BAB IXDISTRIBUSI PROBABILITI DAN NILAI TUNGGAL DARI SUATU DISTRIBUSI

Distribusi: Pemakaiannya dapat menjelaskan secara ringkas berupa grafik pada kisaran variabel yang memungkinkan sebagai probabiliti suatu kejadian.

Probabiliti: Relatif frekuensi. Kumulatif distribusi frekuensi.

Nilai tunggal suatu parameter dari distribusi:Menentukan beberapa parameter yang penting, menjadi satu (tunggal) harga dari suatu distribusi.

Random Variabel:Paramater atau variabel yang memiliki lebih dari satu harga kemungkinan, harga-harganya tidak dapat diramalkan pada saat membuat keputusan untuk masing-masing nilai yang tepat karena berhubungan dengan kemungkinan atau probabiliti suatu kejadian.

Random variabel merupakan variabel stochastic, adalah variabel yang tidak dapat ditentukan pada saat pengambilan keputusan sehingga kepastiannya dinyatakan dengan probabiliti.Sedangkan deterministic variable, adalah variabel yang dapat diketahui harganya pada saat pengambilan keputusan.

Contoh random Variabel:Penentuan ketebalan zone produktif.Perkiraan cadangan dari suatu sumur atau lapangan.Biaya pemboran, perkiraan keuntungan bersih dari suatu pemboran yang prospek.

Harga random variabel dapat berharga positif dan dapat pula berharga negatif, masing-masing harga (atau kisaran harga) memiliki probabiliti suatu kejadian. Harga random variabel tersebut dapat berbeda besarnya namun dapat memiliki probabiliti suatu kejadian yang sama besarnya.

Distribusi Probabiliti.Merupakan grafik yang menyatakan suatu kisaran harga atau kemungkinan suatu kejadian pada harga-harga yang mungkin terjadi yang dimiliki oleh random variabel.Distribusi probabiliti dapat diskrit atau menerus tergantung keadaan alami random variabel. Pada skala horizontal dari distribusi probabiliti adalah random variabel (x) yang tidak memiliki satuan dan memiliki kisaran. Tingginya distribusi probabiliti dari sumbu vertikal sebanding dengan harga probabiliti suatu kejadian (atau kisaran suatu harga) pada random variabel.

Contoh distribusi menerus probabiliti dinyatakan pada Gambar 6.8.

Gambar 6.8.Distribusi Menerus.

Gambar diatas adalah menerus untuk setiap harga perolehan cadangan dalam kisaran x min hingga x mak. Parameter pada sumbu vertikal, f(x) dinamakan fungsi densiti probabiliti, merupakan fungsi matematika, penentuannya seperti menghitung luas dibawah daerah distribusi dengan jalan mengintegrasikan f(x) dari x min hingga x mak, hasil luasannya tidak memiliki dimensi dan harganya sama dengan satu.Luas daerah semua distribusi probabiliti didefinisikan sama dengan 1, kharakteristik yang lain adalah semua distribusi probabiliti berharga positif atau nol tidak pernah negatif, artinya kurva distribusi probabiliti tidak pernah menuju kebawah sumbu horizontal. Disini tidak pernah mengintegrasikan fungsi densiti probabiliti, karena :1. Integrasi skala vertikal dapat dikonversi ke skala numerik yang sebanding dengan probabiliti suatu kejadian pada suatu harga atau suatu kisaran harga dari random variabel, dengan demikian pada Gambar 6.8 diatas bahwa harga x (perolehan cadangan) mengecil pada akhir kisaran dan tinggi dari kurva tersebut menggambarkan probabiliti yang lebih besar terhadap perolehan cadangan. Pada harga x yang membesar kurva menuju ke rendah yang diartikan harga kisaran x yang terbesar, probabilitinya mengecil. Probabiliti kejadian dari harga x yang lebih kecil dari x min atau lebih besar dari x mak berharga nol.2. Dengan mengabaikan diskusi secara formal pada fungsi distribusi probabiliti secara matematis agak komplek fungsinya dan secara matematis dari kalkulus integralnya memerlukan data yang lengkap namun hasilnya sebanding dengan metoda yang dinyatakan secara statistik, lebih mudah menggunakan grafik dan tabel untuk menentukan f(x) sebagai probabiliti.Distribusi yang memiliki harga tertentu saja dinamakan distribusi diskrit, setiap hasil dari random variabel dihasilkan dari perhitungan distribusi diskrit probabiliti, contoh jumlah struktur yang mengandung minyak dari suatu basin, jumlah sumur produksi.Contoh distribusi diskrit dapat dlihat pada Gambar 6.9.

