Distribuciones fermi-dirac, maxwll-boltman, bose-einstein

8/16/2019 Distribuciones fermi-dirac, maxwll-boltman, bose-einstein

http://slidepdf.com/reader/full/distribuciones-fermi-dirac-maxwll-boltman-bose-einstein 1/16

Energía de Fermi.

Podemos Entender muchas propiedades físicas de los metales, y no solo los metales simplesen términos del modelo del electrón libre. De acuerdo a este modelo, los electrones de valencia delos átomos constituyentes se convierten en electrones de conducción y se mueven libremente através del volumen del metal. Incluso en los metales para los que el modelo del electrón libre

funciona me or , la distribución de car!a de los electrones de conducción refle a el fuerte potencialelectrostático de los n"cleos. #a utilidad del modelo del electrón libre es !randiosa para laspropiedades que dependen esencialmente de las de las propiedades cinéticas de los electrones deconducción.

#os metales más simples son los metales alcalinos $litio, sodio, potasio, cesio y rubidio. Enun átomo libre de sodio, el electrón de valencia se encuentra en el estado %s. En el metal, esteelectrón se convierte en un electrón de conducción en la banda de conducción %s.

&n cristal monovalente que contiene ' átomos tendrá ' electrones de conducción y 'n"cleos positivos. El ion sodio 'a ( contiene )* electrones que ocupan los lu!ares )s, +s, y +p delion libre, con una distribución espacial que esencialmente la misma en el metal como en el ion libre.

#a interpretación de las propiedades metálicas en términos del movimiento de los electronesfue desarrollada mucho antes de la mecánica cuántica. #a teoría clásica tenía muchos é itosconceptuales, sobresaliendo la ley de -hm y la relación entre conductividades térmica y eléctrica.#a teoría clásica falla al e plicar la capacidad calorífica y la susceptibilidad ma!nética de loselectrones de conducción. Estas no son fallas del modelo del electrón libre, pero sí lo son de ladistribución de la función de a /ell.

0ay una !ran dificultad con el modelo clásico. De varios e perimentos podemos observarque los electrones de conducción se pueden mover libremente en un camino recto sobre variasdistancias atómicas, no deflectadas por colisiones con otros electrones de conducción o porcolisiones con otros n"cleos. En un espécimen altamente puro a muy ba as temperaturas, elprincipal camino de espacios interatomicos puede ser de hasta un poco más de )cm.

Niveles de energía en una solo dimensión.

1onsideremos un !as de electrones en una dimensión, tomando en cuenta el principio dee clusión de Pauli. &n electrón de masa m está está confinado a una lon!itud l, mediante barrerasinfinitas. #a función de onda ψ n(x) es una solución de la ecuación de 2chr3din!er Ĥψ=Єψ , donde Ĥ=p2 /2m, donde p es el momento. En la teoría cuántica p puede ser representada por el operador$iħd/dx, así4

^ H ψ = −ℏ5d5ψ n+mdx5

=ϵ n ψ n

Donde Є n es la ener!ía del electrón en el orbital.&samos el término orbital para denotar una solución de la ecuación de onda para un sistema

de un solo electrón. El término nos permite distin!uir entre los estados cuánticos e actos de laecuación de onda de un sistema de ' electrones interactuando y un estado cuántico apro imado elcual contruimos mediante la asi!nación de ' electrones a ' diferentes orobitales, donde cadaorbital es una solución de una ecuación de onda para un electrón. El model del orbital es e acto solosi no hay interacciones entre electrones.

#as condiciones de frontera son ψ n(0)=0; y ψ n(L)=0, como impusimos con la barrera deener!ía potencial. 6sí tenemos que4

ψ ( x)= Asin (n π L )



1omprobando tenemos que4

d ψ ndx

= A( n π L

)cos ( n π L

x)

d+ ψ ndx+ =− A(

n π L )

+

sin (nπ L x)

^ H ψ = −ℏ+

+ m (− A( n π

L )

+

sin ( n π L

x))=ϵ sin ( n π L

x)

De donde4

ϵ n= ℏ+

+m (n π

L )

+

7ueremos acomodar ' electrones en la linea. De acuerdo al principio de e clusión de Pauli,dos electrones no pueden tener todos sus n"mero cuánticos idénticos. Esto si!nifica que cada orbitaldebe estar ocupado por un solo electrón. Esto aplica a los electrones en átomos, moléculas osólidos.

