Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
Abstrak—Kebutuhan air bersih meningkat seiring dengan
bertambahnya jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang
setiap tahunnya selalu meningkat seharusnya diimbangi
dengan penyediaan air bersih yang sesuai. Sistem perpipaam
PDAM mempengaruhi sistem distribusi air bersih yang
dialirkan ke perumahan. Pada kenyataannya, masih terdapat
kawasan perumahan yang aliran airnya tidak sesuai dengan
kebutuhan air yang diperlukan. Selain itu, developers lebih
memilih mengembangkan lahan baru yang masih kosong
mengakibatkan sistem perpipaan untuk pendistribusian air
bersih pada lahan yang sudah ada kurang diperhatikan.
Pemodelan distribusi air bersih pada sistem perpipaan
membantu mempermudah dalam perhitungan kecepatan
aliran air dalam pipa, diameter pipa, dan volume air yang
dibutuhkan di suatu kawasan perumahan. Penyelesaian model
matematika tersebut menggunakan Metode Beda Hingga
Implisit (Alternating Direct Implicit Method) dan hasil
tersebut disimulasikan dengan menggunakan Matlab. Hasil
simulasi yang diperoleh menunjukkan bahwa semakin besar
kecepatan awal dan diameter pipa, semakin besar pula iterasi
yang dihasilkan di titik – titik aliran pipa sehingga volume air
pada pipa juga semakin besar.
Kata Kunci —Air Bersih, Sistem perpipaan, Alternating Direct
Implicit (ADI) Method.
I. PENDAHULUAN
Kebutuhan air bersih meningkat seiring dengan
pertambahan jumlah penduduk. Jumlah penduduk yang
setiap tahunnya selalu meningkat seharusnya diimbangi
dengan penyediaan air bersih yang sesuai. Penyediaan air
bersih bagi masyarakat mutlak dilakukan sebagaimana telah
diatur dalam pasal 5 Undang – Undang nomor 7 tahun 2004
tentang Sumber Daya Air, yaitu Negara menjamin hak
setiap orang untuk mendapatkan air bagi kebutuhan pokok
minimal sehari – hari guna memenuhi kehidupannya yang
sehat, bersih, dan produktif.
Sistem perpipaan PDAM mempengaruhi sistem
distribusi air bersih yang dialirkan ke perumahan.
Kebutuhan air bersih di setiap perumahan berbeda – beda
sehingga distribusi air pada sistem perpipaanya juga
berbeda. Namun, pada kenyataannya masih terdapat
kawasan perumahan yang aliran airnya tidak sesuai dengan
kebutuhan air yang diperlukan perumahan tersebut. Selain
itu, developers lebih memilih mengembangkan lahan yang
masih kosong daripada mengembangkan lahan yang sudah
ada. Hal ini dapat mengakibatkan sistem perpipaan untuk
pendistribusian air bersih pada lahan – lahan yang sudah ada
kurang diperhatikan. Sehingga, sarana dan prasarana yang
disediakan untuk jaringan pipa air bersih masih kurang
maksimal.
Berdasarkan kondisi dan permasalahan di atas,
maka pada Tugas Akhir ini akan dijelaskan tentang
distribusi aliran air pada sistem perpipaan di suatu kawasan
perumahan. Selain itu, dijelaskan pula pemodelan
matematika dan hasil yang diperoleh akan divisualisasikan
dalam bentuk grafik dengan bantuan software Matlab.
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Air Bersih
Air bersih adalah air yang digunakan untuk
keperluan sehari – hari dan akan menjadi air minum setelah
dimasak terlebih dahulu. Sebagai batasannya, air bersih
adalah air yang memenuhi persyaratan bagi sistem
penyediaan air minum. Adapun persyaratan yang dimaksud
adalah persyaratan dari segi kualitas air yang meliputi
kualitas fisik, kimia, biologi, dan radiologis, sehingga
apabila dikonsumsi tidak menimbulkan efek samping
(Ketentuan Umum Permenkes No.
