DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)En realidad la distribucin ji-cuadrada es la distribucin muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendr la distribucin muestral de varianzas.Para estimar la varianza poblacionalo la desviacin estndar, se necesita conocer el estadstico X2. Si se elige una muestra de tamaonde una poblacin normal con varianza, el estadstico:

tiene una distribucin muestral que es unadistribucin ji-cuadradacon gl=n-1grados de libertady se denota X2(X es la minscula de la letra griega ji). El estadstico ji-cuadrada esta dado por:

dondenes el tamao de la muestra, s2la varianza muestral yla varianza de la poblacin de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la siguiente expresin:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada1. Los valores de X2son mayores o iguales que 0.2. La forma de una distribucin X2depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un nmero infinito de distribuciones X2.3. El rea bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.4. Las distribuciones X2no son simtricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, estn sesgadas a la derecha.5. Cuando n>2, la media de una distribucin X2es n-1 y la varianza es 2(n-1).6. El valor modal de una distribucin X2se da en el valor (n-3).La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La funcin de densidad de la distribucin X2esta dada por:para x>0La tabla que se utilizar para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadstica de Walpole, la cual da valores crticos(gl) para veinte valores especiales de. Para denotar el valor crtico de una distribucin X2con gl grados de libertad se usa el smbolo(gl); este valor crtico determina a su derecha un rea debajo la curva X2y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo ya o largo del lado superior de la misma tabla.

Clculo de ProbabilidadEl clculo de probabilidad en una distribucin muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviacin estndar en una muestra que proviene de una distribucin normal.Ejemplos:1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobs para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribucin normal con una desviacin estndar=1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.Solucin:Primero se encontrar el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el rengln de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un rea a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza, tenga una varianza muestral:a. Mayor que 9.1b. Entre 3.462 y 10.745Solucin.a. Primero se proceder a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este nmero en el rengln de 24 grados de libertad nos da un rea a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2>9.1) = 0.051. Se calcularn dos valores de ji-cuadrada:yAqu se tienen que buscar los dos valores en el rengln de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un rea a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un rea a la derecha de 0.01. Como se est pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el rea de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.Por lo tanto la P(3.462s210.745) = 0.94

Estimacin de la VarianzaPara poder estimar la varianza de una poblacin normal se utilizar la distribucin ji-cuadrada.

Al despejar esta frmula la varianza poblacional nos queda:

Los valores de X2dependern de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos. Si nos ubicamos en la grfica se tiene:

Ejemplos:1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compaa: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compaa, suponga una poblacin normal.Solucin:Primero se calcula la desviacin estndar de la muestra:

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un= 0.05. Despus con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la grfica anterior que el valor de X2corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:

Graficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es slo en la grfica. La interpretacin quedara similar a nuestros temas anteriores referentes a estimacin. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la poblacin de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estndar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efecta como parte del control de calidad, se analiz seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por milln fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la poblacin para este estndar, usando un nivel de confianza del 90%.Solucin:Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obtenindose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.Entonces el intervalo de confianza esta dado por:y

Ensayo de Hiptesis para la Varianza de una Poblacin NormalEn la mayora de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviacin estndar de la poblacin, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hiptesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadsticas con las que se construy el intervalo de confianza, esto es con la distribucin Ji- cuadrada.Ejemplos:1. Una compaa que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de dimetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2= 0.0003. Si se supone que las medidas del dimetro se distribuyen en forma normal, hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use= 0.05.Solucin:Como en todos los ensayos de hiptesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Despus de que se identifican los datos, se plantea la hiptesis para determinar el tipo de ensayo.Datos:= 0.0002n = 10s2 =0.0003= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;= 0.0002H1;> 0.0002

Regla de decisin:Si X2R16.919 no se rechaza Ho.Si X2R>16.919 se rechaza Ho.Clculos:

Justificacin y decisin:Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmacin del proveedor.Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el rengln de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.

