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Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas
1. Constante
2. Uniforme
3. Bernoulli
4. Binomial
5. Geometrica
6. Poisson
Variável Aleatória Constante
• pmf
• CDF
c
1.0
1.0
c
Distribuição Discreta Uniforme
• A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade pX(i) = 1/n, 1 i n
• pmf
• CDF:
contráriocaso
Xxsenxp i
iX ,0
,/1)(
n
tiptF
t
iX
1
)()(
Variável de Bernoulli
– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha}
– A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:
–Função de massa de probabilidade:
)0(1
)1(
XPpq
XPp
Distribuição de Bernoulli
• CDF
x0.0 1.0
q
p+q=1
Binomial• A v.a. X representa o numero de sucessos em
uma sequencia de experimentos de Bernoulli.• Todos experimentos são independentes.• Cada resultado é um “sucesso” ou “falha”.• A probabilidade de sucesso de um
experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p.
• Uso do modelo: número de processadores “down” num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.
Distribuição Binomial
A distribuição binomial com parâmetros n 0 and 0 < p < 1, is
Qual a média e variância????
p xn
xp px n x( ) ( )
1
Distribuição Binomial
A distribuição binomial com parametros
n 0 and 0 < p < 1, is
A média e variância da binomial são:
p xn
xp px n x( ) ( )
1
np np p2 1( )
V.A. Binomial: pmfpk
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
CD
F
V.A. Binomial: CDF
Distribuição Geométrica
• Número de experimentos até incluir o 1o sucesso.
• Em geral , S pode ter um tamanho infinitamente contável
• Definir a v.a Z ( S): amostra: 0 i-1 1 = i
• Por causa da independência:
Geométrica• A distribuição geometrica é a única distribuição
discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS.
• Resultados futuros são independentes de eventos passados.
• Exemplo: Z: numero de experimentos ate sucesso. Ja observamos n experimentos: todos com falhas. Y: numero de experimentos adicionais necessarios ate que um sucesso ocorra, i.e. Z = n+Y ou Y=Z-n
Geométrica: ausência de memória
• Y=Z-n
)()1(1
)(1
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)|(
)|(
)|(
11
ippqq
pq
nF
inp
nF
inZP
nZP
inZP
nZP
nZandinZP
nZinZP
nZinZP
nZiYP
Zi
n
in
Z
Z
Z
V.A. Geometrica
• Exercício: Mostre que
1
1( ) 1 and ( )X
x
P x E xp
VA Poisson• Número de eventos independentes que
ocorrem em um intervalo de tempo (veja discussão em Ross, 4.8)
• Número de chegadas em um servidor em 1 hora
• Número de erros de impressão em uma página de um livro
• = # médio de eventos que ocorrem no período
• Aproximação para VA Binomial com n grande e p pequeno (Ross)
•Se X = Binomial(n,p), X Poisson( = np)
Poisson: propriedades• Considere que um servidor espera receber 100
transações em um minuto: = 100 (constante)
• Espera-se que:– O início de cada transação é independente dos outros;
– Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade de uma nova transação chegar é t
– A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo é zero!
• O processo de Poisson tem as propriedades acima• A VA X~Poisson representa o numero de transacoes
que chegam durante um periodo t.
VA Poisson: Aplicacao• A v.a. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o
número de transações que chega num servidor em uma hora, ou o número de queries que chega numa máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chega num roteador em 1 segundo.
• Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários – servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, e-mail
• Sessões são iniciadas por usuários– Chegada de duas sessões tendem a ser independentes: Poisson é uma
boa aproximação
• Contra-exemplo:– Chegada de requisições em um servidor Web
– Premissa de independência não é válida: existe dependência entre requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele
• Função de massa de probabilidade (pmf):
• CDF:
k!