En una línea sólida los n"meros cuánticos de un electrón de conducción en un orbital son n yms, donde n es cualquier entero positivo y el n"mero cuántico ma!nético m s8($)9+, de acuerdo a laorientación del espín. &n par de orbitales etiquetados con el n"mero cuántico n puede acomodar +electrones, uno con espín hacia arriba y otro hacia aba o.

2i e isten : electrones, entonces en el estado más ba o del sistema los orbitales llenos estándescritos en la si!uiente tabla.

n m s Espacio ocupado del electrón.

) up. )

) do/n. )

+ up. )

+ do/n. )

% up. )

% do/n. )

; up.

; do/n.

ás de un orbital pueden tener la misma ener!ía. El n"mero de orbitales con la misma ener!ía sonllamados de!enerados.

Denotemos nf como el nivel de ener!ía lleno superior, donde empe<amos el llenado de losniveles desde n8) y continuamos llenando los niveles de ener!ía hasta acomodar los ' electrones.Es conveniente supones ' como un n"mero par. #a condición 2nf 8 N determina nf , el valor de n parael nivel lleno superior.



#a energía de fermi se define como la ener!ía del nivel superior lleno en el estado base deun sistema de ' electrones. 6sí tenemos4

ϵ F = ℏ+

+m(n F π L )

+

= ℏ+

+m( N π + L )

+

=ittel )%)$)%>

Distribución de Maxwell-Boltzman.

Física estadística.

uchos e perimentos físicos son anali<ados como si las interacciones tomaran lu!ar en unsolo evento aislado. #a emisión de lu< desde un !as a ba a densidad, la dispersión de ?utherford, yla dispersión de 1ompton son e emplos de e perimentos que pueden ser anali<ados de esta forma.Por otro lado, considerando la adición de ener!ía a un !as en un contenedor mediante la elevaciónde su temperatura. 2abemos como el promedio de ener!ía de los átomos cambiará, pero nopodemos anali<ar el movimiento de los átomos individuales.

Esta repartición de ener!ía entre las partes del sistema no puede ser simplemente discutidacomo un evento aislado. El análisis de tal fenómeno cooperativo requiere las técnicas de la físicaestadística, en la cual nos concierne el calculo de la predicción del promedio de mucho eventoscooperativos y no solo de un evento aislado, basado en la distribución estadística de los posibleseventos.

nalisis estadístico.

1uando pasamos corriente eléctrica a través de un tubo que contiene un !as de ba a

densidad, como vapor de mercurio, se emite lu<. &n electrón que se empu a a un estado e citado deun átomo y re!resa a su estado base, emite uno o mas fotones. En el caso del vapor de mercurio,vemos fotones individuales que corresponden a la lu< verde, a<ul, naran a, etc... 1ada fotón tieneuna lon!itud de onda definida y corresponde a la transición de dos niveles definidos de ener!ía.6nali<ando las luces emitidas podemos construir un espectro. Podemos entender este espectrobasados en nuestro conocimiento de los estados e citados de un solo átomo de mercurio@ conformela densidad del !as sea pequeAo, el n"mero de átomo no afecta el espectro observado. Bratamos lalu< emitida mediante esta colección de átomo como si las emisiones ocurrieran "nicas y aisladas.

6hora consideremos el caso contraste del filamento de tun!steno de un bulbo ordinario delu< incandescente. En este caso obtenemos un espectro continuo que conocemos como lu< blanca.Bodas las lon!itudes de onda están presentes, no solo un n"mero finito. #os átomo aislados de

tun!steno, como los de mercurio, emiten una lu< discreta, con lon!itudes de onda bien definidos,pero en un filamento sólido de tun!steno el efecto cooperativo de los átomo cercanos cambia losniveles de ener!ía y crea un espectro continuo. Incluso pensando que el vapor de mercurio y elfilamento de tun!steno tienen el mismo n"mero de átomos, en uno podemos considerar un átomoaislado y en el otro debemos considerar la influencia de los todos los átomos.

