Distribución de Probabilidades Discretas y Continuas

8/17/2019 Distribución de Probabilidades Discretas y Continuas

1/30

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL GUIA DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA

SEGUNDO BIMESTRE

UNIDAD III

II. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DISCRETAS Y CONTINUAS

ASESORÍA DIDÁCTICA III

Existen las llamadas variables aleatorias va!" #$e son %$n&iones #$e aso&ian $n n'mero real a &adaelemento del es(a&io m$estral)

Las variables aleatorias se &lasi%i&an en dis&retas * &ontin$as) Las variables aleatorias dis&retas vad!"son a#$ellas variables #$e toman valores enteros" * se (resentan +eneralmente (or medio de $na tabla)En &ambio las variables aleatorias &ontin$as va&!" son a#$ellas variables #$e toman valores en $naes&ala &ontin$a" es de&ir &$al#$ier n'mero real en $n intervalo dado" no es (osible re(resentarlas en

%orma tab$lar)

Existen adem,s %$n&iones de densidad de (robabilidades %d(! tanto (ara vad &omo (ara va&" #$e deben&$m(lir b,si&amente dos &osas- #$e la (robabilidad var.e siem(re entre / * 0 * #$e la s$ma de las (robabilidades sea 0 (ara las vad" * en el &aso de las va& #$e el ,rea ba1o &$al#$ier &$rva de siem(re 0)

Anali2aremos las si+$ientes variables aleatorias dis&retas-

A. VARIABLES DISCRETAS

Definición. Se di&e #$e $na variable aleatoria v)a! es $na %$n&i3n %- ℜ→ A " donde A re(resenta eles(a&io m$estral * ℜ los n'meros reales)

Existen dos ti(os de variables aleatorias" las dis&retas * &ontin$as)

Definición. Un es(a&io #$e &ontienen $n n'mero %inito de (osibilidades o in%inita &on i+$al n'mero deelementos #$e n'meros enteros" se &ono&e &omo es(a&io m$estral dis&reto)

Definición) Un es(a&io #$e &ontienen $n n'mero in%inito de (osibilidades i+$ales n'mero deelementos de los n'meros reales" se &ono&e &omo es(a&io m$estral &ontin$o)

Una variable aleatoria dis&reta toma &ada $no de s$s valores &on al+$na (robabilidad" (or lo #$e se ($ede dar la si+$iente-

Definición. Una %$n&i3n de densidad es llamada de (robabilidades %)d)a! si &$m(le-

4AT) 4AURICIO GARCIA PAG 0


2/30


a! Para $na variables aleatoria dis&reta 5 si - 0! 0!/ ≤≤ A P 6! 0!0

=∑=

n

i

x p

b! Para $na variable aleatoria &ontin$a 5" si- 0! 0!/ ≤≤ A P 6! 0! =∫ +∞

∞−

dx x p " re&ordar

#$e

b xadx x p

b

a≤≤=∫ ! "

1. Dis!i"#ción Bin$%i&'

De%ini&i3n- Sea x $na variable aleatoria dis&reta vad!" en la #$e se reali2an n (r$ebas inde(endientes *la (robabilidad de #$e s$&edan 7 ve&es $n s$&eso viene dado (or la si+$iente %$n&i3n de densidad de (robabilidades %d(!

( )

Ζ ∈=−

=

−

&asootroen/

n"/"0"6"8)))7"!0""

k nk p pk n

pk n P

Donde n re(resenta el tama9o de la m$estra" 7 es el n'mero de ve&es #$e o&$rre $n s$&eso" ( la (robabilidad de o&$rren&ia)

Esta distrib$&i3n :inomial" se a(li&a a! &$ando &ada ensa*o tiene dos res$ltados (osibles ;xito o%ra&aso< si o no< verdadero o %also" et&! b! adem,s existen n ensa*os inde(endientes re(etidos &! la (robabilidad de ;xitos o a&iertos " (ermane&e &onstante de $n ex(erimento a otro d! los ex(erimentosson inde(endientes) La v)a binomial 7 es la &$enta del n'mero de ensa*os exitosos #$e o&$rren" 7 tomavalores entre / * n)

Adem,s se ($eden ded$&ir las si+$ientes (ro(iedades-0) La es(eran2a matem,ti&a o media 3 (romedio viene dado (or Ex!=n(