)( )(
ktektNPp t
k
k!)(
0
k
x
k
t texF
Distribuição de Poisson
pk
t=1.0
Poisson pmf
t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.1
CDF1
t=1.0
Poisson CDF
t=4.0
pk
t=4.0
Poisson pmf
t
CDF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.5
0.1
1
t=4.0
Poisson CDF
Poisson• Uma v.a. de Poisson X tem sua pmf::
Onde > 0 é uma constante
E(X)= Var(X) =
( ) 0,1,2,...!
x
P X x e xx
Search Algorithms: Is the Web-Graph a Random graph? No!
• Random graph Gn,p:– n nodes– Every directed edge occurs with probability p
• Is the Web-graph a random graph Gn,p?
• The probability of high degrees decrease exponentially • In a random graph degrees are distributed according to a Poisson
distribution
• Therefore: The degree of a random graph does not obey a power law (observed for web graphs)
Exercícios1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de
mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t Calcule a seguintes probabilidades:
– Exatamente tres mensagens chegarão num intervalo de 10 seg.
– No máximo 20 msgs chegarão num período de 20seg.
– O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails.
2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?
Solução
1)
2) P(X10 = 3) = 0.224
3) P(X20 20) = 0.973
4)
tk
ek
tkXtP 3.0
!
)3.0()(
1909.0!
)5.1()73( )5.1(
7
35
e
kXP
k
k
Solução
• 2) ii
ierrosP
100044
1000
4
)101()10(1000
)3(#
61000443
0
10*825.3)101()10(1000
1)3(#
ii
ierrosP
Distribuições Discretas• Zipf()
– Comumente usada quando a distribuição é altamente concentrada em poucos valores • Popularidade de arquivos em servidores Web/multimídia
– 90% dos acessos são para 10% dos arquivos
• Popularidade de palavras na língua inglesa
– Seja i, o elemento que ocupa a i-esima posição no ranking de concentração
C é a constante de normalização
Zipf: lei das Potências
,...2,1)( ii
CiXP
Distribuição Zipf
• Modela popularidade dos remetentes de e-mails para a UFMG
Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas
• Normal
• Exponencial
• Weibull
• Lognormal
• Pareto
• ....
Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas
• Variáveis aleatórias contínuas– Assumem um intervalo infinito de diferentes valores
– W=% percentual de crescimento do PIB em 2005
– V=tempo para retornar a resposta de um “query”
– Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem probabilidade 0
– Intervalos de valores tem probabilidade 0
Função Densidade de Probabilidade
Para f (x) ser uma pdf
1. f (x) > 0 x.
2.A area da região entre o grafico de f e o eixo do x é igual a 1.
Area = 1
( )y f x
Distribuição de Probabilidade
Seja X uma va contínua. Então a a função de probabilidade (pdf) de X é uma função f (x) tal que para dois números quaisquer a and b,
( )b
aP a X b f x dx
O gráfico de f é a curva de densidade.
é dada pela área da função sombreada.
( )y f x
ba
( )P a X b
Distribuição Normal (Gaussiana)
• Distribuição mais comum na análise de dados• pdf is:
• -x +• Média é , desvio padrão
f x ex
( )( )
1
2
2
22
Notação para Distribuições Gaussianas
• Geralmente denotada N(,)
• Normal unitária é N(0,1)
• Se x tem N(,), tem N(0,1)
• O -quantil de uma normal unitária z ~ N(0,1) é denotado por ztal que
x
zxPz
xP )()(
Parâmetros
• A distribuição de v.a. contínua contém toda a informação que a estatística pode descobrir sobre ela
– Distribuição pode ser expressa pela pdf ou CDF
Parâmetros
• Geralmente a informação existente numa distribuição pode ser excessiva para ser processada
• Quando isso é verdade, nós queremos sumarizar as métricas de informção:– Média
– Variancia
– Mediana
– Percentis
• São também chamados de parâmetros de uma distribuição