E isten dos maneras para apro imarse al análisis de un sistema comple o. El primero esespecificar un con unto de propiedades microscópicas, como la posición y la velocidad para cadaátomo. Para un sistema pequeAo, esto es una misión sin esperan<a. El se!undo camino es reconocerque tal descripción es imposible, y también inecesario porque provee más información de larequerida. Podemos entender y predecir este comportamiento de los sistemas que contienen muchaspartículas en terminos de una pocas propiedades macroscópicas, como la temperatura y presión del!as.

De manera más !eneral, podemos hace un análisis estadístico mediante el conteo estadísticode diferentes arre!los de propiedades microscópicas de un sistema. Por e emplo, consideremos la



distribución de + unidades de ener!ía para un !as de ; partículas idénticas, pero distin!uibles. 1adapartícula obtiene la ener!ía solo en unidades enteras Ccomo en el oscilador armónico 1ómopueden estas cuatro partículas compartir + unidades de ener!íaF &na forma es que para unaspartícula se ten!an las dos unidades enteras. E isten cuatro diferentes formas para este tipo dedistribución, correspondiendo en ele!ir que cada una de las partículas tome las + unidades deener!ía. -tra forma de distribuir la ener!ía es dar una unidad de ener!ía a + partículas. E isten :

formas para esta distribución CBabla ) .

Babla ). 1onfi!uraciones para una distribución de una unidad por partícula.Ener!ía por partícula.

acroestado Partícula ). Partícula +. Partícula %. Partícula ;.

6 + * * *

* + * *

* * + *

* * * +

G ) ) * *

) * ) *

) * * )

* ) ) *

* ) * )

* * ) )

1ada distribución de ener!ía posible es llamada un macroestado$ un estado del sistema quepuede ser observado a través de medidas de propiedades macroscópicas, como la temperatura. #osdiferentes arre!los de variables microscópicas que corresponden a un solo arre!lo macroscópico sonllamados microestados. En este sistema tenemos ; microestados que corresponden al macroestado 6: que corresponden al macroestado G. Este nAumero de microestados se llaman mutiplicidad H.Entonces W A=; W B=:.

&na aplicación de estos principios estadísticos es para determinar la direcciópn de laevolución natural de un sistema. #a se!unda ley de la termodinámica dice que, en efecto, que lossistemas aislados evoluciona en una dirección conforme la multiplicidad incrementa. Esto si!nificaque si empe<amos nuestro sistema en un macroestado 6 y permitimos que las cuatro partículasinteraccionen unas con otras, podrías encontrarnos en el estado macroscópico G@ de cualquierforma, si el sistema empie<a en el macroestado G, habría menor probabilidad de encontrarnos en elestado 6 después de un tiempo, porque un cambio de G a 6 involucra en decremento en lamultiplicidad, sim embar!o para los microestados se encuentra el si!uiente postulado4 todo lomi!"o# t$do #n %n i t#m$ on i&%$lm#nt# p"o'$'l#

'uestro sistema puede ser encontrado con i!ual probabilidad en cualquiera de los )*microestados. Es este postulado el que nos permite asi!nar un mayor peso estadístico almacroestado G@ el sistema puede ser encontrado con i!ual probabilidad en cualquiera de los :microestado de G o los ; de 6, así que el peso relativo de G es :9; . 6sí, en un sistema más !rande,esperamos encontrar un ;* en el microestado 6 y un :* en el estado G.

#a suposición de i!uales probabilidades de microestados nos permite hacer calculos en elsistema. 2upon!amos un n"mero !rande de sistemas como el de la tabla ), y que los microestados

estaJ distribuidos aleatoriamente 1uál es la probabilidad de encontrar una partícula con un estadode ener!ía de +F Entre )* microestados i!ualmente probables consistente de un total de ;*partículas, hay cuatro partículas con + unidades de ener!ía. 6sí p(2)= / 08)* . 2imilarmente



p(*)=%* y p(0)=:* .El análisis estadístico de un sistema comple o nos da un manera de describir el estado del

sistema, en promedio de sus propiedades y su evolución con el tiempo.

Estadística cl!sica " cu!ntica.

Para ilustrar las diferencia entre estadística cuántica y clásica, primero consideramos otroe emplo similar como el anterior4 la distribución de un total de : unidades de ener!ía para unacolección de cinco partículas, tipo oscilado, idénticas pero distin!uibles, de las cuales todas puedenabosorber ener!ía en incrementos i!uales a ). #a distribucón de ener!ía es como la que se muestraen la fi!ura ).

