1 BAC CCSSTEMA 2: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES.PARMETROS
ESTADSTICOSTEMA 2: DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES. PARMETROS
ESTADSTICOS1.-INTRODUCCINAunquelastablasestadsticasylasrepresentacionesgrficascontienentodalainformacinrelativa
a un problema, muchas veces interesa simplificar ese conjunto de
datos por uno o variosparmetros que caractericen de la mejor forma
posible esa distribucin de frecuencias y que,adems nos permita
comparar unas distribuciones con otras. En este sentido hay
unosparmetr! "e #e$tra%&'a#&($, quetiendenasituarseenel
centrodeladistribucin, unosparmetr! "e "&!per!&($cuyo valor
indica si los datos estn concentrados o dispersosalrededor de un
valor prefijado; y unosparmetr! "e p!&($que tienden a situarse
en undeterminado lugar de la distribucin. 2.-MEDIDAS DE
CENTRALI)ACINA* MEDIA ARITM+TICA O MEDIAa me"&a ar&tm,ta de
un conjunto de ! valores "#, "$, "%, ..., "! es el cociente entre
la suma detodos los valores observados &valores de la variable'
y el n(mero total de observaciones &tama)opoblacional'; se
representa por"y su e"presin aritm*tica es+ ,i tenemos la tabla de
frecuencias absolutas, la media se calculara as+-uandotenemos"at!
a-r.pa"! e$ &$ter/a%!,
consideraremoscomovalordevariable"ialpunto medio de cada intervalo,
es decir, la mar#a "e #%a!e. El valor calculado, evidentemente noes
el valor real de la media, pero compensa con la reduccin de
operaciones que hay que reali.ar.Adems si los datos dentro del
intervalo estn distribuidos de un modo ms o menos uniforme lamedia
calculada se apro"ima mucho a la real.0e$ta1a!+- a media es el
valor medio o promedio de las observaciones.- a media es el
parmetro de centrali.acin ms utili.ado- Es un valor situado entre
los valores e"tremos de la variable.- ,u clculo slo tiene sentido
cuando la variable es cuantitativa.- /resenta rigor matemtico- Es
sensible a cualquier cambio en los datosDe!/e$ta1a!+- !o siempre es
posible calcular la media e incluso a veces *sta carece de
significado. Enestos casos se utili.an otras medidas de
centrali.acin.- Es sensible a los valores e"tremos- !o es
recomendable emplearla en distribuciones muy asim*tricas9!"!" ... "
""!# ii! $ #==+ + +=!f "ff "f .... f ff " .... f " f ""n# ii in#
iin# ii in $ #n n $ $ # #==== =+ + ++ + +=0ambi*n a veces se
representa por 1 BAC CCSSTEMA 2: DISTRIBUCIONES
UNIDIMENSIONALES.PARMETROS ESTADSTICOS- ,i seemplean variables
discretas ocuasi1cualitativas, lamediaaritm*ticapuedenopertenecer
al conjunto de valores de la variableC.e!t&($ 1:23u* ocurrir
con el valor de la media si a todos los datos de la distribucin se
lessuma &o resta' la misma constante4 25 si se multiplican o
dividen por esa constante4C.e!t&($ 2+ En un grupo de$6alumnos
sehacalculado la nota media en un e"amen dematemticas y nos ha
quedado 7,8. ,i se incorpora al grupo un nuevo alumno y saca un 8,%
en elmismo e"amen, 2cul ser la nueva media de la clase4C.e!t&($
2+ /ensar alg(n caso en el que no pueda calcularse la media, o en
el que el valor de *stacare.ca de sentidoE1er#&: 1.1 -alcular
la media para las siguientes distribuciones de datos+a' Ca! 1+
/ocos datos!otas de los alumnos de #9 :achillerato+ ;, , $, #, ;,
8, 7, ' @>,#6'!9 de alumnos >6 86 ;6 76 %6B* MEDIANAa
me"&a$a de una distribucin es un valor Me que divide a la
distribucin en dos partes iguales;es decir, deja tantas
observaciones a la i.quierda como a la derecha.1 /ara calcularla
mediana en#a! "e p#! "at! 3 !&$ a-r.parse colocan estosen
ordencreciente de magnitud. ,i el n(mero de datos es impar la
mediana coincide con el valor central.,i el n(mero de datos es par,
cualquier valor comprendido entre los dos valores centrales es
unamediana, pero se suele tomar el valor medio de los dos valores
centrales.1 ,i tenemos m.#4! "at! 3 !&$ a-r.par, se construye
la tabla de frecuencias acumuladas Ai, yse toma la mediana como
aquel valor de la variable "i para el cual Ai sea igual o supere
$!1 En caso de "at! a-r.pa"! e$ &$ter/a%! primero buscaremos el
&$ter/a% me"&a$, que es elprimer intervalo de clase cuya
frecuencia acumulada es igual o superior a la mitad del n(mero
deobservaciones,$! . -omo primera apro"imacin puede tomarse la
mediana como la marca de clase de dicho intervalo;sin embargo
podemos calcularla de forma ms e"acta con el siguiente
ra.onamiento+ sisuponemos que los datos dentro de cada intervalo
estn distribuidos uniformemente, y llamamos&"i1#, "i' al
intervalo mediano; fi a la frecuencia absoluta de dicho intervalo y
Ai1# a la frecuenciaabsoluta acumulada en el intervalo anterior al
mediano, el clculo de la mediana es+101 BAC CCSSTEMA 2:
DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES.PARMETROS ESTADSTICOSAl igual
quesucedaconlamedia, el valorcalculadonoesel valorreal delamediana,
perocompensa con la reduccin de operaciones que hay que reali.ar.