2. El contenido de azcar del almbar de los duraznos enlatados tiene una distribucin normal, donde se cree que la varianza es= 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviacin estndar de 4.8 mg. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un= 0.05 y calcule el valor de P.Solucin:Datos:= 18n = 10s=4.8= 0.05Ensayo de hiptesis:Ho;= 18H1;18

Regla de decisin:Si 2.7X2R19.023 no se rechaza Ho.Si X2R19.023 se rechaza Ho.Clculos:

Justificacin y decisin:Como 11.52 est entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho,y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azcar del almbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2.Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribucin ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R= 11.52 este nmero se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 ser el rea a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un rea de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 yP= (2)(0.2423) = 0.4846

3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de ltimo ao de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviacin estndar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de ltimo ao de preparatoria y se obtiene una desviacin estndar de 4.51. Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviacin estndar disminuy?. Utilice el valor de P para su decisin.Solucin:Datos:= 6n = 20s=4.51Ensayo de hiptesis:Ho;= 6H1;< 6Clculos:

Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el rea que se encuentra es la que est a la derecha de este valor. Como la media de esta distribucin ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza Hoy se concluye que la desviacin estndar disminuyo, pero si se utiliza un valor de= 0.05, entonces no se rechaza Hoy se concluira que la desviacin estndar no disminuy. La decisin depende del error tipo I que est dispuesto a tolerar el investigador.

Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin Ji-cuadrada.1. Se tiene un ensayo de hiptesis unilateral derecho, con n=20 y= 0.05Ho;= 0.10H1;> 0.10Se quiere calcular el error tipo II si las desviaciones estndar verdaderas fueran de 0.12 y 0.14.Solucin:Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral lmite, esto es s2L, para poder calcular los valores de X2y posteriormente calcular el rea. Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituir en la formula. Al despejar de la frmula original de X2se obtiene:

2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta seccin, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azcar en el almbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.Solucin:Como este es un ensayo bilateral se tendrn dos valores de s2L. Los cuales se calcularn utilizando las ji-cuadradas lmites que eran de de 2.7 y 19.023.

y

Estos dos valores se utilizarn para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"Supngase que se toma una muestra de una poblacin normal con mediay varianzaSies el promedio de lasnobservaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribucines una distribucin normal estndar. Supngase que la varianza de la poblacines desconocida. Qu sucede con la distribucin de esta estadstica si se reemplazapor s? La distribucintproporciona la respuesta a esta pregunta.La media y la varianza de la distribucintsonypara>2, respectivamente.La siguiente figura presenta la grfica de varias distribucionest.La apariencia general de la distribucintes similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la mediaSin embargo, la distribucinttiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucintes la distribucin normal estndar.

Propiedades de las distribuciones t1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.2. Cada curva t, est ms dispersa que la curva normal estndar z.3. A medida queaumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye.4. A medida que, la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estndar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl =La distribucin de la variable aleatoria t est dada por:

Esta se conoce como ladistribucin tcongrados de libertad.Sean X1, X2, . . . , Xnvariables aleatorias independientes que son todas normales con mediay desviacin estndar. Entonces la variable aleatoriatiene una distribucin t con= n-1 grados de libertad.La distribucin de probabilidad de t se public por primera vez en 1908 en un artculo de W. S. Gosset. En esa poca, Gosset era empleado de una cervecera irlandesa que desaprobaba la publicacin de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin, public su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribucin t normalmente se llama distribucint de Student, o simplemente distribucin t. Para derivar la ecuacin de esta distribucin, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una poblacin normal. Aunque esto parecera una suposicin muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana an proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribucin t.La distribucin t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamao de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamao de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones sern las mismas.Se acostumbra representar conel valor t por arriba del cual se encuentra un rea igual a. Como la distribucin t es simtrica alrededor de una media de cero, tenemos; es decir, el valor t que deja un rea dea la derecha y por tanto un rea dea la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un rea deen la cola derecha de la distribucin. Esto es, t0.95= -t0.05, t0.99=-t0.01, etc.Para encontrar los valores de t se utilizar la tabla de valores crticos de la distribucin t del libro Probabilidad y Estadstica para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers.Ejemplo:El valor t con= 14 grados de libertad que deja un rea de 0.025 a la izquierda, y por tanto un rea de 0.975 a la derecha, est0.975=-t0.025= -2.145

Si se observa la tabla, el rea sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de. La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor deen el primer rengln de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se interceptenyse obtendr el valor de t.Ejemplo:Encuentre la probabilidad de t0.025< t < t0.05.Solucin:

Como t0.05deja un rea de 0.05 a la derecha, y t0.025deja un rea de 0.025 a la izquierda, encontramos un rea total de 1-0.05-0.025 = 0.925.P( t0.025< t < t0.05) = 0.925Ejemplo:Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamao 15 que se selecciona de una distribucin normal.Solucin:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un rea de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale aLuego se busca el valor de 0.005 en el primer rengln con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor deest en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045Ejemplo:Un ingeniero qumico afirma que el rendimiento medio de la poblacin de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milmetro de materia prima. Para verificar esta afirmacin toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre t0.05y t0.05, queda satisfecho con su afirmacin. Qu conclusin extraera de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milmetro y una desviacin estndar de 40 gramos? Suponga que la distribucin de rendimientos es aproximadamente normal.Solucin:De la tabla encontramos que t0.05para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmacin si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre 1.711 y 1.711.Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aqu que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.INTERVALO DE CONFIANZA PARA; CONDESCONOCIDASiy s son la media y la desviacin estndar de una muestra aleatoria de una poblacin normal con varianza, desconocida, un intervalo de confianza de()100% paraes:

donde/2es el valor t con= n-1 grados de libertad, que deja un rea de/2 a la derecha.Se hace una distincin entre los casos deconocida ydesconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del lmite central, mientras que paradesconocida se hace uso de la distribucin muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribucin t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribucin normal. En tanto que la distribucin tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribucin t y se puede esperar buenos resultados.Con mucha frecuencia los estadsticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, condesconocida y n30, s puede reemplazar ay se puede utilizar el intervalo de confianza:

Por lo general ste se denomina como unintervalo de confianza de muestra grande. La justificacin yace slo en la presuncin de que con una muestra grande como 30, s estar muy cerca de lareal y de esta manera el teorema del lmite central sigue valiendo. Se debe hacer nfasis en que esto es solo una aproximacin y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamao de la muestra crece ms.Ejemplos:1. El contenido de siete contenedores similares de cido sulfrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribucin aproximadamente normal.Solucin:La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son:10 y s= 0.283En la tabla se encuentra que t0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% paraes:

Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores est entre 9.47 y 10.26 litros.2. Un artculo publicado en elJournal of Testing and Evaluationpresenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustin residual en segundos de especmenes tratados de ropa de dormir para nios:9.85 9.93 9.75 9.77 9.679.87 9.67 9.94 9.85 9.759.83 9.92 9.74 9.99 9.889.95 9.95 9.93 9.92 9.89Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustin residual promedio. Supngase que el tiempo de combustin residual sigue una distribucin normal.Solucin:La media muestral y la desviacin estndar para los datos dados son:9.8525 y s= 0.0965En la tabla se encuentra que t0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aqu, el intervalo de confianza de 95% paraes:

Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustin residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos.PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDACiertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacionalcondesconocida, debe incluir el uso de la distribucin t de Student. La estructura de la prueba es idntica a la del caso deconocida, con la excepcin de que el valoren la estadstica de prueba se reemplaza por la estimacin de s calculada y la distribucin normal estndar se reemplaza con una distribucin t.Ejemplos:1. ElInstituto Elctrico Edisonpublica cifras del nmero anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos elctrodomsticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al ao. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al ao con una desviacin estndar de11.9 kilowatt-hora, esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la poblacin de kilowatt-hora es normal.Solucin:1. Datos:= 46 kilowatt-horas= 11.9 kilowatt-hora= 42 kilowatt-horan = 12= 0.053. Ensayo de hiptesisHo;= 46 kilowatt-horaH1;< 46 kilowatt-hora

4. Regla de decisin:Si tR-1.796 No se rechaza HoSi tR< -1.796 Se rechaza Ho5. Clculos:

6. Justificacin y decisin:Como 1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el nmero promedio de kilowwatt-hora que gastan al ao las aspiradoras no es significativamente menor que 46.Solucin por el otro mtodo:

Regla de decisin:Si39.83 No se Rechaza HoSi< 39.83 Se rechaza HoComo la= 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza Ho.Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de 1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza Ho., ya que seraun valor alto para un nivel de significancia.