Ki!ura ). Distribución de ener!ía de L partículas que pueden tener ener!ías desde * a : unidades.

Donde hay )* macroestados, etiquetados desde 6 a M. 1ada punto indica una partícula condeterminada ener!ía@ de hecho, en el macroestado G hay tres partículas con ener!ia +=*, una con

+=), y una con += . #a multiplicidad de cada macroestado Cel n"mero de microestados puedeencontrarse con tabulación con calculado con métodos estándar de la teoría de permutación4

W = N - N * - N ) - N + - N %-N ; - N L- N : -

Donde ' es el n"mero total de partíclas y N + es el n"mero con ener!ía +.El resultado de este e emplo es un e emplo de una apro imación más !eneral que nos da el

n"mero total de microestados cuando N partículas distin!uibles comparten . unidades enteras deener!ía4

W tot$l= ( N +. − ) )-. - ( N − ) )-

6sí para nuestro caso esperamos que el n"mero total de microestados sea )*N9:N;N8+)*, de acuerdocon el n"mero total de multiplicidad de la fi!ura ).

1omo procedimos previamente, calculemos la probabilidad de medir cualquier valorparticular de ener!ía de una partícula. Esto puede ser hecho considerando una colección de los +)*posibles microestados y contar el n"mero de veces que cada valor de la ener!ía aparece4

p( +)= ∑i N i W i N ∑

iW i



Donde N i representa el n"mero de partículas con ener!ías + en cada macroestado particular. #asuma es sobre todos los macroestados. #a tabla + muestra las probabilidades asociadas con laener!ía.

Babla +. Probabilidades de ener!ía.Ener!ía Probabilidad

* *.;

) *.+:>

+ *.):>

% *.*OL

; *.*;

L *.*)O

: *.**L

#as probabilidades se !rafican en la fi!ura +.

Ki!ura +. Qráfica de probabilidad.

Esta !ráfica es una e ponencial de la forma p #1+ donde R es una constante de proporcionalidad.

2e ve claramente que p decrece conforme E aumenta.Este e emplo representa la aplicación de la estadística clásica. 1ualquier sistema compuestopor muchas partículas tiene muchos macroestados y microestados para tabular, podemos anali<arsus propiedades mediante la determinación de la función de distribución que describe como laener!ía es compartida entre las partes del sistema. De cualquier forma, e isten otros fenómenos,como la conductividad eléctrica y la capacidad térmica que no pueden ser anali<ados e itosamentemediante la estadística clásica. Para este problema usamos estadística cuántica.

#as diferencias entre estadística clásica y cuántica son4

). +n f i!$ !%3nti!$, p$"t !%l$ id#nti!$ d#'#n #" t"$t$d$ !omo indi tin&%i'l# Paracalcular la multiplicidad de macroestados, asumimos en las partículas clásicas que son idénticas,

pero distin!uibles. Esto si!nifica que las partículas están numeradas de ) a L. En el macroestado 6es posible distin!uir entre el microestado en el cuál la partícula ) tiene +8: del microestado de lapartícula + con +8:, así contamos cada uno como microestado diferente para determinar la



multiplicidad de L. 2i consideramos las partículas como partículas cuánticas indistin!uibles Ccomoelectrones o fotones , no podríamos diferenciar entre estos microestados. 2i no podemos ovSbservarlos L microestados de 6 como arre!los separados, no podemos contarlos como serparados. Parapartículas idénticas cuánticas, la multiplicidad de cada macroestado es ).

+. L$ m#!3ni!$ !%3nti!$ p%#d# # t$'l#!#" l mit# #n #l n4m#"o m3ximo d# p$"t !%l$ 5%#

p%#d#n #" $ i&n$do p$"$ %n # t$do #n p$"ti!%l$" Por e emplo, supon!amos que las partículas ennuestro e emplo son electrones. El principio de Pauli prohibe que dos + electrones se encuentren enel mismo estado de movimiento de un sistema. #os electrones pueden tener espín hacia arriba ohacia aba o, así que si no hay otro n"mero asociado con estos estados de ener!ía, no pueden e istirmás de dos electrones en cada estado. Para los electrones, los macroestados 6, G, 1, K, Q, Q y Mestan prohibidos, porque cada uno tiene más de + partículas en el mismo estado de ener!ía.