Gambar 6.9Distribusi probabiliti diskrit.

Kemungkinan suatu kejadian pada masing-masing harga diskrit pada random variabel dapat langsung dibaca pada skala vertikal pada distribusi probabiliti diskrit.Pada distribusi diskrit :

( jumlah probabiliti = 1 ), dengan i = 0, 1, 2, 3 ..n.tingginya kurva sebanding dengan probabiliti suatu kejadian.

Pada Gambar 6.9, struktur yang memiliki/terisi minyak dalam jumlah besar pada suatu basin 15, dan yang memiliki probabiliti nol adalah 27, hanya harga bulat positif random variabel yang mungkin ada tidak bisa berharga 6,8 struktur yang produktif atau 14,1. Bulat positif dinyatakan 0,1,2,3, . .n, karenanya random variabel hasil dari perhitungan yang di interpretasikan sebagai distribusi probabiliti diskrit.

Bagaimana menginterpretasikan distribusi (pada distribusi menerus). Dalam hal menentukan probabiliti yang berhubungan dengan random variabel x diantara dua harga tertentu, misalkan x1 dan x2 seperti pada Gambar 6.10.

Gambar 6.10 Distribusi kontinu pada random variabel.

Untuk mendapat probabiliti harus dihitung luas daerah yang dibatasi x1 sampai dengan x2 , bila diketahui fungsi densiti probabiliti, secara sederhana tinggal mengintegrasikan dari batas x = x1 hingga x = x2, jika tidak diketahui fungsi densiti probabiliti dapat digunakan cara grafik untuk mencari luas yang merupakan probabiliti.

Intinya untuk mengetahui probabiliti pada harga random variabel diantara dua harga batas, diperoleh dari luas kurva distribusi probabiliti diantara dua batas, diberi lambang yang menyatakan probabiliti x diantara dua harga batas x1 hingga x2.Contoh lain:

Gambar 6.11a, probabiliti pada merupakan luas daerah yang dibatasi hingga y1, yaitu dengan mengintegralkan fungsi densiti probabiliti dari y = - hingga y = y1. disebut sebagai probabiliti pada left tail, hal yang sama untuk right tail P() lihat Gambar 11b.

Gambar 6.11a Left Tail.

Gambar 11b Right Tail.Distribusi frekuensi relatif.Jarang orang menggunakan distribusi berdasarkan fungsi densiti probabiliti melainkan menggunakan frekuensi relatif, histogram bila diperoleh distribusi frekuensi relatif dengan jalan mencari luas daerah dibawah kurva yang kemudian dapat dikonversikan ke distribusi probabiliti.

Sebagai contoh:Ahli geologi mempelajari daerah baru yang akan dibor, telah melakukan pemboran 20 sumur, satu variabel yang tidak diketahui untuk mempertimbangkan membor pada daerah prospek yaitu ketebalan lapisan produktif, untuk mendapatkan ketebalan ini pada suatu kemungkinan, dapat dilihat pada Tabel 6.5.