1. Un artculo publicado en la revistaMaterials Engineeringdescribe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700. La carga para la que cada especmen falla es la siguiente en MPa:19.818.517.616.715.8

15.414.113.611.911.4

11.48.87.515.415.4

19.514.912.711.911.4

10.17.9

Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribucin normal, y utilicese= 0.05. Calcule el valor de P.Solucin:1. Datos:= 10s = 3.55= 13.71n = 22= 0.053. Ensayo de hiptesisHo;= 10H1;> 10

4. Regla de decisin:Si tR1.721 no se rechaza Ho.Si tR> 1.721 se rechaza Ho.5. Clculos:

6. Justificacin y decisin.Como 4.90 >1.721 se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa.Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisin en base al estadstico real, en este caso la media de la muestra. De la frmula de la distribucin muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisin:Si11.30 No se rechaza HoSi> 11.30 Se rechaza HoComo la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor de la media muestral lmite de 11.30 por lo tanto se rechaza Hoy se llega a la misma conclusin.Para calcular el valor de P se va a la tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21 grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un rea a la derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 elvalor de P es practicamente cero, y esto apoya la decisin de rechazar Ho.3. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebs de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebs de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P.Solucin:1. Datos:= 14 librass = 1.21 libras= 14.3 librasn = 8= 0.052. Ensayo de hiptesisHo;= 14 librasH1;14 libras

3. Regla de Decisin:Si 2.365tR2.365 No se rechaza HoSi tR< -2.365 si tR> 2.365 Se rechaza Ho4. Clculos:

5. Justificacin y decisin:Como2.3650.70122.365 por lo tanto, no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebs de seis meses es de 14 libras.Solucin por el otro mtodo:12.98 y 15.01

Regla de decisin:Si 12.9815.01 No se rechaza HoSi< 12.98 > 15.01 se rechaza HoComo la= 14.3 libras, entonces no se rechaza Ho.Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con reas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561.

Error tipo II El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calcul con la distribucin z. Se realizarn algunos ejercicios en los cuales se determinar la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribucin.Existen curvas caractersticas de operacin en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tamaos de muestra correspondientes segn el grado de error que se quiera, recordando que entre mayor sea el tamao de muestra menor ser el error.1. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamao C se distribuyen normalmente, se prob una muestra aleatoria de 15 y se encontr que la media es de 1.4 volts con una desviacin estndar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01:a. Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts?b. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts.Solucin:1. Datos:= 1.5 volts.s= 0.21 volts= 1.4 volts.n = 15= 0.012. Ensayo de hiptesisHo;= 1.5 voltsH1;< 1.5 volts

3. Regla de decisin:Si tR-2.624 No se rechaza HoSi tR< -2.624 Se rechaza Ho5. Clculos:

6. Justificacin y decisin:Como 1.84 > -2.624, por lo tanto no se rechaza Hoy se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que los voltajes de las pilas tamao C no son menores a 1.5.Para calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor dede la siguiente forma:

Para encontrar el valor dese busca en la tabla de la distribucin t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un rea de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un rea de 0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando la media verdadera es de 1.3 volts y un tamao de muestra de 15.2. Para el ejercicio del peso de los bebs de 6 meses, calcular el error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5 libras.Solucin:Primero se calculan los valores de:

En este ltimo clculo parase tendr que analizar las reas de los dos extremos, pues estas no estn dentro de la regin de aceptacin, por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo II.Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad, y al interpolar nos da un rea de 0.00475. El rea correspondiente a 1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo que=1-(0.00475+0.1479)= 0.84733. Para el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la adhesin de 22 especmenes de aleacin U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a 11.Solucin:Primero se obtendr el valor del estadstico lmite:

DISTRIBUCION "F" FISHERLa necesidad de disponer de mtodos estadsticos para comparar las varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del anlisis de una sola poblacin. Frecuentemente se desea comparar la precisin de un instrumento de medicin con la de otro, la estabilidad de un proceso de manufactura con la de otro o hasta la forma en que vara el procedimiento para calificar de un profesor universitario con la de otro.Intuitivamente, podramos comparar las varianzas de dos poblaciones,y, utilizando la razn de las varianzas muestrales s21/s22. Si s21/s22es casi igual a 1, se tendr poca evidencia para indicar queyno son iguales. Por otra parte, un valor muy grande o muy pequeo para s21/s22, proporcionar evidencia de una diferencia en las varianzas de las poblaciones.La variable aleatoria F se define como el cociente de dos variables aleatorias ji-cuadrada independientes, cada una dividida entre sus respectivos grados de libertad. Esto es,

donde U y V son variables aleatorias ji-cuadrada independientes con grados de libertadyrespectivamente.Sean U y V dos variables aleatorias independientes que tienen distribucin ji cuadradas congrados de libertad, respectivamente. Entonces la distribucin de la variable aleatoriaest dada por:

y se dice que sigue la distribucin F congrados de libertad en el numerador ygrados de libertad en el denominador.La media y la varianza de la distribucin F son:paraparaLa variable aleatoria F es no negativa, y la distribucin tiene un sesgo hacia la derecha. La distribucin F tiene una apariencia muy similar a la distribucin ji-cuadrada; sin embargo, se encuentra centrada respecto a 1, y los dos parmetrosproporcionan una flexibilidad adicional con respecto a la forma de la distribucin.Si s12y s22son las varianzas muestrales independientes de tamao n1y n2tomadas depoblaciones normalescon varianzasy, respectivamente, entonces:

Para manejar las tablas de Fisher del libro de Introduccin a la Inferencia Estadstica del autor Genther, se tendr que buscar primero los grados de libertad dos para luego localizar el rea correspondiente, relacionndola con los grados de libertad uno, para calcular el valor de F.Las tablas tienen la siguiente estructura:

P1 2 3 . .. 500

60.0005

0.001

0.005

.

.

0.999530.4

El valor de 30.4 es el correspondiente a una Fisher que tiene 3 grados de libertad uno y 6 grados de libertad dos con un rea de cero a Fisher de 0.995. Si lo vemos graficamente:

Como nos podemos imaginar existen varias curvas Fisher, ya que ahora su forma depende de dos variables que son los grados de libertad.Ejemplos :1. Encontrar el valor de F, en cada uno de los siguientes casos:a. El rea a la derecha de F, es de 0.25 con=4 y=9.b. El rea a la izquierda de F, es de 0.95 con=15 y=10.c. El rea a la derecha de F es de 0.95 con con=6 y=8.d. El rea a la izquierda de F, es de 0.10 con con=24 y=24Solucin:a. Como el rea que da la tabla es de cero a Fisher, se tiene que localizar primero los grados de libertad dos que son 9, luego un rea de 0.75 con 4 grados de libertad uno.

b. En este caso se puede buscar el rea de 0.95 directamente en la tabla con sus respectivos grados de libertad.

c. Se tiene que buscar en la tabla un rea de 0.05, puesto que nos piden un rea a la derecha de F de 0.95.

d. Se busca directamente el rea de 0.10, con sus respectivos grados de libertad.

1. Si s12y s22son las varianzas muestrales de muestras aleatorias independientes de tamaos n1=10 y n2=20, tomadas de poblaciones normales que tienen las mismas varianzas, encuentre P(s12/s222.42).Solucin:Primero se establecen los grados de libertad. Como en el numerador est la poblacin uno y en el denominador la poblacin dos, entonces los grados de libertad uno equivalen a 10-1=9 y los grados de libertad dos a 20-1=19.Se procede a ir a la tabla a buscar los grados de libertad dos que son 19 y se observa que no estn, por lo tanto se tiene que interpolar entre 15 y 20 grados de libertad, buscando el valor de fisher que quedara:

Este valor de 2.42 se busca en la columna de 9 grados de libertad uno, con 15 grados de libertad dos, y se encuentra los siguiente:Area

0.902.09

0.952.59

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.933.Se procede a hacer lo mismo pero con 20 grados de libertad dos:Area

0.952.39

0.9752.84

Al interpolar entre estos dos valores nos queda un rea de 0.9516.Ahora ya se tienen las dos reas referentes a los grados de libertad dos, por lo que se interpolar para ver cunto le corresponde a los grados libertad dos con un valor de 19.Area

150.933

200.9516

Al interpolar nos queda que para 9 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos con un valor de Fisher de 2.42 el rea a la izquierda es de 0.9478.

2. Si s12y s22representan las varianzas de las muestras aleatorias independientes de tamao n1= 25 y n2= 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas12=10 y22= 15, respectivamente, encuentre P(s12/s22> 1.26).Solucin:Calcular el valor de Fisher:

Luego se va a la tabla de Fisher a buscar 30 grados de libertad 2 con 24 grados de libertad uno. Cuando se este en esta posicin se busca adentro de la tabla el valor de Fisher de 1.89. Al localizarlo y ver a la izquierda de este valor se obtiene un rea de 0.95, pero esta rea correspondera a la probabilidad de que las relaciones de varianzas muestrales fueran menor a 1.26, por lo que se calcula su complemento que sera 0.05, siendo esta la probabilidad de que s12/s22> 1.26.

Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas de Dos Distribuciones NormalesSupngase que se tienen dos poblaciones normales e independientes con varianzas desconocidas2y22, respectivamente. De este par de poblaciones, se tienen disponibles dos muestras aleatorias de tamaos n1y n2, respectivamente, sean s12y s22las dos varianzas muestrales. Se desea conocer un intervalo de confianza del 100() por ciento para el cociente de las dos varianzas,12/22.Para construir el intervalo de confianza para el cociente de dos varianzas poblacionales, se coloca la varianza muestral mayor en el numerador del estadstico F.Ejemplos:1. Un fabricante de automviles pone a prueba dos nuevos mtodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran el la tabla:Mtodo 1Mtodo 2

n1= 31n2= 25

s12= 50s22= 24

Construya un intervalo de confianza del 90% para12/22.Solucin:Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

al despejar:.F toma dos valores dependiendo del nivel de confianza y de los grados de libertad. En este caso los grados de libertad uno valen 30 y los grados de libertad dos 24.

yEstos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la relacin de varianzas12/22esta entre 1.07 y 3.93. Esto supondra que la varianza de la poblacin 1 es mayor a la varianza de la poblacin 2 entre 1.07 y 3.93.2. Una compaa fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Al ingeniero de manufactura le gustara seleccionar el proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de n1=16 partes del primer proceso, la cual tiene una desviacin estndar s1= 4.7 micropulgadas, y una muestra aleatoria de n2=12 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviacin estndar s2= 5.1 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas12/22.Suponga que los dos procesos son independientes y que la rugosidad de la superficie est distribuida de manera normal.Solucin:Por la recomendacin de que la varianza muestral mayor va en el numerador se tiene la siguiente frmula:

al despejar:.En este caso los grados de libertad uno valen 11 y los grados de libertad dos 15.

yEstos resultados los podemos interpretar de la siguiente manera:Puesto que este intervalo de confianza incluye a la unidad, no es posible afirmar que las desviaciones estndar de la rugosidad de la superficie de los dos procesos sean diferentes con un nivel de confianza del 90%.Ensayo de HiptesisSupngase que se tiene inters en dos poblaciones normales independientes, donde las medias y las varianzas de la poblacin son desconocidas. Se desea probar la igualdad de las dos varianzas, ya que para poder comparar las medias de estas dos poblaciones se utiliza la distribucin t de Student, en la cual podemos tener varianzas iguales o diferentes en la poblacin.Para conocer esto ltimo se requiere de la distribucin Fisher, y despus de utilizarla, se tomar la decisin de tener o no varianzas iguales en la poblacin, dando pi a realizar la comparacin de las dos medias segn estemos hablando. Primer caso en que las varianzas de la poblacin son desconocidas pero iguales, o en el caso dos donde se tienen varianzas desconocidas pero dismiles.Para el ensayo de hiptesis se utilizar la relacin de varianzas, la cual puede dar tres resultados:

En base a lo que se quiera probar, el ensayo podr ser unilateral derecho, izquierdo o bilateral.Ejemplos:1. La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos lneas de produccin 1 y 2, hizo un pequeo ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, as como la cantidad media de impurezas en los productos qumicos. Muestras de n1=25 y n2=20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias y varianzas:

Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un= 0.05.Solucin:Datos:Poblacin 1 Poblacin 2

n1= 25 n2= 20= 0.05Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 25-1 = 24 y2= 20-1=19.

Regla de decisin:Si Fc2.11 No se rechaza Ho,Si la Fc> 2.11 se rechaza Ho.Clculo:

Decisin y Justificacin:Como 2.04 es menor que 2.11 no se rechaza Ho, y se concluye con un= 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que la varianza del proceso 2 es menor que la del proceso 1.2. En su incansable bsqueda de un sistema de llenado adecuado, cierta empresa prueba dos mquinas. Robo-fill se usa para llenar 16 tarros y da una desviacin estndar de 1.9 onzas en el llenado. Con Automat-fill se llenan 21 frascos que dan una desviacin estndar de 2.1 onzas. Si la empresa tiene que elegir uno de estos sistemas en funcin de la uniformidad de llenado. Cual deber seleccionar? Use un= 0.10.Solucin:Datos:Robo-FillsRF= 1.9nRF= 16= 0.10Automat-FillsAF= 2.1nAF= 21Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 21-1 = 20 y2= 16-1=15.

