Distribusi Diskrit dan Kontinu yang Penting

Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Diskrit

• Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi distribusi diskrit.

• Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi binomial, distribusi geometrik dan distribusi Poisson

Distribusi Uniform Diskrit

• Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul.

• Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilai-nilai 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 mempunyai probabilitas yang sama, maka variabel random X disebut mempunyai distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑘 , jika fungsi probabilitasnya berbentuk :

𝒇 𝒙; 𝒌 =𝟏

𝒌

Distribusi Uniform

• Contoh: pada pelambungan sebuah dadu, semua titik sampel dalam S = {1,2,3,4,5,6} mempunyai probabilitas yang sama untuk

muncul, yaitu sebesar 1

6. Jadi 𝑓 𝑥; 6 =

1

6

untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• Untuk variabel random X yang mempunyai distribusi uniform diskrit, maka

𝝁 =𝟏

𝟐𝒌 + 𝟏 𝝈𝟐 =

𝟏

𝟐𝒌𝟐 + 𝟏

Distribusi Binomial • Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan,

kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan menjadi ‘sukses’ atau ‘gagal’, dengan probabilitas sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi binomial.

• Suatu variabel random diskrit X dikatakan berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, dinotasikan dengan 𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑛, 𝑝 , maka fungsi probabilitasnya berbentuk :

𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 =𝒏𝒙

𝒑𝒙 𝟏 − 𝒑 𝒏;𝒙, untuk x = 0,1,2,…,n

x = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p = probabilitas sukses

Distribusi Binomial • Contoh : sebuah dadu dilemparkan 5 kali. Berapa

probabilitas bahwa dalam 5 kali pelambungan muncul mata dadu 2 sebanyak 3? Jawab : x = 3, n

= 5 , p = 1

6, maka b(3;5,

1

6) =

53

1

6

3 5

6

2= 0.032

• Jika variabel random diskrit X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p maka

𝝁 = 𝒏𝒑 𝝈𝟐 = 𝒏𝒑 𝟏 − 𝒑

Distribusi Geometrik Contoh kasus : dalam transmisi gelombang, probabilitas gelombang yang ditransmisikan diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen (saling bebas), dan misalkan X menotasikan jumlah gelombang yang ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror yang pertama. Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4 gelombang pertama yang ditransmisikan tidak mengalami eror dan gelombang ke-5 baru mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan {OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang diterima tidak mengalami eror).

Distribusi Geometrik

• Karena setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen, maka

P(X=5) = P{OOOOE} = 0,940,11 = 0,066

• Variabel random X yang menyatakan banyaknya percobaan sampai terjadinya sukses yang pertama kali dikatakan berdistribusi geometrik dengan parameter p, dinotasikan dengan 𝑋~𝐺𝑒𝑜 𝑝 , fungsi probabilitas berbentuk

𝒇 𝒙 = 𝟏 − 𝒑 𝒙;𝟏𝒑 untuk x = 1,2,3,…

Distribusi Geometrik

• Jika X berdistribusi Geometrik dengan parameter p, maka

𝝁 =𝟏

𝒑 𝝈𝟐 =

𝟏 − 𝒑

𝒑𝟐

Distribusi Poisson • Jika pada distribusi binomial parameter n

cukup besar (secara teoritis n→ ∞ ), maka diperoleh distribusi Poisson dengan parameter λ = 𝑛𝑝.

• Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ, dinotasikan 𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 λ , jika fungsi probabilitasnya sbb:

𝑝 𝑥; λ =λ𝑥𝑒−λ

𝑥! ; untuk x = 0, 1, 2, 3, …

Distribusi Poisson • Contoh : jika probabilitas seseorang terkena

penyakit demam adalah 0.005, berapa probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang?

Jawab : diperoleh λ = 3000𝑥0,005 = 15, sehingga

p(18;15) =1518𝑒−15

18!= 0.0706

• Jika variabel random X mempunyai distribusi Poisson, dengan parameter λ, maka

𝝁 = 𝝀 𝝈𝟐 = 𝝀

Distribusi Kontinu

• Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu yaitu fungsi distribusi kontinu.

• Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini adalah distribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi Student’s t dan distribusi F.