Podemos repetir el calculo de la probabilidad p(+) para dos casos cuánticos, fotones ypartículas alfa4 los que tienen espines enteros y no tienen restricición de Pauli, y electrones oprotones, los cuales tienen espín de T y están restrin!idos por el principio de Pauli a no tener másde dos por estado. En el primer caso tenemos macroestados con i!ual multiplicidad de ), y en else!undo caso tenemos % macroestados CD, E, I con multiplicidad de ). 1alculando la ener!ía para +=* para fotones o partículas alfa.

p( +* )=∑)*

N )* W )*

N ∑)*

W )*= +)

(L)()* )= *.;+

Para elecrones4

p( +*)= L

(L)(%)= *.%%%

6sí tabulamos los resultados en la tabla %.

Babla %. Probabilidad para partículas alfa y electrones.Probabilidad

Ener!ía Espín entero. Espín )9+

* *.;+ *.%%%

) *.+: *.%%%

+ *.): *.+% *.* *.*:>

; *.*; *.*:>

L *.*+ *.***

: *.*+ *.***

#as probabilidades con espín entero están !raficadas en la fi!ura %, donde la curva esapro imadamente e ponencial.



Ki!ura %. Qráfica de probabilidad de partículas alfa.

#as probabilidades de espín T están !raficadas en la fi!ura ;, donde la !ráfica no es e ponencial,donde es recta cerca de +=* y después decrece rápidamente para ener!ía más !randes.

Ki!ura ;. Qráfica de partículas con espín T.

#os e emplos anali<ados muestran al!unas diferencias entre las estadísticas clásicas ycuánticas. #as verdades funciones de distribución se ven diferente a las obtenidas en este e emplode L partículas.

6hora consideramos las posibles formas de la función de distribución f(+), la cual describeque tan capaces son los estados a una ener!ía + de estar distribuidos. 1omen<aremos considerandoun sistema clásico, en el cual la densidad es relativamente ba a. Esto si!nifica que el promedio de

los espacios entre las partículas es !rande comprado con su lon!itud de onda de Gro!lie. #aspartículas individuales pueden tener niveles de ener!ía cuanti<ados, como los estados e citados delos átomos o moléculas, pero todo el sistema no muestra comportamiento cuántico. Estos límitesfuncionan perfecto para describir !ases ba o condiciones ordinarias de temperatura y presión.

#a función de distribución que se aplica en este caso en la de 6$x7#ll Bolt8m$n, la cual es4

f 6B ( +)= A− ) e p (− +9: ).

para un siste,a en equilibrio térmico a una temperatura B, donde U es la cte de Golt<manCU8).% *:; L+V)*$+% MW=$) . 1onforme la ener!ía incrementa, la probabilidad de ocupación nos

lleva a una e ponencial. 2e incluye la constante de normali<ación 6$)

, la cual nos ayuda aase!urarnos que el nomero total de partículas del sistema es '.

6plicmos la distribución de a /ell$Golt<man para encontrar el n"mero de moléculas que



tienen ener!ía entre E y E(dE en un !as a temperatura B que llena un volumen contenedor X con untotal de ' moléculas. &sando la densidad de estados tenemos.

dN =

N ( +

)d+

=;&

( +

)f

6B ( +

)d+

= A− ) ; π ; (+ +) )√ +(m! +)%/+

(<! )% + ) /+ e p

(− +

/9:

)d+

#a constante de normali<ación es determinada mediante la condición de que el n"mero total demoléculas, mediante la inte!ración de todas las ener!ías, debe ser '.

N =∫ dN =∫*

∞

N ( +)d+= A− ) ; π (+ +) )√ +(m!+)%/+

(<!)% ∫*

∞

+) /+ e p(− +/9: )

6l resolver la inte!ral tenemos que 4

A− ) = N (<!)%

(+ +) )(+π m!+ 9: )%/+

Entonces obtenemos la ener!ía de distribución para un !as de moléculas4

N ( + )= ;& ( +) f 6B ( + )= + N √ π (9: )%/+

+ ) /+e,p (− + /9: )

Esta es la ecuación de distribución de ener!ía de 6$x7#ll Bolt8m$n

Qraficando la ecuación4

f 6B ( +)= A− ) e p (− +9: ).

Y variando la temperatura tenemos4

Ki!ura L. Distribución de a /ell$Golt<man a diferentes temperaturas.



