UNIVERSIDAD FERMN TOROVICE-RECTORADO ACADMICOESCUELA DE INGENIERIA

ESTADSTICA Y PROBABILIDAD

Integrantes:Oscar Galindo C.I. 21.728.023Kaliantoni ChirinosC.I.

BARQUISIMETO FEBRERO DE 2014Espacio muestral

Se define espacio muestral, como el conjunto de todas las posibilidades de un experimento. En teora de conjuntos, sera el conjunto universo.Para ejemplificarlo, el espacio muestral del lanzamiento de un dado, est formado por 6 elementos, los que son: {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Un problema empieza: "Tiramos un dado..." o bien "Tiramos una moneda..." Qu hacemos? Lo primero, tenemos que saber qu resultados pueden salir:En el caso de la moneda, puede salir ''cara'' (C) o ''cruz'' (+).Si tiramos un dado, "1 ","2 ","3 ","4 ","5 " o "6. Estos son los resultados posibles, tambin llamados sucesos elementales.Por supuesto, los sucesos elementales dependen de cada problema. Si tiramos una moneda dos veces, entonces los resultados pueden ser "cc ", "c+ ", "+c ", "++ ": a la izquierda el resultado de la primera tirada, a la derecha el de la segunda.Incluso podemos pensar que nuestro experimento es salir a la calle y mirar el primer hombre que encontremos: nuestros sucesos elementales sern si lleva "barba", "barba y bigote", "slo bigote", o bien est "afeitado".Al conjunto de todos los resultados posibles se le llama espacio muestral, y se representa habitualmente con la letra griega .

As, en los cuatro ejemplos anteriores, el espacio muestral sera:Ejemplo:= {cara, cruz}= {c,+} = {1, 2, 3, 4, 5,6} = {(c,c),(c,+),(+,c),(+,+)} , que para simplificar podemos escribir ={cc,c+,+c,++} = {barba, barba y bigote, bigote, afeitado}

Probabilidad de sucesos

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre s, as como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cmo se refleja esto en el clculo de probabilidades.a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso ser menor que la del suceso que lo contiene.Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el nmero 6, y b) que salga un nmero par. Dijimos que el suceso a) est contenido en el suceso b).P(A) = 1/6 = 0,166P(B) = 3 / 6 = 0,50Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que salga mltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.P(A) = 3 / 6 = 0,50P(B) = 3 / 6 = 0,50c) Interseccin de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o ms sucesos que se intersectan. La probabilidad ser igual a la probabilidad de los elemntos comunes.Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga nmero par, y b) que sea mayor que 3. La interseccin de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.Su probabilidad ser por tanto:P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

Tipos de sucesos

Suceso elemental:

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. Ejemplo:Tirando un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto:

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo:Tirando un dado un suceso sera que saliera par, otro, obtener mltiplo de 3.

Suceso seguro:

Suceso seguro, E, est formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral). Ejemplo:Tirando un dado obtener una puntuacin que sea menor que 7.

Suceso imposible:

Suceso imposible, es el que no tiene ningn elemento.Ejemplo:Tirando un dado obtener una puntuacin igual a 7.

Sucesos compatibles:

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.Ejemplo:Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental comn.

Sucesos incompatibles:Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningn elemento en comn.Ejemplo:Si A es sacar puntuacin par al tirar un dado y B es obtener mltiplo de 5, A y B son incompatibles. Sucesos independientes:Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.Ejemplo:Al lazar dos dados los resultados son independientes. Sucesos dependientes:Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.Ejemplo:Extraer dos cartas de una baraja, sin reposicin, son sucesos dependientes. Suceso contrario:El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se denota por.Ejemplo:Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Probabilidad

La probabilidad es un mtodo por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.La teora de la probabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la fsica, la matemtica, las ciencias y la filosofa para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecnica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenmenos aleatorios.La probabilidad tal como la entendemos hoy naci el siglo XVII, cuando Pierre de Fermat y Blaise Pascal se enviaron una serie de cartas donde intentaban solucionar un problema relacionado con los juegos de apuestas. En ellas, intentaron buscar mtodos y una notacin matemtica para resolver problemas relacionados con la probabilidad.Podemos pensar qu es la probabilidad con el siguiente ejemplo.