Regla de decisin:Si Fc2.20 No se rechaza Ho,Si la Fc> 2.20 se rechaza Ho.Clculo:

Decisin y Justificacin:Como 1.22 es menor que 2.20 no se rechaza Ho, y se concluye con un= 0.10 que la variacin de llenado de la mquina Robo-Fill no es menor a la de Automat-Fill, por lo que se selecciona cualquier mquina.3. Las capas de xido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una caracterstica crtica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricacin es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cul se obtienen mejores resultados en cuanto a la reduccin en la variabilidad del espesor del xido. Veintin obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estndar de cada muestra del espesor del xido son s1= 1.96 angstroms y s2= 2.13 angstroms. Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice=0.05.Solucin:Datos:s1= 1.96n1= 21s2= 2.13n2= 21Ensayo de hiptesis:

Estadstico de prueba:La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad uno ser el tamao de la muestra de la poblacin uno menos uno.1= 21-1 = 20 y2= 21-1=20.

Regla de decisin:Si 0.406Fc2.46 No se rechaza Ho,Si la Fc< 0.406 si Fc> 2.46 se rechaza Ho.Clculo:

Decisin y Justificacin:Como 0.85 esta entre los dos valores de Hono se rechaza , y se concluye con un= 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.Error Tipo II 1. Para el ejercicio anterior, encontrar la probabilidad de cometer error tipo II si la verdadera relacin.Solucin:

1. Del ejercicio nmero 1 del ensayo de hiptesis en donde la variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos qumicos dependa del tiempo que tardaba el proceso y el fabricante empleaba dos lneas de produccin 1 y 2, e hizo un pequeo ajuste al proceso 2, calcular la probabilidad de cometer error tipo II si le relacin1.5.Solucin:por lo tanto s12/s22= 2.11 ya que esto fue lo que dio la tabla y al despejar nos queda los mismo. Se calcula un nuevo valor de F con la relacin de varianzas de 1.5.

Si se recuerda para este ejercicio se tienen 24 grados de libertad uno y 19 de grados de libertad dos, por lo que se tiene que hacer una doble interpolacin ya que 19 grados de libertad dos no vienen en la tabla.Primero se interpolar para 24 grados de libertad uno y 15 grados de libertad dos:AreaValor de F

0.501.02

0.751.41

Al interpolar para un valor de Fisher de 1.406 se ve que este valor est muy cercano a 1.41, el cual le corresponde un rea de 0.75, por lo que queda un resultado de 0.7474Ahora se procede a interpolar para 24 grados de libertad uno y 20 grados de libertad dos:AreaValor de F

0.751.35

0.901.77

La interpolacin para un valor de Fisher de 1.406 es de 0.77.Teniendo los dos valores, se puede calcular el rea correspondiente a 24 grados de libertad uno y 19 grados de libertad dos:Area

150.7474

200.77

Por lo tanto al interpolar para 19 grados de libertad dos nos da un valor de 0.76548

Distribucin Muestral de MediasSi recordamos a la distribucin normal, esta es una distribucin continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simtrica.Con esta distribucin podamos calcular la probabilidad de algn evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente frmula:

En donde z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta frmula se pueden a hacer los clculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribucin z.Sabemos que cuando se extraen muestras de tamao mayor a 30 o bien de cualquier tamao de una poblacin normal, la distribucin muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la formula de la distribucin normal cony, entonces la frmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadstico, en este caso la media de la muestra , quedara de la siguiente manera:

y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

Ejemplo:Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviacin estndar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.Solucin:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretacin sera que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.Ejemplo:Las estaturas de 1000 estudiantes estn distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamao 25 sin reemplazo de esta poblacin, determine:a. El nmero de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centmetros.b. El nmero de medias muestrales que caen por debajo de 172 centmetros.Solucin:Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendr que agregar el factor de correccin. Se proceder a calcular el denominador de Z para slo sustituirlo en cada inciso.

a.

(0.7607)(200)=152 medias muestralesb.

(0.0336)(200)= 7 medias muestralesDistribucin muestral de ProporcionesExisten ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporcin de artculos defectuosos o la proporcin de alumnos reprobados en la muestra. La distribucin muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribucin se genera de igual manera que la distribucin muestral de medias, a excepcin de que al extraer las muestras de la poblacin se calcula el estadstico proporcin (p=x/n en donde "x" es el nmero de xitos u observaciones de inters y "n" el tamao de la muestra) en lugar del estadsitico media.

