DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI

UNIVERSITAS INDONESIA

DISTRIBUSI SKEW-NORMAL

SKRIPSI

RIYANTO D SETYAWAN

0706261884

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK

JULI 2011

Distribusi skew- ..., Riyanto D Setyawan, FMIPA UI, 2011

UNIVERSITAS INDONESIA

DISTRIBUSI SKEW-NORMAL

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

RIYANTO D SETYAWAN

0706261884

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA

DEPOK

JULI 2011


iii

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

Nama : Riyanto D Setyawan

NPM : 0706261884

Tanda Tangan :

Tanggal : 12 Juli 2011


iv

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh


NPM : 0706261884

Program Studi : Sarjana Matematika

Judul Skripsi : Distribusi Skew-Normal

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai

bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing : Dra. Ida Fithriani, M.Si. ( )

Penguji : Dra. Netty Sunandi, M.Si. ( )

Penguji : Dra. Rianti Setiadi, M.Si. ( )

Penguji : Fevi Novkaniza, M.Si. ( )

Ditetapkan di : Depok

Tanggal : 17 Juni 2011


v

KATA PENGANTAR

Puji syukur yang tak terkira saya panjatkan kepada Tuhan Yesus, karena

atas berkat dan rahmat-Nya, saya dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulisan

skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai

gelar Sarjana Sains Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.

Saya menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak,

dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi

saya untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, saya mengucapkan terima

kasih kepada:

(1) Tuhan Yesus, tentunya Dia yang menguatkan, memampukan, dan terus

memberikan berkatnya kepada saya sehingga saya dapat menyelesaikan

skripsi ini dengan sebaik-baiknya;

(2) Dra. Ida Fithriani, selaku dosen pembimbing akademik dan pembimbing

skripsi yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk

mengarahkan saya dalam penyusunan skripsi ini, juga yang telah

memberikan perhatian dan arahannya selama masa empat tahun kuliah;

(3) Karyawan dan karyawati Tata Usaha dan Perpustakaan Departemen

Matematika Universitas Indonesia, yang telah turut mendukung saya baik

secara langsung maupun tidak langsung;

(4) Pak Hengki Tasman, Bu Cecil, dan pihak Sekolah Tirtamarta BPK Penabur,

yang telah mengizinkan saya mengalokasikan waktu lebih untuk

mengerjakan skripsi, serta memberikan dukungan moral kepada saya;

(5) Bu Emmy, Kak Bertha, dan staf-staf Kumon Bandung Cinere yang juga

telah mengizinkan saya mengalokasikan waktu lebih untuk mengerjakan

skripsi saya, dan juga memberikan dukungan moral;

(6) Orang tua dan keluarga saya yang telah memberikan bantuan dukungan

material dan moral;

(7) Sahabat-sahabat yang telah banyak membantu dan mendukung saya dalam

menyelesaikan skripsi ini, Farah, Winda, Syahrul, Riski, Ferdy, Widita,


vi

Widiyani, Lois, dan Nora;

(8) Teman-teman angkatan 2007 yang juga mengerjakan skripsi dan

mengusahakan kelulusan di semester genap 2010/2011, Shafa, Paramitha,

Sisca, Farah, Winda, Syahrul, Risky, Ferdy, Lois, Anggun, Adi, Gamar,

Anjar, Arif, Bowo, Isna, Widya, Shafira, Adit, Danar;

(9) Erik, Karina, Prita, Prisia, Trixie, Ninay, Daud, Alice, dan teman-teman

pengurus Komisi Pemuda GKI Pondok Indah dan panitia retret Komisi

Pemuda, yang telah memberikan kelonggaran serta dukungan kepada saya

untuk mengerjakan skripsi ini;

(10) Teman-teman dan senior-senior dari angkatan 2005-2009 yang juga telah

memberikan dukungan dalam pengerjaan skripsi ini;

Akhir kata, saya berharap Tuhan berkenan membalas segala kebaikan semua

pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi

pengembangan ilmu.

Penulis

2011


vii

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di

bawah ini:


NPM : 0706261884

Program Studi : Sarjana Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis karya : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan

kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul:

Distribusi Skew-Normal

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti

Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan,

mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data

(database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak

Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di : Depok

Pada tanggal : 12 Juli 2011

Yang menyatakan

(Riyanto D Setyawan)


viii Universitas Indonesia

ABSTRAK


Program Studi : Matematika

Judul : Distribusi Skew-Normal

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi probabilitas data, yang banyak

digunakan dalam berbagai bidang karena sifat ideal yang dimilikinya, yaitu

distribusi probabilitas data-datanya terpusat di sekitar mean dan distribusi

probabilitas data lainnya tersebar secara merata. Namun ada kasus-kasus tertentu

di mana distribusi normal sebaiknya tidak digunakan karena akan menghasilkan

analisis yang kurang sesuai, terutama ketika data memiliki kemencengan yang

kuat dan mempunyai heavy-tail. Pada tugas akhir ini diperkenalkan distribusi

probabilitas yang dapat memfasilitasi kemencengan data, yaitu distribusi skew-

normal. Distribusi skew-normal merupakan bentuk perluasan dari distribusi

normal dengan memasukkan parameter kemencengan. Tugas akhir ini

memberikan penjelasan mengenai karakteristik-karakteristik dari distribusi skew-

normal univariat dan perluasannya dengan memasukkan parameter location dan

scale, serta distribusi skew-normal secara umum dalam bentuk multivariat.

Karakteristik-karakteristik yang dimaksud adalah fungsi kepadatan probabilitas,

fungsi distribusi, mean, variansi, fungsi pembangkit momen, dan sifat-sifatnya.

Kata Kunci : distribusi normal, kemencengan, distribusi skew-normal,

parameter location dan scale, fungsi kepadatan probabilitas,

fungsi distribusi, fungsi pembangkit momen, mean, kovariansi,

variansi.

xiii+204 halaman; 3 gambar; 2 tabel

Daftar Pustaka : 20 (1961-2008)


ix Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name : Riyanto D. Setyawan

Program Study : Mathematics

Title : Skew-Normal Distribution

The normal distribution is one of the probability distribution of data, which are

widely used in various fields because of the nature of the ideal, namely the

probability distribution of data centers around the distribution of average data and

other probability is spread evenly. But there are certain cases where the normal

distribution should not be used because it will produce less precise analysis,

especially when the data has a strong skewness and heavy-tail. This final project

will introduce a probability distribution which can facilitate the skewness of data,

i.e skew-normal distribution. The skew-normal distribution is an extend form of

normal distribution, allowing a skewness parameter. This final project will give an

explanation about the chararteristics of the univariate skew-normal distribution

and its extend to the location and scale family, and skew-normal distribution in

general in multivariate form. The characteristics are probability density function,

distribution function, mean, covariance, variance, moment generating function,

and the properties of the distribution.

Key Words : normal distribution, skewness, skew-normal distribution,

location and scale parameter, probability density function,

distribution function, moment generating function, mean,

covariance, variance.

xiii+204 pages ; 3 pictures; 2 tables

Bibliography : 20 (1961-2008)


x Universitas Indonesia

DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN................................................................................ iv

KATA PENGANTAR .............................................................................................v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................ vii

ABSTRAK ........................................................................................................... viii

ABSTRACT ........................................................................................................... ix

DAFTAR ISI ............................................................................................................x

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiii

BAB 1 PENDAHULUAN ......................................................................................1

1.1 Latar Belakang ..................................................................................................... 1

1.2 Permasalahan ....................................................................................................... 3

1.3 Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3

BAB 2 LANDASAN TEORI .................................................................................4

2.1 Percobaan Acak dan Ruang Sampel .................................................................... 4

2.2 Fungsi Himpunan Probabilitas ............................................................................ 4

2.3 Variabel Acak ...................................................................................................... 5

2.4 Fungsi Kepadatan Probabilitas ............................................................................ 5

2.5 Fungsi Distribusi ................................................................................................. 6

2.6 Ekspektasi dari Variabel Acak ............................................................................ 7

2.7 Variansi ............................................................................................................... 9

2.8 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 10

2.9 Aturan Leibnitz .................................................................................................. 11

2.10 Kemencengan .................................................................................................... 12

2.11 Distribusi Normal .............................................................................................. 13

2.12 Fungsi T-Owen .................................................................................................. 16

2.13 Distribusi Folded-Normal ................................................................................. 19

2.14 Bentuk Khusus dari Distribusi Half-Normal ..................................................... 25

2.15 Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square ................................................... 28

2.16 Distribusi Bivariat ............................................................................................. 32

2.16.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas .................................................................. 32

2.16.2 Fungsi Distribusi ....................................................................................... 33

2.16.3 Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal ................................................... 34

2.16.4 Mean ......................................................................................................... 35

2.16.5 Variansi dan Kovariansi ............................................................................ 36

2.16.6 Koefisien Korelasi..................................................................................... 36

2.16.7 Variabel-variabel Acak yang Saling Bebas ............................................... 37

2.17 Hubungan Independensi Variabel Acak Normal Standar dan Half-Normal ..... 39

2.18 Sifat Ketertutupan .............................................................................................. 43

2.19 Parameter Location dan Scale ........................................................................... 43

2.20 Matriks dan Sifat-sifat Matriks .......................................................................... 44

2.20.1 Notasi Matriks dan Terminologi ............................................................... 44

2.20.2 Operasi-operasi Matriks ............................................................................ 45

2.20.3 Transpos dari Matriks ............................................................................... 46

2.20.4 Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matriks .................................................... 47

2.20.5 Matriks-matriks Nol .................................................................................. 47

2.20.6 Matriks-matriks Identitas .......................................................................... 48

2.20.7 Invers dari Matriks .................................................................................... 48

2.20.8 Matriks-matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris .................................... 49


xi Universitas Indonesia

2.20.9 Matriks Definit Positif .............................................................................. 51

2.20.10 Pangkat dari Matriks ................................................................................ 52

2.20.11 Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya ...................................................... 53

2.20.12 Ruang Berdimensi-n Euclidean ............................................................... 54

2.20.13 Ruang-ruang Vektor Riil .......................................................................... 55

2.20.14 Kebebasan Linier ..................................................................................... 56

2.20.15 Hasil Kali Dalam ...................................................................................... 57

2.20.16 Keortogonalan .......................................................................................... 58

2.20.17 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................. 59

2.20.18 Diagonalisasi ............................................................................................ 59

2.20.19 Diagonalisasi Ortogonal ........................................................................... 60

2.20.20 Matriks Akar Kuadrat. ............................................................................. 61

2.20.21 Vektor Acak ............................................................................................. 61

2.20.22 Turunan Terhadap Vektor ........................................................................ 63

2.21 Distribusi Normal Multivariat ........................................................................... 64

2.22 Notasi Integral ................................................................................................... 71

2.23 Distribusi Nonsentral-t ...................................................................................... 71

BAB 3 VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI

SKEW-NORMAL UNIVARIAT .........................................................................72

3.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas .......................................................................... 73

3.2 Fungsi Distribusi ............................................................................................... 79

3.3 Fungsi Pembangkit Momen ............................................................................... 82

3.4 Sifat-sifat dari Variabel Acak yang Berdistribusi Skew-Normal ....................... 89

3.5 Mean dan Variansi ........................................................................................... 112

3.6 Perluasan: Famili Location-Scale .................................................................... 114

3.6.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas ................................................................ 114

3.6.2 Fungsi Distribusi ..................................................................................... 115

3.6.3 Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 119

3.6.4 Mean dan Variansi .................................................................................. 120

3.7 Perbandingan Grafik Normal dan Skew-Normal ............................................. 123

3.8 Contoh ............................................................................................................. 125

BAB 4 VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI

SKEW-NORMAL MULTIVARIAT .................................................................127

4.1 Distribusi Skew-Normal Multivariat ................................................................ 127



4.1.3 Matriks Mean dan Kovariansi ................................................................. 158

4.2 Distribusi Skew-Normal Bivariat ..................................................................... 163



4.2.3 Mean, Kovariansi, dan Variansi .............................................................. 172

4.3 Contoh ............................................................................................................. 180

BAB 5 PENUTUP...............................................................................................183

5.1 Kesimpulan ...................................................................................................... 183

5.2 Saran ................................................................................................................ 187

DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................188


xii Universitas Indonesia

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Half-Normal................................................... ........25 Gambar 3.1 Grafik Distribusi Normal Standar......................................................124 Gambar 3.2 Grafik Distribusi Skew-Normal Univariat.........................................124


xiii Universitas Indonesia

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Indeks dan Parameter Kemencengan.................................................190 Lampiran 2 Matriks Ω dan Sifat-sifatnya..............................................................196 Lampiran 3 Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar..........................199 Lampiran 4 Tabel Nilai Fungsi T-Owen................................................................200


1 Universitas Indonesia

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terkait

dengan suatu kejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terkait dengan

variabel acak. Misalkan dcari suatu percobaan acak diperoleh suatu ruang sampel.

Variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke

satu dan hanya satu bilangan riil [Hogg-Craig, 1995]. Setiap variabel acak

memiliki ruang nilai, yaitu daerah hasil dari variabel acak, yang merupakan

subhimpunan dari bilangan riil. Berdasarkan ruang nilainya, ada dua jenis variabel

acak, yaitu variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret dan variabel acak

yang berdistribusi probabilitas kontinu. Variabel acak yang berdistribusi

probabilitas diskret adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang terhitung.

Contoh: variabel acak yang berdistribusi binomial, Poisson, dan hipergeometrik.

Sedangkan variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu adalah variabel

acak yang memiliki ruang nilai yang tidak terhitung. Contoh: variabel acak yang

berdistribusi normal, normal bivariat, Gamma, beta, F, dan Chi-square.

Di dalam berbagai aplikasi di dunia nyata, terdapat suatu distribusi

probabilitas data yang sudah dikenal luas dan sering digunakan, yaitu distribusi

normal. Distribusi normal memiliki karakteristik yang penting, yaitu distribusi

probabilitas datanya terpusat di sekitar mean, dan probabilitas data-data lainnya

tersebar secara merata. Grafik fungsi kepadatannya berbentuk lonceng (bell-

shaped).

Karakteristik yang dimiliki distribusi normal tersebut dianggap ideal. Oleh

karena itu, distribusi probabilitas ini sering digunakan untuk melakukan analisis

data dalam berbagai jenis aplikasi. Namun, hal ini dapat menjadi tidak realistis,

karena dalam kehidupan nyata tidak semua data berdistribusi normal. Oleh karena

itu, pada banyak kasus di mana data tidak berdistribusi normal, tidak disarankan

untuk melakukan analisis data dengan menggunakan distribusi normal, karena


2


hasil analisis data akan kurang atau tidak sesuai, khususnya untuk data dengan

kemencengan yang kuat dan mempunyai heavy-tail.

Kemencengan merupakan ukuran ketidaksimetrisan dari suatu distribusi

probabilitas data. Jika kemencengan suatu distribusi bernilai 0, berarti distribusi

tersebut simetris. Distribusi normal memiliki kemencengan bernilai 0 dan bukan

merupakan distribusi probabilitas yang mempunyai heavy-tail.

Untuk dapat mengetahui apakah data berdistribusi normal atau tidak,

terkait dengan kemencengannya, perlu dilakukan pengujian hipotesis. Data yang

memiliki kemencengan yang signifikan, atau berarti kemencengannya melebihi

batas tertentu pada pengujian hipotesis, data tersebut merupakan data yang tidak

berdistribusi normal.

Pada kasus di mana data tidak berdistribusi normal, seringkali pada

kenyataannya banyak orang tetap mengasumsikan bahwa data tersebut

berdistribusi normal, atau hampir normal, jika kemencengan dianggap masih bisa

ditolerir, atau dengan metode transformasi, mengusahakan agar data tersebut

dapat dianalisis dengan menggunakan distribusi normal. Metode demikian

merupakan metode yang kurang tepat, dan menjadi tidak realistis. Seharusnya,

seperti telah disebutkan sebelumnya, tidak disarankan untuk tetap melakukan

analisis dengan menggunakan distribusi normal.

Jadi, diperlukan distribusi probabilitas yang lain, yang dapat memfasilitasi

kemencengan distribusi probabilitas data. Beberapa distribusi probabilitas data

yang dikenal dapat memfasilitasi kemencengan distribusi probabilitas data adalah

distribusi F, Chi-square, log-normal, dan Weibull.

Jika dilihat bentuk grafik fungsi kepadatan dari distribusi-distribusi

probabilitas tersebut, memang distribusi-distribusi probabilitas tersebut dapat

memfasilitasi masalah kemencengan data. Namun, distribusi-distribusi yang

menjadi contoh tersebut hanya bisa digunakan untuk ruang nilai nonnegatif atau

positif. Jadi, ruang nilai negatif tidak difasilitasi oleh variabel-variabel acak

tersebut. Selain distribusi F, Chi-square, log-normal, Weibull, terdapat distribusi-

distribusi probabilitas lain yang juga dapat memfasilitasi kemencengan data.

Namun, distribusi-distribusi probababilitas tersebut kurang atau tidak dapat


3


memfasilitasi data yang memiliki bentuk distribusi probabilitas terpusat di sekitar

mean tetapi kurang atau tidak simetris.

Dalam tugas akhir ini, akan diperkenalkan dan dibahas suatu distribusi

probabilitas data yang merupakan perluasan dari distribusi normal, yang dapat

memfasilitasi kemencengan data saja, tetapi tidak terkait dengan data yang

mempunyai heavy-tail, dan data yang berdistribusi probabilitas terpusat di sekitar

mean tetapi kurang atau tidak simetris. Distribusi probabilitas data tersebut adalah

distribusi skew-normal. Distribusi skew-normal ini dibangun dengan

menggunakan distribusi normal standar. Pada pembahasan selanjutnya akan

terlihat bahwa variabel acak ini memiliki suatu parameter yang disebut parameter

kemencengan. Parameter ini menentukan kemencengan dari distribusi probabilitas

data. Jika parameter ini bernilai nol, maka variabel acak berdistribusi normal

standar, yang simetris.

1.2 Permasalahan

Bagaimana karakteristik dari distribusi skew-normal?

1.3 Tujuan Penulisan

Mempelajari karakteristik-karakteristik distribusi skew-normal.



BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Percobaan Acak dan Ruang Sampel

Misalkan terdapat suatu percobaan, hasilnya tidak dapat diprediksi dengan

pasti. Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dilakukan berulang kali dan di

dalam kondisi yang sama. Ruang sampel adalah koleksi dari semua hasil yang

mungkin dari suatu percobaan acak.

2.2 Fungsi Himpunan Probabilitas

Misalkan C menyatakan himpunan dari semua hasil yang mungkin dari

suatu percobaan acak, atau disebut ruang sampel.

Definisi 2.1.

Jika P(C) didefinisikan untuk suatu tipe subhimpunan dari ruang C, dan jika

(a) P(C) ≥ 0

(b) 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P C C C P C P C P C , di mana himpunan

himpunan Ci, i = 1, 2, 3, . . ., adalah saling lepas, yaitu , i jC C i j

(c) P(C) = 1,

maka P disebut fungsi himpunan probabilitas dari hasil percobaan acak.

Untuk setiap subhimpunan C dari C, bilangan P(C) disebut probabilitas

bahwa hasil dari percobaan acak adalah elemen dari himpunan C, atau

probabilitas kejadian C.

Suatu fungsi himpunan probabilitas memberitahukan bagaimana

probabilitas didistribusikan terhadap berbagai subhimpunan C dari suatu ruang

sampel C. Dalam hal ini disebut distribusi probabilitas.


5


Beberapa sifat dari suatu fungsi himpunan probabilitas adalah:

1. Untuk setiap C C, P(C) = 1 – P(C*).

2. Probabilitas dari himpunan kosong adalah nol; yaitu, ( ) 0P .

3. Jika C1 dan C2 adalah subhimpunan-subhimpunan dari C sedemikian sehingga

1 2C C , maka P(C1) ≤ P(C2).

4. Untuk setiap C C, 0 ≤ P(C) ≤ 1.

5. Jika C1 dan C2 adalah subhimpunan-subhimpunan dari C, maka

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P C C P C P C P C C .

2.3 Variabel Acak

Berikut ini diberikan definisi dari variabel acak.

Definisi 2.2.

Perhatikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel C. Suatu fungsi X, yang

memetakan setiap elemen c C satu dan hanya satu bilangan riil X(c) = x,

disebut variabel acak [Hogg-Craig 5th

ed.; 1995].

Ruang nilai dari variabel acak X adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil

A = {x | x = X(c), c C}.

2.4 Fungsi Kepadatan Probabilitas

Misalkan X menyatakan suatu variabel acak dengan ruang nilai satu

dimensi A. Misalkan A berisi nilai-nilai bilangan yang terhitung. Ruang A yang

demikian disebut himpunan diskret dari nilai-nilai.

Hal yang serupa berlaku juga untuk variabel acak kontinu, tetapi A berisi

nilai-nilai bilangan yang tidak terhitung.


6


Untuk kasus diskret, misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang satu

dimensi A, yang memuat titik-titik bilangan yang terhitung. Misalkan f(x) adalah

suatu fungsi sedemikian sehingga f(x) ≥ 0, x , dan ( ) 1f x A

.

Ketika suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyatakan

dalam bentuk

( ) Pr( ) ( )A

P A X A f x , (2.1)

maka X disebut sebagai variabel acak tipe diskret dan f(x) disebut sebagai fungsi

kepadatan probabilitas (f.k.p) dari X.

Untuk kasus kontinu, misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang

satu dimensi A, yang memuat suatu interval atau gabungan dari interval-interval.

Misalkan f(x) adalah suatu fungsi sedemikian sehingga f(x) ≥ 0, x , dan

( ) 1f x dx A .

Ketika suatu fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyatakan

dalam bentuk

( ) Pr( ) ( )A

P A X A f x dx , (2.2)

maka X disebut variabel acak tipe kontinu dan f(x) disebut fungsi kepadatan

probabilitas (f.k.p) dari X.

2.5 Fungsi Distribusi

Misalkan variabel acak X mempunyai fungsi himpunan probabilitas P(A),

di mana A adalah himpunan satu dimensi.

Ambil bilangan rill x dan perhatikan himpunan A yang merupakan

himpunan yang tidak terbatas dari – ∞ sampai x, termasuk titik x itu sendiri.

Untuk setiap himpunan A yang demikian, diperoleh P(A) = Pr(X A) = Pr(X ≤ x).

Probabilitas ini bergantung pada nilai x; yaitu, probabilitas ini adalah fungsi dari

x. Fungsi nilai ini dinyatakan dengan

F(x) = Pr (X ≤ x). (2.3)


7


Fungsi F(x) dikenal dengan sebutan fungsi distribusi, atau fungsi distribusi

kumulatif (f.d.k) dari variabel acak X. Karena F(x) = Pr (X ≤ x), maka dengan f(x)

adalah f.k.p, diperoleh:

Untuk X variabel acak diskret:

( ) ( )w x

F x f w

. (2.4)

Untuk X variabel acak kontinu:

( ) ( )x

F x f w dw

, sehingga ( ) ( )F' x f x . (2.5)

Berikut diberikan sifat-sifat dari suatu fungsi distribusi.

1. 0 F(x) 1.

2. F(x) merupakan fungsi tidak turun.

3. F(∞) = 1 dan F(– ∞) = 0.

4. F(x) kontinu kanan.

2.6 Ekspektasi dari Variabel Acak

Misalkan X adalah suatu variabel acak yang mempunyai f.k.p. f(x)

sedemikian sehingga dimiliki kekonvergenan absolut; dalam kasus diskret,

| | ( )x

x f x konvergen ke suatu batas berhingga,

atau, dalam kasus kontinu,

| | ( )x f x dx

konvergen ke suatu batas berhingga.

Ekspektasi dari suatu variabel acak adalah

( ) ( )x

E X xf x , dalam kasus diskret, (2.6)

atau

( ) ( )E X xf x dx

, dalam kasus kontinu. (2.7)

Ekspektasi E(X) disebut juga sebagai ekspektasi matematika dari X atau nilai

harapan dari X.


8


Perhatikan suatu fungsi dari variabel acak X dengan ruang nilai A.

Misalkan fungsi ini adalah Y = u(X). Misalkan X merupakan variabel acak yang

bertipe kontinu dan y = u(x) merupakan fungsi kontinu naik dari X dengan invers

fungsinya x = w(y), yang juga merupakan fungsi naik. Jadi, Y adalah suatu

variabel acak dan fungsi distribusinya adalah

G(y) = Pr(Y ≤ y) = Pr[u(X) ≤ y] = Pr[X ≤ w(y)]

( )

( )w y

f x dx

di mana f(x) adalah f.k.p dari X.

Dengan salah satu bentuk dari Teorema Dasar Kalkulus,

g(y) = G'(y) = f[w(y)]w'(y) , y B, (2.8)

= 0 , lainnya,

di mana

B = {y | y = u(x), x A}.

Dengan definisi, nilai harapan dari Y adalah

( ) ( )E Y yg y dy

. (2.9)

Dengan menggunakan teknik perubahan variabel dari integrasi melalui y = u(x)

atau, secara ekivalen, x = w(y). Karena

( ) 0dx

w' ydy

, (2.10)

diperoleh

( ) ( )E Y yg y dy

1

( ) [ ( )][ ( )]

u x g u x dxw' u x

( ) ( )u x f x dx

. (2.11)

Hal ini benar secara umum dan juga tidak ada perbedaan apakah X variabel acak

bertipe diskret atau kontinu dan Y = u(X) tidak harus merupakan fungsi naik dari

X. Jadi, jika Y = u(X) mempunyai ekspektasi, dapat diperoleh dari (2.11) bahwa


9


[ ( )] ( ) ( )E u X u x f x dx

, (2.12)

untuk kasus kontinu, dan

[ ( )] ( ) ( )x

E u X u x f x , (2.13)

untuk kasus diskret.

Berikut ini diberikan beberapa sifat dari ekspektasi matematika:

1. Jika k adalah sebuah konstanta, maka E(k) = k.

2. Jika k adalah sebuah konstanta dan V adalah suatu variabel acak, maka

E(kV) = kE(V).

3. Jika k1, k2, ..., km adalah konstanta-konstanta dan V1, V2, ..., Vm adalah

variabel-variabel acak, maka E(k1V1 + k2V2 + ... + kmVm ) =

k1E(V1) + k2E(V2) + ... kmE(Vm).

2.7 Variansi

Misalkan X adalah suatu variabel acak yang mempunyai f.k.p f(x).

Variansi dari suatu variabel acak X adalah suatu ekspektasi matematika dari

(X – μ)2, dengan μ = E(X).

Var(X) = E[(X - μ)2]

= E(X2 – 2μX + μ

2)

= E(X2) – E(2μX) + E(μ

2)

= E(X2) – 2μE(X) + E(μ

2)

= E(X2) – 2μE(X) + μ

2

= E(X2) – 2μ.μ. + μ

2

= E(X2) – 2μ

2 + μ

2

= E(X2) – μ

2

= E(X2) – [E(X)]

2. (2.14)


10


2.8 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan terdapat suatu bilangan positif h sedemikian sehingga untuk

– h < t < h ekspektasi matematika tXE e ada. Jadi,

( )tX txE e e f x dx

, (2.15)

jika X adalah variabel acak tipe kontinu, atau

( )tX tx

x

E e e f x , (2.16)

jika X adalah variabel acak tipe diskret.

Ekspektasi matematika ini dikenal dengan sebutan fungsi pembangkit

momen (f.p.m.) dari variabel acak X (atau dari distribusi) dan dinyatakan dengan

M(t) atau MX(t).

( ) tX

XM t E e . (2.17)

Jika t = 0, diperoleh MX(0) = 1. Tidak semua distribusi memiliki f.p.m,

tetapi jika f.p.m. ada, fungsi ini unik dan menentukan distribusi dari variabel acak.

Jadi, jika dua variabel acak memiliki f.p.m. yang sama, berarti keduanya memiliki

distribusi yang sama.

Momen ke-k dari distribusi dari variabel acak X dinotasikan dengan

( ) (0)k

XM , di mana ( ) (0)k k

XM E X . E(X) dan E(X2) merupakan momen pertama

dan kedua dari suatu distribusi, yang dinyatakan sebagai

( ) (0)'

XE X M ,

2 (0)''

XE X M . (2.18)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X adalah

( ) (0)'

XE X M , (2.19)

2

Var( ) (0) (0)'' '

X XX M M . (2.20)


11


2.9 Aturan Leibnitz

Aturan Leibnitz.

Misalkan f(x, t) merupakan suatu fungsi kontinu dan mempunyai turunan /f t

yang kontinu pada domain dari bidang-xt yang di dalamnya termasuk persegi

a x b, t1 t t2. Maka untuk t1 t t2,

( , ) ( , )b b

a a

d ff x t dx f x t dx

dt t

. (2.21)

Dengan kata lain, diferensiasi dan integrasi dapat ditukar.

Bukti:

Misalkan ( ) ( , )b

a

fg t x t dx

t

, untuk t1 t t2.

Karena /f t kontinu, maka g(t) kontinu untuk t1 t t2.

Untuk t1 t3 t2, diperoleh

3 3

1 1

( ) ( , )t t b

t t a

fg t dt x t dxdt

t

3

1

( , )b t

a t

fx t dtdx

t

3 1( , ) ( , )b

af x t f x t dx

3 1( , ) ( , )b b

a af x t dx f x t dx

3 1( ) ( )F t F t , (2.22)

dengan F(t) didefinisikan sebagai ( ) ( , )b

aF t f x t dx .

Jika dimisalkan t3 merupakan variabel t, berarti t1 t t2 dan diperoleh

11( ) ( ) ( )

t

tF t F t g u du . (2.23)

Kedua sisi dari (2.23) kemudian dapat diturunkan terhadap t. Dengan Teorema

Dasar Kalkulus, diperoleh

11

( )( ) ( )t

td g u dud F t F t

dt dt


12


( ) ( ) ( , )

b

a

fF' t g t x t dx

t

(2.24)

( , ) ( , )b b

a a


dt t

.

Jadi, terbukti bahwa jika f(x, t) merupakan suatu fungsi kontinu dan

mempunyai turunan /f t yang kontinu pada domain dari bidang-xt yang di

dalamnya termasuk persegi a x b, t1 t t2, maka untuk t1 t t2,

( , ) ( , )b b

a a


dt t

.

2.10 Kemencengan

Misalkan X adalah suatu variabel acak. E(X) = μ disebut momen pertama

dan E(X2) momen kedua dari distribusi dari variabel acak X. Secara umum, E(X

k)

disebut momen ke-k dari X dan E[(X – μ)k] disebut momen tengah ke-k dari X.

Momen tengah ketiga yang distandardisasi yang dinyatakan oleh

3

3 3

E X

, (2.25)

disebut kemencengan dari distribusi dari variabel acak X.