Adems si los datos dentro delintervalo estn distribuidos de un modo
ms o menos uniforme el valor obtenido se apro"imamucho al
real.E1er#&: 2.- -alcular la mediana para las siguientes
distribuciones de datos+a' Ca!1: !otas de los alumnos de #9
:achillerato+ ;, , $,#, ;, 8, 7, ,#6'!9 de alumnos >6 86 ;6 76
%6C*MODAa m"a M
es el dato que ms se repite, es decir el valor de la variable
con mayor frecuenciaabsoluta. Es la (nica medida de centrali.acin
que tiene sentido estudiar enuna variable cualitativa, pues no
precisa la reali.acin de ning(n clculo. amodanotienepor qu*ser
(nica, sinoquepuedehaber distribucionesmultimodales.,i los datos
estn agrupados en intervalos elegimos el intervalo modal, quees
aquelcon mayor frecuencia absoluta.Aunque hay una frmula para
unclculo ms ajustado del valor de la moda, slo vamos a estudiar su
clculogrfico. /ara ello se unen los e"tremos del intervalo modal
con los contiguoscomo se muestra en la figura. El punto de corte de
dichas lneas nos da elvalor apro"imado de la moda.E1er#&: 2.-,e
ha preguntado a un grupo de alumnos de #9 de :achillerato sus pesos
y losresultados obtenidos se han colocado en la siguiente tabla.
-alcula la media, mediana y moda dela distribucin de datos+/eso
&"i' @ #$ = 8 ' @>,#6'!9 de alumnos > 8 ; 7 %;.- SIMETRA
< ASIMETRAJayconjuntodedatos dondelas tres medidas
decentrali.acin&media, medianaymoda'coinciden. En este caso se
dice que la distribucin de datos es !&m,tra.Engeneral
paraestudiarlasimetraonodeunadistribucindedatospodemosestudiarsugrfica,
su tabla o los valores de estas medidas de centrali.acin.a
representacin grfica sim*trica por
e"celenciacorrespondeaunaD&!tr&=.#&($
Nrma%yrecibeelnombre de Campa$a "e 8a.!!.Enestacampana, el
valorm"imocorrespondealamedia aritm*tica, siendo los valores
centrales msfrecuentes que losalejados, y setiene que+ En el
intervalo & " K E, " L E' se encuentra el;=,$ M de los datos En
el intervalo & " K $E," L $E' se encuentra el>7,7 M de los
datos En el intervalo & " K %E," L %E' se encuentra el
>>,8 M de los datosEn general las distribuciones de datos no
se adaptan totalmente a una campana de Nauss, sinoque presentan
asimetra. Estudiemos la asimetra de una distribucin con un
ejemplo.E1emp%+ ,ean las estaturas &en cm' de $6 alumnos las
siguientes+1#!1 BAC CCSSTEMA 2: DISTRIBUCIONES
UNIDIMENSIONALES.PARMETROS ESTADSTICOS#78, #;6, #;6, #;#, #; " =y s
F =,%$/odemos observar adems que+ En el intervalo & " K E," L
E' F #,$=, #88,>$', hay #< datos, lo que corresponde al 86Mde
los datos En el intervalo & " K $E, " L $E' F $,>;,
#=;,$@#=7 , #>7B # $6! F $6%% , #;% #6 C;6 1 7#77 ' " &"fA.
As G#deja por debajo el #6M de los valores de la distribucin,
G$deja pordebajo el $6M de los valores de la distribucin, y as
sucesivamente. El valor de G7 coincide conla
media./aracalcularlosehacelomismoqueenloscuartilesparadatossinagrupar,
yparadatosagrupados se utili.a la frmula+C* PERCENTILES,on los
valores que dividen la serie de datos en cien partes iguales. os
denotamos por /#, /$,/%, ...., />>. As /# deja por debajo el
#M de los valores de la distribucin, /$ deja por debajo el $Mde los
valores de la distribucin, y as sucesivamente. Es claroque /76
coincide con la mediana./ara calcularlo se hace lo mismo que en los
cuartiles para datossin agrupar, y para datos agrupados se utili.a
la frmula+1%' " &"fA.1-alcular 3%, G#, /,#6'!9 de alumnos >
8 ; 7 %CUESTIONES DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES#.1 a nota media
de #6 alumnos es de ;T7. ,i le preguntamos su nota a otros tres
alumnos ms,resultando ser estas notas+ 7, 8 y >, 2cul es la
nueva media de estos #% alumnos4$.1 ,e eligen al a.ar tres n(meros
del 6 al > y se forma con ellos un n(mero de tres cifras. ,esabe
que la media de las tres cifras es7 y la moda e"iste y es 8. 2-ul
es el mayor n(mero quese pudo formar de esta manera4%.1 /oner un
ejemplo de distribuciones de varian.a nula
:+ #, 7, #6, #7 y %6,in necesidad de hacer ning(n clculo 2-ul de
los dos tiene mayor dispersin47.1 El peso medio de 7 chicas es 7;,$
Ug y el peso medio de 8 chicos es ;$,= Ug. Jallar+a' /eso total de
las chicasb' /eso total de los chicosc' /eso medio de todo el
grupoE?ERCICIOS:INALES ESTADSTICA UNIDIMENSIONAL#.1 -alcular la
media, moda, varian.a, desviacin tpica y coeficiente de variacin de
la siguientedistribucin de datos+!ota de ?atemticas $ % < 7 ; 8
= > #6!9 de alumnos 7 8 < ; 7 % % $ #$.1 Pellenar la
siguiente tabla con las frecuencias relativas, porcentuales y
absolutas acumuladas+HifihipiAi$ ;%
