

“15 + 35x” e clicar em “Def Fim”, na nova tela selecionar a cor, o estilo e clicar

47

em “ok”, finalmente obtém-se o esboço do gráfico da função pedida, conforme

sequência de figuras abaixo:

Figura 6 Tela inicial da digitação da fórmula da função

Figura 7 Tela de digitação da fórmula da função

48

Figura 8 Tela de definição do gráfico com sua cor e seu estilo

Figura 9 Tela com o esboço do gráfico da função v = 15 + 35 h

EXERCÍCIO 2: Em relação ao exercício 3 da Atividade 1 , pede-se:

49

a) Copie a tabela e a lei da função encontrada;

Tabela 5 Área do curral em relação a sua largura

Largura (m) Área do curral (m2) 0 02 = 0 1 12 = 1

2 22 = 4

3 32 = 9

4 42 = 16

Lei da função: A = ℓ2

b) Esboce o gráfico dessa função utilizando essa tabela;

No sistema de coordenadas cartesianas, a grandeza independente (ℓ) é

associada ao eixo x e a grandeza dependente (A) é associada ao eixo y, então o

esboço do gráfico é o seguinte:

Figura 10 Gráfico da área do curral em relação à suas larguras com medidas inteiras

ℓ

A

1 3 2 4

16

8

4

1 0

50

OBS: Note que o gráfico é formado somente por estes pontos, pois na

tabela temos apenas larguras inteiras.

c) Esboce o gráfico da mesma função, considerando que possa ter

medida da largura não inteira;

Figura 11 Gráfico da área do curral em relação à suas larguras com medidas inteiras e suas frações

OBS: Note que o gráfico é formado pelos pontos do gráfico anterior e os

infinitos pontos justapostos originados pelas frações da largura entre larguras

consecutivas, logo ao ligar estes pontos teremos uma curva. A partir desse

exercício, introduzir informalmente o conceito de função do 2º grau e comentar

que seu gráfico é uma curva aberta chamada de parábola.

d) Gere esse gráfico no computador para verificação do gráfico

esboçado;

ℓ

A

1 3 2 4

16

8

4

1 0

51

OBS:

- O software utilizado pelo autor nesta atividade é o “grapes”.

- Lembrando que a grandeza independente (ℓ) é associada a x e a

grandeza dependente (A) é associada a y.

Lista de comandos do software utilizado pelo professor:

Os passos a serem seguidos são os mesmos do exercício 1, porém

alterando o intervalo de variação de y para 0 e 16, Tabela 1 para Tabela 2 nos

passos 2 e 3, e alterando a expressão da função para “x2”.

Logo, obtém-se o esboço do gráfico da função pedida, que é o seguinte:

Figura 12 Tela do esboço do gráfico da função A = ℓ2

EXERCÍCIO 3: A população de uma cidade tem acesso à água de uma

mina por meio de uma torneira. O gráfico abaixo relaciona a quantidade de litros

52

de água despejado pela torneira com o tempo de abertura da mesma, em

minutos, no intervalo de zero a três minutos.

Figura 13 Gráfico da quantidade de litros de água despejado em relação ao tempo de abertura da torneira


a) Monte uma tabela destacando as grandezas relacionadas e seus

respectivos valores, considerando um número inteiro de minutos;

Tabela 6 Quantidade de água em relação ao tempo

Tempo (minutos) Água (litros) 0 0 1 0,5 2 1 3 1,5

b) Qual é a grandeza dependente? E a independente?

2 0 tempo (min)

água (litros)

1

0,5

1

3

1,5

53

Como a quantidade de litros de água despejado pela torneira depende do

tempo de abertura da mesma e no sistema de coordenadas cartesianas, a

grandeza independente é associada ao eixo x e a grandeza dependente é

associada ao eixo y, então o tempo de abertura da torneira é a grandeza

independente e a quantidade de litros de água despejado pela mesma é a

grandeza dependente.

c) Escreva algebricamente a fórmula da função que relaciona estas duas

grandezas.

Observando o gráfico e analisando seus dados, deduz-se que a

quantidade de litros de água despejado pela torneira, representado pela letra v, é

sempre igual à metade do tempo de abertura da mesma, representado por t, então

a fórmula da função é: 2

xv = .

54

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Após a conclusão destas atividades e alcançado os seus objetivos,

podem ser propostas outras atividades abordando função constante, função

polinomial de 1º grau, função polinomial de 2º grau, os esboços de seus gráficos,

cálculo de sua(s) raiz (es), valor numérico envolvendo estas funções, contudo

sem formalização matemática de modo que o aluno tenha um primeiro contato

ainda no Ensino Fundamental para que facilite seu entendimento e sua

aprendizagem quanto ao aprofundamento matemático no estudo de funções no

Ensino Médio.

55

REFERÊNCIAS

BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2002. (8ª série)

BLUMENTHAL, G. Os PCN e o ensino fundamental em matemática: um avanço ou um retrocesso. 2000. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/artigos/a3/ >. Acesso em: 23 jan. 2013.

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HAUSS, M. H. et al. Matemática 9º ano: ensino fundamental. Belo Horizonte: Pax, 2013. v. 2.

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56

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PIERO NETTO, S. Matemática: conceitos e histórias. São Paulo: Scipione, 1998. (8ª série).

OLIVEIRA, N. Conceito de função: uma abordagem do processo ensino-aprendizagem. 1997. 174 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) - Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 1997.

SCHWARZ, O. Sobre as concepções de função dos alunos ao término do 2º grau. 1995. 14 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) - Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 1995.

SOARES, F. S. Ensino de matemática no século XX: da reforma campos à matemática moderna, Revista Horizontes, Bragança Paulista, v. 22, n. 1, p. 7-15, jan./jun. 2004.

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ZUFFI, E. M. Alguns aspectos do desenvolvimento histórico do conceito de função. Revista Educação Matemática, São Paulo, v. 8, p. 10-16, 2005.

ZUFFI, E. M. O tema "funções" e a linguagem matemática de professores do ensino médio: por uma aprendizagem de significados. 1999. 307 p. Tese (Doutorado em Didática - Ensino de Ciências e Matemática) - Faculdade de Educação, Universidade de São Paulo, São Paulo, 1999.

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DISSERTAÇÃO Uma abordagem significativa de função no 9º ano