Tabel 6.5Ketebalan lapisan produktif pada 20 sumur yang telah dibor

No sumurKetebalan,h (ft)

1111

281

3142

459

5109

696

7124

8139

989

10129

11104

12186

1365

1495

1554

1672

17167

18135

1984

20154

Untuk itu dapat dilakukan dengan membuat kisaran (interval kelas) dari data random variabel menjadi beberapa kelompok atau interval dan ditabulasikan seperti pada Tabel 6.6, dibawah ini.Tabel 6.6Pengolahan data

Kisaran tebal, h (ft)frekuensiFrekuensi relatifFrekuensi rel %

50-8044/20=0.220

81-11077/20=0.3535

111-14055/20=0.2525

141-17033/20=0.1515

171-20011/20=0.055

Jumlah201.00100

Dari tabel diatas dapat dibuat dua grafik distribusi yaitu histogramnya, sebagai skala vertikal adalah frekuensi dan horizontal adalah interval kelas ketebalan (Gambar 6.12) dan kurva relatif frekuensi sebagai skala vertikal adalah relatif frekuensi dan skala horizontal interval kelas ketebalan Gambar 6 13.

Gambar 6.12.Plot interval kelas (ketebalan) Vs frekuensi.

Gambar 6.13.Plot interval kelas (ketebalan) Vs relatif frekuensi.

Lebar kotak-kotak pada sumbu horizontal berhubungan dengan kisaran interval kelas kolom ke I pada Tabel 6.6. Sebagai alternative dapat diplot harga relatif frekuensi pada sumbu vertikal dan hasilnya seperti pada Gambar 6.13. Lebar interval kelas tergantung data dan derajat ketelitian yang diinginkan, pada umunya interval kelas ini dibagi kedalam 5 sampai dengan 20 interval dengan 8 sampai 12 kemungkinan yang terbesar, lebar atau ukuran masing-masing interval tidak harus sama, bila jumlah interval bertambah lebar masing-masing interval berkurang, hal yang berbeda antara distribusi relatif frekuensi pada Gambar 6.13 dengan distribusi probabiliti Gambar 6.8. Pada distribusi relatif frekuensi semuanya menggambarkan perkiraan distribusi probabiliti dengan menggunakan data terbatas pada sample data yang di observasi, perbedaan yang lain dari kedua jenis distribusi bahwa skala vertikal grafik relatif frekuensi pada Gambar 6.13 tidak berskala, namun luas daerah dibawah kurva tepat sama dengan 1, juga satuan pada sumbu vertikal harus seperti pada satuan random variabel pada tingkat luasan dan menjadi tidak berdimensi sehingga skala relatif frekuensi tidak berskala melainkan 1/random variabel, tetapi jarang digunakan distribusi frekuensi relatif dinyatakan sebagai per se distribusi probabiliti, namun dibaca sebagai luas daerah kurva pada distribusi probabiliti.

Contoh probabiliti net pay yang lebih kecil atau sama dengan 110 feets, jumlah frekuensi relatif di sebelah kiri 110 ft : 0,2 + 0,35 = 0,55.Cara menginterpretasikan probabiliti dalam kisaran yaitu :Dikatakan probabiliti 0.2 memiliki ketebalan antar 50 sampai dengan 80 ft, probabiliti 0,35 memiliki ketebalan antara 80 sampai 110 ft.

Distribusi kumulatif frekuensi.Setiap distribusi dapat di ekpresikan dalam bentuk grafik yang ekwivalen yang dinyatakan sebagai distribusi frekuensi kumulatif, dua alasan penggambaran distribusi kedalam frekuensi kumulatif:1. Bila memiliki distribusi kumulatif, dapat dikatakan luas daerah yang menggambarkan distribusi probabiliti tanpa mengintegralkan fungsi probabiliti densiti.2. Didalam mekanisme analisa resiko yang di sebut simulasi, diperlukan distribusi konversi (pada harga-harga yang memungkinkan) untuk setiap random variabel kedalam bentuk frekuensi kumulatif yang ekwivalen.

