Distribucion Fisher

ESTADISTICA DISTRIBUCION FISHER

(F SNEDECOR)

Roger Meneses Arias

INTRODUCCIÓN

El tipo de razonamiento seguido en Cálculo de Probabilidades para el estudio de los fenómenos aleatorios es deductivo, establecidas ciertas hipótesis sobre el mecanismo que genera los datos (modelo de distribución), se deducen propiedades sobre el fenómeno en cuestión. La Inferencia Estadística nos va a proporcionar la metodología para realizar el proceso inverso, a partir de un conjunto de datos experimentales, infiere, induce o estima características o propiedades del fenómeno bajo estudio.

La Inferencia Estadística es la parte de la Estadística que incluye los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener conclusiones sobre una característica desconocida de la población a partir de la información contenida en una o más muestras representativas de esa población. La herramienta teórica que utiliza es la teoría de la probabilidad.

Los principales usos de la distribución de Fisher son los de la contrastación de la igualdad de varianzas de dos poblaciones normales y, fundamentalmente, el análisis de la varianza y el diseño de experimentos, técnicas que permiten detectar la existencia o inexistencia de diferencias significativas entre muestras diferentes.

DISTRIBUCION FISHER (F)

Usada en Teoría de Probabilidad y estadística; la distribución F, es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor.

Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente:

dondeU1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y

U1 y U2 son estadísticamente independientes.


La necesidad de disponer de métodos estadísticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del análisis de una sola población. Frecuentemente se desea comparar la precisión de un instrumento de medición con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que varía el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro.

Intuitivamente, podríamos comparar las varianzas de dos poblaciones, y , utilizando la razón de las varianzas muéstrales s2

1/s22. Si s2

1/s22 es casi igual a 1, se tendrá poca evidencia para

indicar que y no son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeño para s2

1/s22, proporcionará evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones.

La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes congrados de libertad V1 y V2 respectivamente.


Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribución ji cuadradas con grados de libertad, V1 y V2 respectivamente. Entonces la distribución de la variable aleatoria

esta dada por:

y se dice que sigue la distribución F con V1 grados de libertad en el numerador y V2 grados de libertad en el denominador.

La media y la varianza de la distribución F son:


La variable aleatoria F es no negativa, y la distribución tiene un sesgo hacia la derecha. La distribución F tiene una apariencia muy similar a la distribución ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parámetros V1 y V2 proporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribución.

Si s12 y s2

2 son las varianzas muéstrales independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de poblaciones normales con varianzas 1

2 y 22, respectivamente, entonces:


Ejemplo: Si s12 y s2

2 representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamaño n1= 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 1

2 =10 y 22 = 15,

respectivamente, encuentre P(s12/s2

2 > 1.26)

Solución: Se calcula el valor de Fisher según formula:

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posición se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un área de 0.95, pero esta área correspondería a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muéstrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sería 0.05, siendo esta la probabilidad de que s1

2/s22 > 1.26.

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