Distribución de Bose-Einstein.

#as funciones de distribución para partículas indistin!uibles de la física cuántica sondiferentes para de las clásicas. Debido al comportamiento inusual de los sistemas cuánticos,debemos separar las distribuciones que obedecen el principio de e clusión de Pauli Ccomo los

electrones y las partículas que no lo haces Ccomo los fotones .#as partículas que no obedecen el principio de e clusión de Pauli son aquellas que tiene

espín entero. 2us propiedades estadísticas están determinadas por la función de distribución deBo # +in t#in

f B+ ( + )= ) AB+ e,p ( + /9: )− )

Este tipo de partículas son conocidas como bosones. Y variando la temperatura tenemos4

Ki!ura :. Distribución de Gose$Einstein a diferentes temperaturas.

Distribución de Fermi-Dirac.

#as partículas que tienen espín T que obedecen el principio de e clusión de Pauli, comoelectrones, son descritas mediante la distribución de fermi$Dirac4

f F> ( + )= )e p ( + /9: )+)

Estás partículas son conocidas como fermiones. Y variando la temperatura tenemos4



Ki!ura >. Distribución de Kermi$Dirac a diferentes temperaturas.

Y la distribución de Kermi$Dirac se convierte en4

f F> ( +)= )e p ( +− + F /9: )+)

Donde + F es la ener!ía de Kermi.

-bservemos las diferencias cualitativas entre f B+ y f F> a ba as temperaturas. Para ladistribución de Gose Einstein, en el límite de que B es pequeAa, el factor e ponencial se hace !randepara una + !rande, y la distribución tiende a * para estados con ener!ías !randes. #os "nicos nivelesde ener!ía que pueden ser ocupados son aquellos con +=*, para los cuales el factor e ponencial seapro ima a ) y la distribución tiende a infinito. 1uando B es pequeAa todos los estados intentanocupar el estado de menos ener!ía y a este fenómeno se le llama condensación de Gose$Einstein.

Este efecto no es posible para los ferminones, como los electrones. 2abemos que loselectrones en el átomo, por e emplo, no todos ocupan el estado de menor ener!ía, sin importar latemperatura. El factor e ponencial en el denominador #xp((+ + F )/?:, para valores de +@+ F , cuandola B es pequeAa el factor e ponenecial se hace !rande y la distribución tiende a *. 1uando + + F , laparte e ponencial tiende a *, con : pequeAa, y la distribución tiende a ). La probabilidad de

ocupación es una por estado cuántico , como refiere el principio de Pauli. Incluso a ba astemperaturas los fermiones no se condensan.

#otencial $uímico.

#a ener!ía cinética de un !as de electrones aumenta conforme aumenta la temperatura4al!unos niveles de ener!ía desocupados a temperatura * son ocupados y otros ocupados sedesocupan. #a distribución de Kermi$Dirac da la probabilidad que un orbital en ener!ía E estaráocupado en un !as de electrones ideal en equilibrio térmico.



f F> ( +)= )e p ( +− μ /9: )+)

#a cantidad está en función de la temperatura. 6 cero absoluto =+ F porque en el límitecuando B tiende a *, la función f(+) cambia discontinuamente desde ) a *. 6 todas las temperaturas

f(+) es i!ual a T cuando += .#a cantidad es conocido como el potencial químico y a cero absoluto vemos que es i!ual

a la ener!ía de fermi.

%once&to termodin!mico.

1onsideremos una fase compuesta de c componentes químicos, de los cuales hay n* molesde la sustancia A*, n2 moles de la sustancia A2, etc. hasta n! moles de A!@ la fase está en equilibriotérmico a la temperatura B y en equilibrio mecánico a la presión P. #a función de Qibbs de la fasepuede escribirse como4

C= función de (D, :, n*, n2, E, n ! )

2i los componentes son inertes, la fase está en equilibrio químico y, por consi!uiente, enequilibrio termodinámico. Ima!inemos que se reali<a un proceso reversible infinitesimal en el quela temperatura y la presión varían en d: y dD, respectivamente, y el n"mero de moles de losdistintos componentes cambian en las cantidades dn*, dn2, E, dn ! Dado que los componentes soninertes, los cambios en las n han de considerarse reali<ados por la adición o supresión reversibles delos componentes mediante membranas semipermeanles adecuadas. #a variación resultante de lafunción de Qibbs viene dada por4

dC= δ Cδ :

d: + δ Cδ D

dD+ δ Cδ n)

dn) + δ Cδ n+

dn++...+ δ Cδ n!

dn!

en donde Q es función de B, P y las n y cada derivada parcial implica que todas las variablese cepto la indicada, se mantienen constantes.

