DISTRIBUSI DISKRIT KHUSUS•Uniform•BernoulliBernoulli•Binomial•Poisson

Distribusi Lainnya:•Multinomial•Hipergeometrik•Geometrik•Binomial Negatif

BI5106 Analisis Biostatistika27 September 2012p

Distribusi uniform (seragam)( g )2

Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya(x1, x2, …, xk) memiliki peluang yang sama.

Distribusi peluang X : Distribusi peluang X :

1( )P X Rataan :

1 2( ) , , ,..., kP X x x x x xk

1 k

Variansi : 1

1 k

ii

xk

k

22

1

1 k

ii

xk

Contoh 13

Pelantunan sebuah dadu. Pelantunan sebuah dadu.

1( ) , 1, 2,3, 4,5,66

P X x x ( )6

1 2 3 4 5 6 3 5 0.175

0.18

1 2 3 4 5 6 3,56

2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 60.165

0.17

P(X

=x)

2 2 2 2 2 22 21 2 3 4 5 6 3.5

615 17 12 25 2 92

0.161 2 3 4 5 6

x

15.17 12.25 2.92

Percobaan Bernoulli

Percobaan terdiri dari 1 usaha

4

Percobaan terdiri dari 1 usaha

UsahaG l

Sukses

Peluang sukses p

Gagal

Peluang gagal 1-p

Misalkan1, jika terjadi sukses0, jika terjadi tidak sukses (gagal)

X

Distribusi Bernoulli

X b di ib i B lli

5

X berdistribusi Bernoulli,

1 1(1 ) , 0,1( ) ( ; )

0 ,

x xp p xP X x ber x p

x lainnya

Rataan : E[X] = µx = p

Variansi : Var(X)= x2 = p(1-p)

Percobaan Binomial6

n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan

menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke

yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas.

Distribusi Binomial7

Distribusi binomial parameter n dan p Distribusi binomial, parameter n dan p

Notasi X ~ B(n,p)

F.m.p: ( ) ( ; , ) (1 )x n xn

P X x b x n p p px

! n n

Koefisien binomial : n! = n.(n-1).(n-2) … 1

x

o Rataan : E[X] = µx = np

!!( )!

n nx x n x

untuk x = 0,1, … , n

o Variansi : var(X)= X2 = np(1-p)

Contoh 28

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu?

JawabJawab9

Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya penduduk p y y y ppercaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhn a’sesungguhnya .Maka X~B(5, 0.7)

Y i i di i d l h P(X 3)Yang ingin dicari adalah P(X 3).P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

3 2 4 1 5 05 5 5 3 2 4 1 5 05 5 50.7 0.3 0.7 0.3 0.7 0.3

3 4 55! 5! 5!(0 343)(0 09) (0 240)(0 30) (0 168)(1)

edited 2011 by UM

(0,343)(0, 09) (0, 240)(0,30) (0,168)(1)2!3! 1!4! 0!5!0,309 0,360 0,168 0,837

Percobaan Poisson10

Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.Me e ua a as : SU S S da G G . Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan

Binomial) Panjang selang waktu Luas daerah/areaContoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US- Banyak batu “Apung” ditemukan di setiap 2 meter

panjang sungai “A”B k ik di k d l 1 h h- Banyak tikus yang ditemukan dalam 1 ha persawahan

Proses Poisson11

Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang pada Proses Poisson tergantung pada Peluang pada Proses Poisson tergantung pada

selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau daerah g g y g p

yang sempit dapat diabaikan.

Distribusi Poisson12

Peubah acak X berdistribusi Poisson

X~P(t)

( ) , 0,1, 2,...!

xte tP X x x

( )

F.m.p :!x

e = tetapan Euler (2.71828…)

o Rataan : E[X] = X = to Variansi : var(X)= 2 = to Variansi : var(X)= X

2 = t

Contoh 313

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7 satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan

beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulanbulan.

Jawab14

Jenis kasus

• Kasus Diskrit• Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1• Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4

Parameter

• Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4• Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 • Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7) , dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7

distribusiJ a (da a ggu) a a (7) , de ga a a a a (7/ )( ) 7

Pertanyaan

• t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....• t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) = ....

ana.

Pertanyaan

• t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka = ....• t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka = ....

b.

