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Distribuições deProbabilidade Discretas
Who? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista
From? BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais
When? setembro de 2016
Conceitos
Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Conceitos
Variável aleatória
Distribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Conceitos
Variável aleatóriaDistribuição de Probabilidade
Função de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Conceitos
Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumulada
Distribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Conceitos
Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa
Uma teoria da variabilidade
Variávelaleatória:
Qualquer resultado que possa variar entre observações.
Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1
4
x = 1→ 12
x = 2→ 14
Uma teoria da variabilidade
Variávelaleatória:
Qualquer resultado que possa variar entre observações.
Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1
4
x = 1→ 12
x = 2→ 14
Uma teoria da variabilidade
Variávelaleatória:
Qualquer resultado que possa variar entre observações.
Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1
4
x = 1→ 12
x = 2→ 14
Uma teoria da variabilidade
Variávelaleatória:
Qualquer resultado que possa variar entre observações.
Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1
4
x = 1→ 12
x = 2→ 14
Uma teoria da variabilidade
Variávelaleatória:
Qualquer resultado que possa variar entre observações.
Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.
Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.
Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1
4
x = 1→ 12
x = 2→ 14
Distribuição de Probabilidades
Função
Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
Função
Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Distribuição de Probabilidades
FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.
Esquema
INTERVALO
0
1
x
x
x
1
2
3
N
ix
x4
p
p
p
p
1
2
3
4
i
N
p
AMOSTRALESPACO
x
p
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.
O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:
finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.
infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:
enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:enumeração,
contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.
Variáveis obtidas por:enumeração,contagem.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas
Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.
O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:
medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral
Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis de
Espaço Amostral.
Classes de Variáveis Quantitativas
VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos
NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.
Variáveis obtidas por:medição.
EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,
Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.
Exemplos de Espaços Amostrais
V. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. Contínuas
Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas
Número de caras no lançamento de duas moedas:
S = {0, 1, 2}
Número de plântulas numa parcela:
S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}
V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)
Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:
S = {d} | d ∈ [5,+∞)
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
Probabilidade
Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Distribuição de Probabilidades
FunçãoMatemática Para uma variável discreta,
a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].
ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:
cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Situação
Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Situação
Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.
Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.
VariávelDiscreta
X = número de fêmeas na ninhada.
EspaçoAmostral
x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Função
Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
Função
Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ou
Função de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidades
x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
4 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
4 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Exemplo de Distribuição de Probabilidades
FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):
f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2
Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1
4 = 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
Função de Densidade Probabilística
Função Função de densidade probabilística:
f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.
A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S
f(x) = 1.
A Soma das Probabilidades no EspaçoAmostral
Exemplo daNinhada
x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1
4= 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) =1
2= 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) =1
4= 0, 25
2∑x=0
f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000
A Soma das Probabilidades no EspaçoAmostral
Exemplo daNinhada
x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1
4= 0, 25
x = 1→ f(1) = P (X = 1) =1
2= 0, 50
x = 2→ f(2) = P (X = 2) =1
4= 0, 25
2∑x=0
f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000
Gráfico da Função de DensidadeProbabilística
Exemplo daNinhada
0 1 2
Número de Fêmeas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gráfico da Função de DensidadeProbabilística
Exemplo daNinhada
0 1 2
Número de Fêmeas
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumulada
A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumulada
A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumuladaA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumuladaA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Função de Distribuição
Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumuladaA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”
F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S
V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:
F (xn) =
n∑i=0
P (X = xi) =
n∑i=0
f(xi), xi ∈ S
Propriedades da Função de Distribuição
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
Propriedades
Valores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Propriedades da Função de Distribuição
PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:
0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.
Função monotonicamente crescente:
x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)
Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:
F (max{x ∈ S}) = 1
Gráfico da Função de Distribuição
Exemplo daNinhada
0 1 2
Número de Fêmeas
Pro
babi
lidad
e ac
umul
ada
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gráfico da Função de Distribuição
Exemplo daNinhada
0 1 2
Número de Fêmeas
Pro
babi
lidad
e ac
umul
ada
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Esperança e Variância
Propriedades
Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
Propriedades
Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
Esperança
A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.
Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:
Esperança ou Valor EsperadoVariância
EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:
E[X] =∑x∈S
x f(x) =∑x∈S
xP (X = x)
Esperança e Variância
Variância
A variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
Variância
A variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
VariânciaA variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.
Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Esperança e Variância
VariânciaA variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:
Var[X] =∑x∈S
(x−E[X])2 f(x)
=∑x∈S
(x−E[X])2 P (X = x)
= E[(X −E[X])2]
= E[X2]− (E[X])2
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =2∑
x=0
x f(x)
= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)
= 1, 0
Variância
Var[X] =2∑
x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)
+ +(2− 1)2(1/4)
= 0, 50
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =
2∑x=0
x f(x)
= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)
= 1, 0
Variância
Var[X] =2∑
x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)
+ +(2− 1)2(1/4)
= 0, 50
Exemplo da Ninhada: Número de Machos
Esperança
E[X] =
2∑x=0
x f(x)
= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)
= 1, 0
Variância
Var[X] =2∑
x=0
(x−E[X])2 f(x)
= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)
+ +(2− 1)2(1/4)
= 0, 50
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 0
E[X2] =2∑
x=0
x2 f(x)
= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)
= 1, 5
Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 0
E[X2] =2∑
x=0
x2 f(x)
= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)
= 1, 5
Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50
Exemplo da Ninhada: Variância 2
Variância 2
Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] = 1, 0
E[X2] =
2∑x=0
x2 f(x)
= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)
= 1, 5
Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50
Distribuição Bernoulli
Ensaio
Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável Binária
Dois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:
fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.
sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli
EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.
Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.
Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Resultados
Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
Resultados
Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
Propriedades
Esperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal
Descrição Função de Densidade:
f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.
ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p
Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1
PropriedadesEsperança: E[X] = p
Variância: Var[X] = p (1− p)
Distribuição Binomial
Situação
Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
Situação
Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentes
Parâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n
Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
Variável
X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Distribuição Binomial
SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p
VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)
Gráfico: Distribuição Binomial
Função dedensidade
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
p = 0,1
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Gráfico: Distribuição Binomial
Função dedensidade
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
p = 0,5
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Gráfico: Distribuição Binomial
Função dedensidade
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
p = 0,9
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Distribuição Binomial: Apresentação Formal
Descrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
Parâmetros
Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);
Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
Propriedades
Esperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
PropriedadesEsperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:
f(x) =
(n
x
)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.
Função deDistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n
k
)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n
PropriedadesEsperança: E[X] = n p
Variância: Var[X] = n p (1− p)
Distribuição Poisson
Situação
Contagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.
Variável
X = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1
1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
Distribuição Poisson
Situação
Contagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.
Variável
X = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1
1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
Distribuição Poisson
SituaçãoContagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.
Variável
X = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1
1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
Distribuição Poisson
SituaçãoContagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.
VariávelX = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1
1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
Distribuição Poisson
SituaçãoContagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.
VariávelX = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1
1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.
Gráfico: Distribuição Poisson
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15
λ = 1
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Gráfico: Distribuição Poisson
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15
λ = 3
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Gráfico: Distribuição Poisson
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15
λ = 6
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Distribuição Poisson: Apresentação Formal
Função dedensidade f(x) =
λx e−λ
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Parâmetro λ: valor esperado da contagem
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
λk e−λ
k!, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = λ
Variância: Var[X] = λ
Parâmetro λ = Esperança = Variância
Exemplo de Distribuição Poisson
Situação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londresdurante a II Guerra:λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.
0 1 2 3 4 5 6
ObsPoisson
λ = 535/576
N de bombas
Pro
porç
ão d
as q
uadr
ícul
as
0.0
0.1
0.2
0.3
Exemplo de Distribuição PoissonSituação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres
durante a II Guerra:λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.
0 1 2 3 4 5 6
ObsPoisson
λ = 535/576
N de bombas
Pro
porç
ão d
as q
uadr
ícul
as
0.0
0.1
0.2
0.3
Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomialquando:o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n→∞).a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
0 1 2 3 4 5 6 7
Binomial, N = 200, p = 0,01Poisson, λ = 2
Binomial x Poisson
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Formalmente:
limn→∞p→0
f(x) = limn→∞p→0
(n
x
)px(1− p)n−x =
λx e−λ
x!
Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomialquando:o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n→∞).a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.
0 1 2 3 4 5 6 7
Binomial, N = 200, p = 0,01Poisson, λ = 2
Binomial x Poisson
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Formalmente:
limn→∞p→0
f(x) = limn→∞p→0
(n
x
)px(1− p)n−x =
λx e−λ
x!
Caso-limite
limn→∞p→0
f(x) = limn→∞p→0
(n
x
)px(1− p)n−x =
λx e−λ
x!
0 1 2 3 4 5 6 7
Binomial, N = 200, p = 0,01Poisson, λ = 2
Binomial x Poisson
x
Pro
babi
lidad
e
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Distribuição Geométrica
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes.O único parâmetro é a probabilidade de sucesso porensaio (p, constante).
Variável
X =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio
Distribuição Geométrica
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes.O único parâmetro é a probabilidade de sucesso porensaio (p, constante).
VariávelX =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:
Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio
Distribuição Geométrica
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes.O único parâmetro é a probabilidade de sucesso porensaio (p, constante).
VariávelX =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n
Exemplos:Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio
Gráfico: Distribuição Geométrica
Função dedensidade
0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29
p = 0,2
x
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Gráfico: Distribuição Geométrica
Função dedensidade
0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29
p = 0,3
x
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Gráfico: Distribuição Geométrica
Função dedensidade
0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29
p = 0,4
x
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribuição Geométrica: ApresentaçãoFormal
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição Geométrica: ApresentaçãoFormal
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Distribuição Geométrica: ApresentaçãoFormal
Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança:
E[X] =1
p
Variância:Var[X] =
1− pp2
Exemplo de Distribuição Geométrica
Situação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus(Haldane 1953)593 aves anilhadas, recontadas a cada anoTempo médio de vida: 2,77 anosp = 2, 77−1 = 0, 65782
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
ObsGeométrica
p = 0,658
Anos
Pro
porç
ão s
obre
vive
nte
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Exemplo de Distribuição GeométricaSituação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus
(Haldane 1953)593 aves anilhadas, recontadas a cada anoTempo médio de vida: 2,77 anosp = 2, 77−1 = 0, 65782
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
ObsGeométrica
p = 0,658
Anos
Pro
porç
ão s
obre
vive
nte
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Distribuição Binomial Negativa
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)
Exemplos:
N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)
Distribuição Binomial Negativa
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)
Exemplos:
N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)
Distribuição Binomial Negativa
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.
Parâmetros
n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)
Exemplos:
N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)
Distribuição Binomial Negativa
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.
Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)
Exemplos:
N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)
Distribuição Binomial Negativa
Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).
Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.
Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)
Exemplos:N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)
Gráfico: Distribuição Binomial Negativa
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p = 0,5 n = 2
N ensaios
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gráfico: Distribuição Binomial Negativa
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p = 0,7 n = 2
N ensaios
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gráfico: Distribuição Binomial Negativa
Função dedensidade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p = 0,7 n = 4
N ensaios
Pro
babi
lidad
e
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Distribuição Binomial Negativa:Apresentação Formal
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição
F (x) =x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa:Apresentação Formal
Função dedensidade
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .
Função dedistribuição
F (x) =
x∑k=0
(n+ k − 1
k
)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .
Distribuição Binomial Negativa:Apresentação Formal
PropriedadesEsperança:
E[X] =n(1− p)
p
Variância:Var[X] =
n(1− p)p2
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.
Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.
Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa × Geométrica
Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.Função de densidade quando n = 1:
f(x) =
(n+ x− 1
x
)pn(1− p)x = p(1− p)x
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregados
Agregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetros
valor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa
Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:
número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha
Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ
parâmetro de dispersão: k
Relações
n = k ; p =k
k + µ⇐⇒ k = n ; µ =
n(1− p)p
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
Propriedades
Esperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)
Função dedensidade
f(x) =Γ(k + x)
Γ(k)x!
(k
k + µ
)k ( µ
k + µ
)x, x = 0, 1, 2, . . .
PropriedadesEsperança: E[X] = µ
Variância:
Var[X] =n(1− p)
p2= µ+
µ2
k
Distribuições de probabilidade no RBinomial
dbinom(x, size, prob, log = FALSE)
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE,log.p = FALSE)
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE,log.p = FALSE)
rbinom(n, size, prob)
Poissondpois(x, lambda, log = FALSE)
ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p =FALSE)
qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p =FALSE)
rpois(n, lambda). . .
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.
As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.
Resumo
Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:
discretascontínuas
Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:
Função de DensidadeFunção de Distribuição
Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras.
Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.
Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.
Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.
Resumo (cont.)
Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.
E agora?
1 Faça os tutoriais sobre distribuições discretas(http://cmq.esalq.usp.br/BIE5781/);
2 Leia pelo menos os textos básicos da unidade;3 Se der tempo comece a fazer os exercícios no notaR
(201.1 a 201.4)4 Traga suas questões para a próxima aula.