Kemencengan mengukur ketidaksimetrisan dari suatu distribusi. Jika

kemencengan bernilai 0 berarti distribusi tersebut simetris. Jika kemencengan

bernilai negatif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng negatif, atau

disebut juga menceng kiri (mempunyai tail kiri yang lebih panjang). Jika

kemencengan bernilai positif, berarti distribusi probabilitas datanya menceng

positif, atau disebut juga menceng kanan (mempunyai tail kanan yang lebih

panjang). Dalam kasus distribusi yang tidak simetris, derajat ketidaksimetrisan

disebut kemencengan. Formula untuk kemencengan ini adalah

3

3

atau dapat juga 3

32

, (2.26)

di mana

3

3

1( )i i

i

f x xN

, (2.27)


13


dan

3

23 21

( )i i

i

f x xN

. (2.28)

Definisi kemencengan yang seringkali digunakan adalah definisi menurut Karl

Pearson, yaitu

mean moduskemencengan

standar deviasi

. (2.29)

2.11 Distribusi Normal

Perhatikan integral

2

exp2

yI dy

.

Integral ini ada karena integran (fungsi yang diintegralkan) merupakan fungsi

yang kontinu positif yang terbatas oleh suatu fungsi yang dapat diintegralkan,

yaitu

2

0 exp exp | | 1 , 2

yy y ,

dan

exp | | 1 2y dy e

.

Untuk menghitung nilai integral I, ingat bahwa I > 0 dan I2 dapat ditulis sebagai

2 22 exp

2

y zI dydz

.

Integral ini dapat dihitung dengan mengubahnya ke koordinat polar. Jika

y = rcos dan z = rsin, diperoleh

222 /2

0 0

rI e rdrd

2

02

d .


14


Dari hasil tersebut, diperoleh 2I dan

2 /211

2

ye dy

.

Jika diperkenalkan suatu variabel baru dari integrasi, sebut x, dengan menulis

, 0

x a

y bb

,

Integral / 2I menjadi

2

2

1 ( )exp 1

22

x ady

bb

.

Karena b > 0, hal ini mengakibatkan

2

2

1 ( )( ) exp ,

22

x af x x

bb

(2.30)

memenuhi kondisi-kondisi untuk menjadi suatu f.k.p. dari variabel acak kontinu.

Variabel acak bertipe kontinu yang mempunyai f.k.p. dengan bentuk f(x) disebut

mempunyai distribusi normal, dan sebarang f(x) dari bentuk ini disebut f.k.p.

normal.

F.p.m dari distribusi normal dapat diperoleh dengan menggunakan (2.15),

yaitu:

2

2

1 ( )( ) exp

22

tx x aM t e dx

bb

(2.31)

2 2 2

2

1 2 2exp

22

tx b tx x ax ae dx

bb

.

Pada M(t) di atas, dengan menggunakan kuadrat sempurna diperoleh:

2 2 2 2 2

2 2

( ) 1 ( )( ) exp exp

2 22

a a b t x a b tM t dx

b bb

2 2

exp2

b tat

(2.32)

karena integran dari bentuk integral 2 2

2

1 ( )exp

22

x a b tdx

bb

merupakan

f.k.p. normal dengan parameter a pada (2.30) disubstitusikan dengan a + b2t,

maka integral tersebut bernilai 1.


15


Mean µ dan variansi ζ2 dari distribusi normal akan dicari melalui M(t) dengan

menggunakan (2.18), (2.19), dan (2.20).

2 22 2( ) exp ( ) ( )( )

2

b tM' t at a b t M t a b t

dan

2 2 2 22 2 2( ) exp ( ) exp

2 2

b t b tM'' t at a b t at b

2 2 2( )( ) ( )M t a b t M t b .

Maka, mean distribusi normal adalah

µ = M'(0)

= M(0).a

= a, (2.33)

dan variansinya adalah

ζ2 = M''(0) - µ

2

= M(0)b2 + M(0)a

2 – a

2

= b2 + M(0)a

2 – a

2 = b

2. (2.34)

Jadi, bentuk f.k.p normal adalah

2

2

1 ( )( ) exp ,

22

xf x x

, (2.35)

Suatu bentuk yang menunjukkan secara eksplisit nilai-nilai dari µ dan ζ2.

f.p.m. M(t) dapat ditulis sebagai

2 2

( ) exp2

tM t t

. (2.36)

Untuk penghitungan probabilitas Pr(X x), digunakan standardisasi ke

distribusi normal standar N(0, 1), yaitu dengan mendefinisikan

XZ

, (2.37)

sehingga

Pr PrX x

X x

Prx

Z

. (2.38)


16


Nilai-nilai probabilitas Pr(Z z) dengan x

z

diberikan pada bagian

Lampiran 3.

2.12 Fungsi T-Owen

Fungsi T-Owen memiliki bentuk

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

, h > – ∞, α < + ∞. (2.39)

Sifat-sifat dari fungsi T-Owen adalah:

1. T(h, α) merupakan fungsi turun dari h.

Bukti:

Ambil sebarang 1 2,h h di mana h1 < h2.

Karena h1 < h2 maka, 2 2

1 2h h dan 2 2

1 2

1 1

2 2h h .

Karena 1 + x2 > 0, maka diperoleh 2 2 2 2

1 2

1 11 1

2 2h x h x .

Karena 2 2 2 2

1 2

1 11 1

2 2h x h x , diperoleh

2 2 2 2

1 2

1 1exp 1 exp 1

2 2h x h x

dan

2 2 2 2

1 2

1 1 1 1exp 1 exp 1

2 2 2 2h x h x

. Karena 1 + x2 > 0, maka

2 2 2 2

1 2

2 2

1 1exp 1 exp 1

1 12 2

2 21 1

h x h x

x x

.

Sesuai dengan sifat fungsi yang dapat diintegralkan, diperoleh

2 2 2 2

1 2

2 20 0

1 1exp 1 exp 1

1 12 2

2 21 1

h x h x

dx dxx x

, atau


17


2 2 2 2

1 2

2 20 0

1 1exp 1 exp 1

1 12 2

2 21 1

h x h x

dx dxx x

.

Berarti diperoleh T(h1, α) > T(h2, α).

Jadi, diperoleh bahwa T(h1, α) > T(h2, α) untuk sebarang h1 < h2, atau berarti

terbukti bahwa T(h, α) merupakan fungsi turun dari h.

2. – T(h, α) = T(h, – α). (2.40)

Bukti:

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

, h > – ∞, α < + ∞.

Jika α disubstitusi dengan – α, diperoleh

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

.

Misalkan:

x = – p; dx = – dp.

Jadi, diperoleh

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

2 2

20

1exp 1

1 2( )

2 1

h p

dpp

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h p

T h dpp

( , )T h .

Jadi, terbukti bahwa – T(h, α) = T(h, – α).


18


3. T(– h, α) = T(h, α). (2.41)

Bukti:

Fungsi T-Owen adalah

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

, h > – ∞, α < + ∞.

Jika h disubstitusi dengan – h, diperoleh

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

( , )T h

Jadi, terbukti bahwa T(– h, α) = T(h, α).

4. 2T(h, 1) = Φ(h)Φ(– h). (2.42)

Bukti:

2 2

20

1exp 1

1 2( , ) , ,

2 1

h x

T h dx hx

.

Dari [Owen, 1956], diperoleh persamaan

1 1 1( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

2 2T h h h h h T h

.

Jadi, untuk α = 1,

1 1( ,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ,1)

2 2T h h h h h T h

2T(h,1) = (h) – (h)(h)

2T(h,1) = (h)[1 – (h)]

2T(h,1) = (h)(– h).

Jadi, terbukti bahwa 2T(h,1) = (h)(– h).

Nilai-nilai dari fungsi T-Owen disajikan pada bagian Lampiran 4.


19


2.13 Distribusi Folded-Normal

Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi normal N(μ, ζ2).

Perhatikan f.k.p dari X, yaitu

2 2( ) /21( ) ,

2

xf x e x

(2.43)

di mana μ dan ζ2 adalah mean dan variansinya secara berurutan.

Misalkan Y = |X|.

A = {x | – ∞ < x < ∞}.

B = {y | 0 ≤ y < ∞}.

y = |x| bukan merupakan transformasi satu-satu.

Ambil A1 dan A2 di mana A1, A2 A, A1 A2 = A, dan A1 A2 = .

A1 = {x | – < x < 0}.

A2 = {x | 0 ≤ x < }.

Pemetaannya dengan transformasi y = |x| adalah:

A1 = {x | – < x < 0} → {y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < } → {y | 0 ≤ y < }.

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada y = 0.

Maka dari itu, ruang nilai akan didefinisikan kembali untuk mengatasi

permasalahan ini.

Didefinisikan kembali untuk x = 0, y = 0.

Jadi, ruang nilai-ruang nilai yang baru adalah:

A = {x | – < x < , x 0}.

B = {y | 0 < y < }.

Inversnya adalah:

x = – y ; x = y,

dx = – dy ; dx = dy.

Jacobian-nya:

J1 = – 1 ; J2 = 1,

| J1 | = 1 ; | J2 | = 1.

Misalkan B B.


20


A3 = {x | x = – y, y B} A1.

A4 = {x | x = y, y B} A2.

3 4Pr( ) Pr( ) Pr( )Y B X A X A

3 4

( ) ( )A A

f x dx f x dx

1 2( ) | | ( ) | |B B

f y J dy f y J dy

( ) 1 ( ) 1B B

f y dy f y dy

( ) ( )B B

f y dy f y dy

2 2

2 2

( ) ( )

2 21 1

2 2

y y

B B

e dy e dy

2 2

2 2

( ) ( )

2 21 1

2 2

y y

B B

e dy e dy

2 2

2 2

( ) ( )

2 21 1

2 2

y y

B

e e dy

2 2

2 2

( ) ( )

2 21

2

y y

B

e e dy

2 2

2 2

( ) ( )

2 21

2

y y

B

e e dy

.

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah

2 2

2 2

1 ( ) ( )( ) exp exp , 0

2 22

0 , lainnya.

y yg y y

(2.44)

Variabel acak yang mempunyai f.k.p tersebut dinamakan dengan variabel acak

yang berdistribusi folded-normal.

Distribusi half-normal adalah bentuk khusus dari distribusi folded-normal,

yaitu ketika μ = 0.


21


2 2

2 2

1( ) exp exp

2 22

y yg y

2

2

12exp

22

y

2

2

2exp

22

y

.

Jadi, variabel acak yang berdistribusi half-normal mempunyai f.k.p

2

2

2( ) exp , 0

22

0 , lainnya.

yg y y

(2.45)

Fungsi distribusi dari variabel acak Y adalah

2

20

2( ) exp

22

y yG y dy

2

20

2exp

22

y ydy

, (2.46)

dan f.p.m dari variabel acak Y dapat dicari sesuai (2.15), yaitu

( ) tY

YM t E e

2

20

2exp( ) exp

22

yty dy

2

20

2exp( )exp

22

yty dy

2

20

2exp

22

yty dy

2 2

20

2 2exp

22

y tydy

2 2 2 4 2 4

20

2 2exp

22

y ty t tdy

2 2 2 4 2 4

2 20

2 2exp

2 22

y ty t tdy


22


2 2 2 4 2 4

2 20

2 2( ) exp exp

2 22Y

y ty t tM t dy

2 4 2 2 2 4

2 20

2 2exp exp

2 22

t y ty tdy

2 2 2 2 2 4

20

2 2exp exp

2 22

t y ty tdy

222 2

20

2exp exp

2 22

y ttdy

. (2.47)

Kemudian dengan menggunakan metode substitusi:

Misalkan:

y = p + tζ2; dy = dp.

Batas integrasinya:

Jika y = 0, maka p = – tζ2; jika y = ∞, maka p = ∞.

Jadi, diperoleh:

2

22 2

20

2( ) exp exp

2 22Y

y ttM t dy

2

2 2 2

2

2exp exp

2 22t

t pdp

. (2.48)

Misalkan:

p = – s; dp = – ds.

Batas integrasinya:

Jika p = – tζ2, maka s = tζ

2; jika p = ∞, maka s = – ∞.

Jadi, diperoleh

2

2 2 2

2

2( ) exp exp

2 22Y

t

t pM t dp

2

2 2 2

2

2exp exp ( )

2 22t

t sds


23


22 2 2

2

2( ) exp exp

2 22

t

Y

t sM t ds

22 2 2

2

12exp exp

2 22

tt sds

.

Jadi, f.p.m dari variabel acak Y yang berdistribusi half-normal adalah

22 2 2

2

1( ) 2exp exp

2 22

t

Y

t sM t ds

. (2.49)

Mean dan variansinya dapat dicari dengan mencari turunan pertama dan kedua

dari f.p.m dari variabel acak Y terlebih dahulu.

22 2 22

2

1( ) 2exp exp

2 22

t'

Y

t sM t t ds

2 2 2 4

22exp exp

2 22

t t

22 2 2

2

2

12 exp exp

2 22

tt st ds

2 2 2 22

exp exp2 22

t t

22 2 2

2

2

1 22 exp exp

2 22 2

tt st ds

. (2.50)

22 2 22

2

1( ) 2 exp exp

2 22

t''

Y

t sM t ds

22 2 2

2 2

2

12 exp exp

2 22

tt st t ds

2 2 2 4

2

22 exp exp

2 22

t tt

22 2 22

2

1( ) 2 exp exp

2 22

t''

Y

t sM t ds

22 2 2

2 4

2

12 exp exp

2 22

tt st ds


24


3 2 2 2 22

exp exp2 22

t t t

22 2 2

2

2

12 exp exp

2 22

tt sds

22 2 2 3

2 4

2

1 22 exp exp

2 22 2

tt s tt ds

. (2.51)

Kemudian mencari momen pertama dan kedua, serta variansinya dengan

menggunakan persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20).

2 2( ) (0)

2

'

YE Y M

. (2.52)

2 2 21(0) 2

2

''

YE Y M

. (2.53)

Dengan menggunakan persamaan (2.14), diperoleh

22Var( ) ( )Y E Y E Y

2

2 2

2

2

2 4

2

2

2 2

2 21

. (2.54)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak Y adalah

2( )E Y

,

2 2Var( ) 1Y

.

Berikut ini diberikan gambar grafik dari distribusi half-normal, yaitu


25


Gambar 2.1 Grafik Distribusi Half-Normal

2.14 Bentuk Khusus dari Distribusi Half-Normal

Misalkan variabel acak Y berdistribusi half-normal dengan parameter ζ2.

Sesuai dengan (2.45), f.k.p dari Y adalah

2

2

2( ) exp , 0

22

0 , lainnya.

yg y y

Untuk ζ = 1, maka

22( ) exp , 0

22

0 , lainnya.

yg y y

(2.55)

Akan ditunjukkan bahwa jika Z ~ N(0, 1), maka |Z| dan Y pada saat ζ = 1

berdistribusi identik.

Misalkan Z ~ N(0, 1), dan f.k.p dari variabel acak Z adalah

2

21

( ) , 2

z

h z e z

.

Misalkan W = |Z|.

A = {z | – ∞ < z <∞}.

Dengan transformasi w = |z| diperoleh

B = {w | 0 ≤ w < ∞}.


26


Karena A = {z | – ∞ < z < ∞}dan B = {w | 0 ≤ w < ∞}, maka, w = |z| bukan

transformasi satu-satu.


A1 = {z | – < z < 0}.

A2 = {z | 0 ≤ z < }.

Pemetaannya dengan transformasi w = |z| adalah:

A1 = {z | – < z < 0} → {w | 0 < w < }.

A2 = {z | 0 ≤ z < } → {w | 0 ≤ w < }.

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada w = 0.


permasalahan ini.

Didefinisikan kembali untuk z = 0, w = 0.


A = {z | – < z < , z 0}.

B = {w | 0 < w < }.

Inversnya adalah:

z = – w

; z = w,

dz = – dw

; dz = dw,

Jacobian-nya:

J1 = – 1 ; J2 = 1,

| J1| = 1 ; | J2| = 1.

Misalkan B B.

A3 = {z | z = – w, w B} A1.

A4 = {z | z = w, w B} A2.

Kemudian diperoleh

3 4Pr( ) Pr( ) Pr( )W B Z A Z A

3 4

( ) ( )A A

h z dz h z dz

1 2( ) | | ( ) | |B B

h w J dw h w J dw


27


2 2

2 21 2

1 1Pr( ) | | | |

2 2

w w

B B

W B e J dw e J dw

2 2

2 21 1

1 12 2

w w

B B

e dw e dw

2 2

2 21 1

2 2

w w

B B

e dw e dw

2 2

2 21 1

2 2

w w

B

e e dw

2

22

2

w

B

e dw

.

Jadi, f.k.p dari variabel acak W adalah

2

22

( ) , 02

0 , lainnya.

w

k w e w

(2.56)

Karena f.k.p W = |Z| dan f.k.p Y sama, maka distribusi Y dan W = |Z| identik.

Jadi,dapat dikatakan bahwa |Z| berdistribusi half-normal dengan ζ = 1.

f.p.m dari variabel acak Y dapat dicari dengan menggunakan (2.49), yaitu

22 2 2

2

1( ) 2exp exp

2 22

t

Y

t sM t ds

.

Untuk ζ = 1, maka

2 21( ) 2exp exp

2 22

t

Y

t sM t ds

. (2.57)

2

2exp ( )2

tt

. (2.58)

Dengan menggunakan persamaan (2.52) dan (2.54), diperoleh mean dan variansi

dari variabel acak Y untuk ζ = 1, yaitu

2 2( )

2E Y

, (2.59)

2Var( ) 1Y

. (2.60)


28


2.15 Distribusi Gamma dan Distribusi Chi-Square

Perhatikan bentuk integral

1

0

yy e dy

.

Integral tersebut ada untuk α > 0, dan nilai integral tersebut positif.

Integral tersebut disebut fungsi gamma dari α, dan ditulis

1

0( ) yy e dy

.

Jika α = 1, jelas bahwa

0(1) 1ye dy

.

Jika α > 1, dengan menggunakan integral parsial diperoleh bahwa

2

0( ) ( 1) ( 1) ( 1)yy e dy

.

Jika α adalah bilangan bulat positif yang lebih dari 1, maka

Γ(α) = (α – 1)( α – 2)...(3)2(1)Γ(1) = (α – 1)!

Karena Γ(1) = 1, hal ini berarti 0! = 1.

Misalkan:

xy

, di mana β > 0.

1dy dx

.

Batas integrasinya:

Jika y = 0, maka x = 0; jika x = ∞, maka y = ∞.

Jadi, diperoleh

1

/

0

1( ) xx

e dx

1

/

10

1xxe dx

1

/

10

1 xxe dx

1

/

0

xxe dx


29


1 /

0

1( ) xx e dx

,

atau, ekivalen dengan

1 /

0

1

1( )

xx e dx

1/

0

11

( )

xxe dx

1 /

0

11

( )

xx e dx

.

Karena α > 0, β > 0, dan Γ(x) > 0, diperoleh bahwa

1 /1( ) , 0

( )

0 , lainnya

xf x x e x

(2.61)

adalah f.k.p dari variabel acak yang bertipe kontinu. Suatu variabel acak X yang

mempunyai f.k.p dengan bentuk demikian disebut mempunyai distribusi gamma

dengan parameter α dan β, atau dinyatakan dengan X ~ Γ(α, β); dan sebarang f(x)

yang demikian disebut dengan f.k.p gamma.

Kemudian akan dicari f.p.m dari distribusi gamma dengan menggunakan

(2.15), yaitu:

1 /

0

1( )

( )

tx xM t e x e dx

1 /

0

1

( )

tx xx e e dx

1 /

0

1

( )

tx xx e dx

1 ( 1)/

0

1

( )

x tx e dx

1 (1 )/

0

1

( )

x tx e dx

.

Misalkan:

p = x(1 – βt)/β, t < 1/β,

x = βp/(1 – βt);


30


1dx dp

t

.

Batas integrasinya:

Jika x = 0, maka p = 0; jika x = ∞, maka p = ∞.

Jadi, diperoleh

1

0

1( )

( ) 1 1

ppM t e dp

t t

1 1

10

1

( ) 11

ppe dp

tt

1

10

1 1

( ) 11

ppe dp

tt

1

0

1

( ) 1

ppe dp

t

1

0

1 1

( )1

pp e dpt

11

1 t

1

1 t

.

1 1( ) ,

1M t t

t

. (2.62)

1

( ) ( )1

M' tt

11 t

. (2.63)

2

( 1)( ) ( )

1M'' t

t

2

2

( 1)

1 t

. (2.64)

( ) (0)E X M' . (2.65)


31


2 2(0) ( 1)E X M'' . (2.66)

22Var( ) ( )X E X E X

2 2( 1) ( )

2 2 2 2 2

2 . (2.67)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X yang berdistribusi gamma adalah

E(X) = M'(0) = αβ,

Var(X) = αβ2.

Berikut diberikan kasus khusus dari distribusi gamma, yaitu distribusi chi-square.

Misalkan X ~ Γ(α, β). Misalkan α = r/2, di mana r adalah bilangan bulat positif

dan β = 2. Berarti f.k.p dari variabel acak X adalah:

2

1/22

1( ) , 0

22

0 , lainnya,

r

r

xf x x e xr

(2.68)

dan f.p.m-nya adalah

2

1 1( ) ,

21 2

rM t t

t

. (2.69)

Variabel acak X yang mempunyai f.k.p demikian dikatakan berdistribusi chi-

square.

Mean dan variansinya adalah:

μ = αβ = (r/2)(2) = r, (2.70)

ζ2 = αβ

2 = (r/2)(2

2) = 2r, (2.71)

di mana r merupakan parameter dari distribusi chi-square, dan disebut derajat

bebas. Jika X berdistribusi chi-square dengan derajat bebas r, maka ditulis

2

rX .


32


2.16 Distribusi Bivariat

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa bagian, yaitu mengenai

distribusi-distribusi dari dua variabel acak, distribusi dan ekspektasi bersyarat,

koefisien korelasi.

2.16.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas

Definisi 2.3

Diberikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel C. Perhatikan dua variabel

acak X1 dan X2, yang memetakan setiap elemen c dari C ke satu dan hanya satu

pasangan terurut dari bilangan-bilangan X1(c) = x1, X2(c) = x2. Ruang dari X1 dan

X2 merupakan himpunan dari pasangan-pasangan terurut A = {(x1, x2) | x1 = X1(c),

x2 = X2(c), c C}.

Misalkan A merupakan ruang yang dihubungkan dengan dua variabel

acak X1 dan X2, dan misalkan A adalah subhimpunan dari A. Probabilitas dari

kejadian A dinyatakan dengan Pr[(X1, X2) A]. Ambil C = {c | c C dan

[X1(c), X2(c] A}, di mana C adalah ruang sampel. Kemudian definisikan

Pr[(X1, X2) A] = P(C), di mana P adalah fungsi himpunan probabilitas yang

didefinisikan untuk subhimpunan-subhimpunan C dari C. Pr[(X1, X2) A] dapat

dinyatakan dengan fungsi himpunan probabilitas 1 2, ( )X XP A , atau yang lebih

dikenal, ditulis

P(A) = Pr[(X1, X2) A]. (2.72)

Notasi dari f.k.p dari variabel acak X dapat diperluas untuk notasi dari

f.k.p dari variabel-variabel acak bivariat. Di bawah batasan-batasan tertentu pada

ruang A dan fungsi pada A, dua variabel acak X dan Y disebut berdistribusi

probabilitas tipe diskret atau kontinu, dan mempunyai distribusi sesuai tipenya,

berdasarkan fungsi himpunan probabilitas P(A), A A, dapat dinyatakan sebagai


33


( ) Pr[( , ) ] ( , )A

P A X Y A f x y , (2.73)

atau sebagai

( ) Pr[( , ) ] ( , )A

P A X Y A f x y dxdy . (2.74)

Dalam kedua kasus, f disebut f.k.p dari variabel-variabel acak X dan Y. Untuk

setiap kasus, diwajibkan P(A) = 1.

Definisi dari suatu f.k.p f(x, y) dapat diperluas pada keseluruhan bidang-xy

dengan menggunakan “nol untuk yang lainnya”. Setelah ini dilakukan, gantikan

( , )f x y dxdyA

dengan ( , )f x y dxdy

, (2.75)

untuk kasus kontinu, dan untuk kasus diskret adalah

( , )f x yA

dengan ( , )y x

f x y . (2.76)

Fungsi f, baik untuk satu atau dua variabel, pada dasarnya memenuhi

kondisi-kondisi untuk menjadi suatu f.k.p jika

(a) f didefinisikan dan bernilai nonnegatif untuk semua bilangan riil, dan

(b) jika integralnya (untuk kasus kontinu), atau jumlahannya (untuk kasus diskret)

pada seluruh bilangan riil bernilai 1.

2.16.2 Fungsi Distribusi

Misalkan variabel-variabel acak X dan Y mempunyai fungsi himpunan

probabilitas P(A), di mana A adalah himpunan dua dimensi. Jika A adalah

himpunan {(u, v) | u ≤ x, v ≤ y} yang tidak terbatas, di mana x dan y adalah

bilangan-bilangan riil, maka

P(A) = Pr[(X, Y) A] = Pr(X ≤ x, Y ≤ y). (2.77)

Fungsi pada titik (x, y) ini disebut fungsi distribusi dari variabel acak X dan Y, dan

dinyatakan oleh

F(x, y) = Pr(X ≤ x, Y ≤ y). (2.78)

Jika X dan Y adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi probabilitas kontinu

yang mempunyai f.k.p f(x, y), maka


34


( , ) ( , )y x

F x y f u v dudv

, (2.79)

Sehingga, pada titik-titik kontinuitas dari f(x, y),

2 ( , )( , )

F x yf x y

x y

. (2.80)

Dalam setiap kasus,

Pr(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F(b, d) – F(b, c) – F(a, d) + F(a, c), (2.81)

untuk setiap konstanta riil a < b, c < d.

2.16.3 Fungsi Kepadatan Probabilitas Marjinal

Misalkan f(x1, x2) adalah f.k.p dari variabel-variabel acak X1 dan X2.

Untuk selanjutnya, dalam rangka penekanan dan penjelasan, f.k.p atau fungsi

distribusi dari variabel acak yang lebih dari satu akan disebut f.k.p bersama atau

fungsi distribusi bersama. Jadi, f(x1, x2) adalah f.k.p bersama dari variabel-variabel

acak X1 dan X2.

Perhatikan kejadian a < X1 < b, a < b. Kejadian ini dapat terjadi jika dan

hanya jika kejadian a < X1 < b, – ∞ < X2 < ∞ terjadi; yaitu, kedua kejadian

ekivalen, sehingga probabilitasnya sama. Namun, probabilitas dari

a < X1 < b, – ∞ < X2 < ∞ telah didefinisikan oleh

1 2 1 2 2 1Pr( , ) ( , )b

aa X b X f x x dx dx

(2.82)

untuk kasus kontinu, dan

1 2

1 2 1 2Pr( , ) ( , )a x b x

a X b X f x x

(2.83)

untuk kasus diskret. Masing-masing dari

1 2 2( , )f x x dx

dan 2

1 2( , )x

f x x (2.84)

adalah fungsi dari x1 saja, sebut f1(x1). Jadi, untuk setiap a < b, diperoleh

1 1 1 1Pr( ) ( )b

aa X b f x dx , untuk kasus kontinu, (2.85)

1

1 1 1Pr( ) ( )a x b

a X b f x

, untuk kasus diskret, (2.86)


35


sehingga f1(x1) adalah f.k.p dari X1 saja. Fungsi f1(x1) ini disebut dengan f.k.p

marjinal dari X1. Serupa untuk X2,

2 2 1 2 1( ) ( , )f x f x x dx

, untuk kasus kontinu, (2.87)

1

2 2 1 2( ) ( , )x

f x f x x

, untuk kasus diskret, (2.88)

adalah f.k.p marjinal dari X2.

2.16.4 Mean

Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel acak dengan f.k.p f(x1, x2),

untuk (x1, x2) A, dengan A adalah ruang nilai dua dimensi. Ekspektasi

matematika dari X1, dan dari X2 adalah

1 1 1 1 1( ) ( )E X x f x dx

1 1 2 2 1( , )x f x x dx dx

1 1 2 2 1( , )x f x x dx dx

. (2.89)

2 2 2 2 2( ) ( )E X x f x dx

2 1 2 1 2( , )x f x x dx dx

2 1 2 1 2( , )x f x x dx dx

. (2.90)

E(X1) dan E(X2) dapat dinyatakan dengan E(X1) = μ1 dan E(X2) = μ2.

Misalkan terdapat suatu fungsi u(X1, X2). Ekspektasi matematika dari

fungsi u(X1, X2) dinyatakan oleh

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )E u X X u x x f x x dx dx

. (2.91)


36


2.16.5 Variansi dan Kovariansi

Misalkan X1 dan X2 adalah variabel-variabel acak dengan f.k.p f(x1, x2),

untuk (x1, x2) A. Variansi dari X1 dan X2, sesuai dengan persamaan (2.14) adalah

2

1 1 1Var X E X E X

2

1 1 1 2 2 1( , )X E X f x x dx dx

2

1 1 1 2 2 1( , )X f x x dx dx

. (2.92)

2

2 2 2Var X E X E X

2

2 2 1 2 1 2( , )X E X f x x dx dx

2

2 2 1 2 1 2( , )X f x x dx dx

, (2.93)

dan kovariansi dari variabel-variabel acak X1 dan X2 adalah

1 2 1 1 2 2Cov ,X X E X E X X E X

1 2 1 2 1 2 1 2E X X X E X E X X E X E X

1 2 1 2 1 2 1 2E X X X X

1 2 1 2 1 2 1 2E X X E X E X E

1 2 2 1 1 2 1 2E X X E X E X

1 2 2 1 1 2 1 2E X X

1 2 1 2E X X . (2.94)

2.16.6 Koefisien Korelasi

Misalkan terdapat dua variabel acak X1 dan X2 dengan f.k.p f(x1, x2), untuk

(x1, x2) A. Misalkan mean dari X1 dinyatakan dengan μ1 = E(X1) dan mean dari

X2 dinyatakan dengan μ2 = E(X2). Variansi dari X1 dan X2, masing-masing


37


dinyatakan dengan 2

1 1Var X dan 2

2 2Var X . Koefisien korelasi dari X1

dan X2 adalah

1 1 2 2 1 2

1 21 2

Cov ,

Var Var

E X X X X

X X

. (2.95)

2.16.7 Variabel-variabel Acak yang Saling Bebas

Misalkan terdapat dua variabel acak X1 dan X2. Sehubungan dengan

kovariansi dan koefisien korelasi, jika X1 dan X2 saling bebas, maka nilai

Cov(X1, X2) = 0 sehingga ρ = 0, tetapi tidak berlaku sebaliknya, yaitu jika

Cov(X1, X2) = 0 atau berarti ρ = 0, belum tentu X1 dan X2 saling bebas.