416/Menkes/PER/IX/1990).
B. Sistem Perpipaan
Aliran dalam pipa hidrolika didefinisikan sebagai
aliran dimana air kontak dengan penampang saluran (closed
conduit). Sedangkan open chanel didefinisikan sebagai
aliran dengan permukaan bebas pada salurannya. Terdapat
dua macam aliran, yaitu aliran turbulen dan aliran laminer Aliran dapat dikatakan laminer apabila mempunyai bilangan
reynold antara 1 sampai 2000. Aliran turbulen berbeda
dengan aliran laminer. Aliran turbulen disebabkan oleh
partikel – partikel fluida yang bergerak secara random ke
segala arah. Aliran ini mempunyai bilangan Reynold lebih
besar daripada 2.000 dan alirannya lebih sering disebut
aliran bergerak.
C. Metode Beda Hingga
Diberikan persamaan :
,
(2.1)
Variabel selanjutnya didefinisikan sebagai
dan . Berdasarkan deret Taylor mempunyai
hubungan sebagai berikut :
= (
)
(
)
(
)
(2.2)
Distribusi Air Bersih Pada Sistem Perpipaan Di
Suatu Kawasan Perumahan
Annisa Dwi Sulistyaningtyas, Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc.
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Institut Teknologi Sepuluh
Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail: [email protected]
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
2
dengan pada persamaan (2.2) adalah suku sisa yang
dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut :
(
)
(2.3)
atau
(2.4)
Titik dalam ruang atau grid dan titik – titik
grid terdekat digambarkan pada Gambar 2.2. Pengembangan
deret Taylor di sekitar titik akan menghasilkan
(2.5)
(2.6)
Gambar 2.2. Pola Beda Hingga
Dalam hal ini dan . Semua
turunan dievaluasi pada titik . Berdasar cara yang sama
diperoleh turunan dengan orde yang lebih tinggi.
(2.7)
(2.8)
(2.9)
Formula (2.7), (2.8), dan (2.9) masing – masing disebut
dengan forward, backward, dan central difference.Demikian
juga berlaku untuk dan .
D. Alternating Direct Implicit (ADI) Method
Metode Alternating Direct Implicit (ADI) adalah
metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial parsial berbentuk parabolik dan
eliptik. Hal ini terutama digunakan untuk memecahkan
masalah konduksi panas atau memecahkan persamaan difusi
dalam dua dimensi atau lebih.
Misal diberikan sistem persamaan diferensial biasa :
(2.10)
(2.11)
dimana adalah vektor berdimensi N.
(2.12)
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Persamaan Massa dan Momentum Pada Pipa
Pada pipa terdapat dua jenis aliran, yaitu aliran
lurus dan aliran menikung. Pipa yang aliran airnya
menikung diasumsikan bahwa pipanya berbentuk busur
seperempat lingkaran. Sehingga persamaan yang dibangun
dari hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum
untuk aliran menikung dalam koordinat Kartesians dapat
diperoleh dengan mentransformasikan persamaan tersebut
ke dalam koordinat tabung.
Y
X
Gambar 3.1 Transformasi Koordinat Kartesian ke
Koordinat Polar
Selanjutnya, karena bentuknya menikung, maka pipa
tersebut memiliki sudut yaitu . Oleh karena itu, ditetapkan
kondisi batasnya
.