6) La desvia&i3n est,ndar" es !0>> p pnS −=

Utili&e La tabla de la distrib$&i3n :inomial del a(;ndi&e I" es a&$m$lativa

La distrib$&i3n binomial #$e (resenta el (ro+rama es a&$m$lativo es de&ir va desde 7=/ ?asta el 7 #$ese desee) Trans%ormeCom($te*



3/30


Obs;rvese #$e CD@ nos (ermite &al&$lar el ,rea a&$m$lativa dado el ($nto)

E1em(lo-

0) La (robabilidad de #$e $na em(resa (a+$e s$s $tilidades a tiem(o" es de /)8) a! Determine la (robabilidad #$e de em(resas es&o+idas al a2ar ?asta 6 (a+$en a tiem(o) b! Cal&$le el (romediode em(resas #$e (a+$en s$s $tilidades a tiem(o)

Sol$&i3n- De a&$erdo a las &ondi&iones de los datos tenemos- n=< (=/)8 * 7=/"0"6)Utili2ando la distrib$&i3n :inomial" tenemos-

( ) −

= −k nk p pk n pk n P !0""

P


4/30


b! Nos (ide la es(eran2a matem,ti&a" esto es- Ex!=n(= >/)8=0)" (or tanto el (romedio del n'mero deem(resas #$e (a+$en s$s $tilidades a tiem(o es a(roximadamente 6)

(. Dis!i"#ción )e P$iss$n

De%ini&i3n- Si el tama9o de la m$estra es demasiado +rande * la (robabilidad m$* (e#$e9a" $tili2ar

la distrib$&i3n binomial res$lta bastante tedioso" (or lo #$e se a&onse1a $tili2ar la distrib$&i3n dePoisson #$e viene dada (or-

( )

=

×=

−

&asootroen/

)/"0"6"8)))7"H" k

e

k P

k λ

λ

λ

Donde = n(" e=6)060J)" 7 es el n'mero de ve&es #$e o&$rre $n s$&eso)Adem,s" (ara tener $n ma*or +rado de se+$ridad" en la a(li&a&i3n de la Distrib$&i3n de Poisson se

s$+iere $tili2ar la si+$iente re+la em(.ri&a" esto es-0) Si se &$m(le #$e n(K * si n/" se a(li&a la distrib$&i3n de Poisson 36) Si se &$m(le #$e (K /)0/ se a(li&a la distrib$&i3n de Poisson" (ero si no &$m(len los dos"

enton&es se a(li&a la distrib$&i3n :inomial)

Adem,s se ($eden ded$&ir las si+$ientes (ro(iedades-

0) La (robabilidad de o&$rren&ia en $n intervalo dado es inde(endiente de la o&$rren&ia en otrointervalo)

6) La (robabilidad de #$e se de res$ltado en $n intervalo m$* &orto es (ro(or&ional a la ma+nit$ddel intervalo de tiem(o" * no tiene nada #$e ver &on la &antidad de res$ltados #$e se (rod$2&an

%$era de ese intervalo)8) La (robabilidad es des(re&iable &$ando se (rod$&e mas de $n res$ltado en ese intervalo)) La es(eran2a matem,ti&a o media" viene dada (or Ex!==n() La desvia&i3n est,ndar" es λ =S

Utili&e La tabla a&$m$lativa del la distrib$&i3n de Poisson del a(;ndi&e IILa distrib$&i3n de Poisson #$e (resenta el (ro+rama es a&$m$lativo es de&ir va desde 7=/ ?asta el 7 #$ese desee) Trans%ormeCom($te*

E1em(lo 6)

Si la (robabilidad de #$e $na (ersona &ometa al menos $n error al de&larar s$ im($esto a la renta" es del/)//0) Determine la (robabilidad de #$e entre 6/// (ersonas m,s de 6 &ometan $n error en s$de&lara&i3n)

4AT) 4AURICIO GARCIA PAG


5/30


Sol$&i3n- Obs;rvese #$e se tiene #$e n=6///< (=/)//0< * 7= 8""J"6///Podemos ?a&er &$m(lir las &ondi&iones" n(=/)//0>6///=6K * si n=6////" se a(li&a enton&es ladistrib$&i3n de Poisson" (ara lo &$al &al&$laremos el evento &ontrario esto es 7= /"0"6"es de&ir- =n>(=/)//0>6///=6