Una poblacin binomial est estrechamente relacionada con la distribucin muestral de proporciones; una poblacin binomial es una coleccin de xitos y fracasos, mientras que una distribucin muestral de proporciones contiene las posibilidades o proporciones de todos los nmeros posibles de xitos en un experimento binomial, y como consecuencia de esta relacin, las afirmaciones probabilsticas referentes a la proporcin muestral pueden evaluarse usando la aproximacin normal a la binomial, siempre que np5 yn(1-p)5. Cualquier evento se puede convertir en una proporcin si se divide el nmero obtenido entre el nmero de intentos.Generacin de la Distribucin Muestral de ProporcionesSuponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artculos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artculos al azar de ese lote sin reemplazo. Genere la distribucin muestral de proporciones para el nmero de piezas defectuosas.Como se puede observar en este ejercicio la Proporcin de artculos defectuosos de esta poblacin es 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote estn defectuosas.El nmero posible de muestras de tamao 5 a extraer de una poblacin de 12 elementos es12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:Artculos BuenosArtculos MalosProporcin de artculos defectuosoNmero de maneras en las que se puede obtener la muestra

144/5=0.88C1*4C4=8

233/5=0.68C2*4C3=112

322/5=0.48C3*4C2=336

411/5=0.28C4*4C1=280

500/5=08C5*4C0=56

Total792

Para calcular la media de la distribucin muestral de proporciones se tendra que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporcin muestral y dividirla entre el nmero total de muestras. Esto es:

Como podemos observar la media de la distribucin muestral de proporciones es igual a la Proporcin de la poblacin.p= PTambin se puede calcular la desviacin estndar de la distribucin muestral de proporciones:La varianza de la distribucin binomial es2= npq, por lo que la varianza de la distribucin muestral de proporciones es2p=(Pq)/n. Si se sustituten los valores en esta frmula tenemos que:, este valor no coincide con el de 0.1681, ya que nos falta agregar el factor de correccin para una poblacin finita y un muestreo sin reemplazo:

La frmula que se utilizar para el clculo de probabilidad en una distribucin muestral de proporciones est basada en la aproximacin de la distribucin normal a la binomial . Esta frmula nos servir para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporcin en la muestra.

A esta frmula se le puede agregar el factor de correccin desi se cumple con las condiciones necesarias.Ejemplo:Se ha determinado que 60% de los estudiantes de una universidad grande fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la proporcin de la muestra de la gente que fuma cigarrillos sea menor que 0.55.Solucin:Este ejercicio se puede solucionar por dos mtodos. El primero puede ser con la aproximacin de la distribucin normal a la binomial y el segundo utilizando la frmula de la distribucin maestral de proporciones.Aproximacin de la distribucin normal a la binomial:Datos:n=800 estudiantesp=0.60x= (.55)(800) = 440 estudiantesp(x440) = ?Media= np= (800)(0.60)= 480

p(x440) = 0.0017. Este valor significa que existe una probabilidad del 0.17% de que al extraer una muestra de 800 estudiantes, menos de 440 fuman cigarrillos.

Distribucin Muestral de ProporcionesDatos:n=800 estudiantesP=0.60p= 0.55p(p0.55) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido en el mtodo de la aproximacin de la distribucin normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de "z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. Tambin se debe de tomar en cuenta que el factor de correccin de 0.5 se esta dividiendo entre el tamao de la muestra, ya que estamos hablando de una proporcin.La interpretacin en esta solucin, estara enfocada a la proporcin de la muestra, por lo que diramos quelaprobabilidad de que al extraer una muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la proporcin de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor al 55% es del 0.17%.Ejemplo:Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reaccin adversa a l, ms an, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reaccin. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporcin de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reaccin adversa, exceda el 4%.a. Resolverlo mediante la aproximacin de la normal a la binomialb. Resolverlo con la distribucin muestral de proporcionesa. Aproximacin de la distribucin normal a la binomial:Datos:n=150 personasp=0.03x= (0.04)(150) = 6 personasp(x>6) = ?Media = np= (150)(0.03)= 4.5

p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150 personas, mas de 6 presentarn una reaccin adversa.b. Distribucin Muestral de ProporcionesDatos:n=150 personasP=0.03p= 0.04p(p>0.04) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido y la interpretacin es: existe una probabilidad del 17% de que al tomar una muestra de 150 personas se tenga una proporcin mayor de 0.04 presentando una reaccin adversa.Ejemplo:Se sabe que la verdadera proporcin de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamao 60 tenga:a. Menos del 3% de los componentes defectuosos.b. Ms del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.Solucin:a. Datos:n= 60 artculosP=0.04p= 0.03p(p