Dalam koordinat Kartesians diketahui bahwa
Maka dalam koordinat tabung dinyatakan dalam bentuk dan , yaitu :
Sehingga untuk
√
,
Oleh karena itu, bentuk determinan jacobi nya adalah
||
||
Atau dapat ditulis dengan : |
|
B. Persamaan Kekekalan Massa
Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir
“Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua
Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-
Galerkin dan Simulasi Fluent” (Sholikin,M. 2011),
persamaan kekekalan massa untuk pipa yang alirannya
menikung adalah sebagai berikut :
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
3
Untuk
Dengan : = volume fluida
= luas permukaan
= kecepatan aliran fluida
= waktu
= sudut yang dibentuk oleh pipa
maka,
(3.1)
dan
(3.2)
Dengan mensubstitusikan pada Persamaan (3.1),
diperoleh :
Sehingga,
(3.3)
Karena aliran pipa merupakan aliran incompressible, maka
= konstan :
Jika dijabarkan, dapat ditulis sebagai :
Atau dapat dinyatakan dengan
(
)
(3.4)
Sehingga penurunan model matematika untuk persamaan
kekekalan massa pada aliran incompressible, dalam
koordinat tabung adalah sebagai berikut :
(
)
(
) (
)
(3.5)
Selanjutnya, karena pipa yang dikaji berbentuk menikung
maka bentuk diubah menjadi dalam koordinat tabung. Dengan menggunakan
turunan total, maka diperoleh persamaan :
Dari perhitungan pada determinan jacobian sebelumnya,
maka dapat ditulis
(
) (3.6)
, (3.7)
(3.8)
Sehingga diperoleh persamaan kekekalan massa sebagai
berikut :
( (
) )
(
(
)
)
( )
(
)
( (
))
( ) (3.9)
C.Persamaan Kekekalan Momentum
Berdasarkan rumus yang tertulis pada Tugas Akhir
“Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua
Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-
Galerkin dan Simulasi Fluent” (Sholikin,M. 2011),
persamaan kekekalan momentum untuk pipa yang alirannya
menikung adalah sebagai berikut :
(
)
(
)
(
)
(3.10)
dengan :
= massa jenis air
= volume air
= kecepatan aliran pipa pada sumbu x
= kecepatan aliran pipa pada sumbu y
= percepatan gravitasi
= jari – jari pipa
= kemiringan dasar saluran pada sumbu x
= kemiringan dasar saluran pada sumbu y
= gaya
a. Persamaan Kekekalan Momentum Pada Arah Sumbu
Pada aliran incompressible berlaku
jika dijabarkan dapat ditulis sebagai
atau dapat dinyatakan dengan
(
)
sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum ke
arah sumbu x sebagai berikut :
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
(
(
) (
) )
(
(
)
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
4
(
) )
(
(
)
(
) ) (
(
) ( )) (3.11)
b. Persamaan Kekekalan Momentum Pada Arah Sumbu
Seperti halnya pada arah sumbu , berlaku
Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai
(
)
maka diperoleh persamaan kekekalan momentum pada
arah sumbu sebagai berikut :
(
(
) (
) )
(
(
)
(
) )
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
) ) ( (
)(
) ( )) (3.12)
c. Persamaan Kekekalan Momentum Pada Arah Sumbu
Seperti halnya pada arah sumbu , berlaku
Jika dijabarkan dapat ditulis sebagai
(
)
maka diperoleh persamaan kekekalan momentum pada arah
sumbu sebagai berikut :
( (
)
(
) )
(
(
) (
) )
(
(
)
(
) )
(
(
)
(
) )
(
)
(
(
))
( (
)
(
) )
( (
( ) (
)))
D.Volume Air Dalam Sistem Perpipaan
Data yang digunakan untuk memodelkan volume air
bersih di area penelitian berasal dari data sekunder yang
diperoleh dari PDAM Kota Surabaya. Data sekunder
volume air di perumahan Babatan Mukti Surabaya bulan
Januari sampai September tahun 2012.
Dari data yang telah diperoleh tersebut akan dihitung
secara matematis volume air yang meliputi volume input,
volume pemakaian, dan volume losses. Dengan
menggunakan Interpolasi Lagrange diperoleh :
a. Volume Input
Bulan Jan Feb
Ma
ret Apr Mei
Jun
i Juli
Ag
ust
Sep
t
Volume
Input (m3) 70.
093
73.
141
74.
630
63.
060
65.
058
40.
265
32.
095
34.
556
40.