Distribuição Normal
• Função de densidade– Dois parâmetros, e – Assim se X é distribuído com uma normal:
2
2,~
XV
XE
NX
Normal
• Função de densidade para =0, =1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-5 -4 -3 -2 -1 -6E-14 1 2 3 4 5
x
f(x)
Normal
• Função de densidade para =1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
=2
=5
Normal
• Funções de densidade para =1
=1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
=2
Distribuicao Exponencial• Quantidade de tempo até que determinado evento
ocorra
= taxa de chegadas 1/ = tempo médio entre chegadas
0for x 1
0for x -
λx X
λxX
exF
exf
Exemplo: v.a. exponencial
• pdf:• CDF:
• v.a. muito frequentemente usada em computacao• Modelos:
– Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca
– Tempo de execução de processos – Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador
– Tempo entre chegadas de sessões em um servidor
0,)( xexf xxexF 1)(
x
f(x)
Exponential distribution
• Density
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5
Distribuicao Exponencial
P(X 1/ ) = 1 – e-1/ = 1 – 1/e
E(X) = 1/
Var(X) = 1/2 SD(X) = 1/ CV(X) = 1
CV = 1 exponencial
Distribuições Exponencial e Poisson• Seja uma distribuição Poisson que denote o número de eventos
N(t) em um intervalo de tempo t
• Seja T1 o momento do 1o evento
• Seja Tn o tempo entre o (n-1)-esimo e o n-esimo eventos
• Sequência {Tn, n=1, 2, ...}: tempos entre chegadas
P(T1 t) = P(N(t) = 0) = e -t T1 exponencial()
P(T2 t | T1 = s) = Prob (0 eventos em (s, s+t) | T1 = s)
= Prob (0 eventos em (s, s+t)) (eventos Poisson são independentes)
= e -t T2 exponencial()
T1 , T2, ..., Tn são independentes e têm mesma distribuição exponencial()
Distribuições Exponencial e PoissonProcesso de Chegadas
Poisson
Tempo entreChegadas
Exponencial
Independência entre eventos
Distribuição Exponencial
• Exponencial () :
)(1)1(
11
)1(1
)1(1
)(1
)()(
)(1
)(
)(
])[]([)|(
)(
xXPee
ee
e
eee
e
ee
tXP
tXPxtXP
tXP
xtXtP
tXP
tXxtXPtXxtXP
xt
xt
t
txt
t
txt
Propriedade sem memória(memoryless)
Propriedade Memoryless• Tempo de residência R de um cliente depende do # de
clientes na fila quando ele chega ao centro, nos tempos de serviços destes clientes e no tempo que o cliente que está sendo servido no momento de chegada ainda permanecerá em serviço.
– Seja Xi a VA para o tempo de serviço de cliente i na CPU
– Seja Xi: exponencial() para todos os clientes
– Seja Y a VA que denota o tempo residual que o cliente que está em serviço no momento de chegada ainda permanecerá em serviço
• Y também tem distribuição exponencial com parâmetro
• Tempo que ainda falta independe do tempo que já esteve em serviço
• Estado futuro não depende do estado passado
Propriedade Memoryless
• Distribuição exponencial é a única distribuição contínua que tem a propriedade memoryless
• Por sua vez, distribuição geométrica é a única discreta que tem a propriedade memoryless
Outras Distribuições Contínuas
• Weibull
• Lognormal
• Pareto
Distribuição de Weibull
A va contínua T tem uma distribuição de Weibull se a pdf é
Onde os parâmetros satisfazem t0 > 0 > 0
t
t
etF
ettf
1)(
)( 1
Distribuição Lognormal
Uma va X tem uma distribuição lognormal se a va Y = ln(X) tem uma distribuição normal com a pdf resultante com parâmetros e
YeX
00
02
1),;(
)2( 2
2)ln(
x
xexxf
x
Muito utilizada para modelar duracao de sessao de usuarios em servicos web
Média e Variância
A média e variância de uma va X que tem uma distribuição lognormal são:
2 2 2/ 2 2( ) ( ) 1E X e V X e e
Distribuição Lognormal
=1=1=1=1
Distribuição de Pareto
• Uma das distribuições heavy tailed.
