DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD

Modalidad no escolarizadaESTADÍSTICA

Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez

DISTRIBUCIÓN CONTINUA

DE PROBABILIDAD



Dentro de este tema se considerara otro tipo de variables las cuales se habían mencionado anteriormente, conocidas como variables aleatorias continuas.

Este tipo de variables son conocidas por que pueden tomar un número infinito de posibles valores y los valores pueden diferir uno de los otros por cantidades infinitesimales. Sus distribuciones son distribuciones continuas.

La distribución normal es la mas importante y la mas frecuentemente utilizada de estas distribuciones continuas.



La distribución normal se puede representar a través de una gráfica que tiene forma de campana y recibe el nombre de distribución de Gauss, gaussiana o curva normal.

Distribución normal

La curva normal depende de 2 parámetros la media(μ) y la desviación estándar()

μ

La varianza y la desviación estándar indican si existe alguna dispersión entre los datos y de que magnitud es tal dispersión en caso de que se presente.

La media señala la parte central de la distribución y es ahí donde se espera esté la mayor parte de los datos con el fin de que no haya una gran dispersión entre ellos.



La distribución normal es elaborada a partir de una distribución muestral, que consiste en tomar muchas muestras de una misma población, se calculan sus medias muéstrales y se representan gráficamente.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL

La distribución muestral de un estadístico, es la distribución de los valores tomados por él en todas las muestras posibles de igual tamaño de la misma población.



Características de la distribución normal

μ

La curva tiene forma de campana y presenta un punto máximo que se encuentra en el centro de la distribución, en ese punto la media, mediana y moda son iguales.

Es simétrica con respecto a la media de la distribución, es decir, el índice de asimetría de la distribución normal es cero..

La curva normal se extiende horizontalmente de(-∞ a+∞)

El área total bajo la curva normal se considera que es de 100% ya que la suma de las probabilidades a lo largo de la distribución es 1



Cada distribución normal es completamente especificada por su media y su desviación estándar, existiendo una distribución normal diferente para cada combinación de media y desviación estándar, dependiendo del grado de dispersión que exista.

La dispersión hace que la curva sea más elevada o más achatada

Un valor pequeño de σ significa que la curva normal es una campana delgada y picuda

Un valor grande de σ significa que la curva normal es una campana ancha y aplanada



La variación del parámetro μ ocasiona un desplazamiento de la gráfica a la izquierda para valores negativos y a la derecha para valores positivos. La Figura siguiente muestra el efecto descrito para las σ=1, y tres diferentes medias μ=-2,μ=0,μ=2.

-6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Figura. Efecto de desplazamiento para σ=1, μ=-2,μ=0,μ=2

,



Como se menciono anteriormente, la distribución Normal depende de dos parámetros el valor esperado o media y la desviación típica , por lo que para cada uno de los valores de estos parámetros se tiene una gráfica diferente como se observo anteriormente.

La ecuación de una curva con forma de campana esta dada por



Debido al hecho de que la curva normal presenta la distribución probabilística de una variable aleatoria continua, es imposible referirse a un punto en particular sobre la curva como probabilidad de x. Para determinar probabilidades es necesario hacer referencia a intervalos tales como el intervalo a y b.

a b

El área sombreada bajo la curva proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome cualquier valor entre a y b, y se obtiene hallando el área bajo la curva a partir de la siguiente integral



El problema anterior se resuelve convirtiendo curvas normales de formas y posiciones diferentes, en una sola curva normal estándar, con el cambio de variable aleatoria al cual se le llama estandarización de la variable X a unidades en Z.

De acuerdo a la integral anterior se sabe que resultaría complicado el cálculo de las probabilidades, debido a que hay un número infinitamente grande de distribuciones normales para cada μ yσ, pero como es de suponerse se requiere de algún método con el que no se tengan que resolver integrales para diferentes valores de μ y σ.

Una variable aleatoria se estandariza al expresar su valor como el número de desviaciones estándar (z), a la izquierda o a la derecha de su media(μ).

De la formula se obtiene las siguientes conclusiones

Cuando x es menor que la media μ,el valor de z es negativo.

Cuando x es mayor que la media μ, el valor de z es positivo.

Cuando x =μ, el valor de z =0



Construcción de la curva normal estándar

Por lo tanto si μ=4 y σ=1, un valor de x=2 se convierte en z=-2, indicando que este valor de variable aleatoria esta a 2 desviaciones estándar debajo de la media como se muestra a continuación.

Las curvas normales se pueden convertir en una curva normal estándar mostrada en el panel inferior. Cada valor real x, de la variable aleatoria normal se convierte en un valor estandarizado z.

Del mismo modo, cuando μ=12 y σ=2, un valor de x=14 se convierte en z =1, indicando una distancia de una desviación estándar arriba de la media.



La variable Z es conocida como variable tipificada

Distribución normal estandarizada

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucion-normal-

estandar.html

μ=0σ=1

El área bajo la curva normal estándar se puede consultar en tablas respectivas para los valores más comúnmente utilizados. Las tablas disponibles en general solo abarcan un rango para la variable tipificada de -3.4 Z 3.4, esto es debido a que la probabilidad de valores de Z mayores que 3.4 y menores que -3.4 tienen una probabilidad muy baja, y la probabilidad el área o bajo la curva normal estándar es prácticamente 1.

Área bajo la curva=1



Uso de tablas de Distribución Normal Acumulada

Las puntuaciones z se enlistan en la columna

del lado izquierdo donde se muestran las

unidades y décimos.

Las puntuaciones z se enlistan en el renglón

superior, donde se muestran los dos

centésimos.


Elaboró:Ing. Nayeli L. Villegas Juárez• Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México,2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión.pp.218

También se puede determinar el área bajo la curva normal, en base a la regla empírica que plantea 3 aseveraciones:

68.27%95.45%99.73%

Aproximadamente el 68% del área bajo la curva esta comprendida en un intervalo de μ- σ hasta μ+σ.

1 Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 2σ, es decir 95% de los datos se encuentran a una distancia de 2 desviaciones estándar.

2

Aproximadamente el 99% de los valores se encuentran en un rango que comprende μ ± 3σ, es decir 99% de los datos se encuentran a una distancia de 3 desviaciones estándar

3

σ

3σ

σ

σ

2σ 2σ3σ

μ



Todo lo explicado anteriormente hace referencia a una población que presenta una distribución normal, pero ¿Qué hacer en el caso de que la distribución poblacional no sea normal?

Teorema de límite Central

Si es la media de una muestra aleatoria simple tomada de una población grande de valores x, y si los valores de la población N no están totalmente distribuidos, la distribución de , sin embargo, se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño muestral n, siempre y cuando el tamaño de la muestra sea grande n >30.

n n

n n

A esto se le conoce como Teorema de límite Central



Por lo anterior la variable tipificada para determinar la probabilidad de la variable aleatoria es

El teorema de límite central nos permite utilizar los cálculos de probabilidad de una población normal, para responder a preguntas sobre las medias muéstrales de muchas observaciones, incluso cuando la distribución de la población no es normal.

Medidas de distribución muestral de Distribución muestral de la media muestral

= μ = =



En esta sección se muestra la forma en que las probabilidades relativas a una distribución binomial pueden estimarse razonablemente utilizando la distribución normal. Con ayuda de la siguiente figura se explicará mas claramente.

Aproximación de la distribución binomial mediante la distribución normal.

Los rectángulos representan probabilidades para los diferentes valores de la variable aleatoria binomial x, en cada histograma. Conforme aumenta el valor de n, los rectángulos se vuelven mas angostos, y cuando tiende a infinito se tienen rectas verticales sin espacio entre ellas y la distribución se convierte en una curva normal en forma de campana.



Una regla práctica para la aproximación a la normal es que tanto np como n(1-p) sean mayores de 5.

La variable aleatoria binomial x es el número de éxitos en n ensayos. La tendencia de la binomial a acercarse a la distribución normal se vuelve mas rápida y pronunciada cuando la probabilidad de éxito o p, es cercana a 0.5. A pesar de esto la tendencia seguirá existiendo cuando p tome otros valores. En realidad siempre que n sea suficientemente grande, es posible aplicar la distribución normal como aproximación a la binomial sin importar el valor de p.

Ya que la distribución normal tiene dos parámetros, la media(μ) y la varianza( ), es necesario identificar ambos parámetros en la variable aleatoria binomial x, siempre que se intente una aproximación a la normal.



La aproximación se puede llevar a cabo para un numero menor siempre y cuando el producto de np y n(1-p) sea mayores a 5, por ejemplo para el caso n=15 y p=0.4 se tiene que np= 6 y n(1-p) =9.6, entonces es posible aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal para este caso. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0.4.

Ejemplo:

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.05

0.1

0.15

0.2

numero de exitos

pro

babilid

ad

Figura. Aproximación de la binomial mediante la distribución normal, n =15 y p =0.4



Si ahora n=15 y p=0.3 se tiene que np= 4.5 y n(1-p)= 10.5, entonces, para este caso no es adecuado aproximar la distribución binomial mediante la distribución normal. La figura siguiente muestra la distribución binomial y la normal para n = 15 y p = 0.3.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

numero de exitos

pro

babili

dad

Para obtener una buena aproximación normal se requerirá un n mucho mayor, por ejemplo, para n=30 y p=0.3 se tiene que np= 9 y n(1-p)= 21, y entonces si es posible aproximar la distribución binomial mediante la normal.

0 5 10 15 20 25 300

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

numero de exitos

pro

babilid

ad

Ejemplo:



• Gálvez Coyt Gonzalo. Apuntes de Probabilidad y Estadística.2009.pp. 86-89,94,95,97,98

• Orozco Lira Godfrey, Carballo Pérez Alfonso. Estadística I. Universidad Tecnológica de México. Ed. INITE. 3raedición. pp.358,359

• Lincoln L. Chao. Introducción a la Estadística. California State University. México,2002 Ed. Continental. Décima séptima reimpresión.pp.211,213,242,243

• Weimer Richard C. Estadística. Compañía Editorial Continental. México,2005. 8ªreimpresión. pp.298.

• Mendenhall William,Beaver Robert J.,Beaver Barbara M. Introducción a la Probabilidad y Estadística. México, 2007. Ed.Cengage Learning. Décimo segunda edición.pp.225.

• Heinz Kohler. Estadística para negocios y economía. México ,1996. Ed. Continental. Primera edición en español. pp.252,253

• Moore David S. Estadística Básica Aplicada.Barcerlona,2000. Ed. Mozart Art. Segunda edición.pp.303,305,310,311

Bibliografía



!!!Resolvamos unos ejercicios para que entendamos mejor

el tema!!!!!!

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