Definisi 2.4.

Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2),

f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2). Variabel acak X1 dan variabel acak X2 dikatakan

saling bebas (independen) jika dan hanya jika f(x1, x2) ≡ f1(x1)f2(x2). Variabel-

variabel acak yang tidak independen disebut saling bergantung.

Catatan terhadap Definisi 2.4:

1. Perkalian 2 fungsi nonnegatif f1(x1), f2(x2) harus nonnegatif pada suatu product

space, yaitu jika f1(x1) dan f2(x2) positif pada ruang A1 dan A2, maka f(x1, x2)

positif di product space A = {(x1, x2) | x1 A1, x2 A2}.

2. Mungkin ada titik-titik tertentu (x1, x2) A di mana f(x1, x2) ≠ f1(x1)f2(x2). Jika

hal ini terjadi, maka caranya adalah: jika A = {(x1, x2) | f(x1, x2) ≠ f1(x1)f2(x2)},

maka P(A) = 0.

Teorema 2.1.

Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2).

Maka X1 dan X2 saling bebas jika dan hanya jika f(x1, x2) dapat ditulis sebagai


38


perkalian dari suatu fungsi nonnegatif dari x1 saja dan suatu fungsi nonnegatif dari

x2 saja; yaitu,

f(x1, x2) ≡ g(x1)h(x2), (2.96)

di mana g(x1) > 0, x1 A1, nol untuk lainnya, dan h(x2) > 0, x2 A2, nol untuk

lainnya.

Teorema 2.2.

Jika X1 dan X2 merupakan variabel-variabel acak yang saling bebas dengan f.k.p

marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan, maka

Pr(a < X1 < b, c < X2 < d) = Pr(a < X1 < b)Pr(c < X2 < d) (2.97)

untuk setiap a < b dan c < d, di mana a, b, c, dan d adalah konstanta.

Teorema 2.3.

Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 yang saling bebas mempunyai f.k.p

marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan. Nilai ekspektasi dari perkalian dari

suatu fungsi u(X1) dari X1 saja dan suatu fungsi v(X2) dari X2 saja adalah,

tergantung ada atau tidak, sama dengan perkalian dari nilai harapan dari u(X1) dan

nilai harapan dari v(X2); yaitu,

E[u(X1)v(X2)] = E[u(X1)]E[v(X2)]. (2.98)

Teorema 2.4.

Misalkan X1 dan X2 menyatakan variabel-variabel acak yang mempunyai f.k.p

f(x1, x2) dan f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2), secara berurutan. Lebih jauh lagi,

misalkan M(t1, t2) menyatakan f.p.m dari distribusi. Maka X1 dan X2 saling bebas

jika dan hanya jika

M(t1, t2) = M(t1, 0)M(0, t2). (2.99)


39


2.17 Hubungan Independensi Variabel Acak Normal Standar dan Half-Normal

Misalkan Z1 dan Z2 adalah variabel-variabel acak N(0,1) yang saling

bebas. Sesuai dengan bagian 2.14, |Z1| adalah variabel acak yang berdistribusi

half-normal.

Akan ditunjukkan bahwa jika Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1)

yang saling bebas, maka |Z1| dan Z2 saling bebas.

Misalkan Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas,

dengan f.k.p

2

21

( ) , 2

iz

i if z e z

, untuk i = 1, 2. (2.100)

Maka,

1 2 1 2( , ) ( ) ( )g z z f z f z

2 21 2

2 21 1

2 2

z z

e e

2 21 2

2 21

2

z z

e

2 21 2

21

2

z z

e

.

Jadi, f.k.p bersama dari Z1 dan Z2 adalah

2 21 2

21 2 1 2

1( , ) , ,

2

z z

g z z e z z

. (2.101)

Misalkan W1 = |Z1| dan W2 = Z2.

A = {(z1, z2) | – < z1 < , – < z2 < }.

Dengan transformasi w1 = |z1| diperoleh

B = {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < , – < w2 < }.

Karena A = {(z1, z2) | – < z1 < , – < z2 < } dan

B = {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < , – < w2 < }, maka, w1 = |z1| bukan



A1 = {(z1, z2) | – < z1 < 0, – < z2 < }.


40


A2 = {(z1, z2) | 0 ≤ z1 < , – < z2 < }.


A1 = {(z1, z2) | – < z1 < 0, – < z2 < } → {(w1, w2) | 0 < w1 < ,

– < w2 < }.

A2 = {(z1, z2) | 0 ≤ z1 < , – < z2 < } → {(w1, w2) | 0 ≤ w1 < ,

– < w2 < }.

Hasil pemetaan yang diperoleh berbeda, letak perbedaannya yaitu pada w1 = 0.


permasalahan ini.

Didefinisikan kembali untuk z1 = 0, w1 = 0.


A = {(z1, z2) | – < z1 < , – < z2 < , z1 0}.

B = {(w1, w2) | 0 < w1 < , – < w2 < }.

Inversnya adalah:

z1 = – w1 ; z1 = w1,

z2 = w2 ; z2 = w2,

1

1

1z

w

; 1

1

1z

w

,

1

2

0z

w

; 1

2

0z

w

,

2

1

0z

w

; 2

1

0z

w

,

2

2

1z

w

; 2

2

1z

w

,

1 1

1 2

1

2 2

1 2

1 01

0 1

z z

w wJ

z z

w w

;

1 1

1 2

2

2 2

1 2

1 01

0 1

z z

w wJ

z z

w w

,

|J1| = 1 ; |J2| = 1.

Misalkan B B.

A3 = {(z1, z2) | z1 = – w1, z2 = w2, (z1, z2) B} A1.

A4 = {(z1, z2) | z1 = w1, z2 = w2, (z1, z2) B} A2.


41


Kemudian diperoleh

Pr(Y B) = Pr(X A3) + Pr(X A4)

3 4

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )A A

g z z dz dz g z z dz dz

1 2 1 1 2 1 2 2 1 2( , ) | | ( , ) | |

B B

g w w J dw dw g w w J dw dw

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) 1 ( , ) 1

B B

g w w dw dw g w w dw dw

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , )

B B

g w w dw dw g w w dw dw

2 2 2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

1 1

2 2

w w w w

B B

e dw dw e dw dw

2 21 2

21 2

1w w

B

e dw dw

.

Jadi, f.k.p bersama dari variabel W1 dan W2 adalah

2 21 2

21 2 1 2

1( , ) , 0 ,

0 , lainnya,

w w

h w w e w w

(2.102)

dan f.k.p marjinal dari W1 adalah:

1 1 2 2( ) ( , )h w h w w dw

2 21 2

22

1w w

e dw

2 21 2

22

1 2

2 2

w w

e dw

2 21 2 2 2

2

2 1

2 2

w w

e dw

2 21 2

2 22

2 1

2 2

w w

e e dw

2 21 2

2 22

2 1

2 2

w w

e e dw

(2.103)


42


21

21

2( ) 1

2

w

h w e

(2.104)

21

22

2

w

e

.

Perhatikan persamaan (2.103) dan (2.104). Karena integral

22

22

1

2

w

e dw

bernilai 1, dan fungsi

22

21

02

w

e

untuk – ∞ < w2 < ∞, berarti fungsi tersebut

merupakan f.k.p dari variabel acak W2. Jadi, f.k.p marjinal untuk variabel acak W1

adalah

21

21 2

2( ) , 0

2

0 , lainnya.

w

h w e w

, (2.105)

dan f.k.p marjinal untuk variabel acak W2 adalah

22

22 2

1( ) ,

2

w

h w e w

. (2.106)

Pembuktian bahwa W1 = |Z1| dan W2 = Z2 saling bebas menggunakan

Definisi 2.4, yaitu:

Definisi 2.4.

Misalkan variabel-variabel acak X1 dan X2 mempunyai f.k.p bersama f(x1, x2),

f.k.p marjinal f1(x1) dan f2(x2). Variabel acak X1 dan variabel acak X2 dikatakan

saling bebas jika dan hanya jika f(x1, x2) ≡ f1(x1)f2(x2).

2 21 2

2 21 2

2 1( ) ( )

2 2

w w

h w h w e e

2 21 2

2 22

2

w w

e

2 21 2

21

w w

e

1 2( , )h w w .


43


Berdasarkan Definisi 2.4, maka terbukti bahwa W1 = |Z1| dan W2 = Z2 saling

bebas.

2.18 Sifat Ketertutupan

Pada bagian ini dibahas sifat-sifat ketertutupan dari variabel-variabel acak

terkait distribusi probabilitas dari variabel-variabel acak tersebut.

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi

probabilitas tertentu (dapat bertipe diskret atau kontinu, dapat saling bebas atau

tidak), sebut distribusi A. Misalkan terdapat suatu operator biner *. Distribusi A

dikatakan mempunyai sifat tertutup terhadap operator *, jika X1 * X2 * ... * Xn

merupakan variabel acak yang berdistribusi A. Contoh: misalkan variabel-variabel

acak X1 dan X2 saling bebas di mana 2

1 1 1,X N dan 2

2 2 2,X N . Hasil

penjumlahan kedua variabel acak tersebut yaitu 2 2

1 2 1 2 1 2,X X N .

Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah variabel-variabel acak yang berdistribusi

probabilitas tertentu (dapat bertipe diskret atau kontinu, dapat saling bebas atau

tidak), sebut distribusi B. Jika distribusi bersama dari variabel-variabel acak X1,

X2, ..., Xn adalah distribusi B, maka dikatakan distribusi B tertutup dalam

perluasan ke multivariat.

Misalkan X1, X2, ..., Xn memiliki distribusi bersama tertentu, sebut

distribusi C. Jika distribusi dari variabel acak Xi, i = 1, 2, ..., n adalah distribusi C,

maka dikatakan distribusi C tertutup terhadap marjinalisasi.

2.19 Parameter Location dan Scale

Parameter location merupakan parameter yang menentukan lokasi, atau

pergeseran dari distribusi. Parameter scale adalah parameter yang menentukan

skala, atau penyebaran dari data. Suatu kelas dari distribusi disebut membentuk

famili parameter location dan scale jika distribusi dari setiap variabel acak X di

dalam kelas tersebut dapat ditulis sebagai


44


Pr( )x

X x F

, (2.107)

di mana θ disebut parameter location dan η disebut parameter scale; di sini F

adalah suatu fungsi distribusi dari semua distribusi di dalam kelas. Variabel acak

X dapat distandardisasi dengan mendefinisikan

XZ

. (2.108)

Maka parameter location dan scale dari Z, masing-masing adalah 0 dan 1, dan

fungsi distribusi dari Z adalah Pr(Z ≤ z) = F(z).

Contoh paling sederhana dari famili parameter location dan scale adalah

famili dari distribusi-distribusi normal. Jika X ~ N(μ, ζ2), maka fungsi distribusi

dari X diberikan oleh

Pr( ) Prx x

X x Z

, (2.109)

di mana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar. Distribusi ini memiliki

bentuk (2.107), di mana μ adalah parameter location dan ζ adalah parameter

scale.

Parameter location dan scale ini akan digunakan di dalam perluasan

distribusi skew-normal pada subbab 3.6.

2.20 Matriks dan Sifat-sifat Matriks

2.20.1 Notasi Matriks dan Terminologi

Definisi 2.5.

Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk persegi. Bilangan-bilangan

dalam susunan tersebut disebut anggota dari matriks tersebut.

Setiap matriks memiliki ukuran, yang dinyatakan dengan banyaknya baris

dan kolom. Matriks berukuran m × n merupakan matriks dengan m baris dan n

kolom. Misalkan matriks A dengan anggota-anggotanya adalah (aij).


45


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A .

Matriks A dapat juga dinyatakan dengan bentuk

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A .

Matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, atau vektor

kolom. Matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris, atau vektor baris.

Matriks dengan n baris dan n kolom disebut dengan matriks persegi orde-n.

2.20.2 Operasi-operasi Matriks

Definisi 2.6.

Dua matriks didefinisikan sama jika kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang

sama dan anggota-anggotanya yang bersesuaian yang sama.

Definisi 2.7.

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang berukuran sama, maka penjumlahan

A + B adalah matriks yang diperoleh dengan anggota-anggotanya merupakan

penambahan dari anggota-anggota di B ke anggota-anggota di A yang

bersesuaian, dan selisih A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangi

anggota-anggota dari B dari anggota-anggota dari A yang bersesuaian. Matriks-

matriks yang berbeda ukuran tidak dapat ditambah atau dikurang.

Definisi 2.8.

Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka perkalian cA

adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota dari A dengan

skalar c.


46


Definisi 2.9.

Jika A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks berukuran r × n,

maka perkalian AB adalah matriks berukuran m × n di mana anggota-anggotanya

ditentukan dengan cara berikut. Untuk mencari anggota di baris ke-i dan kolom

ke-j dari AB, kalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B.

2.20.3 Transpos dari Matriks

Definisi 2.10

Jika A adalah sebarang matriks berukuran m × n,

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A . (2.110)

Maka transpos dari A adalah

11 21 1

12 22 2

1 2

m

m

n n mn

a a a

a a a'

a a a

A . (2.111)

Teorema 2.5.

Jika ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang

diindikasikan dapat dilakukan, maka

(a) (A')' = A. (2.112)

(b) (A + B)' = A' + B' dan (A – B)' = A' – B'. (2.113)

(c) (kA)' = kA', di mana k adalah sebarang skalar. (2.114)

(d) (AB)' = B'A'. (2.115)


47


2.20.4 Sifat-sifat dari Operasi-operasi Matriks

Teorema 2.6.

Anggap bahwa ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasi-

operasi yang diindikasikan dapat dilakukan, aturan-aturan dari matriks aritmatik

berikut valid.

(a) A + B = B + A. (2.116)

(b) A + (B + C) = (A + B) + C. (2.117)

(c) A(BC) = (AB)C. (2.118)

(d) A(B + C) = AB + AC. (2.119)

(e) (B + C)A = BA + CA. (2.120)

(f) A(B – C) = AB – AC. (2.121)

(g) (B – C)A = BA – CA. (2.122)

(h) a(B + C) = aB + aC. (2.123)

(i) a(B – C) = aB – aC. (2.124)

(j) (a + b)C = aC + bC. (2.125)

(k) (a – b)C = aC – bC. (2.126)

(l) a(bC) = (ab)C. (2.127)

(m) a(BC) = (aB)C = B(aC). (2.128)

2.20.5 Matriks-matriks Nol

Definisi 2.11.

Suatu matriks, yang semua anggota-anggotanya adalah nol, disebut matriks nol.

Matriks nol dinyatakan dengan 0.

Teorema 2.7.

Anggap bahwa ukuran-ukuran dari matriks adalah sedemikian sehingga operasi-

operasi yang diindikasikan dapat dilakukan. Aturan-aturan dari matriks aritmatika

berikut valid.

(a) A + 0 = 0 + A = A. (2.129)


48


(b) A – A = 0. (2.130)

(c) 0 – A = – A. (2.131)

(d) A0 = 0; 0A = 0. (2.132)

2.20.6 Matriks-matriks Identitas

Definisi 2.12.

Suatu matriks, dengan semua diagonal utama bernilai satu dan anggota-anggota

nondiagonal bernilai nol, disebut matriks identitas dan dinyatakan dengan I. Jika

penting untuk menekankan ukuran dari matriks ini, ditulis In untuk matriks

identitas berukuran n × n.

2.20.7 Invers dari Matriks

Definisi 2.13.

Jika A adalah matriks persegi, dan jika matriks B dengan ukuran yang sama

dengan A dapat ditemukan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut

mempunyai invers dan B disebut invers dari A. Invers dari matriks A dapat

dinyatakan dengan A–1

.

Teorema 2.8.

Jika B dan C merupakan invers-invers dari matriks A, maka B = C.

Teorema 2.9.

Matriks

a b

c d

A

mempunyai invers jika ad – bc ≠ 0, dengan invers dari A adalah


49


1 1

d b

d b ad bc ad bc

c a c aad bc

ad bc ad bc

A . (2.133)

Teorema 2.10.

Jika A dan B adalah matriks-matriks yang mempunyai invers dengan ukuran yang

sama, maka:

(a) AB mempunyai invers.

(b) (AB)–1

= B–1

A–1

. (2.134)

Teorema 2.11.

Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka A' juga mempunyai invers

dan

(A')–1

= (A–1

)'. (2.135)

2.20.8 Matriks-matriks Diagonal, Segitiga, dan Simetris

Definisi 2.14.

Suatu matriks persegi di mana semua anggota-anggota nondiagonalnya bernilai

nol disebut matriks diagonal. Matriks diagonal D berukuran n × n secara umum

dapat ditulis sebagai

1

2

0 0

0 0

0 0 n

d

d

d

D . (2.136)

Teorema 2.12.

Suatu matriks diagonal mempunyai invers jika dan hanya jika semua anggota

diagonalnya bernilai tidak nol. Dalam hal ini, inversnya adalah


50


1

21

1/ 0 0

0 1/ 0

0 0 1/ n

d

d

d

D , (2.137)

dan

DD–1

= D–1

D = I. (2.138)

Teorema 2.13.

Jika D adalah matriks diagonal dan k adalah bilangan bulat positif, maka

1

2

0 0

0 0

0 0

k

k

k

k

n

d

d

d

D . (2.139)

Definisi 2.15.

Matriks persegi di mana semua anggota di atas diagonal utamanya bernilai nol

disebut segitiga bawah, dan matriks persegi di mana semua anggota di bawah

diagonal utamanya bernilai nol disebut segitiga atas. Matriks segitiga atas atau

segitiga bawah disebut matriks segitiga.

Teorema 2.14.

(a) Transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan

transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.

(b) Perkalian dari matriks-matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah,

dan perkalian dari matriks-matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

(c) Matriks segitiga mempunyai invers jika dan hanya jika semua anggota-

anggota diagonalnya tak-nol.

(d) Invers dari matriks segitiga bawah yang mempunyai invers adalah matriks

segitiga bawah, dan invers dari matriks segitiga atas yang mempunyai invers

adalah matriks segitiga atas.


51


Definisi 2.16.

Matriks persegi A disebut simetris jika

A = A'. (2.140)

Teorema 2.15.

Jika A dan B adalah matriks-matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k

adalah sebarang skalar, maka

(a) A' simetris.

(b) A + B dan A – B simetris.

(c) kA simetris.

Teorema 2.16.

Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka AA' dan A'A juga

mempunyai invers.

Catatan terhadap Teorema 2.16.

Hasil kali matriks berbentuk AA' dan A'A muncul dalam berbagai penerapan. Jika

A adalah suatu matriks m × n, maka A adalah suatu matriks n × m, sehingga hasil

kali AA' dan A'A keduanya adalah matriks-matriks persegi; matriks AA'

mempunyai ukuran m × m dan matriks A'A mempunyai ukuran n × n.

Hasil kali ini selalu simetris karena

(AA')' = (A')'A' = AA' dan (A'A)' = A'(A')' = A'A. (2.141)

2.20.9 Matriks Definit Positif

Definisi 2.17.

Suatu bentuk kuadratik x'Ax disebut definit positif jika x'Ax > 0 untuk setiap

x ≠ 0, dan suatu matriks simetris A disebut matriks definit positif jika x'Ax

merupakan bentuk kuadratik yang definit positif.


52


Teorema 2.17.

Suatu matriks simetris A merupakan matriks yang definit positif jika dan hanya

jika semua nilai eigen dari A bernilai positif.

2.20.10 Pangkat dari Matriks

Definisi 2.18.

Jika A adalah matriks persegi, maka pangkat bilangan bulat nonnegatif dari A

didefinisikan oleh

A0 = I, (2.142)

sebanyak

n

n

A AA A (n > 0). (2.143)

Jika A mempunyai invers, maka pangkat bilangan bulat negatif dari A

didefinisikan oleh

1 1 1 1

sebanyak

nn

n

A A A A A (2.144)

Teorema 2.18.

Jika A adalah matriks persegi dan r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maka

ArA

s = A

r + s, (A

r)s = A

rs. (2.145)

Teorema 2.19.

Jika A adalah matriks yang mempunyai invers, maka

(a) A–1

mempunyai invers dan (A–1

) –1

= A. (2.146)

(b) An mempunyai invers dan (A

n) –1

= (A–1

)n untuk n = 0, 1, 2, ... (2.147)

(c) Untuk sebarang skalar tak-nol k, matriks kA mempunyai invers dan

1 11( )k

k

A A . (2.148)


53


2.20.11 Fungsi Determinan dan Sifat-sifatnya

Definisi 2.19.

Anggap A adalah suatu matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan dengan

det, dan didefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari

A. Angka det(A) disebut determinan A.

det(A) dapat dinyatakan juga dalam bentuk |A|.

Teorema 2.20.

Anggap A adalah suatu matriks persegi.

(a) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(A) = 0.

(b) det(A) = det(A'). (2.150)

Teorema 2.20.

Jika A adalah suatu matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau

diagonal), maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal

utamanya; yaitu

det(A) = a11a22 ... amn. (2.151)

Teorema 2.22.

Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan hanya jika det(A) ≠ 0.

Teorema 2.23.

Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi berukuran sama, maka

det(AB) = det(A)det(B). (2.152)

Teorema 2.24.

Jika A mempunyai invers, maka

1 1det

det

AA

. (2.153)


54


2.20.12 Ruang Berdimensi-n Euclidean

Definisi 2.20.

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda-n berurut adalah sederet n

bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunan semua ganda-n berurut disebut ruang

berdimensi-n dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi 2.20.

Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) dalam Rn disebut sama jika

u1 = v1, u2 = v2, ..., un = vn. (2.154)

Jumlah u + v didefinisikan sebagai

u + v = (u1 + v1, u2+ v2, ..., un+ vn), (2.155)

dan jika k adalah sebarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai

(ku1, ku2, ..., kun). (2.156)

Teorema 2.25.

Jika u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn), dan w = (w1, w2, ..., wn) adalah vektor-

vektor dalam Rn dan k serta l adalah skalar, maka

(a) u + v = v + u. (2.157)

(b) u + (v + w) = (u + v) + w. (2.158)

(c) u + 0 = 0 + u = u. (2.159)

(d) u + (– u) = 0; yaitu, u – u = 0. (2.160)

(e) k(lu) = (kl)u. (2.161)

(f) k(u + v) = ku + kv. (2.162)

(g) (k + l)u = ku + lu. (2.163)

(h) 1u = u. (2.164)

Definisi 2.20.

Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sebarang vektor dalam Rn,

maka hasil kali dalam Euclidean u · v didefinisikan sebagai

u · v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. (2.165)


55


Teorema 2.26.

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam Rn dan k adalah sebarang skalar, maka

(a) u · v = v · u. (2.166)

(b) (u + v) · w = u · w + v · w. (2.167)

(c) (ku) · v = k(u · v). (2.168)

(d) v · v > 0 jika v ≠ 0, dan v · v = 0, jika dan hanya jika v = 0. (2.169)

Definisi 2.22.

Norma Euclidean (atau panjang Euclidean) dari suatu vektor u = (u1, u2, ..., un)

dalam Rn didefinisikan sebagai

2 2 2

1 2 nu u u u . (2.170)

Definisi 2.23.

Dua vektor u dan v dalam Rn disebut ortogonal jika

u · v = 0. (2.171)

2.20.13 Ruang-ruang Vektor Riil

Definisi 2.24.

Anggap V adalah sebarang himpunan tak-kosong dari objek di mana dua operasi

didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan).

Penjumlahan adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u

dan v dalam V dengan suatu objek u + v, yang disebut sebagai jumlah u dan v;

perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan

setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalian skalar dari u

dengan k. Jika aksioma berikut ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan

semua skalar k dan l, maka kita sebut V sebagai ruang vektor dan kita sebut objek

dalam V sebagai vektor.

(1) Jika u dan v adalah objek-objek dalam V, maka u + v ada di dalam V.

(2) u + v = v + u

(3) u + (v + w) = (u + v) + w


56


(4) Ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut suatu vektor nol untuk V,

sedemikian sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u dalam V.

(5) Untuk setiap u dalam V, ada suatu objek – u dalam V, yang disebut negatif

dari u, sedemikian sehingga u + (– u) = (– u) + u = 0.

(6) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang objek dalam V, maka

ku ada di dalam V.

(7) k(u + v)= ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u.

(10) 1u = u.

Teorema 2.27.

Anggap V adalah suatu ruang vektor, u suatu vektor dalam V, dan k suatu skalar;

maka

(a) 0u = 0. (2.172)

(b) k0 = 0. (2.173)

(c) (– 1)u = – u. (2.174)

(d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0. (2.175)

2.20.14 Kebebasan Linier

Definisi 2.25.

Jika S = {v1, v2, ..., vr} adalah suatu himpunan vektor tak-kosong, maka persamaan

vektor

k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0 (2.176)

mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu

k1 = 0, k2 = 0, ... kr = 0. (2.177)

Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang

bebas secara linier. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut

himpunan yang tak-bebas secara linier.


57


Teorema 2.28.

Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor, disebut

(a) Tak-bebas secara linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu vektor

dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor

lainnya dalam S.

(b) Bebas secara linier jika dan hanya jika tidak ada vektor dalam S yang dapat

dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam S.

2.20.15 Hasil Kali Dalam

Definisi 2.26.

Suatu hasil kali dalam pada suatu ruang vektor riil V adalah suatu fungsi yang

menghubungkan suatu bilangan riil ,u v dengan setiap pasangan vektor u dan v

dalam V dengan cara sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi

untuk semua vektor u, v, dan w dalam V dan semua skalar k.

(1) , ,u v v u . (2.178)

(2) , , , u v w u w v w . (2.179)

(3) , ,k ku v v u . (2.180)

(4) , 0v v dengan , 0v v jika dan hanya jika v = 0. (2.181)

Suatu ruang vektor riil dengan suatu hasil kali dalam disebut ruang hasil kali

dalam riil.

Definisi 2.27.

Jika V adalah suatu ruang hasil kali dalam, maka norma suatu vektor u dalam V

dinyatakan dengan |u| dan didefinisikan sebagai

1/2,u u u . (2.182)


58


Teorema 2.29.

Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika k

adalah sebarang skalar, maka

(a) |u| ≥ 0. (2.183)

(b) |u| = 0 jika dan hanya jika u = 0. (2.184)

(c) |ku| = |k||u|. (2.185)

(d) |u + v| |u| + |v|. (2.186)

2.20.16 Keortogonalan

Definisi 2.28.

Dua vektor u dan v dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut ortogonal jika

, 0u v . (2.187)

Definisi 2.29.

Suatu himpunan vektor dalam suatu ruang hasil kali dalam disebut suatu

himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam

himpunan tersebut ortogonal. Suatu himpunan ortogonal di mana setiap vektor

mempunyai normal bernilai satu disebut ortonormal.

Definisi 2.30.

Suatu matriks persegi A dengan sifat

A–1

= A' (2.188)

disebut suatu matriks ortogonal.

Teorema 2.30.

(a) Invers dari suatu matriks ortogonal adalah ortogonal.

(b) Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal.

(c) Jika A ortogonal, maka det(A) = 1 atau det(A) = – 1.


59


2.20.17 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.31.

Jika A adalah suatu matriks n × n, maka vektor tak-nol x pada Rn disebut suatu

vektor eigen dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x; yaitu,

Ax = λx

untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen dari A, dan x disebut suatu vektor

eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

Teorema 2.31.

Jiika A adalah suatu matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau

diagonal), maka nilai eigen dari A adalah anggota-anggota diagonal utama A.

Teorema 2.32.

Jika A adalah suatu matriks n × n dan λ adalah suatu bilangan riil, maka

pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.

(a) λ adalah suatu nilai eigen dari A.

(b) Sistem persamaan (λI – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak-trivial.

(c) Ada suatu vektor tak-nol x pada Rn sedemikian sehingga Ax = λx.

(d) λ merupakan suatu penyelesaian dari persamaan karakteristik (λI – A) = 0.

Teorema 2.33.

Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan hanya jika λ = 0 bukanlah

suatu nilai eigen dari A.

2.20.18 Diagonalisasi

Definisi 2.32.

Suatu matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P

yang mempunyai invers sedemikian sehingga P–1

AP adalah suatu matriks

diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalkan A.


60


Teorema 2.34.

Jika A adalah suatu matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.

(a) A dapat didiagonalkan.

(b) A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.

Teorema 2.35.

Jika v1, v2, ..., vk adalah vektor-vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai-

nilai eigen yang berbeda-beda λ1, λ2, ..., λk, maka {v1, v2, ..., vk} adalah suatu

himpunan yang bebas secara linier.

Teorema 2.36.

Jika suatu matriks A, n × n, mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda-beda, maka

A dapat didiagonalkan.

Teorema 2.37.

Jika A adalah suatu matriks berukuran n × n yang dapat didiagonalkan, dengan

nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk, maka det(A) = λ1.λ2...λk.

2.20.19 Diagonalisasi Ortogonal

Teorema 2.38.

Jika A adalah suatu matriks n × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.

(a) A dapat didiagonalkan secara ortogonal.

(b) A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.

(c) A simetris.


61


2.20.20 Matriks Akar Kuadrat.

Definisi 2.33.

Misalkan A adalah suatu matriks simetris definit positif berukuran n × n. Misalkan

vektor-vektor eigen yang ortonormal menjadi kolom dari matriks P. Maka

A = PDP–1

(2.189)

di mana PP' = P'P = I dan D adalah matriks diagonal.

Misalkan D1/2

menyatakan matriks diagonal dengan i sebagai elemen diagonal

ke-i. Matriks PD1/2

P' disebut akar kuadrat dari A dan dinotasikan dengan A1/2

,

yaitu

A1/2

= PD1/2

P'. (2.190)

Teorema 2.39.

Misalkan A matriks simetris definit positif berukuran n × n. Akar kuadrat dari A

memiliki sifat-sifat:

(1) (A1/2)' = A

1/2, jadi A

1/2 simetris. (2.191)

(2) A1/2A

1/2 = A. (2.192)

(3) (A1/2)–1

= PD–1/2

P' (2.193)

di mana D–1/2

adalah matriks diagonal dengan 1/ i sebagai elemen diagonal

ke-i.

(4) A1/2A

–1/2 = A

–1/2A

1/2 = I, dan A

–1/2A

–1/2 = A

–1, (2.194)

di mana A–1/2

= (A1/2

)–1

.

2.20.21 Vektor Acak

Definisi 2.34.

Suatu vektor acak adalah vektor di mana anggota-anggotanya terdiri dari variabel-

variabel acak. Serupa dengan itu, matriks acak adalah matriks di mana anggota-

anggotanya adalah variabel-variabel acak.


62


Misalkan X = {Xij} adalah matriks acak berukuran n × p. Ekspektasi dari

X, dinotasikan dengan E(X), adalah matriks n × p yang beranggotakan bilangan-

bilangan riil (jika nilai dari masing-masing E(Xij) ada)

11 12 1

21 22 2

1 2

( )

p

p

n n np

E X E X E X

E X E X E XE

E X E X E X

X (2.195)

di mana E(Xij) adalah ekspektasi dari variabel acak Xij dengan f.k.p terkait (dapat

berupa variabel acak bertipe diskrit atau kontinu).