1)( )1()1(
xxab
x
abxf aa
a
a
High Variability Phenomena
Walter Willinger
AT&T Labs-Research
Motivation
• Internet is full of “high variability”– Link bandwidth: Kbps – Gbps
– File sizes: a few bytes – Mega/Gigabytes
– Flows: a few packets – 100,000+ packets
– In/out-degree (Web graph): 1 – 100,000+
– Delay: Milliseconds – seconds and beyond
• How to deal with “high variability”– High variability = large, but finite variance
– High variability = infinite variance
A Working Definition
• A distribution function F(x) or random variable X is called heavy-tailed if for some
where c>0 and finite
• F is also called a power law or scaling distribution• The parameter is called the tail index• 1< < 2, F has infinite variance, but finite mean• 0 < < 1, the variance and mean of F are infinite
xcxxFxXP ,)(1][
Some Illustrative Examples
• Some commonly-used plotting techniques– Probability density functions (pdf)– Cumulative distribution functions (CDF)– Complementary CDF (CCDF = 1- CDF)
• Different plots emphasize different features– Main body of the distribution vs. tail– Variability vs. concentration– Uni- vs. multi-modal
Probability density functions
Cumulative Distribution Function
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
F(x
)
Lognormal(0,1)Gamma(.53,3)Exponential(1.6)Weibull(.7,.9)Pareto(1,1.5)
Complementary CDFs
10-1
100
101
102
10-4
10-3
10-2
10-1
100
log(x)
log
(1-F
(x))
Lognormal(0,1)Gamma(.53,3)Exponential(1.6)Weibull(.7,.9)ParetoII(1,1.5)ParetoI(0.1,1.5)
Why “Heavy Tails” Matter …
• Risk modeling (insurance)
• Load balancing (CPU, network)
• Job scheduling (Web server design)
• Towards a theory for the Internet …
20th Century’s 100 largest disasters worldwide
10-2
10-1
100
100
101
102
US Power outages (10M of customers)
Natural ($100B)
Technological ($10B)
Log(size)
Log(rank)
Most events are
small
But the large events are huge
Distribuição de Erlang
• Uma variável aleatória X que iguala o comprimento do intervalo até que r contagens ocorram num processo de Poisson com média > 0 tem uma v.a. de Erlang com parâmetros e r. As pdf e CDF de X são:
for x > 0 and r = 1, 2 , …
)!1()(
1
r
exxf
xrr xr
k
k
ek
xxF
1
0 !
)(1)(
Erlang: Soma de Exponenciais• Genericamente: X1, X2, ... Xr, todas independentes e
exponencial(): Z = X1 + X2 + ... Xr Erlang de n estágios
• Ex: tempo de processamento dividido em várias (r) etapas. A duração de cada etapa é exponencialmente distribuída com mesmo
• Se Xi exponencial (i), onde i são diferentes
Z = X1 + X2 + ... Xr Hipoexponencial
1
0
0!
)()(
r
k
zk
zek
zzZF
Exp() Exp() Exp() Exp()
Erlang(r,)
1 2 3 r
Exercícios
• O tempo de CPU de um query típico medida em ms segue uma distribuição de Erlang de três estágios com = 0.5. Determine qual a probabilidade que a demanda de CPU da query excederá 1 milisegundo.
• O tempo de vida em dias de um componente de software é modelado por uma distribuição de Weibull com = 2. A partir de um grande número de componentes, foi observado que 15% dos componentes que duraram mais de 90 dias falharam antes de 100 dias. Determine o parâmetro
Solução #1
• O tempo de CPU de um query típico medida em ms segue uma distribuição de Erlang de três estágios com = ½. Determine qual a probabilidade que a demanda de CPU da query excederá 1 milisegundo.
9856.0)8
1
2
11(
)1(1)1(1)1(
)!