( ) ×

=−

H"

k

ek P

k λ

λ

λ

" reem(la2,ndolo tenemos-

( ) ( ) ( ) ACAC)/H6

6

H0

6

H/

66"66"06"/

6606/6

=×

+×

+×

=++−−−

eee P P P " a?ora bien &omo #$eremos el evento

&ontrario tenemos0M/)= /)8688" (or tanto existe $n 86)88F" de (robabilidades de #$e m,s de dos (ersonas &ometan al menos $n error en s$ de&lara&i3n)

*. Dis!i"#ción +i,e!-e$%!ic&

De%ini&i3n- Se a(li&a &$ando el tama9o de m$estra" n" &on res(e&to al tama9o de la (obla&i3n" N" no esm$* +rande" adem,s de #$e se tiene $na &ara&ter.sti&a" x" * el n'mero de ve&es #$e o&$rre $n s$&eso" 7"se $tili2a

( )

Ζ∈≤≤=

−

−

=+

&asootroen /

Nx"n"x"MN7Mn x


6/30


Obs;rvese #$e se ne&esita &$atro (ar,metros" (ara $tili2ar esta distrib$&i3n)Adem,s se ($eden ded$&ir las si+$ientes (ro(iedades-

0) La es(eran2a matem,ti&a o media viene dada (or Ex!= N

nx

6) La desvia&i3n est,ndar" es( ) ( )

( )0

!6 −

−−=

N N

n N nr N xS

Tambi;n la tabla es a&$m$lativa desde $n 7=/ a $n 7 determinado"&on el si+$iente &omando-Trans%ormeCom($te*

E1em(lo 8)

En $na &lase en la #$e ?a* 6/ est$diantes" 0 est,n insatis%e&?os &on el texto #$e se $tili2a) Si se le (re+$ntara a&er&a del texto a $na m$estra aleatoria de &$atro est$diantes" determine la (robabilidad de#$e exa&tamente tres de ellos est;n insatis%e&?os &on el texto)Sol$&i3n- De a&$erdo a los datos se observa #$e N=6/< &omo son ele+idos al a2ar" n= < la&ara&ter.sti&a o (arti&$laridad es x=0 * 7= 8"el evento a ser &ontestado" $tili2ando la distrib$&i3ni(er+eom;tri&a" tenemos-



7/30


( ) DAOE)/

&asootroen/

D

6/

0E

80E

0E"8"6/"D =

=

−

−

=n

N

kn

x N

k

x

P " (or tanto existe $n )F de (robabilidades de #$e tres (ersonas est;n insatis%e&?os



8/30


&on el texto +$.a)

B. DISTRIBUCIONES CONTINUAS

/. Dis!i"#ción N$!%&'

Una de las %$n&iones" de variables aleatorias &ontin$as v)a)&! m,s im(ortantes en Estad.sti&a" es lallamada Distrib$&i3n Normal o Cam(ana de Ga$ss o C$rva Sim;tri&a" #$e se (resenta &on %re&$en&ia enlas a(li&a&iones reales" viene dada (or-

De%ini&i3n- Una variable aleatoria x tiene $na distrib$&i3n normal" llamado variable aleatoria normal&$*a %$n&i3n de densidad de (robabilidades viene ex(resada (or-

[ ] )))C0G6G)6)))0D0EO)8"/"6

0!


9/30


Si se desean reali2ar &,l&$los de (robabilidades rela&ionadas &on variables aleatorias distintas de ladistrib$&i3n normal est,ndar" $samos el si+$iente

Teorema) Sea x $na distrib$&i3n normal &on media x * desvia&i3n est,ndar se tiene

s

x x z

−=

0!" tiene la distrib$&i3n normal est,ndar)

Para $sar las tablas de distrib$&i3n normal estandari2ada &on $na media / * $na desvia&i3n est,ndar de0!" en el (ro+rama se debe se+$ir - Trans%ormeCom($te

Esto nos (ermitir, en&ontrar el ,rea dado el ($nto) El (ro+rama nos (ermite &al&$lar el ,rea del ($nto ala i2#$ierda)Dada $na distrib$&i3n normal estandari2ada determine las si+$ientes (robabilidades-

a! sea lo m,s B0)/Sol$&i3n- a! Como se &al&$la el ,rea desde el ($nto a la i2#$ierda tenemos-

Obteniendo &omo res$ltado $n ,rea de /) o el )F

b! Este entre /)60 * B/)0Se &al&$la el ,rea entre /)60 * B/)0



10/30


Obteniendo &omo res$ltado $n ,rea de /)0 o el 0)F)