Teorema 2.40.

Misalkan X dan Y adalah matriks-matriks acak dengan dimensi yang sama, dan

misalkan A dan B adalah matriks-matriks konstanta yang sesuai. Maka

E(X + Y) = E(X) + E(Y), (2.196)

E(AXB) = AE(X)B. (2.197)

Definisi 2.35.

Misalkan X = (X1, X2, ..., Xp) ' adalah vektor acak berukuran p × 1. Maka setiap

anggota dari X merupakan variabel acak dengan distribusi probabilitas marjinal

tertentu. Vektor mean, kovariansi, dan korelasi dinyatakan sebagai:

Vektor mean:

1 1

2 2( )

pp

E X

E XE

E X

X . (2.198)

Matriks kovariansi:

Cov( ) X


63


( )( )E ' X X

11 12 1

21 22 2

1 2

p

p

p p pp

, (2.199)

dengan 2 Var( )ii i iX dan ζij = Cov(Xi, Xj), untuk i = 1, 2, ..., p.

Matriks korelasi:

112

11 22 11

212

11 22 22

1 2

11 22

1

1

1

p

pp

p

pp

p p

pp pp

(2.200)

dengan ij

ij

ii jj

, untuk i, j = 1, 2, ..., p adalah koefisien-koefisien korelasi

dari variabel-variabel acak Xi dan Xj.

2.20.22 Turunan Terhadap Vektor

Pada bagian ini dibahas mengenai turunan dari vektor terhadap vektor.

Berikut ini diberikan definisi mengenai turunan terhadap vektor.

Definisi 2.36.

Misalkan terdapat suatu vektor u = (u1, u2, ..., um)' berukuran m × 1, dan vector

v = (v1, v2, ..., vn)' berukuran n × 1. Turunan dari vektor u terhadap vektor v

dinyatakan dengan


64


1 2

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

m

m

m

n n n

uu u

v v v

uu u

v v v

uu u

v v v

u

v. (2.201)

Definisi 2.37.

Misalkan terdapat suatu vektor u = (u1, u2, ..., um)' berukuran m × 1, dan vektor

v = (v1, v2, ..., vn)' berukuran n × 1. Turunan vektor u terhadap vektor v'

diturunkan kembali terhadap vektor v dinyatakan oleh

2

1 1 2 1

22

2 1 2 2

2

1 2

m

m

m m m

u u u

v v v v v

u u u

v v v v v'

u u u

v v v v v

u

v v. (2.202)

2.21 Distribusi Normal Multivariat

Misalkan A adalah suatu matriks simetris dan definit positif yang

berukuran n × n. Misalkan μ adalah matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga

μ' = (μ1, μ2, ..., μn) di mana μi adalah konstanta-konstanta riil. Misalkan x adalah

matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga x' = (x1, x2, ..., xn). Akan

ditunjukkan bahwa jika C adalah konstanta positif, maka fungsi nonnegatif

1 2

( ) ( )( , , , ) exp

2n

'Af x x x C

x x , , 1,2, ,ix i n . (2.203)

adalah f.k.p bersama dari variabel-variabel acak X1, ..., Xn yang bertipe kontinu.

Berarti, akan ditunjukkan bahwa

1 2 1( , , , ) 1n nf x x x dx dx

. (2.204)


65


Misalkan t adalah matriks berukuran n × 1 sedemikian sehingga t' = (t1, ..., tn), di

mana t1, ..., tn adalah bilangan-bilangan riil sebarang. Selanjutnya akan dihitung

1

( ) ( )exp

2n

'AC ' dx dx

x xt x

1

( ) ( )exp

2n

'AC ' dx dx

x xt x

. (2.205)

Jika t1 = t2 = ... = tn = 0, maka bentuk (2.205) akan sama dengan ruas kiri

persamaan (2.204).

Misalkan:

y = x – μ, di mana y = (y1, y2, ..., yn)'.

Inversnya:

x = y + μ.

Jadi, Jacobian-nya adalah:

J = 1,

|J| = |1| = 1.

Batas integrasinya:

Jika xi = – ∞, maka yi = – ∞, i = 1, 2, ..., k;

Jika xi = ∞, maka yi = ∞, i = 1, 2, ..., k.

Jadi, ky .

Maka, integral (2.205) menjadi

1

( ) ( )exp

2n

'AC ' dx dx

x xt x

1exp ( ) | |2

n

'AC ' J dx dy

y yt y

1exp ( ) 12

n

'AC ' dy dy

y yt y

1exp ( ) 12

n

'AC ' dy dy

y yt y

1exp2

n

'AC ' ' dy dy

y yt y t

1exp( )exp2

n

'AC ' ' dy dy

y yt t y


66


1exp( ) exp2

n

'AC ' ' dy dy

y yt t y (2.206)

Karena A adalah matriks simetris yang definit positif, maka nilai-nilai eigen dari

matriks A, yaitu a1, a2, ..., an bernilai positif. Berarti terdapat matriks ortogonal L

yang berukuran n × n sedemikian sehingga

1

2

0 0

0 0

0 0 n

a

a'

a

L AL , (2.207)

atau biasa ditulis

L'AL = diag(a1, a2, ..., an). (2.208)

Misalkan:

z = L–1

y, di mana z' = (z1, z2, ..., zn).

Inversnya:

y = Lz.


J = |L|.

Karena L matriks ortogonal, maka |L'L| = |L2| = |L|

2 = 1, jadi, |L| = ±1.

|J| = |1| = 1.

Batas integrasinya:

Jika yi = – ∞, maka zi = – ∞, i = 1, 2, ..., k;

Jika yi = ∞, maka zi = ∞, i = 1, 2, ..., k.

Jadi, diperoleh

1exp( ) exp2

n

'AC ' ' dy dy

y yt t y

1

( ) ( )exp( ) exp ( ) | |

2n

'AC ' ' J dz dz

Lz Lzt t Lz

1

( ) ( )exp( ) exp ( ) 1

2n

'AC ' ' dz dz

Lz Lzt t Lz

1

( ) ( )exp( ) exp ( )

2n

'AC ' ' dz dz

Lz Lzt t Lz

1

( )exp( ) exp

2n

' 'AC ' ' dz dz

z L L zt t Lz (2.209)


67


Misalkan:

w' = t'L, di mana w' = (w1, w2, ..., wn).

Jadi, diperoleh

1

( )exp( ) exp

2n

' 'AC ' ' dz dz

z L L zt t Lz

1

1

( )exp( ) exp

2n

' 'AC ' ' dz dz

z L L zw L w z

2

1 11

1

exp( ) exp2

n

i ini

i i n

i

a z

C ' w z dz dz

w L

2

1

1

exp( ) exp2

ni i

i i n

i

a zC ' ' w z dz dz

w L

2

1

exp( ) exp2

ni i

i i i

i

a zC ' ' w z dz

w L

2

1

exp( ) exp( )exp2

ni i

i i i

i

a zC ' ' w z dz

w L

2

1

exp( ) exp( )exp2 /

ni

i i i

i i

zC ' ' w z dz

a

w L

2

1

exp( )exp2 /2

exp( )2

ii in

i

i

i i

i

zw z

aC ' ' dz

a

a

w L

2

1

exp( )exp2 /2

exp( )2

ii in

i

i

i i

i

zw z

aC ' ' dz

a

a

w L . (2.210)

Perhatikan bentuk integral

2

exp( )exp2 /

2

ii i

i

i

i

zw z

adz

a

.


68


Fungsi

2

exp( )exp2 /

2

ii i

i

i

zw z

a

a

merupakan f.p.m dari variabel acak Zi yang

berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi 1/ai, dengan t diganti dengan wi.

Jadi,

2

2exp( )exp 12 /

exp 022

ii i

ii i

i i

i

zw z wa a

dz w

a

.

Jadi, diperoleh

2

1

exp( )exp2 /2

exp( )2

ii in

i

i

i i

i

zw z

aC ' ' dz

a

a

w L

2

1

12

exp( ) exp 02

n ii

i

i i

wa

C ' ' wa

w L

2

1

2exp( ) exp

2

ni

i i i

wC ' '

a a

w L

22

1

1 1

2 2exp( ) exp exp

2 2

n

n n

wwC ' '

a a a a

w L

22

1

1 1

(2 ) (2 )exp( ) exp

2 2

n

n n

wwC ' '

a a a a

w L

2

11

(2 )exp( ) exp

2

n ni

in i

wC ' '

a a a

w L . (2.211)

Seperti diketahui sebelumnya, bahwa L adalah matriks ortogonal, yaitu berarti

bahwa L–1

= L', maka

1 1 1 1( ) ( )' ' L AL L A L

1 1 1( )' L A L

1' L A L


69


1

12

1 0 0

10 0( )

10 0n

a

a'

a

L AL

1 2

1 1 1diag , , ,

na a a

. (2.212)

Berarti:

21

1

( )2

ni

i i

w' '

a

w L A L w

1' ' w L A Lw

1( ) ( )' Lw A Lw

1' t A t . (2.213)

1 1' A L A L

1 2

1 1 1

na a a . (2.214)

Dengan mensubstitusikan (2.205) dan (2.206) ke (2.203), maka diperoleh

2

11

(2 )exp( ) exp

2

n ni

in i

wC ' '

a a a

w L

11exp( ) (2 ) exp

2

n 'C '

t A tt A

11exp( ) (2 ) exp

2

n 'C '

t A tt A . (2.215)

Seperti telah dikemukakan sebelumnya bahwa jika t1 = t2 = ... = tn = 0, maka

integral (2.205) menjadi ruas kiri (2.204). Berarti bahwa jika t1 = t2 = ... = tn = 0,

maka bentuk (2.207) menjadi

11 1exp( ) (2 ) exp (2 )

2

n n'C ' C

t A tt A A ,

dan karena bentuk (2.215) adalah hasil dari penurunan integral (2.205), maka

1(2 ) 1nC A


70


1

1

(2 )nC

A. (2.216)

Jadi, terbukti bahwa

1 21

1 ( ) ( )( , , , ) exp

2(2 )n

n

'f x x x

x A x

A

,

, 1,2, ,ix i n (2.217)

adalah suatu f.k.p bersama dari variabel-variabel acak X1, X2, ..., Xn, yang bertipe

kontinu. F.k.p ini disebut f.k.p normal multivariat nonsingular.

Karena f(x1, x2, ..., xn) adalah f.k.p, maka integral (2.205) adalah f.p.m dari

X1, X2, ..., Xn yaitu

1

( ) ( )exp

2n

'C ' dx dx

x A xt x

11exp( ) (2 ) exp

2

n 'C '

t A tt A

11

1

1exp( ) (2 ) exp

2(2 )

n

n

''

t A tt A

A

1

exp( )exp2

''

t A tt

1

exp2

''

t A tt .

Jadi,

1

1( ) ( , ) exp2

n

'M M t t '

t A tt t . (2.218)

Matriks A–1

yaitu

11 12 1

21 22 21

1 2

n

n

n n nn

A (2.219)

adalah matriks kovariansi dari distribusi normal multivariat dan dinotasikan

dengan V. Jadi pada f.k.p dari distribusi normal multivariat dapat ditulis


71


1

1 2

1 ( ) ( )( , , , ) exp

2(2 )n

n

'f x x x

x V x

V

,

, 1,2, ,ix i n , (2.220)

dan f.p.m-nya adalah

( ) exp2

'M '

t Vtt t . (2.221)

2.22 Notasi Integral

Pada kasus multivariat, yaitu pada bab empat, akan digunakan notasi

integral tertentu yang jarang digunakan. Oleh karena itu pada bagian ini akan

didefinisikan suatu notasi integral yang akan digunakan selanjutnya.

Misalkan terdapat suatu vektor acak X = (X1, X2, ..., Xk)' dan terdapat suatu

fungsi u(X). Maka,

1 2 1 1( , , , ) ( )kk k ku x x x dx dx dx u d

x x , (2.222)

dengan 1 2, , , | , 1,2, ,k

k ix x x x i k .

2.23 Distribusi Nonsentral-t

Definisi 2.38.

Misalkan variabel acak W berdistribusi N(ε, 1), misalkan variabel acak V

berdistribusi 2

r , dan W dan V saling bebas. Bentuk

WT

Vr

(2.223)

disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter

ketidaksentralan ε dan dinyatakan oleh T ~ Tε;m. Jika ε = 0, dikatakan T

berdistribusi sentral-t (distribusi t).



BAB 3

VARIABEL ACAK YANG BERDISTRIBUSI

SKEW-NORMAL UNIVARIAT

Distribusi probabilitas data adalah penyebaran probabilitas data terkait

dengan suatu kejadian tertentu. Distribusi probabilitas sangat terkait dengan

variabel acak. Ada dua jenis variabel acak, yaitu variabel acak yang berdistribusi

probabilitas diskret dan kontinu. Setiap variabel acak memiliki ruang nilai.

Variabel acak yang berdistribusi probabilitas diskret adalah variabel acak yang

memiliki ruang nilai yang terhitung, sedangkan variabel acak yang berdistribusi

probabilitas kontinu adalah variabel acak yang memiliki ruang nilai yang tidak

terhitung.

Dalam banyak aplikasi, terdapat distribusi probabilitas data yang sangat

dikenal dan disukai karena karakteristik-nya, yaitu distribusi normal. Banyak

orang seringkali menggunakan distribusi ini di dalam menganalisis data. Namun,

pada kenyataannya banyak data yang ada di dalam kehidupan nyata tidak persis

berdistribusi normal, bahkan ada yang melenceng jauh. Pada kondisi demikian,

seringkali orang tetap menggunakan distribusi normal untuk menganalisis data.

Hasilnya, analisis data kurang memuaskan. Hasilnya menjadi kurang atau tidak

realistis. Oleh karena itu, tidak disarankan untuk melakukan analisis data dengan

menggunakan distribusi normal, pada keadaan di mana data tidak berdistribusi

normal, khususnya ketika data memiliki distribusi probabilitas data yang menceng

dan mempunyai heavy-tail.

Untuk mengatasi permasalahan tersebut, diperlukan distribusi probabilitas

data yang lain. Distribusi probabilitas tersebut adalah distribusi skew-normal.

Distribusi skew-normal merupakan perluasan dari distribusi normal dengan

memasukkan faktor kemencengan. Selain permasalahan yang telah disebutkan,

distribusi probabilitas ini juga dapat memfasilitasi data yang memiliki distribusi

probabilitas yang terpusat di sektar mean tetapi kurang atau tidak simetris.

Pada bab ini akan dibahas mengenai variabel acak yang berdistribusi skew-

normal untuk kasus univariat. Pada pembahasan di bab ini, akan terlihat bahwa

distribusi skew-normal ini dibangun dengan menggunakan distribusi normal


73


standar, tetapi memiliki bentuk distribusi yang berbeda dari distribusi normal

standar. Bentuk khusus dari distribusi ini merupakan distribusi normal standar,

yaitu jika faktor kemencengannya bernilai 0.

Seperti distribusi-distribusi probabilitas lainnya, distribusi skew-normal

juga mempunyai karakteristik-karakteristik tertentu. Pada bab ini akan dibahas

karakteristik-karakteristik dari distribusi skew-normal tersebut dan distribusi

skew-normal yang diperluas dengan memasukkan parameter location dan scale.

Karakteristik-karakteristik yang akan dibahas adalah fungsi kepadatan

probabilitas (f.k.p), fungsi distribusi, fungsi pembangkit momen (f.p.m), mean,

variansi, dan sifat-sifat distribusi skew-normal. Pada bagian akhir bab ini akan

diberikan perbandingan grafik f.k.p dari distribusi normal dan skew-normal, dan

contoh perhitungan probabilitas.

3.1 Fungsi Kepadatan Probabilitas

Misalkan Z adalah suatu variabel acak yang berdistribusi normal standar

N(0, 1), dengan fungsi kepadatan

2 /21( ) ,

2

zz e z

, (3.1)

dan fungsi distribusi

( ) ( )z

z u du

, (3.2)

serta berlaku

( ) ( )z z , (3.3)

( ) ( ) 1z z . (3.4)

Bentuk perkalian dari fungsi (3.1) dan (3.2) menghasilkan suatu fungsi

dari variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas yang baru. Lebih jelasnya,

misalkan terdapat suatu variabel acak X, di mana untuk setiap bilangan rill α,

fungsi

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < (3.5)


74


merupakan suatu fungsi dari variabel acak X. (x) adalah f.k.p dari variabel acak

yang berdistribusi N(0, 1). Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel acak yang

berdistribusi N(0 ,1), yaitu

( ) Pr ( )x

x Z x u du

. (3.6)

Selanjutnya, melalui syarat-syarat f.k.p, akan dibuktikan bahwa fungsi

(3.5) merupakan f.k.p dari variabel acak X.

Bukti:

Misalkan terdapat suatu variabel acak X dan fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah fungsi dari

variabel acak X yang memiliki ruang nilai {x | – < x < }, dan dinotasikan

dengan A.

(i) Akan dibuktikan bahwa fα(x) ≥ 0 x A = {x | – < x < } di mana

fα(x) = 2(x)Φ(αx),

Bukti:

Sesuai persamaan (3.1), (x) merupakan f.k.p dari variabel acak yang

berdistribusi N(0, 1), maka sesuai dengan syarat suatu f.k.p, (x) ≥ 0

x (– ∞, ∞).

Sesuai persamaan (3.2), Φ(αx) adalah fungsi distribusi dari variabel acak

X. Sesuai dengan sifat dari fungsi distribusi, pada bagian 2.5, maka

0 ≤ Φ(αx) ≤ 1.

Berarti Φ(αx) merupakan fungsi bernilai nonnegatif.

Maka, perkalian dari fungsi nonnegatif dengan fungsi nonnegatif akan

bernilai nonnegatif.

Jadi, terbukti fα(x) = 2(x)Φ(αx) ≥ 0 x A = {x | – < x < }

(ii) Akan dibuktikan bahwa 1f x dx

Bukti:

( ) 2 ( ) ( )f x dx x x dx

0

02 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x x dx x x dx

(3.7)


75


Perhatikan integral di bagian kiri dari (3.7), yaitu 0

2 ( ) ( )x x dx

.

Misalkan:

x = – p. dx = – dp.

Batas integrasinya:

Jika x = – ∞, maka p = ∞; jika x = 0, maka p = 0.

Jadi, diperoleh

0 0

2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( )]x x dx p p dx

0

2 ( ) [ ( )]( )p p dp

0

2 ( ) [ ( )]p p dp

0

2 ( ) [ ( )]p p dp

0

2 ( ) ( )p p dp

0

2 ( ) 1 ( )p p dp

0

2 ( ) 1 ( )x x dx

(3.8)

Substitusikan (3.8) ke (3.7), diperoleh

0

0( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x dx x x dx x x dx

0

2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )x x x x dx

0

2 ( ) 1 ( ) ( )x x x dx

0

2 ( ) 1x dx

0

2 ( )x dx

0

2 ( )x dx

1

22

1 .


76


Jadi, terbukti bahwa ( ) 1f x dx

.

Karena terbukti bahwa fungsi (3.5) memenuhi syarat-syarat f.k.p, berarti

fungsi (3.5) merupakan suatu f.k.p. Jadi, fungsi (3.5) merupakan f.k.p dari

variabel acak X dengan ruang nilai A = {x | – < x < }.

Pembuktian bahwa fungsi (3.5) adalah suatu f.k.p, dapat diperkuat dengan

menggunakan suatu lemma.

Lemma 3.1.

Jika f0 adalah fungsi kepadatan probabilitas satu dimensi yang simetris terhadap 0,

dan G adalah fungsi distribusi satu dimensi sedemikian sehingga G' ada dan

merupakan fungsi kepadatan yang simetris terhadap 0, maka

f(z) = 2f0(z)G{w(z)} (– < z < ) (3.9)

adalah fungsi kepadatan, dengan w(z) adalah sebarang fungsi ganjil.

Sebelum digunakan untuk memperkuat pembuktian bahwa fungsi (3.5)

adalah suatu f.k.p, berikut ini akan diuraikan pembuktian dari Lemma 3.1.

Bukti:

Misalkan Y dan X adalah variabel-variabel acak yang saling bebas.

f0(y) adalah f.k.p dari variabel acak Y, dan simetris terhadap 0.

G(x) adalah fungsi distribusi dari variabel acak X sedemikian sehingga G'(x) ada

dan merupakan f.k.p dari variabel acak X, dan simetris terhadap 0.

Perhatikan bentuk fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} yang memiliki ruang nilai

A = {z | – < z < }, di mana w(z) adalah sebarang fungsi ganjil.

f0(z) adalah f.k.p dari variabel acak Y dengan y = z.

G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel acak X, di mana x = w(z).

Akan dibuktikan bahwa fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} merupakan suatu f.k.p.

(i) Akan dibuktikan bahwa fungsi f(z) = 2f0(z)G{w(z)} ≥ 0 untuk – < z < .

Bukti:

f0(z) adalah f.k.p dari variabel acak Y, di mana y = z.

Maka, f0(z) ≥ 0 untuk – < z < , yaitu f0(z) fungsi yang nonnegatif.


77


G{w(z)} adalah fungsi distribusi dari variabel acak X, di mana x = w(z).

Berdasarkan sifat fungsi distribusi yang dibahas pada bagian 2.5, maka

0 ≤ G{w(z)} ≤ 1. Berarti G{w(z)} adalah fungsi yang nonnegatif.

Karena f0(z) dan G{w(z)} adalah fungsi-fungsi yang nonnegatif, maka

perkalian kedua fungsi tersebut juga nonnegatif.

Jadi, terbukti bahwa 2f0(z)G{w(z)} ≥ 0 untuk – < z < .

(ii) Akan dibuktikan bahwa ( ) 1f z dz

.

Bukti:

f(z) = 2f0(z)G{w(z)}

0( ) 2 ( ) ( )f z dz f z G w z dz

0

0 00

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )f z G w z dz f z G w z dz

. (3.10)

Perhatikan integral di bagian kiri, yaitu 0

02 ( ) { ( )}f z G w z dz .

Misalkan:

z = – p; z = – dp.

Batas integrasinya:

Jika z = – ∞, maka p = ∞; jika z = 0, maka p = 0.

Jadi, diperoleh

0 0

0 02 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )f z G w z dz f p G w p dp

00

2 ( ) ( ) ( )f p G w p dp

00

2 ( ) ( )f p G w p dp

00

2 ( ) ( )f p G w p dp

00

2 ( ) ( )f p G w p dp

00

2 ( ) 1 ( )f p G w p dp

00

2 ( ) 1 ( )f z G w z dz

. (3.11)


78


Kemudian, substitusikan (3.11) ke (3.10), diperoleh

0

0 00

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )f z dz f z G w z dz f z G w z dz

0 00 0

2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )f z G w z dz f z G w z dz

0 00

2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )f z G w z f z G w z dz

00

2 ( ) 1 ( ) ( )f z G w z G w z dz

00

2 ( ) 1f z dz

00

2 ( )f z dz

00

2 ( )f z dz

1

22

1 . (3.12)

Jadi, terbukti bahwa ( ) 1f z dz

.

Selanjutnya akan dibahas pembuktian bahwa fungsi (3.5) merupakan f.k.p

dengan menggunakan Lemma 3.1.

Bukti:

Perhatikan fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

(x) merupakan f.k.p dari variabel acak yang berdistribusi normal standar, yang

simetris terhadap 0.

Φ(x) merupakan fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal

standar.

Sesuai pada bagian 2.5, Φ'(x) = (x).

Selanjutnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa αx merupakan fungsi ganjil.

Misalkan w(x) = αx, α .

w(– x) = α(– x)

= – αx

= – w(x). (3.13)


79


Karena w(– x) = – w(x), maka terbukti αx merupakan fungsi ganjil.

Jadi, dengan menggunakan Lemma 3.1, diperfoleh bahwa fungsi

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x <

merupakan suatu f.k.p, dalam hal ini merupakan f.k.p dari variabel acak X.

Misalkan ruang nilai dari X adalah A = {x | – < x < }. Jadi, fungsi

fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah f.k.p dari variabel acak X dengan ruang nilai A.

Dari hasil bahwa fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx) adalah suatu f.k.p dari variabel

acak X dengan ruang nilai A = {x | – < x < }, diperoleh definisi:

Definisi 3.1.

Jika suatu variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan

fα(x) = 2(x)Φ(αx) (– < x < )

di mana dan Φ secara berurutan adalah f.k.p dan fungsi distribusi normal standar

N(0, 1), maka X adalah variabel acak berdistribusi skew-normal dengan parameter

α; atau dikatakan juga X adalah SN(α), atau dapat dinyatakan sebagai X ~ SN(α).

3.2 Fungsi Distribusi

Misalkan X ~ SN(α) dengan f.k.p fα(x), maka fungsi distribusi dari variabel

acak X dinotasikan dengan Fα(x). f.k.p dari variabel acak X adalah

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < . Untuk memperoleh fungsi distribusi dari variabel

acak yang berdistribusi skew-normal, diperlukan suatu fungsi yang disebut fungsi

T-Owen. Sesuai pada bagian 2.12, dari persamaan (2.39) fungsi T-Owen adalah

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

, h > – ∞, α < + ∞.

Fungsi distribusi dari variabel acak X adalah

( ) Pr( )F x X x

2 ( ) ( )x

u u du

(3.14)


80


( ) 2 ( ) ( )x u

F x u p dpdu

0

02 ( ) ( ) ( )

x u

u p dp p dp du

0

12 ( ) ( )

2

x u

u p dp du

( adalah f.k.p

normal standar)

0

( ) 2 ( ) ( )x x u

u du u p dpdu

0

( ) 2 ( ) ( )x u

x u p dpdu

. (3.15)

Perhatikan integral di bagian kanan, yaitu 0

2 ( ) ( )x u

u p dpdu

.

Misalkan:

p = βu; dp = u dβ.

Batas integrasinya:

Jika p = 0, maka β = 0; jika p = αu, maka β = α.

Jadi, diperoleh

0 02 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

x u x

u p dpdu u u ud du

02 ( ) ( )

x

u u ud du

02 ( ) ( )

x

u u udud

02 ( ) ( )

x

u u u dud

2 2( )

2 2

0

1 12

2 2

u ux

u e e dud

2 2 2

2 2

0

1 12

2 2

u ux

u e e dud

2 2 2

2 2

0

1 12

2 2

u ux

ue e dud

2 2 2

2 2

0

2

2

u ux

ue e dud


81


2 2 2

2 2

0 0

22 ( ) ( )

2

u ux u x

u p dpdu ue dud

2 2 2

2

0

2

2

u ux

ue dud

2 21

2

0

2

2

ux

ue dud

. (3.16)

Misalkan:

t = u2(1 + β

2), 2

21

tu

,

21

tu

.

2 2 2

22 1 2 1 2 1

1

tdt u du du t du

.

Batas integrasinya:

Jika u = – ∞, maka t = ∞; jika u = x, maka t = x2(1 + β

2).

Jadi, diperoleh

2 21

2

0 0

22 ( ) ( )

2

ux u x

u p dpdu ue dud

2 212

2 20

2

2 1 2 1

tx t dt

e dt

2 212

20

2

2 2 1

tx dt

e d

2 212

20

2 1

2 2 1

tx

e dtd

2 212

20

2 1lim

2 2 1

tx

bbe dtd

2 21

220

2 1lim

2 1

xt

bb

e d

2 21

2 220

2 1lim

2 1

x b

be e d


82


2 21

220 0

2 12 ( ) ( )

2 1

xx u

u p dpdu e d

2 21

220

1 12

2 1

x

e d

2 ( , )T x . (3.17)

Substitusikan (3.17) ke (3.15), maka diperoleh fungsi distribusi dari variabel acak

X, yaitu

( ) ( ) 2 ( , )F x x T x . (3.18)

3.3 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X ~ SN(α). Untuk mencari f.p.m dari variabel acak X, akan

digunakan suatu lemma, yaitu:

Lemma 3.2.

Jika U adalah variabel acak yang berdistribusi normal standar N(0, 1), maka

21

kE hU k

h

. (3.19)

untuk sebarang ,h k .

Sebelum digunakan untuk mencari f.p.m dari variabel acak X, Lemma 3.2

akan dibuktikan terlebih dahulu.

Bukti Lemma 3.2.:

Misalkan U ~ N(0, 1).

( ) ( )hu k

hu k p dp

, untuk sebarang ,h k . (3.20)

[ ( )] ( ) ( )E hU k hu k u du

. (3.21)

Kemudian ekspektasi (3.21) diturunkan terhadap k.


83


( ) ( )[ ( )]

hu k u duE hU k

k k

( ) ( )hu k u

duk

(Aturan Leibnitz)

( )

( )hu k

u duk

(3.22)

Perhatikan bagian ( )hu k

k

pada (3.22).

( )( )hu k

p dphu k

k k

(3.23)

Misalkan:

p = hu + s; dp = ds.

Batas integrasinya:

Jika p = – ∞, maka s = – ∞; jika p = hu + k, maka s = k.

Jadi, diperoleh

( )( )hu k

p dphu k

k k

( )

k

hu s ds

k

( )hu k . (3.24)

Substitusikan (3.24) ke (3.22), diperoleh

( )[ ( )]( )

hu kE hU ku du

k k

( ) ( )hu k u du

2 21 ( ) 1exp exp

2 22 2

hu k udu

2 21 ( )exp exp

2 2 2

hu k udu


84


2 2[ ( )] 1 ( )exp

2 2 2

E hU k hu k ue du

k

2 21 ( )exp

2 2 2

hu k udu

2 21 1exp ( )

2 2hu k u du

2 2 2 21 1

exp 22 2

h u hku k u du

2 2 2 21 1

exp 22 2

u h u hku k du

2 2 21 1

exp 1 22 2

u h hku k du

2

2 2 2

2

1 1 1exp 1 2

2 2 1

hu h hku k du

h

2 2 2

2 2

2

1 1exp 1 2

2 2 1

k h ku h hku du

h

2 21 1exp 1 2

2 2u h hku

2 2 2

2 21 1

h k kdu

h h

2 2

2

1 1 2exp 1

2 2 1

hkuh u

h

2 2 2

2 22 11

h k kdu

hh

2 2

2

1 1 2exp 1

2 2 1

hkuh u

h

2 2 2

2 22 2 11

h k kdu

hh


85


2 22 2

222

[ ( )] 1 1 2exp 1

2 2 1 1

E hU k hku h kh u

k h h

2

2exp

2 1

kdu

h

2

2

2

1 1exp 1

2 2 1

hkh u

h

2

2exp

2 1

kdu

h

.