514
Secara matematis diperoleh nilai volume input sebagai
berikut :
Misalkan antara bulan Januari – Februari 2012 diperoleh
volume input :
Dengan menggunakan Interpolasi Lagrange :
t 1 2 3 4 5 6 7 8
V(t
)
71.61
7
73.885,
5
68.84
5
64.05
9
52.661,
5
36.18
0
33.325,
5
37.53
5
=
+
+....
+
= .
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
5
b. Volume Pemakaian
Bulan Jan Feb
Mar
et Apr Mei Juni Juli
Ag
ust
Sep
t
Volume
Pemakaian(m3
)
31.
922
30.
379
31.
132
30.
672
30.
878
31.
814
29.
273
29.
015
29.
067
Secara matematis diperoleh nilai volume pemakaian sebagai
berikut :
Misalkan antara bulan Januari – Februari 2012 diperoleh
volume input :
Dengan menggunakan Interpolasi Lagrange :
t 1 2 3 4 5 6 7 8
V(t
)
31.150,
5
30.755,
5
30.90
2
30.77
5
31.34
6
30.543,
5
29.14
4
29.04
1
=
c. Volume Losses
Bulan Jan Feb Mar
et Apr Mei
Jun
i Juli
Ag
ust Sept
Volume
Losses(m3)
38.1
71
42.7
62
43.4
98
32.3
88
34.1
80
8.4
51
2.8
22
5.5
41
11.4
47
Secara matematis diperoleh nilai volume losses sebagai
berikut :
Misalkan antara bulan Januari – Februari 2012 diperoleh
volume input :
Dengan menggunakan Interpolasi Lagrange :
t 1 2 3 4 5 6 7 8
V(t
)
40.466,
5
43.13
0
37.94
3
33.28
4
21.315,
5
5.636,
5
4.181,
5
8.49
4
=
E.Debit Air Dalam Sistem Perpipaan
Berdasarkan persamaan kontinuitas, yaitu
dan data yang diperoleh, maka dapat dicari kelajuan air
pada pipa di area penilitian tersebut. Berikut adalah gambar
sistem perpipaan area penelitian :
Gambar 3.2 Diagram Sistem Perpipaan Perumahan Babatan
Mukti Surabaya
Pada gambar sistem perpipaan perumahan Babatan
Mukti Surabaya dapat dilihat bahwa perumahan tersebut
terdiri dari sembilan blok dengan besar diameter pipa yang
digunakan adalah 150 mm. Sehingga dapat dicari kelajuan
rata – rata air pada pipa per blok perumahan.
Diketahui , dengan dan
Sehingga diperoleh :
dan
. Pada pengukuran debit air juga diketahui bahwa
, maka dapat dicari debit air ( ) per bulannya.
a. Volume Input
Dari data volume input yang telah diperoleh, dapat dicari
debit air per bulannya sesuai dengan rumus yang telah
diketahui. Setelah diperoleh debit air ( ) per bulannya,
selanjutnya dapat dicari debit air ( ) rata – rata per bulan
Kemudian dicari debit air ( ) rata – rata per blok untuk per
bulannya. Karena terdapat sembilan blok (Blok A – Blok I),
maka
b. Volume Pemakaian
Setelah diperoleh debit air ( ) per bulannya, selanjutnya
dapat dicari debit air ( ) rata – rata per bulan
Kemudian dicari debit air ( ) rata – rata per blok untuk per
bulannya. Karena terdapat sembilan blok (Blok A – Blok I),
maka
c. Volume Losses
Setelah diperoleh debit air ( ) per bulannya, selanjutnya
dapat dicari debit air ( ) rata – rata per bulan
JURNAL SAINS POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
6
Kemudian dicari debit air ( ) rata – rata per blok untuk per
bulannya. Karena terdapat sembilan blok (Blok A – Blok I),
maka
F.Simulasi
Simulasi I :
= 1.500 m/s; ; ; ;
Gambar 3.3 Analisa Aliran Pipa-T
Pada simulasi I, pada kondisi ini kecepatan awal dan nilai
awalnya diperbesar, sehingga dapat diketahui bahwa nilai
kecepatan maksimal yang diperoleh adalah 750 m/s terletak
pada titik (1,2) sedangkan kecepatan minimalnya adalah
0,6455 m/s pada titik (3,5). Dalam kondisi ini terjadi
pemeratan aliran air pada pipa dibandingkan ketika nilai
awalnya 40 m/s atau 120 m/s. Kecepatan aliran pipa pada
titik awal lebih besar daripada titik – titik selanjutnya.