E1em(lo )

Las ventas diarias de $na em(resa" se &om(ortan &omo $na distrib$&i3n normal" &on media de 8/

d3lares * $na desvia&i3n t.(i&a de 06/ d3lares" &$,l es la (robabilidad de #$e las ventas ex&edan de //d3lares en $n d.a en (arti&$lar

Sol$&i3n- De a&$erdo a los datos tenemos- C//08/V =0)6>06B/=)8" (or tanto (ara #$e el /F de las (ersonas terminen s$s transa&&ionesdebe d$rar &omo m,ximo )8 min$tos)

4AT) 4AURICIO GARCIA PAG 0/


11/30


E1em(lo )

Un an,lisis estad.sti&o de 0/// llamadas tele%3ni&as de lar+a distan&ia indi&a #$e la d$ra&i3n de estasllamadas se distrib$*e normalmente &on $n media m$estral de 6/ se+$ndos * $na s= /se+$ndos

a) Q$; (or&enta1e de estas llamadas d$r3 al menos 0/ se+$ndos)

b) C$,l es la (robabilidad de #$e $na llamada (arti&$lar d$re entre 0/ * 8// se+$ndos)&) C$,ntas llamadas d$raron menos de 0/ se+$ndos o m,s de 8// se+$ndos)d) Q$; (or&enta1e de las llamadas d$r3 entre 00/ * 0/ se+$ndose) C$,l es la d$ra&i3n de $na llamada (arti&$lar si solo el 0F de todas las llamadas son las &ortas)

Sol$&i3n- Se $tili2ar, el &omando CD@)NOR4AL" el mismo #$e nos en&ontrar, el (or&enta1e (ara lo&$al nos (edir, el valor de x" la media * la desvia&i3n est,ndar)

a! El ,rea #$e nos (ide es de al menos de 0/ se+$ndos" esto es-

Usando los &omandos del S(ss tenemos-

Obteniendo &omo res$ltado $n (or&enta1e del )F) Existe a(enas $n F de (robabilidades de #$e lasllamadas d$ren menos de 0/ se+$ndos)

"0 El ,rea esta entre 0/ a 8// se+$ndos" esto es -



12/30


Obteniendo &omo res$ltado $n (or&enta1e del )F) Existe $n (or&enta1e alto de F de #$e lasllamadas d$ren entre 0/ a 8// se+$ndos

&! Restar de 0 del ,rea entre 0/ a 8// se+$ndos del item anterior esto es- 0M/) = /)088" l$e+o el

n'mero de llamadas ser, de 088)< o 08 llamadas)

d! Cal&$laremos el ,rea entre 00/ * 0/ llamadas)

Al ir a Trans%orm Com($te))) tenemos-

Obteniendo &omo res$ltado $n (or&enta1e del )66F) Existe $na ba1a (robabilidad del F de #$e lasllamadas d$ren entre 00/ * 0/)

e! A#$. debemos reali2ar el (ro&eso inverso" esto es dado el ,rea en&ontrar el ($nto" (ara lo &$al iremosa- Trans%ormeCom($te * se $tili2a ID@)NOR4AL< el mismo #$e nos (ermite &al&$lar el ($nto

dado el ,rea" la media" * desvia&i3n est,ndar)

l$e+o tenemos- x s z x += > reem(la2ando nos da G)0DA6D/D/>88)6 =+−= x se+)



13/30


. APRO2IMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL A LA NORMAL

C$ando la distrib$&i3n binomial toma valores +rande n 6/"6"8/" et&!" * &$*a (robabilidad de a&ertaren $n evento (arti&$lar" se a&er&a a /)" se ($ede $tili2ar a la distrib$&i3n normal &omo $na b$enaa(roxima&i3n de la :inomial" se ($ede observar #$e (resentan $n tenden&ia en %orma de &am(ana"&omo la distrib$&i3n normal) Se a(li&a &$ando n>( X * n>0M(! X )

UNIDAD IV

IV. DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

PREGUNTAS DE AUTOEVALUACION

0) El (ar,metro es $na &ara&ter.sti&a de la m$estra a! Verdadero b! @also6) Ser, %,&il obtener la desvia&i3n t.(i&a de la (obla&i3n 3 a! Verdadero b! @also W(or #$;8) La media de todas las medias m$estrales de $na distrib$&i3n m$estral es llamada