2

2

2

1 1exp exp 1

2 22 1

kh

h

2

21

hku du

h

. (3.25)

Misalkan:

2

21

1

hkt h u

h

;

21dt h du atau 21

dtdu

h

.

Batas integrasinya:

Jika u = – ∞, maka t = – ∞; jika u = ∞, maka t = ∞.

Jadi, diperoleh

22

2

[ ( )] 1 1exp exp 1

2 22 1

E hU k kh

k h

2

21

hku du

h

22

2 2

1 1exp exp

2 22 1 1

k dtt

h h

22

22

1 1 1exp exp

2 22 11

kt dt

hh


86


2

22

[ ( )] 1 1 1exp

2 2 2 11

E hU k k

k hh

21exp

2t dt

22

22

1 1 1 1exp exp

22 22 11

kt dt

hh

2

22

1 1exp 1

2 2 11

k

hh

2

22

1 1exp

2 2 11

k

hh

2

22

1 1exp

2 2 11

k

hh

2 2

[ ( )] 1

1 1

E hU k k

k h h

. (3.26)

2 2

[ ( )] 1

1 1

k kE hU p pdp dp

p h h

. (3.27)

Misalkan:

21

pu

h

;

21

dpdu

h

.

Batas integrasinya:

Jika p = – ∞, maka u = – ∞; jika p = k, maka 21

ku

h

.

Jadi, diperoleh

2 2

1[ ( )]

1 1

k pE hU k dp

h h

2 21

2

11

1

k

h u h duh


87


21[ ( )] ( )k

hE hU k u du

21

k

h

. (3.28)

Jadi, terbukti bahwa 21

kE hU k

h

untuk sebarang ,h k .

Kemudian akan dicari f.p.m dari variabel acak X dengan menggunakan

Lemma 3.2.

( ) tX

XM t E e

( )txe f x dx

2 ( ) ( )txe x x dx

2 ( ) ( )txe x x dx

2

21

2 ( )2

x

txe e x dx

2

21

2 ( )2

x

txe e x dx

2

21

2 ( )2

xtx

e x dx

2 2

21

2 ( )2

x tx

e x dx

2 2 22

21

2 ( )2

x tx t t

e x dx

2 2( )

21

2 ( )2

x t t

e x dx


88


2 2( )

2 21

( ) 2 ( )2

x t t

XM t e e x dx

2 2( )

2 21

2 ( )2

t x t

e e x dx

. (3.29)

Misalkan:

u = x – t; du = dx.

Batas integrasinya:

Jika x = – ∞, maka u = – ∞; jika x = ∞, maka u = ∞.

Jadi, diperoleh

2 2( )

2 21

( ) 2 ( )2

t x t

XM t e e x dx

2 2

2 21

2 [ ( )]2

t u

e e u t du

. (3.30)

Bentuk fungsi

2

21

2

u

e

merupakan f.k.p dari variabel acak U yang berdistribusi

N(0, 1). Misalkan

2

21

( )2

u

u e

. Maka, diperoleh

2

2( ) 2 ( ) [ ( )]t

XM t e u u t du

2

22 { [ ( )]}t

e E U t

2

22 [ ( )]t

e E U t . (3.31)

Dengan menggunakan lemma 3.2, dengan h = α, k = αt, diperoleh

2

2( ) 2 { ( )}t

XM t e E U t

2

2

22

1

tt

e

. (3.32)

Didefinisikan δ di mana:

21

,


89


dengan , sehingga

2( 1,1)

1

. (3.33)

Maka f.p.m dari X adalah

2

2( ) 2 ( )t

XM t e t . (3.34)

3.4 Sifat-sifat dari Variabel Acak yang Berdistribusi Skew-Normal

Pada bagian 3.4 ini akan diuraikan sifat-sifat dari variabel acak yang

berdistribusi skew-normal, serta pembuktian dari sifat-sifatnya. Misalkan

X ~ SN(α), maka variabel acak X memiliki sifat-sifat:

1. Jika α = 0, maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana Z ~ N(0, 1).

Bukti:

Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1).

Maka, f.k.p dari Z adalah 21

( ) ,22

zz e z

, dan f.k.p dari X

adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞.

Pembuktian sifat ini akan terbagi menjadi tiga kasus, yaitu:

(i) Kasus pertama, untuk α = 0.

(ii) Kasus kedua, untuk α → + .

(iii) Kasus ketiga, untuk α → –

Kasus pertama, misalkan α = 0, berarti

0( ) 2 ( ) (0 )f x x x

2 ( ) (0)x

0

2 ( ) ( )x u du


90


0

1( ) 2 ( )

2f x x

( )x .

Karena f0(x) = (x), dan (x) adalah f.k.p dari variabel acak Z yang

berdistribusi normal standar, maka berarti terbukti X = Z untuk α = 0.

Kasus kedua, misalkan α → + .

Perhatikan untuk dua kasus lebih lanjut, yaitu kasus – < x 0 dan

0 < x < .

Untuk kasus – < x 0,

lim ( ) lim 2 ( ) ( )f x x x

2 2

2 21 1

lim 22 2

x ux

e e du

2 2

2 22 1

2 2

x u

e e du

2

22

02

x

e

0 .

Untuk kasus 0 < x < ,

lim ( ) lim 2 ( ) ( )f x x x

2 2

2 21 1

lim 22 2

x ux

e e du

2 2

2 22 1

2 2

x u

e e du

2

22

12

x

e

2

22

2

x

e

.

Jadi, untuk α → + ,


91


2

22

( ) , 02

0 , 0

x

f x e x

x

(3.35)

Karena fα(x) pada (3.35) merupakan f.k.p dari variabel acak |Z|, maka terbukti

bahwa untuk α → + , X = |Z| di mana Z ~ N(0, 1).

Kasus ketiga, misalkan α → – .

Perhatikan untuk dua kasus lebih lanjut, yaitu kasus – < x < 0 dan

0 x < .

Untuk kasus – < x < 0,

lim ( ) lim 2 ( ) ( )f x x x

2 2

2 21 1

lim 22 2

x ux

e e du

2 2

2 22 1

2 2

x u

e e du

2

22

12

x

e

2

22

2

x

e

.

Untuk kasus 0 x < ,

lim ( ) lim 2 ( ) ( )f x x x

2 2

2 21 1

lim 22 2

x ux

e e du

2 2

2 22 1

2 2

x u

e e du

2

22

02

x

e

0 .

Jadi, untuk α → – ,


92


2

22

( ) , 02

0 , 0.

x

f x e x

x

(3.36)

Karena fα(x) pada (3.36) merupakan f.k.p dari variabel acak – |Z|, maka

terbukti bahwa untuk α → – , X = – |Z| di mana Z ~ N(0, 1).

Jadi, dari pembuktian ketiga kasus yang ada, terbukti bahwa jika α = 0,

maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana Z ~ N(0, 1).

2. Jika X ~ SN(α), maka – X ~ SN(– α).

Bukti:

Misalkan X ~ SN(α), berarti fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞.

Misalkan Y = – X.

A = {x | – < x < }

Dengan transformasi y = – x diperoleh

B = {y | – < y < }

Karena A = {x | – < x < } dan B = {y | – < y < }, maka, y = – x adalah


Inversnya adalah:

x = – y; dx = – dy.

Jacobian-nya:

| J | = 1.

Maka dapat diperoleh

g(y) = fα(– y)| J |

= 2(– y)Φ{α(– y)}.1

= 2(– y)Φ{α(– y)}

= 2(y)Φ{α(– y)}

= 2(y)Φ{(– α)y)}. (3.37)


93


Persamaan (3.37) merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak yang

berdisitribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan – α. Jadi,

Y ~ SN(– α). Karena Y = – X, maka terbukti bahwa – X ~ SN(– α).

3. Jika X ~ SN(α), maka |X| dan |Z| berdistribusi identik.

Bukti:

Karena Z ~ N(0, 1), maka berdasarkan pada bagian 2.14, |Z| adalah variabel

acak yang berdistribusi half-normal, dengan ζ2 = 1.

Misalkan W = |Z|.

Maka, variabel acak W = |Z| yang berdistribusi half-normal memiliki f.k.p:

2

22

( ) , 02

0 , lainnya.

w

h w e w

(3.38)

Kemudian akan dicari distribusi dari |X|.

Misalkan X ~ SN(α).

Berarti fα(x) = 2(x)Φ(αx), – ∞ < x < ∞.

Misalkan Y = |X|.

A = {x | – < x < }.

Dengan transformasi y = |x| diperoleh

B = {y | 0 ≤ y < }.

Karena A = {x | – < x < } dan B = {y | 0 ≤ y < }, maka, y = |x| bukan



A1 = {x | – < x < 0}.

A2 = {x | 0 ≤ x < }.


A1 = {x | – < x < 0} → {y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < } → {y | 0 ≤ y < }.




94


permasalahan ini.



A = {x | – < x < , x 0}.

B = {y | 0 < y < }.

Inversnya adalah:

x = – y ; x = y,

dx = – dy ; dx = dy,

Jacobian-nya:

J1 = – 1 ; J2 = 1,

| J1 | = 1 ; | J2 | = 1.

Misalkan B B.

A3 = {x | x = – y, y B} A1.

A4 = {x | x = y, y B} A2.

Kemudian diperoleh

3 4Pr( ) Pr( ) Pr( )Y B X A X A

3 4

( ) ( )A A

f x dx f x dx

1 2( ) | | ( ) | |B B

f y J dy f y J dy

( ) 1 ( ) 1B B

f y dy f y dy

( ) ( )B B

f y dy f y dy

2 ( ) { ( )} 2 ( ) ( )B B

y y dy y y dy

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )B B

y y dy y y dy

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )B B

y y dy y y dy

2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) ( )B B

y y dy y y dy

2 ( ) 1 ( ) ( )B

y y y dy


95


Pr( ) 2 ( ) 1B

Y B y dy

2 ( )B

y dy

2

21

22

y

B

e dy

2

22

2

y

B

e dy

. (3.39)

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah:

2

22

( ) , 02

0 , lainnya.

y

g y e y

(3.40)

Karena, f.k.p dari variabel acak Y = |X| dan f.k.p dari variabel acak W = |Z|

sama, maka terbukti bahwa |X| dan |Z| memiliki distribusi identik, yaitu

distribusi half-normal, dengan ζ = 1.

4. 1 – Fα(– x) = F– α(x).

Bukti:


Fungsi kepadatan dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), untuk ruang

nilai A = {x | – < x < }.

( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x x

F x u u du u u du

.

( ) 2 ( ) ( )x

F x u u du

. (3.41)

1 ( ) 1 2 ( ) ( )x

F x u u du

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )x

u u du u u du

2 ( ) ( )x

u u du

. (3.42)

Dengan menggunakan metode substitusi:


96


Misalkan:

u = – p ; du = – dp.

Batas integrasinya:

Jika u = – x, maka p = x; jika u = ∞, maka p = – ∞.

Jadi, diperoleh

1 ( ) 2 ( ) { ( )}( )x

F x p p dp

2 ( ) { ( )}( )x

p p dp

2 ( ) { ( )}x

p p dp

2 ( ) { ( )}x

p p dp

2 ( ) {( ) }x

p p dp

( )F x . (3.43)

Jadi terbukti bahwa 1 – Fα(– x) = F– α(x).

5. F1(x) = {Φ(x)}2.

Bukti:


Fungsi distribusi dari variabel acak X sesuai (3.18) adalah

Fα(x) = Φ(x) – 2T(x, α).

Fungsi T-Owen mempunyai sifat (2.42):

2T(h, 1) = Φ(h)Φ(– h), h > 0.

Dari (3.18) dan dengan menggunakan sifat fungsi T-Owen, maka dapat

diperoleh:

F1(x) = Φ(x) – 2T(x, 1)

= Φ(x) – Φ(x)Φ(– x)

= Φ(x) – Φ(x)[1 – Φ(x)]

= Φ(x) – Φ(x) + {Φ(x)}2

= {Φ(x)}2.

(3.44)

Jadi, terbukti bahwa F1(x) = {Φ(x)}2.


97


6. Jika X ~ SN(α), maka 2 2

1~X , yaitu suatu variabel acak berdistribusi chi-

square dengan derajat bebas = 1.

Bukti:


Fungsi kepadatan dari variabel acak X adalah fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

Misalkan Y = X2.

A = {x | – < x < }.

Dengan transformasi y = x2 diperoleh

B = {y | 0 ≤ y < }.

Karena A = {x | – < x < } dan B = {y | 0 ≤ y < }, maka, y = x2 bukan



A1 = {x | – < x < 0}.

A2 = {x | 0 ≤ x < }.


A1 = {x | – < x < 0} → {y | 0 < y < }.

A2 = {x | 0 ≤ x < } → {y | 0 ≤ y < }.



permasalahan ini.



A = {x | – < x < , x 0}.

B = {y | 0 < y < }.

Inversnya adalah:

x y ; x y ,

1

2dx dy

y

; 1

2dx dy

y ,


98


Jacobian-nya:

1

1

2J

y ; 2

1

2J

y ,

1

1| |

2J

y ; 2

1| |

2J

y .

Misalkan B B.

3 1{ | , }A x x y y B A .

4 2{ | , }A x x y y B A .

Kemudian diperoleh

3 4Pr( ) Pr( ) Pr( )Y B X A X A

3 4

( ) ( )A A

f x dx f x dx

1 2| | | |B B

f y J dy f y J dy

1 1

2 2B B

f y dy f y dyy y

12

2B

y y dyy

12

2B

y y dyy

1 1

B B

y y dy y y dyy y

1

B

y y y dyy

11

B

y dyy

1

B

y dyy

21 1

2

y

B

e dyy


99


1

2 21

Pr( )2

y

B

Y B y e dy

1

2 21

2

y

B

y e dy

. (3.45)

Jadi, f.k.p dari variabel acak Y adalah:

1

2 21

( ) , 02

0 , lainnya.

y

g y y e y

(3.46)

Bentuk fungsi 1

2 21

( )2

y

g y y e

merupakan f.k.p dari variabel acak yang

berdistribusi Gamma dengan α = ½ dan β = 2, atau Y ~ Γ(½, 2), atau berarti

2

1~Y .

Karena Y = X2, berarti terbukti bahwa X ~ SN(α), maka 2 2

1~X .

7. Sebuah variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < , jika

dan hanya jika X mempunyai representasi

2

1 21X Z Z , (3.47)

di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan

2( 1,1)

1

. (3.48)

Bukti:

Misalkan Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas.

Dari bagian 2.17, telah dibuktikan bahwa |Z1| dan Z2 saling bebas.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat ke-7 dari distribusi skew-normal ini

berlaku.

Bukti akan dibagi ke dalam dua bagian, bukti () dan bukti ().

() Akan dibuktikan bahwa: jika variabel acak X mempunyai representasi


100


2

1 21X Z Z , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1)

yang saling bebas, dan 2

( 1,1)1

, maka X mempunyai f.k.p

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

Bukti:

Misalkan variabel acak X mempunyai representasi 2

1 21X Z Z , di

mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan

2( 1,1)

1

.

Dari (2.58), diperoleh f.p.m dari |Z1|, yaitu

1

2

| |( ) 2exp ( )2

Z

tM t t

,

dan dari (2.36), diperoleh f.p.m dari Z2, yaitu

2

2

( ) exp2

Z

tM t

.

Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat diperoleh:

( ) tX

XM t E e

2

1 2exp 1E t Z Z

2

1 2exp 1E t Z t Z

2

1 2exp exp 1E t Z t Z

2

1 2exp exp 1E t Z E t Z

2

22 1( )

2exp ( ) exp2 2

ttt

2 22 2 1

2exp ( ) exp2 2

ttt


101


2 22 2 1( ) 2exp exp ( )

2 2X

ttM t t

2 22 2 1

2exp ( )2 2

ttt

2 2 2 21

2exp ( )2

t tt

2 2 21

2exp ( )2

tt

2 1

2exp ( )2

tt

2

2exp ( )2

tt

. (3.49)

Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi probabilitas tertentu, sesuai

dengan hasil di atas, maka diperoleh bahwa X merupakan variabel acak yang

berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan α.

Karena X ~ SN(α), berarti f.k.p dari X adalah fungsi fα(x) = 2(x)Φ(αx),

– < x < , maka terbukti bahwa jika variabel acak X mempunyai

representasi 2

1 21X Z Z , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel

acak N(0, 1) yang saling bebas, dan 2

( 1,1)1

, maka X mempunyai

f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

() Akan dibuktikan bahwa: jika variabel acak X mempunyai f.k.p (3.5),

maka X mempunyai representasi 2

1 21X Z Z , di mana Z1, Z2 adalah

variabel-variabel acak N(0, 1) yang saling bebas, dan

2( 1,1)

1

.


102


Bukti:

Misalkan variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx), untuk ruang

nilai A = {x |– < x < }.

Dengan membalik cara kerja bukti ():

( ) tX

XM t E e

2

2exp ( )2

tt

2 2 2( 1 )2exp ( )

2

tt

2 2 2 2(1 )

2exp ( )2

t tt

2 2 2 2(1 )

2exp ( )2 2

t tt

2 2 2 2(1 )

2exp exp ( )2 2

t tt

2 2 2 2(1 )

2exp ( )exp2 2

t tt

22

2 1( )2exp ( ) exp

2 2

ttt

22

2 1( )2exp ( ) exp

2 2

ttt

2

1 2exp exp 1E t Z E t Z

2

1 2exp exp 1E t Z t Z

2

1 2exp 1E t Z t Z

2

1 2exp 1E t Z Z

. (3.50)


103


Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi yang spesifik, dan

2

1 2exp 1tXE e E t Z Z

, maka terbukti bahwa variabel acak X

mempunyai representasi 2

1 21X Z Z .

Jadi, terbukti bahwa suatu variabel acak X mempunyai f.k.p (3.5) jika dan

hanya jika X mempunyasi representasi (3.47), di mana Z1 dan Z2 merupakan

variabel-variabel acak yang berdistribusi N(0, 1) yang saling bebas, dan

2( 1,1)

1

.

8. Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi normal standar

N(0, 1) dan saling bebas. Jika variabel acak X mempunyai representasi

X = a|Z1| + bZ2, maka

2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2

1 22

( ) ( ) | | ( ) ~1

a b X a b a Z a b bZ SN

, (3.51)

di mana 2 2 1/2( )a b a adalah koefisien dari |Z1|.

Bukti:

Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi N(0, 1) yang

saling bebas, dan misalkan X mempunyai representasi X = a|Z1| + bZ2.

Jadi diperoleh:

2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2

1 2( ) ( ) | | ( )a b X a b a Z a b bZ .

Misalkan 2 2 1/2

1 1( ) | |W a b a Z dan 2 2 1/2

2 2( )W a b bZ .

Berdasarkan (2.36) dan (2.58), diperoleh:

1

1

2| |

| |( ) 2exp ( )2

t Z

Z

tM t E e t

.

2

2

2

( ) 2exp2

tZ

Z

tM t E e

.

Dengan teknik f.p.m dapat dicari f.p.m marjinal dari W1 dan W2, yaitu


104


1

1( ) tW

WM t E e

2 2 1/2

1( ) | |t a b a ZE e

21/2

2 2

2 2 1/22exp ( )2

t a b a

a b at

12 2 2 2

2 2 1/22exp ( )2

t a b aa b at

2 2

2 2 2 22exp

2

a t at

a b a b

. (3.52)

2

2( ) tW

WM t E e

1/22 2

2t a b bZE e

21/2

2 2

exp2

a b bt

12 2 2 2

exp2

a b b t

2 2

2 2exp

2

b t

a b

. (3.53)

Misalkan 1 2Y W W . Maka, dengan menggunakan teknik f.p.m dapat

diperoleh

( ) tY

YM t E e

1 2( )t W WE e

1 2tW tWE e

1 2tW tWE e e


105


1 2( ) tW tW

YM t E e E e

2 2 2 2

2 2 2 22 22exp exp

2 2

a t at b t

a b a ba b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22exp exp

2 2

a t b t at

a b a b a b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22exp

2 2

a t b t at

a b a b a b

2 2 2 2

2 2 2 22exp

2

a t b t at

a b a b

2 2 2

2 2 2 22exp

2

a b t at

a b a b

2

2 22exp

2

t at

a b

. (3.54)

Bentuk persamaan (3.54) merupakan bentuk f.p.m dari suatu variabel acak

yang berdistribusi skew-normal, dengan 2 2

a

a b

. Dari (3.33), diketahui

bahwa 2

( 1,1)1

. Maka diperoleh

21

.

Karena sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi tertentu, maka variabel

acak Y berdistribusi skew-normal dengan parameter kemencengan

21

, dengan

2 2

a

a b

. Karena

1 2Y W W , dan

2 2 1/2

1 1( ) | |W a b a Z dan 2 2 1/2

2 2( )W a b bZ , jadi terbukti bahwa

2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2

1 2( ) ( ) | | ( )a b X a b a Z a b bZ ~21

SN

,



106


9. Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

2 2 2 2 2~

(1 )

aZ bX bSN

a b a b

(3.55)

untuk sebarang ,a b .

Bukti:

Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas. Dari (3.34) dan (2.36):

2

( ) 2exp ( )2

tX

X

tM t E e t

.

2

( ) exp2

tZ

Z

tM t E e

.

Misalkan 2 2

aZW

a b

dan

2 2

bXY

a b

.

Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat dicari f.p.m-f.p.m dari variabel-

variabel acak W dan Y, yaitu:

( ) Wt

WM t E e

2 2

aZt

a bE e

2

2 2

exp2

at

a b

2 2

2 2

exp2

a t

a b

2 2

2 2exp

2

a t

a b

. (3.56)


107


( ) tY

YM t E e

2 2

bXt

a bE e

2

2 2

2 22exp

2

bt

ba bt

a b

2 2

2 2

2 22exp

2

b t

bta b

a b

2 2

2 2 2 22exp

2

b t bt

a b a b

. (3.57)

Misalkan U = W + Y, dari f.p.m W dan Y, maka dapat diperoleh f.p.m dari U

dengan menggunakan teknik f.p.m, yaitu

( ) tU

UM t E e

( )t W YE e

tW tYE e

tW tYE e e

tW tYE e E e

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2exp 2exp

2 2

a t b t bt

a b a b a b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2exp exp 2

2 2

a t b t bt

a b a b a b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2exp 2

2 2

a t b t bt

a b a b a b


108


2 2 2 2

2 2 2 2( ) exp 2

2U

a t b t btM t

a b a b

2 2 2

2 2 2 2exp 2

2

a b t bt

a b a b

2

2 2exp 2

2

t bt

a b

2

2 22exp

2

t bt

a b

2

2 22exp

2

t bt

a b

. (3.58)

Bentuk persamaan (3.58) merupakan bentuk f.p.m dari U adalah bentuk f.p.m

dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan

2

**

*1

dan dengan

*

2 2

b

a b

.

Dari (3.33), diketahui bahwa 2

( 1,1)1

, dan diperoleh bahwa

21

.

Karena 2

**

*1

dan

*

2 2

b

a b

, maka diperoleh

2

**

*1

2 2

2

2 21

b

a b

b

a b


109


2 2*

2 2

2 21

b

a b

b

a b

2 2

2 2 2 2

2 2

b

a b

a b b

a b

2 2

2 2 2 22 2

b a b

a b ba b

2 2 2 2

b

a b b

. (3.59)

Karena 21

, maka

*

2 2 2 2

b

a b b

2

2

2 2 2

2

1

1

b

a b b

2

22 2 2

2

1

1

b

a b b

2

2 22 2

2

1

1

b

ba b

2

2 2 2 2 2 2

2

1

1 1

1

b

a b b


110


2*

2 2 2 2 2 2 2

2

1

1

1

b

a b b b

2

2 2 2

2

1

1

1

b

a b

2

2 2 22

1

11

b

a b

2 2 21

b

a b

. (3.60)

Karen sifat f.p.m yang unik untuk suatu distribusi tertentu, maka variabel acak

2 2

aZ bXU

a b

berdistribusi skew-normal dengan faktor kemencengan

*

2 2 21

b

a b

.

Karena 2 2 2 2 2 2

aZ bX aZ bXU W Y W

a b a b a b

, maka terbukti

bahwa

2 2 2 2 21

aZ bX bSN

a b a b

.

10. Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

2~

2 2

X ZSN

. (3.61)

Bukti:

Misalkan X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas.

2

X Z merupakan bentuk khusus dari

2 2

aZ bX

a b

, yaitu pada saat a = b = 1.


111


Berdasarkan sifat 9,

2 2 2 2 21

aZ bX bSN

a b a b

, maka, jika a = b = 1

diperoleh

2 22 2 2 2

1

1 1 21 1 1 1

b

a b

. (3.62)

Jadi, terbukti bahwa 2

~2 2

X ZSN

.

11. Jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi 0, i = 1, 2. Maka, secara umum,

X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal.

Bukti:

Misalkan X1 ~ SN(α1) dan X2 ~ SN(α2) saling bebas dengan αi 0, i = 1, 2.

1 2

1 2( )

t X X

X XM t E e

1 2tX tXE e

1 2tX tXE e e

1 2tX tXE e E e

2 2

1 22exp ( ) 2exp ( )2 2

t tt t

2

1 24exp ( ) ( )t t t . (3.63)

Karena bentuk (3.63) berbeda dari f.p.m dari variabel acak skew-normal,

yaitu

2

2( ) 2 ( )t

XM t e t , maka X1 + X2 tidak berdistribusi skew-normal.

Jadi, terbukti bahwa jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi 0, i = 1, 2,

maka secara umum, X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal. Sifat 11 ini

menunjukkan bahwa distribusi skew-normal univariat ini tidak memiliki sifat

ketertutupan terhadap operasi penjumlahan.


112


3.5 Mean dan Variansi

Misalkan X ~ SN(α). Untuk mencari mean dan variansi dari variabel acak

X, akan digunakan f.p.m (3.34), yaitu

2

( ) 2exp ( )2

tM t t

,

dengan 2

( 1,1)1

.

Dengan menggunakan (2.19) dan (2.20), mean dan variansi dari variabel acak X

adalah:

( ) (0)'

XE X M ,

2

2 2 2Var( ) ( ) (0) (0)'' ''

X XX E X E X M M .

Dari (3.34) diperoleh:

2 2

( ) 2exp ( ) 2exp ( )2 2

t

X

t tM t t u du

.

Mean dan variansi dari variabel acak X akan dicari dengan menggunakan f.p.m,

yaitu mencari turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak X terlebih

dahulu.

2 2

( ) 2exp ( ) 2exp ( )2 2

t'

X

t tM t t u du t

2 2

2 exp ( ) 2exp ( )2 2

tt tt u du t

2 2

2 exp 2 exp ( )2 2

t tt t t

. (3.64)

2 2

( ) 2exp ( ) 2 exp ( )2 2

t t''

X

t tM t u du t t u du

2 2

2 exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t t

2

22 exp ( ) ( )2

tt t

.


113


2 22( ) 2exp ( ) 2 exp ( )

2 2

t t''

X

t tM t u du t u du

2 2

34 exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t t

2 2 2

22exp 2 exp 4 exp ( )2 2 2

t t tt t t t t

2

32 exp ( )2

tt t

. (3.65)

1 2(0) 2 (0) 2

2M'

. (3.66)

0 1(0) 2 ( ) 2 1

2M'' u du

. (3.67)

Kemudian dicari momen pertama dan kedua, serta variansinya dengan

menggunakan persamaan (2.18), (2.19), dan (2.20).

2( ) (0)E X M'

. (3.68)

2( ) (0) 1E X M'' . (3.69)

22Var( ) ( )X E X E X

2

21

2 21

22

1

. (3.70)

Jadi, mean dan variansi dari variabel acak X adalah

2( )E X

,

22Var( ) 1X

.


114


3.6 Perluasan: Famili Location-Scale

Bentuk distribusi skew-normal yang dibahas pada subbab-subbab

sebelumnya merupakan bentuk distribusi skew-normal yang hanya memfasilitasi

distribusi probabilitas data di sekitar 0. Sedangkan kenyataannya ada banyak data

yang memiliki distribusi probabilitas data tidak hanya di sekitar 0. Oleh karena

itu, pada subbab 3.6 ini akan dibahas bentuk perluasan dari distribusi skew-normal

yang telah dibahas sebelumnya, yaitu dengan memasukkan dua parameter baru,

yaitu parameter location dan scale, yang secara berurutan dinyatakan oleh dan

, di mana dan > 0.

Jadi, untuk sebarang variabel acak X ~ SN(α), didefinisikan variabel

acak skew-normal yang umum oleh

Y = + X, (3.71)

dan Y ditulis Y ~ SN(, , α) untuk variabel acak ini.

Pada subbab ini juga akan dibahas dan diperkenalkan karakteristik-

karakteristik dari distribusi skew-normal yang diperluas ini.


Untuk memperoleh f.k.p dari variabel acak Y, akan digunakan teknik

transformasi variabel.

Misalkan X ~ SN(α). Maka, sesuai persamaan (3.5), f.k.p dari variabel acak X

adalah

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

Misalkan Y = + X.

A = {x | – < x < }.

B = {y | – < y < }.

y = + x adalah transformasi satu-satu.

Inversnya adalah:

yx

;

1dx dy

.


115


Jacobian-nya:

1J

;

1| |J

.

Jadi, diperoleh

( ) | |y

g y f J

1y

f

1

2y y

2 y y

.

Jadi, f.k.p untuk variabel acak Y = + X adalah

2( ; , , ) ,

y yg y y

. (3.72)

3.6.2 Fungsi Distribusi

Misalkan Y ~ SN(, , α). Dari persamaan (3.72), diperoleh f.k.p dari

variabel acak Y, yaitu

2( ; , , ) ,

y yg y y

.

Dengan menggunakan definisi dari fungsi distribusi, maka fungsi distribusi dari

dari variabel acak Y adalah

( ) Pr( )G y Y y

2y u u

du

2

( )u

y up dpdu


116


0

0

2( ) ( ) ( )

uy u

G y p dp p dp du

0

2 1( )

2

uy u

p dp du

0

1 2( )

uy yu u

du p dpdu

. (3.73)

Perhatikan integral di bagian kiri, yaitu 1y u

du

.

Misalkan:

ut

;

1dt du

.

Batas integrasinya:

Jika u = – ∞, maka t = – ∞; jika u = y, maka y

t

.

Jadi, diperoleh

1( )

yy u y

du t dt

. (3.74)

Substitusikan (3.74) ke (3.73), sehingga diperoleh

0

2( ) ( )

uyy u

G y p dpdu

. (3.75)

Perhatikan integral di bagian kanan, yaitu 0

2( )

uy u

p dpdu

.

Misalkan:

ur

;

1dr du

.

Batas integrasinya:

Jika u = – ∞, maka r = – ∞; jika u = y, maka y

r

.

Jadi, diperoleh


117


0 0

2 2( ) ( ) ( ) ( )

u yy ru

p dpdu r p dp dr

0

2( ) ( )

yr

r p dpdr

0

2 ( ) ( )y

r

r p dpdr

. (3.76)

Misalkan:

p r ; dp rd .