ada beberapa cara untuk mengkonversi distribusi kedalam ekwivalen frekuensi kumulatif, tetapi yang sering digunakan ada dua cara, yaitu dengan memplot data tabulasi harga-harga relatif frekuensi seperti pada Tabel 6.6 atau metoda perkiraan yang akan dijelaskan kemudian.Secara prinsip masing-masing metoda terdiri dari pemindahan dari ujung kiri suatu distribusi ke ujung akhir kanan dan menghitung luas total, lebih kecil atau sama dengan harga-harga variasi pada random variabel yang memiliki kisaran. Luas daerah kumulatif (probabiliti) di plot pada kertas grafik sebagai fungsi harga-harga random variabel yang berhubungan dengan luas kumulatif.Contoh :Ditabulasikan data ketebalan net pay dari 20 sumur suatu basin pada Tabel 6.6, tiga kolom pertama pada Tabel 6.7 merupakan perulangan Tabel 6.6, kolom ke 4 merupakan kumulatif relatif frekuensi dan kolom ke 5 kumulatif relatif frekuensi dalam persen .Tabel 6.7Data ketebalan dari 20 sumur pada suatu basin (Data dari Tabel 6.5 dan 6.6).Range hFrekRel frekKumlatif rel frekKum rel frek %

50-8040.20.220

81-11070.350.5555

111-14050.250.880

141-17030.150.9595

171-20010.051100

jumlah20

Plot batas atas masing-masing range terhadap frekuensi kumulatif seperti pada Gambar 6.14, frekuensi kumulatif lebih kecil sama dengan () terhadap harga-harga yang mungkin minimum dari random variabel selalu berharga nol dan frekuensi kumulatif dari harga maksimum pada random variabel selalu 1 (100%).

Gambar 6.14.Distribusi frekuensi relatif terhadap data ketebalan (Tabel 6.7).Bila dinyatakan dimulai dari harga maksimum pada random variabel menuju harga mengecil di sebelah kanan Gambar 6.15.

Gambar 6.15.Distribusi kumulatif frekuensi dari ketebalan net pay.

Distribusi luas daerah dijumlahkan dari kanan kekiri jarang dari kiri kekanan, seperti pada Gambar 6.14.Cara membaca: pada ketebalan (50-80) ft (80 ft batas atas) probabiliti yang di peroleh (100-80) % = 20 % (dalam %), atau (1-0.8) = 0.2 (dalam kumulatif frekuensi).

Penyajian lain: plot frekuensi relatif terhadap distribusi variabelnya (kisaran harga biaya pemboran ekplorasi), seperti Gambar 6.16. Teknik penyelesaiannya terdiri dari beberapa langkah yaitu:1. Tentukan skala vertikal (bebas) dan juga tidak memiliki satuan.2. Distribusi dibagi dalam bangun-bangun geometri pada kurva distribusi, bentuk geometri dapat berupa segitiga, segi empat dan trapesium.3. Untuk masing-masing bangun dibaca skala vertikal (pada skala bebas) dan skala horizontalnya sebagai variabel random.4. Hitung luas seuai dengan geometri dan dapatkan jumlah seluruh luasan.5. Hitung fraksi luasan yaitu luasan masing-masing bangun dengan luas total, fraksi luasan berhubungan dengan frekuensi relatif atau fraksi luasan dibawah kurva dari masing-masing gambar geometri.6. Kumulatif fraksi luasan yang diplot sebagai data luasan kumulatif terhadap harga batas atas atas (pada skala horizontal) dari masing-masing gambar. Grafik ini memperkirakan distribusi kumulatif frekuensi dari distribusi aslinya.Bentuk distribusinya dinyatakan pada Gambar 6.16.

Gambar 6.16.Distribusi menerus biaya pemboran persumur pada daerah ekplorasi yang baru.

Pembagiannya sesuai dengan geometrinya dinyatakan pada Gambar 6.17. Fungsi biaya (skala horizontal) dari frekuensi relatif (skala vertikal) atau yang dinyatakan sebagai keputusan subyek pada pemboran sebagai harga yang memiliki kisaran dan kemungkinan terhadap biaya pemboran.