Dengan kata lain, kecepatan aliran pipa pada simulasi
tersebut semakin lama semakin berkurang.
Simulasi II :
= 1.500 m/s; ; ; ;
Gambar 3.4 Analisa Aliran Pipa-F
Pada simulasi II, dapat diketahui bahwa dengan kecepatan
awal 1.500 m/s dan nilai awal 5.000 m/s, diperoleh
kecepatan maksimal pipa adalah 750 m/s pada titik = 1
dan = 2. Kecepatan yang dihasilkan di setiap titik pada
aliran pipa berbeda-beda, sehingga dapat dihitung debit air
yang dibutuhkan.
IV. KESIMPULAN
Dari analisa dan pembahasan yang telah dilakukan
mengenai distribusi aliran pipa, maka dapat diperoleh
kesimpulan bahwa :
1. Pola distribusi untuk pipa yang mengalir pada sumbu x,
sumbu y, dan sumbu z memiliki model matematika yang
berbeda sesuai dengan komponen–komponen yang
mempengaruhi.
2. Aanalisa aliran pipa disetiap titik aliran berubah–ubah
sesuai dengan kecepatan awal, kedalaman aliran pipa,
dan diameter pipa. . Pada kondisi normal, ketika = 100
m/s, = 0,15 m, = 0,1 m, = 0,15 m, dan = 0,1 m
didapatkan nilai kecepatan maksimal = 50 m/s pada
= 1 dan = 2. Dari analisa pada bab sebelumnya,
dengan menginputkan nilai kecepatan awal, kedalaman
aliran pipa, dan diameter pipa yang berbeda–beda dapat
disimpulkan bahwa nilai iterasi yang diperoleh dari hasil
simulasi berbanding lurus dengan kecepatan, kedalaman
aliran pipa, dan diameter pipa. Semakin besar kecepatan
awal dan diameter pipa, semakin besar pula iterasi yang
dihasilkan di titik–titik aliran pipa sehingga volume air
pada pipa juga semakin besar.
3. Semakin menjauhi titik asal aliran pipa, kecepatan yang
dihasilkan semakin berkurang. Hal tersebut berbanding
lurus dengan debit air yang dibutuhkan. Semakin besar
kecepatan air, semakin besar pula debit air pipa yang
dibutuhkan.
V. DAFTAR PUSTAKA
[1] Agustina, D.V.2007.Analisa Kinerja Sistem
Distribusi Air Bersih PDAM Kecamatan
Banyumanik di Perumahan Banyumanik.
Jurusan Teknik Sipil Universitas Diponegoro
Semarang.
[2] Puspa, A.2011. Perencanaan Sistem Penyediaan
Air Minum Kota Trenggalek. Jurusan Teknik
Lingkungan Fakultas Teknik Sipil Dan
Perencanaan Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya.
[3] Munson. 2003. Mekanika Fluida. Jakarta :
Erlangga.
[4] Faisol. 2012. Thesis Pengaruh Hidrodinamika
pada Penyebaran Polutan di Sungai. Surabaya :
Matematika FMIPA-ITS.
[5] Sholikin, M. 2012. Tugas Akhir Kajian
Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua
Sungai Menggunakan Metode Meshles Local
Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent. Surabaya :
Matematika FMIPA-ITS.
[6] Away, G.A. 2010. The Shortcut of Matlab.
Bandung : Informatika.