Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf

8/18/2019 Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf

1/14

1

~Oleh: Prana Ugiana Gio~

DISTRIBUSI PROBABILITAS

Distribusi Binomial

Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel acak

(random variable) bersifat terhitung (countable). Andaikan sebuah koin dilemparkan sebanyak kalidan tertarik untuk mengamati banyaknya kemunculan sisi angka. Misalkan banyaknya kemunculan

sisi angka dalam kali percobaan melemparkan sebuah koin dilambangkan dengan . Sebagai contohmisalkan sebuah koin dilambungkan sebanyak 2 kali, banyaknya kemunculan sisi angka yangmungkin 0,1,2.Selanjutnya andaikan menyatakan probabilitas kemunculan sisi angka dan merupakan probabilitasgagal muncul sisi angka dalam sekali percobaan melemparkan sebuah koin. Andaikan sebuah koindilempar sebanyak dua kali, maka probabilitas pada pelemparan pertama sama dengan probabilitas

pada pelemparan kedua. Dalam hal ini, probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan pertama sama dengan probabilitas muncul sisi angka pada pelemparan kedua . Percobaan

Bernoulli merupakan suatu percobaan yang hanya memiliki dua hasil (outcome) yang mungkin terjadi,yakni “sukses” atau “gagal”, serta probabilitas pada percobaan pertama dengan probabilitas pada

percobaan selanjutnya tidak berubah-ubah atau sama. Berikut rumus untuk menghitung probabilitas

kemunculan sisi angka tepat kali dalam percobaan.

!

! ! .

Keterangan : merupakan probabilitas kejadian sukses dalam satu kali percobaan. merupakan probabilitas kejadian gagal dalam satu kali percobaan.

merupakan jumlah percobaan yang dilakukan. merupakan banyaknya kejadian sukses yang terjadi dalam kali percobaan.Misalkan sebuah koin dilemparkan sebanyak 4 kali. Andaikan tertarik untuk mengamati banyaknya

sisi angka yang muncul dalam pelemparan sebuah koin sebanyak 4 kali. Misalkan merupakan suatuvariabel acak yang menyatakan banyaknya sisi angka yang muncul dalam 4 kali pelemparan sebuah

koin. Nilai-nilai yang mungkin adalah 0,1,2,3,4. Nilai 1 berarti banyaknya sisi angka yangmuncul dalam 4 kali pelemparan sebuah koin sebanyak 1 kali, 0 berarti dalam pelemparan sebuahkoin sebanyak 4 kali, tidak ada muncul sisi angka sekalipun. Berikut akan dihitung probabilitas untuk

setiap kejadian yang mungkin terjadi.

0 0,06251 0,25

2 0,375

3 0,25

4 0,0625

Jumlah 1

Tabel 1 Distribusi Probabilitas Variabel Acak


2/14

2

Menghitung probabilitas untuk 0, 1, 2, 3, dan 4.

0 40 0,50,5

0 4!4 0! 0! 0,50,5

0 0,0625 1 41 0,5

0,5

1 0,25

2 42 0,50,5

2 0,375

3 43 0,5

0,5

3 0,25

4 44 0,50,5

4 0,0625.

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson juga merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit. Hal ini karena variabel

acak bersifat terhitung (countable). Seorang ilmuwan matematilka dari Prancis memperkenalkandistribusi Poisson bernama Sim ́-Dennis Poisson. Berikut diberikan fungsi probabilitas daridistribusi Poisson.

! .

Keterangan : merupakan banyaknya suatu kejadian yang sedang diamati, 0,1,2, merupakan nilai rata-rata atau harapan .

merupakan nilai dari bilangan eksponensial, yakni didekati dengan bilangan 2,71828.Distribusi binomial dapat didekati atau diaproksimasi dengan pendekatan distribusi Poisson ketika

50 dan

5 dengan nilai

kecil, yakni mendekati

0. Sebagai contoh misalkan diketahui

probabilitas sebuah bola lampu akan rusak ketika diproduksi di suatu pabrik bola lampu sebesar0,0005. Dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, tentukan probabilitas:

Terdapat tepat 1 bola lampu yang rusak.

Terdapat tepat 2 bola lampu yang rusak.

Terdapat 3 bola lampu yang rusak.

Berikut penyelesaian dari permasalahan tersebut.

1 0,270671

2 0,2706713 0,180447

Tabel 2 Probabilitas untuk , , dan

Diketahui 4000 dan 0,0005 sehingga 40000,0005 2. Berikut akan dihitungprobabilitas untuk 1, 2, 3.


3/14

3

1√ 2 .

1 22,71828

1!

1 10,1353351

1 0,27067

2 22,718282!

2 0,270671

3 22,71828

3!

3 0,180447.

Perhatikan bahwa dari 4000 bola lampu yang diproduksi di suatu pabrik tertentu, probabilitas terdapat

tepat 1 bola lampu rusak sebesar 0,27067, tepat 2 bola lampu yang rusak sebesar 0,270671, dan

terdapat tepat 3 bola lampu yang rusak sebesar 0,180447.

Distribusi Normal

Beberapa fenomena dalam kehidupan mendekati kurva dari distribusi normal. Sebagai contoh

fenomena-fenoma yang mendekati kurva dari distribusi normal seperti fenomena mengenai nilai IQmanusia, tinggi badan, berat badan, dan sebagainya. Distribusi normal termasuk ke dalam salah satu

distribusi probabilitas nondiskrit. Dalam distribusi normal, variabel acak dinyatakan dalam interval

dan bersifat tidak dapat dihitung (uncountable). Sebagai contoh variabel acak dinyatakan dalaminterval 0 1, dengan . Berikut diberikan fungsi probabilitas dari distribusi normal.

Perhatikan bahwa merupakan rata-rata populasi, sedangkan merupakan standar deviasi populasi.Gambar 1 merupakan contoh dari kurva distribusi normal.

Gambar 1

Gambar 2

Dalam kurva distribusi normal, garis vertikal yang di tarik dari rata-rata membuat luas daerah sisikiri sama dengan luas daerah sisi kanan, sehingga distribusi normal bersifat simetri. Luas di bawah

Garis vertikal

Luas bagian kiri

adalah 0,5.Luas bagian kanan

adalah 0,5.


4/14

4

kurva dari distribusi normal adalah 1, sehingga luas bagian kiri dan luas bagian kanan terhadap rata-

rata, masing-masing adalah 0,5 (Gambar 2).

Dalam distribusi normal terdapat dua parameter, yakni rata-rata dan standar deviasi . Nilaistandar deviasi selalu lebih besar dari 0 atau 0. Suatu distribusi normal dikatakan distribusinormal standar (standard normal distribution) jika 0 dan 1. Luas daerah di bawah kurva daridistribusi normal standar dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar. Tabel

distribusi normal standar disajikan pada bagian lampiran. Jika dalam distribusi normal

0 dan

1, maka distribusi normal tersebut dapat ditransformasi atau diubah ke dalam distribusi normalstandar (standardizing a normal distribution).

Andaikan variabel acak dari distribusi normal dilambangkan dengan . Berikut rumus untukmentransformasi variabel acak normal menjadi variabel acak normal terstandarisasi.

.

Variabel acak normal terstandarisasi yang merupakan hasil transformasi dari variabel acak normal mempunyai 0 dan 1. Tabel distribusi normal standar pada bagian lampiran menunjukkan luasdaerah antara 0 sampai atau 0 . Andaikan merupakan variabel acak yangberdistribusi normal dengan rata-rata 40 dan standar deviasi 5. Berikut akan dikonversi atau

ditransformasi 42 dan 30 menjadi nilai-nilai variabel acak normal terstandarisasi.

42 405 0,4.

0 Z 0,4

30 405 2.

2 0

Distribusi Geometri

Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan 1 menyatakan probabilitas terjadinya gagaluntuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknyapercobaan yang dilakukan sampai terjadi sukses pertama kali. Maka disebut variabel acak geometri(geometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.

1 ; 1,2,

0 0,4 0,1554.

0 2 0 2 0,4772.


5/14

5

Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang/probabilitas seorang melemparkan sekeping koin yang

setimbang memerlukan 4 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar. Diketahui peluang untuk muncul

sisi gambar dalam sekali pelemparan sekeping koin yang setimbang adalah 0,5. Maka 4 1 0,50,5 0,0625.

Terdapat 16 kejadian yang mungkin, yakni :

AAAA AAGG AGGGAAAG AGAG GAGG

AAGA AGGA GGAG

AGAA GGAA GGGAGAAA GAAG GGGG

GAGA

Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 4 lemparan sampai

diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah

116 0,0625.