JJJJJJJJJJJJJJJJJJJ)

) El error m$estral es la di%eren&ia entre el estad.sti&o * el (ar,metro des&ono&idoa! Verdadero b! @also

) De%inir * (oner $n e1em(lo de distrib$&i3n m$estral

)0) Distrib$&i3n m$estral de la media-Pro(iedadesError est,ndar Teorema del l.mite &entral

)6) Distrib$&i3n de la media-4$estreo de (obla&iones %initas" Distrib$&i3n de la (ro(or&i3n

ASESORÍA DIDÁCTICA IV

A. DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO

:,si&amente la In%eren&ia Estad.sti&a trata de +enerali2ar o in%erir los res$ltados de $na m$estra ?a&ia la (obla&i3n o de $n estad.sti&o (ara in%erir el (ar,metro dado)De%ini&i3n- La distrib$&i3n de (robabilidad de $n estad.sti&o se &ono&e &omo distrib$&i3n m$estral)



14/30


15/30


(or lo #$e $tili2ando06)0

8E

E86

C/06AO00−=

−=

−=

n

x z

σ

µ

" (or lo #$e tenemos #$e AM0)06!=/)080" es

de&ir" existe 0M/)080! )F de (robabilidades de #$e los de(3sitos sean s$(eriores a 00)

)DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROPORCIONES

Tambi;n se ($eden tratar de (ro(or&iones o (or&enta1es de la (obla&i3n P" es de&ir" se trata de estimar$na (ro(or&i3n m$estral p[ " (ara estimar $n (ar,metro (obla&ional P * s$ ex(resi3n viene dada (or-

n

P P

P p z

!0

[

−

−=

" donden

x p =[ " &on x &omo $na &ara&ter.sti&a o (arti&$laridad del evento)

E1em(lo 6) Si se sabe #$e el 86F de las em(resas tiene &$entas (or &obrar" al es&o+er 0//em(resas" W&$,l es la (robabilidad de #$e m,s de / ten+an &$entas (or &obrar

Sol$&i3n- De a&$erdo a los datos tenemos- P=86F< n=0// 86)/86)/D)/

!0[ =

−−=

−−=

n

P P P p z

l$e+o AM0)0! = /)/8" (or tanto existe $na

(robabilidad bastante (e#$e9a" de a(enas el )86F de #$e m,s de / em(resas ten+an &$entas (or&obrar)



16/30


7ORMA DE EVALUACIÓN

La eval$a&i3n &onsiste en la entre+a de dos deberes al %inali2ar &ada trimestre" los mismos #$e ser,n&ali%i&ados &ada $no sobre 6/ ($ntos" * (ara (resentarse al examen" &omo m.nimo entre los dos se debentener 6/" adem,s de la re&e(&i3n de dos ex,menes" sobre treinta ($ntos" &ada $no ) En &aso de noal&an2ar el ($nta1e de 86" el est$diante a$tom,ti&amente (ierde la materia" si tiene entre 86 a 0 debe (resentarse al examen s$(letorio) Si tiene 6 3 m,s en los dos ex,menes a$tom,ti&amente se en&$entraexonerado)

Para la (resenta&i3n de los traba1os #$e va a resolver" indi#$e el en$n&iado del (roblema * el literal aresolver" entre+$e en %orma ordenada * lim(io el traba1o" adem,s debe siem(re estar (resente lainter(reta&i3n de los res$ltados * s$s (osibles &om(ara&iones as. &omo la toma de de&isi3n m,s&orre&ta) En lo (osible" si es del &aso reali&e la &om(roba&i3n o veri%i&a&i3n de los mismos)

En la resol$&i3n del examen (resen&ial trimestral deben ?a&erse lo m,s &laro (osible" indi&ando el

e1er&i&io #$e est, resolviendo" los (asos ne&esarios (ara lle+ar a la res($esta) En la inter(reta&i3n del (roblema" se ($ede ?a&er la res($esta &on es%ero" el resto se ($ede ?a&erlo &on l,(i2" siendo ordenado)Se entre+ar, la resol$&i3n del examen $na ve2 %inali2ado di&?o examen)

WC3mo est$diar la asi+nat$ra

:,si&amente esta asi+nat$ra debe ser est$diada &on m$&?o &$idado" *a #$e tanto las inter(reta&iones&omo s$s &,l&$los deben ser &orre&tamente reali2adas (ara #$e no existan %ala&ias ni malasinter(reta&iones)