1omo caso especial, consideremos un proceso reversible infinitesimal, en el que todas lasdn son nulas. En estas condiciones, la composición y la masa de la fase permanecen constantes, y laecuación se convierte en4

dC = δ Cδ :

d: + δ Cδ D

dD

Pero tenemos que4

dC=− d: + dD

de donde se deduce4

δ Cδ :

=( δ Cδ :

) D, n), n+,... ,n!

=−

δ Cδ D

=( δ Cδ D

) D, n), n+,... ,n !

= ;



por lo tanto4

dC=− d: + dD+ δ Cδ n)

dn) +δ Cδ n+

dn++...+ δ Cδ n!

dn!

6hora se considera el efecto que e erce sobre la función de Qibbs la instroducción de unapequeAa cantidad de uno de los componentes Cel componente 9 , A9 en la fase, manteniendoconstantes B, P y las restantes n. 2i se intrducen dn9 moles de A9 , el efecto sobre la función de Qibbsestá e presado por la derivada parcial4

μ 9 =δ Cδ n9

siendo 9 el potencial químico del componente 9 . El potencial químico de un componente es funciónde :, D y de todas las n. 2i una sustancia no está presente en una fase, ello no quiere decir que supotencial químico sea nulo. El potencial químico es una medida del efecto sobre la función deQibbs cuando se introduce una sustancia. 6unque la sustancia no esté presente en la fase, siempree iste la posibilidad de introducirla, en cuyo caso la función de Qibbs se modificaría y el valor de sería finito. Podemos escribir4

dC=− d: + dD+μ ) dn) +μ +dn++...+μ ! dn!

Para un cambio infinitesimal de la función de Qibbs para cualquier fase formada por componentesinertes.

#ro&iedades ondulatorias de las &artículas.

En la mecánica clásica, las leyes que describes las ondas y las partículas son diferentes.#osproyectiles obededen las leyes de partículas, como la mecánica ne/toniana. #as ondas van ba ointerferencia o difracción y no pueden ser e plicadas mediante a mecánica ne/toniana. #a ener!íaque lleva una partícula esta confinada a un pequeAo espacio@ una onda distribuye su ener!ía a travésdel espacio que va cru<ando. 1uando describimos una partícula es fácil especificar su ubicación,pero no es tan fácil hacerlo para una onda 1ómo describir la ubicación e acta de una onda desonido o una onda en el a!uaF

En contraste a esta clara distinción en la mecánica clásica, la física cuántica requiere que laspartículas obede<can ciertas re!las que obedecen las ondas.

De Gro!lie pensaba que la dualidad de la lu< no era solo propiedad de la lu<, lo cual e pusoen )O;+ en su disertación doctoral. Y presentó la si!uiente relación, sin nin!una prueba, querelaciona la lon!itud de onda con el momento4

λ = < p

Donde h es la constante de PlancU, p es el momento y G es la lon!itud de onda de Gro!lie.

'elaciones de incertidumbre &ara ondas clasicas.

En mecánica cuántica, queremos usar las onda de Gro!lie para describir las partículas. Enparticular, la amplitud de la onda nos dirá al!o sobre la locali<ación. 1laramente, una ondapuramente senosoidal, como en la fi!ura 4



Ki!ura . -nda senosoidal.

'o es de !ran utilidad para locali<ar una partícula, la onda se e tiende de $ Z a (Z, así que lapartícula puede estar en cualquier lu!ar de esa re!ión. Por otro lado. &n solo pulso, como el que semuestra en la fi!ura O4

Ki!ura O. &n "nico pulso.

6quí podemos encontrar de manera sencilla la locali<ación de la partícula en una re!ión pequeAa,pero nos dificulta la identificación de la lon!itud de onda. Debido a que la lon!itud de onda estárelaciona con el momentos mediante la relación de Gro!lie, un pobre conocimiento de la onda estáasociado con un pobre conocimiento del momento. Para una partícula cuántica, se!uimos unapremisa $conocemos me or el momento y tenemos menos conocimiento sobre la locali<ación.Podemos me or nuestro conocimiento sobre la locali<ación a e pensas del conocimiento sobre elmomento.

