Upload
trista
View
48
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Distribucija frekvencija. Frekvencija. Interval. f. Masa (g). Karakteristike : Vrednost x i = m ima najveću frekvenciju javljanja kriva je simetrična maksimum na x i = m prevojne tačke na x i = m s. najčešći matematički model raspodele - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
VVeerroovvaattnnooććaa
matematička verovatnoća (P) = odnos između broja povoljnih
događaja (m) i ukupnog broja događaja (n):
nmP 0 P 1
m = n (svi mogući događaji su povoljni)
P = 1 apsolutna sigurnost nekog događanja
m = 0, onda je i P = 0 apsolutna nemogućnost događanja
Vrlo često: %100nm
P
Statistička definicija verovatnoće: verovatnoća je odnos
između broja pojavljivanja događaja A i svih događaja
0
A
nn
p
Kada n0 ili kada n0 n, p P
Verovatnoća izvlačenja “keca” iz špila od 52 karte:
m = 4, n = 52, P = 4/52 = 0,0769 ili 7,69%
Verovatnoća “keca” pik: Pp = 1/52 = 0,0192, verovatnoća
“keca” tref je takođe 0,0192, itd.
P = Pp + Pt + Pk + Ph = 4/52
OOppššttee pprraavviilloo:: aakkoo ddooggaađđaajjii AA,, BB ii CC mmoogguu ddaa ssee ddooggooddee,, AA ii CC
ssuu nnpprr.. ““ppoovvoolljjnnii”” ddooggaađđaajjii,, vveerroovvaattnnooććaa ddaa ććee ssee ddooggooddiittii iillii AA iillii
CC jjeeddnnaakkaa jjee zzbbiirruu vveerroovvaattnnooććaa ppoojjeeddiinnaaččnniihh ddooggaađđaajjaa AA ii CC..
Verovatnoća izvlačenja dva “keca” uzastopno iz špila
od 52 karte:
P1 = 4/52, a P2 = 3/51
Verovatnoća sukcesivnog događanja događaja A i C
data je proizvodom pojedinačnih verovatnoća:
OOppššttee pprraavviilloo:: P = PA × PC
PPrriimmeerr:: P = (4/52)×(3/51) = 0,00452 (0,452%)
““SSttaattiissttiiččkkii”” kkaarraakktteerr vveerroovvaattnnooććee
Verovatnoća izvlačenja bilo kog keca:
P = 4 / 52 = 1 / 13
13 uzastopnih izvlačenja kec će jednom biti izvučen ?!?!
13000 uzastopnih izvlačenja broj slučajeva izvlačenja
keca 1000
BBiinnoommnnaa ddiissttrriibbuucciijjaa ((rraassppooddeellaa))
Klasifikacija pojedinačnih devijacija samo na osnovu
znaka, bez obzira na veličinu devijacije
n = 1
+ -
P+ = (1/2) P- = (1/2)
P1 = P+ + P- = (1/2) + (1/2) = 1
n = 2
++
P2+ = (1/4) P+ - = (1/2) P2- = (1/4)
P2 = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, ili:
P2 = (1/2)2 + 2(1/2)(1/2) + (1/2)2
n = 3
+++ ++- --+ - - -
+-+ -+-
-++ +--
P3+ = (1/8) P2+1- = (3/8) P1+2- = (3/8) P3- = (1/8)
P3 = (1/8) + (3/8) + (3/8) + (1/8) = 1, ili
P3 = (1/2)3 + 3(1/2)2(1/2) + 3(1/2)(1/2)2 + (1/2)3
Ukupna verovatnoća (Pn) može se predstaviti opštim
binomnim izrazom:
Pn = (1/2 + 1/2)n, ili:
121
21
21
...
...21
21
21
21
21
P
nnn
1nn
1n
22nn2
1nn1
nn0n
odnosno:
121
21
Pkkn
nkn
,
gde su nk tzv. binomni (kombinatorni) koeficijenti
Paskalovog trougla
Tablica I. Paskalov trougao
n
0 00 1
1 10 11 1 1
2 20 2
1 22 1 2 1
3 30 31 3
2 33 1 3 3 1
itd. itd.
)!(!