Se re&$erda #$e (ara #$e exista $n &ierto dominio de la asi+nat$ra deben reali2arse e1er&i&ios de talmanera #$e el est$diante ten+a ?abilidades * destre2as #$e sean desarrolladas exitosamente" de nada

sirve a(renderse el sinn'mero de %3rm$las #$e la materia tiene" si no se las sabe a(li&ar ade&$adamente)

WC3mo $tili2ar la G$.a Did,&ti&aSe ?a es&rito esta +$.a de tal manera #$e sea m$* %,&il de mane1arla" ($es en (rimer l$+ar se en&$entrandetallados los temas #$e se deben est$diar en &ada &a(.t$lo" l$e+o se indi&a el ti(o de material b,si&o a$tili2ar) Entre ellos tenemos- ti(o de &al&$ladora" &ara&ter.sti&as" el libro a $tili2ar" venta1as (eda+3+i&as"et&) Se indi&a tambi;n el ti(o de ?abilidades * destre2as #$e se mani%iesten ex(l.&itamente" a trav;s deldesarrollo tanto de los deberes &omo de los a(ortes (ar&iales)Se ?an dise9ado las asesor.as did,&ti&as &on la %inalidad de mostrar &3mo deben ser en%rentados lostemas de &ada &a(.t$lo * #$; se (retende ense9ar en &ada $no de ellos)

@inalmente se indi&a los n'meros de las los e1er&i&ios #$e tienen #$e ser res$eltos" &on s$ res(e&tiva (,+ina del libro texto)



17/30


WC3mo $tili2ar la Unidad de Est$dios

Se debe tener en &$enta las ex(li&a&iones #$e se dan en &ada &a(.t$lo de los temas " &$,les son losob1etivos" #$; temas se (retende #$e los est$diantes se a(ro(ien de estos &ono&imientos)

WC3mo (resentar los traba1os

Los traba1os deben ser (resentados" indi&ando la materia" #$; se est, (resentando &on el nombre delest$diante * el nivel en el #$e se en&$entra) a* #$e indi&ar los en$n&iados ($eden ser es&ritos o (e+ados!" l$e+o el desarrollo del mismo indi&ando los (asos #$e se desarrolla" mostrando el res$ltado *l$e+o la inter(reta&i3n del mismo" #$e es el a(orte m,s im(ortante" (ero ?a* #$e ?a&erlo sobre todo &on$na +ran &laridad" lim(ie2a * orden) Debe ser (resentado +ra(ado" en ?o1as &$adri&$ladas del mismoti(o)

WC3mo (re(arar los ex,menes

Desde el (rin&i(io" &on $na +ran dis&i(lina en el &$m(limiento del &alendario a&ad;mi&o" la

or+ani2a&i3n semanal es %$ndamental) a* #$e &$m(lir las tareas #$e se ?an im($esto" &on la %inalidadde #$e al %inal de &ada a(orte se ten+an las tareas reali2adas * sobre todo ?e&?as (or el mismoest$diante" (ara lo &$al se a&onse1a reali2ar los traba1os en&omendados $na ve2 re&ibidas las t$tor.assemanales) En &aso de no (oder asistir" ?a* #$e est$diar el libro +$.a meti&$losamente" * traer las d$das (ara el (r3ximo en&$entro) Una semana antes de &ada a(orte" se deben traer las d$das #$e no #$edaron&laras en los en&$entros anteriores o en la reali2a&i3n de s$s tareas)a* #$e mane1ar &on m$&?a ?abilidad el $so de la &al&$ladora" &omo ?erramienta de traba1o)



18/30


APENDICE I

T&"'& Ac#%#'&)& )e '& Dis!i"#ción Bin$%i&'



19/30




20/30


4AT) 4AURICIO GARCIA PAG 6/


21/30




22/30




23/30




24/30


APENDICE IIT&"'& Ac#%#'&)& )e '& Dis!i"#ción )e P$iss$n



25/30




26/30




27/30

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA EQUINOCCIAL GUIA DE ESTADISTICADESCRIPTIVA

4AT) 4AURICIO GARCIAPAG

6


28/30


APENDICE III

T&"'& Ac#%#'&)& )e '& Dis!i"#ción N$!%&'


6


29/30



6


30/30


Documents

Distribución de Probabilidades Discretas y Continuas