Distribusi Uniform Kontinu

• Definisi : suatu variabel random kontinu X mempunyai distribusi uniform kontinu pada selang 𝑎, 𝑏 , dinotasikan dengan 𝑋~𝑈𝑛𝑖𝑓 𝑎, 𝑏 , jika fungsi densitasnya berbentuk:

• 𝑓 𝑥 = 1

𝑏;𝑎

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

,untuk x yang lain

Distribusi Uniform Kontinu

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinu pada interval 𝑎, 𝑏 , maka :

𝝁 =𝟏

𝟐𝒂 + 𝒃 𝝈𝟐 =

𝟏

𝟏𝟐𝒃 − 𝒂 𝟐

Distribusi Normal • Fungsi distribusi dari variabel random kontinu

yang paling luas penggunaannya adalah fungsi distribusi normal.

• Kurva normal berbentuk seperti lonceng (bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.

• Kurva normal adalah simetris, dengan mean dan median berada di tengah-tengah.

Distribusi Normal • Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam

menggambarkan data yang muncul dalam kehidupan sehari-hari.

• Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa Pendidikan Kimia yang mengambil mata kuliah Statistika Dasar berdistribusi Normal, maka dikatakan bahwa sebagian besar nilai mahasiswa berada di sekitar rataan dan sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya sangat bagus dan sangat sedikit pula yang nilainya sangat jelek.

Distribusi Normal

• Definisi : variabel random kontinu dikatakan berdistribusi normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎2 , dinotasikan dengan 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 , jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :

𝒇 𝒙 =𝟏

𝝈 𝟐𝝅𝒆;𝟏

𝟐

𝒙−𝝁

𝝈

𝟐

untuk −∞ < 𝒙 < ∞

Apabila 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1, maka diperoleh distribusi normal standar, dinotasikan dengan 𝑁 0,1 , sering disebut dengan distribusi Z,

fungsi densitasnya sbb :𝑓 𝑧 =1

2𝜋𝑒;

1

2𝑧2

Distribusi Normal Teorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X adalah 1 satuan. Yaitu

𝑓 𝑥;∞

∞𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝑧

;∞

∞𝑑𝑧 = 1

Sifat kurva normal 𝑁 𝜇, 𝜎2 :

• Asimtotik terhadap sumbu X.

• Simetris terhadap garis 𝑥 = 𝜇.

• Mempunyai titik koordinat maksimum 𝜇,1

𝜎 2𝜋

• Mempunyai dua titik belok yg berjarak 𝜎 dr sb simetri

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

• Jika variabel random X berdistribusi normal biasa dengan fungsi densitas probabilitas 𝑓 𝑥 , maka 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥

𝑏

𝑎𝑑𝑥

• Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b

Namun bukan pekerjaan yang mudah mengingat bentuk fungsi densitas probabilitas dari variabel random X yg cukup rumit. Sehingga para ahli statistik menyediakan tabel yang menyatakan luas di bawah kurva normal standar, di atas sumbu Z dan dibatasi oleh Z = 0 dan Z = z

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

• Dengan cara

mentransformasikan

nilai variabel X ke

variabel Z dengan

𝑍 =𝑋;𝜇

𝜎.

• Tabel kurva normal

standar

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva normal baku:

a. Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34

b. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0

c. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34

d. Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56

e. Di sebelah kanan Z = -0.57

f. Di sebelah kanan Z = 1.87

Contoh Kasus

1. Rataan nilai UAN mata pelajaran Kimia dari 2500 siswa di Kota Solo adalah 85 dan mempunyai standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah data yang berasal dari populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak siswa:

• Yang nilainya lebih dari 90?

• Yang nilainya antara 75 dan 90?

Contoh Kasus

2. Rataan skor masuk suatu perguruan tinggi negeri adalah 120.5 dengan standar deviasi 20. Sesuai dengan formasi yang ada, dari keseluruhan peserta tes hanya akan diambil 30% saja. Berapa skor terendah yang diterima di perguruan tinggi negeri tersebut jika distribusi skor dianggap normal?