!
knk
nnk ; n! = 1 × 2 × 3 … × (n-1) × n
10 nn
n
Tablica II. Vrednosti izraza (1/2)n
n (1/2)n
0 1
1 0,5
2 0,25
3 0,125
4 0,0625
5 0,03125
6 0,015625
7 0,0078125
8 0,00390625
9 0,001953125
10 0,0009765625
B i n o m n a r a s p o d e l a u o p š t e m s l u č a j u m o ž e s e
p r e d s t a v i t i s l e d e ć o m j e d n a č i n o m :
P n = ( p + q ) n , g d e j e p + q = 1 , i l i :
knknkn qpP .
N a j v e r o v a t n i j i b r o j d o g a đ a n j a n e k o g
d o g a đ a j a ( E ) k o j i i m a v e r o v a t n o ć u p ( t z v . s r e d n j a
v r e d n o s t b i n o m n e d i s t r i b u c i j e ) m o ž e s e o d r e d i t i
p r e m a r e l a c i j i :
E = n p .
Binomna distribucija može da se upotrebi za
izračunavanje verovatnoće da će sve greške
merenja imati isti znak, pa da će se prema tome
adirati. Ova verovatnoća se izračunava na
osnovu relacije:
Pmax = 2 × (1/2)n = (1/2)n-1.
Sa povećanjem broja merenja iz kojih se
izračunava krajnji rezultat analize, verovatnoća
da će sve greške biti aditivne naglo opada.
Za n = 2, Pmax=0,5; za n = 3, Pmax= 0,25;
za n = 6, Pmax= 0,031.
Distribucija frekvencija
Interval Frekvencija
Masa (g)
f
2ix
21
i e2
1)x(f
GGaauussoovvaa iillii nnoorrmmaallnnaa ddiissttrriibbuucciijjaa ((rraassppooddeellaa))
ООАХ, Школска 2012/13. година
Karakteristike:Vrednost xi = m ima najveću
frekvenciju javljanja kriva je simetrična maksimum na xi = m prevojne tačke na xi = m s
najčešći matematički model raspodele analitičkih rezultata, koji podležusamo slučajnim greškama
Oblik i položaj moguda se upotrebe zaocenu rezultata!
Parametri normalne raspodele grešaka
očekivana (tačna) vrednost – m“rasutost”s2
U analitičkoj praksi se obično rade 2-3 paralelne analize istog uzorka nije moguće tačno odrediti parametre normalne raspodele procena odgovarajućih parametara
Procena = tačno izračunata veličina zasnovana na preciznim merenjima
za n , procena mora asimptotski da se približavapravoj vrednosti parametra konzistencija rasipanje procene u odnosu na pravu vrednostparametra što je moguće manje efikasnost
Aritmetička sredina (srednja vrednost) rezultataje najčešće konzistentna i efikasna procenaparametra m Gausove raspodele:
ixn
1x
Malo n velika osetljivost na simetriju raspodele
Medijana x~
za set od dve vrednosti x1 < x2, 2
xxx~ 21
za set od tri vrednosti x1 < x2 < x3, medijana je x2
ako je n 3, ekstremne vrednosti nemaju uticaja
manje efikasna procena prave vrednosti od aritmetičke sredine
Relativna efikasnost medijane u odnosu na srednju vrednost seta rezultata.
n Relativna efikasnost
2 1,00 3 0,74 4 0,84 5 0,70 6 0,78 7 0,68 8 0,74 9 0,67 10 0,72 0,64
Velika razlika između srednje vrednosti i medijane set rezultata nije simetričan jedan od rezultata podleže nekoj gruboj grešci !?!
Još neke mere centralne tendencije:Dominantna vrednost (moda, mod) = najčešćepostignuta vrednost;
Geometrijska sredina - prosečna mera brzine promena
Harmonična sredina – daje prosek nekih odnosaH = n / Σ(1/x)
nng xxxx ...21
MERE VARIJABILNOSTI
Interval (Opseg, Raspon, R od Range) = najjednostavnija
ali i najnetačnija mera grupisanja rezultata oko nekesrednje vrednosti (osetljiv na ekstremne vrednosti)
R = xn – x1 za set: x1 < x2 < x3 < ...< xn.
