distibuciones continuas

Distribuciones Continuas


Luz Marina Moya MoyaPontificia Universidad Javeriana

Junio - 2013

Luz Marina Moya Moya Pontificia Universidad Javeriana Distribuciones Continuas


Distribucion Normal

La curva normal cumple las siguientes propiedades:

1 El maximo de la curva coincide con la media.

2 Es perfectamente simetrica a la media.

3 Sus colas son asintoticas al eje X

4 La curva tiene dos puntos de inflexion situados a unadesviacion estandar de la media.



Distribucion Normal

La distribucion mormal o tambien llamada de Gauss es la masimportante. Muchas variables de interes se distribuyen normal.Una variable aleatoria X se distribuye normal con media X yvarianza 2X si su funcion de densidad de probabilidad esta dadapor:

fX (x) =1

X

2pie 1

2

[xXX

]2



Ejemplo

Un abogado va todos los das de su casa en las afueras de laciudad a su oficina en el centro de la misma. El tiempo promediopara un viaje de ida es 24 minutos, con una desviacion estandar de3,8 minutos, suponga que la distribucion de los tiempos de viajeesta distribuida normalmente.Cual es la probabilidad de que un viaje dure por lo menos mediahora?



Ejemplo

Solucion.

P(x 30) = 0, 057174Distribuciones continuas, distribucion normal.Valor de la variable 30, media 24, desviacion tpica 3,8, coladerecha



Aproximacion de la Binomial a la Normal

Una distribucion binomial se puede aproximar a la distribucionnormal si N es suficiente grande y p no esta ni muy proximo a 0 nia 1. Sea X una variable aleatoria con media np y varianza npq.entonces

Z =X np

npq



Ejemplo

Segun la experiencia, se sabe que aproximadamente el 20% de losestudiantes del curso de probabilidad de esta universidad pierden elexamen final. Si este semestre se seleccionan al azar 60 estudiantesque toman esta asignatura, cual es la probabilidad de que:

1 10 pierdan probabilidad

2 Entre 10 y 15 pierdan probabilidad.



Solucion.

1 P(x = 10) = 0, 110188 dbinom(10, size=60, prob=0.2).

2 P(10 < x < 15) = P(x < 15) P(x < 10) =,x = np = 60 ? 0, 20 = 12, =npq =

60 ? 0, 20 ? 0, 80 =

9, 6 = 3, 0983

=0.833546-0,2592967=0.5742493. Valor de variable 15,media 12 desviacion tpica 3.0983, cola izquierda.



Distribucion exponencial

Se dice que una variable aleatoria X que toma todos los valores nonegativos tiene una distribucion exponencial con parametro deescala > 0, la funcion de densida es:

fX (x) =

{ex si x 00 si x < 0

E (X ) = 1 , V (X ) =12



La distribucion exponencial rige los tiempos de vida, de falla otiempos de sobrevivencia. Cuado esta ligada con un distribucion dePoisson es el equivalente continuo de la distribucion geometrica, enel sentido que rige el tiempo de espera o tiempo transcurrido hastaque ocurra un primer suceso de Poisson, o tiempo de espera entreacontecimientos (sucesos) consecutivos de Poisson, en este caso elparametro es el promedio de acontecimeintos de Poisson porunidad de tiempo.



Ejemplo

El numero de automoviles que circulan a alta velocidad durante unlapso de una hora en una cierta autopista es una variable aleatoriaPoisson con = 8, 4. Cual es la probabilidad de tener un tiempode espera menor de 10 minutos entre automovilistas sucesivos quecirculan a alta velocidad?



Ejemplo

Solucion.

que corren a alta velocida por hora, como 10 minutos es 1/6 dehora, en tonces P(x < 1/6) = 0, 753403 Valores de la variable 1/6,parametro de la exponenecial 8,4, cola izquierda.8,4 numero de autos



Ejemplo

Segun las estadsticas de Bogota, en esta ciudad se registran enpromedio cuatro asaltos bancarios cada 20 das. Si el numero deasaltos se considera una distribcucion de Poisson, calcule laprobabilidad de que transcurran entre cuatro y siete das entre dosasaltos bancarios consecutivos registrados en Bogota.