)((1)(
)2
1(
2
0
e
FXPXP
ei
xxF
X
i
xi
X
Solução #2• O tempo de vida em dias de um componente de software é modelado por
uma distribuição de Weibull com = 2. A partir de um grande número de componentes, foi observado que 15% dos componentes que duraram mais de 90 dias falharam antes de 100 dias. Determine o parâmetro
00008554.0
15.0
)90(1
)90()100(
)90(
)10090(
15.0)90|100(
1)(
2
22
2
)90(
)100()90(
e
ee
F
FF
XP
XP
XXP
exF
X
XX
xX
Distribuição dos Mínimos
• Sistema composto de n componentes. Sistema funciona se todos componentes estão operando corretamente
• Tempo de falha : X1, X2, ...., Xn exponencial ()
• Tempo de de vida do sistema Z = min (X1, X2, ...., Xn)
P(Z z) = P (pelo menos um Xi z) = ?
P (exatamente um Xi z) = ?
Distribuição dos Mínimos
• Sistema composto de n componentes. Sistema funciona se todos componentes estão operando corretamente
• Tempo de falha : X1, X2, ...., Xn exponencial ()
• Tempo de de vida do sistema Z = min (X1, X2, ...., Xn)
P(Z z) = P (pelo menos um Xi z) = ?
P (exatamente um Xi z) = ?
1
1
)1(111
)(1)(1
)1(
nzz
nXXi
een
zFzFn
zXexatamenteP
Distribuição dos Mínimos• P(Z z) = P (pelo menos um Xi z)
Distribuição dos Mínimos• P(Z z) = P (pelo menos um Xi z)
nznzn
nn
j
jnj
n
j
jnj
n
j
jnzjz
n
j
jnX
jXi
eep
ppn
ppj
n
ppj
n
eej
n
zFzFj
nzXmenospeloP
1111)1(1
10
1
1
1
)(1)()1(
0
0
1
1
1
p = (1-e-z)
Z tem distribuição exponencial com
parâmetro n
Distribuição dos Máximos
• n tarefas independentes : X1, X2, ...., Xn: exponencial ()
• Tempo de resposta = tempo de execução da tarefa mais longa
Z = max (X1, X2, ...., Xn)
– Ex: tempo de resposta de máquina de busca composta de n processadores executando em paralelo. Cada máquina processa consulta em uma partição do dicionário
Front-end: atraso desprezível
Distribuição dos Máximos
• n tarefas independentes : X1, X2, ...., Xn: exponencial ()
• Tempo de resposta = tempo de execução da tarefa mais longa
Z = max (X1, X2, ...., Xn)
nzzzz
nn
n
i
eeee
zXPzXPzXP
zXzXzXP
zXPzZP
)1()1)...(1)(1(
)()...()(
)...(
))(max()(
2
21
Gerando Distribuições• Como gerar amostras de uma
distribuição a partir de um gerador de números aleatórios uniformemente distribuídos (Unix: random(), drand48())?
Gerando Distribuições Ex: geração de amostras de uma distribuição
exponencialF(X) = 1 – e-x
Y = F-1(X) = - 1/ ln(1 – Z), onde Z uniforme(0,1)
F(Z z) = z
F(Y) = P(Y y) = P(- 1/ ln(1 – Z) y )
= P (ln(1 – Z) -y)
= P( 1 – Z e-y)
= P(Z 1 - e-y ) = 1 - e-y
Y é exponencial
O mesmo procedimento pode ser utilizado para gerar amostras de diferentes distribuições, partindo da inversa da CDF da distribuição desejada
Gerando Distribuições
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100x
F(X
) =
P(X
< x
)
Z:
un
iform
e (
0,1
)
X: distribuição que você quer gerar
Gerador de números aleatóriosretorna valor entre 0 e 1. Ex: 0.52
Aplicando o número aleatório na função inversa de F(X), consegue-se gerar um ponto amostral
Para-Casa (próxima aula!)
• Converse com seu orientador, e traga um exemplo exepcionalmente bom ou ruim (de preferência) de apresentação e sumarização de dados de proceedings de conferências importantes de sua área. Prepare um texto de no máximo 1 folha com suas críticas e ou elogios ao métodos usados.