Srednje odstupanje: Σ devijacija / n - može da se računa u odnosu na srednju vrednost, medijanu ili dominantnu vrednost
PPOOCCEENNEE SSTTAANNDDAARRDDNNEE DDEEVVIIJJAACCIIJJEE Standardna devijacija predstavlja apsolutnu grešku za onu vrednost xi za koju Gausova kriva raspodele ima prevojnu tačku.
n
x
n
ds
2i
2i
0
Statistički neopterećena i
efikasna procena
n
xx
ns
2i
2i
1
Konzistentna ali
statistički opterećenaprocena
1n
xx
1ns
2i
2i
Konzistentna,statistički neopterećenaasimptotski efikasnaprocena
n – 1 = broj stepeni slobode
Drugi metod za određivanje procene standardne devijacije
sR = knR
Koeficijent varijacije (relativna standardna devijacija):
Γ = 1/v = /s
Često se izražava u %
x
x
sv
STANDARDNA DEVIJACIJA SREDNJE VREDNOSTI
nx
Rasipanje aritmetičkesredine
1nn
xxs
2i
x
= standardna greška (standard error, S.E.)
n
Rks n
x Za relativno malo n
INTERVAL POUZDANOSTI (RELIABILNOSTI)
Srednja vrednost kao procena μ ne izražava pouzdanostsa kojom je određena. Bolje: odrediti interval (interval pouzdanosti) u kome se sa velikom verovatnoćom (koeficijent pouzdanosti, (1-α))može nalaziti prava vrednost
n
zxL
2,1
n
tsxL 2,1
RKxL n2,1
x
z Standardizovananormalna promenljiva
t-raspodela
Vrednost t za interval pouzdanosti od
90% 95% 98% 99%
Kritična t vrednost za P
vrednosti od 0,10 0,05 0,02 0,01
Broj stepeni slobode
1 6,31 12,71 31,82 63,66 2 2,92 4,30 6,96 9,92 3 2,35 3,18 4,54 5,84 4 2,13 2,78 3,75 4,60 5 2,02 2,57 3,36 4,03 6 1,94 2,45 3,14 3,71 7 1,89 2,36 3,00 3,50 8 1,86 2,31 2,90 3,36 9 1,83 2,26 2,82 3,25 10 1,81 2,23 2,76 3,17 12 1,78 2,18 2,68 3,05 14 1,76 2,14 2,62 2,98 16 1,75 2,12 2,58 2,92 18 1,73 2,10 2,55 2,88 20 1,72 2,09 2,53 2,85 30 1,70 2,04 2,46 2,75 50 1,68 2,01 2,40 2,68 1,64 1,96 2,33 2,58
Kritične t vrednosti odgovaraju dvosmernom testu. Za jednosmerni test vrednosti se uzimaju
iz kolona koje odgovaraju dvostruko većim vrednostima P. Npr. za jednosmerni test, P = 0,05, ν = 5, očitava se vrednost iz kolone za P = 0,10 koja iznosi 2,02.
x
LL100i 12
x
RK2100i n
Relativna širina intervala pouzdanosti
U analitičkoj praksi se veoma često dešava da analitičar mora da bude zadovoljan ako je relativni interval pouzdanosti oko 5%, a pri analizi veoma niskih koncentracija, uz samo nekoliko paralelnih određivanja, prihvatljive su i i-vrednosti od oko 10%.
DEVIJACIJE OD GAUSOVOG ZAKONA RASPODELE
Pretpostavke na osnovu kojih je Gausov zakon izveden nisu ispunjene u praktičnoj analitičkoj hemiji različita odstupanja od normalne raspodele čak i u oblastima vrlo bliskim pravoj vrednosti μ. odstupanja od simetrije raspodele:
greške jednog znaka verovatnije od grešaka drugog znaka (npr. titracija uz indikator)
od posebne su važnosti one kod kojih izmerene vrednosti nisu simetrično raspoređene, ali zato neke funkcije izmerenih vrednosti imaju normalnu raspodelu; npr. log-normalna distribucija: logaritam
promenljive ima normalnu raspodelu: vrednosti Xi = log xi, podležu Gausovoj raspodeli; procena parametra μ je:
n
XX i n
xx ig
loglog
nng xxxx ...21
Devijacije od Gausove raspodele
Koncentracija
f
logC
f
U praktičnoj analitičkoj hemiji, moguća su dva slučaja kod kojih se javlja log-normalna distribucija: 1. Izmerene vrednosti zavise od veličina koje imaju normalnu distribuciju, a ta zavisnost je logaritamska; 2. Izmerene vrednosti su bliske teorijskim ili praktičnim granicama.
STANDARDNA DEVIJACIJA KRAJNJEG REZULTATA
konstante,...,,..., baba kkkbkakky
...22 bbaay kk
dc
baky
k = konstanta; a,b,c,d = nezavisne izmerene veličine
2222
dcbaydcbay
y = an
a
n
yay
y = f(x)
dx
dyxy