Gambar 6.17.Distribusi biaya pemboran pada Gambar 6.16 menyatakan skala bebas pada skala vertikal dan distribusi dibagai menjadi 11 gambar geometri yang diperkirakan dari ditribusi aslinya.

Untuk menghitung luasan masing-masing bentuk pada Gambar 6.17 dinyatakan pada Tabel 6.8, contoh perhitungannya :a.Gambar 1 pada Gambar 6.17, merupakan bentuk segitiga , bagian dasar/alas yang dibaca pada skala horizontal adalah ($108,5 M-$100.0 M) = $8.5 M, Tinggi ordinat diatas $108.5 adalah 1.0 dari skala vertikal (pada skala bebas), sehingga luas adalah (alas)*(tinggi) = ($8,5)(1.0)= $4.250 M, di urutan pada kolom 8 Tabel 6.8.b. Gambar 2 pada Gambar 6.17, dengan bentuk dasar trapesium, pada skala vertikal memiliki jumlah dua garis sejajar, panjang dari masing-masing alas pararel adalah tinggi dari ordinat yang dibaca diatas ordinat $108,5M adalah 1 dan $115.0 M adalah 2.8. jarak antar alas yang sejajar pada skala horizontal adalah ($115,0M-$108,5M) = $6.5, maka luas trapesium adalah (jumlah dua garis sejajar)(tinggi) = (1.0+2.8)($6.5)=$12.350. Demikian seterusnya dapat dilihat pada Tabel 6.8.

Tabel 6.8.Perhitungan luas masing-masing Geometri dari Gambar 6.17.

Total luas adalah $238.625 pada kolom 8, dengan membagi kolom 8 dengan total luas akan diperoleh kolom 9 sebagai fraksi luas yang merupakan frekuensi relatif seperti yang didiskusikan pada Tabel 6.6.Pada kolom 10 (Tabel 6.8) merupakan kumulatif luas dari kolom 9, dan kolom 11 merupakan batas atas masing-masing kelas.Jika diplot antara kolom 10 dan 11 dari Tabel 6.8 diperoleh Gambar 6.18.

Gambar 6.18Distribusi kumulatif frekuensi relatif dari distribusi biaya pemboran.

a. Berapakah probabiliti biaya $120 M dan $150 M.Untuk menjawab harus didapat daerah dibawah luasan kurva, batas antara $120 M dan $150 M, dapat ditentukan luasan ini secara langsung dari Gambar 6.18, pertama-tama masukkan pada sumbu horizontal harga batas atas, $150 M, tarik keatas potongkan dengan kurva dan tarik horizontal didapat frekuensi kumulatif 0.72 pada (Gambar 6.18a)), ini menyatakan luas total pada Gambar 6.18 untuk harga $150 M kekiri. Kemudian diulangi untuk batas terendah pada $ 120 M, diperoleh kumulatif frekuensi 0.13 ini merupakan luas dibawah kurva dari harga $120 M kekiri, (luas daerah B, Gambar 6.18a) sehingga probabiliti biaya antara $120 M dan $150 M adalah (0.72-0.13) = 0.59.

Gambar 6.18aPenentuan Probabiliti biaya pemboran (baru) ekplorasi $ 150 M dan $120 M.

b. Berapakah probabiliti biaya pemboran sebesar lebih kecil atau sama dengan $140 M.Dapat dibaca secara langsung dari kurva distribusi kumulatif frekuensi sebesar biaya $140 M, adalah 0,51. Artinya dimiliki 51 % kesempatan dengan biaya yang lebih lebih kecil atau sama dengan $140. M.

c. Berapakah probabiliti untuk biaya lebih dari $160. M.Dari Gambar 6.18 pada $160 M berhubungan dengan kumulatif frekuensi sebesar 0.86, artinya luasan dibawah kurva kekiri dari $160 M adalah 0.86, berdasarkan definisi ini luas disebelah kanan $160 M adalah 1-0.86 = 0.14 atau 14 % kesempatan dengan biaya melebihi $160 M.

Distribusi ProbabilityPage 3