Distribusi Probabilitas Diskrit dan Kontinu

Oleh Azimmatul Ihwah

Distribusi Probabilitas Diskrit

• Fungsi probabilitas dari variabel random diskrit dapat dinyatakan dalam formula matematik tertentu yang dinamakan fungsi distribusi diskrit.

• Distribusi diskrit yang akan dijelaskan disini antara lain distribusi uniform diskrit, distribusi binomial, distribusi geometrik dan distribusi Poisson

Distribusi Uniform Diskrit• Distribusi uniform diskrit merupakan distribusi

variabel random diskrit yang mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul.

• Definisi : jika variabel random diskrit X dengan nilai-nilai mempunyai probabilitas yang sama, maka variabel random X disebut mempunyai distribusi uniform diskrit, dinotasikan dengan , jika fungsi probabilitasnya berbentuk :

Distribusi Uniform

• Contoh: pada pemilihan warna kemasan permen, semua titik sampel dalam S = {merah,kuning,hijau,biru,ungu,orange} mempunyai probabilitas yang sama untuk muncul, yaitu sebesar . Jadi untuk x = merah, kuning, hijau, biru, ungu,orange.

• Untuk variabel random X yang mempunyai distribusi uniform diskrit, maka

Distribusi Binomial• Bila dalam satu eksperimen dengan n percobaan,

kejadian dalam tiap percobaan diklasifikasikan menjadi ‘sukses’ atau ‘gagal’, dengan probabilitas sukses dalam tiap percobaan adalah p, maka distribusi probabilitasnya dinamakan distribusi binomial.

• Suatu variabel random diskrit X dikatakan berdistribusi binomial dengan parameter n dan p, dinotasikan dengan maka fungsi probabilitasnya berbentuk :

, untuk x = 0,1,2,…,nx = banyaknya sukses, n = banyak percobaan, p = probabilitas sukses

Distribusi Binomial• Contoh : tersedia 3 mesin pengemas yang

dijalankan bersamaan. Berapa probabilitas bahwa dalam 5 kali keluaran mesin, terdapat 2 kemasan yang rusak pada mesin pertama? Jawab : x = 2, n = 5 , p = , maka b(2;5,) =

• Jika variabel random diskrit X mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p maka

Distribusi GeometrikContoh kasus : dalam transmisi gelombang, probabilitas gelombang yang ditransmisikan diterima bersifat eror adalah 0,1. Asumsikan bahwa setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen (saling bebas), dan misalkan X menotasikan jumlah gelombang yang ditransmisikan sampai terjadinya gelombang eror yang pertama.Jadi P(X=5) merupakan probabilitas bahwa 4 gelombang pertama yang ditransmisikan tidak mengalami eror dan gelombang ke-5 baru mengalami eror. Kejadian ini dapat dinotasikan {OOOOE}, dengan O = okay bit (gelombang yang diterima tidak mengalami eror).

Distribusi Geometrik

• Karena setiap transmisi gelombang adalah kejadian independen, maka

P(X=5) = P({OOOOE}) = • Variabel random X yang menyatakan

banyaknya percobaan sampai terjadinya sukses yang pertama kali dikatakan berdistribusi geometrik dengan parameter p, dinotasikan dengan fungsi probabilitas berbentuk

untuk x = 1,2,3,…

Distribusi Geometrik

• Jika X berdistribusi Geometrik dengan parameter p, maka

Distribusi Poisson• Jika pada distribusi binomial parameter n

cukup besar (secara teoritis n), maka diperoleh distribusi Poisson dengan parameter .

• Jadi suatu variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter , dinotasikan , jika fungsi probabilitasnya sbb:

; untuk x = 0, 1, 2, 3, …

Distribusi Poisson• Contoh : jika probabilitas seseorang terkena

penyakit demam adalah 0.005, berapa probabilitas bahwa terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang?

Jawab : diperoleh , sehingga p(18;15) =• Jika variabel random X mempunyai distribusi

Poisson, dengan parameter λ, maka

Distribusi Probabilitas Kontinu

• Fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu dapat dinyatakan pula dalam formula matematik tertentu yaitu fungsi distribusi kontinu.

• Distribusi kontinu yang akan dipelajari disini adalah distribusi uniform kontinu, distribusi normal, distribusi Chi-Square, distribusi Student’s t dan distribusi F.

Distribusi Uniform Kontinu

• Definisi : suatu variabel random kontinu X mempunyai distribusi uniform kontinu pada selang , dinotasikan dengan jika fungsi densitasnya berbentuk:

,untuk x yang lain

Distribusi Uniform Kontinu

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi uniform kontinu pada interval , maka :

Distribusi Normal• Fungsi distribusi dari variabel random kontinu

yang paling luas penggunaannya adalah fungsi distribusi normal.

• Kurva normal berbentuk seperti lonceng (bell), sehingga kurvanya disebut bell curve.

• Kurva normal adalah simetris, dengan mean dan median berada di tengah-tengah.

