Distribusi Probabilitas : Gamma & Eksponensial Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

5.3

Outline

Distribusi Gamma

Distribusi Eksponensial

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

2

Distribusi Gamma Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk

memecahkan masalah teknik dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila

digunakan pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya. Distribusi

eksponensial adalah sebuah kasus distribusi Gamma.

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

3

Distribusi Gamma (1)

¡ Definisi 1 :

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang disebut luas dalam bidang matematika.

¡ Definisi 2 : Fungsi gamma didefinisikan oleh

Untuk α > 0

dengan e=2,71828

Fungsi gamma diintegralkan, bila α = n dengan n adalah bilangan bulat positif, maka Γ(n) = (n-1)!

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

4

Distribusi Gamma (2)

¡ Definisi 3 :

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

5

Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter α dan β , jika fungsi padatnya berbentuk:

Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada Gambar 1. Distribusi gamma yang khusus dengan α=1 disebut distribusi Eksponensial (Gambar 2).

11 0

0

xx e ; xf(x) ( )

; x yanglain

α βαβ α

−−

⎧⎪ >

= ⎨ Γ⎪⎩

0 0dengan danα β> >

Gambar 1. Distribusi Gamma Beberapa nilai parameter α dan β

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

6

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

f(x)

Distribusi Gamma

Gambar 2. Distribusi Eksponensial (Distribusi Gamma dengan α=1 ) Grafik distribusi gamma dengan α=1 dan beberapa nilai β

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

7

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

8 Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah

Nilai e = 2,718281

2 2danµ αβ σ αβ= =T

ab

el

Ga

mm

a

q Misalkan   variabel   acak   kontinu   X   yang   menyatakan   ketahanan   suatu  bantalan  peluru  (dalam  ribuan  jam)  yang  diberi  pembebanan  dinamik  pada  suatu  putaran  kerja  tertentu  mengikuti  suatu  distribusi  gamma  dengan  α  =  8  dan  β  =  15,  maka  probabilitas  sebuah  bantalan  peluru  dapat  digunakan  selama   60   ribu   sampai   120   ribu   jam   dengan   pembenan   dinamik   pada  putaran  kerja  tersebut  adalah:  

q *karena   contoh   soal   ini   dipengaruhi   parameter   α   dan   β,   maka  menggunakan   definisi   ke-­‐3,   kita   cari   peluang   ketahanan   pembebanan  antara   60   ribu   sampai   120   ribu   jam,   dan   perhitungannya   sesuai   rumus  pada   definisi   3   dengan   fungsi   padat   seperti   di   bawah   ini:  

( ) ( )120 60

15 15

(60 120) 120 60(120;8,15) (60;8,15)( ;8) ( ;8) (8;8) (4;8)

0,5470 0,0511 0,4959

G GG G G G

P X P X P X F F F F F F

≤ ≤ = ≤ − ≤= −= − = −= − =

           

q Beberapa  ukuran  statistik  deskriptif  distribusi  gamma  di  atas  adalah:  

Mean     :   ( ) (8)(15) 120x E Xµ αβ= = = =  Varians       :   2 2 2(8)(15 ) 1800 42,43x xσ αβ σ= = = → =  

Contoh (1)

Lihat tabel

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

9

¡  Sebenarnya, rumus yang digunakan:

¡  Integral ini sulit dievaluasi secara langsung. Akan tetapi dapat dievaluasi dengan perantaraan tabel fungsi gamma tak lengkap F.

¡  Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

¡  Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x.

⎪⎩

⎪⎨⎧ >

Γ=−−

lainnya

xexxfx

0

0)(

1),;(

/1 βαα αββα

dxex

dxex

XP

x

x

∫

∫

−

−−

Γ

=Γ

===≤

60

0

10/75

60

0

/1

)8(101

)(1

)10,8;60(

βαα αβ

βα

Contoh (1)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

10

Contoh (2)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

11

Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial à Keadaan khusus distribusi gamma

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

12

Distribusi Eksponensial (1)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

13

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

14 Distribusi Eksponensial (2)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

15 Distribusi Eksponensial (3)

Distribusi Eksponensial (4)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

16

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

17 Distribusi Eksponensial (5)

Hubungan distribusi Poisson, Eksponensial, dan Gamma

Pada suatu kejadian yang mengikuti proses Poisson, waktu antar kejadian (atau waktu kejadian pertama atau ke-1 dari kejadian terakhir, karena sifatnya yang memoryless) tersebut akan berdistribusi eksponensial. Sedangkan waktu sampai terjadinya kejadian ke-α akan berdistribusi gamma.

Contoh (1)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

18

Hari-hari antara kecelakaan pesawat terbang 1948-1961 berikut distribusi eksponensial dengan rata-rata 44 hari antara setiap kecelakaan. Jika satu terjadi pada 1 Juli setiap tahun tertentu: a.  Berapa probabilitas dari yang lain seperti kecelakaan dalam sebulan? b.  Berapa varians dari waktu antara kecelakaan di tahun tersebut?

Solusi :

Distribusi eksponensial tidak memiliki memori, maka sebuah kecelakaan di bulan tertentu tidak memiliki bantalan pada setiap periode waktu lainnya. Jadi:

a.  probabilitas kecelakaan selama 31 hari adalah P (31) = 1 – e (-31/44) = 0,506

b.  varians dari distribusi eksponensial adalah (442) = 1936

Contoh (2)

14/07/2014 www.debrina.lecture.ub.ac.id

19

TUGAS TERSTRUKTUR

DEADLINE

KAMIS, 14 AGUSTUS 2015 25/07/15