Titik 𝑧𝛼 Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji hipotesis, sering diperlukan nilai 𝑧0 tertentu sehingga luas di sebelah kanan 𝑍 = 𝑧0 dan di bawah kurva normal standar sama dengan 𝛼. Titik 𝑧0 yang seperti ini dinamakan 𝑧𝛼. Jadi diperoleh,

• 𝑃 𝑍 > 𝑧𝛼 = 𝑓 𝑧∞

𝑧𝛼𝑑𝑧 = 𝛼

• 𝑃 𝑍 > 𝑧1;𝛼 = 𝑓 𝑧∞

𝑧1−𝛼𝑑𝑧 = 1 − 𝛼

dimana 𝑧1;𝛼 = −𝑧𝛼

• 𝑃 −𝑧𝛼< 𝑍 < 𝑧𝛼 = 𝑓 𝑧𝑧𝛼;𝑧𝛼

𝑑𝑧 = 1 − 2𝛼

Titik 𝑧𝛼

Jika digambarkan:

Dengan melihat tabel distribusi normal standar, akan diperoleh nilai-nilai:

• 𝑧0.01 = 2.33 𝑧0.005 = 2.58

• 𝑧0.025 = 1.96 𝑧0.05 = 1.96

Distribusi Chi-Square

• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 =

1

𝜞12𝑣 2

12𝑣𝑥12𝑣;1𝑒;

𝑥2

0, 𝑢𝑛𝑡𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0

dengan 𝑣 bilangan asli dan 𝜞 𝑘 =

𝑥𝑛;1∞

0𝑒;𝑘𝑑𝑥 . Fungsi 𝜞 𝑘 disebut fungsi

gamma

Distribusi Chi-Square • Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣

disajikan dengan 𝟀2 𝑣 , dan jika 𝑋 berditribusi Chi-square dengan derajat kebebasan 𝑣 disajikan dengan 𝑋~𝟀2 𝑣 .

• Grafik distribusi Chi-square

• Jika var. random X berdistribusi 𝟀2 𝑣 , maka

𝜇 = 𝑣 𝜎2 = 2𝑣

Distribusi Chi-Square • Untuk nilai 𝛼 dan 𝑣 tertentu, harga 𝜒𝛼;𝑣

2 dapat dicari melalui tabel.

• Contoh 𝜒0.025;62 = 14.449

Distribusi Student’s 𝑡 • Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi

student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

• 𝑓 𝑥 =1

𝜋𝑣

𝜞𝑣+1

2

𝜞𝑣

2

1 +𝑥2

𝑣

;𝑣+1

2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞

dengan 𝑣 = 1,2,3, …

Distribusi tersebut disajikan dengan 𝑡 𝑣 atau X~𝑡 𝑣 .

• Grafik distribusi student’s 𝑡

Distribusi Student’s 𝑡 • Nilai-nilai 𝑡 yang bersesuaian dengan derajat

kebebasan 𝑣 dan 𝛼 dapat dilihat pada tabel berikut:

• Misal 𝑡0.10;15 = 1.341, 𝑡0.05;25 = 1.708

Distribusi Student’s 𝑡

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi student’s 𝑡 dengan derajat kebebasan 𝑣 maka:

𝜇 = 0 𝜎2 =𝑣

𝑣;2

Distribusi F Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 =

𝜞𝑣1 + 𝑣2

2

𝜞𝑣12

𝜞𝑣22

𝑣1𝑣12 𝑣2

𝑣22 𝑥

𝑣12 ;1 𝑣2 + 𝑣2𝑥

;𝑣1:𝑣2

2 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 > 0

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Distribusi tersebut disajikan dengan 𝐹 𝑣1, 𝑣2 atau X~𝐹 𝑣1, 𝑣2 .

Grafik distribusi F:

Distribusi F

Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat nilai 𝛼 = 0.01 dan 𝛼 = 0.05 dan nilai-nilai 𝑣1 dan 𝑣2 tertentu. Contoh: 𝐹0.05;4;9 = 3.63

Jika variabel random kontinu X berdistribusi F dengan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2 maka:

• 𝜇 =𝑣2

𝑣2;2 , untuk 𝑣2 > 2

• 𝜎2 =2𝑣2

2 𝑣1:𝑣2;2

𝑣1 𝑣2;4 𝑣2;22 , untuk 𝑣2 > 4

Tabel F untuk 𝛼 = 0.01

Tabel F untuk 𝛼 = 0.05