Distribusi Normal• Kurva normal sangat baik untuk dipakai dalam

menggambarkan data yang muncul dalam kehidupan sehari-hari.

• Misal diketahui data nilai akhir mahasiswa Statistika Industri I TIP FTP UB yang berdistribusi Normal, maka dikatakan bahwa sebagian besar nilai mahasiswa berada di sekitar rataan dan sangat sedikit sekali mahasiswa yang nilainya sangat bagus dan sangat sedikit pula yang nilainya sangat jelek.

• Contoh dalam industri pertanian??

Distribusi Normal

• Definisi : variabel random kontinu dikatakan berdistribusi normal dengan parameter dan , dinotasikan dengan , jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk :

untuk Apabila dan = 1, maka diperoleh distribusi normal standar, dinotasikan dengan sering disebut dengan distribusi Z, fungsi densitasnya sbb :

Distribusi NormalTeorema : Luas daerah di bawah kurva normal (normal biasa maupun normal standar) dan di atas sumbu X adalah 1 satuan. Yaitu Sifat kurva normal :• Asimtotik terhadap sumbu X.• Simetris terhadap garis .• Mempunyai titik koordinat maksimum • Mempunyai dua titik belok yg berjarak dr sb

simetri

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

• Jika variabel random X berdistribusi normal biasa dengan fungsi densitas probabilitas , maka

• Atau dengan kata lain kita mencari luas di bawah kurva normal dan dibatasi x = a dan x = b

Namun bukan pekerjaan yang mudah mengingat bentuk fungsi densitas probabilitas dari variabel random X yg cukup rumit. Sehingga para ahli statistik menyediakan tabel yang menyatakan luas di bawah kurva normal standar, di atas sumbu Z dan dibatasi oleh Z = 0 dan Z = z

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

• Dengan cara mentransformasikannilai variabel X ke variabel Z dengan.• Tabel kurva normalstandar

Mencari Luas di Bawah Kurva Normal dengan Menggunakan Tabel Kurva Normal Standar

Dari tabel tersebut carilah luas di bawah kurva normal baku:a. Yang dibatasi oleh Z = 0 dan Z = 1.34b. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 0c. Yang dibatasi oleh Z = -0.57 dan Z = 1.34d. Yang dibatasi oleh Z = 1.34 dan Z = 2.56e. Di sebelah kanan Z = -0.57f. Di sebelah kanan Z = 1.87

Contoh Kasus

1. Rataan nilai kinerja pegawai dari 2500 pegawai di Perusahaan Maju Terus adalah 85 dan mempunyai standar deviasi 20. Dengan menganggap bahwa data tersebut adalah data yang berasal dari populasi berdistribusi normal, cari berapa banyak pegawai:• Yang nilai kinerjanya lebih dari 90?• Yang nilai kinerjanya antara 75 dan 90?

Contoh Kasus

2. Rataan skor masuk suatu perguruan tinggi negeri adalah 120.5 dengan standar deviasi 20. Sesuai dengan formasi yang ada, dari keseluruhan peserta tes hanya akan diambil 30% saja. Berapa skor terendah yang diterima di perguruan tinggi negeri tersebut jika distribusi skor dianggap normal?

Titik Dalam aplikasi statistika inferensial menyangkut uji hipotesis, sering diperlukan nilai tertentu sehingga luas di sebelah kanan dan di bawah kurva normal standar sama dengan . Titik yang seperti ini dinamakan . Jadi diperoleh,

dimana

Titik

Jika digambarkan:

Dengan melihat tabel distribusi normal standar, akan diperoleh nilai-nilai:• •

Distribusi Chi-Square• Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi

Chi-square dengan derajat kebebasan jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

dengan bilangan asli dan . Fungsi disebut fungsi gamma

Distribusi Chi-Square• Distribusi Chi-square dengan derajat kebebasan

disajikan dengan , dan jika berditribusi Chi-square dengan derajat kebebasan disajikan dengan .

• Grafik distribusi Chi-square

• Jika var. random X berdistribusi , maka

Distribusi Chi-Square• Untuk nilai dan tertentu, harga dapat dicari

melalui tabel.

• Contoh

Distribusi Student’s • Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi

student’s dengan derajat kebebasan jika fungsi densitas probabilitasnya berbentuk:

dengan Distribusi tersebut disajikan dengan atau .• Grafik distribusi student’s

Distribusi Student’s • Nilai-nilai yang bersesuaian dengan derajat

kebebasan dan dapat dilihat pada tabel berikut:

• Misal

Distribusi Student’s

• Jika variabel random kontinu X berdistribusi student’s dengan derajat kebebasan maka:

Distribusi FSuatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi F dengan derajat kebebasan dan jika fungsi densitasnya berbentuk:

Distribusi tersebut disajikan dengan atau X.Grafik distribusi F:

Distribusi F

Tabel distribusi F yang tersedia hanya terdapat nilai dan dan nilai-nilai dan tertentu. Contoh: Jika variabel random kontinu X berdistribusi F dengan derajat kebebasan dan maka:• , untuk • , untuk

Tabel F untuk

Tabel F untuk