Cogemos un dado y vamos apuntando cuntos cuatros salen cuando lo tiramos 5, 10, 20,50 y 100 veces. Supongamos que nos sale lo siguiente:TiradasNmero de cuatros

5 2

10 3

20 5

50 8

100 17

Ahora fijmonos en la proporcin de cuatros respecto al total de tiradas que hemos hecho:25=04,310=03,520=025,850=016,17100=017Despus de este experimento podemos preguntarnos: "si vuelvo a tirar el dado, qu probabilidades hay de que salga un cuatro?"Es verdad que el resultado de la tirada depender del azar, pero hemos observado que si hacemos muchas tiradas, lo normal es que salga un cuatro unas 17 veces de cada 100. Por lo tanto, decimos que la probabilidad es aproximadamente del 17%, o lo que es lo mismo, de 017.De hecho, si lo pensamos un poco, como un dado tiene 6 caras, y todas es igual de probable que salgan, es de esperar que de cada 6 tiradas, una sea un cuatro, es decir, creemos que la probabilidad debera ser 16=016=01666

ley de Laplace:

Probabilidad de la unin de sucesos incompatibles:A B = p(A B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unin de sucesos compatibles:A B p(A B) = p(A) + p(B) p(A B)Probabilidad condicionada:

Probabilidad de la interseccin de sucesos independientes: p(A B) = p(A) p(B)

Probabilidad de la interseccin de sucesos dependientes: p(A B) = p(A) p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos:

Teorema de la probabilidad total:p(B) = p(A1) p(B/A1) + p(A2) p(B/A2 ) + ... + p(An) p(B/An )

Teorema de Bayes:

Probabilidad condicionada

Se calculan una vez que se ha incorporado informacin adicional a la situacin de partida:Ejemplo: se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es 1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva informacin (por ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un nmero par) entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente frmula:

Donde:P (B/A) es la probabilidad de que se d el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.P (B L A) es la probabilidad del suceso simultneo de A y de BP (A) es la probabilidad a priori del suceso AEn el ejemplo que hemos visto:P (B/A) es la probabilidad de que salga el nmero 2 (suceso B) condicionada a que haya salido un nmero par (suceso A).P (B L A) es la probabilidad de que salga el dos y nmero par.P (A) es la probabilidad a priori de que salga un nmero par.Por lo tanto:P (B L A) = 1/6P (A) = 1/2P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3Luego, la probabilidad de que salga el nmero 2, si ya sabemos que ha salido un nmero par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).

Teorema de Bayes

En la teora de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en trminos de la distribucin de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribucin de probabilidad marginal de slo A.

En trminos ms generales y menos matemticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podra saber (si se tiene algn dato ms), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestin para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculacin ntima con la comprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Con base en la definicin de Probabilidad condicionada, obtenemos la Frmula de Bayes, tambin conocida como la Regla de Bayes:

Independencia estadstica

Dos variables estadsticas son estadsticamente independientes cuando el comportamiento estadstico de una de ellas no se ve afectado por los valores que toma la otra; esto es cuando las relativas de las distribuciones condicionadas no se ven afectadas por la condicin, y coinciden en todos los casos con las frecuencias relativas marginales.Esta definicin puede hacerse ms operativa, a travs de la caracterizacin siguiente: Dos variables son estadsticamente independientes cuando para todos los pares de valores se cumple que la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales.

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta es aquella que slo puede tomar valores enteros. Ejemplos: El nmero de hijos de una familia, la puntuacin obtenida al lanzar un dado.

Distribuciones discretas: Binomial

Las distribucin binomial parte de la distribucin de Bernouilli: La distribucin de Bernouiili se aplica cuando se realiza una sola vez un experimento que tiene nicamente dos posibles resultados (xito o fracaso), por lo que la variable slo puede tomar dos valores: el 1 y el 0 La distribucin binomial se aplica cuando se realizan un nmero"n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:0: si todos los experimentos han sido fracason: si todos los experimentos han sido xitosEjemplo: se tira una moneda 10 veces: cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor de 10.

Distribucin de Poisson

Esta distribucin es una de las ms importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacin de situaciones en las que nos interesa determinar el nmero de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideracin lmite de procesos dicotmicos reiterados un gran nmero de veces si la probabilidad de obtener un xito es muy pequea . le toma el valor 10

Bibliografa

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-24-est.htm http://www.vitutor.net/1/52.html http://www.sangakoo.com/es/temas/definicion-de-probabilidad-espacio-muestral-y-suceso-seguro-e-imposible http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorialsf15e/frames7_5.html http://www.slideshare.net/XavierVillamil/eventos-y-espacio-muestral http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t12.htm