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NOTAS DE AULA

Distribuicao normal

Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

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Objetivo geral da aula

• Apresentar a distribuicao normal de probabilidade, suas carac-terısticas e aplicacoes .

Conteudo

1. Distribuicao Normal;

2. Caracterısticas;

3. Distribuicao normal padrao e uso de tabelas;

4. Aplicacoes.

Pre-requisitos: Variavel aleatoria contınua. Funcao de densidade de probabi-lidade. Esperanca e Variancia.

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Variavel aleatoria contınua

Uma variavel aleatoria X, assumindo quaisquer valores em um intervalo real,e classificada como absolutamente contınua ⇔ FX(x) = P (X ≤ x) ∀x ∈ R eabsolutamente contınua e derivavel por partes. Entao deve existir uma funcaof(x), chamada de funcao densidade de probabilidade satisfazendo:

• dF (x)

dx= f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

•∫ +∞

−∞dF (x) =

∫ +∞

−∞f(x)dx = 1.

Esperanca da v.a. X:

E(X) =

∫ +∞

−∞xdF (x) =

∫ +∞

−∞xf(x)dx.

Variancia da v.a. X:

Var(X) = E[(X − E(X))2] =

∫ +∞

−∞(x− E(X))2f(x)dx.

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Distribuicao Normal

Uma variavel aleatoria X tem distribuicao normal de parametros µ ∈ R eσ2 > 0, se sua densidade for dada por:

f(x) =1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]I(x)(−∞,+∞).

70 80 90 100 110 120 130

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

µ

funç

ão d

e de

nsid

ade

Figura 1: Grafico da distribuicao normal

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Caracterısticas da Distribuicao Normal

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1. f(x) e uma legıtma funcao densidade de probabilidade, pois:

• f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R;

•∫ +∞

−∞

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= 1

2. Simetria em relacao a µ

f(x) depende de x apenas em (x− µ)2. Dessa forma, tem-se

• para x = µ− b ⇒ (µ− b− µ)2 = b

• para x = µ+ b ⇒ (µ+ b− µ)2 = b

3. Limites extremos do modelo normal.

limx→−∞

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= 0

e

limx→+∞

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= 0

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4. Parametros que caracterizam o modelo: E(X) = µ e V ar(X) = σ2.

A esperanca matematica e dada por:

E(X) =

∫ +∞

−∞x

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= µ

e a variancia:

Var(X) =

∫ +∞

−∞(x− µ)2

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= σ2

8

5. Interpretacao geometrica dos parametros µ e σ2.

60 80 100 120

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

médias diferentes e dp iguais

x

dens

idad

e

90 95 100 105 1100.

00.

10.

20.

30.

4

médias iguais e dp diferentes

x

dens

idad

e

Figura 2: Interpretacao geometrica dos parametros do modelo

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6. Pontos de maximo e de inflexao da funcao normal.

Condicao necessaria: f ′(x) = 0 ⇒ x = µ (ponto de maximo).

Condicao necessaria: f ′′(x) = 0 ⇒ x1 = (µ− σ) e x2 = (µ+ σ) (pontos deinflexao)

Condicoes suficientes: estudo do sinal ou teste da derivada superior.

7. Consideracoes sobre assimetria e curtose.

α3 =E[(X − µ)3]

σ3= 0 (simetrica)

α4 =E[(X − µ)4]

σ4

α4 < 3 (platicurtica) α4 = 3 (mesocurtica) α4 > 3 (leptocurtica)

10

90 95 100 105 110

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

dens

idad

eplaticúrticamesocúrticaleptocúrtica

Figura 3: Tres curvas normais com graus de curtose diferentes

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8. Calculo de probabilidades sob a curva normal. Caracterıstica da funcao dedistribuicao da normal. Modelo normal padrao.

Se X ∼ N(µ, σ2):

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(x− µ)2

]= F (b)− F (a)

Observa-se que a funcao de distribuicao acumulada nao tem forma analıticafechada e tem que ser resolvida numericamente:

F (x) = P(X ≤ x) =

∫ x

−∞

1√2πσ2

exp

[− 1

2σ2(t− µ)2

]dt

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9. Teorema: Se X ∼ N(µ, σ2) e, se Y = aX + b (a, b ∈ R), entao Y ∼N(aµ+ b, a2σ2).

10. Corolario: Se X ∼ N(µ, σ2) e, se Z =X − µ

σ, entao Z ∼ N(0, 1).

f(z) =1√2π

exp

[− 1

2z2]

Eventos equivalentes implicam em igual probabilidade.

Dado que Z = X−µσ

P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ σZ + µ ≤ b) = P(a− µ ≤ σZ ≤ b− µ)

= P(a− µ

σ≤ Z ≤ b− µ

σ) (1)

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−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

(1)

z

dens

idad

e

−4 −2 0 2 40.

00.

20.

40.

60.

81.