Bodas las ondas reales pueden ser representadas como p$5%#t# d# ond$$ disturbios queestán locali<ados en una re!ión finita de espacio de lon!itud [ . 1olocando una re!la a lo lar!o dela onda, tenemos dificultades definiendo donde acaba y comien<a e actamente la onda. 'uestramedida de la onda está su eta a una pequeAa incertidumbre [\. Está incertidumbre se representacomo una fracción de la lon!itud de onda \, así [\ I \. #a fracción es ciertamente menor a ),pero su probabilidad es mayor que *.*), así proponemos que I*.) para mantener un orden dema!nitud. 6sí la incertidumbre en nuestra medición de la lon!itud de onda es )* de la lon!itud deonda.

El tamaAo de este disturbio de onda apenas es una lon!itud de onda, así [ ]\. Para estadiscusión queremos ecaminar el producto entre el tamaAo del paquete de onda y la incertidumbre enla lon!itud de onda. [ veces [\ con [ ]\ y [\ I \.

[ [\ I \ +

Esta e presión muestra la relación inversa entre el tamaAo del paquete de onda y la incertidumbreen la lon!itud de onda4 para una lon!itud de onda dada, entre más pequeAo sea el paquete, mayor esla incertidumbre en nuestro conocimiento sobre la lon!itud de onda. 6umentar el tamaAo delpaquete de la onda no nos ayuda en nada debido a que para encontrar la lon!itud de onda se divideentre ' ciclos y nos da la misma incertidumbre.

(a relación de incertidumbre de frecuencia.

Podemos observar el fenómeno midiendo con tiempo en ve< de lon!itud las ondas denuestro paquetes. El tamaAo del paquete se mide ahora en tiempo, que es el período : , así tenemosque [ t ] : 1omo en el caso anterior tenemos una incertidumbre al encontrar el principio y final de



un ciclo, y la incertidumbre la denotamos como [ : . 1omo antes, asumimos que la incertidumbre euna pequeAa fracción del período4 [ : :∼ Para e aminar la competencia entre la duración delpaquete y nuestra habilidad para medir el período, calculamos el producto4

JtJ: : ∼2.

Esta es la se!unda relación de incertidumbre para las ondas clásicas. Esto muestra que para unaonda dada de un período dado, entre más pequeAa sea la duración del paquete de onda, mayor es laincertidumbre de la medición del período.

Para ponerlo en términos de la frecuencia4

df =− )

: + d:

I!noramos el si!no menos por solo nos interesa la ma!nitud convertimos las diferenciales enintervalos fnitos.

Δ f = )

: + Δ :

Y obtenmos 4

Δ f Δ t ∼ε

#o que si!nifica que entre más lar!a sea la duración del paquete, podemos medir con mayorprecisión su frecuencia.

El &rinci&io de incertidumbre de )eisenberg.

Podemos aplicar el mismo principio a las ondas de Gro!lie, si!uiendo el mismoprocedimiento como en el caso de la frecuencia, tenemos que4

Δ p= <λ +

Δ λ

&sando J J \ ^\∼+.

Δ x Δ p∼ε <

Donde J Jp son operadores en mecánica cuántica y sabemos que mediante operaciones de lovalores de e pectación de 6 y G lle!amos a que4

Δ AΔ B≥ )+

|_`6,G |

#le!ando así al principio de incertidumbre de 0eisenber!4

Δ xΔ p≥ℏ

+

Y este principio e pone que4



No # po i'l# d#t#"min$" im%lt3n#$m#nt# l$ po i!iKn y #l mom#nto d# %n$ p$"t !%l$ !on p"#!i iKn ilimit$d$

No # po i'l# d#t#"min$" l$ #n#"& $ y #l ti#mpo !oo"din$do !on p"#!i iKn ilimit$d$

Bibliografía.

1alor y termodinámica. 2e ta edición. c Qra/ 0ill. 6$"9 W #m$n 9y, Mi!<$"d H >ittm$n pps. %O $;**

=ittel )%:$)%

Urane %*)$%* , )*+$

Documents

Distribuciones fermi-dirac, maxwll-boltman, bose-einstein