...

( ) , 0,1, 2,...

xte t

P X x xIngat definisi:

( ) , , , ,!xsehingga

( 2) 1 2 P X P Xa.

0 1 23,5 3,5 3,50,5

1 0 1 2

3,5 3,5 3,51

t

P X P X P X

e e e 10! 1! 2!

1 0.030 0,106 0,370 0,494

b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14

15hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.

Hubungan distribusi Bernoulli, Binomial, Poisson d N ldan Normal

16

Di ib i B lli

Misalkan p.a XDistribusi Bernoulli

X ~ Ber (1, p)

>1

Distribusi Binomial

n >1

Distribusi Normal

X ~ N(μ, σ2)n >>>

X ~ Bin (n, p)

n >>>, p <<<

X N(μ, σ )μ = np, σ2 = np(1- p)

μ =  , σ2 =

Distribusi Poisson

X ~ POI (t)n >>>

DLP X POI (t) = np = np(1- p)

Beberapa distribusi diskrit lainnyap y17

Distribusi MultinomialDi t ib i Hi t ik Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Binomial NegatifDi t ib i G t i Distribusi Geometri

Distribusi MultinomialDistribusi Multinomial18

Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasilp gE1, E2, …, Ek dengan peluang p1, p2, …, pk, maka distribusipeluang peubah acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan banyakterjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah,j y 1, 2, , k ,

1 21 1 2 2 1 2

1 2

( , ,..., ) p p p, ,...,

kxx xk k k

k

nP X x X x X x

x x x

dengan, Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

1 1

dan 1k k

i ii i

x n p

j p

percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil.

Contoh 4Contoh 419

Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

Jawab:

Misalkan X banyaknya perwakilan yang datang menggunakan Misalkan Xi : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

3 3 1 21 2 3 4

9( 3, 3, 1, 2) 0.4 0.2 0.3 0.1

3,3,1, 2P X X X X

59! 0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0,0387023!3!1!2!

Distribusi Hipergeometrikp g20

X ~ h(N, n, k) ( )

X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama suksesdan N-k bernama gagaldan N-k bernama gagal.

k N kx n x

( ) ( ; , , ) , 0,1, 2,...,

x n xP X x h x N n k x n

Nn

Rataan :

nk

Variansi :

2 1N n k k N

2 11

nN N N

Contoh 5Contoh 521

Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!gedung mempunyai kode pelanggaran!

Jawab :Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode y g g y g p p ypelanggaran.X ~ h(50, 10, 12) 12 38

220 126202563 7( 3) (3;50,10,12) 0.2703

50 1027227817010

P X h 10

Kaitannya dengan distribusi BinomialKaitannya dengan distribusi Binomial22

Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses dan gagal.

Perbedaan mendasar adalah pada binomial b d l k k d b li percobaan dilakukan dengan pengembalian

sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan tanpa pengembalian.tanpa pengembalian.

Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik p , p gdapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/N .

Distribusi GeometrikDistribusi Geometrik23

X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari

usaha usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p danusaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dangagal (1-p).

Rataan : Variansi :

1( ) ( ; ) (1 ) , 1, 2,...xP X x g x p p p x

Rataan :

1

Variansi :

22

1 p

p 2p

Contoh 6Contoh 624

Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hit l d t k ti dit k t h t !Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

Jawab :X ~ Geom(0 2)X Geom(0.2)

2( 3) (3;0 2) 0 2(0 8) 0 128P X g ( 3) (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128P X g

Distribusi Binomial NegatifDistribusi Binomial Negatif25

X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari usaha-

usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

1( ) *( ; , ) (1 ) , , 1, 2...

1k x kx

P X x b x k p p p x k k kk

Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

X = Y + Y + + YX = Y1 + Y2 + ... + Yk

dimana Y1, Y2, ..., Yk adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p).

kp

22

(1 )k pp

Rataan : Variansi :

Contoh 7Contoh 726

Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan

sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung gg p p gpeluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama!

Jawab :3 57

( 8) *(8;3 0 2) (0 2) (0 8) 0 05505P X b ( 8) (8;3,0.2) (0.2) (0.8) 0.05505

2P X b

Referensi27

Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill.

Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu p y yPeluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice HallPrentice Hall.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.