Andaikan memerlukan 3 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka

3 1 0 , 50,5 0,125. Terdapat 8 kejadian yang mungkin, yakni :

AAA AGG

AAG GAG

AGA AGG

GAA GGG

Peluang seseorang melemparkan sekeping koin yang setimbang memerlukan 3 lemparan sampai

diperolehnya sisi gambar pertama kali adalah

18 0,125.

Andaikan memerlukan 2 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka

3 1 0,50,5 0,25. Andaikan memerlukan 1 lemparan sampai diperolehnya sisi gambar pertama kali, maka

3 1 0 , 50,5 0,5.

Berikut disajikan hasil perhitungan dan grafik berdasarkan SPSS.

Kejadian yang diinginkan,yakni pada saat pelemparan

keempat terjadi kejadian

sukses pertama kali.

Kejadian yang diinginkan,yakni pada saat pelemparan

ketiga terjadi kejadian

sukses pertama kali.


6/14

6

Gambar 3

Gambar 4

Dalam distribusi geometri, probabilitas dari nilai variabel acak adalah kali dari probabilitas

nilai variabel acak . Sebagai contoh misalkan probabilitas terjadinya sukses dalam sekali

percobaan adalah . Maka

Sama saja dengan

Peluang seorang melemparkansekeping koin yang setimbang

memerlukan 4 lantunan sampai

diperolehnya sisi gambar pertama

kali adalah 0,0625.

.


7/14

7

Distribusi Binomial Negatif

Andaikan percobaan yang saling bebas (percobaan Bernoulli) dilakukan berulang kali. Misalkan menyatakan probabilitas terjadinya sukses dan 1 menyatakan probabilitas terjadinya gagaluntuk sekali percobaan. Misalkan merupakan variabel acak yang menyatakan banyaknyapercobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke- terjadi. Maka disebut variabel acak binomialnegatif (binomial negative random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.

1 1 1 ; , 1, 2,

Sebagai contoh berikut akan dihitung peluang bahwa seseorang yang melemparkan sebuah uanglogam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga. Diketahui

probabilitas muncul sisi gambar dalam sekali pelemparan sebuah uang logam adalah . Maka

1 1 1

3 3 12 1 1 12

12

2 12

12

28

14 0,25.

Terdapat 2 8 kejadian yang mungkin, yakni :AAA GGG

AAG GGA

AGA GAG

GAA AGG

Peluang seseorang melemparkan sebuah uang logam akan mendapat sisi gambar untuk kedua kalinyapada lantunan ketiga adalah

18 18

28

14 0,25.

Contoh lain berikut akan dihitung peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus

akan mendapat semuanya sisi gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga. Diketahui

probabilitas muncul semuanya sisi gambar dalam sekali pelemparan dua uang logam adalahAA GA

AG GG

14.

Maka peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi

gambar untuk kedua kalinya pada lemparan ketiga adalah

1 1 1

3 3 12 1 1 14

14

2 34

14

664 0,09375.


8/14

8

Pelemparan I Pelemparan II Pelemparan III

AA AA AA

AG AG AG

GA GA GA

GG GG GG

Terdapat

4

64 kejadian yang mungkin, yakni :

AA AA AA

AA AA AG

AA AA GA

AA AA GG

AA AG AAAA AG AG

AA AG GAAA AG GG

dan seterusnya. Kejadian yang diinginkan sebagai berikut.

AA GG GGAG GG GG

GA GG GG

GG AA GG

GG AG GGGG GA GG

Peluang seseorang yang melemparkan dua uang logam sekaligus akan mendapat semuanya sisi

gambar untuk kedua kalinya pada lantunan ketiga adalah

664 0,09375.

Distribusi Hipergeometri

Andaikan suatu kotak berisi bola putih kecil dan bola hitam kecil. Kemudian misalkan dilakukan percobaan pengambilan suatu bola kecil di dalam kotak tersebut secara acak, warnanya dicatat,namun bola tersebut tidak dikembalikan ke dalam kotak. Misalkan merupakan variabel acak yangmenyatakan jumlah bola putih kecil yang terpilih dalam percobaan. Maka disebut variabel acakhipergeometri (hypergeometric random variable) dengan fungsi probabilitas sebagai berikut.