Batas integrasinya:

Jika p = 0, maka β = 0; jika p = αr, maka β = α.

Jadi, diperoleh

0 0

2( ) 2 ( ) ( )

u yy ru

p dpdu r p dpdr

0

2 ( ) ( )y

r r rd dr

0

2 ( ) ( )y

r r rd dr

0

2 ( ) ( )y

r r rdrd

0

2 ( ) ( )y

r r rdrd

2 2( )

2 2

0

1 12

2 2

y r r

e e rdrd

2 2( )

2 2

0

1 12

2 2

y r r

e e rdrd

2 2( )

2 2

0

12

2

y r r

e e rdrd

2 2( )

2 2

0

12

2

y r r

e e rdrd

2 2 2

2 2

0

2

2

y r r

e e rdrd


118


2 2 2

2 2

0 0

2 2( )

2

u y r ry u

p dpdu e rdrd

2 2 2

2

0

2

2

y r r

e rdrd

2 21

2

0

2

2

ry

e rdrd

. (3.77)

Misalkan:

2 21s r ; 22 1ds r dr .

Batas integrasinya:

Jika r = – ∞, maka s = ∞; Jika y

r

, maka

2

21y

.

Jadi, diperoleh

2 21

2

0 0

2 2( )

2

ru yy u

p dpdu e rdrd

2

212

20

2 1

2 2 1

y s

e dsd

2

212

20

2 1

2 2 1

y s

e dsd

221

0

2lim

2

y

bb

2

2

1

2 1

s

e dsd

20

2 1lim

2 2 1b

2

21

22

ys

b

e d


119


20 0

2 2 1( ) lim

2 2 1

uy

b

up dpdu

221

22 2

y

be e d

2

21

2

20

2 12

2 2 1

y

e d

2

21

2

20

2 1

2 1

y

e d

2

21

2

20

1 12

2 1

y

e d

2 ,y

T

. (3.78)

Substitusikan (3.78) ke (3.75), sehingga diperoleh fungsi distribusi dari variabel

acak Y, yaitu

( ) 2 ,y y

G y T

. (3.79)

3.6.3 Fungsi Pembangkit Momen

Misalkan X ~ SN(α). Dari persamaan (3.34), diketahui f.p.m dari variabel

acak X adalah

2

( ) 2exp ( )2

tX

X

tM t E e t

.

Dengan menggunakan teknik f.p.m, dapat diperoleh f.p.m dari variabel acak Y,

yaitu:

Misalkan Y = + X.


120


( ) tY

YM t E e

t XE e

t t XE e

t t XE e e

t t Xe E e

2( )

exp( ) 2exp { ( )}2

tt t

2( )

2exp( )exp { ( )}2

tt t

2( )

2exp { ( )}2

tt t

2 2

2exp { ( )}2

tt t

2 2

2exp { ( )}2

tt t

2 2

2exp { ( )}2

tt t

2 2

2exp ( )2

tt t

.

Jadi, f.p.m dari variabel acak Y ~ SN(, , α) adalah

2 2

( ) 2exp ( )2

Y

tM t t t

. (3.80)

3.6.4 Mean dan Variansi

Pada bagian ini akan diuraikan cara memperoleh mean dan variansi

dari variabel acak Y. Cara yang digunakan serupa dengan cara memperoleh


121


mean dan variansi dari variabel acak skew-normal X pada subbab 3.5.

Misalkan Y ~ SN(, , α). Dari (3.80) diperoleh:

2 2

( ) 2exp ( )2

Y

tM t t t

2 2

2exp ( )2

ttt u du

.

Mean dan variansi dari variabel acak Y akan dicari dengan menggunakan f.p.m,

yaitu mencari turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak Y terlebih

dahulu.

2 2

2( ) 2exp ( )2

t'

Y

tM t t t u du

2 2

2exp ( )2

tt t

2 2

22 exp ( )2

ttt t u du

2 2

2 exp ( )2

tt t

2 2

22 exp2

tt t t

2 2

2 exp ( )2

tt t

. (3.81)

2 22( ) 2 exp ( )

2

t''

Y

tM t t u du

2 2

2 22 exp ( )2

ttt t t u du

2 2

22 exp ( )2

tt t t


122


2 2

22 exp ( )2

tt t t

2 2

2 22 exp ( )2

tt t t

.

2 2

22 2( ) 2 exp ( ) 2

2

''

Y

tM t t t t

2 2 2 2

2exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t t t

2 2

22 exp ( )2

tt t t

2 2

3 32 exp ( )2

tt t t

2 2

22 22 exp ( ) 2

2

tt t t

2 2 2 2

2exp ( ) 4 exp ( )2 2

t tt t t t t

2 2

3 32 exp ( )2

tt t t

. (3.82)

Setelah diperoleh turunan pertama dan kedua dari f.p.m dari variabel acak Y,

kemudian dicari momen pertama dan kedua dari variabel acak Y.

0

(0) 2 ( ) 2 (0)'

YM u du

1 12 2

2 2

2

2

2

. (3.83)


123


2 2(0) 2 (0) 2 (0) 4 (0)''

YM

2 21 1 12 2 4

2 2 2

2 2 22

. (3.84)

Dengan menggunakan (2.18), (2.19), dan (2.20) diperoleh:

2( ) (0)YE Y M

'

. (3.85)

2 2 2 2(0) 2YE Y M

''

. (3.86)

22Var( ) ( )Y E Y E Y

2

2 2 2 22

2 2 2 2 22 2 2

2 2

2 2 22

22 2

1

. (3.87)

Jadi, mean dan variansi dari Y adalah

2( ) (0)YE Y M

'

,

22 2

Var( ) 1Y

.

3.7 Perbandingan Grafik Normal dan Skew-Normal

Pada bagian ini akan diberikan perbandingan antara grafik f.k.p dari

distribusi normal dengan grafik f.k.p dari distribusi skew-normal.


124


Gambar 3.1 Grafik Distribusi Normal Standar

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Skew-Normal

Pada Gambar 3.1 diberikan contoh grafik distribusi normal standar. Pada

Gambar 3.2 diberikan grafik dari distribusi skew-normal dengan f.k.p (3.5) ketika

faktor kemencengan α = 0, ± 1, ± 4. Terlihat bahwa grafik distribusi skew-normal

pada α = 0 berbentuk simetris, sama seperti pada Gambar 3.1. Dari Gambar 3.2

terlihat bahwa semakin tinggi nilai α, grafik semakin menceng ke kanan (menceng

positif). Begitu juga sebaliknya, semakin rendah nilai α, grafik semakin menceng

ke kiri (menceng negatif). Bentuk grafik untuk nilai α dan – α sama, hanya

berbeda arah kemencengan.


125


3.8 Contoh

Pada bagian 3.8 ini akan diberikan contoh perhitungan probabilitas dari

suatu variabel acak yang berdistribusi skew-normal.

Misalkan X ~ SN(α). Berarti f.k.p dari variabel acak X adalah

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < .

Dari (3.18), fungsi distribusi dari variabel acak X adalah

( ) ( ) 2 ( , )F x x T x ,

dengan

2 2

20

1exp 1

1 2( , )

2 1

h x

T h dxx

, h > – ∞, α < + ∞.

Nilai-nilai dari T(h, α) diberikan pada bagian tabel.

Misalkan α = 0.

Pr(X 1) = F0(1)

= Φ(1) – 2T(1, 0)

= 0,8413 – 2.0

= 0,8413.

Misalkan α = 0.

Pr(X – 1) = F0(– 1)

= Φ(– 1) – 2T(– 1, 0)

= 1 – 0,8413 – 2.0

= 0,1587.

Misalkan α = 1.

Pr(X 1) = F1(1)

= Φ(1) – 2T(1, 1)

= 0,8413 – 2(0,066742)

= 0,707816.


126


Misalkan α = – 1.

Pr(X 1) = F–1(1)

= Φ(1) – 2T(1, –1)

= Φ(1) + 2T(1, 1)

= 0,8413 + 2(0,066742)

= 0,97484.

Misalkan α = 1.

Pr(X –1) = F1(–1)

= Φ(–1) – 2T(–1, 1)

= 1 – Φ(1) – 2T(1, 1)

= 1 – 0,8413 – 2(0,066742)

= 0,025216.

Misalkan α = – 1.

Pr(X –1) = F–1(–1)

= Φ(–1) – 2T(–1, –1)

= 1 – Φ(1) + 2T(–1, 1)

= 1 – Φ(1) + 2T(1, 1)

= 1 – 0,8413 + 2(0,066742)

= 0,292184.



BAB 4

VEKTOR ACAK YANG BERDISTRIBUSI

SKEW-NORMAL MULTIVARIAT

Sebelumnya, yaitu pada bab tiga, telah dibahas mengenai karakteristik-

karakteristik dari variabel acak yang berdistribusi skew-normal univariat. Ketika

menerapkan distribusi skew-normal di dalam inferensi statistik, seringkali

dibutuhkan untuk mendiskusikan distribusi bersama dari suatu sampel acak dari

populasi. Hal ini mengakibatkan dibutuhkannya pembahasan mengenai distribusi

skew-normal multivariat. Pada bab ini akan dibahas mengenai karakteristik-

karakteristik dari vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat,

kemudian secara khusus dibahas kasus bivariat.

Perhatikan bentuk f.k.p dari variabel acak X yang berdistribusi skew-

normal untuk kasus univariat dari persamaan (3.5), yaitu

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < ,

di mana (x) adalah f.k.p dan Φ(αx) adalah fungsi distribusi, dari variabel acak

yang berdistribusi N(0 ,1), serta α .

4.1 Distribusi Skew-Normal Multivariat

Pada bagian 4.1 ini akan dibahas karakteristik-karakteristik dari vektor

acak yang berdistribusi skew-normal multivariat. Karakteristik-karakteristik yang

akan dibahas adalah f.k.p, f.p.m, vektor mean, dan matriks kovariansi.


Misalkan Y = (Y1, ..., Yk)' adalah suatu vektor berukuran k × 1, yang terdiri

dari variabel-variabel acak. Ω adalah matriks berukuran k × k yang simetris, dan

merupakan matriks yang definit positif. γ adalah vektor kemencengan berukuran


128


k × 1 dengan γ = (γ1, ..., γk)', di mana γ1, ..., γk adalah bilangan-bilangan riil. Λ

adalah matriks berukuran k × k dengan

Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2

diag(γ1, ..., γk). (4.1)

Bentuk matriks Ω–1/2

akan dijelaskan pada bagian Lampiran 2. Perhatikan suatu

fungsi dari vektor acak Y, yaitu

1

( , , ) 2 ( , ) , k

k k

jk

j

f

'

y y y y , (4.2)

dengan y = (y1, ..., yk)', k(y, Ω) adalah f.k.p dari vektor acak yang berdistribusi

normal multivariat dengan mean 0 = (0, ..., 0)' dan matriks kovariansi Ω, dan

j'

y adalah fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal

standar, yaitu ( )j

j u du

'

y'y . Melalui syarat-syarat f.k.p, akan dibuktikan

bahwa fungsi (4.2) merupakan suatu f.k.p dari vektor acak Y.

Bukti:

Misalkan terdapat suatu vektor acak y dan 1

( , , ) 2 ( , )k

k

jk

j

f

'

y y y

adalah fungsi dari vektor acak y yang memiliki ruang nilai A = {(y1, ..., yk) |

– < y1 < , ..., – < yk < }.

(i) Akan dibuktikan bahwa f(y, Ω, γ) ≥ 0 y A = {(y1, ..., yk) | – < y1 <

, ..., – < yk < } di mana 1

( , , ) 2 ( , )k

k

jk

j

f

'

y y y .

Bukti:

Perhatikan fungsi 1

( , , ) 2 ( , )k

k

jk

j

f

'

y y y .

Perhatikan bagian 2k. Karena 2 > 0, maka 2

k > 0.

k(y, Ω) merupakan f.k.p dari vektor acak y yang berdistribusi normal

multivariat dengan mean 0 dan matriks kovariansi Ω, maka sesuai dengan

syarat suatu f.k.p, (y, Ω) ≥ 0 untuk A = {(y1, ..., yk) | – < y1 < , ...,

– < yk < }.


129


1

( )k

j

j

'

y merupakan perkalian dari fungsi-fungsi distribusi dari variabel

acak yang berdistribusi normal standar. Karena j'

y merupakan

fungsi distribusi dari variabel acak yang berdistribusi normal standar,

maka sesuai sifat fungsi distribusi pada bagian 2.5, diperoleh

0 1j '

y .

Jadi, 1 2

1

0 1k

j k

j

' ' ' '

y y y y .

Hasil perkalian dari fungsi positif 2k dan fungsi-fungsi nonnegatif k(y,Ω)

dan 1

k

j

j

'

y adalah nonnegatif.

Jadi, terbukti bahwa fungsi f(y, Ω, γ) ≥ 0 y A = {(y1, ..., yk) |

yi , i = 1, 2, ..., k} di mana 1

( , , ) 2 ( , )k

k

jk

j

f

'

y y y .

(ii) Akan dibuktikan bahwa ( , , ) 1k

f dy y , di mana

1 2, , , | , 1,2, ,k

k ix x x x i k .

Bukti:

1

( , , ) 2 ( , )k k

kk

jk

j

f dy d

'

y y y y

/2 1/2 1

1

12 (2 ) | | exp

2k

kk k

j

j

' d

'y y y y

Misalkan:

t = Ω–1/2

y, t = (t1, t2, ..., tk)'.

Inversnya:

y = Ω1/2

t.


J = |Ω1/2

| > 0 karena matriks definit positif,

|J| = ||Ω1/2

|| = |Ω1/2

| = |Ω|1/2

. (dibuktikan pada bagian Lampiran 2)


130


Batas integrasinya:

Jika yi = – ∞, maka ti = – ∞, i = 1, 2, ..., k;

Jika yi = ∞, maka ti = ∞, i = 1, 2, ..., k.

Jadi, diperoleh

/2 1/2 1

1

1( , , ) 2 (2 ) | | exp

2k k

kk k

j

j

f dy ' d

'y y y y y

/2 1/2 1/2 1 1/212 (2 ) | | exp

2k

k k '

t t

1/2

1

| |k

j

j

J d

'

t t

/2 1/2 1/2 1 1/212 (2 ) | | exp

2k

k k '

t t

1/2 1/2

1

k

j

j

d

'

t t

/2 1/2 1/2 1 1/212 (2 ) | | exp

2k

k k ' '

t t

1/2 1/2

1

k

j

j

d

'

t t

/2 1/2 1/2 1 1/212 (2 ) | | exp

2k

k k '

t t

1/2 1/2

1

k

j

j

d

'

t t

/2 1/2 12 (2 ) | | exp

2k

k k '

t It

1/2 1/2

1

k

j

j

d

'

t t

/2 1/2 12 (2 ) | | exp

2k

k k '

t t

1/2 1/2

1

k

j

j

d

'

t t


131


/2 1/2 12 (2 ) | | exp

2k

k k '

t t

1/2

1

0, , , ,0k

i

j

d

t t

/2 1/2 1/2

1

12 (2 ) | | exp

2k

kk k

j j

j

' t d

t t t

/2 1/2 1/2

1

12 (2 ) | | exp

2k

kk k

j j

j

' t d

t t t

/2 1/2 1/2

1

12 (2 ) exp

2k

kk k

j j

j

' t d

t t t

/2 1/2 1/2

1

12 (2 ) exp

2k

kk k

j j

j

' t d

t t t

/2

1

12 (2 ) | | exp

2k

kk k

j j

j

' t d

I t t t

/2

1

12 (2 ) exp

2k

kk k

j j

j

' t d

t t t

/2 2 2

1

12 (2 ) exp

2

k k

kt t

1 1 1k k kt t dt dt

2 21

1 1

1/2 1/2 2 22 2(2 ) (2 )kt t

e e

1 1 1k k kt t dt dt

1/2 2

1

12(2 ) exp

2

k

i i i i

i

t t dt

1

2k

i i i i

i

t t dt

1

1k

i

1 .


132


Karena, fungsi (4.2) memenuhi syarat-syarat suatu f.k.p, maka terbukti

bahwa fungsi (4.2) merupakan suatu f.k.p dari vektor acak y dengan ruang nilai

A = {(y1, ..., yk) | – < y1 < , ..., – < yk < }. Dari hasil ini, maka diperoleh

definisi berikut.

Definisi 4.1.

Misalkan Ω adalah matriks simetris yang definit positif berukuran k × k. Suatu

vektor acak Y = (Y1, ..., Yk)' berukuran k × 1 disebut vektor acak skew-normal

multivariat jika f.k.p dari y memiliki bentuk

1

( , , ) 2 ( , ) , k

k k

jk

j

f

'

y y y y ,

di mana γ = (γ1, ..., γk)' adalah vektor kemencengan untuk beberapa bilangan riil

γ1, ..., γk dan λ1, ..., λk adalah k vektor riil yang memenuhi

Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2

diag(γ1, ..., γk).

Untuk selanjutnya, himpunan dari vektor-vektor acak yang mengikuti distribusi

yang didefinisikan pada Definisi 4.1 dinyatakan sebagai SN(k, Ω, γ).

Perhatikan catatan yang terkait dengan Definisi 4.1.

Catatan 4.1.

Pada Definisi 4.1, dengan membuat γ1 = ... = γk = 0 pada (4.1) dan (4.2), diperoleh

Λ = Ω–1/2

diag(0, ..., 0)

= Ω–1/2

0

= 0.

Karena Λ = (λ1, ..., λk), berarti Λ = (λ1, ..., λk) = (0, ..., 0).

Jadi, (0, ,0)j '

berukuran 1 × k dan

1

(0, ,0) 0j

k

y

y

'y .


133


Oleh karena itu, fungsi (4.2) menjadi

1

( , , ) 2 ( , )k

k

jk

j

f

'

y y y

1

2 ( , ) (0)k

k

k

j

y

1

12 ( , )

2

kk

k

j

y

1

2 ( , )2

k

k

k

y

( , )k y .

Jadi, jika γ1 = ... = γk = 0, diperoleh f.k.p bersama dari distribusi normal

multivariat ϕk(y, Ω).

Dari persamaan (4.1), dapat disimpulkan bahwa vektor kemencengan γ

mempengaruhi bentuk dari distribusi melalui vektor-vektor λ1, ..., λk.

Selanjutnya akan diberikan teorema dan akibat serta buktinya, terkait

dengan vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat.

Teorema 4.1.

Misalkan X, Y adalah vektor-vektor acak yang saling bebas yang berdistribusi

Nk(0, I). Misalkan

1

2 2 2 2

1 1

1 1diag , , | | diag , ,

1 1 1 1

k

k k

Z X Y (4.3)

di mana |X| = (|X1|, ..., |Xk|)'. Maka Z ~ SN(k, I, γ) untuk sebarang

γ = (γ1, ..., γk)' k .

Bukti:

Misalkan:

1

2 2

1

diag , ,1 1

k

k

U , (4.4)


134


dan

2 2

1

1 1diag , ,

1 1 k

V , (4.5)

maka diperoleh Z = U|X| + VY. (4.6)

1

2 2

1

1 1diag , ,

1 1 kk

Y

Y

VY

1

2

1

2

1

1

k

k

Y

Y

. (4.7)

Dengan menggunakan teknik f.p.m, akan dicari distribusi dari VY.

F.p.m dari Y ~ Nk(0, I) berdasarkan persamaan (2.221) adalah

( ) 'M E e t Y

Y t

exp2

'

t t.

F.p.m dari VY adalah

( )

'M E e

t VY

VY t

' 'E e t V Y

E e

'Vt Y

exp

2

'Vt Vt

exp

2

' '

t V Vt

exp

2

' '

t V V t. (4.8)

Jadi, VY berdistribusi normal multivariat dengan matriks kovariansi V'V, atau

VY ~ Nk(0, V'V).


135


Untuk sebarang vektor riil kz , dengan 1, , kz z 'z , diperoleh

| |Pr( ) {Pr( | |)}E XZ z Z z X

Pr( )2 ( , )k

k

k d

Z z x I x

(di mana 1 2, , , | (0, )k

k ix x x x )

Pr( )2 ( , )k

k

k d

Ux VY z x I x

Pr( )2 ( , )k

k

k d

VY z Ux x I x

( , )2 ( , )k

k

k k' d

z Ux V V x I x , (4.9)

di mana ( )

( , ) ( , )k k d xx y y . Jadi, f.k.p bersama dari Z adalah

1

(Pr( ))( , , )k

df z z

d

Z z

z

( , )2 ( , )k

k

k k

d' d

d

z Ux V V x I xz

( ( , ))2 ( , )k

k

k k' d

z Ux V V x I x

z

( ( , )) 2 ( , )k

k

k k' d

z Ux V V x I x

z

( )

( , ) 2 ( , )k

k

k k' d d

z Ux

p V V p x I xz

(4.10)

(di mana 1 2( ) , , , | ( , ) , 1,2, ,k i ix x x x y i k y )

Misalkan:

s = p + Ux.

Inversnya:

p = s – Ux.


J = 1,

|J| = |1| = 1.

Batas integrasinya:

Jika p = ( )z Ux , maka s = ( )z .

Jadi, diperoleh


136


1( )

( , , ) ( , ) 2 ( , )k

k

k k kf z z ' d d

z Ux

p V V p x I xz

( )

( , ) | | 2 ( , )k

k

k k' J d d

z

s Ux V V s x I xz

( )

( , ) 1 2 ( , )k

k

k k' d d

z

s Ux V V s x I xz

( )

( , ) 2 ( , )k

k

k k' d d

z

s Ux V V s x I xz

( , )2 ( , )k

k

k k' d

z Ux V V x I x

1/2/2 1(2 ) exp

2k

k '

V V

1 /22 (2 )k k' '

z Ux V V z Ux

1

exp2

' d

x x x

1/2/2 1(2 ) exp

2k

k '

V V

11 /22 (2 )k k' '

z Ux V V z Ux

1

exp2

' d

x x x

1/2/2 1(2 ) exp

2k

k '

V V

1 1 /22 (2 )k k' z Ux V V z Ux

1

exp2

' d

x x x

1/2/2 1(2 ) exp

2k

k '

V V

2 /2 12 (2 ) exp

2

k k' ' d

z Ux V z Ux x x x


137


1/2/2

1

1( , , ) (2 ) exp

2k

k

kf z z '

V V

2 /2 12 (2 ) exp

2

k k' ' d

z Ux V z Ux x x x

2 1/2 1(2 ) | | 2 exp

2k

k k

V

2 1exp

2' ' d

z Ux V z Ux x x x

1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k '

V z Ux V z Ux

1

exp2

' d

x x x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' '

V z V z z V Ux

2 2 1exp

2' ' ' ' ' d

x U V z x U V Ux x x x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' '

V z V z z V Ux

2 2' ' ' ' ' d

x U V z x U V Ux x x x . (4.11)

Perhatikan persamaan (4.4) dan (4.5). Karena U dan V adalah matriks-matriks

diagonal, keduanya dapat ditukar. Jadi,

x'U'V–2

Ux + x'x = x'(U'V–2

Ux + x)

= x'(U'V–2

Ux + Ix)

= x'(U'V–2

U + I)x. (4.12)

Karena U matriks diagonal, maka U' = U.

1

2 2

1

diag , ,1 1

k

k

U .

2 2

1

1 1diag , ,

1 1 k

V .

Karena V matriks diagonal, maka

2 2 2

1diag 1 , ,1 k V . (4.13)


138


2 2 211

2 2

1

diag , , diag 1 , ,11 1

kk

k

'

U V

2 211

2 2

1

diag 1 , , 11 1

kk

k

2 2

1 1diag 1 , , 1k k .

2 2 2 11 1

2 2

1

diag 1 , , 1 diag , ,1 1

kk k

k

'

U V U

2 211 1

2 2

1

diag 1 , , 11 1

kk k

k

2 2

1diag , , k . (4.14)

Matriks identitas I, yaitu

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

dapat dinyatakan sebagai I = diag(1, 1, ..., 1).

2 2 2

1diag , , diag 1, ,1k' U V U I

2 2

1diag 1 , ,1 k

2V . (4.15)

Jadi, diperoleh bahwa

x'U'V–2

Ux + x'x = x'(U'V–2

U + I)x

= x'V–2

x. (4.16)

Dengan demikian, dapat diperoleh

1 2 2 2

1

1( , , ) (2 ) | | 2 exp

2k

k k

kf z z ' ' ' '

V z V z z V Ux x U V z

2' ' ' d

x U V Ux x x x


139


1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' '

V z V z z V Ux

2 2' ' ' d

x U V z x V x x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' ' '

V x V x x U V z

2 2' ' d

z V Ux + z V z x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' ' '

V x V x x U V z

2 2 2 2' ' ' ' ' ' d

z V Ux z U V Uz z U V Uz z V z x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' ' '

V x V x x V U z

2 2 2 2' ' ' ' ' ' d

z UV x z U V Uz + z V z z U V Uz x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' '

V x V x x V Uz

2 2 2 2' ' ' ' ' ' ' d

z U V x z U V Uz + z V z z U V Uz x

1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k '

V x V x Uz

2 2 2' ' ' ' d

z U V x Uz + z V z U V Uz x

1 2 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' ' '

V x V z U V x

2 2' ' d

Uz z V U V U z x

1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' ' '

V x z U V x Uz +

2 2' ' d

z V U V U z x


140


1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k ' '

V x Uz V x Uz +

2 2' ' d

z V U V U z x

1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k '

V x Uz V x Uz +

2 2' ' d

z V U V U z x . (4.17)

Perhatikan suku V–2

– U'V–2

U pada bagian (4.17).

Dari (4.13), diperoleh 2 2 2

1diag 1 , ,1 k V .

Dari (4.14), diperoleh 2 2 2

1diag , , k' U V U .

Jadi, dapat diperoleh

2 2 2 2 2 2

1 1diag 1 , ,1 diag , ,k k' V U V U .

2 2 2 2

1 1diag 1 , ,1 k k

diag 1, ,1

I . (4.18)

Maka, diperoleh

1 2

1

1( , , ) (2 ) | | 2 exp

2k

k k

kf z z '

V x Uz V x Uz +

2 2' ' d

z V U V U z x

1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k '

V x Uz V x Uz +

' dxz Iz

/2 /2 1(2 ) (2 ) | | 2k

k k k

V

21 1exp exp

2 2' ' d

x Uz V x Uz z Iz x

/2 1 21(2 ) | | 2 exp

2k

k k '

V x Uz V x Uz

/2 1(2 ) exp

2

k ' d

z z x


141


/2 1 21

(2 ) | | 2 exp2

k

k k '

V x Uz V x Uz

( , )k d z I x

/2 12 ( , ) (2 ) | |k

k k

k

z I V

21

exp2

' d

x Uz V x Uz x . (4.19)

Misalkan:

t = V–1

(x – Uz).

Inversnya:

x – Uz = Vt; x = Vt + Uz.


J = |V|,

|J| = ||V|| = |V|.

Batas integrasinya:

Jika xi = 0, i = 1, 2, ..., k, atau x = (0, 0, ..., 0)' , maka t = – V–1

Uz;

Jika xi = ∞, i = 1, 2, ..., k, maka ti = ∞, atau t = (∞, ..., ∞)'.

1 t V Uz

1

2 2 11

2 2

1

diag 1 , , 1 diag , ,1 1

kk

kk

z

z

1

2 211

2 2

1

diag 1 , , 11 1

kk

kk

z

z

2 211 1

2 2

1

diag 1 , , 11 1

kk k

k

z z

1 1diag , , k kz z .


142


Jadi, diperoleh

/2 1

1( , , ) 2 ( , ) (2 ) | |k

k k

k kf z z

z I V

21exp

2' d

x Uz V x Uz x

*

/2 1 12 ( , ) (2 ) | | exp | |

2k

k k

k ' J d

z I V t t t

(di mana * ( , )k k

j jz )

*

/2 1 12 ( , ) (2 ) | | exp | |

2k

k k

k ' d

z I V t t V t

*

/2 1 12 ( , ) (2 ) | | | | exp

2k

k k

k ' d

z I V V t t t

*

/2 1 12 ( , ) (2 ) | || | exp

2k

k k

k ' d

z I V V t t t

*

/2 1 12 ( , ) (2 ) | | exp

2k

k k

k ' d

z I V V t t t

*

/2 12 ( , ) (2 ) | | exp

2k

k k

k ' d

z I I t t t

*

/2 12 ( , ) (2 ) exp

2k

k k

k ' d

z I t t t

1 1

1/2 1/22 ( , ) (2 ) (2 )k k

k

kz z

z I

2 2

1 1

1exp

2k kt t dt dt

2

1

1 12 ( , ) exp

22j j

kk

k j jz

j

t dt

z I

2

1

1 12 ( , ) 1 exp

22

j jk

zk

k j j

j

t dt

z I

1

2 ( , ) 1k

k

k j j

j

z

z I


143


1

2 ( , )k

k

k j j

j

z

z I

1

2 ( , ) 0, , , ,0k

k

k j

j

z I z . (4.20)

Dari hasil tersebut, persamaan (4.20) merupakan f.k.p dari Z. Maka,

Z SN(k, Ω, γ), di mana Ω = I dan (0, , , ,0)j j '

, atau berarti

Z SN(k, I, γ). Jadi, Teorema 4.1 terbukti.

Akibat 4.1.

Untuk sebarang Y SN(k, Ω, γ) dengan matriks parameter Ω dan faktor

kemencengan γ = (γ1, ..., γk)', W = Ω1/2

Z mempunyai distribusi yang sama dengan

Y, di mana Z adalah vektor acak yang didefinisikan pada Teorema 4.1.

Bukti:

Misalkan γj pada Teorema 4.1 merupakan faktor kemencengan untuk vektor acak.

Dengan Teorema 4.1, f.k.p dari vektor acak Z adalah

1

1

( , , ) 2 ( , )k

k

k k j j

j

f z z z

z I .

Diketahui bahwa w = Ω1/2

z. Karena Ω adalah matriks simetris yang definit positif,

sehingga Ω1/2

juga merupakan matriks simetris yang definit positif, maka Ω1/2

mempunyai invers (mempunyai invers). Maka, diperoleh z = Ω–1/2

w.

Misalkan Ω–1/2

berbentuk

11 12 1

21 22 2–1/2

1 2

k

k

k k kk

,

dan misalkan vektor acak W = (W1, ..., Wk)' dan w = (w1, ..., wk)', maka


144


–1/2z w

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

k

k

k k kk k

w

w

w

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

k k

k k

k k kk k

w w w

w w w

w w w

1

1

2

1

1

k

i i

i

k

i i

i

k

ki i

i

w

w

w

.

Jacobian-nya adalah:

J = |Ω–1/2

| = |Ω|–1/2

; |J| = ||Ω|–1/2

| = |Ω|–1/2

.