0

(2)

z

F(z

)

Figura 4: Distribuicao normal padrao (1) e funcao de distribuicao normal padrao (2)

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EXEMPLO 1

Estudos meteorologicos indicam que a precipitacao pluviometrica mensal emperıodos de seca numa certa regiao pode ser considerada como seguindo a dis-tribuicao Normal de media 30mm e variancia 16mm2. a. Em um mes de secaqual a probabilidade de que chova mais de 34mm? b. Qual seria o valor daprecipitacao pluviometrica de modo que exista apenas 10% de probabilidade dehaver uma precipitacao inferior a esse valor? c. Construa um intervalo centralem torno da media que contenha 80% dos possıveis valores de precipitacao plu-viometrica. d. Admitindo esse modelo ser correto para os proximos 50 meses deseca, em quantos deles esperarıamos uma precipitacao pluviometrica superior a34mm?

Resp.: a.(0,1586) b.(24,8737) c.(24,87; 35,12) d. 8 meses aproximadamente.

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Codigos no R

par(mfrow=c(1,2))

plot(function(x) dnorm(x,30,4),15,45,col="blue",xlab="precipitac~ao",

ylab="densidade")

plot(function(x) pnorm(x,30,4),15,45,col="blue",xlab="precipitac~ao",

ylab="Func~ao de distribuic~ao" )

1-pnorm(34,30,4)

[1] 0.1586553

qnorm(0.10,30,4)

[1] 24.87379

qnorm(0.90,30,4)

[1] 35.12621

E(Y)<- 0.1586*50

E(Y)

[1] 7.93

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EXEMPLO 2

(Adaptado de Andrade e Ogliari, 2010) Suponha que diametros de Paepalanthussejam distribuıdos segundo um modelo normal com media 12 cm e desvio padrao5 cm. Um Paepalanthus e considerado pequeno se seu diametro for menor doque 4 cm ou grande se seu diametro for maior do que 19 cm.

a. Encontre o percentual de Paepalanthus considerados pequenos e grandes.

b. Em uma amostra aleatoria de 15 Paepalanthus qual e probabilidade de que2 sejam considerados grandes?

Resp.: a. 0,05479 e 0,08075 b. 0,2291

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EXEMPLO 3

(Andrade e Ogliari, 2010) Uma maquina automatica para encher sacos de semen-tes de milho hıbrido esta regulada para que o peso medio de sementes em cadasaco seja de 20 kg e o desvio padrao 0,2 kg. Pode-se admitir que a distribuicaodesta variavel seja normal.

a. Qual a porcentagem de sacos em que o peso de sementes nao se desvia damedia em mais de dois desvios padroes? b. O que ocorrera com a porcentagemdo item “a” se a maquina for regulada de forma que a media seja de 30 kg e odesvio padrao 0,30 kg? c. Qual a probabilidade de encontrar um saco com maisde 20,5 kg?

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Teorema Central do Limite

Sejam X1, X2, . . . , Xn variaveis aleatorias independentes, tal que E(Xi) = µi eV ar(Xi) = σ2

i . Para n suficientemente grande, tem-se que:∑ni=1 Xi −

∑ni=1 µi√∑n

i=1 σ2i

−→ N(0, 1)

Sejam X1, . . . , Xn v.a.s i.i.d. com E(X) = µ e Var(X) = σ2 entao temos:√n(X − µ) −→ N(0, σ2)

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X~U(10,30)

médias amostrais

dens

idad

e

18 19 20 21 22

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

X~Exp(1/2)

médias amostrais

dens

idad

e

1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

X~Pois(8)

médias amostrais

dens

idad

e

6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X~Geo(0,3)

médias amostrais

dens

idad

e

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 5: Distribuicao de X para amostras aleatorias com n = 60.

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Aplicacao: Aproximacao da binomial pela normal

Teorema Central do Limite de De Moivre-Laplace

Sejam Xn, n ≥ 1 variaveis aleatorias independentes seguindo o modelo Bernoullicom parametro π. Assim E(X) = π e V ar(X) = π(1− π). Para Sn =

∑ni=1 Xi

temos:

Sn − nπ√nπ(1− π)

−→d N(0, 1)

Dado que Sn ∼ b(n, π), temos que:

(Sn − nπ√nπ(1− π)

≤ b

)→ Φ(b)

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Exemplo: Aproximacao da binomial pela normal

Suponha que X ∼ b(200; 0, 25). Calcule P (X ≤ 55).

Solucao:

m<-200*0.25

s<-sqrt(200*0.25*0.75)

pbinom(55,200,0.25) [1] 0.8161774 #prob. exata

p1<-pnorm((55-m)/s, 0,1) > p1 [1] 0.7928919 #sem correc~ao

p2<-pnorm((55+0.5-m)/s, 0,1) > p2 [1] 0.8154462 #com correc~ao

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Exercıcios propostos

Capıtulo 5, pags. 271-278, do livro Estatıstica para as Ciencias Agrarias eBiologicas - com nocoes de experimentacao. (Ver referencia 1).

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

1. ANDRADE, D.F.; OGLIARI, P.J. Estatıstica para as ciencias agrariase biologicas com nocoes de experimentacao. Editora da UFSC, Flo-rianopolis, 2007.

2. BUSSAB, W.O. ; P.A. MORETIN, Estatıstica Basica, 5a edicao. EditoraSaraiva, 2002.

3. MAGALHAES, M.N.; LIMA, A.C. P de. Nocoes de Probabilidade eEstatıstica. 6a ed. Sao Paulo: EDUSP, 2007.