Solucion

Considerar los asaltos bancarios como sucesos independientes depoisson. Cuatro asaltos cada 20 das equivalen en promedio a unasalto cada cinco das. el parametro exponencial es el numero deasaltos que ocurren por unidad de tiempo. Si se toma la unidad detiempo en das, entonces = 15 representa el equivalenteproporcional al numero de asaltos por unidad de tiempo elegida.

fT (t) =1

5e1/5t , P(4 T 7) = 1

5

74e1/5tdt = 0.2027



Distribucion Gamma

La distribucion exponencial es un caso especial de la Gamma. Deesta forma, la distribucion Gamma es una distribucion flexible paramodelizar las formas de la asimetra positiva, de las masconcentradas y puntiagudas, a las mas dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan as:

Numero de individuos involucrados en accidentes de trafico enel area urbana: es mas habitual que la mayora de partesabiertos den la proporcion de 1 herido por vehculo, que otrasproporciones superiores.

Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de formamas habitual precipitaciones iniciadas a una altura baja, queiniciadas a gran altitud.



Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos quesiguen una distribucion de Poisson.

Distribucion de la finura de fibras de lana: la mayorapresentan una menor finura que unas pocas fibras masgruesas.



La funcion Gamma es:

() =

0

x1exdx , > 0

La funcion de distribucion de probabilidad es:

fT (t) =

{1

() (t)1e

t t 0

0 en otro caso

Con parametro de forma y de escala.

E (X ) = , V (X ) =



Ejemplo

En una ciudad se observa que el consumo diario de energa (enmillones de kilowatt-hora) es una variable aleatoria que sigue unadistribucion gamma con parametros = 3 y = 2. Si la planta deenerga que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria degenerar un maximo de 12, cual es la probabilidad de que haya unda donde no se pueda satisfacer la demanda?



Ejemplo

Solucion.

P(x < 1) = 0.01438, pgamma(1,3,scale=2,lower.tail=T)



Ejemplo

Si se sabe que el tiempo de sobrevivencia de ratas expuestas a undeterminado toxico es una variable aleatoria que sigue unadistribucion Gamma (5, 10), cual es la probabilidad de que unarata no supere las 60 semanas de vida?



Ejemplo

Solucion.

P(x < 60) = 0.7149437, pgamma(60,5,scale=10,lower.tail=T)



Ejemplo

Suponga que las llamadas que entran a un computador siguen unproceso de Poisson, con un promedio de cinco llamadas porminuto. Cual es la probabilidad de que pase mas de un minutohasta que lleguen dos llamadas al conmutador?



Solucion

Sea T el tiempo transcurrido hasta que lleguen dos llamadas. T sedistribuye Gamma con = 2 y = 1/5

P(T > 1) = 1 P(T < 1) = 1(

11

k=o

e55k

k!

)= 6e5

Solucion.

= llamadasminutos , =15minutosllamadas P(x > 1) = 0.04042768,

pgamma(1,2,scale=1/5,lower.tail=F)



Grados De libertad: Los grados de libertad son el numero devariables aleatorias independientes de la muestra. Si tenemos unamuestra de n elementos, solo n 1 de las variables de la muestrapueden variar libremente puesto que la n-esima variable quedadeterminada.



Distribucion Chi Cuadrado

La denominada Distribucin Chi Cuadrado (que usualmente seescribe y se lee como: Ji Cuadrado), es una distribucion cuadraticade la probabilidad que utiliza basicamente variables aleatoriascontinuas. En realidad la distribucion ji-cuadrada es la distribucionmuestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posiblesde una poblacion normal y a cada muestra se le calcula suvarianza, se obtendra la distribucion muestral de varianzas.



Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

Los valores de X 2 son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribucion X 2 depende del gl = n 1. Enconsecuencia, hay un numero infinito de distribuciones X 2.

El area bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es1.

Las distribuciones X 2 no son simetricas. Tienen colasestrechas que se extienden a la derecha; esto es, estansesgadas a la derecha.

Cuando n > 2, la media de una distribucin X 2 es n 1 y lavarianza es 2(n 1).El valor modal de una distribucion X 2 se da en el valor (n3).



La siguiente figura ilustra tres distribuciones X 2.

La funcion de densidad de la distribucion X 2 esta dada por:

fX (x) =

{1

2k/2(k/2)x (k/2)1ex/2 para x 0

0 para x < 0



Para denotar el valor crtico de una distribucion X 2 con gl gradosde libertad se usa el smbolo (gl); este valor crtico determina a suderecha un area de bajo la curva X 2 y sobre el eje horizontal. Porejemplo para encontrar X 20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en ellado izquierdo y = 0.05 a o largo del lado superior de la mismatabla.



Para estimar la varianza poblacional o la desviacion estandar, senecesita conocer el estadstico X 2. Si se elige una muestra detamano n de una poblacion normal con varianza , el estadstico:

(n 1)S22

tiene una distribucion muestral que es una distribucion ji-cuadradacon gl = n 1 grados de libertad y se denota X 2. El estadsticoji-cuadrada esta dado por:

X 2 =(n 1)S2

2



Ejemplo

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto bus paraalcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forman unadistribucion normal con una desviacion estandar = 1 minuto. Sise elige al azar una muestra de 19 tiempos, encuentre laprobabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.



Distribucion F De Fisher

Considerando dos muestras aleatorias independientes, de tamanon1 y n2, extradas de una poblacion normal, el estadstico F seraigual a la variable continua que se muestra en la misma grafica dela funcion. Una variable F se define como el cociente entre dosvariables ji-cuadrado divididas por sus correspondientes grados delibertad.



Es una distribucion de probabilidad de gran aplicacion en lainferencia estadstica, fundamentalmente en la contrastacion de laigualdad de varianzas de dos poblaciones normales, yfundamentalmente en el analisis de la varianza, tecnica quepermite detectar la existencia o inexistencia de diferenciassignificativas entre muestras diferentes y que es, por tanto esencial,en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la relevanciade un factor en el desarrollo y naturaleza de una caracterstica.



La distribucion se plantea partiendo de dos variables X e Y talesque :X se distribuye X 2 con n1 grados de libertadY se distribuye X 2 con n2 grados de libertadde manera que si establecemos el cociente,F = X/n1Y /n2 es decir el

cociente entre ambas X 2 divididas a su vez, por suscorrespondientes grados de libertad tendremos que la funcion Fcorresponde a una distribucion F de Snedecor con n1 y n2 gradosde libertad ; es decir una Fn1,n2Queda claro por tanto que la distribucin F de Snedecor tiene dosparametros, que son n1 y n2; n1 grados de libertad delnumerador,n2 grados de libertad del denominador.



Para extraer valores de probabilidad de la tabla se sigue elsiguiente procedimiento:

1 Extraer muestras de dos poblaciones y estimar las desviacionesestandar.

2 Determinar los grados de libertad v1 y v2 tal que v1 = n1 1y v2 = n2 1

3 Calcular el valor de F = S21/S22 . Si se conocen las varianzas

entonces F =S21

22

S2221



Ejemplo

En un proceso hay dos maquinas cortadoras diferentes enantiguedad lo que hace pensar que las varianzas de corte no soniguales. Se toma una muestra de 16 partes de cada maquina, cuales la probabilidad de que la razon de varianzas sea:

1 mayor a 1.97?

2 menor a 3.52?

3 Que valor de F da una probabilidad a la derecha de 0.15?


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