, 0, ,,, .

Andaikan sebuah kotak berisi 3 bola putih kecil dan 1 bola kecil hitam. Suatu percobaandilakukan di mana satu bola kecil dipilih secara acak dan warnanya diamati, namun bola kecil tersebut

tidak diganti/dikembalikan. Berikut akan dihitung probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih.

Terdapat 6 kejadian yang

diinginkan.


9/14

9

2 32

13 2

3 13

3 32

11

4

3

3 14 34 0,75.

Kejadian-kejadian yang mungkin adalah sebagai berikut.

,, ,, ,, ,,.

Kejadian yang diinginkan atau diharapkan

,, ,, ,,.

Probabilitas bahwa dalam 3 kali percobaan, 2 bola putih kecil akan terpilih adalah34 0,75.


10/14

10

~Oleh: Prana Ugiana Gio~

PENYELESAIAN DALAM SPSS

Distribusi Binomial

Bangun data dalam SPSS seperti pada Gambar 1. Selanjutnya pilih Transform => Compute Variable,

sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 2). Pada Gambar 2, ketik fx dalam kotak

Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,

pilih Pdf. Binom. Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.BINOM(x,4,0.5).Selanjutnya pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 3.

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

pada kotak Numeric Expression,

ketik PDF.BINOM(x,4,0.5).

Pada Function group,

pilih All. Kemudianpada Functions andSpecial Variables, pilih

Pdf. Binom.


11/14

11

Distribusi Poisson


sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 5). Pada Gambar 5, ketik fx dalam kotakTarget Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,

pilih Pdf. Poisson. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.POISSON(x,2). Selanjutnya pilih OK.Hasilnya terlihat pada Gambar 6.

Gambar 4

Gambar 5

Gambar 6

Distribusi Normal


sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 8). Pada Gambar 8, ketik z dalam kotak

Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik (x-40)/5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya

disajikan pada Gambar 9. Kemudian pilih Transform => Compute Variable, sehingga muncul kotakdoalog Compute Variable (Gambar 10). Ketik fz pada kotak Target Variable. Pada kotak Numeric Expression, ketik CDF.NORMAL(ABS(z),0,1)-0.5. Selanjutnya pilih OK. Hasilnya disajikan pada

Gambar 11.


12/14

12

Gambar 7

Gambar 8 Gambar 9

Gambar 10

Gambar 11

Distribusi Geometri


sehingga muncul kotak dialog Compute Variable (Gambar 13). Pada Gambar 13, ketik fx dalam kotakTarget Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,

pilih Pdf. Geom. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.GEOM(x,0.5). Selanjutnya pilih OK.Hasilnya terlihat pada Gambar 14.

Gambar 12

Telah terbentuk variabel acak

normal terstandarisasi.


13/14

13

Gambar 13

Gambar 14

Distribusi Binomial Negatif



Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,

pilih Pdf. Negbin. Pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.NEGBIN(x,2,0.5). Selanjutnya pilihOK. Hasilnya terlihat pada Gambar 17.

Gambar 15

Gambar 16


14/14

14

Gambar 17

Distribusi Hipergeometri



Target Variable. Pada Function group, pilih All. Kemudian pada Functions and Special Variables,pilih Pdf. Hyper . Kemudian pada kotak Numeric Expression, ketik PDF.HYPER(x,4,3,3). Selanjutnya

pilih OK. Hasilnya terlihat pada Gambar 20.

Gambar 18

Gambar 19

Gambar 20

ReferensiReferensiReferensiReferensi1. Mann, P. S. dan C. J. Lacke. 2001. Introductory Statistics, International Student Version, 7

th

Edition. Asia: John Wiley & Sons, Inc.

2. Montgomery, D.C. dan G.C. Runger. 2011. Applied Statistics and Probability for Engineers,

5th Edition. United States of America: John Wiley & Sons, Inc.

3. Spiegel, M.R. dan L. J. Stephens. 1999. Statistics, 3rd

Edition. United States of America:McGraw-Hill Companies.

menyatakan jumlah bola putih kecil

akan terpilih, 4 merupakan jumlah

seluruh bola kecil, 3 menyatakan jumlah

bola kecil yang diambil, dan 3

menyatakan banyaknya bola putih kecil.

Documents

Distribusi Probabilitas dalam SPSS.pdf