F.k.p dari Z dapat dinyatakan sebagai

1

1

( , , ) 2 ( , )k

k

k k j j

j

f z z z

z I

/2

1

12 (2 ) exp

2

kk k

j j

j

' z

z z

/2

1

12 (2 ) exp (0, , , ,0)

2

kk k

j

j

'

z z z .

Maka, f.k.p dari W adalah

1/2( ) ( ) | |g f Jw w

/2 1/2 1/2

1

1( , , ) 2 (2 ) exp

2

k k

kg w w

'

w w

1/21/2

1

(0, , , ,0)k

j

j

w


145


/2 1/2 1/212 (2 ) exp

2

k k '

'

w w

1/21/2

1

(0, , , ,0)k

j

j

w

/2 1/2 1/21

2 (2 ) exp2

k k '

w w

1/21/2

1

(0, , , ,0)k

j

j

w

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k k '

w w

1/2

1

(0, , , ,0)k

j

j

w

1/2

1

2 ( , ) (0, , , ,0)k

k

k j

j

w w . (4.21)

Dengan memisalkan bahwa * 1/2(0, , , ,0)j j ' , persamaan (4.21) menjadi

1/2

1

1

( , , ) 2 ( , ) (0, , , ,0)k

k

k k j

j

g w w

w w

*

1

2 ( , )k

k

jk

j

'

w w . (4.22)

Karena f.k.p dari W pada persamaan (4.22) sama seperti f.k.p dari Y pada Definisi

4.1, maka terbukti bahwa W memiliki distribusi yang sama dengan Y karena

* 1/2

1diag( , , )j k '

.


Seperti pada kasus univariat, pada kasus multivariat, untuk mencari f.p.m

juga dibutuhkan bantuan suatu lemma, yaitu:


146


Lemma 4.1.

Jika U ~ Nk(0, Ω), maka

1/21

aE a '

'

v Uv v

, (4.23)

untuk sebarang skalar a dan kv .

Sebelum digunakan untuk mencari f.p.m dari vektor acak Y, Lemma 4.1

akan dibuktikan terlebih dahulu. Untuk membuktikan Lemma 4.1 dibutuhkan

Teorema 4.2 dan Akibat 4.2, yang juga akan dibuktikan.

Teorema 4.2.

Jika Z ~ N(ξ, θ2) dan

2~ /mY m saling bebas, maka untuk sebarang skalar c,

2

;Pr / 1mE Z cY T c (4.24)

di mana adalah fungsi distribusi dari variabel acak N(0, 1) dan Tε;m adalah

variabel acak yang berdistribusi t-nonsentral dengan derajat bebas m dan

parameter ketidaksentralan

21

. (4.25)

Bukti Teorema 4.2:

Misalkan X ~ N(0, 1) bebas dari Y dan Z, dan adalah fungsi distribusi dari

variabel acak X.

2

,0

1exp ( , )

22

z cy

Y Z

xE Z cY dx f y z dydz

, Pr | ,Y Z XE X z cy y z

, ,PrX Y Z X Z cY

, ,PrX Y Z X Z cY


147


, , ,PrY Z X Y Z

X ZE Z cY c

Y

, ,2 2

Pr1 1

X Y Z

X Z c

Y

. (4.26)

Dengan teknik f.p.m, akan ditunjukkan bahwa 2

~ ( ,1)1

X ZN

Y

.

X ~ N(0, 1), Z ~ N(ξ, θ2), dan

2~ /mY m saling bebas.

22

1

( ) exp1

X Z

X ZM t E t

2 2

exp exp1 1

X ZE t t

2 2

exp exp1 1

X ZE t E t

2 2

exp exp ( )1 1

X ZE t E t

2 22

2 2

2

1 1exp exp

2 21

t tt

2 2 2

2 22exp exp

2 1 2 11

t t t

2 2 2

2 22exp

2 1 2 11

t tt

2 2

22

1exp

2 11

tt

2

2exp

21

tt

. (4.27)


148


Jadi, diperoleh bahwa 2 2

~ ,11 1

X ZN

, atau berarti

2

~ ,11

X ZN

. Dengan Definisi 2.38,

Definisi 2.38.

Misalkan variabel acak W berdistribusi N(ε, 1), misalkan variabel acak V

berdistribusi 2

r , dan W dan V saling bebas. Bentuk

WT

Vr

disebut berdistribusi nonsentral-t dengan derajat bebas r dan parameter

ketidaksentralan ε dan dinyatakan oleh T ~ Tε;m. Jika δ = 0, dikatakan T

berdistribusi sentral-t (distribusi t);

karena 2~ /mY m , diperoleh bahwa

21

X Z

Y

~ Tε;m dan

21

.

Berarti, ;21

m

X ZT

Y

. Jadi, persamaan (4.26) menjadi

, , ,2 2

Pr1 1

Y Z X Y Z

X Z cE Z cY

Y

;2

Pr1

m

cT

.

Jadi, terbukti bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2) dan

2~ /mY m saling bebas, maka

untuk sebarang skalar c, 2

;Pr / 1mE Z cY T c .

Akibat 4.2.

Jika Z ~ N(ξ, θ2), maka

21

E Z

. (4.28)


149


Bukti Akibat 4.2:

Bukti dari Akibat 4.2 ini akan menggunakan Teorema 4.2.

Misalkan c = 0 pada persamaan (4.24), maka diperoleh

;Pr 0mE Z T . (4.29)

Misalkan X ~ N(0, 1), dan 2~ /mY m dengan X, Y, dan Z saling bebas.

Pertama, akan dicari terlebih dahulu suatu fungsi dari variabel-variabel acak yang

sama dengan Tε;m. Didefinisikan suatu fungsi dari variabel-variabel acak, X

Y

.

Terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa X + ε berdistribusi N(ε, 1).

( )( ) t X

XM t E e

tX tE e

tX tE e e

t tXe E e

2

exp2

t te

2

exp2

tt

. (4.30)

Jadi, dengan teknik f.p.m terbukti bahwa X + ε ~ N(ε, 1).

Dengan Definisi 2.38, diperoleh bahwa ;m

XT

Y

.

Untuk sebarang m,

;Pr 0 Pr 0m

XT

Y

.

Pr 0X

Pr X

( )

21

. (4.31)


150


Jadi terbukti bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2), maka

21E Z

.

Selanjutnya, akan dibuktikan Lemma 4.1.

Bukti Lemma 4.1:

Misalkan U ~ Nk(0, Ω).

F.p.m dari vektor acak U sesuai dengan (2.221) adalah

( ) 'M E e t U

U t

1

exp2

'

t t. (4.32)

Misalkan terdapat suatu vektor riil kv . Akan dicari distribusi dari variabel

acak v'U.

F.p.m dari v'U adalah

( )

t '

'M t E e

v U

v U

t '

E e

v U

t 'E e

v U

1

exp2

t ' t

v v (substitusikan t dengan

tv pada (4.32))

1

exp2

t ' t

v v

1 2

exp2

' t

v v. (4.33)

Dengan teknik f.p.m, maka sesuai dengan (2.36), diperoleh v'U ~ N(0, v'Ω–1

v).

Misalkan a adalah sebarang skalar. Selanjutnya akan dicari distribusi dari a + v'U.

( )

t a '

a 'M t E e

v U

v U

at t '

E e

v U


151


t 'atE e e

v U

t 'ate E e

v U

t 'ate E e

v U

1 2

exp2

at' t

e

v v

1 2

exp2

' tat

v v. (4.34)

Dengan teknik f.p.m, maka sesuai dengan (2.36), diperoleh a + v'U ~ N(a, v'Ω–1

v).

Dari Akibat 4.2, diperoleh bahwa jika Z ~ N(ξ, θ2), maka

2/ 1E Z .

Karena a + v'U ~ N(a, v'Ω–1

v), maka

11

aE a '

'

v U

v v

1/2

11

a

'

v v.

Jadi, terbukti bahwa jika U ~ Nk(0, Ω), maka

1/21

aE a '

'

v Uv v

,

untuk sebarang skalar a dan kv .

Setelah Lemma 4.1 dibuktikan, selanjutnya akan dibahas mengenai f.p.m

dari distribusi skew-normal multivariat. Misalkan Y ~ SN(k, Ω, γ). Maka, f.p.m

dari suatu vektor acak Y adalah

( ) 'M E e t Y

Y t

( , , )k

'e f d t y

y y

1/2/2 1

1

12 (2 ) exp

2k

k' k k

i

i

e ' d

't yy y y y


152


2

1/2/2 12

1

1( ) 2 (2 ) exp

2k

' kk k

i

i

M e ' d

t y

'

Y t y y y y

1/2/2 11 1

2 (2 ) exp 22 2

k

k k ' '

y y t y

1

k

i

i

d

'y y

1/2/2 11

2 (2 ) exp 22

k

k k ' '

y y t y

1

k

i

i

d

'y y . (4.35)

Misalkan:

u = y – Ωt; u' = y' – t'Ω.

Inversnya:

y = u + Ωt; y = u' + t'Ω.


J = 1.

|J| = |1| = 1.

Batas integrasinya:

Jika yi = – ∞, maka ui = – ∞, i = 1, 2, ..., k;

Jika yi = – ∞, maka ui = ∞, i = 1, 2, ..., k.

Jadi, diperoleh

1/2/2 1

1

1( ) 2 (2 ) exp 2

2k

kk k

i

i

M ' ' d

'

Y t y y t y y y

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k

k k ' '

u t u t

1

2 | |k

i

i

' J d

'

t u t u t u

1/2/2 112 (2 ) exp

2k

k k ' '

u t u t

1

2 1k

i

i

' d

'

t u t u t u


153


1/2/2 11

( ) 2 (2 ) exp2

k

k kM ' '

Y t u t u t

1

2k

i

i

' d

'

t u t u t u

1/2/2 1 1 112 (2 ) exp

2k

k k ' ' '

u u u t t u

1

1

2 2k

i i

i

' ' ' d

' 't t t u t t u t u

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k

k k ' ' ' '

u u u It t Iu t I t

1

2 2k

i i

i

' ' d

' '

t u t t u t u

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k

k k ' ' ' '

u u u t t u t t

1

2 2k

i i

i

' ' d

' '

t u t t u t u

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k

k k ' ' ' '

u u t u t u t t

1

2 2k

i i

i

' ' d

' '

t u t t u t u

1/2/2 11

2 (2 ) exp 22

k

k k ' ' '

u u t u t t

1

2 2k

i i

i

' ' d

' '

t u t t u t u

1/2/2 11

2 (2 ) exp2

k

k k ' '

u u t t

1

k

i i

i

d

' 'u t u


154


1/2/2 11 1

( ) 2 (2 ) exp exp2 2

k

k kM ' '

Y t u u t t

1

k

i i

i

d

' 'u t u

1/2 /2 11 1

2 exp (2 ) exp2 2

k

k k' '

t t u u

1

k

i i

i

d

' 'u t u . (4.36)

Misalkan:

v = Ω–1/2

u; v' = u'Ω–1/2

.

Inversnya:

u = Ω1/2

v; u' = v'Ω1/2

.


J = |Ω1/2

|=|Ω|1/2

. (dibuktikan pada bagian Lampiran 2)

|J| = ||Ω|1/2

| = |Ω|1/2

. (Ω definit positif)

Batas integrasinya:

Jika ui = – ∞, maka vi = – ∞, i = 1, 2, ..., k;

Jika ui = ∞, maka vi = ∞, i = 1, 2, ..., k.

Jadi, diperoleh

1/2 /2 11 1

( ) 2 exp (2 ) exp2 2

k

k kM ' '

Y t t t u u

1

k

i i

i

d

' 'u t u

1/2 /2 1/2 1 1/21 1

2 exp (2 ) exp2 2

k

k k' '

t t v v

1/21/2

1

k

i i

i

d

' '

v t v


155


1/2 1/2 /21 1

( ) 2 exp (2 ) exp2 2

k

k kM ' '

y t t t v v

1/2

1

k

i i

i

d

' '

v t v

/21 12 exp (2 ) exp

2 2k

k k' '

t t v v

1/2

1

k

i i

i

d

' '

v t v . (4.37)

Dari (4.1), diketahui bahwa

Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2

diag(γ1, ..., γk).


Ω1/2

Λ = diag(γ1, ..., γk).

(Ω1/2

Λ)' = [diag(γ1, ..., γk)]' = diag(γ1, ..., γk).

Λ' (Ω1/2

)' = diag(γ1, ..., γk).

Λ' Ω1/2

= diag(γ1, ..., γk).

1

21/2

1 1

0 0

0 0, , diag , ,

0 0

k k

k

' ' .

1/2 0, , , ,0i i ' . (4.38)

Jadi, diperoleh bahwa

1

1/2 0, , , ,0i i i i

k

v

v

v

'v . (4.39)

Jadi, f.p.m dari vektor acak Y menjadi

/21 1( ) 2 exp (2 ) exp

2 2k

k kM ' '

Y t t t v v

1/2

1

k

i i

i

d

' '

v t v


156


/2 2 2

1

1 1( ) 2 exp (2 ) exp

2 2k

k k

kM ' v v

Y t t t

1

k

ii i

i

v d

'

t v

/2 2 2

1

1 12 exp (2 ) exp

2 2k

k k

k' v v

t t

11 1 kk kv v d ' '

t t v

/2 2 2

1

1 1 12 exp (2 ) exp exp

2 2 2k

k k

k' v v

t t

11 1 kk kv v d ' '

t t v

1/2 2

1

1 12 exp (2 ) exp

2 2

kk

ii i i i

i

' v v dv

't t t

1

12 exp ( )

2

kk

ii i i i

i

' v v dv

't t t

1

12 exp

2 i

kk

iV i i

i

' E V

't t t

1

12 exp 0, , , ,0

2 i

kk

iV i

i

' E

't t V t

1/21

12 exp

2 1 0, , , ,0 0, , , ,0

kk i

ii i

''

'

tt t

1/22

1

12 exp

2 1

kk i

ii

'

'

tt t

1/2 1/2

1/22

1

12 exp

2 1

kk i

ii

'

'

tt t

1/2

1/22

1

0, , , ,012 exp

2 1

kik

ii

'

t

t t

. (4.40)


157


Misalkan vektor-vektor kolom berukuran k × 1 dari Ω1/2

adalah p1, p2, ..., pk,

dengan

1

2

j

j

j

kj

p

p

p

p , (4.41)

sehingga diperoleh

Ω1/2

= (p1, p2, ..., pk) dan 1/2

1 2, , , k' ' ' ' 'p p p . (4.42)

Jadi, diperoleh

1/2

1 20, , , ,0 , , ,i i i i i i kip p p . (4.43)

1

1/2

10, , , ,0 , ,i i i i ki

k

t

p p

t

t

1 1i i i ki kp t p t , (4.44)

sehingga f.p.m dari vektor acak Y menjadi

1/2

1/22

1

0, , , ,01( ) 2 exp

2 1

kik

ii

M '

Y

tt t t

1/22

1

12 exp

2 1

kk i

i

ii

'

'

t t p t . (4.45)

1 11/22

1

12 exp

2 1

kk i

i ki k

ii

' p t p t

t t

1 1

1/22

1

12 exp

2 1

ki i ki kk

ii

p t p t'

t t

1

1/22

1

12 exp

2 1

k

i ji jkjk

ii

p t

'

t t . (4.46)


158


Untuk penyederhanaan, didefinisikan hi di mana

1/2

21

ii

i

h

. (4.47)

Karena i , maka hi (– 1, 1), i = 1, 2, ..., k.

Jadi, f.p.m dari vektor acak Y yang berdistribusi skew-normal sesuai Definisi 4.1

adalah

11

1( ) 2 exp

2

k kk

i ji j

ji

M ' h p t

Y t t t , (4.48)

dengan p1, p2, ..., pk adalah vektor-vektor kolom dari matriks Ω1/2

di mana

1

2

j

j

j

kj

p

p

p

p

dan

1/2

2( 1,1)

1

ii

i

h

.

4.1.3 Matriks Mean dan Kovariansi

Pada bagian ini akan dicari matriks mean dan matriks kovariansi untuk

vektor acak yang berdistribusi skew-normal multivariat. Untuk mendapatkan

matriks mean dan kovariansi, akan digunakan f.p.m (4.41).

Perhatikan persamaan (4.41), yaitu

1/22

1

1( ) 2 exp

2 1

kk i

i

ii

M '

'

y t t t p t


. Karena

1/2

21

ii

i

h

, maka

1

1( ) 2 exp

2

kk

i i

i

M ' h

'

Y t t t p t . (4.49)


159


Selanjutnya akan dicari momen-momen dari distribusi skew-normal multivariat.

1

( ) 12 exp

2

kk

i i

i

M' h

'Y t

t t t p tt

1 1,

1exp

2

kk

i i i i j j

i j j i

' h h h

' 't t p p t p t

1

12 exp

2

kk

i i

i

' h

't t t p t

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h

' 'p p t p t . (4.50)

1

( ) 12 exp

2

kk

i i

i

M' ' h

'

'Y t

t t t p tt

1 1,

1exp

2

kk

i i i i j j

i j j i

' h h h

' ' 't t p p t p t

1

12 exp

2

kk

i i

i

' ' h

't t t p t

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h

' ' 'p p t p t . (4.51)

2 ( )( ) MM

' '

yYtt

t t t t

1

12 exp

2

kk

i i

i

' ' h

'

t t t p tt

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h

' ' 'p p t p t

1

12 exp

2

kk

i i

i

' ' h

'

t t t p tt

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h

' ' 'p p t p t


160


2

1

( ) 12 exp

2

kk

i i

i

M' ' h

'

'Y t

t t t t p tt t

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h

' ' 'p p t p t

1

12 exp

2

kk

i i

i

' h

't t p t

1 1,

kk

i i i i j j

i j j i

h h h '

' 'p p t p t t

3

1 1,

k k

i j i j j j i i i i j j

i jj i

h h h h h

' ' ' ' 'p p p t p t p p p t

1,

k

l l

ll j

h

'

p t , (4.52)

dengan

,

, .

l l

l l

l l

h l ih

h l i

'

'

'

p tp t

p t (4.53)

Mean dari vektor acak y adalah

0

( )( )

ME

Y

t

tY

t

11 1,

12 exp 0 0 0 0

2

k kkk

i i

ii j j i

h

p0

1 1,

1 12 1

22

kkk

i i

i j j i

h

p0

1

1

1 12

22

kkk

i i

i

h

p

1

1

1 12

22

kk

i i ki

h

p


161


11

1 1( ) 2

2 2

kk

i iki

E h

Y p

1

12

2

k

i i

i

h

p

1

2 k

i i

i

h

p . (4.54)

Untuk mencari matriks kovariansi dari vektor acak Y dibutuhkan E(YY').

2 ( )( )

ME '

'

Y

t

tYY

t t0

1

12 (0, ,0) exp 0 (0, ,0) 0

2

kk

i

'

1 1, 1

10 0 2 exp 0 0

2

k kkk

i i

i j j i i

h

'p

1 1,

0 0 (0, ,0)kk

i i

i j j i

h

p

1 1, 1,

0 0kk k

i j i j

i j lj i l j

h h

'

p p

11 1,

12 exp 0 0 0 0 (0, ,0)

2

k kkk

i i

ii j j i

h

p

1 1, 1,

0 0kk k

i j i j

i j lj i l j

h h

'

p p

1 1,1 1,

12 exp 0 0 0 0

2

k kk kk

i j i j

i ji lj i l j

h h

'

p p

1 1,1 1,

2 0 0 0k kk k

k

i j i j

i ji lj i l j

h h

'

p p


162


1 1,1 1,

1( ) 2 0 0

2

k kk kk

i j i j

i ji lj i l j

E ' h h

'

YY p p

1 1, 1,

12 0 0

2

kk kk

i j i jki j l

j i l j

h h

'

p p

1 1, 1,

12 0 0

2

kk kk

i j i jki j l

j i l j

h h

'

p p

1 1, 1,

2 0 0kk k

k

i j i j

i j lj i l j

h h

'

p p . (4.55)

Kemudian akan dicari matriks kovariansinya, misalkan matriks Σ

merupakan matriks kovariansi dari vektor acak skew-normal multivariat.

( ) ( ) ( )E ' E E ' yy y y

1 1, 1 11,

2 22 0 0

kk k k kk

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' '

p p p p

1 1, 1 11,

22 0 0

kk k k kk

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' 'p p p p

1 1, 1 11,

1 22 0

2

kk k k kk

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' 'p p p p

1 1, 1 11,

2 20

2

k kk k k k

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' 'p p p p (4.56)


163


Jadi, matriks mean dan kovariansi dari vektor acak y ~ SN(k, Ω, γ) adalah

1

2( )

k

i i

i

E h

Y p ,

1 1, 1 11,

2 20

2

k kk k k k

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' '

p p p p .

4.2 Distribusi Skew-Normal Bivariat

Pada bagian ini, akan didiskusikan kasus khusus dari distribusi skew-

normal multivariat, yaitu ketika k = 2, disebut distribusi skew-normal bivariat.

Akan dibahas mengenai karakteristik-karakteristik dari distribusi skew-normal

bivariat, yaitu f.k.p, f.p.m, mean, dan kovariansi dari variabel-variabel acak.


Misalkan Y ~ SN(2, Ω, γ), atau berarti vektor acak y berdistribusi skew-

normal bivariat. Maka, f.k.p dari distribusi ini berdasarkan (4.2) adalah

2

2 2

2

1

( , , ) 2 ( , ) , j

j

f

'

y y y y , (4.57)

di mana matriks parameter

1

1

. (4.58)

Determinan dari matriks Ω adalah

|Ω| = 1.1 – ω.ω

= 1 – ω2. (4.59)

Jadi, invers dari matriks Ω adalah

1 1adj( )


164


1

2

11

11

. (4.60)

Kemudian dicari nilai-nilai eigen dari matriks Ω.

0

10

1

(α – 1)(α – 1) – ω.ω = 0

α2 – 2α + 1 – ω

2 = 0

22 4 4(1)(1 )

2

22 4 4 4

2

22 4

2

2 2

2

1 . (4.61)

Misalkan x = (x1, x2)'.

Akan dicari vektor eigen dari matriks Ω untuk setiap nilai-nilai eigennya.

x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α jika x memenuhi

1

2

1 0

1 0

x

x

. (4.62)

Untuk α = 1 – ω.

x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α = 1 – ω jika x

memenuhi

1

2

0

0

x

x

.


165


Dengan operasi baris elementer,

12 1

1

0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0

bb b

.

x1 + x2 = 0, berarti x2 = – x1.

Misalkan x1 = s, berarti x2 = – s.

1

2

1

1

x ss

x s

x .

Jadi, vektor eigen yang berpadanan denga nnilai eigen α = 1 – ω adalah

1

1s

x .

Untuk α = 1 + ω.

x = (x1, x2)' adalah vektor eigen dari Ω untuk nilai eigen α = 1 + ω jika x

memenuhi

1

2

0

0

x

x

.

Dengan operasi baris elementer,

12 1

1

0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 0 0

bb b

.

x1 – x2 = 0, berarti x2 = x1.

Misalkan x1 = s, berarti x2 = s.

1

2

1

1

x ss

x s

x .

Jadi, vektor eigen yang berpadangan dengan nilai eigen α = 1 – ω adalah

1

1s

x .

Jadi, basis-basis untuk ruang eigennya adalah:

1

1

1

u dan 2

1

1

u .

Vektor-vektor eigen yang ortonormal adalah:


166


11 1

1

111 2

1 122

uv u

u dan

22 2

2

111 2

1 122

uv u

u.

Jadi, diperoleh

1 12 2

1 12 2

V , (4.63)

yang merupakan matriks ortogonal.

1 12 2

1 12 2

'

V . (4.64)

1 1adj( ) V V

V

1 11 2 2

1 11 1 1 12 2

2 2 2 2

1 11 2 2

1 1 1 12 22 2

1 12 2

1 12 2

'V . (4.65)

Jadi, sesuai Definisi 2.32 diperoleh

V'ΩV = D = diag(1 – ω, 1 + ω). (4.66)

Karena V matriks ortogonal, maka dengan (4.65) diperoleh

V–1

ΩV = diag(1 – ω, 1 + ω). (4.67)

Ω = Vdiag(1 – ω, 1 + ω)V–1

.


167


Maka dapat dicari akar kuadrat dari Ω, yaitu

Ω1/2

= V [diag(1 – ω, 1 + ω)]1/2

V–1

1/2 1diag 1 , 1 V V (4.68)

1 1 1 11 02 2 2 2

1 1 1 10 12 2 2 2

1 1 1 12 2 2 2

1 11 12 2

2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

. (4.69)

Ω–1/2

adalah invers dari matriks Ω1/2

.

1/2 1/2

1/2

1adj( )

. (4.70)

1/2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

2 21 2 1 1 1 2 1 1

4 4

24 1

4

21 . (4.71)


168


1/2

2

1 1 / 2 1 1 / 21

1 1 1 / 2 1 1 / 2

.

2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1 1 1

2 1 2 1

. (4.72)

Jadi, dapat diperoleh determinan dari Ω–1/2

adalah

1/2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 1

2 2

2

1 2 1 1 1 2 1 1

4 1

2 2

2

2 2 1 2 2 1

4 1

2

2

4 1

4 1

2

1

1

. (4.73)

Sesuai dengan hasil yang dijelaskan pada bagian Lampiran 2, diperoleh

bahwa 1/21/2 . Dari (4.1), diperoleh

1/2

1 1( , , ) diag , ,k k .

Jadi, untuk kasus bivariat, yaitu k = 2,

1/2

1 2 1 2( , ) diag ,


169


2 21

2

2 2

1 1 1 1

02 1 2 1

01 1 1 1

2 1 2 1

1 22 2

1 22 2

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1 1 1

2 1 2 1

. (4.74)

Jadi,

12

1

12

1 1

2 1

1 1

2 1

dan

22

2

22

1 1

2 1

1 1

2 1

. (4.75)

Dari (4.57),

2

2

1

( , , ) 2 ( , ) , k

jk

j

f

'

y y y y ,

dengan

1/21 1

2

1( , ) (2 ) exp

2'

y y y . (4.76)

Bagian y'Ω–1

y menjadi

2 2

11

1 2

2

2 2

1

1 1

1

1 1

y' y y

y

y y

11 2 2 1

2 2

21 1

yy y y y

y

2 2

1 1 2 2 1 2

21

y y y y y y

2 2

1 1 2 2

2

2

1

y y y y

. (4.77)


170


1/21 1

2

1( , ) (2 ) exp

2'

y y y

2 21/2

1 2 1 1 2 2

2

2(2 ) 1 exp

2 1

y y y y

. (4.78)

Jadi, f.k.p dari vektor acak Y yang berdistribusi skew-normal bivariat adalah

2 2

1/22 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 2

( 2 )( , , , , ) 2 (2 ) 1 exp

2(1 )

y y y yf y y

1 2

' ' y y (4.79)

dengan

1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

', (4.80)

2 2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

'. (4.81)


Diketahui dari (4.48), f.p.m dari vektor acak Y ~ SN(k, Ω, γ) dinyatakan

dengan bentuk

11

1( ) 2 exp

2

k kk

i ji j

ji

M ' h p t

Y t t t ,


di mana

1

2

j

j

j

kj

p

p

p

p

dan

1/2

2( 1,1)

1

ii

i

h

.


171


Maka, untuk kasus bivariat, yaitu untuk k = 2, f.p.m-nya adalah

2 2

2

11

1( ) 2 exp

2i ji j

ji

M ' h p t

Y t t t

2 2

11

14exp

2i ji j

ji

' h p t

t t . (4.82)

Karena Ω merupakan matriks parameter yang memiliki bentuk

1

1

,

maka bagian t'Ωt menjadi

1

1 2

2

1

1

t' t t t

t

t

1

1 2 2 1

2

tt t t t

t

2 2

1 1 2 2 1 2t t t t t t

2 2

1 1 2 22t t t t , (4.83)

dan diperoleh

2 2

11

1( ) 4exp

2i ji j

ji

M ' h p t

Y t t t

2 2

2 2

1 1 2 2

11

14exp 2

2i ji j

ji

t t t t h p t

2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1

14exp 2

2i i i i

i

t t t t h p t h p t

2 2

1 1 2 2 1 11 1 1 21 2

14exp 2

2t t t t h p t h p t

2 12 1 2 22 2h p t h p t .

Jadi, f.p.m dari Y ~ SN(k, Ω, γ) adalah

2 2

1 1 2 2 1 11 1 1 21 2

1( ) 4exp 2

2M t t t t h p t h p t

Y t ,

2 12 1 2 22 2h p t h p t , (4.84)


172


di mana

1

1 1/22

1

( 1,1)1

h

, (4.85)

2

2 1/22

2

( 1,1)1

h

. (4.86)

11 22

1 1

2p p

, (4.87)

12 21

1 1

2p p

. (4.88)

4.2.3 Mean, Kovariansi, dan Variansi

Mean, variansi, dan kovariansi dari variabel-variabel acak Y1 dan Y2 akan

dicari dengan menggunakan f.p.m dan turunan-turunannya yang telah diperoleh

pada bagian 4.1.2. Dengan (4.54), dapat dicari mean dari Y1 dan Y2, yaitu

2

1

2( ) i i

I

E h

Y p

1 1 2 2

2h h

p p .

Karena p1 = (p11, p21)' dan p2 = (p12, p22)', maka

1 11 12

1 2

2 21 22

2E Y p ph h

E Y p p

1 11 2 12

1 21 2 22

2 h p h p

h p h p

1 11 2 12

1 21 2 22

2 h p h p

h p h p

1 11 2 12

1 21 2 22

2

2

h p h p

h p h p

. (4.89)


173


1 1 11 2 12

2( )E Y h p h p

. (4.90)

2 1 21 2 22

2( )E Y h p h p

. (4.91)

Dengan menggunakan (4.55) dapat dicari E(Y1Y2).

22 2

2

1 1, 1,

( ) 2 0 0i j i j

i j lj i l j

E ' h h

'

YY p p

22 2

1 1, 1,

14 0

2i j i j

i j lj i l j

h h

'

p p

22 2

1 1, 1,

40

2i j i j

i j lj i l j

h h

'

p p

22

1 1 2 2

1 1,

40

2i i i i

i ll j

h h h h

' '

p p p p

2

2 1 2 1 1 2 1 2

1,

40

2 ll j

h h h h

' '

p p p p

2 1 2 1 1 2 1 2

40 0

2h h h h

' 'p p p p

2 1 2 1 1 2 1 2

40 0

2h h h h

' 'p p p p

2 1 2 1 1 2 1 2

4 1 1

2 2 2h h h h

' 'p p p p

2 1 2 1 1 2 1 2

4

2h h h h

' '

p p p p

2 1 2 1 1 2 1 2

2h h h h

' '

p p p p .

1 2 2 1 1 2 1 2

2h h h h

' '

p p p p . (4.92)


174


Karena 11

1

21

p

p

p dan 12

2

22

p

p

p diperoleh

11 11 12 11 22

1 2 12 22

21 12 21 21 22

p p p p pp p

p p p p p

'p p , (4.93)

12 11 12 12 21

2 1 11 21

22 11 22 21 22

p p p p pp p

p p p p p

'p p , (4.94)

Jadi, persamaan (4.92) menjadi

1 2 2 1 1 2 1 2

2( )E ' h h h h

' '

YY p p p p

11 12 12 21 11 12 11 22

1 2 1 2

11 22 21 22 12 21 21 22

1 2

1

p p p p p p p ph h h h

p p p p p p p p

11 12 12 21 11 12 11 22

1 2 1 2

11 22 21 22 12 21 21 22

1 2

1

p p p p p p p ph h h h

p p p p p p p p

1 2 11 12 1 2 12 21 1 2 11 12 1 2 11 22

1 2 11 22 1 2 21 22 1 2 12 21 1 2 21 22

1 2

1

h h p p h h p p h h p p h h p p

h h p p h h p p h h p p h h p p

1 2 11 12 1 2 12 21 1 2 11 22

1 2 11 22 1 2 12 21 1 2 21 22

21 2

21

h h p p h h p p h h p p


1 2 11 12 1 2 12 21 1 2 11 22

1 2 11 22 1 2 12 21 1 2 21 22

4 2 2

1

1 2 2 4



1 2 11 12 1 2 12 21 1 2 11 22

1 2 11 22 1 2 12 21 1 2 21 22

4 2 21

2 2 41



(4.95)

Karena

2

1 1 2

2

1 2 2

( )Y YY

E ' EYY Y

YY , dari (4.95) diperoleh E(Y1Y2), yaitu

1 2 1 2 12 21 1 2 11 22

2 2E YY h h p p h h p p

. (4.96)


175


Karena 11 22

1 1

2p p

dan

12 21

1 1

2p p

, maka

11 21

1 1 1 1

2 2p p

1 1

4

2

4 2

2

. (4.97)

12 22

1 1 1 1

2 2p p

1 1

4

2

4 2

2

. (4.98)

Dari hasil (4.90), (4.91), dan (4.96) dapat diperoleh kovariansi dari variabel-

variabel acak Y1 dan Y2, yaitu

1 2 1 2 1 2Cov ,Y Y E YY E Y E Y

1 2 12 21 1 2 11 22

2 2h h p p h h p p

1 11 2 12 1 21 2 22

2h p h p h p h p

1 2 11 22 1 2 12 21

2 2h h p p h h p p

2 2

1 11 21 1 2 11 22 1 2 12 21 2 12 22

2h p p h h p p h h p p h p p

1 2 11 22 1 2 12 21

2 2h h p p h h p p

2 2

1 11 21 1 2 11 22 1 2 12 21 2 12 22

2 2 2 2h p p h h p p h h p p h p p


176


1 2 1 2 11 22 1 2 12 21

2 2Cov ,Y Y h h p p h h p p

2 2

1 1 2 11 22 1 2 12 21 2

2 2 2 2

2 2h h h p p h h p p h

1 2 11 22 1 2 12 21

2 2h h p p h h p p

2 2

1 1 2 11 22 1 2 12 21 2

2 2h h h p p h h p p h

2 2

1 2h h

2 2

1 21h h

2 2

1 2

11 h h

. (4.99)

Dari (4.95), yaitu

1 2 11 12 1 2 12 21 1 2 11 22

1 2 11 22 1 2 12 21 1 2 21 22

4 2 21

( )2 2 4

1


E '


yy ,

dapat diperoleh 2

1E Y dan 2

2E Y .

2

1 1 2 11 12

41E Y h h p p

. (4.100)

2

2 1 2 21 22

41E Y h h p p

. (4.101)

Dengan menggunakan persamaan-persamaan (4.100), (4.101), (4.90), dan (4.91)

diperoleh variansi dari masing-masing variabel acak adalah

22

1 1 1Var Y E Y E Y

2

1 2 11 12 1 11 2 12

4 21 h h p p h p h p

2

1 2 11 12 1 11 2 12


2 2 2 2

1 2 11 12 1 11 1 2 11 12 2 12

4 21 2h h p p h p h h p p h p


177


2 2 2 2

1 1 2 11 12 1 11 1 2 11 12 2 12

4 2 4 2Var 1Y h h p p h p h h p p h p

2 2 2 2

1 11 2 12

2 21 h p h p

2 2 2 2

1 11 2 12

21 h p h p

. (4.102)

22

2 2 2Var Y E Y E Y

2

1 2 21 22 1 21 2 22


2

1 2 21 22 1 21 2 22


2 2 2 2

1 2 21 22 1 21 1 2 21 22 2 22

4 21 2h h p p h p h h p p h p

2 2 2 2

1 2 21 22 1 21 1 2 21 22 2 22

4 2 4 21 h h p p h p h h p p h p

2 2 2 2

1 21 2 22

2 21 h p h p

2 2 2 2

1 21 2 22

21 h p h p

. (4.103)

Berikut diberikan teorema terkait dengan sifat independensi dari distribusi

skew-normal bivariat.

Teorema 4.3.

Misalkan Y = (Y1, Y2)' adalah vektor acak bivariat yang berdistribusi SN(2, Ω, γ).

Maka Y1 dan Y2 saling bebas jika dan hanya jika ω = 0.

Bukti:

Bukti Teorema 4.3 ini akan dibagi ke dalam dua bagian.

() Akan dibuktikan bahwa jika ω = 0, maka Y1 dan Y2 saling bebas.

Bukti:

Perhatikan f.k.p dari distribusi skew-normal bivariat pada (4.79), yaitu


178


2 2

1/22 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 2

( 2 )( , , , , ) 2 (2 ) 1 exp

2(1 )

y y y yf y y

2

1 2 1 2( ) ( ), ( , )' ' y y y y ,

dengan

1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

' dan

2 2 2

2 2

1 1 1 1

2 1 2 1

'.

Misalkan ω = 0, maka f.k.p-nya menjadi

2 2

1 22 1

1 2 1 2( , ,0, , ) 2 (2 ) exp2

y yf y y

1 2 1 2( ) ( ), ( , )' ' y y y y ,

dengan

1 1,0 '

dan 2 20, '

.

Jadi, f.k.p dari distribusi skew-normal bivariat menjadi

2 2

1 22 1

1 2 1 2 1 1 2 2( , ,0, , ) 2 (2 ) exp2

y yf y y y y

2

1/2 1/211 12(2 ) exp 2(2 )

2

yy

2

22 2exp

2

yy

.

Karena 2

1/2 11 12(2 ) exp

2

yy

merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak

Y1 yang berdistribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan γ1,

dan 2

1/2 22 22(2 ) exp

2

yy

merupakan bentuk f.k.p dari variabel acak Y2

yang berdistribusi skew-normal univariat dengan parameter kemencengan γ2,


179


maka sesuai Definisi 2.4, terbukti bahwa Y1 dan Y2 saling bebas. Jadi, terbukti

bahwa jika ω = 0, maka Y1 dan Y2 saling bebas.

() Akan dibuktikan bahwa jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka ω = 0.

Bukti:

Dari (4.84), f.p.m dari vektor acak Y ~ SN(2, Ω, γ) adalah

1 2, 1 2( ) ( , )Y YM M t tY t

2 2

1 1 2 2 1 11 1 1 21 2 2 12 1 2 22 2

14exp 2

2t t t t h p t h p t h p t h p t

di mana

1

1 1/22

11h

,

2

2 1/22

21h

.

11 22

1 1

2p p

,

12 21

1 1

2p p

.

Dari (4.98) diperoleh kovariansi dari Y1 dan Y2, yaitu

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1Cov , 1Y Y E YY E Y E Y h h

Jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka 1 2Cov , 0Y Y .

Agar 1 2Cov , 0Y Y , maka 2 2

1 2

11 h h

harus bernilai 0. Jadi,

2 2

1 2

11 0h h

dapat mengakibatkan dua kasus, yaitu

(i) 2 2

1 2h h ;

(ii) ω = 0.


180


Perhatikan kasus (i).

Jika kasus (i) yang terjadi, maka 2 2

1 2

11 0h h

mengakibatkan

2 2

1 2h h . Berdasarkan (4.47), 2

, 1,21

ii

i

h i

. Karena

i , i = 1, 2,

maka hi (– 1, 1). Maka nilai 2 2

1 2h h berada pada [0, 2), sedangkan

3,1428... 3 2 . Berarti tidak akan dapat diperoleh nilai h1 dan h2 sedemikian

sehingga 2 2

1 2h h . Jadi, kasus (i) ini tidak mungkin terjadi.

Perhatikan kasus (ii).

Jika kasus (ii) yang terjadi, maka 2 2

1 2

11 0h h

mengakibatkan ω = 0.

Karena kasus (i) tidak mungkin terjadi, dan hanya mungkin kasus (ii) yang

terjadi, yaitu 2 2

1 2

11 0h h

mengakibatkan ω = 0, maka terbukti bahwa

jika bahwa jika Y1 dan Y2 saling bebas, maka ω = 0.

Jadi, terbukti bahwa jika Y adalah vektor acak bivariat yang berdistribusi

SN(2, Ω, γ), maka Y1 dan Y2 saling bebas jika dan hanya jika ω = 0.

4.3 Contoh

Misalkan Y ~ SN(k, Ω, γ) dan k = 2, berarti Y ~ SN(2, Ω, γ).

1

1

.

Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 0, maka Y ~ Nk(0, I) sesuai dengan Catatan 4.1, dan

sesuai Teorema 4.3, Y1 dan Y2 berdistribusi N(0, 1) dan saling bebas.

Pr(Y1 1, Y2 1) = Pr(Y1 1)Pr(Y2 1)

= (0,8413)(0,8413)

= 0,70778569.


181


Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 1, maka Y1 dan Y2 saling bebas dan berdistribusi

Y1 ~ SN(γ1) dan Y2 ~ SN(γ2) .

Pr(Y1 1, Y2 1) = Pr(Y1 1)Pr(Y2 1)

= F1(1)F1(1)

= [(1) – 2T(1, 1)][(1) – 2T(1, 1) ]

= [0,8413 – 2(0,066742)][0,8413 – 2(0,066742)]

= (0,707816)( 0,707816)

= 0,501003.

Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = – 1, maka Y ~ SN(2, I, γ).

Pr(Y1 1, Y2 1) = Pr(Y1 1)Pr(Y2 1)

= F–1(1)F–1(1)

= [(1) – 2T(1, –1)][(1) – 2T(1, –1) ]

= [(1) + 2T(1, 1)][(1) + 2T(1, 1) ]

= [0,8413 + 2(0,066742)][0,8413 + 2(0,066742)]

= (0,974784)( 0, 974784)

= 0,950204.

Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = 1, maka Y ~ SN(2, I, γ).

Pr(Y1 –1, Y2 –1) = Pr(Y1 –1)Pr(Y2 –1)

= F1(–1)F1(–1)

= [(–1) – 2T(–1, 1)][(–1) – 2T(–1, 1) ]

= [(–1) – 2T(1, 1)][(–1) – 2T(1, 1) ]

= [0,1587 – 2(0,066742)][0,1587 – 2(0,066742)]

= (0,025216)( 0, 025216)

= 0,000636.


182


Misalkan ω = 0 dan γ1 = γ2 = – 1, maka Y ~ SN(2, I, γ).

Pr(Y1 –1, Y2 –1) = Pr(Y1 –1)Pr(Y2 –1)

= F–1(–1)F–1(–1)

= [(–1) – 2T(–1, –1)][( –1) – 2T(–1, –1) ]

= [(–1) + 2T(1, 1)][(–1) + 2T(1, 1) ]

= [0,1587 + 2(0,066742)][0,1587 + 2(0,066742)]

= (0,292184)( 0,292184)

= 0,085371.

Misalkan ω = 0, γ1 = – 1, dan γ2 = 1, maka Y ~ SN(2, I, γ).

Pr(Y1 1, Y2 1) = Pr(Y1 1)Pr(Y2 1)

= F–1(1)F1(1)

= [(1) – 2T(1, –1)][(1) – 2T(1, 1) ]

= [(1) + 2T(1, 1)][(1) – 2T(1, 1) ]

= [0,8413 + 2(0,066742)][0,8413 – 2(0,066742)]

= (0,974784)( 0,707816)

= 0,689968.



BAB 5

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dalam tugas akhir ini telah dijelaskan mengenai distribusi skew-normal.

Distribusi skew-normal adalah distribusi probabilitas data yang merupakan

perluasan dari distribusi normal, dengan memasukkan parameter kemencengan.

Distribusi skew-normal dapat memfasilitasi data-data yang memiliki

kemencengan yang kuat dan data-data yang mempunyai distribusi probabilitas

yang terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Distribusi ini

memiliki beberapa sifat yang juga dimiliki distribusi normal, yaitu jika X ~ SN(α),

maka 2 2

1~X ; jika X berdistribusi skew-normal, maka – X juga berdistribusi

skew-normal; dan jika X ~ SN(α), Z ~ N(0, ζ2), maka |X| dan |Z| berdistribusi

identik. Distribusi skew-normal dapat diperumum dengan memasukkan parameter

location dan scale.

Untuk variabel acak skew-normal kasus univariat, karakteristik-

karakteristik yang dibahas adalah fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p), fungsi

distribusi, fungsi pembangkit momen (f.p.m), mean dan variansi, sifat-sifat, dan

perluasan dengan memasukkan parameter location dan scale. Kemudian diberikan

perbandingan grafik antara grafik distribusi normal standar dengan skew-normal.

Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan

parameter kemencengan α, atau ditulis X ~ SN(α), dengan . Karakteristik-

karakteristik yang dimaksud adalah

1. Fungsi kepadatan probabilitas:

fα(x) = 2(x)Φ(αx), – < x < ,

di mana adalah f.k.p dan Φ adalah fungsi distribusi normal standar N(0, 1).

2. Fungsi distribusi:

Fα(x) = (x) – 2T(x, α).


184


3. Fungsi pembangkit momen:

2

2( ) 2 ( )t

XM t e t , dengan 2

( 1,1)1

.

4. Mean:

2( )E X

.

5. Variansi:

22Var( ) 1X

.

6. Sifat-sifat dari variabel acak X ~ SN(α) adalah

(i) Jika α = 0, maka X = Z, dan jika α → ± , maka X = ±|Z|, di mana

Z ~ N(0, 1).

(ii) Jika X ~ SN(α), maka – X ~ SN(– α).

(iii) Jika X ~ SN(α), maka |X| dan |Z| berdistribusi identik.

(iv) 1 – Fα(– x) = F– α(x).

(v) F1(x) = {Φ(x)}2.

(vi) Jika X ~ SN(α), maka 2 2

1~X , yaitu suatu variabel acak berdistribusi

chi-square dengan derajat bebas = 1.

(vii) Sebuah variabel acak X mempunyai f.k.p fα(x) = 2(x)Φ(αx),

– < x < , jika dan hanya jika X mempunyai representasi

2

1 21X Z Z , di mana Z1, Z2 adalah variabel-variabel acak

N(0, 1) yang saling bebas, dan 2

( 1,1)1

.

(viii) Misalkan Z1, Z2 merupakan variabel acak yang berdistribusi normal

standar N(0, 1). Jika variabel acak X mempunyai representasi

X = a|Z1| + bZ2, maka

2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2

1 22

( ) ( ) | | ( ) ~1

a b X a b a Z a b bZ SN

,



185


(ix) Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

2 2 2 2 2~

(1 )

aZ bX bSN

a b a b

untuk sebarang ,a b .

(x) Jika X ~ SN(α) dan Z ~ N(0, 1) saling bebas, maka

2~

2 2

X ZSN

.

(xi) Jika Xi ~ SN(αi) saling bebas dengan αi 0, i = 1, 2. Maka, secara

umum, X1 + X2 bukan variabel acak skew-normal.

7. Perluasan dengan memasukkan parameter location dan scale. Misalkan

X ~ SN(α), dan terdapat suatu variabel acak Y di mana Y = + X. Y adalah

variabel acak yang berdistribusi skew-normal dengan parameter kemencengan

α, parameter location , dan parameter scale , atau dinyatakan dengan

Y ~ SN(, , α), di mana dan > 0. Karakteristik-karakteristik dari

variabel acak ini adalah

(i) Fungsi kepadatan probabilitas:

2( ; , , ) ,

y yg y y

.

(ii) Fungsi distribusi:

( ) 2 ,y y

G y T

.

(iii) Fungsi pembangkit momen:

2 2

( ) 2exp ( )2

Y

tM t t t

.

(iv) Mean:

2( )E Y

.

(v) Variansi:

22 2

Var( ) 1Y

.


186


8. Perbandingan grafik distribusi normal standar dan skew-normal.

Gambar 3.1 Grafik Distribusi Normal Standar

Gambar 3.2 Grafik Distribusi Skew-Normal

Untuk vektor acak skew-normal multivariat, karakteristik-karakteristik

yang dibahas adalah fungsi kepadatan probabilitas, fungsi pembangkit momen,

vektor mean, dan matriks kovariansi. Misalkan Y adalah vektor acak yang

berdistribusi skew-normal multivariat, atau Y ~ SN(k, Ω, γ). Ω adalah matriks

simetris yang definit positif berukuran k × k, γ = (γ1, ..., γk)' adalah vektor

kemencengan untuk bilangan-bilangan riil γ1, ..., γk,. Karakteristik-karakteristik

yang dimaksud adalah


187


1. Fungsi kepadatan probabilitas:

1

( , , ) 2 ( , ) , k

k k

jk

j

f

'

y y y y ,

di mana dan λ1, ..., λk adalah k vektor riil yang memenuhi

Λ = (λ1, ..., λk) = Ω–1/2

diag(γ1, ..., γk).

2. Fungsi pembangkit momen:

11

1( ) 2 exp

2

k kk

i ji j

ji

M ' h p t

Y t t t ,


di mana

1

2

j

j

j

kj

p

p

p

p , dan

1/2

2( 1,1)

1

ii

i

h

.

3. Vektor mean:

1

2( )

k

i i

i

E h

Y p .

4. Matriks kovariansi:

1 1, 1 11,

2 20

2

k kk k k k

i j i j i i i i

i j i ilj i l j

h h h h

' '

p p p p .

5.2 Saran

Saran dari penulis mengenai topik tugas akhir ini adalah:

1. Distribusi skew-normal bukan satu-satunya distribusi probabilitas yang dapat

memfasilitasi kemencengan data dan data yang berdistribusi probabilitas

terpusat di sekitar mean tetapi kurang atau tidak simetris. Ada distribusi-

distribusi probabilitas data yang lebih baik daripada distribusi skew-normal.

2. Distribusi skew-normal multivariat yang dibahas pada tugas akhir ini masih

mungkin dapat dikembangkan, dan dapat diperluas dengan memasukkan

parameter location dan scale.



DAFTAR PUSTAKA

Arnold, B.C. dan Beaver, R.J. (2007). Skewing Around: Relationships

Among Classes of Skewed Distributions. Methodology and Computing in

Applied Probability, Vol. 9, No. 2, 153-162

Azzalini, A. (1985). A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones.

Scandinavian Journal of Statistics, Vol. 12, No. 2, 171-178.

Azzalini, A. (2005). A Very Brief Introduction to Skew-Normal

Distribution. http://azzalini.stat.unipd.it/SN/Intro/node1.html

Azzalini, A. dan Valle, D. (1996). The Multivariate Skew-Normal

Distribution. Biometrika, 83, 4, pp. 715-726.

Brown, N.D. (1997). Reliability Studies of The Skew-Normal Distribution.

A.B. Bowdoin College. University of Maine.

Foss, S., Korshunov, D., dan Zachary, S. (2008). An Introduction to Heavy-Tailed

and Subexponential Distributions. Schwarzwaldstrasse: Oberwolfach

Preprints.http://www.mfo.de/publications/owp/2009/OWP2009_13.pdf

Gupta, A.K. dan Chen, J.T. (2004). A Class of Multivariate Skew-Normal

Models. Annals Institute of Statistical Mathematics, Vol. 56, No. 2, pp.

305-315.

Hogg, R.V. dan Craig, A.T. (1995). Introduction to Mathematical

Statistics, 5th ed.. New Jersey: Prentice-Hall Inc.

Hogg, R.V., McKean, J.W., dan Craig, A.T. (2005). Introduction to

Mathematical Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall.

Kaplan, W. (1991). Advanced Calculus, 4th ed. Addison-Wesley Publishing

Company.

Kreyszig, E. (1970). Introductory Mathematical Statistics. New York: John Wiley

& Sons.

Johnson, R.A. dan Wichern, D.W. (1998). Applied Multivariate Statistical

Analysis, 4th ed. New Jersey: Prentice-Hall.


189


Lachos, V.H., Labra, dan F.V., dan Ghosh, P. Multivariate Skew-

Normal/Independent Distributions: Properties and Inference.

http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/RobusRegres.pdf

Leone, F.C., Nelson, L.S., dan Nottingham, R. B.(1961). The Folded Normal

Distribution. Technometrics, Vol. 3, No. 4, 543-550.

Miller, I. dan Miller, M. (1999). John E. Freund's Mathematical

Statistics, 6th ed. New Jersey: Prentice Hall.

Owen, D.B. (1956). Tables for Computing Bivariate Normal Probabilities.

Institute of Mathematical Statistics: The Annals of Mathematical Statistics,

Vol. 2, No. 4, pp. 1075-1090.

Patefield, M. dan Tandy, D. Fast and Accurate Calculation of Owen's T-

Function. Department of Applied Statistics, The University of Reading.

UK.

Pourahmadi, M. Construction of Skew-Normal Random Variables: Are

They Linear Combinations of Normal and Half-Normal?

http://www.math.niu.edu/~pourahm/skewnorm.pdf

Tamhane, A.C. dan Dunlop, D.D. (2000). Statistics and Data Analysis

(from Elementary to Intermediate). New Jersey: Prentice Hall.

Weatherburn, C.E. (1968). A First Course in Mathematical Statistics. London:

Cambridge.



LAMPIRAN

Lampiran 1. Indeks dan Parameter Kemencengan

Misalkan terdapat suatu variabel acak X ~ SN(α). Parameter α disebut

parameter kemencengan dan . Pada Lampiran 1 ini akan diberikan

penjelasan mengenai keterkaitan antara parameter kemencengan α dan indeks

kemencengan

3

3 3

E X

. Dengan menggunakan f.p.m dari variabel acak

X berdasarkan persamaan (3.34), yaitu

2

2( ) 2t

XM t e t ,

dengan

2( 1,1)

1

.

Dari (3.68) dan (3.69), diketahui

2( ) (0)E X M'

.

2( ) (0) 1E X M'' .

Dari persamaan (3.34), dapat diperoleh momen ketiga dan kemudian dapat dicari

indeks kemencengan β3. Dari persamaan (3.65) diperoleh

2 2 2

2( ) 2exp 2 exp 4 exp ( )2 2 2

''

X

t t tM t t t t t t

2

32 exp ( )2

tt t

.


2 2 2

( ) 2exp 2exp 4 exp2 2 2

'''

X

t t tM t t t t t t

2 2 2

2 22 exp 2 exp 4 exp ( )2 2 2

t t tt t t t t t


191


(lanjutan)

2 2

24 exp ( ) 4 exp ( )2 2

t tt t t t t t

2 2

3 32 exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t t

2

3 22 exp ( )2

tt t t

.

2 2 2

( ) 2 exp 2 exp 4 exp2 2 2

'''

X

t t tM t t t t t t

2 2 2

3 22 exp 2 exp 4 exp ( )2 2 2

t t tt t t t t

2 2 2

2 3 2 34 exp ( ) 4 exp ( ) 2 exp ( )2 2 2

t t tt t t t t

2 2

3 2 5 22 exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t t

.

2 2 2

36 exp 6 exp 2 exp2 2 2

t t tt t t t t

2 2

2 3 26 exp 6 exp ( )2 2

t tt t t t

2 2

3 5 22 exp ( ) 2 exp ( )2 2

t tt t t

.

Kemudian dapat diperoleh momen ketiga dari variabel acak X, yaitu

3 (0)'''

XE X M

36 0 2 (0)

31 16 2

2 2

36 2

2 2


192


(lanjutan)

3 32 23E X

2 23

. (L.1.1)

Jadi, indeks kemencengan dari X adalah

3

3 3

E X

3 2 2 3

3

3 3E X X X

3 2 2 3

3

3 3E X E X E X E

3 2 2 3

3

3 3E X E X E X

2 2 3

3

2 23 3 1 3

2 2 3

3

3 3 3

2 3 3

3

3 3 3

2 3

3

2

2 3

3

22

2

2 3

3

22

3 3

3

22


193


(lanjutan)

3

3 3

22

3

3

14

2

3

3

14

2

. (L.1.2)

Perhatikan persamaan (L.1.2).

33

3

3

2

2

21

.

Jadi, persamaan (L.1.2) menjadi

3

3 3

14

2

3

2

2

14

2 21

. (L.1.3)

Dari (3.33), diketahui bahwa

2( 1,1)

1

.

Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke (L.1.3), diperoleh


194


(lanjutan)

3

3

2

2

14

2 21

3

2

2

2

2

1 14

22

11

3

2

2

2

2

114

22

11

3

2

2 2

2 2

2

114

2 1 2

1 1

3

2

2 2

2

2

114

2 1 2

1

3

2

2 22

11 24

2 1 21

3

2 2

1 24

2 1 2


195


(lanjutan)

3

32 2

1 24

2 2

3

2

1 24

2 2

. (L.1.4)

Karena , maka nilai dari β3 ada pada interval (– 0,995, 0,995).

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa hubungan antara β3 dan α bukan

merupakan suatu analogi. Namun, keduanya berkaitan melalui persamaan (L.1.4).

Untuk nilai kemencengan α = 0, melalui persamaan (L.1.4), 3

3

14 0 0

2 .

Jadi, sesuai dengan sifat pertama dari variabel acak skew-normal univariat, yaitu

ketika α = 0, variabel acak skew-normal univariat menjadi variabel acak yang

berdistribusi normal standar N(0, 1), dan indeks kemencengan untuk distribusi

normal bernilai 0.


196


Lampiran 2. Matriks Ω dan Sifat-sifatnya

Matriks Ω merupakan matriks parameter berukuran k × k yang simetris,

dan merupakan matriks definit positif. Misalkan, matriks Ω dinyatakan dengan

11 12 1

21 22 12

1 2

k

k k kk

. (L.2.1)

Pada bab empat Ω merupakan matriks kovariansi dari vektor acak yang

berdistribusi normal multivariat dengan mean 0 dan Ω dinyatakan dengan

12 1

21 12

1 2

1

1

1

k

k k

. (L.2.2)

Dengan Teorema 2.38, karena matriks Ω simetris, maka Ω dapat didiagonalkan

secara ortogonal. Berarti matriks Ω mempunyai n vektor eigen ortonormal yang

berbeda. Misalkan matriks Ω memiliki nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk dengan

vektor-vektor eigen ortonormal terkait p1, p2, ..., pk. Misalkan V merupakan

matriks ortogonal yang berisi vektor-vektor eigen dari matriks Ω, yaitu

V = (p1, p2, ..., pk). Sesuai dengan bagian 2.20.18 mengenai diagonalisasi

ortogonal, dapat diperoleh

V–1

ΩV = D = diag(λ1, λ2, ..., λk). (L.2.3)

Karena V ortogonal, sesuai Definisi 2.30,

V–1

= V'. (L.2.4)

Berarti

V–1

ΩV = V'ΩV = D = diag(λ1, λ2, ..., λk). (L.2.5)

Untuk mencari akar kuadrat dari matriks Ω, persamaan (L.2.3) dibentuk menjadi

V–1

ΩV = D

VV–1

ΩV = VD

IΩV = VD

ΩV = VD

ΩVV–1

= VDV–1


197


(lanjutan)

ΩI = VDV–1

Ω = VDV–1

. (L.2.6)

Sesuai (2.190), akar kuadrat dari matriks Ω adalah

Ω1/2

= VD1/2

V–1

= VD1/2

V'.

Karena D adalah matriks diagonal, maka

1/2

1 2diag , , , k D . (L.2.7)

Sesuai dengan Teorema 2.38 bagian (c), maka Ω1/2

simetris.

Ω–1/2

merupakan invers dari matriks Ω1/2

, seperti yang dapat dilihat pada

persamaan (2.194). Matriks Ω–1/2

juga merupakan matriks yang simetris.

Berikutnya akan dibahas mengenai determinan dari matriks akar kuadrat

dari Ω. Berdasarkan persamaan (2.192), maka Ω = Ω1/2

Ω1/2

. Berdasarkan

persaman (2.194), maka Ω–1

= Ω–1/2

Ω–1/2

. Sesuai sifat fungsi determinan pada

Teorema 2.23, maka

det(Ω) = det(Ω1/2

)det(Ω1/2

). (L.2.8)

Karena Ω–1/2

merupakan invers dari matriks Ω1/2

, maka

Ω1/2

Ω–1/2

= Ω–1/2

Ω1/2

= I. (L.2.9)

Maka, hasil determinan dari persamaan di atas adalah

det(Ω1/2

Ω–1/2

) = det(I)

det(Ω1/2

Ω–1/2

) = 1

det(Ω1/2

)det(Ω–1/2

) = 1

det(Ω–1/2

) = 1/det(Ω1/2

). (L.2.10)

Dengan Teorema 2.23, diperoleh determinan dari matriks Ω dan Ω1/2

, yaitu

1det det VDV

1det det det V D V

1det det det D V V

1

det detdet

D VV


198


(lanjutan)

det det D

1 2 k . (L.2.11)

Karena Ω definit positif, maka berdasarkan Teorema 2.17, nilai-nilai eigen λ1, λ2,

..., λk positif, berarti det(Ω) > 0.

1/2 1/2 1det det VD V

1/2 1det det det V D V

1/2 1det det det D V V

1/2 1det det

det D V

V

1/2det D

1 2 k

1/2

det . (L.2.12)

Karena nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk positif, berarti det(Ω1/2

) = [det(Ω)]1/2

> 0.

1/2 1/2 1det det VD V

1/2 1det det det V D V

1/2 1det det det D V V

1/2 1det det

det

D VV

1/2det D

1 2

1 1 1

k

1/2

det

. (L.2.13)

Karena nilai-nilai eigen λ1, λ2, ..., λk positif, berarti det(Ω1/2

) = [det(Ω)]1/2

> 0.


199


Lampiran 3. Tabel Nilai Probabilitas Distribusi Normal Standar


200


Lampiran 4. Tabel Nilai Fungsi T-Owen


201


(lanjutan)


202


(lanjutan)


203


(lanjutan)


204


(lanjutan)


Documents

DISTRIBUSI SKEW-NORMAL SKRIPSI