Distribusi Teoritis Variabel Acak Kontinu

Variabel AcakdanDistribusi Probabilitas Kontinu

Variabel Acak Terdistribusi SeragamGrafik distribusi seragam (uniform)f(x) 1d-c x0cdPersamaan yang mendeskripsikan distribusi seragam adalahf(x)=1/(d-c)untuk c x d=0untuk yang lainnya.

Mean x = (c+d)/2Deviasi standar x = (d-c)/12

Contoh:Waktu seseorang menunggu datangnya pesawat disebuah bandara anatara jam 08.00-10.00 berdistribusi uniform.Berapa probabilitas seseorang harus menunggu kurang sama dengan 30 menit dari jam 08.00?Berapa probabilitas menunggu lebih dari 30 Menit

Interval 08.00-10.00 adalah 120 menit. c=0 dan d=120P(x>30)=1-P(x0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikuti sebuah distribusi normal, maka

68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam 1 x dari x ,95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam 2 x dari x ,99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam 3 x dari x

Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

Statistik Deskriptif NormalUntuk suatu distribusi normal dengan nilai-nilai parameter mean x dan deviasi standard x akan diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai mean x,

sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva distribusi adalah 3.

Bentuk distribusi normal ditentukan oleh dan .

12 1 = 2 1 > 2

12 1 < 2 1 = 2

12 1 < 2 1 < 2

Distribusi Normal StandardUntuk menghitung probabilitas P(a X b) dari suatu variable acak kontinu X yang berdistribusi normal dengan parameter dan maka fungsi kepadatan probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a sampai x =b. Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan deviasi standart = 1.

Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z :

mean atau rata-rata = 0 deviasi standar = 1

Menstandardkan distribusi NormalDistribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

Jika X distribusi normal dengan mean dan deviasi standard maka

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 Z b) = P(-b Z 0)

Contoh :Diketahui data berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15a) P(55x75) = = = P(0Z1,33) = 0,4082 (Tabel Z) Atau

Tabel Z A = 0,4082

b) P(60x80) == P(0,33Z1,67)= P(0Z1,67) P(0Z0,33)= 0,4525 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A B = 0,3232

c) P(40x60)= A + B

= = P(-1,00Z0,33) = P(-1,00Z0) + P(0Z0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x 40) = 0,5 A = 0,5 0,3412 = 0,1588

P(x 85)

P(x 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?

P( x 0) = 0,45P( Z 0) = = -1,645 (x 0Fungsi gamma ini adalah fungsi rekursif di mana (n) = (n-1)!

Distribusi GammaVariabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi gamma, dengan parameter dan , jika fungsi densitasnya diberikan oleh:

di mana > 0, > 0.Pada saat = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial.

Distribusi EksponensialVariabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi eksponensial, dengan parameter , jika fungsi densitas (pdf)-nya diberikan oleh:

di mana > 0.

Mean dan varians distribusi eksponensial adalah: = 2 = 2

Contoh:Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dinyatakan oleh variabel acak X yang berdistribusi eksponensial dgn rata-rata waktu sampai komponen rusak adalah 5 tahun. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah probabilitas paling sedikit 2 komponen masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan

Probabilitas sebuah komponen akan berfungsi setelah 8tahun

Bila Y adalah banyaknya komponen yg masih berfungsi setelah 8 tahun .Dengan menggunakan distribusi binomial diperoleh: